Download to read offline
![node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit
&
Dimension,
Basic
Maths
and
VectorEng.p65
Unit & Dimension, Basic Maths and Vector
ALLEN 3
E
Dimensions :
Dimensions of a physical quantity are the powers (or exponents) to which the base quantities are
raised to represent that quantity. To make it clear, consider the physical quantity force. As we shall
learn later, force is equal to mass times acceleration. Acceleration is change in velocity divided by
time interval. Velocity is length divided by time interval. Thus,
force = mass × acceleration
= mass ×
velocity
time
= mass ×
length / time
time
= mass × length × (time)–2
Thus, the dimensions of force are 1 in mass, 1 in length and –2 in time. The dimensions in all other
base quantities are zero.
1. Dimensional formula :
The physical quantity that is expressed in terms of the base quantities is enclosed insquare brackets to
remind that the equation is amongthe dimensions and not among the magnitudes. Thusabove equation
may be written as [force]= MLT–2
.
Such an expression for a physical quantity in terms of the base quantities is called the dimensional
formula. Thus,the dimensional formula of force is MLT–2
. The two versions given beloware equivalent
and are used interchangeably.
(a) The dimensional formula of force is MLT–2
.
(b) The dimensions of force are 1 in mass, 1 in length and –2 in time.
The dimensional formula of any physical quantity isthat expression which represents how and which
of the base quantities are included in that quantity.
Ex. Dimensional formula of mass is [M1
L0
T0
] and that of speed (= distance/time) is [M0
L1
T–1
]
2. Applications of dimensional analysis :
(i) To convert a physical quantity from one system of units to the other :
This is based on a fact that magnitude of a physical quantity
remains same whatever system is used for measurement
i.e. magnitude = numeric value (n) ×
unit (u) = constant or n1
u1
= n2
u2
So if a quantity is represented by [Ma
Lb
Tc
]
n = numerical value in II system
M = unitofmass in I system
M = unitofmass in II system
L = unitoflengthin Isystem
L = unitof lengthinII system
T = unitof time inIsystem
T = unitof time inIIsystem
2
1
2
1
2
1
2
n = numerical value in Isystem
1
Then
a b c
1 1 1 1
2 1 1
2 2 2 2
u M L T
n n n
u M L T
é ù é ù é ù é ù
= =
ê ú ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û ë û
Ex. 1m = 100 cm= 3.28 ft = 39.4 inch
(SI) (CGS) (FPS)
Ex. The acceleration due to gravity is 9.8 m s–2
. Give its value in ft s–2
Sol. As 1m = 3.2 ft 9.8 m/s2
= 9.8 × 3.28 ft/s2
= 32.14 ft/s2
» 32 ft/s2
Ex. Convert 1 newton (SI unit of force) into dyne (CGS unit of force)
Sol. The dimensional equation of force is [F] = [M1
L1
T–2
]
Therefore if n1
, u1
, and n2
, u2
corresponds to SI & CGS units respectively, then
n2
=
1 1 2
1 1 1
1
2 2 2
M L T
n
M L T
-
é ù é ù é ù
ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û
= 1
2
kg m s
g cm s
-
é ù é ù é ù
ê ú ê ú ê ú
ë û ë û ë û
= 1 × 1000 × 100 × 1= 105
1 newton = 105
dyne.](https://image.slidesharecdn.com/95634756-250323013505-15c5029b/75/Ebook-Allen-Physics-JEE-Module-by-ALLEN-Experts-Faculty-7-2048.jpg)
![node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit
&
Dimension,
Basic
Maths
and
VectorEng.p65
4 JEE-Physics ALLEN
E
Q. The value of Gravitational constant G in MKS system is 6.67 × 10–11
N–m2
/kg2
.
What will be its value in CGS system ?
Ans. 6.67 × 10–8
cm3
/g s2
(ii) To check the dimensional correctness of a given physical relation :
If in a given relation, the terms on both the sides have the same dimensions, then the relation is
dimensionally correct. This is known as the principle of homogeneity of dimensions.
Ex. Check the accuracy of the relation T =
L
2
g
p for a simple pendulum using dimensional analysis.
Sol. The dimensions of LHS = the dimension of T = [M0
L0
T1
]
The dimensions of RHS =
1 2
dimensions of length
dimensions of acceleration
æ ö
ç ÷
è ø
(Q 2p is a dimensionless constant)
=
1 2
2
L
LT-
æ ö
ç ÷
è ø
= (T2
)1/2
= [T] = [ M0
L0
T1
]
Since the dimensions are same on both the sides, the relation is correct.
(iii) To derive relationship between different physical quantities :
Using the sameprinciple of homogeneity of dimensions new relations among physical quantities can
be derived if the dependent quantities are known.
Ex. It is known that the time of revolution T of a satellite around the earth depends on the universal
gravitational constant G, the mass of the earth M, and the radius of the circular orbit R. Obtain an
expression for T using dimensional analysis.
Sol. We have [T] = [G]a
[M]b
[R]c
[M]0
[L]0
[T]1
= [M]–a
[L]3a
[T]–2a
× [M]b
× [L]c
= [M]b–a
[L]c+3a
[T]–2a
Comparing the exponents
For [T] : 1 = –2a Þ a = –
1
2
For [M] : 0 = b – a Þ b = a = –
1
2
For [L] : 0 = c + 3a Þ c = –3a =
3
2
Putting the values we get T = G–1/2
M–1/2
R3/2
=
3
R
GM
So the actual expression is T =
3
R
2
GM
p
Limitations of this method :
(i) In Mechanics the formula for a physical quantity depending on more than three physical quantities
cannot be derived. It can only be checked.
(ii) This method can be used only if the dependency is of multiplication type. The formulae containing
exponential, trigonometrical and logarithmic functions can't be derived using this method. Formulae
containing more than one term which are added or subtracted like s = ut +at2
/2 also can't be derived.](https://image.slidesharecdn.com/95634756-250323013505-15c5029b/75/Ebook-Allen-Physics-JEE-Module-by-ALLEN-Experts-Faculty-8-2048.jpg)
![node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit
&
Dimension,
Basic
Maths
and
VectorEng.p65
Unit & Dimension, Basic Maths and Vector
ALLEN 17
E
• Area of whole surfaceof cylinder = 2pr(r + l) (where l = length)
• Surface area of a cube = 6(side)2
• Total surface area of a cone = pr2
+prl [where prl = pr 2 2
r h
+ = lateral area (h=height)]
Formulae for determination of volume :
• Volume of a rectangular slab = length × breadth × height = abt
• Volume of acube = (side)3
• Volume of a sphere =
4
3
p r3
(where r = radius)
• Volume of a cylinder = p r2
l (where r = radius and l = length)
• Volume of acone =
1
3
p r2
h (where r = radius and h = height)](https://image.slidesharecdn.com/95634756-250323013505-15c5029b/75/Ebook-Allen-Physics-JEE-Module-by-ALLEN-Experts-Faculty-21-2048.jpg)
![node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit
&
Dimension,
Basic
Maths
and
VectorEng.p65
Unit & Dimension, Basic Maths and Vector
ALLEN 19
E
Addition of vectors
8. A blockis appliedtwo forcesof magnitude 5N each. Oneforce is actingtowards East and theother acting
along 60°North of East. The resultant of the two forces (in N) isof magnitude :-
UD0008
9. Two forcesact on a particlesimultaneously as shown inthe figure. Find netforce in milli newton on the
particle. [Dyneis the CGS unit of force]
100 dyne
1.0 mili newton
60°
UD0009
10. Themaximumandminimummagnitudesoftheresultantoftwoforcesare35Nand5Nrespectively.Find
the magnitude ofresultant force when act orthogonally to each other.
UD0010
11. Three forcesof magnitudes 2 N, 3 N and 6 N act at cornersof a cube along three sides as shown in figure.
Find theresultant of these forcesin N.
3N
2N
6N
UD0011
Resolution of vectors and unit vector
12. The farmhouse shown in figure has rectangular shape and has sides parallel to the chosen x and y axes.
The position vector of corner A is 125 m at 53° and corner Cis 100 m at37° from x axis.Find the length
ofthefencingrequiredinmeter.
B
A
C
D
53°
37°
y
x
UD0012
13. Vector B hasx, y and z components of 4.00, 6.00 and 3.00 units, respectively. Calculatethe magnitude of
B and the angles that B makes with the coordinates axes.
UD0013](https://image.slidesharecdn.com/95634756-250323013505-15c5029b/75/Ebook-Allen-Physics-JEE-Module-by-ALLEN-Experts-Faculty-23-2048.jpg)
![node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit
&
Dimension,
Basic
Maths
and
VectorEng.p65
Unit & Dimension, Basic Maths and Vector
ALLEN 35
E
28. Whichofthefollowingisnotaphysicalquantity
(A) Height of a boy (B) Weight of a boy
(C) Fever of a boy (D)Speedof arunningboy
UD0101
29. Fromtheconceptofdirecteddimensionwhatistheformulaforarange(R)ofacannonballwhenitisfired
withverticalvelocitycomponentVy
andahorizontal velocitycomponentVx
assumingitisfiredonaflat
surface. [Rangealsodependsuponaccelerationdueto gravity, gandkisnumericalconstant]
(A) R =
( )
x y
k V V
g
(B) R =
( )
2
x
k V
g
(C) R =
( )
3
x
y
k V
V g
(D) R =
( )
3
y
x
k V
V g
UD0101
30. AconveyerbeltofwidthDismovingalongx-axiswithvelocityV.AmanmovingwithvelocityUonthebelt
inthedirectionperpendicularto thebelt'svelocitywithrespecttobelt wantsto crossthebelt.Thecorrect
expression forthedrift(S)sufferedbymanisgivenby(kisnumericalconstant)
(A) S = k
UD
V
(B) S =
VD
k
U
(C) S =
2
2
U D
k
V
(D) S =
2
2
V D
k
U
UD0101
MATCHING LIST TYPE (4 × 4 × 4) MULTIPLE OPTION CORRECT
(THREE COLUMNS AND FOUR ROWS)
Answer Q.31, Q.32 and Q.33 by appropriately matching the information given in the three
columns of the following table.
L, M and T are units of length, Mass and Time respectively in a system of units.
Coloumn–1 Column-2 Column-3
(I) L = 10 m (i) M = 100 gm (P) T = 0.1 sec
(II) L = 10 cm (ii) M = 10 kg (Q) T = 10 ms
(III) L = 0.1 mm (iii) M = 10 gm (R) T = 10 sec
(IV) L = 1 km (iv) M = 1 tonne (S) T = 0.01 sec
31. In which of the following combinations unit of force is 106
dyne.
(A) (IV) (i) (P) (B)(II) (iii)(S) (C) (III)(iv) (P) (D) (I) (ii) (Q)
UD0102
32. In whichof the following system, unit of energy is 109
erg
(A) (III) (i) (S) (B)(IV)(iii) (R) (C) (II)(iv) (Q) (D)(I)(iii)(P)
UD0103
33. Inwhichofthefollowingsystem,unitforcoefficientof viscosityis100poiseuille
(A) (III)(ii) (S) (B) (II) (i) (Q) (C)(III)(iii)(R) (D) (IV) (iv) (P)
UD0104](https://image.slidesharecdn.com/95634756-250323013505-15c5029b/75/Ebook-Allen-Physics-JEE-Module-by-ALLEN-Experts-Faculty-39-2048.jpg)
![node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit
&
Dimension,
Basic
Maths
and
VectorEng.p65
38 JEE-Physics ALLEN
E
EXERCISE (J-M)
1. An ideal gas enclosed in a vertical cylindrical container supports a freely moving piston of mass M.
The piston and the cylinder have equal cross sectional area A. When the piston is in equilibrium, the
volume of the gas is V0
and its pressure is P0
. The piston is slightly displaced from the equilibrium
position and released. Assuming that the system is completely isolated from its surrounding, the
piston executes a simple harmonic motion with frequency. [JEE Main-2013]
(1)
0
0
A P
1
2 V M
g
p (2)
0 0
2
V MP
1
2 A
p g
(3)
2
0
0
A P
1
2 MV
g
p
(4)
0
0
MV
1
2 A P
p g
UD0108](https://image.slidesharecdn.com/95634756-250323013505-15c5029b/75/Ebook-Allen-Physics-JEE-Module-by-ALLEN-Experts-Faculty-42-2048.jpg)
![node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit
&
Dimension,
Basic
Maths
and
VectorEng.p65
Unit & Dimension, Basic Maths and Vector
ALLEN 39
E
EXERCISE (J-A)
1. Match List Iwith List II and select the correct answer using the codes given belowthe lists :
List I List II [JEE Advanced-2013]
P. Boltzmann constant 1. [ML2
T–1
]
Q. Coefficient of viscosity 2. [ML–1
T–1
]
R. Planck constant 3. [MLT–3
K–1
]
S. Thermal conductivity 4. [ML2
T–2
K–1
]
Codes :
P Q R S
(A) 3 1 2 4
(B) 3 2 1 4
(C) 4 2 1 3
(D) 4 1 2 3
UD0109
2. Tofindthedistancedoverwhich asignalcanbeseenclearlyinfoggyconditions,arailwaysengineer uses
dimensional analysis and assumes that the distance depends on the mass density r of the fog, intensity
(power/area) S of the light from the signal and itsfrequency f. The engineerfinds that d isproportional to
S
1/n
. The value of n is. [JEE Advanced-2014]
UD0110
3. In termsof potentialdifferenceV, electriccurrentI, permittivitye0
,permeabilityµ0
andspeedoflightc, the
dimensionallycorrectequation(s)is(are) [JEE Advanced-2015]
(A) µ0
I2
= e0
V2
(B) e0
I = µ0
V (C) I = e0
cV (D) µ0
cI = e0
V
UD0111
4. Three vectors P,Q
r
r
and R
r
are shown in the figure. Let S be any point on the vector R
r
. The distance
between the points P and S is b R
r
. The general relation among vectors P,Q
r
r
and S
r
is :
[JEE Advanced-2017]
b|R|
R = Q – P
S
Q
Q
S
P
X
O
Y
P
(A) ( ) 2
S 1 b P b Q
= - +
r r
r
(B) ( )
S b 1 P bQ
= - +
r r
r
(C) ( )
S 1 b P bQ
= - +
r r
r
(D) ( )
2
S 1 b P bQ
= - +
r r
r
UD0112](https://image.slidesharecdn.com/95634756-250323013505-15c5029b/75/Ebook-Allen-Physics-JEE-Module-by-ALLEN-Experts-Faculty-43-2048.jpg)
![node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit
&
Dimension,
Basic
Maths
and
VectorEng.p65
40 JEE-Physics ALLEN
E
5. Two vectors A
r
and B
r
are defined as ˆ
A ai
=
r
and ( )
ˆ ˆ
B a cos ti sin t j
= w + w
r
, whre a is a constant and
w = p/6 rad s–1
. If A B 3 A B
+ = -
r r
r r
at time t = t for the first time, the value of t, in seconds, is
_____. [JEE Advanced-2018]
UD0113
PARAGRAPH "X"
In electromagnetic theory, the electric and magnetic phenomena are related to each other. Therefore,
the dimensions of electric and magnetic quantities must also be related to each other. In the questions
below, [E] and [B] stand for dimensions of electric and magnetic fields respectively, while [Î0
] and
[µ0
] stand for dimensions of the permittivity and permeability of free space respectively. [L] and [T]
are dimensions of length and time respectively. All the quantities are given in SI units.
(There are two questions based on Paragraph "X", the question given below is one of them)
6. The relation between [E] and [B] is :- [JEE Advanced-2018]
(A) [E]= [B][L][T] (B) [E] = [B][L]
–1
[T] (C) [E] = [B][L][T]
–1
(D) [E] = [B][L]
–1
[T]
–1
UD0114
PARAGRAPH "X"
In electromagnetic theory, the electric and magnetic phenomena are related to each other. Therefore,
the dimensions of electric and magnetic quantities must also be related to each other. In the questions
below, [E] and [B] stand for dimensions of electric and magnetic fields respectively, while [Î0
] and
[µ0
] stand for dimensions of the permittivity and permeability of free space respectively. [L] and [T]
are dimensions of length and time respectively. All the quantities are given in SI units.
(There are two questions based on Paragraph "X", the question given below is one of them)
7. The relation between [Î0
] and [µ0
] is :- [JEE Advanced-2018]
(A) [µ0
] = [Î0
][L]2
[T]–2
(B) [µ0
] = [Î0
][L]–2
[T]2
(C) [µ0
] = [Î0
]
–1
[L]
2
[T]
–2
(D) [µ0
] = [Î0
]
–1
[L]
–2
[T]
2
UD0114
8. Let us consider a system of unitsin which mass andangular momentum are dimensionless. If length has
dimension ofL, which of thefollowing statement (s) is/arecorrect ? [JEE Advanced-2019]
(1) The dimension of force is L
–3
(2) The dimension of energy is L
–2
(3) The dimension of power is L
–5
(4) Thedimensionoflinear momentumisL
–1
UD0115](https://image.slidesharecdn.com/95634756-250323013505-15c5029b/75/Ebook-Allen-Physics-JEE-Module-by-ALLEN-Experts-Faculty-44-2048.jpg)
![node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit
&
Dimension,
Basic
Maths
and
VectorEng.p65
Unit & Dimension, Basic Maths and Vector
ALLEN 41
E
ANSWER KEY
EXERCISE (S-1)
1. Ans. L–1
, ML2
T–2
2. Ans. kg.m2
.s–2
.K–1
3. Ans.
m
T a
k
= 4. Ans. 3
GM
K
r
w =
5. Ans. 0 =
GM
v k
R
6. Ans. K = 6 7. Ans. [MLT–1
] 8. Ans. 75
9. Ans. 1 10. Ans. 25 11. Ans. 7 12. Ans. 90 m
13. Ans.
4
cos
61
æ ö
a = ç ÷
è ø
,
6
cos
61
æ ö
b = ç ÷
è ø
3
cos
61
æ ö
g = ç ÷
è ø
, 61
magnitude = 14. Ans. 3
15. Ans. 5 16. Ans.
7
16
17. Ans. ˆ ˆ
ˆ, 3k
i j
+
18. Ans. (a) k̂
7
j
ˆ
5
î
11 -
+ , (b) ÷
ø
ö
ç
è
æ -
-
195
7
cos 1
, (c) ÷
ø
ö
ç
è
æ -
-
1309
20
cos 1
19. Ans. 2
20. Ans. (a) 6
2
6.4 10
3
m
p
´ ´ , (b) 6
3 6.4 10
´ ´ m 21. Ans. (a) 9.95, (b) 0.99
22. Ans. 0.14, 0.09
EXERCISE (S-2)
1. Ans. ML5
T–2
K1/2
2. Ans. [S] = Ev–2
T–2
3. Ans. 10–30
star joule
4. Ans. 2 19 , cos–1
7
2 19
or tan–1
3 3
7
5. Ans. 100 s 6. Ans. 120 N, 40 3 N
7. Ans. ˆ
ˆ
16 30 ,198
i k J
-
EXERCISE (O-1)
1.Ans. (D) 2. Ans. (C) 3. Ans. (A) 4. Ans. (A) 5. Ans. (B) 6. Ans. (A)
7. Ans. (C) 8. Ans. (D) 9. Ans. (D) 10. Ans. (A) 11. Ans. (C) 12. Ans. (B)
13. Ans. (C) 14. Ans. (D) 15. Ans. (B) 16. Ans. (B) 17. Ans. (D) 18. Ans. (D)
19. Ans. (C) 20. Ans. (A) 21. Ans. (C) 22. Ans. (A) 23. Ans. (B) 24. Ans. (C)
25. Ans. (B) 26. Ans. (B) 27. Ans. (D) 28. Ans. (D) 29. Ans. (A) 30. Ans. (C)
31. Ans. (B) 32. Ans. (A) 33. Ans. (C) 34. Ans. (B) 35. Ans. (B) 36. Ans. (B)
37. Ans. (D) 38. Ans. (A,D) 39. Ans. (C,D) 40. Ans. (B, C) 41. Ans. (B) 42. Ans. (C)
43. Ans. (A) 44. Ans. (B) 45. Ans. (C)
46. Ans. (A) ® (Q); (B) ® (R); (C) ® (T); (D) ® (P)
47.Ans. (A)-R; (B)-S; (C)-P; (D)-Q
48. Ans. (A) ® (S); (B) ® (P); (C) ® (R); (D) ® (T)
49. Ans. (A)-S; (B)-P; (C)-Q; (D)-R](https://image.slidesharecdn.com/95634756-250323013505-15c5029b/75/Ebook-Allen-Physics-JEE-Module-by-ALLEN-Experts-Faculty-45-2048.jpg)
![node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit
&
Dimension,
Basic
Maths
and
VectorEng.p65
42 JEE-Physics ALLEN
E
EXERCISE (O-2)
1. Ans. (A) 2. Ans. (D) 3. Ans. (C) 4. Ans. (B) 5. Ans. (C) 6. Ans. (A)
7. Ans. (A) 8. Ans. (D) 9. Ans. (A) 10. Ans. (C) 11. Ans. (C) 12. Ans. (B)
13. Ans. (A) 14. Ans. (A) 15. Ans. (A) 16. Ans. (B) 17.Ans. (C) 18. Ans. (C, D)
19. Ans. (A,B,D) 20. Ans. (A, D) 21. Ans. (B,D) 22. Ans. (A,B) 23. Ans. (A,C,D)
24. Ans. (A, B, C) 25. Ans. (A) 26. Ans. (C) 27. Ans. (B) 28. Ans. (C)
29. Ans. (A) 30. Ans. (B) 31. Ans. (B,C) 32. Ans. (B,D) 33. Ans. (B)
34. Ans. (A) ® (Q); (B) ® (S); (C) ® (R); (D) ® (R)
35. Ans. (A) ® (P,R,T); (B) ® (P,R,T); (C) ® (P,Q,R,S,T); (D) ® (P,Q,R,S,T)
36. Ans. (A) R (B) Q (C) P
EXERCISE (J-M)
1. Ans. (3)
EXERCISE (J-A)
1. Ans. (C) 2. Ans. 3 3. Ans. (A,C) 4. Ans. (C) 5. Ans. 2 [1.99, 2.01]
6. Ans. (C) 7. Ans. (D) 8. Ans. (1,2,4)](https://image.slidesharecdn.com/95634756-250323013505-15c5029b/75/Ebook-Allen-Physics-JEE-Module-by-ALLEN-Experts-Faculty-46-2048.jpg)
![node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)EnthusePhysicsSheetError
in
measurements
&
instrumentsEng01_Exercises.p65
30 JEE-Physics
E
7. The pitch of a screw gauge is 0.5 mm and there are 50 divisions on the circular scale. In measuring the
thicknessofa metalplate, therearefive divisions onthe pitchscale (ormainscale) and thirtyfourthdivision
coincides withthe reference line. Calculate the thickness ofthe metalplate.
