1. ‫ב‬ ‫שימוש‬-Kalman Filter‫וההתאדות‬ ‫החום‬ ‫אוגר‬ ‫להערכת‬
‫בכנרת‬
Using the Kalman Filter for Heat Storage and Evaporation
Estimation in Lake Kinneret
‫שולמית‬‫נוסבוים‬
‫הנחיה‬:‫ד‬"‫אלון‬ ‫ר‬‫רימר‬-‫הכנרת‬ ‫לחקר‬ ‫המעבדה‬,‫לישראל‬ ‫ואגמים‬ ‫ימים‬ ‫חקר‬(‫חיא‬"‫ל‬)
‫פרופ‬'/‫ח‬'‫דוד‬‫ברודאי‬-‫וסביבתית‬ ‫אזרחית‬ ‫להנדסה‬ ‫הפקולטה‬,‫הטכניון‬
‫יעוץ‬:‫פרופ‬'‫פר‬-‫אולוף‬‫גוטמן‬-‫וסביבתית‬ ‫אזרחית‬ ‫להנדסה‬ ‫הפקולטה‬,‫הטכניון‬

2. ‫שטפי‬‫בשטח‬ ‫אנרגיה‬‫פנים‬((𝑾/𝒎 𝟐
•‫שטפי‬‫אנרגיה‬‫בשטח‬‫הפנים‬‫של‬‫האגם‬‫מתארים‬‫את‬‫האנרגיה‬‫הנכנסת‬
‫והיוצאת‬‫מפני‬‫האגם‬.‫שטפים‬‫אלו‬‫חשובים‬‫לניהול‬‫האגם‬‫ולשם‬‫קביעת‬‫מאזן‬
‫המים‬‫על‬‫ידי‬‫חישוב‬‫ההתאדות‬.
•‫השיטה‬‫הנפוצה‬‫ביותר‬‫להערכת‬‫השטפים‬‫היא‬‫באמצעות‬‫מאזן‬‫האנרגיה‬
‫וחישוב‬‫השטפים‬‫מנתונים‬‫שמקובל‬‫למדוד‬‫בתחנות‬‫המטאורולוגיות‬‫באגם‬
•‫מדידות‬‫כאלו‬‫ניתן‬‫לבצע‬‫בפרקי‬‫זמן‬‫שונים‬‫החל‬‫מדקות‬‫אחדות‬‫ועד‬‫להערכת‬
‫מאזן‬‫השטפים‬‫לאורך‬‫חודשים‬‫רבים‬
•‫השטפים‬‫הנכללים‬‫במאזן‬‫האנרגיה‬‫הם‬‫קרינה‬‫נטו‬(( 𝑹 𝒏‫והשטפים‬
‫הטורבולנטיים‬(‫חום‬‫כמוס‬,S,‫ומוחשי‬LE).‫מאזן‬‫שטפי‬‫האנרגיה‬‫נתון‬‫על‬‫ידי‬:
∆𝑮∗
= ∆𝒕 𝑹 𝒏 − 𝑳𝑬 + 𝑺 ;
∆𝒕 − 𝒕𝒊𝒎𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍
∆𝑮∗
− 𝒉𝒆𝒂𝒕 𝒔𝒕𝒐𝒓𝒂𝒈𝒆 𝒄𝒉𝒂𝒏𝒈𝒆

3. ‫קצרים‬ ‫זמן‬ ‫פרקי‬ ‫לאורך‬ ‫האנרגיה‬ ‫מאזן‬ ‫אימות‬(10‫דקות‬)
‫האנרגיה‬ ‫מאזן‬(‫להלן‬"‫המודל‬)"‫שגיאות‬ ‫מכיל‬:
‫שגיאות‬ ‫סוגי‬ ‫שני‬:
1.‫את‬ ‫הקובעים‬ ‫פרמטרים‬ ‫של‬ ‫המטאורולוגיות‬ ‫ממדידות‬ ‫שגיאות‬
‫במאזן‬ ‫השטפים‬.
2.‫שגיאות‬‫במודל‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫האגם‬ ‫מצב‬ ‫מהתיאור‬.
‫האגם‬ ‫מצב‬ ‫את‬ ‫תמיד‬ ‫מייצג‬ ‫המודל‬ ‫האם‬?
∆𝑮∗
= ∆𝒕 𝑹 𝒏 − 𝑳𝑬 + 𝑺

4. ‫האנרגיה‬ ‫מאזן‬ ‫אימות‬‫בפרקי‬‫קצרים‬ ‫זמן‬(10‫דקות‬)
‫שגיאות‬‫הטמפרטורה‬ ‫פרופיל‬ ‫ומדידות‬ ‫המודל‬
‫ניתן‬‫לאמת‬‫את‬‫מאזן‬‫האנרגיה‬‫על‬‫ידי‬‫השוואת‬‫אוגר‬‫החום‬(𝐺),‫אותו‬‫ניתן‬
‫לחשב‬‫מן‬‫השינוי‬‫באוגר‬‫החום‬(∆𝐺∗
)‫על‬‫פי‬‫מאזן‬‫שטפי‬‫האנרגיה‬‫אל‬‫אוגר‬
‫החום‬‫המתקבל‬‫ממדידות‬‫פרופיל‬‫הטמפרטורה‬‫של‬‫המים‬.
‫אך‬‫במדידות‬‫לאורך‬‫פרקי‬‫זמן‬‫קצרים‬‫ישנם‬‫תהליכים‬‫קצרי‬‫טווח‬‫באגם‬,‫שאינם‬
‫קשורים‬‫ישירות‬‫למאזן‬‫האנרגיה‬‫וכתוצאה‬‫מכך‬‫ישנו‬"‫רעש‬"‫רב‬‫במדידות‬
‫פרופיל‬‫הטמפרטורה‬‫והדבר‬‫מקשה‬‫על‬‫אימות‬‫המאזן‬‫לפי‬‫המדידות‬‫בפרקי‬‫זמן‬
‫כאלו‬.

