1. Una proposta per treballar les matemàtiques d’una forma reflexiva. D'una manera natural l'alumne descobreix, assenyala i descriu diferents realitats matemàtiques com són les propietats commutativa, associativa, l'ús de parèntesi, el concepte d'igualtat, propietats elementals en el càlcul amb més de dues operacions diferents. D’una forma oberta i participativa ens fem preguntes -amb respostes diverses– les matemàtiques, en tant que un llenguatge, admet diferents possibilitats comunicatives- Bernat Orellana Experiència desenvolupada en el curs 2003-2004 amb un grup de Preparació de les Proves d’Accés de Grau Mitja a l’Escola d’Adults d’Esparreguera

2. Representem un grup de monedes sense cap tipus d’ordenació espacial amb la consigna. “Conta les monedes amb la única condició de que ni les pots tocar ni desplaçar” L'única resposta per part dels alumnes va ser: Una,dues,tres...set. Al demanar que representessin l'operació amb nombres és va arribar a la conclusió que l'única forma possible és la següent: 1+1+1+1+1+1+1=7.

3. AL disposar les monedes en "altre ordre espacial" i davant la mateixa pregunta dos grups diferents d'alumnes de diferent nivell realitzen l'operació de contar. Les respostes van ser: Una,dues,tres,quatre ...vuit Dues, quatre,sis,vuit i les operacions associades a les dues solucions van ser: 1+1+1+1+1+1+1+1=8. 2+2+2+2=12.

4. Conclusió POSADA EN COMUNA Una forma de contar és més ràpida que l'altra Per a contar de dues en dues les monedes han d'estar ordenades Contar de tres en tres resulta més complicat Contar és una operació Les operacions es realitzen amb nombres L'operació està acabada sempre que el signe igual tingui una resposta. Observem que existeixen "altres formes de contar” que es poden representar mitjançant operacions: (i que totes elles tenen una representació gràfica) 2+2+2+2+2+2=12. 3+3+3+3=12. 4+4+4=12. 6+6=12.

5. Lliurem un foli Dina4 segons model i demano als alumnes que escriguin diferents operacions que representin el nombre d'unitats de la figura. Els resultats obtinguts en el treball realitzats d'una manera individual van ser aquests: 1+1+1+1+...= 9. 3+3+3=9. 1+2+3+2+1= 9 (un únic alumne) 3x3=9 (proposat per un grup important d'alumnes) 3^2 = 9 (proposta per alguns alumnes) Podem representar les operacions de formes ben diferents Conclusió

6. POSADA EN COMUNA Les operacions les podem ordenar: suma, multiplicació i potències. Les operacions recullen diferents formes de veure la realitat matemàtica. Així l'alumne que va escriure: 1+2+3+2+1ho va fer observant una situació espacial de les unitats d'una manera determinada:

7. En el diccionari es defineix a la multiplicació com "la suma de conjunts iguals". Anem a analitzar les operacions que hem realitzat i vam observar que:3+3+3 = 3 x 3. Conjunts sumables i "multiplicables" 3+3=6 ; 2x3=6. Conjunts sumables i "no multiplicables" 3+2=5 ; Conclusió

8. Amb l'experiència anterior i amb la idea clara que "hi ha diverses formes de contar" els alumnes donen diferents respostes a aquesta nova situació: 1+1+1+1+...= 24 (proposta minoritària) 3+3+3+...= 24 (proposta majoritària) 8+8+8 = 24 (proposta molt minoritària)

9. La primera forma de contar resulta lenta L'última forma de contar resulta més difícil La segona forma de contar no és tan lenta i resulta més fàcil, més operativa. La segona forma de contar es pot representar d'aquesta forma: 3+3+3+...= 24 (proposta majoritària) La tercera forma de contar es pot representar: 8+8+8 = 24 (proposta molt minoritària) POSADA EN COMÚ Conclusió

