Apuntes de álgebra para el bachillerato para personas adultas. En gallego.

1. PRÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS
(CON ACTIVIDADES DE NIVELACIÓN)
José Ricardo López Saavedra
IES As Mariñas
2011–2012
Matemáticas II — Álxebra

2. USO DE CALCULADORAS E SOFTWARE MATEMÁTICO
Usaranse as calculadoras da marca Texas Instruments seguintes: TI-89, TI-89 Titanium, Voyage
200 e TI-nspire CAS polos seguintes motivos:
— Son calculadoras con un sistema alxébrico computacional ou sistema de álxebra computacio-
nal SAC (CAS, do inglés computer algebra system) e facilitan o cálculo simbólico.
— Teñen un prezo asequible.
— Pesan e consumen pouco, polo que poden transportarse facilmente, e usarse en calquera en-
torno.
— Son útiles para o ensino universitario, dado que polas súas características poden usarse no es-
tudo de carreiras técnicas: enxeñerías, arquitectura, matemáticas, … como do ámbito das
ciencias sociais: económicas, empresariais, …; tamén se poden utilizar para o estudo de FP.
— Dispoñen de emulador gratuíto, e pode tamén descargarse gratuitamente o sistema operativo
(ROM) das calculadoras da páxina web oficial de TI, polo que, de dispoñer de ordenador po-
de traballarse con estas calculadoras baixo un emulador.
— Son programabeis, polo que poden adaptarse ás necesidades particulares de cada alumno.
— Existen miles de programas gratuítos para estas máquinas, que van dende xogos ata aplica-
cións específicas para enxeñería.
— Existen programas comerciais para estas máquinas, que aumentan a súa potencialidade.
Datos do software para ordenador e para calculadoras utilizado
http://education.ti.com/educationportal/sites/US/nonProductMulti/apps_latest.html
— Dende esta páxina —páxina oficial de Texas Instruments— poden descargarse gratuitamente os sistemas operativos para esas
calculadora, programas, aplicacións flash, manuais de usuario das calculadoras, do software, …
http://www.ticalc.org/
— Dende esta páxina poden descargarse miles de programas e utilidades para as calculadoras citadas: emuladores, utilidades pa-
ra windows, programas de aplicación, xogos, …
http://education.ti.com/educationportal/sites/ESPANA/homePage/index.html
— A páxina oficial de Texas Instruments en España.
http://www.ti89.com/
— É a páxina oficial dos programas para calculadoras TI «Calculo Made Easy» ou a súa versión en español «Calculo Manera Fa-
cil», e «Algebra Made Easy» e outros.
http://math.exeter.edu/rparris/
— Dende esta páxina pode descargarse todos os programas da serie “Peanut”: Wingeom, Winplot, Winstats, Winarc, Winfeed ,
Windisc, Winmat , Wincalc, Winwordy, Winlab, …
http://padowan.dk/graph/ http://www.grapheeasy.com/
— Páxina oficial do programa Graph. — Páxina oficial do programa Graphe Easy.
http://www.graphmatica.com/ http://www.dessci.com/en/
— Páxina oficial do programa Graphmatica. — Páxina oficial do programa MathType.
http://www.cabri.com/es/ http://www.geometryexpressions.com/index.php
— Páxina oficial dos programas Cabri II Plus e Cabri 3D. — Páxina oficial do programa Geometry Expresións
http://www.dynamicgeometry.com/ http://www.cinderella.de/tiki-index.php
— Páxina oficial do programa Geometer Sketchpad. .— Páxina oficial do programa Cinderella.
http://www.geogebra.org/cms/ http://www.rene-grothmann.de/car.html
— Páxina oficial do programa Geogebra. — Páxina oficial do programa Regla y Compás.
http://www.microsoft.com/es/es/default.aspx http://www.corel.es
— Páxina oficial dos programas Windows, Word, Excel, Vis- — Páxina oficial dos programas CorelDraw, Corel Photo-Paint,
sio, PowerPoint, … …
Recoñecemento de marcas rexistradas: as marcas aquí citadas, comerciais ou non, son marcas
dos seus propietarios respectivos, e aquí son citadas co único fin de divulgación docente.

3. 3
Prácticas para resolver problemas Prácticas
TÁBOA DE CONTIDOS
Matrices ............................................................................................................................................................ 5
1. Concepto de matriz .................................................................................................................................... 5
1.1. Algúns tipos de matrices, atendendo á forma ..................................................................................... 6
1.1.1. Matriz fila e matriz columna .............................................................................................................................6
1.1.2. Matriz cadrada. Elementos ..............................................................................................................................7
1.1.3. Matriz transposta..............................................................................................................................................7
1.1.4. Matriz simétrica e antisimétrica........................................................................................................................8
1.2. Algúns tipos de matrices, atendendo aos elementos.......................................................................... 9
1.2.1. Matriz nula........................................................................................................................................................9
1.2.2. Matriz diagonal.................................................................................................................................................9
1.2.3. Matriz unidade ou matriz identidade ..............................................................................................................10
1.2.4. Matriz triangular .............................................................................................................................................10
1.2.5. Matriz de permutación ...................................................................................................................................10
2. Uso de calculadoras e software matemático ........................................................................................... 10
3. Submatrices ............................................................................................................................................. 12
4. Operacións con matrices ......................................................................................................................... 14
4.1. Suma e resta de matrices.................................................................................................................. 14
4.1.1. Propiedades da suma de matrices ................................................................................................................14
4.2. Produto dun número por unha matriz—produto externo................................................................... 15
4.2.1. Propiedades do produto externo....................................................................................................................16
4.2.2. Espazo vectorial Mm,n,+, ...........................................................................................................................16
4.3. Produto dunha matriz fila por unha matriz columna.......................................................................... 17
4.4. Multiplicación de matrices ................................................................................................................. 18
4.4.1. Propiedades do produto de matrices.............................................................................................................21
4.4.1. Matriz inversa.................................................................................................................................................23
4.4.2. Para non despistarse .....................................................................................................................................24
4.5. Outros tipos de matrices.................................................................................................................... 24
4.6. Resumo das propiedades das operacións para matrices cadradas.................................................. 25
4.6.1. Propiedades das operacións internas............................................................................................................25
4.6.2. Propiedades da operación externa ................................................................................................................25
5. Complementos teóricos para o estudo de matrices................................................................................. 30
5.1. Espazos vectoriais............................................................................................................................. 30
5.2. n-uplas de números reais.................................................................................................................. 30
5.3. Combinación lineal de vectores......................................................................................................... 31
5.4. Dependencia e independencia lineal................................................................................................. 31
5.4.1. Número de n-uplas LI ....................................................................................................................................32
5.4.2. Propiedade fundamental................................................................................................................................32
5.4.3. Dependencia lineal de  .............................................................................................................................32
6. Rango dunha matriz................................................................................................................................. 34
6.1. Vectores fila nunha matriz ................................................................................................................. 34
6.2. Rango ou característica dunha matriz............................................................................................... 34
6.3. Vectores columna nunha matriz........................................................................................................ 34
6.4. Cálculo do rango polo método de Gauss ou de transformacións elementais ................................... 35
6.4.1.Transformacións elementais...........................................................................................................................35
6.4.2. Método de Gauss para o cálculo do rango dunha matriz ..............................................................................35
7. Matriz inversa........................................................................................................................................... 39
7.1. Matriz inversa a partir da definición................................................................................................... 39
7.2. Método de Gauss para calcular a inversa dunha matriz ................................................................... 39
8. Funcións de TI para o cálculo matricial. Operacións con filas ................................................................. 52
9. Programando utilidades con TI ................................................................................................................ 53
9.1. Función gaussfm ............................................................................................................................... 53
9.2. Programa gaussm ............................................................................................................................. 54
Determinantes ................................................................................................................................................ 56
1. Determinantes: definición e propiedades................................................................................................. 56
1.1. Determinantes de orde 2 e 3. Regra de Sarrus................................................................................. 56
1.2. Propiedades dos determinantes........................................................................................................ 59
2. Menor complementario e adxunto............................................................................................................ 66
3. Desenvolvemento dun determinante polos elementos dunha liña........................................................... 67
4. Método para calcular determinantes de calquera orde............................................................................ 71

4. 4
Prácticas para resolver problemas
Prácticas
5. Programando utilidades con TI ................................................................................................................ 78
5.1. Programa gaussmd ........................................................................................................................... 78
6. Métodos rápidos para determinantes grandes......................................................................................... 79
6.1. Método abreviado de Araiztegui........................................................................................................ 80
6.2. Método Pivotal ou de Chio ................................................................................................................ 81
6.3. Desarrollo simultáneo por unha fila e unha columna ou dobre desarrollo ........................................ 81
7. O rango dunha matriz a partir dos seus menores.................................................................................... 84
8. Cálculo da inversa dunha matriz usando determinantes ......................................................................... 88
8.1. Regra práctica para calcular a inversa dunha matriz ........................................................................ 88
Sistemas de ecuacións ................................................................................................................................. 99
1. Ecuacións e sistemas de ecuacións ........................................................................................................ 99
1.1. Lembrando algúns conceptos xa vistos ............................................................................................ 99
1.2. Sistemas de ecuacións.................................................................................................................... 100
1.3. Equivalencia de ecuacións e sistemas............................................................................................ 100
1.4. Resolución dunha ecuación ............................................................................................................ 101
1.5. Afirmacións xerais acerca da equivalencia de ecuacións ............................................................... 102
1.6. Afirmacións acerca do corolario ...................................................................................................... 103
1.7. Ecuacións lineais ou de primeiro grao............................................................................................. 103
1.8. Sistemas de ecuacións lineais ........................................................................................................ 104
1.9. Transformacións válidas nun sistema de ecuacións lineais............................................................ 104
2. Sistemas de ecuacións con solución e sen solución ............................................................................. 105
2.1. Interpretación xeométrica de sistemas de ecuacións con dúas incógnitas..................................... 105
2.2. Interpretación xeométrica de sistemas de ecuacións con tres incógnitas....................................... 106
2.3. Sistemas graduados........................................................................................................................ 108
2.4. Como transformar un sistema noutro graduado.............................................................................. 108
2.5. Matrices asociadas a sistemas........................................................................................................ 110
3. Método de Gauss................................................................................................................................... 111
4. Programando utilidades con TI .............................................................................................................. 121
4.1. Programa gaussk ............................................................................................................................ 122
5. Resolución de sistemas mediante determinantes.................................................................................. 123
5.1. Criterio para saber se un sistema é compatible .............................................................................. 123
4.2 Regra de Cramer.............................................................................................................................. 126
5.2. Aplicación da regra de Cramer a sistemas de calquera tipo ........................................................... 127
6. Sistemas homoxéneos........................................................................................................................... 131
7. Discusión de sistemas de ecuacións ..................................................................................................... 132
7.1. Discusión usando o método de Gauss............................................................................................ 132
7.2. Discusión mediante determinantes ................................................................................................. 137
8. Forma matricial dun sistema de ecuacións............................................................................................ 143
Prácticas xerais............................................................................................................................................ 155
1. Exemplos de repaso para preparar o exame......................................................................................... 155
Problemas de exames ................................................................................................................................. 172
1. De Selectividade — Matemáticas II ....................................................................................................... 172
Cuestións, exercicios e problemas............................................................................................................ 189

5. 5
Matrices Prácticas
MATRICES
1. Consideremos as notas obtidas por 35 Asignaturas
alumnos en 7 asignaturas. Estes resultados po- 1 2 3 4 5 6 7
den rexistrarse nunha táboa de 35 filas e 7 co- 1
lumnas, como se ve á dereita.
Nesta táboa cada fila corresponde a un alumno, 2 a25
Alumnos
e nela rexístranse as notas das súas sete asigna-
turas; cada columna determina unha asignatura 3
e, polo tanto, contén as notas dos 35 alumnos …
nesa asignatura.
A posición de cada cela da táboa está determina- 35
da por un par de números, un que indica a fila e
outro que indica a columna. Táboa A  i, j 
O conxunto de todas as celas ou posicións da táboa denótase por A  i, j  , onde os elementos i e
j son dous índices, dos cales i recorre os números correspondentes ás filas (dende o 1 ao 35) e j
recorre os correspondentes ás columnas (dende o 1 ao 7).
A táboa numérica A  i, j  tamén acostuma a indicarse por  aij  , onde aij é un elemento xenérico,
situado na fila i e a columna j . Na imaxe superior vese o elemento a25 , que se corresponde coa
segunda fila (alumno nº 2) e coa 5 columna (asignatura nº 5).
1. CONCEPTO DE MATRIZ
 Chámase matriz de dimensións m e n —usualmente m  n — sobre   ou sobre   a un
rectángulo de m filas e n columnas formado por elementos de   ou   :
 a11 a12  a1n 
 
 a21 a22  a2 n 
A   a31 a32  a3n 
 
   
 
 am1 am 2  amn 
• O símbolo  aij  designa a matriz completa. Tamén se representa por Aij .
• Cando queremos remarcar a dimensión escribimos  aij  , Am, n ou A m , n  , separando
m,n
con coma os subíndices que indican a dimensión.
• Teoricamente os elementos levan dous subíndices, onde o primeiro indica a fila onde
se atopa o elemento e o segundo indica a columna: aij , elemento situado na fila i e na
columna j. Ás veces tamén se representa por a ij , sendo a ij  aij .
 1 5 3 7 
2. Un exemplo de matriz é  2 1 1 11 ; algúns elementos son a11  1 , a12  5 , a22  1 ,
 
 4 3 4 3 
 
a23  1 , a31  4 , a34  3 .
5
1 7 2 4     3 1 4 
   2  3  
3. Tamén son matrices  3 0.5 0 1  1 4 0 3    5 10 6  .
   7   4   4 1 5 
 1 2 4 5     
0

6. 6
1. Concepto de matriz
Prácticas
 Dúas matrices son iguais cando teñen a mesma dimensión e, ademais, coinciden termo a
termo:
A   aij  

 A  B  aij  bij
m, n
B   bij  
m. n 
 3 b c d 7 4
4. As matrices A    e B  son iguais si d  3 , b  7 , c  4 , a  2 ,
 a 1 8 2 e g
e  1 e g  8 . Noutro caso son distintas.
 Dúas matrices son opostas cando teñen a mesma dimensión e, ademais, os termos son
opostos. Dada unha matriz Am, n , a súa oposta indícase por  Am , n .
Am , n   aij    Am, n   aij 
m,n m .n
 1 2 5 0 1 
 
5. Obtén a matriz oposta da matriz A   4 2 2 1 5  .
 3 3 5 5 1 
 
Solución:
 1 2 5 0 1    1  2 5 0 1 
   
A   4 2 2 1 5    A   4 2 2 1 5  .
 3 3 5 5 1   3 3 5 5 1 
   
1.1. Algúns tipos de matrices, atendendo á forma
Describimos algúns tipos de matrices que aparecen con frecuencia, debido á súa utilidade. Máis
adiante veremos outros tipos.
1.1.1. Matriz fila e matriz columna
 Matriz fila é que ten unha única fila: A1,n
A   a11 a12  a1n 
6. Escribe un exemplo de matriz fila.
Solución:
 2 
1 4 0 3 .
 7 
 Matriz columna é a que só ten unha columna: Am ,1
 a11 
 
a
A   21 

 
 an1 
7. Escribe un exemplo de matriz columna.
Solución:
5
 
 3 .
 4 
 
0

7. 7
Matrices Prácticas
1.1.2. Matriz cadrada. Elementos
 Matriz cadrada e que ten o mesmo número de filas que de columna: An , n . No caso contra-
rio chámase matriz rectangular.
 a11 a12  a1n 
 
 a21 a22  a2 n 
A   a31 a32  a3n 
 
   
a  ann 
 n1 an 2 
• O conxunto de tódolos elementos da forma aii dunha matriz cadrada chámase diago-
nal principal.
 a11 a12  a1n 
 
 a21 a22  a2 n 
 
A a31 a32  a3 n 
 
     
 an1 an 2  ann 
 
• O conxunto formado por tódolos elementos aij con i  j  n  1 dunha matriz cadra-
da chámase diagonal secundaria.
 a11  a1n 1 a1n 
 
 a21  a2 n 1 a2 n 
 
A a31   a3 n 
 
     

 an1  ann 1 ann 
 
• Chámase traza dunha matriz á suma dos elementos da diagonal principal:
n
Tr  A   a11  a22    ann   aii
i 1
8. Escribe un exemplo de matriz cadrada, e remarca nela a diagonal principal e a diagonal se-
cundaria.
Solución:
 3 1 4
 
Matriz cadrada:  5 10 6 ;
 4 1 5
 
3 1 4 3 1 4
   
Diagonal principal:  5 10 6  ; diagonal secundaria: 5 10 6 .
   
4 1 5 4 1 5
   
1.1.3. Matriz transposta
 Chámaselle transposta dunha matriz A   aij  a outra matriz At   a ji  que se obtén
m, n n,m
ao cambiar en A as filas polas columnas e as columnas polas filas.

8. 8
1. Concepto de matriz
Prácticas
 7 1 4 2
 
9. Dada a matriz A   0 5 1 3  , obtén a súa matriz transposta.
 6 2 0 5
 
Solución:
7 0 6
 7 1 4 2  
  1 5 2
A   0 5 1 3   At   .
 4 1 0
 6 2 0 5  
 
2 3 5
10.Escribe as matrices transpostas de:
7 4 1  1 7 4
 3 1  1 3 5 1    
   2 5 7 2 1 0 E   7 1 0 
 
A   2 5 B  C  0 2 4 1  D    4 0 3
 4 1 0 6 1 0 3  0 1 7  
 7 6    
 
 6 3 2 F   5 4 6 1
Solución:
 3 1
  3 2 7
A   2 5   At   ;
 7 6 1 5 6
 
 2 4
 2 5 7  
B   B   5 1 ;
t
 4 1 0  7 0
 
1 0 6
 1 3 5 1  
  3 2 1
C  0 2 4 1   C 
t
;
6 1 0 3 
5 4 0
   
 1 1 3 
7 4 1
   7 2 0 6
2 1 0  
D  D   4 1 1 3 ;
t
0 1 7
   1 0 7 2
 
6 3 2
 1 7 4  1 7 4
   
E   7 1 0   E   7 1 0  ;
t
 4 0 3  4 0 3
   
 5
 
4
F   5 4 6 1  F t    ;
 6
 
 1
1.1.4. Matriz simétrica e antisimétrica
 • Unha matriz cadrada A chámase simétrica, se At  A , ou o que é o mesmo:
aij  a ji . Para que unha matriz sexa simétrica, necesariamente ten que ser cadrada.
• Unha matriz cadrada A dise que é antisimétrica se At   A , ou o que é o mesmo:
aij   a ji . As matrices antisimétricas tamén reciben o nome de hemisimétricas.
Para que unha matriz sexa antisimétrica os elementos da diagonal principal deben ser,
forzosamente, todos ceros.

9. 9
Matrices Prácticas
 1 6 5 
 
11.Comproba se a matriz B   6 0 4  é simétrica.
 5 4 6 
 
Solución:
 1 6 5 
 
B   6 0 4  é simétrica porque B t  B .
 5 4 6 
 
12.Pon un exemplo dunha matriz antisimétrica.
Solución:
 0 3 6 
 
 3 0 4  .
 6 4 0 
 
1.2. Algúns tipos de matrices, atendendo aos elementos
1.2.1. Matriz nula
 Chámase matriz nula a aquela na que tódolos elementos son 0.
• A matriz nula represéntase por 0 e chámase tamén matriz cero.
 0 0 0
 0 0 0 0
13.A matriz 0   0 0 0 é unha matriz nula de orde 3. A matriz 0   é unha
   0 0 0 0

 0 0 0
matriz nula de dimensión 2  4 .
14.Escribe unha matriz nula de orde 23 .
Solución:
 0 0 0
A .
 0 0 0
1.2.2. Matriz diagonal
 Matriz diagonal é unha matriz cadrada na que tódolos elementos non pertencentes á diago-
nal principal son nulos.
• Matriz escalar é unha matriz diagonal con tódolos elementos da diagonal principal
iguais.
 2 0 0
 4 0
15.As matrices A e B   0 1 0 son matrices diagonais.
 0 5
  
 0 0 5
 3 0 0
 2 0
16.As matrices A    e B   0 3 0 son matrices escalares.
 
 0 2
 0 0 3

10. 10
2. Uso de calculadoras e software matemático
Prácticas
1.2.3. Matriz unidade ou matriz identidade
 Matriz unidade ou matriz identidade é unha matriz escalar cos elementos da diagonal prin-
cipal iguais a 1.
1 0 0  0
 
0 1 0  0
In   0 0 1  0 
 
    
0 0 0  1
 
 1 0 0
 1 0
17.As matrices I 2    e I3   0 1 0 son matrices unidade de orde 2 e 3, respectiva-
 
 0 1
 0 0 1
mente.
1.2.4. Matriz triangular
 Matriz triangular é unha matriz cadrada na que tódolos termos por enriba ou por debaixo
da diagonal principal son nulos.
• Se os elementos situados por debaixo da diagonal principal son cero, entón dise que é
triangular superior.
• Cando son nulos os elementos situados por riba da diagonal principal, entón dise que
é triangular inferior.
• Matriz estritamente triangular é a matriz triangular que ten nulos tamén os elementos
da diagonal principal. Pode ser estritamente triangular superior ou estritamente tri-
angular inferior.
18.As matrices adxuntas son 1 2 3 4 1 0 0 0  0 1 2
triangulares. 0 3 4 5 2 2 0 0  
     0 0 3
0 0 1 3 3 4 5 0  0 0 0
 
0
 0 0 5
 3
 1 2 6
 Estritamente triangu-
Triangular superior Triangular inferior lar superior
1.2.5. Matriz de permutación
 Unha matriz cadrada dise que é unha matriz de permutación cando ten en cada fila e en ca-
da columna un único elemento igual á unidade, sendo os restantes elementos nulos.
19.Escribe unha matriz de permutación de orde 3.
Solución:
1 0 0
 
0 0 1 .
 0 1 0
 
2. USO DE CALCULADORAS E SOFTWARE MATEMÁTICO
Imos utilizar en diversos puntos deste tema as calculadoras da marca Texas Instruments, modelos
TI Voyage 200, TI89, TI-89 Titanium e TI-nspire CAS. O uso das máquinas que aquí se describe
non pretende ser un manual de usuario das mesmas, senón que ten como finalidade facer familiar o
seu uso no bacharelato, usalas como elemento de investigación, para corrixir fallos, …
As calculadoras TI Voyage 200, TI-89 e TI-89 Titanium usan os mesmos datos, e poden intercam-
biar datos e cálculos entre elas co software de matemáticas para ordenador chamado Derive (ver-
sión 6); Derive funciona con calquera versión de Windows e necesita moi poucos recursos.

11. 11
Matrices Prácticas
TI-nspire CAS preséntase en formato de calculadora e tamén como un programa de matemáticas
para ordenador, polo que se pode intercambiar datos, cálculos e programas entre a versión calcula-
dora e software para Windows. TI-nspire CAS é unha actualización do Derive; necesita máis re-
cursos informáticos.
Para escribir unha matriz existen plantillas nas calculadoras que o facilitan. Resulta moi cómodo
escribir as matrices como se ve nas copias de pantalla adxuntas, para o exemplo 9.
Usando TI-89, TI-89 Titanium, Voyage 200 Usando TI-nspire CAS
Escríbense entre corchetes   , separando os
elementos de cada fila con  ,  e as filas sepá-
ranse con  ;  .
As copias de pantalla das calculadoras Voyage 200, TI-89 Titanium son iguais, salvo que a da Vo-
yage 200 é máis grande. Normalmente usaranse a da Voyage 200 e a da TI-nspire CAS. Como po-
la copia de pantalla se identifica claramente que calculadora de que calculadora estamos falando,
no que segue non indicaremos a cal delas nos referimos, agás que sexa especificamente necesario.
 Un erro que se comete con bastante frecuencia ao usar calculadoras consiste en premer o sig-
no da resta    cando se debe usar o signo  -  de negativo.
Estas calculadoras permiten o cálculo directo da
trasposta. Hai que buscar no menú de cálculo a
opción de traspoñer  T  ; non é elevado a T .
A función randMat  m, n  permite xerar aleato-
riamente unha matriz de dimensións m  n , con
valores entre 9 e 9.

12. 12
3. Submatrices
Prácticas
A función identity  n  xera a matriz identidade
de orden n , e a función diag  a, b, , c  xera a
matriz diagonal con diagonal  a, b, , c  .
A función augment  A ,  B   engade ás columnas de A as de B e augment  A ; B   engade ás
filas de A as de B (se as dimensións o permiten); con TI-nspire CAS hai dúas funcións para facer
este cometido.
É conveniente fixarse no uso de  ,  para separar
os elementos dunha fila e de  ;  para separar fi-
las. Se non se usa adecuadamente produce erro.
Outras funcións de TI-nspire CAS son constructMat  exp r , v1 , v2 , n º F , nº C  e trace  M n , n  que de-
volve a traza dunha matriz cadrada.
3. SUBMATRICES
 a11 a12  a1n 
 
 a21 a22  a2 n 
Sexa unha matriz Am , n   a31 a32  a3n  .
 
   
a  amn 
 m1 am 2 

13. 13
Matrices Prácticas
 Sexan i1 , i2 , …, i p índices de filas (non necesariamente consecutivos) e j1 , j2 , …, jq
índices de columnas (non necesariamente consecutivos).
• A matriz B p , q obtida tomando esas p filas e esas q columnas de A é unha subma-
triz de Am, n .
• Caixa ou bloque de Am, n é toda submatriz de A , B p , q , obtida tomando p filas con-
secutivas e q columnas consecutivas da matriz Am, n .
As calculadoras TI que usamos teñen a función subMat   , que permite extraer unha caixa ou blo-
que dunha matriz. O formato é: subMat  m , filinicio ,colinicio ,fil remate ,colremate  onde as expre-
sións entre corchetes son opcionais.
20.Dada a matriz da dereita: 1 2 3 0 1
 
20.1. Obtén a submatriz de índices i1 , i3 e i5 e j2 e j4 4 5 0 1 2
A5,5  3 2 4 5 1
20.2. Obtén a caixa ou bloque de índices i3 , i4 , i5 e j3 , j4 , j5  
2 3 5 9 8
Solución: 7 2
 5 6 1 
i1   1 2 3 0 1  1 2 3 0 1
   
 4 5 0 1 2  2 0 4 5 0 1 2  4 5 1
   
20.1. i3   3 2 4 5 1    2 5  . 20.2. i3   3 2 4 5 1    5 9 8  .
   5 1    6 1 2
2 3 5 9 8   i4   2 3 5 9 8   
7 5 6 1 2
i5   7 5 6 1 2
i5  

 

    
j2 j4 j3 j4 j5
Así obtemos a submatriz (caixa) do exemplo
20.2. Os índices 3,3,5,5 refírense a fila de ini-
cio, a columna de inicio, a fila final e columna
final, respectivamente.
Tamén se pode extraer unha fila dunha matriz,
ou referirse a ela ou a un elemento, como se ve
nas copias de pantalla adxuntas.

14. 14
4. Operacións con matrices
Prácticas
4. OPERACIÓNS CON MATRICES
4.1. Suma e resta de matrices
 • Para que dúas matrices se poidan sumar ou restar, cómpre que teñan a mesma dimen-
sión.
• Para sumar faise termo a termo:
Am ,n  Bm, n  C m, n
  
a 
ij  b 
ij  a ij  bij   cij 
• Para restar faise termo a termo:
a 
ij m , n  
 bij
m,n

 aij  bij  m,n
 1 5 1 4  2 0 1 4
21.Suma as matrices  2 1 16 0 e  2 3 5 6
   
 3 4 5 5  1 1 1 0
Solución:
 1 5 1 4   2 0 1 4   1  2 50 1   1 4  4   3 5 2 8 
       
 2 1 16 0    2 3 5 6    2  2 1   3 16  5 0  6    4 2 21 6  .
 3 4 5 5   1 1 1 0   3  1 4 1 5   1 5  0   4 5 6 5 
       
Coas calculadoras TI que usamos poden facerse
estas operacións con matrices, como se ve nas
copias de pantalla adxuntas.
22.As matrices 
2 1 4  4 7 3
7
  e  non poden sumarse por non ser da mesma dimen-
 3 2 5 6   1 5 2 
sión.
4.1.1. Propiedades da suma de matrices
Sexan Am, n , Bm , n e Cm, n tres matrices de orde m  n , e sexa 0m, n a matriz nula de orde m  n . Ve-
rifícase:
• A  B é unha matriz de orde
mn Lei de composición interna 
•  A  B  C  A  B  C  Propiedade asociativa 

 M m, n ,  

 Elemento neutro: matriz nula 0 m.n  0  é un grupo
• A0  0 A  A
Elemento simétrico: matriz oposta  A abeliano
• A    A  0 
Propiedade conmutativa 

• A B  B  A

15. 15
Matrices Prácticas
4.2. Produto dun número por unha matriz—produto externo
 Para multiplicar un número por unha matriz, multiplícase polo número cada termo da ma-
triz:
Sexa p   .
Am , n , p  Am , n  Cmn
  
a 
ij p  aij    p  a   c 
ij ij
• Ao multiplicar un número por unha matriz obtense unha matriz.
 1 5 1 4
23.Multiplica por  2 a matriz  2 1 16 0 .
 
 3 4 5 5 
Solución:
 1 5 1 4    2  1  2   5  2    1  2   4   2 10 2 8 
  
 2    2
 1 16 0     2   2  2  1  2  16  2   0   
  4 2 32 0  .
 3 4 5 5    2   3  2   4  2    5   2   5   6 8 10 10 
     
Coas calculadoras TI que usamos tamén se pode
multiplicar unha matriz por un número, como se
ve na copia de pantalla adxuntas.
 2 1 3 5   0 0 0 3
24.Obtén 3 A  2 B utilizando as matrices A   0 1 2 1 e B   2 2 5 1  .
 
 
 3 0 2 1   3 2 1 1 
   
Solución:
 6 3 9 15   0 0 0 6   6 3 9 21 
     
3 A  2 B   0 3 6 3    4 4 10 2    4 1 16 1 .
 9 0 6 3   6 4 2 2  15 4 8 5 
     
Coas calculadoras TI que usamos tamén se po-
den facer operacións combinadas, como se ve
nas copias de pantalla adxuntas.

16. 16
4. Operacións con matrices
Prácticas
 1 0 2   1 0 1   7 1 1 
25.Dadas as matrices A , B , C   e
 4 1 3   4 1 3   8 10 0 
 3 1 5 
D  , calcula E  2 A  3B  C  2 D .
 6 2 4
Solución:
 2 0 4   3 0 3   7 1 1  6 2 10   18 1 18 
E        .
 8 2 6   12 3 9   8 10 0   12 4 8  16 15 23 
Usamos TI-nspire CAS en versión PC para facer este exercicio, para ver nunha única pantalla ou-
tra maneira de facer estas operacións.
Poden facerse igualmente coas calculadoras TI, salvo que, como non caben todas as expresións
nunha pantalla haberá que desprazarse por ela. Usamos as dúas maneiras básicas de almacenar
unha variable para almacenar as anteriores matrices.
4.2.1. Propiedades do produto externo
Sexan Am, n , Bm , n e Cm, n tres matrices de orde m  n , e p, q   . Verifícase:
• p  A  B  p  A  p  B Distributiva respecto da suma de matrices.
•  p  q A  p  A  q  A 
Distributiva respecto da suma de escalares  .
Asociativa respecto do producto de escalares  .
•  p  q  A  p  q  A
Existencia de elemento neutro: a unidade 1  .
• 1 A  A
4.2.2. Espazo vectorial Mm,n,+,
Polo tanto, o conxunto das matrices M m , n coa suma antes definida e co produto externo antes de-
 
M m , n  M m, n  M m, n 

finido ten estrutura de espazo vectorial:  espazo vectorial .

  M m, n  M m, n 
 

17. 17
Matrices Prácticas
4.3. Produto dunha matriz fila por unha matriz columna
 O produto dun vector fila por un vector columna, ambos da mesma dimensión, é un núme-
ro que se obtén multiplicándoos termo a termo e sumando os resultados:
 b1 
 
 b2 
 a1 a2 a3  an    b3    a1b1  a2 b2  a3b3    an bn 
 
 
b 
 n
 Esta definición é válida para o produto dun vector fila por un vector columna, pero
non ao contrario.
26.Efectúa o produto
F C :
 1
 
3
F  5 1 4 2 , C    .
2
 
0
Solución:
F  C   5   1  1  3  4  2  2  0    5  3  8  0    6  .
En TI-89 Titanium e Voyage 200 só hai unha
maneira básica de almacenar nunha variable
unha matriz; en TI-nspire CAS hai dúas.
27.O número de estudantes en certa academia é: 100 en 1º, 90 en 2º e 80 en 3º. Ao rematar o cur-
so pasan a 3º: o 20% dos que había en 3º (repiten), o 70% dos de 2º, e o 5% dos de 1º que tiveron
un aproveitamento extraordinario. Cantos alumnos haberá en 3º?
Solución:
Observa que o número de alumnos que haberá en 3º o curso próximo se pode obter como produto
dun vector fila por un vector columna:
100 
   0.05 100  0.70  90 0.20  80  84
(0.05 0.70 0.20)   90 
 80    
 
   5% de 100 70% de 90 20% de 80
50% 70% 20%
Haberá 84 alumnos en 3º.
É conveniente decatarse de que este exercicio podería resolverse sen necesidade de usar matrices,
pero, evidentemente, suporía maior trabal1o e complicación.

18. 18
4. Operacións con matrices
Prácticas
4.4. Multiplicación de matrices
 • Para que dúas matrices A e B se poidan multiplicar, A  B , é necesario que o núme-
ro de columnas da primeira coincida co número de filas da segunda.
• O produto A  B  C é outra matriz os elementos da cal se obteñen multiplicando ca-
da vector fila da prime ira por cada vector columna da segunda, do seguinte xeito:
A   aij  

 A  B  C   cij m, p
m, n
B   bij  
n, p 
sendo cij o produto da fila i de A pola columna j de B:
 b1 j 
 
b2 j n
cij   ai1 ai 2  ain      a1i b1 j  ai 2b2 j    ain bnj   aik bkj
 k 1
 
b 
 nj 
• A matriz C resultante ten tantas filas como A (m), e tantas columnas como B (p):
Cm , p .
1 6 
 2 3 4 
28.Multiplica as matrices  7 2.
 7 2 4 
 
 0 5
Solución:
1 6 
2 3 4    2 1  3  7  4  0 2  6  3  2  4   5    23 2 
  7 2     .
7 2 4    7 1  2  7  4  0 7  6  2  2  4   5    21 26 
 0 5 
 2  2
 2  3 3  2 
 1 2 3   2 3 
29.Multiplica A  B sendo A   4 1 2  e B   1 1  .
 
 
 1 2 5  2 5 
   
Solución:
 1 2 3   2 3   1  2  2 1  3  2 1  3  2 1  3  5   6 20 
       
A  B   4 1 2    1 1    4  2  1 1  2  2 4  3  1 1  2  5    13 1 .
 1 2 5   2 5   1  2  2 1  5  2 1  3  2 1  5  5  10 30 
       
Coas calculadoras TI que usamos tamén se po-
den facer multiplicacións de matrices, como se
ve nas copias de pantalla adxuntas.

19. 19
Matrices Prácticas
 2 1 0 1 1 1 0
   
30.Multiplica A  B sendo A   3 2 0  e B   2 1 1 0  .
 1 0 1  2 3 1 2
   
Solución:
 2 1 0  1 1 1 0
   
A B   3 2 0  2 1 1 0 
 1 0 1  2 3 1 2
   
 2  1  1  2  0  2 2  1  1  1  0  3 2 1  1  1  0  1 2  0  1  0  0  2   4 3 3 0 
   
  3  1  2  2  0  2 3  1  2  1  0  3 3  1  2 1  0 1 3  0  2  0  0  2    7 5 5 0  .
 1  1  0  2  1  2 1  1  0  1  1  3 1  1  0  1  1 1 1  0  0  0  1  2   3 4 2 2 
   
É necesario indicar a multiplicación desas ma-
trices premendo o símbolo  de multiplicación.
Se non se preme prodúcese un fallo.
31.Consideremos os datos seguintes:
A : Consumos anuais de tres familias  ,  ,  de pan, carne e aceite.
B : Prezos do pan, carne e aceite nos anos 01, 02, 03 e 04.
Pan Carn Acei 01 02 03 04
  310 330 160  Pan  1.50 1.60 1.70 1.80 
   
  545 500 260  Carn  12.50 13.00 13.50 14.00 
  150 120 145  Acei  4.50 4.60 4.70 5.00 
   
A3,3 B3,4
Obtén o gasto anual de cada familia.
Solución:
A matriz A  B danos o gasto anual de cada familia no total dos catro produtos,
01 02 03 04
  5310.00 5522.00 5734.00 5978.00 
 
A  B    8237.50 8568.00 8898.50 9281.00 
  2377.50 2467.00 2556.50 2675.00 
 
32.Efectúa todos os posibles produtos entre as seguintes matrices:
7 0
   2 7 1 5  1 1 1 
 1 2 3
A  1 1    
, C   6 3 0 0 , D   0 5 2  .
 , B
 2 5 1  0 1  2 5 1 0   2 3 3 
     
3 4
Solución:
A2,3 , B4,2 , C3,4 , D3,3  Existen os seguintes posibles produtos: A2,3  C3,4 , A2,3  D3,3 , B4,2  A2,3 ,
C3,4  B4,2 , D3,3  C3,4 , D3,3  D3,3 .

20. 20
4. Operacións con matrices
Prácticas
 7 14 21 
 
8 2 4 5   7 18 4   3 3 2  ,
A2,3  C3,4    , A2,3  D3,3    , B4,2  A2,3  
 24 4 1 10   0 30 5  2 5 1 
 
 5 26 13 
 22 28   6 1 2 5   3  3 4 
     
C3,4  B4,2   39 3  , D3,3  C3,4   26 5 2 0  , D3,3  D3,3  D3,3   4 31 4  .
2
 9 4   28 38 1 10   4 4 17 
     
 1
 3
33.Dadas as matrices A    e B   5 1 4 2 obtén, se é posible, A  B .
 2
 0
 
Solución:
 1
 3
A    B   5 1 4 2   A  B é unha matriz 4  4 ; entón:
 2
 0
 
 1  5 1 4 2
 3  15 3 12 6 
A  B     5 1 4 2   .
 2  10 2 8 4
 0
   0 0 0 0
 
34.Nunha academia déronse os seguintes resultados:
— 1º curso: 25% repiten, 60% pasan a 2º, 5% pasan a 3º (o resto abandona).
— 2º curso: 30% repiten, 70% pasan a 3º.
— 3º curso: 20% repiten.
Utiliza o produto de matrices para obter o número de alumnos que haberá o próximo ano en cada
nivel (agás os novos).
Solución:
Están
en
1º 2º 3º
Pasan
a
1º 0.25 0 0
2º 0.60 0.30 0
3º 0.05 0.70 0.20
Calculamos os alumnos que haberá o próximo curso en cada nivel:
 0.25 0 0   100   25  0  0   25 
        
 0.60 0.30 0   90   60  27  0    87 
 0.05 0.70 0.20   80   5  63  16   84 
       
 

Nº de Nº de alumnos por
Matriz
alumnos nivel o curso próximo
de cambio
por nivel (Sen novas incorporacións)

21. 21
Matrices Prácticas
4.4.1. Propiedades do produto de matrices
• O produto de matrices é unha operación interna no conxunto das matrices de orde n con coe-
ficientes reais.
• O produto de matrices non é unha operación interna no conxunto das matrices de orde m  n
con coeficientes reais.
Sexan A , B e C tres matrices coas dimensións adecuadas para permitir as operacións que se in-
dican. Verifícase:
• A   B  C    A  B   C (propiedade asociativa).
• O produto de matrices é distributivo respecto da suma de matrices, é dicir:
A   B  C   A  B  AC .
• En xeral, o produto de matrices non é conmutativo: A  B  B  A .
• Se An é unha matriz cadrada de orde n, entón A  I n  I n  A  A , sendo I n a matriz identida-
de de orde n.
35.Comproba a propiedade asociativa para:
1
 1 3  
   1 5 0 3  6
A   2 1 , B    , C  .
 1 0 4 6  2
 0 4  
 
7
Solución:
1 1
1 3     2 5 12 21     203 
  1 5 0 3    6     6  
 A B C   2 1  
  1 0 4 6     2    1 10 4 12    2    151  .
0 4      
    7   4 0 16 24   7   204 
   
 1
1 3    1 3  203 
  1 5 0 3   6      50   
AB C    2 1    2 1      151  , que coinciden.
 1 0 4 6  2 
  51  
 0 4
     0 4
  

 204 
 7
36.Comproba con algúns exemplos que o produto de matrices non é conmutativo.
Solución:
• Se A é de orde 3  2 e B é de orde 2  4 , pode efectuarse A  B , pero non B  A .
 1 3
   4 5 2 
• Se A   2 1  e B    , poden efectuarse A  B e B  A , pero A  B é de dimen-
 0 4 0 3 4 
 
sión 3  3 e B  A é de dimensión 2  2 .
 2 1 1 7  5 14   30 36 
• Se A    e B  , A B   , B A     A B  B  A .
 4 5  3 0  19 28  6 3

22. 22
4. Operacións con matrices
Prácticas
37.Comproba as propiedades distributivas para as seguintes matrices:
1
 1 4  
   1 5 6 7   4 1 6 0 2
A   0 5 , B    , C   , D .
 3 0 9 2   0 1 5 5   5 
1 6  
 
 3
Solución:
 1 4 1 4
   1 5 6 7   4 1 6 0
1. A B  AC   0 5  3   0 5
0 9 2  
 
1 5 5 
1 6   0
  1 6
 11 5 42 1   4 3 26 20   15 2 68 19 
     
  15 0 45 10    0 5 25 25    15 5 70 15  .
17 5 60 5   4 5 36 30   21 0 96 25 
     
1 4  1 4
    1 5 6 7   4 1 6 0      3 6 12 7 
AB  C   0 5      0 5  
1    3 0 9 2   0 1 5 5    1 6   3 1 14 3 
 6  
 15 2 68 19 
 
  15 5 70 15   A   B  C   A  B  A  C .
 21 0 96 25 
 
1 1
   
 1 5 6 7   2   4 1 6 0   2   0   24   24 
2. BD CD              .
 3 0 9 2   5   0 1 5 5   5   48   12   60 
   
3  3
1 1
   
  1 5 6 7   4 1 6 0    2   3 6 12 7   2 
B  C D        
  3 0 9 2   0 1 5 5    5   3 1 14 3   5 
   
 3  3
 24 
    B  C D  B  D  C  D .
 60 
 2
38.Dadas as matrices A    e B   2 3 :
 3
38.1. Son iguais as matrices A e B ?
38.2. Calcula, se é posible, as matrices AB , BA , A  B , At  B .
Solución:
38.1. Non, xa que A ten dimensións 2 1 e B ten dimensión 1 2 . Para que dúas matrices sexan
iguais, deben ter as mesmas dimensións e coincidir termo a termo.
 2  4 6
38.2. AB      2 3    ;
 3 6 9
 2
B  A   2 3      13  .
 3
A  B non se pode facer, xa que non teñen a mesma dimensión.
At  B   2 3   2 3    0 0  .

23. 23
Matrices Prácticas
 1 1 0 
39.Efectúa o produto  3 2    .
 5 2  1 
Solución:
 1 1 0    1 1   0   0
 3 2      3 2        7 7      7  .
 5 2  1    5 2   1   1
3 1
40.Calcula 3 AAt  2 I , sendo A .
5 2
Solución:
 3 1  3 5   1 0   10 17   1 0   30 51   2 0 
3 AAt  2 I  3     2   3   2      
 5 2  1 2   0 1  17 29   0 1   51 87   0 2 
 28 51 
  .
 51 85 
 3 1 5  4 0 6
41.Calcula a matriz B que verifica a igualdade   B   .
1 0 3 0 2 2 
Solución:
 3 1 5  4 0 6  4 0 6   3 1 5   1 1 1 
  B     B     .
1 0 3 0 2 2   0 2 2   1 0 3   1 2 1 
 1 4   5 4 
42.Calcula a matriz B que verifica a igualdade 2    3B   .
  3 2   0 1
Solución:
 1 4   5 4  1    1 4   5 4   1    2 8   5 4  
2   3B     B   2       
  3 2   0 1 3   3 2   0 1  3   6 4   0 1 
1  3 4   1 43 
     .
3  6 3   2 1 
 
4.4.1. Matriz inversa
 Dada unha matriz cadrada An de orden n , non sempre existe outra matriz Bn tal que
A  B  B  A  In .
• Se existe a tal matriz B , entón dise que é a inversa de A e denótase por A1 .
• Dúas matrices cadradas de orde n son inversas se o seu produto é a matriz unidade
de orde n .
• Unha matriz cadrada que posúe inversa dise que é invertible ou regular; no caso con-
trario recibe o nome de singular.
 1  1 1  15 8 3 
43.Comproba se as matrices A   1 0 3  e A   9 5 2  son inversas.
  1
 
 2 5 3   5 3 1
   
Solución:
1 0 0
1 1  
As matrices son inversas xa que A  A  A  A   0 1 0  .
0 0 1
 

24. 24
4. Operacións con matrices
Prácticas
44.Comproba que a matriz inversa de A é A1 :
 1 2 1  3 6 1
  1  
A   0 1 0 , A   0 1 0  .
 2 0 3  2 4 1 
   
Solución:
 1 2 1   3 6 1  3 6 1 1 2 1   1 0 0 
        
A  A1   0 1 0    0 1 0    0 1 0  0 1 0    0 1 0   I .
 2 0 3   2 4 1   2 4 1  2 0 3   0 0 1 
        
As calculadoras TI que usamos permiten obter
directamente a matriz inversa (cando existe). Só
hai que elevar a matriz a 1 :  ^-1 .
4.4.2. Para non despistarse
Supoñendo que teñen as dimensións adecuadas para facer as operacións, entón:
• A  B  0 non implica necesariamente que A  0 ou B  0 .
• A  B  A  C non implica necesariamente que B  C .
 A  B non é necesariamente igual a A2  2 AB  B 2 .
2
•
 A  B non é necesariamente igual a A2  2 AB  B 2 .
2
•
•  A  B  A  B  non é necesariamente igual a A2  B 2 .
4.5. Outros tipos de matrices
 • A matriz conxugada dunha matriz dada Am, n represéntase por Am, n , é aquela que ten
por elementos os conxugados dos elementos da matriz Am, n ; é dicir se aij  a  bi é
un elemento de Am, n , entón aij  a  bi é o correspondente elemento de Am, n .
Se un elemento é real, o seu conxugado é el mesmo.

• Chámase matriz asociada dunha matriz dada Am, n , e represéntase por Am, n , a matriz

conxugada da transposta: Am , n  At .
• Unha matriz A é nilpotente de orde p se verifica que A p  0 , sendo p o menor va-
lor que o verifica.
• Unha matriz A é unipotente se I  A é nilpotente.
• Unha matriz A é periódica de período k se Ak  A .
• Unha matriz A é involutiva se A2  I .

25. 25
Matrices Prácticas
4.6. Resumo das propiedades das operacións para matrices cadradas
No conxunto, M n , n das matrices cadradas dunha certa orde, n , hai dúas operacións internas (a
suma e o produto de dúas matrices cadradas de orde n é outra matriz cadrada da mesma orde) e
unha operación externa (o produto dun número real por unha matriz cadrada é unha matriz cadra-
da da mesma orde).
Estas operacións teñen as seguintes propiedades:
4.6.1. Propiedades das operacións internas
Sexan A , B , C , I matrices cadradas da mesma orde.
SUMA PRODUTO
OPERACIÓN INTERNA Asociativa  A  B  C  A  B  C   A B C  AB C 
Son operacións inter-
nas porque se operan Conmutativa A B  B  A Non
entre si elementos do
conxunto M n,n (ma- Elemento neutro 0; A  0  0  A  A I; A I  I  A  A
trices) e o resultado ta-
mén é un elemento de algunhas matrices teñen in-
Elemento simétrico oposto de A é  A
M n,n . versa, A1
Distributivas AB  C   A B  AC ,  B  C  A  B  A  C  A
Grazas a estas propiedades poderemos resolver ecuacións do tipo A  X  B  C , sendo A, B e C
matrices de orde n  n coñecidas e X a matriz incógnita. A matriz A debe ter inversa:
A  X  B  C  AX  C  B  A1   AX   A1  C  B   X  A1  C  B 
4.6.2. Propiedades da operación externa
Sexan A , B matrices e a , b números reais.
Asociativa  a  b   A  a  b  A
a  b  A  a  A  b  A
Distributivas
a  A  B  a  A  a  B
Unidade 1 A  A
 3 4  x y   26 21 
45.Calcula x , y , z , t para que se cumpra:    .
 7 11 z t   69 59 
Solución:
Efectuamos o produto do primeiro membro:
 3 4  x y   3 x  4 z 3 y  4t   26 21 
    .
 7 11 z t   7 x  11z 7 y  11t   69 59 
Esta igualdade dá lugar a un sistema de catro ecuacións con catro incógnitas. Ou, mellor, a dous
sistemas de ecuacións con dúas incógnitas:
 3 x  4 z  26  x  2  3 y  4 t  21  y  1
   ,    .
7 x  11z  69  z  5 7 y  11t  59 t6
Solución: x  2 , y  1 , z  5 e t  6 .

26. 26
4. Operacións con matrices
Prácticas
As calculadoras TI que usamos tamén poden
axudar neste tipo de exercicios, como se ve nas
copias de pantalla adxuntas.
 X  3Y  A  20 5 
46.Resolve o seguinte sistema de ecuacións:  , sendo A   ,
 2 X  3Y  B  2 15 
 23 17 
B  e as incógnitas X e Y matrices de orde 2  2 .
 4 15 
Solución:
Resulta favorable aplicar o método de redución. Para iso, sumamos membro a membro as dúas
igualdades:
 3 12   1 4
3X  A  B  3 X     X  .
 6 0   2 0 
Substituímos na primeira ecuación:
 1 4  1 4   20 5   1 4   21 9 
   3Y  A  3Y  A         
 2 0   2 0   2 15   2 0   0 15 
1  21 9   7 3 
 Y      .
3  0 15   0 5 
 1 4  7 3
Solución: X   , Y  .
 2 0   0 5
1 0  1 5   4 0
47.Para as matrices: A , B  , C    comproba:
2 7  4 1  1 1
47.1. A   B  C    A  B    A  C  .
47.2.  A  B   C   A  C    B  C  .
47.3. A   B  C    A  B   C .
Solución:
 1 0    1 5   4 0    1 0 3 5  3 5 
47.1. A   B  C             .
 2 7    4 1   1 1    2 7   5 0   41 10 
 1 0   1 5   1 0   4 0   1 5   4 0   3 5 
 A B   AC              .
 2 7   4 1  2 7   1 1   26 3  15 7   41 10 
  1 0   1 5  4 0 0 5 4 0  5 5
47.2.  A  B   C             .
2 7  4 1   1 1   6 6 1 1  30 6 
 1 0  4 0   1 5   4 0  4 0  1 5   5 5
 AC   B C             .
2 7 1 1   4 1  1 1  11 7   15 1  30 6 

27. 27
Matrices Prácticas
 1 0   1 5   4 0    1 0   1 5   1 5
47.3. A   B  C                .
 2 7   4 1  1 1    2 7  15 1 107 3 
 1 0   1 5    4 0   1 5   4 0  1 5
 A  B   C              .
 2 7   4 1   1 1   26 3   1 1  107 3 
48.Sexan A  
3 0 0 6 
  e B  . Atopa X que cumpra: 3  X  2  A  5  B .
 5 1  1 3 
Solución:
3 0   0 6   6 0   0 30 
3 X  2 A  5 B  3 X  2  A  5 B  2    5      
 5 1   1 3  10 2   5 15 
 6 30  1  6 30   2 10 
    X      .
15 17  3 15 17   5 17 3 
 
2 10 
Solución: X   .
 5 17 
 3
 2 1   x y 5 1
49.Calcula x , y , z , t para que se cumpra:    .
0 1   z t  0 2
Solución:
 2 1   x y   2x  z 2 y  t   5 1  2 x  z  5 x  5 2y t 1
          

  2; 
 
0 1   z t  z t   0 2  z0 z  0  t2

y  3

  2.
t2

x y  5 3 
Solución:   2 2 .
z t  0 2 
 
50.Atopa dúas matrices,A e B , de dimensión 2  2 , que cumpran:
 1 4  1 2 
2A  B    e A B   .
 2 0  1 0
Solución:
 1 4
2 A  B   
 2 0  0 6  0 2
  sumando ambas ecuacións: 3 A     A ;
 A  B   1 2  3 0 1 0
  
 1 0
 1 2   0 2   1 2   1 0 
B  A         .
 1 0 1 0  1 0  0 0
 0 2 1 0
Solución: A   , B .
 1 0  0 0

28. 28
4. Operacións con matrices
Prácticas
51.Atopa dúas matrices X e Y que verifiquen:
 1 5  1 0 
2 X  3Y    e X Y   .
 4 2  3 6
Solución:
 1 5  1 5
 2 X  3Y     2 X  3Y   
  4 2   4 2
    sumando as dúas ecuacións, resulta:
 X  Y   1 0   2 X  2Y   2 0 
     
  3 6   6 12 
 3 5   3 5   1 0   1 0   3 5   4 5 
Y     Y    X   Y       .
 2 10   2 10   3 6  3 6   2 10   5 16 
 4 5   3 5 
Solución: X   , Y  .
 5 16   2 10 
52.Descubre cómo debe ser unha matriz X que cumpra a seguinte condición:
 1 1  1 1 
X    X .
 0 1  0 1 
Solución:
 x y   1 1  x x  y
    
x y  z t   0 1  z z t  x x  y x  z y t 
Sexa X          
z t  1 1   x y  x z yt z z t   z t 
 0 1  z  
   t  z t 
 x  xz
 z  0 x y
 x  y  y  t    X   , x, y   .
 zt t x  t 0 x

53.Efectúa as seguintes operacións coas matrices dadas:
 1 2  4 7   1 1
A , B , C   :
 0 3  3 0 3 2 
53.1.  A  B    A  C  .
53.2.  A  B   C .
53.3. A  B  C .
Solución:
  1 2   4 7    1 2   1 1   2 7   7 3   9 10 
53.1.  A  B    A  C                 .
  0 3   3 0    0 3   3 2    9 0   9 6  18 6 
  1 2   4 7    1 1  5 5   1 1   10 15 
53.2.  A  B   C             .
  0 3   3 0    3 2   3 3   3 2   6 9 
  1 2   4 7    1 1   2 7   1 1  23 12 
53.3. A  B  C             .
  0 3   3 0    3 2   9 0   3 2   9 9 

29. 29
Matrices Prácticas
 3 8 4 8   53 152 76 28 
   
1 5 3 4  25 71 35 13 
54.Dadas as matrices A    1 7 1 5 
e B
 2
, comproba se
6 3 1 
   
 3 7 6 7   46 131 65 24 
se verifica que A  B  B  A .
Solución:
 3 8 4 8   53 152 76 28   1 0 0 0
     
1 5 3 4   25 71 35 13   0 1 0 0
A B     .
 1 7 1 5   2 6 3 1  0 0 1 0
     
3 7 6 7   46 131 65 24   0 0 0 1
 53 152 76 28   3 8 4 8   1 0 0 0
     
25 71 35 13   1 5 3 4   0 1 0 0
B A     .
 2 6 3 1   1 7 1 5   0 0 1 0
     
 46 131 65 24   3 7 6 7  0 0 0 1
A e B son dúas matrices inversas: A1  B .
 9 2 1
 
55.Dada a matriz M  10 6 7  , indica se algunha das seguintes matrices é a súa inversa.
 8 7 9
 
 9 7 8   9 4 9   4 9 6   5 11 8 
       
A   9 2 5  B   7 4 4  C   2 6 9  D   34 73 53 
9 6 6   9 7 1  9 4 1   22 47 34 
       
Solución:
 9 2 1  9 7 8   90 61 56   1 0 0 
      
M  A   10 6 7  9 2 5    81 40 8    0 1 0   non poden ser inversas.
 8 7 9  9 6 6   54 16 25   0 0 1 
      
 9 2 1  9 4 9   86 35 88   1 0 0 
      
M  B   10 6 7  7 4 4    69 65 107    0 1 0   non poden ser inversas.
 8 7 9  9 7 1   40 67 91   0 0 1 
      
 9 2 1   4 9 6   49 89 73   1 0 0 
       
M  C  10 6 7    2 6 9    115 98 121    0 1 0   non poden ser inversas.
 8 7 9   9 4 1   127 78 120   0 0 1 
       
 9 2 1   5 11 8   1 0 0 
     
M  D   10 6 7    34 73 53    0 1 0   poden ser inversas; comprobamos o ou-
 8 7 9   22 47 34   0 0 1 
     
 5 11 8   9 2 1   1 0 0 
     
tro produto: D  M   34 73 53   10 6 7    0 1 0   D  M 1 .
 22 47 34   8 7 9   0 0 1 
     
 1 2
56.Dada a matriz A  comproba que  A  I   0 .
2
0 1
Solución:
2
1 2 1 0
2
 0 2  0 2  0 2  0 0
A I             0.
2

0 1 0 1  0 0 0 00 0 0 0

30. 30
5. Complementos teóricos para o estudo de matrices
Prácticas
5. COMPLEMENTOS TEÓRICOS PARA O ESTUDO DE MATRICES
Imos estudar o “rango dunha matriz”. Para iso necesitamos os seguintes complementos teóricos.
5.1. Espazos vectoriais
A idea de vector como frecha dá lugar á de espazo vectorial: conxunto de todos os vectores entre
os cales se definen untas operacións que cumpren certas propiedades. Pero hai outros entes mate-
máticos coas mesmas operacións e propiedades. Por iso, a definición de espazo vectorial é moito
máis ampla e aberta que unha colección de “frechas”.
Temos un conxunto, V , entre os elementos do cal (aos que lles chamaremos vectores) hai defini-
das dúas operacións:
   
SUMA DE DOUS ELEMENTOS DE V : se u , v  V , daquela u  v  V
 
PRODUTO POR UN NÚMERO REAL: se a   e u  V , daquela a  u  V
Dise que V , ,  é un espazo vectorial sobre  se as operacións cumpren as propiedades:
SUMA DE VECTORES
     
O ESPAZO VECTORIAL M m.n
ASOCIATIVA u  v   w  u  v  w
   
O conxunto M m.n das matrices CONMUTATIVA u v  v u
 
de dimensión m  n é un espa- É un vector chamado 0 tal que se v  V cumpre:
zo vectorial, como se viu na pá- VECTOR NULO   
xina 16. v 0  v
    
VECTOR OPOSTO Todo vector v ten un oposto, v : v   v   0
PRODUTO DUN NÚMERO POR UN VECTOR
 
ASOCIATIVA  a  b   v  a  b  v 
  
DISTRIBUTIVA I a  b  v  a  v  b  v
   
DISTRIBUTIVA II a  u  v   a  u  a  v
  
PRODUTO POR 1 Se v  V cúmprese que 1  v  v
5.2. n-uplas de números reais
 Unha colección de n números reais dados nunha certa orde chámase unha n–upla. O con-
xunto de todas as n–uplas de números reais forman un espazo vectorial, e desígnase  n .
Imos prestarlles atención porque tanto as filas coma as columnas das matrices son n-uplas
de números reais. Unha n–upla de dous elementos chámase “par”, unha de tres chámase
“terna” e de catro, “cuaterna”.
•  2 é o conxunto de todos os pares de números reais.
Por exemplo:  3, 7  .
•  3 é o conxunto de todas as ternas.
 
