1. I MOSAICI
La parola “mosaico” in matematica indica una figura piana il cui gruppo di simmetria
(cioè l'insieme di quelle trasformazioni del piano che lasciano invariate le distanze e
mutano la figura in se stessa) è discreto e contiene delle traslazioni, ma non più
soltanto, come per i fregi, traslazioni in un’unica direzione, bensì almeno due in
direzioni diverse.
Si può dimostrare che i possibili gruppi di simmetria per un mosaico sono 17 (e solo
17).
Di questi:
Due contengono rotazioni, ma solo rotazioni di 60° e multipli (60°, 120°, 180°,
240°, e 300°, oltre all’identità):
632 (p6)
contiene solo traslazioni e rotazioni (di 60° e multipli)
*632 (p6m)
contiene anche riflessioni.
Tre contengono rotazioni, ma solo rotazioni di 90° e multipli (90°, 180° e 270°,
oltre all’identità):
442 (p4)
contiene solo traslazioni e rotazioni (di 90° e multipli).
*442 (p4m)
contiene anche riflessioni, rispetto a rette in quattro direzioni
diverse.

2. 4*2 (p4g)
contiene anche riflessioni, rispetto a rette in due direzioni
diverse.
Tre contengono rotazioni, ma solo rotazioni di 120° e multipli (120° e 240°,
oltre all’identità):
333 (p3)
contiene solo traslazioni e rotazioni (di 120° e multipli).
*333 (p3m1)
contiene anche riflessioni; tutti i centri di rotazione
appartengono a un asse di simmetria della figura.
3*3 (p31m)
contiene anche riflessioni; esistono centri di rotazione che non
appartengono a un asse di simmetria della figura.
Cinque contengono rotazioni, ma solo rotazioni di 180° (oltre all’identità):
2222 (p2)
contiene solo traslazioni e rotazioni (di 180° e multipli)
*2222 (pmm)
contiene anche riflessioni, rispetto a rette in due direzioni
diverse; tutti i centri di rotazione appartengono a un asse di
simmetria della figura.
2*22 (cmm)
contiene anche riflessioni, rispetto a rette in due direzioni
diverse; esistono centri di rotazione che non appartengono a
un asse di simmetria della figura.

3. 22* (pmg)
contiene anche riflessioni, tutte rispetto a rette in un’unica
direzione.
22+ (pgg)
non contiene riflessioni; contiene delle glissoriflessioni (una
glissoriflessione è la composizione di una riflessione rispetto
a una retta con una traslazione di un vettore parallelo a questa
retta).
Quattro non contengono rotazioni (diverse dalla rotazione di 360°, cioè
l’identità, che appartiene al gruppo di simmetria di una qualsiasi figura):
o (p1)
contiene solo traslazioni
** (pm)
contiene anche riflessioni; non contiene glissoriflessioni,
salvo quelle “obbligatorie” che si ottengono per composizione
della riflessione in un asse di simmetria della figura con una
traslazione parallela.
*+ (cm)
contiene anche riflessioni; contiene anche delle
glissoriflessioni, rispetto a rette parallele agli assi di
simmetria, ma che NON sono a loro volta assi di simmetria
della figura
++ (pg)
non contiene riflessioni; contiene delle glissoriflessioni.
In questa descrizione non abbiamo elencato tutte le trasformazioni presenti in ciascun
gruppo, né tutte le caratteristiche e proprietà di ognuno, ma solo alcune, che sono
peraltro sufficienti a distinguere i 17 gruppi l’uno dall’altro.