ER0006
8. The pitch ofa screw gauge is 1 mmand there are 50 divisions on itscap. Whennothing is put in between
the studs, 44th
division ofthe circular scale coincideswith the reference line zero ofthe mainscale is not
visible. Whenaglass plate is placedbetweenthe studs, the mainscale reads three divisionsand the circular
scale reads 26 divisions. Calculate the thicknessofthe plate.
ER0007
9. Inagivenopticalbench, aneedle oflength10cmis used to estimate bencherror.Theobject needle, image
needle &lens holder have their reading as shown.
x0 = 1.1 cm xI = 21.0 cm xL = 10.9 cm
Estimate the bencherrorswhich are present inimage needle holder and object needle holder.Also find the
focallengthofthe convexlens when.
x0 = 0.6 cm xI = 22.5 cm xL= 11.4 cm
ER0066
10. Make theappropriate connections inthemeter bridge set upshown. Resistance boxisconnected between
___. Unknown resistance is connected between___. Batteryis connected between ______.
A B C D
E F
ER0008
11. Abodytravels uniformlya distance of(13.8 ± 0.2)min time (4.0 ± 0.3) sec. Calculate its velocity.
ER0009
12. Consider S = x cos () for x = (2.0 ± 0.2) cm, = 53 ± 2 °. Find S.
ER0010
13. Two resistance R1
and R2
are connectedin(i) series and(ii) parallel.What is theequivalent resistance with
limit ofpossible percentage error in each case ofR1
= 5.0 ± 0.2 and R2
= 10.0 ± 0.1 .
ER0011
14. 5.74gmofasubstanceoccupiesavolumeof1.2cm3.Calculateitsdensitywithdueregardforsignificantfigures.
ER0012
15. The time period ofoscillation ofa simple pendulumis givenbyT = g
/
2 l
. The lengthofthe pendulum
is measured as l = 10.0 ± 0.1cmand the time period as T = 0.50 ± 0.02 s. Determine percentage error in
the valueofg.
ER0013
16. In a Searle's experiment, the diameter ofthe wire asmeasured bya screw gauge ofleast count 0.001 cm
is 0.050 cm.The length, measured bya scale ofleast count 0.1 cm, is 110.0 cm. When a weight of50 N
is suspended from the wire, the extension is measured to be 0.125 cm by a micrometer of least count
0.001 cm.Findthemaximumerror inthe measurement ofYoung'smodulusofthematerialofthewire from
thesedata. [JEE 2004]
ER0014](https://image.slidesharecdn.com/95634756-250323013505-15c5029b/75/Ebook-Allen-Physics-JEE-Module-by-ALLEN-Experts-Faculty-48-2048.jpg)
![node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)EnthusePhysicsSheetError
in
measurements
&
instrumentsEng01_Exercises.p65
Error in measurements & instruments
31
E
17. The pitchofa screw gaugeis 1 mmandthere are 100 divisions on the circular scale.While measuring the
diameter ofa wire, the linear scale reads 1 mm and 47th divisionon the circular scale coincideswith the
reference line. The length of the wire is 5.6 cm. Find the curved surface area (in cm2) of the wire in
appropriate numberofsignificant figures. [JEE 2004]
ER0015
18. Aphysical quantityP is related to four observablesA, B, C and D as P = )
D
C
/(
B
A
4 2
3
2
The percentage error of the measurement in A, B, C and D are 1%, 3% and 2%, 4% respectively.
Determine the percentage error & absolute error in the quantityP. Value ofPis calculated 3.763.
ER0067
19. Aglass prismofangleA= 60° gives minimum angle ofdeviation = 30° withthe max. error of10 when
a beamofparallel light passed throughthe prismduring anexperiment. Find the permissible error in the
measurement ofrefractive index ofthe materialofthe prism.
ER0068
20. Inavernier calipers the mainscale and the vernierscale are made upofdifferent materials. Whenthe room
temperature increases byT°C, it is found the reading ofthe instrument remains the same. Earlier it was
observed that the front edge of the wooden rod placed for measurement crossed the Nth main scale
divisionand (N+ 2) msd coincided withthe 2nd vsd.Initially, 10 vsd coincidedwith9 msd. Ifcoefficient of
linear expansion ofthe mainscale is 1 andthat ofthe vernier scale is 2 thenwhat is the valueof1/ 2?
(Ignore the expansion ofthe rod on heating)
ER0069
21. In a vernier callipers, n divisions ofits main scale match with (n + 1) divisions on its vernier scale. Each
divisionofthe main scale isa units. Using the vernier principle, calculate its least count.
[JEE 2003]
ER0070
22. The period ofoscillation of a simple pendulum in an experiment is recorded as 2.63 sec, 2.56 sec, 2.42
sec, 2.71 sec and 2.80 sec respectively. Find the time period, the absolute error in each observation,
average absolute error and the percentage error.
ER0016
23. The sideofa cube ismeasured byvernier callipers(10 divisions ofavernier scale coincide with9 divisions
ofmain scale, where 1 division ofmain scale is 1 mm). The main scale reads 10 mm and first division of
vernier scale coincides with the main scale. Mass of the cube is 2.736 g. Find the density ofthe cube in
appropriate significant figures. [JEE 2005]
ER0017](https://image.slidesharecdn.com/95634756-250323013505-15c5029b/75/Ebook-Allen-Physics-JEE-Module-by-ALLEN-Experts-Faculty-49-2048.jpg)
(Ebook) Allen Physics JEE Module by ALLEN Experts Faculty
- 1. Instant Ebook Access,One Click Away – Begin at ebooknice.com (Ebook) Allen Physics JEE Module by ALLEN Experts Faculty https://ebooknice.com/product/allen-physics-jee- module-47817378 OR CLICK BUTTON DOWLOAD EBOOK Get Instant Ebook Downloads – Browse at https://ebooknice.com
- 2. Instant digital products(PDF, ePub, MOBI) ready for you Download now and discover formats that fit your needs... Start reading on any device today! (Ebook) Allen Handbook of Physics for jee by Allen Kota https://ebooknice.com/product/allen-handbook-of-physics-for-jee-36096844 ebooknice.com (Ebook) Allen Class 11 Mathematics Module-4 by Allen https://ebooknice.com/product/allen-class-11-mathematics-module-4-36096874 ebooknice.com (Ebook) Allen Class 11 Inorganic Module by Allen Kota https://ebooknice.com/product/allen-class-11-inorganic-module-36096948 ebooknice.com (Ebook) Allen Class 11 Mathematics Module-3 by Allen Kota https://ebooknice.com/product/allen-class-11-mathematics-module-3-36096864 ebooknice.com
- 3. (Ebook) Allen Class11 Mathematics Module-2 by Allen Kota https://ebooknice.com/product/allen-class-11-mathematics-module-2-36096916 ebooknice.com (Ebook) Allen Chemistry Handbook for JEE/NEET by Allen https://ebooknice.com/product/allen-chemistry-handbook-for-jee-neet-11212756 ebooknice.com (Ebook) Allen Handbook of Mathematics For jee by Allen Kota https://ebooknice.com/product/allen-handbook-of-mathematics-for-jee-36096846 ebooknice.com (Ebook) ALLEN PHYSICS HANDBOOK FOR NEET by ALLEN https://ebooknice.com/product/allen-physics-handbook-for-neet-28173346 ebooknice.com (Ebook) Hydrocarbons Notes For IIT-JEE by Brij (Allen Chemistry HOD) https://ebooknice.com/product/hydrocarbons-notes-for-iit-jee-49138800 ebooknice.com
- 5. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 Unit & Dimension,Basic Maths and Vector ALLEN 1 E PHYSICAL QUANTITIES AND UNITS Physical quantities : All quantities that can be measured are called physical quantities. eg. time, length, mass, force, work done, etc. In physics we study about physical quantities and their inter relationship. Measurement : Measurement is the comparison of a quantity with a standard of the same physical quantity. Classification : Physical quantities can be classified on the following bases : I. Based on their directional properties 1. Scalars:The physical quantitieswhich have only magnitude but nodirection are called scalarquantities. Ex. mass, density, volume, time, etc. 2. Vectors : The physical quantitieswhich have both magnitude and direction and obey laws of vector algebra are called vector quantities. Ex. displacement, force, velocity, etc. II. Based on their dependency 1. Fundamental or basequantities : A set of physical quantities which are completely independent of each other and all other physical quantities can be expressed in terms of these physical quantities is called Set of Fundamental Quantities. 2. Derived quantities : The quantities which can be expressed in terms of the fundamental quantities are known as derived quantities. Ex. Speed (= distance/time), volume, acceleration, force, pressure, etc. Physical quantities can also be classified as dimensional and dimensionless quantities or constants and variables. Ex. Classify thequantities displacement, mass, force, time, speed, velocity, acceleration, moment of inertia, pressure and work under the following categories : (a) base and scalar (b) base and vector (c) derived and scalar (d) derived and vector Ans. (a) mass, time (b) displacement (c) speed, pressure, work (d) force, velocity, acceleration Units of Physical Quantities The chosen reference standard of measurement in multiples of which, a physical quantity is expressed is called the unit of that quantity. Four basic properties of units are : 1. They must be well defined. 2. They should be easily available and reproducible. 3. They should be invariable e.g. step as a unit of length is not invariable. 4. They should be accepted to all. System of Units : 1. FPS or British Engineering system : In this system length, mass and time are taken as fundamental quantities and their base units are foot (ft), pound (lb) and second (s) respectively. KEY CONCEPT UNIT & DIMENSION, BASIC MATHS AND VECTOR
- 6. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 2 JEE-Physics ALLEN E 2.CGS or Gaussian system : In this system the fundamental quantities are length, mass and time and their respective units are centimetre (cm), gram (g) and second (s). 3. MKS system : In this system also the fundamental quantities are length, mass and time but their fundamental units are metre (m), kilogram (kg) and second (s) respectively. 4. International system (SI) of units : This system is modification over the MKS system and so it is also known as Rationalised MKS system. Besides the three base units of MKS system four fundamental and two supplementary units are also included in this system. Classification of Units : The units of physical quantities can be classified as follows : 1. Fundamental or base units : The units of fundamental quantities are called base units. In SI there are seven base units. SI BASE QUANTITIES AND THEIR UNITS S.No. Physical quantity SI unit Symbol 1. Length metre m 2. Mass kilogram kg 3. Time second s 4. Temperature Kelvin K 5. Electric current ampere A 6. Luminous intensity candela cd 7. Amount of substance mole mol 2. Derived units : The units of derived quantities or the units that can be expressed in terms of the base units are called derived units Ex. Unit of speed = 1 unit of distance metre ms unit of time second - = = Some derived units are named in honour of great scientists. • Unit of force – newton (N) • Unit of frequency – hertz (Hz) etc. UNITS OF SOME PHYSICAL QUANTITIES IN DIFFERENT SYSTEMS Type of Physical Quantity Physical Quantity CGS (Originated in France) MKS (Originated in France) FPS (Originated in Britain) Length cm m ft Mass g kg lb Fundamental Time s s s Force dyne newton(N) poundal Work or Energy erg joule(J) ft-poundal Derived Power erg/s watt(W) ft-poundal/s
- 7. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 Unit & Dimension,Basic Maths and Vector ALLEN 3 E Dimensions : Dimensions of a physical quantity are the powers (or exponents) to which the base quantities are raised to represent that quantity. To make it clear, consider the physical quantity force. As we shall learn later, force is equal to mass times acceleration. Acceleration is change in velocity divided by time interval. Velocity is length divided by time interval. Thus, force = mass × acceleration = mass × velocity time = mass × length / time time = mass × length × (time)–2 Thus, the dimensions of force are 1 in mass, 1 in length and –2 in time. The dimensions in all other base quantities are zero. 1. Dimensional formula : The physical quantity that is expressed in terms of the base quantities is enclosed insquare brackets to remind that the equation is amongthe dimensions and not among the magnitudes. Thusabove equation may be written as [force]= MLT–2 . Such an expression for a physical quantity in terms of the base quantities is called the dimensional formula. Thus,the dimensional formula of force is MLT–2 . The two versions given beloware equivalent and are used interchangeably. (a) The dimensional formula of force is MLT–2 . (b) The dimensions of force are 1 in mass, 1 in length and –2 in time. The dimensional formula of any physical quantity isthat expression which represents how and which of the base quantities are included in that quantity. Ex. Dimensional formula of mass is [M1 L0 T0 ] and that of speed (= distance/time) is [M0 L1 T–1 ] 2. Applications of dimensional analysis : (i) To convert a physical quantity from one system of units to the other : This is based on a fact that magnitude of a physical quantity remains same whatever system is used for measurement i.e. magnitude = numeric value (n) × unit (u) = constant or n1 u1 = n2 u2 So if a quantity is represented by [Ma Lb Tc ] n = numerical value in II system M = unitofmass in I system M = unitofmass in II system L = unitoflengthin Isystem L = unitof lengthinII system T = unitof time inIsystem T = unitof time inIIsystem 2 1 2 1 2 1 2 n = numerical value in Isystem 1 Then a b c 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 u M L T n n n u M L T é ù é ù é ù é ù = = ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û ë û Ex. 1m = 100 cm= 3.28 ft = 39.4 inch (SI) (CGS) (FPS) Ex. The acceleration due to gravity is 9.8 m s–2 . Give its value in ft s–2 Sol. As 1m = 3.2 ft 9.8 m/s2 = 9.8 × 3.28 ft/s2 = 32.14 ft/s2 » 32 ft/s2 Ex. Convert 1 newton (SI unit of force) into dyne (CGS unit of force) Sol. The dimensional equation of force is [F] = [M1 L1 T–2 ] Therefore if n1 , u1 , and n2 , u2 corresponds to SI & CGS units respectively, then n2 = 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 M L T n M L T - é ù é ù é ù ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û = 1 2 kg m s g cm s - é ù é ù é ù ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û = 1 × 1000 × 100 × 1= 105 1 newton = 105 dyne.
- 8. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 4 JEE-Physics ALLEN E Q.The value of Gravitational constant G in MKS system is 6.67 × 10–11 N–m2 /kg2 . What will be its value in CGS system ? Ans. 6.67 × 10–8 cm3 /g s2 (ii) To check the dimensional correctness of a given physical relation : If in a given relation, the terms on both the sides have the same dimensions, then the relation is dimensionally correct. This is known as the principle of homogeneity of dimensions. Ex. Check the accuracy of the relation T = L 2 g p for a simple pendulum using dimensional analysis. Sol. The dimensions of LHS = the dimension of T = [M0 L0 T1 ] The dimensions of RHS = 1 2 dimensions of length dimensions of acceleration æ ö ç ÷ è ø (Q 2p is a dimensionless constant) = 1 2 2 L LT- æ ö ç ÷ è ø = (T2 )1/2 = [T] = [ M0 L0 T1 ] Since the dimensions are same on both the sides, the relation is correct. (iii) To derive relationship between different physical quantities : Using the sameprinciple of homogeneity of dimensions new relations among physical quantities can be derived if the dependent quantities are known. Ex. It is known that the time of revolution T of a satellite around the earth depends on the universal gravitational constant G, the mass of the earth M, and the radius of the circular orbit R. Obtain an expression for T using dimensional analysis. Sol. We have [T] = [G]a [M]b [R]c [M]0 [L]0 [T]1 = [M]–a [L]3a [T]–2a × [M]b × [L]c = [M]b–a [L]c+3a [T]–2a Comparing the exponents For [T] : 1 = –2a Þ a = – 1 2 For [M] : 0 = b – a Þ b = a = – 1 2 For [L] : 0 = c + 3a Þ c = –3a = 3 2 Putting the values we get T = G–1/2 M–1/2 R3/2 = 3 R GM So the actual expression is T = 3 R 2 GM p Limitations of this method : (i) In Mechanics the formula for a physical quantity depending on more than three physical quantities cannot be derived. It can only be checked. (ii) This method can be used only if the dependency is of multiplication type. The formulae containing exponential, trigonometrical and logarithmic functions can't be derived using this method. Formulae containing more than one term which are added or subtracted like s = ut +at2 /2 also can't be derived.
- 9. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 Unit & Dimension,Basic Maths and Vector ALLEN 5 E (iii) The relation derived fromthismethodgives noinformation about the dimensionlessconstants. (iv) If dimensions are given, physical quantity may not be unique as many physical quantities have the same dimensions. (v) It gives no information whether a physical quantity is a scalar or a vector. Units and Dimensionsof Physical Quantities Quantity Common Symbol SI unit Dimension Displacement s METRE (m) L Mass m, M KILOGRAM (kg) M Time t SECOND (s) T Area A m2 L2 Volume V m3 L3 Density r kg/m3 M/L3 Velocity v, u m/s L/T Acceleration a m/s2 L/T2 Force F newton (N) ML/T2 Work W joule (J) (=N – m) ML2 /T2 Energy E, U, K joule (J) ML2 /T2 Power P watt (W) (=J/s) ML2 /T3 Momentum p kg-m/s ML/T Gravitational constant G N-m2 /kg2 L3 /MT2 Angle q, j radian Angular velocity w radian/s T–1 Angular acceleration a radian/s2 T–2 Angular momentum L kg-m2 /s ML2 /T Moment of inertia I kg-m2 ML2 Torque t N-m ML2 /T2 Angular frequency w radian/s T–1 Frequency v hertz (Hz) T–1 Period T s T Young's modulus Y N/m2 M/LT2 Bulk modulus B N/m2 M/LT2 Shear modulus h N/m2 M/LT2 Surface tension S N/m M/T2 Coefficient of viscosity h N-s/m2 M/LT Pressure P, p N/m2 , Pa M/LT2 Wavelength l m L Intensity of wave I W/m2 M/T3 Temperature T KELVIN (K) K Specific heat capacity c J/kg–K L2 /T2 K Stefan's constant s W/m2 –K4 M/T3 K4 Heat Q J ML2 /T2 Thermal conductivity K W/m–K ML/T3 K
- 10. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 6 JEE-Physics ALLEN E BasicMathematics used in physics Plane–angle It is measure of change in direction. If a line rotates in a plane about one of its ends, the other end sweeps an arc. Angle (q) between two orientation of the line is defined by ratio of the arc length(s) to length of the line(r) s radian r q = Angles measured in anticlockwise and clockwise directions are usually taken positive and negative respectively. Angle is measured in radians (rad) or degrees. One radian is the angle subtended at the centre of a circle by an arc of the circle, whose length is equal to the radius of the circle. p rad= 180° p= 3.1415 = 22 7 1°= 60' (minute), 1' (minute) = 60" (sec) Example Write expression for circumference of a circle of radius 'r'. Solution s = (Total angle about a point) r = 2pr Trigonometrical ratios (or T–ratios) Let two fixed lines XOX' and YOY' intersecting at right angles to each other at point O. • Point O is called origin. • Line XOX' is known as x–axis and YOY' as y–axis. • Regions XOY, YOX' , X' OY' and Y' OX are called I, II, III and IV quadrant respectively. Consider a line OP making angle q with OX as shown. Line PM is perpendicular drawn from P on OX. In the right angled triangle OPM, side OP is called hypotenuse, the side OM adjacent to angle q is called base and the side PM opposite to angle q is called the perpendicular. Following ratios of the sides of a right angled triangle are known as trigonometrical ratios or T-ratio sin q = perpendicular MP hypotenuse OP = cos q = base OM hypotenuse OP = tan q = perpendicular MP base OM = cot q = base OM perpendicular MP = sec q = hypotenuse OP base OM = cosec q = hypotenuse OP perpendicular MP = 1 cosec = sin q q 1 sec cos q = q 1 cot tan q = q Some trigonometric identities sin2 q + cos2 q = 1 1 + tan2 q = sec2 q 1 + cot2 q = cosec2 q
- 11. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 Unit & Dimension,Basic Maths and Vector ALLEN 7 E Example Given sin q = 3 5 . Find all the other T–ratios, if q lies in the first quadrant. Solution In D OMP , sin q = 3 5 So MP = 3 and OP = 5 Q OM = 2 2 (5) (3) - = 25 9 - = 16 = 4 Now cos q = OM OP = 4 5 tan q = MP OM = 3 4 cot q = OM MP = 4 3 sec q = OP OM = 5 4 cosec q = OP MP = 5 3 T–ratios of some commonly used angles 0 rad 6 p rad 4 p rad 3 p rad 2 p rad Angle (q) 0° 30° 45° 60° 90° sin q 0 1 2 1 2 3 2 1 cos q 1 3 2 1 2 1 2 0 tan q 0 1 3 1 3 ¥ sin (180° sin cos (180° cos tan (180° tan q q q q q q )= )= )= – – – – – sin (180°+ )= sin q cos (180°+ )= cos tan (180°+ )=tan – – q q q q q sin (360° )= sin cos (360° )= cos tan (360° )= tan q q q q q q – – – – – sin ( )=-sin cos ( )=cos tan ( )= tan – – – – q q q q q q sin (90°+ )=cos cos (90°+ )= sin tan (90°+ )= cot q q q q q q – – sin (90°– )=cos cos (90° )=sin tan (90° )=cot q q q q q q – – • When q is very small we can use following approximations : cos q » 1 sin If tan is in radians q qü ý q qþ q ; ; tan q » sin q. • In the given right angled triangle we have very commonly used T-ratios 3 sin37 5 ° = 4 cos37 5 ° = 3 tan37 4 ° = 3 5 4 37° 53° 4 sin 53 5 ° = 3 cos53 5 ° = 4 tan 53 3 ° =
- 12. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 8 JEE-Physics ALLEN E Example Findthe value of (i) cos (–60°) (ii) tan 210° (iii) sin 300° (iv) cos 120° Solution (i) cos (–60°) = cos 60° = 1 2 (ii) tan 210° = tan (180° + 30°) = tan 30° = 1 3 (iii) sin 300° = sin (270° + 30°) = – cos 30° = 3 2 - (iv) cos 120° = cos (180° – 60°) = – cos60° = – 1 2 VECTORS Precise description of laws of physics and physical phenomena requires expressing them in form of mathematical equations. In doing so we encounter several physical quantities, some of them have only magnitude and other have direction in addition to magnitude. Quantities of the former kind are referred as scalars and the latter as vectors and mathematical operations with vectors are collectively known as vector analysis. Vectors A vector has both magnitude and sense of direction, and follows triangle law of vector addition. For example, displacement, velocity, and force are vectors. Vector quantities are usually denoted by putting an arrow over the corresponding letter, as A r or a r . Sometimes in print work (books) vector quantities are usually denoted by boldface letters as A or a. Magnitude of a vector A r is a positive scalar and written as A r or A. Geometrical Representation of Vectors. A vector is represented by a directed straight line, having the magnitude and direction of the quantity represented by it. e.g. if we want to represent a force of 5 N acting 45° N of E (i) We choose direction coordinates. (ii) We choose a convenient scale like 1 cm º 1N (iii) We draw a line of length equal in magnitude and in the direction of vector to the chosen quantity. (iv) We put arrow in the direction of vector. B A Magnitudeof vector: B A = 5N By definition magnitude of a vector quantity is scalar and is always positive.