Por exemplo: 7, 1, 2 ,  0, 0,0  .
•  4 é o conxunto de cuaternas.
 
Por exemplo:  4, 1, 0, 6  , 3, 2 , 7, 4 .
5

31. 31
Matrices Prácticas
  
57.Considera u  7, 4, 2  , v  5, 0, 6  , w  4, 6, 3 , a  8 , b  5 elementos de  3 e  . Compro-
ba se verifican as propiedades para ser espazo vectorial.
Solución:
     
— Asociativa:  u  v   w  u   v  w  .
  
 u  v   w    7, 4, 2    5, 0, 6     4, 6, 3  12, 4, 4    4, 6, 3  16,10,1 .
  
u   v  w    7, 4, 2     5, 0, 6    4, 6, 3    7, 4, 2    9, 6,3   16,10,1 .
   
— Conmutativa: u  v  v  u .
   
u  v   7, 4, 2    5, 0, 6   12, 4, 4    5, 0, 6    7, 4, 2   v  u .
  
— Vector nulo: v  0  v .
  
v  0   5, 0, 6    0, 0, 0    5, 0, 6   v .
  
— Vector oposto: v   v   0 .
  
v   v    5, 0, 6    5, 0, 6    0, 0,0   0 .
 
— Asociativa:  a  b   v  a   b  v  .

 a  b   v  8   5     5, 0, 6   40   5, 0,6    200, 0, 240  .

a   b  v   8    5    5, 0, 6    8   25, 0, 30    200, 0, 240  .
  
— Distributiva I:  a  b   v  a  v  b  v .

 a  b   v  8   5     5, 0, 6   3   5, 0, 6   15, 0,18  .
 
a  v  b  v  8   5, 0, 6    5    5, 0, 6    40, 0, 48    25, 0, 30   15, 0,18  .
   
— Distributiva II: a   u  v   a  u  a  v .
 
a   u  v   8    7, 4, 2    5, 0,6    8  12, 4, 4    96,32,32  .
 
a  u  a  v  8   7, 4, 2   8   5, 0, 6    56,32, 16    40, 0, 48    96,32,32  .
 
— Produto por 1: 1  v  v
 
1  v  1   5, 0, 6    5, 0, 6   v .
5.3. Combinación lineal de vectores
   
 Dados v1 , v2 , v3 , , vn  V e a1 , a2 , a3 , an   , o vector formado do seguinte xeito:
   
a1v1  a2 v2  a3 v3    an vn
   
chámase combinación lineal dos vectores v1 , v2 , v3 , , vn .
58.Fagamos unha combinación lineal de varias cuaternas:
3  2,5,8, 4   2 1, 7,3, 1  4  0,5, 1, 2    6,15, 24,12    2,14, 6, 2    0, 20, 4,8  
  4,9,34,18   a cuaterna  4,9,34,18  é combinación lineal de  2,5,8, 4  , 1, 7,3, 1 e
 0,5, 1, 2  .
5.4. Dependencia e independencia lineal
   
 • Un conxunto v1 , v2 , v3 , , vn de elementos de V dise que son linealmente dependen-
tes (LD) se algún deles se pode pór como combinación lineal dos demais.
   
• Un conxunto u1 , u2 , u3 , , un de elementos de V dise que son linealmente indepen-
dentes (LI) se ningún deles se pode pór como combinación lineal dos demais.

32. 32
5. Complementos teóricos para o estudo de matrices
Prácticas
5.4.1. Número de n-uplas LI
O máximo número posible de n -uplas LI é n. É dicir:
— Dous pares poden ser LI, pero tres pares son, con seguridade, LD.
— Tres ternas poden ser LI, pero catro ternas son, con seguridade, LD.
— Etcétera.
59.As catro cuaternas  4,9,34,18  ,  2,5,8, 4  , 1, 7,3, 1 ,  0,5, 1, 2  son linealmente de-
pendentes, xa que, segundo vimos no exemplo 58, a primeira delas é combinación das demais.
 • A cuaterna  0, 0,0, 0  é combinación lineal de calquera conxunto de cuaternas, pois
obtense sumando o resultado de multiplicar cada unha delas por 0.
• As cuaternas 1, 0, 0, 0  ,  0,1, 0, 0  ,  0, 0,1, 0  ,  0, 0, 0,1 son linealmente indepen-
dentes, pois ningunha delas se pode pór como combinación lineal das demais.
5.4.2. Propiedade fundamental
   
 A condición necesaria e suficiente para que os vectores u1 , u2 , u3 , , un sexan linealmente
independentes, é que a igualdade
   
x1u1  x2 u2  x3u3    xn un  0
só sexa certa cando todos os números son ceros:
x1  x2  x3    xn  0
• É dicir, se os vectores son LD, existen números x1 , x2 , x3 , …. xn non todos nulos
   
para os cales se cumpre a igualdade x1u1  x2 u2  x3u3    xn un  0 , mentres que se
os vectores son LI, a única combinación lineal deles que dá como resultado o vector
    
0 é 0u1  0u2  0u3    0un .
5.4.3. Dependencia lineal de 
   
• Un único vector v distinto de  0   0 é LI pois a  v  0 só é certo se a  0 .
    
• O vector 0 é LD, pois por exemplo, 3  0  0 é dicir, pódese obter 0 multiplicando 0 por un
numero distinto de 0.
60.Averigua se as cuaternas  2,3, 0,5 ,  0, 0, 1, 2  ,  4, 0,1, 0  , 12, 0, 2, 2  son LI ou LD.
Solución:
Para dilucidalo aplicamos a propiedade fundamental:
x  2,3, 0,5   y  0, 0, 1, 2   z  4, 0,1, 0   w 12, 0, 2, 2    0, 0, 0, 0 
Operando no primeiro membro obtense a seguinte igualdade:
 2 x  4 z  12w,3x,  y  z  2 w,5 x  2 y  2w    0, 0, 0, 0 
 2 x  4 z  12 w  0 x0
 3x  0 y
 
  A súa solución é: 
  y  z  2w  0  z  3
 5x  2 y  2w  0
  w  

Para   1 obtense x  0 , y  1 , z  3 , w  1 .
Isto significa que:
0  2,3, 0,5   1 0, 0, 1, 2   3  4, 0,1, 0   1 12, 0, 2, 2    0, 0, 0, 0 
Polo tanto, os catro vectores (cuaternas) son linealmente dependentes (LD), pois existe unha com-
binación lineal deles con coeficientes non todos nulos que dá lugar ao vector cero.

33. 33
Matrices Prácticas
61.Averigua se as ternas 1, 6, 4  ,  2, 0, 1 ,  5, 6,3 son LI ou LD.
Solución:
Aplicamos a propiedade fundamental:
x 1, 6, 4   y  2, 0, 1  z  5, 6,3    0, 0, 0 
Esta igualdade dá lugar ao seguinte sistema de ecuacións:
x  2 y  5z  0 x  2 y  5z  0
 
6 x  6 z  0  x  z  0   Este sistema só ten a solución x  0 , y  0 , z  0 .
4 x  y  3z  0 4 x  y  3z  0
Polo tanto, os vectores son linealmente independentes, pois a única combinación lineal deles que
dá lugar ao vector cero é a que se obtén con coeficientes todos nulos.
62.Averigua se  3, 0,1, 0  ,  2, 1,5, 0  ,  0, 0,1,1 ,  4, 2, 0, 5  son LI ou LD.
Solución:
Aplicamos a propiedade fundamental:
x  3, 0,1, 0   y  2, 1,5, 0   z  0, 0,1,1  t  4, 2, 0, 5    0, 0, 0, 0  
3 x  2 y  4t  0 x  0
  y  2t  0 y  0
 
  3x  2 y  4t ,  y  2t , x  5 y  z, z  5t    0, 0, 0, 0     
 x  5y  z  0 z  0

 z  5t  0 t  0

Este sistema ten como solución única x  0 , y  0 , z  0 , t  0 e, polo tanto, os vectores son li-
nealmente independentes.
63.Averigua se  3, 0,1, 0  ,  2, 1,5, 0  ,  0, 0,1,1 ,  0, 0, 0,1 son LI ou LD.
Solución:
Aplicamos a propiedade fundamental:
x  3, 0,1, 0   y  2, 1,5, 0   z  0, 0,1,1  t  0, 0,0,1   0, 0, 0, 0  
 3x  2 y  0 x  0
 y  0 y  0
 
  3x  2 y,  y, x  5 y  z , z  t    0, 0, 0, 0     
x  5y  z  0 z  0

 z t  0 t  0

Este sistema ten como solución única x  0 , y  0 , z  0 , t  0 e, polo tanto, os vectores son li-
nealmente independentes.
64.Averigua se  2, 4, 7  , 1, 0, 2  ,  0,1, 2  son LI ou LD.
Solución:
Aplicamos a propiedade fundamental:
x  2, 4, 7   y 1, 0, 2   z  0,1, 2    0, 0, 0    2 x  y, 4 x  z, 7 x  2 y  2 z    0, 0, 0  
 2x  y  0 y  0
 
  4 x  z  0   z  0
7 x  2 y  2 z  0 z  0
 
Este sistema ten como solución única x  0 , y  0 , z  0 e, polo tanto, os vectores son lineal-
mente independentes.

34. 34
6. Rango dunha matriz
Prácticas
65.Averigua se 1, 0, 0  , 1,1, 0  ,  0, 0,0  son LD. Explica por qué se nun conxunto de vectores
está o vector cero, daquela son LD.
Solución:
Aplicamos a propiedade fundamental:
x 1, 0, 0   y 1,1, 0   z  0, 0, 0    0, 0, 0 
Se facemos x  0 , y  0 , entón z pode tomar calquera valor, polo tanto os vectores son lineal-
mente dependentes.
   
 Se nun conxunto de vectores u1 , u2 , u3 , , un está o vector cero, podemos conseguir unha
combinación lineal deles:
    
x1u1  x2 u2  x3u3    xn 1un 1  xn 0   0, 0, 0, , 0 
na que x1  x2  x3    xn 1  0 e xn  0 . Como non todos os coeficientes son nulos, os
vectores son linealmente dependentes.
6. RANGO DUNHA MATRIZ
Entre as filas das matrices (e tamén entre as súas columnas) poden existir relacións de dependencia
lineal, o seu coñecemento será de grande importancia para o estudio dos sistemas de ecuacións.
6.1. Vectores fila nunha matriz
As filas dunha matriz poden ser consideradas vectores. É posible que sexan linealmente indepen-
dentes (LI) e é posible que unhas dependan linealmente doutras (LD).
66.Estuda a dependencia lineal das seguintes matrices:
 2 3 1 4 
A   As dúas filas son LI.
1 0 4 5
 5 1 
  As dúas primeiras filas son LI. As outras dúas dependen linealmente das
6 3 
B  primeiras:
 1 17 
  3ª  5 1ª 4  2ª , 4ª  1ª 2ª
11 2 
 2 3 5 
  As dúas primeiras filas son LI. A terceira depende linealmente delas:
C   1 2 1 
 1 5 6  3ª  1ª 2ª
 
6.2. Rango ou característica dunha matriz
 Chamamos rango ou característica dunha matriz ao número de filas que son linealmente
independentes.
67.Indica os rangos das matrices estudadas no exemplo 66.
Solución:
ran  A   2 , ran  B   2 , ran  C   2 .
6.3. Vectores columna nunha matriz
Tamén as columnas dunha matriz poden ser consideradas vectores. E poderíase definir o rango
dunha matriz como o número de columnas LI, pero hai que solventar a dúbida de se esta definición
contradí, nalgún caso a anterior.
É dicir: é posible que nunha matriz o número de filas LI sexa distinto do número de columnas LI?
O seguinte teorema asegura que isto non é posible.
 Teorema 1. Nunha matriz, o número de filas LI coincide co número de columnas LI. Se-
gundo isto, o rango dunha matriz é o número de filas ou de columnas LI.
• O rango dunha matriz m  n é, como moito, o menor dos números m ou n.

35. 35
Matrices Prácticas
6.4. Cálculo do rango polo método de Gauss ou de transformacións elementais
6.4.1.Transformacións elementais
Cando operamos sobre unha matriz, cos seus elementos, filas ou columnas pode suceder que cam-
bie o rango (número de filas ou columnas linealmente independentes) ou que o rango non se mo-
difique.
 Chámanse transformacións elementais sobre unha matriz calquera  A  as modificacións
que non alteran o rango ou característica da mesma, e que só cambian a forma. Son trans-
formacións elementais:
• Cambiar filas entre si.
• Cambiar columnas entre si.
• Multiplicar tódolos elementos dunha fila por unha constante   0  .
• Multiplicar tódolos elementos dunha columna por unha constante   0  .
• Sumar a tódolos elementos dunha fila os doutra multiplicados pola mesma constante
  0 .
• Sumar a tódolos elementos dunha columna os doutra multiplicados pola mesma cons-
tante   0  .
6.4.2. Método de Gauss para o cálculo do rango dunha matriz
Aplicando as transformacións elementais anteriores podemos chegar a unha matriz escalonada que
indica o número de filas ou columnas independentes.
 Polo tanto, para calcular o rango dunha matriz, podemos proceder a “facer ceros” usando
as transformacións elementais anteriores. O rango da matriz escalonada final é, obviamen-
te, o número de filas distintas de  0 0  0  .
• Este método coñécese como método de Gauss para o cálculo do rango.
O seguinte esquema (os asteriscos son números calquera) amosa como se pode pasar dunha matriz
a outra escalonada onde o número de filas indica o rango da matriz, cunha matriz 4  5 .
         
   
    
 0    
 Rango 4 (4 filas)
     0 0   
   
     0 0 0  
         
         
     0      
    

0 0   
  0      Rango 3
     0 0   
 
     0 0 0 0 0
         
   
    
 0    

     
   Rango 2
    0 0 0 0 0  0    
   
     0 0 0 0 0
         
   
    
 0 0 0 0 0
       Rango 1
     0 0 0 0 0
   
     0 0 0 0 0

36. 36
6. Rango dunha matriz
Prácticas
3 7 4 1 
68.Calcula o rango da matriz A   2 11 6 17  .


 5 1 24 37 
 
Solución:
3 7 4 1  1ª  3 7 4 1 1ª 3 7 4 1
     
 2 11 6 17  2ª 17 1ª  53 130 62 0  2ª  53 130 62 0  
 5 1 24 37  3ª 37 1ª  106 260 124 0  3ª 2  2ª 0 0 0
     0 
 ran  A   2 .
Para non ter que escribir a matriz resultante en
cada caso debe empregarse a opción ans , que
recolle o último resultado obtido.
 1 4 1
69.Calcula o rango da matriz A   1 3 2  .
 
2 2 0
 
Solución:
 1 4 1 1ª  1 4 1 1ª  1 4 1 
     
A   1 3 2  2ª 1ª  0 7 1  2ª 0 7 1   ran  A   3 .
 2 2 0  3ª 2 1ª  0 6 2  3ª 2  2ª  0 20 0 
     

37. 37
Matrices Prácticas
 0 1 9 7 8 
 
9 2 5 9 6 
70.Calcula o rango da matriz A  
 6 9
.
3 9 4 
 
1 0 7 8 8 
Solución:
 0 1 9 7 8  4ª 1 0 7 8
8 1ª  1 0 7 8 8 
     
9 2 5 9 6  2ª  9 2 5 9 6 2ª 9 1ª  0 2 68 81 78 
A
 6 9 3 9 4  3ª  6 9 3 9 4  3ª 6 1ª  0 9 45 39 52 
     
1 0 7 8 8  1ª 0 1 9 7 8  4ª  0 1 9 7 8 
1ª 1 0 7 8 8  1ª 1 0 7 8 8  1ª
   
4ª  0 1 9 7 8 2ª 0 1 9 7 8  2ª
3ª  0 9 45 39 52  3ª 9  2ª 0 0 36 102 20  3ª 2
   
2ª  0 2 68 81 78  4ª 2  2ª 0 0 86 67 94  4ª
1 0 7 8 
8 1ª 1 0 7 8 8 
   
0 1 9 7
8  2ª 0 1 9 7 8 
 ran  A   4 .
0 0 18 51 10  3ª 0 0 18 51 10 
   
0 0 86 67 94  9  4ª 43  3ª 0 0 0 2796 416 
1 0 2 1 1
 
0 2 1 1 2
71.Calcula o rango da matriz A  
 1
.
1 3 2 0
 
0 8 7 9 4
Solución:
1 0 2 1 1 1ª 1 0 1 1
2 1ª 1 0 2 1  1
     
0 2 1 1 2  2ª 0 2 1 1 2  2ª 0 2 1 1 2 
A
 1 1 3 2 0 3ª 1ª 0 1 5 3 1 2  3ª 2ª 0 0 11 5 4 
     
0 8 7 9 4 4ª 0 8 7 9 4 4ª 4  2ª 0 0 11 5 4 
1ª 1 0 2 11
 
2ª  0 2 1 1 2 
 ran  A   3 .
3ª  0 0 11 5 4 
 
4ª 3ª 0 0 0 0 0
 1 3 1 
 
72.Calcula o rango da matriz A   2 1 5  .
 1 10 8 
 
Solución:
 1 3 1  1ª  1 3 1  1ª  1 3 1 
     
A   2 1 5  2ª 2 1ª  0 7 7  2ª  0 7 7   ran  A   2 .
 1 10 8  3ª 1ª  0 7 7  3ª 2ª 0 0 0 
     

38. 38
6. Rango dunha matriz
Prácticas
 1  2 0 3 
73.Calcula o rango da matriz A   1 3 1 4  .
 
 2 1 5 1 
 
Solución:
 1 2 0 3  1ª  1 2 0 3  1ª  1 2 0 3 
     
A   1 3 1 4  2ª 1ª  0 1 1 1  2ª 0 1 1 1  
 2 1 5 1  3ª 2 1ª  0 5 5 5  3ª 5  2ª 0 0 0 0 
     
 ran  A   2 .
A función ref  m  permite “escalonar” unha
matriz, dunha maneira similar a como se fixo
nos exemplos anteriores polo método de Gauss.
74.Estuda o rango da matriz M segundo os valores de a . 1 2 a
 
Existe algún valor de a para o que sexa ran  M   1 ? M  1 1 a
a 0 1
Solución:  
• Transformamos a matriz M para facer todos os ceros posibles nela:
 1 2 a  1ª 1 2 a  1ª 1 2 a 
     
 1 1 a  2ª 1ª  0 1 0  2ª  0 1 0 ;
 a 0 1  3ª a 1ª  0 2a 1  a 2  3ª 2a  2ª  0 0 1  a2 
     
Facemos 1  a 2  0  a  1 , a  1 .
1 2 1
 
• Se a  1 , M   0 1 0   ran  M   2 .
0 0 0
 
 se a  1 ou a  1 , ran  M   2 .
 1 2 1 
 
• Se a  1 , M   0 1 0   ran  M   2 .
0 0 0 
 
• Se a 2  1  0 , é dicir, se a  1 e a  1 , ran  M   3 .
• O rango de M non pode ser igual a 1 para ningún valor de a , porque as dúas primeiras filas
son linealmente independentes para calquera a .

39. 39
Matrices Prácticas
7. M ATRIZ INVERSA
Algunhas matrices cadradas teñen inversa, é dicir, dada unha matriz cadrada A existe unha matriz
cadrada da mesma orde A1 tal que A  A1  A1  A  I n . No que segue imos ver algúns métodos
para o cálculo da matriz inversa.
7.1. Matriz inversa a partir da definición
 7 3
75.Obtén a matriz inversa de A .
 2 1
Solución:
 7 3  x y  7 3  x y   1 0 
Sexa A    ; buscamos a matriz   que verifique:     
 2 1  z t  2 1  z t   0 1 
 7 x  3 z  1  x  1
 
 7 x  3z 7 y  3t   1 0   2 x  z  0   z  2  1 3 
         A 1   .
 2x  z 2 y  t   0 1   7 y  3t  0   y  3  2 7 
 2 y  t  1  t  7
 
 3 2 
76.Obtén a matriz inversa de A .
 8 5 
Solución:
 3 2   3 2   x y   1 0  3x  2 z 3 y  2t   1 0 
Sexa A   ;         
 8 5   8 5   z t   0 1  8 x  5 z 8 y  5t   0 1 
 3x  2 z  1   x  5
 
 8 x  5 z  0   z  8  5 2 
     A 1   .
  3 y  2t  0   y  2  8 3 

 8 y  5t  1 
 t  3
 
7.2. Método de Gauss para calcular a inversa dunha matriz
Para calcular a inversa, A1 , dunha matriz A , farémoslle á matriz unidade, I , os mesmos cam-
bios aos que hai que someter a matriz A para obter a matriz unidade.
 Para calcular a inversa, A1 , dunha matriz A , farémoslle á matriz unidade I n as mesmas
transformacións que hai que facerlle á matriz A para obter a matriz unidade.
Sometida a certas Sometida as mesmas
A  I n , I n  A1 ,  A I n    I n A1 
transformacións
 transformacións
 Transformacións

• Na práctica, colócase a matriz A , e a súa dereita, a matriz I n . Realízanse as transfor-
macións necesarias para que A se transforme en I n . Como consecuencia, a matriz
que se obtén á dereita de I n é A1 . Todas as transformacións que se realicen serán
idénticas ás que se utilizan para calcular o rango dunha matriz polo método de Gauss.
• Utilizarase en cada paso como pivote os elementos da diagonal principal da matriz
A : a11 , a22 , …, ann para facer ceros na columna na que se atopan, tanto nas filas
superiores como inferiores, ata transformar matriz A nunha matriz diagonal.
• Despois dividiranse os elementos da fila i por aii  A (sen ampliar) para obter a ma-
triz I n . A parte ampliada é a matriz inversa.
 Se no proceso aparece unha fila de ceros na parte esquerda —correspondente á matriz
A — é que a matriz non ten inversa.

40. 40
7. Matriz inversa
Prácticas
  1 3 5 
77.Calcula a inversa da matriz M   6 2 1  .
 
 1 4 7 
 
Solución:
Dado que a matriz é de orde 3, ampliamos pola dereita a matriz engadíndolle I 3 ; para evitar con-
fusións ás veces trazase unha vertical que distinga a matriz da súa ampliación, pero a tódolos efec-
tos é unha matriz ordinaria e a vertical só se considera como elemento tipográfico. Remarcamos o
elemento que se usa de pivote para facer ceros nos demais elementos da súa columna.
  1 3 5   1 3 5 1 0 0  1ª  1 3 5 1 0 0  1ª
     
M  6 2 1    6 2 1 0 1 0  2ª 6 1ª  0 16 31 6 1 0  3ª 
 1 4 7   1 4 7 0 0 1  3ª 1ª 0 1 2 1 0 1  2ª
     
 1 3 5 1 0 0  1ª 3  2ª  1 0 1 4 0 3  1ª 3ª
   
0 1 2 1 0 1  2ª  0 1 2 1 0 1  2ª 2  3ª
 0 16 31 6 1 0  3ª 16  2ª  
   0 0 1 22 1 16  3ª
 1 0 0 18 1 13  1ª   1  1 0 0 18 1 13   18 1 13 
    1  
 0 1 0 43 2 31  2ª 1  0 1 0 43 2 31   M   43 2 31  .
 0 0 1 22 1 16  3ª   1  0 0 1 22 1 16   22 1 16 
     
Se no paso   no que permutamos dúas filas para facer os cálculos máis sinxelos non nos deca-
taramos ou non desexaramos facer a permutación o resultado sería, evidentemente, o mesmo. Ve-
xámolo:
  1 3 5   1 3 5 1 0 0  1ª  1 3 5 1 0 0
     
M  6 2 1    6 2 1 0 1 0  2ª 6 1ª 0 16 31 6 1 0 
 1 4 7   1 7 0 0 1  3ª 1ª 0 2 1 0 1 
   4   1 
16 1ª 3  2ª  16 0 13 2 3 0  1ª 13  3ª  16 0 0 288 16 208 
   
2ª  0 16 31 6 1 0  2ª 31  3ª  0 16 0 688 32 496 
16  3ª 2ª  16  3ª  0 0 1 22 16 
 0 0 1 22 1   1 
1ª   16   1 0 0 18 1 13   18 1 13 
   
2ª   16   0 1 0 43 2 31   M 1   43 2 31  .
3ª   1  0 0 1 22 1 16   22 1 16 
   
 4 5 0
78.Calcula a matriz inversa de M   1 6 1 .
 
 5 6 0 
 
Solución:
 4 5 0  4 5 0 1 0 0  2ª  1 6 1 0 1 0  1ª
     
M   1 6 1   1 6 1 0 1 0  1ª  4 5 0 1 0 0  2ª 4 1ª
 5 6 0   5 6 0 0 0 1  3ª  5 6 0 0 0 1  3ª 5 1ª
     
 1 6 1 0 1 0  19 1ª 6  2ª 19 0 5 6 5 0  1ª 5  3ª
   
 0 19 4 1 4 0  2ª  0 19 4 1 4 0  2ª 4  3ª
 0 24 5 0 5 1  19  3ª 24  2ª 0 0 1 24 1 19  3ª
   
19 0 0 114 0 95  1ª 19  1 0 0 6 0 5    6 0 5 
     
 0 19 0 95 0 76  2ª   19 
1
0 1 0 5 0 4   M   5 0 4  .
0 0 1 24 1 19  3ª 1  0 0 1 24 1 19   24 1 19 
     

41. 41
Matrices Prácticas
 0 4 4 
 
79.Calcula a inversa da matriz M   9 6 2  .
 2 3 3 
 
Solución:
 0 4 4   0 4 4 1 0 0  3ª  2 3 3 0 0 1  1ª
     
M   9 6 2    9 6 2 0 1 0  2ª  9 6 2 0 1 0  2  2ª 9 1ª
 2 3 3   2 3 3 0 0 1  1ª  0 4 4 1 0 0  3ª
     
 2 3 3 0 0 1  5 1ª 2ª 10 0 8 0 2 4  4 1ª 3ª
   
 0 15 23 0 2 9  2ª  0 15 23 0 2 9  32  2ª 23  3ª
 0 4 4 1 0 0  15  3ª 4  2ª  0 0 32 15 8 36  3ª
   
 40 0 0 15 0 20  1ª 40  1 0 0  38 0 1  2
   
 0 480 0 345 120 540  2ª 480  0 1 0  23 32  1 4 9
8 
0 0 32 15 8 36  3ª   32   0 0 1  15 32  1 4 9 
   8
  3 0 1 
 8 2
 M 1   23 1 9 .
 32 4 8
 15
 9 

1
 32 4 8
 5 3 3 
80.Calcula a inversa da matriz M   7 3 3  .
 
 8 5 6 
 
Solución:
 5 3 3   5 3 3 1 0 0  1ª  5 3 3 1 0 0 
     
M   7 3 3    7 3 3 0 1 0  5  2ª 7 1ª  0 6 36 7 5 0 
 8 5 6   8 5 6 0 0 1  5  3ª 8 1ª  0  1 6 8 0 5 
     
2 1ª 2ª  10 0 30 5 5 0 
 
2ª  0 6 36 7 5 0   a matriz non ten inversa, e ran  M   2 .
6  3ª 2ª  0 0 0 55 5 30 
 
 Non hai que facer necesariamente a iteración no orden a11 , a22 , …, ann podendo facela en
calquera outro orden, con tal de que a matriz de partida se diagonalice.
 6 4 4 
81.Calcula, comezando a iterar por a33 , a inversa da matriz M   5 3 5  .
 
 7 5 3 
 
Solución:
 6 4 4   6 4 4 1 0 0  3 1ª 4  3ª  10 8 0 3 0 4 
     
M   5 3 5    5 3 5 0 1 0  3  2ª 5  3ª  20 16 0 0 3 5 
 7 5 3   7 5 3 0 0 1  3ª  7 5 3 0 0 1 
     
2 1ª 2ª  0 0 0 6 3 3
 
2ª  20 16 0 0 3 5   a matriz non ten inversa, e ran  M   2 .
16  3ª 5  2ª  12 0 48 0 15 9 
 

42. 42
7. Matriz inversa
Prácticas
 7 2 2 
82.Calcula, comezando a iterar por a33 , a inversa da matriz A   2 8 7  .
 
 3 1 1 
 
Solución:
 7 2 2   7 2 2 1 0 0  1ª 2  3ª  1 0 0 1 0 2  1ª
     
A   2 8 7    2 8 7 0 1 0  2ª 7  3ª  23 1 0 0 1 7  2ª
 3 1 1     3 1 1 0 0 1  3ª 2ª
   3 1 1 0 0 1  3ª  
 1 0 0 1 0 2  1ª 1 0 0 1 0 2  1ª 1
   
 23 1 0 0 1 7  2ª 23 1ª  0 1 0 23 1 53  2ª   1
 26 0 1 0 1 8  3ª 26 1ª  0 0 1 26 1 60  3ª 1
   
1 0 0 1 0 2  1 0 2
   
 0 1 0 23 1 53   A1   23 1 53  .
 0 0 1 26 1 60   26 1 60 
   
 1 0 
83.Calcula a matriz inversa de B .
 2 4
Solución:
 0 1   1 0 1 0  1ª  1 0 1 0  1ª   1 1 0 1 0 
    
1 1   2 4 
0 1  2ª 2 1ª
 
2 1  2ª 4 0 1 1 1 
 2 2  0 4  2 4
 1 0 
 B 1   1 
1 .

 2 4
 En vez de facer a iteración completa como fixemos nos casos anteriores, pode facerse en
dúas veces, facendo ceros por debaixo da diagonal principal na primeira e despois nos que
están por riba da diagonal principal na segunda (ou ao revés).
• O procedemento en dúas voltas é moito menos eficiente co descrito antes, leva máis
tempo e, frecuentemente, hai que traballar con números máis grandes, sobre todo con
matrices algo “grandes”.
• Preferentemente utilizaremos a iteración completa.
 5 3 2 
84.Calcula a matriz inversa de A   3 2 1  .
 
 7 2 8 
 
Solución:
Facémolo de dúas maneiras: pivotando completamente e en dúas voltas:
 5 3 2   5 3 2 1 0 0  1ª  5 3 2 1 0 0
     
I. A   3 2 1    3 2 1 0 1 0  5  2ª 3 1ª  0 1 1 3 5 0 
 7 2 8   7 2 8 0 0 1  5  3ª 7 1ª  0 31 26 7 0 5 
     
1ª 3  2ª  5 0 5 10 15 0  1ª 3ª  5 0 0 90 140 5 
   
2ª  0 1 1 3 5 0  5  2ª 3ª  0 5 0 85 130 5 
3ª 31  2ª  0 0 5 100 155 5  3ª  0 0 5 100 155 5 
   
1ª 5  1 0 0 18 28 1  18 28 1
   
2ª   5  1
 0 1 0 17 26 1  A   17 26 1 .
3ª 5  0 0 1 20 31 1   20 31 1 
   

43. 43
Matrices Prácticas
 5 3 2   5 3 2 1 0 0  1ª  5 3 2 1 0 0
     
II. M   3 2 1    3 2 1 0 1 0  5  2ª 3 1ª  0 1 1 3 5 0 
  7  2 8   7 2 8 0 0 1  5  3ª 7 1ª  0 31 26 7 0 5 
     
1ª  5 3 2 1 0 0  5 1ª 2  3ª  25 15 0 195 310 10 
   
2ª  0 1 1 3 5 0  5  2ª 3ª  0 5 0 85 130 5 
3ª 31  2ª  0 0 5 100 155 5  3ª 0 0 5 100 155 5 
   
1ª 3  2ª 25 0 0 450 700 25  1ª 25  1 0 0 18 28 1
   
2ª 0 5 0 85 130 5  2ª   5   0 1 0 17 26 1 
3ª 0 0 5 100 155 5  3ª 5  0 0 1 20 31 1 
   
 18 28 1
 
 A1   17 26 1 .
 20 31 1 
 
A función rref  m  permite “escalonar total-
mente” unha matriz, de xeito similar a como se
fai polo método de Gauss para obter a inversa.
 É conveniente comparar o uso e funcionamento das funcións ref   e rref   . Sendo  a a
matriz de partida tecleouse: augment  θa,identity  3   e despois rref  ans  .
 1 2 1 
85.Calcula a inversa de A   3 0 4  .
 
0 4 1
 
Solución:
Facémolo de dúas maneiras: pivotando completamente e en dúas voltas:
 1 2 1   1 2 1 1 0 0  1ª  1 2 1 1 0 0  3 1ª 2ª
     
I.  3 0 4   3 0 4 0 1 0  2ª 3 1ª 0 6 1 3 1 0  2ª
0 4 1 0 4 1 0 0 1  3ª 0 4 1 0 0 1  3  3ª 2  2ª
     
3 0 4 0 0  1ª 4  3ª
1 3 0 0 24 9 12  1ª 3
   
0 6 1 3 1 0  2ª 3ª 0 6 0 9 3 3  2ª 6
0 0 1 6 2 3  3ª 0 0 1 6 2 3  3ª
   
1 0 0 8 3 4   8 3 4 
   
0 1 0  32 1
2  1 2   A 1    3 1 1 .
2 2 2
0 0 1 2 3   
 6   6 2 3 
Sábese que a función rref   permite o escalonamento total e que co seu uso pode obterse a inver-
sa escalonando a matriz ampliada. Imos ver agora como se pode facer paso a paso usando as calcu-
ladoras TI que citamos neste tema.
Para facer os cálculos paso a paso úsanse as funcións mrowAdd   e mRow  .

44. 44
7. Matriz inversa
Prácticas
Identicamente se pode facer usando TI-89 Titanium ou TI Voyage 200.

45. 45
Matrices Prácticas
 1 2 1   1 2 1 1 0 0  1ª  1 2 1 1 0 0  1ª
     
II.  3 0 4   3 0 4 0 1 0  2ª 3 1ª 0 6 1 3 1 0  2ª
0 4 1 0 4 1 0 0 1  3ª 0 4 1 0 0 1  3  3ª 2  2ª
     
 1 2 1 1 0  1ª 3ª
0  1 2 0 5 3  3 1ª 2ª
2
   
0 6 1 3 1 0  2ª 3ª 0 6 0 9 3 3  2ª
0 0 1 6 2 3  3ª 0 0 1 6 2 3  3ª
   
3 0 0 24 12  1ª 3
9 1 0 0 8 4 
3
   
0 6 0 9 3 3  2ª 6 0 1 0  32 1
2  12  
0 0 1 6 2 3  3ª 1 0 0 1 6 2 3 
   
 8 3 4 

1

 A   3 1 1 .
2 2 2
 
 6 2 3 
86.Dada a matriz adxun-
ta, obtén a súa matriz in-  3 6 7 6
versa.  
 7 1 3 4
Solución:   9  2 9 7
Facémolo de dúas manei-  
ras: pivotando completa-  2 1 5 0
mente e en dúas voltas:
 3 6 7 6  3 6 6 1 0 0 0  1ª
7
   
7 1 3 4 7
1 3 4 0 1 0 0  3  2ª 7 1ª
I. M   
  9  2 9 7   9
2 9 7 0 0 1 0  3ª 3 1ª
  
 2 
 2 1 5 0  1 5 0 0 0 0 1  3  4ª 2 1ª

3 6 7 6 1 0 0 0  13 1ª 2  2ª
 
 0 39 40 54 7 3 0 0  2ª
 0 16 12 25 3 0 1 0  39  3ª 16  2ª

 0 15 29 12 2 0 0 3  13  4ª 5  2ª

 
 39 0 11 30 1 6 0 0  172 1ª 11  3ª
 
 0 39 40 54 7 3 0 0  43  2ª 10  3ª
 0 0 172 111 5 48 39 0  3ª

 0 0 177 114 9 15 0 39  172  4ª 177  3ª

 
 6708 0 0 3939 117 1560 429 0  1ª 101  4ª
 
 0 1677 0 3432 351 351 390 0  2ª 88  4ª
 0 0 172 111 5 48 39 0  13  3ª 37  4ª

 0 
 0 0 39 663 1176 6903 6708  4ª 
 6708 0 0 0 67080 1120236 697632 677508  1ª 6708
 
 0 1677 0 0 58695 974337 607074 590304  2ª 1677
 0 0 2236 0 24596 409188 254904 248196  3ª   2236 

 0 
 0 0 39 663 1176 6903 6708  3ª   39 

1 0 0 0 10 167 101 
104  10 167 104 101 
   
0 1 0 0 35 581 362 352  35 581 362 352 
 M 1   .
0 0 1 0 11 183 114 111   11 183 114 111 

0   
 0 0 1 17 284 177 172   17 284 177 172 

46. 46
7. Matriz inversa
Prácticas
 3 6 7 6  3 6 7 6 1 0 0 0  1ª
   
7 1 3 4 7 1 3 4 0 1 0 0  3  2ª 7 1ª
II. M   
  9  2 9 7  9 2 9 7 0 0 1 0  3ª 3 1ª
  
 2 
 2 1 5 0  1 5 0 0 0 0 1  3  4ª 2 1ª

3 6 7 6 1 0 0 0  1ª
 
 0 39 40 54 7 3 0 0  2ª
 0 16 12 25 3 0 1 0  39  3ª 16  2ª

 0 15 29 12 2 0 0 3  13  4ª 5  2ª

 
3 6 7 6 1 0 0 0  1ª
 
 0 39 40 54 7 3 0 0  2ª
 0 0 172 111 5 48 39 0  3ª

 0 0 177 114 9 15 0 39  172  4ª 177  3ª

 
3 6 7 6 1 0 0 0  13 1ª 2  4ª
 
 0 39 40 54 7 3 0 0  13  2ª 18  4ª
 0 0 172 111 5 48 39 0  13  3ª 37  4ª

0 0 
 0 39 663 11076 6903 6708  4ª 
 39 78 91 0 1339 22152 13806 13416  172 1ª 7  3ª
 
 0 507 520 0 12025 199407 124254 120744  43  2ª 10  3ª
0 0 2236 0 24596 409188 254904 248196  3ª

0 
 0 0 39 663 11076 6903 6708  4ª

 6708 13416 0 0 402480 6674460 4158960 4044924  13 1ª 8  2ª
 
 0 21801 0 0 763035 12666381 7891962 7673952  2ª
 0 0 2236 0 24596 409188 254904 248196  3ª

 0 
 0 0 39 663 11076 6903 6708  4ª

 87204 0 0 0 872040 14563068 9069216 8807604 
 
 0 21801 0 0 763035 12666381 7891962 7673952 
 0 0 2236 0 24596 409188 254904 248196 

 0 
 0 0 39 663 11076 6903 6708 
1ª 87204  1 0 0 0 10 167 104 101 
 
2ª 21801  0 1 0 0 35 581 362 352 

3ª   2236   0 0 1 0 11 183 114 111 

 0 0 0 1 17 284 177 172  
4ª   39   
 10 167 104 101 
 
35 581 362 352 
 M 1   .
 11 183 114 111 
 
 17 284 177 172 
 1 3 
87.Calcula a matriz M  P 2  3P  2 I , sendo I a matriz identidade de orde 2 e P   .
 2 1
Solución:
 1 3   1 3   7 0   1 3   3 9  1 0  2 0
P2        ; 3P  3      ; 2I  2     
 2 1  2 1  0 7  2 1  6 3 0 1 0 2
 7 0   3 9   2 0   8 9 
 M  P 2  3P  2 I        .
 0 7  6 3 0 2   6 2 

47. 47
Matrices Prácticas
 2 1 
88.Proba que a matriz B  non ten inversa.
 4 2 
Solución:
x y
Se B 1   1
 é a inversa de B , B  B  I . Neste caso:
z t
 2 1   x y 1 0  2x  z  1  2y t  0
      ,  .
 4 2   z t  0 1 4 x  2 z  0  4 y  2t  1
Obtivemos dous sistemas de ecuacións que non teñen solución. Polo tanto, a matriz B non ten in-
versa.
 0 0  3 1
89.Determina a matriz X que verifica: AXA  B    , sendo as matrices A    e
 0 0  2 1
 5 2 
B .
1 3 
Solución:
Calculamos a matriz inversa de A , A1 , que debe cumprir A  A1  I :
 3 1   a b  1 0  3a  c 3b  d   1 0   3a  c  1 a  1
I.             ,
 2 1  c d   0 1   2a  c 2b  d   0 1   2a  c  0 c  2
 3b  d  0 b  1 1 1
    A 1   .
 2b  d  1  d  3   2 3 
 3 1 1 0  1ª 2ª 1 0 1 1  1ª  1 0 1 1  1ª
II.      
 2 1 0 1  2ª  2 1 0 1  2ª 2 1ª  0 1 2 3  2ª   1
1 0 1 1 1 1 1
   A  .
 0 1 2 3    2 3 
Despexamos X , pasando B ao segundo membro e multiplicando pola dereita e pola esquerda por
A1 :
 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
AXA  B     AXA  B  A AXAA  A BA  IXI  A BA  X  A BA
 0 0
 1 1   5 2   1 1   6 1   1 1   4 3
Polo tanto: X            .
 2 3   1 3   2 3   13 5   2 3   3 2 
 4 3  0 0
Comprobamos que a matriz X    cumpre que AXA  B   .
 3 2   0 0
 3 2 1  6 0 2 
90.Calcula as matrices A e B que verifican: A  B    , 2 A  2B   .
 3 1 3  2 2 2
Solución:
Primeiro multiplicamos por 1 os dous membros da segunda ecuación e sumamos despois as dúas
2
ecuacións:
 3 0 1  0 2 2 0 1 1
A B    ; A  B   A  B  2A     A .
 1 1 1  4 2 4  2 1 2
 3 2 1  0 1 1   3 1 0
Despexamos B na primeira ecuación: B       .
 3 1 3  2 1 2   1 0 1 
0 1 1 3 1 0
Solución: A   , B   .
 2 1 2 1 0 1

48. 48
7. Matriz inversa
Prácticas
 1 1
91.Dada a matriz A n
 , calcula A .
 1 1
Solución:
 1 1   1 1  2 2 
Calculamos A2 , A3 , A4 , …: A2  A  A       ;
 1 1   1 1  2 2 
 2 2  1 1  4 4 
A3  A2  A       ;
 2 2  1 1  4 4 
 4 4  1 1  8 8 
A4  A3  A       .
 4 4  1 1  8 8 
 21 21   22 22   23 23 
Observamos que A2   1 , A  2
3
, A  3
4
.
2 21  2 22  2 23 
 2n 1 2n 1 
Supoñemos que seguen a mesma regra para o expoñente n , é dicir: An   n 1 .
2 2n 1 
Se comprobamos que esta expresión de An é válida para An 1 , daquela será válida para calquera n
(método de indución completa). Comprabamos que o é:
 2n 1 2n 1  1 1  2n 1  2n 1 2 n 1  2 n 1   2n 2n 
An 11  An  A   n 1        
2 2n 1  1 1  2n 1  2n 1 2 n 1  2 n 1   2n 2n 
2 n 1
 2n 1  2  2n 1  2n  .
1 y 1 x  5 0 
92.Calcula x , y , z tales que:    .
x z  y z  0 5
Solución:
Transformamos esa igualdade nun sistema de ecuacións multiplicando as matrices do primeiro
membro e igualando termo a termo:
 1  y 2  5  y  2 ou ben
 1  y 2 x  yz   5 0   
 2
    x  yz  0  x  2 z  0  x  2 z  0   z  1 .
 x  yz x  z   0 5   2 
2
 2  2
 x  z  5  x  z  5  x  z  5
2 2 2
Obtéñense 4 solucións: x1  2, y1  2, z1  1 , x2  2, y2  2, z 2  1 , x3  2, y3  2, z3  1 ,
x4  2, y4  2, z4  1 .
Solución: x1  2, y1  2, z1  1 , x2  2, y2  2, z 2  1 , x3  2, y3  2, z3  1 , x4  2 , y4  2 ,
z4  1 .
93.Dise que unha matriz é invertible cando ten matriz inversa. Demostra que se A e B son in-
vertibles, se verifica que  A  B   B  A .
1 1 1
Solución:
Se B 1  A1 é a inversa de A  B , o produto de ambas debe ser igual á matriz unidade I :
 A  B    B 1  A1   A   B  B 1   A1 pola propiedade asociativa do produto:
  A  B    B 1  A1   A  I  A1 , xa que B  B 1  I ;
  A  B    B 1  A1   A  I  A1  A  A1 , xa que A  I  A ;
  A  B    B 1  A1   A  A1  I , porque A  A1  I ;
Polo tanto, é certo que  A  B   B 1  A1 .
1

49. 49
Matrices Prácticas
94.Se A é unha matriz de orde n tal que A2  A e B  2 A  I , sendo I a matriz identidade de
orde n , calcula B 2 .
Solución:
B 2  B  B   2 A  I  2 A  I   4 A2  2 AI  I 2 A  I 2 .
Tendo en conta que A2  A , I 2  I , 2 AI  I 2 A  2 A  B 2  44 A  2 A  2 A  I  B 2  I .
 1 2
95.Dada a matriz A  , obtén todas as matrices B que conmutan con A , é dicir, que
0 1
A B  B  A .
Solución:
a b  1 2   a b   a b  1 2   a  2c b  2d   a 2a  b 
Sexa B              
c d  0 1   c d   c d  0 1   c d   c 2c  d 
 a  2c  a  c  0

 b  2d  2a  b  a  d  Hai infinitas matrices que conmutan con A .
 d  2c  d  c  0

As infinitas matrices que conmutan con A son da forma:
a b
B  , a, b   .
 0 a
 m 0 5
96.Determina os valores de m para os cales X    verifique X  X  I  0 .
2
 0 2 2
Solución:
 5m 
5  m 0   m 0  5  m 0   1 0   m2 0  0  1 0
X2  X I            2  
2  0 2  0 2  2  0 2  0 1   0 4  0  0 1
  
 5
 2 m 2  5m  2  m  2
0  0 0 
  2     2 m  5m  2  0  
2
1 .
  0 0
 0 m  2

 0 
Solución: hai dúas solucións: m  2 e m  1 .
2
 2 1
97.Determina a e b de maneira que a matriz A    verifique que A  A .
2
 a b
Solución:
 2 1 2 1  4  a 2  b 
A2       ;
 a b  a b   2a  ab  a  b 2 
 4a 2  b   2 1 
A2  A   2
 .
 2a  ab a  b   a b 
Da anterior igualdade tense o sistema:
4  a  2  a  2
 2  b  1  b  1

 .
 2a  ab  a  4  2  2
  a  b 2  b   2  1  1

Solución: a  2 , b  1 .

50. 50
7. Matriz inversa
Prácticas
 1 2  0 3
98.Dada a matriz A  , calcula unha matriz B tal que A  B   .
2 1  3 0
Solución:
0 3 1 1  0 3 1  0 3 1
A B     A  A B  A    B  A   ; calculamos A .
3 0  3 0  3 0
1 2 1 0  1ª 1 2 1 0  1ª 3  2ª 2  3 0 1 2  1ª 3
     
2 1 0 1  2ª 2 1ª  0 3 2 1  2ª  0 3 2 1  2ª   3 
 1 2   1 2   1 2 
1 0 3 0 3 3   0 3
 A 1  
3
 B
3 3 3
; B  A1      
0 1
 2 1 
  2 1   3 0  2 1  3 0
 3 3  3 3  3 3
 2 1
  .
 1 2 
99.Calcula X tal que X  B 2  A  B , sendo:
1 0 1  1 0 1
   
A   1 1 0 , B   1 1 1  .
 0 0 2 0 0 1 
   
Solución:
1 0 1 1 0 1  1 0 0 
     
X  B  A B  X  A B  B ; A B  1 1 0  1
2 2
1 1    2 1 0 ;
 0 0 2  0 0 1   0 0 2
     
 1 0 1 1 0 1  1 0 2 
    
B 2   1 1 1  1 1 1    2 1 1  
 0 0 1  0 0 1   0 0 1 
    
 1 0 0   1 0 2   2 0 2 
     
 X  A B  B   2 1 0   2 1 1    4 2
2
1 .
 0 0 2  0 0 1   0 0 3
     
1 1 x   1 x  3 
100. Resolve 
       .
 3 2  y   y 1  2 
Solución:
 1 1 x   1 x  3   x  y   3  2x   x  y  3  2x  x  y  3
               .
 3 2  y   y 1  2   3x  2 y   3 y  2  3x  2 y  3 y  2 3 x  y  2
Sumando 4 x  5  y   5  x  3  y   7 .
4 4
Solución: x   7 , y  5 .
4 4
101. Estuda a dependencia lineal do seguinte conxunto de vectores segundo os valores do pará-
  
metro t : u1  1, 1, 0, 2  , u2   2, 0,1, 2  , u3   3,1,1, t 
Solución:
Debemos estudar o rango da matriz
 1 1 0 2  1ª 1 1 0 2  1ª  1 1 0 2 
     
M   2 0 1 2  2ª 2 1ª  0 2 1 6  2ª 0 2 1 6  
 3 1 1 t  3ª 3 1ª  0 4 1 t  6  3ª 2  2ª  0 0 1 t  6 
     
 ran  M   3 para calquera valor de t . Os tres vectores son linealmente independentes, calque-
ra que sexa o valor de t .

51. 51
Matrices Prácticas
102. A táboa adxunta amosa a cantidade de vitaminas A , B e C que po-
A B C
súe cada un dos produtos P , Q , R , S por unidade de peso.
P 1 2 0
102.1.Quérese elaborar unha dieta na que entren todos os produtos e de manei-  
ra que conteña 20 unidades de vitamina A , 25 de vitamina B e 6 de vitamina Q 1 0 2
C . É posible facelo? De cantas maneiras? R 2 1 0
 
102.2.Se a cantidade de produto Q é de 2 unidades, ¿cales serán as cantidades S 1 1 1
dos outros produtos nesa dieta?
102.3.Obtén, en función da cantidade Q que entre na dieta, as cantidades dos outros produtos.
Entre que valores tería que estar a cantidade de produto Q ?
Solución:
102.1. Sexan  x y z t  ás cantidades de cada A B C
un dos produtos P , Q , R e S que interve- P 1 2 0
P Q R S   A B C
ñen na dieta. Para que a dieta teña as cantida- Q 1 0 2
x y z t    20 25 6 
des de vitaminas requiridas, debe cumprirse a R 2 1 0
igualdade adxunta. Multiplicando e igualando  
S 1 1 1
as matrices tense o sistema:
 x  y  2 z  t  20 1 1 2 1 20  1ª 1 1 2 1 20  2 1ª 2ª
    
 2 x  z  t  25   2 0 1 1 25  2ª 2 1ª  0 2 3 1 15  2ª
 2y  t  6 0 2 0 1 6  3ª 0 2 0 1 6  3ª 2ª
    
 2 0 1 1 25   2 0 1 25    1ª  2 0 1 25   
  t     
 0 2 3 1 15  1 
5ª 4ª   0 2 3 15    2ª   1  0 2 3 15   
 0 0 3 0 9   0 0 3 9  3ª   3  0 0 1 3 
     
1ª 3ª  2 0 0 22    1ª 2  1 0 0 11   2 
     
2ª 3  3ª  0 2 0 6    2ª 2  0 1 0 3  2   x  11  2 , y  3  2 , z  3

3ª  0 0 1 3  3ª 0 0 1 3 
   
e t   . Faise un cambio de unidades, para unha mellor presentación e tomando   2 
 x  11   , y  3   , z  3 , t  2  .
Solucións: x  11   , y  3   , z  3, t  2  .
Mediante o método de Gauss compróbase que o sistema é compatible indeterminado. Por iso,
poden elaborarse infinitas dietas dos produtos P , Q , R e S coas vitaminas esixidas.
102.2. Facendo na solución  x  11   , y  3   , z  3, t  2   y  2    1  x  10 , z  3 ,
t  2 . A dieta estará formada por 10 unidades de P , 2 de Q , 3 de R e 2 de S .
102.3. Resolvemos o sistema en función de y (cantidade de produto Q que intervén na dieta).
Para iso en 1 faise y   .
 2 0 1 1 25  2 1 1 25  3 1ª 2ª
  y   
 0 2 3 1 15    0 3 1 15  2  2ª
5ª 2ª 
 0 0 3 0 9   0 3 0 9  3ª 2ª
   
 6 0 2 60  2  1ª 2  3ª  6 0 0 48  6  1ª 6 1 0 0 8   
     
 0 3 1 15  2  2ª 3ª  0 3 0 9  2ª   3 0 1 0 3  .
 0 0 1 6  2  3ª  0 0 1 6  2  3ª  0 0 1 6  2 
     
Solucións: x  8   , y   , z  3, t  6  2  .
Estas solucións  8+ , ,3,6  2  indican que as cantidades de P , Q , R e S que forman
cada unha das posibles dietas. Para que estas cantidades non sexan negativas,  debe variar
entre 0 e 3. É dicir: 0    3 .

52. 52
8. Funcións de TI para o cálculo matricial. Operacións con filas
Prácticas
8. FUNCIÓNS DE TI PARA O CÁLCULO MATRICIAL. OPERACIÓNS CON FILAS
As calculadoras TI-89 Titanium, Voyage 200 e TI-nspire CAS teñen funcións que facilitan o cál-
culo matricial. Poden usarse simultaneamente, como se viu en exemplos anteriores.
A función rowSwap  m, i1 , i2  permite intercam-
biar dúas filas dunha matriz. Úsase co método
de Gauss para facelo paso a paso.
A función rowAdd  m, i1 , i2  devolve unha copia
da matriz substituíndo a fila i2 pola súa suma
coa fila de índice i1 .
A función mRrow  k , m, i1  devolve unha copia
da matriz substituíndo cada elemento da fila i1
polo equivalente multiplicado por k .
A función mRrowAdd  k , m, i1 , i2  devolve unha
copia da matriz substituíndo a fila i2 pola súa su-
ma coa i1 multiplicada por k .

