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フェルマーの最終定理
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概要を理解 フェルマーの最終定理(Outline of Fermat's Last Theorem)
- 2. フェルマーの最終定理とは • 1637年頃に予想 • 1995年5月に証明完了 • 証明者は”アンドリュー・ワイルズ” • 証明完了までに約360年かかった 次の方程式は、n≧3で自然数解を持たない。 𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛 私は驚くべき証明を見つけたが、 それを書き記すには、この余白は狭すぎる。
- 3. なぜ余白の書き込みが広まった? • フェルマーの息子、サミュエルが父の書き込みを含めた 『算術』を再版したから • 『算術』を書いたのは3世紀頃の数学者ディオファントス • 17世紀にギリシャ語・ラテン語の対訳として再版したのが バシェ • バシェ版『算術』にフェルマーが書き込みを行った • ディオファントス著、バシェ対訳、フェルマー書き込み付 き『算術』をサミュエルが再版する
- 4. これ以降についての補足 • FLT フェルマーの最終定理の頭文字 (Fermat's Last Theorem) • FLT(n) 𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛を示す ex. FLT(3) ⇒ 𝑥3 + 𝑦3 = 𝑧3 • フェルマーの最終定理は証明されるまで 「フェルマー予想」と言われていた →ここではFLTで統一する • “予想”とは証明がされていない状態 証明されると”定理”となる
- 5. FLTの歴史-初等整数論編 初めに、𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛に対して個別のnの証明を行った • 1640年、FLT(4)をフェルマー自身で証明 • 1753年、FLT(3)をオイラーが証明 • 1825年、FLT(5)をディリクレとルジャンドルが証明 • 1832年、FLT(14)をディリクレが証明 • 1839年、FLT(7)をラメが証明 3,4,5,7とあるのに、 なぜFLT(6)の証明が存在しない？
- 6. FLT(6)の証明 𝑥6 + 𝑦6 = 𝑧6 𝑥2 3 + 𝑦2 3 = 𝑧2 3 𝑋3 + 𝑌3 = 𝑍3 ←𝑥2 = 𝑋, 𝑦2 = 𝑌, 𝑧2 = 𝑍とする よって、FLT(3)が証明できていればFLT(6)も証明可能 n≧5についてFLT(n)を証明したいとき、 素数p=5,7,11,13,…についてFLT(p)を証明すればよい n≧5なのは、特殊な事情から…
- 7. 特殊な事情… • n=2の時 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 ←ピタゴラスの定理(三平方の定理) n=(2の倍数)の時の証明は? もう片方の倍数について証明されていればよい ex. n=6の時 n=3について証明 (6 = 2 ∗ 3) ex. n=10の時 n=5について証明 (10 = 2 ∗ 5) • n=(もう片方の倍数が存在しない数)の時 n=4,8,16,32,… (2 𝑚+1)
- 8. 特殊な事情… • n=(もう片方の倍数が存在しない数)の時 n=4,8,16,32,… (2 𝑚+1) n=4の時さえ説明すればいい!! ex. 8 = 4 ∗ 2, 16 = 4 ∗ 22, 2 𝑚+1 = 4 ∗ 2 𝑚−1
- 9. FLTの歴史-代数的整数論編 • ソフィ･ジェルマンが”定理”を発表 • pと2p+1の両方が奇数の素数ならば ex.) p=3(7),5(11),11(23),23(57),… • xyz≢0 (mod p) x,y,zはpの倍数ではない ソフィ・ジェルマンの定理 pと2p+1の両方が奇数の素数ならば、𝑥 𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝は自然数解 を持たない (xyz≢0 (mod p)という条件付き)
