Finp1

1
Jednoduché úročení
Příklad č. 1
Počáteční jistinu předpokládejme ve výši 150 000 Kč.
Úroková sazba je 10%.
Úrok je připisován vždy z počáteční jistiny (jednoduché úročení).
Vypočítejte výši úroku za:
 2 roky
 18 měsíců
 26 měsíců
 520 dnů
 750 dnů
Dále vypočítejte výši konečné jistiny za:
 3 roky
 20 měsíců
 500 dnů
Řešení:
Výši úroku vypočítáme podle vzorce:  niJu  0 , kde: J0 = počáteční jistina
i = úrok
n = období v letech
- konkrétně pro zadané hodnoty:
2 roky    Kč0003021,0000150 
18 měsíců  Kč50022
12
18
1,0000150 






12
26
1,0000150 






520 dnů  Kč66721
360
520
1,0000150 






750 dnů  Kč25031
360
750
1,0000150 






Výše konečné jistiny vypočítáme podle vzorce:  niJJn  10
3 roky    Kč00019531,01000150 
12
20
1,01000150 






500 dnů  Kč833170
360
500
1,01000150 






Úrok z vkladu bude činit po 2 letech 30 000 Kč, po 18 měsících 22 500 Kč, po 26 měsících
32 500 Kč, po 520 dnech 21 667 Kč a po 750 dnech 31 250 Kč. Výše konečné jistiny bude po
3 letech 195 000 Kč, po 20 měsících 175 000 Kč a po 500 dnech 170 833 Kč.

2
Příklad č. 2
Vypočítejte kolik zaplatíte na penále jestliže:
Dlužná částka činila 150 000 Kč.
Penále z prodlení (úroková míra) činí 3% z dlužné částky (míněno z počáteční jistiny) za
každý den po lhůtě splatnosti.
S platbou jste se opozdili o 90 dní.
Řešení:
Penále vypočítáme ze vzorce:  niJu  0 , tedy:
penále = 150 000 . 0,03 . 90 = 405 000 Kč
Na penále zaplatíme 405 000 Kč.
Příklad č. 3
Obdobný příklad jako 2.
Výše dluhu činila původně 200 000 Kč.
Penále z prodlení (úroková míra) činí 3% z dlužné částky (míněno z počáteční jistiny) za
každý den po lhůtě splatnosti.
V současné době činí výše dluhu 375 000 Kč.
Vypočítejte o kolik dní byla platba opožděna oproti lhůtě splatnosti.
Řešení:
Dobu zpoždění vypočítáme ze vzorce:
iJ
JJ
n n



0
0
, tedy:
dnen 16,29
03,0000200
000200000375




S platbou jsme se opozdili o necelých 30 dnů.
Příklad č. 4
Obdobný příklad jako 2 a 3.
Výše dluhu činila původně 300 000 Kč.
V současnosti činí výše dluhu 360 000 Kč.
Pohledávka je opožděna o 30 dnů oproti lhůtě splatnosti.
Vypočítejte kolik % z dlužné částky činilo denní penále za nezaplacení.
Řešení:
Úrok vypočítáme ze vzorce:
nJ
JJ
i n



0
0
, tedy:
%67,0
30000300
000300000360



i
Za každý den zpoždění platby se nám počítalo penále ve výši 0,67% z dlužné částky.

3
Příklad č. 5
Obdobný příklad jako 2 až 4.
V současnosti činí výše dluhu 300 000 Kč.
Pohledávka je opožděna o 30 dní oproti lhůtě splatnosti.
Penále z prodlení (úroková míra) činí 3 % z dlužné částky (míněno z počáteční jistiny) za
každý den po lhůtě.
Vypočítejte původní výši dluhu.
Řešení:
Původní výši dluhu vypočítáme ze vzorce:
ni
J
J n


1
0 , tedy:
KčJ 895157
3003,01
000300
0 


Původní výše dluhu byla 157 895 Kč.

4
Složené úročení
Příklad č. 6
Vložili jste 100 000 Kč na termínový účet úročený 8 %.
Výpovědní lhůta je 5 let.
Kolik bude činit výše konečné jistiny?
Řešení:
Výši konečné jistiny vypočítáme ze vzorce:  n
n iJJ  10 , tedy:
  KčJn 93314608,01000100
5

Výše konečné jistiny bude činit 146 933 Kč.
Příklad č. 7
V letošním roce činily tržby makléřské firmy Imposter  Swindler 25 mil. Kč. Firma
předpokládá růst tržeb o 5 % ročně. Jaká bude předpokládaná výše tržeb za:
 5 let
 7 let
 15 let
Řešení:
Příklad se bude počítat podle stejného vzorečku jako u příkladu č. 6, tedy:
5 let    KčJn 0009003105,0100000025
5

7 let    KčJn 0001803505,0100000025
7

15 let    KčJn 0009705105,0100000025
15

Předpokládané tržby budou za 5 let 31,9 mil. Kč, za 7 let 35,18 mil. Kč a za 15 let
51,97 mil. Kč.
Příklad č. 8
Počáteční jistinu předpokládejme ve výši 150 000 Kč.
Vypočítejte výši úroku za:
 2 roky
 18 měsíců
 26 měsíců
 520 dnů
 750 dnů
 3 roky
 20 měsíců
 500 dnů
Řešení:
Výši úroku vypočítáme podle vzorce:   00 1 JiJu
n


5
2 roky    Kč500310001501,01000150
2

18 měsíců    Kč054230001501,01000150 12
18

26 měsíců    Kč406340001501,01000150 12
26

520 dnů    Kč140220001501,01000150 360
520

750 dnů    Kč947320001501,016000150 360
750

Výše konečné jistiny vypočítáme podle vzorce:  n
n iJJ  10
3 roky    Kč6501991,01000150
3

20 měsíců    Kč8241751,01000150 12
20

500 dnů    Kč2301711,01000150 360
500

Úrok z vkladu bude činit po 2 letech 31 500 Kč, po 18 měsících 23 054 Kč, po 26 měsících
34 406 Kč, po 520 dnech 22 140 Kč a po 750 dnech 32 947 Kč. Výše konečné jistiny bude po
3 letech 199 650 Kč, po 20 měsících 175 824 Kč a po 500 dnech 171 230 Kč.
Příklad č. 9
Jakého výnosu je nutno docílit, aby se hodnota investice zdvojnásobila během 5 let?
Řešení:
Výnos vypočítáme podle vzorce: 1 n
o
n
J
J
i , tedy:
Jn = 2J0  %9,141
1
25 i
Je nutno docílit výnosu 14,9%.
Příklad č. 10
Vložili jste 100 000 Kč na termínovaný účet úročený 8%.
Po kolika letech docílíte konečné jistiny ve výši 250 000 Kč?
Řešení:
Dobu vypočítáme ze vzorce:
 i
J
J
n o
n


1log
log
, tedy:
 
letn 9,11
08,01log
000100
000250
log



Konečné jistiny docílíme za 11,9 let.

