SlideShare a Scribd company logo
I MOSAICI
La parola “mosaico” in matematica indica una figura piana il cui gruppo di simmetria
(cioè l'insieme di quelle trasformazioni del piano che lasciano invariate le distanze e
mutano la figura in se stessa) è discreto e contiene delle traslazioni, ma non più
soltanto, come per i fregi, traslazioni in un’unica direzione, bensì almeno due in
direzioni diverse.
Si può dimostrare che i possibili gruppi di simmetria per un mosaico sono 17 (e solo
17).
Di questi:
Due contengono rotazioni, ma solo rotazioni di 60° e multipli (60°, 120°, 180°,
240°, e 300°, oltre all’identità):
632 (p6)
contiene solo traslazioni e rotazioni (di 60° e multipli)
*632 (p6m)
contiene anche riflessioni.
Tre contengono rotazioni, ma solo rotazioni di 90° e multipli (90°, 180° e 270°,
oltre all’identità):
442 (p4)
contiene solo traslazioni e rotazioni (di 90° e multipli).
*442 (p4m)
contiene anche riflessioni, rispetto a rette in quattro direzioni
diverse.
4*2 (p4g)
contiene anche riflessioni, rispetto a rette in due direzioni
diverse.
Tre contengono rotazioni, ma solo rotazioni di 120° e multipli (120° e 240°,
oltre all’identità):
333 (p3)
contiene solo traslazioni e rotazioni (di 120° e multipli).
*333 (p3m1)
contiene anche riflessioni; tutti i centri di rotazione
appartengono a un asse di simmetria della figura.
3*3 (p31m)
contiene anche riflessioni; esistono centri di rotazione che non
appartengono a un asse di simmetria della figura.
Cinque contengono rotazioni, ma solo rotazioni di 180° (oltre all’identità):
2222 (p2)
contiene solo traslazioni e rotazioni (di 180° e multipli)
*2222 (pmm)
contiene anche riflessioni, rispetto a rette in due direzioni
diverse; tutti i centri di rotazione appartengono a un asse di
simmetria della figura.
2*22 (cmm)
contiene anche riflessioni, rispetto a rette in due direzioni
diverse; esistono centri di rotazione che non appartengono a
un asse di simmetria della figura.
22* (pmg)
contiene anche riflessioni, tutte rispetto a rette in un’unica
direzione.
22+ (pgg)
non contiene riflessioni; contiene delle glissoriflessioni (una
glissoriflessione è la composizione di una riflessione rispetto
a una retta con una traslazione di un vettore parallelo a questa
retta).
Quattro non contengono rotazioni (diverse dalla rotazione di 360°, cioè
l’identità, che appartiene al gruppo di simmetria di una qualsiasi figura):
o (p1)
contiene solo traslazioni
** (pm)
contiene anche riflessioni; non contiene glissoriflessioni,
salvo quelle “obbligatorie” che si ottengono per composizione
della riflessione in un asse di simmetria della figura con una
traslazione parallela.
*+ (cm)
contiene anche riflessioni; contiene anche delle
glissoriflessioni, rispetto a rette parallele agli assi di
simmetria, ma che NON sono a loro volta assi di simmetria
della figura
++ (pg)
non contiene riflessioni; contiene delle glissoriflessioni.
In questa descrizione non abbiamo elencato tutte le trasformazioni presenti in ciascun
gruppo, né tutte le caratteristiche e proprietà di ognuno, ma solo alcune, che sono
peraltro sufficienti a distinguere i 17 gruppi l’uno dall’altro.