- 13. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 Unit & Dimension,Basic Maths and Vector ALLEN 9 E 3. TERMINOLOGY OF VECTORS Parallel vector: If two vectors have same direction, they are parallel to each other. They may be located anywhere in the space. Antiparallel vectors: When twovectors are in oppositedirection they are said tobe antiparallel vectors. Equality of vectors: When two vectors have equal magnitude and are in same direction and represent the same physical quantity, they are equal. i.e. b a r r = Thus when two parallel vectors have same magnitude they are equal. (Their initial point & terminal point may not be same) Negative of a vector: When a vector have equal magnitude and is in opposite direction, it is said to be negative vector of the former. i.e. b a r r - = or a b r r - = Thus when two antiparallel vectors have same magnitude they are negative of each other. Remark : Vector shifting is allowed without change in their direction. 2. Angle Between two Vectors It is the smaller angle formed when the initial points or the terminal points of the two vectors are brought together. It should be noted that 0º £ q £ 180º . 3. Addition Of Vectors: Parallelogram law of addition: Steps: (i) Keep two vectors such that there tails coincide. (ii) Draw parallel vectors to both of them considering both of them as sides of a parallelogram. (iii) Then the diagonal drawn from the point where tails coincide represents the sum of two vectors, with its tail at point of coincidence of the two vectors.
- 14. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 10 JEE-Physics ALLEN E (i)(ii) (iii) b a AC r r + = Addition of more than two Vectors The triangle law can be extended to define addition of more than two vectors. Accordingly, if vectors to be added are drawn in head to tail fashion, resultant is defined by a vector drawn from the tail of the first vector to the head of the last vector. This is also known as the polygon rule for vector addition. Operation of addition of three vectors A, B r r and C r and their resultant P r are shown in figure. A B C P + + = r r r r Here it is not necessary that three or more vectors and their resultant are coplanar. In fact, the vectors to be added and their resultant may be in different planes. However if all the vectors to be added are coplanar, their resultant must also be in the same plane containing the vectors. Subtraction of Vectors A vector opposite in direction but equal in magnitude to another vector A r is known as negative vector of A r . It is written as A - r . Addition of a vector and its negative vector results a vector of zero magnitude, which is known as a null vector. A null vector is denoted by arrowed zero ( ) 0 r . The idea of negative vector explainsoperationof subtraction as addition of negative vector. Accordingly to subtract a vector from another consider vectors A r and B r shown in the figure. To subtract B r from A r , the negative vector – B r is added to A r according to the triangle law as shown in figure-II. If two vectors a & b r r are represented byOA & OB uuur uuu r then theirsum a b + r r is a vector represented byOC uuu r , where OC is the diagonal of the parallelogram OACB. • a b b a + = + r r r r (commutative) • ( ) ( ) r r r r r r a b c a b c + + = + + (associativity) • a 0 a 0 a + = = + r r r r r • ( ) ( ) a a 0 a a + - = = - + r r r r r • | a b | | a | | b | + £ + r r r r • | a b | || a | | b || - ³ - r r r r • b a r r ± = 2 2 | a | | b | 2 | a || b | cos + ± q r r r r where q is the angle between the vectors
- 15. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 Unit & Dimension,Basic Maths and Vector ALLEN 11 E Some Important Results : (1) If q = 0° Þ b || a r r then, | b | | a | | R | r r r + = & | R | r is maximum (2) If q = p Þ a r anti || b r then, | b | | a | | R | r r r - = & | R | r is minimum (3) If q = p/2 Þ a r ^ b r R = 2 2 b a + & tan a = b/a (a is angle made by R r with a r ) (4) | a | r = | b | r = a | R | r = 2acosq/2 & a = q/2 (5) If | a | r = | b | r = a & q = 120° then | R | r = a 4. Multiplication Of A Vector By A Scalar: Ifa r is avector & m is a scalar,then m a r isa vector parallelto a r whosemodulus is ½m½times that of a r . Thismultiplication iscalled SCALAR MULTIPLICATION. If a r and b r are vectors & m, n are scalars, then: m (a) (a) m ma = = r r r m (na) n(ma) (mn)a = = r r r (m n) a ma na + = + r r r m (a b) ma mb + = + r r r Resolution of a Vector into Components Following laws of vector addition, a vector can be represented as a sum of two (in two-dimensional space) or three (in three-dimensional space) vectors each along predetermined directions. These directions are called axes and parts of the original vector along these axes are called components of the vector. UNIT VECTOR: A unit vector is a vector of magnitude of 1, with no units. Its only purpose is to point, i.e. to describe a direction in space. A unit vector in direction of vector A r is represented as  &  = | A | A r r or A r can be expressed in terms of a unit vector in its direction i.e. A r =  | A | r Unit Vectors along three coordinates axes:– unit vector along x-axis is î unit vector along y-axis is ĵ unit vector along z-axis is k̂
- 16. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 12 JEE-Physics ALLEN E Cartesiancomponents in two dimensions If a vector is resolved into its components along mutually perpendicular directions, the components are called Cartesian or rectangular components. In figure is shown, a vector A r resolved into its Cartesian components x A r and y A r along the x and y-axis. Magnitudes Ax and Ay of these components are given by the following equation. Ax =Acosq and Ay = Asinq x y ˆ ˆ A A i A j = + r 2 2 x y A A A = + Here î and ĵ are the unit vectors for x and y coordinates respectively. Mathematical operations e.g. addition, subtraction, differentiation and integration can be performed independently on thesecomponents. This iswhy in most of the problems use of Cartesian components becomes desirable. Cartesian components in three dimensions A vector A r resolved into its three Cartesian components one along each of the directions x, y, and z-axis is shown in the figure. x y z x y z ˆ ˆ ˆ A A A A A i A j A k = + + = + + r r r r 2 2 2 x y z A A A A = + + Product of Vectors In all physical situation, whose description involve product of two vectors, only two categories are observed. One category where product is also a vector involves multiplication of magnitudes of two vectors and sine of the angle between them, while the other category where product is a scalar involves multiplication of magnitudes of two vectors and cosine of the angle between them. Accordingly, we define two kinds of product operation. The former category is known as vector or cross product and the latter category as scalar or dot product. Scalar or dot product of two vectors The scalar product of two vectors A r and B r equals to the product of their magnitudes and the cosine of the angle q between them. A B ABcos OA OB cos × = q = × × q r r The above equation can also be written in the following ways. ( ) A B Acos B OP OB × = q = × r r ( ) A B A Bcos OA OQ × = q = × r r
- 17. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 Unit & Dimension,Basic Maths and Vector ALLEN 13 E Above two equationsand figures, suggest a scalar product as product of magnitude of the one vector and magnitude of the component of another vector in thedirection of the former vector. KEY POINTS • Dot product of two vectors iscommutative: A B B A × = × r r r r • If two vectors are perpendicular, their dot product is zero. A B 0 × = r r ,if A B ^ r r • Dot product of a vector by itself is known asself-product. 2 A A A A A A × = Þ = × r r r r • The angle between the vectors 1 A B cos AB - æ ö × q = ç ÷ è ø r r • (a) Component of A r indirection of B r ( ) ( ) ||| A.B A.B ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A A cos B A B B A.B B B A B æ ö æ ö = q = = = ç ÷ ç ÷ è ø è ø r r r r r r r r r r r (b) Component of A r perpendicular to B r : || | A A A ^ = - r r r • Dot product of Cartesian unit vectors: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i i j j k k 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i j j k k i 0 × = × = × = × = × = × = • If x y z ˆ ˆ ˆ A A i A j A k = + + r and x y z ˆ ˆ ˆ B B i B j B k = + + r , their dot product is given by x x y y z z A B A B A B A B × = + + r r Solved Examples 1. Two displacementvectors of same magnitudeare arranged in thefollowing manner (I) 1200 (II) 300 (III) 900 (IV) 450 Magnitudeof resultantismaximumfor (A) case I (B) case II (C) case III (D) case IV Ans. (B) Sol. Magnitude of Resultantof A r and B r = 2 2 A B 2ABcos + + q which ismaximum for 0 30 q = 2. Two vectors r P and r Q areadded, the magnitude ofresultant is 15 units.If r Q isreversed and added to r P resultant has a magnitude 113 units. The resultantof r P and a vector perpendicular to r P and equal in magnitude to r Q hasa magnitude (A) 13 units (B) 17 units (C) 19 units (D) 20 units Ans. (A)
- 18. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 14 JEE-Physics ALLEN E Sol.P2 + Q2 + 2PQcosq = 225 ...(i) P2 + Q2 – 2PQcosq = 113 ...(ii) By adding (i) & (ii) 2(P2 +Q2 ) = 338 R=15 Q P -Q Ö 1 1 3 P P2 + Q2 = 169 2 2 13 P Q Þ + = 3. Three forces are acting on a body to make it in equilibrium, which set can not do it? (A) 3 N, 3 N, 7 N (B) 2 N, 3 N, 6 N (C) 2 N, 1 N, 1 N (D) 8 N, 6 N, 1 N Ans. (A, B, D) Sol. They must form a triangle. (a + b ³ c) 4. Keeping one vector constant, if direction of other to be addedin the first vectoris changed continuously, tip of the resultant vector describes a circle. In the following figure vector r a is kept constant. When vector r b added to r a changes its direction, the tip of the resultant vector = + r r r r a b describes circle of radius b with its center at the tip of vector a r . Maximum angle between vector a r and the resultant = + r r r r a b is r b a q (A) 1 tan b r - æ ö ç ÷ è ø (B) 1 2 2 tan b a b - æ ö ç ÷ è ø - (C) cos–1 (r/a) (D) cos–1 (a/r) Ans. (A,B,C) Sol. r Angle between r r and b r is maximum when r r is tangent to circle. 5. If ˆ ˆ ˆ A 2i j k = + + r and ˆ ˆ ˆ B 10i 5j 5k = + + r , if the magnitude of component of ( ) B A - r r along A r is 4 x . Then x will be. Ans. 6 Sol. ( ) ˆ ˆ ˆ r B A 4 2i j k = - = + + r r ( ) 4 4 1 1 r.A r cos 4 6 A 6 + + q = = = r r x = 6 6. The component of ˆ ˆ ˆ A i j 5k = + + r perpendicular to ˆ ˆ B 3i 4j = + r is (A) 4 3 ˆ ˆ ˆ i j 5k 25 25 - + + (B) 8 6 ˆ ˆ ˆ i j 5k 25 25 - - + (C) 4 3 ˆ ˆ ˆ i j 5k 25 25 - + (D) 8 6 ˆ ˆ ˆ i j 5k 25 25 + - + Ans. (C)
- 19. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 Unit & Dimension,Basic Maths and Vector ALLEN 15 E Sol. q A Acosq B || A B A Acos A AB æ ö × = q = ç ÷ è ø r r r A B 3 4 7 B 5 5 × + = = = r r ( ) || ˆ ˆ 7 3i 4j 7 ˆ ˆ A 3i 4j 5 5 25 æ ö + = = + ç ÷ ç ÷ è ø r || 21 28 ˆ ˆ A i j 25 25 = + r ( ) 21 28 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A i j 5k i j 25 25 ^ æ ö = + + - + ç ÷ è ø r = 4 3 ˆ ˆ ˆ i j 5k 25 25 - + ALGEBRA : SOME USEFUL FORMULAE Quadratic equation and its solution An algebraic equation of second order (highest power of the variable is equal to 2) iscalled aquadratic equation. General quadratic equation is ax2 + bx + c = 0. The general solution of the above quadratic equation or value of variable x is x = 2 b b 4ac 2a - ± - Þ 2 2 1 2 b b 4ac b b 4ac x and x 2a 2a - + - - - - = = Example Solve 2x2 + 5x – 12 = 0 Solution By comparison with the standard quadratic equation a = 2, b = 5 and c = –12 x = 2 5 (5) 4 2 ( 12) 2 2 - ± - ´ ´ - ´ = 5 121 4 - ± = 5 11 4 - ± = 6 4 + , 16 4 - Þ x = 3 2 , – 4 Binomial approximation In case, x is very small, then terms containing higher powers of x can be neglected. In such a case, (1 + x)n = 1 + nx Also (1 + x)–n = 1–nx and (1 – x)n =1–nx and (1 – x)–n = 1 + nx
- 20. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 16 JEE-Physics ALLEN E ExponentialExpansion ex = 1 + x + 2 3 x x ........ 2! 3! + + and e–x = 1 – x + 2 3 x x ........ 2! 3! - + Componendo and dividendo theorem : If p a q b = then by componendo and dividendo theorem p q a b p q a b + + = - - Determinant a b D ad bc c d = = - , For example 3 3 2 4 12 , 6 5 1 3 3 - - = = - - - D = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 a a a b b b c c c 3 3 2 1 1 2 1 2 3 3 3 2 1 1 2 b b b b b b a a a c c c c c c = - + Example 5 4 3 2 1 6 7 8 9 + - + 1 6 2 6 2 1 5 4 3 8 9 7 9 7 8 = - + = 5 (9 – 48) – 4(18 – 42) + 3(16–7) = –72 Logarithm loge x = ln x (base e) log x = log10 x (base 10) (a) Product formula log mn = log m + log n (b) Quotient formula m log = n logm – logn (c) Power formula log mn = n log m GEOMETRY : SOME USEFUL FORMULAE Formulae for determination of area : • Area of a square = (side)2 • Area of rectangle = length × breadth • Area of a triangle = (1/2) × base × height • Area of a trapezoid =(1/2) × (distance between parallel sides) × (sum of parallel sides) • Area enclosed by a circle = pr2 (where r = radius) • Area of a sector a circle = 2 1 2 r q (where r =is radius and q isangle subtended ata centre) • Area of ellipse = p ab (where a and b are semi major and semi minor axis respectively) • Surface area of a sphere = 4pr2 (where r = radius) • Area of a parallelogram = base × height • Area of curved surface of cylinder = 2prl (where r = radius and l = length)
- 21. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 Unit & Dimension,Basic Maths and Vector ALLEN 17 E • Area of whole surfaceof cylinder = 2pr(r + l) (where l = length) • Surface area of a cube = 6(side)2 • Total surface area of a cone = pr2 +prl [where prl = pr 2 2 r h + = lateral area (h=height)] Formulae for determination of volume : • Volume of a rectangular slab = length × breadth × height = abt • Volume of acube = (side)3 • Volume of a sphere = 4 3 p r3 (where r = radius) • Volume of a cylinder = p r2 l (where r = radius and l = length) • Volume of acone = 1 3 p r2 h (where r = radius and h = height)
- 22. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 18 JEE-Physics ALLEN E EXERCISE(S-1) Units & Dimensions 1. Aparticleisinaunidirectionalpotentialfieldwherethepotentialenergy(U)ofaparticledependsonthex- coordinate given by Ux = k (1 –cos ax) & kand 'a' areconstants. Find thephysical dimensions of 'a'& k. UD0001 2. The equation for the speed of sound in a gasstates that / B v k T m = g . Speed v is measured in m/s, g is a dimensionlessconstant, T is temperature in kelvin (K), and m is mass inkg. Find the SI unit for the Boltzmann constant, kB ? UD0002 3. Thetimeperiod(T)of aspringmasssystemdependsuponmass(m)&springconstant(k)&lengthofthe spring (l) Force k length é ù = ê ú ë û . Find the relationamong T, m, l& k using dimensional method. UD0003 4. Thedistancemovedbyaparticleintimetfromcentreofaringundertheinfluenceofitsgravityisgivenby x = a sinwt, where a & ware constants. If wisfound to depend on the radius of the ring (r), its mass (m) and universalgravitationalconstant (G). Usingdimensional analysisfind anexpressionfor wintermsofr, mandG. UD0004 5. A satellite isorbiting around a planet. Its orbital velocity (v0 ) is foundto depend upon (A) Radiusof orbit (R) (B) Mass of planet (M) (C) Universalgravitationconstant (G) Usingdimensionalanalysisfindanexpressionrelatingorbitalvelocity(v0 )totheabovephysicalquantities. UD0005 6. Assume thatthe largest stone ofmass'm' that canbe moved by aflowing river depends upon the velocity of flow v, the density d & the acceleration due to gravity g. If 'm'varies as the Kth power of the velocity of flow, then findthevalueofK. UD0006 7. Given a F t = r r wheresymbolshavetheir usualmeaning. Thedimensionsofais. UD0007
- 23. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 Unit & Dimension,Basic Maths and Vector ALLEN 19 E Addition of vectors 8. A blockis appliedtwo forcesof magnitude 5N each. Oneforce is actingtowards East and theother acting along 60°North of East. The resultant of the two forces (in N) isof magnitude :- UD0008 9. Two forcesact on a particlesimultaneously as shown inthe figure. Find netforce in milli newton on the particle. [Dyneis the CGS unit of force] 100 dyne 1.0 mili newton 60° UD0009 10. Themaximumandminimummagnitudesoftheresultantoftwoforcesare35Nand5Nrespectively.Find the magnitude ofresultant force when act orthogonally to each other. UD0010 11. Three forcesof magnitudes 2 N, 3 N and 6 N act at cornersof a cube along three sides as shown in figure. Find theresultant of these forcesin N. 3N 2N 6N UD0011 Resolution of vectors and unit vector 12. The farmhouse shown in figure has rectangular shape and has sides parallel to the chosen x and y axes. The position vector of corner A is 125 m at 53° and corner Cis 100 m at37° from x axis.Find the length ofthefencingrequiredinmeter. B A C D 53° 37° y x UD0012 13. Vector B hasx, y and z components of 4.00, 6.00 and 3.00 units, respectively. Calculatethe magnitude of B and the angles that B makes with the coordinates axes. UD0013
