1. 3,14… el dia 3/14
Amb motiu de la celebració del dia de Pi, el passat 13 de març, durant la classe de
Matemàtiques, vam proposar als alumnes de segon d’ESO que, atenent a que
aquest és el més famós dels nombres irracionals i ser un nombre irracional
significa que no hi ha cap fracció que sigui igual a ell, trobessin fraccions que
aproximessin a aquest nombre.
Aquests són alguns dels resultats d’aquest encàrrec:
Les respostes més habituals van ser les resultants de truncar l’expressió
decimal de π: 3,1415926535897932384626433832795028841971693...

2. Però també vam trobar altres més originals resultants de l’aplicació del
coneixements dels alumnes sobre conversió de
fraccions en decimals. Per exemple a la imatge
tenim la proposta d’una de les alumnes:
En la línia d’aquest segon grup de respostes vam trobar moltes propostes
 Fraccions amb denominador més petit que 10:
Entre aquestes fraccions propostes pels alumnes es troben les dues
fraccions que millor aproximen a π entre les que tenen denominador més
petit que 10: per excés i per defecte.
La fracció que no va aparèixer en aquest grup va ser que és històricament
rellevant per ser la que els egipcis feien servir en els seus càlculs relacionats
amb cercles i circumferències.
 Fraccions amb denominador entre 10 i 100:
Entre aquestes fraccions propostes pels alumnes es troba la millor
aproximació per defecte de π entre les fraccions irreductibles amb
denominador de dues xifres: .
Però no va ser proposada la millor aproximació per excés de π: =
3,144329...

3.  Fraccions amb denominador entre 100 i 1000:
Malgrat, que només n’hi 5 de diferents, en aquesta ocasió sí que apareixen
les dues millors aproximacions de π entre les fraccions irreductibles amb
denominador de tres xifres: i .
Aproximacions aquestes que tenen 4 i 6 xifres decimals, respectivament,
coincidents amb el valor de π, el que indica el alt grau d’aproximació
aconseguit amb aquestes fraccions.
Resulta interessant també que hagi estat proposada una fracció d’alt
valor històric atenent que va ser l’aproximació feta servir per Ptolomeu (90
- 168 DC) en la seva obra Almagest. Una de les alumnes que proposa
aquesta fracció comenta aquest fet.
Hi ha un tercer grup d’alumnes que van fer indagacions pel seu compte per
donar resposta a la tasca proposada per les seves professores.
Una alumna va comentar que Arquimedes (287 – 212 AC) ja havia establert que
pi era un nombre que estava entre i .
Una altra alumna va demanar ajut al seu pare i entre els dos van proposar una
estratègia per trobar fraccions que aproximin a π, agafarien una fracció
equivalent a 3 i per fer-la “una miqueta” més gran sumarien 1 al numerador. Es
així que van proposar 13/4, 22/7 o 34/11. Fraccions que podriem expresar en
la forma general 3n+1/n. Val a dir que aquesta estratègia permet anar
apropant-se a π quan el denominador augmenta fins al 7 però a partir d’aquí
comença a allunyar-se per apropar-se, més I més, al nombre 3.
Un alumne, per la seva part, va comentar que es poden aconseguir millors
aproximacions de considerant més i més termes de la següent suma:
Aquesta afirmació és indubtablement certa però
val a dir que la velocitat amb la que aquestes aproximacions s’apropen a és
realment escassa. També és interessant esmentar que cada cop que afegint un
nou terme a aquesta llarga suma passem d’obtenir una aproximació per excés a
una per defecte i a l’inrevés.