DİNAMİK. Ders_2. Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü. Ders notları için_ GÜZ.pdf

1
Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR
DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü
Ders notları için:
http://kisi.deu.edu.tr/serkan.misir/
2017-2018 GÜZ
DİNAMİK
Ders_2
EĞRİSEL HAREKET:
GENEL TANIM VE DİK BİLEŞENLER
Bugünün hedefleri:
1. Eğrisel bir yörünge boyunca
hareket eden bir parçacığın
hareketini tanımlama.
2. Kinematik büyüklükleri
vektörlerin dik bileşenleri ile
ifade etme.
Ders etkinliği:
• Sözel yoklama
• Uygulamalar
• Genel Eğrisel Hareket
• Kinematik Vektörlerin Dik
Bileşenleri
• Örnek Problem Çözümü
• Dikkat Yoklaması
2- 2/72
Çeviren.: Doç.Dr.İ Serkan MISIR

2
SÖZEL YOKLAMA
1. Eğrisel harekette, anlık hızın doğrultusu her zaman
A) hodograma teğettir.
B) hodograma diktir.
C) yörüngeye teğettir.
D) yörüngeye diktir.
2. Eğrisel harekette, anlık ivmenin doğrultusu her zaman
A) hodograma teğettir.
B) hodograma diktir.
C) yörüngeye teğettir.
D) yörüngeye diktir.
2- 3/72
UYGULAMALAR
Bir uçağın hareketinin yörüngesi
bir radar ile izlenebilir ve bunun
x,y ve z koordinatları (yerdeki bir
noktaya göre) zamanın bir
fonksiyonu olarak kaydedilebilir.
Uçağın herhangi bir andaki hızı ve
ivmesi nasıl hesaplayabiliriz?
2- 4/72

3
UYGULAMALAR
(devam)
Bir hız treni sabit bir hızla
helisel bir yörünge üzerinde
aşağı doğru hareket
etmektedir.
Herhangi bir andaki
pozisyonunu veya ivmesini
nasıl bulabiliriz?
Eğer yolu tasarlıyor olsaydık, aracın ivmesini tahmin edebilmek
neden önemli olurdu (hem aracın tasarımı hem de yapısal
sistemin tasarımı açısından!) ? 2- 5/72
GENEL EĞRİSEL HAREKET
(Hibbeler, Bölüm 12.3)
Eğrisel hareket bir parçacığın eğrisel bir yörünge üzerindeki hareketi
olarak tanımlanır. Bu yörünge genel olarak üç boyutlu olduğundan
Bu parçacığın konumu/pozisyonu sabit bir O noktasından uzanan
r = r(t) konum vektörü ile tanımlanabilir. r ’nin hem büyüklüğü hem
de doğrultusu zamanla değişmektedir.
Parçacık, yörünge fonksiyonu s ile tanımlanan
bir eğri üzerinde ilerler.
parçacığın hızı, konumu ve ivmesinin formü-
lasyonu için vektörel analiz gerekecektir.
Eğer parçacık t zaman aralığı içerisinde
eğri üzerinde s kadar yol almışsa,
yerdeğiştirme r = r' – r vektör farkı ile
hesaplanabilir. 2- 6/72

4
HIZ
Hız parçacığın konumunun zamana göre değişim oranıdır.
v ’nin büyüklüğü (şiddeti) sürat olarak isimlendirilir. t→0 yay
uzunluğu s, r ’nin büyüklüğüne yaklaşacağından (bkz.önceki slayt),
sürat, yörünge fonksiyonunun zamana göre türevi ile elde edilebilir
(v = ds/dt) => Fakat bunun bir vektör olmadığına dikkat edin!!
Parçacığın t zaman artımı
boyunca ortalama hızı
vort = r/t .
Anlık hız konumun zamana
göre birinci türevidir
v = dr/dt .
Hız vektörü, v, her zaman
hareketin yörüngesine teğettir.
2- 7/72
İVME
İvme, parçacığın hızının
zamana göre değişimin oranıdır.
Hodogram
Yörünge
İvme
Eğer parçacığın hızı t zaman artışı içerisinde
v ’den v' değerine değişiyorsa, bu zaman artışı
boyunca ortalama hız :
aort = v/t = (v' – v)/t
Anlık ivme hızın zamana göre türevidir :
a = dv/dt = d2r/dt2
2- 8/72

