1. PREDMET:KOMJUTERSKA GRAFIKA I DIZAJN
TEMA:ZLATNI PRESJEK
Student:Siniša Stanković Mentor:Doc.dr Nedim Smailović
Broj indeksa: 17-10/RPI
2. Priroda je jedinstveno čudo. Sve što nas okružuje, kao i ono što je
postojalo u najdavnijoj prošlosti, proisteklo je iz prvobitnog haosa
prisutnog u trenucima nastanka Svemira pre 13,7 milijardi godina
Zlatni presjek se javlja kao proporcija rastućih oblika u prirodi i
vijekovima je privlačio pažnju matematičara i umjetnika.
Odavno se zna da je princip zlatnog presjeka duboko ukorjenjen u
osnovi prirodnih procesa, da se pojavljuje u mnogim oblicima
organske prirode, kako biljnog tako i životinjskog sveta, i da se
pokazuje kao princip organskog rasta
3. Osnovni zadatak teorije proporcija sadržan je u stvaranju
vizuelnog rada i ravnoteže.
Čovek je, da bi zadovoljio svoje potrebe izrađivao, od
davnina, proizvode i predmete koji, osim funkcije i namene,
moraju biti u određenoj razmeri, pre svega u odnosu na njega
kao njihovog korisnika.
Tako je tijelo čoveka, kao i njegovi dijelovi, postalo osnova za
dimenzionisanje prostora, namještaja i upotrebnih predmeta.
Bitne proporcije uočene su na glavi čoveka,širina i visina i
odnos pojedinih detalja glave i lica među sobom. Tako je
sredina glave, po visini, određena horizontalnom linijom koja
prolazi po sredini očiju, a slično je analizirano i sa ostalim
detaljima.
4. Zatim je niz umjetnika utvrđivao koliko puta se glava čoveka
sadrži u visini njegovog tijela. K.Belanže je visinu tijela
podijelio na osam dijelova (glava). Poliklet je podijelio tijelo
na sedam dijelova, Lisip na osam, istovetno i Mikelanđelo, a
Vitruvije i Leonardo da Vinči na sedam. Kod starih Egipćana
zabilježena je podijela na devetnaest dijelova, čije su dužine
odgovarale dužini srednjih prstiju.
Proporcije širine tela postavio je Vitruvije pokazujući da se
oko njega može opisati krug čiji se centar nalazi u pupku, pod
uslovom da telo leži sa raširenim rukama i nogama.
Znači primjena zlatnog presjeka je sveprisutna od
umjetnosti,arhitekture do svih pora svakodnevnog života.
5. Zlatni presjek bio je osnova grčkih antropomorfnih proporcija u
arhitekturi.
Platon je pisao : " Da se dvije stvari na lijep način sjedine bez nečeg
trećeg. Između njih mora nastati veza koja ih sjedinjuje. To se može
najbolje izvršiti proporcijom. Ako se od bilo koja tri broja, srednji
odnosi prema najmanjem kao najveći prema srednjem, i obrnuto,
najmanji prema srednjem kao srednji prema najvećem, onda će
posljednje i prvo biti srednje, a srednje prvo i posljednje, sve je dakle,
nužno isto, a budući da je isto čini jedno jedino ".
Opis pristaje, kao što se uočava, pojmu zlatnog presjeka.
O zlatnom preseku govorio je i Platonov učenik Eudoksije, ali je prvu
jasnu definiciju iznio Euklid (oko 300.god.pre nove ere) u svojim
"Elementima " .
6. Najveća, sačuvana, Keopsova piramida ( oko 3000 god.pre nove
ere ) pokazuje prilično tačne odnose proporcionalnog nizanja i
smatra se nekom vrstom kosmičkog planetarijuma.
Njena tačno izračunata stranica prema zlatnom presjeku samo je
6,3 cm veća od 230,364 m ili 440 lakata.
Proporcije ove piramide iskazao je Kepler konstruišući
pravougli trougao sa stranicama AC (major)=1000,AB/2
(minor)=618,BC=786,1 i ova veličina je srednja proporcionala
majora i minora Ako se obim osnove piramide 931,22 m (4×440
lakata) podijeli dvostrukom visinom biće
931,22/(2×148,208)=3,1416
što odgovara broju π. Izraženo u laktovima
(4×440)/(2×280)=3,1428
pa je razlika 3,1428 - 3,1416=0,0012.
7. Zlatan presjek, kao što je navedeno, javlja se u mnogim prirodnim oblicima,
kao opšti zakon, na primer u kristalima, biljnim plodovima, cvijetovima
biljaka i drugim, tako što se njihovi dijelovi ili članovi odnose kao 1 : 0,618.
N.Brunov je zastupao gledište da su klasične grčke građevine zasnovane na
iracionalnim brojevima, posebno zlatnom presjeku.
Za teoriju primjene zlatnog presjeka u graditeljstvu značajni su radovi
Zoltovskog, Hembidža i Mesela.
Zoltovski je pored odnosa zlatnog preseka (0,618 : 0,382) uveo "funkciju
zlatnog preseka" (0,528 : 0,472).
