1. 競技プログラミング講義
#4 「動的計画法」

2. 動的計画法
●
別名（通称） DP
●
頻出の技法
●
●
予選の 4 番に必ずといっていいほどよく出
る
これがマスターできれば一人前

3. 復習ー全探索（再掲）
●
●
「再帰関数」なるものを使って「状態の遷
移」というものを考える方法のこと
例題として「ナップサック問題」というの
があった

4. ナップサック問題（再掲）
●
重さ W[i] と価値 V[i] が決まっている N 個の品物
がある。重さの総和が S を超えないように品物
を選んだときの、それらの品物の価値の総和の最
大値を求めよ。
1≦N≦20
1≦W[i],V[i]≦1,000,000
1≦S≦1,000,000
●
重さを値段、価値を美味しさにすると予算内で最

5. 状態 (0,300)
150 円 200 円
100P
250P
100 円
50P

6. 状態 (0,300)
150 円 200 円
100P
250P
100 円
50P

7. 1 本目を選んだ→状態 (1,150)
150 円 200 円
100P
250P
100 円
50P

8. 2 本目を選ばなかった→状態 (2,150)
150 円 200 円
100P
250P
100 円
50P

9. 3 本目を選んだ→状態 (3,50)→ 終了
150 円 200 円
100P
250P
100 円
50P

10. 3 本目を選んだ→状態 (3,50)→ 終了
150 円 200 円
100P
250P
100 円
50P

11. 初期状態 0
0,300 P

12. 初期状態 0P
0,300
選んだ
1,150
100
P
1 本目
選ばなかった
1,300
0P

13. 初期状態 0P
0,300
選んだ
1,150
選んだ
2,-50
350
P
100
P
選ばなかった
100
2,150 P
2 本目
選ばなかった
1,300
選んだ
250
2,100 P
0P
選ばなかった
1,300
0P

14. 初期状態 0P
0,300
1,150
選んだ
100P
選ばなかった
1,300
選んだ
選ばなかった
100P
350P
2,150
2,-50
選んだ 選ばなかった
3,50
150
P
100
3,150 P
3 本目
0P
選んだ
選ばなかった
250P
0P
1,300
2,100
選んだ 選ばなかった
300
3,0 P
選んだ
250
3,100P
選ばなかった
50P
3,50
0P
3,150

15. データの再利用
●
(3,150) という状態が二回現れている
●
同じ状態からは同じ状態遷移しかしない
→ それぞれの状態から遷移して得られるポ
イントの最大値はその状態によって一意に
決まる
●
これを利用すれば計算量を抑えることがで
きる

16. 逆に
●
それぞれの状態まで遷移してきた時のポイ
ントの最大値はその状態によって一意に決
まる
●
これを再利用しても計算量を抑えられる
●
→ これが動的計画法
●
（色んな場合をまとめて考えている）

17. 動的計画法の利点
●
●
計算量：それぞれの状態に対して最大一回
しか計算を行うことはないのでそれぞれの
状態に対する計算の量を P 、状態数を C
とすると O(CP)
動的計画法では再帰関数を使わなくても配
列を使うことで実現することができる

18. DP するために
●
初期状態
●
状態遷移
を考える

19. ナップサックでの例
●
●
状態は選択し終わった本数を i, 残りのお金
を M とすると (i,M)
これを二次元配列 DP[i][M] で表すことがで
きる

20. 初期状態
●
●
(0,S) ･･･まだ一本も選んでおらず、使える
残りの重さが S
DP[0][S]=0
( まだ一本も選んでいないので手に入れた
ポイントも 0)

21. 状態遷移
●
状態の遷移：
次を選ぶ場合…
DP[i+1][M+W[i]]=max( 〃 ,DP[i][M]+V[i]);
次を選ばない場合…
DP[i+1][M]=max( 〃 ,DP[i][M]);

22. DP の流れ
●
これを i の小さい方から更新していく
●
最終的な答えは
max(DP[n][k]) (k=0...S) が答え

23. コード例

24. 注意点
●
これでうまくいったのは、 i+1 本目を見て
いるとき、 DP[i][k] がすでに確定している
（その後に更新されることはない）から
＝ i が更新ごとに単調に増加しているから
●
●
後の結果が前の結果に影響するような場合
には DP を使うのは難しい
選ぶ順番によって結果が変わらないような
場合は前から見ていくことで適用できる