5
İVME
Hız vektörlerinin başlangıç noktaları aynı O'
merkezine alınırsa, oklarının taradığı eğriye
(geometrik yer) hodogram (hodograf) ismi verilir,
s yörüngesi konum vektörleri için neyse,
hodogram da hız vektörleri için odur,
İvme vektörü hodograma teğettir fakat genellikle
yörünge fonksiyonuna teğet değildir.
Yörünge ≠ Hodogram
Hodogram
Yörünge
İvme
2- 9/72
EĞRİSEL HAREKET: DİK BİLEŞENLER
(Bölüm 12.4)
Parçacık hareketi genellikle sabit bir referans çerçeveye göre
x, y, z kartezyen takımı kullanılarak veya diğer ismiyle
dik bileşenler cinsinden kolayca tanımlanabilir.
Konum vektörünün büyüklüğü: r = (x2 + y2 + z2)0.5
r ’nin yönü birim vektör ile tanımlanır: ur = (1/r) r
Parçacığın herhangi bir andaki
konumu konum vektörü r ile
tanımlanabilir:
r = x i + y j + z k
x, y, z bileşenleri zamanın bir
fonksiyonu olabilir, örneğin,
x = x(t), y = y(t) ve z = z(t)
Dolayısıyla r = r(t) ’dir.
2- 10/72

6
DİK BİLEŞENLER: HIZ
Hız vektörü, konum vektörünün zamana göre birinci türevidir:
v = dr/dt = d(xi)/dt + d(yj)/dt + d(zk)/dt
Zamana göre türev alınırken, hem şiddet hem de yöndeki değişimi
dikkate almak gerekir, fakat örneğin; d(xi)/dt=dx/dt i + x di/dt = vx i
i, j, k birim vektörlerinin yönü ve büyüklüğü sabit
olduğundan, bu denklem v = vx i + vy j + vz k olarak sadeleşir.
Burada vx = = dx/dt , vy = = dy/dt , vz = = dz/dt
x y z
•
•
•
“ ˙ ” zamana göre birinci türevdir
Hız vektörünün büyüklüğü
v = [(vx)2 + (vy)2 + (vz)2]0.5
v ’nin doğrultusu hareketin
yörüngesine teğettir, uv = (1/v) v
2- 11/72
DİK BİLEŞENLER: İVME
İvme vektörünün büyüklüğü
a = [(ax)2 + (ay)2 + (az)2 ]0.5
İvme vektörü, hız vektörünün zamana göre birinci türevidir
(konum vektörünün ikinci türevidir):
a = dv/dt = d2r/dt2 = ax i + ay j + az k
Burada ax = = = dvx /dt
ay = = = dvy /dt
az = = = dvz /dt
vx x
vy y
vz z
• ••
••
••
•
•
a hızın değişim oranı olduğu,
hem şiddet hem de yön
değişimiyle ilgili bileşenler
içerdiğinden dolayı,
a ’nın yönü genellikle
parçacığın yörüngesine
teğet değildir. 2- 12/72