6
Příklad č. 12
V průběhu následujících 5 let hodláte (vždy začátkem roku) investovat tyto částky:
 250 000 Kč
 110 000 Kč
 310 000 Kč
 410 000 Kč
 125 000 Kč
Jaká je budoucí hodnota investice, podaří-li se Vám dosáhnout průměrného výnosu 10% za
rok?
Řešení:
Všechny hodnoty převedu na hodnoty budoucí pomocí vzorce:  n
n iJJ  10 a sečtu.
(Čím dříve investované peníze, tím mají větší počet n (let).) Tedy:
KH = 250 000 . (1+0,1)5
+ 110 000 . (1+0,1)4
+ 310 000 . (1+0,1)3
+ 410 000 . (1+0,1)2
+
125 000 . (1+0,1)1
= 1 609 889 Kč
Konečná hodnota investice je 1 609 889 Kč.
Příklad č. 13
Vložili jste 100 000 Kč na běžný účet úročený 7,5 %.
Kolik bude činit konečná jistina po 5 letech v případě, že jsou úroky připisovány:
 ročně
 pololetně
 čtvrtletně
 měsíčně
 denně
 spojitě
Vypočítejte kolika % p.a. by musel být účet úročen, aby se výše úroku vyrovnala spojitému
úročení při sazbě 7,5%.
Řešení:
Konečnou jistinu vypočteme podle vzorců:  n
n iJJ  10 a pro spojité úročení
in
n eJJ 
 0 , tedy:
ročně    KčJn 563143075,01000100
5

pololetně  KčJn 504144
2
075,0
1000100
25








čtvrtletně  KčJn 995144
4
075,0
1000100
45








měsíčně  KčJn 329145
12
075,0
1000100
125








denně  KčJn 493145
360
075,0
1000100
3605








spojitě  KčeJn 499145000100 075,05
 

7
Výši úroku vypočteme podle vzorce: 1 n
o
n
J
J
i , tedy:
%8,71
000100
499145
5 i
Konečná jistina bude činit při připisování úroků ročně 143 563 Kč, pololetně 144 504 Kč,
čtvrtletně 144 995 Kč, měsíčně 145 329 Kč, denně 145 493 a spojitě 145 499. Účet by musel
být úročen 7,8% p.a., aby se výše úroku vyrovnala spojitému úročení.

8
Rentový a anuitní počet
Příklad č. 14
Výrobní zařízení bylo pronajato za 500 000 Kč ročně.
Vypočítejte současnou hodnotu tohoto zařízení, je-li jeho životnost a požadovaná míra
výnosnosti 12%.
Řešení:
Současnou hodnotu vypočítáme pomocí Zásobitele, tedy:
 
 
KčSH 0002842
12,0112,0
112,01
000500 7
7




Současná hodnota zařízení je 2 284 000 Kč.
Příklad č. 15
Do závěrečných (magisterských) státnic Vám chybí 16 měsíců. Každý měsíc jste schopni
spořit 1500 Kč. Roční výnos činí 6%.
a) Kolik budete mít naspořeno v okamžiku státnic?
b) Kolik budete mít naspořeno v době státnic, pokud již máte na účtu 150 000 Kč?
c) Kolik budete mít naspořeno na oslavu státnic v případě, že se Vám nepodaří složit zkoušku
z předmětu Finance podniku a státní zkoušky se zúčastníte až o rok později?
Řešení:
a) Počítáme pomocí Střadatele, tedy: KčKH 92124
12
06,0
1
12
06,0
1
5001
16









b) K výsledku a) přičteme zhodnocených 150 000 Kč pomocí složitého úročení. tedy:
   9212406,01000150 12
16
KH 187 039 Kč
c) Výpočet bude stejný jako v bodech a) a b), ale budeme počítat s 28 měsíci, tedy:
  KčKH 80821606,01000150
12
06,0
1
12
06,0
1
5001 12
28
28









V době státnic budeme mít naspořeno 24 921 Kč, pokud již na účte budeme mít naspořeno
150 000, tak v době státnic budeme mít 197 039 Kč a pokud státnici budeme skládat o rok
později, tak budeme mít naspořeno 216 808 Kč.
Příklad č. 16
Na rekonstrukci střechy domu potřebujete 750 000 Kč. Odhadujete, že střecha vydrží ještě
6let. Kolik je nutno měsíčně spořit na rekonstrukci? Úroková míra činí 8%.
Jaká bude konečná hodnota úroků?
Jak dlouho bude muset Vaše střecha vydržet, pokud můžete spořit pouze 5000 Kč měsíčně?
Řešení:
Výši splátky vypočítáme pomocí Fondovatele, tedy:

9
KčSplátka 1508000750
1
12
08,0
1
12
08,0
126








 
Konečná hodnota úroků = 750 000 – (8150 . 12 . 6) = 163 200 Kč.
Dobu, po kterou bude muset střecha ještě vydržet, vypočteme podle vzorce:
)1log(
)1log(
i
i
A
J
n
n


 , tedy:
letn 7,8
12
)
12
08,0
1log(
)1
12
08,0
0005
000750
log(




Na rekonstrukci střechy musíme splácet 8 150 Kč. Konečná hodnota úroků bude 163 200 Kč.
Střecha bude muset vydržet 8,7 let, pokud budeme moct splácet jen 5 000 Kč měsíčně.
Příklad č. 17
Podobná situace jako v předešlém příkladě, ale tentokrát chcete rekonstrukci realizovat již
nyní. Zmíněných 750 000 Kč si proto musíte již nyní vypůjčit v bance. Kolik budete splácet
měsíčně, chcete –li půjčku splatit během 6 let?
Banka Vám půjčí s úrokovou mírou 10%.
Jak dlouho budete půjčku splácet v případě, že můžete uspořit maximálně
 9 500 Kč
 7 500 Kč
Řešení:
Splátku vypočteme pomocí Umořovatele, tedy:
KčSplátka 89413000750
1)
12
1,0
1(
)
12
1,0
1(
12
1,0
126
126






Dobu, jak dlouho budeme splácet, pokud máme omezené množství peněz vypočteme podle
vzorce:
)1log(
log
0
i
iJA
A
n








 , tedy pro:

10
9500 Kč 
letn 77,10
12
)
12
1,0
1log(
12
1,0
0007505009
5009
log
















7500 Kč 
letn 18
12
)
12
1,0
1log(
12
1,0
0007505007
5007
log
















Budeme muset splácet 13 894 Kč, pokud budeme splácet jen 9 500 Kč doba se prodlouží na
11 let a při 7 500 Kč na 18 let.
Příklad č. 18
Vypočtěte hodnotu věčné renty, pokud anuita pro příští rok činí 100 Kč a požadovaná míra
výnosnosti je 12%.
Jak se změní hodnota anuity v případě, že bude anuita růst o 2% ročně?
Řešení:
Hodnotu věčné renty vypočteme ze vzorce:
gi
A
SH

 , tedy:
Pokud anuita neporost g = 0  KčSH 833
012,0
100


 , poroste-li, pak
KčSH 0001
02,012,0
100



Hodnota věčné renty je 833 Kč, pokud nebude anuitní růst, pokud anuita poroste hodnota
věčné renty je 1 000 Kč.
Příklad č. 19
Vypočítejte hodnotu této renty:
1. rok = příjem 120 000 Kč

11
15. rok = příjem 155 000 Kč a od tohoto roku se bude hodnota příjmu zvyšovat (po věčné
časy) vždy o 1 % ročně. Požadovaná míra výnosnosti je 15 %.
K výpočtu použijte vzorce úrokového a anuitního počtu.
Řešení:
Výpočet hodnoty renty si rozdělíme do 3 fází:
1)1. – 3. rok musíme každý zvlášť odúročit pomocí vzorce: n
n
i
J
)1( 
2) 4. – 14. rok můžeme souhrnně spočítat pokud od Zásobitele14
odečteme Zásobitele3
3) věčná renta od 15. roku, kterou pak odúročíme, abychom jsme dostali současnou hodnotu
1) 1. rok 
 