53. 53
Matrices Prácticas
9. PROGRAMANDO UTILIDADES CON TI
As anteriores tarefas poden facerse máis comodamente facendo unhas pequenas aplicacións para
as calculadoras TI, programas, funcións, librerías, ... segundo se desexe. No que segue fanse dúas
aplicacións pequenas, unha función e un programa, para acelerar o método de Gauss para unha fila
e para toda unha matriz, segundo se desexe. En TI-nspire CAS serán almacenaranse nunha biblio-
teca pública para poder acceder a ela dende calquera aplicación e en TI-89 Titanium ou Voyage
200 almacenaranse nunha carpeta para acceder a elas dende calquera sitio.
Non se pretende facer un curso de programación, senón sinalar algunhas posibilidades de facilitar
o traballo, que cada quen pode adaptar ás súas necesidades e ás condicións do traballo que ten.
9.1. Función gaussfm
Esta función recibirá unha matriz, as coordenadas do elemento pivote e o índice da fila na que se
desexa facer o cero. gaussfm  m,  i,  j ,  f  :  m é a matriz que se traballa,  i, j   i, j  re-
presentan as coordenadas do elemento pivote e  f é o índice da fila na que se desexa facer cero o
elemento  f ,  j  . Para facilitar a visión do código úsase a versión PC de TI-nspire CAS.
A aplicación desta función, xa feita sobre a calculadora, é a que se ve nas copias de pantalla se-
guintes.
Co elemento  m1,2  8 faise cero na segunda Co elemento  m1,1  7 faise cero na segunda
fila (elemento  m2,2 ). fila (elemento  m2.1 ).
En TI-89 Titanium ou Voyage 200, que na actualidade teñen maior capacidade de programación
que as versión TI-nspire CAS, pode facerse o seguinte, onde se ve o código da función e a súa
aplicación nuns exemplos:

54. 54
9. Programando utilidades con TI
Prácticas
Con esta función só nos preocupamos de producir un cero  0  . Tamén podía producirse empre-
gando a función TI mRowAdd   c, mRow  d ,  m, f  ,  i,  f  , que tamén produciría ese cero.
9.2. Programa gaussm
Usando reiteradamente a anterior función pode facerse ceros nunha columna, pero tamén podemos
se pode facer un programa que faga ceros en toda unha columna, e que nos devolva os pasos utili-
zados, paso a paso, e o faga igual que facemos calculando manualmente. Úsase tamén a versión
PC de TI-nspire CAS para facilitar a lectura:
Define LibPub gaussm(θm,θi,θj)=
Prgm
Sexa a matriz A esa matriz aplícaselle o pro-
©gaussm(θm,θi,θj) grama gaussm  m, i, j  (que
Local m,k,θc,θd,θf,θdim,θs,ma 1 6 3 
m:=θm   neste momento está almacenado
rowDim(θm)→θdim  8 3 1  en util ), para facer ceros a partir
 4 9 1 
For θf,1,θdim   de distintos elementos  i,  j  .
Ma:=m
If θf≠θi Then
k:=gcd(m[θi,θj],m[θf,θj])
θc:=((m[θf,θj])/(k))
θd:=((m[θi,θj])/(k))
If sign(m[θi,θj])=sign(m[θf,θj]) Then
If sign(m[θi,θj])=1 Then
m:=mRowAdd(−θc,mRow(θd,m,θf),θi,θf)
Else
m:=mRowAdd(θc,mRow(−θd,m,θf),θi,θf)
EndIf
Else
If sign(m[θi,θj])=1 Then
m:=mRowAdd(−θc,mRow(θd,m,θf),θi,θf)
Else
m:=mRowAdd(θc,mRow(−θd,m,θf),θi,θf)
EndIf
EndIf
If sign(θd)=1 Then
If sign(θc)=1 Then
Disp ma,"→",θd,"×F",θf,"-",θc,"×F",θi,"=",m
Else
Disp ma,"→",θd,"×F",θf,"+",abs(θc),"×F",θi,"=",m
EndIf
Else
If sign(θc)=1 Then
Disp ma,"→",abs(θd),"×F",θf,"+",θc,"×F",θi,"=",m
Else
Disp ma,"→",abs(θd),"×F",θf,"-",abs(θc),"×F",θi,"=",m
EndIf
EndIf
EndIf
EndFor
EndPrgm
Probamos outros valores  i,  j  para familiarizarnos co uso dese programa.

55. 55
Matrices Prácticas
Analogamente se fai coas calculadoras TI-89 Titanium e Voyage 200; nestas versións pode facerse
a saída de pantalla paso a paso. Non se poñen copias de pantalla para non recargar o documento.
Como se ve, cuns pequenos algoritmos poden facerse programas ou funcións que permiten acele-
rar o traballo, … e adaptar as calculadoras para optimizar o seu uso segundo ás necesidades de ca-
da persoa.
 Nas PAU en Galicia preséntanse dificultades para o uso de calculadoras programabeis, polo
que o uso destas calculadoras debe facerse para apoiar o cálculo manual que se describe, para
comprobar os cálculos feitos, para explorar opcións, … e non para substituír ese cálculo ma-
nual. Tamén como entrenamento para o seu uso nas facultades, escolas técnicas, FP, …

56. 56
1. Determinantes: definición e propiedades
Prácticas
DETERMINANTES
1. DETERMINANTES: DEFINICIÓN E PROPIEDADES
 a11 a12  a1 j
 a1n  Sexa unha matriz cadrada A de orde n  n .
 
 a21 a22  a2 j  a2 n 
Os elementos da matriz aij  A están identificados polos su-
     
A  bíndices, onde o primeiro representa a fila na que se atopa e
 ai1 ai 2  aij  ain  o segundo a columna.
      A matriz represéntase habitualmente entre parénteses ou cor-
 
a an 2  anj  ann  chetes, como se ve na matriz adxunta.
 n1 
 Dada unha matriz cadrada de orde n  n , chámase determinante de A , e represéntase por
det  A  ou máis frecuentemente por A , ao número que se obtén como resultado de sumar
todos os posibles produtos de n elementos, un de cada fila e un de cada columna, antepo-
ñéndolle o signo «  » ou «  » diante de cada produto segundo que as inversións nas per-
mutacións dos subíndices das filas e das columnas sexan da mesma ou de distinta clase; é
dicir:
a11 a12  a1 j  a1n
a21 a22  a2 j  a2 n
     
   1 a1 a2   an
k
A
ai1 ai 2  aij  ain
     
an1 an 2  anj  ann
  1 a1 a2   an , onde  ,  , …,  recorren tódalas n ! permutacións dos números
k
1 , 2 , …, n ; o signo «  » ou «  » diante de cada termo do determinante (é dicir, diante
de cada produto) determínase polo número k de inversións (“desordes”) de cada permuta-
ción.
• Por exemplo, o termo a13 a21a34 a42 do determinante de cuarto orde ten o signo “me-

 
nos”, xa que a disposición 3,1, 4, 2 dos segundos subíndices de letras ten tres inver-
sións, que sinalamos con arcos, mentres que a dos primeiros subíndices non ten nin-
gunha.
Esta definición é bastante “complexa”, polo que na práctica diaria para o cálculo dos determinantes
se utilizan “procedementos abreviados” segundo sexan os determinantes.
Temos que lembrar fundamentalmente que:
 O determinante dunha matriz n  n é o resultado de sumar todos os posibles produtos de n
elementos, un de cada fila e un de cada columna, co seu signo ou co signo cambiado se-
gundo un certo criterio.
1.1. Determinantes de orde 2 e 3. Regra de Sarrus
 O determinante dunha matriz cadrada de orde dúas é un número que se obtén do seguinte
xeito:
a11 a12
a a12 
A   11  ; A  det  A   a11a22  a12 a21   
 a21 a22 
a22 a21
O determinante de A desígnase, indistintamente, das seguintes formas:
a a12  a11 a12
det A , det  A  , det  11 , A , .
 a21 a22  a21 a22

57. 57
Determinantes Prácticas
7 1
103. Calcula o valor do determinante .
2 4
Solución:
7 1
 7  4  2   1  28  2  30 .
2 4
4 11
104. Calcula o valor do determinante .
6 0
Solución:
4 11
 4  0  6 11  0  66  66 .
6 0
 O determinante dunha matriz 3  3 obtense do seguinte xeito:
a11 a12 a13
a21 a22 a23  a11a22 a33  a12 a23 a31  a13 a21a32  a13 a22 a31  a12 a21a33  a11a23 a32 .
a31 a32 a33
• En cada produto hai un factor de cada fila e un de cada columna. Para comprobalo,
observamos que en cada produto hai tres elementos. Os primeiros subíndices (filas)
son, sempre, 123 . Os segundos subíndices son tamén 123 , pero ordenados de diversas
formas.
• Están tódolos posibles produtos cun factor de cada fila e un de cada columna, pois os
subíndices das columnas son todas as permutacións de 1, 2, 3. Hai 3!  6 .
• A metade dos sumandos ten signo  e a outra metade signo  . Estes seis sumandos
lémbranse facilmente coa seguinte regra mnemotécnica, chamada regra de Sarrus:
3 2 5
105. Calcula o valor do determinante 1 7 3 .
4 1 0
Solución:
3 2 5
1 7 3  Aplicamos a regra de Sarrus:
4 1 0
Co signo  : 5  24  0  19 Co signo  :  140  9  0   149
Polo tanto, o determinante vale: 19  149  168 .

58. 58
1. Determinantes: definición e propiedades
Prácticas
7 4 3
106. Calcula o valor do determinante 0 11 1 .
0 0 5
Solución:
Nas matrices triangulares, o único sumando non nulo no desenvolvemento do seu determinante é o
da diagonal principal. Polo tanto:
7 4 3
0 11 1  7 11  5  385 .
0 0 5
As calculadoras TI que empregamos contan coa
función det   que permite calcular directamen-
te o determinante dunha matriz cadrada.
5 1 4
107. Calcula o valor do determinante 0 3 6 .
9 6 8
Solución:
5 1 4
0 3 6   5  3  8  1  6  9  4  0  6    4  3  9  1  0  8  5  6  6   114 .
9 6 8
9 0 3
108. Calcula o valor do determinante 1 1 0 .
0 2 1
Solución:
9 0 3
1 1 0   9 11  0  0  0  3   1  2    3 1  0  0   1 1  9  0  2   3.
0 2 1
0 4 1
109. Calcula o valor do determinante 1 2 1 .
3 0 1
Solución:
0 4 1
1 2 1   0  2 1  4 1  3   1 1  0     1  2  3  4 1 1  0 1   12   6  4   14 .
3 0 1

59. 59
Determinantes Prácticas
10 47 59
110. Calcula o valor do determinante 0 10 91 .
0 0 10
Solución:
10 47 59
0 10 91  1000 .
0 0 10
1.2. Propiedades dos determinantes
As seguintes propiedades, que exemplificamos/xustificamos con determinantes de orde 2 e orde 3,
son válidas para calquera orde.
 1. O determinante dunha matriz é igual có da súa transposta: A  At .
7 4 7 5
111.   7 11   5   4  97 .
5 11 4 11
2. Se un determinante ten unha liña (fila ou columna) de ceros, daquela o seu determi-
nante é cero.
• É cero porque en cada un dos sumandos hai un factor cero.
0 0
112.  06  07  0 .
7 6
3. Se permutamos dúas liñas (filas ou columnas) dunha matriz, o seu determinante cam-
bia de signo.
• O sumando con signo máis pasa a ter signo menos, e viceversa.
5 3 3 5
113.  35  6  29  6  35  29 .
2 7 7 2
3 1 7
2 4 8  3  4  9  2  6  7  1 8  5  7  4  5  3  8  6 1 2  9 Son os mesmos
5 6 9 sumandos pero
7 1 3 teñen os signos
8 4 2  7  4  5  3  8  6  1 2  9  3  4  9  7  2  6  1  8  5 cambiados
9 6 5
4. Se unha matriz ten dúas liñas (filas ou columnas) iguais, o seu determinante é cero.
• O sumando con signo máis coincide co sumando con signo menos.
4 11
114.  44  44  0 .
4 11
4 5 2
8 6 9  4  6  9  8  6   2   8  5  9  8  6   2   8  5  9  4  6  9 .
8 6 9

60. 60
1. Determinantes: definición e propiedades
Prácticas
5. Se multiplicamos cada elemento dunha liña (fila ou columna) por un número, o deter-
minante desa matriz queda multiplicado por ese número.
• Cada un dos sumandos queda multiplicado polo devandito número.
5 4 59 4 9
115.  5 .
3 11 3 11
3 1 7k
2 4 8k  3  4  9k  2  6  7 k  5 1  8k  5  4  7 k  2 1  9k  3  6  8k 
5 6 9k
3 1 7
 k  3  4  9  2  6  7  5  1  8  5  4  7  2 1  9  3  6  8   k 2 4 8 .
5 6 9
6. Se unha matriz ten dúas liñas (filas ou columnas) proporcionais, o seu determinante é
cero.
60 6 10  6 6 6 6
116.   10   10  0  0 .
70 7 10  7 7 7 7
• Abonda con aplicar a propiedade 5. Ao extraer do determinante o factor de proporcio-
nalidade quédannos dúas liñas iguais que, pola propiedade 4, fan que o determinante
se anule.
7. Se unha liña (fila ou columna) dunha matriz é suma de dúas, o seu determinante pode
descompoñerse en suma dos determinantes de dúas matrices, do seguinte xeito:
a  a' b a b a' b
 
c c' d c d c' d
a11 a12  a '12 a13 a11 a12 a13 a11 a '12 a13
a21 a22  a '22 a23  a21 a22 a23  a21 a '22 a23
a31 a32  a '32 a33 a31 a32 a33 a31 a '32 a33
aa' b a b a' b
•   a  a '  d   c  c ' b   ad  cb    a ' d  c ' b    .
c c' d c d c' d
8. Se a unha columna (ou a unha fila) dunha matriz se lle suma outra columna (ou outra
fila) multiplicada por un número, o determinante da nova matriz é igual ao da primei-
ra.
a b  k a   a b a k a  a b a b
•  0  .
c d  k c c d c k c c d c d
 Pola propiedade 7.
a k a
 Pola propiedade 6, xa que as columnas da matriz son proporcionais.
c k c
2 5 3  11  5  16  2 2 5 3
117. 4 8 1  11  8  16  4  4 8 1 .
6 9 7  11 9  16  6 6 9 7

61. 61
Determinantes Prácticas
9. Se unha matriz ten unha liña que é combinación lineal das demais paralelas, daquela
o seu determinante é cero. E reciprocamente: se un determinante é cero, ten unha fila
(e unha columna) combinación lineal das demais.
• Pódese descompoñer en suma de varios determinantes, cada un dos cales é cero por
ter dúas liñas proporcionais.
10. O determinante do produto de dúas matrices é igual ao produto dos seus determinan-
tes: A  B  A  B .
2 5   1 7  8 34 
118. A , B   , A B   ;
 7 20   2 4   33 129 
A  5 ; B  18 , A  B  90  A  B .
1 1
10’. Se A  0  A1  . En efecto: A1  A  I  A1  A  1  A1  .
A A
7 4 74
119. Sen desenvolver, proba que 1 6 16  0 .
9 3 93
Solución:
7 4 74 7 4 70  4 7 4 7 10  4
1 6 16  1 6 10  6  1 6 1 10  6  0 .
9 3 93 9 3 90  3 9 3 9 10  3
E cero pola propiedade 9. Columnas 1ª 10  2ª  3ª .
3 1 7
120. Xustifica, sen desenvolver, que 0 0 0 0.
1 11 4
Solución:
3 1 7
0 0 0  0  Ten unha fila de ceros. Propiedade 2.
1 11 4
4 1 7
121. Xustifica, sen desenvolver, que 2 9 1  0 .
8 2 14
Solución:
4 1 7
2 9 1  0  A 3ª fila é combinación lineal da 1ª: 3ª  1ª   2  . Propiedade 6.
8 2 14
7 4 1
122. Xustifica, sen desenvolver, que 2 9 7  0 .
27 94 71
Solución:
7 4 1
2 9 7  0  A 3ª fila é combinación lineal da 1ª e 2ª: 3ª  2ª 10  1ª . Propiedade 9.
27 94 71

62. 62
1. Determinantes: definición e propiedades
Prácticas
45 11 10
123. Xustifica, sen desenvolver, que 4 1 1  0 .
5 1 0
Solución:
45 11 10
4 1 1  0  A 1ª fila é combinación lineal das outras dúas: 1ª  2ª 10  3ª . Propiedade 9.
5 1 0
1 4 1 6
2 5 11 4
124. Xustifica porque é cero o seguinte determinante .
1 4 1 6
3 12 4 2
Solución:
A propiedade 4 dos determinantes di que se unha matriz cadrada ten dúas liñas paralelas iguais, o
seu determinante é cero. Neste caso, son iguais as filas 1ª e 3ª, polo tanto, o determinante é cero.
x  2 1  2x
125. Resolve a ecuación  0.
x x2
Solución:
x  2 1  2x
 0  x 2  x  2   x 1  2 x   0  x 3  2 x 2  x  2 x 2  0  x 3  x  0 
x x2
x  0
 x  x 2  1  0   .
 x  1
Solución: x  1 , x  0 , x  1 .
As calculadoras TI que empregamos axudan na
resolución directa deste tipo de exercicios, como
se ve nas copias de pantalla adxuntas.
x y z 3 x 3 y 3z
126. Tendo en conta que 5 0 3  1 calcula sen desenvolver 5 0 3 .
1 1 1 1 1 1
Solución:
3 x 3 y 3z x y z
5 0 3  3  5 0 3  3 1  3 .
1 1 1 1 1 1

63. 63
Determinantes Prácticas
x y z 5x 5 y 5z
127. Tendo en conta que 5 0 3  1 calcula sen desenvolver 1 0 3 .
5
1 1 1 1 1 1
Solución:
5x 5 y 5z x y z
1 0 3  5  1 5 0 3  1 1  1 .
5 5
1 1 1 1 1 1
x y z x y z
128. Tendo en conta que 5 0 3  1 calcula sen desenvolver 2 x  5 2 2z  3 .
1 1 1 x 1 y 1 z 1
Solución:
x y z x y z
2x  5 2 2z  3  5 0 3  1 .
x 1 y 1 z 1 1 1 1
4 3 1 27
1 1 4 9
129. Xustifica o valor do seguinte determinante 0.
2 4 1 36
0 6 2 54
Solución:
4 3 1 27
1 1 4 9
 0  A columna 4ª é proporcional á 2ª: 2ª 9  4ª (propiedade 6).
2 4 1 36
0 6 2 54
4 7 0 2
1 3 0 6
130. Xustifica porque é cero o seguinte determinante .
3 0 0 1
2 1 0 3
Solución:
A propiedade 2 dinos que un determinante é nulo se ten unha liña de ceros. Neste caso, todos os
elementos da 3ª columna son cero.
1 0 1 0
2 4 0 3
131. Xustifica o valor do seguinte determinante 0.
612 704 410 103
6 7 4 1
Solución:
1 0 1 0
2 4 0 3
0.
612 704 410 103
6 7 4 1
A 3ª fila é combinación lineal das outras: 1ª 10  2ª 4ª 100  3ª (propiedade 9).

64. 64
1. Determinantes: definición e propiedades
Prácticas
3 2 7 8 3278
7 4 5 6 7456
132. Xustifica porque é cero o seguinte determinante 6 1 3 9 6139 .
1 5 0 4 1504
0 0 0 1 1
Solución:
3 2 7 8 3278 3 2 7 8 3 1000  2 100  7 10  8
7 4 5 6 7456 7 4 5 6 7 1000  4 100  5 10  6
6 1 3 9 6139  6 1 3 9 6 1000  1 100  3 10  9  0 .
1 5 0 4 1504 1 5 0 4 1 1000  5 100  0 10  4
0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1000  0 100  0 10  1
Aplicamos a propiedade 9 dos determinantes, que di que, se unha matriz ten unha liña que é com-
binación lineal das demais paralelas, daquela o seu determinante é cero. Neste caso, a 5ª columna é
combinación lineal das catro primeiras:
Por columnas 1ª 1000  2ª 100  3º 10  4ª  5ª .
4 0 0 0
0 0 8 0
133. Xustifica se o valor do determinante é 96 ou 96 .
0 0 0 1
0 3 0 0
Solución:
4 0 0 0
96
0 0 8 0 
 ou ; 4  8 1   3   96 ;
0 0 0 1 
 96
0 3 0 0
este é o único produto posible distinto de cero. Polo tanto, o determinante valerá 96 ou 96 , se-
gundo o signo que lle corresponda a dito produto.
1 0 0 0
4 1 0 0
134. Xustifica se o valor do seguinte determinante é 1 ou 1 .
7 1 1 0
3 1 4 1
Solución:
1 0 0 0
1
4 1 0 0 
 ou ; 1   1 1 1  1 ;
7 1 1 0 
 1
3 1 4 1
este é o único produto posible distinto de cero. Polo tanto, o determinante valerá 1 ou 1 , segundo
o signo que lle corresponda a dito produto.
3 4 5
135. Calcula o valor de a que anula o determinante 1 1 1 .
1 1 a
Solución:
3 4 5
1 1 1  3a  4  5  5  4a  3  7  7a ; 7  7a  0  a  1 .
1 1 a
Solución: a  1 .

65. 65
Determinantes Prácticas
1 x 1 x
136. Resolve a ecuación  12 .
1 x 1 x
Solución:
1 x 1 x
 12  1  x   1  x   12  1  2 x  x 2  1  2 x  x 2  12  4 x  12  x  3 .
2 2
1 x 1 x
Solución: x  3 .
As calculadoras TI que empregamos axudan na
resolución directa deste tipo de exercicios, como
se ve nas copias de pantalla adxuntas.
m n p 2m
137. Se  5 , xustifica cal é o valor do determinante .
p q q 2n
Solución:
p 2m 4 p m 2 p q  3 m n
2 2 2  2   5   10 .
q 2n q n m n p q
 2 O determinante dunha matriz coincide co da súa transposta.
 3 Se cambiamos a orde de dúas filas ou dúas columnas, o determinante cambia de signo.
 4 Se multiplicamos unha fila ou unha columna por un número, o determinante queda multipli-
cado por ese número.
m n m  3n p  3q
138. Se  5 , xustifica cal é o valor do determinante .
p q n q
Solución:
m  3n p  3q 1 m p 2 m n
 5 .
n q n q p q
1 Se a unha fila lle sumamos outra multiplicada por un número, o determinante non varía.
 2 O determinante dunha matriz coincide co da súa transposta.
m n 3n m
139. Se  5 , xustifica cal é o valor do determinante .
p q 3q p
Solución:
3n m 4 n m  3 m n
3 3  3   5   15 .
3q p q p p q
 3 Se cambiamos a orde de dúas filas ou dúas columnas, o determinante cambia de signo.
 4 Se multiplicamos unha fila ou unha columna por un número, o determinante queda multipli-
cado por ese número.

66. 66
2. Menor complementario e adxunto
Prácticas
2. MENOR COMPLEMENTARIO E ADXUNTO
 Se nunha matriz seleccionamos r filas e r columnas, os elementos nos que se cruzan for-
man unha submatriz cadrada de orde r .
• O determinante desa submatriz chámase menor de orde r da matriz inicial.
7 5 2 9 3
   5 2 3
140. Na matriz 
2 4 6 3 6  Seleccionamos un menor
  3 0 2  23 .
9 3 0 8 2  de orde tres. O seu valor é:
1 1 0
5 1 2 0
 1 
 • Se nunha matriz cadrada n  n salientamos un elemento, aij ao suprimir a súa fila e a
súa columna obtense unha submatriz  n  1   n  1 .
O seu determinante é un menor de orde n  1 que se chama menor complementario
do elemento aij e que se designa por  ij .
i j
• Chámaselle adxunto de aij ao número Aij   1   ij , é dicir, ao menor comple-
mentario co seu signo ou co signo cambiado, segundo que i  j sexa par ou impar.
3 7 3 11
 
4 2 0 7
141. Dada a matriz M  
4
calcula:
6 2 2
 
0 4 6 5
141.1.Un menor de orde 2.
141.2.O menor complementario do elemento a32 .
141.3.O adxunto do elemento a32 .
Solución:
3 7 11 
3
 
4 2 7 
0
141.1.  Seleccionamos as filas 1ª e 4ª e as columnas 2ª e cuarta.
4 6 2 
2
 
0 5 
 4 6 
7 11
O menor de orde 2 seleccionado é, pois,  9 .
4 5
 3 3 11
7
  3 3 11
 4 2 0 7
141.2.    4 0 7 . O menor complementario do elemento a32  6 é:
 4 6 2 2 0 6 5
 6 5
 0 4 
3 3 11
 32  4 0 7  198 .
0 6 5
141.3. O seu adxunto é: A32   1  32   1 198  198 .
3 2 5

67. 67
Determinantes Prácticas
142. Calcula dous menores de orde dous e outros dous menores de orde tres da matriz
 2 3 1 5
 
4 6 2 7
M   5 1 2 6 .
 
4 1 1 5
0 0 3 4
 
Solución:
2 3 1
 2 3 1 5 2 3 1 5 
  2 3   4 6 2  68.
4 6 2 7  0 4 6 2 7 5 1
4  
6 2
 5 1 2 6   , 5 1 2 6 
    1
1 1
3 4
2 6
4 1 1 5  1 1 5 
  0 3   1 1 5  21.
0 0 3 4 0 0 3 4 
 0
 3 4
0 2 4 6
143. Calcula o menor complementario e o adxunto dos elementos a12 ,  
2 1 3 5
a33 , a43 da matriz anexa. A
1 1 2 3
 
Solución: 4 6 5 7
0 2 4 6
  2 3 5
1
143.1. 
2 3 5
 12  1 2 3  2 ; A12   1  12   1  2   2 .
1 2 3
1 1 2 3 

4  4 5 7
 6 5 7
0 2 4 6
  0 2 6
1
143.2. 
2 3 5
  33  2 1 5  108 ; A33   1   33   1 108  108 .
3 3 6
1 1 2 3

4  4 6 7
 6 5 7

0 2 4 6
  0 2 6
1
143.3. 
2 3 5
  43  2 1 5  16 ; A43   1   43   1 16  16 .
43 7
1 1 2 3 

4  1 1 3
 6 5 7
As calculadoras TI que empregamos non permi-
ten directamente obter os menores complemen-
tarios e adxuntos dun elemento.
3. DESENVOLVEMENTO DUN DETERMINANTE POLOS ELEMENTOS DUNHA LIÑA
Imos estudar dúas novas propiedades dos determinantes. A primeira resultará moi útil para calcu-
lar determinantes de orde maior que 3.

68. 68
3. Desenvolvemento dun determinante polos elementos dunha liña
Prácticas
 11. Se os elementos dunha fila ou columna dunha matriz cadrada se multiplican polos
seus respectivos adxuntos e se suman os resultados, obtense o determinante da matriz
inicial. Dise entón que o determinante está desenvolvido polos elementos desa liña.
• Por exemplo, o desenvolvemento dun determinante de orde 3 polos elementos da se-
gunda fila é:
 a11 a12 a13 
 
A   a21 a22 a23  , A  a21 A21  a22 A22  a23 A23 .
a a33 
 31 a32 
A  a11a22 a33  a21a32 a13  a31a12 a23  a31a22 a13  a21a12 a33  a11a32 a23 
 a21  a32 a13  a12 a33   a22  a11a33  a31a13   a23  a31a12  a11a32  
a12 a13 a11 a13 a11 a12
 a21   1  a22   a23   1  a21 A21  a22 A22  a23 A23 .
a32 a33 a31 a33 a31 a32
 3 1 17 
 
144. Calcula o determinante da matriz A   4 13 2  .
 1 6 3 
 
144.1.Desenvolvéndoo pola 3ª columna.
144.2.Desenvolvéndoo pola 2ª fila.
Solución:
4 13 3 1 3 1
144.1. 3ª columna: A  17    2     3   
1 6 1 6 4 13
 17   37   2   19   3  35  772 .
1 17 3 17 3 1
144.2. 2ª fila: A  4   13    2   
6 3 1 3 1 6
 4  99  13   26   2   19   772 .
3 5 1 8
2 0 7 3
145. Calcula o determinante .
4 1 6 2
2 1 3 9
Solución:
Ímolo calcular desenvolvéndoo polos elementos dunha liña. Escollemos a segunda fila, pois, ao ter
un cero, aforramos calcular o adxunto correspondente (cero por algo é cero).
3 5 1 8
5 1 8 3 5 8 3 5 1
2 0 7 3
 2  1 6 2  0  7  4 1 2  3  4 1 6 
4 1 6 2
1 3 9 2 1 9 2 1 3
2 1 3 9
 2  287  7   151  3   11  450 .

69. 69
Determinantes Prácticas
15 4 8 6
0 9 11 11
146. Calcula o determinante A .
2 1 33 8
0 0 6 0
Solución:
Se o desenvolvemos polos elementos da cuarta fila, o proceso será moi cómodo porque todos os
seus elementos, agás un, son ceros:
15 4 8 6
15 4 6
0 9 11 11
A  6  0 9 11  6  895  5370 .
2 1 33 8
2 1 8
0 0 6 0
 12. Se os elementos dunha fila (ou columna) se multiplican polos respectivos adxuntos
doutra paralela, o resultado da suma é cero.
• Por exemplo: a21 A31  a22 A32  a23 A33  0 .
a11 a12 a13
a12 a13 a11 a13 a11 a12
 A31   A32   A33      a21 a22 a23
a22 a23 a21 a23 a21 a22
  
A última igualdade débese a que o que hai arriba é o desenvolvemento do determi-
nante de abaixo segundo os elementos da terceira fila.
Se  ,  ,  son, respectivamente, a21 , a22 , a23 , o determinante ten dúas filas iguais
e, polo tanto, é cero.
147. Calcula o seguinte determinante aplicando a regra de Sarrus e desenvolvéndoo por cada
unha das súas filas e cada unha das súas columnas, comprobando que se obtén o mesmo resultado
nos sete casos:
3 7 1
5 2 6 .
9 8 4
Solución:
147.1. Aplicando a regra de Sarrus:
3 7 1
5 2 6  3  2  4  7  6  9   5   8   1   1  2  9  7   5   4  3  6  8  456 .
9 8 4
147.2. Desarrollando pola 1ª fila:
3 7 1
2 6 5 6 5 2
5 2 6  3  7   1   3   40   7   74    1 58  
8 4 9 4 9 8
9 8 4
 120  518  58  456 .
147.3. Desarrollando pola 2ª fila:
3 7 1
7 1 3 1 3 7
5 2 6     5    2  6  5  36  2  21  6   39  
8 4 9 4 9 8
9 8 4
 180  42  234  456 .

70. 70
3. Desenvolvemento dun determinante polos elementos dunha liña
Prácticas
147.4. Desarrollando pola 3ª fila:
3 7 1
7 1 3 1 3 7
5 2 6  9  8  4  9  44  8 13  4  41 
2 6 5 6 5 2
9 8 4
 396  104  164  456 .
147.5. Desarrollando pola 1ª columna:
3 7 1
2 6 7 1 7 1
5 2 6  3    5   9  3   40   5  36  9  44 
8 4 8 4 2 6
9 8 4
 120  180  396  456 .
147.6. Desarrollando pola 2ª columna:
3 7 1
5 6 3 1 3 1
5 2 6   7   2 8  7   74   2  21  8 13 
9 4 9 4 5 6
9 8 4
 518  42  104  456 .
147.7. Desarrollando pola 3ª columna:
3 7 1
5 2 3 7 3 7
5 2 6   1  6 4  1   58  6   39   4  41 
9 8 9 8 5 2
9 8 4
 58  234  164  456 .
 3 7 1 
148. Dada a matriz  5 2 6  :
 
9 8 4
 
148.1.Calcula a suma dos produtos de cada elemento da 1ª fila polo correspondente adxunto da 3ª
fila.
148.2.Calcula a suma dos produtos de cada elemento da 3ª columna polo adxunto dos correspon-
dentes elementos da 2ª columna.
148.3.Xustifica por qué os dous resultados anteriores son cero.
Solución:
7 1 3 1 3 7
148.1. a11  A31  a12  A32  a13  A33  3   7   1 1   3  44  7 13  1  41 
2 6 5 6 5 2
 132  91  41  0 .
5 6 3 1 3 1
148.2. a13  A12  a23  A22  a33  A32  1   1 6  4   1 
9 4 9 4 5 6
 1  74  6  21  4   13   74  126  52  0 .
148.3. Pola propiedade 12.
7 0 3 4
4 0 4 7
149. Calcula o determinante .
3 7 6 9
1 0 1 9
Solución:
7 0 3 4
7 3 4
4 0 4 7
 7   1 4 4 7  7   290   2030 .
3 7 6 9
1 1 9
1 0 1 9

71. 71
Determinantes Prácticas
3 1 1 3
1 4 1 4
150. Calcula o determinante .
0 3 2 5
2 0 0 2
Solución:
3 1 1 3
1 1 3 3 1 1
1 4 1 4
I.  2   1 4 1 4  2  1 4 1  2   28   2  28  0 .
0 3 2 5
3 2 5 0 3 2
2 0 0 2
II. Tamén se podería ter observado que a 4ª columna é igual á suma das outras tres, e polo tanto,
o determinante é 0.
0 0 3 4
1 1 1 0
151. Calcula o determinante .
2 0 3 5
0 2 0 1
Solución:
0 0 3 4
0 3 4 0 3 4
1 1 1 0
 1   1 0 3 5  2  1 1 0  1   6   2   11  28 .
2 0 3 5
2 0 1 2 0 1
0 2 0 1
3 1 4 0
5 6 2 0
152. Calcula o determinante .
0 1 3 0
8 6 7 1
Solución:
3 1 4 0
3 1 4
5 6 2 0
 1 5 6 2  83 .
0 1 3 0
0 1 3
8 6 7 1
4. MÉTODO PARA CALCULAR DETERMINANTES DE CALQUERA ORDE
Como vimos antes, para calcular un determinante de orde grande resulta moi vantaxoso que teña
algunha fila con varios ceros, cantos máis, mellor.
Se non os ten debemos “producir ceros”. A idea para fabricar ceros é moi similar á que se utiliza
no método de Gauss para calcular o rango dunha matriz ou para buscar a matriz inversa.
Aquí, nos determinantes, aplicaremos a propiedade 8: «Se a unha liña lle sumamos o produto du-
nha paralela por un número, o seu determinante non varía».
 Hai que ter en conta tamén a propiedade 5: «Se multiplicamos cada elemento dunha liña (fila
ou columna) por un número, o determinante desa matriz queda multiplicado por ese núme-
ro», xa que nos casos anteriores, cando usabamos o método de Gauss, frecuentemente multi-
plicábamos unha liña por un número e lle sumábamos outra liña multiplicada por outro nú-
mero; para o cálculo de determinantes debe facerse tendo en conta a propiedade 5.

72. 72
4. Método para calcular determinantes de calquera orde
Prácticas
7 4 1 9
2 0 6 3
153. Calcula o determinante facendo ceros nalgunha liña .
5 1 6 11
1 7 2 8
Solución:
Imos desenvolver o determinante polos elementos da segunda columna porque xa hai un cero e, o
que é máis importante, hai un 1 que facilita “facer máis ceros”:
7 4 1 9 1ª 4  3ª 13 0 23 35
13 23 35
2 0 6 3 2ª 2 0 6 3
 1   1 2 6 3  1628 .
5 1 6 11 3ª 5 1 6 11
36 40 69
1 7 2 8 4ª 7  3ª 36 0 40 69
 É conveniente lembrar o uso da tecla ans para non ter que teclear as matrices intermedias.
3 5 2 2
4 7 8 27
154. Calcula o determinante .
1 5 3 12
5 1 0 6
Solución:
De dúas maneiras:
3 5 2 21ª 5  2ª C 28 5 2 32
28 2 32
4 7 8 27 2ª 31 7 8 15
I.   1  31 8 15  0 .
1 5 3 12 3ª 24 5 3 18
24 3 18
5 1 0 6 4ª 6  2ª 0 1 0 0
3 5 2 2
4 7 8 27
II.  0 (en columnas: 4ª  1ª 2ª 2  3ª ).
1 5 3 12
5 1 0 6

73. 73
Determinantes Prácticas
 1  6 5 8
2 7 7 3
155. Calcula o valor do determinante .
 2 4 3 3
4 3 1 4
Solución:
 1  6 5 8 1ª 1 6 5 8
19 3 13
2 7 7 3 2ª 2 1ª 0 19 3 13
  1   1
11
I. 8 13 13 
 2 4 3 3 3ª 2 1ª 0 8 13 13
27 19 36
4 3 1 4 4ª 4 1ª 0 27 19 36
 1 1801  1801 .
C
 1  6 5
8 1ª 1 0 0 0
19 3 13
2 7 7 3 2ª 6 1ª 2 19 3 13
  1   1
11
II. 8 13 13 
2 4 3 3 3ª 5 1ª 2 8 13 13
27 19 36
4 3 1 4 4  8 1ª 4 27 19 36
  1 1801  1801 .
3 3 4 4
2 9 2 6
156. Calcula o valor do determinante .
6 1 7 2
8 5 8 5
Solución:
3 3 4 4 1ª 3  3ª 21 0 17 10
21 17 10
2 9 2 6 2ª 9  3ª 56 0 65 24
  1   1
3 2
I. 56 65 24 
6 1 7 2 3ª 6 1 7 2
38 43 15
8 5 8 5 4ª 5  3ª 38 0 43 15
  1   1  593  593 .
C
3 4 4 1ª 6  2ª
3 21 3 17 10
21 17 10
2 9 2 6 2ª 56 9 65 24
  1   1 56 65 24 
3 2
II.
6 1 7 2 3ª 7  2ª 0 1 0 0
38 43 15
8 5 8 5 4  2  2ª 38 5 43 15
  1   1   593   593 .
4 2 7 1
2 5 3 6
157. Calcula o determinante .
2 0 4 3
6 2 8 0
Solución:
4 2 7 1 1ª 3  2ª C 2 2 1 1
 2 1 1
2 5 3 6 2ª 17 5 23 6
 2  17 23 6  2 145  290 .
2 0 4 3 3ª 4  2ª 2 0 4 3
2 4 3
6 2 8 0 4ª 0 2 0 0
As fórmulas que usamos para as calculadoras TI, en todas as súas versións, permiten o traballo con
filas pero non con columnas. Podemos facer paso a paso o anterior exemplo co uso das TI? Usan-
do a transposta dunha matriz pode facerse, e tense o seguinte:
 É conveniente lembrar o uso da tecla ans para non ter que teclear as matrices intermedias.

74. 74
4. Método para calcular determinantes de calquera orde
Prácticas
Analogamente se pode facer con TI-89 Titanium ou Voyage 200.
9 9 4 2
4 8 3 3
158. Calcula o valor do determinante .
4 7 6 3
7 6 2 9
Solución:
Este determinante non ten ningún 1, pero podemos facelo facilmente restándolle á primeira fila a
segunda, ou restándolle á segunda fila a terceira, ou sumándolle á segunda fila a primeira fila, ou
restándolle á segunda columna a terceira columna, ou sumándolle á primeira columna a cuarta co-
lumna, ….

75. 75
Determinantes Prácticas
9 9 4 2 1ª 2ª 5 1 7 5 1ª 5 1 7 5
4 8 3 3 2ª 4 8 3 3 2ª 8 1ª 36 0 59 43

4 7 6 3 3ª 4 7 6 3 3ª 7 1ª 31 0 43 32
7 6 2 9 4ª 7 6 2 9 4ª 6 1ª 37 0 40 39
36 59 43
 1   1 31 43 32   1   2276   2276 .
1 2
37 40 39
E analogamente usando TI-89 Titanium ou Voyage 200. Hai que lembrar que para coller a solu-
ción anterior sempre se usa a tecla ANS , e non se reescribe a matriz.

76. 76
4. Método para calcular determinantes de calquera orde
Prácticas
1 3 5 2 0
4 1 2 1 1
159. Calcula o determinante facendo ceros nalgunha liña 3 5 0 1 2 .
1 1 3 1 0
4 0 5 1 3
Solución:
1 3 5 2 0 1ª 1 3 5 2 0
1 3 5 2
4 1 2 1 1 2ª 4 1 2 1 1
11 7 4 3
7 4 3 0   1   1
2 5
3 5 0 1 2 3ª 2ª 2 11 
1 1 3 1
1 1 3 1 0 4ª 1 1 3 1 0
16 3 11 2
4 0 5 1 3 5ª 2ª 3 16 3 1 1 2 0
1 3 5 2 1ª 4ª 17 6 6 0
17 6 6 17 6 6
11 7 4 3 2ª 3  3ª 14 10 13 0
 1   1 14 10 13   1 14 10 13
3 4

1 1 3 1 3ª 1 1 3 1
18 5 17 18 5 17
16 3 11 2 4ª 2  3ª 18 5 17 0
1ª 3  2ª C 1 6 0 1ª C 1 0 0
86 3
 1 16  1 16 3   1 1 1
11
2ª 10 3 2ª 6 1ª 86 
23 12
3ª 2ª  
3 5 12 3ª 3 23 12
86 3
  1101 .
23 12
 Este paso dáse para conseguir un 1 que sirva de base para “facer ceros”. Ás veces nos de-
terminantes 3  3 tamén pode convir “facer ceros”.
1 2 0 3 4
0 0 1 1 3
160. Calcula o determinante 1 0 1 2 1 .
3 1 0 0 1
 2  3 1 0 2
Solución:
1 2 0 3 4 1ª 1 2 0 3 4
1 2 3 4
0 0 1 1 3 2ª 0 0 1 1 3
1 0 1 4
4  1   1
23
1 0 1 2 1 3ª 2ª 1 0 0 1 
3 1 0 1
3 1 0 0 1 4ª 3 1 0 0 1
2 3 1 5
 2  3 1 0 2 5ª 2ª  2 3 0 1 5
1 2 3 4 1ª 3  2ª 2 2 0 8
2 2 8
1 0 1 4 2ª 1 0 1 4
  1   1   1 1   1
23
3 1 1 
3 1 0 1 3ª 3 1 0 1
1 3 9
2 3 1 5 4ª 2ª 1 3 0 9
 2 2 8
 3 1 1  16 .
 1 3 9

77. 77
Determinantes Prácticas
0 0 1 2
3 0 1 0
161. Calcula o determinante .
2 1 0 3
0 4 2 1
Solución:
0 0 1 2 1ª 0 0 1 2 C
0 1 2 1ª
3 0 1 0 2ª 3 0 1 0
 1   1 3 1 0 2ª
2 1 0 3 3ª 2 1 0 3
8 2 13 3ª 2  2ª
0 4 2 1 4ª 4  3ª 8 0 2 13
0 1 0
3 2 3 2
1   1 3 1 2  1 1   1   27  16  9 .
8 9 8 9
8 2 9
8 2 9 5
4 4 0 3
162. Calcula o valor do determinante .
6 6 6 9
8 5 5 9
Solución:
É un determinante que non ten ningún 1, pero pode producirse facilmente sumándolle á terceira
columna a primeira columna, ou sumándolle á primeira columna a cuarta columna, ou restándolle
á segunda columna a cuarta columna, ou sumándolle á terceira fila a cuarta fila, ou sumándolle á
cuarta fila a segunda fila, …
C
8 2 9 5 1ª  8 2 5 1ª 14  3ª9 134 11 9 5
4 4 0 3 2ª 4 4 0 3 2ª 3ª 4 4 0 3

6 6 6 9 3ª 4ª 14 1 1 0 3ª 0 0 1 0
8 5 5 9 4ª 8 5 5 9 4ª 78 0 5 9
134 11 5
 1   1 4 3  1 1   9354   9354 .
3 3
4
78 0 9

78. 78
5. Programando utilidades con TI
Prácticas
0 3 2 2
5 0 2 6
163. Calcula o valor do determinante .
 3 4 4 5
6 4 2 7
Solución:
Este determinante non ten ningún 1, pero podemos producilo sumándolle á segunda columna a ter-
ceira ou a cuarta, ou restándolle á segunda columna a primeira columna, ou sumándolle á terceira
columna a primeira columna, ou restándolle á segunda fila a terceira fila, ou sumándolle á cuarta
fila a segunda fila, ou restándolle á cuarta fila a segunda fila. …
C
0 3 2 2 1ª 0 1 2 2 1ª 0 1 2 2
5 0 2 6 2ª 3ª 5 2 2 6 2ª 2 1ª 5 0 6 10

 3 4 5 3ª
4 3 0 4 5 3ª 3 0 4 5
6 4 2 7 4ª 6 6 2 7 4ª 6 1ª 6 0 14 5
5 6 10 5 6 10
  1   1 5   1   1  3 4
1 2
3 4 5  640 .
6 14 5 6 14 5
5. PROGRAMANDO UTILIDADES CON TI
O método de facer ceros  0  a partir dun 1 ou un 1 é moi similar ao método de Gauss para facer
ceros nunha columna. Xa está feito un programa gaussm  m, i, j  , que non é exactamente apli-
cable para facer ceros en determinantes, porque hai que ter en conta a propiedade 5.
5.1. Programa gaussmd
Adáptase o programa gaussm  m, i, j  para que só traballe cando o pivote é un 1 ou un 1 ; ta-
mén debe modificarse a saída. Ponse o programa para TI-nspire CAS, e analogamente se fai para
TI-89 Titanium e Voyage 200, que na actualidade teñen máis capacidade de programación.
Define LibPub gaussmd(θm,θi,θj)= Else
Prgm m:=mRowAdd(θc,mRow(−θd,m,θf),θi,θf)
©gaussmd(θm,θi,θj) EndIf
Local m,k,θc,θd,θf,θdim,θs,ma EndIf
m:=θm If sign(θd)=1 Then
rowDim(θm)→θdim If sign(θc)=1 Then
If abs(θm[θi,θj])=1 Then Disp ma,"→F",θf,"-",θc,"×F",θi,"=",m
For θf,1,θdim Else
ma:=m Disp ma,"→F",θf,"+",abs(θc),"×F",θi,"=",m
If θf≠θi Then EndIf
θc:=m[θf,θj] Else
θd:=m[θi,θj] If sign(θc)=1 Then
If sign(m[θi,θj])=sign(m[θf,θj]) Then Disp ma,"→F",θf,"+",θc,"×F",θi,"=",m
If sign(m[θi,θj])=1 Then Else
m:=mRowAdd(−θc,mRow(θd,m,θf),θi,θf) Disp ma,"→F",θf,"-",abs(θc),"×F",θi,"=",m
Else EndIf
m:=mRowAdd(θc,mRow(−θd,m,θf),θi,θf) EndIf
EndIf EndIf
Else EndFor
If sign(m[θi,θj])=1 Then EndIf
m:=mRowAdd(−θc,mRow(θd,m,θf),θi,θf) EndPrgm

79. 79
Determinantes Prácticas
6. MÉTODOS RÁPIDOS PARA DETERMINANTES GRANDES
No que segue imos describir uns métodos moi eficientes para o cálculo de determinantes “gran-
des”, ou como mínimo de orde maior ou igual a tres. As actuais calculadoras e programas mate-
máticos para ordenador permite obviar este punto, pero en moitas escolas técnicas esíxese coñe-
celo.

80. 80
6. Métodos rápidos para determinantes grandes
Prácticas
6.1. Método abreviado de Araiztegui
 Utilízase con determinantes de orde maior ou igual a tres. Pode aplicarse sempre que o
elemento pivotal aij  0 , e utilízase fundamentalmente polos elementos das esquinas, a11 ,
an1 , a1n e ann por seren máis fáciles de construír os determinantes parciais. Redúcese un
grao en cada paso.
• Dunha maneira xeral, para a11 :
a11 a12 a11 a13 a11 a1n

a11 a12 a13  a1n a21 a22 a21 a23 a21 a2 n
 a11 a12 a11 a13 a11 a1n
a21 a22 a23 a2 n
 1
11

a31 a32 a33  a3n  a31 a32 a31 a33 a31 a3 n
 a11 
n2
        
an1 an 2 an 3  ann a11 a12 a11 a13 a11 a1n

an1 an 2 an1 an 3 an1 ann
 1  1
11 i j
• Considerando aij  0 , a expresión convértese en , e mantense o
 a11  a 
n2 n2
ij
mesmo formato.
6 1 3 2
8 1 5 6
164. Calcula co método de Araiztegui o determinante .
2 2 4 2
0 9 6 4
Solución:
I. Usando como pivote a11  6 :
6 1 6 3 6 2
6 1 3 2 8 1 8 5 8 6
14 6 20
 1
11
8 1 5 6 6 1 6 3 6 1 2
  10 18 16 
2 2 4 2 64 2 2 2 2 4 2 2 36
54 36 24
0 9 6 4 6 1 6 3 6 2
0 9 0 6 0 4
31248
  868 .
36
II. Este mesmo determinante desarrollado por a23  5 , resulta:
5 8 5 1 5 6
6 1 3 2 3 6 3 1 3 2
6 8 8
 1
2 3
8 1 5 6 5 8 5 1 5 1 6
  22 14 34 
2 2 4 2 54  2 4 2 4 2 4 2 25
48 39 56
0 9 6 4 5 8 5 1 5 6
6 0 6 9 6 4
21700
  868 .
25

81. 81
Determinantes Prácticas
6.2. Método Pivotal ou de Chio
 Este método é válido para desarrollar calquera determinante de orde maior ou igual a tres,
e a orde redúcese un grao en cada paso. O desarrollo ten que facerse por algún valor non
nulo (chamado pivote de Chio) e é especialmente rápido cando o pivote é un 1.
• Para un determinante de orde n  4 , o valor sería:
a11 a12 a13 a14
a23  a11  a13  a21 a23  a12  a13  a22 a23  a14  a13  a24
 1
23
a21 a22 a23 a 24
 a23  a31  a33  a21 a23  a32  a33  a22 a23  a34  a33  a24
 a23 
n 2
a31 a32 a33 a34
a23  a41  a43  a21 a23  a42  a43  a22 a23  a44  a43  a24
a41 a42 a43 a 44
6 1 3 2
8 1 5 6
165. Calcula co método de Chio o determinante .
2 2 4 2
0 9 6 4
Solución:
I. Usando como pivote a23  5 :
6 1 3 2
5 6  38 5   1  3 1 52  36 6 8 8
 1
2 3
8 1 5 6 1
 5  2  4  8 5   2   4 1 5   2   4  6  22 14 34 
2 2 4 2 52 25
5 0  6 8 5  9  6 1 5   4   6  6 48 39 56
0 9 6 4
 868 .
II. O mesmo exemplo desarrollado por a22  1 :
6 1 3 2
6   1  8 3   1  5 2   1  6 14 8 8
8 1 5 6
  1 2   2   8 4   2   5 2   2   6  18
2 2
14 10  868 .
2 2 4 2
0  9 8 6  95 4  9  6 72 39 58
0 9 6 4
6.3. Desarrollo simultáneo por unha fila e unha columna ou dobre desarrollo
 Este método só se utiliza con determinantes de orde maior ou igual a catro, e é especial-
mente interesante se existe algún cero no determinante, xa que facendo o desarrollo polo
cero redúcese nun único paso o orden do determinante en 2 puntos.
• Para un determinante de orde 4:
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24 n 1
 aij  Aij   1 a
i j
it  a kj  Atk
'
a31 a32 a33 a34 t 1
k 1
a41 a42 a43 a44

82. 82
6. Métodos rápidos para determinantes grandes
Prácticas
166. Calcula mediante o desarrollo simultáneo por fila e columna o determinante
6 1 3 2
8 1 5 6
.
2 2 4 2
0 9 6 4
Solución:
I. Usando como pivote a23  5 :
6 1 3 2
3
6 1 2
8 1 5 6
 a23  A23   1  a2t  ak 3  Atk  5   1
23 3 2
'
2 2 2 
2 2 4 2 t 1
k 1 0 9 4
0 9 6 4

 no 6  a11
crúzanse crúzanse crúzanse
   
no 1 a12 no 2  a13
2 2 2 2 1 3 2 2
  1  8  3   1   1  3   1  6  3   1
3 2 11 1 2

 9 4 0 4 0 9
        
 Menor complementario do Menor complementario do Menor complementario do
 6  a11 no adxunto de 5  a23
1
1 a12 no adxunto de 5  a23
1
2  a13 no adxunto de 5  a23
1
2 1 1 2 22 6 2 2 3 6 1
8  4   1  1  4   1  6  4   1  
9 4 0 4 0 9
1 2 6 2 6 1 
8  6   1  1  6   1  6  6   1
3 1 3 2 3 3
 
2 2 2 2 2 2 
 5   184    1 8  3  26  1  3  8  6  3 18  8  4 14  1  4   24  
6  4   54   8  6  6 1  6   16   6  6   10   
 920   624  24  324  448  96  1296  288  96  360   868 .
II. Este mesmo determinante desarrollado por a41 :
6 1 3 2
1 2 3
8 1 5 6
 0   1
4 1
1 5 6 
2 2 4 2
 2 4 2
0 9 6 4
 5 6 1 6 1 5
 1   4   6 
4 1
96  66 
 4 2 2 2 2 4
3 2 1 2 1 3 3 2 1 2 1 3 
9  8   6 8   4   8 9  2   62    4   2   
4 2 2 2 2 4 5 6 1 6 1 5
 0   1836  360  336  1008  288  64  144  96  64   868 .

83. 83
Determinantes Prácticas
0 1 4 9 3
5 0 7 9 3
167. Calcula mediante o dobre desarrollo o determinante 6 6 1 2 1 .
6 1 4 4 3
3 4 3 1 3
Solución:
0 1 4 9 3
0 7 9 3
5 0 7 9 3  1 2 1
6 1 2 1 
1  0   1   1
11 11
6 6 1 2
1 4 4 3 1  5  4 4 3 
6 4 3  3 1 3
1 4
4 3 1 3 
3 4 3 1 3
6 2 1 6 2 1 6 1 1 6 1 2
4  5  1 4 3 9  5  1 4 3 9  5  1 4 3 3  5  1 4 4 
4 1 3 4 1 3 4 3 3 4 3 1
7 9 3 0 9 3 0 7 3 0 7 9
1   6   4 4 3 4   6   1 4 3 9   6   1 4 3   3 6  1 4 4 
3 1 3 4 1 3  4  3 3 4 3 1
7 9 3 0 9 3 0 7 3 0 7 9
1   6   1 2 1 4   6   6 2 1 9   6   6 1 1   3 6  6 1 2 
3 1 3 4 1 3  4  3 3 4 3 1
7 9 3 0 9 3 0 7 3 0 7 9 

1   3 1 2 1 4  3  6 2 1 9   3 6 1 1 +  3 3  6 1 2  
4 4 3 1 4 3 1 4 3 1 4 4  
 0   325  900  5760  1335  360  2160  3564  216  660  2880  8856  3816 
75  1260  1566  639   27418.
1 2 3 4
4 5 1 2
168. Calcula mediante o dobre desarrollo o determinante .
3 0 1 2
2 6 5 4
Solución:
1 2 3 4
1 3 4
4 5 1 2 3 2  1 2 4 2 4 1 3 4
 0   1 4 1 2   1  3  2 
3 2
1  2  2  2  3  5  +
3 0 1 2
2 5 4  5 4 2 4 2 5 5 4
2 6 5 4
1 4 1 3 3 4 1 3 1 4
1  5  2  5  3  6  1  6 
  2  6 
2 4 2 5 1 2 4 2 4 1
 0   36  24  72  120  20  10  36  84  132   110 .

84. 84
7. O rango dunha matriz a partir dos seus menores
Prácticas
0 8 7 2 3
9 8 3 3 7
169. Calcula mediante o dobre desarrollo o determinante 3 7 3 9 8 .
1 1 6 2 2
2 3 5 5 9
Solución:
0 8 7 2 3
8 3 3 7
9 8 3 3 7  3 9 8 7 9 8
7 3 9 8 
7 3 9 8  0   1   1
11 11
3
1 6 2 2  8  9  6 2 2 7  9  1 2 2 +
 5 5 9 3 5 9
1 1 6 2 2
3 5 5 9 
2 3 5 5 9
7 3 8 7 3 9 3 3 7 8 3 7 8 3 7
2  9  1 6 2 3  9  1 6 2 8  3  6 2 2 7  3  1 2 2 2  3  1 6 2 
3 5 9 3 5 5 5 5 9 3 5 9 3 5 9
8 3 3 3 3 7 8 3 7 8 3 7 8 3 3 3 3 7
3  3  1 6 2 8  1  3 9 8 7  1  7 9 8 2  1  7 3 8 3  1  7 3 9 8  2  3 9 8 
3 5 5 5 5 9 3 5 9 3 5 9 3 5 5 6 2 2
8 3 7 8 3 7 8 3 3
7  2  7 9 8 2  2  7 3 8 3  2  7 3 9    15264 1323 3510 702 768 1008
1 2 2 1 6 2 1 6 2
1512 1116 384 1869 78 558 3264 462 324 1692   13350 .
7. O RANGO DUNHA MATRIZ A PARTIR DOS SEUS MENORES
O rango dunha matriz é o número de filas (ou de columnas) linealmente independentes. Esta defi-
nición permite pescudar rangos mediante o método de Gauss.
Agora pretendemos utilizar os determinantes para o cálculo de rangos. Para iso, lembremos a pro-
piedade 9.
 A condición necesaria e suficiente para que o determinante dunha matriz cadrada sexa cero
é que as súas filas (ou columnas) sexan linealmente dependentes, é dicir, que algunha delas
se poida pór como combinación lineal das outras. É dicir:
 A  0  as filas de A son linealmente dependentes


 A  0  as filas de A son linealmente independentes

Esta propiedade proporciónanos unha nova definición de rango dunha matriz:
 Rango dunha matriz é a máxima orde dos seus menores non nulos.
 1 5 3 0 6
 
3 0 1 6 2 
170. Calcula o rango da matriz A  
 2 5 2 1 0 
.
 