Hembidž je smatrao da se cio rast organskog sveta odvija prema zlatnom
presjeku. On od poznatih pravougaonika izdvaja one sa dijagonalama , , .
Mesel je uveo pojam empirijskog određivanja proporcija posmatranjem
arhitekture i vajarstva.
Proveravajući vrijednost zlatnog presjeka Fehner je 1876. godine predočio
posmatračima niz pravougaonika i pokazalo se da se najveći broj njih
opredjelio za pravougaonik konstruisan prema zlatnom presjeku. Odnos
njegovih stranica bio je 21 : 34 (0,6176).
8. U ovom postupku kvadratu nekog broja doda se kvadrat njegove
polovine pa se zatim ovaj zbir korjenuje. Od dobijenog rezultata
oduzme se polovina broja koji se dijeli i ostatak daje major tog broja
Na primjer tako da je minor 1-0,618=0,382.
9. Euklid je izveo podjelu duži tako da je površina
pravougaonika sastavljena od te duži i jednog odsječka
jednaka površini kvadrata drugog odsječka.
Slika 3-Euklidova podjela duži
10. Prema 11.stavu II knjige Euklidovih Elemenata
konstrukcija zlatnog presjeka je slijedeća:
Konstruiše se kvadrat ABCD i stranica AD se
prepolovi tačkom E na jednake dijelove AE=DE.
Produži se DA do Z i odmeri EZ=EB. Zatim se
konstruiše kvadrat na AQ i produži HQ do tačke K.
Na taj način duž AB podeljena je na odsječke AQ i
QB prema zlatnom presjeku.
11. Prema zlatnom preseku mogućno je neprekidno deljenje
duži - neprekidna podela.
Isto tako vrednost ∅=1,618 pogodna je za izračunavanje
nove dužine jer je
L=1,618 l=∅l
Slika 7-Primjer formule za izračunavanje nove dužine
12. Konstrukcija se izvodi tako što se odsječak M uzme
za kraću stranicu novog pravougaonika (BCDE) i
tada će stranice tog pravougaonika biti u odnosu
(m+M) : M. Ako se hipotenuza AC pravouglog
trougla ABC produži do tačke G,tako da je DG
paralelno sa BC dobija se novi pravougaonik CDGF
koji je sastavljen od dva kvadrata CDIH I FGIH ili
pravougaonik M×2M.
Pod uslovom da je M=1 biće odnos M : 2M=1 : 2.
13. Treba napomenuti da se u praksi odstupalo od zlatnog presjeka tako
što se umjesto broja 1,618 koristio odnos 8 : 5=1,6, a to nije ni bilo
suviše bitno, jer se i prilikom građenja odstupalo od projektnih mjera
iz različitih razloga.
Ipak se odnos 5 : 8=0,625 bolje uklapao u niz
5,25,125,250,375,500,625...jer je uspostavljena veza sa decimalnim
sistemom, na primer (5:8)*100=625,
(5:8)*800=500,(5:8)*600=375,(5:8)*400=250,(5:8)*200=125,...Pome
nute vrijednosti odgovaraju Lame-ovom nizu 125,250,375,625...
Odnos 5 : 8 pogodan je kao što se uočava iz sledećeg gde su važni
odnosi jer se u njima major i minor podudaraju sa članovima niza koji
počinje sa brojem 125, važnim u građevinskoj praksi.
14. Takođe, pokazuje B.Nestorović da se
asimetrična kompozicija može izvesti pomoću
zlatnog preseka.
15. Osnova crkve u Il Džezu u Rimu čini pravougaonik
konstruisan po zlatnom preseku sa neznatnim odstupanjem.
Istovremeno je i centar kupole proporcionisan po istom
principu.
Slika 16-Osnova crkve u Il Džezu u Rimu
16. FASADE GRAĐEVINA IZVEDENE PO ZLATNOM
PRESJEKU
Slika 17-Zlatni presjek na zgradi Zgrafito u Firenci
17. Na osnovi crkve manastira Banje kod Priboja može se
uočiti da je u obliku pravougaonika 1 : 1,618.
Slika 19-Primjena zlatnog presjeka na manastiru Banje kod Priboja
Još jedan primer je na osnovi crkve manastira Psače, na
kojoj je očevidna primena zlatnog preseka na glavnom
prostoru izuzimajući oltarsku apsidu.
18. Ograničen obim ovog rada nije dopustio brojniju analizu
primjene zlatnog presjeka, ali je pokazano da se on primjenjivao
i da ga je moguće primjeniti u mnogim slučajevima.
Pokazuje se da jedan logički kriterijum, jednostavnost, odnosno
logičko savršenstvo, postaje neosporni izvor estetskog
zadovoljstva.
Posmatran iz ove dinamičke perspektive, zlatni presjek
potvrđuje se kao najjednostavniji mogući odnos između
dijelova i cjeline, i vjerovatno je to razlog što ga i genije
prirode i ljudski genije odabiraju kao najsavršeniji, time i
najljepši. Znači da zlatan presjek, uz najšire matematičko i
umjetničko obrazovanje, može neizmjerno da koristi svakom
stvaraocu.