7
DİK BİLEŞENLER: İVME
Matematiksel hatırlatma:
Zincir kuralı: Kompozit fonksiyonların türevini bulmak için kullanılır.
y, x’in, x de t’nin fonsiyonu ise;
Bazen çarpım kuralı da yukarıdaki kurala eklenerek zamana göre türev
alınır:
2- 13/72
ÖRNEK I
Verilen:İki parçacığın (A ve B) hareketleri aşağıdaki konum
vektörleri ile tanımlanmaktadır:
rA = [3t i + 9t(2 – t) j] m ve
rB = [3(t2 –2t +2) i + 3(t – 2) j] m.
İstenen: İki parçacığın çarpıştığı nokta ve
çarpışmadan hemen önceki süratleri.
Plan: 1) Parçacıklar, konum vektörleri eşit olduğunda
çarpışacaklardır, diğer bir ifadeyle rA = rB .
2) Konum vektörlerinin zamana göre türevleri
alınarak süratleri bulunabilir.
2- 14/72

8
1) Çarpışma noktası rA = rB eşitliğini gerektirir,
dolayısıyla xA = xB ve yA = yB .
Çözüm:
x-bileşenleri eşitlenir: 3t = 3(t2 – 2t + 2)
Düzenlenir: t2 – 3t + 2 = 0
Çözülür: t = {3  [32 – 4(1)(2)]0.5}/2(1)
=> t = 2 veya 1 s
y-bileşenleri eşitlenir : 9t(2 – t) = 3(t – 2)
Düzenlenir: 3t2 – 5t – 2 = 0
Çözülür : t = {5  [52 – 4(3)(–2)]0.5}/2(3)
=> t = 2 veya –1/3 s
Dolayısıyla, parçacıklar tek ortak zaman olan t = 2 s ’de
çarpışırlar. Bu değer rA veya rB ’de yerine konulursa
xA = xB = 6 m ve yA = yB = 0
ÖRNEK I (devam)
2- 15/72
ÖRNEK I (devam)
2) Hız vektörlerini elde etmek için rA ve rB ’yi türet.
Sürat, hız vetörünün büyüklüğüdür (Şiddeti).
vA = (32 + 182) 0.5 = 18.2 m/s
vB = (62 + 32) 0.5 = 6.71 m/s
vB = drB/dt = xB i + yB j = [ (6t – 6) i + 3 j ] m/s
t = 2 s’de: vB = [ 6 i + 3 j ] m/s
• •
vA = drA/dt = = [ 3 i + (18 – 18t) j ] m/s
t = 2 s’de: vA = [ 3i – 18 j ] m/s
j
yA
i
xA
. 
• •
2- 16/72

9
DİKKAT YOKLAMASI
1. Eğer bir parçacığın konumu aşağıdaki şekilde tanımlanıyorsa,
r = [(1.5t2 + 1) i + (4t – 1) j ] (m), t = 1 s’deki sürati:
A) 2 m/s B) 3 m/s
C) 5 m/s D) 7 m/s
2. Parçacığın yörüngesi y = 0.5x2 ile tanımlanıyor. Eğer x = 2 m
iken x-ekseni doğrultusundaki hızı vx = 1 m/s ise, aynı
noktada y-ekseni doğrultusundaki hızı;
A) 0.25 m/s B) 0.5 m/s
C) 1 m/s D) 2 m/s
2- 17/72
ÖRNEK II
Verilen: Parçacığın hızı;
v = [ 16 t2 i + 4 t3 j + (5 t + 2) k] m/s.
t = 0 anında, x = y = z = 0.
İstenen: t = 2 s anında parçacığın koordinat pozisyonu ve
ivmesinin büyüklüğü.
Plan:
Hız vektörünün zamanın bir fonksiyonu olduğuna
dikkat edilmelidir.
1) v’yi integre ederek ve türevini alarak sırasıyla
konum ve ivmeyi başlangıç koşullarını da dikkate
alarak hesaplayınız.
2) t = 2 s için ivme vektörünün büyüklüğünü
hesaplayınız. 2- 18/72