KčSH 348104
15,01
000120
1



2. rok 
 
KčSH 17683
15,01
000110
2



3. rok 
 
KčSH 61475
15,01
000115
3



2)
 
 
 
 
KčSH 187516484342671858000150
15,0115,0
115,01
000150
15,0115,0
115,01
3
3
14
14







3)
 
KčSH 471156
15,01
01,015,0
000155
14




Hodnota renty = 104 348 + 83 176 + 75 614 + 516 187 + 156 471 = 935 796 Kč.
Hodnota této renty je 935 796 Kč.
Příklad č. 20
Je 20. prosince roku 2014. Rozhodli jste se nakoupit obligace na kapitálovém trhu.
Cenný papír, o kterém uvažujete, Vám přinese tyto příjmy:
31.12. 2014 – příjem 1 500 Kč
31.12. 2015 – příjem 1 500 Kč
31.12. 2016 – příjem 1 500 Kč
31.12. 2017 – příjem 1 500 Kč
31.12. 2018 – příjem 1 500 Kč
31.12. 2019 – příjem 1 500 Kč + vrácení nominální ceny tj. příjem 15 000 Kč.
Za jakou cenu se Vám takovýto nákup vyplatí? Požadovanou míru výnosnosti odhadujete na
8%.

12
Řešení:
Zjištění současné hodnoty vypočítáme pomocí Zásobitele5
+ 1. příjem + odúročení
jednorázového vrácení ceny obligace po 5 letech. 11 dní do výplaty je ve výpočtu
zanedbatelný.
KčSH 69817
)08,01(
00015
)08,01(08,0
1)08,01(
50015001 55
5






Takovýto nákup obligace se nám vyplatí nakoupit nejvýše za cenu 17 698 Kč.
Příklad č. 21
Chcete koupit nový automobil.
Cena nového automobilu činí 10 000 Euro.
Firma CC-auto Vám nabízí automobil za 9 000 Euro.
Firma Auto-DD Vám stejný automobil prodá za 10 000 Euro. Hotově však musíte zaplatit
pouze 1 000 Euro, zbytek můžeme vyrovnat v 30 měsíčních splátkách.
Co je pro Vás výhodnější při úrokové sazbě 10%?
Řešení:
Vypočítáme pomocí Zásobitele, jakou mají splátky současnou hodnotu a obě nabídky
porovnáme.
KčSH 9348
12
1,0
1
12
1,0
1)
12
1,0
1(
3000001 30
30










Koupě nového automobilu je pro nás výhodnější od firmy Auto-DD.
Příklad č. 22
V příštích 7 letech máte dostat tyto peněžní částky (vždy koncem roku):
1. rok – 350 000 Kč
2. rok – 410 000 Kč
3. rok – 350 000 Kč
4. rok – 480 000 Kč
5. rok – 320 000 Kč
6. rok – 110 000 Kč
7. rok – 550 000 Kč
Vypočítejte sedmiletou anuitu, která je ekvivalentem těchto částek při 12% zúročení.
Řešení:
Nejdříve si zjistíme počáteční hodnotu jistiny a pak pomocí Umořovatel zjistíme anuitu.
Počáteční hodnotu jistiny vypočteme postupným odúročením jednotlivých příjmů, protože
hodnoty jsou různorodé, tedy:
1. rok  KčSH 500312
)12,01(
000350
1




13
2. rok  KčSH 849326
)12,01(
000410
2



3. rok  KčSH 123249
)12,01(
000350
3



4. rok  KčSH 049305
)12,01(
000480
4



5. rok  KčSH 577181
)12,01(
000320
5



6. rok  KčSH 72955
)12,01(
000110
6



7. rok  KčSH 792248
)12,01(
000550
7



  KčAnuita 0343687922485003126196791
1)12,01(
)12,01(12,0
7
7



 
Sedmiletá anuita je místo různorodých příjmů v různých období 368 034 Kč.
Příklad č. 23
Během následujících 15 let máte dostat rentu ve výši 12 000 Kč ročně.
Vypočítejte:
a) Současnou hodnotu této renty, pokud Vám bude propláceny vždy koncem roku.
b) Současnou hodnotu této renty, pokud Vám bude proplácena vždy začátkem roku.
c) Budoucí hodnotu této renty, pokud Vám bude proplácena vždy koncem roku.
d) Budoucí hodnotu této renty, pokud Vám bude proplácena vždy začátkem roku.
Diskontní sazba činí 10%.
Řešení:
Současnou hodnotu renty vypočítáme pomocí Zásobitele, akorát při proplácení na začátku
roku si musíme uvědomit, že první rentu dostaneme hned, tedy bez úroku (Zásobitele
ponížíme o rok a první rentu přičteme.).
Budoucí hodnotu renty vypočítáme pomocí Střadatele, akorát při proplácení na začátku roku,
si musíme uvědomit, že poslední rentu dostaneme až v 16. roce (Zásobitel16
- renta).
Tedy:
a)
 
KčSH 27391
1,011,0
1)1,01(
15
15




b)
 
KčSH 400100
1,011,0
1)1,01(
00012 14
14




c) KčKH 270381
1,0
1)1,01( 15



d) KčSH 39741900012
1,0
1)1,01( 16




14
Současná hodnota renty vyplácená na konci roku je 91 273 Kč, na začátku roku 100 400 Kč.
Budoucí hodnota vyplácena na konci roku je 381 270 Kč, na začátku roku 419 397 Kč.

15
Další příklady k procvičení
Příklad č. 24
Jako výherce televizní soutěže si můžete vybrat z následujících cen:
 110 000 Kč ihned
 190 000 Kč koncem 5. roku
 220 000 Kč začátkem 7. roku
 12 500 Kč ročně po věčné časy
 19 500 Kč v každém z následujících 10 let (vždy koncem roku)
 20 500 Kč v každém z následujících 9 let (vždy začátkem roku)
 7 000 Kč příští rok, s tím, že tato částka bude stále a věčně růst o 3% ročně
Jakou cenu si vyberete?
Řešení:
Všechny hodnoty si převedeme na současnou hodnotu a najdeme nejvyšší částku. Použijeme
pro výpočet vzorečky: Odúročitel, Zásobitel a pro věčnou rentu.
110 000 Kč  110 000 Kč
190 000 Kč  KčSH 975117
)1,01(
000190
5