 1 10 5 15 10 
Solución:
1 5
O determinante da submatriz  15  0 .
3 0
Por ser distinto de 0, podemos asegurar que as súas dúas filas son LI. Polo tanto, tamén son LI as
primeiras filas de A , co que o rango de A é, polo menos, 2:  ran  A   2  .
Engadimos filas e columnas e calculamos os correspondentes determinantes, para ver o rango:

85. 85
Determinantes Prácticas
1 5 3 1 5 0
3 0 1  0 ; 3 0 6  105  0  ran  A   3  as filas 1ª, 2ª e 3ª son LI, e o mesmo
2 5 2 2 5 1
as columnas 1ª, 2ª e 4ª tamén son LI.
Orlamos ese menor  0 engadíndolle filas e columnas e calculamos os correspondentes determi-
nantes para ver o rango.
1 5 0 6
3 0 6 2
0.
2 5 1 0
1 10 15 10
Non podemos construír outro menor de orde 4 distinto, que inclúas as columnas e filas LI obtidas
antes, polo que ran  A   3 , xa que os menores de orde superior son todos nulos.
 1 3 0 1 2
 
0 5 1 2 3
171. Calcula o rango da seguinte matriz A   .
 3 1 2 1 0
 
 3 11 4 5 6
Solución:
Empezamos por salientar un menor de orde dúas non nulo (isto pódese facer a ollo). Procuramos
que sexa o máis sinxelo posible, pois vai formar parte de moitos determinantes de orde superior
que teremos que calcular máis adiante.
 1 3 0 1 2
  1 0
0 5 1 2 3 O feito de que  0 asegúranos que as dúas
0 1
 3 1 2 1 0
  primeiras filas de A son LI.
 3 11 4 5 6
Vexamos se a terceira fila depende linealmente delas. Para iso engadimos os dous novos elemen-
tos, 3 e 2 , e calculamos todos os menores de orde 3 nos que interveñen esas dúas columnas,
por se algún deles é distinto de cero:
1 3 0 1 0 1 1 0 2
0 5 1 0, 0 1 2 0, 0 1 3 0
3 1 2 3 2 1 3 2 0
Ao ser cero todos eles, dedúcese que a terceira fila é combinación lineal das dúas primeiras.
(Se algún destes tres menores fose non nulo, a terceira fila sería LI das dúas primeiras. Ampliando
as tres columnas cos elementos correspondentes da cuarta fila, obteriamos tres columnas de catro
elementos. Engadindo outra columna, probariamos se algún dos menores de orde 4 era non nulo).
Agora faremos coa cuarta fila o mesmo que fixemos coa terceira.

86. 86
7. O rango dunha matriz a partir dos seus menores
Prácticas
1 3 0 1 0 1 1 0 2
0 5 1 0, 0 1 2 0, 0 1 3 0
3 11 4 3 4 5 3 4 6
Os tres menores de orde 3 que así se obteñen son cero. Polo tanto, a cuarta fila é, tamén, combina-
ción lineal das dúas primeiras.
O rango da matriz é dous (máxima orde dun menor non nulo ou, o que é o mesmo, máximo núme-
ro de filas LI).
1 2 3 0 1 4 
 
3 1 0 1 1 2
172. Calcula o rango da matriz A  
4 1
.
3 1 0 6
 
7 0 3 2 1 8
Solución:
1 2
Tomamos un menor de orde 2 distinto de cero:  7  0  as dúas primeiras filas son li-
3 1
nealmente independentes. Obsérvese que a terceira fila é suma das dúas primeiras, e que a cuarta
fila é a suma da segunda e da terceira, polo que ran  A   2 .
2 1 01 
 
5 1 3 7 
173. Calcula o rango da matriz A  
7
.
2 3 8 
 
1 0 2 2
Solución:
2 1
Tomamos un menor de orde 2 distinto de cero:  3  0  as dúas primeiras filas son lineal-
5 1
mente independentes. A terceira fila é suma das dúas primeiras, polo que miramos se a cuarta fila
depende linealmente das dúas primeiras:
2 1 0
5 1 3  9  0  a cuarta fila é linealmente independente da primeira e da segunda. Polo
1 0 2
tanto, ran  A   3 .
4 2 1 53
 
2 3 2 6 5
174. Calcula o rango da matriz A  
6 5
.
3 12 8 
 
 12 10 6 23 16 
Solución:
4 2
Tomamos un menor de orde 2 distinto de cero:  8  0  as dúas primeiras filas son lineal-
2 3
mente independentes. Miramos se a terceira fila depende linealmente das dúas primeiras:
4 2 1 4 2 5
2 3 2  0 , 2 3 6  8  0  as 3 primeiras filas son linealmente independentes. Miramos
6 5 3 6 5 12
se a cuarta fila depende linealmente das anteriores:
4 2 1 5 4 2 5 3
2 3 2 6 2 3 6 5
0,  0  ran  A   3 .
6 5 3 12 6 5 12 8
12 10 6 23 12 10 23 16

87. 87
Determinantes Prácticas
1 0 0 1 1
 
1 1 2 1 0
175. Calcula o rango da matriz A  
0 0
.
0 0 1
 
1 1 0 0 0
Solución:
1 1
Tomamos un menor de orde 2 distinto de cero:  1  0  as dúas primeiras filas son lineal-
1 0
mente independentes.
Miramos se a terceira fila depende linealmente das dúas primeiras:
0 1 1
0 1
Como 2 1 0   2  0  as 3 primeiras filas son linealmente independentes.
2 1
0 0 1
Miramos se a cuarta fila depende linealmente das anteriores.
0 0 1 1
0 1 1
1 2 1 0
Como   2 1 0  2  0  ran  A   4 .
0 0 0 1
0 0 1
1 0 0 0
 1 2 3 1 1 
176. Calcula o rango da matriz A   4 5 6 2 1  .
 
1 0 0 3 4 
 
Solución:
 1 2 3 1 1 
  4 5
A   4 5 6 2 1  ; tomamos un menor de orde 2:  5  0  ran  A   2 e as dúas
1 0 0 3 4  1 0
 
primeiras columnas son linealmente independentes.
Miramos se a terceira columna e linealmente independente das dúas primeiras:
1 2 3
4 5 6  3  0 .
1 0 0
2 3 1
177. Calcula o rango da matriz A   5 4 2  .
 
 1 2 2
 
Solución:
2 3 1
A  5 4 2  10  0  ran  A   3 .
1 2 2

88. 88
8. Cálculo da inversa dunha matriz usando determinantes
Prácticas
8. CÁLCULO DA INVERSA DUNHA MATRIZ USANDO DETERMINANTES
 Para que unha matriz cadrada, A , sexa regular, é dicir, teña inversa, A1 , é necesario e su-
ficiente que o seu determinante sexa non nulo.
• Para un caso de orde 3, A1 adopta a seguinte expresión:
 a11 a12 a13   A11 A21 A31 
  1 1  
A   a21 a22 a23   A  A12 A22 A32 
a A
 31 a32 a33 

A
 13 A23 A33 

• É fácil comprobar, multiplicándoas, que estas dúas matrices son inversas. Por exem-
plo, o elemento p11 do produto obtense multiplicando a primeira fila de A pola pri-
meira columna de A1 :
1 1
p11   a11 A11  a12 A12  a13 A13    A  1
A A
• Outro elemento do produto:
1   1
p21   a21 A11  a22 A12  a23 A13  0  0
A A
 (Elementos dunha fila multiplicados por adxuntos doutra é 0)
• En xeral, vemos que pii  1 , pij  0, i  j . É dicir,  pij  é a matriz unidade.
8.1. Regra práctica para calcular a inversa dunha matriz
 Para calcular a inversa dunha matriz suxerimos que se realicen os seguintes pasos:
A 
 a       A    A   A
ij

 

1
 ij
 
 

ij



2
Aij
 
ij
3
t ji
4
A
1

1
A
 Aji    Aji
 

 
Aij
 0 Calculamos A e só se é non nulo seguimos adiante.
1 Formamos unha nova matriz cos menores complementarios de cada elemento.
 2 Cambiamos o signo alternativamente para obter os adxuntos.
 3 Traspoñemos a matriz:  Aji    Aij 
t
 4 Dividimos cada elemento por A . Se non son divisibles, é máis cómodo sacar factor
1
común .
A
3 1
178. Calcula a matriz inversa de A .
5 2
Solución:
3 1 1  2 5  2  2 5   3  2 1   4
A 1;   
ij 
    
 Aij 
    t  
5 2  1 3  1 3   Aij 
 5 3  A
 2 1
A 1   .
 5 3 
 3 1  2 1   1 0 
Comprobación:    .
 5 2  5 3   0 1 

89. 89
Determinantes Prácticas
 A expresión da inversa dunha matriz 2 2 é especialmente sinxela:
a a12  1 1  a22  a12 
A   11   A   
 a21 a22  A  a21 a11 
1 0 1
179. Calcula a matriz inversa de  0


2 3 .
 1 1 1 
 
Solución:
Calculamos o determinante: A  7 .
 2 3 0 3 0 2 
 
 1 1 1 1 1 1 
 1 0 1  0 1 1 1 1  5 3 2   5 3 2 
  0  
1
    1 2 1    1 2 1 
 2
 0 2 3    1 1ij  1 1 1 1     Aij    
 1 1 1  2 3 2  2 3 2 
       
 0 1 1 1 1 0 
 2 3 2 
 0 3 0 
5 1 2  5 1 2
 3    4 1 1 
  3 2 3   A   3
t 2 3  .
 Aij  A
7
 2 1 2  1 2
   2 
Como xa se viu, as calculadoras TI que empre-
gamos permite o cálculo directo da matriz inver-
sa (cando é inversible) .
 2 1 
180. Calcula a matriz inversa de A .
 1 2 
Solución:
2 1
Calculamos o determinante: A   3  0  existe A1 .
1 2
 2 1  1  2 1   2  2 1  3  2 1   4  1  2 1 
            t  A1 
 ij   Aij   Aij   1 2  A  .
1
 1 2   1 2  1 2   3  1 2 

90. 90
8. Cálculo da inversa dunha matriz usando determinantes
Prácticas
 1 1 1 
181. Calcula a inversa de A   1 0 3  .
 
  2 5 3 
 
Solución:
1 1 1
Calculamos o determinante: A  1 0 3  1  0  existe A1 .
2 5 3
 0 3 1 3 1 0 
 
 5 3 2 3 2 5 
 1 1 1   1 1 1 1 1 1   15 9 5 
  1
1 0 3        8 5 
3   2


  2 5 3 
 ij
 5 3 2 3 2 5    
Aij  Adj  A 
     3 2 1 
  1 1 1 1 1 1 
 0 3 1 3 1 0 
 
 15 9 5   15 8 3   15 8 3  15 8 3 
   3    4 1 1    
 8 5 3    9 5 2   A  A  9
t  5 2    9 5 2  
 3 2 1   ij 
A1
 5 3 1   5 3 1   5 3 1 
A
       
15 8 3 
 
 A 1   9 5 2  .
 5 3 1
 
 2 1 0
 
182. Calcula a inversa da matriz A   0 1 3 .
2 1 1
 
Solución:
1 3 0 3 0 1
 
1 1 2 1 2 1
 2 1 0 1
  1 0 2 0 2 1
A   0 1 3   A  2  0  existe A1  
ij 
  
2 1 1 1 1 2 1 2 1
   
1 0 2 0 2 1
1 0 1
 3 0 3 
 2 6 2   2 6 2   2 1 3 
   2    3    4
  1 2 0    1 2 0    6 2 6  
 Aij 
 t
 Aij  A
 3 6 2  3 6 2   2 0 2 
     
 3 
 2 1 3   1  2
1
2
1 
A 1   6 2  6    3 1 3   A1 .
2   
 2 0 2   1 0 1 
 

91. 91
Determinantes Prácticas
 0 1 3  2 1  1 1 
     
183. Sendo A   1 1 0  , B   1 0  , C   0 1  , resolve a ecuación AX  B  C .
 2 0 0  3 4  1 2 
     
Solución:
Despexamos a matriz X : AX  B  C  AX  C  B  X  A1  C  B  . Calculamos C  B 
 1 2 
 
  1 1  , e A  6  0  existe A1 . Calculamos a matriz inversa A1 :
 2 6 
 
1 0 1 0 1 1
 
0 0 2 0 2 0
1  0 0 2   0 0 2 
0 1 
  0 6 2    0 6 2  
1 3 0 3  2  3
     Aij    t
ij  0 0 2 0 2 0  3 3 1 

 3 3 1   Aij 
     
1 3 0 3 0 1
1 1 1
 0 1 0 
 0 0 1 
 0 0 3   2 
 
  0 6 3   A   0
 3
t
 4 1
1 1 .
 Aij  A  2
 2 2 1  1
   1 1 
 3 3 6 
 0 0 1 
 2   1 2   1 3 
   
Calculamos X  A  C  B  efectuando o produto:  0
1
1  1  1 1    2 4  .
 2
   
1
 1 1   2 6   1 2 

 3 3 6 
 1 3 
 
Solución: X   2 4  .
  1 2 
 
 1 2 3 2 
 
0 1 2 0  .
184. Calcula a inversa de A  
0 2 3 1
 
 3 2 0 1 
Solución:
Calculamos o determinante:
 1 2 3 2  1 2 3 2 1ª 1 2 3 2
 
0 1 2 0 0 1 2 0 2ª
A  0 0 1 2 0
  A 
0 2 3 1  A
0 2 3 1 3ª 0 2 3 1
 
 3 2 0 1  3 2 0 1 4ª 3 1ª 0 4 9 7
1 2 0
 1   1
11
2 3 1  8  0  existe A1 .
4 9 7
Calculamos o valor dos sucesivos adxuntos:

92. 92
8. Cálculo da inversa dunha matriz usando determinantes
Prácticas
1 2 0 0 2 0 0 1 0 0 1 2
11  2 3 1  5 , 12  0 3 1  6 , 13  0 2 1  3 , 14  0 2 3  3 ;
2 0 1 3 0 1 3 2 1 3 2 0
2 3 2 1 3 2 1 2 2
 21  2 3 1  6 ,  22  0 3 1  12 ,  23  0 2 1  10 ,
2 0 1 3 0 1 3 2 1
1 2 3 2 3 2 1 3 2 1 2 2
 24  0 2 3  6 ;  31  1 2 0  9 ,  32  0 2 0  14 ,  33  0 1 0  7 ,
3 2 0 2 0 1 3 0 1 3 2 1
1 2 3  2  3 2 1  3 2 1 2 2
 34  0 1 2  1 ;  41  1 2 0  1 ,  42  0 2 0  2 ,  43  0 1 0  1 ,
3 2 0 2 3 1 0 3 1 0 2 1
1 2 3
 44  0 1 2  1 ;
0 2 3
 1 2 3 2   5 6 3 3 
   
6 12 10 6 
  ij   
0 1 2 0
A 1
  2
 
 0 2 3 1  ij   9 14 7 1   Aij 
   
 3 2 0 1   1 2 1 1 
 5 6 3 3  5 6 9 1
   
  Aij    6 12 10 6    A    6 12 14 2 
 3

 9 14 7 1  Aij t ji
 3 10 7 1
   
 1 2 1 1  3 6 1 1
 5 6 9 1  5 6 9 1 
   
 4 1  6 12 14 2  1  6 12 14 2 
 A1    A 1 .
A
8  3 10 7 1 8  3 10 7 1 
   
 3 6 1 1  3 6 1 1 
1 1 0 0
 
0 1 1 0
185. Calcula a matriz inversa de A  
0
.
0 1 1
 
0 0 0 1
Solución:
1 1 0 0 1 1 0 0
 
0 1 1 0 0 1 1 0
A  A 
0
  1  0  existe A1 .
0 0 1 1 A
0 0 1 1
 
0 0 0 1 0 0 0 1
1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 00
     
1
  ij      Aij   
0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0
A 1
  2

0 0 1 1  ij  1 1 1 0   Aij  1 1 1 0 
     
0 0 0 1 1 1 1 1  1 1 1 1 
 1 1 1 1  1 1 1 1 
   
0 1 1 1  1 0 1 1 1 
  Aji   
 3
t
 4
 A 1   .
 Aij   0 0 1 1 A
1  0 0 1 1 
   
0 0 0 1  0 0 0 1 

93. 93
Determinantes Prácticas
 1 1 1
 
186. Dada a matriz A   1 1 0  .
1 0 m 
 
186.1.Determina para que valores do parámetro m existe A1 .
186.2.Para m  1 , resolve det  A1  xI   0 .
 
Solución:
186.1. Para que unha matriz cadrada sexa regular, é necesario e suficiente que o seu determinante
non sexa nulo. Calculamos o determinante de A :
1 1 1
A  1 1 0  1  0 m . Como A  0 para calquera valor de m , podemos afirmar
1 0 m
que A1 existe sempre.
 1 1 1
 
186.2. Para m  1 , A   1 1 0  , calculamos A1 ; A  1 ;
 1 0 1
 
 1 0 1 0 1 1 
 
 0 1 1 1 1 0 
 1 1 1  1  1 1 1 
  1 1 1 1 1  
A   1 1 0    1
   1 0 1
 1 0 1
ij   0 1 1 1 1 0   


     1 1 0 
 1 1 1 1 1 1 
 1 1 1 
 0 1 0 
1 1 1  1  1 1   1 1 1
 2    3    4 1  
  1 0 1 
 Aij 
 t
1 0 1  A   1 0 1 ;
 Aij  A
  1 1 0   1 1 0   1 1 0
     
 1 1 1  1 0 0   1  x 1 1  1  x 1 1
1      
A  xI   1 0 1   x  0 1 0    1  x 1  ; A1  xI  1 x 1 
 1 1 0  0 0 1   1 1 x  1 1 x
     
  x 3  x 2  x  1    x  1  x 2  1 ;
A1  xI  0    x  1  x 2  1  0  x  1 .
Solución: x  1 .
 a 1
187. Calcula a matriz inversa para aqueles valores de a que o permitan  .
1 a 
Solución:
 a 1 a 1 1  a 1
   A  a 2  1  0, a    existe A1 , que calculamos:  
ij 
 
1 a  1 a  1 a 
 a 1 
 2  a 1  3  a 1  4 1 1  a 1   a2  1 a 2  1 
      t   A  2       A1 .
 Aij   Aij  1 a  A
a 1  1 a   1 a 
 1 a 
 2 
 a 1 a2 1 

94. 94
8. Cálculo da inversa dunha matriz usando determinantes
Prácticas
188. Calcula a matriz
A sabendo que se verifica a seguinte igualdade:
 1 2 3  2 0 0 
   
A 0 2 3   0 2 0  .
 0 0 3  0 0 2 
   
Solución:
 1 2 3
 
A ecuación é do tipo AM  2 I , sendo M   0 2 3  .
 0 0 3
 
Despéxase A multiplicando por M 1 pola dereita: AMM 1  2 IM 1  A  2 IM 1 . Calculemos
agora M 1 .
1 2 3
2 3
2 3  1 1
11
M  0  6  0  existe M 1 :
0 3
0 0 3
 2 3 0 3 0 2
 
 0 3 0 3 0 0
 1 2 3   6 0 0
  1 2 
M   0 2 3    ij      6 3 0  
1 2 3 1 3  2
 
 0 0 3
 ij   0 3 0 3 0 0  
 0 3 2
 M ij 
     
 2 3 1 3 1 2
 0 2
 2 3 0 3 
 1 0 
 6 0 0  6 6 0   6 6 0   1 
    1  
 3  4 1
 6 3 0     0 3 3   M  6  0 3 3    0
t  1 1  
 M ij  M 2 2
 0 3 2  0 0 2  0 0 2  
      0 0 1 
 3 
 1 0   2 2 0 
 2 0 01   
 
 A  2 IM 1  0 2 00 1  1    0 1 1  .
 2 2  
0 0 2
 0 0 1  0 0 23 
  
 3 
 2 2 0 
 
Solución: A   0 1 1  .
 
0 0 2 
 3
 2 3  1 1
189. Dada A  calcula unha matriz X tal que AXA   .
 1 2  2 3
Solución:
2 3
Calculamos A1 ; A   1  0  ten inversa:
1 2
 2 3 1 2 1  2  2 1  3  2 3   4 1  2 3 
A   
ij 
   
 Aij 
    t   A   ;
 3 2   Aij  A
 1 2  3 2  1 2   1 2 
 1 1 1 1 1  1 1  1  2 3  1 1   2 3 
AXA     A  A X  A A  A   A  X      
 2 3  2 3  1 2  2 3   1 2 
 4 7   2 3   1 2 
      .
 3 5   1 2   1 1 

95. 95
Determinantes Prácticas
190. Determina se a seguinte ecuación ten solución, e calcúlaa se é posible
 2 1 0   1 1 2 
   
 0 1 2  X   3 0 1 .
 3 0 1  1 2 3
   
Solución:
 2 1 0   1 1 2   2 1 0  2 1 0
      1
 0 1 2  X   3 0 1 ; Sexa A   0 1 2  ; A  0 1 2  4  0  existe A
 3 0 1  1 2 3  3 0 1  3 0 1
     
1
 a ecuación ten solución. Calculamos A :
 1 2 0 2 0 1 
 
 0 1 3 1 3 0 
 2 1 0    1 6 3 
  1 2 1  
  1 2 3  
1 0 2 0  2
A   0 1 2   
ij 
    Aij 

 3 0 1   0 1 3 1 3 0  
     2 4 2  
 1 0 2 0 2 1 
 2 0 2 0 1 
 1 
 1 1 1 
 1 6 3   1 1 2   1 1 2   4 4 2
    1   3
 3
 1 2 3    6 2 4  
t
 4 1
A   6 2 4     1 1  
 Aij  A
4  2 2 
2 4 2  3 3 2  3 3 2   3
        3 1 

 4 4 2
 1 1 1  0 3 5 
 4 4 2   1 1 2   4 4
 
 X   3 1 1   3 0 1   1 1 1  X .
 2 2   2 2
 3  
 3 1   1 2 3   1
  1 3 
 4 4 2  4 4
 2 1 a 
191. Estuda o rango da matriz segundo o valor do parámetro A   a 3 4  .
 
 3 1 2 
 
Solución:
 2 1 a  2 1 a
  3 4
A  a 3 4 ;  10  0 ; A  a 3 4  12  12  a 2  9a  2a  8   a 3  7 a  8 ;
 3 1 2  1 2
  3 1 2
7  49  32  a  1.
A  0  a 2  7a  8  0  a   
2  a  8.
Polo tanto, e como ran  A   2 :
• a  1  A  0  ran  A   2 .
• a  8  A  0  ran  A   2 .
• a  1 e a  8  A  0  ran  A   3 .

96. 96
8. Cálculo da inversa dunha matriz usando determinantes
Prácticas
1 3 2
192. Proba se desenvolver que A  4 7 1 é múltiplo de 3.
8 2 5
Solución:
1 3 2 1ª 1 3 2 1 3 2
1
I. A  4 7 1 2ª 4 7 1 3  4 7 1  é múltiplo de 3.
8 2 5 3ª 2ª 12 9 6 4 3 2
1 3 2 1ª C 1 3 6 1 3 2
1
II. A  4 7 1 2ª 4 7 12 3  4 7 4  é múltiplo de 3.
8 2 5 3ª 2ª 1ª 8 2 15 8 2 5
1 Se unha columna ou unha fila se multiplica por un número o determinante queda multiplica-
do por ese número.
x 1 0 0
0 x 1 0
193. Para que valores de x se anula o determinante  0?
0 0 x 1
1 0 0 x
Solución:
x 1 0 0
x 1 0 1 0 0
0 x 1 0 x  1
 x 0 x 1  1 x 1 0  x  x3  1  x 4  1  0  x   4 1   .
0 0 x 1  x  1
0 0 x 0 x 1
1 0 0 x
Solución: x  1 , x  1 .
x 1 0 1
1 x 1 0
194. Para que valores de x se anula o determinante  0?
0 1 x 1
1 0 1 x
Solución:
C
x 1 1 1ª 2ª 3ª 4ª
0 2 x 1 0 1 1 1 0 1 1ª
1 x 1 0 2ª 2  x x 1 0 1 x 1 0 2ª 1ª
 2  x
0 1  x 1 3ª 2  x 1 x 1 1 1 x 1 3ª 1ª
1 0 1  x 4ª 2 x 0 1 x 1 0 1 x 4ª 1ª
1 1 0 1
x 1 1 1
0 x 1 1 1 x 1 1
2  x   2  x  1  0 x 0   2  x   x  
0 0 x 0 1 x 1
1 1 x 1
0 1 1  x 1
 
  x  2  x    x  1  1   x  2  x   x 2  2 x  1  1   x  2  x   x 2  2 x  
2
x  0

 x  x  2  x  2   0   x  2 .
2
x  2

Solución: x  0 , x  2 , x  2 .

97. 97
Determinantes Prácticas
 x 1 0
 
195. Considera a matriz A   0 1 3 .
 x 1 1
 
195.1.Calcula os valores de x para os que A ten inversa.
195.2.Calcula, se é posible, A1 para x  2 .
Solución:
195.1. Existe A1 só cando A  0 ;
x 1 0
A  0 1 3  x ; A  x  0, x  0  existe A1  x  0 .
x 1 1
 2 1 0 2 1 0
 
195.2. Para x  2 , A   0 1 3  , A  0 1 3  2  0 .
 2 1 1
  2 1 1
Calculamos a matriz inversa A1 :
1 3 0 3 0 1
 
1 1 2 1 2 1
 2 1 0 1  2 6 2 
  2 1 
  1 2 0  
1 0 2 0  2
A   0 1 3     
 2 1 1
ij  1 1 2 1 2 1  3 6 2
  Aij 
     
1 0 2 0 2 1
1 0 1
 3 0 3 
 2 6 2   2 1 3   2 1 3 
   3    4 1 1 
 1 2 0    6 2 6   A  2  6 2 6  
 Aij 
t A
 3 6 2   2 0 2   2 0 2 
     
 1  1 3 
 2 2
 3 1 3   A  1 .
 
 1 0 1 
 
 t 1 1
196. Determina, segundo os valores de t , o rango da matriz A  1 t 1 .
 
1 1 t 
 
Solución:
t 1 1
A  1 t 1   t 3  1  1  t  t  t   t 3  t  2 ; A  0   t 3  t  2  0 
1 1 t
 t 3  t  2  0    t  1  t 2  t  2  .
t  1  0  t  1.

A  0    t  1  t  t  2   0   2
2
1  1  8
t  t  2  0  t  
 2
 1 1 1
  1 1
• Se t  1 queda A   1 1 1 , e como A  0 e  2  0  ran  A   2 .
 1 1 1 1 1
 
• Se t  1  A  0  ran  A   3 .

98. 98
8. Cálculo da inversa dunha matriz usando determinantes
Prácticas
1 1 1 a b c
197. Sabendo que a b c  5 , calcula o valor de x y z .
x y z 1 1 1
Solución:
a b c a b c 1 1 1
x y z   1 1 1  a b c  5 , xa que cando se cambia a orde de dúas filas consecuti-
1 1 1 x y z x y z
vas o determinante cambia de signo.
1 1 1 1 x 1 y 1 z
198. Sabendo que a b c  5 , calcula o valor de a  2 x b  2 y c  2 z .
x y z 2x 2y 2z
Solución:
1 x 1 y 1  z 1ª 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z
a  2 x b  2 y c  2 z 2ª 3ª a b c  2 a b c 
2x 2y 2 z 3ª 2x 2y 2z x y z
1 1 1 x  y z
 2 a b c 2 a b c  2  5  2  0  10 , sacando factor común na terceira fila, e des-
x y z x y z
compoñendo o determinante en suma de dous determinantes, o segundo deles nulo por ter dúas fi-
las proporcionais.
1 a2 a3 bc a a 2
199. Demostra, sen desenvolver, que: 1 b2 b3  ac b b 2 .
1 c2 c3 ab c c2
Solución:
No segundo membro multiplicando e dividindo a primeira fila por a , a segunda por b e a terceira
por c tense:
bc a a2 bca a 2 a3 1 a2 a3 1 a2 a3
1 abc
ac b b 2  acb b 2 b3  1 b2 b3  1 b 2 b3 .
2 abc abc
ab c c abc c 2 c 3
1 c2 c 3
1 c 2
c3
1 1 1
200. Proba que a b c   b  a  c  a  c  b  .
a2 b2 c2
Solución:
Este determinante chámase de Vandermonde.
Facendo as restas de columnas c2  c1 e c3  c1 e extraendo o factor  b  a  da 2ª columna e
c  a  da 3ª columna, tense:
1 1 1 1ª C 1 0 0 1 0 0
a b c 2ª 1ª a ba ca  a ba ca 
a2 b2 c 2 3ª 1ª a2 b2  a 2 c2  a 2 a2  b  a  b  a   c  a  c  a 
1 0 0
1 1
  b  a  c  a  a 1 1   b  a  c  a  1  
ba ca
a b  a  c  a 
2
  b  a  c  a    c  a  b  a    b  a  c  a  c  b  .

99. 99
Sistemas de ecuacións Prácticas
SISTEMAS DE ECUACIÓNS
1. ECUACIÓNS E SISTEMAS DE ECUACIÓNS
1.1. Lembrando algúns conceptos xa vistos
 Ecuación. Este termo empregado só está matematicamente pouco definido. O sentido de-
pende esencialmente do contexto ou do cualificativo que a acompaña (ecuación diferen-
cial, ecuación dunha recta, etc.).
• Cando a ecuación é unha igualdade (  ) da forma f  x   g  x  , —por exemplo
5 x 2  3 x  6 x 2  3 x  2 ; 3 x  7  4 x , …— trátase de determinar os argumentos
(valores de x ) que fan que as dúas expresións dadas, f  x  e g  x  , tomen os mes-
mos valores.
Os argumentos que determinan estas funcións chámanse incógnitas, e os valores das
incógnitas que fan que esas dúas funcións tomen os mesmos valores, chámanse solu-
cións ou raíces da ecuación.
201. Para a ecuación 5 x 2  3x  6 x 2  3x  2 a incógnita é a x e as solucións son  2
e 2.
 • O conxunto de solucións dunha ecuación depende do dominio M chamado campo de
valores tolerables (CVT) ou admisibles para as incógnitas.
202. Por exemplo, a ecuación x  1 ten como campo de valores tolerables (CVT) o con-
xunto de tódolos números reais, pero a ecuación x  1 ten como CVT o conxunto dos
números reais non negativos.
 Unha ecuación pode non ter solucións en M e, nese caso, dise que é irresoluble no domi-
nio M . Se unha ecuación é resoluble pode ter unha solución ou varias, e incluso un núme-
ro infinito delas.
• As ecuacións irresolubles chámanse incompatibles.
• As ecuacións resolubles chámanse compatibles, e poden ser compatibles determina-
das, cando teñen un número finito de solucións ou compatibles indeterminadas, can-
do teñen infinitas solucións.
 Solución única  compatible determinada
Con solución  Compatible 
Ecuacións  Infinitas solucións  compatible indeterminada
Sen solución  Incompatible

• As solucións dunha ecuación dependen —ou poden depender— do dominio no que se
traballa.
203. Por exemplo, a ecuación x 4  4  0 é irresoluble no dominio dos números racio-
nais  , pero ten dúas solucións no dominio dos números reais  : x1  2 e x2   2 ;
ademais esta ecuación ten catro solucións: x1  2 , x2   2 , x3  i 2 e x4  i 2 no
dominio dos números complexos  .
• Se unha ecuación ten como solucións tódolos números do dominio M , entón recibe
o nome de identidade nese dominio.
204. Por exemplo a ecuación  x  12  x 2  2 x  1 é unha identidade en .

100. 100
1. Ecuacións e sistemas de ecuacións
Prácticas
Nota. Cando falemos en xeral dunha ecuación usaremos a expresión f  x   g  x  , onde f  x  e
g  x  poden representar, segundo o caso, constantes  3x 2  2 x  85  , expresións polinómi-
cas  5 x 2  3x  6 x 2  3x  2  , trigonométricas  2  cos  x   0.5  sen  x   , expresións radi-
cais  
3x 2  9  6 , logarítmicas  log 3  x   2  , etcétera.
1.2. Sistemas de ecuacións
 Un conxunto de ecuacións para as que hai que achar os valores das incógnitas que satisfa-
gan simultaneamente tódalas mencionadas ecuacións, chámase sistema de ecuacións.
• O conxunto dos valores das incógnitas que satisface simultaneamente tódalas ecua-
cións do sistema, recibe o nome de solución do sistema.
1.3. Equivalencia de ecuacións e sistemas
• Dúas ecuacións (ou dous sistemas de ecuacións) chámanse equivalentes se teñen as
mesmas solucións, ou ámbalas dúas carecen de solucións, consideradas as dúas no
mesmo dominio.
• Da definición de equivalencia de ecuacións dedúcese que en vez de resolver a ecua-
ción dada pode resolverse unha ecuación equivalente a ela.
• A relación de equivalencia cumpre a propiedade transitiva, é dicir, se a ecuación
f  x   g  x  é equivalente á ecuación   x     x  , e a ecuación   x     x  o é
respecto a m  x   n  x  , entón a ecuación f  x   g  x  é equivalente á ecuación
m  x  n  x
 Usualmente, a noción de equivalencia de ecuacións non se emprega dun xeito global,
e restrínxese a equivalencia nun conxunto.
205. Estuda a equivalencia das ecuacións x  x  1  0 e x  x  1 x  2   0 .
Solución:
As ecuacións x  x  1  0 e x  x  1 x  2   0 non son equivalentes, dado que o número 2 é raíz
da segunda ecuación pero non da primeira.
206. Estuda a equivalencia das ecuacións x 1 e x  1.
Solución:
A ecuación x  1 é equivalente a x  1 , posto que o número 1 é a raíz das dúas ecuacións. Como
teñen distintos CVT, diremos que estas dúas ecuacións son equivalentes no conxunto dos números
reais non negativos.
 A substitución dunha ecuación por outra equivalente á primeira, ou a substitución por un
conxunto de ecuacións (desigualdades, sistemas) equivalente á mesma chámase paso equi-
valente.
• Dadas dúas ecuacións f1  x   g1  x  e f 2  x   g 2  x  , se toda raíz da primeira
ecuación é tamén raíz da segunda ecuación, a segunda ecuación chámase corolario da
primeira ecuación, e escríbese así:
f1  x   g1  x   f 2  x   g 2  x 
207. Por exemplo, a ecuación x 2  1  x 4  1 é un corolario de x 2  1  x 4  1 ; en
efecto: x2  1  x4 1  x2  1  x4  1 .

101. 101
Sistemas de ecuacións Prácticas
• Se unha ecuación se substitúe polo seu corolario, o conxunto de solucións da segunda
ecuación terá tódalas raíces da ecuación inicial e ademais pode conter algúns números
máis chamados raíces estrañas ou ficticias da ecuación de partida.
208. Por exemplo, de x 2  1  x 4  1  x 2  1  x 4  1 , ao resolver a segunda ecua-
ción atopamos as solucións x1  1 , x2  0 e x3  1 ; sen embargo o cero non é solución
da primeira ecuación.
A raíz estraña x2  0 apareceu como consecuencia de que o CVT da segunda ecuación é
máis grande cao da primeira.
 Se ao resolver unha ecuación pasamos ao seu corolario, ao remate do proceso teremos que
facer unha análise das raíces (verificalas) e elixir aquelas que son solucións da ecuación
inicial.
• Durante o paso dunha ecuación ao corolario non sempre se estende o CVT.
209. Por exemplo, o paso da ecuación x  x  1  0 a x  x  1 x  2   0 non produce
unha extensión do CVT, e a segunda ecuación é un corolario da primeira.
1.4. Resolución dunha ecuación
 Polo xeral, a resolución dunha ecuación consiste en substituír sucesivamente unha ecua-
ción por outra máis simple ou cambiala por unha colección de ecuacións (ou tamén por de-
sigualdades, sistemas, …).
• Despois de facer unhas certas transformacións nun ou nos dous membros da ecua-
ción, obtemos outra ecuación, pola que substituímos a ecuación inicial.
 As mesmas transformacións habituais nunha ecuación poden dar lugar a unha ecuación
tanto equivalente, como non equivalente á dada.
210. Pon un exemplo de que as mesmas transformacións feitas en varias ecuacións pode condu-
cir nuns casos a ecuacións equivalentes e noutras a non equivalentes.
Solución:
5 5
 A ecuación 7  2 x    11  4 x , despois de reducir os termos semellantes do seu
x2 x2
primeiro membro, queda substituída pola ecuación 7  2 x  11  4 x , que non é equivalente á
dada.
En efecto, o número 2 é a única raíz da ecuación 7  2 x  11  4 x e non é solución da ecua-
ción de partida.
5 5
 A ecuación 5  2 x    26  x , despois de reducir os termos semellantes do pri-
x2 x2
meiro membro, quedas substituída pola ecuación 5  2 x  26  x , que é equivalente á de par-
tida.
Na realidade, 7 é a única raíz tanto da ecuación 5  2 x  26  x , como da ecuación inicial.
x2  1
 A ecuación  2 , despois de simplificar o primeiro membro da ecuación eliminando o
x 1
factor común x  1 , que da substituída por x  1  5 , que é equivalente á inicial.
En efecto, a raíz 4 é a única raíz tanto da ecuación inicial como da x  1  5 .

102. 102
1. Ecuacións e sistemas de ecuacións
Prácticas
211. Pon un exemplo de que as mesmas transformacións feitas en varias ecuacións pode condu-
cir nuns casos a ecuacións equivalentes e noutras a non equivalentes.
Solución:
 A ecuación x  1  6  2 x , despois de elevar ao cadrado os dous membros da igualdade, subs-
titúese pola ecuación  x  1   6  2 x  , que non é equivalente á primeira.
2 2
En efecto, o número 7 é a única raíz da ecuación inicial, e ademais é solución da ecuación
6
 x  1   6  2 x  , pero a raíz x  5 desta segunda ecuación non é solución da ecuación ini-
2 2
cial.
 A ecuación x  1  2  x despois de elevar ao cadrado os dous membros da igualdade,
substitúese pola ecuación x  1  2  x , que é equivalente á de partida. En efecto, x  1 é a
2
única raíz, tanto da ecuación x  1  2  x , como da inicial.
1.5. Afirmacións xerais acerca da equivalencia de ecuacións
 Teorema 2. As ecuacións f  x   g  x  e f  x   g  x   0 son equivalentes.
212. Por exemplo, x 2  x  6 é equivalente a x 2  x  6  0 .
Teorema 3. As ecuacións f  x   g  x  e f  x     g  x    son equivalentes para to-
do número  .
213. Por exemplo, x 2  x  6 é equivalente a x 2  6  x  6  6  x 2  6  0 .
Teorema 4. As ecuacións f  x   g  x  e   f  x     g  x  son equivalentes, para todo
 0.
214. Por exemplo, x 2  x  6 e 5 x 2  5  x  6   5 x 2  5 x  30 son equivalentes.
Teorema 5. As ecuacións f  x   g  x  e a
f  x g  x
a , con a  0, a  1 , son equivalentes.
215. Por exemplo, x 2  x  6 e 2 x  2 x 6 son equivalentes.
2
Teorema 6. Se as funcións f  x  e g  x  son non negativas nun certo conxunto A, entón,
sobre ese conxunto A as ecuacións f  x   g  x  e f n  x   g n  x  , n   , son equiva-
lentes.
x 2  x  6 e  x 2    x  6  ,  x  6 .
3
216. Por exemplo, 3
Teorema 7. Se as funcións f  x  e g  x  son positivas nun certo conxunto A, entón, sobre
ese conxunto A as ecuacións f  x   g  x  e log a  f  x    log a  g  x   , con a  0 ,
 b e h  x   log a  b 
h x 
a  1 , son equivalentes. En particular, se b  0 , as ecuacións a
son equivalentes.
217. Por exemplo, x 2  x  6 e log  x 2   log  x  6  , x  6 son equivalentes.
Teorema 8. Supoñamos que a función   x  está definida e non se anula en ningún dos
puntos do conxunto A , pertencente ao CVT da ecuación f  x   g  x  . Entón, sobre o
conxunto A as ecuacións f  x   g  x  e f  x     x   g  x     x  son equivalentes.
O conxunto A pode coincidir co CVT da ecuación f  x   g  x  .

103. 103
Sistemas de ecuacións Prácticas
Deste afirmación sácanse as regras habituais:
 Se nunha ecuación se pasa un termo dun membro da igualdade ao outro cambiándolle de sig-
no, a ecuación resultante é equivalente á dada. Esta regra coñécese como transposición de
termos.
 Se os dous membros dunha ecuación teñen dous termos iguais, e co mesmo signo, poden su-
primirse sen que varíen as solucións. Esta regra coñécese como simplificación de termos
iguais.
 Hai que ter especial coidado ao multiplicar os dous membros dunha ecuación por unha expre-
sión alxébrica, xa que con facilidade pasamos a outra ecuación que ademais de ter as solu-
cións da primeira, tamén ten por solucións as raíces da expresión pola que multiplicamos.
 Hai que ter especial coidado ao dividir os dous membros dunha ecuación por unha expresión
alxébrica, xa que con facilidade pasamos a outra ecuación que pode non ser equivalente á da-
da.
1.6. Afirmacións acerca do corolario
 • A ecuación f 2 n  x   g 2 n  x  , n   é un corolario da ecuación f  x   g  x  .
• A ecuación f  x   g  x  é un corolario da ecuación log a  f  x    log a  g  x   , con
a  0, a  1 .
f  x
• A ecuación f  x   g  x     x  é un corolario da ecuación  g  x
  x
• A ecuación f  x   g  x  é un corolario da ecuación f  x   h  x   g  x   h  x 
 f  x  0

• A colección de ecuacións  é un corolario da ecuación f  x   g  x   0 .
g  x  0

1.7. Ecuacións lineais ou de primeiro grao
 • Unha ecuación lineal ou de primeiro grao é unha ecuación do tipo ax  b , a  0 ,
a, b   , ou calquera outra ecuación equivalente a esta.
Trátase dun polinomio de primeiro grao igualado a cero. A letra x é a incógnita que
hai que achar.
b
• A solución da ecuación de primeiro grao é x  , e polo tanto, a ecuación ten sempre
a
solución e é única.
218. Exemplos: Son ecuacións lineais
• 2 x  3  0 , 5 x  4 y  20 ,
• 3x  2 y  6 z  6 ,
• 5 x  3 y  z  5t  0 ,
xa que son polinómicas de grao 1. É dicir, as in-
cógnitas non están elevadas a ningunha poten-
cia, nin multiplicadas entre si, nin baixo radi-
cais, nin no denominador, …
Non son ecuación lineais:
• 2x  3y  z  5 ,
• 3 xy  2 z  0 ,
• x  2 y  sen  z   1 .

104. 104
1. Ecuacións e sistemas de ecuacións
Prácticas
1.8. Sistemas de ecuacións lineais
 • Varias ecuacións dadas conxuntamente co fin de determinar a solución ou as solu-
cións comúns a todas elas forman un sistema de ecuacións.
3 x  2 y  12 é un sistema de dúas ecuacións con dúas
219. Por exemplo,  
 2x  y  1 incógnitas e ten por solución x  2, y  3.
Dous sistemas de ecuacións son equivalentes se teñen as mesmas solucións.
• Dous sistemas poden ser equivalentes sen que o sexan as ecuacións que os forman.
• Debe remarcarse que a solución do sistema é solución de cada ecuación.
O concepto de campo de valores tolerable (CVT) é idéntico ao visto anteriormente.
220. Comproba se os sistemas de ecuacións:
2 x  5 y  16  5 x  y  13
 e 
x  3 y  3  x  y 1 
son equivalentes.
Solución:
Son equivalentes xa que ambos teñen a única so-
lución x  3 , y  2 .
1.9. Transformacións válidas nun sistema de ecuacións lineais
 Chámanse transformacións válidas as que manteñen as solucións do sistema.
• Consideraremos válida toda transformación que pase dun sistema a outro equivalente.
Son transformacións válidas:
 Multiplicar ou dividir os dous membros dunha das ecuacións por un número distinto de cero.
3 x  5 y  z  3  2ª 3 3x  5 y  z  3 
  
x  2 y  z  5 3x  6 y  3 z  15 
 Engadir unha ecuación que sexa combinación lineal das demais ou, pola contra, suprimir
unha ecuación que sexa combinación lineal das outras.
3x  5 y  z  3 
3 x  5 y  z  3 1ª  3 2ª  
 
   x  2y  z  5 
x  2 y  z  5
11y  4 z  12 

 Substituír unha ecuación polo resultado de sumarlle outra multiplicada por un número.
3 x  5 y  z  3 11 y  4 z  12 
  
1ª  3 2ª  x  2 y  z  5 
x  2 y  z  5 

105. 105
Sistemas de ecuacións Prácticas
2. SISTEMAS DE ECUACIÓNS CON SOLUCIÓN E SEN SOLUCIÓN
 Un sistema de ecuacións pode ter solución (ser compatible) ou non ter solución (ser incom-
patible).
• Os sistemas compatibles poden ter unha única solución (determinados) ou infinitas
solucións (indeterminados).
 Solución única  compatible determinado
Con solución  Compatible 
Sistema de ecuacións  Infinitas solucións  compatible indeterminado
Sen solución  Incompatible

2.1. Interpretación xeométrica de sistemas de ecuacións con dúas incógnitas
221. Representa graficamente as ecuacións dos seguintes sistemas:
2x  3y  9 
2x  3y  9  
 , 3x  5 y  4 
3x  5 y  4 
5 x  2 y  13

Solución: Estes dous sistemas de ecuacións teñen por so-
lución x  3 , y  1 . Son, polo tanto, compati-
bles determinados.
Isto significa que as tres rectas pasan polo punto
 3,1 .
O segundo sistema é practicamente igual có pri-
meiro, pois as dúas primeiras ecuacións son as
mesmas e a terceira obtense sumando, membro a
membro, as anteriores.
Esta terceira ecuación non engade nada novo,
pois o que di sabíase xa polas outras dúas; se sa-
bemos que “ 2 x  3 y é igual a 9” e tamén que
“ 3 x  5 y é igual a 4”, daquela, sen necesidade
de que se nos diga, sabemos que “ 5 x  2 y é
igual a 13”.
222. Representa graficamente as ecuacións dos seguintes sistemas:
2x  3y  9 
2x  3y  9  
 , 3x  5 y  4 
4 x  6 y  12 
5 x  2 y  6 

Solución:
Estes dous sistemas carecen de solución. Se in-
tentamos resolvelos, chegaremos a expresións
disparatadas.
2x  3y  9 

4 x  6 y  12 
Neste sistema, se “ 2 x  3 y é igual a 9”, daquela
4 x  6 y tería que ser 18. Como se nos di que
“ 4 x  6 y é igual a 12”, as dúas afirmacións son
contraditorias.
As ecuacións son incompatibles e o sistema non
ten solución.

106. 106
2. Sistemas de ecuacións con solución e sen solución
Prácticas
Vexamos este outro sistema:
2x  3y  9 

3x  5 y  4 
5 x  2 y  6 

Se “ 2 x  3 y é igual a 9” e “ 3 x  5 y é igual a 4”,
daquela, sumando, 5 x  2 y debería ser igual a
13. Pero, como se nos di que “ 5 x  2 y é igual a
6 ”, esta terceira afirmación é contraditoria co
que din conxuntamente as dúas primeiras.
As tres ecuacións son incompatibles. Por iso non
hai ningún punto que pertenza ás tres rectas.
2.2. Interpretación xeométrica de sistemas de ecuacións con tres incógnitas
223. Representa grafica- Solución: x  1 , y  7 ,
mente o sistema de ecuacións z  2 .
 2 x  y  z  11 Os tres planos córtanse nun
 punto; as coordenadas dese
 x  3 y  20
4 x  2 y  5z  8 punto son 1, 7, 2  .

224. Representa grafica- Solución: x  1 , y  7 ,
mente o sistema de ecuacións z  2 .
 2 x  y  z  11 A cuarta ecuación é suma das
 x  3 y  20
outras tres.

 O plano correspondente pasa
4 x  2 y  5z  8 polo punto común.

 7 x  4 z  1
225. Representa grafica- Sen solución.
mente o sistema de ecuacións A cuarta ecuación contradí a
suma das outras tres.
 2 x  y  z  11
 x  3 y  20
O plano non pasa polo punto
 de corte dos outros tres.

4 x  2 y  5z  8

 7 x  4z  3
226. Representa grafica- Solución: Todos os puntos da
mente o sistema de ecuacións recta onde se cortan os planos
son solución do sistema.
2 x  3 y  7 z  7 A terceira ecuación, ao ser su-

 x  3 y  10 z  1 ma das outras dúas, non ache-
 3x  3z  6 ga información ao sistema.

227. Representa grafica- Sen solución. A terceira ecua-
mente o sistema de ecuacións ción contradí o que se obtén
sumando as outras dúas.
2 x  3 y  7 z  7

 x  3 y  10 z  1
 3x  3z  0


107. 107
Sistemas de ecuacións Prácticas
 2x  y  1

228. Resolve e interpreta xeometricamente o sistema 3 x  2 y  4 .
 x y 3

Solución:
2x  y  1   y  1  2x
 
3x  2 y  4     1  2 x  3  x  x  2  y  5 .
x  y  3 
y  3 x

Vexamos se cumpre a segunda ecuación: 3   2   2  5  4 .
Solución: x  2 , y  5 ; son tres rectas que se cortan no punto  2,5  .
x  y  z  6
229. Resolve e interpreta xeometricamente o sistema  y  z  1 .

 x  2y  7

Solución:
A terceira ecuación obtense sumando as dúas primeiras, polo que podemos prescindir dela:
x  y  z  6  x  6  y  z 
   x  6  1  z   z  x  5  2 z .
y  z  1   y  1 z 
Solución: x  5  2 , y  1   , z   . Son tres planos que se cortan nunha recta.
x  y  z  6
230. Resolve e interpreta xeometricamente o sistema  x  y  z  0 .

 xz 0

Solución:
As dúas primeiras ecuacións son contraditorias. O sistema é incompatible. Os dous primeiros pla-
nos son paralelos e o terceiro córtaos.
x  y  z  6
231. Resolve e interpreta xeometricamente o sistema  y  z  1 .

 z 1

Solución:
x  y  z  6 z  1

 y  z  1 : y  1 z  2
 z  1 x  6  y  z  6  2 1  3

Solución: x  3 , y  2 , z  1  son tres planos que se cortan no punto  3, 2,1 .
x  2y  3
232. Dado o sistema 
 .
 x y  4
232.1.Obtén a solución
232.2.Engade unha terceira ecuación de xeito que siga a ser compatible.
232.3.Engade unha terceira ecuación de xeito que sexa incompatible.
232.4.Interpreta xeometricamente o que fixeches en cada caso.
Solución:
x  2 y  3 x  3  2 y 1 1 11
232.1.  :   3 2y  4  y  y    x  4  
 x  y  4 x  4  y 3 3 3
11 1
Solución: x  , y  
3 3
232.2. Por exemplo: 2 x  y  7 (suma das dúas ecuacións do sistema).
232.3. Por exemplo: 2 x  y  9 .

108. 108
2. Sistemas de ecuacións con solución e sen solución
Prácticas
 11 1 
232.4. En 232.1: Son dúas rectas que se cortan no punto  ,   .
 3 3
 11 1 
232.2: A nova recta pasa tamén polo punto  ,   .
 3 3
 11 1 
232.3: A nova recta non pasa polo punto  ,   . As tres rectas non teñen ningún punto
 3 3
en común. Só se cortan dúas a dúas.
2.3. Sistemas graduados
 Un sistema graduado é un sistema do tipo
 a1 x  b1 y  c1 z  d1

 b2 y  c2 z  d 2
 c3 z  d3

x  2 y  t  5
x  3y  2z  7 
2 x  3 y  14  yz 8
233. Os seguintes sistemas son graduados: 
 ,  5y  z  6 ,

 .
 5 y  10   z  3t  11
 3z  12

 2t  6
x  2y  t  5 

234. Indica se é graduado o sistema yz 8 .
x  3t  11

Solución:
O sistema tamén e graduado. Ao ter máis incógnitas que ecuacións, pasamos a incógnita “sobran-
te” ao segundo membro, co que as demais se calculan en función lelas:
 x  11  3t
x  2y  t  5  x  2 y  5  t    x
   

yz 8   yz 8   11  3t  2 y  5  t  2 y  5  7  11  3t  y  3  2t .
x  3t  11
 x  11  3t   
  y
 3  2t  z  8  z  8  3  2t  z  11  2t

2.4. Como transformar un sistema noutro graduado
 x  3y  4
235. Transforma en graduado e resolve  .
3 x  7 y  7
Solución:
 x  3 y  4 1ª x  3y  4 
 .
3 x  7 y  7 2ª 3 1ª 2 y  5 
x  4  3y   7
 2
Solución: 
y   2

5
 É conveniente fixarse que os coeficientes que son 1 axudan enormemente a facer transforma-
cións fáciles.
Nota. Converter un sistema calquera nun sistema graduado como aquí se fai é “pouco eficiente”,
polo que este procedemento —xa visto antes— exponse, fundamentalmente para lembrar o
xa feito. Máis adiante se verá o método de Gauss —ou mellor o de Gauss Jordan— usando a
matriz asociada ao sistema.

109. 109
Sistemas de ecuacións Prácticas
 x  5 y  3z  7

236. Transforma en graduado e resolve  2 x  y  z  11 .
4 x  3 y  4 z  3

Solución:
 x  5 y  3 z  7 1ª x  5 y  3z  7  1ª x  5 y  3z  7  1ª
  
 2 x  y  z  11 2ª 2 1ª 11y  7 z  3  17  2ª  187 y  119 z  51  2ª
 4 x  3 y  4 z  3 3ª 4 1ª 17 y  8 z  25 11  3ª  187 y  88 z  275  3ª 2ª
  
x  5 y  3z  7  1ª x  5 y  3z  7 
 
187 y  119 z  51  2ª 17 11y  7 z  3  .
31z  224 3ª   1
 31z  224 

Solución: x  134 , y  151 e z  224 .
31 31 31
A transformación   fíxose para igualar os coeficientes do y , e así, poder eliminala sen recorrer
ás fraccións.
 x  y  3 z  4
237. Transforma en graduado e resolve  x  y  z  2 .

x  2 y  z  6

Solución:
 x  y  3z  4 1ª x  y  3z  4  1ª x  y  3z  4  1ª x  y  3z  4 
   
 x  y  z  2 2ª 1ª 2 y  2 z  6  2ª 2 y  z  3  2ª yz 3 
 x  2 y  z  6 3ª 1ª 3 y  4 z  10  3ª 3 y  4 z  10  3ª 3  2ª z  1 
   
 z  1

y  3 z  2 .
 x  4  y  3 z  1

Solución: x  1 , y  2 , z  1 .
 3x  y  2 z  3t  19
 x  2 y  3z  4t  16
238. Transforma en graduado e resolve 
 .
 2x  y  z  t 9
 x  y  3z  2t
  7
Solución:
 3x  y  2 z  3t  19 1ª 3ª 4 2 y  7 z  9t  40  1ª 2  2ª 7 z  5t  22 
 x  2 y  3z  4t  16 2ª 4ª  y  2t  9   y  2t  9 
  2ª 
  
 2x  y  z  t 9 3ª 2  4ª y  5 z  5t  23  3ª 2ª 5 z  3t  14 
 x  y  3z  2t
  7 4ª x  y  3z  2t  7  4ª x  y  3z  2t  7 

3 1ª 21z  15t  66  1ª 3ª 4 z  4 
2ª  y  2t  9  2ª  y  2t  9  
 .
5  3ª 25 z  15t  70  3ª 5 5 z  3t  14 
4ª x  y  3z  2t  7  4ª x  y  3z  2t  7  
Solución: 1ª   z  1 ,  3ª   t  3 ,  2ª   y  3 ,  4ª   x  5 .

110. 110
2. Sistemas de ecuacións con solución e sen solución
Prácticas
 x  y  3z  0
3x  2 y  5 z  7 w  32
239. Transforma en graduado e resolve 
 .
 x  2 y  z  3w  18
 x  3 y  z  2w  26

Solución:
x  y  3z  0  1ª x  y  3z  0  1ª x  y  3z  0 
3x  2 y  5 z  7 w  32 
 2ª 3 1ª y  14 z  7 w  32 
 2ª y  14 z  7 w  32 

  
x  2 y  z  3w  18  3ª 1ª 3 y  4 z  3w  18  3ª 3  2ª 38 z  18w  114 
x  3 y  z  2w  26   4ª 1ª 2 y  2 z  2w  26 
 4ª 2  2ª 30 z  16w  90  
w0
1ª x  y  3z  0 
57  9w
2ª y  14 z  7 w  32  z 
 3
 19 .
3ª 2 19 z  9w  57 
y  32  14 z  7 w  10
4ª 2  2ª 34w  0   x  y  3z  1
Solución: x  1 , y  10 , z  3 , w  0 .
 x yz 6
240. Transforma en graduado e resolve  x  y  z  4 .

3x  y  z  8

 x  y  z  6 1ª x yz 6 
  1ª x  y  z  6 x  y  6  z
 x  y  z  4 2ª 1ª 2 y  2 z  10    
3x  y  z  8 3ª 1ª 3 2ª   2  y  z  5 y  5 z
 2 y  2 z  10 

y  5 z
 .
x  6  z  y  6  z  5  z  1
Solucións: x  1 , y  5   , z   .
2.5. Matrices asociadas a sistemas
 Cada sistema de ecuación ten asociado unha matriz, a dos coeficientes e termos indepen-
dentes:
 a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1  a11 a12  a1n b1   a11 a12  a1n b1 
    
 a12 x1  a22 x2    a2 n xn  b2  a21 a22  a2 n b2   a21 a22  a2 n b2 
    a31
 a31 x1  a32 x2    a3n xn  b3   a31 a32  a3n b3 a32  a3n b3 
    
          
 am1 x1  am 2 x2    amn xn  bn a   a  amn bn 
  m1 am 2 amn bn   m1 am 2 
Onde a alínea vertical que aparece na segunda matriz utilízase só para evitar confusións
cos termos independentes, e só ten importancia simbólica.
 x  5 y  3z  7

241. Obtén a matriz asociada ao sistema do exemplo 236:  2 x  y  z  11 .
4 x  3 y  4 z  3

Solución:
 x  5 y  3z  7  1 5 3 7   1 5 3 7 
    
 2 x  y  z  11   2 1 1 11   2 1 1 11 .
4 x  3 y  4 z  3  4 3 4 3   4 3 4 3 
    
 Utilizando matrices o anterior procedemento para transformar un sistema en graduado faise
moito máis fácil.

