1. FIRMA DIGITALE
SCHEMI, METODI E CIFRARI
Algoritmo Tipo Determinismo Anno
RSA Recupero Deterministico 1978
Rabin Recupero 1979
ElGamal Appendice Probabilistico 1984
DSA Appendice Probabilistico 1991
Schnorr Appendice 1991
Nyberg-Rueppel Recupero 1993
RSA
L’algoritmo di RSA è reversibile, ovvero funziona anche invertendo le chiavi. Perciò RSA a
chiavi invertite è un algoritmo di firma con recupero.
Usare RSA per una firma di un documento è però inefficiente a causa della idispensabile
suddivisione in blocchi. Di dimensione inferiore a n. Qundi è possibile firmale solo l’hash del
documento.
A L GO R I T MO S
1. 𝑐 = (𝐻 𝑚 ) 𝑃𝑈 𝑚𝑜𝑑 𝑛
2. Trasmette 𝑚 ∥ 𝑐
A L GO R I T MO V
1. Estrae 𝑚′
2. Calcola 𝐻(𝑚′ )
3. Accetta 𝑚′ se e solo se 𝐻 𝑚′ = 𝑐 𝑒 𝑚𝑜𝑑 𝑛 = 𝐻(𝑚)
FIRMA CIECA
Dato un messaggio 𝑚 = 𝑚1 × 𝑚2 si ha
𝑐 = 𝑚 𝑑 𝑚𝑜𝑑 𝑛 = 𝑚1 𝑑 𝑚𝑜𝑑 𝑛 × 𝑚2 𝑑 𝑚𝑜𝑑 𝑛 𝑚𝑜𝑑 𝑛
Quindi possiamo firmare indipendentemente parti di messagio.
Sia, ora X un ente certificatore che deve firmare il messaggio 𝑚 senza conoscerne il
contenuto. L’utente U può inviare
𝑐1 = 𝑚 × 𝑟 𝑒𝑋 𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑋
Ora X può firmare applicanto la prorpia chiave privata e inviare
𝑐2 = 𝑚 𝑑𝑋 × 𝑟 𝑑𝑋 𝑒𝑋 𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑋 = 𝑚 𝑑𝑋 × 𝑟 𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑋
Quindi U avrà
𝑐3 = 𝑚 𝑑𝑋 × 𝑟 × 𝑟 −1 𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑋 = 𝑚 𝑑𝑋 𝑚𝑜𝑑 𝑛𝑋
Messaggio firmato senza che l’utente certificatore abbia letto il contenuto.

2. E L G AMAL
 L’input è l’impornta ℎ = 𝐻(𝑚)
 L’output sono due etichette 𝑅, 𝑆
 Si basa sul problema P1
A L GO R I MO G
1. Scelta di un numero primo 𝑝 di un suo generatore 𝑔 un numero a caso 1 ≤ 𝑢 ≤
𝑝−2
2. Chiave pubblica : 𝑝, 𝑔, 𝑔 𝑢 𝑚𝑜𝑑 𝑝
3. Chiave privata: 𝑢
A L GO R I T MO S
Per ogni messaggio da inviare si ha
1. Scegliere 𝑘 tale che 2 < 𝑘 < 𝑝 − 2 e 𝑀𝐶𝐷 𝑘, 𝑝 − 1 = 1
2. Generare l’etichetta 𝑅 = 𝑔 𝑘 𝑚𝑜𝑑 𝑝
Questo è vero perchè
𝑔ℎ 𝑚𝑜𝑑 𝑝 = 𝑦 𝑅 𝑅 𝑆 𝑚𝑜𝑑 𝑝
𝑔ℎ 𝑚𝑜𝑑 𝑝 = 𝑔 𝑎𝑅 𝑔 𝑘𝑆 𝑚𝑜𝑑 𝑝
𝑔ℎ −𝑎𝑅 −𝑘𝑆 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝)
ℎ − 𝑎𝑅 − 𝑘𝑆 ≡ 𝑝 − 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝)
ℎ − 𝑎𝑅 − 𝑘𝑆 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑝 − 1)
𝑆 = 𝑘 −1 ℎ − 𝑎𝑅 𝑚𝑜𝑑 (𝑝 − 1)
S è espressione congruenziale di firma.
A L GO R I T MO V
1. Controllare che sia 1 ≤ 𝑅 ≤ 𝑝 − 1 e 𝑆 ≠ 𝑝 − 1
2. Calcolare
𝑣1 = 𝑦 𝑅 𝑅 𝑆 𝑚𝑜𝑑 𝑝
𝑣2 = 𝑔ℎ 𝑚𝑜𝑑 𝑝
3. Se 𝑣1 = 𝑣2 il messaggio è integro.

3. DSS
 Basato su ElGamal
 Si basa sul problema P1
 La dimensione di p è definita dallo standard: 2512 < 𝑝 < 21024
 I calcoli di R e S sono fatti 𝑚𝑜𝑑 𝑞 ove 𝑞 è il più grande fattore primo di 𝑝 − 1 tale
che 2159 < 𝑞 < 2160
 𝐻(𝑚) deve essere di 160 bit e calcolata con SHA-1
A L GO R I T MO G
Come ElGamal
A L GO R I T MO S
Per ogni messaggio da firmarel’utente deve scegliere un numero a caso 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑞 − 1 e
calcola due etichette di 160 bit ciascuma:
𝑅 = 𝑔 𝑘 𝑚𝑜𝑑 𝑝 𝑚𝑜𝑑 𝑞
𝑆 = 𝑘 −1 𝐻 𝑚 + 𝑎 × 𝑅 𝑚𝑜𝑑 𝑞
A L GO R I T MO V
1. Verificare che sia 0 < 𝑅 < 𝑞 e 0 < 𝑆 < 𝑞
2. Calcolare:
𝑤 = 𝑆 −1 𝑚𝑜𝑑 𝑞
𝑢1 = 𝐻 𝑚 × 𝑤 𝑚𝑜𝑑 𝑞
𝑢2 = 𝑅 × 𝑤 𝑚𝑜𝑑 𝑞
𝑣 = 𝑔 𝑢1 × 𝑦 𝑢2 𝑚𝑜𝑑 𝑝 𝑚𝑜𝑑 𝑞
3. Se 𝑣 = 𝑅 la firma è valida.