- 10. FLTの歴史-代数的整数論編 • 1847年、ラメとコーシーが証明の先陣争いを始める α = 𝑒 2π𝑖 𝑝 (複素数)である オイラーの公式より、αの絶対値は1、偏角は 2π 𝑝 αは1のp乗根の1つ(代数的整数環) 𝑥2 + 𝑦2が素因数分解可能なことを利用しようとした 𝒙 𝒏 + 𝒚 𝒏 = 𝒛 𝒏の素因数分解 𝑥 𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑥 + α0 𝑦 𝑥 + α1 𝑦 𝑥 + α2 𝑦 … (𝑥 + α 𝑝−1 𝑦) = 𝑧 𝑝
- 16. ワイルズさんの証明すべきこと 1986年(ワイルズがFLTの研究を始めた年)の風景 • 谷山・志村の予想 【未証明】全ての楕円曲線は、モジュラーである • フライ曲線 【証明済み】𝑥 𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝を満たす𝑝, 𝑥, 𝑦, 𝑧が存在すれば、 フライ曲線も存在する(𝑥, 𝑦, 𝑧は自然数。𝑝 ≥ 3は素数) • フライ曲線と楕円関数の関係 【証明済み】フライ曲線は、楕円曲線の一種である • フライ曲線とモジュラーの関係 【証明済み】フライ曲線は、モジュラーではない
- 17. ワイルズさんの証明すべきこと • 谷山・志村の予想 【未証明】全ての楕円曲線は、モジュラーである • フライ曲線 【証明済み】𝑥 𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝を満たす𝑝, 𝑥, 𝑦, 𝑧が存在すれば、 フライ曲線も存在する(𝑥, 𝑦, 𝑧は自然数。𝑝 ≥ 3は素数) • フライ曲線と楕円関数の関係 【証明済み】フライ曲線は、楕円曲線の一種である • フライ曲線とモジュラーの関係 【証明済み】フライ曲線は、モジュラーではない 仮定する
- 18. ワイルズさんの証明すべきこと • 谷山・志村の予想 【未証明】全ての楕円曲線は、モジュラーである • フライ曲線 【証明済み】𝑥 𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝を満たす𝑝, 𝑥, 𝑦, 𝑧が存在すれば、 フライ曲線も存在する(𝑥, 𝑦, 𝑧は自然数。𝑝 ≥ 3は素数) • フライ曲線と楕円関数の関係 【証明済み】フライ曲線は、楕円曲線の一種である • フライ曲線とモジュラーの関係 【証明済み】フライ曲線は、モジュラーではない 仮定する
- 19. ワイルズさんの証明すべきこと • 谷山・志村の予想 【未証明】全ての楕円曲線は、モジュラーである • フライ曲線 【証明済み】𝑥 𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝を満たす𝑝, 𝑥, 𝑦, 𝑧が存在すれば、 フライ曲線も存在する(𝑥, 𝑦, 𝑧は自然数。𝑝 ≥ 3は素数) • フライ曲線と楕円関数の関係 【証明済み】フライ曲線は、楕円曲線の一種である • フライ曲線とモジュラーの関係 【証明済み】フライ曲線は、モジュラーではない 仮定する
- 20. ワイルズさんの証明すべきこと • 谷山・志村の予想 【未証明】全ての楕円曲線は、モジュラーである • フライ曲線 【証明済み】𝑥 𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝を満たす𝑝, 𝑥, 𝑦, 𝑧が存在すれば、 フライ曲線も存在する(𝑥, 𝑦, 𝑧は自然数。𝑝 ≥ 3は素数) • フライ曲線と楕円関数の関係 【証明済み】フライ曲線は、楕円曲線の一種である • フライ曲線とモジュラーの関係 【証明済み】フライ曲線は、モジュラーではない 仮定する
- 21. ワイルズさんの証明すべきこと • 谷山・志村の予想 【未証明】全ての楕円曲線は、モジュラーである • フライ曲線 【証明済み】𝑥 𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝を満たす𝑝, 𝑥, 𝑦, 𝑧が存在すれば、 フライ曲線も存在する(𝑥, 𝑦, 𝑧は自然数。𝑝 ≥ 3は素数) • フライ曲線と楕円関数の関係 【証明済み】フライ曲線は、楕円曲線の一種である • フライ曲線とモジュラーの関係 【証明済み】フライ曲線は、モジュラーではない 仮定する