5. Kalman Filter
‫ידי‬ ‫על‬ ‫נתאר‬ ‫החום‬ ‫אוגר‬ ‫את‬:
.1‫על‬‫האנרגיה‬ ‫ממאזן‬ ‫שארית‬ ‫ידי‬-"‫מודל‬"
.2‫הטמפרטורה‬ ‫פרופיל‬ ‫ממדידות‬ ‫ישיר‬ ‫חישוב‬ ‫ידי‬ ‫על‬-"‫מדידות‬."
‫שימוש‬ ‫ובעזרת‬‫הרעש‬ ‫של‬ ‫הסטטיסטיות‬ ‫בתכונות‬,‫את‬ ‫לסנן‬ ‫נוכל‬ ‫ובמדידות‬ ‫במודל‬
‫ב‬ ‫שימוש‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫הרעש‬-Kalman Filter (KF)‫פי‬ ‫על‬ ‫האנרגיה‬ ‫מאזן‬ ‫את‬ ‫ולאמת‬
‫הטמפרטורה‬ ‫פרופיל‬ ‫מדידות‬.
‫זו‬ ‫שיטה‬ ‫של‬ ‫חשוב‬ ‫יתרון‬:‫באמצעות‬ ‫ההערכה‬KF‫מיטבית‬ ‫בהערכה‬ ‫שימוש‬ ‫עושה‬
‫הרעש‬ ‫סינון‬ ‫לשם‬ ‫מהעתיד‬ ‫נתונים‬ ‫דורשת‬ ‫ואינה‬ ‫בלבד‬ ‫אחרונה‬ ‫ובמדידה‬ ‫אחרונה‬.
‫לכן‬-‫במדידות‬ ‫רעש‬ ‫לסינון‬ ‫לשמש‬ ‫יכולה‬ ‫זו‬ ‫שיטה‬online

6. ‫המחקר‬ ‫מטרת‬
‫המים‬ ‫של‬ ‫החום‬ ‫אוגר‬ ‫פי‬ ‫על‬ ‫האנרגיה‬ ‫מאזן‬ ‫אימות‬,‫באמצעות‬KF.
‫משנה‬ ‫מטרת‬:
‫האגם‬ ‫טמפרטורת‬ ‫לפי‬ ‫האנרגיה‬ ‫מאזן‬ ‫שיפור‬.
‫לאימות‬ ‫זו‬ ‫שיטה‬ ‫הצגת‬on-line‫האנרגיה‬ ‫מאזן‬ ‫של‬(‫שכיול‬ ‫במקרים‬ ‫או‬
‫אפשרי‬ ‫אינו‬ ‫תדיר‬.)

7. ‫שיטות‬

8. ‫ב‬ ‫להשתמש‬ ‫מנת‬ ‫על‬-KF:
.1‫היא‬ ‫המערכת‬ ‫של‬ ‫המצב‬ ‫משוות‬ ‫ולכן‬ ‫לינארי‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫המערכת‬ ‫תאור‬
(w-‫המודל‬ ‫שגיאת‬:)
𝐺 𝑡2 = 𝐺 𝑡1 + Δ𝐺 + 𝑤(𝑡)
2.‫יש‬‫לתאר‬‫תלויות‬ ‫בלתי‬ ‫דרכים‬ ‫בשתי‬ ‫המערכת‬ ‫את‬:‫ומדידות‬ ‫מודל‬
3.‫יש‬‫במודל‬ ‫השגיאות‬ ‫את‬ ‫לחשב‬‫ובמדידות‬‫אקראיות‬ ‫שהן‬ ‫ולהראות‬
‫באופן‬ ‫ומתפלגות‬‫גאוסייני‬‫סביב‬0.

9. ‫האנרגיה‬ ‫מאזן‬ ‫בשטפי‬ ‫שגיאות‬ ‫חישובי‬:
‫הטורבולנטיים‬ ‫והשטפים‬ ‫נטו‬ ‫קרינה‬
-"‫המודל‬ ‫שגיאות‬"
‫שגיאות‬ ‫פחות‬ ‫מכיל‬ ‫במאזן‬ ‫נטו‬ ‫הקרינה‬ ‫שטף‬.‫הטורבולנטיים‬ ‫השטפים‬ ‫הערכת‬
‫יותר‬ ‫רבות‬ ‫בשגיאות‬ ‫כרוכה‬.‫השגיאות‬ ‫להערכת‬ ‫דרכים‬ ‫שתי‬ ‫נבחנו‬ ‫כך‬ ‫משום‬,
‫האופייני‬ ‫השגיאה‬ ‫גודל‬ ‫את‬ ‫לאמת‬ ‫מנת‬ ‫על‬:
.1‫שימוש‬‫בשלוש‬‫שיטות‬‫שונות‬‫לחישוב‬‫השטפים‬‫הטורבולנטיים‬‫נותן‬‫ערכים‬
‫שונים‬‫לאוגר‬‫החום‬‫במאזן‬‫האנרגיה‬.‫בכל‬‫רגע‬‫מחושבת‬‫סטיית‬‫התקן‬‫של‬
‫אוגר‬‫החום‬‫המתקבל‬‫והשגיאה‬‫האופיינית‬‫מוגדרת‬‫כסטיית‬‫התקן‬
‫הממוצעת‬.

10. 2.‫החלקה‬‫של‬‫סדרת‬‫השטף‬‫באמצעות‬
‫ממוצע‬‫נע‬‫על‬‫פני‬7‫איברים‬‫וחישוב‬
‫ההפרש‬‫בין‬‫הסדרה‬‫המקורית‬‫למוחלקת‬.
‫השגיאה‬‫האופיינית‬‫מוגדרת‬‫כסטיית‬
‫התקן‬‫הממוצעת‬‫של‬‫סדרת‬‫ההפרשים‬.
‫היו‬ ‫האופיינית‬ ‫השגיאה‬ ‫של‬ ‫הגודל‬ ‫סדרי‬
‫השיטות‬ ‫בשתי‬ ‫קרובים‬.‫נעשה‬ ‫בעבודה‬
‫בשיטה‬ ‫שימוש‬‫זו‬(‫הראשונה‬ ‫השיטה‬
‫יחוס‬ ‫לשם‬ ‫נבחנה‬.)