- 24. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 20 JEE-Physics ALLEN E 14.ThreeantsP, QandRarepulling agrain with forcesof magnitude6N, 3 3N and 3 2N asshowninthe figure. Findthe magnitude of resultantforce (in N) actingon the grain. R P 30° 45° 3 3N Ö y Q 6N x 3 2N Ö UD0014 15. Three boys are pushing horizontally a box placedon horizontal table. One is pushing towardsnorth with a 5 3N force. The second is pushing towards east and third pushes with a force 10 N such that the box is in equilibrium. Findthemagnitude of theforce, second boy isapplying innewton. UD0015 Scalar product of vectors 16. Consider the two vectors : k̂ 3 j ˆ 2 î 1 L + + = r and k̂ 6 j ˆ 5 î 4 + + = l r . Find the value of the scalar a such that the vector l r r a - L is perpendicular to L r . UD0016 17. Find components of vector ˆ ˆ ˆ 3 a i j k = + + r indirectionsparallel toand perpendicular to vector ˆ ˆ b i j = + r . UD0017 18. (a) Calculate c b a r r r r r + - = where k̂ 6 j ˆ 4 î 5 a - + = r , k̂ 3 ĵ 2 î 2 b + + - = r and k̂ 2 ĵ 3 î 4 c + + = r . (b) Calculate the angle between r r and the z-axis. (c) Find theangle between b and a r r UD0018 19. If the velocity ofa particle is ( ˆ ˆ ˆ 2i 3j 4k + - ) and its accelerationis ( ˆ ˆ ˆ i 2j k - + + ) and angle between them is n 4 p . The valueof n is. UD0019 Method of approximation 20. Quito, a city in Ecuador and Kampala, a city situatedin Uganda both lieon the Equator. The longitude of Quito is 82°30' W and that of Kampala is 37°30' E. Whatis the distance from Quito to Kampala. (a) along the shortest surface path (b) along a direct(through-the-Earth) path? (Theradius of theEarth is 6.4 ×106 m) UD0020 21. Usethe approximation ( ) 1 1 , 1 n x nx x + » + << , to find approximatevalue for (a) 99 (b) 1 1.01 UD0021 22. Use thesmall angle approximations to find approximate values for (A) sin 8° and(B) tan 5° UD0022
- 25. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 Unit & Dimension,Basic Maths and Vector ALLEN 21 E EXERCISE (S-2) 1. The equation ofstatefor a realgas at high temperature isgivenby ( ) 1/2 nRT a P V b T V V b = - - + wheren,P, V & T are number of moles, pressure, volume & temperature respectively & R is the universal gas constant. Find thedimensions of constant a in the above equation. UD0023 2. If Energy (E), velocity (v) and time (T) are fundamental units. What will be the dimensionof surface tension? UD0024 3. In system called the star system we have 1 star kilogram = 1020 kg. 1starmeter = 108 m, 1 starsecond = 103 s then calculate the value of 1 joule inthis system. UD0025 4. A vector A r of length 10 units makes an angle of 60° with the vector B r of length 6 units. Find the magnitude of thevector difference A B - r r &the angle it makeswith vector A r . UD0026 5. A bird is at a point P (4, –1, –5) andsees two points P1 (–1, –1, 0) and P2 (3, –1, –3). Attime t = 0,it starts flying with aconstant speed of 10 m/sto be in linewith pointsP1 andP2 inminimum possibletimet. Find t, if allcoordinatesarein kilometers. UD0027 6. In the figure, F1 and F2 , the twounknown forces give a resultant force of 80 3 Nalong the y–axis. It is requiredthat F2 musthave minimum magnitude. Find themagnitudesof F1 and F2 . q 30° F2 x y F1 UD0028 7. A particle isdisplaced from A º (2, 2, 4) to B º (5, –3, –1). A constant forceof 34 N actsin the direction of AP r , where P º (10, 2, –11). (Coordinates are in m). (i) Find the F r . (ii) Find the work done by theforce to cause the displacement. UD0029
- 26. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 22 JEE-Physics ALLEN E EXERCISE(O-1) SINGLE CORRECT TYPE QUESTIONS Units & Dimensions 1. The dimensional formula for which of the following pair is not the same (A) impulse and momentum (B) torque and work (C) stress and pressure (D)momentumandangularmomentum UD0030 2. Which of thefollowing can be a setof fundamentalquantities (A)length,velocity,time (B)momentum,mass,velocity (C) force,mass, velocity (D)momentum,time,frequency UD0031 3. Which of thefollowing functions of Aand B may be performedif A and Bpossess different dimensions? (A) A B (B) A + B (C) A – B (D) None UD0032 4. The velocity v of a particle at time t is given by v = at + b t c + , where a, b and c are constants. The dimensions of a, b and c are respectively :– (A) LT–2 , Land T (B) L2 , T and LT2 (C) LT2 , LT and L (D) L, LT and T2 UD0033 5. If area (A), velocity (v), and density (r) are base units, then the dimensional formula of force can be represented as :- (A)Avr (B)Av2 r (C) Avr2 (D)A2 vr UD0034 6. Density of wood is 0.5 g/ ccin the CGS system of units. The correspondingvalue in MKS unitsis :- (A) 500 (B) 5 (C) 0.5 (D) 5000 UD0035 7. In a book, the answer for a particular question is expressed as 2 1 ma k b k ma é ù = + ê ú ë û l here m represents mass, a represents acceleration, l represents length. The unit of b should be :- (A) m/s (B)m/s2 (C) meter (D) /sec UD0036 8. The frequency f of vibrations of a mass m suspended from a spring of spring constant k is given by f=Cmx ky , where C is a dimensionless constant. The values of x and y are, respectively (A) 1 2 , 1 2 (B) 1 1 , 2 2 - - (C) 1 1 , 2 2 - (D) 1 1 , 2 2 - UD0037
- 27. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 Unit & Dimension,Basic Maths and Vector ALLEN 23 E 9. Ifforce,accelerationandtimearetakenasfundamentalquantities,thenthedimensionsoflengthwillbe: (A) FT2 (B) F–1 A2 T–1 (C) FA2 T (D)AT2 UD0038 10. Inaparticularsystemtheunitsoflength,massandtimearechosentobe10cm,10g and0.1srespectively. The unitof force in thissystem will be equalto :- (A) 0.1 N (B) 1 N (C) 10 N (D) 100 N UD0039 11. The units of three physical quantities x, y and z are gcm2 s–5 , gs–1 and cms–2 respectively. The relation among the units of x, y and z is :- (A) z = x2 y (B) y2 = xz (C) x = yz2 (D) x = y2 z UD0040 12. The angle subtended by the moon's diameter at a point on the earth is about 0.50°. Use this and the fact that themoon is about 384000 km away to find the approximate diameter of the moon. D q rm D (A) 192000 km (B) 3350 km (C) 1600 km (D) 1920 km UD0041 13. Statement 1 : Method ofdimensions cannot tell whether anequation is correct. and Statement 2 : A dimensionally incorrect equation may be correct. (A) Statement-1 is true, statement-2 is true and statement-2 is correct explanation for statement-1. (B) Statement-1 is true, statement-2 is true and statement-2 is NOT the correct explanation for statement-1. (C) Statement-1 is true, statement-2 is false. (D) Statement-1 isfalse, statement-2 is true. UD0042 14. Theequation of thestationarywave is 2 ct 2 x y 2Asin cos p p æ ö æ ö = ç ÷ ç ÷ l l è ø è ø whichofthefollowingstatementis wrong? (A) The unit of ct is same as that of l. (B) The unit of x is same as that of l. (C) The unit of 2 c p l is same asthat of 2 x t p l (D) The unit of c l is same as that of x l UD0043 15. Due tosome unknown interaction, forceF experienced by aparticle is givenbythe following equation. 3 A F r r = - r r Where A ispositive constant and r distance of theparticlefrom origin of acoordinate system. Dimensions of constant A are :- (A) ML2 T–2 (B) ML3 T–2 (C) ML4 T–2 (D) ML0 T0 UD0044
- 28. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 24 JEE-Physics ALLEN E Additionof vectors 16. Three concurrent forces of the same magnitude are in equilibrium. What is the angle between the force? Also name thetriangle formed by the forceas sides :- (A) 60°equilateraltriangle (B) 120°equilateraltriangle (C) 120°, 30°, 30° an isosceles triangle (D) 120° anobtuse angled triangle UD0045 17. The resultant of two forces, one double the other in magnitude is perpendicular to the smaller of the two forces. The angle between two forces is :- (A) 150° (B) 90° (C) 60° (D) 120° UD0046 18. Theresultantoftwoforcesacting atanangleof120°is10kgwtandisperpendiculartooneoftheforces. Thatforceis: (A) 10 3 kg wt (B) 20 3 kg wt (C) 10 kg wt (D) 10 3 kg wt UD0047 19. If the resultant of two forces of magnitudes P and Q acting at a point at an angle of 60° is Ö7 Q, then P/Q is :- (A) 1 (B) 3 2 (C) 2 (D) 4 UD0048 20. There are two force vectors, one of 5N and other of 12N at what angle the two vectors beadded to get resultant vector of 17N, 7N and 13N respectively. (A) 0°, 180° and 90° (B) 0°, 90° and 180° (C) 0°, 90° and 90° (D) 180°, 0° and 90° UD0049 21. A body placed in free space, is simultaneously acted upon bythreeforces 1 F r , 2 F r and 3 F r . The body isin equilibrium and the forces 1 F r and 2 F r are known to be 36 N due north and 27 N due east respectively. Whichof the following best describes the force 3 F r ? (A) 36 N due south. (B) 53 N due 60° south of east (C) 45 N due 53° south of west (D) 45 N due 37° north of west UD0050 22. Theratio of maximum and minimum magnitudes of the resultant of two vectors A r and B r is3 : 2. The relationbetweenA and Bis (A) A = 5B (B) 5A = B (C) A = 3B (D) A = 4B UD0051 23. Find the resultant ofthe following twovectors A r and B r . A r : 40 units due east and ; B r : 25 units 37° northof west (A) 25 units37° north of west (B) 25 units 37° north of east (C) 40 units 53° north of west (D) 40 units 53° north of east UD0052
- 29. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 Unit & Dimension,Basic Maths and Vector ALLEN 25 E 24. Two vectors a r and b r add togive a resultant c a b = + r r r . In which ofthesecases angle between a r and b r is maximum: (a, b, c represent the magnitudesof respective vectors) (A) c = a + b (B) c2 = a2 + b2 (C) c = a – b (D) cannot bedetermined UD0053 25. If the angle between the unit vectors â and b̂ is 60°, then ˆ â b - is :- (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4 UD0054 26. A man moves towards 3 m north then 4 m towards east and finally 5 m towards 37° south of west. His displacementfromoriginis:- (A) 5Ö2m (B)0m (C) 1 m (D) 12 m UD0055 Resolution of vectors and unit vector 27. The projection of a vector, ˆ ˆ ˆ 3 2 r i j k = + + r , on the x–y plane hasmagnitude :– (A) 3 (B) 4 (C) 14 (D) 10 UD0056 28. A birdmoves from point (1, –2) to (4, 2). If the speed of the bird is 10m/s, then the velocity vector of the birdis (A) ( ) ˆ ˆ 5 2 i j - (B) ( ) ˆ ˆ 5 4 2 i j + (C) ˆ 0.6 0.8 i j + (D) ˆ ˆ 6 8 i j + UD0057 29. Personnel at anair post control tower track a UFO. At11:02 am it waslocated at position Aand at 11:12 am is was located at position B. Displacement vector of UFO is : 37° 53° E z y N 1200m 800m 1000m 2000m x A B (A) k̂ 400 ĵ 2200 î 400 + + (B) k̂ 800 ĵ 1000 î 1200 + + (C) k̂ 2000 ĵ 2200 î 2000 + + (D) k̂ 400 j ˆ 1000 î 400 + + UD0058 30. A person pushes a box kept on a horizontal surface with force of 100N. In unit vector notation force F r can be expressed as : 45° y x F (A) 100 ) j ˆ î ( + (B) 100 ) j ˆ î ( - (C) 2 50 ) j ˆ î ( - (D) 2 50 ) j ˆ î ( + UD0059
- 30. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 26 JEE-Physics ALLEN E 31.For thegiven vector ˆ ˆ ˆ A 3i 4j 10k = - + r , theratio of magnitudeof its componenton the x-y planeand the component on z–axis is :- (A) 2 (B) 1 2 (C) 1 (D) None UD0060 32. Afterfiring,abulletisfoundtomoveatan angleof37°to horizontal. Itsaccelerationis10m/s2 downwards. Find thecomponentof acceleration in the directionof the velocity. (A) – 6 m/s2 (B) – 4 m/s2 (C) – 8 m/s2 (D) – 5 m/s2 UD0061 Scalar product of vectors 33. In a methane (CH4 ) molecule each hydrogen atom is at acorner of a regular tetrahedron with the carbon atom at thecentre. In coordinates where oneof theC–H bonds is in the direction of k̂ j ˆ î + + ,anadjacent C–H bondin the k̂ j ˆ î - - direction. Then angle between these two bonds :- (A) cos–1 ÷ ø ö ç è æ - 3 2 (B) cos–1 ÷ ø ö ç è æ 3 2 (C) cos–1 ÷ ø ö ç è æ - 3 1 (D) cos–1 ÷ ø ö ç è æ 3 1 UD0062 34. If a r and b r are two unit vectors suchthat b a r r 2 + and b a r r 4 5 - are perpendicular to each other then the angle between a r and b r is :- (A) 45° (B) 60° (C) cos-1 ÷ ø ö ç è æ 3 1 (D) cos-1 ÷ ø ö ç è æ 7 2 UD0063 35. Thevelocity ofaparticleis ˆ ˆ ˆ v 6i 2j 2k = + - r .Thecomponentofthevelocityofaparticleparalleltovector ˆ ˆ ˆ a i j k = + + r is :- (A) ˆ ˆ ˆ 6i 2 j 2k + + (B) ˆ ˆ ˆ 2i 2 j 2k + + (C) ˆ ˆ ˆ i j k + + (D) ˆ ˆ ˆ 6i 2 j 2k + - UD0064 36. A particle moves from a position ˆ ˆ ˆ 3i 2j 6k + - to a position + + ˆ ˆ ˆ 14i 13j 9k inm and a uniformforce of ˆ ˆ ˆ 4i j 3k + + N acts on it. The work done by the forceis :- (A) 200 J (B) 100 J (C) 300 J (D) 500 J UD0065 37. Which ofthe followingis perpendicularto ˆ ˆ ˆ i j k - - ? (A) ˆ ˆ ˆ i j k + + (B) ˆ ˆ ˆ i j k - + + (C) ˆ ˆ ˆ i j k + - (D) noneof these UD0066 MULTIPLE CORRECT TYPE QUESTIONS 38. Which of the following statements about the sum ofthe two vectors A r and B r , is/are correct? (A) A B A B + £ + r r (B) A B A B + ³ + r r (C) A B A B + ³ - r r r r (D) + ³ - r r A B A B UD0067
- 31. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 Unit & Dimension,Basic Maths and Vector ALLEN 27 E 39. Priyasaysthatthesumoftwovectorsbytheparallelogrammethodis ˆ 5 R i = r .Subhangisaysitis ˆ ˆ 4 R i j = + r . Both used the parallelogram method, but one used the wrong diagonal. Which one of the vector pairs below contains theoriginal two vectors? (A) ˆ ˆ 3 2 A i j = + - r ; ˆ ˆ 2 2 B i j = - + r (B) ˆ ˆ ˆ ˆ 3 2 ; 2 2 A i j B i j = - - = + + r r (C) ˆ ˆ ˆ ˆ 3 2 ; 2 2 = + + = + - r r A i j B i j (D) ˆ ˆ ˆ ˆ 3 2 ; 2 2 A i j B i j = + + = - + r r UD0068 40. For the equationx = AC sin (Bt) +D e (BCt) , where x and t represent position and time respectively, which of the following is/are CORRECT:- (A)DimensionofACisLT–1 (B)Dimensionof BisT–1 (C) Dimension of ACand Daresame (D) Dimensionof CisT–1 UD0069 COMPREHENSION TYPE QUESTIONS Paragraph for Question no. 41 to 43 In acertainsystem of absoluteunitstheacceleration produced by gravityin abody falling freely isdenoted by 5, the kinetic energy of a 500 kg shotmoving with velocity 400metres per second isdenoted by 2000 & itsmomentum by 100. 41. Theunitoflengthis:- (A) 15 m (B) 50 m (C) 25 m (D) 100 m UD0070 42. Theunit oftimeis:- (A) 10 s (B) 20 s (C) 5 s (D) 15 s UD0070 43. The unit ofmass is :- (A) 200 kg (B) 400 kg (C) 800 kg (D) 1200 kg UD0070 Paragraph for Question Nos. 44 and 45 For any particle moving with some velocity ( ) v r & acceleration ( ) a r , tangential acceleration& normal acceleration aredefinedasfollows Tangential acceleration –The component ofacceleration in thedirection of velocity. Normal acceleration –The component of acceleration in the directionperpendicular to velocity. If at agiven instant, velocity & acceleration of a particleare given by. ˆ ˆ v 4i 3j = + r ˆ ˆ ˆ a 10i 15j 20k = + + r 44. Find thetangential accelerationof theparticleat the giveninstant :- (A) ( ) ˆ ˆ 17 4i 3j + (B) ( ) 17 ˆ ˆ 4i 3j 5 + (C) ( ) ˆ ˆ 17 4i 3j - (D) ( ) 17 ˆ ˆ 4i 3j 5 - UD0071 45. Find thenormal acceleration of theparticle at the given instant :- (A) ˆ ˆ ˆ 9i 12j 50k 5 - + + (B) ˆ ˆ ˆ 9i 12j 50k 5 - - (C) ˆ ˆ ˆ 18i 24j 100k 5 - + + (D) ˆ ˆ ˆ 18i 24j 100k 5 - - UD0071
- 32. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 28 JEE-Physics ALLEN E MATRIXMATCH TYPE QUESTION 46. Two particles A and B start from origin of a coordinate system towards point P (10, 20) and Q (20, 10) respectively with speed 5Ö5 each. Both continue their motion for 10 s and then stop. There after particle B moves towardsparticle A with speed 2Ö2 andafter particle B meetsparticle A, they both return to origin following a straight line path with speed 5Ö5. Match the items of column-I with suitable itemsofColumn-II. Column-I Column-II (A) InitialvelocityvectorofA (P) ( ) ˆ ˆ 5 10 i j - - (B) Initial velocity of B (Q) ( ) ˆ ˆ 5 10 i j + (C) Velocity vector of B while it moves towards A (R) ( ) ˆ ˆ 10 5 i j + (D) Velocity vector of A and B while they return to origin (S) ( ) ˆ ˆ 2 2 i j - (T) ( ) ˆ ˆ 2 2 i j - + UD0072 47. Column-I show vector diagram relating three vectors b , a r r and c r . Match the vector equation in column-II, with vector diagram in column-I : Column-I Column-II (A) a b c (P) 0 ) c b ( a = + - r r r (B) a c b (Q) a c b r r r = - (C) a b c (R) c b a r r r - = + (D) b c a (S) c b a r r r = + UD0073
- 33. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 Unit & Dimension,Basic Maths and Vector ALLEN 29 E 48. In a regular hexagon two vectors PQ A, RP B = = uuu r uuu r r r . Expressother vector's in term of them :- T S R U P Q A B Column–I Column–II (A) PS uur (P) 2B 3A - - r r (B) PT uuu r (Q) B A - - r r (C) RS uuu r (R) B 2A - - r r (D) TS uur (S) 2(B A) - + r r (T) A r UD0074 49. Show a vector a r at angle q as shown in the figure column-II. Show its unit vector representation. Column–I Column–II (A) q a x y (P) ĵ cos a î sin a a q + q = r (B) q a x (Q) j ˆ sin a î cos a a q + q - = r (C) q a x (R) j ˆ cos a î sin a a q - q - = r (D) q a x (S) ĵ sin a î cos a a q - q = r UD0075
- 34. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 30 JEE-Physics ALLEN E EXERCISE(O-2) SINGLE CORRECT TYPE QUESTIONS 1. Inacertainsystem of units,1unitoftimeis5 sec,1unitofmassis20kgand 1unitoflengthis10m.Inthis system, oneunit of power willcorrespond to :- (A) 16 watts (B) 1 16 watts (C) 25 watts (D) noneof these UD0076 2. If theunitoflength bedoubledthenthenumerical valueoftheuniversalgravitationconstantGwillbecome (with respect to present value) (A) Double (B)Half (C) 8 times (D) 1/8 times UD0077 3. If in a system, the force of attraction between two point masses of 1 kg each situated 1 km apart is taken as a unit of force and is called notwen (newton written in reverse order) & if G = 6.67× 10–11 N–m2 kg–2 in SI units then which of the following is true? (A) 1 notwen = 6.67 × 10–11 newton (B) 1 newton = 6.67 × 10–17 notwen (C) 1 notwen = 6.67 × 10–17 newton (D) 1 newton = 6.67 × 10–12 notwen UD0078 4. In two different systems of units an acceleration is represented by the same number, while a velocity is represented by numbersin the ratio 1: 3. The ratios of unit of length andtime are respectively (A) 3, 9 (B) 9, 3 (C) 1, 1 (D) None of these UD0079 5. Statement–1: Whenever the unit of measurement of a quantity is changed, its numerical value changes. and Statement–2: Smaller theunit of measurementsmaller isits numericalvalue. (A) Statement-1 is true, statement-2 is true and statement-2 is correct explanation for statement-1. (B) Statement-1 is true, statement-2 is true and statement-2 is NOT the correct explanation for statement-1. (C) Statement-1 is true, statement-2 is false. (D) Statement-1 isfalse, statement-2 is true. UD0080 6. Forces proportional to AB, BC and 2CA act along the sides of triangle ABC in order. Their resultant represented in magnitude and direction as (A) CA (B) AC (C) BC (D) CB UD0081