25. DP のコツ
●
更新していく順番を決めることができる
→DP が使える
●
状態を決める
●
初期状態を考える
●
状態遷移を考える
●
計算量は大丈夫か？
→ 実装

26. お分かりいただけただろうか…

27. 説明だけでは分かりにくい
と思うので
●
実装しましょう
●
まずは典型問題から

28. 〜実装タイム〜
NPCA Judge 「何通り？」

29. ヒント
●
更新していく順番は？
→ 左や下にいくことはない

30. ヒント
●
更新していく順番は？
→ 左や下にいくことはない
→ 左の下から右の上に更新していくことが
できる（右・上はどちらでもよい）
●
状態は？

31. ヒント
●
更新していく順番は？
→ 左や下にいくことはない
→ 左の下から右の上に更新していくことが
できる（右・上はどちらでもよい）
●
状態は？
→(i,j) 下から i 列目左から j 行目のマスに行
く場合の数

32. ヒント
●
初期状態は？

33. ヒント
●
初期状態は？
→ 最初は (0,0) にいるので dp[0][0]=1

34. ヒント
●
初期状態は？
→ 最初は (0,0) にいるので dp[0][0]=1
●
状態遷移は？

35. ヒント
●
初期状態は？
→ 最初は (0,0) にいるので dp[0][0]=1
●
状態遷移は？
→ dp[i+1][j]+=dp[i][j]
dp[i][j+1]+=dp[i][j]

36. ヒント
●
初期状態は？
→ 最初は (0,0) にいるので dp[0][0]=1
●
状態遷移は？
→ dp[i+1][j]+=dp[i][j]
●
計算量は？
dp[i][j+1]+=dp[i][j]

37. ヒント
●
初期状態は？
→ 最初は (0,0) にいるので dp[0][0]=1
●
状態遷移は？
→ dp[i+1][j]+=dp[i][j]
●
計算量は？
→O(W*H*2) = O(WH)
dp[i][j+1]+=dp[i][j]

38. 解法
●
dp[0][0]=1
●
i を 1~W,j を 1~H でループさせて
dp[i][j]=dp[i+1][j]
dp[i][j+1]=dp[i][j]
としながら更新していく
●
答えは dp[W-1][H-1]

39. 〜実装タイム〜
NPCA Judge 「部分和問題」

40. ヒント
●
更新していく順番は？
→ 和に順番は関係ないので、前から見て行
ってよい

41. ヒント
●
更新していく順番は？
→ 和に順番は関係ないので、前から見て行
ってよい
●
状態は？

42. ヒント
●
更新していく順番は？
→ 和に順番は関係ないので、前から見て行
ってよい
●
状態は？
→ (i,j) i 個選び終わったときに和を j にでき
るかどうか
→ 数は全て正なので和は 10000 までとっ
ておけばよい

43. ヒント
●
初期状態は？

44. ヒント
●
初期状態は？
→ 最初は 0 個見終わっていて、和が 0
→ dp[0][0]=True

45. ヒント
●
初期状態は？
→ 最初は 0 個見終わっていて、和が 0
→ dp[0][0]=True
●
状態遷移は？
dp[i+1][s+a[i]]=dp[i][s]
dp[i+1][s]=dp[i][s]

46. ヒント
●
初期状態は？
→ 最初は 0 個見終わっていて、和が 0
→ dp[0][0]=True
●
状態遷移は？
dp[i+1][s+a[i]]=dp[i][s]
dp[i+1][s]=dp[i][s]
●
計算量は？

47. ヒント
●
初期状態は？
→ 最初は 0 個見終わっていて、和が 0
→ dp[0][0]=True
●
状態遷移は？
dp[i+1][s+a[i]]=dp[i][s]
dp[i+1][s]=dp[i][s]
●
計算量は？ → O(N*S*2) = O(NS)

48. 〜実装タイム〜
AOJ0557 「 1 年生」

49. ヒント
●
大体ナップサック

50. dp マスターへの道のり
・どんな状態を考えるか
・状態遷移はどうなるか
を考えるのが難しい
●
●
●
慣れも必要
これをある程度マスターすれば予選通過は
かなり見えてくる
問題を解いて慣れましょう

51. 練習問題
●
メーリングリスト参照