11. ‫ממדידות‬ ‫החום‬ ‫באוגר‬ ‫שגיאות‬ ‫חישובי‬
‫הטמפרטורה‬
‫מציגות‬ ‫במדידות‬ ‫השגיאות‬‫פלוקטואציות‬‫גדולות‬
‫גודל‬ ‫את‬ ‫לאמת‬ ‫כדי‬ ‫דרכים‬ ‫שתי‬ ‫נבחנו‬ ‫כאן‬ ‫גם‬ ‫ולכן‬
‫האופייני‬ ‫השגיאה‬.
.1‫מההנחה‬‫שמקור‬‫השגיאות‬‫הוא‬‫בתנודות‬
‫וזרמים‬‫פנימיים‬,‫נעשתה‬‫השוואה‬‫בין‬3
‫תרמיסטורים‬‫במרחב‬(‫במרחק‬‫של‬‫כ‬-200‫מ‬'
‫אחד‬‫מהשני‬).‫בכל‬‫רגע‬‫התקבל‬‫אוגר‬‫החום‬
‫משלשתם‬‫וחושבה‬‫סטיית‬‫התן‬‫הרגעית‬.
‫סטיית‬‫התקן‬‫הממוצעת‬‫היא‬‫השגיאה‬
‫האופיינית‬.‫השימוש‬‫בשיטה‬‫זו‬‫נעשה‬‫לשם‬
‫השוואה‬‫ואימות‬‫לשיטה‬‫שניה‬.
𝑇(℃)

12. 2.‫החלקה‬‫בעזרת‬‫ממוצע‬‫נע‬.‫בשל‬
‫הרעש‬‫הרב‬,‫מספר‬‫האיברים‬‫בממוצע‬
‫נבחר‬‫להיות‬45.‫מספר‬‫זה‬‫נקבע‬‫על‬
‫פי‬‫קריטריון‬‫התאמה‬‫ומתאים‬‫בקירוב‬
‫לכל‬‫עונות‬‫השנה‬.
‫בשתי‬‫השיטות‬‫התקבלה‬‫שגיאה‬
‫מסדר‬‫גודל‬‫דומה‬.

13. ‫התפלגות‬‫גאוסיינית‬‫השגיאות‬ ‫של‬
(‫עקומה‬‫גאוסיינית‬‫מנורמלות‬ ‫שגיאות‬ ‫והתפלגות‬
‫האיברים‬ ‫מספר‬ ‫לפי‬)
‫השגיאות‬ ‫אקראיות‬,‫כפי‬
‫שמתקבלת‬
‫מהתפלגותן‬,‫מאפשרת‬
‫ב‬ ‫להשתמש‬-KF‫כדי‬
‫מיטבית‬ ‫הערכה‬ ‫לקבל‬.
a- Sensible heat
b- Evaporation
c- Net radiation
d- Measured heat
storage

14. ‫ב‬ ‫משתנים‬ ‫במספר‬ ‫השימוש‬ ‫בחינת‬-: KF‫הצגה‬‫מטריצית‬
‫משתנים‬ ‫מספר‬ ‫בעזרת‬ ‫המערכת‬ ‫את‬ ‫יותר‬ ‫מדוייק‬ ‫באופן‬ ‫לתאר‬ ‫האפשרות‬ ‫נבחנה‬
‫בהצגה‬ ‫כך‬ ‫לשם‬ ‫ולהשתמש‬‫מטריצית‬‫הבעיה‬ ‫של‬:
G1,𝑘+1
𝐺2,𝑘+1
𝐺3,𝑘+1
=
0 1 0
0 1 0
1 0 1
𝐺1,𝑘
𝐺2,𝑘
𝐺3,𝑘
+
1
0
0
𝑢(𝑘)+
𝑤1,𝑘
𝑤2,𝑘
𝑤3,𝑘
0
0
𝑦 𝑘
= 0 0 1
𝐺1,𝑘
𝐺2,𝑘
𝐺3,𝑘
+
0
0
𝑣3,𝑘
𝒈 𝒌+1 = 𝑨𝒈 𝒌 + 𝒃𝑢 𝑘 + 𝒘 𝒌
𝒚 𝒌 = 𝒉𝒈 𝒌 + 𝒗 𝒌

15. ‫תוצאות‬

16. ‫בעזרת‬‫השינוי‬‫באוגר‬‫החום‬,‫המתקבל‬‫מהמודל‬,‫הגדרנו‬‫את‬‫אוגר‬
‫החום‬‫מהמודל‬.‫כך‬‫נוכל‬‫להשוות‬‫בין‬‫אוגר‬‫החום‬‫מהמודל‬‫ומהמדידות‬
‫ונציג‬‫את‬‫התיקון‬‫של‬KF‫במקרים‬‫השונים‬.

17. ‫שונים‬ ‫אלגוריתמים‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫מחישוב‬ ‫תוצאות‬ ‫אימות‬
‫לאמת‬ ‫נוכל‬ ‫שונים‬ ‫אלגוריתמים‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫השטפים‬ ‫חישוב‬ ‫של‬ ‫במקרה‬
‫המים‬ ‫טמפרטורת‬ ‫פי‬ ‫על‬ ‫תיקון‬ ‫ולהציג‬ ‫התוצאות‬ ‫את‬.‫לדוגמה‬ ‫נקח‬
‫מורכב‬ ‫אלגוריתם‬ ‫לפי‬ ‫המחושב‬ ‫החום‬ ‫אוגר‬ ‫את‬(‫יציבות‬ ‫שלוקח‬
‫בחשבון‬ ‫אטמוספרית‬)‫יותר‬ ‫פשוט‬ ‫ואלגוריתם‬(‫תכלת‬)‫ונשווה‬
‫למדידות‬(‫אפור‬.)