- 35. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 Unit & Dimension,Basic Maths and Vector ALLEN 31 E 7. A manrows a boat with aspeed of 18km/hr in north–west direction. The shoreline makes anangle of 15° south of west. Obtain the component of the velocity of the boatalong the shoreline. (A) 9 km/hr (B) 3 18 2 km/hr (C) 18 cos (15°) km/hr (D) 18cos (75°) km/hr UD0082 8. Statement 1: Unit vector has aunit though its magnitude is one and Statement 2 : Unitvector is obtained by dividing a vector byits own magnitude. (A) Statement-1 is true, statement-2 is true and statement-2 is correct explanation for statement-1. (B) Statement-1 is true, statement-2 is true and statement-2 is NOT the correct explanation for statement-1. (C) Statement-1 is true, statement-2 is false. (D) Statement-1 isfalse, statement-2 is true. UD0083 9. A vector of magnitude 10 m in the direction37° south of westhasits initial point at (5 m, 2 m). If positive x–axis representsthe east and positive y–axis the north, the coordinates of its terminalpoint are (A) (–3 m, –4 m) (B) (3 m, 4 m) (C) (–4 m, 6 m) (D) (–4m,–6 m) UD0084 10. A plumber steps down 1 m out of his truck and walks 50 m east and then 25 m south, and then takes an elevator to the basement of the building 9 m below street level. If the east, the north and the upward directionarerepresentedby thepositivex,yandz–axes,whichoneofthefollowingrepresentsdisplacement (meters) of the plumber? (A) ˆ ˆ ˆ 50 25 9 i j k - - (B) ˆ ˆ ˆ 50 25 9 i j k + - (C) ˆ ˆ ˆ 50 25 10 i j k - - (D) ˆ ˆ ˆ 50 25 10 i j k + - UD0085 11. A bodymovesin anticlockwisedirection ona circular path inthex-y plane. The radiusof thecircular path is5 m and its centreis at theorigin.In a certain intervalof time, displacement ofthebody is observed tobe 6 min the positive y-direction.Which of the followingis true? (A)Itsinitialposition vector is ˆ 5i m. (B)Itsinitialposition vector is ˆ ˆ ( 3 4 ) i j - + m. (C) Its finalposition vector is ( ) ˆ ˆ 4 3 i j + m. (D) Itsfinal position vector is ˆ 6 j m. UD0086 12. AboyAisstanding20Ö3mawayinadirection30°northofeast fromhisfriendB.AnotherboyCstanding somewhere east of B can reach A, if he walks in a direction 60° north of east. In a Cartesian coordinate system with its x–axis towards theeast, the position of C with respect to A is (A) ( ) ˆ ˆ 20 10 i j - + - m (B) ( ) ˆ ˆ 10 10 3 i j - - m (C) ( ) ˆ ˆ 10 10 3 i j + m (D) It depends on where we chose the origin. UD0087
- 36. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 32 JEE-Physics ALLEN E 13.Find the component of r r inthe directionof a r:– (A) ( . ) ² r a a a r r r (B) ( . ) r a a a r r r (C) × r r ˆ ( ) r a r r (D) × r r 2 ˆ ( ) r a r r UD0088 14. Consider three vectors ˆ ˆ ˆ A i j 2k = + - r , ˆ ˆ ˆ B i j k = - + r and ˆ ˆ ˆ C 2i 3j 4k = - + r . A vector X r of the form A B a +b r r (a and b are numbers) is perpendicular to C r . The ratio of a and b is (A) 1 : 1 (B) 2 : 1 (C) –1 : 1 (D) 3 : 1 UD0089 15. A string connected with bob is suspended by the point (O) such that it sweeps out conical surface in horizontal plane. Here r r is the position vector of bob, v r is its velocity and z r is the axisof swept cone as shown. Select INCORRECT statement :- (origin) r v O z (A) r.z r r is always zero (B) r.v r r is always zero (C) z v × r r is always constant (D) r z × r r isalwaysnon zeroconstant UD0090 16. x-component of avector A r istwice of its y-component and 2 times of its z-component. Find out the anglemadebythevectorfromy-axis. (A) 1 2 cos 7 - æ ö ç ÷ è ø (B) 1 1 cos 7 - æ ö ç ÷ è ø (C) 1 1 cos 6 - æ ö ç ÷ è ø (D) 1 2 cos 6 - æ ö ç ÷ è ø UD0091 17. Given the vectors ˆ ˆ ˆ A 2i 3j k = + - r ; ˆ ˆ ˆ B 3i 2j 2k = - - r & ˆ ˆ ˆ C pi pj 2pk = + + r . Find the angle between (A B) - r r & C r (A) 1 2 cos 3 - æ ö q = ç ÷ è ø (B) 1 3 cos 2 - æ ö q = ç ÷ ç ÷ è ø (C) 1 2 cos 3 - æ ö q = ç ÷ ç ÷ è ø (D)noneofthese UD0092 MULTIPLE CORRECT TYPE QUESTIONS 18. Four forcesacting on a particle keep it in equilibrium, then :- (A) the force must be coplanar. (B) the forcescannot be coplanar. (C) the forces may or may not be coplanar. (D) if three of these forcesare coplanar, so must be the fourth. UD0093
- 37. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 Unit & Dimension,Basic Maths and Vector ALLEN 33 E 19. A manis standing at point (x = 5 m, y = 0). Then hewalks along straight line to (x =0, y = 5m). A second man walks from the same initial position along the x-axis to the origin and then along the y-axis to (x = 0, y = 5m). Mark the CORRECT statement(s) : (A) Displacement vector of first man and second man are equal (B) Distance travelled by second man is greater (C) Magnitude of displacement of second man is same that of first man but direction is different (D) Magnitudeof displacement is 50 m for 2nd man. UD0094 20. The vector i + xj + 3k is rotated through an angle q and doubled in magnitude, then it becomes 4i + (4x – 2) j + 2k. The values of x are (A) 2 3 - (B) 1 3 (C) 2 3 (D) 2 UD0095 21. The value of A B C D + - + r r r r can be zero if :– (A) | A | 5, B 3, C 4; D 13 = = = = r r r r (B) | A | 2 2, B 2, C 2; D 5 = = = = r r r r (C) | A | 2 2, B 2, C 2; D 10 = = = = r r r r (D) | A | 5, B 4, C 3; D 8 = = = = r r r r UD0096 22. Thefourpairsofforce vectorsaregiven, whichpairsofforcevectorscannotbe added togive aresultant vector of magnitude10 N? (A) 2N, 13 N (B) 5N, 16 N (C) 7N, 8N (D) 100N, 105 N UD0097 23. Select CORRECTstatement(s) for threevectors = - + - = - + r r ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 2 , 3 5 a i j k b i j k and ˆ ˆ ˆ c 2i j 4k = + - r (A) Theabovevectors canform triangle. (B) Component of a r along c r is3. (C) a r makes angle 1 2 cos 7 - withy-axis. (D) Avectorhaving magnitude twicethevector a r and antiparallel to vector b r is ( ) 2 ˆ ˆ ˆ 2i 6j 10k 5 - + - UD0098 24. If a vector P r makes an angle a, b, g with x, y, z axis respectively then it can be represented as ˆ ˆ ˆ P P cos i cos j cos k é ù = a + b + g ë û r . Choose the CORRECT option(s) :- (A) cos2 a + cos2 b + cos2 g = 1 (B) 2 P.P P = r r (C) - r ˆ ˆ P.(i k) = P(cos a – cos g) (D) ˆ P.i r = cos a UD0099
- 38. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 34 JEE-Physics ALLEN E COMPREHENSIONTYPE QUESTIONS Paragraph for Question no. 25 to 27 A boy lost in a jungle finds a note. In the note was written the following things. Displacements 1. 300 m 53° South of East. 2. 400 m 37° North of East 3. 500 m North 4. 500 Ö2 m North-West 5. 500 m South He starts walking at constant speed 2 m/s following these displacements in the given order. 25. How far and in which direction is he from the starting point after 5 min. and 50 s? (A) 500 m due East (B) 500 m due West (C) 700 m due South-West (D) 700 m due North-East UD0100 26. How far and in which direction ishe from the starting pointafter 10 minutes? (A) 500 Ö2 m due North(B) 1200 m due North-East (C) 500Ö2 m due North-East (D) 900 m due 37° North of East UD0100 27. How far and in which directionhas hefinally displacedafter all the displacementsin thenote? (A) 500Ö2 m due North-East (B) 500 m due North (C) 866 m due North-West (D) 500Ö3 m due 60° North of West UD0100 Paragraph for Question Nos. 28 to 30 A physical quantity is a physical property of a phenomenon, body, or substance, that can be quantified by measurement. The magnitude of the components of a vector are to be considered dimensionally distinct. For example, rather than an undifferentiated length unit L, we may represent length in the x direction as Lx , and so forth. This requirement stems ultimately from the requirement that each component of a physically meaningful equation (scalar or vector) must be dimensionally consistent. Asan example, supposewe wish to calculate the drift S of a swimmer crossing a river flowing with velocity Vx and of width D and he is swimming in direction perpendicular to the river flow with velocity Vy relative to river, assuming no use of directed lengths, the quantities of interest are then Vx , Vy both dimensioned as L T , S the drift and D width of river both having dimension L. With these four quantities, we may conclude that the equation for the drift S may be written: S µ Vx a Vy b Dc Or dimensionally L = a b L T + æ ö ç ÷ è ø × (L)c from which we may deduce that a +b + c = 1and a+ b= 0, which leavesoneoftheseexponentsundetermined.If,however, weusedirectedlength dimensions,then Vx will be dimensioned as x L T , Vy as y L T , S as Lx and D as Ly . The dimensional equation becomes : ( ) b a c y x x y L L L L T T æ ö æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø è ø and we may solve completely as a = 1, b = –1 and c = 1. The increase in deductive powergainedbytheuseofdirectedlengthdimensionsisapparent.
- 39. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 Unit & Dimension,Basic Maths and Vector ALLEN 35 E 28. Whichofthefollowingisnotaphysicalquantity (A) Height of a boy (B) Weight of a boy (C) Fever of a boy (D)Speedof arunningboy UD0101 29. Fromtheconceptofdirecteddimensionwhatistheformulaforarange(R)ofacannonballwhenitisfired withverticalvelocitycomponentVy andahorizontal velocitycomponentVx assumingitisfiredonaflat surface. [Rangealsodependsuponaccelerationdueto gravity, gandkisnumericalconstant] (A) R = ( ) x y k V V g (B) R = ( ) 2 x k V g (C) R = ( ) 3 x y k V V g (D) R = ( ) 3 y x k V V g UD0101 30. AconveyerbeltofwidthDismovingalongx-axiswithvelocityV.AmanmovingwithvelocityUonthebelt inthedirectionperpendicularto thebelt'svelocitywithrespecttobelt wantsto crossthebelt.Thecorrect expression forthedrift(S)sufferedbymanisgivenby(kisnumericalconstant) (A) S = k UD V (B) S = VD k U (C) S = 2 2 U D k V (D) S = 2 2 V D k U UD0101 MATCHING LIST TYPE (4 × 4 × 4) MULTIPLE OPTION CORRECT (THREE COLUMNS AND FOUR ROWS) Answer Q.31, Q.32 and Q.33 by appropriately matching the information given in the three columns of the following table. L, M and T are units of length, Mass and Time respectively in a system of units. Coloumn–1 Column-2 Column-3 (I) L = 10 m (i) M = 100 gm (P) T = 0.1 sec (II) L = 10 cm (ii) M = 10 kg (Q) T = 10 ms (III) L = 0.1 mm (iii) M = 10 gm (R) T = 10 sec (IV) L = 1 km (iv) M = 1 tonne (S) T = 0.01 sec 31. In which of the following combinations unit of force is 106 dyne. (A) (IV) (i) (P) (B)(II) (iii)(S) (C) (III)(iv) (P) (D) (I) (ii) (Q) UD0102 32. In whichof the following system, unit of energy is 109 erg (A) (III) (i) (S) (B)(IV)(iii) (R) (C) (II)(iv) (Q) (D)(I)(iii)(P) UD0103 33. Inwhichofthefollowingsystem,unitforcoefficientof viscosityis100poiseuille (A) (III)(ii) (S) (B) (II) (i) (Q) (C)(III)(iii)(R) (D) (IV) (iv) (P) UD0104
- 40. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 36 JEE-Physics ALLEN E MATRIXMATCH TYPE QUESTION 34. In anewsystem of unitsknown as RMP, length is measuredin 'retem',mass is measured in'marg' and time is measuredin 'pal'. 100 retem = 1.0 meter 1.0 marg = 10–3 kilogram 10 pal = 1.0 second In the given table some unit conversion factors are given. Suggest suitable match. Column-I Column-II (A) One SI unit of force (P) 102 units of RMP (B) One SI unit of potential energy (Q) 103 units of RMP (C) One SI unit of power (R) 104 units of RMP (D) One SI unit of momentum (S) 105 units of RMP (T) 106 unitsof RMP UD0105 35. Referthefollowingtable,wherein thefirstcolumnfourpairsoftwovectors areshownandinthesecond column some possibleoutcomes of basic mathematical operation on these vectors are given. Suggest suitablematch(s). Column-I Column-II (A) y x B r A r (P) X-component of A B + r r ispositive (B) -x -y B r A r (Q) Y-component of A B + r r is negative (C) y x B r A r (R) X-component of A B - r r is positive (D) -x -y B r A r (S) Y-componentof A B - r r isnegative (T) B. A r r ispositive UD0106
- 41. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 Unit & Dimension,Basic Maths and Vector ALLEN 37 E 36. Figureshows acube of edge lengtha. A B G C D E F H y x z Column-I Column-II (A) The angle between AF and x-axis (P) 60° (B) Angle between AF and DG (Q) cos–1 1 3 (C) Angle between AE and AG (R) cos–1 1 3 (S) cos–1 2 3 UD0107
- 42. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 38 JEE-Physics ALLEN E EXERCISE(J-M) 1. An ideal gas enclosed in a vertical cylindrical container supports a freely moving piston of mass M. The piston and the cylinder have equal cross sectional area A. When the piston is in equilibrium, the volume of the gas is V0 and its pressure is P0 . The piston is slightly displaced from the equilibrium position and released. Assuming that the system is completely isolated from its surrounding, the piston executes a simple harmonic motion with frequency. [JEE Main-2013] (1) 0 0 A P 1 2 V M g p (2) 0 0 2 V MP 1 2 A p g (3) 2 0 0 A P 1 2 MV g p (4) 0 0 MV 1 2 A P p g UD0108
- 43. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 Unit & Dimension,Basic Maths and Vector ALLEN 39 E EXERCISE (J-A) 1. Match List Iwith List II and select the correct answer using the codes given belowthe lists : List I List II [JEE Advanced-2013] P. Boltzmann constant 1. [ML2 T–1 ] Q. Coefficient of viscosity 2. [ML–1 T–1 ] R. Planck constant 3. [MLT–3 K–1 ] S. Thermal conductivity 4. [ML2 T–2 K–1 ] Codes : P Q R S (A) 3 1 2 4 (B) 3 2 1 4 (C) 4 2 1 3 (D) 4 1 2 3 UD0109 2. Tofindthedistancedoverwhich asignalcanbeseenclearlyinfoggyconditions,arailwaysengineer uses dimensional analysis and assumes that the distance depends on the mass density r of the fog, intensity (power/area) S of the light from the signal and itsfrequency f. The engineerfinds that d isproportional to S 1/n . The value of n is. [JEE Advanced-2014] UD0110 3. In termsof potentialdifferenceV, electriccurrentI, permittivitye0 ,permeabilityµ0 andspeedoflightc, the dimensionallycorrectequation(s)is(are) [JEE Advanced-2015] (A) µ0 I2 = e0 V2 (B) e0 I = µ0 V (C) I = e0 cV (D) µ0 cI = e0 V UD0111 4. Three vectors P,Q r r and R r are shown in the figure. Let S be any point on the vector R r . The distance between the points P and S is b R r . The general relation among vectors P,Q r r and S r is : [JEE Advanced-2017] b|R| R = Q – P S Q Q S P X O Y P (A) ( ) 2 S 1 b P b Q = - + r r r (B) ( ) S b 1 P bQ = - + r r r (C) ( ) S 1 b P bQ = - + r r r (D) ( ) 2 S 1 b P bQ = - + r r r UD0112
- 44. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 40 JEE-Physics ALLEN E 5.Two vectors A r and B r are defined as ˆ A ai = r and ( ) ˆ ˆ B a cos ti sin t j = w + w r , whre a is a constant and w = p/6 rad s–1 . If A B 3 A B + = - r r r r at time t = t for the first time, the value of t, in seconds, is _____. [JEE Advanced-2018] UD0113 PARAGRAPH "X" In electromagnetic theory, the electric and magnetic phenomena are related to each other. Therefore, the dimensions of electric and magnetic quantities must also be related to each other. In the questions below, [E] and [B] stand for dimensions of electric and magnetic fields respectively, while [Î0 ] and [µ0 ] stand for dimensions of the permittivity and permeability of free space respectively. [L] and [T] are dimensions of length and time respectively. All the quantities are given in SI units. (There are two questions based on Paragraph "X", the question given below is one of them) 6. The relation between [E] and [B] is :- [JEE Advanced-2018] (A) [E]= [B][L][T] (B) [E] = [B][L] –1 [T] (C) [E] = [B][L][T] –1 (D) [E] = [B][L] –1 [T] –1 UD0114 PARAGRAPH "X" In electromagnetic theory, the electric and magnetic phenomena are related to each other. Therefore, the dimensions of electric and magnetic quantities must also be related to each other. In the questions below, [E] and [B] stand for dimensions of electric and magnetic fields respectively, while [Î0 ] and [µ0 ] stand for dimensions of the permittivity and permeability of free space respectively. [L] and [T] are dimensions of length and time respectively. All the quantities are given in SI units. (There are two questions based on Paragraph "X", the question given below is one of them) 7. The relation between [Î0 ] and [µ0 ] is :- [JEE Advanced-2018] (A) [µ0 ] = [Î0 ][L]2 [T]–2 (B) [µ0 ] = [Î0 ][L]–2 [T]2 (C) [µ0 ] = [Î0 ] –1 [L] 2 [T] –2 (D) [µ0 ] = [Î0 ] –1 [L] –2 [T] 2 UD0114 8. Let us consider a system of unitsin which mass andangular momentum are dimensionless. If length has dimension ofL, which of thefollowing statement (s) is/arecorrect ? [JEE Advanced-2019] (1) The dimension of force is L –3 (2) The dimension of energy is L –2 (3) The dimension of power is L –5 (4) Thedimensionoflinear momentumisL –1 UD0115
