Introduktion til sinus og cosinus

1. Introduktion til Cosinus og Sinus
- Definition af cos og sin
- Funktionerne cos(x) og sin(x)

2. Sinus og Cosinus
Definition af cosinus og sinus
For enhver retvinklet trekant med hypotenuse-længde 1 og vinkel v
som vinkel mellem den vandrette katete og hypotenusen
, eksisterer der en funktion sin(v) og en funktion cos(v) som er katete
længderne i denne retvinklede trekant
Formlerne er dybt komplicerede, og derfor skal I betragte
funktionerne sin(v) og cos(v) som navne (forkortelser) af
meget komplicerede funktioner.
Når I skriver f(x):= sin(x) og g(x):=cos(x) i et computerprogram,
sker følgende proces
Vi går derfor ikke mere i dybden med dem, men accepterer
bare at de eksisterer og hvordan de er defineret

3. Sinus og Cosinus
Funktionerne sin(x) og cos(x)
For at forstå sinus og cosinus er funktioner, kigger vi igen på vores definition

4. Sinus og Cosinus
Funktionerne sin(x) og cos(x)
Vi har altså at sin(x) er funktionen med
x = vinkel i grader
f(x)= den lodrette katetes afstand.

5. Sinus og Cosinus
Funktionerne sin(x) og cos(x)
samt at cos(x) er funktionen med
x = vinkel i grader
f(x)= den vandrette katetes afstand.

6. Sinus og Cosinus
Funktionerne sin(x) og cos(x)
Vi tegner nu vores enhedscirkel, dvs. en cirkel med radius lig med 1.
Vi indsætter nu et punkt P i første kvadrant på cirklen
Da vi tidligere definerede sin(v) og cos(v) som katete
længderne for retvinklede trekanter,
får vi let, at koordinaterne for P er (cos(v), sin(v))
Vi lader nu P vandre langs randen på enhedscirklen, og ser
hvad der sker med cos(v) og sin(v)

7. Sinus og Cosinus
Funktionerne sin(x) og cos(x)
Vi tegner nu vores enhedscirkel, dvs. en cirkel med radius lig med 1.
Vi indsætter nu et punkt P i første kvadrant på cirklen
Da vi tidligere definerede sin(v) og cos(v) som katete
længderne for retvinklede trekanter,
får vi let, at koordinaterne for P er (cos(v), sin(v))
Vi lader nu P vandre langs renden på enhedscirklen, og ser
hvad der sker med cos(v) og sin(v)
cos(v) løber frem og tilbage på x-aksen mellem -1 og 1
sin(v) løber frem og tilbage på y-aksen mellem -1 og 1
når vinklen v vokser fra 0° til 360°
samt at
Lad os tegne funktionerne!

8. Sin(x)

9. cos(x)

10. Det siges at sin(x) og cos(x) er Cykliske funktioner, da de
har en periode, før de så gentager sig selv.
Dette periode er her 360 grader.
Her ser vi funktionerne oven i hinanden, men hvor vi har
udvidet x-aksen fra 0 til 720.
Sinus og Cosinus
Funktionerne sin(x) og cos(x)
Her ses det tydeligt, at funktionerne
gentager et mønster (faktisk det samme)
Men hvad kan vi så bruge
disse funktioner til?

11. Sinus og Cosinus
Trekants beregning
Før I tiden (inden computeren) brugte vi skemaer med cosinus, sinus (og tangens)
Denne tabel laver ”nedslagspunkter” i grafen for sinus og cosinus funktionerne
Her ses punkter fra sin-rækken.

12. Sinus og Cosinus
Trekants beregning
Før I tiden (inden computeren) brugte vi skemaer med cosinus og sinus
Og tabellen kan hjælpe os med bestemme sidelængder i
retvinklede trekanter med hypotenuse længde 1.
Øvelse
Skriv katetelængderne ned
for de 3 retvinklede trekanter