18. ‫האגם‬ ‫למצב‬ ‫בהשוואה‬ ‫שונים‬ ‫אלגוריתמים‬ ‫בין‬ ‫הבדלים‬
‫מדידות‬‫המים‬‫רועשות‬‫יותר‬(‫אפור‬)‫וניתן‬‫לראות‬‫שתיאור‬‫מאזן‬
‫האנרגיה‬‫לפי‬‫האלגוריתם‬‫המדוייק‬‫מתאים‬‫היטב‬‫לאוגר‬‫החום‬
‫המחושב‬‫ממדידות‬‫פרופיל‬‫המים‬.
‫השימוש‬‫ב‬-KF(‫שחור‬)‫מתקן‬‫את‬‫המודל‬‫לפי‬‫מצב‬‫האגם‬.
‫ב‬-CWR‫התיקון‬‫לפי‬KF‫חופף‬‫כמעט‬‫לגמרי‬‫את‬‫המדידות‬‫וב‬-KLL‫מתקן‬
‫אותן‬‫לפי‬‫טמפ‬'‫המים‬.
Time

20. ‫עונתיים‬ ‫הבדלים‬
‫אם‬‫נשתמש‬‫ב‬-CWR‫ונבחן‬‫את‬‫המדידות‬‫אל‬‫מול‬‫המודל‬,‫נוכל‬
‫לראות‬‫את‬‫ההבדלים‬‫בין‬‫המודל‬‫למדידות‬‫בעונות‬‫השונות‬,
‫הנובעים‬‫מהדינמיקה‬‫של‬‫האגם‬‫בחודשים‬‫השונים‬,‫שאינה‬‫באה‬
‫לידי‬‫ביטוי‬‫במודל‬.

21. ‫עונתיים‬ ‫הבדלים‬
‫ניתן‬‫לראות‬‫שמאזן‬‫האנרגיה‬‫הנתון‬‫מתאר‬
‫בצורה‬‫טובה‬‫מאוד‬‫את‬‫מצב‬‫האגם‬‫בסתיו‬.
(‫מודל‬-‫תכלת‬,‫מדידות‬-‫אדום‬,KF-‫כחול‬)
‫לעומת‬‫זאת‬-‫בעונות‬‫אחרות‬‫המודל‬‫אינו‬
‫מתאים‬‫לחלוטין‬‫ויתכן‬‫שכולל‬‫שטפים‬‫שאינם‬
‫מוצגים‬‫במודל‬‫ולכן‬‫נדרש‬‫תיקון‬‫על‬‫פי‬
‫המדידות‬.
‫התוצאות‬‫המתקבלות‬‫מ‬-KF‫הן‬‫חלקות‬
‫מהמדידות‬‫ומאפשרות‬‫חישוב‬‫של‬‫השינוי‬
‫באוגר‬‫החום‬‫ושל‬‫שאר‬‫השטפים‬‫בהתבסס‬
‫על‬‫מצב‬‫האגם‬.

22. ‫הכמוס‬ ‫החום‬ ‫שטף‬ ‫חישובי‬(‫התאדות‬)‫על‬ ‫המבוססים‬
‫תוצאות‬ ‫לפי‬ ‫האגם‬ ‫מצב‬KF
•‫מאוגר‬‫החום‬‫המתקבל‬‫ב‬-KF‫ניתן‬
‫למצוא‬‫את‬‫השינוי‬‫באוגר‬‫החום‬‫על‬‫פי‬
‫סדרת‬‫ההפרשים‬.
•‫השטף‬‫החום‬‫הכמוס‬(‫ההתאדות‬),‫ניתן‬
‫לחישוב‬‫על‬‫ידי‬Bowen Ratio (BR)
‫מנתונים‬‫מטאורולוגיים‬:
𝐿𝐸 𝐾𝐹 =
∆𝐺 𝐾𝐹 ∆𝑡 − 𝑅 𝑛
1 + 𝐵𝑅
•‫ניתן‬‫לראות‬‫שההתאמה‬‫המיטבית‬‫בין‬
‫ההתאדות‬‫לפי‬‫המודל‬‫לבין‬‫ההתאדות‬
‫שחושבה‬‫ע‬‫פי‬KF‫מתקבלת‬‫בסתיו‬.
‫באביב‬‫התרמוקלינה‬‫קרובה‬‫לפני‬
‫המים‬,‫ישנם‬‫שטפים‬‫נכנסים‬‫ויוצאים‬
‫האגם‬‫דינמי‬‫יותר‬‫ומתקבלת‬‫התאמה‬
‫למודל‬‫טובה‬‫הרבה‬‫פחות‬.

23. ‫של‬ ‫העונתית‬ ‫להתנהגות‬ ‫מדדים‬‫הרעש‬ ‫פי‬ ‫על‬ ‫האגם‬
‫ממדידות‬‫התרמיסטורים‬
‫על‬‫פי‬‫מידת‬‫הרעש‬‫באגם‬‫הגדרנו‬‫בעבודה‬‫זו‬2
‫מדדים‬‫לרעש‬‫שתואמים‬‫להתנהגות‬‫האגם‬,‫כפי‬
‫שהיא‬‫מוכרת‬‫בעונות‬‫השונות‬(Imberger and
Marti 2014).
‫על‬‫מנת‬‫להשתמש‬‫במדידות‬‫המים‬‫הרועשות‬‫ניתן‬
‫להשתמש‬‫ב‬-KF‫או‬‫להסיר‬‫את‬‫הרעש‬‫על‬‫ידי‬
‫החלקה‬‫ב‬-moving average.
K‫שוקל‬‫את‬‫התיקון‬‫מהמדידות‬‫לפי‬‫הרעש‬
‫במדידות‬.‫כאשר‬‫הרעש‬‫גדול‬,K‫קטן‬‫והתיקון‬‫לפי‬
‫המדידות‬‫נלקח‬‫בחשבון‬‫במידה‬‫קטנה‬‫יותר‬.
‫על‬‫מנת‬‫לקבל‬‫תוצאה‬‫מיטבית‬‫של‬‫האלגוריתם‬‫של‬
PB‫יש‬‫להחליק‬‫את‬‫סדרת‬‫אוגר‬‫החום‬‫המדודה‬.
‫בכל‬‫עונה‬‫התוצאה‬‫המיטבית‬‫מתקבלת‬‫על‬‫ידי‬
‫החלקה‬‫על‬‫פני‬‫מספר‬‫איברים‬‫מיטבי‬.
‫ניתן‬‫לראות‬‫שבחודשים‬‫בהם‬‫האגם‬‫רגוע‬K‫גדול‬
‫ובהתאמה‬‫טובה‬‫גם‬‫מס‬'‫האיברים‬‫המיטבי‬
‫בממוצע‬‫קטן‬‫וכן‬‫להפך‬.

