Subiecte 14.02.2014

1. INSPECTORATUL ŞCOLAR
JUDEŢEAN VRANCEA
MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI
CERCETĂRII ŞTIINŢIFICE
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ
“ADOLF HAIMOVICI”
Etapa locală - 14.02.2015
CLASA a XII-a Profil Tehnic
Subiectul I (7 puncte)
Pe ℝ se defineşte legea de compoziţie   201520152015*  yxxyyx .
a) Aflaţi elementul neutru al legii.
b) Calculaţi  

orinde
n
xxxx  ... .
c) Rezolvaţi ecuaţia
Subiectul II (7 puncte)
Fie ( ) ( ) .
Arătaţi că există ( ) și ( ) , astfel încât
∫ ( ) ( ) ( )
Subiectul III (7 puncte)
Fie funcția ( ) ( )
{
√
( )
a) Verificați dacă funcția f admite primitive pe R.
b) Calculați ∫
( )
( )
c) Fie ( ) ( ) ( ) ( ) Arătați că orice primitive G a funcției g este
concave pe ( )
Subiectul IV (7 puncte)
Una dintre cele mai cunoscute tehnici de criptare este cifrul lui Cezar, care foloseşte o
permutare circulară pe literele alfabetului latin cu o cheie [0,25]k  în mulţimea Z26 :

2. INSPECTORATUL ŞCOLAR
JUDEŢEAN VRANCEA
MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI
CERCETĂRII ŞTIINŢIFICE
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Pentru criptarea mesajului este folosită o funcţie bijectivă
( ) ( )mod26ke k   unde k reprezintă cheia de criptare, iar reprezintă
numărul corespunzător literei din mesajul care va fi criptat.
a) Determinaţi care este textul ce se obţine in urma criptării textului
ADOLF HAIMOVICI: pentru k=14.
b) Decriptaţi GIQQSG pentru k=14.
Propunător: profesor Răvaș Cența Mariana, Colegiul Tehnic „Edmond Nicolau”
NOTĂ: Timp de lucru: 3 ore.
Fiecare subiect este notat de la 0 puncte la 7 puncte.

3. INSPECTORATUL ŞCOLAR
JUDEŢEAN VRANCEA
MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI
CERCETĂRII ŞTIINŢIFICE
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ
“ADOLF HAIMOVICI”
Etapa locală - 14.02.2015
CLASA a XII-a Profil Tehnic
Soluţii
Subiectul I
a)
Se demonstrează comutativitatea:
Suficient ( √ )( √ )
20151e
b) Se observa că legea poate fi scrisă: ( √ )( √ ) √
Se deduce ( ) ( )
( √ ) √ și se demonstrează prin metoda inducţiei
matematice
Etapa1: ( ) ( √ ) √ adevărat
Etapa2: Presupunem ( ) ( )
( √ ) √ adevărat și demonstrăm
( ) ( )
( √ ) √
( ) ( )
( √ ) ( √ ) √ √ √ ( )
c) ( )
( √ ) √ ( √ ) *( √ ) +
20151 x , 120152 x şi 120153 x
Subiectul II
Se integrează prin părti
∫ ( ) ∫( )
∫( )( ) ( ) ∫( )

4. INSPECTORATUL ŞCOLAR
JUDEŢEAN VRANCEA
MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI
CERCETĂRII ŞTIINŢIFICE
( ) ∫ ( ) ( ) ∫
( )
Se identifică coeficienţii
Subiectul III
) ( )
( )
( )
( )
√
(√ )(√ )( )
√
( ) ( ) ( ) f continua în 1. Justifică f continua pe R f admite primitive pe R.
b) Cum ( )
(√ )(√ )( )
√
∫
( )
∫(√ ) (√ )
c) Fie G o primitivă pentru g
( ) ( ) (
( )
)
( ( ))
( ( ))
( ) ( )
( ( )) ( )
( )
( ) ( ) concavă pe ( )
Subiectul IV
a) ( )
( )
( )
etc.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N
Deci textul criptat este:ORCZT VOWACJWQW
b) Decriptarea GIQQSG pentru k=14:
( )
( )

5. INSPECTORATUL ŞCOLAR
JUDEŢEAN VRANCEA
MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI
CERCETĂRII ŞTIINŢIFICE
( )
( )
Deci textul decriptat este SUCCES

6. INSPECTORATUL ŞCOLAR
JUDEŢEAN VRANCEA
MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI
CERCETĂRII ŞTIINŢIFICE
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ
“ADOLF HAIMOVICI”
Etapa locală - 14.02.2015
CLASA a XII-a Profil Tehnic
Bareme de corectare și notare
Subiectul I
a) 20151e (2p)
b) Se demonstrează prin inducţie că  
  20152015 
nn
xx (3p)
c) 20151 x , 120152 x şi 120153 x (2p)
Subiectul II
Se integrează prin părti (4p)
Se identifică coeficienţii (3p)
Subiectul III
) ( )
( )
( ) ( )
( )
√
( )
( ) ( ) ( ) f continua în 1. Justifică f continua pe R f admite primitive pe R. (1p)
b) ∫
( )
∫(√ ) (√ ) (2p)
c) Fie G o primitivă pentru g ( ) ( )
( )
( ) (1p)
( ) ( ) concavă pe ( ) (1p)

7. INSPECTORATUL ŞCOLAR
JUDEŢEAN VRANCEA
MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI
CERCETĂRII ŞTIINŢIFICE
Subiectul IV
a) ( )
( )
( )
etc.
Deci textul criptat este:ORCZTVOWACJWQW (4 p)
b) Decriptarea GIQQSG pentru k=14:
( )
( )
( )
( )
Deci textul decriptat este SUCCES (3 p).