- 45. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 Unit & Dimension,Basic Maths and Vector ALLEN 41 E ANSWER KEY EXERCISE (S-1) 1. Ans. L–1 , ML2 T–2 2. Ans. kg.m2 .s–2 .K–1 3. Ans. m T a k = 4. Ans. 3 GM K r w = 5. Ans. 0 = GM v k R 6. Ans. K = 6 7. Ans. [MLT–1 ] 8. Ans. 75 9. Ans. 1 10. Ans. 25 11. Ans. 7 12. Ans. 90 m 13. Ans. 4 cos 61 æ ö a = ç ÷ è ø , 6 cos 61 æ ö b = ç ÷ è ø 3 cos 61 æ ö g = ç ÷ è ø , 61 magnitude = 14. Ans. 3 15. Ans. 5 16. Ans. 7 16 17. Ans. ˆ ˆ ˆ, 3k i j + 18. Ans. (a) k̂ 7 j ˆ 5 î 11 - + , (b) ÷ ø ö ç è æ - - 195 7 cos 1 , (c) ÷ ø ö ç è æ - - 1309 20 cos 1 19. Ans. 2 20. Ans. (a) 6 2 6.4 10 3 m p ´ ´ , (b) 6 3 6.4 10 ´ ´ m 21. Ans. (a) 9.95, (b) 0.99 22. Ans. 0.14, 0.09 EXERCISE (S-2) 1. Ans. ML5 T–2 K1/2 2. Ans. [S] = Ev–2 T–2 3. Ans. 10–30 star joule 4. Ans. 2 19 , cos–1 7 2 19 or tan–1 3 3 7 5. Ans. 100 s 6. Ans. 120 N, 40 3 N 7. Ans. ˆ ˆ 16 30 ,198 i k J - EXERCISE (O-1) 1.Ans. (D) 2. Ans. (C) 3. Ans. (A) 4. Ans. (A) 5. Ans. (B) 6. Ans. (A) 7. Ans. (C) 8. Ans. (D) 9. Ans. (D) 10. Ans. (A) 11. Ans. (C) 12. Ans. (B) 13. Ans. (C) 14. Ans. (D) 15. Ans. (B) 16. Ans. (B) 17. Ans. (D) 18. Ans. (D) 19. Ans. (C) 20. Ans. (A) 21. Ans. (C) 22. Ans. (A) 23. Ans. (B) 24. Ans. (C) 25. Ans. (B) 26. Ans. (B) 27. Ans. (D) 28. Ans. (D) 29. Ans. (A) 30. Ans. (C) 31. Ans. (B) 32. Ans. (A) 33. Ans. (C) 34. Ans. (B) 35. Ans. (B) 36. Ans. (B) 37. Ans. (D) 38. Ans. (A,D) 39. Ans. (C,D) 40. Ans. (B, C) 41. Ans. (B) 42. Ans. (C) 43. Ans. (A) 44. Ans. (B) 45. Ans. (C) 46. Ans. (A) ® (Q); (B) ® (R); (C) ® (T); (D) ® (P) 47.Ans. (A)-R; (B)-S; (C)-P; (D)-Q 48. Ans. (A) ® (S); (B) ® (P); (C) ® (R); (D) ® (T) 49. Ans. (A)-S; (B)-P; (C)-Q; (D)-R
- 46. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)NurturePhySheetUnit & Dimension, Basic Maths and VectorEng.p65 42 JEE-Physics ALLEN E EXERCISE(O-2) 1. Ans. (A) 2. Ans. (D) 3. Ans. (C) 4. Ans. (B) 5. Ans. (C) 6. Ans. (A) 7. Ans. (A) 8. Ans. (D) 9. Ans. (A) 10. Ans. (C) 11. Ans. (C) 12. Ans. (B) 13. Ans. (A) 14. Ans. (A) 15. Ans. (A) 16. Ans. (B) 17.Ans. (C) 18. Ans. (C, D) 19. Ans. (A,B,D) 20. Ans. (A, D) 21. Ans. (B,D) 22. Ans. (A,B) 23. Ans. (A,C,D) 24. Ans. (A, B, C) 25. Ans. (A) 26. Ans. (C) 27. Ans. (B) 28. Ans. (C) 29. Ans. (A) 30. Ans. (B) 31. Ans. (B,C) 32. Ans. (B,D) 33. Ans. (B) 34. Ans. (A) ® (Q); (B) ® (S); (C) ® (R); (D) ® (R) 35. Ans. (A) ® (P,R,T); (B) ® (P,R,T); (C) ® (P,Q,R,S,T); (D) ® (P,Q,R,S,T) 36. Ans. (A) R (B) Q (C) P EXERCISE (J-M) 1. Ans. (3) EXERCISE (J-A) 1. Ans. (C) 2. Ans. 3 3. Ans. (A,C) 4. Ans. (C) 5. Ans. 2 [1.99, 2.01] 6. Ans. (C) 7. Ans. (D) 8. Ans. (1,2,4)
- 47. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)EnthusePhysicsSheetError in measurements & instrumentsEng01_Exercises.p65 Error in measurements& instruments 29 E EXERCISE (S) 1. How manysignificant figuresare giveninthefollowing quantities ? (A) 343 g (B) 2.20 (C) 1.103 N (D) 0.4142 s (E) 0.0145 m (F) 1.0080 V (G) 9.1 × 104 km (H) 1.124 × 10–3 V ER0001 2. Performthefollowingoperations: (A) 703 + 7 + 0.66 (B) 2.21 × 0.3 (C) 12.4 × 84 (D) 14.28/0.714 ER0002 3. Solve withdueregardto significant digits (i) 32 . 6 5 . 6 (ii) 080 . 0 3842 . 0 91 . 2 ER0003 4. The main scale ofa vernier calipers reads in millimeter and its vernier is divided into 10 divisions which coincide with 9 divisions of the main scale. When the two jaws of the instrument touch each other the seventhdivisionofthe vernier scalecoincide witha scaledivisionandthe zero ofthe vernier liesto the right ofthe zero ofmainscale. Furthermore, when a cylinder is tightlyplaced along its lengthbetween the two jaws, thezero ofthe vernierscale lies slightlyto the left of3.2cm;and the fourthvernier divisioncoincides witha scale division. Calculate the measured lengthofthe cylinder. ER0004 5. The VC shown in the diagramhas zero error in it (as you cansee). It is giventhat 9 msd = 10 vsd. (i) What is the magnitude ofthe zero error? (1msd = 1 mm) 1 9 5 13 2 6 14 3 11 7 4 12 8 (ii) The observedreading ofthe lengthofa rod measuredbythis VC comes out to be 5.4 mm.Ifthevernier had been error free then reading ofmain scale would be ___ and the coinciding division ofvernier scale would be _____. ER0005 6. Consider a home made vernier scale as showninthe figure. P Q Inthisdiagram,we are interestedinmeasuringthelengthofthelinePQ.Ifboththe inclinesare identicaland their angles are equalto then what is the least count ofthe instrument. ER0065
- 48. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)EnthusePhysicsSheetError in measurements & instrumentsEng01_Exercises.p65 30 JEE-Physics E 7.The pitch of a screw gauge is 0.5 mm and there are 50 divisions on the circular scale. In measuring the thicknessofa metalplate, therearefive divisions onthe pitchscale (ormainscale) and thirtyfourthdivision coincides withthe reference line. Calculate the thickness ofthe metalplate. ER0006 8. The pitch ofa screw gauge is 1 mmand there are 50 divisions on itscap. Whennothing is put in between the studs, 44th division ofthe circular scale coincideswith the reference line zero ofthe mainscale is not visible. Whenaglass plate is placedbetweenthe studs, the mainscale reads three divisionsand the circular scale reads 26 divisions. Calculate the thicknessofthe plate. ER0007 9. Inagivenopticalbench, aneedle oflength10cmis used to estimate bencherror.Theobject needle, image needle &lens holder have their reading as shown. x0 = 1.1 cm xI = 21.0 cm xL = 10.9 cm Estimate the bencherrorswhich are present inimage needle holder and object needle holder.Also find the focallengthofthe convexlens when. x0 = 0.6 cm xI = 22.5 cm xL= 11.4 cm ER0066 10. Make theappropriate connections inthemeter bridge set upshown. Resistance boxisconnected between ___. Unknown resistance is connected between___. Batteryis connected between ______. A B C D E F ER0008 11. Abodytravels uniformlya distance of(13.8 ± 0.2)min time (4.0 ± 0.3) sec. Calculate its velocity. ER0009 12. Consider S = x cos () for x = (2.0 ± 0.2) cm, = 53 ± 2 °. Find S. ER0010 13. Two resistance R1 and R2 are connectedin(i) series and(ii) parallel.What is theequivalent resistance with limit ofpossible percentage error in each case ofR1 = 5.0 ± 0.2 and R2 = 10.0 ± 0.1 . ER0011 14. 5.74gmofasubstanceoccupiesavolumeof1.2cm3.Calculateitsdensitywithdueregardforsignificantfigures. ER0012 15. The time period ofoscillation ofa simple pendulumis givenbyT = g / 2 l . The lengthofthe pendulum is measured as l = 10.0 ± 0.1cmand the time period as T = 0.50 ± 0.02 s. Determine percentage error in the valueofg. ER0013 16. In a Searle's experiment, the diameter ofthe wire asmeasured bya screw gauge ofleast count 0.001 cm is 0.050 cm.The length, measured bya scale ofleast count 0.1 cm, is 110.0 cm. When a weight of50 N is suspended from the wire, the extension is measured to be 0.125 cm by a micrometer of least count 0.001 cm.Findthemaximumerror inthe measurement ofYoung'smodulusofthematerialofthewire from thesedata. [JEE 2004] ER0014
- 49. node06B0B0-BAKotaJEE(Advanced)EnthusePhysicsSheetError in measurements & instrumentsEng01_Exercises.p65 Error in measurements& instruments 31 E 17. The pitchofa screw gaugeis 1 mmandthere are 100 divisions on the circular scale.While measuring the diameter ofa wire, the linear scale reads 1 mm and 47th divisionon the circular scale coincideswith the reference line. The length of the wire is 5.6 cm. Find the curved surface area (in cm2) of the wire in appropriate numberofsignificant figures. [JEE 2004] ER0015 18. Aphysical quantityP is related to four observablesA, B, C and D as P = ) D C /( B A 4 2 3 2 The percentage error of the measurement in A, B, C and D are 1%, 3% and 2%, 4% respectively. Determine the percentage error & absolute error in the quantityP. Value ofPis calculated 3.763. ER0067 19. Aglass prismofangleA= 60° gives minimum angle ofdeviation = 30° withthe max. error of10 when a beamofparallel light passed throughthe prismduring anexperiment. Find the permissible error in the measurement ofrefractive index ofthe materialofthe prism. ER0068 20. Inavernier calipers the mainscale and the vernierscale are made upofdifferent materials. Whenthe room temperature increases byT°C, it is found the reading ofthe instrument remains the same. Earlier it was observed that the front edge of the wooden rod placed for measurement crossed the Nth main scale divisionand (N+ 2) msd coincided withthe 2nd vsd.Initially, 10 vsd coincidedwith9 msd. Ifcoefficient of linear expansion ofthe mainscale is 1 andthat ofthe vernier scale is 2 thenwhat is the valueof1/ 2? (Ignore the expansion ofthe rod on heating) ER0069 21. In a vernier callipers, n divisions ofits main scale match with (n + 1) divisions on its vernier scale. Each divisionofthe main scale isa units. Using the vernier principle, calculate its least count. [JEE 2003] ER0070 22. The period ofoscillation of a simple pendulum in an experiment is recorded as 2.63 sec, 2.56 sec, 2.42 sec, 2.71 sec and 2.80 sec respectively. Find the time period, the absolute error in each observation, average absolute error and the percentage error. ER0016 23. The sideofa cube ismeasured byvernier callipers(10 divisions ofavernier scale coincide with9 divisions ofmain scale, where 1 division ofmain scale is 1 mm). The main scale reads 10 mm and first division of vernier scale coincides with the main scale. Mass of the cube is 2.736 g. Find the density ofthe cube in appropriate significant figures. [JEE 2005] ER0017
- 50. Random documents withunrelated content Scribd suggests to you:
- 51. autioon yksinäisyyteen. Sittenkatse sammui. Pimeys saapui pikamarssissa suurelle tasangolle. Tähdet syttyivät. Ja ennen muita eräs komea, kultainen tähti, jolla oli syvä, ihmeellinen loisto. Se oli Maa.
- 52. XIII. PÄIVÄLLISATERIA. Ainoastaan maapallolla jamuutamien kirjailijain, kuten Ponson du Terrailin, Conan Doylen ja Övre Richter-Frichin, romaaneissa ihmiset putoilevat taidokkaiden laskuvarjostimien avulla. Falunilaisen John Anderssonin nykyisessä olopaikassa ei turvauduttu sentapaisiin etsittyihin, vaikka kylläkin erinomaisiin kojeisiin. Kuten kirjoitimme: hän katosi! Mutta asia oli sangen selvä. Hän yksinkertaisesti astui eräitä portaita alas. Ja pyramiidien ajoilta asti ovat portaat olleet maailman yksinkertaisimpia ilmiöitä. Neliön pysty- ja vaakasuoria viivoja ovat rakentajat palvoneet Ramses II:sta lähtien Macody Lundiin saakka. Ei siis tarvitse kenenkään kummastella jos John Andersson laskeutuikin alas portaita, jotka olivat rakennetut nelisärmäisistä, ennenmainittua kiinteätä kautsumaista ainetta olevista lohkareista. Tämä aine muistutti asfalttia, mutta oli pehmeämpää ja — kuten myöhemmin ilmeni — paljon kevyempää.
- 53. Sydän raskaana hänvaelsi alas näitä portaita, jotka muuten olivat sekä leveät että hauskat. Mutta hän kulki kuin se, joka etsii itselleen vapaaehtoista vankilaa: mitä ihmeellisimmät tunteet kalvoivat hänen sydänjuuriansa. Mutta alhaalla John Anderssonia ei odottanutkaan vankila, vaan jonkinlainen avonainen ja hyvin valaistu tori! Valaistus ei tullut ylhäältä, multakatossa olevista reijistä, vaan valolähteinä olivat suuret nelisärmäiset paadet, joita oli määrättyjen välimatkojen päässä paljaalla maaperällä. Ne levittivät miellyttävää valoa tuohon ihmeelliseen maisemaan, joka olisi hämmästyttänyt ketä ihmistä tahansa. Mutta John Andersson ei ihmetellyt, sillä hän oli melkein vuoden päivät totutellut itseään tähän maanalaiseen kaupunkiin, joka siinä avautui hänen sattumalta niin surullisille katseilleen. Niin kauas kuin silmä kantoi, näkyi valaistuja, pieniä, neliömäisiä karsinoita, joiden väliseinämät oli muurattu tuosta ruskeankeltaisesta aineesta, joka tuntui olevan tämän taivaankappaleen enimminkäytettyä rakennusainetta. Näistä kamalan yksitoikkoisista ja säännöllisistä ikkunattomista ja katottomista majoista levisi ympäristöön ystävällinen ja kutsuva hohde. Ei näkynyt ainoatakaan olentoa niillä leveillä väliaukeamilla, joita maapallolla olisi nimitetty kaduiksi, mutta heikko, vuoroin kiihtyvä ja laimeneva palpatus osoitti, ettei kaupunki ollut asukkaita vailla. Tämä palpatus, joka vähän muistutti kyyhkysen kuherrusta, hukkui kuitenkin osittain siihen kohinaan ja pulpahteluun, joka jo oli kuulunut ylös pinnallekin. Oli selvää, mistä tämä johtui. Sillä myöskin kaupunki — jos nyt uskallamme sitä siksi nimittää — oli metrinlevyisten kanavien leikkelemä. Vettä virtasi kaikkialla, huoneiden läpi, katujen poikki, raikasta, kuparinvihreää vettä. Se
- 54. täytti ilman suloisellaviileydellä ja tuoksulla ja muodosti solisevia kevätpuroja tuohon alastomaan loppumattomaan ruskeankeltaisuuteen. John Andersson asteli verkalleen yli torin ja hyräili erästä ruotsalaista kansanlaulua. Hän pysähtyi erään karsinan eteen. Äskeinen suuri sammakkokoira ryömi ulos reiästä ja lausui hänet tervetulleeksi muutamin hyvin valituin sanoin, joissa kerakeaines oli vahvasti edustettu. Näytti todella siltä kuin eläin olisi viisaasti ja toverillisesti lukenut nuoren miehen sinisistä silmistä tämän alakuloisuuden ja halunnut antaa hänelle muutamia lohduttavia sanoja ennen kuin tämä astui huoneeseen. Ruotsalainen katsahti eläimeen ystävällisesti ja ryömi sitten aukosta sisään. Hän tuli suureen huoneeseen, jonka nurkat olivat jaetut pieniksi lavitsoiksi. Hän hyppäsi yli vesikanavan, jonka keskikohdan muodosti neliönmuotoinen allas. Siitä levisi hillitty, vihertävä hohde olentoihin, jotka istuivat altaan ympärillä ja katselivat tulijaa lempeänystävällisin katsein. Siinä oli hyvin erityyppisiä olentoja. Ihmismäisintä tyyppiä edusti eräs vanha pariskunta, mies ja vaimo, joiden ikää ei voitu lukea heidän otsarypyistään vaan heidän hipiänsä harmahtavasta väritunnusta. He olivat ilmeisesti tuon nuoren naisolennon vanhemmat. Tämä itse hääräsi jonkinlaisissa päivällispuuhissa, järjestellen ruoka-annoksia ruskeankeltaisiin astioihin. Paitsi näitä kolmea ja tuota sammakkomaista koiraa, joka ihan tuntui kuuluvan perheeseen ja asui sen parissa, oli siellä vielä eräs pantterimainen eläin, jolla oli pitkä, käärmemäinen, voimakas karvaton ruumis. Sen pää ei kuitenkaan sanottavasti muistuttanut
- 55. kissansukua. Otsa olivahvarakenteinen ja korvat näyttivät ihan alkeellisilta. Silmät olivat kesyt ja viisaat, pitkäripsiset. Keskustelu, joka taukosi Anderssonin astuessa huoneeseen, otti nyt taas vauhtia. Ja selvää oli, että huonekunnan eri jäseniä eroitti toisistaan korkeintaan heidän yhteiskunnallinen asemansa. He pälpättivät kaikki samaa kieltä — eläinten näköiset ehkä käyttivät hieman kunnioittavampaa äänensävyä, aivan kuin kohteliaat palvelijat isäntäväkeään puhutellessaan… Ja Andersson pälpätti sekaan, parhaan kykynsä mukaan. Tuntui siltä kuin hän ja kissamainen olento eivät olisi olleet oikein samaa mieltä eräistä asioista, jolloin sammakkokoira rankaisi toveriaan, muuten kohteliaan maailmanmiehen tavalla. Omituisen perhekunnan seurustelussa oli ylimalkaan hyvin lempeä ja sovinnollinen sävy. Oli vain kaksi surullista silmäparia koko seurueessa, nimittäin Andersonin ja sen olennon, jota me lyhyyden vuoksi nimitämme nuoreksi tytöksi. Pian sitten syötiin päivällinen. Ruskeankeltaiset astiat, jotka muutamia minuutteja olivat porisseet eräällä maidonvalkoisella levyllä, jaettiin nyt talon asukkaille — nuori tyttö oli jakajana — sama annos sekä ihmisille että eläimille. Mikään erikoisen herkullinen päivällinen se ei tosiaankaan ollut. Mutta kaikille se näytti maistuvan. Se näytti heinistä keitetyltä liemeltä, mutta huoneen ryytituoksuinen ilma todisti, että oli siinä muutakin kuin pelkkiä kuivia heiniä. Kolme ihmismäistä olentoa kaatoi liemen varovasti suuhunsa, koira hotkaisi sen mahtavaan kitaansa, pitäen suurta meteliä, ja pantterikissa käytteli hyvällä menestyksellä pitkää mustaa kieltänsä.
- 56. Koko tuon yksinkertaisenkasvis-aterian aikana ei virketty ainoatakaan sanaa. Vallitsi yleinen äänettömyys. Koko maanalainen kaupunki oli näköjään kuollut. Se aterioitsi. Päivällisellä ei näyttänyt olevan elähdyttävää vaikutusta puhe- elimiin. Päinvastoin. Oli kuin unetar itse olisi tullut verkkaan kävellen perheen luo ja jaellut haukotuksia ja raskaita silmäluomia jokaiselle. Eläimet menivät pilttuisiinsa, vanhukset horjuivat samantapaisiin ja Andersson ryömi omaan nurkkaukseensa. Tämä oli toisennäköinen kuin muiden. Siinä oli sisustuksena jokin riippumatontapainen, joka oli koottu monesta erilaisesta esineestä ja riippui katosta paksujen köysien varassa. Lähempi tarkastus näytti, että se oli muodostettu laskuvarjostimen jätteistä. Seinällä riippui revolveri, vanhanaikainen hopeakello, Zeiss-kiikari koteloineen ja Ruotsin lippu. Näytti kerrassaan hauskalta. Mutta John Andersson huokasi taas. Sitten hän asettui riippumattoon. Kuului heikkoa surinaa, aivan kuin taalalaiskellon ruvetessa lyömään, ja sitten valo sammui. Nuori tyttö kävi viimeisenä levolle. Hän hiipi varovasti John Anderssonin huoneeseen, ryömi sen perimmäiseen nurkkaan ja asettui nukkumaan silkinpehmoisista heinistä tehdylle tilalle.
- 57. XIV. ILMAPALLO "THULE". Yöllä onaina omat tapansa. Pimeys tasoittaa kaiken. Se hiipii kaikkiin maailman avaruuden soppiin Sallimuksen määrääminä aikoina, se peittää vanhurskaat ja riettaat. Vain aurinko, tuo ankara hallitsija, ei nuku milloinkaan. Yö on kaikkien salaisuuksien vartija. Sen musta huntu ei peitä yksistään kuorsaavaa ihmismatoa — se peittää myös kauniisti ja tunnollisesti valveilla nähdyt unet, syvimmät ja hienoimmat lemmenmuistot sekä rohkeimmat suunnittelut sarastavaa päivää varten. Ilman yötä jäisivät kaikki päivän suurteot suorittamatta. Ennen unen tuloa keksii valtiomies nerokkaimmat juonensa, liikemies parhaat saalistustemppunsa, rikollinen pirullisimmat suunnitelmansa ja runoilijasäveltäjä ihanimmat rytminsä. Mitä auringon ja luonnon näkyvät muodot eivät kykene synnyttämään ihmissydämessä, sen luo tyhjästä pimeys — tuo suuri hiljainen innoittaja.
