Este video tutorial resuelve un problema sobre la monotonía de la función f(x)=x^2e^-x. Explica cómo calcular los extremos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos de inflexión y asíntotas de la función. En particular, la función es decreciente en -∞,0 y 2,+∞ y creciente en 0,2, tiene un mínimo en (0,0) y un máximo en (2,4e^-2), y su única asíntota horizontal es y=0.

1. Vídeo tutorial FdeT
PROBLEMA RESUELTO: monotonía
¿QUÉ APRENDERÁS EN ESTE VÍDEO TUTORIAL ?
- Calcular los extremos de una función.
- Calcular los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función.
- Calcular los puntos de inflexión y la curvatura de una función.
- Calcular las asíntotas de una función.

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ENUNCIADO:
Sea𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑒−𝑥
a) Estudia su monotonía y calcula sus extremos relativos.
b) Estudia su curvatura y calcula sus puntos de inflexión.
c) Calcula sus asíntotas.

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a) En primer lugar estudiaremos su monotonía, para ello calcularemos la primera derivada y
obtendremos las raíces de la primera derivada:
𝑓´ 𝑥 = 2𝑥𝑒−𝑥 + 𝑥2 𝑒−𝑥 −1 = 𝑒−𝑥 2𝑥 − 𝑥2
Ahora igualamos a cero para obtener las raíces:
𝑒−𝑥 2𝑥 − 𝑥2 = 0
𝑒−𝑥 = 0
2𝑥 − 𝑥2 = 0
Por tanto las raíces de la derivada son x=0 y x=2
No tiene solución
𝑥 = 0, 𝑥 = 2

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Estudiamos si se trata de un máximo o de un mínimo, para ello estudiaremos el signo de la
primera derivada.
Por lo tanto:
𝑓 es monótona decreciente en −∞, 0 y en 2, +∞
𝑓 es monótona creciente en 0,2
𝑓 tiene un mínimo relativo en x=0, y vale (0,f(0))=(0,0)
𝑓 tiene un máximo relativo en x=2, y vale (2,f(2))= 2,4𝑒−2
0
- + Signo 𝑓´(𝑥)
𝑓´ −1 = 𝑒− −1
−2 − 1 = −3𝑒 < 0 𝑓´ 1 = 𝑒−1
2 − 1 = 𝑒−1
> 0
2
-
𝑓´ 3 = 𝑒−3
6 − 9 = −3𝑒−1
< 0

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b) Estudiamos a continuación la curvatura de la función.
Para ello calculamos la segunda derivada de la función: (𝑓´ 𝑥 = 𝑒−𝑥
2𝑥 − 𝑥2
)
𝑓´´ 𝑥 = −𝑒−𝑥 2𝑥 − 𝑥2 + 𝑒−𝑥 2 − 2𝑥 = 𝑒−𝑥 −2𝑥 + 𝑥2 + 2 − 2𝑥
Por lo tanto
𝑓´ 𝑥 = 𝑒−𝑥
𝑥2
− 4𝑥 + 2
Para estudiar la curvatura, tenemos que obtener las raíces de la segunda derivada, para ello
igualamos la expresión anterior a cero y resolvemos la ecuación resultante:
𝑒−𝑥 𝑥2 − 4𝑥 + 2 = 0
𝑒−𝑥
= 0
𝑥2 − 4𝑥 + 2 = 0
No tiene solución
𝑥 = 2 ± 2

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Ahora estudiamos el signo de la segunda derivada:
Por lo tanto:
𝑓 es convexa en −∞, 2 − 2 y en 2 + 2, +∞
𝑓 es cóncava en 2 − 2, 2 + 2
𝑓 tiene un punto de inflexión en el punto 𝑥 = 2 − 2, y vale 2 − 2, 𝑓 2 − 2
𝑓 tiene un punto de inflexión en el punto 𝑥 = 2 + 2, y vale 2 + 2, 𝑓 2 + 2
2 − 2
+ + Signo 𝑓´´(𝑥)
𝑓´´ 0 = 2 > 0 𝑓´´ 5 = 7𝑒−5
> 0
2 + 2
𝑓´´ 2 = −2𝑒−2
< 0
-

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c) Calculamos a continuación las asíntotas de la función:
1. Asíntotas horizontales.
Son de la forma 𝑦 = 𝑘, donde lim
𝑥→±∞
𝑓 𝑥 = 𝑘
Por tanto tenemos que hacer los límites cuando x tiende a ±∞ de la función f(x).
lim
𝑥→+∞
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→+∞
𝑥2 𝑒−𝑥 = lim
𝑥→+∞
𝑥2
𝑒 𝑥
= lim
𝑥→+∞
2𝑥
𝑒 𝑥
= lim
𝑥→+∞
2
𝑒 𝑥
= 0
Por lo tanto la función tiene una asíntota en y=0
0
0
𝐼𝑛𝑑. 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝐿´𝐻ô𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙

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lim
𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→−∞
𝑥2 𝑒−𝑥 = lim
𝑥→+∞
−𝑥 2 𝑒 𝑥 = lim
𝑥→+∞
𝑥2 𝑒 𝑥 = +∞
Por lo tanto la única asíntota horizontal de la función es y=0.
2) Asíntotas verticales.
Recordemos que las asíntotas verticales son de la forma x=k, donde lim
𝑥→𝑘
𝑓 𝑥 = ±∞
Los posibles valores de k, debemos de buscarlos en los puntos que no están en el dominio de
la función f(x).
Como nuestra función tiene por dominio ℝ, entonces no tiene asíntotas verticales.
Para hacer el límite cuando x tiende a -∞, hacemos el
límite cuando x tiende a +∞ y cambiamos x por –x.

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3) Asíntotas oblícuas.
Las asíntotas oblícuas son de la forma y=mx+n, donde:
𝑚 = lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑛 = lim
𝑥→±∞
𝑓 𝑥 − 𝑚𝑥
Recordemos además que si una función tiene asíntotas horizontales, entonces no tiene
asíntotas oblícuas, por lo tanto como la función que estamos estudiando tiene asíntotas
horizontales cuando x tiende a +∞, entonces no tiene oblícuas cuando x tiende a +∞.
Tenemos que estudiar sólo:

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lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→−∞
𝑥2 𝑒−𝑥
𝑥
= lim
𝑥→−∞
𝑥𝑒−𝑥 = lim
𝑥→+∞
−𝑥𝑒 𝑥 = −∞
Por lo tanto la función no tiene Asíntotas oblícuas. Su gráfica sería:
𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑒−𝑥