220 000 Kč  KčSH 184124
)1,01(
000220
6



12 500 Kč  KčSH 000125
1,0
50012

19 500 Kč  KčSH 81911950019
)1,01(1,0
1)1,01(
10
10




20 500 Kč  KčSH 86612950019
)1,01(1,0
1)1,01(
50020 8
8




7 000 Kč  KčSH 000100
03,01,0
0007



Vybereme si cenu ve formě splátek po 20 500 Kč v každém z následujíc 9 let vyplácenou
vždy začátkem roku.
Příklad č. 25
Investice stála 5 mil Kč. Díky ní se podařilo uspořit 10 pracovníků s průměrným platem
15 000 Kč hrubého.
Určete za jakých podmínek se Vám investice vyplatí, jestliže pro zjednodušení pominete vliv
daní a poplatků (zdrav. soc. apod.)
Řešení:
Úlohu vyřešíme tím, že si dáme investici a náklady na mzdy do rovnice, z které vypočteme
úrok, tedy:
%36
0000005
121000015121000015
0000005 



 i
i

16
Investice se nám vyplatí dokud úrok bude do 36 %, nebo-li náklady na pracovníky budou
menší než úspory.
Příklad č. 26
Investor Vám nabízí nákup takovéto investice:
Za to, že mu budete po 5 let (vždy na konci roku) platit 10 000 Kč, bude on Vám od 6 roku
(taktéž vždy koncem roku) platit částku 11 000 Kč a to po věčné časy.
Vypočítejte za jakých podmínek může být investice výhodná.
Řešení:
Úlohu vyřešíme pomocí rovnice, kdy na jedné straně bude Střadatel a na druhé straně věčná
renta. Počítáme to pomocí střadatele protože 6. rok budeme brát jako současnost, tedy:
%1611
00010
0001100011
00010
1)1(
5
5


i
ii
i
Investice může být výhodná, pokud úroky nebudou vyšší než 16%.
Příklad č. 27
Vypočítejte, jakého výnosu (úrokové sazby) investice by bylo třeba dosáhnout, aby Vám tato
investice přinesla větší výnos než stavební spoření.
Měsíční anuita při stavebním spoření je 1 500 Kč, (předpokládejte u alternativní investice
stejnou výši).
Úroková míra 3%.
Státní podpora z ročně vložené částky (tj. 4 500 Kč).
Doba spoření 5 let.
Řešení:
Nejdříve si vypočítáme konečnou částku, kterou naspoříme pomocí stavebního spoření a poté
odvodíme pomocí tabulky pro Střadatele úrokovou míru, aby byla investice výhodnější.
1) KčKH 861120
03,0
1)03,01(
5004
12
03,0
1)
12
03,0
1(
5001
5
125






2) %5,147145,6
500112
861120


i
Investice bude výhodnější pokud úroková míra bude větší než 14,5%.
Příklad č. 28
Váš soused (pracující jako prognostik nejmenované společnosti zaměřené na dovoz zemního
plynu) důkladně zateplil svůj dům.
Hodnota jeho investice činí cca 85 000 Kč.
Odhadujete, že příští zimu může uspořit cca 6 000 Kč za vytápění.
Pro zjednodušení předpokládejte, že investice na zateplení má nekonečnou živnost.
Váš soused ví, (jako prognostik) něco, co vy nevíte. Co?

17
Řešení:
Soused ví, o kolik % poroste minimálně zemní plyn. Míru růstu my vypočítáme pomocí
vzorečku pro věčnou rentu, tedy:
%9,4
00085
0006
12,0
12,0
0006
00085 

 g
g
Soused ví, že zemní plyn poroste minimálně o 4,9%.
Příklad č. 29
Příklad na kombinované úročení:
Od narození dcery Evy až do jejích 18 let platili manželé Novákovi na její dětský účet
(specifický produkt Českomoravské železniční banky) vždy 1 800 Kč měsíčně. Do tohoto
data byl úrok (průměrně 8% p.a.) na účtu složený.
Od jejích 18. narozenin je částka na účtu úročena jednoduchým způsobem. Eva účet zrušila a
peníze vybrala v den svých 20. narozenin.
Kolik vybrala?
Kolik % z této částky tvořily úroky?
O kolik by Eva vybrala více, kdyby s výběrem počkala ještě 4 měsíce?
Řešení:
Nejdříve vypočítáme pomocí Střadatele výši jistiny k 18. narozeninám a pak tuto částku
zvýšíme pomocí Úročitele k 20. narozeninám. % úroků bude počítáno jako poměr vložených
peněz a výše konečné jistiny. Prodloužení výběru o 4 měsíce se nám ve výpočtu promítne
pouze v délce u Úročitele, tedy:
1) KčKH 4200021)208,01(
12
08,0
1)
12
08,0
1(
8001
1218




2) %2,61
4200021
18128001
1% 

úroku
3)
Kčrozdíl
KčKH
0442342000214640251
4640251)
12
28
08,01(
12
08,0
1)
12
08,0
1(
8001
1218





Eva ve svých 20 letech vybrala 1 002 420 Kč, úroky tvořily 61,2 % vkladu a kdyby s výběrem
počkala 4 měsíce, tak mohla vybrat o 23 044 Kč více.
Příklad č. 30
V 18 letech uvažujete o vstup na vysokou školu.
V případě, že se rozhodnete nastoupit rovnou do zaměstnání, dostanete plat ve výši cca
14 000 Kč hrubého.
Váš plat bude růst cca o 2 % ročně.
Do důchodu půjdete po 45 letech práce – tj. v 63 letech.
V případě, že nastoupíte ke studiu, vynaložíte v následujících 5 letech vždy 2 000 Kč měsíčně
v souvislosti se studiem (ubytování na podnájmu, studijní literatura, náklady na stáže apod.).

18
Do důchodu půjdete po 40 letech práce – tj. taktéž ve 63 letech.
Požadovaná míra výnosnosti je 10 %.
Vypočítejte, kolik musí činit Váš nástupní plat, aby se Vám investice do studia vyplatila:
Stejně jako v případě okamžitého nástupu do zaměstnání předpokládejte nárůst Vašeho platu
o 3% ročně.
Příklad vypočítejte pro následující situace:
a) ignorujete vliv daní a ostatních poplatků (zdravotní a sociální)
b) započítejte vliv daní a poplatků
c) jak se změní výsledek situace b) v případě, že se Vám podaří meziročně zvyšovat plat
o 3% ročně.
Vypočítejte za jakých podmínek se vyplatí státu investovat do vzdělání v případě, že Vaše
výuka stojí stát cca 25 000 Kč ročně.
Příklad č. 31
Předpokládejte, že dostudujete v 25 letech (není to projev nedůvěry k Vaší schopnosti složit
státnice – pouze chci, aby se to lépe počítalo).
Dále předpokládejte, že výše Vašeho nástupního platu bude 15 000 Kč čistého.
5% z toho platu budete ukládat na důchodové pojištění.
Předpokládejte růst platu ve výši cca 3 % ročně.
Míra zúročení vkladu je cca 7,5 %.
Do důchodu půjdete po 40 letech (tj. v 65 letech)
Předpokládejte, že budete žít dalších 20 let.
Jak velký důchod si můžete dovolit vyplácet měsíčně?

Materiál pro cvičení – Finance podniku I
Aplikace ČSH při oceňování akcií a cenných papírů
Současná hodnota úrokových plateb
Současná hodnota dluhopisu:
Současná hodnota úrokové platby + současná hodnota jmenovité hodnoty
Současná hodnota dividendových výnosů
SHVD = současná hodnota dividendových výnosů
Divk=dividenda na akcii na konci k-tého období
n = období, na jehož konci se předpokládá prodej akcie
Současná hodnota výnosu z prodeje akcií
SHVPA = současná hodnota výnosu z prodeje akcie
TCAn= tržní cena akcie na konci n-tého období
Stanovení současné hodnoty akcie
Náklady kapitálu
a) Náklady jednotlivých druhů kapitálu – výdaj, který podnik zaplatí za získání jednotlivých
druhů kapitálu (náklady dluhu, náklady prioritního kapitálu, náklady kmenového kapitálu).
b) Průměrné náklady celkového průměrného kapitálu – jedná se o vážený průměr nákladů
jednotlivých druhů kapitálu, které podnik používá, kde vahou je podíl příslušného druhu
kapitálu na celkovém kapitálu.
å= +
=
n
k
k
k
i
Div
SHVD
0 )1(
n
n
i
TCA
SHVPA
)1( +
=
å= +
=
n
k
k
k
i
Div
SHAK
0 )1( n
n
i
TCA
)1( +
+
( )
( )t
t
ii
i
dtbaúrokovápla
+
-+
-
1*
11
*)1(*