10
ÖRNEK II (devam)
Çözüm:
1) x-bileşenleri:
2) y-bileşenleri:
Hız: vx = x = dx/dt = (16 t2 ) m/s
Konum : = (16 t2) dt  x = (16/3)t3 = 42.7 m , t = 2 s
İvme: ax = x = vx = d/dt (16 t2) = 32 t = 64 m/s2
••

x
dx
0

t
0
•
•
Hız: vy = y = dy/dt = (4 t3 ) m/s
Konum : = (4 t3) dt  y = t4 = 16 m , t = 2 s
İvme: ay = y = vy = d/dt (4 t3) = 12 t2 = 48 m/s2
••

y
dy
0

t
0
•
•
2- 19/72
3) z-bileşenleri:
Konum vektörü: r = [ 42.7 i + 16 j + 14 k] m.
İvme vektörü: a = [ 64 i + 48 j + 5 k] m/s2
Büyüklüğü: a = (642 + 482 +52)0.5 = 80.2 m/s2
4) Yukarıda bulunan bileşenlerle ilgili bilgiler kullanılırak
konum vektörü, ivme vektörü ve ivmenin büyüklüğü:
Hız: vz = z = dz/dt = (5 t + 2) m/s
Konum : = (5 t + 2) dt  z = (5/2) t2 + 2t = 14 m , t=2s
İvme: az = z = vz = d/dt (5 t + 2) = 5 m/s2
••

z
dz
0

t
0
•
•
ÖRNEK II (devam)
2- 20/72

11
DİKKAT YOKLAMASI
1. Eğer bir parçacık dairesel yörünge üzerindeki A’dan B’ye
4 s’de ulaşıyorsa parçacığın ortalama hızı nedir??
A) 2.5 i m/s
B) 2.5 i +1.25j m/s
C) 1.25  i m/s
D) 1.25  j m/s
2. Bir parçacığın konumu r = (4t2 i – 2t j) m olarak veriliyor.
Parçacığın ivmesini hesaplayın.
A) (4 i +8 j ) m/s2 B) (8 i -16 j ) m/s2
C) (8 i) m/s2 D) (8 j ) m/s2
A B
R=5m
x
y
2- 21/72
ÖRNEK III
Kısa bir süre için uçağın
yörüngesi 0.001 olarak
tanımlanmıştır.
Uçak 10 m/s sabit hızla
yükseldiğine göre,
y=100 m’deki hız ve ivmesini
bulunuz.
2- 22/72

12
x
Noktasal Parçacık (bu yörünge
problemi için cismin hareketi
ağırlık merkezinin hareketi ile
incelenebilir)
ÖRNEK III (devam)
2- 23/72
2- 24/72

13
0.791 m/s2
10 m/s
15.81 m/s
ÖRNEK III (devam)
2- 25/72
EĞİK ATIŞ HAREKETİ
– MERMİ HAREKETİ (Bölüm 12.5)
Bugünün Hedefi:
1. Eğik atılmış top, mermi
vb. parçacıkların serbest
atış hareketinin analizi.
Sınıf Etkinliği:
• Sözel yoklama
• Uygulamalar
• Eğik Atış Hareketinin
Kinematik Denklemleri
• Kavramsal yoklama
• Dikkat yoklaması
2- 26/72

14
SÖZEL YOKLAMA
1. Bir cismin serbest atış hareketi sırasındaki aşağı yönlü
ivmesi:
A) sıfır. B) zamanla artan.
C) 9.81 m/s2. D) 9.81 ft/s2.
2. Serbest uçuş hareketi boyunca hızın yatay bileşeni
_________.
A) sıfırdır B) sabittir
C) 9.81 m/s2 ’dir D) 32.2 ft/s2 ’dir
2- 27/72
UYGULAMALAR
İyi bir futbolcu gol atmak için hangi açısı ve vA başlangıç hızı
ile topa vurması gerektiğini içgüdüsel olarak bilir.
Belirli bir kuvvet ile vurulan topun en büyük mesafeyi alması
için topa hangi açı ile vurulmalıdır?
2- 28/72