- 58. John Andersson eiollut valtiomies, liikemies eikä rikollinen. Luultavasti ei milloinkaan ole maakamaralla kävellyt siivompaa kaveria. Hän oli ollut rautatyöntekijä, päässyt konesepäksi, ja levottomat sota-ajat olivat lähettäneet hänet sotilaaksi Ruotsin ilmalaivastoon. Mutta yö oli kuitenkin hänen paras ystävänsä. Joka kerta kun hän kuuli tuon ihmeellisen surinan, joka ennusti pimeyden tuloa, hän tunsi itsensä merkillisen tyytyväiseksi. Silloin hän unohti yksinäisyytensä. Silloin hän suuntasi katseensa takaisin kaikkeen siihen, minkä hän oli kadottanut — nuoruuteensa, lemmittyynsä, toivoonsa ja työhönsä. Hän unohti ihmeellisen kummittelunsa tuossa tuntemattomassa maailmassa, jota hän ymmärsi niin vaillinaisesti, ja eläytyi kokonaan siihen kirkkauteen ja onneen, jonka hän oli kadottanut kaksitoista kuukautta sitten. Silloin hymyili hänelle hänen morsiamensa ja tarjoili ruusunpunaista suutansa. Ja hän kuuli suurten tehtaiden höyrykoneiden jyminää ja näki raudan punaisina liekkeinä vääntäytyvän ulos isoista uuneista. Tuollaisina yönhetkinä valvoskellessaan John Andersson saattoi pitää pitkiä keskusteluja itsensä kanssa omalla äidinkielellään. Ja vanhat laulut paisuttivat säveliään hänen kurkussaan ja kantoivat hänet siivillään takaisin Taalainmaahan, noille vanhoille tutuille poluille, Siljanin vihannille rannoille. Niin, tuntikaupalla hän saattoi avoimin silmin uneksia isänmaastansa ja haastella ystäviensä kanssa mitä joutavimmista asioista, ja silloin aina entinen ilo ikäänkuin suhisi hänen ympärillään, eikä hän huomannut lainkaan noita kummallisia olentoja, joiden pariin kohtalo oli hänet heittänyt ja jotka nukkuivat päästellen syviä kurkkuääniä.
- 59. Hän eli runoilijainelämää. Ei niinkuin ne herrat, jotka kirjoittavat säkeitä ja runoja savukkeista, tyttölapsista vaikka minkä nimisistä, auringon säteistä, lumesta ja vuodenajoista, vaan niinkuin ne poloiset, joiden toivorikkaat sydämet pakahtuvat juuri siitä, mitä eivät milloinkaan saavuta. Niinkuin kirjoittamattomat runot jostakin selittämättömästä syystä ovat aina parhaat, niin voi myös väittää, että ne runoilijat, jotka eivät kirjoita, ovat etevimmät. Ja niin ollen voi sanoa, että John Andersson oli runoilija Jumalan armosta — lyyrikko, jonka soittimen kieliä värähdytti vuorokaudet läpeensä kaipaus maan kadotettuun paratiisiin. Mutta varsinkin yön ensimmäisinä hetkinä, jolloin uni ei tahtonut tulla silmään, hän huokaili ilmoille rytmittömiä, kirjoittamattomia runojaan. Silloin hän myös hieman katkerana muisteli elämänsä onnettomuutta, ilmapallo "Thulea." Tämän "Thulen" oli rakentanut eräs insinööri, joka kokonaisen ihmisiän oli puuhannut lentokysymysten kimpussa. Moottorin ja potkurin sijasta oli "Thuleen" pantu pieni kaasutehdas, jonka valmistamalla kaasulla oli kerrassaan hämmästyttävät ominaisuudet. Samalla tuo vanha ilmapallomies oli keksinyt pallokankaan, josta ei kuutiosenttigrammaakaan kaasua päässyt haihtumaan ohjaajan nimenomaan päästämättä. Tämä otus aiottiin lähettää ilmaan saavuttamaan aavistamattomia korkeuksia. Keksijä itse oli käynyt vanhaksi ja ahdashenkiseksi, eikä hän enää ollut kylliksi huimapäinen yrittääkseen korkeussaavutuksia, hän saattoi siis levätä maankamaralla. Mutta hän lupasi suurenpuoleisen rahasumman sille, joka halusi yrittää. John Andersson olisi mielellään mennyt naimisiin mahdollisimman pian. Hän havaitsi olevansa juuri kysymyksessä olevain rahain tarpeessa ja ilmoittautui siis muiden mukana. Hän tuli onnettomuudekseen valituksi, hänelle varattiin matkaan hyvät happivehkeet,
- 60. automaattinen korkeusmittari sekäajanmukainen laskuvarjostin. Hänen oli määrä yrittää niin ylös, kuin hän itse ja varustukset suinkin saattoivat kestää. John Andersson oli vaaleansinisilmäinen optimisti. Hän antoi palttua varoituksille ja peloitteluille, suuteli morsiantansa ja kohosi kohti taivasta eräänä tyynenä kesäaamuna Upsalan vieressä olevalta harjoituskentältä. Tuuli henkäili heikosti idästä, niin ettei näyttänyt tarvitsevan pelätä Pohjanlahdelle joutumista. Vanha keksijä seurasi pallonsa nousua kiikari silmillä ja pirullinen hymy suupielessä. Keksintö oli nimittäin osittain vioittanut hänen aivokoneistoansa ja venyttänyt hänen omaatuntoansa. Hän oli mitä yksityiskohtaisimmin neuvonut Anderssonille kaikki pallonhoitoon kuuluvat temput, mutta hän oli ehdoin tahdoin sekä nautinnokseen unohtanut mainita, että kaikki tavalliset kaasun uloslaskuventtiilit, joiden avulla pallo voitiin pakottaa laskeutumaan, olivat mitä ihanimmassa epäkunnossa: toisin sanoen, ne eivät lainkaan toimineet. Pallo nousi nousemistaan ja Anderssonin pää saattoi vielä tänäänkin mennä pyörälle tästä nousemisesta. Alhaalla Fyris-joen rannalla seisoi parvi tiedemiehiä, jotka hekin joutuivat päästänsä pyörälle valtaisiin putkiin tirkistelemisestä. Vaikka ilma oli mahdollisimman kirkas, niin he kadottivat pallon näkyvistä. Ja keksijä, tuo vanha karaistu ilmakarhu, hykersi käsiään nähdessään vanhuutensa hedelmän muuttuvan pisteeksi ja viimein häviävän eetteriin kuni pienen pieni ilmakupla. "Hän nousee hamaan taivaaseen, hyvät herrat", virkkoi keksijä huulillaan profeetallinen hymy. Tiedemiehet olivat hiukan huolestuneen näköisiä. Heitä tavallaan kauhistutti John Anderssonin
- 61. kohtalo, ja hepaaduttivat sydämensä ajatellessaan pientä taalalaistyttöä, joka alla päin vaelsi takaisin kaupunkiin ja sieltä junalla Moran pitäjään, jossa lehmät, lampaat ja vuohet odottivat hänen taitavaa hoitoansa. Ah — hän sai odottaa kauan, tuo tyttö. Viikkoja ja kuukausia. Ei kukaan kuullut mitään pallosta. Tiedustelusähkösanomia lähetettiin maailman joka haaralle. Ei kukaan muistanut enää John Anderssonia. Keksijän laskelmien mukaan hän oli tukehtunut joko ilmanpaineeseen tai ilmanpuutteeseen. Mutta olihan pallon toki pakko palata takaisin tavalla tai toisella. John Andersson tiesi nämä asiat paremmin. Niiden ajatteleminen johti hänen mieleensä kertomukset noitien tanssista. Hänen jouduttuaan mahdottoman korkealle rupesi eräänä päivänä happikone mutkittelemaan, ja hän tunsi kuinka hänen tajuntansa ei kadonnut vaan tylsistyi, kun hän ensin moneen kertaan oli tehnyt epätoivoisia yrityksiä kaasun poispäästämiseksi tuosta itsepäisesti taivasta kohti kohoavasta pallosta. Hän luisui suureen hervottomuuteen. Kuinka kauan tätä kesti, ei hän tiennyt. Siinä saattoi kulua päiviä, viikkoja, jopa kuukausiakin. Hän ikäänkuin liukui kamalata vauhtia pitkin mahtavia valoaaltoja. Lopuksi koko pallo joutui hirmuisen pyörremyrskyn kynsiin, joka imaisi sen uusien tähtiratojen piiriin. Eräänä päivänä hän heräsi tajuntaan. Paine oli vähentynyt. Mutta hän huomasi olevansa nälkäkuoleman kynnyksellä. Tekoansa punnitsematta hän heittäytyi ulos gondoolista selässään patentti-laskuvarjostin. Silloin hän menetti tajuntansa kokonaan.
- 62. XV. KOHTI TAPAUSTEN AAMUA. Kaikkeatätä John Andersson ajatteli tuona ihmeellisenä yönä valvoessaan. Oli kuin maankaipuu olisi kerännyt kaikki nuo vanhat näyt hänen eteensä. Taikka ehkä hänen tajuntansa, joka yksinäisyydessä oli saanut uusia herätteitä, ilmoitti hänelle, että hän nyt seisoi peräti ihmeellisten tapausten kynnyksellä! Kukaan ei tiedä. Mutta varma asia on, että nuori koneseppä teki jonkinlaista tiliä niistä elämänkokemuksista, joita hänellä oli sattunut sen aamun jälkeen, jona hän näki maan häipyvän näkyvistään. Oli suuria aukkoja hänen muistoissansa. Kuinka hän oli liidellyt laskuvarjostimen varassa, ei hän tiennyt eikä saisi milloinkaan tietoonsa. Hän oli herännyt, äärettömän heikkona, jollakin ruoholäjällä. Jokin merkillinen olento seisoi hänen vieressään, malja käpälämäisessä, karvaisessa kädessä. Ei ollut mitään erikoista ihmismäisyyttä tuossa ilmestyksessä, mutta Andersson keksi pari hyvää, lempeää ja viisasta silmää tämän naaman ryppyjen keskeltä. Se rauhoitti häntä ja hän joi. Ei mikään viina olisi tehnyt häneen parempaa vaikutusta kuin tämä, joka valuessaan alas hänen kuivasta
- 63. kurkustaan virkisti januorensi ihan mahdottomasti. Ei kestänyt kauan, kun hän jo oli entisellään. Ja koska hän oli tyyni ja kylmäverinen mies, jolla oli tukevat elämäntavat, niin hän tottui pian kohtaloonsa. Hän vertaili toisiinsa eri asioita, muisteli, mitä oli aikoinaan lukenut kansantajuisista kirjasista, ja pääsi verrattain pian siihen johtopäätökseen, että hän oli pudonnut johonkin toiseen kiertotähteen. Mutta mihin — siitä hänellä ei ollut aavistustakaan! Ainoastaan Jules Vernen kirjoissa professorit ja tiedemiehet joutuvat vaaroihin, voidakseen opettaa kaikille muille luonnontieteen ongelmia. Niinpä sitten kävi, että John Andersson, jota vieraan tähden asukkaat katselivat kuin jotakin harvinaista ja arvokasta museo- esinettä ja palvoivat jonkinlaisena puuttuvana renkaana, kotiutui nopeasti uuteen yhteiskuntaan. Aluksi hän terävä-älyisten seminaarilaisten tapaan arvosteli outoa ympäristöänsä joksikin alemmalla tasolla olevaksi. Mutta vähitellen hänen oli pakko vaihtaa käsityksensä toiseksi. Häntä ympäröivät ja hänelle huomaavaisuutta osoittavat olennot olivat vain ihan toisenlaisia kuin ihmiset. He olivat kehittyneet toisten edellytysten ilmapiirissä, vaelsivat toisia teitä — eikä siellä ollut mitään ehdotonta henkistä eroavaisuutta n.s. ihmisten ja eläinten välillä. Vähin erin hän oppi huonosti mutta kuitenkin auttavasti puhumaan tuon pienen tähden kieltä. Eräs sikäläisistä tietäjistä, joka asui valkoisen aurinkovuoren varjossa, otti hänet hoiviinsa, ja John Andersson tunsi — huolimatta melkoisen hyvistä ja terveistä maan asioihin kohdistuvista tiedoistaan — itsensä lopulta pienemmäksi, vähäpätöisemmäksi hengeksi kuin tämä dalai-laama, joka ohjaili luonnonvoimia suurten, mahtavien ja salaperäisten oppien mukaan.
- 64. Mutta tämä vanhatietäjä, joka näytti eläneen vuosisatoja ja oli kerännyt ympärilleen kokonaisen esikunnan viisaita miehiä, jotka kaikki asuivat tuon tasangosta kohoavan, valtaista majakkaa muistuttavan aurinkovuoren ympärillä, tämä vanhus ei nähtävästi arvioinut John Anderssonia miksikään erikoisuudeksi. Tutkittuaan kaikkia ruotsalaisen matkassa olleita pikkuesineitä ja pidettyään hänestä esitelmän toisille valkohapsisille, äijä määräsi hänet työmehiläisten luokkaan tuossa omituisessa maanalaisessa mehiläis- tai muurahaisyhteiskunnassa, joka tuntui aina elävän rauhassa itsensä ja ympäristönsä kanssa, ja lähetti hänet näiden luo asumaan. Se sopikin paraiten Anderssonille. Hänen kielitaitonsa riitti hädin tuskin yleisimpien ajatuskuvien ymmärtämiseen. Kun äijä rupesi tutkimaan hänen käsitystänsä korkeammista asioista, oli Anderssonin pakko antautua. Sillä olihan hän vain sivistymätön mies, joka ei milloinkaan ollut vaivannut päätänsä pilventakaisten asiain ajattelemisella. Ja olikin hänen horisontissaan laajuutta vain sen verran, että siitä hyvin lyhyessä ajassa saattoi muodostaa yleiskuvan. Hieman pettyneenä oli äijä lähettänyt hänet luotaan. Tämä tuskin oli se tarujen korkea olento — se järki, jota etsittiin maailman avaruudesta ja joka oli elänyt vuosituhansia jonkinlaisena aavistuksena jo kaukaisessa kaaoksessa. Ja kun Andersson oli pumpannut itseensä sen vähäisen kielitaidon, joka oli tarpeen kaikkein tavallisimpien asioiden ylimalkaiseen pohtimiseen, rupesi aika käymään hänelle pitkäksi. Ei kukaan vaatinut mitään häneltä, kaikki kohtelivat häntä huomaavaisesti, ei kylläkään minään korkeampana olentona, vaan harvinaisuutena, omituisena ilmestyksenä, hyödyttömänä, mutta mieltä kiinnittävänä tieteellisenä ylellisyysesineenä.
- 65. Andersson oli olluthyvä ja ahkera työmies, ja hän kaipasi työtä. Mutta tämä taivaankappale ei tarjonnut hänelle mitään sellaista, jota hän ymmärsi. Ei niin, ettei täällä olisi tehty mitään, ei toki, työtä tehtiin kyllä ja kovastikin. Maanalaisten kaupunkien asukkaat ahersivat tavattomasti. He kaivoivat kanavia, sekä ihmiset että eläimet, he ryömivät kääpiöinä aurinkovuoren sisään, he käyttivät koneita, joista Andersson ei ollut koskaan edes unta nähnyt, ja kaikki suoritettiin tavalla, joka teki ikäänkuin suoraviivaisen, itsetoimivan vaikutuksen, kuten yleensä koko tämä mahtava suorakulmainen yhteiskunta. Ihan sillä tavalla. Ja läpikotaisin onnellisia olivat kaikki — kerrassaan kaikki. Ne jotka suunnittelivat työn ja ne jotka sen tekivät, elivät samanlaisissa olosuhteissa. Eivät he koskaan riidelleet, eivät tyrkkineet toisiaan, eikä siellä ollut ketään pahansuopaa, lahjakasta Kainia, joka olisi saattanut tai tahtonut lyödä kuoliaaksi hyvän, mutta vähälahjaisen Aapelin. Tämä antoi Anderssonille yhtä ja toista ajateltavaa. Hän oli aikoinaan ollut vankka sosialisti. Eikä häneltä ollut puuttunut erinomaisia lahjoja silloin, kun oli pitänyt haukkua toisiin leireihin kuuluvia. Hän oli pohjaltaan sangen tuima mies, osasi käyttää sekä käsiä että hampaita — mitä milloinkin tarvittiin. Mutta nyt — niin, nyt hän kauhistuen ajatteli kaikkea tätä. Mikä peeveli se pani ihmiset tappelemaan? Häneen oli iskenyt sellainen lempeys ja rauhallisuus jota hän ei itsekään ymmärtänyt. Ei mikään suututtanut häntä enää. Jos hän olisi ollut lukeneempi, niin hän olisi syyttänyt tuota ainaista heinäpuuroa, joka oli tämän avaruuden saarekkeen jokapäiväinen ruoka, kaikesta nykyisestä levollisuudestaan ja
- 66. mielensä tasapainosta. Silläravintojärjestys tekee ihmeitä, kuten tiedetään. Sehän se luo sekä leijonan että lampaan… No niin — Andersson mietti ja haaveili koko tuon yön. Ikäänkuin hänen nahassaan olisi hiiviskellyt jokin aavistus. Hän heittelehti edestakaisin riippumatontapaisessaan ja joka kerta, kun hän sulki silmänsä, oli kuin maa olisi tullut lentäen häntä vastaan. Niin — nyt täytyi tapahtua jotakin. Päivän sarastaessa tapahtuikin todella jotakin. Maanalaisen kaupungin valot syttyivät puolta tuntia aikaisemmin kuin tavallisesti. Ja aurinkovuoren äijä, jonka iho oli kuin harmaansinipunainen varjo, seisoi Anderssonin vuoteen vieressä. Ja silmät kiiluivat kuin hehkulamput hänen leveässä voimakkaassa eläinkallossaan. "Khrein khli", virkahti hän. Se kai merkitsi jotakin sentapaista kuin: seuraa minua! Sillä Andersson vääntäytyi alas riippumatosta ja ravasi, minkä käpälistään irti sai vanhuksen perään, jonka käynti oli nopea kuin varjon. Kun he olivat päässeet ylösjohtavien portaiden yläpäähän, oli aurinko juuri nousemassa. Valtainen tulipallo sokaisi Anderssonin silmät. Mutta hän oli nähnyt parin sadan metrin päässä jotakin, joka melkein salpasi häneltä hengen. Se oli lentokone.
- 67. XVI. OUTOJA VIERAITA. Anderssonin kiitokseksion mainittava, ettei hän kotvaan uskonut omia silmiään. Kun on totuttautunut neliöihin ja kanaviin aamuin, päivin ja illoin kokonaisen vuoden ajan, niin on oikeus arvella näköhäiriöksi uudenaikaista lentokonetta, jonka malli on selvästi maasta kotoisin. Mutta suotta hän hieroi silmiään: lentokone seisoi siinä sienimäisellä nurmikolla, muistuttaen jättiläisalbatrossia, ja esiintyi hyvin edukseen, valkoisena ja kiiltävänä, koko häikäisevä auringonloiste yllään. Pikku äijä kohotti ryppyiset kasvonsa John Andessonia kohti, joka tällä haavaa näytti hämmästyneemmältä kuin sanoilla voidaan kuvata. "Trkhi, khitl, klokh?" kysyi hän hiukan terävämmin kuin äsken. "Lentokone", vastasi Andersson ajatuksissaan ruotsiksi… "Jumalauta, eikö se vain olekin oikea eurooppalainen yksitaso!" Ukko katsoi häneen ystävällisesti, ihan samoin kuin hän luultavasti olisi katsonut hulluun mieheen, joka kaipasi rauhoittamista.