24. ‫ומסקנות‬ ‫סיכום‬
•‫על‬‫ידי‬KF‫ניתן‬‫לעשות‬‫שימוש‬‫במדידות‬‫אוגר‬‫החום‬‫באגם‬,‫גם‬
‫בפרקי‬‫זמן‬‫קצרים‬
•‫ניתן‬‫לקבל‬‫אימות‬‫למאזן‬‫השטפים‬‫המבוסס‬‫על‬‫טמפרטורת‬‫המים‬
•‫תיקון‬‫המודל‬‫על‬‫ידי‬‫פרופיל‬‫הטמפרטורה‬‫חשוב‬‫למדידות‬‫בעונות‬
‫בהן‬‫האגם‬‫דינמי‬‫ובמקרה‬‫שמשתמשים‬‫באלגוריתמים‬‫פשוטים‬
‫לחישוב‬‫השטפים‬
•‫על‬‫מנת‬‫לתקן‬‫את‬‫המודל‬‫מחדש‬‫בכל‬‫צעד‬‫זמן‬‫מספיקה‬‫המדידה‬
‫האחרונה‬‫וההערכה‬‫המיטבית‬‫האחרונה‬‫ולכן‬‫שיטה‬‫זו‬‫עשויה‬
‫להתאים‬‫לסינון‬‫רעש‬‫ב‬-online.
•‫מסדרת‬‫התוצאות‬‫החלקות‬‫ניתן‬‫לקבוע‬‫סדרת‬‫הפרשים‬‫טובה‬‫יותר‬
‫והערכת‬‫שטפים‬‫טובה‬‫יותר‬,‫למשל‬‫הערכה‬‫טובה‬‫יותר‬‫של‬
‫ההתאדות‬(‫שטף‬‫החום‬‫הכמוס‬).

25. ‫ההקשבה‬ ‫על‬ ‫תודה‬!

26. ‫נוספים‬ ‫שקפים‬

27. ‫שטפים‬ ‫לחישוב‬ ‫שונים‬ ‫אלגוריתמים‬ ‫בין‬ ‫הבדלים‬
‫האגם‬ ‫למצב‬ ‫בהשוואה‬
‫האנרגיה‬ ‫במאזן‬ ‫המשתתפים‬ ‫הפנים‬ ‫שטח‬ ‫שטפי‬.‫ביח‬ ‫מוצגים‬ ‫השטפים‬ ‫כל‬'‫של‬
W m-2.

28. State equation: 𝐺 𝑘+1 = 𝐴𝐺 𝑘 + 𝐵𝑢 𝑘 + 𝑤 𝑘
Output equation: 𝑦 𝑘 = 𝐻𝐺 𝑘 + 𝑣 𝑘
Kalman Filter

29. +
-


𝐺 𝑘+1
𝑤 𝑘 𝑣 𝑘
K
𝑢 𝑘
Kalman
Filter
𝐺 𝑘+1 𝑦 𝑘
𝐻 𝐺 𝑘
A
Delay
Delay H
A
𝐺 𝑘
H
𝑦 𝑘 − 𝐻 𝐺 𝑘
𝐺 𝑘
B
B
𝑢 𝑘 ∆𝑡(𝑅 𝑛 𝑘 − 𝐿𝐸 𝑘 +𝑆 𝑘 )
The system model



30. Kalman Filter
𝑃𝑘 = 𝐴 − 𝐾𝑘−1 𝐻 𝑃𝑘−1 𝐴 − 𝐾𝑘−1 𝐻 + 𝑄 + 𝐾𝑘−1 𝑅𝐾𝑘−1
𝐾𝑘 = 𝐴𝑃𝑘 𝐻(𝑅 + 𝐻𝑃𝑘 𝐻)−1
𝐺 𝑘 = 𝐺 𝑘−1 + 𝑢 𝑘−1 + 𝐾(𝑦 𝑘−1 − 𝐻 𝐺 𝑘−1)
K-Kalman Gain that weights the measurements according to their noise, P-Error
estimation covariance, 𝐺 𝑘-Best estimation at time-step k, ∆𝑮∗
k-1-model input
A=B=H=1
𝑮 𝒌 = 𝑮 𝒌−𝟏 + ∆𝑮∗
𝒌−𝟏 + 𝑲(𝒚 𝒌−𝟏 − 𝑯 𝑮 𝒌−𝟏)

31. The Kalman Filter equations
Time update or estimation:
𝐺 𝑘 𝑘−1 = 𝐺 𝑘−1 k−1 + ∆𝐺
𝑃𝑘 𝑘−1 = 𝑃𝑘−1 𝑘−1 + 𝑄
Measurements update:
𝐾 = 𝑃𝑘 𝑘−1(𝑃𝑘 𝑘−1 + 𝑅)−1
𝐺 𝑘 𝑘 = 𝐺 𝑘 𝑘−1 + 𝐾(𝑍 𝑘 − 𝐺 𝑘 𝑘−1)
𝑃𝑘 𝑘 = (𝐼 − 𝐾)𝑃𝑘 𝑘−1
P- a priori and posteriori error covariance, K- Kalman gain. 𝐺 𝑘 𝑘 -Estimated G according to measurement
at time step k and the a priori estimation. R- Measurement error covariance, Q- Process error
covariance.