10. Demanem als alumnes que observin la figura i que l'analitzin. Els comentaris que es realitzen en el desenvolupament de la classe van ser molts i molt interessants, com podrà comprovar-se a continuació: La figura no està completa. Presenta "una irregularitat" Si contem de dues en dues, al final sobra un Sobra un perquè és imparell Les propostes per a representar la figura són diferents i determinen la capacitat de abstracció matemàtica dels diferents alumnes del grup de classe. 1+1+1+1+...= 13 (només una alumne) 2+2+2+...+1 = 13 (proposta majoritària) 7+6 = 13 (només un alumne)

11. En la posada en comuna i com a conseqüència del treball en grup obtenim respostes "més elaborades". Sorgeix la necessitat de representar l'operació de contar amb operacions distintes a les de la suma. Preguntem als alumnes la possibilitat de presentar l'operació mitjançant una resta i vam obtenir una resposta d'un alumne que va explicar als seus companys la següent operació: 2+2+2+2+2+2+2-1=13. A la pregunta Com agrupar els doses en una sóla operació? se li va trobar aquesta solució: 2x7=14; 14-1=13. Que agrupada mitjançant dues operacions: 2x7-1=13. Altra forma d'interpretar l'operació:: 2x6 = 12 ; 12+1 = 13. 2x6+1= 13.

12. És a dir: La forma de contar 2x6+1 i 2x7-1 es poden expressar gràficament com:

13. Demanem als alumnes que trobin diverses formes de contar, de representar mitjançant operacions distintes aquestes situacions gràfiques. Resulta interessant realitzar diverses preguntes de cara a formalitzar els resultats i establir propietats: Són iguals aquestes figures? -repecte a la seva forma- Tenen una mateixa dimensió? Són quadrats? Presenten regularitat quant a la seva forma? Tenen una mateixa base? Tenen una mateixa altura?

14. POSADA EN COMUNA Les dues figures tenen la mateixa dimensió Les dues figures són iguals Cada figura té una posició distinta El costat que guarda l'horitzontal és la base Cadascun dels costats pot ser la base La figura és un rectangle La figura és cuadrilater 2+2+2=6 representa una disposició espacial i 3+3=6 altra. Després s'establix que 3+3=2+2+2 -igualtat- 2x3 = 3x2 = 6. propietat commutativa

15. Es comença a complicar les figures geomètriques i amb això les possibilitats de trobar solucions operatives a l'operació de contar. Demanem als alumnes que d'una manera individual trobin totes les possibles solucions per a establir mitjançant l'operacions l'operació de contar, encara que aquestes siguin molt reiteratives i repetides. Escrivim totes les solucions oposades, les més fàcils van ser proposades per tot el grup de classe i les més complexes les van formular els alumnes amb un millor nivell en l'àrea de matemàtiques. Escrivim totes les solucions i en la posada en comuna els alumnes expliquen cada operació sobre la base d'unes dades, a una situació espacial, a una forma, etc. Els resultats van anar en alguns casos sorprenents:

16. Les formes més senzilles es realitzen amb l'operació de sumar: 1+1+1+1...+1 = 12. 4+1+1+1+1+4 = 12. 4+2+2+4 = 12. L'alumne que proposa aquestes solucions mostra una gran capacitat de percepció de l'espai i reconeix mitjançant les dues operacions dues figures geomètriques. Opera "el tot , opera amb "la part" i realitza la resta... 4 x 4 = 16; 2 x 2 = 4; 16-4=12. En aquest cas treballa amb les dues operacions: 4x4-2x2 = 16-4 = 12

17. Observar la capacitat d’anàlisis que expressa l'alumne en aquesta expressió matemàtica. Junt conjumina bona capacitat per a interpretar la realitat espacial demostra un bona capacitat per al desenvolupament de les matemàtiques 4^2 - 2^2 = 16-4 = 12.

18. 1+1+1+1...+1 = 7 3+1+3 = 7 4+3 = 7 3+1+3 = 7 4x4-3x3 = 16 - 9 = 7 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7