111. 111
Sistemas de ecuacións Prácticas
 x  5 y  3z  7

242. Utilizando matrices, resolve o sistema do exemplo 236:  2 x  y  z  11 .
4 x  3 y  4 z  3

Solución:
 x  5 y  3z  7  1 5 3 7  1ª  1 5 3 7  1ª
    
 2 x  y  z  11   2 1 1 11 2ª 2 1ª  0 11 7 3  17  2ª
4 x  3 y  4 z  3  4 3 4 3  3ª 4 1ª  0 17 8 25  11  3ª
    
1 5 3 7  1ª 1 5 3 7  1ª  1 5 3 7 
     
 0 187 119 51  2ª  0 187 119 51  2ª 17  0 11 7 3  
 0 187 88 275  3ª 2ª  0 0 31 224  3ª   1  0 0 31 224 
     
x  5 y  3z  7 

 11y  7 z  3  .
31z  224 
Solución: x  134 , y  151 e z  224 .
31 31 31
3. MÉTODO DE GAUSS
 O método de Gauss é unha xeneralización do procedemento anterior e consiste en transfor-
mar un sistema de ecuacións lineais noutro graduado. Para iso, “facemos ceros” sometendo
as ecuacións a dúas transformacións elementais:
• Multiplicar unha ecuación por un número distinto de cero.
• Sumar a unha ecuación outra multiplicada por un número.
Cando utilizamos o método de Gauss, ao rematar o proceso ou nalgún paso intermedio, podemos
chegar a:
 Unha fila de ceros. Corresponde a unha ecuación trivial e podemos prescindir dela:
0 0  0 0  0x  0 y    0 t  0
 Dúas filas iguais ou proporcionais. Corresponden a ecuacións equivalentes e podemos pres-
cindir inmediatamente dunha delas:
     
       
 0 1 5 2 6    0 1 5 2 6 
 0 3 15 6 18   
 
 Unha fila de ceros, agás o último número —que corresponde ao termo independente— dis-
tinto de cero:
0 0 0  0   0 x  0 y    0 t  
(  é un número distinto de cero)
Evidentemente, trátase dunha ecuación imposible. En tal caso o sistema é incompatible.
Para cada caso temos:
      
 
 0       un número distinto de cero
 0 0    

 0 0 0     un número calquera

 
Hai tantas ecuacións válidas coma incógnitas. Sistema compatible determinado.

112. 112
3. Método de Gauss
Prácticas
           
   
 0        0       un número distinto de cero
 0 0       0 0       un número calquera
    
Hai menos ecuacións válidas que incógnitas. As incógnitas que están de máis pásanse ao
segundo membro, co cal o valor das demais darase en función delas. O sistema é compati-
ble indeterminado. A súa solución xeral virá dada con tantos parámetros coma incógnitas
pasásemos ao segundo membro.
      
 
        un número distinto de cero
  0 0 0  0    un número calquera
 
A ecuación sinalada () non se pode cumprir nunca. O sistema é incompatible.
2 x  5 y  3z  4

243. Resolve o sistema  x  2y  z  3 .
 5 x  y  7 z  11

Solución:
Resolvémolo facendo unha iteración parcial.
2 x  5 y  3z  4  2 5 3 4  2ª  1 2 1
3  1ª  1 2 1 3 
     
 x  2 y  z  3   1 2 1 3  1ª 4  2ª 2 1ª  0 1 1 2 
 2 5 3
 5 x  y  7 z  11 5 1 7 11 3ª 5 1 7
11 3ª 5 1ª  0 11 2 4 
     
1ª 1 2 1 3  x  2 y  z  3 1ª   x  2  3  x  5
   
2ª 0 1 1 2     y  z  2   2ª    y  2  2  y  0 .
0 0 13 26   
 3ª   z  2
3ª 11  2ª    13z  26
Solución: x  5 , y  0 , z  2 .
Este procedemento pode ampliarse e facer unha iteración total, que podemos facer de dúas formas.
Para facilitar a interpretación, neste exemplo non faremos as simplificacións posibles.
 2 5 3 4  2ª  1 2 1 3  1ª  1 2 1 3  1ª 2  2ª
     
I.  1 2 1 3  1ª  2 5 3 4  2ª 2 1ª  0 1 1 2  2ª
5 1 7 11 3ª 5 1 7 11 3ª 5 1ª  0 11 2 4  3ª 11  2ª
     
 1 0 1 7  13 1ª 3ª 13 0 0 65 
    65 0
 0 1 1 2  13  2ª 3ª  0 13 0 0   x 5, y 0,
 0 0 13 13 13
 26  3ª

0
 0 13 
26 
26
z  2 , sendo este o método máis eficiente.
13
 2 5 3 4  2ª  1 2 1 3  1ª  1 2 1 3  1ª
     
II.  1 2 1 3  1ª  2 5 3 4  2ª 2 1ª  0 1 1 2  2ª
5 1 7 11 3ª 5 1 7 11 3ª 5 1ª  0 11 2 4  3ª 11  2ª
     
 1 2 1 3  13 1ª 3ª 13 26 0 65  1ª 2  2ª 13 0 0 65 
     
 0 1 1 2  13  2ª 3ª  0 13 0 0  2ª  0 13 0 0 
 0 0 13 26  3ª 0 0 13 26  3ª 0 0 13 26 
     
65 0 26
 x 5, y 0, z   2 , similar ao anterior, aínda que menos eficiente.
13 13 13

113. 113
Sistemas de ecuacións Prácticas
 x  3 y  7 z  10

244. Resolve polo método de Gauss o seguinte sistema  5x  y  z  8 .
 x  4 y  10 z  11

Solución:
 x  3 y  7 z  10  1 3 7 10  1ª  1 3 7 10  1ª
    
 5 x  y  z  8   5 1 1 8  2ª 5 1ª  0 14 34 42  2ª 2
 x  4 y  10 z  11  1 4 10 11 3ª 1ª  0 7 17 21  3ª
    
 1 3 7 10  1ª  1 3 7 10 
     1 3 7 10 
 0 7 17 21 2ª  0 7 17 21   0 7 17 21  A terceira ecuación é
 0 7 17 21 3ª 2ª  0 0 0 0   
   
igual á segunda e podemos prescindir dela. O sistema así xa está graduado e pasamos a terceira co-
lumna (a correspondente a z ) ao termo independente. O sistema é compatible indeterminado.
21  17 z 17
 2ª  7 y  17 z  21  y  3  z
7 7
 17  2
1ª  x  3 y  7 z  10  x  10  3  3  z   7 z  1  z
 7  7
2 17
A solución é: x  1   , y  3   , z   ; se en lugar de tomar z   tomamos z   , a
7 7
solución poríase así: x  1  2 , y  3  17 , z  7 .
 x  3y  2z  7
245. Resolve polo método de Gauss o seguinte sistema 2 x  y  15z  3 .

 x  8 y  21z  11

Solución:
 x  3y  2z  7  1 3 2 7  1ª  1 3 2 7  1ª
    
 2 x  y  15 z  3   2 1 15 3  2ª 2 1ª  0 5 19 11 2ª
 x  8 y  21z  11  1 8 21 11 3ª 1ª  0 5 19 4  3ª 2ª
    
 1 3 2 7 
 
 0 5 19 11 .
0 0 0 7 
 
A  0 0 0  7  representa a ecuación 0 x  0 y  0 z  7 , que é imposible. O sistema é incom-
patible.
 x yz  2

246. Resolve polo método de Gauss  3x  2 y  z  4 .
 2 x  y  2 z  2

Solución:
Facémolo de dúas maneiras, con iteración total e parcial:
 x yz  2 1 1 1 2  1ª 1 1 1 2  5 1ª 2ª
    
I.  3x  2 y  z  4   3 2 1 4  2ª 3 1ª  0 5 4 2  2ª
 2 x  y  2 z  2  2 1 2 2  3ª 2 1ª 0 3 4 6  5  3ª 3  2ª
    
 x  40  1
5 0 1 8  8 1ª 3ª  40 0 0 40   40
    
 0 5 4 2  2  2ª 3ª  0 10 0 20    y   20  2 .
10
0 0 8 24  3ª 8 0 0 1 3 
    z  3 3
 1

114. 114
3. Método de Gauss
Prácticas
 x yz  2 1 1 1 2  1ª 1 1 1 2  1ª
    
II.  3x  2 y  z  4   3 2 1 4  2ª 3 1ª  0 5 4 2  2ª   1
 2 x  y  2 z  2  2 1 2 2  3ª 2 1ª  0 3 4 6  3ª 5  2ª 3
    
z  3
1 1 1 2 x yz  2  
    2  4z
0 5 4 2   5 y  4z  2  y   2 .
5
0 0 8
 24 
 8 z  24


x  2  y  z  1

Solución: x  1 , y  2 , z  3 .
As calculadoras TI que se empregan neste tema
permiten a fácil solución de sistemas polo méto-
do de Gauss, usando a función ref   .
O resultado obtense máis facilmente aínda coas
calculadoras TI usando a función rref   , como
se ve nas copias de pantalla adxuntas.
Tamén pode resolverse un sistema de ecuacións
sen utilizar os métodos matriciais, como se fixo
anteriormente, coa función solve   .
É matricialmente paso a paso? Lembrando que antes se fixo o programa gaussm  m, i, j  , po-
demos utilizalo aquí, como se ve na copia de pantalla da versión de TI-nspire CAS para PC.

115. 115
Sistemas de ecuacións Prácticas
 2 x  5 y  16

247. Resolve polo método de Gauss o sistema  x  3 y  2 z  2 .
 x z  4

Solución:
 2 x  5 y  16 2 5 0 16  3ª  1 0 1 4  1ª 1 0 1 4 
      
I.  x  3 y  2 z  2   1 3 2 2  2ª  1 3 2 2  2ª 1ª  0 3 3 6 
 x z  4 1 0 1 4  1ª  2 5 0 16  3ª 2 1ª  0 5 2 8 
      
1ª  1 0 1 4  1ª  1 0 1 4  1ª  1 0 1 4  1ª 3ª
     
2ª 3  0 1 1 2  2ª  0 1 1 2  2ª  0 1 1 2  2ª 3ª
3ª  0 5 2 8  3ª 5  2ª  0 0 3 18  3ª 3  0 0 1 6  3ª
     
 1 0 0 2   x  2
  
0 1 0 4   y  4 .
0 0 1 6  z  6
  

116. 116
3. Método de Gauss
Prácticas
 2 x  5 y  16 2 5 0 16  1ª 2 5 0 16  1º
    
II.  x  3 y  2 z  2   1 3 2 2  2ª 2  3ª 3 3 0 6  2ª 3
 x z  4 1 0 1 4  3ª 1 0 1 4  3ª
    
2 5 0 16  1ª 5  2ª  3 0 0 6  3 x  6  x  2
     
1 1 0 2  2ª 1 1 0 2  x  y  2   y  2  x  4 .
1 0 1 4  3ª 1 0 1 4 x z  4 z  4  x  6
     
Solución: x  2, y  4, z  6 .
3x  4 y  2 z  1
248. Resolve polo método de Gauss 2 x  3 y  z  2 .

 5x  y  z  5

Solución:
3x  4 y  2 z  1  3 4 2 1  1ª  3 4 2 1  17 1ª 4  2ª
    
I.  2 x  3 y  z  2   2 3 1 2  3  2ª 2 1ª  0 17 7 8  2ª
 5x  y  z  5  5 1 1 5  3  3ª 5 1ª  0 17 7 10  3ª 2ª
    
 51 0 6 15 
 
 0 17 7 8   o sistema é incompatible.
0 0 0 18 
 
3x  4 y  2 z  1  3 4 2 1  1ª 2  3ª  7 2 0 9  1ª 2ª
    
II.  2 x  3 y  z  2   2 3 1 2  2ª 3ª  7 2 0 3  2ª
 5x  y  z  5  5 1 1 5  3ª  5 1 1 5  2  3ª 2ª
    
 0 0 0 6 
 
 7 2 0 3   o sistema é incompatible.
 17 0 2 13 
 
3x  4 y  2 z  1  3 4 2 1  1ª 2  3ª  7 2 0 9 
    
III.  2 x  3 y  z  2   2 3 1 2  2ª 3ª  7 2 0 3 
 5x  y  z  5  5 1 1 5  3ª  5 1 1 5 
    
As dúas primeiras ecuacións son contraditorias. O sistema é incompatible.
 x  y  2z  2
249. Resolve polo método de Gauss  x  3 y  z  3 .

 x  y  5z  7

Solución:
 x  y  2z  2  1 1 2 2  1ª  1 1 2 2
     x  y  2 z  2
  x  3 y  z  3   1 3 1 3  2ª 1ª 0 2 3 5   
 x  y  5z  7  1 1 5 7  3ª 1ª 0 2 3 2 y  3z  5 
    5

 x  2  y  2z
 x  y  2  2z  5  3z 9 7z
   5  3z 5 3  x  2  2z   .
 2 y  5  3z y  2  2  2 z 2 2 2

9 5
Solución: x   7 , y   3 , z  2 .
2 2

117. 117
Sistemas de ecuacións Prácticas
 2x  y  w  9
 x  2 y  z  11
250. Resolve polo método de Gauss 
 .
 5 x  y  z  w  24
5 x  2 y  z  2 w  0

Solución:
Facémolo de dúas maneiras, con iteración total e parcial:
 2x  y  w  9  2 1 0 1 9  2ª 1 2 1 0 11  1ª
    
 x  2 y  z  11
  1 2 1 0 11  1ª 2 1 0 1 9  2ª 2 1ª
I.   5 1 1 1 24  3ª 5
 5 x  y  z  w  24 1 1 1 24  3ª 5 1ª

 5 2 1 2 0  4ª
 
5 
5 x  2 y  z  2 w  0
     2 1 2 0  4ª 5 1ª

 1 2 1 0 11  3 1ª 2  2ª  3 0 1 2 7  1ª  3 0 1 2 7 
     
 0 3 2 1 13  2ª  0 3 2 1 13  2ª  0 3 2 1 13 
 0 9 4 1 31  3ª 3  2ª  0 0 2 2 8  3ª 2  0 0 1 1 4 

 0 8 6 2 55  3  4ª 8  2ª  0 0 2 2
   
 0 0 2 2 61 
   61 
 4ª 


x   9  3
1ª 3ª 3 0 0 1 11  4 1ª 4ª 12 0 0 0 9   12 4
     y  33  11
2ª 2  3ª 0 3 0 1 5  4  2ª 4ª  0 12 0 0 33   12 4
 
0 0 1 1 4  4  3ª 4ª 0 0 4 0 69 
3ª
     z  69 4
4ª 2  3ª 0 0 0 4 53   0 0 0 4 53  
  4ª    w  53
 4
 2x  y  w  9  2 1 0 1 9  2 1 0
1ª 1 9  1ª
    
 x  2 y  z  11 1 2 1 2ª 0 11   1 2 1 0 11  2ª
II.   
 5 1 1 1 24  3 0 1 0 15 
 5 x  y  z  w  24 
3ª 1ª
  
3ª 4ª
5 x  2 y  z  2 w  0  5  2 1 2 0
4ª 2 1ª  1 0 1 0 18 
     4ª
 w  9  2 x  y  53
 4
 2 1 0 1 9  2x  y  w  9   x  z  11 11
   y  
 1 2 1 0 11   x  2 y  z  11    2 4
 4 0 0 0 3    .
4 x  3  x   3
 
 1 0 1 0 18  x  z  18
  4
  
 z  x  18  4
69

3 11 69 53
Solución: x   , y , z , w .
4 4 4 4
2 x  3 y  z  0
251. Resolve, se é posible, o sistema  3x  y  0 .

 4x  y  z  0

Solución:
2 x  3 y  z  0  2 3 1 0  1ª  2 3 1 0  7 1ª 3  2ª
    
I.  3x  y  0   3 1 0 0  2  2ª 3 1ª
 0 7 3 0  2ª
 4x  y  z  0  4 1 1 0  3ª 2 1ª
 0 7 3 0  3ª 2ª
    
x  
14 0 2 0   7 x  
   7 0 1 0  7 0    
 0 7 3 0    
z 
 
4ª 3ª     y     y   .
 0 0 0 0  0 7 3 0   0 7 3  
7
 z  7
  z   


118. 118
3. Método de Gauss
Prácticas
2 x  3 y  z  0  2 3 1 0  1ª  2 3 1 0  1ª
    
II.  3x  y  0   3 1 0 0  2ª  3 1 0 0  2ª
 4x  y  z  0  4 1 1 0  3º 1ª  6 2 0 0  3ª 2  2ª
    
 2 3 1 0
  2 x  3 y  z  0   3 y  z  2 x
 3 1 0 0  
3x  y  0
 
y  3x
 y  3 x , z  2 x  3 y  7 x .
0 0 0  
 0

Solucións: x   , y  3 , z  7 .
 x y  z 1
252. Resolve o sistema  3x  2 y  z  1 .

5 x  3 y  3z  1

Solución:
 x y  z 1  1 1 1 1 1ª  1 1 1 1  1ª 2ª
    
I.  3x  2 y  z  1   3 2 1 1 2ª 3 1ª  0 1 4 2  2ª
5 x  3 y  3z  1  5 3 3 1 3ª 5 1ª  0 2 8 4  3ª 2  2ª
    
 1 0 3 1   x  1  3
   1 0 3 1  z   1 0 1  3  
 0 1 4 2      
4ª 3ª     y  2  4 .
0 0 0 0   0 1 4 2   0 1 2  4  z  
  
 x y  z 1  1 1 1 1 1ª  1 1 1 1  1ª
    
II.  3x  2 y  z  1   3 2 1 1 2ª 3 1ª  0 1 4 2  2ª
5 x  3 y  3z  1  5 3 3 1 3ª 5 1ª  0 2 8 4  3ª 2
    
 1 1 1 1  1ª  1 1 1 1
    x  y  z  1 x  y  1 z
 0 1 4 2  2ª  0 1 4 2      
 0 1 4 2  3ª 2ª  0 0 0   y  4 z  2  y  2  4z
   0 
 y  2  4 z , x  1  z  y  1  3 z .
Solución: x  1  3 , y  2  4 , z   .
253. Estuda, segundo os valores de a , e resolve cando sexa posible, o sistema de ecuacións
 x  y  2z  2
 2 x  y  3z  1

 .
 3y  z  3
 x  2 y  5z  a

Solución:
 x  y  2z  2

Resolvemos o sistema formado polas tres primeiras ecuacións:  2 x  y  3z  1 
 3y  z  3

 1 1 2 2  1ª  1 1 2 2  3 1ª 2ª  3 0 1 3  6 1ª 3ª
     
 A   2 1 3 1  2ª 2 1ª  0 3 7 3  2ª  0 3 7 3  6  2ª 7  3ª
 0 3 1 3  3ª  0 3 1 3  3ª 2ª  0 0 6 6  3ª
     
x  4
18 0 0 24   3
  
 0 18 0 24    y  3
4 .
 0 0 6 6  
   z  1


119. 119
Sistemas de ecuacións Prácticas
Para que o sistema dado sexa compatible, esta solución tamén debe selo da cuarta ecuación. Subs-
tituíndo estes valores na cuarta ecuación tense:
4 4 se a  2  sistema compatible determinado.
 2   5   1  2  
3 3 se a  2  sistema incompatible.
 2x  y  t  0
 x  2y  z  0
254. Resolve polo método de Gauss 
 .
 5x  y  z  t  0
5 x  2 y  z  2t  0

Solución:
  2 1 0
2x  y  t  0 1 0  2ª  1 2 1 0 0  1ª
    
  1 2 1
x  2y  z  0

0 0  1ª  2 1 0 1 0  2ª 2 1ª
I.   5 1 1
 5x  y  z  t  0 1 0  3ª  5 1 1 1 0  3ª 5 1ª

 5 2 1   
5 x  2 y  z  2t  0
  2 0  4ª  5 2 1 2 0  4ª 5 1ª
  
 1 2 1 0 0  3 1ª 2  2ª  3 0 1 2 0  2 1ª 3ª  6 0 0 2 0 
     
 0 3 2 1 0  2ª 0 3 2 1 0  2ª 3ª  0 3 0 1 0 
 0 9 4 1 0  3ª 3  2ª 0 0 2 2 0  3ª  0 0 2 2 0 

 0 8 6 2 0  3  4ª 8  2ª  0
   
 0 0 0 4 0 
   0 2 2 0  4ª 3ª
 


1ª 2  3 0 0 1 0  1ª 4ª 3 0 0 0 0 t  0
    
2ª  0 3 0 1 0  2ª 4ª 0 3 0 0 0  y  0 .
 0 0 1 1 0  3ª 4ª 0 0 1 0 0 
3ª 2 x  0
   
4ª   4   0 0 0 1 0  4ª
 
0 0 0 1 0
 
z  0

 2x  y  t  0  2 1 0 1 0 1ª  2 1 0 1 0 1ª
    
 x  2y  z  0 1 2 1 0 0 2ª  1 2 1 0 0 2ª
II.   
 5 1 1 1 0 3 0 1 0 0
 5x  y  z  t  0  
3ª 1ª
 
3ª 4ª
5 x  2 y  z  2t  0  5 2 1 2 0 4ª 2 1ª  1 0 1 0 0
     4ª
 2 1 0 1 0  2 x  y  t  0 t  0
   y  0
 1 2 1 0 0   x  2 y  z  0  
 
 4 0 0 0 0  .
4 x  0 x  0

 1 0 1 0 0  
  x  z  0
 z  0

Solución: x  0 , y  0 , z  0 , t  0 .
 x  2 y  3

255. Resolve polo método de Gauss 2 x  3 y  z  4 .
 2x  y  5z  4

Solución:
 x  2 y  3  1 2 0 3  1ª  1 2 0 3  1ª
    
 2 x  3 y  z  4   2 3 1 4  2ª 2 1ª  0 1 1 2  2ª
 2x  y  5z  4  2 1 5 4  3ª 2 1ª  0 5 5 10  3ª 5  2ª
    
 1 2 0 3 
  x  2 y  3   x  3  2 y
 0 1 1 2    y  z  2    z  2  y .
0 0 0 0   
 
Solucións: x  3  2 , y   , z  2   .

120. 120
3. Método de Gauss
Prácticas
 x  3 y  z  1
 x  5 y  3z  3
256. Resolve polo método de Gauss 
 .
x  y  z  1
3 x  7 y  5 z  5

Solución:
 x  3 y  z  1  1 3 1 1 1ª  1 3 1 1 1ª
 x  5 y  3z  3    

  1 5 3 3  2ª 1ª  0 8 4 4  2ª 4
I.   1 1 1 1  3ª 1ª  0 4 2 2  3ª 2
x  y  z  1 
3 x  7 y  5 z  5  3 7 5 5  4ª 3 1ª  0 16 8 8  4ª 8
  
    
 1 3 1 1 2 1ª 3  2ª  2 0 1 1 
   
 0 2 1 1  2ª  0 2 1 1   sistema compatible indeterminado
 0 2 1 1  3ª 2ª 0 0 0 0

 0 2 1 1  4ª 2ª 
0 0 0 0 
   
 1 
1 0 1   x  2
 x  1 
 2 0 1 1 z   2 0 1    1ª 2  2   1  
   
4ª 3ª      y    y  1  .
 0 2 1 1  0 2 1    2ª 2  0 1 1   
   2  z  2
 2  z   


 x  3 y  z  1  1 3 1 1 3ª 1 1 1 1 1ª 1 1 1 1 
 x  5 y  3z  3      
 1 5 3 3  2ª 1 5 3 3 2ª 1ª 0 4 2 2 
II.  
1 1 1 1  1 3 1 1  0 4 2 2 
x  y  z  1 
1ª 3ª 1ª
3 x  7 y  5 z  5 3 7 5 5   
3 7 5 5

4ª 3 1ª

0 4 2 2  
   4ª    
1ª  1 1 1 1  1ª 1 1 1 1
   
2ª 2  0 2 1 1  2ª 0 2 1 1 x  y  z  1 x  y  1 z
    
3ª   2   0 2 1 1  3ª 2ª 0 0 0 0  2y  z 1  2y  1 z

 0 2 1 1  4º 2ª  0
  
4ª 2    0 0 0

1 z 1 z
 y , x  1 z  y  .
2 2
Solucións: x  1   , y  1   , z  2 .
 y  z  1

257. Estuda e resolve polo método de Gauss  x  y 1 .
 x  2 y  3z  2

Solución:
 y  z  1 0 1 1 1  2ª  1 1 0 1  1ª  1 1 0 1
      
I.  x  y  1   1 1 0 1  1ª 0 1 1 1  2ª 0 1 1 1 
 x  2 y  3z  2 1 2 3 2  3ª 1 2 3 2  3ª 1ª 0 3 3 3 
      
1ª 2ª 1 0 1 0   x  
  1 0 1 0  z   1 0   
2ª  0 1 1 1    0 1 1 1   0 1 1      y  1   .
4ª 3ª 
3ª 3  2ª0 0 0 0      z  
  
Solución: x   , y  1   , z   .

121. 121
Sistemas de ecuacións Prácticas
 y  z  1 0 1 1 1  2ª  1 1 0 1  1ª  1 1 0 1
      
II.  x  y  1   1 1 0 1  1ª 0 1 1 1  2ª 0 1 1 1 
 x  2 y  3z  2 1 2 3 2  3ª 1 2 3 2  3ª 1ª 0 3 3 3 
      
1ª  1 1 0 1
 
2ª 0 1 1 1  sistema compatible indeterminado. Resolvémolo:
3ª 3  2ª 0 0 0 0
 
x  y  1 x  1 y
   .
 y  z  1  z  1  y
Solucións: x  1   , y   , z  1   .
9 x  6 y  z  34

258. Resolve mediante Gauss–Jordan o sistema 5 x  3 y  z  19 .
9 x  3 y  5 z  35

Solución:
9 x  6 y  z  34  9 6 1 34  1ª  9 6 1 34  1ª 2  2ª
    
5 x  3 y  z  19   5 3 1 19  9  2ª 5 1ª  0 3 4 1  2ª
9 x  3 y  5 z  35  9 3 5 35  3ª 1ª  0 9 4 1  3ª 3  2ª
    
 9 0 9 36  8 1ª 9  3ª  72 0 0 270  1ª 72  1 0 0 15 4 
     
 0 3 4 1  2  2ª 3ª  0 6 0 0  2ª 6 0 1 0 0  .
 0 0 8 2  3ª  0 0 8 2  3ª 8  0 0 1  14 
     
Solucións: x  15 , y  0 , z   1 .
4 4
Coa función rref   podemos resolver matri-
cialmente o sistema; paso a paso fixémolo co
noso programa gaussm  m, i, j  .
4. PROGRAMANDO UTILIDADES CON TI
Antes resolveuse un sistema de ecuacións paso a paso usando o programa gaussm  m, i, j  que
foi deseñado para este tema.
Podería ser interesante redactar un novo programa que fixera automaticamente todo o proceso que
antes fixemos a pasos co programa gaussm  m, i, j  .
Dado que xa se ten o programa gaussm  m, i, j  bastará modificar lixeiramente o código para
obter o programa desexado. Chamémoslle a ese programa gaussk  m  , e só recibirá como entrada
unha matriz.

122. 122
4. Programando utilidades con TI
Prácticas
4.1. Programa gaussk
Este programa faise a partir dunha lixeira modificación do programa gaussm  m, i, j  , indicán-
dolle, basicamente, que a iteración se faga automaticamente e tomando como pivotes os elementos
que teñen iguais as dúas coordenadas.
Define LibPub gaussk(θm)=
Prgm
©gaussk(θm)
Local m,k,θc,θd,θf,θnf,θnc,θs,ma,θi
m:=θm
rowDim(θm)→θnf
colDim(θm)→θnc
θs=min(θnf,θnc)
For θi,1,θs
For θf,1,θnf
ma:=m
If θf≠θi Then
k:=gcd(m[θi,θi],m[θf,θi])
θc:=((m[θf,θi])/(k))
θd:=((m[θi,θi])/(k))
If sign(m[θi,θi])=sign(m[θf,θi]) Then
If sign(m[θi,θi])=1 Then
m:=mRowAdd(−θc,mRow(θd,m,θf),θi,θf)
Else
m:=mRowAdd(θc,mRow(−θd,m,θf),θi,θf)
EndIf
Else
If sign(m[θi,θi])=1 Then
m:=mRowAdd(−θc,mRow(θd,m,θf),θi,θf)
Else
m:=mRowAdd(θc,mRow(−θd,m,θf),θi,θf)
EndIf
EndIf
If sign(θd)=1 Then
If sign(θc)=1 Then
Disp ma,"→",θd,"×F",θf,"-",θc,"×F",θi,"=",m
Else
Disp ma,"→",θd,"×F",θf,"+",abs(θc),"×F",θi,"=",m
EndIf
Else
If sign(θc)=1 Then
Disp ma,"→",abs(θd),"×F",θf,"+",θc,"×F",θi,"=",m
Else
Disp ma,"→",abs(θd),"×F",θf,"-",abs(θc),"×F",θi,"=",m
EndIf
EndIf
EndIf
EndFor
EndFor
EndPrgm

123. 123
Sistemas de ecuacións Prácticas
Este mesmo exemplo feito coa versión para PC de TI-nspire CAS produce o seguinte:
5. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
5.1. Criterio para saber se un sistema é compatible
Para saber se un sistema de ecuacións ten ou non solución, haberá que ver se os termos indepen-
dentes se poden obter a partir dos coeficientes das incógnitas, e dicir, se son combinación lineal
dos coeficientes. Isto realízase comparando a matriz dos coeficientes coa matriz que se obtén en-
gadíndolle a esta a columna dos termos independentes, chamada matriz ampliada.
É o que fai o seguinte teorema.

124. 124
5. Resolución de sistemas mediante determinantes
Prácticas
 Teorema 9: de Rouché
A condición necesaria e suficiente para que teña solución o sistema
a11 x1  a12 x2  a13 x3    a1n xn  c1

a x  a x  a x    a 2 n xn  c2
  21 1 22 2 23 3

    
am1 x1  am 2 x2  am 3 x3    amn xn  cm

é que o rango da matriz dos coeficientes, A, coincida co rango da matriz ampliada, A ' :
 a11 a12 a13  a1n   a11 a12 a13  a1n c1 
   
a a22 a23  a2 n  a a22 a23  a2 n c2 
A   21 , A '   12
          
   
 am1 am 2 am 3  amn   am1 am 2 am 3  amn cm 
• É dicir: O sistema   ten solución  ran  A   ran  A '  .
2 x  3 y  z  4
259. Aplica o teorema de Rouché para estudar a compatibilidade do sistema  x  2 y  5 .

 3y  z  1

Solución:
2 x  3 y  z  4  2 3 1  2 3 1 4 
    
 x  2 y  5  A   1 2 0  , A'   1 2 0 5 .
 3y  z  1 0 3 1  0 3 1 1
    
A  2  0 . Polo tanto, ran  A   3 . Como A ' só ten tres filas, o seu rango non pode ser maior
que 3. Polo tanto, ran  A   ran  A '  . O sistema é compatible.
 x  2y  z  0
260. Aplica o teorema de Rouché para estudar a compatibilidade do sistema 
 x  y  1 .
 x  4 y  3z  4

Solución:
  
A  
 x  2y  z  0  1 2 1 0 
  
 x  y  1   1 1 0 1 ;
 x  4 y  3z  4  1 4 3 4 
     

 A' 
1 2
A 0 e  1  0  ran  A   2 , pois o menor recadrado en vermello é non nulo.
1 1
1 2 0
1 1 1  2  0 Polo tanto ran  A '  3 . ran  A   ran  A '  . O sistema é incompatible.
1 4 4
 Frecuentemente trazase unha vertical que distinga as columnas dos coeficientes da colum-
na de termos independentes, pero a tódolos efectos é unha matriz ordinaria e a vertical só
se considera como elemento tipográfico.
 a11 a12 a13  a1n   a11 a12 a13  a1n c1 
   
a a22 a23  a2 n  a a22 a23  a2 n c2 
A   21 , A '   21
          
  
a 
 am1 am 2 am 3  amn   m1 am 2 am 3  amn cm 

125. 125
Sistemas de ecuacións Prácticas
 x  2y  z  0

261. Aplica o teorema de Rouché para estudar a compatibilidade do sistema  x  y  1 .
 x  4 y  3z  2

Solución:
  
A  
 x  2y  z  0  1 2 1 0 
  
 x  y  1   1 1 0 1 .
 x  4 y  3z  2  1 4 3 2 
    


 A' 
1 2
A 0 e  3  0  ran  A   2 , pois o menor recadrado en vermello é non nulo.
1 1
1 2 0
1 1 1  0 Polo tanto ran  A '  2 . ran  A   ran  A '  2  o sistema é compatible.
1 4 2
 x y 7

262. Aplica o teorema de Rouché para estudar a compatibilidade do sistema 2 x  3 y  4 .
 2x  y  0

Solución:
 x y 7 1 1 7
  
 2 x  3 y  4  A '   2 3 4  . Posto que A ' é unha matriz cadrada, calculamos o seu determi-
 2x  y  0  2 1 0
  
nante:
A '  60  0 . Polo tanto ran  A '  3 . Como a matriz A só ten dúas columnas, ran  A   2 :
ran  A   2  ran  A '  3  o sistema é incompatible.
 a  1 x  2 y  z  a  3
263. Indica o valor de a para o cal ten infinitas solucións o sistema 
 ax  y  a .
 ax  3 y  z  a  2

Solución:
 a  1 x  2 y  z  a  3  a 1 2 1   a 1 2 1 a  3
    
 ax  y  a  A a 1 0 , A'   a 1 0 a ;
 ax  3 y  z  a  2  a   a a  2
  3 1  3 1 
a 1 2 1
A a 1 0  a  1 ; A  0  a  1 .
a 3 1
0 2 1 2 0 2 2
  0 2
• Se a  1 , A '   1 1 0 1 , e  2  0 e 1 1 1  0 (a 3ª fila é a suma
 1 3 1 1  1 1
  1 3 1
das dúas primeiras)  ran  A   ran  A '  2  o sistema é compatible indeterminado.
• Se a  1  ran  A   ran  A '   3  o sistema é compatible determinado.
Polo tanto, o sistema ten infinitas solucións (compatible indeterminado) só para a  1 .

126. 126
5. Resolución de sistemas mediante determinantes
Prácticas
4.2 Regra de Cramer
A regra de Cramer é un teorema cunha inmediata utilidade práctica. Serve para obter a solución
dun sistema de n ecuacións con n incógnitas. Imos enuncialo e ilustralo para n  4 . A súa xene-
ralización para un n calquera é inmediata.
 Sexa un sistema de 4 ecuacións con 4 incógnitas:
 a11 x  a12 y  a13 z  a14 t  c1 a11 a12 a13 a14

 a21 x  a22 y  a23 z  a24 t  c2 a a22 a23 a24
 con A  21 0
 a31 x  a32 y  a33 z  a34 t  c4 a31 a32 a33 a34
 a41 x  a42 y  a43 z  a44 t  c4
 a41 a42 a43 a44
• Dado que A  0 , ran  A   ran  A '   o sistema é compatible.
 Teorema 10: Regra de Cramer: A solución do sistema anterior é:
Ax Ay Az At
x , y , z , t
A A A A
Sendo Ax a matriz que resulta de substituír na matriz A a columna dos coeficientes de x
pola columna dos termos independentes. Analogamente, Ay , Az , At obtéñense substituín-
do en A a columna dos coeficientes da incógnita correspondente pola dos termos indepen-
dentes, é dicir:
c1 a12 a13 a14 a11 c1 a13 a14 a11 a12 c1 a14
c2 a22 a23 a24 a21 c2 a23 a24 a21 a22 c2 a24
• Ax  , Ay  , Az  e
c3 a32 a33 a34 a31 c3 a33 a34 a31 a32 c3 a34
c4 a42 a43 a44 a41 c4 a43 a44 a41 a42 c4 a44
a11 a12 a13 c1
a21 a22 a23 c2
At  .
a31 a32 a33 c3
a41 a42 a43 c4
 2x  3y  z  4
264. Resolve este sistema aplicando a regra de Cramer: 
 x y  6.
x  6 y  2z  5

Solución:
O primeiro é comprobar que A non é cero.
2 3 1
Por ser A  0, podemos aplicar a regra de Cramer
A  1 1 0  15  0 
para resolver o sistema.
1 6 2
Calculamos os determinantes Ax , Ay , Az :
4 3 1 2 4 1 2 3 4
Ax  6 1 0  75 , Ay  1 6 0  15 , Az  1 1 6  45 .
5 6 2 1 5 2 1 6 5
Por tanto, a solución é:
Ax 75 Ay 15 A 45
x   5, y   1, z  z   3 .
A 15 A 15 A 15
Solución: x  5 , y  1 , z  3 .

127. 127
Sistemas de ecuacións Prácticas
 4x  2 y  0
265. Resolve este sistema aplicando a regra de Cramer:  .
 7 x  8 y  8
Solución:
 4 2 0  4 2 Por ser A  0, podemos aplicar a regra de Cramer
A'   ; A   18  0 
 7 8 8  7 8 para resolver o sistema.
0 2 4 0
8 8 16 8 7 8 32 16
x   ; y   .
18 18 9 18 18 9
8 16
Solución: x  , y  .
9 9
 x  y  4 z  3t  18
 x  2 y  z  5t  9
266. Resolve o sistema 
 .
 2 x  2 y  3z  2t  8
6 x  3 y  z  2t  11

Solución:
 x  y  4 z  3t  18  1 1 4 3  1 1 4 3 1ª
 x  2 y  z  5t  9  
 1 2 1 5 1 2 1 5 2ª 1ª
  A , A
 2 x  2 y  3z  2t  8  2 2 3 2  2 2 3 2 3ª 2 1ª
6 x  3 y  z  2t  11  
  6 3 1 2  6 3 1 2 4ª 6 1ª
1 1 4 3
1 5 8 1ª 1 5 8
0 1 5 8 5 8
 1  0 5 8 2ª 0 5 8  1  120  0 .
0 0 5 8 40 40
3 25 16 3ª 3 1ª 0 40 40
0 3 25 16
 18 1 4 3  1 18 4 3 
   
9 2 1 5 1 9 1 5
Ax   ; Ax  240 ; Ay   ; Ay  120 ;
 8 2 3 2  2  8 3 2 
   
 11 3 1 2  6 11 1 2 
1 1 18 3  1 1 4 18 
   
1 2 9 5 1 2 1 9 
Az   ; Az  480 ; At   ; At  120
2 2 8 2  2 2 3 8 
   
6 3 11 2  6 3 1 11 
Ax 240 Ay 120 A 480 A 120
Polo tanto: x   2, y   1 , z  z  4, t  t  1.
A 120 A 120 A 120 A 120
Solución: x  2 , y  1 , z  4 e t  1 .
5.2. Aplicación da regra de Cramer a sistemas de calquera tipo
A regra de Cramer, en principio, só é válida para sistemas cadrados  n  n  que cumpren que
A  0 (a estes sistemas chámaselles de Cramer). Nembargante, tamén se lle pode aplicar a cal-
quera sistema compatible, como veremos a continuación.

128. 128
5. Resolución de sistemas mediante determinantes
Prácticas
 Temos un sistema de m ecuacións con n incógnitas, compatible. Supoñamos que se veri-
fica que ran  A   ran  A '   r e que r  m , r  n .
• Isto significa que a matriz dos coeficientes ten un menor de orde r distinto de cero.
Para simplificar a notación, suporemos que ese menor está na esquina superior es-
querda da matriz A , é dicir, está formado pola intersección das r primeiras filas e
das r primeiras columnas:
 
Pasan ao segundo membro
 a11 x1  a12 x2    a1 r xr  a1 r 1 xr 1    a1n xn  c1


 a x  a x    a x  a x    a x  c
 r1 1 r 2 2 rr r rr 1 r 1 rn n r
 ar 11 x1  ar 1 2 x2    ar 1 r xr  ar 1 r 1 xr 1    ar 1 n xn  cr 1 
 
   
 a x  a x    a x  a x    a x  c 
 m1 1 m 2 2 mr r mr 1 r 1 mn n m 
Onde as ecuacións  se suprimen por ser CL das r ecuacións anteriores.
 O sistema de partida anterior é equivalente a este outro:
 a11 x1  a12 x2    a1r xr  c1  a1r 1 xr 1    a1n xn a11  a1r

 , con     0 .
 a x  a x    a x  c  a x    a x ar1  arr
 r1 1 r 2 2 rr r r rr 1 r 1 rn n
Este é un sistema de Cramer no que os termos independentes están dados en función das
incógnitas “sobrantes” ( xr 1 , …, xn ). Polo tanto, a solución depende de n  r parámetros.
• Se r  m todas as ecuacións son útiles (non “sobra” ningunha).
• Se r  n  m , “sobran” varias ecuacións pero, ao suprimilas, queda un sistema de
Cramer de n ecuacións e n incógnitas, determinado.
 2 x  3 y  5 z  t  27
267. Resolve o sistema 
 xz  2 .
 2 x  4 y  2t  24

Solución:
Para que sexa “de Cramer”, temos que pasar ao segundo membro unha das incógnitas. Probamos
coa t . O determinante da matriz dos coeficientes que quedan no primeiro membro debe ser non
nulo.
 2 x  3 y  5 z  27  t  2 3 5 1 27   2 3 5 27   
   t   
 x z  2 :  1 0 1 0 2    1 0 1
5ª 4ª  2 
 2 x  4 y  24  2t  2 4 0 2 24   2 4 0 24  2 
    
2 3 5
A 1 0 1  22 .
2 4 0
Como A  0 , podemos aplicar a regra de Cramer.
27   3 5 2 27   5
Ax  2 0 1  10  76 , Ay  1 2 1  16  94 ,
24  2 4 0 1 24  2 0

129. 129
Sistemas de ecuacións Prácticas
2 3 27  
Az  1 0 2  10  32 .
2 4 24  2
76  10 94  16 32  10
Solución: x  , y , z , t.
22 22 22
x  y  z  t  4
268. Resolve empregando a regra de Cramer  .
x  y  z  t  2
Solución:
x  y  z  t  4  1 1 1 1  1 1  1  1 1 1 4
  A ;  2  0 ; A'    
x  y  z  t  2  1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 2
z   ,t    1 1 4     
 ran  A   ran  A '  2  nº de incógnitas  
5 ª 3ª  4ª   
1 1 2     
4     1 1 4 
2  1 6 1 2     2  2   2 
 x   3, y    1     .
2 2 2 2
Solución: x  3 , y  1     , z   , t   .
 x  y  z  2t  2
2 x  y  z  t  1
269. Estuda e resolve sistema 
 .
 x  4 y  4 z  5t  5
 x  5 y  5 z  4t  4

Solución:
 x  y  z  2t  2  1 1 1 2   1 1 1 2 2 
2 x  y  z  t  1    

  A  2 1 1 1  ; A '   2 1 1 1 1 
 1 4 4 5   1 4 4 5 5 
 x  4 y  4 z  5t  5 
 x  5 y  5 z  4t  4    1 5 5 4 4 

  1 5 5 4   
• Cálculo de ran  A  . Observamos as seguintes relacións entre columnas:  3ª     2ª  ,
 4ª    2ª   1ª  . Polo tanto, A só ten dúas columnas LI. É dicir, ran  A   2 .
• Cálculo de ran  A ' . A nova columna é proporcional á cuarta:  5ª     4ª  . Polo tanto,
ran  A '  2 .
O sistema é compatible de rango 2. O seu sistema equivalente é:
 x  y   2  z  2t  1 1  2  z  2t 1 3  3t
 , B  , B  3 ; Bx   3  3t  x   1 t ,
 2x  y  1  z  t  2 1 1 z  t 1 3
1 2  z  2t 3  3z  3t
By   3  3z  3t  y   1  z  t .
2 1 z  t 3
Solución xeral: x  1   , y  1     , z   , t   .

130. 130
5. Resolución de sistemas mediante determinantes
Prácticas
 2x  3y  z  3
270. Estuda e resolve, se é posible, o sistema  x  5 y  z  0 .

 3x  y  z  6

Solución:
 2x  3y  z  3  2 3 1  2 3 1
   2 3
  x  5 y  z  0  A   1 5 1  ; A  1 5 1  0 ;  7  0 
 3x  y  z  6  3 1 1  1 5
   3 1 1
 2 3 1 3  2 3 3
 
 ran  A   2 ; A '   1 5 1 0  ; 1 5 0  0  ran  A '  2  ran  A   nº de in-
 3 1 1 6  3 1 6
 
cógnitas  sistema compatible indeterminado. Para resolvelo prescindimos da terceira ecuación
(as dúas primeiras filas son LI).
 2x  3y  z  3  2 3 1 3  2 3 z   2 3 3 
I.   B'   ;  7  0  
4ª 3ª  
 x  5 y  z  0  1 5 1 0  1 5   1 5   
  3 2 3 
 5 2  15 1   3  
 x  , y  , z    x  2  15 , y    3 ,
7 7 7 7
z  7 .
Solucións: x  2  15, y    3, z  7 .
 2x  3y  z  3  2 3 1 3  2  1 y   2 1 3  3 
II.  C'   ;  1  0 
4ª 2ª    
 x  5 y  z  0   1 5 1 0   1 1  1 1 5 
3  3 1 2 3  3
5 1 1 5
 x  3  2 , y   , z   3  7 .
1 1
Solucións: x  3  2 , y   , z  3  7 .
 2x  3y  z  3  2x  z  3  3 y
III.    ; sumando resulta x  3  2 y  z  3  7 y .
 x  5 y  z  0  x  z  5 y
Solucións: x  3  2 , y   , z  3  7 .
8 x  14 y  2
271. Resolve empregando a regra de Cramer  .
 3x  5 y  11
Solución:
8 x  14 y  2  8 14  8 14  8 14 2 
  A , A   82  0 ; A '   ;
 3x  5 y  11  3 5  3 5  3 5 11
ran  A   2  ran  A '  sistema compatible determinado:
2 14 8 2
11 5 164 3 11 82
x   2, y    1 .
82 82 82 82
Solución: x  2 , y  1 .

131. 131
Sistemas de ecuacións Prácticas
6. SISTEMAS HOMOXÉNEOS
Estudamos agora un tipo especial de sistemas de ecuacións: aqueles que teñen como termos inde-
pendentes cero.
 Chámase homoxéneo o sistema de ecuacións nos que todos os termos independentes son
cero.
Caracterízanse polas dúas propiedades seguintes:
• Un sistema homoxéneo ten, con seguridade, a solución x  0 , y  0 , z  0 , … Por
iso se lle chama solución trivial.
• Para que un sistema homoxéneo teña outras solucións, é necesario e suficiente que:
ran  A   número de incógnitas .
 x yz 0
272. Resolve o seguinte sistema: 2 x  y  z  0 .

x  2y  z  0

Solución:
 x yz 0 1 1 1

 2 x  y  z  0  A  2 1 1  3  0  Polo tanto, ran  A   3  nº de incógnitas.
x  2y  z  0 1 2 1

O sistema só ten a solución trivial: x  0 , y  0 , z  0 .
 x  2y  z  0
  x  4 y  3z  2t  0
273. Estuda, usando determinantes, e resolve cando sexa posible 
 .
 x  7 y  7 z  4t  0

 2x  2z  t  0
Solución:
 x  2y  z  0 1 2 1 0 1ª 1 2 1 0
  x  4 y  3z  2t  0 1 4 3 2 2ª 1ª
 0 6 4 2
 : é un sistema homoxéneo. A  
 x  7 y  7 z  4t  0 1 7 7 4 3ª 1ª 0 5 6 4

 2x  2z  t  0 2 0 2 1 4º 2 1ª 0 4 0 1
6 4 2 1 2 1
 1  5 6 4  0 ; 1 4 3  16  0  ran  A   3  sistema compatible indeterminado.
4 0 1 1 7 7
Para resolvelo prescindimos da cuarta ecuación e pasamos o t ao segundo membro. Logo resol-
vemos por Cramer:
 x  2y  z  0  1 2 1 0 0 1 2 1 0 
   t   
  x  4 y  3 z  2t  B '   1 4 3 2 0    1 4 3 2  
5ª 4ª 
 x  7 y  7 z  4t  1 7 7 4 0  1 7 7 4 
    
0 2 1 1 0 1 1 2 0
2 4 3 1 2 3 1 4 2
4 7 7 6 3 1 4 7 4  1 7 4 14 7
 x   , y   , z   ,
16 16 8 16 16 4 16 16 8
t.
3 1 7
Solución: x   , y   , z    , t    x  3 , y   , z  7 , t  8 .
8 4 8

132. 132
7. Discusión de sistemas de ecuacións
Prácticas
 x yz 0
274. Resolve este sistema:  x  y  2 z  0 .

2 x  4 y  z  0

Solución:
 x yz 0 1 1 1
 1 1
 x  y  2 z  0  A  1 1 2  0 . Seleccionamos o menor 20 
2 x  4 y  z  0 1 1
 2 4 1
 ran  A   2 .
x  y  z
Podemos suprimir a terceira ecuación e pasar z ao segundo membro  
 x  y  2z
 1  1 1 0 
  .
 1 1 2 0 
 1 1 
 1  1 1 0  z   1 1   2 1 3 1 2 
I.    
4ª 3ª    x  , y  .
 1 1 2 0   1 1 2  2 2 2 2
 1  1 1 0  z  1 1   1ª  1 1   2 1ª 2ª  2 0 3 
II.           
 1 1 2 0  4ª 3ª 1 1 2  2ª 1ª  0 2   2ª 0 2  
3 
 x , y  , z    x  3 , y   , z  2 .
2 2
Solución: x  3 , y   , z  2 .
7. DISCUSIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIÓNS
 Cando nun sistema de ecuacións algún dos coeficientes é un parámetro, máis que un sis-
tema de ecuacións é un conxunto deles.
 x  y  kz  1

• Un sistema dependente dun parámetro k pode ser  kx   k  1 y  z  k
 x  y  z  k 1

• Para cada valor do parámetro k hai un sistema de ecuacións distinto.
• Deses infinitos sistemas, é posible que uns sexan compatibles e outros incompatibles.
Discutir o sistema dependente do parámetro é recoñecer os valores de k para os que
o sistema é dun tipo ou doutro.
• Discutir un sistema de ecuacións dependente dun ou máis parámetros é identificar pa-
ra que valores dos parámetros o sistema é compatible, distinguindo os casos nos que é
determinado ou indeterminado.
7.1. Discusión usando o método de Gauss
Sabemos que despois de aplicar o procedemento de Gauss podemos chegar a unha das seguintes
situacións:
      
  Tantas ecuacións válidas
 0       un número distinto de cero  como incógnitas.
 0 0    

 0 0 0     un número calquera
 Compatible determinado.
 

133. 133
Sistemas de ecuacións Prácticas
           
   
 0        0       un número distinto de cero
 0 0       0 0       un número calquera
    
Menos ecuacións válidas que incógnitas. As incógnitas “sobrantes” pásanse ao segundo
membro  Compatible indeterminado.
       A ecuación non se pode
 
        un número distinto de cero  cumprin nunca.
 0 0 0  0    un número calquera Sistema incompatible.
 
275. Discute e resolve usando Gauss, cando se poida, o seguinte sistema
 x  y  kz  1

 kx   k  1 y  z  k
 x  y  z  k 1

Solución:
 x  y  kz  1 1 1 k 1  1ª 1 1 k 1
    
 kx   k  1 y  z  k   k k 1 1 k  2ª k 1ª  0 1 1  k
2
0
 x  y  z  k 1 1 1 1 k  1 3ª 1ª  0 0 1 k k
    
 Se k  1 , a última fila é  0 0 0 1 . O sistema é incompatible.
k k 3  k 2  2k  1
 Se k  1 , z  , y  k2  k , x  .
1 k 1 k
É dicir, para calquera k  1 , o sistema é compatible determinado.
k 3  k 2  2k  1 k
Solucións: x  , y  k2  k , z  .
1 k 1 k
 Non hai infinitas solucións, senón infinitos sistemas, un para cada valor de k , e cada un
deles ten solución única, agás o correspondente a k  1 , que non ten solución.
 x  y  2z  1

• Para k  2 , o sistema é  2 x  y  z  2 e a solución é x  1 , y  6 , z  2 .
 x yz 3

 x  y  z 1
276. Discute, segundo os valores do parámetro  , o sistema de ecuacións 2 x  y   z   .

 x  y  z  0

Solución:
 x  y  z 1  1 1 1 1  1ª  1 1 1 1  3 1ª 2ª
    
 2 x  y   z     2 1    2ª 2 1ª  0 3   2   2  2ª
 x  y  z  0  1 1  0  3ª 1ª  0 2   1 1  3  3ª 2  2ª
    
 3 0  1  1 
  1 1
 0 3   2   2  ; 1  5  0    5  1  2  5  0  sistema incompatible.
 0 0 1  5 1  2 
 
1 1
Solución: para   o sistema é incompatible, e para   o sistema resultante é compatible e
5 5
determinado.

134. 134
7. Discusión de sistemas de ecuacións
Prácticas
 x yz  0
277. Discute mediante Gauss o sistema  x  3 y  z  0 .

3 x  ay  4 z  0

Solución:
 x yz  0  1 1 1 0  1ª 1 1 1 0  1ª
    
 x  3y  z  0  1 3 1 0  2ª 1ª 0 2 2 0  2ª 2
3 x  ay  4 z  0 3 a 4 0  3ª 3 1ª 0 a 3 7 0  3ª
    
1 1 1 0  1ª 1 1 1 0
   
0 1 1 0  2ª 0 1 1 0
0 a 3 7 0  3ª 7  2ª  0 a  10 0 0
   
• Se a  10  sistema compatible indeterminado
• Se a  10  sistema compatible determinado.
5 x  2 y  3z  4
278. Estuda e resolve polo método de Gauss  2 x  2 y  z  3

 x  2 y  2 z  3

Solución:
5 x  2 y  3z  4 5 2 3 4  3ª  1 2 2 3  1ª
    
I.  2x  2 y  z  3   2 2 1 3  2ª 2 2 1 3  2ª 2 1ª
 x  2 y  2 z  3  1 2 2 3  1ª 5 2 3 4  3ª 5 1ª
    
 1 2 2 3  3 1ª 2ª  3 0 3 0  1ª 3  1 0 1 0  1ª 3ª
     
 0 6 3 9  2ª  0 6 3 9  2ª 3  0 2 1 3  2ª 3ª
 0 12 7 19  3ª 2  2ª  0 0 1 1  3ª   1  0 0 1 1  3ª
     
 1 0 0 1  1ª 1 0 0 1  x  1
    
 0 2 0 2  2ª 2  0 1 0 1   sistema compatible determinado: y 1 .
 0 0 1 1  3ª  0 0 1 1   z  1
    
5 x  2 y  3z  4 5 2 3 4  3ª  1 2 2 3  1ª
    
II.  2x  2 y  z  3   2 2 1 3  2ª 2 2 1 3  2ª 2 1ª
 x  2 y  2 z  3  1 2 2 3  1ª 5 2 3 4  3ª 5 1ª
    
 1 2 2 3  1ª  1 2 2 3 
   
 0 6 3 9  2ª 3  0 2 1 3   sistema compatible determinado.
 0 12 7 19  3ª 2  2ª  0 0 1 1
   
Resolvémolo:
 x  2 y  2 z  3
 3 z
 2 y  z  3  z  1 , y  1 , x  3  2 y  2 z  1 .
 2
 z  1
Solución: x  1, y  1, z  1 .

135. 135
Sistemas de ecuacións Prácticas
 2x  y  z  1

279. Discute mediante Gauss, e resolve cando sexa posible, o sistema  x  2y  z  3 .
5 x  5 y  2 z  m

Solución:
 2x  y  z  1  2 1 1 1  2ª  1 2 1 3  1ª
    
 x  2 y  z  3   1 2 1 3  1ª  2 1 1 1  2ª 2 1ª
5 x  5 y  2 z  m  5 5 2 m  3ª  5 5 2 m  3ª 5 1ª
    
 1 2 1 3  5 1ª 2  2ª  5 0 1 5 
   
 0 5 3 5  2ª  0 5 3 5  ; m  10  0  m  10 .
 0 5 3 m  15  3ª 2ª 0 0 0 m  10 
   
• Se m  10  sistema compatible indeterminado. Resolvémolo:
 5 0 1 5  z  5 0 5   5 5  3
   
4ª 3ª     x ,y ,z   
 0 5 3 5   0 5 5  3  5 5
 x  1   , y  1  3 , z  5 .
Solucións: x  1   , y  1  3 , z  5
• Se m  10  sistema incompatible.
  x  my  z  2
280. Discute e resolve en función do parámetro  2 x  y  2 z  0 .

  x  3 z  2

Solución:
  x  my  z  2  1 m 1 2  3ª   1 1 0 3 2  1ª
    
 2 x  y  2 z  0   2 1 2 0  2ª  2 1 2 0  2ª 2 1ª
  x  3 z  2   1 0 3 2  1ª  1 m 1 2  3ª 1ª
    
1 0 3 2  1ª 1 0 3 2  1ª 1 0 3 2
     
 0 1 4 4  2ª  0  1 4 4  2ª   1 0 1 4 4 ;
0 m 4 4  3ª 2ª  0 m 1 0 0  3ª  0 m 1 0 0
     
m 1  0  m  1 .
• Se m  1  sistema compatible indeterminado. Resolvémolo:
 x  3z  2  x  2  3z
   ; facendo z   .
 y  4z  4  y  4  4z
Solucións: x  2  3 , y  4  4 , z   .
• Se m  1  sistema compatible determinado. Resolvémolo:
 x  3z  2  x  2  3z  1
  4 y

 y  4z  4  z  1 .
 m 1 y  0  4
  y  0

Solución: x  1, y  0, z  1 .