32. Matrix of the Process
𝐴 =
0 1 0
0 1 0
1 0 1
𝐵 = 0 0 1 𝐻 =
0
0
1
𝐺 =
𝐷𝐺
𝐵𝑖𝑎𝑠
𝐺
𝑃 =
106
0 0
0 106 0
0 0 106
𝐾 =
𝐾1
𝐾2
𝐾3
𝑄 =
𝑣𝑎𝑟1 0 0
0 102
0
0 0 𝑣𝑎𝑟2

33. Reflectivity coefficients and Radiation calculation
•‫ידי‬ ‫על‬ ‫נתון‬ ‫הקרינה‬ ‫מאזן‬:
𝑅 𝑛 = 𝑅 𝑆𝑊𝑖𝑛 − 𝑅 𝑆𝑊𝑜𝑢𝑡 + 𝑅 𝐿𝑊𝑖𝑛 − 𝑅 𝐿𝑊𝑜𝑢𝑡 (1)
𝑅 𝑆𝑊𝑜𝑢𝑡 = 𝛼 𝑆𝑊 𝑅 𝑆𝑊𝑖𝑛 (2); 𝛼 𝑆𝑊- SW reflectivity (Albedo; Ziv, 1993; Stool, 2000)
𝑅 𝐿𝑊 = 𝛼 𝐿𝑊 𝑅 𝐿𝑊𝑖𝑛 + 𝜎𝜀𝑇𝑠
4
(3); 𝜀- Emissivity, 𝛼 𝐿𝑊- LW reflectivity
𝜀 = 1 − 𝛼 𝐿𝑊
‫ב‬ ‫נבלעת‬ ‫ורובה‬ ‫העמוקות‬ ‫המים‬ ‫לשכבות‬ ‫מועברת‬ ‫אינה‬ ‫גל‬ ‫קצרת‬ ‫קרינה‬-1-2mm
‫המים‬ ‫גוף‬ ‫של‬ ‫העליונים‬(Hederson-Sellers, 1986.)
‫של‬ ‫המים‬ ‫משכבת‬ ‫יותר‬ ‫עמוק‬ ‫עוברת‬ ‫אינה‬ ‫גל‬ ‫קצרת‬ ‫קרינה‬10‫ונבלעת‬ ‫בכנרת‬ ‫מטרים‬
‫מוחזרת‬ ‫או‬ ‫זו‬ ‫בשכבה‬.

34. ‫מחזוריים‬ ‫מלאכותיים‬ ‫שטפים‬
‫זוויתית‬ ‫תדירות‬:
𝜔 = 𝜋
‫ביום‬ ‫מדידות‬:144‫מס‬'‫ימים‬:5
‫של‬ ‫הוא‬ ‫מרווח‬ ‫כל‬1/144,‫ב‬ ‫מסתיימת‬ ‫הזמן‬ ‫וסדרת‬-5.
‫המופע‬ ‫זווית‬(‫פאזה‬)𝜑‫האמת‬ ‫מנתוני‬ ‫ידוע‬ ‫התחלה‬ ‫תנאי‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫חושבה‬( .‫לדוגמה‬,
‫הקרינה‬ ‫עבור‬𝑅 𝑛 0‫וכן‬ARn‫ו‬-𝑅 𝑛‫הם‬ ‫גם‬ ‫ידועים‬:)
𝑅 𝑛 0 = 𝑅 𝑛 + 𝐴 𝑅𝑛 𝑠𝑖𝑛 𝜑
‫הקרינה‬ ‫של‬ ‫היומית‬ ‫להשתנות‬ ‫והביטוי‬:
𝑅 𝑛 0 = 𝑅 𝑛 + 𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)

35. ‫המלאכותיים‬ ‫בשטפים‬ ‫השגיאה‬ ‫חישוב‬
‫אקראיות‬ ‫הן‬ ‫מהממוצע‬ ‫הסטיות‬,‫שונים‬ ‫משיקולים‬ ‫שנקבע‬ ‫גודל‬ ‫בסדר‬(‫לעיתים‬
‫היומי‬ ‫מהממוצע‬ ‫כאחוז‬ ‫מתואר‬.)
‫נסמן‬:
‫האופייני‬ ‫השגיאה‬ ‫אחוז‬:𝑃𝐶‫ממוצע‬‫יומי‬:𝑚𝑒𝑎𝑛(𝑓𝑙𝑢𝑥).
‫המתפלגות‬ ‫שגיאות‬ ‫סדרת‬ ‫לקבל‬ ‫כדי‬ ‫לכן‬‫גאוסיינית‬‫סביב‬0‫בסדרת‬ ‫נשתמש‬
‫אקראיים‬ ‫מספרים‬(𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒𝑠),‫הם‬ ‫גם‬ ‫המתפלגים‬‫גאוסיינית‬‫סביב‬0
(‫ע‬ ‫לדוגמה‬"‫פונק‬ ‫י‬'random‫של‬MATLAB)‫אופייניות‬ ‫שגיאות‬ ‫סדרת‬ ‫ונקבל‬
‫לשטף‬:
𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑓𝑙𝑢𝑥 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒𝑠 = 𝑃𝐶 ∙ 𝑚𝑒𝑎𝑛 𝑓𝑙𝑢𝑥 ∙ 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒𝑠

36. ‫יציבות‬‫אמוספרית‬
‫באופן‬ ‫שעולה‬ ‫אוויר‬ ‫חבילת‬‫אדיאבטי‬,‫הסביבה‬ ‫אל‬ ‫חום‬ ‫לאבד‬ ‫מספיקה‬ ‫אינה‬
‫הלחץ‬ ‫משינויי‬ ‫נובעים‬ ‫השינויים‬ ‫וכל‬.
‫של‬ ‫מפל‬ ‫לפי‬ ‫מתקרר‬ ‫יבש‬ ‫אויר‬9.8‫לק‬ ‫מעלות‬"‫מ‬
‫המפל‬‫האדיאבטי‬‫היבש‬:Γ𝑑 = 9.8 ℃/𝐾𝑚.
‫בשכבה‬ ‫בפועל‬ ‫המפל‬ ‫לבין‬ ‫זה‬ ‫מפל‬ ‫בין‬ ‫ההבדל‬(𝛾),‫יציבות‬ ‫את‬ ‫הקובע‬ ‫הוא‬
‫שהמפל‬ ‫ובמקרה‬ ‫האטמוספירה‬‫האדיאבטי‬‫יותר‬ ‫גדול‬,‫תהיה‬ ‫האויר‬ ‫חבילת‬
‫הקודם‬ ‫למצבה‬ ‫שוב‬ ‫ותשקע‬ ‫הגובה‬ ‫עם‬ ‫כבדה‬.‫שהאוויר‬ ‫משום‬ ‫יציב‬ ‫מצב‬ ‫זהו‬
‫לשינויים‬ ‫מתנגד‬.
‫המפל‬ ‫כאשר‬‫האדיאבטי‬‫יותר‬ ‫קטן‬,‫יותר‬ ‫קלה‬ ‫ולכן‬ ‫יותר‬ ‫חמה‬ ‫תהיה‬ ‫החבילה‬
‫עוד‬ ‫ותעלה‬.‫תנאים‬ ‫קיימים‬ ‫באוויר‬ ‫זה‬ ‫במצב‬‫המעודים‬‫שינוי‬.

37. Γ𝑑 < 𝛾Γ𝑑 > 𝛾
‫אטמוספרית‬ ‫יציבות‬
‫לח‬ ‫האוויר‬ ‫כאשר‬,‫המפל‬‫האדיאבטי‬‫ישנה‬ ‫לח‬ ‫באוויר‬ ‫אם‬ ‫ולכן‬ ‫יותר‬ ‫קטן‬
‫יציבות‬,‫בהחלט‬ ‫יציבות‬ ‫היא‬ ‫היציבות‬ ‫אז‬.

39. ‫מצב‬ ‫משוואת‬‫לינארית‬‫של‬‫המודל‬:
‫מהגדרת‬‫השינוי‬‫החום‬ ‫אוגר‬ ‫בשטף‬:
Δ𝐺 = 𝐺 𝑡2 − 𝐺 𝑡1
‫המודל‬ ‫של‬ ‫המצב‬ ‫משוואת‬ ‫שהיא‬ ‫לינארית‬ ‫משוואה‬ ‫נקבל‬(‫שגיאה‬ ‫גם‬ ‫הכוללת‬
‫אופיינית‬)‫החום‬ ‫אוגר‬ ‫עבור‬:
𝐺 𝑡2 = 𝐺 𝑡1 + Δ𝐺 + 𝑤(𝑡)

40. Observability
‫שלו‬ ‫המדידות‬ ‫מתוך‬ ‫רק‬ ‫המצב‬ ‫וקטור‬ ‫של‬ ‫ההשתנות‬ ‫על‬ ‫ללמוד‬ ‫נוכל‬ ‫האם‬?
𝐺 𝑡 + 1 = 𝐴𝐺 𝑡 + 𝐵𝑢 𝑡 (1)
𝑦(𝑡) = 𝐻𝐺 𝑡 (2)
‫מצב‬ ‫באמצעות‬ ‫הבא‬ ‫הזמן‬ ‫בצעד‬ ‫המדידות‬ ‫את‬ ‫נתאר‬ ‫זאת‬ ‫לדעת‬ ‫כדי‬
‫המערכת‬:
𝑦 𝑡 + 1 = 𝐻𝐴𝐺 𝑡 + 𝐻𝐵𝑢 𝑡 (3)
‫למערכת‬(2-3)‫במערכת‬ ‫המטריצה‬ ‫דרגת‬ ‫אם‬ ‫פתרון‬ ‫יש‬‫לדרגת‬ ‫שווה‬
‫המערכת‬:
𝒚 =
𝑯
𝑯𝑨
𝑮 (4)
*‫המכפלה‬HB‫הפתרון‬ ‫קיום‬ ‫את‬ ‫קובעת‬ ‫אינה‬ ‫ולכן‬ ‫סקלר‬ ‫היא‬

41. Stability
𝐺 𝑡 + 1 = 1 − 𝐾 𝐺 𝑡 + 𝑤 𝑡 − 𝐾𝑣(𝑡)
𝐺 𝑡‫ההערכה‬ ‫שגיאת‬ ‫היא‬.‫שההערכה‬ ‫כדי‬ ‫תצטבר‬ ‫לא‬ ‫זו‬ ‫ששגיאה‬ ‫נדרוש‬ ‫לכן‬
‫תתבדר‬ ‫לא‬:
‫ז‬"‫א‬:1 − 𝐾 ≤ 1
‫או‬:
0 ≤ 𝐾 ≤ 2

42. BLUE- Best Linear Unbiased Estimation
“Besides the fact that the model should be linear, the
central assumption that makes the Kalman filter a best
linear unbiased estimator (BLUE) is that both model
and observation errors are zero-mean and uncorrelated
in time. If these assumptions are fulfilled, the Kalman
filter is a minimum variance estimator. If the
assumption of Gaussianity of the errors is added, then
the Kalman filter is also a maximum a posteriori
estimator” (Dre´court, 2006)

43. ‫משפט‬(Å𝑠𝑡𝑟𝑜𝑚,1970:)
‫וקטורים‬ ‫שני‬ ‫נתונים‬‫גאוסיינים‬𝑥‫ו‬-𝑦.‫של‬ ‫בתנאי‬ ‫ההתפלגות‬𝑥‫בהינתן‬𝑦
‫נורמלית‬ ‫היא‬,‫ממוצע‬ ‫עם‬(R-‫שונות‬:)
𝐸 𝑥 𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑅 𝑥𝑦 𝑅 𝑦
−1
𝑦 − 𝑚 𝑦
‫השערוך‬ ‫שגיאת‬ ‫של‬ ‫והשונות‬:
𝐸{[𝑥 − 𝐸 𝑥 𝑦 ][𝑥 − 𝐸 𝑥 𝑦 ] 𝑇 𝑦}
‫אז‬𝑦‫ו‬-𝑥 − 𝐸 𝑥 𝑦‫תלויים‬ ‫בלתי‬ ‫הם‬(‫אורתוגונליים‬.)
(‫הוקטור‬:𝑥 = 𝑥 − (𝑚 𝑥 + 𝑅 𝑥𝑦 𝑅 𝑦
−1 𝑦 − 𝑚 𝑦)‫השערוך‬ ‫שגיאת‬ ‫את‬ ‫מייצג‬)
‫ש‬ ‫להראות‬ ‫ניתן‬ ‫וכן‬-𝐸 𝑥 𝑦‫של‬ ‫ההיטל‬ ‫הוא‬𝑥‫על‬𝑦.