- 22. ワイルズさんの証明すべきこと • 谷山・志村の予想 【未証明】全ての楕円曲線は、モジュラーである • フライ曲線 【証明済み】𝑥 𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝を満たす𝑝, 𝑥, 𝑦, 𝑧が存在すれば、 フライ曲線も存在する(𝑥, 𝑦, 𝑧は自然数。𝑝 ≥ 3は素数) • フライ曲線と楕円関数の関係 【証明済み】フライ曲線は、楕円曲線の一種である • フライ曲線とモジュラーの関係 【証明済み】フライ曲線は、モジュラーではない 仮定する 矛盾している
- 23. • 谷山・志村の予想 【未証明】全ての楕円曲線は、モジュラーである • フライ曲線 【証明済み】𝑥 𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝を満たす𝑝, 𝑥, 𝑦, 𝑧が存在すれば、 フライ曲線も存在する(𝑥, 𝑦, 𝑧は自然数。𝑝 ≥ 3は素数) • フライ曲線と楕円関数の関係 【証明済み】フライ曲線は、楕円曲線の一種である • フライ曲線とモジュラーの関係 【証明済み】フライ曲線は、モジュラーではない 前提が間違っている ワイルズさんの証明すべきこと 矛盾している
- 24. • 谷山・志村の予想 【未証明】全ての楕円曲線は、モジュラーである • フライ曲線 【証明済み】𝑥 𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝を満たす𝑝, 𝑥, 𝑦, 𝑧が存在すれば、 フライ曲線も存在する(𝑥, 𝑦, 𝑧は自然数。𝑝 ≥ 3は素数) • フライ曲線と楕円関数の関係 【証明済み】フライ曲線は、楕円曲線の一種である • フライ曲線とモジュラーの関係 【証明済み】フライ曲線は、モジュラーではない 前提が間違っている ワイルズさんの証明すべきこと 矛盾している フライ・セール予想は正しい 《フェルマーの最終定理が成り立たない》と仮定すると、 谷山・志村の予想に矛盾する判定を作れる
- 25. ワイルズさんの証明したこと • 谷山・志村の予想 【未証明】全ての楕円曲線は、モジュラーである • ワイルズの証明したこと 全ての”半安定な”楕円曲線は、モジュラーである なぜこれで十分だった？ →フライ曲線が半安定な楕円曲線だったから • フライ曲線と楕円関数の関係 【証明済み】フライ曲線は、楕円曲線の一種である
- 26. FLTの証明概要 • ワイルズの証明したこと 【証明済み】全ての半安定な楕円曲線は、モジュラーである • フライ曲線 【証明済み】𝑥 𝑝 + 𝑦 𝑝 = 𝑧 𝑝を満たす𝑝, 𝑥, 𝑦, 𝑧が存在すれば、 フライ曲線も存在する(𝑥, 𝑦, 𝑧は自然数。𝑝 ≥ 3は素数) • フライ曲線と楕円関数の関係 【証明済み】フライ曲線は、半安定な楕円曲線である • フライ曲線とモジュラーの関係 【証明済み】フライ曲線は、モジュラーではない 仮定する 矛盾している
Editor's Notes
- “最終”についての補足 「算術」には48の書き込みがあった それに関して数学者が証明を行った（成否含め） 「証明できた」⇒証明可、「予想される」⇒否定の証明が含まれた 最後の1つが残った←「証明を発見した」 定理：証明されている 予想：証明されていない状態
- FLT(14)は後ほど…
- n=10の時も例題として出す
- これ以降、続く者はいなかった なぜなら、証明は難しすぎるから FLT(14)の後にFLT(7)なのも、FLT(7)がすぐに証明できなかった為
- ソフィ・ジェルマンの変態さ ・大学に男装して入学、主席で卒業 ・ドイツに住むガウスと文通、仏軍が独に攻め入ったときに、将校に助けて貰うようにお願いしたり…
- 素因数分解→互いに素(複素数)→実数以外に証明不可能(?)
- では、この後どうしたか 正則素数 【未証明】無限に存在、素数の約61%が正則
- 1955年、第二次世界大戦が終わって10年が経つ 数学の国際会議が日本で行われた そこで、谷山志村予想が発表された
- 小学4年生から大学教授まで楽しめる本 数学を学んでいると、読み返すごとに発見がある 図書館に原作があるので読んでみてね