More Related Content

More from MatteoLoca98

Presentazione informatica
Presentazione informaticaPresentazione informatica
Presentazione informatica
MatteoLoca98
 
Cartolina di pasqua
Cartolina di pasquaCartolina di pasqua
Cartolina di pasquaMatteoLoca98
 
Relazione informatica
Relazione informaticaRelazione informatica
Relazione informaticaMatteoLoca98
 
Compito informatica
Compito informaticaCompito informatica
Compito informaticaMatteoLoca98
 

More from MatteoLoca98 (8)

Presentazione informatica
Presentazione informaticaPresentazione informatica
Presentazione informatica
 
Cartolina di pasqua
Cartolina di pasquaCartolina di pasqua
Cartolina di pasqua
 
Imput e output
Imput e outputImput e output
Imput e output
 
Imput e output
Imput e outputImput e output
Imput e output
 
Carnevale
CarnevaleCarnevale
Carnevale
 
Numeri perfetti 3
Numeri perfetti 3Numeri perfetti 3
Numeri perfetti 3
 
Relazione informatica
Relazione informaticaRelazione informatica
Relazione informatica
 
Compito informatica
Compito informaticaCompito informatica
Compito informatica
 

I mosaici

  • 1. I MOSAICI La parola “mosaico” in matematica indica una figura piana il cui gruppo di simmetria (cioè l'insieme di quelle trasformazioni del piano che lasciano invariate le distanze e mutano la figura in se stessa) è discreto e contiene delle traslazioni, ma non più soltanto, come per i fregi, traslazioni in un’unica direzione, bensì almeno due in direzioni diverse. Si può dimostrare che i possibili gruppi di simmetria per un mosaico sono 17 (e solo 17). Di questi: Due contengono rotazioni, ma solo rotazioni di 60° e multipli (60°, 120°, 180°, 240°, e 300°, oltre all’identità): 632 (p6) contiene solo traslazioni e rotazioni (di 60° e multipli) *632 (p6m) contiene anche riflessioni. Tre contengono rotazioni, ma solo rotazioni di 90° e multipli (90°, 180° e 270°, oltre all’identità): 442 (p4) contiene solo traslazioni e rotazioni (di 90° e multipli). *442 (p4m) contiene anche riflessioni, rispetto a rette in quattro direzioni diverse.
  • 2. 4*2 (p4g) contiene anche riflessioni, rispetto a rette in due direzioni diverse. Tre contengono rotazioni, ma solo rotazioni di 120° e multipli (120° e 240°, oltre all’identità): 333 (p3) contiene solo traslazioni e rotazioni (di 120° e multipli). *333 (p3m1) contiene anche riflessioni; tutti i centri di rotazione appartengono a un asse di simmetria della figura. 3*3 (p31m) contiene anche riflessioni; esistono centri di rotazione che non appartengono a un asse di simmetria della figura. Cinque contengono rotazioni, ma solo rotazioni di 180° (oltre all’identità): 2222 (p2) contiene solo traslazioni e rotazioni (di 180° e multipli) *2222 (pmm) contiene anche riflessioni, rispetto a rette in due direzioni diverse; tutti i centri di rotazione appartengono a un asse di simmetria della figura. 2*22 (cmm) contiene anche riflessioni, rispetto a rette in due direzioni diverse; esistono centri di rotazione che non appartengono a un asse di simmetria della figura.
  • 3. 22* (pmg) contiene anche riflessioni, tutte rispetto a rette in un’unica direzione. 22+ (pgg) non contiene riflessioni; contiene delle glissoriflessioni (una glissoriflessione è la composizione di una riflessione rispetto a una retta con una traslazione di un vettore parallelo a questa retta). Quattro non contengono rotazioni (diverse dalla rotazione di 360°, cioè l’identità, che appartiene al gruppo di simmetria di una qualsiasi figura): o (p1) contiene solo traslazioni ** (pm) contiene anche riflessioni; non contiene glissoriflessioni, salvo quelle “obbligatorie” che si ottengono per composizione della riflessione in un asse di simmetria della figura con una traslazione parallela. *+ (cm) contiene anche riflessioni; contiene anche delle glissoriflessioni, rispetto a rette parallele agli assi di simmetria, ma che NON sono a loro volta assi di simmetria della figura ++ (pg) non contiene riflessioni; contiene delle glissoriflessioni. In questa descrizione non abbiamo elencato tutte le trasformazioni presenti in ciascun gruppo, né tutte le caratteristiche e proprietà di ognuno, ma solo alcune, che sono peraltro sufficienti a distinguere i 17 gruppi l’uno dall’altro.