44. ‫השערוך‬ ‫שגיאת‬ ‫וקטור‬ ‫נתון‬:
𝑥 = 𝑥 − 𝑥
‫מדידות‬ ‫וקטור‬ ‫וכן‬𝑦.
‫ההערכה‬‫המיטבית‬𝑥‫היא‬𝐸 𝑥 𝑦‫שמאפשרת‬‫את‬‫השגיאה‬‫המינימלית‬
‫ובאופן‬‫גיאומטרי‬‫את‬‫המרחק‬‫המינימלי‬‫בין‬‫וקטור‬‫המדידה‬‫לוקטור‬‫המצב‬
(‫האמיתי‬,𝑥(‫של‬‫המערכת‬,‫כך‬‫ש‬-𝐸 𝑥 𝑦‫הוא‬‫ההיטל‬‫של‬𝑥‫על‬𝑦‫וניצב‬‫ל‬-𝑦.
𝑥
𝑦𝐸 𝑥 𝑦
𝑥 = 𝑥 − 𝐸 𝑥 𝑦

45. ‫הוכחה‬:‫הבחירה‬‫המיטבית‬,𝑥,‫הופכת‬‫את‬‫השונות‬‫של‬‫שגיאת‬‫ההערכה‬‫למינימלית‬:
𝑃 = 𝐸[ 𝑥 − 𝑥 𝑥 − 𝑥 ]
‫נניח‬‫שישנו‬‫מקדם‬L‫כך‬‫ש‬-𝐿𝑏 = 𝑥‫וקיים‬𝐿0‫שנותן‬‫את‬‫ההערכה‬‫המיטבית‬𝑥.
‫בהצבה‬‫ניתן‬‫לכתוב‬‫את‬P‫כך‬:𝑃 = 𝐿𝑅𝐿‫כאשר‬R‫היא‬‫השונות‬‫של‬‫שגיאת‬
‫המדידה‬.‫נקבל‬‫ביטוי‬‫עבור‬P,‫שתלוי‬‫בהפרש‬0L-L,‫שהופך‬‫למינימלי‬‫כאשר‬L=L0.
‫מה‬‫שמוכיח‬‫שהבחירה‬‫המיטבית‬‫של‬L‫ושל‬x‫מביאים‬‫לשונות‬‫מינימלית‬.

46. ‫של‬ ‫העונתית‬ ‫להתנהגות‬ ‫מדדים‬‫הרעש‬ ‫פי‬ ‫על‬ ‫האגם‬
‫ממדידות‬‫התרמיסטורים‬
‫על‬‫פי‬‫מידת‬‫הרעש‬‫באגם‬‫הגדרנו‬‫בעבודה‬‫זו‬2‫מדדים‬‫לרעש‬
‫שתואמים‬‫להתנהגות‬‫האגם‬,‫כפי‬‫שהיא‬‫מוכרת‬‫בעונות‬
‫השונות‬(Imberger and Marti 2014).
‫על‬‫מנת‬‫להשתמש‬‫במדידות‬‫המים‬‫הרועשות‬‫ניתן‬‫להשתמש‬
‫ב‬-KF‫או‬‫להסיר‬‫את‬‫הרעש‬‫על‬‫ידי‬‫החלקה‬‫ב‬-moving
average.
‫לאחר‬‫השימוש‬‫ב‬-moving average‫ניתן‬‫להשתמש‬‫בשינוי‬
‫באוגר‬‫החום‬‫המוחלק‬‫במאזן‬‫האנרגיה‬(‫ולקבל‬‫את‬‫השטפים‬
‫הטורבולנטיים‬‫כשארית‬).‫אלגוריתם‬‫מתאים‬‫הוא‬Penman-
Brutseart(Katul & Parlange, 1992),‫שלוקח‬‫בחשבון‬‫את‬
‫אוגר‬‫החום‬‫כמרכיב‬‫במאזן‬.‫התאמה‬‫מיטבית‬‫של‬‫המאזן‬
‫מתקבלת‬‫כאשר‬‫מס‬'‫האיברים‬‫המיטבי‬(Optimal Number
of Elements-ONE)‫בממוצע‬‫נותן‬‫התאמה‬‫מיטבית‬‫של‬
‫השטפים‬‫לפי‬Penamnan-Brutsaert‫לשטפים‬‫לפי‬CWR.
‫מספר‬‫האיברים‬‫המיטבי‬‫בממוצע‬‫משתנה‬‫לפי‬‫החודשים‬:
‫בחודשים‬‫בהם‬‫האגם‬‫רגוע‬‫יש‬‫פחות‬‫רעש‬‫ופחות‬‫איברים‬
‫נדרשים‬‫לחישוב‬‫מיטבי‬‫של‬‫הממוצע‬.
K‫שוקל‬‫את‬‫התיקון‬‫מהמדידות‬‫לפי‬‫הרעש‬‫במדידות‬.‫כאשר‬
‫הרעש‬‫גדול‬,K‫קטן‬‫והתיקון‬‫לפי‬‫המדידות‬‫נלקח‬‫בחשבון‬
‫במידה‬‫קטנה‬‫יותר‬.
‫ניתן‬‫לראות‬‫שבחודשים‬‫בהם‬‫האגם‬‫רגוע‬K‫גדול‬‫ובהתאמה‬
‫טובה‬‫גם‬‫מס‬'‫האיברים‬‫המיטבי‬‫בממוצע‬‫קטן‬