136. 136
7. Discusión de sistemas de ecuacións
Prácticas
 ax  y  z  b  1
281. Discute usando o método de Gauss o sistema  2 x  ay  b  1 .

 x  z  b

Solución:
 ax  y  z  b  1  a 1 1   a 1 1 b  1 
    
 2 x  ay  b  1  A   2 a 0  , A '   2 a 0 b  1 ;
 x  z  b  1 0 1   1 0 1 b 
    
a 1 1
 a  1
A  2 a 0  a2  a  2 ; A  0   .
a  2
1 0 1
 1 1 1 b  1
  1 1
• Se a  1 , resulta: A '   2 1 0 b  1 ;  1  0  ran  A   2 ;
 1 0 1 b  2 1

1 1 b  1
2 1 b  1  3b ; 3b  0  b  0 .
1 0 b
— Se a  1 e b  0  ran  A   2  ran  A '  3  sistema incompatible.
— Se a  1 e b  0  ran  A   ran  A '  2 número de incógnitas  sistema compati-
ble indeterminado.
 2 1 1 b  1
  2 1
• Se a  2 , queda A '   2 2 0 b  1 ;  2  0  ran  A   2 ;
 1 0 1 b  2 2

2 1 b 1
2 2 b  1  3  b  1 ; 3  b  1  b  1 .
1 0 b
— Se a  2 e b  1  ran  A   2  ran  A '  3  sistema incompatible.
— Se a  2 e b  1  ran  A   ran  A '  2 número de incógnitas  sistema compatible
indeterminado.
• Se a  1 e a  2  ran  A   ran  A '   3 número de incógnitas  o sistema é compati-
ble determinado, para calquera valor de b.
 x  y  2z  3
282. Discute e resolve en función do parámetro  x  2 y  3z  5 .

 x  3 y  mz  7

Solución:
 x  y  2z  3 1 1 2 3  1ª 1 1 2 3  1ª 1 1 2 3
      
 x  2 y  3z  5  1 2 3 5  2ª 1ª  0 1 1 2  2ª  0 1 1 2
 x  3 y  mz  7 1 3 m 7  3ª 1ª 0 2 m  2 4  3ª 2  2ª 0 0 m  4 0
      
• Se m  4 , a última fila pódese suprimir. O sistema é compatible indeterminado.
x  y  3  2z  x  3   2  z   1  z

y  2 z  y  2 z
Solucións: x  1   , y  2   , z   .

137. 137
Sistemas de ecuacións Prácticas
• Se m  4 , o sistema é compatible determinado:
x  y  2z  3

y  z  2   Solución: x  1, y  2, z  0 .
 m  4 z  0
 x  y  1
283. Discute o sistema e interprétao xeometricamente  .
 x   y  2  1
Solución:
 x  y  1  1 1  1ª  1 1 
      0   
 x   y  2  1 1  2  1 2ª   1ª  0 1
2
2    1
2
 1 1 1
• Se   1 resulta    sistema compatible indeterminado. Son dúas rectas coinci-
0 0 0
dentes.
  1 1 1
• Se   1 resulta    sistema incompatible. Son dúas rectas paralelas.
0 0 2
• Se   1  sistema compatible determinado. Son dúas rectas secantes.
 x  my  m  1
284. Discute e resolve en función do parámetro  .
 mx  y  2  2m
Solución:
 x  my  m  1  1 m m  1  1ª 1 m m 1 
     
 mx  y  2  2m  m 1 2  2m  2ª m 1ª  0 1  m m  m  2 
2 2
Calculamos os valores que anula o coeficiente da y na segunda ecuación: 1  m 2  0  m  1 .
• Se m  1 , a segunda ecuación será 0  y  2 . O sistema é incompatible.
• Se m  1 , a segunda ecuación 0  y  0 pódese suprimir. O sistema é compatible indetermi-
nado. Só nos queda a ecuación x  y  0 , que resolvemos considerando o y como parámetro.
As solucións son: x   , y   .
• Se m  1 , o sistema é compatible determinado. Para cada valor de m temos un sistema dis-
tinto con solución única:
2m 2  m  1 m2  m  2
x , y .
1  m2 1  m2
7.2. Discusión mediante determinantes
Utilizando o teorema de Rouché sabemos que:
  ran  A   ran  A '  nº incógnitas  sistema compatible determinado.

 ran  A   ran  A '  nº incógnitas  sistema compatible indeterminado.

 ran  A   ran  A '  nº incógnitas  sistema indeterminado.

138. 138
7. Discusión de sistemas de ecuacións
Prácticas
 mx  y  z  m
285. Determina os valores de m para os que é incompatible o sistema  x  y  mz  m .

 x  y  z  1

Solución:
 mx  y  z  m  m 1 1  m 1 1 m
    
 x  y  mz  m  A   1 1 m  ; A '   1 1 m m;
 x  y  z  1 1 1 1  1 1 1 1
    
m 1 1
2  4  4
A  1 1 m    m 2  2m  1 ; A  0  m   1 .
2
1 1 1
 1  1 1 1 1 1
1 1
• I. Se m  1 , resulta: A  1 1 1 ,  2  0  ran  A   2 ; 1 1 1  4  0
1 1
1 1 1 1 1 1
 ran  A '   3 e dado que ran  A  ran  A ' entón o sistema é incompatible.
 1 1 1 1
 
II. Se m  1 , resulta: A '   1 1 1 1 , e as filas 1ª e 3ª son contraditorias, polo
1 1 1 1
 
que o sistema é incompatible.
• Se m  1 o sistema é compatible determinado, xa que ran  A   ran  A '   3 .
Polo tanto, o sistema só é incompatible para m  1 .
 x y 7
286. Discute e resolve, segundo os valores de k , este sistema de ecuacións  kx  y  11 .

x  4 y  k

Solución:
Aquí cómprenos calcular A ' e igualalo a 0. Só neses casos o sistema será compatible:
1 1 7
A '  k 1 11   k 2  29k  62    k  2  k  31 .
1 4 k
 x y 7
• Se k  2  ran  A   ran  A '  2 . O sistema é compatible determinado:  .
 2 x  y  11
Solución: x  6 , y  1 .
 x y 7
• Se k  31  ran  A   ran  A '  2 . O sistema é compatible determinado:  .
 31x  y  11
Solución: x   3 , y  38
5 5
• Se k  2 e k  31 , o sistema é incompatible, pois ran  A '  3  ran  A   2 .

139. 139
Sistemas de ecuacións Prácticas
 xz 0

287. Discute mediante Gauss e resolve en función do parámetro  x  y  az  0 .
 x  ay  z  0

Solución:
 xz 0  1 0 1 0  1ª 1 0 1 0  1ª
    
 x  y  az  0  1 1 a 0  2ª 1ª  0 1 a  1 0  2ª
 x  ay  z  0 1 a 1 0  3ª 1ª 0 a 0  3ª  a  2ª
    2 
1 0 1 0
 
 0 1 a 1 0 .
 0 0 a2  a  2 0 
 
Como a ecuación a 2  a  2  0 non ten solución, o sistema é sempre compatible determinado. Pa-
ra cada valor de a temos un sistema distinto con solución única que é x  0 , y  0 , z  0 .
288. Discute, segundo os valores do parámetro a , o seguinte sistema de ecuacións
 ax  y  z  1

 x  ay  z  1 .
 x  y  az  1

Solución:
 ax  y  z  1 a 1 1

 x  ay  z  1  A  1 a 1  a  3a  2   a  1  a  2  .
3 2
 x  y  az  1
 1 1 a
Factorizamos A con obxecto de apreciar para qué valores do parámetro se anula. Son os casos
que hai que estudar con especial atención.
• a 1:
O sistema queda reducido a unha ecuación: x  y  z  1 . É, polo tanto, indeterminado. A súa
solución obtense dándolle un valor paramétrico a dúas das incógnitas e poñendo a outra en
función delas.
Solución: x   , y   , z  1    
• a  2 , substituíndo a terceira columna pola de termos independentes tense que:
2 1 1
1 2 1  9  0  ran  A '  3  2  ran  A   O sistema é incompatible.
1 1 1
• a  1 , a  2 :
Para cada valor de a (distinto de 1 e de 2 ) o sistema é compatible e determinado. Calcula-
mos Ax , Ay , Az :
1 1 1 a 1 1 a 1 1
Ax  1 a 1   a  1 ; Ay  1 1 1   a  1 ; Az  1 a 1   a  1 
2 2 2
1 1 a 1 1 a 1 1 1
 a  1
2
1 1 1
 Ax  Ay  Az   a  1  x   y , z
2
, .
 a  1  a  2  a  2 a2 a2
2
 a  1
2
1 1 1
Solución: x  , y , z .
 a  1  a  2  a  2 a2 a2
2

140. 140
7. Discusión de sistemas de ecuacións
Prácticas
289. Discute mediante Rouché, resolve cando se poida, e compara co exemplo 275 o seguinte
 x  y  kz  1

sistema  kx   k  1 y  z  k .
 x  y  z  k 1

Solución:
 x  y  kz  1 1 1 k 1  1 1 k
  
 kx   k  1 y  z  k   k k 1 1 k   k k 1 1  k 1 ; k 1  0  k  1 .
 x  y  z  k 1 1 1 1 k  1 1 1 1
  
1 1 1
1 1
• k 1   1  0  ran  A   2 ; 1 0 1  1  0  ran  A '  3  sistema in-
1 0
1 1 2
compatible.
1 1 k
• k  1  k k  1 1  k  1  0  sistema compatible determinado:
1 1 1
1 1 k 1 1 k
k k 1 1 k k 1
k 1 1 1  k 3  k 2  2k  1 1 k 1 1 k3  k
x  , y   k2  k ,
k 1 k 1 k 1 k 1
1 1 1
k k 1 k
1 1 k 1 k
z  .
k 1 k 1
 k 3  k 2  2k  1 k
Solucións: x  , y  k2  k , z  .
k 1 k 1
 x yz 2
x  2y  7z  0
290. Estuda e resolve o sistema 
 .
 y  z  1
 2x  3y  0

Solución:
 x yz 2 1 1 1 
x  2y  7z  0   1 1 1

  A  1 2 7  ; 1 2 7  5  0  ran  A   3 ;
 y  z  1 0 1 1 
 2x  3y  0   0 1 1
 2 3 0 
1 1 1 2 
 
1 2 7 0 
A'   e A '  0  ran  A '  3  ran  A   número de incógnitas  sistema
 0 1 1 1 

2 3 0 0  
 
compatible determinado. Prescindimos da cuarta ecuación, e empregamos o método de Cramer pa-
ra resolvelo:
2 1 1 1 2 1 1 1 2
0 2 7 1 0 7 1 2 0
1 1 1 15 0 1 1 10 0 1 1 5
x   3, y    2 , z   1.
5 5 5 5 5 5
Solución: x  3 , y  2 , z  1 .

141. 141
Sistemas de ecuacións Prácticas
 x  y  2t 3
 3x  y  z  t 1
291. Estuda, usando determinantes, e resolve cando sexa posible 
 .
5 x  3 y  2 z  4t a
 2x  y  z  t
 2
Solución:
 x  y  2t 3  x  y  2t 3
1 1 0 2
   
 3x  y  z  t 1  3x  y  z  t
1 3 1 1 1 
   A ;
5 x  3 y  2 z  4t  a  2x  y  z  t
2 2 1 1 1 
 2x  y  z  t  
  2 5 x  3 y  2 z  4t
 a  5 3 2 4 
C
1 1 0 2 3 1 1 0 2 1ª 1 0 0 0
 
3 1 1 1 1  3 1 1 1 2ª 1ª 4 1 7
A'  
3
; A 
2 1 1 1 2  2 1 1 1 3ª 2 1 1 3

5 

 3 2 4 a  5 3 2 4 4ª 2 1ª 5 8 2 14
4 1 7
  1 1 3  0 ;
8 2 14
1 1 0
3 1 1  3  0  ran  A   3  a 4ª columna depende linealmente das tres primeiras.
2 1 1
1 1 0 3 1ª 1 1 0 3
1 1 3
3 1 1 1 2ª 3 1 1 1
  1 2 1  3  a  1 ;
2 1 1 2 3ª 2ª 1 2 0 1
 1 1 a  2
5 3 2 a 4ª 2  2ª 1 1 0 a2
3  a  1  0  a  1 .
• Se a  1 , entón ran  A   ran  A '   3 número de incógnitas  o sistema é compatible
indeterminado. Para resolvelo podemos prescindir da 4ª ecuación e pasar o t ao segundo
membro:
3  2t 1 0 1 3  2t 0
t  1 1 1 3 t 1 1
 x  y  3  2t
 2  t 1 1 2t  5 5  2t 2 2t 1 4  t  1
 3x  y  z  1  t . x    , y  
2 x  y  z  2  t 3 3 3 3 3

1 1 3  2t
3 1 t  1
4 1  t  2 1 2t   5t  8  5t  8
 , z   .
3 3 3 3
5  2 4  4 5  8
Solución: x  , y , z , t.
3 3 3
• Se a  1  ran  A   3  ran  A '   4  sistema incompatible.

142. 142
7. Discusión de sistemas de ecuacións
Prácticas
 x  y  z  2
292. Estuda mediante determinantes a compatibilidade do sistema  2 x  y  3z  3 .

x  2 y  2z  0

Solución:
 x  y  z  2  1 1 1  1 1 1
   1 1
 2 x  y  3z  3  A   2 1 3  ; A  2 1 3  0 ;  3  0  ran  A   2 ;
x  2 y  2z  0  1 2 2  2 1
   1 2 2
 1 1 1 2  1 1 2
 
A '   2 1 3 3  ; 2 1 3  3  0  ran  A '  3  2  ran  A   o sistema é in-
 1 2 2 0  1 2 0
 
compatible.
2 x  3 y  5
293. Atopa o valor de a para que este sistema sexa compatible:  x  2 y  1 .

 ax  y  3

Solución:
2 x  3 y  5  2 3 2 3 5
   2 3  
 x  2 y  1  A   1 2 ;  1  0  ran  A   2 , A '   1 2 1  ; A '  6  7a . Pa-
 ax  y  3  a 1 1 2 a 1
    3
ra que sexa compatible ten que ser ran  A   ran  A '  2  ten que ser A '  0  6  7 a  0 
6
 a .
7
6
• Se a  , ran  A   ran  A '  2  sistema compatible.
7
6
• Se a  , ran  A   2  3  ran  A '   sistema incompatible.
7
 x  y  2z  2
294. Estuda e resolve o sistema 2 x  y  3z  1

 3x  z  3

Solución:
 x  y  2z  2  1 1 2  1  1 2
   1 1
2 x  y  3z  1  A   2 1 3  ; A  2 1 3  0 ;  3  0  ran  A   2 ;
 3 0 1  2 1
 3x  z  3   3 0 1
 1 1 2 2  1 1 2
 
A'   2 1 3 1  ; 2 1 1  0  ran  A '  2  ran  A   número de incógnitas  siste-
3 0 1 3 3 0 3
 
ma compatible indeterminado. Para resolvelo prescindimos da terceira ecuación (as dúas primeiras
filas son LI):
 x  y  2z  2  1 1 2 2  1 1 z   1 1 2  2 
I.   B'   ;  3  0  
4ª 3ª    
2 x  y  3z  1 2 1 3 1 2 1  2 1 1  3 
2  2 1 1 2  2
1  3 1 3 2 1  3 3  7
 x  , y  , z    x  1   , y  1  7 ,
3 3 3 3
z  3 .
Solucións: x  1   , y  1  7 , z  3 .

143. 143
Sistemas de ecuacións Prácticas
 x  y  2z  2  1 1 2 2  1 2 y   1 2 2   
II.   C' ;  7  0  
4ª 2ª    
2 x  y  3z  1 2 1 3 1 2 3  2 3 1  
2   2 1 2
1  3 8 2 1  3  3
 x  , y, z  .
7 7 7 7
8 3  7
Solucións: x  , y  , z  .
7 7
 x  y  2z  2  x  y  2  2z z 7z
III.    . Sumando resulta x  1  , y  1  .
 2 x  y  3z  1  2 x  y  1  3z 3 3
Solucións: x  1   , y  1  7 , z  3 .
8. FORMA MATRICIAL DUN SISTEMA DE ECUACIÓNS
 Un sistema de ecuacións leva asociadas tres matrices: a matriz dos coeficientes, a das in-
cógnitas e a dos termos independentes, e pode expresarse:
A X  C
• A é unha matriz m  n formada polos coeficientes das incógnitas.
• X é unha matriz columna n  1 formada polas incógnitas.
• C é unha matriz columna m 1 formada polos termos independentes.
• Se a matriz A é cadrada e ten inversa, poderemos despexar X do seguinte modo:
A1   A  X   A1  C  A1  A  X  A1  C  X  A1  C
En efecto:
A  X  C  A1   A  X   A1  C   A1  A   X  A1  C  I  X  A1  C 
 X  A 1  C .
 x  y  z 1

295. Estuda en forma matricial o sistema   x  3z  18 .
 2 x  5 y  3z  52

Solución:
 x  y  z 1  1 1 1   x  1 
      
  x  3z  18  A   1 0 3  X   y  C   18 
 2 x  5 y  3z  52  2 5 3  z  52 
      
Matriz dos coeficientes Incógnitas Termos independentes
• A ecuación pode expresarse en forma matricial do seguinte modo:
 1 1 1  x   1 
     
 1 0 3    y    18  , é dicir, A  X  C .
 2 5 3   z   52 
     
15 8 3   x  15 8 3   1   3   x  3
          
• A 1   9 5 2    y    9 5 2    18    5    y  5 .
 5 3 1  z   5 3 1   52   7   z  7
          

144. 144
8. Forma matricial dun sistema de ecuacións
Prácticas
 x  2 y  3 z  t  19
 y  2 z  12
296. Expresa en forma matricial e resolve 
 .
 2 y  3z  t  16
 3x  2 y  t  5

Solución:
 x  2 y  3 z  t  19  1 2 3 1  x  19 
      
 y  2 z  12 0 1 2 0   y  12 
      A X  C ;
 2 y  3z  t  16  0 2 3 1   z  16 
 3x  2 y  t  5      
  3 2 0 1   t   5 
1 2 3 1
1 2 0 2 3 1
0 1 2 0
A  1  2 3 1  3  1 1 2 0  5  3  0  5  0  existe a ma-
0 2 3 1
2 0 1 2 3 1
3 2 0 1
triz inversa A1 .
Calculamos a matriz inversa. Empezamos calculando os menores complementarios:
1 2 0 0 2 0 0 1 0 0 1 2
11  2 3 1  5 , 12  0 3 1  6 ,  31  0 2 1  3 ,  41  0 2 3  3 ;
2 0 1 3 0 1 3 2 1 3 2 0
2 3 1 1  3 1 1  2 1 1 2 3
 21  2 3 4  0 ,  22  0 3 1  3 ,  23  0 2 1  4 ,  24  0 2 3  6 ,
2 0 1 3 0 1 3 2 1 3 2 0
2 3 1 1 3 1 1 2 1 1 2 3
 31  1 2 0  5 ,  32  0 2 0  8 ,  33  0 1 0  4 ,  34  0 1 2  1 ,
2 0 1 3 0 1 3 2 1 3 2 0
2 3 1 1  3 1 1 2 1 1 2 3
 41  1 2 0  0 ,  42  0 2 0  2 ,  43  0 1 0  1 ,  44  0 1 2  1 .
2 3 1 0 3 1 0 2 1 0 2 3
 1 2 3 1  5 6 3 3   5 6 3 3
     
 0 1 2 0       0 4 6 
  Aij   
1 3 4 6  2 0 3
 
 0 2 3 1  ij  ij
 5 8 4 1   Aij   5 8 4 1
     
 3 2 0 1  0 2 1 1  0 2 1 1
  5 0 5 0  5 0 5 0
   
6 3 8 1 6 3 8
  Aij    Aji   
2 2
 3
 A1   
 4
t
t ; A X  C
 Aij   3 4 4 1 A
5  3 4 4 1
   
 3 6 1 1  3 6 1 1
 35 
 
 5 0 5 0  19   196 
    
1 1  6 3 8 2  12   5 
 x  A C    68 .
5  3 4 4 1 16    
    5 
 3 6 1 1  5   108 
 
 5 
196 68 108
Solución: x  35 , y  , z , t .
5 5 5

145. 145
Sistemas de ecuacións Prácticas
 3 x  3 y  3z  4t  17
 2 x  3 y  7 z  t  27
297. Expresa en forma matricial e resolve 
 .
 3 x  2 y  2 z  6t  2
 7 x  3 y  8 z  2t  36

Solución:
 3 x  3 y  3z  4t  17  3 3 3 4  x   17 
 2 x  3 y  7 z  t  27     
 2 3 7 1 y   27 
     A X  C ;
 3 x  2 y  2 z  6t  2  3 2 2 6  z   2 
 7 x  3 y  8 z  2t  36     
  7 3 8 2  t   36 
  3  3 3 4 1 0 0 0  1ª  3 3 3 4 1 0 0 0  1ª
   
 2 3 7 1 0 1 0 0  3  2ª 2 1ª  0 3 15 5 2 3 0 0  3ª
 3 2 2 6 0 0 1 0  3ª 1ª 0 1 5 2 1 0 1 0  2ª

  7 3 8 2 0 0   
 0 1  3  4ª 7 1ª  0 12 45 22 7 0 0 3  4ª
  
 3 3 3 4 1 0 0 0  1ª 3  2ª  3 0 12 10 2 0 3 0  1ª
   
0 1 5 2 1 0 1 0  2ª 0 1 5 2 1 0 1 0  2ª
 0 3 15 5 2 3 0 0  3ª 3  2ª 0 0 0 1 5 3 3 0  4ª

 0 12 45 22 7  
 0 0 15 46 5 0 12 3 
 0 0 3  4ª 12  2ª
 

 3ª
 3 0 12 10 2 0 3 0  5 1ª 4  3ª  15 0 0 134 10 0 33 12 
   
0 1 5 2 1 0 1 0  3  2ª 3ª  0 3 0 40 2 0 9 3
 0 0 15 46 5 0 12 3  3ª  0 0 15 46 5 0 12 3

0 0 0   
 1 5 3 3 0  4ª 
 0 0 0
 1 5 3 3 0
1ª 134  7ª  15 0 0 0 660 402 369 12  1ª   15 
 
2ª 40  4ª  0 3 0 0 198 120 111 3  2ª 3

3ª 46  4ª  0 0 15 0 225 138 126 3  3ª   15 

 0 0 
4ª  0 1 5 3 3 0  4ª   1

1 0 0 0 44 134 5  123 5  4 5   44 134 123 4 
   5 5 5
0 1 0 0 66 40 37 1   66 40 37 1 
   A 1    
0 0 1 0 15 46  42 5  1 5   15 46  42 1 
 
5
0 5 5 5
0 1 5 3 0  
 5
  0 
0 3
 3 3 
 44 134 123  4   17   4 
 5 5 5
 66 40    
37 1   27   4 
 X    .
 15 46  42  1   2   3 
 5 5 5    
 5 36   2 
 3 3 0 
Solución: x  4 , y  4 , z  3 , t  2 .
 A resolución de sistemas mediante a forma matricial, se se fai á man ou só co uso de cal-
culadoras sinxelas, é pouco eficiente; nembargante é especialmente interesante con orde-
nadores e calculadoras que traballen o cálculo matricial.

146. 146
8. Forma matricial dun sistema de ecuacións
Prácticas
 2x  y  2
298. Expresa en forma matricial e resolve utilizando a matriz inversa  y  3z  0 .

2 x  y  z  2

Solución:
 2x  y  2  2 1 0  x   2 
     
 y  3z  0   0 1 3  y    0   A  X  C  X  A1  C .
2 x  y  z  2  2 1 1  z   2 
     
1 3 0 3 0 1
 
1 1 2 1 2 1
 2 1 0 1
   0 1 0 2 0 2 1
A   0 1 3   A  2  0  existe A1
  
ij 
  
 2 1 1
A
1 1 2 1 2 1
   
1 0 2 0 2 1
1 0 1
 3 0 3 
 2 6 2   2 6 2   2 1 3 
   2    3    4
  1 2 0    1 2 0  
 Aij 
 t
 6 2 6  
 Aij  A
 3 6 2  3 6 2   2 0 2 
     
 3 
 2 1 3   1  2
1
2
1 
 A 1   6 2  6    3 1 3  
2   
 2 0 2   1 0 1 
 
 1  1 3 
 2 2  2  1
   
 X  A C   3
1
1 3   0    0  .
    
 1 0 1   2  0
 
Solución: x  1 , y  0 , z  0 .
As calculadoras TI resolven matricialmente un
sistema coa función simult   , pasándolle a ma-
triz de coeficientes e de termos independentes.
3 x  2 y  6
299. Resolve e interpreta xeometricamente o sistema  x  y  1 .

3 x  2 y  0

Solución:
A primeira e a terceira ecuación son contraditorias. O sistema é incompatible. Comprobémolo:
A terceira ecuación non se po-
3 x  2 y  6  3 2 6  1ª  3 2 6   3x  2 y  6 de cumprir nunca. O sistema
     
 x  y  1   1 1 1  3  2ª 1ª  0 1 3    y  3 non ten solución; representa
3 x  2 y  0  3 2 0  3ª 1ª  0 0 6  0 x  0 y  6 dúas rectas paralelas e outra
     
que as corta.

147. 147
Sistemas de ecuacións Prácticas
 x yz 0
 2x  y  z  5
300. Resolve e interpreta xeometricamente o sistema 
 .
 x  2 y  z  3
2 x  4 y  z  8

Solución:
 x yz 0  1 1 1 0  1ª  1 1 1 0  1ª
 2x  y  z  5    
 2 1 1 5  2ª 2 1ª  0 1 3 5  2ª
  
 1 2 1 3  3ª 1ª  0 3 0 3  3ª 3  2ª
 x  2 y  z  3 
2 x  4 y  z  8  2 4 1 8  4ª 2 1ª  0 2 3 8  4ª 2  2ª
  
    
 1 1 1 0  1ª  1 1 1 0 
    x  y  z  0
 0 1 3 5  2ª  0 1 3 5    y  3z  5 
 0 0 9 18  3ª  0 0 9 18  
  9 z  18
 0 0 9 18  4ª 3ª  0 0 0 0 
   
   
 x  y  z  1  2  1

  y  5  3z  5  3  2   1 .
 z  2

Solución: x  1, y  1, z  2 . O sistema representa catro planos que teñen un punto en común.
 x  3y  z  1
301. Resolve o sistema  e fai a comprobación.
2 x  y  2 z  3
Solución:
Pasamos o z ao segundo membro para que o sistema teña tantas ecuacións como incógnitas e cha-
mamos z   .
 x  3y  z  1  x  3 y  1  z 2 1ª  2 x  6 y  2  2
    .
2 x  y  2 z  3  2 x  y  3  2 z 2ª  2 x  y  3  2
1
Sumando ambas ecuacións, obtemos y   .
5
Substituímos z e y na primeira ecuación para obter x :
 1 3 8
x  3    1    x  1       .
 5 5 5
8 1
As solucións do sistema son x    , y   , z   . Para cada valor de  obtemos unha solu-
5 5
ción.
8  1 8 3
5    3  5     5  5  1
  
Comprobación:  .
 2  8       1   2  16  1  3
 5
 
 
  5

5 5
 x  y  z t 1
302. Resolve o sistema  .
2 x  y  2 z  t  2
Solución:
Para resolver o sistema, cómpre pasar dúas incógnitas ao segundo membro:
 x  y  z t 1 1 1  x  y  1 z  t
 ;  1  0   .
2 x  y  2 z  t  2 2 1 2 x  y  2  2 z  t

148. 148
8. Forma matricial dun sistema de ecuacións
Prácticas
  x  y  1    
Facemos z   e t     .
 2 x  y  2  2  
Sumando, obtemos:
x  1  3  2   y  1      1  3  2   4  3 .
Solucións: x  1  3 , y  4  3  , z  , t   .
Dando valores a  e  , obtemos as solucións do sistema. Por exemplo, se   1 e   0 , a solu-
ción é  2, 4,1, 0  .
1  3  2   4  3      1

Comprobación:  .
 2 1    2    4  3  2    2

 2 x  3 z  1

303. Resolve e interpreta xeometricamente o sistema  3x  2 y  2 z  5 .
5 x  2 y  14 z  9

Solución:
Como ningún dos coeficientes das incógnitas é igual a 1, tomamos a primeira ecuación como refe-
rencia:
 2 x  3 z  1 2 0 3 1  1ª 2 0 3 1  1ª
    
 3x  2 y  2 z  5   3 2 2 5  2  2ª 3 1ª  0 4 13 13  2ª
5 x  2 y  14 z  9  5 2 14 9  2  3ª 5 1ª  0 4 13 13  3ª 2ª
    
2 0 3 1
   2 x  3 z  1
 0 4 13 13    .
0 0   4 y  13z  13
 0 0
O sistema é compatible indeterminado, ten infinitas solucións. Resolvemos pasando a terceira co-
lumna  z  ao segundo membro.
 1 3
 2 x  1  3 z x   2  2 z

   .
 4 y  13  13z  y   13  13 z

 4 4
1 3 13 13
Solucións: x     , y     , z   . O sistema representa tres planos que teñen unha
2 2 4 4
recta en común.
   1 x  3 y   z  1

304. Discute en función de  e   3x     1 y  2 z    1 .
 x  2y  z  2

Solución:
   1 x  3 y   z  1   1 3    1 3  1 
    
 3x     1 y  2 z    1  A   3  1 2  ; A'   3  1 2   1 ;
 x  2y  z  2       2 
  2  2 
 1 3 
  2
A 3   1 2     2    2   A  0   .
   2
 2 

149. 149
Sistemas de ecuacións Prácticas
3 3 2 1  3 2 1
  3 2
• Se   2 , resulta: A '   3 3 2   1 ;  2  0  ran  A   2 ; 3 2   1 
2 2 2 2 2
 2 
 2 2 2
 2    2  ; 2    2   0    2 .
— Se   2 e   2  ran  A   ran  A '  2 número de incógnitas  sistema compati-
ble indeterminado.
— Se   2 e   2  ran  A   2  ran  A '  3  sistema incompatible.
  1 3 2 1 
  1 3
• Se   2 , queda: A '   3 1 2   1 ;  8  0 ran  A   2 ;
  2 2 2 2   3 1

1 3 1
3 1   1  4    2  ; 4    2   0    2 .
2 2 2
— S e   2 e   2  ran  A   ran  A '  2 número de incógnitas  sistema com-
patible indeterminado.
— Se   2 e   2  ran  A   2  ran  A '  3  sistema incompatible.
• Se   2 e   2  ran  A   ran  A '   3 número de incógnitas  sistema compatible
determinado.
305. Calcula os valores de a e b para os que ten infinitas solucións, e resolve para eses valores
 ax  y  z  1

o sistema  x  ay  z  b .
 x  y  az  1

Solución:
 ax  y  z  1 a 1 1 a 1 1 1
    
 x  ay  z  b  A   1 a 1  , A '   1 a 1 b  ; A   a  1  a 2  a  2  ;
 x  y  az  1 1 1 a 1 1 a 1
    
a  1
A 0
a  2
1 1 1 1
 
• Se a  1 , resulta: A '   1 1 1 b .
1 1 1 1
 
— Se a  1 e b  1  ran  A   ran  A '   1  sistema compatible indeterminado. Resolvé-
molo neste caso: x  y  z  1  x  1  y  z .
Solucións: x  1     , y   , z   .
— Se a  1 e b  1  ran  A   1  ran  A '   2  sistema incompatible.
 2 1 1 1
  2 1
• Se a  2 , queda: A '   1 2 1 b ,  3  0  ran  A   2 ;
 1 1 2 1 2
 1

2 1 1
1 2 b  3  b  2  ; 3  b  2   0  b  2 .
1 1 1

150. 150
8. Forma matricial dun sistema de ecuacións
Prácticas
— Se a  2 e b  2  ran  A   2  ran  A '  3  sistema incompatible.
— Se a  2 e b  2  ran  A   ran  A '  2 número de incógnitas  sistema compa-
tible indeterminado. Resolvémolo:
1 z 1 2 1  z
 2 x  y  1  z 2  z 2 3 z 1 2  z 3  z  1
  x  z, y   z 1 .
 x  2 y  2  z 3 3 3 3
Solucións: x   , y    , z   .
• Se a  1 e a  2 , ran  A   ran  A '   3 número de incógnitas  sistema compatible de-
terminado.
0 1 0
306. Considera a matriz N   . Sendo X unha matriz columna, discute e, de ser o ca-
1 0 1
so, resolve a ecuación matricial: N  N t  X    X , segundo os valores do parámetro real  .
Solución:
0 1
0 1 0  1 0
NN  
t
 1 0   .
 1 0 1
0 1 0 2
 
 x  1 0  x   x  x   x 
A matriz X ten que ser de dimensión 2 1 : X                  
 y  0 2  y   y 2y  y
x  x 1    x  0

     temos un sistema homoxéneo, con matriz do sistema:
 2y   y  2    y  0

1   0    1
H    H  1    2    ; H  0   .
 0 2   2
• Se   1 e   2 , entón o sistema só ten a solución trivial, x  0 , y  0 .
 0
Solución: X    .
 0
• Se   1 , ran  H   1 . O sistema é compatible indeterminado, con solucións x  t , y  0 .
t
Solución: X    .
 0
• Se   2 , ran  H   1 . O sistema é compatible indeterminado, con solucións x  0 , y  s .
 0
Solución: X    .
s
307. Dado o sistema:
307.1.Como ha de ser a ecuación que lle hai que engadir para que sexa in-
2 x  y  2 z  1
 compatible?
 x yz 3 307.2.E para que sexa compatible indeterminado?
Solución:
307.1. Unha ecuación que faga o sistema incompatible debe ser da forma:
a  2 x  y  2 z   b  x  y  z   k , con k  a  3b
Por exemplo, con a  1 e b  1 : 3x  z  7
307.2. O sistema será compatible indeterminado se a ecuación é da forma:
a  2 x  y  2 z   b  x  y  z   a  3b
Por exemplo ( a  1 , b  1 ): 3x  z  4 .

151. 151
Sistemas de ecuacións Prácticas
A B C
308. Unha compañía ten tres camións (P, Q e R), nos que caben exactamente un
P 5 3 4
certo número de contedores de tres tipos (A, B e C), de acordo coa táboa adxunta.
Se queren transportar 45 contedores do tipo A, 44 do tipo B e 58 do tipo C, cantas Q 2 5 5
viaxes ten que facer cada camión se estes fan as viaxes completamente cheos? R 4 3 6
Solución:
Sexan x , y , z o número de viaxes que fan os camións P, Q e R respectivamente:
5 x  2 y  4 z  45 5 2 4 45  1ª 5 2 4 45  19 1ª 2  2ª
    
 3x  5 y  3z  44   3 5 3 44  5  2ª 3 1ª  0 19 3 85  2ª
 4 z  5 y  6 z  58 4 5 6 58  5  3ª 4 1ª  0 17 14 110  19  3º 17  2ª
    
 95 0 70 685  1ª 5 19 0 14 137  1ª 14  3ª 19 0 0 95  x  5
      
 0 19 3 85  2ª  0 19 3 85  2ª 3  3ª  0 19 0 76    y  4 .
 0 0 215 645  3ª 215  0 0 1 3  3ª 0 0 1 3 z  3
      
Solución: o camión P debe facer 5 viaxes, o camión Q debe facer 4 viaxes e o camión R debe facer
3 viaxes.
309. Se a altura de Carlos aumentase o triplo da diferenza entre as alturas de Antón e María,
Carlos sería igual de alto ca María. As alturas dos tres suman 515 cm. Oito veces a altura de Antón
é o mesmo ca nove veces a altura de María. Atopa as tres alturas.
Solución:
Sexan, respectivamente, x , y e z as alturas de Carlos, Antón e María.
 x  3 y  z   z x  3y  4z  0  1 3 1 0  1ª  1 3 4 0 
     
 x  y  z  515   x  y  z  515   1 1 1 515  2ª 1ª  0 2 5 515 
 8 y  9x  9 x  8 y  0  9 8 0 0  3ª 9 1ª  0 35 36 0 
     
2 1ª 3  2ª 2 0 7 1545  1ª  2 0 7 1545  1ª 7  3ª  2 0 0 320 
     
2ª  0 2 5 515  2ª  0 2 5 515  2ª 5  3ª  0 2 0 360 
2  3ª 35  2ª  0 0 103 18025  3ª 103  0 0 1 175  3ª  0 0 1 175 
     
1ª 2  1 0 0 160   x  160
  
2ª   2  0 1 0 180    y  180 .
 0 0 1 175   z  175
3ª   
Solución: Carlos mide 160 cm, Antón mide 180 cm e María mide 175 cm.
310. A idade dunha nai é, na actualidade, o triplo da do seu fillo. A suma das idades do pai, nai
e fillo é de 80 anos, e dentro de 5 anos a suma das idades da nai e do fillo será 5 anos máis ca do
pai. Cantos anos teñen o pai, a nai e o fillo na actualidade?
Solución:
Sexan x , y e z as idades do pai, nai e fillo, respectivamente.
 y  3z  y  3z  0  0 1 3 0  3ª  1 1 1 0 
     
 x  y  z  80   x  y  z  80   1 1 1 80  2ª  1 1 1 80 
 y 5  z 5  x5 5  x  y  z  0  1 1 1 0  1ª  0 1 3 0 
          
1ª  1 1 1 0  1ª  1 1 1 0  1ª 2ª  1 0 0 40  1ª   1
     
2ª 1ª  0 2 2 80  2ª 2  0 1 1 40  2ª  0 1 1 40  2ª
3ª  0 1 3 0  3ª  0 1 3 0  3ª 2ª  0 0 4 40  3ª   4 
     
 1 0 0 40  1ª  1 0 0 40   x  40
    
 0 1 1 40  2ª 3ª  0 1 0 30    y  30 .
 0 0 1 10  3ª  0 0 1 10   z  10
    
Solución: o pai ten 40 anos, a nai ten 30 anos e o fillo ten 10 anos.

152. 152
8. Forma matricial dun sistema de ecuacións
Prácticas
311. Un grupo de 20 persoas, homes, mulleres e nenos, reúnese para ir de excursión. Contando
homes e mulleres xuntos, o seu número resulta o triplo do número de nenos. Ademais, se tivera ido
unha muller máis, o seu número igualaría ao de homes. Cantos homes, mulleres e nenos foron de
excursión?
Solución:
Sexan x , y e z o número de homes, mulleres e nenos, respectivamente.
 x  y  z  20  x  y  z  20 1 1 1 20  1ª  1 1 1 20  1ª
     
 x  y  3z   x  y  3 z  0  1 1 3 0  2ª 1ª  0 0 4 20  3ª   1
 y 1  x  x  y 1 1 1 0 1  3ª 1ª  0 2 1 19  2ª   4 
     
 1 1 1 20  2 1ª 2ª  2 0 1 21  1ª 3ª  2 0 0 16  1ª 2  1 0 0 8  x  8
        
 0 2 1 19  2ª  0 2 1 19  2ª 3ª  0 2 0 14  2ª 2 0 1 0 7  y  7 .
 0 0 1 5  3ª  0 0 1 5  3ª  0 0 1 5  3ª  0 0 1 5 z  5
        
Solución: á excursión van 8 homes, 7 mulleres e 5 nenos.
312. Xoán mercou 4 chaquetas e 6 abrigos e pagou 4698 €. Antón pagou 2820 € por 5 chaquetas
e 2 abrigos e Manuel 5124 € por 2 chaquetas e 8 abrigos. Canto custan cada chaqueta e cada abri-
go?
Solución:
Sexan x e y os prezos das chaquetas e dos abrigos, respectivamente.
 4 x  6 y  4698  4 6 4698 
   4 6  4 6 4698  1ª 2  2 3 2349 
 5 x  2 y  2820   5 2 2820  ;  22  0     
 2 x  8 y  5124  2 8 5124  5 2  5 2 2820  2ª  5 2 2820 
  
1ª  2 3 2349  1ª  2 3 2349  1ª 3  2ª  2 0 684  1ª 2
     
2  2ª 5 1ª  0 11 6105  2ª   11  0 1 555  2ª  0 1 555  2ª
 1 0 342   x  342
    ; 2  342  8  555  5124  verifica a terceira ecuación.
 0 1 555   y  555
Solución: o prezo das chaquetas é de 342 € e o dos abrigos é de 555 €.
313. A suma das tres cifras dun número é 6, e se se intercambian a primeira e a segunda, o nú-
mero aumenta en 90 unidades. Se se intercambian a segunda e a terceira, o número aumenta en 9
unidades. Calcula ese número.
Solución:
Sexa o número N  xyz  100 x  10 y  z . Das condicións do problema tense:
 x yz 6 x  y  z  6  1 1 1 6  1ª
   
100 y  10 x  z  100 x  10 y  z  90    x  y  1   1 1 0 1  2ª 1ª
100 x  10 z  y  100 x  10 y  z  9  y  z 1  0 1 1 1  3ª
   
 1 1 1 6  2 1ª 2ª  2 0 1 5  1ª  2 0 1 5  1ª 3ª  2 0 0 2  1ª 2
       
 0 2 1 7  2ª  0 2 1 7  2ª  0 2 1 7  2ª 3ª  0 2 0 4  2ª 2
 0 1 1 1  2  3ª 2ª  0 0 3 9  3ª 3  0 0 1 3  3ª  0 0 1 3  3ª
       
1 0 0 1 x  1
  
0 1 0 2  y  2 .
0 0 1 3 z  3
  
Solución: o número buscado é o N  xyz  123 .

153. 153
Sistemas de ecuacións Prácticas
314. Obtén un número de tres cifras divisible por 11, de tal xeito que a suma das cifras sexa 10 e
a diferenza entre dito número é o que resulta invertendo a orde das súas cifras é 279 .
Solución:
Sexa o número n  xyz , onde x representa as centeas, y as deceas e z as unidades.
 por ser múltiplo de 11 x  z  y  0  x yz 0  1 1 1 0  1ª
   
 x  y  z  10   x  y  z  10   1 1 1 10  2ª 1ª
 100 x  10 y  z  100 z  10 y  x  279 99 x  99 z  279  99 0 99 279  3ª 99 1ª
   
 1 1 1 0  1ª  1 1 1 0  1ª 2ª  1 0 1 5  1ª
     
0 2 0 10  2ª 2 0 1 0 5  2ª  0 1 0 5  2ª
 0 99 198 279  3ª 9  0 11 22 31 3ª 11  2ª  0 0 22 24  3ª   2 
     
 1 0 1 5  11 1ª 3ª 11 0 0 43   x  43
    

11
 0 1 0 5  2ª  0 1 0 5   y  5 .
 0 0 11 12  3ª  0 0 11 12   12
     z  11

Estas solucións non son posibles, dado que x , y e z teñen que ser números naturais, por seren
díxitos dun número  non existe ningún número de tres cifras que cumpra esas condicións.
Nota. Este enunciado foi proposto nunha proba de selectividade, e se a terceira condición fora «e a
diferenza entre dito número é o que resulta invertendo a orde das súas cifras é 297 », substi-
tuíndo este número no anterior sistema obteríase a solución x  4 , y  5 e z  1 , co que se
tería o número n  451 .
315. Dous irmáns charlando conclúen que entre os dous teñen 29 anos, e un dille ao outro:
«Dentro de 8 anos a miña idade será o dobre da túa». Cantos anos ten cada un?
Solución:
Sexan x a idade do que fala e y a idades do outro irmán. Entón tense:
 x  y  29
  x  y  29 1 1 29  1ª  1 1 29  1ª  1 1 29 
        
 x  8  2  y  8
 x  2y  8 1 2 8  2ª 1ª  0 3 21 2ª   3  0 1 7 
1ª 2ª  1 0 22   x  22
    .
2ª 0 1 7  y  7
Solución: o irmán maior ten 22 anos e o menor 7 .
316. Un licor ten o 9% de alcohol e outro o 12%. En que proporción deben mesturarse para que
a mezcla teña o 10% de alcohol?
Solución:
Buscamos a proporción que se necesita para 100 litros de mestura, xa que desta forma xa se da en
porcentaxe. Sexan x o número de litros do primeiro licor e y o número de litros do segundo.
 x  y  100  x  y  100  1 1 100  1ª  1 1 100 
       
0.09 x  0.12 y  0.10 100 9 x  12 y  1000  9 12 1000  2ª 9 1ª  0 3 100 
3 1ª 2ª  3 0 200  200 100
   x y .
2ª  0 3 100  3 3
Solución: a proporción debe formarse tomando 2 da primeira clase e 1 da segunda clase.
3 3

154. 154
8. Forma matricial dun sistema de ecuacións
Prácticas
317. Unha empresa ten tres minas coas com- Níquel (%) Cobre (%) Ferro (%)
posicións que se ven na táboa adxunta. Mina A 1 2 3
Cantas toneladas de cada mina deben utilizarse Mina B 2 5 7
para obter 7 toneladas de níquel, 18 de cobre e
16 de ferro? Mina C 1 3 1
Solución:
Sexa x as toneladas que se extraen da mina A, y as que se sacan da B e z as tomadas da C.
 x 2y z
100  100  100  7
  x  2 y  z  700  1 2 1 700  1ª
 2 x 5 y 3z   
    18   2 x  5 y  3z  1800   2 5 3 1800  2ª 2 1ª
100 100 100  3 x  7 y  z  1600  3 7 1 1600  3ª 3 1ª
 3x 7 y z   
 
100 100 100  16

 1 2 1 700  1ª 2  2ª  1 0 1 100  1ª  1 0 1 100  1ª 3ª
     
 0 1 1 400  2ª  0 1 1 400  2ª  0 1 1 400  2ª 3ª
 0 1 2 500  3ª 2ª  0 0 3 900  3ª   3   0 0 1 300  3ª
     
 1 0 0 200   x  200
  
 0 1 0 100    y  100 .
 0 0 1 300   z  300
  
Solución: debe extraer 200 Tm da mina A, 100 Tm da mina B e 300 Tm da mina C.
318. Sexan S e S ' dous sistemas de dúas ecuacións con dúas incógnitas que difiren só nos ter-
mos independentes. Se S ten infinitas solucións, ¿pode S ' ter solución única?
Solución:
Sexan os sistemas:
 ax  by  c
S: 
a ' x  b ' y  c '
 ax  by  d
S ': 
a ' x  b ' y  d '
Como S ten infinitas solucións, os coeficientes das incógnitas e os termos independentes son pro-
porcionais: a  b  c .
a' b' c'
Se en S ' se verifica a b d , daquela S ' terá tamén infinitas solucións.
a' b' d'
Pero se a b d , o sistema S ' será incompatible. Polo tanto S ' non pode ter solución
a' b' d'
única.

155. 155
Prácticas xerais Prácticas
PRÁCTICAS XERAIS
1. EXEMPLOS DE REPASO PARA PREPARAR O EXAME
1 4  1 1 
319. Calcula as matrices X e Y que verifiquen o sistema 2 X  Y    , X Y   .
 2 0 1 0 
Solución:
  1 4
2 X  Y    2
  2 0 2 3 1
  sumando as ecuacións resulta 3 X     X  3 ;
 1 0
 X  Y  1 1 3 0
 
  
 1 0 
 1 1   2 3 1  1 1   1 2
Despexamos Y na segunda ecuación: Y  X          3 .
1 0   1  0  1 0   0
  0

3 2 5 4
2 5 6 3
320. Calcula, desarrollando por unha alínea, o valor do determinante .
5 3 7 4
3 4 5 9
Solución:
C
3 2 5 4 1ª 2ª 1 3 1 1 1ª 1 0 0 0
11 8 1
2 5 6 3 2ª 2 5 6 3 2ª 3 1ª 2 11 8 1
 1   1 18 12 1 
11
5 3 7 4 3ª 5 3 7 4 3ª 1ª 5 18 12 1
13 8 6
3 4 5 9 4ª 3 4 5 9 4ª 1ª 3 13 8 6
 1 1  100   100 .
321. Sexan A e B as matrices indicadas á dereita. Atopa  5 2 0  a b 0
   
as condicións que deben cumprir os coeficientes a , b , c para A   2 5 0  e B   c c 0 
que se verifique A  B  B  A .  0 0 1  0 0 1
   
Solución:
5 2 0  a b 0   5a  2c 5b  2c 0   a b 0  5 2 0
       
A B   2 5 0  c c 0    2a  5b 2b  5c 0  ; B  A   c c 0   2 5 0 
0 0 1  0 0 1   0 1  0 0 1 0 0 1
    0    
 5a  2b 2a  5b 0   5a  2c 5b  2c 0   5a  2b 2a  5b 0 
     
  7c 7c 0 ; A B  B  A   2a  5b 2b  5c 0    7c 7c 0 
 0 1  0 1  0 1
 0   0   0 
5a  2c  5a  2b  b  c
5b  2c  2a  5b  a  c

  .
 2a  5b  7c
 2b  5c  7c

Solución: debe cumprirse a  b  c .

156. 156
1. Exemplos de repaso para preparar o exame
Prácticas
322. Unha matriz cadrada chámase ortogonal cando a súa inversa coincide coa súa transposta.
Calcula x e y para que esta matriz A sexa ortogonal:
3 x 0
 5 
A y  3 0 .
 5 
 0
 0 1

 
Solución:
 2 9 3 x  3 y 
x  0
3 x 0  3 y 0  25 5
 5  5    1 0 0
A A   y
t
3 0  x 3 0    3 x  3 y y 
2 9  
0   0 1 0 
 5  5   5 25 
 0 1  0 1   0 0 1
 0  0   0 0 1  
    
 
 2 9 4
 x  25  1  x   5  4 4
 x  5 , y  5 .
 3 x  3 y 
   0  x  y  Hai dúas solucións: 
 5 x   4 , y   4 .
 2 9 4 
 5 5
 y  25  1  y   5

323. Sexa A unha matriz cadrada de orde 3 tal que aij  0 se i  j ( A é unha matriz dia-
gonal). Proba que o produto de dúas matrices diagonais é unha matriz diagonal.
Solución:
 a11 0 0   b11 0 0
   
Sexan A   0 a22 0  e B   0 b22 0  dúas matrices diagonais. O seu produto:
 0 0 a33  0 0 b33 
   
 a11 0 0  b11 0 0   a11b11 0 0 
    
A  B   0 a22 0  0 b22 0    0 a22 b22 0  tamén é unha matriz diagonal.
 0 0 a33  0 0 b33   0 a33b33 
    0 
 4 2   6 4 
324. Resolve a ecuación matricial: 
1 1
  X   .
 3 4  1 0   22 14 
Solución:
1 1
1
 4 1  4 2 
1
 0 1   1 1  4 2   6 4 
    ;    1
;   X    
3 4  3 1    1 0  2   3 4  1 0   22 14 
 2 
 4 1 1 1   4 2   0 1   4 1  6 4   0 1 
    X   1    1  
 3 1  3 4   1 0    2 2   3
  1   22 14    2 2 
 
 4 1 6 4   0 1   4 1    6 4   0 1  
 X    1      1  
 3 1  22 14    2 2   3 1    22 14    2 2  
    
 4 1 2 14   1 6 
      ;
 3 1  7 50   1 8 
  1 6 
Solución: X   .
  1 8 

157. 157
Prácticas xerais Prácticas
325. Sexa unha matriz A.
325.1.Se A é unha matriz regular de orde n e existe unha matriz B tal que AB  BA  0 , proba
que BA1  A1 B  0 .
 3 2 
325.2.Se A    , calcula unha matriz B  0 tal que AB  BA  0 .
4 3
Solución:
325.1. AB  BA  0  multiplicando por A1 pola esquerda da igualdade: A1 AB  A1 BA  0 
 B  A1 BA  0 , e multiplicando agora por A1 pola dereita desta última igualdade 
 BA1  A1 BAA1  0  BA1  A1 B  0 , como queríamos demostrar.
a b
325.2. Sexa B    ; entón:
c d
 3 2  a b   3a  2c 3b  2d   a b  3 2 
A B       ; B A     
 4 3  c d   4a  3c 4b  3d   c d  4 3 
 3a  4b 2a  3b   3a  2c 3b  2d   3a  4b 2a  3b 
    AB  BA     
 3c  4d 2c  3d   4a  3c 4b  3d   3c  4d 2c  3d 
 6a  4b  2c  0

 6a  4b  2c 2a  2d   0 0   2 a  2 d  0
        
 4a  4d 4b  2c  6d   0 0   4a  4d  0
 4b  2c  6d  0

 3a  2b  c  0

a  d  0   a b 
    a  d  B  , con a  0 e
 ad 0   3a  2b a 
 2b  c  3d  0  3a  2b  c  0  c  3a  2b

1 1
b  0 ; por exemplo, para a  1 e b  1 resulta B   .
 1 1
326. Calcula unha matriz cadrada de orde 2, distinta de I e de  I , cunha inversa que coincida
coa súa transposta.
Solución:
a b 1
Sexa A   t
 ; se a súa inversa A coincide coa súa transposta A , ten que darse que
c d
 a2  b2 1

a b a c   a  b ac  bd   1 0   ac  bd 0
2 2
A  At  I . É dicir: A  At             ;
 c d   b d   ac  bd c  d  0 1  ac  bd 0
2 2
 c2  d 2 1

 0 1   0 1  0 1   0 1
por exemplo, obtemos entre outras  ,  ,  ,  .
 1 0   1 0   1 0   1 0 

158. 158
1. Exemplos de repaso para preparar o exame
Prácticas
327. Dise que unha matriz é antisimétrica cando a súa transposta é igual á súa oposta. Obtén a
forma xeral dunha matriz de orde 2 que sexa antisimétrica.
Solución:
a b a c   a b 
Sexa A    ; entón A  
t
 e A    ; para que A   A ten que ser
t
 c d  b d  c  d 
 a  a
c  b a  0
 a c   a b   
      c  b  Unha matriz antisimétrica de orde dous é da
 b d   c d  b  c d  0
 d  d 

 0 b
forma A   .
 b 0 
1 0 x
328. Dada a matriz A   1 1 0  atopa os valores de x para os que a matriz non é invertible.
 
 x 0 1
 
1
Atopa a matriz inversa A para x  2 .
Solución:
Facemos o exercicio de dúas maneiras: usando determinantes e o método de Gauss.
328.1. Buscamos os valores de x para os que non é invertible a matriz A.
1 0 x
I. Unha matriz A é invertible cando det  A   0 . Para iso estudamos A  1 1 0  1  x 2 ;
x 0 1
A  0  1  x 2  0  x  1  para x  1 ou para x  1 a matriz non ten inversa.
x 1 0 0   x  1 1ª  x  3ª
2
 1 0 x 1 0 0  1ª 1 0
   
II.  1 1 0 0 1 0  2ª 1ª  0 1  x 1 1 0   x  1  2ª  x  3ª
2
 x 0 1 0 0 1  3ª  x 1ª  0 0 1  x2  x 0 1 
    3ª
 x2  1 0 0 1 0 x 
 
 0 x 1
2
0 1 x  1  x   ten que ser x 2  1  0  x  1  para
2
 0 0 1  x2  x 0 1 
 
x  1 ou para x  1 a matriz non ten inversa.
1 0 2
328.2. Obtemos a matriz inversa para x  2 . Neste caso A  1 1 0  3 .
2 0 1
1 0 1 0 1 1
 
0 1 2 1 2 0
1 0 2 0  1 1 2   1  1 2 
  1 0 
  0 3 0    0 3 0 
1 2 1 2  2
I.  1 1 0      
2 0 1
ij  0 1 2 1 2 0  
  2 2 1 
 Aij 
 2 2 1 

       
0 2 1 2 1 0
1 1 1
 0 1 0 
 1 0 2   1 0 2   1 3 0 2 3 
 3    4 1   
  1 3 2    1 3 2    1 3 1 2 3  .
t
 Aij  A
3
 2 0 1    
   2 0 1   2 3 0  1 3 

159. 159
Prácticas xerais Prácticas
 1 0 2 1 0 0  1ª  1 0 2 1 0 0  3 1ª 2  3ª
   
II.  1 1 0 0 1 0  2ª 1ª  0 1 2 1 1 0  3  2ª 2  3ª
 2 0 1 0 0 1  3ª 2 1ª  0 0 3 2 0 1  3ª
   
 3 0 0 1 0 2  1ª 3  1 0 0 1 3 0 2 3 
   
 0 3 0 1 3 2  2ª 3  0 1 0 1 3 1 2 3  .
 0 0 3 2 0 1  3ª   3   0 0 1 2 3 0 1 3 
   
 1 3 0 2 3 
1 
A matriz inversa é A   1 3 1 2 3  .
 2 3 0 1 3 
 
329. Calcula unha matriz X que conmuta coa matriz A , é dicir, A  X  X  A , sendo
 1 1 1
A  , e calcula A  2 A  X .
2
 0 1
Solución:
a b
Sexa X   ;
c d
  1 1 a b   a  c b  d 
A X     
  0 1 c d   c d  a  c b  d  a a b
329.1.  ; A X  X  A    
 X  A   a b  1 1   a a  b   c d  c c d 
     
  c d  0 1  c c  d 
a  c  a  c  0
 a b
 b  d  a  b  d  a  X    , con a, b   .
d  c  d  c  0 0 a

 1 1 
1 1 1 0  1ª 2ª 1 0
1 1  1
 1 1   1 1 
1
  A       A  2A  X
2
329.2.   
0 1 0 1  2ª 0 1
0 1  0 1  0 1 
 
1 1 
1 1  1 1   1 1  a b   1 2   2 2  a b 
     2        
0 1  0 1   0 1   0 a   0 1   0 2  0 a 
1 2   2a 2b  2a   2a  1 2b  2a  2 
      .
0 1  0 2a   0 2a  1 
330. Tres traballadores, A, B e C, ao rematar un determinado mes, presentan na súa empresa a
seguinte plantilla de produción, correspondente ás horas de traballo, dietas de mantemento e km de
desprazamento de cada un deles:
Horas de traballo Dietas Kilómetros
Traballador A 40 10 150
Traballador B 60 15 250
Traballador C 30 6 100
A empresa paga aos traballadores a mesma retribución: x euros por hora traballada, y euros por
cada dieta e z euros por km de desprazamento e que paga ese mes un total de 924 euros ao traba-
llador A, 1390 euros ao traballador B e 646 euros ao traballador C, calcula x , y e z .
Solución:
Plantéxase o sistema de ecuacións:

160. 160
1. Exemplos de repaso para preparar o exame
Prácticas
 40 x  10 y  150 z  924  40 10 150 924  1ª 2  20 5 75 462  2ª
    
 60 x  15 y  250 z  1390   60 15 250 1390  2ª 5  12 3 50 278  1ª
 30 x  6 y  100 z  646  30 6 100 646  3ª 2  15 3 50 323  3ª
    
 12 3 50 278  1ª 12 3 50 278  1ª 12 3 50 278  1ª 2ª
     
 20 5 75 462  3  2ª 5 1ª  0 0 25 4  3ª  0 3 50 98  2ª
 15 3 50 323  4  3ª 5 1ª  0 3 50 98  2ª  0 0 25 4  3ª
     
12 0 0 180  1ª 12 0 0 180 
    180 90
 0 3 50 98  2ª 2  3ª  0 3 0 90   x  12  15 , y  3  30 ,
 0 0 25 4  3ª  0 0 25 4 
   
4 4
z  .
25 25
4
Solución: x  15 €/h, y  30 € por dieta e z   0.16 €/km de desprazamento.
25
 8 x  4 y  6 z  2
331. Resolve o sistema de ecuacións 4 x  7 y  4 z  0 .