- 68. "Tla pliskl?" kysyihän taas. Andersson aikoi vastata, mutta hänen kielensä kieltäytyi tottelemasta. Nuo vaaralliset kerakkeet takertuivat auttamattomasti hänen huuliinsa. Hän laukaisi joitakin ihmeellisiä murahduksia ja alkoi sitten juosta hirviötä kohti… Mutta vaikka hän pani liikkeelle parhaan juoksutaitonsa, ei vanha herra väistynyt hänen sivultaan, huolimatta siitä että tämä vain näytti kävelevän! He tulivat siis perille yhtaikaa. Aurinko oli jo kohonnut kappaleen matkaa taivaanrannasta. Heikko maan uumenista kuuluva jyminä todisti, että maanalaisissa tehtaissa oli työ alkanut, mutta ainoatakaan olentoa ei ilmestynyt näkyviin. Kanavat, jotka olivat olleet ehdottoman liikkumattomia, rupesivat virtailemaan ja kuohumaan, ja etäisiä, vihreitä välähdyksiä, aivan kuin jonkin majakan heittämiä, näkyi aurinkotunturin kalkinkeltaisillla neliöpaasilla. Oli tukahduttavan lämmintä, mutta kumpaakaan heistä se ei tuntunut vaivaavan. Pikku äijän kostea hipiä oli saanut heikosti vihertävän värisävyn, kun hän erikoisesti ponnistelematta kapusi siiville. Hän näytti jättiläis-sisiliskolta istuessaan siellä ylhäällä ja tirkistellessään hyttiin tämän kapeista lasiruuduista, jotka muistuttivat kahta tylsää kalansilmää. Pyrki ihan naurattamaan kun näki, kuinka äijän hipiän vihreä väistyi tummanruskean vivahduksen tieltä, samalla kun hänen tyynestä katseestaan kuvastui jotakin pelontapaista. Seuraavassa tuokiossa oli John Andersson hänen vieressään. Hän tarttui kädellään pienen oven kahvaan. Se oli melkein juuttunut
- 69. kiinni, mutta ruotsalaisenlihaksissa oli rautaa ja parin voimakkaan tempaisun perästä se lensi auki. "Täällähän on oikeita ihmisiä", kirkui hän ja tanssi ympäri kuin hullu. Mutta hänen mieletön ilonsa katosi nopeasti, kun hän sai nähdä lentokoneen matkustajat lähempää. Sillä kahdella etumaisella istuimelle istui aivan oikein mies ja nainen. He olivat köytetyt kiinni istuimiinsa, eikä heidän asentonsa kertonut mitään erikoista. Naisen pää nojasi luottavasti miehen olkaan. Näytti siltä kuin hän olisi nukkunut ja nähnyt kauniita, hyviä unia. Miehen kädet olivat kiinni ohjauspyörässä ja hänen kasvonsa olivat suunnatut suoraan kohti hänen edessään olevaa lasiluukkua. Mutta John Andersson näki samalla että molemmat olivat kauheasti laihtuneet ja että heidän kalmankalpeissa kasvoissaan näkyi pitkällisen nälän merkkejä. Eivätkä he kääntäneet katsettaan eivätkä osoittaneet muutakaan elonmerkkiä. Nuori ruotsalainen väänteli käsiään. Olikohan toivo saada seuraa hänet nyt pettävä… Hän ei tosiaankaan tiennyt mitä tekisi kahdella vainajalla! Epätoivoissaan hän katsahti äijään ja kohtasi tämän rauhalliset ja kirkkaat silmät. Oli ihan erikoinen itsetietoinen rauhallisuus tuon vanhan ryppyisen olennon eleissä. Ja se sai Anderssoninkin malttamaan mielensä. Hukkaamatta aikaa pitempiin puheisiin äijä ryhtyi kantamaan noita onnettomia ihmisiä ulos lentokoneesta. Tehtävä oli vaikeanpuoleinen. Sillä mies ja nainen olivat ikäänkuin kiinnikasvaneet istuimiinsa, eikä ollut helppo saada heitä erilleen toisistaan, koska nuoren tytön hienot valkoiset käsivarret olivat kietoutuneet miehen ympärille melkein purkamattomaksi syleilyksi. Mutta Andersson oli kärsivällinen ja aurinkovuoren vanha tietäjä antoi hänelle monta hyvää ja hyödyllistä neuvoa kauhealla
- 70. siansaksallansa. Viimein hänenonnistui varovasti saada nuo näköjään hengettömät ihmiset ylös siivelle, missä pikkuäijä kietaisi ihmeelliset eturaajansa niiden ympärille ja kantoi ne alas nurmelle, käyttäen tällöin nopeutta ja kätevyyttä, jotka todistivat sekä voimia että harjaannusta. Sitten vanhus kumartui alas niiden yli. Lääkärin varovaisuudella hän tunnusteli heidän hipiäänsä, ja kohotti heidän silmäluomiaan. John Andersson seurasi tarkkaavasti äijän hommailua ja huomasi ilokseen, että tämän iho muuttui heikosti sinertäväksi. Vanhus otti nyt esiin pienen nelisärmäisen metallisauvan jostakin ruohopukunsa poimusta ja hieroi sillä vuorotellen molempien otsia omituisin, rytmillisin liikkein. "Tla pliskl", sanoi hän ja kääntyi Anderssoniin päin. Nuori mies teki ilmahypyn, niin että rääsyt lentelivät hänen ympärillään. "Mitä sinä sanot?" kysyi hän ruotsiksi, muistamatta, että maapallon kielitiede oli vielä tuolle vanhalle tietäjälle silkkaa hepreaa… "Elävätkö he?… Ja tointuvatko he pian?"… Hän päästeli ilmoille riemuhuutoja, niin että laaja tasanko kajahteli. "Tlopl, tilitl, tliml", torui ukko häntä. "Stal, slimtl, sloli", lisäsi vanhus käskevästi ja jatkoi sauvahierontaansa. John Anderssonille ei tarvinnut sanoa tätä kahdesti. Hän juoksi kuin antilooppi takaisin samaa tietä, jota he olivat tulleet, syöksyi
- 71. alas portaita maanalaiseenkaupunkiin, jossa nyt kuhisi ja vilisi työskenteleviä olentoja. Perille päästyään hän huusi: "Tlo pi lopl!" Nuori tyttö oli seuraavassa tuokiossa hänen vieressään. Tytön hipiä sai ensin vaaleanpunaisen värin, ja muuttui sitten vihertäväksi. Mutta hän ei osoittanut uteliaisuuttansa muulla tavoin, vaan ojensi Andersonille sen nelisärmäisen ruukun, jota tämä oli pyytänyt. Enemmittä selityksittä Andersson riensi takaisin, kuin marathon- juoksija. Äijä kyyrötti samassa asennossa yhä edelleen. Hänen hipiänsä oli nyt syvästi merensininen ja eroittui merkillisesti hänen komean, melkein vihreän pukunsa väristä. Andersson ojensi hänelle hänen pyytämänsä ruukun ja vilkaisi noihin kahteen ihmiseen, joka makasivat siinä vierekkäin sienimäisen ruohon suojellessa heitä auringonsäteiltä. Ei kuuna päivänä ennen hän ollut nähnyt mitään niin kaunista kuin oli tämä nuori nainen kalpeakultaisine hipiöineen ja pitkine silmäripsineen, jotka juuri heikosti liikahtivat ikäänkuin lausuakseen ensitervehdyksen auringolle ja elämälle. Ja tuo mies tuossa kovine ja selvästi eroittuvine kasvonpiirteineen ja syvine silmäkuoppineen oli aivan sitä tyyppiä, josta John Andersson piti. Tuon kanssa en tahtoisi tapella, ajatteli hän ja katseli voimakkaan täyteläistä vartaloa, jonka jokainen tuuma, jokainen lihas puhui henkisestä ja ruumiillisesta keskityksestä. Hän ei saanut aikaa enempään ajattelemiseen. Sillä mies oli aukaissut silmänsä ja kohonnut toisen kyynärpäänsä varaan. Siinäpä hemmetin kauniit silmät, ajatteli Andersson ja nyökkäsi ystävällisesti miehelle.
- 72. Mutta mies eiollut huomaavinaankaan. Hän etsi kadonnutta muistiaan. Sitten hän yhtäkkiä kääntyi ja näki vieressään olevan naisen. Samassa tämäkin avasi silmänsä. Molemmat katselivat toisiaan muutamia sekunteja. Oli kuin heidän katseensa olisivat uponneet toistensa sisään saaden sanomattoman onnellisen ilmeen. Silloin äijä nosti maasta ruukun ja sanoi käskevästi: "Stlulp!" Ja oli kuin nuo kaksi olisivat ymmärtäneet sanan, sillä molemmat veivät huulensa ruukun laitaan ja joivat — niin, joivat itselleen elämän.
- 73. XVII. KAKSI VELJESTÄ. Mahtoi ollaihan erikoista elämänjuomaa se, jota aurinkovuoren äijä juotti noille kahdelle oudolle vieraalle. Kumminkaan se ei ollut muuta kuin sitä kasviskeittoa, josta koko tämän taivaankappaleen väestö eli. Joku maapallon tietomies on joskus viittaillut siihen mahdollisuuteen, että tulevaisuudessa ihmisille ehkä syötetään keskitettyä ravintoa, joka sisältää sopivat määrät kaikkia niitä aineita, joita elimistö tarvitsee. Toisin sanoen, että joka päivä jaetaan jokaiselle muutamia kuutioita, jotka sisältävät rasvaa, hiilihydraatteja ja munanvalkuaista ne määrät, jotka fysiologia katsoo riittäviksi tekemään itsekustakin kelpo ihmisen. Näin muka luotaisiin pitkäikäinen sukukunta — iloksi askeeteille, kieltolakimiehille, huonovatsaisille ja vanhainkodeille. Mutta käänneltäköön asiata päin tai toisin, yksi on varma: sille paheelliselle ja oikkuilevalle suvulle, jota nimitetään ihmiseksi, antaa yksilöllisen leiman juuri se seikka, etteivät suvun jäsenet — luultavasti päinvastoin kuin toisten taivaankappalten asukkaat — elä
- 74. pelkästään kasvikeitosta eivätkäkuutioista. Täytyy valitettavasti tunnustaa, että paljo liha tekee ihmiset tulisiksi mutta pahanilkisiksi, paljo rasva edistää tylsyyttä ja laiskuutta, vihannekset synnyttävät kuivakiskoisuutta ja kateutta, ja suuret makeisannokset tekevät syöjistään lihavia, välinpitämättömiä ja sukupuolettomia. Kahvi panee juoruamaan, vesi on sopimatonta järjelle — mitähän me oikeastaan saisimme syödä ja mitä juoda? Niin — ainakin pieniä hurmaavia alkoholimääriä ja herkullisia… ei, lopettakaamme haaveilumme tähän, ja tyytykäämme kohtaloomme, vaikka surren ja haikein mielin, sekä jatkakaamme siitä mihin lopetimme, tuon meille tuntemattoman taivaankappaleen ihmeellisestä kasviskeitosta. Nuo kaksi ihmistä näyttivät saavan aavistamattomia voimia. Mies nousi jaloilleen melkein heti, mutta hän horjui sinne tänne. Hän aukaisi suunsa, mutta ilmoille tuli vain syvä murahdus kurkusta, joka tuntui nälän ja janon kokoonkuristamalta. Sitten hän kohotti kätensä ja viittasi lentokoneeseen. Siihen hänen voimansa toistaiseksi loppuivatkin, hänen polvensa pettivät ja heikosti huohottaen hän vaipui maahan nuoren naisen viereen, joka nyt oli ummistanut silmänsä ja onnellinen hymy huulillaan odotti suonissaan virtailevan uuden lämmön aikaansaamaa voimiensa palautumista. John Andersson jäi neuvotonna seisomaan — kykenemättä suutansa avaamaan. Tämä ihmeellinen ja odottamaton tapaus oli lukinnut hänen huulensa. Ja mitä tarkoitti tuo mies, jolla oli nuo syvät mustat silmät?… Hän noudatti kuitenkin viittausta ja meni lentokoneen luo. Se näytti olevan ihan vahingoittumaton, lukuunottamatta toista etupyörää, joka oli hieman vioittunut maahan
- 75. laskeuduttaessa, ja siipiä,joissa näkyi muutamia isojen kuulien tekemiä arpia. Andersson tutki tavallaan jännittyneenä bensiinisäiliötä, joka ulottui hyvin toisesta päästä toiseen ja oli tavattoman tilava. Pettymyksekseen hän totesi sen sisältävän ainoastaan noin viisikymmentä litraa. Ainakaan tällä koneella hän ei voinut ajatellakaan paluumatkaa maahan. Bensiinin valmistaminen sikäläisellä kiertotähdellä oli nimittäin hänen mielestään mahdottomuus. Hän aikoi taas palata vieraiden luo, mutta tulisilmäinen mies viittasi uudestaan ja tällä kertaa hyvin innokkaasti lentokoneeseen. Andersson meni hermostuneen vieraan mieliksi jälleen yksitason luo ja alkoi tarkastaa sitä perinpohjin. Tällöin hän tuli heittäneeksi silmäyksen hyttiinkin ja sai nähdä näyn, joka pani hänet kovasti ihmettelemään. Siellähän makasi eräs vanhahko mustapukuinen mies, käpristyneenä yhteen kasaan, ihan hytin perällä. Andersson tarrasi kiinni hänen toiseen jalkaansa ja monen vaikean tempun jälkeen hänen onnistui saada päivän valoon pappispukuinen herrasmies, jonka naama kukoisti alkoholipaheen vaikutuksesta. Hän ei ollut yhtä kärsineen näköinen kuin nuo toiset, mikä tietysti on katsottava alkoholin säilyttävän vaikutuksen aikaansaannokseksi. Mutta loistava ei hänen tilansa ollut. Olipa nipin napin, että hän pysyi tajussaan. Hän ei kyennyt itse auttamaan itseään, ja hänen silmissään oli rukous, jota Andersson ei aluksi ollenkaan ymmärtänyt. Tällä välin oli tietäjä-ukko liittynyt seuraan ja uusi hoidokki sai liemiannoksensa, jolla häneenkin oli hyvin elvyttävä vaikutus. Mutta
- 76. hänen kätensä tutisivat,hänen silmistään vuoti vettä, ja hän lipoi vimmatusti paksulla kielellään kuivia huuliansa. "Konjak", kuiskasi mies äänellä, joka särisi kuin tyhjä pullo raastinraudan päällä. Andersson ei ymmärtänyt ranskaa. Mutta "konjak" on kauneimpia kansainvälisiä sanoja, mitä tavataan. Ja sanalla oli hyvä kaiku, myöskin ruotsalaisen korvissa. "Täällä ei ole konjakkia", sanoi Andersson. "En ole nähnyt ryyppyä kahteentoista kuukauteen". Mutta punanenäinen pappismies ei hellittänyt niin vähällä. "Konjakkia", kuiskasi hän käheästi. "Pikku tuikku, monsieur!" Mutta Andersson vain ravisteli päätään. Silloin ruohossa makaava mies käänsi harhailevat silmänsä äijään. Sitä hänen ei olisi pitänyt tehdä. Ensin niihin tuli ihmettelevä — tutkiva ilme, joka sitten muuttui ajattelevaksi — sisäänkääntyneeksi, vaihtuen lopulta huolekkaaksi ja viimein pelästyneeksi. Andersson oli juopottelun alalta nähnyt yhtä ja toista. Ei kuulu harvinaisuuksiin, että varakkaanpuoleisissa työläispiireissä mies saa odottamatta juoppohulluuskohtauksen. Ja nyt — tuo mustapukuinen oli ilmeisesti matkalla kamalien näkyjen maahan. Hän ei ollut kestänyt pitkällistä ryypyttömyyttä. Ja mitä hirveätä hän nyt näkikään?… Kummallisen olennon, puoleksi ihmisen, puoleksi sammakon, jolla oli pitkät käpälämäiset käsivarret ja karvapeitteiset kynnet!… Tätä nykyähän juoppohullut tavallisimmin näkevät kärpäsiä. Monien kieltolakien vaikutuksesta on
- 77. nimittäin tämä hulluudenlaji vaihtanut luonnetta. Mutta siitä ei ole vielä kauan, kun eräs arvoisa kansalainen saadessaan delirium tremensin näki Upsalan arkkipiispan täydessä juhlapuvussaan. Ja siitä oli leikki kaukana. Eikä mahtanut aikalaisista tuntua mieltäylentävältä sekään kohtaus, jonka aikana sama mies näki entisen valtioneuvoksen Abrahamsenin kohoavan ylös whiskymaljasta, kolme varoittavaa karvaa nenällä. On muutenkin ylimalkaan hieman hullulla tolalla koko tämä delirium, se kun ei hyökkää rehellisen juomarin kimppuun silloin kun tämä juo, vaan silloin kun hän on raittiina. Ei näin ollen ihmetyttäne ketään se seikka, että tämän pappispukuisen ranskalaisen syvä alkoholismi sai noin vaikean luonteen, hänen nähdessään tuon eriskummallisen otuksen puurovati kädessä. Hän ummisti silmänsä, hän väänteli itseään, hän ulvoi ja vaahto pursui hänen suupielistään. Mitä sitten tapahtui? Niin, kummittelijalta näyttävä äijä kumartui kirkuvan miehen yli. Hänen silmissään oli hellä säälivä ilme, ja hänen hipiänsä oli saanut toivorikkaan ruskean värisävyn. Hänellä oli tuo aluminin tapainen sauva sormien välissä ja hän alkoi hieroa sillä miehen ohimoita tasaisin ja varmoin liikkein. Vanhus taisi kyllä enemmän kuin "isämeitänsä" — jota hän muuten tuskin ymmärsikään. Mutta joka tapauksessa pappispukuinen herrasmies kohosi muutaman minuutin kuluttua jaloilleen, katseessa rauhallinen ilme. Hän aikoi sanoa jotakin, mutta hänen kävi niin kuin toistenkin tulokkaiden — hänen oli vaikea löytää sanoja. Samassa seisoi keskellä ryhmää se mies, jota Andersson oli ensin hoitanut. Hän oli kalmankalpea, mutta leveähköjen kasvojen
- 78. jättiläistarmo esiintyi sitäselvempänä. Hän kääntyi suoraa päätä puhuttelemaan John Anderssonia, luotuaan tutkivan katseen omituiseen maisemaan. "Me emme luultavasti ole maapallolla?" kysyi hän englanniksi. "Emme", vastasi Andersson. "Missä olemme?" "En tiedä." "Ette puhu hyvää englantia. Mihin kansallisuuteen kuulutte?" "Ruotsalaiseen. Nimeni on John Andersson". "Merkillistä. Minä olen norjalainen. Nimeni on John Lange."
- 79. XVIII. VAKAVIA VALMISTELUJA. "Nähkääs", sanoiJohn Langeksi itseään nimittävä mies Anderssonille, "me emme ole naimisissa." Andersson rykäisi paheksuvasti. Hän oli hyvistä tavoista kiinni pitävä mies. "Me olimme juuri vihityttämässä itseämme", jatkoi toinen rauhallisesti. "Pappi oli tilattu paikalle, mutta sitten tuli jotakin väliin. Me lähdimme karkuun." "Karkuun? — Oliko se välttämätöntä?"… Anderssonin siveelliset epäilykset valveutuivat yhä enemmän. "Oli", vastasi toinen kylmäverisesti. "Se oli ihan välttämätöntä, jotta Claire ja minä pääsisimme naimisiin." "Claire?"
- 80. "Niin, Claire Debusson.Hän on erään ranskalaisen kemistin ja tehtailijan ainoa tytär. Me tutustuimme sodassa. Minä olin lentäjänä muukalaislegioonassa, hän oli sairaanhoitajatar — te ymmärrätte?" Andersson ymmärsi todella ja hänen silmiinsä tuli kaihoisa ilme. Hän ajatteli taalalaistyttöänsä. "Sitten menetin palveluskykyni", jatkoi Lange. "Myrkkykaasut. Tulin sokeaksi. Hän pelasti henkeni." "Ihastuttava neiti", mutisi Andersson miettiväisenä. "Mutta minä en pidä siitä, että teitä ei ole vihitty. Ja täällä lienee sitä vaikea saada toimeen. Eihän täällä ole kirkkoa eikä raatihuonetta." Lange katsahti kummastellen häneen. "Tepä olette turkasen moraalinen, vaikka asutte näin kaukana maasta", sanoi hän. "Mutta voitte rauhoittua. Ettekö vielä ole käsittänyt, että meillä on pappi matkassamme? Hän ei ole juuri niitä hienoimpia, mutta hänellä on taskussa vihkimäkaava sekä paperia. Onko teillä mitään todistajana olemista vastaan?" Andersson suoristihe ja kumarsi sangen sirosti. Hän ei suotta ollut ruotsalainen. "Se on oleva iloni", sanoi hän. "Mutta saatte tyytyä minuun sen näköisenä kuin olen. Musta pukuni homehtuu Falunissa." "Ah, minusta tuo puku on säilynyt oikein hyvin. Ruotsin armeijan khaki mahtaa olla lujaa. Kaksitoistako kuukautta sanoitte?" "Niille paikoin. Enhän tiedä ovatko täkäläiset päivät maan päivien pituisia. Totta puhuakseni ne tuntuvat minusta hiton paljoa
- 81. pitemmiltä. Mutta siihenhänvoi olla muitakin syitä. Onko teillä kello?" "Luonnollisesti." "No, silloinhan voimme heti tutkia asiaa. Aurinko on laskenut 367 kertaa minun täällä ollessani. Ja siitähän pitäisi tulla suunnilleen vuosi." "Minusta tuntuu täällä olevan hyvin lämmin", mutisi Lange. "Lämminkö?… Pinnalla on suorastaan niin kuin helvetissä. Te ette voisi kestää sitä enempää kuin puoli tuntia kerrallaan. Sen vuoksi täällä harvoin näkee eläviä olentoja, jotka tavallisesti pysyttelevät muutamia metrejä pinnan alla." "Entä vuodenajat?" "Sellaisia ei ole lainkaan. Täällä on aina samannäköistä. Ei kukkaa, ei kunnon puuta. Ainoastaan tätä sienimäistä ruohoa, joka näyttää uusiutuvan itsestään. En ole milloinkaan nähnyt sen kellastuvan. Luulen, että aurinko syö kaiken lakastuneen. Mutta kun en ole tiedemies, en osaa sanoa, miten sen asian laita on. Täällä ei ylimalkaan ole mitään silmäruokaa. Maisemamaalari ei viihtyisi täällä. Mutta rientäkäämme alas, muuten me sulamme tässä kuumuudessa. Ja sitten onhan meidän jouduttava häihinkin!" John Lange suoristautui äkkiä. Nuo kovat, terävä- ja melkein karkeapiirteiset kasvot saivat omituisen hohteen ja kullanruskea puna lehahti ahavoituneelle hipiälle. Hän aikoi sanoa jotakin, mutta sanat takertuivat hänen kurkkuunsa. Sitten hän teki kärsimättömän
- 82. Welcome to ourwebsite – the ideal destination for book lovers and knowledge seekers. With a mission to inspire endlessly, we offer a vast collection of books, ranging from classic literary works to specialized publications, self-development books, and children's literature. Each book is a new journey of discovery, expanding knowledge and enriching the soul of the reade Our website is not just a platform for buying books, but a bridge connecting readers to the timeless values of culture and wisdom. With an elegant, user-friendly interface and an intelligent search system, we are committed to providing a quick and convenient shopping experience. Additionally, our special promotions and home delivery services ensure that you save time and fully enjoy the joy of reading. Let us accompany you on the journey of exploring knowledge and personal growth! ebooknice.com