Náklady jednotlivých druhů kapitálu závisí na:
a) Době splatnosti kapitálu
b) Stupni rizika, které investor podstupuje,
c) Na způsobu úhrady nákladů kapitálu podnikem.
Daňový štít úroků z obligací, úvěrů
Řazení jednotlivých druhů kapitálu z hlediska jeho ceny:
a) Nejlevnější – krátkodobý dluh – krátkodobý cizí kapitál- protože má krátkou dobu splatnosti
riziko pro věřitele je relativně nejmenší, úrok je součástí nákladů podniku a snižuje základ pro
zdanění.
b) Střednědobý a dlouhodobý dluh – dlouhodobý CK- stoupá doba splatnosti a riziko pro
věřitele.
c) Nejdražší je akciový kapitál - event. i nerozdělený zisk – splatnost je vlastně nulová, akciový
kapitál se nesplácí – výjimkou jsou zaměstnanecké akcie – riziko akcionáře je poměrně vyšší
než riziko věřitele
Náklady dluhu
𝑁" = i ∗ (1 − d)
d= daňový koeficient (daňová sazba ze zisku)
Náklady dluhu – upisování obligací (tržní cena obligace se příliš neliší od emisní)
𝑁" =
i ∗ (1 − d)
1 − 𝐸
E = emisní náklady (podíl z hodnoty emise v tržní ceně)
i = úrok z obligací
Náklady prioritního kapitálu
𝑁, =
𝐷, ∗ 100
𝐶, − 𝐸

Cp= tržní cena prioritní akcie
Dp = roční dividenda z prioritní akcie v Kč
Np = požadovaná míra výnosnosti prioritní akcie v % (náklady prioritní akcie)
Náklady kmenového kapitálu
𝑁1 =
𝐷1 ∗ 100
𝐶1 − 𝐸
+ 𝑔
Ck= tržní cena kmenové akcie
Dk = roční dividenda z kmenové akcie v Kč
Nk = požadovaná míra výnosnosti kmenové akcie v % (náklady kmenové akcie)
g= růst

Průměrné náklady podnikového kapitálu
𝑁4 =
𝐷
𝐾
∗ 𝑁" +
𝑃
𝐾
∗ 𝑁, +
𝐾7
𝐾
∗ 𝑁1
Km = kmenový kapitál v Kč
K = celkový kapitál v Kč (D+P+Km)
P = prioritní kapitál
D = dluh v Kč
Příklad 1
Za těchto podmínek je nabídnut dluhopis C:
• 23% nominální kuponová úroková míra
• Jmenovitá hodnota – 1000Kč splatná na konci 4. roku
• Námi zvažovaná úroková míra – 16%
• Úroky se vyplácí na konci období
• Sazba daně 15%
Vypočítejte současnou hodnotu dluhopisu.
Současná hodnota splátek dluhopisu:
1000/(1+0,16)4
= 552,29 Kč
Úroková platba:
1000*0,23=230 Kč
Současná hodnota úrokových plateb:
230*(1-0,15)*((1-(1+0,16)-4
)/(0,16))= 547,04Kč
Současná hodnota dluhopisu: 552,29+547,04=1099,33
Příklad 2
Zvažujete nákup akcie společnosti D. Na základě znalosti její dividendové politiky očekáváte, že výše
vyplacené dividendy na jednu kmenovou akcii bude 500 Kč.
Dividenda by měla za rok vzrůst o 4%
Sazba daně z dividend 15%
Zvažovaná úroková míra je 14%
Jaká je současná hodnota akcie?
SHVD = 500*(1-0,15)/(0,14-0,01)
SHAK = 4250

Příklad 3
Podnik V může získat střednědobý úvěr od banky ve výši 2 mil Kč za úrok 9 % p.a. Daň z příjmů činí 19
%. Jaké jsou náklady dluhu pro podnik?
I*(1-d) = 0,09*(1-0,19) = 0,0725 = 7,29 %
Příklad 4
Podnik V z předchozího příkladu chce zmíněné 2 mil Kč získat emisí obligací. Emisní náklady jsou ve
výši 5 % z jejich nominální ceny. Úrok z obligací je 10 % p.a. Daň z příjmů činí 19 %. Za předpokladu,
že se tržní cena obligace neodlišuje od nominální a nejsou uskutečňovány žádné pravidelné splátky
(prémie pro držitele obligace).
𝑁" =
0,1 ∗ (1 − 0,19)
1 − 0,05
= 8,53%
Příklad 5
Akciová společnost B emituje prioritní akcie v nominální hodnotě 4000 Kč, tržní cena akcie je 5 500
Kč, Roční dividenda se předpokládá ve výši 800 Kč. Emisní náklady na 1 akcii jsou 200 Kč. Jaké jsou
náklady prioritního akciového kapitálu?
𝑁, =
800
5500 − 200
= 15%
Příklad 6
Akciová společnost F emituje kmenové akcie v nominální ceně 500 Kč za tržní cenu 520 Kč. Pokud:
a) Dividendový výnos je 80 Kč a nepředpokládáte jeho změnu.
b) Dividendový výnos předpokládaný v 1. roce je 80 Kč a předpokládáte jeho 2 % ní meziroční
růst.
Stanovte náklady kmenového akciového kapitálu.
𝑁1 =
𝐷1
𝐶1 − 𝐸
+ 𝑔
=
80
520 − 0
= 15,3846
a)
b) =
AB
CDBEB
+ 2 = 17,3846

Příklad 7
M a.s. má následující složení podnikového kapitálu:
Druh kapitálu Vyjádření v Kč Náklady kapitálu
Kmenový kapitál 60 mil 18 %
Prioritní kapitál 30 mil 17 %
Dluh (úvěr) 10 mil Úrok z úvěru 15 %
Společnost plánuje v následujícím roce zvýšení kapitálu o 12 mil Kč na novou investici. Stanovte
průměrné náklady zvýšeného kapitálu za předpokladu, že společnost chce zachovat stávající
strukturu kapitálu. Daň z příjmu právnických osob je 19 %.
(10/100)*(0,15*(1-0,19))+(30/100)*0,17+(60/100)*0,18=0,17115

Procvičovací příklady
Příklad 1
Kolik musíme uložit, abychom za pět let a 3 měsíce měli 100 000 Kč při úrokové sazbě 1,6% p.a.?
Úroky jsou připisovány jednou za rok, ponechávány na účtu a dále úročeny.
Výsledek: 92 002,10
Příklad 2
Rozhodli jste se založit termínovaný účet spojený s pevnou úrokovou sazbou 2,5% p.a., a uložit dnes
na tento účet takovou částku, aby za 18 let na něm byl celý milion KČ. Kolik musíte uložit dnes do
banky, předpokládáme-li roční úrokové období, úroky budou připisovány k vkladu a dále úročeny
stejnou sazbou?
Příklad 3
Jaký byl počáteční kapitál a úroková sazba, při které byl uložen, víme-li, že po roce byl jeho stav
50 000 Kč a po dvou letech 52 500 Kč. Při ročním úrokovém období? Úroky byly připisovány k vkladu
a dále úročeny spolu s ním stejnou sazbou.
Výsledek: i= 0,05 Počáteční kapitál = 47 619,05
Příklad 4
Máme možnost si pořídit investici za 4700 Kč (diskontovanou obligaci), která nám umožní získat za
dva roky částku 5000Kč. Je to výhodná investice, uvažujeme-li úrokovou sazbu 3% p.a. a roční
připisování úroků?
Výsledek: 4712,98
Příklad 5
Kolik uspoříme za tři roky, budeme-li ukládat koncem každého roku 12000Kč při neměnné 2,5%
úrokové sazbě p.a. a ročním připisování úroků?
b) ukládáme začátkem každého roku?
Výsledek: a) 36907,5
b) Jedná se o 3 pravidelné platby s tím, že každá z plateb se nejdříve rok úročí:

12000*1,025*střad. Na 3 období. =37830 Kč
Příklad 6
Kolik musíme ukládat koncem každého roku, abychom za pět let uspořili 750 000Kč při úrokové sazbě
2,5% p.a. a ročním úrokovém období?
Příklad 7
Kolik budeme ochotni zaplatit za investici, jejíž životnost je dvacet let a koncem každého roku nám
z ní plyne platba ve výši 16000Kč? Uvažujeme roční úrokovou sazbu 5% p.a.
Výsledek: 199395,37
Příklad 8
Kolik budeme ochotni zaplatit za investici, z níž budeme mít ke konci každého čtvrtletí výnos 4 000Kč
po dobu 20 let, požadujeme-li míru výnosnosti 5% p.a. a předpokládáme-li roční úrokové období?
b) a kolik v případě, že by takovéto platby měly být po neomezenou dobu?
Výsledek: a – stejný postup jako u př. 7,
b) 320 000Kč
Příklad 9
Úvěr 40000Kč má být umořen polhůtními ročními anuitami za šest let při neměnné úrokové sazbě
5%p.a. Určete výši anuity a sestavte umořovací plán (splátkový kalendář).
Výsledek:
Jedna splátka = 7880,7, splátkový kalendář jako na cvičení.

- vyplacené úroky se připočítávají k původnímu kapitálu a v dalším období se s ním úročí
- úročí se již zúročený kapitál
- dělí se na : - předlhůtné ( nepoužívá se )
- polhůtné
Výpočet budoucí hodnoty
za 1. úrokové období
p – úroková míra v %
za 2. úrokové období m – frekvence úročení ( frekvence
připisování úroků )
za n období
i – úroková sazba za období ( roční , pololetní …
n - počet úrokovacích období
( 1 + i ) úrokový faktor, úročitel
diskontní faktor, odúročitel
Příklad:
Stanovte, jakou hodnotu bude mít po třech letech vklad 120 000Kč při složeném úročení,
jestliže úrokové období je roční a roční úroková sazba je 4,5%.( daň z úroků ani poplatky
neuvažujeme.
Jestliže úrok nebudeme připisovat jednou ročně ale m krát v roce, pak se příklad změní.
( úrokové období bude čtvrt roku, doba 3 roky )
( )iPF +×= 11
m
p
i
100
=
( )
( )2
2
12
1
1
iPF
iFF
+×=
+×=
( )
mn
n
n
n
m
p
PFiPF
×
÷
ø
ö
ç
è
æ
×
+×=+×=
100
11
i+1
1
100
5,4
3
120000
=
=
=
i
n
P
( )
KčF
F
iPF
n
n
94,136939
100
5,4
1120000
1
3
3
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+×=
+×=
4100
5,4
43
120000
×
=
×=
=
i
n
P
( )
KčF
F
iPF
n
n
93,137204
4100
5,4
1120000
1
43
3
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
×
+×=
+×=
×

Čím kratší bude úrokové období, tím větší bude budoucí hodnota za daný časový úsek při
složeném úročení.
Základní vztahy složeného úročení
n let, jedenkrát ročně n let, m krát ročně
Budoucí hodnota
Současná hodnota
Úroková sazba [%]
Počet období
Příklady:
1) Určete sumu peněz, kterou jste museli před 15 lety uložit, jestliže dnes máte hodnotu
150 000 Kč. Úročení probíhalo složeným způsobem, připisování úroků bylo pololetní,
úroková míra 3,5% p.a. a daň z úroků 15%.
F = 150 000, n = 15, m = 2, p = 3,5
P
=96 319,60 Kč
2) Jakou roční úrokovou sazbou byl úročen kapitál 48 600 Kč, vzrostl-li za 4 roky na
52 000Kč . Úročení probíhalo složeným způsobem, připisování úroků bylo měsíční.
P = 48 600 F = 52 000 n = 4 m = 12
p = 1,69%
3) Stanovte dobu, po kterou byl při složeném úročení úročen kapitál 150 000 Kč.
Úroková sazba činila 4% p.a., úroky byly připisovány pololetně a budoucí hodnota
kapitálu činila 180 000Kč. Daň z úroků neuvažujte.
n = 4,6
n
p
PF ÷
ø
ö
ç
è
æ
+×=
100
1
mn
m
p
PF
×
÷
ø
ö
ç
è
æ
×
+×=
100
1
n
p
FP
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+×=
100
1
mn
m
p
FP
×-
÷
ø
ö
ç
è
æ
×
+×=
100
1
1001 ×÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-= n
P
F
p m
P
F
p mn ××÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-= × 1001
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
=
100
1log
loglog
p
PF
n
÷
ø
ö
ç
è
æ
×
+
-
=×
m
p
PF
mn
100
1log
loglog
mn
m
p
FP
×-
÷
ø
ö
ç
è
æ
×
×
+×= 85,0
100
1
215
85,0
2100
5,3
1150000
×-
÷
ø
ö
ç
è
æ
×
×
+×=P
m
P
F
p mn ××÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-= × 1001 121001
48600
52000124 ××÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-= ×p
÷
ø
ö
ç
è
æ
×
+
-
=×
m
p
PF
mn
100
1log
loglog
÷
ø
ö
ç
è
æ
×
+×
-
=
2100
4
1log2
150000log180000log
n