15
UYGULAMALAR (devam)
Basketbolda topu belirli bir açı ile yollamak gerekir.
Basket atmak için oyuncunun hangi parametreleri dikkate
alması gerekir?
Uzaklık, sürat, basket potasının konumu, …..başka??
2- 29/72
UYGULAMALAR (devam)
Bir itfaiyecinin hortumuyla bir duvarın hangi yüksekliğine
kadar suyu yönlendirebileceğini bilmesi gerekir. Hortumu
tutmak için hangi açıyı kullanması gerektiğini bulmak için
bir bilgisayar kodu yazmanız gerekse hangi parametreleri
dikkate alırdınız?
2- 30/72

16
EĞİK ATIŞ HAREKETİ (Bölüm 12.6)
Eğik atış hareketi iki kartezyen eksen doğrultusunda ayrı hareket
olarak düşünülebilir, biri sıfır ivme altındaki yatay hareket, diğeri ise
sabit ivme altındaki düşey hareket (yerçekimi sebebiyle).
•Görülen ardışık resimler aynı zaman
aralıklarında çekilmiştir. Kırmızı top durağan
halde iken, sarı top ise yatay bir ilk hız ile
bırakılmıştır.
•Her iki top da düşey doğrultuda aynı miktar
düşey ivmelenmeye maruzdur. Bu sebeple her
ardışık zamanda aynı yatay seviyeden geçerler.
•Ayrıca sarı top için çizilen düşey çizgilere
bakılacak olursa bunların aralıklarının sabit
olduğu görülür, çünkü yatay doğrultudaki hız
sabit kalmaktadır.
2- 31/72
KİNEMATİK DENKLEMLER: YATAY HAREKET
ax = 0 olduğundan, yatay doğrultudaki hız sabit kalır (vx = vox)
ve x doğrultusundaki konum aşağıdaki şekilde bulunabilir:
x = xo + (vox) t (1)
ax neden sıfıra eşittir (hava içerisinde hareket ediyor!) ? 2- 32/72

17
KİNEMATİK DENKLEMLER: DÜŞEY HAREKET
Pozitif y ekseni yukarı yönlü olduğunda, ay = – g ’dir.
Sabit ivme denklemlerinin uygulanması ile:
vy = voy – g t (2)
y = yo + (voy) t – ½ g t2 (3)
vy
2 = voy
2 – 2 g (y – yo) (4)
Verilen bir problem için bu üç denklemden sadece ikisi
kullanılabilir. Neden?
2- 33/72
ÖRNEK I
Verilen: vo ve θ
İstenen: x’in bir fonksiyonu olarak
y denklemi.
Plan: Kinematik denklemlerden
zamanı sadeleştirelim.
Çözüm: vx = vo cos θ ve vy = vo sin θ kullanılarak
x = (vo cos θ)t veya
y = (vo sin θ) t – ½ g (t)2
t =
x
vo cos θ
y = (vo sin θ) { } { }2
x g x
vo cos θ 2 vo cos θ
–
t ifadesi y’de yerine konularak:
2- 34/72

18
ÖRNEK I (devam)
Yukarıdaki denklem eğik atış hareketi yapmakta olan bir
parçacığın yörüngesini tanımlayan “yörünge denklemi” olarak
bilinir.
Denklemden, yörüngenin bir parabol olduğu görülüyor.
Bu denklem de ilk üç denklem kullanılarak türetildi, bağımlıdır!
Son denklem sadeleştirilerek:
y = (x tan) –
g x2
2vo
2
(1 + tan2) (5)
2- 35/72
ÖRNEK II
Verilen: Parçacık A noktasından
vA=150 m/s’lik bir ilk hız ile
eğik olarak atılmıştır.
İstenen: Alacağı toplam yatay mesafe (R)
ve havada geçirdiği zaman nedir.
Plan:
Sabit bir (x, y) koordinat sistemi yerleştirelim
(bu çözümde, koordinat sisteminin merkezi A noktasına yerleştirildi).
x ve y doğrultularında kinematik ilişkileri uygulayalım. 2- 36/72