 8x  5 y  7 z  3

Solución:
 8 x  4 y  6 z  2  8 4 6 2  1ª 2  4 2 3 1 1ª  4 2 3 1
      
 4 x  7 y  4 z  0   4 7 4 0  2ª  4 7 4 0  2ª 1ª  0 9 1 1 
 8x  5 y  7 z  3  8 5 7 3  3ª  8 5 7 3  3ª 2 1ª  0 9 1 5 
      
9 1ª 2  2ª  36 0 29 7 
 
2ª  0 9 1 1   sistema incompatible: non ten solución.
3ª 2ª 0 0 0 4
 
 3 3 1 
332. Obtén, se existe, a inversa da matriz A   8 4 9  , e comproba o resultado.
 
6 5 1
 
Solución:
 3 3 1   3 3 1 1 0 0  1ª  3 3 1 1 0 0  1ª
     
A   8 4 9    8 4 9 0 1 0  3  2ª 8 1ª  0 12 35 8 3 0  3ª
6 5 1  6 5 1 0 0 1  3ª 2 1ª  0 1 3 2 0 1  2ª
     
 3 3 1 1 0 0  1ª 3  2ª  3 0 8 5 0 3  1ª 8  3ª
   
 0 1 3 2 0 1  2ª  0 1 3 2 0 1  2ª 3  3ª
 0 12 35 8 3 0  3ª 12  2ª  0 0 1 16 3 12  3ª
   
 3 0 0 123 24 93  1ª   3   1 0 0 41 8 31   41 8 31
     
 0 1 0 46 9 35  2ª   1
1
 0 1 0 46 9 35   A   46 9 35  .
 0 0 1 16 3 12  3ª  0 0 1 16 3 12   16 3 12 
     
 3 3 1  41 8 31   1 0 0 
1     
A  A   8 4 9  46 9 35    0 1 0  ;
6 5 1  16 3 12   0 0 1 
    
 41 8 31 3 3 1   1 0 0 
    
A1  A   46 9 35  8 4 9    0 1 0  .
 16 3 12  6 5 1  0 0 1
    

161. 161
Prácticas xerais Prácticas
333. Xoana e Mercedes teñen 20000 € cada unha para inverter. Cada unha delas fai a mesma
distribución do seu capital en tres partes, P , Q e R e lévanas a unha entidade financeira. Ao ca-
bo dun ano, a Xoana déronlle un 4% de intereses pola parte P , un 5% pola parte Q e un 4% pola
parte R e a Mercedes déronlle un 5% pola parte P , un 6% pola parte Q e un 4% pola parte R .
Xoana recibiu un total de 850 € de intereses, mentres que Mercedes recibiu 950 €. De cantos euros
constaba cada parte P , Q e R ?
Solución:
Trátase de resolver o sistema:

 P  Q  R  20000
  P  Q  R  20000  1 1 1 20000  1ª
4 P 5Q 4  R   
    850   4 P  5Q  4 R  85000   4 5 4 85000  2ª 4 1ª
 100 100 100 5 P  6Q  4 R  95000  5 6 4 95000  3ª 5 1ª
5 P 6 Q 4  R   
 100  100  100  950

 1 1 1 20000  1ª 2ª  1 0 1 15000  1ª 3ª  1 0 0 5000 
     
 0 1 0 5000  2ª  0 1 0 5000  2ª  0 1 0 5000   P  5000 €,
 0 1 1 5000  3ª 2ª  0 0 1 10000  3ª  0 0 1 10000 
     
Q  5000 € e R  10000 €.
Solución: as partes son P  5000 , Q  5000 € e R  10000 €.
x  y  z  t  2

334. Escribe en forma matricial o sistema  3y  t  1 .
 2x  y  t  0

Solución:
 x
x  y  z  t  2  1 1 1 1    2 
   y  
 3y  t  1   0 3 0 1      1  .
 2x  y  t  0  z
 2 1 0 1    0 
    
t
 8 x  y  5 z  7t  96
 7 x  y  3z  3t  56
335. Resolve mediante o método de Gauss o sistema de ecuacións 
 .
  x  4 y  3z  6t  44

 9 x  3z  2t  60
Solución:
 8 x  y  5 z  7t  96  8 1 5 7 96  3ª  1 4 3 6 44  1ª
 7 x  y  3z  3t    
  56 7 1 3 3 56  2ª  7 1 3 3 56  2ª 7 1ª
  
 1 4 3 6 44  1ª  8 1 5 7 96 
  x  4 y  3z  6t  44

3ª 8 1ª
 9 x  3z  2t  60  9 0 3 2 60  4ª  9 0 3 2 60 
   4ª 9 1ª
    
 1 4 3 6 44  1ª  1 4 3 6 44  9 1ª 4  2ª
   
0 27 18 39 252  2ª 3  0 9 6 13 84  2ª
0 31 29 55 448  3ª  0 31 29 55 448  9  3ª 31  2ª

0   
 36 24 52 336  4ª 4  0 9 6 13 84  4ª 2ª
  
 9 0 3 2 60 
 
0 9 6 13 84 
 Sistema compatible indeterminado:
0 0 75 92 1428 

0 
 0 0 0 0 

162. 162
1. Exemplos de repaso para preparar o exame
Prácticas
  9 0 3 2 60 
    9 0 3 2 60 
 0 9 6 13 84    t 
  0 9 6 13 84  
5ª 4ª 
 0 0 75 92 1428 
   0 0 75 92 1428 
0 0 0 0   
 0 
 9 0 3 2  60  25 1ª 3ª  225 0 0 72  42 
    14  24
 0 9 6 84  13  25  2ª 2  3ª  0 225 0 756  141   x 
75
,
 0 0 75 1428  92  3ª  0 0 
75 1428  92 
  
47  252 92  1428
y , z , t.
75 75
14  24 47  252 92  1428
Solución: x  , y , z , t.
75 75 75
 2 3 7 
336. Obtén a inversa da matriz A   0 5 9  .
 
 6 7 7 
 
Solución:
 2 3 7   2 3 7 1 0 0  1ª  2 3 7 1 0 0 
     
A   0 5 9    0 5 9 0 1 0  2ª  0 5 9 0 1 0 
 6 7 7   6 7 7 0 0 1  3ª 3 1ª  0 16 28 3 0 1 
     
5 1ª 3  2ª 10 0 8 5 3 0  1ª 2  3ª 10 0 0 35 35 10 
   
2ª  0 5 9 0 1 0  4  2ª 9  3ª  0 20 0 135 140 45 
5  3ª 16  2ª  0 0 4 15 16 5  3ª  0 0 4 15 16 5 
   
7 7 1 
1ª 10  1 0 0 7 2  7 2 1   2 2 
  1  27 9 .
2ª 20  0 1 0 4 7  4   A   4 7  4 
27 9
3ª   4   0 0 1 15 4  5 4   15 
 4   4  5 
 4 4
 6 x  24 y  6 z  696
337. Resolve o sistema de ecuacións  12 x  48 y  10 z  1308 .

10 x  40 y  26 z  1832

Solución:
 6 x  24 y  6 z  696  6 24 6 696  1ª 6  1 4 1 116  1ª
    
 12 x  48 y  10 z  1308  12 48 10 1308  2ª 2  6 24 5 654  2ª 6 1ª
10 x  40 y  26 z  1832 10 40 26 1832  3ª 2  5 20 13 916  3ª 5 1ª
    
 1 4 1 116  1ª 2ª  1 4 0 74 
   
 0 0 1 42  2ª  0 0 1 42   Sistema compatible indeterminado.
 0 0 8 336  3ª 8  2ª 0 0 0 0 
   
 1 4 0 74 
   1 4 0 74   1 0 74  4 
 0 0 1 42    0 0 1 42    0 1 42   x  74  4 , y   , z  42 .
0 0 0 0     
 
Solución: x  74  4 , y   , z  42 .

163. 163
Prácticas xerais Prácticas
 26 x  40 y  30 z  2054

338. Resolve o sistema de ecuacións  27 x  32 y  24 z  1823 .
 3x  20 y  15 z  737

Solución:
 26 x  40 y  30 z  2054  26 40 30 2054  1ª 2  13 20 15 1027  3ª
    
 27 x  32 y  24 z  1823   27 32 24 1823  2ª  27 32 24 1823  2ª
 3x  20 y  15 z  737  3 20 15 737  3ª  3 20 15 737  1ª
    
 3 20 15 737  1ª  3 20 15 737  1ª  3 20 15 737 
     
 27 32 24 1823  2ª 9 1ª  0 148 111 4810  2ª 37  0 4 3 130 
 13 20 15 1027  3  3ª 13 1ª  0 200 150 6500  3ª 50  0 4 3 130 
     
1ª 5  2ª  3 0 0 87 
 
2ª  0 4 3 130   Sistema compatible indeterminado.
3ª 2ª 0 0 0 0 
 
 3 0 0 87 
   3 0 0 87  x  3 0 87 
 0 4 3 130    0 4 3 130    0 4 3  130   x  29 ,
4ª 3ª 
0 0 0 0     
 
3  130
y , z.
4
130  3
Solución: x  29 , y  , z.
4
339. Unha familia dispón de 80 euros mensuais para realizar a compra nunha carnicería. O pri-
meiro mes compran 10 kg de carne de polo, 6 kg de carne de porco e 3 kg de carne de vaca, so-
brándolles 3.1 €. O seguinte mes adquiren 10 kg de carne de polo, 7 kg de carne de porco e 2 kg
de carne de vaca, e sóbranlles 5.1 euros. O terceiro mes compran 11 kg de carne de polo, 6 kg de
carne de porco e 2 kg de carne de vaca, pagando un total de 72 euros e 30 céntimos.
Supoñendo que non variaron os prezos durante eses tres meses, indica cal é o prezo por quilo da
carne de polo, de porco e de vaca.
Solución:
Sexa x o prezo do quilo de carne de polo, y o prezo do quilo de carne de porco e z o prezo do
quilo de carne de vaca.
10 x  6 y  3z  76.9 10 6 3 76.9  1ª 10 6 3 76.9  1ª 6  2ª
    
10 x  7 y  2 z  74.9  10 7 2 74.9  2ª 1ª 0 1 1 2  2ª
11x  6 y  2 z  72.3  11 6 2 72.3  10  3ª 11 1ª  0 6 13 122.9  3ª 6  2ª
    
10 0 9 88.9  1ª 9  3ª 190 0 0 475  1ª 190  1 0 0 2.5 
     
 0 1 1 2  19  2ª 3ª  0 19 0 96.9  2ª 19  0 1 0 5.1  
 0 0 19 134.9  3ª  0 0 19 134.9  3ª   19   0 0 1 7.1 
     
 x  2.5

  y  5.1 .
 z  7.1

Solución: o quilo de polo vale 2.5 €, o de porco costa a 5.1 € e o de vaca a 7.1 €.

164. 164
1. Exemplos de repaso para preparar o exame
Prácticas
 2x  y  z  0
340. Dado o sistema  x  2 y  z  m ,

 mx  y  z  0

340.1.Discúteo e interprétao xeometricamente, segundo os valores do parámetro m .
340.2.Resólveo, se é posible, para os casos m  0 e m  2 .
Solución:
 2x  y  z  0  2 1 1 0  2 1 1
  
340.1.  x  2 y  z  m  A '   1 2 1 m  ; A  1 2 1  m  2 .
 mx  y  z  0  m 1 1 0  m 1 1
  
m2  0  m  2.
• Se m  2  ran  A   ran  A '   3  nº de incógnitas, e polo tanto, o sistema é compati-
ble determinado e, en consecuencia, trátase de tres planos que se cortan nun punto.
• Se m  2 , entón:
 2 1 1 0  2 1 0
  2 1
A '   1 2 1 2  ;  3  0  ran  A   2 ; 1 2 2  0  ran  A '  2  nú-
 2 1 1 0  1 2 2 1 0
 
mero de incógnitas  sistema compatible indeterminado. A primeira ecuación e a última
son iguais, e trátase de dous planos coincidentes e outro plano que os corta nunha recta.
340.2. Resolvéndoo para m  0 :
2 x  y  z  0  2 1 1 0  2 1 1
  
 x  2 y  z  0  A '   1 2 1 0   1 2 1  2  0  é un sistema homoxéneo
 y  z  0  0 1 1 0  0 1 1
  
compatible e determinado, polo que a súa solución é a trivial:  0, 0,0  : x  0 , y  0 e
z 0.
Resolvémolo para m  2 :
2 x  y  z  0  2 1 1 0 
   2 1
 x  2 y  z  2  A '   1 2 1 2  ;  3  0  Eliminamos a terceira ecuación e
2 x  y  z  0  2 1 1 0  1 2
  
pasamos a z ao segundo membro, como parámetro: z   .
 1
2 x  y  z  0 z   2 1    2   2   2  2
  
4ª 3ª    x   ,
 x  2y  z  2  1 2 2    3 3 3
2 
1 2 4  4
y   , z.
3 3 3
 2  4
Solución: x   , y , z.
3 3

165. 165
Prácticas xerais Prácticas
 9 3 9 
 
341. Calcula mediante determinantes a inversa da matriz A   4 2 0  .
 7 8 8 
 
Solución:
9  3 9
A  4 2 0  210  0 .
7 8 8
 2 0 4 0 4 2 
 
 8 8 7 8 7 8 
 9 3 9    3 9  16 32 18 
  9 9 9 3  
A   4 2 0   1
    48 9 51 
 7 8 8 
ij   8 8 7 8 7 8   


     18 36 6 
  3 9 9 9 9 3 
 2 0 4 2 
 4 0 
 16 32 18   16 48 18 
 2    3    4
  48 9 51   32 9 36  
 Aij 
 t
 Aij  A
 18 36 6   18 51 6 
   
8 8 3  8 8 3 
 16 48 18   105 35 35   105 35 35 
1 1   16 3 6   A1  16 3 6 .
A  32 9 36  
210 
 18 51 6  
 105 70 35   105 70 35 
   3 1   3
 1  
17  17
 35 70 35   35 70 35 
 2 10 8 
342. Calcula, utilizando o método de Gauss–Jordan, a inversa da matriz A   3 15 12  .
 
 28 49 43 
 
Solución:
 2 10 8   2 10 8 1 0 0  1ª  2 10 8 1 0 0
     
A   3 15 12    3 15 12 0 1 0  2  2ª 3 1ª  0 0 0 3 2 0   non
 28 49 43   28 49 43 0 0 1  3ª 14 1ª  0 91 69 14 0 1 
     
ten inversa.
x  y  z  1
 2 x  z  1
343. Escribe en forma matricial o sistema 
 .
x  y  z  2
 2y  z  0

Solución:
x  y  z  1  1 1 1 1
 2 x  z  1   x   
 2 0 1     1
   y  .
 x yz  2  1 1 1     2 
 z  
 
 2y  z  0
  0 2 1 0
344. Obtén tres números, sabendo que o primeiro menos o segundo é igual a un quinto do tercei-
ro; se ao dobre do primeiro lle restamos seis quédanos a suma do segundo e o terceiro e, ademais,
o triplo do segundo menos o dobre do terceiro é igual ao primeiro menos 8.
Solución:
Sexan x o primeiro número, y o segundo número e z o terceiro número. Das condicións do
enunciado tense o sistema:

166. 166
1. Exemplos de repaso para preparar o exame
Prácticas
 z
 x y  5  5x  5 y  z  0  5 5 1 0  3ª  1 3 2 8  1ª
     
 2x  6  y  z   2 x  y  z  6   2 1 1 6  2ª  2 1 1 6  2ª 2 1ª
3 y  2 z  x  8   x  3 y  2 z  8  1 3 2 8  1ª  5 5 1 0  3ª 5 1ª
     

 1 3 2 8  1ª  1 3 2 8  1ª 3  2ª  1 0 1 2  1ª 3ª
     
 0 5 5 10  2ª 5  0 1 1 2  2ª  0 1 1 2  2ª 3ª
 0 10 11 40  3ª  0 10 11 40  3ª 10  2ª  0 0 1 20  3ª
     
 1 0 0 22  1ª   1  1 0 0 22   x  22
    
 0 1 0 18  2ª 0 1 0 18    y  18 .
 0 0 1 20  3ª   1  0 0 1 20   z  20
    
Solución: os números buscados son x  22 , y  18 e z  20 .
1
345. Determina a matriz X na seguinte ecuación matricial A2 X   A  B  C  , sendo as ma-
2
 1 3 
 2 1  1 1 2  
trices A    , B  e C   1 1 .
 0 1  1 3 1   6 2
 
Solución:
 A  B  C   X   A2    A  B  C  . Así tense
1 1 1
A2 X 
2 2
 2 1  2 1  4 3   4 3 1 0  1ª 3  2ª  4 0 1 3  1ª 4
A2          
 0 1  0 1  0 1   0 1 0 1  2ª  0 1 0 1  2ª
1 0 1 1 3
3 
4    A2    4  4  .
1
 4
0 1 0 1  
0 1  
   
 1 3
 1 1 2   12 8 
B C    1 1   ;
 1 3 1    10 2 
6 2
 2 1 12 8  14 9 
A  B C     ;
 0 1 10 2  10 3 
 9 
1 1 14 9   7 2
 A  B C     .
2 2 10 3  5 3 
 2
1 3  9   2 0   2 0 
  7
Polo tanto, X   A2    A  B C    4
1 1 2 
    X  
2 
0
4
 5 3   5
 3   5 3 .
 1   2  2  2
 2 0 
Solución: X   
3 .
 5
 2

167. 167
Prácticas xerais Prácticas
346. Determina a matrizX que satisface a ecuación 3X  I  A  B  A2 , sendo as matrices:
 1 1 2   1 0 2
   
A   2 0 3 e B   2 1 1  e I a matriz unidade de orde 3.
 3 1 2 3 2 1
   
Solución:
3X  I  A  B  A2  X 
1
3
 A  B  A2  I  .
 1 1 2   1 0 2   9 5 3   1 1 2   1 1 2   9 1 5 
           
A  B   2 0 3    2 1 1    7 6 1  ; A   2 0 3    2 0 3    7 5 10  ;
2
 3 1 2   3 2 1  5 5 5   3 1 2   3 1 2   5 5 13 
           
 9 5 3   9 1 5   0 4 8 
     
A  B  A2   7 6 1    7 5 10    0 1 9  ;
 5 5 5   5 5 13   0 0 8 
     
 0 4 8   1 0 0   1 4 8 
     
A  B  A2  I   0 1 9    0 1 0    0 0 9  
 0 0 8   0 0 1   0 0 9 
     
 1 8   1 8 
 1 4 8    3
4 4
3 3  3 3 3
1 
 X   A  B  A 2  I    0 0 9    0
1
0 3   X  0 0 3  .
3 3     
 0 0 9   0 0 3   0 0 3 
   
347. Resolve a ecuación matricialA  B  X  I , sendo I a matriz identidade de orde 3, e as
 1 0 1  1 2 0
   
matrices A   2 1 0  e B   1 0 1 .
 1 2 3   1 3 2 
   
Solución:
A  B  X  I  B  X  I  A  B 1  B  X  B 1   I  A   X  B 1   I  A  .
 1 0 0   1 0 1   2 0 1 
     
I  A   0 1 0    2 1 0    2 0 0  .
 0 0 1   1 2 3   1 2 2 
     
1 2 0  1 2 0 1 0 0  1ª  1 2 0 1 0 0  1ª 2ª
     
B   1 0 1   1 0 1 0 1 0  2ª 1ª  0 2 1 1 1 0  2ª
 1 3 2   1 3 2 0 0 1  3ª 1ª  0 5 2 1 0 1  2  3ª 5  2ª
     
 1 0 1 0 1 0  1ª 3ª  1 0 0 3 4 2  1ª
   
 0 2 1 1 1 0  2ª 3ª  0 2 0 2 4 2  2ª   2 
 0 0 1 3 5 2  3ª  0 0 1 3 5 2  3   1
   
 1 0 0 3 4 2   3 4 2 
  1  
 0 1 0 1 2 1   B   1 2 1  .
 0 0 1 3 5 2   3 5 2 
   
 3 4 2   2 0 1   12 4 1   12 4 1 
       
X  B   I  A    1 2 1    2 0 0    5 2 1   X   5 2 1 .
1
 3 5 2   1 2 2   14 4 1   14 4 1 
       

168. 168
1. Exemplos de repaso para preparar o exame
Prácticas
348. Sexan M e N as matrices adxuntas. 0 0 1  0 0 1
   
348.1.Determina x e y para que MN  NM . M  0 1 0 N   x 1 0
1 0 0  y 0 0
348.2.Calcula M 2000 e M 2001 .    
Solución:
348.1. Calcúlanse os produtos:
0 0 1 0 0 1  y 0 0  0 0 10 0 1 1 0 0 
         
M  N  0 1 0 x 1 0   x 1 0 ; N  M   x 1 00 1 0  0 1 x  .
1 0 0 y 0 0  0 0 1  y 0 01 0 0 0 0 y 
         
x  0
Para que conmuten  MN  NM  ten que verificarse que  .
y 1
 0 0 1  0 0 1   1 0 0 
    
348.2. M   0 1 0  0 1 0    0 1 0   I 3  M 3  M ; M 4  I 3 , ….
2
 1 0 0  1 0 0   0 0 1 
    
Se k é par M k  I 3  matriz identidade 
  M 2000  I 3

Así tense que    2001 .

Se k é impar M k  M  matriz dada  M
 M
Solución: M 2000  I 3 , M 2001  M .
349. Nunha determinada poboación represéntanse tres espectáculos que chamaremos E1 , E2 e
E3 , respectivamente, cada un cun prezo distinto. Calcula o prezo de cada espectáculo sabendo que
se asistimos dúas veces a E1 , unha vez a E2 e unha vez a E3 custaríanos 34 €; se asistimos tres
veces ao primeiro espectáculo e unha ao segundo custaríanos 46.5 €, e no caso de asistir unha vez
a cada un dos espectáculos pagaríamos 21.5 €.
Solución:
Sexan x  prezo do espectáculo E1 , y  prezo do espectáculo E2 e z  prezo do espectáculo
E3 . Das condicións do enunciado tense:
 2 x  y  z  34  2 1 1 34   1 1 1 21.5  1ª  1 1 1 21.5 
      
 3x  y  46.5   3 1 0 46.5    3 1 0 46.5  2ª 3 1ª  0 2 3 18 
 x  y  z  21.5  1 1 1 21.5   2 1 1 34  3ª 2 1ª  0 1 1 9 
      
1ª  1 1 1 21.5  1ª 2ª 1 0 0 12.5  1ª  1 0 0 12.5   x  12.5
      
3ª   1  0 1 1 9  2ª 0 1 1 9  2ª 3ª  0 1 0 9    y  9 .
2ª   1  0 2 3 18  3ª 2  2ª  0 0 1 0  3ª 0 0 1 0  z  0
      
Solución: o espectáculo E1 custa 12.5 €, o E2 custa 9 € e o terceiro E3 custa 0 €: é gratis.
a a a a
2 a a a
350. Obtén, en función de a , o valor do determinante D  .
3 2 a a
4 3 2 a
Solución:
A 4ª columna réstaselle a 3ª columna; á 3ª columna réstaselle a 2ª columna; á 2ª columna réstaselle
a 1ª columna e así tense:
a a a a a 0 0 0
2 a a a 2 a2 0 0
D   a  a  2   a 4  6a 3  12a 2  8a .
3
3 2 a a 3 1 a2 0
4 3 2 a 4 1 1 a2

169. 169
Prácticas xerais Prácticas
 1 0 2 1 0 2 
   
351. Calcula X tal que 3AX  B , sendo A   0 1 1  , B   1 0 1  .
1 0 1 1 1 1 
   
Solución:
1 0 2
1 1
3AX  B  X  A B . A  0 1 1  1  0  existe A1 ;
3
1 0 1
1 1 0 1 0 1
 
0 1 1 1 1 0
 1 0 2 0 2  1 1 1  1 1 1
  1 0 
  0 1 0    0 1 0 
1 1 2  2
A   0 1 1      
1 0 1
  ij 
0 1 1 1 1 0    Aij 
 2 1 1 

 2 1 1 
       
0 2 1 2 1 0
1 1 0 1
 0 1 
 1 0 2   1 0 2    1 0 2 
 3    4 1    
  1 1 1  
 A 1  1 1 1    1 1 1   A1 .
 Aij  A
1 
t
 1 0 1   1 0 1   1 0 1
     
Polo tanto:
1 2 0 
 1 0 2  1 0 2  1 2 0  3 3 
1   1 
X  A1 B   1 1 1  1 0 1    1 1 0    1 0 X .
1 1
3 3 3  3 3 
  
 1 0 1 1 1 1   0 1 1   0
  1 1 

 3 3
352. Sexa a identidade matricial da dereita. 1 2
 2 1  
352.1.Cales son as dimensións dunha matriz solución da identidade anterior? X   3 4
 3 1  
352.2.Calcula a solución. 5 6
352.3.É única a solución? Razoa a resposta.
Solución:
352.1. A matriz X debe ser de orde 3  2 , xa que ao multiplicala por unha matriz de orde 2  2
da unha matriz de orde 3  2 .
 2 1   2 1 1 0  1ª  2 1 1 0  1ª 2ª  2 0 2 2 
352.2. Sexa A   ;      
 3 1   3 1 0 1  2  2ª 3 1ª  0 1 3 2  2ª  0  1 3 2 
1ª 2  1 0 1 1  1  1 1 
   A  .
2ª   1  0 1 3 2   3 2 
1 2 1 2  5 3 
 2 1  1 1     1 1     1 1   
X    3 4   X  3 4    9 5  .
 3 1  3 2   3 2  5 6 3 2  
  5 6     

13 7 
I 2
 5 3 
 
Solución: X   9 5  .
13 7 
 
352.3. A solución é única, posto que a matriz inversa é única.

170. 170
1. Exemplos de repaso para preparar o exame
Prácticas
353. Dunha matriz cadrada de orde 3 sábese que o seu determinante vale 1 . Canto valerá o de-
terminante da matriz 2A ?
Solución:
a b c   2a 2b 2c 
   
Sexa A   d e f   2 A   2d 2e 2 f  ;
g h i   2 g 2h 2i 
   
2a 2b 2c a b c
2 A  2d 2e 2 f  2  2  2  d e f  8  A  8   1  8 .
2g 2h 2i g h i
Solución: det  2 A   8 .
354. Razoa se é posible aplicar os métodos habituais de resolución de sistemas de ecuacións li-
neais con incógnitas numéricas, no caso de que as incógnitas sexan matrices.
3 X  Y  A  2 1   0 3 
Aplícao, se é posible, ao sistema  , sendo A    e B .
 X  2Y  2 B  1 3   1 1 
Solución:
Na resolución de sistemas de ecuacións lineais as únicas operacións que se verifican son:
— Suma de ecuacións para eliminar termos.
— Produto de ecuacións por números para igualar coeficientes.
Estas mesmas operacións son as que se utilizan na resolución de sistemas de ecuacións nas que in-
terveñen matrices. Os métodos para resolver ecuacións matriciais son os mesmos que para siste-
mas de ecuacións lineais.
Para a resolución dese sistema utilizamos o método de redución:
3 X  Y  A 6 X  2Y  2 A
  
a primeira ecuación 
Multiplicando por 2
 7 X  2 A  2 B 
Sumando as
 X  2Y  2 B  X  2Y  2 B
dúas ecuacións
4 5 
 2 1   0 3   4 2   0 3   4 5 
 X 
7 7
 7X  2   2        .
 1 3   1 1   2 6   2 2   4 8  4  8 
 7 7
3 X  Y  A Multiplicando por 3 3 X  Y  A
  
a segunda ecuación   7Y  A  6 B 
Sumando as
 X  2Y  2 B  3 X  6Y  6 B dúas ecuacións
 2 17 
 2 1   0 3   2 1   0 18   2 17 
 Y 
7 7
 7Y     6        .
 1 3   1 1   1 3   6 6   5 3  4 3 
 7 7
4 5   2 17 
Solución: X  
7
, Y 
7 7 7
.
4  8  4 3 
 7 7  7 7
355. Sexa o sistema adxunto.  ax  by  cz  a  b  c

355.1.Usando o teorema de Rocuché–Frobenius di como é o sistema. bx  cy  az  a  b  c
355.2.Resolve o sistema, para o posible caso de ser compatible deter- cx  ay  bz  a  b  c

minado.
Solución:
355.1. A matriz de coeficientes M e a matriz ampliada M ' son:
a b c a b c a b  c
   
M  b c a e M '  b c a a b  c
c a b  c a b a b  c
   
e verifícase que ran  M   ran  M '  , dado que a cuarta columna é a suma das tres primeiras.
Polo tanto, é un sistema compatible determinado.

171. 171
Prácticas xerais Prácticas
355.2. Cando é compatible determinado unha solución sinxela é x  1 , y  1 e z  1 .
Solución: x  1 , y  1 , z  1 .
 x y 6

356. Estuda mediante determinantes a compatibilidade do sistema  4 x  y  1 .
5 x  2 y  5

Solución:
 x y 6  1 1   1 1 6
   1 1  
 4 x  y  1 ; A   4 1  ;  5  0  ran  A   2 ; A '   4 1 1  ,
5 x  2 y  5 5 2  4 1 5 2 5 
    
1 1 6
A '  4 1 1  0  ran  A   ran  A '  2  nº de incógnitas  o sistema é compatible de-
5 2 5
 x y 6
terminado. Para resolvelo podemos prescindir da terceira ecuación:  .
 4 x  y  1
Sumando: 5 x  5  x  1  y  5 .
Solución: x  1 , y  5 .
357. Discute o seguinte sistema segundo os valores do parámetro a , e interpreta xeometrica-
mente o sistema:
 ax  y  z  4  0

 x  y  z 1  0 .
 x  ay  z  1  0

Solución:
 ax  y  z  4  0  ax  y  z  4 a 1 1 4  2ª 1 1 1 1 1ª
     
 x  y  z  1  0   x  y  z  1   1 1 1 1 1ª a 1 1 4  2ª 1ª
 x  ay  z  1  0  x  ay  z  1  1 a 1 1  3ª  1 a 1 1  3ª 1ª
     
 1 1 1 1
 
 a 1 0 0 5 .
 0 a  1 0 2
 
• Se a  1 queda:
 1 1 1 1
 
 0 0 0 5   sistema incompatible. Os dous primeiros planos son paralelos e o ter-
 0 2 0 2 
 
ceiro córtaos.
• Se a  1 , queda:
1 1 1 1
 
 2 0 0 5   sistema incompatible. O segundo e o terceiro plano son paralelos e o
0 0 0 2
 
primeiro córtaos.
• Se a  1 e a  1  sistema compatible determinado. Os tres planos córtanse nun punto.

172. 172
1. De Selectividade — Matemáticas II
Prácticas
PROBLEMAS DE EXAMES
Entre os exemplos anteriores hai bastantes exercicios e problemas que foron propostos en diversas
probas de acceso á universidade nas distintas comunidades autónomas. Agora engádense uns can-
tos máis, reunidos por modalidades, para facilitar a aprendizaxe.
1. DE SELECTIVIDADE — M ATEMÁTICAS II
2 1  0 1 0  1 2 0
358. Sexan as matrices A , B  e C  .
 3 2   3 1 2   1 1 4 
358.1.Ten A inversa? En caso afirmativo, calcúlaa.
358.2.Determina a matriz X que cumpre a seguinte igualdade: AX  CB t  BBt , sendo B t a ma-
triz transposta de B .
Solución:
2 1  2 1
358.1. A     A  4  3  7  0  a matriz A ten inversa.
 3 2  3 2
2 1  1  2 3   2  2 3   3   2 1   4
A   
ij 
   
 Aij 
   
 Aij 
t  
A
 3 2   1 2  1 2   3 2 
2 1  2 1 
1  2 1   7 7 
 A 1  
7 7 
   .
7  3 2   3  2  3  2 
 7 7  7 7
358.2. AX  CB t  BBt  AX  BBt  CB t   B  C  B t  X  A1  B  C  B t :
0 3 
 0 1 0   1 2 0   1 1 0   
B C      ; B   1 1 ;
t
 3 1 2   1 1 4   4 2 2  0 2 
 
0 3 
  1 1 0     1 2 
 B  C  Bt    1 1    ;
 4  2 2    0 2   2 10 
 
 2 1   4 6 
 7 7   1 2   7 7 
X  A B C B 
1 t

  2 10   1
.
3 2    26 
 7 7  7 7
 4 6 
Solución: X  
7 7 
.
 1  26 
 7 7
 x  y  z  2

359. Sexa o sistema de ecuacións   x  3 y  z  7 .
 x  2 y    2 z  5
  
359.1.Clasifica o sistema segundo os valores do parámetro  .
359.2.Resolve o sistema cando sexa compatible indeterminado.
Solución:
 1 1 1   1 1 1 2 
   
359.1. A    3 1  , A '    3 1 7 ;
 1 1   2  1 1   2 5 
   
1 1 1
3  9  8    1
A   3 1   2  3  2 ; A  0   2  3  2  0     .
2    2
1 1  2

173. 173
Problemas de exames Prácticas
— Se   1 e   2  ran  A   ran  A '   3  nº de incógnitas  sistema compatible
determinado.
 1 1 1 2 
  1 1
— Se   1  A '   1 3 1 7  ;  2  0  ran  A   2 ;
 1 1 1 5  1 3
 
1 1 2
1 3 7  1  0  ran  A '  3 .
1 2 5
ran  A   2  ran  A '  3  sistema incompatible.
 1 1 1 2 
  1 1
— Se   2  A '   2 3 1 7  ;  2  0  ran  A   2 ;
 1 1 0 5  1 3
 
1 1 2
2 3 7  0  ran  A '  2 .
1 2 5
Como ran  A   ran  A '  2  nº de incógnitas  sistema compatible indeterminado.
359.2. Como se pide resolver o sistema para o valor de  que o faga compatible indeterminado
facemos a resolución para   2 .
1 1
Como  2  0 e ran  A   2 , suprimimos a terceira ecuación e pasamos a incógnita z
1 3
ao termo independente:
 x  y  z  2  1 1 1 2  z   1 1 2   
     
4ª   3ª  .
 x  3 y  z  7  2 3 1 7   2 3 7   
2   1 1 2  
7   3 2 7  
x  1  2 , y   3   , z   .
1 1
Solución: x  1  2  , y  3   , z   .
360. Responde se as seguintes afirmacións son verdadeiras ou falsas e xustifica a túa resposta:
360.1.Se A e B son dúas matrices cadradas calquera, cúmprese que  A  B   A2  2 AB  B 2 .
2
360.2.Se A é unha matriz cadrada que cumpre A2   0  , entón ten que ser A   0  .
360.3.Se A é unha matriz cadrada calquera cúmprese que  A  I  A  I   A2  I .
Nota:  0  representa a matriz nula da mesma dimensión que A e I representa a matriz identida-
de, tamén da mesma dimensión que A .
Solución:
360.1. Falso.
 A  B   A  B  A  B   A2  AB  BA  B 2  A2  2 AB  B 2 , dado que en xeral
2
AB  BA por non ser conmutativo o produto de matrices.
360.2. Falso.
0 1 0 0  0 1  0 1   0 0 
Por exemplo, se A      A 
2
  .
0 0 0 0  0 0  0 0   0 0 
360.3. Verdadeiro.
 A  I  A  I   A2  AI  IA  I 2  A2  A  A  I  A2  I .

174. 174
1. De Selectividade — Matemáticas II
Prácticas
361. Sexa o sistema de ecuacións adxunto.  mx  2 y  m

361.1.Calcula o carácter do sistema en función do parámetro m . S   3x  y  m
x  y  z  4
361.2.Resólveo para m  0 . 
361.3.Substitúe a terceira ecuación de S por outra ecuación de maneira que o sistema resultante
sexa compatible indeterminado para calquera valor de m .
Solución:
 mx  2 y  m  m 2 0 m 2 0 m
    
361.1. S   3x  y  m  A   3 1 0  ; A '   3 1 0 m  .
x  y  z  4  1 1 1   1 1 1 4 
    
m 2 0
A  3 1 0  m  6 ; A  0  m  6  0  m  6 .
1 1 1
— Se m  6  ran  A   ran  A '   3  nº de incógnitas  sistema compatible determina-
do.
 6 2 0 6 
  3 1
— Se m  6  A '   3 1 0 6  ;  2  0  ran  A   2 ;
 1 1 1 4  1 1
 
 6 2 6
3 1 6  36  0  ran  A '  3 .
1 1 4
ran  A   2  ran  A '  3  sistema incompatible.
 2y  0

361.2. Se m  0 resulta o sistema S   3 x  y  0 .
x  y  z  4

 2y  0  y  0

I. S   3 x  y  0  x  0 .
x  y  z  4  z  4

Solución: x  0 , y  0 , z  4 .
 2y  0 0 2 0 0 2 0 0 0 2 0
    
II. S   3 x  y  0  A   3 1 0  ; A '   3 1 0 0  ; A  3 1 0  6  0 .
x  y  z  4  1 1 1   1 1 1 4  1 1 1
    
0 2 0 0 0 0 0 2 0
0 1 0 3 0 0 3 1 0
4 1 1 0 1 4 1 0 1 1 4 24
x  0; y    0, z    4.
6 6 6 6 6 6
Solución: x  0 , y  0 , z  4 .
361.3. Se a ecuación que engadimos é dunha, dúas ou tres incógnitas, as solucións dependen de
m , e o sistema pode ser compatible ou incompatible.
Se a ecuación que engadimos é de catro incógnitas ou máis, o sistema é compatible indeter-
minado para m  6 , pero é incompatible para o valor m  6 .
Sexa ax  by  cz  dt  e , con c  0 e d  0 a ecuación engadida. Entón:

175. 175
Problemas de exames Prácticas
m 2 0 0 m 2 0 0 m m 2 0
   
A   3 1 0 0  , A '   3 1 0 0 m  ; 3 1 0  c  m  6   0  m  6 .
a b c d a b c d e a b c
   
— Para m  6 , ran  A   ran  A '   3  nº de incógnitas  sistema compatible indeter-
minado.
— Para m  6 :
 6 2 0 0 6 
  1 0
A '   3 1 0 0 6  ;  c  0  ran  A   2 ;
a b c d e  b c
 
2 0 6
1 0 6  18c  0  ran  A '  3 .
b c e
ran  A   2  ran  A '  3  sistema incompatible.
Polo tanto, non se pode substituír a terceira ecuación de S por outra, de tal maneira que o
sistema resultante sexa compatible indeterminado para todo valor de m .
362. Dado o sistema de ecuacións adxunto, pídese  x  2y  z  a

362.1.Discusión do mesmo en función do parámetro a .  x  y  az  a
2 x  3 y  z  a
362.2.Resolución do mesmo para o caso de que a  0 . 
Solución:
 x  2y  z  a 1 2 1  1 2 1 a
    
362.1.  x  y  az  a  A   1 1 a  , A '   1 1 a a  .
2 x  3 y  z  a 2 3 1  2 3 1 a
    
1 2 1
A  1 1  a  a ; A  0  a  0  a  0 .
2 3 1
— Se a  0  ran  A   ran  A '   3  nº de incógnitas  sistema compatible determi-
nado.
1 2 1 0
  1 2
— Se a  0  A '   1 1 0 0  ;  1  0  ran  A   ran  A '  2  nº de incóg-
2 3 1 0 1 1
 
nitas  sistema compatible indeterminado.
362.2. Resolvémolo para o caso de que a  0 .
a 2 1 1 a 1
a 1 a 1 a a
a 3 1 a a
2
2 a 1 a 2  a
x   a  1 ; y    a 1 ;
a a a a
1 2 a
1 1 a
2 3 a a
z   1 .
a a
Solución: x  a  1 , y  a  1 , z  1 .

176. 176
1. De Selectividade — Matemáticas II
Prácticas
a b c 
363. Se a matriz A   d e f  ten o seu determinante igual a n , averigua, utilizando as pro-
 
g h i 
 
piedades dos determinantes, o valor dos determinantes das matrices seguintes:
 6 d 4e 2 f  d  f e f  e
   
B   3 g 2h i  e C   a  c b c  b  .
 9a 6b 3c   g i h ih 
   
Solución:
a b c
A d e f n
g h i
6d 4e 2 f 2d 2e 2 f d e f a b c
363.1. B  3 g 2h i  3  2 g
 h i  6 2 3 g
 h i  36 g h
 i 
1ª C 3 1ª F  2 F1  F3
9a 6b 3c 2ªC  2 3a 3b 3c 3ª F 3 a b c d e f
a b c
 36 d e
 f  36n .
F1  F3
g h i
d f e f e d f e f d e f a b c
363.2. C  a  c b cb  ac
 b c  a b
 c   d e
 f  n .
C C C1 C3 F1  F2
g i h ih 3 2 g i h i g h i g h i
364. Dado o sistema de ecuacións adxunto, pídese  x  ay  z  2

364.1.Discusión do mesmo en función do valor a .  2 x  y  az  0
3 x  a  1 y  z  a  1
364.2.Para o valor a  1 obtéñase, se procede, a solución do sistema.   
Solución:
 x  ay  z  2 1 a 1  1 a 1 2 
    
364.1.  2 x  y  az  0  A  2 1 a  ; A'   2 1 a 0 .
3 x  a  1 y  z  a  1  3 a  1 1   3 a  1 1 a  1 
      
1 a 1
a  0

A 2 1 a  2a 2  a  a  2a  1 ; A  0  a  2a  1  0   1 .
3 a  1 1 a  2

— Se a  0 e a  1  ran  A   ran  A '   3  nº de incógnitas  sistema compatible
2
determinado.
 1 0 1 2 
  1 0
— Se a  0  A '   2 1 0 0  ;  1  0  ran  A   2 .
 3 1 1 1  2 1
 
1 0 3
2 1 0  3  0  ran  A '  3 .
3 1 1
ran  A   2  ran  A '  3  sistema incompatible.

177. 177
Problemas de exames Prácticas
1 1 2 1 2 
  1 1 5
— Se a  1  A'   2 1 1 2 0 ;   0  ran  A   2 .
2 2 12 2
3 3 2 1  1 2 
 
1 1 2
34
2 12 0  0  ran  A '  3 :
4
3 1  1 2
ran  A   2  ran  A '  3  sistema incompatible.
 1 1 1 2  1 1 1
 
364.2. Se a  1  A '   2 1 1 0  ; A  2 1 1  1  0 .
 3 2 1 0  3 2 1
 
2 1 1 1 2 1 4 4 2
0 1 1 2 0 1 2 1 0
0 2 11 6 3 0 1 10 3 2 0 2
x  6 , y    10 , z    2.
1 1 1 1 1 1
Solución: x  6 , y  10 , z  2 .
365. Sexa A unha matriz 2  2 de columnas C1 e C2 e determinante 4. Sexa B outra matriz
2  2 de determinante 2. Se C é a matriz de columnas C1  C2 e 3C2 , calcúlese o determinante
da matriz B  C 1 .
Solución:
Sexan as matrices:
a a12   b11 b12   c11 c12 
A   11  , A  4; B    , B  2; C   
 a21 a22   b21 b22   c21 c22 
   
C1 C2 C1  C2 3C2
— C  C1  C2 ,3C2  C1 ,3C2  C2 ,3C2  3 C1 , C2  0  3 A  3  4  12 .
1 1
— C 1   .
C 12
1 1
— B  C 1  B  C 1  2   .
12 6
1 0 0  1 0 0
366. Dadas as matrices A  1 0 0  e C   2 1 0  , obtéñanse as matrices X que satisfa-
 
 
1 0 0   3 2 2
   
cen XC  A  C  A .
2
Solución:
XC  A  C  A2  XC  C  A2  A  X   C  A2  A  C 1 .
 1 0 0  1 0 0   1 0 0 
    
A   1 0 0  1 0 0    1 0 0   A  A2  A   0   X  (C   A)C 1  CC 1  I .
2
A2  
 1 0 0  1 0 0   1 0 0   0
    
1 0 0
 
Solución: X  I   0 1 0  .
0 0 1
 

178. 178
1. De Selectividade — Matemáticas II
Prácticas
1 a 1 b
367. Dadas as matrices A  e B  , onde a e b son números reais, obtén os va-
0 1 0 1
lores de a e b que fan que estas dúas matrices conmute, é dicir, que fagan certa a igualdade
A B  B  A .
Solución:
1 a1 b 1 a  b 1 b1 a 1 b  a
A B      ; B A     .
 0 10 1 0 1  0 10 1 0 1 
 1 a  b  1 b  a 
A B  B  A     , e como  a, b   se verifica que a  b  b  a , entón
0 1  0 1 
as matrices A e B conmutan sempre.
368. De tres números x , y , z , sábese o seguinte: o primeiro máis o segundo suman 0: que o
primeiro máis o terceiro suman 1; que a suma dos tres é 0 e, para rematar, que o primeiro multipli-
cado por un número k máis o dobre da suma do segundo e do terceiro da 1.
368.1.Que se pode dicir do valor de k ?
368.2.Canto valen os tres números?
Solución:
 x y 0  x y 0
 x  z 1 
  x z 1
Dos datos do enunciado tense o sistema de ecuacións   .
 x yz 0  x yz 0
 kx  2  y  z   1  kx  2 y  2 z  1


368.1. Sumando as tres primeiras ecuacións tense: 3 x  2 y  2 z  1 , e comparando esta ecuación
coa terceira dedúcese, evidentemente, que k  3 .
368.2. De dúas maneiras:
 x y 0 1 1 0 0  1ª  1 1 0 0  1ª 2ª  1 0 1 1  1ª 3ª
      
—  x  z  1  1 0 1 1  2ª 1ª  0 1 1 1  2ª  0 1 1 1  2ª 3ª
x  y  z  0 1 1 1 0  3ª 1ª  0 0 1 0  3ª  0 0 1 0  3ª
      
1 0 0 1 x  1
  
 0 1 0 1    y  1 .
0 0 1 0 z  0
  
— Despexando y na primeira ecuación e z na segunda ecuación tense: y   x e z  1  x .
Substituíndo estes valores na terceira ecuación resulta: x  x  1  x  0  x  1 
 y  1 , z  0 .
Solución: x  1 , y  1 , z  0 .
369. Calcula os valores x1 , x2 , x3 , x4 , y1 , y2 , y3 , y4 que satisfacen as seguintes ecuacións:
 2 AX  3 AY  B x x2   y1 y2   2 5   18 0 
 , onde X   1 , Y  , A , B  ,
 AX  AY  C  x3 x4   y3 y4   1 3   11 1 
 17 30 
C  .
 10 18 
Solución:
Multiplicando a segunda ecuación por 2 e sumando tense:
 2 AX  3 AY  B 1ª  2 AX  3 AY  B 1ª 2ª
    AY  B  2C  AY  2C  B 

 AX  AY  C 2ª   2   2 AX  2 AY  2C
 Y  A  2C  B  .
1

179. 179
Problemas de exames Prácticas
 17 30   18 0   16 60 
2C  B  2    .
 10 18   11 1   9 35 
2 5  2 5  1  3 1   2 3 1  3
A  1  0   A1 : A     
ij 
   
 Aij 
   t
1 3  1 3   5 2  5 2  Aij 
3 5  4 13 5 1 3 5
  A  1 2 .
1
   A  
A
1 2 11 2  
 3 5  16 60   3 5   3 5 
Y  A1  2C  B        Y   2 10  .
 1 2  9 35   2 10   
Despexando X na segunda ecuación:
AX  AY  C  AX  C  AY  X  A  C  AY  .
1
 17 30   2 5  3 5   17 30   16 60   33 90 
C  AY          .
 10 18   1 3  2 10   10 18   9 35   19 53 
 3 5   33 90   4 5   4 5 
X  A1  C  AY        X   5 16  .
 1 2   19 53   5 16   
 4 5   3 5 
Solución: X   , Y  .
 5 16   2 10 
370. O sistema de ecuacións lineais adxunto depende do parámetro re-
al  .  x  y  2z 1

370.1.Discute para que valores de  é incompatible, compatible deter-  x  y  z  

x   y   z  
2 2 2
minado e compatible indeterminado.
370.2.Resólveo nos casos compatibles.
Solución:
 x  y  2z 1 1   2  1   2 1 
    
370.1.  x   y   z    A   1    , A '   1     .
 1  2  2  1  2  2  2 
x   y   z  
2 2 2
   
 2
1
A  1     4  2 3   2   2  2  2  1   2   1 ;
2
1 2 2
  0
A  0   2   1  0  
2
.
  1
— Se   0 e   1  ran  A   ran  A '   3  nº de incógnitas  sistema compatible de-
terminado.
— Se   0 :
1 0 0 1 
  1 1
A '   1 0 0 0  ; ran  A   1 ;  1  0  ran  A '  2 .
1 0 0 0  1 0
 
ran  A   1  ran  A '   2  sistema incompatible.
— Se   1 :
 1 1 1 1
 
A '   1 1 1 1 ; ran  A   1  ran  A '  nº de incógnitas  sistema compatible inde-
 1 1 1 1
 
terminado.

180. 180
1. De Selectividade — Matemáticas II
Prácticas
370.2. Resolución para os casos compatibles:
— Para   0 e   1 , sistema compatible determinado:
1  2 1 1 2
   1  
2 2 2 1 2    1   1
2
a2  4 3  2   1
x 0, y     ,
   1    1    1    1 
2 2 2 2 2 2 2 2
1  1
1  
1 2 2    1
2
 3  2 2  a 1
z    .
   1    1    1 
2 2 2 2 2 2
 1 1
Solución: x  0 , y  , z .
 
— Para   1 , sistema compatible indeterminado.
Como ran  A   ran  A '   1 , eliminamos dúas ecuacións e facendo y   e z   e pa-
sándoos ao segundo membro, queda x  1     .
Solución: x  1     , y   , z   .
371. Determina o valor do parámetro  para que o sistema de ecuacións  x y z 

lineais adxunto sexa compatible e indeterminado.  x  y  z 1
x  3y  z  0
Solución: 
 x y z   1 1 1 1 1 1  
    
 x  y  z  1  A   1 1 1 , A '   1 1 1 1  .
x  3y  z  0  1 3 1  1 3 1 0 
    
1 1 1
1 1
A  1 1 1  0 ;  2  0  ran  A   2 . Miramos agora o rango da matriz ampliada:
1 1
1 3 1
1 1 
1 1 1  2  4 ; para que ran  A '  2 ten que ser 2  4  0    2 .
1 3 0
Polo tanto, se   2 entón ran  A   2  ran  A ' , e o sistema é compatible indeterminado.
Resolvemos este sistema para   2 , aínda que non o pide o enunciado:
 x yz  2 1 1 1 2 
    x  y  z  2 1 1 1 2  z  1 1 2   
 x  y  z  1 , A '   1 1 1 1    ,    
4ª   3ª  .
x  3y  z  0  1 3 1 0   x  y  z  1 1 1 1 1  1 1 1   
  
2 1 1 2
1   1 2   3 3  2  1 1  1 1
x   , y   .
2 2 2 2 2 2
3  2 1
Solución: x  , y , z.
2 2
372. Da un exemplo dun sistema de 3 ecuacións lineais con 3 incógnitas que sexa incompatible.
Interprétao xeometricamente.
Solución:
Para que o sistema sexa incompatible, o rango da matriz de coeficientes ten que ser distinto do ran-
go da matriz ampliada.

181. 181
Problemas de exames Prácticas
x  y  z  1 1 1 1 1 1 1 1 
     1 1
 x  y  z  2  A  1 1 1 , A '  1 1 1 2  ;  1  0  ran  A   1  ran  A '   2 
z  y  z  3 1 1 1 1 1 1 3  1 2
    
 o sistema é incompatible.
Neste caso, representan graficamente tres planos paralelos.
373. Obter todas as matrices A   aij  , cadradas de orde tres, tales que a21  a32  0 e
A  A  I , sen do I a matriz identidade de orde tres e At a matriz transposta de A , da que
t
ademais se sabe que o seu determinante vale 10.
Solución:
 a11 a12 a13   a11 a12 a13   a11 0 a31   4 0 0 
       
Sexa A   0 a22 a23  ; A  A  4 I   0 a22 a23    a12 a22 0    0 4 0  
t
a a33  a     
 31 0   31 0 a33   a13 a23 a33   0 0 4 
 2a11  4  a11  2
a  0
 12  2 0 a13 
 a13  a31  0  a31  a13
  
   A 0 2 0 .
 2a22  4  a22  2  a 
 a23  0  13 0 2 

 2a33  4  a33  2

 2 0 1  2 0 1
   
A  10  8  2a13  10  a13  1  a13  1  A1   0 2 0  e A2   0 2 0  .
2 2
 1 0 2  1 0 2 
   
 2 0 1  2 0 1
   
Solución: A1   0 2 0  e A2   0 2 0  .
 1 0 2  1 0 2 
   
 x  2 y  3z  1

374. Sexa o sistema  x  ky  3z  2 .
2 x  2  k y  6 z  3
  
374.1.Discute o sistema anterior segundo os valores do parámetro k .
374.2.Resólveo para k  0 .
Solución:
 x  2 y  3z  1 1 2 3 1 2 3 1
    
374.1.  x  ky  3z  2  A   1 k 3 , A'   1 k 3 2 ;
2 x  2  k y  6 z  3  2 2  k 6 2 2 k 6 3
      
1 2 3
1 2
A 1 k 3  0,  k   ;  k 20k 2.
1 k
2 2k 6
— Se k  2  ran  A   2  ran  A '  nº de incógnitas  sistema compatible indetermi-
nado.
1 2 3 1
 
— Se k  2 : A '   1 2 3 2  .
 2 4 6 3
 

182. 182
1. De Selectividade — Matemáticas II
Prácticas
375. Discute e interpreta xeometricamente ou resolve cando sexa posible, segundo os diferentes
valores do parámetro m o sistema:
  x  y  z  1

 4 x  2 y  2 z  2m
 3 x  2 y  mz  4

Solución:
  x  y  z  1  1 1 1 1  1 1 1
  
 4 x  2 y  2 z  2m  A '   4 2 2 2m  ; A  4 2 2  2m  4 ;
 3 x  2 y  mz  4  3 2 m 4  3 2 m
  
A  0  2m  4  0  m  2 .
• Se m  2  ran  A   ran  A '   3  nº de incógnitas  sistema compatible determinado.
Trátase de tres planos que se cortan nun punto.
1 1 1 1 1 1
2 m 2 2 4 2m 2
 4 2 m 2 m 2  6 m  4  3 4 m 2m 2  2m  14
x   m 1 ; y   
4  2m 4  2m 4  2m 4  2m
 1 1 1
4 2 2 m
m m7
2
3 2 4 22  10m 5m  11
 ; z   .
m2 4  2m 4  2m m2
m2  m  7 5m  11
Solución: x  m  1 , y  , z .
m2 m2
 1 1 1 1  1 1 1
  1 1
• m  2  A '   4 2 2 4  :  2  0  ran  A   2 ; 4 2 4  2  0
 3 2 2 4  4 2 3 2 4
 
 ran  A '  3  sistema incompatible. Como ran  A   2 entón trátase de tres planos que
se cortan dous a dous.
376. Resolve o seguinte sistema de ecuacións cando sexa compatible determinado:
 x yz  2

 2x  3y  z  3 .
 kx  10 y  4 z  11

Solución:
 x yz  2 1 1 1 1 1 1 2 
    
376.1.  2 x  3 y  z  3  A   2 3 1  , A '   2 3 1 3  .
 kx  10 y  4 z  11  k 10 4   k 10 4 11 
    
1 1 1
A  2 3 1  2k  14 ; A  0  2k  14  0  k  7 .
k 10 4
— Se k  7 , entón ran  A   ran  A '   3  nº de incógnitas  sistema compatible determi-
nado.