n = 4 roky, 7 měsíců, 7 dní
Příklady samostatně
1) Při složeném úročení s pololetním připisováním úroků je klientovy úročen dluh
10 000Kč. Po třech letech musí klient vrátit 15 000Kč. Jakou roční úrokovou mírou
byla půjčka úročena. ( 13,98% )
2) Jaká bude výše úroku z kapitálu 200 000Kč za 3 roky, probíhá-li úročení složeným
způsobem, připisování úroků je čtvrtletní, úroková sazba činí 10,5% p.a , daň z úroků
je 15%. ( 60 637,70Kč )
3) Pan Michal si uložil 4 278Kč při úrokové míře 5,5% složeného úročení s pololetní
frekvencí připisování úroků. Určete, jaký bude úrokový výnos za 5 let ( daň z úroků
neuvažujte ). ( 1333,24 )
4) Určete počáteční hodnotu kapitálu, která naroste na 7 000Kč za 12 let při složeném úročení
s úrokovou mírou 3% p.a. a připisováním úroků měsíčním. ( 4 885,93 )
5) Určete současnou hodnotu 15 000 Kč za 20 let při 4,5% p.a., složeného úročení, čtvrtletní
frekvence připisování úroků, ( daň z úroků neuvažujte ). ( 6 129,27)
6) Určete úrokovou míru p.a., při které se 4 400Kč zvýší na 8 500Kč za 16 let při čtvrtletním
připisování úroků. ( 4,137% )
7) Při jaké úrokové míře p.a. složeného úročení se 4 000Kč zvýší na 15 000Kč za 20 let a
pololetním připisování úroků. ( 6,72% )
8) Určete počet let,za které hodnota 1 000 Kč vzroste na 1 500Kč při 4% složeného úročení a
čtvrtletní frekvenci připisování úroků.
9) Určete, za jak dlouho se počáteční hodnota kapitálu zvýší na svůj trojnásobek, při 4% p.a.
složeného úročení ročního. ( 28 )
10) Před 8 lety uložil otec studenta Jana pro svého syna určitý kapitál při 3,25% p.a.
složeného úročení se čtvrtletním připisováním úroků. Jan si na konci 8. roku vybral
8 091,90Kč jako konečnou hodnotu včetně úrokového výnosu. Jaká byla počáteční
hodnota ( daň z úroků neuvažujte ). ( 6 245,83 )
Efektivní úroková míra
Stanovte úrokový výnos, jestliže současná hodnota 100 000Kč má být po dobu dvou let
úročena 5% p.a. s připisováním úroků
ročním čtvrtletním
Čím kratší úrokové období, tím vyšší budoucí hodnota a úrok
Efektivní úroková míra je taková roční sazba, která poskytne za rok stejnou budoucí
hodnotu jako roční úhrn případů s daným kratším úrokovým obdobím.
i - úroková sazba roční - efektivní úroková míra
úroková sazba za období m – celistvý počet úročení v roce
10250
110250
100
5
1100000
2
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+×=
U
F
F
60,10448
60,110448
4100
5
1100000
42
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
×
+×=
×
U
F
F
efi
-mi

Budoucí hodnota za jeden rok při obou případech
Obě budoucí hodnoty musí být stejné
Vztahy mezi nominální a efektivní úrokovou mírou
nebo
Příklad.
Kapitál byl úročen roční efektivní úrokovou mírou 8%. Jak by se tato úroková míra snížila při
připisování úroků
pololetním čtvrtletním měsíčním
Příklad
Chcete investovat své peníze a banka A vám nabízí úrokovou míru 6,5% a pololetní
připisování úroků. Banka B 6,41% a měsíční připisování úroků. Stanovte, co je pro vás
výhodnější?
Banka A Banka B
Spojité úročení
Jestliže počet úrokových období, ve kterých se připisují úroky poroste nade všechny meze
( do nekonečna), potom jejich délka klesá k nule – pak mluvíme o spojitém úročení
Efektivní úroková míra, která odpovídá tomuto způsobu úročení se nazývá
úroková intenzita
m
i
im =
m
m
i
PF ÷
ø
ö
ç
è
æ
+×=
.
1 ( )efiPF +×= 1
( )ef
m
iP
m
i
P +×=÷
ø
ö
ç
è
æ
+× 11
11 -÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
m
ef
m
i
i ( ) mii m
ef ×-+= 11
%846,7
07846,0
21
100
8
1
=
=
×÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-+=
p
i
i
%77,7
0777,0
41
100
8
14
=
=
×÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-+=
p
i
i
%43,6
0643,0
121
100
8
112
=
=
×÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-+=
p
i
i
%605,6
06605,0
1
2100
5,6
1
2
=
=
-÷
ø
ö
ç
è
æ
×
+=
p
i
i
ef
ef
%601,6
06601,0
1
12100
41,6
1
12
=
=
-÷
ø
ö
ç
è
æ
×
+=
p
i
i
ef
ef
ei

protože , kde e = Eulerovo číslo = 2,718….
pak lze odvodit
Potom a opačně
Úroková intenzita je maximální možná výnosnost při dané úrokové sazbě i
Pro spojité úročení platí.
Příklad
Jaká úroková sazba odpovídá efektivní úrokové sazbě při spojitém úročení 10%
Příklad
Na kolik korun vzroste kapitál 10 000Kč za 5 let při spojitém úročení a sazbě 5,5%
Příklad
Jaká je současná hodnota kapitálu, který za 3 roky vzroste na 25 000 Kč při úrokové sazbě
5,5% a spojitém úročení
m
m
e
m
i
i ÷
ø
ö
ç
è
æ
+=+
¥®
1lim1 e
m
m
m
=÷
ø
ö
ç
è
æ
+
¥®
1
1lim
i
m
m
e
m
i
=÷
ø
ö
ç
è
æ
+
¥®
1lim
1-= i
e ei ( )eii += 1ln
ni
ePF ×
×= ni
eFP ×-
×=
( )
%53,90953,0
100
10
1ln
1ln
Þ=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
+=
i
i
ii e
30,13165
10000 5055,0
=
×=
×=
×
×
F
eF
ePF ni
34,21197
25000 3055,0
=
×=
×=
×-
×-
P
eP
eFP ni

Jednoduché úročení
Úrok
Budoucí hodnota
R = velikost splatného úroku (Kč)
M = současná hodnota vkladu
i = nominální úroková míra
N = počet dní úročení (úrokové období)
F = budoucí hodnota vkladu
Využívá se především s úrokovým obdobím delším než 1 rok a u instrumentů se splatností
delší než jeden rok.
Smíšené úročení
Používá se tehdy, pokud délka úrokového období neodpovídá násobku frekvence s jakou je
připisován úrok. Jde o kombinaci složeného a jednoduchého úročení.
F = budoucí hodnota vkladu
M = současná hodnota vkladu
i = nominální úroková míra
t = počet úrokových období
f = frekvence skládání úroků během 1 roku
Spojité úročení
Konvence Popis Poznámka
act/365
- Čitatel obsahuje skutečný rozdíl mezi dvěma daty
- Ve jmenovateli je 365 dní (resp. 366)
Anglická metoda –
librový peněžní trh
act/360
- Čitatel obsahuje skutečný rozdíl mezi dvěma daty
- Ve jmenovateli je 360 dní
Francouzská
metoda – peněžní
trh
30E/360
- standardní měsíc obsahuje 30 dní
- Ve jmenovateli je 360 dní Německá metoda
(N/365)*i*MR =
(N/365))*i(1*MF +=
( )t
iMF +×= 1
( ) MiMR
t
-+×= 1
÷
ø
ö
ç
è
æ
+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+=
365
*1*1*
N
i
f
i
MF
t
it
eMF ×
×=

1) Na spořící účet byla k 15.01.2013 vložena částka 150 000 Kč. Jaký bude stav účtu na
konci roku k 31.12.2013 při jednoduchém úročení, úrokové sazbě 3,2 % p.a. a se
standardem počítaní dní act/365).
F = 150000*(1+0,032*(350/365)) = 154 602,74 Kč
2) Jak velký počáteční vklad vzroste při 2% úrokové sazbě p.a. od 12.4. do 24.6. 2013 o
1500 Kč? Počet dnů dle standardu 30E/360.
R= 1500
i = 0,02
N = 72 (60+12)
1500= M * 0,02 * (72/360)
M = 1500/ (0,02*(72/360)) = 375 000
Původní výše vkladu byla 375 tis Kč.
3) Výše dluhu činila původně 300 000 Kč. V současnosti činí výše dluhu 360 000 Kč.
Pohledávka je opožděna o 30 dnů oproti lhůtě splatnosti. Vypočítejte, kolik % z dlužné
částky činilo denní penále za nezaplacení. Počet dnů dle standardu act/365.
360000=300000*(1+i*30)
60000=9000000i
i=0,67 %
Za každý den zpoždění platby se nám počítalo penále ve výši 0,67 % z dlužné částky
4) Po jakou dobu byl uložen vklad ve výši 3960 Kč, jestliže vzrostl při úrokové sazbě 2 %
p.a. připsání úroků na konci období na 4 000 Kč? Počet dnů dle standardu 30E/360.
F= 4000
M = 3960
I= 0,02
N=?
40 = 3960 * 0,02*(N/360) = 182 dnů
5) Uložili jsme částku 120 000Kč. Jaká bude výše kapitálu za tři roky při složeném
úročení polhůtním, jestliže:
a) úrokové období je roční a úroková sazba činí 1,5 % p.a.
b) úrokové období je pololetní a úroková sazba činí 1,5 % p.a.
c) úrokové období je čtvrtletní a úroková sazba činí 1,5 % p.a.
120 000 * 1,0153
= 125 481, 405
120 000 * (1 + 0,015/2)3*2
= 125 502,27
120 000 * (1 + 0,015/4)3*4
= 125 512,779
6) Za pět let máme zaplatit částku 8 000 Kč. Je však možné dluh průběžně splácet.
Využijeme této možnosti a 1000 Kč zaplatíme ihned, 2 000Kč za rok, a zbytek po
uplynutí zbytek. Kolik bude činit tento zbytek při úrokové míře 8 % p.a.?
Vypočítáme F pro 1000 a F pro 2000

1000*1,085
= 1469,33
2000*1,084 =
2720,98
8000-1469,33-2720,98= 3 809,69
7) V letošním roce činily tržby makléřské firmy Imposter & Swindler 25 mil. Kč. Firma
předpokládá růst tržeb o 5 % ročně. Jaká bude předpokládaná výše tržeb za:
a) 5 let
b) 7 let
c) 15 let
5 let ® 25 000 000 * (1+0,05)5
= 31 900 000
7 let ® 25 000 000 * (1+0,05)7
= 35 180 000
15 let ® 25 000 000 * (1+0,05)15
= 51 970 000
Předpokládané tržby budou za 5 let 31,9 mil. Kč, za 7 let 35,18 mil. Kč a za 15 let
51,97 mil. Kč.
8) Jakého ročního výnosu je nutno docílit, aby se hodnota investice ztrojnásobila během
10 let?
Výnos:
3*M= M(1+i)10
®10
√(3/1) -1 = 11,61 %
Je nutno docílit výnosu 11,61 % p.a.
9) Vložili jste 10000 Kč na termínovaný účet úročený 2% p.a. při ročním a při pololetním
úrokovém období. Po kolika letech docílíte konečné jistiny ve výši 11 000 Kč?
Ln(F)=ln(M)+t*ln(1+i)
t= (ln(F) – ln(M))/(ln(1+i)
t= (ln(F) – ln(M))/m*(ln(1+i/m)
ln11000-ln 10000/(2*ln(1,01)=4,789 roku – pololetní skládání
roční sládání – 4,813 roku
10) V průběhu následujících 5 let hodláte (vždy začátkem roku) investovat tyto částky:
• 250 000 Kč
• 110 000 Kč
• 310 000 Kč
• 410 000 Kč
• 125 000 Kč
Jaká je budoucí hodnota investice, podaří-li se Vám dosáhnout průměrného výnosu
10% za rok?
Všechny hodnoty převedu na hodnoty budoucí pomocí vzorce: a sečtu.
(Čím dříve investované peníze, tím mají větší počet n (let).) Tedy:
( )t
iMF +×= 1

F = 250 000 . (1+0,1)5
+ 110 000 . (1+0,1)4
+ 310 000 . (1+0,1)3
+ 410 000 .
(1+0,1)2
+ 125 000 . (1+0,1)1
= 1 609 889 Kč
Konečná hodnota investice je 1 609 889 Kč.
11) Vložili jste 100 000 Kč na běžný účet úročený 7,5 %. Kolik bude činit konečná jistina
po 5 letech v případě, že jsou úroky připisovány:
• ročně
• pololetně
• čtvrtletně
• měsíčně
• denně
• spojitě
Vypočítejte kolika % p.a. by musel být účet úročen, aby se výše úroku vyrovnala
spojitému úročení při sazbě 7,5%.
Konečnou jistinu vypočteme podle vzorců: a pro spojité úročení, tedy:
ročně ®
pololetně ®
čtvrtletně ®
měsíčně ®
denně ®
spojitě ®
Výpočet úroků:
Konečná jistina bude činit při připisování úroků ročně 143 563 Kč, pololetně 144 504
Kč, čtvrtletně 144 995 Kč, měsíčně 145 329 Kč, denně 145 493 a spojitě 145 499.
Účet by musel být úročen 7,8% p.a., aby se výše úroku vyrovnala spojitému úročení.
12) Počáteční jistinu předpokládejme ve výši 150 000 Kč. Úroková sazba je 10 % p.a.. Za
použití standardu E30/360 Vypočítejte výši úroku za:
a) 2 roky
b) 18 měsíců
c) 26 měsíců
d) 520 dnů
e) 750 dnů
f) 3 roky
( )t
iMF +×= 1
( ) KčJn 563143075,01000100
5
=+×=
KčJn 504144
2
075,0
1000100
25
=÷
ø
ö
ç
è
æ
+×=
×
KčJn 995144
4
075,0
1000100
45
=÷
ø
ö
ç
è
æ
+×=
×
KčJn 329145
12
075,0
1000100
125
=÷
ø
ö
ç
è
æ
+×=
×
KčJn 493145
360
075,0
1000100
3605
=÷
ø
ö
ç
è
æ
+×=
×
KčeJn 499145000100 075,05
=×= ×
%8,71
000100
499145
5 =-=i

g) 20 měsíců
h) 500 dnů
Výši úroku vypočítáme podle vzorce:
2 roky ®
18 měsíců
26 měsíců
520 dnů
750 dnů
Výše konečné jistiny vypočítáme podle vzorce:
3 roky ®
20 měsíců
500 dnů
Úrok z vkladu bude činit po 2 letech 31 500 Kč, po 18 měsících 23250 Kč, po 26
měsících 34 525 Kč, po 520 dnech 22 333 Kč a po 750 dnech 33013 Kč. Výše konečné
jistiny bude po 3 letech 199 650 Kč, po 20 měsících 176000 Kč a po 500 dnech 171 417
Kč.
( ) MiMR
t
-+×= 1
( ) Kč500310001501,01000150
2
=-+×
( ) Kč23250150000
12
6
*1,01*1,01000150
1
=-÷
ø
ö
ç
è
æ
++×
( ) Kč34525150000
12
2
*1,01*1,01000150
2
=-÷
ø
ö
ç
è
æ
++×
( ) Kč22333150000
360
160
*1,01*1,01000150
1
=-÷
ø
ö
ç
è
æ
++×
( ) Kč33013150000
360
30
*1,01*1,01000150
2
=-÷
ø
ö
ç
è
æ
++×
( )t
iMF +×= 1
( ) Kč6501991,01000150
3
=+×
( ) Kč176000
12
8
*1,01*1,01000150
1
=÷
ø
ö
ç
è
æ
++×
( ) Kč171417
360
140
*1,01*1,01000150
1
=÷
ø
ö
ç
è
æ
++×

Finp1

Recommended

Recommended

More Related Content

Featured

Featured (20)

Finp1