183. 183
Problemas de exames Prácticas
— Se k  7 :
1 1 1 2  1 1 2
  1 1
A'   2 3 1 3  ;  1  0  ran  A   2 ; 2 3 3  0  ran  A '  2 .
 7 10 4 11 2 3 7 10 11
 
ran  A   2  ran  A '  nº de incógnitas  sistema compatible indeterminado.
376.2. Resólvese o sistema para k  7 , que é cando é compatible determinado.
2 1 1 1 2 1
3 3 2 2 3 1
11 10 4 0 k 11 4 7k 1
x   0; y    ;
2k  14 2k  14 2k  14 2k  14 2
1 1 2
2 3 3
k 10 11 21  3k 3
z   .
2k  14 2k  14 2
1 3
Solución: x  0 , y  , z  .
2 2
 1 1 2  1 3 5 
377. Comproba que a matriz inversa de A   0 2 
 1 1 
1  é a matriz A   1 1 1  .
1 1 4
 1

 2 2 2 
 x  1
   
Utiliza esa matriz para resolver o sistema A  y    2  .
 z   3
   
Solución:
377.1. Unha matriz e a súa inversa cumpren que A  A1  A1  A  I .
 1 1 2   1 3 5  4 0 0 1 0 0
1   1   
A  A1   0 2 1   1 1 1    0 4 0  0 1 0  I .
4   4 0 0
 1 1 1   2 2 2   4 0 0
  1

 1 3 5  1 1 2  4 0 0 1 0 0
1 1   1   
A  A   1 1 1  0 2 1    0 4 0  0 1 0  I .
4   4 0 0
 2 2 2  1 1 1   4 0 0
  1

Polo tanto as matrices citadas son inversas.
 x  1  x  1
       
377.2. Resólvese matricialmente o sistema A  y    2  :  y   A1   2  
 z   3  z   3
       
 x  1 3 5   1   2   x   2
  1         
  y    1 1 1    2    1    y    1  .
z 4       z  0
   2 2 2   3   0     

184. 184
1. De Selectividade — Matemáticas II
Prácticas
 1 2 0
378. Sexa a matriz A   1 1 k 
 
 0 1 2
 
378.1.Indica para que valores do parámetro k admite inversa a matriz A .
378.2.Calcula A1 en función de k .
Solución:
378.1. Unha matriz admite inversa cando o seu determinante é distinto de cero.
1 2 0
A  1 1 k  6  k ; A  0  6  k  0  k  6 .
0 1 2
Se k  6 tense que A  0  existe a matriz inversa A1 .
1 k 1 k 1 1 
 
1 2 0 2 0 1
 1 2 0 2 0 2 k 2 1 
  1 1 0 1 2   
378.2. A   1 1 k       4 2 1
 0 1 2
  ij 
1 2 0 2 0 1    2k
     k 3 
2 0 1 0 1 2
1 k 1 k 1 1 
 
 2  k 2 1  2 k 4 2 k  2 k 4 2k 
 2    3    4 1  
  4  2 1  t
 2 2  k   2 2 k  .
 Aij 
 2k  k 3   Aij 
 1 
A
6k 
 1
   1 3   1 3 
 2  k 4 2k 
1  
A 1  2 2 k  .
6k   1 1 3 
 
378.3.Para k  0 o sistema é compatible indeterminado.
1 2 3 1
  1 2
A'   1 0 3 2 ;  2  0  eliminamos a terceira fila.
 2 2 6 3 1 0
 
 x  2 y  3z  1 1 2 3 1  z  1 2 1  3  1ª  1 2 1  3 
     
4ª 3ª    
 x  3z  2  1 0 3 2 1 0 2  3  2ª 1ª  0 2 1 
1ª 2ª  1 0 2  3   x  2  3

    1 .
2ª  0 2 1  y   2

1
Solución: x  2  3 , y   , z   .
2

185. 185
Problemas de exames Prácticas
 x yz  a

379. Discute, segundo os valores do parámetro a , o sistema  x  1  a  y  z  2a .

 x  y  1  a  z  0
Solución:
 x yz  a 1 1 1  1 1 1 a
    
 x  1  a  y  z  2a  A   1 1  a 1  , A '  1 1  a 1 2a  .
 1 1 1  a  1 1 1  a 0 
 x  y  1  a  z  0    
1 1 1
A  1 1 a 1  a2 ; A  0  a2  0  a  0 .
1 1 1 a
— Se a  0  ran  A   ran  A '   3  nº de incógnitas  sistema compatible determinado.
— Se a  0 .
1 1 1 0 
 
A '   1 1 1 0   ran  A   ran  A '   1  nº de incógnitas  o sistema é compatible inde-
1 1 1 0 
 
terminado.
Como as tres filas son proporcionais  ran  A   1 .
3 1
 3  0  ran  A '  2 .
3 2
ran  A   1  ran  A '   2  sistema incompatible.
380. Sexa o sistema de ecuacións adxunto.   m  1 x  y  z  3

380.1.Discúteo segundo os distintos valores de m .  mx   m  1 y  3z  2m  1

380.2.Resólveo cando sexa compatible indeterminado.  x  2 y   m  2 z  4
Solución:
  m  1 x  y  z  3  m 1 1 1 
  
380.1.  mx   m  1 y  3z  2m  1  A   m m 1 3 ,
  1 m  2
 x  2 y   m  2 z  4  
2
 m 1 1 1 3  m 1 1 1
 
A'   m m 1 3 2m  1  ; A  m m 1 3  m3  5m 2  2m  8 .
 1 2 m2 4  1 2 m2
 
A  0  m3  5m 2  2m  8  0   m  4  m  2  m  1  0  m  4 , m  2 . m  1 .
— Para m  4 , m  2 e m  1  ran  A   ran  A '   3  nº de incógnitas  sistema
compatible determinado.

186. 186
1. De Selectividade — Matemáticas II
Prácticas
 2 1 1 3 
 
— Para m  1  A '   1 2 3 3  ;
1 2 3 4 
 
2 1
 5  0  ran  A   2 .
 1 2
2 1 3
1 2 3  5  0  ran  A '  3 .
1 2 4
ran  A   2  ran  A '  3  sistema incompatible.
1 1 1 3
 
— Para m  2  A '   2 1 3 3  ;
1 2 0 4
 
1 1
 1  0  ran  A   2 .
2 1
1 1 3
2 1 3  2  0  ran  A   2  ran  A '  3  sistema incompatible.
1 2 4
 3 1 1 3
 
— Para m  4  A '   4 3 3 7  .
1 2 2 4
 
3 1
 5  0  ran  A   2 .
4 3
3 1 3
4 3 7  0  ran  A '  2 .
1 2 4
ran  A   2  ran  A '  nº de incógnitas  sistema compatible indeterminado.
380.2. Resólvese cando m  4 , que é cando o sistema é compatible indeterminado.
 3x  y  z  3
 3 1
 4 x  3 y  3 z  7 ; como  5  0 suprimimos a terceira fila e pasamos a z a termo in-
 x  2 y  2z  4 4 3

 3x  y  z  3 3 1 1 3 z  3 1 3 
dependente:      
4ª 3ª  .
4 x  3 y  3z  7 4 3 3 7  4 3 7  3 
3 1 3 3
7  3 3 2 4 7  3 9  5
x  , y  , z.
5 5 5 5
2 9  5
Solución: x  , y  , z.
5 5

187. 187
Problemas de exames Prácticas
381. Sexa o sistema de ecuacións adxunto.  x  2 y  3z  1

381.1.Resolve o sistema de ecuacións.  2x  y  z  2
381.2.Busca dúas constantes  e  de maneira que ao engadir ao sistema adxunto unha terceira
ecuación 4x  y   z   o sistema resultante sexa compatible indeterminado.
Solución:
 x  2 y  3z  1 1 2 3 1 1 2 z   1 2 1  3 
381.1.   A'   ,  3  0  
4ª 3ª  .
 2x  y  z  2  2 1 1 2  2 1 2 1 2  
1  3 2 1 1  3
2   1 3  5 3  5 2 2 7 7
x   , y   , z.
3 3 3 3 3 3
3  5 7
Solución: x  , y , z
3 3
 x  2 y  3z  1 1 2 3 1 
  
381.2.  2 x  y  z  2  A '   2 1 1 2  .
5 x  y   z   5 1   
  
Para que o sistema siga sendo compatible indeterminado debe cumprirse que
ran  A   ran  A '  2 , polo que os seguintes determinantes deben ser cero.
1 2 3
2 1 1  3  18  0    6 .
5 1 
1 2 1
2 1 2  3  15  0    5 .
5 1 
Solución: teñen que ser   6 e   5 .
 3 1  1 1 
382. Obtén a matriz X tal que A1 XA  B , sendo A   , B  .
 2 1 2 1 
Solución:
A1 XA  B   X   ABA1  X  ABA1 .
AA1 AA1
I I
 3 1 3 1  3 1 1  1 2   2
A ; A   1  0   A1 . A    
ij 
    Aij 

 2 1 2 1  2 1  1 3
 1 2   3  1 1  4 1  1 1  1 1  1 1 1
   
 Aij 
t  A     A  .
 1 3   2 3 1  2 3   2 3    2 3 
 3 1  1 1  1 1   5 2  1 1   9 11 
X  ABA1  X        .
 2 1  2 1  2 3   4 1  2 3   6 7 
 9 11 
Solución: X   .
 6 7 

189. 189
Cuestións, exercicios e problemas Prácticas
CUESTIÓNS, EXERCICIOS E PROBLEMAS
 7 2   3 0 
1. Dadas as matrices A    e B  , calcula:
 3 1  2 2 
1.3. B    A 
1
1.1. 2 A  3B 1.2. A B 1.4. A  A  B  B
2
 1 2 1   4 0 1
2. Dadas as matrices A    e B  comproba que:
 3 0 1  2 1 0 
 A  B   At  Bt .
t
2.1.
 4 A  4  At .
t
2.2.
 3 1   1 2 
3. Dadas as matrices A    e B  , comproba que  A  B   B  A .
t t t
 2 3   0 1
 1 2
4. Calcula a matriz inversa de A   .
 1 0 
 1 2  1 0   0 1 
1
5. Coas matrices A    e B  e as súas inversas, A   1


1  e
 1 0   2 4  2 2
 1 0 
B 1   1 
1  , comproba que:

 2 4
 A  B
1
5.1.  A1  B 1 .
 A B
1
5.2.  B 1  A1 .

6. Estuda a dependencia ou independencia lineal dos seguintes vectores: u1  1, 1,3, 7  ,
  
u2   2,5, 0, 4  e di cál é o rango da matriz cuxas columnas son u1 e u2 .

7. Estuda a dependencia ou independencia lineal dos seguintes vectores: v1  1, 0, 2,3,1 ,
    
v2   2, 1,3, 0, 2  v3   4, 1, 1, 6, 4  e di cal é o rango da matriz se as súas filas son v1 , v2 , v3 .
8. Estuda o rango da seguinte matriz, e di o número de columnas que son LI:
1 1 1 2 
 
A   2 3 5 11  .
 1 1 6 29 
 
2 1 3 
 
9. Estuda o rango da seguinte matriz, e di o número de columnas que son LI: A   4 2 1 .
6 3 2 
 
10.Estuda o rango da seguinte matriz, e di o número de columnas que son LI:
 1 8 21 18 
 
15 15 13 18 
A .
 4 17 2 19 
 
 18 9 8 8 

190. 190
Prácticas para resolver problemas
Prácticas
11.Estuda o rango da seguinte matriz, e di o número de columnas que son LI:
1 1 1 1 
 
1 1 1 1
A .
 1 1 1 1
 
 1 1 1 1
 1 4 8 
12.Calcula a inversa da matriz A   2 1 4  .
 
  3  2 7 
 
 4 6 7 
13.Calcula a inversa da matriz A   7 5 7  .
 
 9 4 6 
 
 5 3 3 
14.Calcula a inversa da matriz A   7 3 3  .
 
 8 5 6 
 
 1 1 0 
15.Calcula a inversa da matriz A   5 6 9  .
 
 7 6 8 
 
 6 5 7 
16.Calcula a inversa da matriz A   2 9 8  .
 
 3 7 7 
 
17.Cal é a matriz inversa da matriz unidade?
 4 7 2 3 
 
7 8 6 6 
18.Calcula a inversa da matriz A  
 5 6 1 5 
.
 
 4 6 4 3 
1 0
19.Calcula B n sendo B   .
 0 3
 6 7 6 9 
 
8
20.Calcula a inversa da matriz A  
3 1 4
.
1 6 3 9 
 
 2 0 4 3 
 4 5 1 
21.Dada a matriz A   3 4 1  , calcula A2 , A3 , …, A128 .
 
 3 4 0 
 
22.Comproba que A2  2 A  I , sendo I a matriz de unidade de orde 3 e coa seguinte matriz
 5 4 2 
 
A   2 1 1  . Utiliza esa igualdade para calcular A4 .
 4 4 1
 
 0 2 1 
23.Dada a matriz A   0 0 1  , proba que A3 é a matriz nula.
 
0 0 0 
 
Demostra despois que I  A  A é a matriz inversa de I  A .
2

191. 191
Cuestións, exercicios e problemas Prácticas
 3 0 8
 
24.Dada a matriz A   3 1 6  , comproba que  A  I   0 e expresa A2 como combina-
2
 2 0 5 
 
ción lineal de A e I.
1 1
7
1 7
25.Calcula A sendo A   0
n
 1

0.
0 1
 0 
 5 0 2
 
26.Dada a matriz A  0 0 1 .
 3 1 0
 
 1 2 0
 5 5 
26.1. Comproba que a inversa de A é A    3
1 6 1 .
 5 5 
 0
 1 0

 
26.2. Calcula a matriz X que verifica XA  B , sendo A a matriz anterior e B  1 2 3 .
27.Estuda a dependencia lineal do seguinte conxunto de vectores segundo os valores do paráme-
   
tro t : v1   2, 2, 0, 0,  , v2  1,5,3,3,  , v3  1,1, t ,1 , v4   2, 6, 4, 4 
 1  1 1 
 
28.Estuda o rango da seguinte matriz segundo o valor do parámetro k : M   1 1 2  .
2 1 k 
 
 2 1 4 
29.Estuda o rango da seguinte matriz segundo o valor do parámetro k : M   2 1 3  .
 
 1 k 2
 
 1 3 2 1 
 
30.Estuda o rango da seguinte matriz segundo o valor do parámetro k : M  2 6 4 k  .
 4 12 8 4 
 
 1 1 0 2 
31.Estuda o rango da seguinte matriz segundo o valor do parámetro k : M   1 3 1 0  .
 
 2 10 3 k 
 
32.Calcula o valor de k para que o rango da matriz A sexa 2.
 5  5 6 
 
A   5 3 1 
0 k 7
 
 2 0  1 1
33.Calcula X e Y sabendo que 5 X  3Y    e 3 X  2Y   .
 4 15   2 9 
 2 1
34.Dada a matriz A  , calcula dous números reais m e n tales que A  mA  nI  0 .
 2 3
35.Determina, se é posible, un valor k para que a matriz  A  kI  sexa a matriz nula, sendo:
2
 0  1 2 
 
A   1 0 2  .
1 1 3
 

192. 192
Prácticas para resolver problemas
Prácticas
36.Unha compañía de mobles fabrica butacas, randeeiras e cadeiras, e cada unha delas de tres
modelos: E (económico), M (medio) e L (luxo). Cada mes produce 20 modelos E, 15 M e 10 L de
butacas; 12 modelos E, 8 M e 5 L de randeeiras e 18 modelos E, 20 M e 12 L de cadeiras. Repre-
senta esta información nunha matriz e calcula a produción dun ano.
37.Nun edificio hai tres tipos de vivendas: L3, L4 e L5. As vivendas L3 teñen 4 fiestras peque-
nas e 3 grandes; as L4 teñen 5 fiestras pequenas e 4 grandes, e as L5, 6 pequenas e 5 grandes. Cada
fiestra pequena ten 2 cristais e 4 bisagras, e as grandes, 4 cristais e 6 bisagras.
37.1. Escribe unha matriz que describa o número e tamaño de ventás de cada vivenda e outra que
exprese o número de cristais e bisagras de cada tipo de fiestra.
37.2. Calcula a matriz que expresa o número de cristais e de bisagras de cada tipo de vivenda.
38.Un industrial fabrica dous tipos de lámpadas: transparentes (T) e opacas (O). De cada tipo
fanse catro modelos: M 1 , M 2 , M 3 e M 4 .
T O
M1  300 200 
 
M2  400 250  Esta táboa amosa a produción semanal de lámpadas de cada tipo e modelo.
M3  250 180 
 
M4  500 300 
A porcentaxe de lámpadas defectuosas é o 2% no modelo M 1 , o 5% no M 2 , o 8% no M 3 e o 10%
no M 4 . Calcula a matriz que expresa o número de lámpadas transparentes e opacas, boas e defec-
tuosas, que se producen.
 a 1 0 1 0 1
39.Calcula todas as matrices X da forma  0 b 1  tales que X   0 1 0  .
  2
 
0 0 c  0 0 1
   
40.Xustifica por qué non é certa a igualdade:  A  B    A  B   A2  B 2 cando A e B son dúas
matrices calquera.
0 3 4
41.Dada a matriz A   1 4 5  proba que se verifica que A3  I  0 e utiliza esta igualda-
 
 1 3 4 
 
10
de para obter A .
42. Sexa A unha matriz de dimensión 2  3 :
42.1. Existe unha matriz B tal que A  B sexa unha matriz dunha soa fila?
42.2. E para B  A ?
 1 0 0
Pon un exemplo para cada caso, sendo: A   .
 2 1 0
43.Sexan A e B dúas matrices cadradas de igual tamaño. Se A e B son simétricas, ¿éo tamén
o seu produto A  B ? Se a resposta é afirmativa, xustifícaa, e se é negativa, pon un contraexemplo.
44.Sexan A   aij  , B   bij  , C   cij  . Que condicións deben cumprir p , q e r para
m, n n, p q, r
que se poidan efectuar as seguintes operacións?
44.1. A  C  B .
44.2. A   B  C  .
45.A traza dunha matriz cadrada A de orde 2 é tr  A  a11  a22 . Proba que se A e B son dúas
matrices cadradas de orde 2, daquela tr  A  B   tr  B  A  .
46.Sexa A unha matriz de dúas filas e dúas columnas o rango das cales é 2. Pode variar o seu
rango se lle engadimos unha fila ou unha columna?

193. 193
Cuestións, exercicios e problemas Prácticas
47.Unha matriz de 3 filas e 3 columnas ten rango 3.
47.1. Como pode variar o rango se quitamos unha columna?
47.2. Se suprimimos unha fila e unha columna, ¿podemos asegurar que o rango da matriz resultan-
te será 2?
48.Demostra que se unha matriz verifica A2  0 (0 é a matriz nula), daquela A non pode ter in-
versa.
49.É posible engadir unha fila á matriz seguinte, de forma que a nova matriz teña rango 4?
1 2 0 3 
 
A   0 1  1 2  .
 2 7 3 0 
 
Razoa a resposta.
 1 2 1 
 
50.Estuda o rango da matriz, segundo os valores de a : M  2 4 a  .
 a 2 1 
 
 a 1 0
51.Estuda o rango da matriz, segundo os valores de a : A   0 1 3  .
 
 a 1 1
 
52.Sexan A e B dúas matrices cadradas da mesma orde. Da igualdade A  B  A  C non se pode
deducir, en xeral, que B  C .
52.1. Proba esta afirmación buscando dúas matrices B e C distintas tales que A  B  A  C , sendo
 1 1
A .
 1 1
52.2. Que condición debe cumprir a matriz A para que de A  B  A  C se poida deducir que
BC?
53.Dicimos que unha matriz cadrada é máxica de suma k cando a suma dos elementos de cada
fila, así como os de cada columna e os das dúas diagonais é, en todos os casos, igual a k . Canto
vale k se unha matriz máxica é antisimétrica? Calcula todas as matrices máxicas antisimétricas de
orde 3.
54.Obtén todas as matrices máxicas simétricas de orde 3 para k  0 .
55.Sabemos que unha matriz A é simétrica se At  A . Unha matriz chámase antisimétrica se
 At  A . (Tanto as matrices simétricas coma as antisimétricas son, obviamente, cadradas). De-
mostra que nunha matriz antisimétrica todos os elementos da diagonal principal son ceros.
56.Obtén todas as matrices máxicas simétricas de orde 3 para k  3.
57.Das seguintes operacións con determinantes de orde 2  2 , sinala as que son correctas e, de
ser o caso, enuncia as propiedades que se utilizan:
a a 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2
57.1. 0 57.2. 4 57.3. 2 57.4. 2
b b 2 6 1 3 2 6 1 3 2 6 1 3
m n p m
58.Se  5 , xustifica cal é o valor do determinante .
p q q n
m n 1 n
59.Se  5 , xustifica cal é o valor do determinante m.
p q mp mq
m n m 5m
60.Se  5 , xustifica cal é o valor do determinante .
p q p 5p

194. 190
Prácticas para resolver problemas
Prácticas
61.Substitúe os puntos suspensivos polos números axeitados para que se verifique a igualdade
3 7 2 7  7
  .
5 3 3 3  3
62.Substitúe os puntos suspensivos polos números axeitados para que se verifique a igualdade
4 3 6 1  
  .
2 0 2 0 2 0
3 4 6
63.Calcula o valor do determinante 2 1 1 .
5 3 5
sen  x  cos  x 
64.Resolve a ecuación 0.
1 1
1 8 1
65.Calcula o valor do determinante 1 7 0 .
1 6 1
7 8 0
66.Calcula o valor do determinante 0 7 3 .
1 0 1
0 3 1
67.Calcula o valor do determinante 2 0 2 .
3 4 0
0 4 1
68.Calcula o valor do determinante 1 2 1 .
3 0 1
1 0 1
69.Calcula o valor do determinante 2 1 1 .
1 1 0
a 1 1 1
70.Calcula o valor de a que anula o determinante 0 a  6 3 .
a 1 2 0
2 1 1
71.Calcula o valor de a que anula o determinante 0 2 2 .
2 3 a2
5 5 7 7
4 3 4 0
72.Calcula o valor do determinante .
2 3 3 9
0 2 5 9
8 2 8 5
4 6 0 4
73.Calcula o valor do determinante .
4 2 9 9
6 7 2 7

195. 191
Cuestións, exercicios e problemas Prácticas
a 1 1 1
74.Calcula o valor de a que anula o determinante 1 2 a.
1 a 2
3 5 1 
 
 6 10 2  .
75.Calcula o rango da matriz A  
1 0 1 
 
4 5 0 
1 0 1 2
2 3 2 2
76.Calcula o valor do determinante .
2 4 2 1
3 1 5 3
1 1 2 0
2 1 3 1
77.Calcula o valor do determinante .
3 1 4 3
2 1 7 0
1 2 3 4
2 1 2 1
78.Calcula o valor do determinante .
1 2 4 5
3 4 1 2
1 3 2 1
2 2 1 3
79.Calcula o valor do determinante .
0 5 10 4
7 8 9 2
8 25 40
80.Xustifica, sen desenvolver, que o seguinte determinante é nulo 2 5 3 2 .
0 27 0
5 5 5
81.Xustifica, sen desenvolver, que o seguinte determinante é nulo a b c .
bc ac ab
2 1 0 
 
82.Estuda o rango da matriz segundo o valor do parámetro A   1 1 2  .
3 1 a 
 
83. Para que valores de a se anula este determinante?
1 1 1 2
1 2 3 8
A . Calcula o rango da matriz A nos seguintes casos: a  1 , a  0 , a  2
a 1 1 1
1 1 1 2
5 2 1
84.Proba se desenvolver que A  4 7 6 é múltiplo de 5.
6 3 9

196. 192
Prácticas para resolver problemas
Prácticas
1 1 1 2 
 
1 2 3 8 
85.Estuda o rango da matriz segundo o valor do parámetro A  
 a  1 1 1 
.
 
 1 1 1 2 
a b c
86.Para que valores de x se anula o determinante a x c  0 .
a b x
 a 1 1 
87.Estuda o rango da matriz segundo o valor do parámetro A .
 1  a 2a  1
x 1 1 0
x x 1 1
88.Para que valores de x se anula o determinante 0.
1 1 x 1
1 1 0 x
 t 2 2
89.Determina, segundo os valores de t , o rango da matriz A   2 t 0  .
 
1 t t 
 
t  3 4 0 
90.Determina, segundo os valores de t , o rango da matriz A   0 t  1 1  .


  4 4 t  1 
 
 1 1 1 0 
91.Determina, segundo os valores de t , o rango da matriz A   2 1 1 0  .


 t 6 3  t 9  t 
 
 t t 0 
92.Determina, segundo os valores de t , o rango da matriz A   2 t  1 t  1  .


 2t  1 0 t  3 
 
3t 3 2t 
 
2 0 1 
93.Determina, segundo os valores de t , o rango da matriz A  
 1 3 2  t 
.
 
t  2 0 t 
x x 1 x  2
94.Proba, sen desenvolvelo, que x x3 x4  0.
x x5 x6
t 1 1 2
95.Determina, segundo os valores de t , o rango da matriz A   2 t t 2


1 .
2 1 1 2
 
a a a a
2 a a a
96.Calcula, en función de a , o valor do determinante A  .
3 2 a a
4 3 2 a

197. 193
Cuestións, exercicios e problemas Prácticas
3 x x x
x 3 x x
97.Calcula o valor deste determinante dando o resultado factorizado .
x x 3 x
x x x 3
1 2 3 4
1 a 2  a 3  a 4  a
98.Proba, sen desenvolvelo, que 0.
a a a a
5 6 7 8
1 1 1 1 1 1
99.Sabendo que a b c  5 , calcula o valor de a  7 b  7 c  7 .
x y z x y z
2 2 2
a 1 a a a
a a 1 a a
100. Calcula, en función de a , o valor do determinante A  .
a a a 1 a
a a a a 1
a b c
 
101. Considera a matriz A   2a b 3c  , onde a, b e c son non nulos.
 3a 0 4c 
 
101.1.Determina o número de columnas de A que son linealmente independentes.
101.2.Calcula o rango de A.
102. As matrices A e B teñen 3 filas e 12 columnas pero, no proceso de edición, algunhas des-
tas borráronse.
 1 1 1      2 1 3    
   
A   3 1 0     B   3 0 1     .
 7 5 2      5 4 0   
   
102.1.Pode averiguarse algo sobre os posibles valores do seu rango?
102.2.Chamándolle C á matriz que ten como columnas as 24 que forman as dúas matrices A e
B , ¿cal será o rango de C ?
103. Estuda o rango da seguinte matriz para os distintos valores de a, b e c:
 5 5 5 
 
M  a b c 
b  c a  c a  b
 
 cos    sen   0 
104. Estuda o rango da matriz A   sen   cos   0  .
 
 0 0 1
 
105. Cal é o valor do determinante da matriz unidade de orde n ? E o dunha matriz triangular de
orde n ? Xustifica as túas respostas.
1 1 0 0 1
1 0 0 1 1
106. Calcula o valor do determinante 0 1 1 0 1.
0 1 0 1 1
1 1 1 1 1

198. 194
Prácticas para resolver problemas
Prácticas
107. Comproba que o determinante dunha matriz de orde 3 é igual ao da súa transposta.
108. Saberías dicir cal destes dous produtos pode formar parte do desenvolvemento dun deter-
minante de orde 4?
108.1. a12  a23  a31  a42 .
108.2. a14  a41  a23  a32 .
109. Comproba que det  A  B   det  A  det  B  , sendo A e B dúas matrices diagonais de orde 3.
det  A1  
1
110. Xustifica que .
det  A 
111. Sexa A é unha matriz cadrada calquera de orde 4.
Pode coñecerse o valor de a21 A11  a22 A12  a23 A13  a24 A14 sen coñecer os elementos da matriz?
112. Dadas as matrices A e B de orde 4  4 con A  3 e B  2 , calcula A1 , B t  A e
 AB 1 t
. Xustifica as túas respostas.
113. Sexa unha matriz cadrada A tal que A  1 , e que o 2 A  8 . Cal é a orde da matriz
A ? Razoa a túa resposta.
114. Escribe dúas matrices A e B  M 2 2 tales que:
114.1. det  A  B   det  A   det  B  .
114.2. det  A  B   det  A   det  B  .
115. Sexa A unha matriz cadrada tal que A2  A . Demostra que det  A   0 ou det  A   1 .
116. Se A e B son dúas matrices cadradas da mesma orde, ¿verifícase que A  B  B  A ?
Xustifica a túa resposta.
a2 ab b2
117. Demostra, sen desenvolver o determinante, que 2a a  b 2b   a  b  .
3
1 1 1
a b c
118. Se a matriz
A  ten rango 2, indica que rango terá a matriz de orde seguinte
m n p
 a b c 
 
B m n p .
m  a n  b p  c
 
119. Se lles chamamos c1 , c2 , c3 aos vectores columna dunha matriz A , o determinante pode
designarse así: det  A   det  c1 , c2 , c3  . Se det  A   5 , ¿cal será o valor destes determinantes?
119.1. det  c1  3c2 , c2 , c3  .
119.2. det  c1 , c2 , 2c3  .
119.3. det  c1 , c1  c2 , c3  .

199. 195
Cuestións, exercicios e problemas Prácticas
120. Sexa unha matriz.
120.1.Define a qué se lle chama rango dunha matriz.
120.2.Indica, razoando a túa resposta, cáles das seguintes afirmacións son certas:
120.2.1. ran  A   ran   A  (  A é a matriz oposta de A).
120.2.2. ran  A   ran  At  ( At é a matriz transposta de A).
120.2.3. ran  A  B   ran  A   ran  B  .
120.2.4. ran  A2    ran  A   .
2
120.2.5. ran  A   ran  A1  se A ten inversa ( A1 é a matriz inversa de A).
121. Determina as matrices cadradas de orde 2 que teñan como elementos números enteiros, con
determinante igual a 1 , e tal que a súa inversa coincida coa súa transposta.
 Fai A  At  I e A  1 .
122. Na seguinte demostración de que A  B  A  B feita para determinantes de orde 2.
a a12   b11 b12  a11b11  a12b21 a11b12  a12b22
A  B   11    
 a21 a22   b21 b22  a21b11  a22 b21 a21b12  a 22b22
a b a11b12 a11b11 a12 b22 a12 b21 a11b12 a12b21 a12b22
 11 11   
a21b11 a21b12 a21b11 a22 b22 a22 b21 a21b12 a22b21 a22b22
       
       
1  2 3 4 
122.1.Comproba que os determinantes 1 e  4  son ambos cero.
122.2.En  2  e en  3 saca factor común aos elementos bij . Chegarás a A  B , como se quería
demostrar.
123. A sucesión a1  1 , a2  2 , a3  3 , a4  5 , a5  8 , … ten a peculiaridade de que cada ter-
mo, a partir do terceiro, se obtén sumando os dous anteriores: an  an  2  an 1 , para n  3 .
123.1.Demostra polo método de indución que:
1 1 0 0  0 0
1 1 1 0  0 0
an  0 1 1 1  0 0
     
0 0 0 0  1 1
 Comproba que a1  1 e que a2  2 . Comproba que an  an 1  an  2 , desenvolvendo o determi-
nante pola 1ª columna.
123.2.Tendo en conta o anterior, di o valor do seguinte determinante:
1 1 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 1 0 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0
0 0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 0 0 1 1

200. 190
Prácticas para resolver problemas
Prácticas
 3x  y  2
 x  y 1
124. Busca, se existe, a solución do seguinte sistema e interprétao graficamente 
 .
 5x  y  4
2 x  2 y  1

x  2 y  1
125. Busca, se existe, a solución do seguinte sistema e interprétao graficamente  2 x  y  3 .

5x  y  8

126. Comproba que este sistema é incompatible e razoa cál é a posición relativa das tres rectas
que representa:
 x  2y  5

 3x  y  1 .
2 x  4 y  0

 x  2 y  0

127. Resolve e interpreta xeometricamente o sistema  2 x  y  1 .

3
 2 x  3y  0

2 x  y  7
128. Resolve o sistema recoñecéndoo previamente como graduado  .
 11 y  69
 y  z 1
129. Resolve o sistema recoñecéndoo previamente como graduado 
 9z  2 .
3 x  y  z  3

x  y  t  2
130. Resolve o sistema recoñecéndoo previamente como graduado  y  z  4 .

y t  z 1

2 x  3 y  z  0
131. Resolve o sistema recoñecéndoo previamente como graduado  3x  y  0 .

 2y 1

 3x  2 y  z  1
132. Resolve o sistema 5 x  3 y  3z  3 .

 x yz 0

 2x  y  7
133. Transforma en graduado e resolve o sistema  .
5 x  3 y  17
 3x  4 y  z  3
134. Resolve o sistema 6 x  6 y  2 z  16 .

 x  y  2 z  6

 x  2y  z  3
135. Razoa se este sistema ten solución e interprétao xeometricamente  .
2 x  4 y  2 z  1
x  2 y  z  3
136. Resolve, se é posible, o sistema  .
 2 x  y  z  1
 x  3y  6z  3

137. Razoa se este sistema ten solución e interprétao xeometricamente
 
 2 .
 3 x  2 y  4z  2


201. 191
Cuestións, exercicios e problemas Prácticas
x  2 y  z  9

138. Resolve, se é posible, o sistema  x  y  z  10 .
2 x  y  z  5

 x  2 y  z  1
139. Resolve, se é posible, o sistema 2 x  4 y  2 z  3 .

 x yz 2

x  y  z  3

140. Clasifica o sistema en compatible ou incompatible x  y  z  3 .
 z0

x  y  z  t 1
x  y  z  t 0
141. Resolve polo método de Gauss 
 .
x  y  z  t  1
x  y  z  t
 2
 x  2 z  11
 x y 3
142. Resolve polo método de Gauss 
 .
 y  z  13
 x  y  z  10

 x yz 3
143. Clasifica o sistema en compatible ou incompatible 2 x  y  z  2 .

 x y  z 1

 2 x  y  3z  0

144. Resolve polo método de Gauss  4x  2 y  z  0 .
6 x  3 y  2 z  0

 y  z 1
145. Transforma en graduado e resolve o sistema  x  2 y  z  2 .

 3x  y  z  3

 x yz  2

146. Estuda e resolve polo método de Gauss  2 x  3 y  5 z  11 .
 x  5 y  6 z  29

2 x  3 y  z  0
147. Estuda e resolve polo método de Gauss  x  2 y  z  0 .

 4x  y  z  0

  x  y  3z  2

148. Estuda e resolve polo método de Gauss  4x  2 y  z  5 .
2 x  4 y  7 z  1

 x  2y  z  1
149. Discute mediante Gauss o sistema  mx  y  z  1 .

3 x  4 y  2 z  3

 x  y  3z  14t  0

150. Estuda e resolve polo método de Gauss  2 x  2 y  3z  t  0 .
3 x  3 y  5 z  6t  0


202. 192
Prácticas para resolver problemas
Prácticas
 x yz  k
151. Discute mediante Gauss o sistema  x  y  2 z  1 .

 2 x  y  kz  0

3x  2 y  az  1
152. Discute mediante Gauss o sistema  5 x  3 y  3z  2 .

 x  y  z 1

 x yz  2

153. Discute mediante determinantes o sistema 2 x  3 y  2 z  8 .
 4 x  y  az  b

 2x  y  4

154. Discute mediante Gauss, e resolve cando sexa posible, o sistema  x  y 2  2 .


 x  ky  2

 x  ay  z  a  2
155. Discute en función de a , e resolve para o caso a  1 , o sistema  x  y  az  2  a  1 .

 ax  y  z  a

 x  3 y  z  1
 x  5 y  3z  3
156. Resolve polo método de Gauss 
 .
 x  y  z 1
3 x  7 y  5 z  5

 x  y 1

157. Discute o sistema e interprétao xeometricamente 2 x  3 y  5z  16 .
 x  y  z  0

 x  y  2z  2
 2 x  y  3z  1
158. Resolve para os valores de m que o fan compatible 
 .
 3x  z  3
 x  2 y  5z  m

 x yz 0
159. Discute e resolve en función do parámetro 3x  2 y  az  5 .

 2x  y  z  3

 x  2y  3
160. Resolve, usando Gauss, para os valores de m que o fan compatible  2 x  y  1 .

4 x  3 y  m

2 x  2 y  z  4
161. Considera o sistema de ecuacións  x  2 y  2 z  1 .

 x  z 1

161.1.Existe unha solución na que y sexa igual a 0?
161.2.Resolve o sistema.
161.3.Interprétao xeometricamente.
x  y  z  a
162. Para que valores de a e b será compatible o sistema  ? Será determinado?
x  y  z  b

203. 193
Cuestións, exercicios e problemas Prácticas
163. Se o rango da matriz dun sistema de tres ecuacións con tres incógnitas é dous e o da matriz
ampliada tres, ¿que interpretacións xeométricas lle podemos dar a ese sistema? Pon un exemplo
dun sistema desas características e a súa interpretación xeométrica.
164. Calcula un número de tres cifras sabendo que estas suman 9; que, se ao número dado se lle
resta o que resulta de inverter a orde adas súas cifras, a diferenza é 198, e que a cifra das decenas é
a media aritmética das outras dúas.
 x  2 y  3z  1

165. Considérase o sistema de ecuacións lineais  x  ay  3z  2 .
2 x  2   y  6 z  3
  
165.1.Atopa un valor de a para o cal o sistema sexa incompatible.
165.2.Discute se existe algún valor do parámetro a para o cal o sistema sexa compatible determi-
nado.
165.3.Resolve o sistema para a  0 .
166. Proba que, se nun sistema de ecuacións S lle sumamos a unha ecuación outra multiplicada
por un número, o sistema resultante, S ' , é equivalente ao primeiro.
167. Dous amigos invisten 20000 € cada un. O primeiro coloca unha cantidade A ao 4% de in-
terese, unha cantidade B ao 5% e o resto ao 6%. O outro inviste a mesma cantidade A ao 5%, a
B ao 6% e o resto ao 4%.
Determina as cantidades A , B e C sabendo que o primeiro obtén uns intereses de 1050 € e o se-
gundo de 950 €.
168. Unha tenda vendeu 600 exemplares dun videoxogo por un total de 6384 €. O prezo orixinal
era de 12 €, pero tamén vendeu copias defectuosas con descontos do 30% e do 40%. Sabendo que
o número de copias defectuosas vendidas foi a medade do de copias en bo estado, calcula a cántas
copias se lle aplicou o 30% de desconto.
169. Un caixeiro automático contén 95 billetes de 10, 20 e 50 € e un total de 2000 €. Se o núme-
ro de billetes de 10 € é o dobre có número de billetes de 20 €, descubre cántos billetes hai de cada
tipo.
170. Disponse de tres caixas A, B e C con moedas de 1 euro. Sábese que en total hai 36 euros. O
número de moedas de A excede en 2 á suma das moedas das outras dúas caixas. Se se traslada 1
moeda da caixa B á caixa A, esta terá o dobre de moedas ca B. Investiga cántas moedas había en
cada caixa.
171. Un especulador adquire 3 obxectos de arte por un prezo total de 2 millóns de euros. Ven-
déndoos, espera obter deles unhas ganancias do 20%, do 50% e do 25%, respectivamente, co que o
seu beneficio total sería de 600000 €. Pero consegue máis, pois coa venda obtén ganancias do
80%, do 90% e do 85%, respectivamente, o que lle dá un beneficio total de 1.7 millóns de euros.
Canto lle custou cada obxecto?
172. Unha empresa dispón de 27200 € para actividades de formación dos seus cen empregados.
Despois de estudar as necesidades dos empregados, decidiuse organizar tres cursos: A, B e C. A
subvención por persoa para o curso A é de 400 €, para o curso B é de 160 €, e de 200 € para o C.
Se a cantidade que se dedica ao curso A é cinco veces maior cá correspondente ao B, ¿cantos em-
pregados seguen cada curso?
173. Se temos un sistema compatible indeterminado de 2 ecuacións lineais con 2 incógnitas,
¿pódese conseguir un sistema incompatible engadindo unha terceira ecuación?
174. Se a un sistema de 2 ecuacións con 2 incógnitas incompatible lle agregamos outra ecua-
ción, ¿poderiamos lograr que fose compatible indeterminado? E determinado? Xustifica as túas
respostas.
175. Un automóbil sobe as costas a 54 km/h, báixaas a 90 km/h e en terreo chan marcha a 80
km/h. Para ir de A a B tarda 2 horas e 30 minutos, e para volver de B a A, 2 horas e 45 minutos.
Cal é a lonxitude de camiño chan entre A e B se sabemos que a distancia entre A e B é de 192 km?

204. 194
Prácticas para resolver problemas
Prácticas
176. Tres amigos acordan xogar tres partidas de dados de forma que, cando un perda, entregara-
lle a cada un dos outros dous unha cantidade igual á que cada un posúa nese momento. Cada un
perdeu unha partida, e ao final cada un tiña 24 €. Canto tiña cada xogador ao comezo?
177. Un fabricante produce 42 electrodomésticos. A fábrica abastece 3 tendas, que demandan
toda a produción. Nunha certa semana, a primeira tenda solicitou tantas unidades coma a segunda
e terceira xuntas, mentres que a segunda pediu un 20% máis cá suma da metade do pedido pola
primeira máis a terceira parte do pedido pola terceira. Que cantidade solicitou cada unha?
178. É posible converter este sistema en compatible indeterminado cambiando un signo?
x  y  z  1

x  y  z  1.
x  y  z  1

179. A idade dun pai é o dobre da suma das idades dos seus dous fillos, mentres que hai uns
anos (exactamente a diferenza das idades actuais dos fillos) a idade do pai era o triplo cá suma das
idades naquel tempo dos seus fillos. Cando pasen tantos anos coma a suma das idades actuais dos
fillos, entre os tres sumarán 150 anos. Que idade tiña o pai cando naceron os seus fillos?
3x  2 y  z  5
180. Dadas as ecuacións:  .
 2 x  3 y  z  4
180.1.Engade unha ecuación para que o sistema sexa incompatible.
180.2.Engade unha ecuación para que o sistema sexa compatible determinado.
Xustifica en cada caso o procedemento seguido.
181. Sexan S e S ' dous sistemas equivalentes con solución única que teñen iguais os termos in-
dependentes. Podemos asegurar que teñen iguais os coeficientes das incógnitas?
182. Define cándo dous sistemas de ecuacións lineais son equivalentes. Xustifica se son equiva-
lentes ou non os seguintes sistemas:
x  2
x  y  z  2 
 e y 1 .
x  y  z  4 
 z  1
183. Atopa razoadamente dous valores do parámetro a para os cales o seguinte sistema sexa in-
compatible:
 x  y  2z  0
 ax  y  2 z  1

 .
 x  3z  2

 2 x  az  3
 x  y  z  a 1
184. Discute e resolve no caso de ser compatible indeterminado 2 x  y  az  a .

 x  ay  z  1

 ax  y  z  0
185. Discute e resolve no caso de ser compatible indeterminado  2 x  ay  2 .

 x  z  1

 x  y  z  t  17
 x  y  z  w  16


186. Resolve o sistema de ecuacións adxunto.  x  y  t  w  15
 x  z  t  w  14

 y  z  t  w  14


205. 195
Cuestións, exercicios e problemas Prácticas
 x  y  z  t  35
187. Dinnos que x , y , z , t , w son números enteiros e  x  y  z  w  36


que k vale 36 ou 38.  x  y  t  w  38
Decide razoadamente cal dos dous é o seu valor e resolve o  x  z  t  w  39
sistema de ecuacións adxunto. 
y  z t  w  k

188. Unha brigada de 5 obreiros comprométese a podar as 222 árbores dunha plantación. Traba-
llan de luns a sábado. Cada día, catro deles podan e o quinto aténdeos (repón ferramentas, dálles
auga, recolle os troncos que caen, …). Cada obreiro poda o mesmo número de árbores cada día, é
dicir, se Alberte poda 8 árbores un día, podará 8 árbores cada día que interveña. Os resultados son:
— Luns: 35 árbores podadas.
— Martes: 36 árbores podadas.
— Mércores: 36 árbores podadas.
— Xoves: 38 árbores podadas.
— Venres: 38 árbores podadas.
— Sábado: 39 árbores podadas.
Calcula cántas árbores diarias poda cada un dos cinco obreiros sabendo que ningún deles poda os
seis días.
 x
1 3 2     4 
189. Escribe na forma habitual o sistema   y    .
 1  1 1     0 
 z
1 1   4
  x   
190. Escribe na forma habitual o sistema  3 1     0  .
 2 1   y   1 
   
 x  3 y  z  1
191. Estuda mediante determinantes a compatibilidade do sistema  x  y  z  1 .

2 x  y  3z  5

 x  y  z 1
192. Resolve empregando a regra de Cramer  x  y  z  1 .

 x  y  z  1

 3x  y  2
193. Resolve empregando a regra de Cramer 2 x  y  z  0 .

 3 y  2 z  1

 2 x  y  z  2
194. Resolve empregando a regra de Cramer  x  2 y  3z  1 .

  x  y  z  3

3 x  y  z  0
195. Estuda, usando determinantes, e resolve cando sexa posible  x  y  z  0 .

 y  z 1

x  y  z  t  1
196. Resolve empregando a regra de Cramer  x  y  t  2 .

 z t  0

 1 2 1
197. Calcula usando determinantes a inversa da matriz A   0 1 0  .
 
 2 0 3
 

206. 190
Prácticas para resolver problemas
Prácticas
a  2 0
198. Calcula a matriz inversa para aqueles valores de a que o permitan  .
 0 a
9 x  3 y  2 z  0
 3x  y  z  0
199. Resolve, empregando determinantes, o sistema 
 .
 8x  y  4z  0
 x  2 y  2z  0

 x  2 y  z  2
200. Estuda, usando determinantes, e resolve cando sexa posible 2 x  y  z  2 .

 x  y  2 z  2

201. Determina se a seguinte ecuación ten solución e calcúlaa se é posible
 1 1 2   2 1 0 
   
 3 0 1 X   0 1 2  .
1 2 3  3 0 1 
   
 x y 5
 xz 6
202. Estuda, usando determinantes, e resolve cando sexa posible 
 .
 yz 7
 2 x  y  z  11

 x yz 0

203. Resolve, empregando determinantes, o sistema 12 x  3 y  2 z  0 .
 x  2y  z  0

Solución:
3 a
204. Calcula a matriz inversa para aqueles valores de a que o permitan  .
1 a 
205. Determina se a seguinte ecuación ten solución e calcúlaa se é posible
 1 0 4  1 0 0
   
X  0 1 4   0 1 0 .
 1 3 1   0 0 1 
   
 mx  y  z  4
206. Discute, segundo os valores do parámetro m , o sistema  x  y  z  m .

 x  y  mz  2

 x  y  z  m 1
207. Discute, segundo os valores do parámetro m , o sistema: 2 x  y  mz  m .

 x  my  z  1

 x  2 y  3z  0
208. Discute, segundo os valores do parámetro m , o sistema:  x  my  z  0 .

2 x  3 y  4 z  2

 x  my  z  4

209. Discute segundo os valores do parámetro m  x  3y  z  5 .
 mx  y  z  4


207. 191
Cuestións, exercicios e problemas Prácticas
 1  m  x  y  z  1

210. Discute segundo os valores do parámetro m  x  1  m  y  z  m .

 x  y  1  mz  z  m
2
 x  2z  3
 3x  y  z  1
211. Discute segundo os valores do parámetro m 
 .
 2 y  z  2
 x  y  mz  5

 x yz 0

212. Discute segundo os valores do parámetro  o sistema  ax  2 z  0 .
 2 x  y  az  0

 2x  y  z  0
213. Discute segundo os valores do parámetro  o sistema  x  2 y  3z  0 .

3 x  4 y  az  0

 ax  y  z  0

214. Discute segundo os valores do parámetro  o sistema  x  2 y  z  0 .
3 x  10 y  4 z  0

 3x  3 y  z  0
215. Discute segundo os valores do parámetro  o sistema 4 x  2 y  az  0 .

3x  4 y  6 z  0

 m  1 x  y  z  3
216. Determina os valores de m para os que é incompatible o sistema  x  2 y  mz  4 .

 x  my  2 z  2

 2x  y  x  m  4

217. Determina os valores de m para os que é incompatible o sistema  m  6  y  3z  0 .

  m  1 x  2 y  3
218. Indica, se existe, o valor de a para o cal ten infinitas solucións o sistema
3 x  2 y  3z  2

 2 x  ay  5 z  4 .
 x  y  2z  2

219. Indica, se existe, o valor de a para o cal ten infinitas solucións o sistema
 x  y  z  a 1

 2 x  y  az  a .
 x  ay  z  1

 mx  y  2  2m
220. Discute e resolve segundo os valores de m o sistema  .
 x  my  m  1
 3 2  2 3  1 1
221. Resolve a ecuación AXB  C sendo A   , B  , C  .
 4 3  1 2  1 1
 3 1
 2 0 1    1 2  9 3 
222. Dadas as matrices A  , B   0 1 , C    e D  , calcu-
 0 1 5   1 2   3 4  8 17 
 
la a matriz X que verifica AB  CX  D .

208. 192
Prácticas para resolver problemas
Prácticas
 x yz 3
223. Expresa en forma matricial e resolve utilizando a matriz inversa  2 x  y  z  2 .

 x  2 y  3z  1

 1 0 2 1 0 2 
224. Calcula X tal que 3AX  B , sendo A   0 1 1  , B  1 0 1  .
 
 
1 0 1 1 1 1 
   
 2 0 5  x   3   4 
225. Resolve a ecuación:  1 1 2  y    1    1
         AX  B  C  .
 1 1 1  z   2   1 
      
 ax  7 y  20 z  1
226. Discute e resolve, segundo os diferentes valores do parámetro a ,  ax  8 y  23z  1 .

 x  az  1

x  y  z  1
227. Discute e resolve, segundo os diferentes valores do parámetro a , 
 ax  2 .
 ay  2 z  0

228. Discute o seguinte sistema de ecuacións segundo os valores do parámetro a e resólveo pa-
 ax  2 y  6 z  0

ra o caso a  2 :  2 x  ay  4 z  2 .
 2 x  ay  6 z  a  2

 x  y  2z  3
229. Obtén os valores de  para os cales admite infinitas solucións o sistema  x  2 y   z  5 .

 2 x  y  3z  4

 x  y  1
230. Busca os valores de  para os cales admite infinitas solucións o sistema  .
 x   y  2  1
 x   y  2 z  
231. Discute en función de  , e resolve para   1 e para   2 o sistema  2 x   y  z  2 .

   y  2z  

 1 0 1 
232. Calcula, en función de a, o rango da matriz A   0 a 3  e calcula, se existe, a matriz
 
4 1 a 
 
inversa A1 nos casos a  1 e a  1 .
 1 0 0
233. Considera a matriz A   0 1 0  .
 
 a 0 b
 
233.1.Cando o determinante de A é o seno do ángulo representado por algún número real?
233.2.Calcula A1 cando exista.
233.3.Determina todos os pares  a, b  para os que A coincide coa súa inversa.

209. 190
Prácticas para resolver problemas
Prácticas
 1 0 4 1 0 t 
234. Calcula os valores de t para os cales as matrices A   0 t 4  e B  1 1 0  non
 
 
 1 3 t  t 0 1
   
son regulares e calcula:
234.1. A1 se t  1 .
234.2. B 1 se t  2 .
 1 3
1 2    
235. Dadas as matrices A    e B    0  onde  é calquera número real:
 1 1 1  0 2
 
235.1.Encontra os valores de  para os que AB é regular.
235.2.Determina os valores de  para os que BA é regular.
235.3.Dados a e b , números reais calquera, ¿pode ser o seguinte sistema compatible determinado
 x
  a
A y     ?
 z  b
 
236. No suposto que exista, calcula unha matriz X tal que AX  B dadas as seguintes matrices
 2 0 1  1 1
   
A   1 3 0 , B   2 1 .
 5 1 3  0 3
   
 1 1  2 0 1
237. No suposto que exista, calcula unha matriz X tal que    
A   2 1 , B   1 3 0
AX  B dadas as matrices adxuntas.  0 3  5 1 3
   
238. O rango da matriz de coeficientes dun sistema homoxéneo de catro ecuacións e tres incóg-
nitas é igual a 3. Que se pode dicir da súa solución? Razoa a túa resposta.
239. Nun sistema de igual número de ecuacións que de incógnitas, o determinante da matriz de
coeficientes é igual a 0. Responde razoadamente ás seguintes preguntas:
239.1.Pode ser compatible?
239.2.Pode ter solución única?
239.3.Pode aplicarse a regra de Cramer?
 x  y      z  
240. Dado o sistema S : 
 xz   ,
 x  z    3

240.1.Demostra que é compatible determinado para calquera valor de  e  .
240.2.Resólveo para     1 .
241. Que condición debe cumprir unha matriz cadrada para ter inversa?
242. Sexan A e B inversas unha doutra. Se A  4 , ¿canto vale B ?
243. O rango da matriz de coeficientes dun sistema de tres ecuacións con tres incógnitas é igual
a 1. Que rango, como máximo, pode ter a matriz ampliada?
 a a2  2 
244. Existe algún valor de a para o cal a matriz   non teña inversa?
1 a 

210. 191
Cuestións, exercicios e problemas Prácticas
3x  2 y  z  5
245. Dadas estas ecuacións:  .
 2 x  3 y  z  4
245.1.Engade unha ecuación para que o sistema sexa incompatible.
245.2.Engade unha ecuación para que o sistema sexa compatible determinado.
Xustifica en cada caso o procedemento seguido para engadir a ecuación.
 3x  y  1  3x  y  0
246. Representa matricialmente os sistemas S : e S ': .
11x  4 y  0 11x  4 y  1
Resólveos e indaga se existe algunha relación entre as solucións obtidas e a inversa da matriz
 3 1
  . Xustifica a relación obtida.
11 4 
247. Demostra que non hai valores de m para os que o seguinte sistema non teña solución:
x  2 y  z  3

x  3y  2z  5 .
 x  my  3z  7

248. Se dous sistemas de catro ecuacións lineais con catro incógnitas,AX  B e AX  B ' teñen
unha mesma matriz de coeficientes A, ¿pode ser incompatible un dos dous sistemas mentres que o
outro é compatible e determinado?
249. Pode ocorrer que un sistema de ecuacións lineal homoxéneo non teña solución? Pode oco-
rrer que teña infinitas solucións? Razoa as respostas.
250. Determina unha matriz A para que o sistema homoxéneo AX  0 sexa equivalente á
ecuación matricial:
 1 2 
 x y z   2 1    0, 0  .
 
1 2 
 
x  2 y  1
 yz a
251. Para qué valor de a é compatible determinado o sistema 
 ?
 x  3 z  1
 yz 2

Pode ser compatible indeterminado?
 ax  z  t 1
 ay  z  t 1
252. Estuda e resolve cando sexa posible o sistema 
 .
 ay  z  2t 2

 az  t 0
 x  y  z  a 1
253. Discute o sistema 2 x  y  az  a .

 x  ay  z  b

 ax  y  z  4

254. Calcula os valores de a e b para os que ten infinitas solucións o sistema  x  y  z  b ,
 x  ay  z  b

e resólveo para eles.

211. 192
Prácticas para resolver problemas
Prácticas
 2 1 0 
255. Dada a matriz A   aij    3 0 4 
 
 2 1 1
 
255.1.Calcula a matriz  Aij  formada polos adxuntos dos elementos de A .
255.2.Calcula A  aij e Aij e atopa unha relación entre eles.
256. En xeral, ¿que relación existe entre o determinante dunha matriz A , de orde 3  3 , e o de-
terminante da matriz formada polos seus adxuntos? Para demostralo pode ser útil ter en conta que
A  B  A  B e a expresión de A1 .
257. O rango da matriz dos coeficientes dun sistema de catro ecuacións con tres incógnitas é 3.
Que rango pode ter a matriz ampliada? Con base niso, ¿cantas solucións terá o sistema?
x  3y  z  a
258. Discute o sistema  x  z  b .

 x z c