19
ÖRNEK II (devam)
tAB için çözüm yapılırsa öncelikle, tAB = 19.89 s. (negatif kök -1.54 s)
Sonra, R = 120 tAB = 120 (19.89) = 2387 m
Çözüm:
1) Koordinat sistemini A noktasına yerleştir,
sonra, yatay hareketin denklemini yaz
+ xB = xA + vAx tAB (1) nolu denk. ile
Burada xB = R, xA = 0 ve vAx = 150 (4/5) m/s
R mesafesi xB = R = 120 tAB olacaktır
2) Şimdi düşey hareketin denklemini yazalım. Mesafe denklemi ile
+ yB = yA + vAy tAB – 0.5 g tAB
2 (3) nolu denk. ile
Burada yB = – 150, yA = 0 ve vAy = 150(3/5) m/s
kullanılarak yukarıdaki eşitlik: –150 = 90 tAB + 0.5 (– 9.81) tAB
2
2- 37/72
KAVRAMSAL YOKLAMA
1. Bir eğik atış probleminde, çözülmesi gereken en fazla
bilinmeyen sayısı kaçtır?
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
2. Yer seviyesinden ateşlenen ve ilk hızı Vo , yatayla açısı θ
olan bir eğik atışın uçuş süresi _____________ ’dir.
A) (vo sin )/g B) (2vo sin )/g
C) (vo cos )/g D) (2vo cos )/g
vy = voy – g t (2) nolu denklem
2- 38/72

20
ÖRNEK III
Verilen:Bir kayakçı, kayakla
atlama rampasından
A = 25o ile ayrılıyor ve
eğik yüzey üzerindeki B
noktasına iniyor.
İstenen: Kayakçının vA başlangıçtaki
sürati nedir?
Plan:
Sabit bir (x, y) koordinat ekseni yerleştirin
(Bu çözümde koordinat sisteminin orijini A noktasına yerleştirildi)
x ve y yönleri için kinematik ilişkileri uygulayın.
x
y
2- 39/72
ÖRNEK III (devam)
vA = 19.42 m/s
– 64 = 0 + vA(sin 25) { }
88.27
vA
– ½ (9.81) { }2
88.27
vA
y yönünde hareket : (3) nolu denklem ile
yB = yA + voy (tAB) – ½ g (tAB)2 (4m’lik ilave yüks. dikkat)
x yönünde hareket: (1) nolu denklem ile
xB = xA + vox(tAB) => (4/5)100 = 0 + vA (cos 25) tAB ile;
=
tAB= 80
vA (cos 25)
88.27
vA
Çözüm:
2- 40/72

21
DİKKAT YOKLAMASI
1. Ilk hızı vo ve yatayla açısı  olan
bir eğik atış yapılıyor. Parçacığın
eğik düzlemi vurduğu andaki hızı,
başlangıç hızı vo _______.
A) ’dan daha küçüktür B) ’a eşittir
C) ’dan daha büyüktür D) hiçbiri
2. Bir parçacığın ilk hızı v0 ve yatayla açısı θ’dır.
Ulaşabileceği en büyük yükseklik için yatayla açısı ne olmalıdır?
A)  = 30° B)  = 45°
C)  = 60° D)  = 90°
2- 41/72
ÖDEV I – eğik atış
V0 = 40 m/s
Φ = 30o
1
5
Verilen başlangıç şartları ve geometrik durum için
topun yere düşeceği d mesafesini hesaplayınız.
d = 94.1 m
2- 42/72

22
EĞRİSEL HAREKET:
NORMAL VE TEĞETSEL BİLEŞENLER
Bugünün Hedefleri:
1. Eğrisel bir yörüge üzerinde
hareket eden parçacığın hız
ve ivmesinin normal ve
teğetsel bileşenlerinin
hesaplanması.
Sınıf Etkinliği:
• Sözel yoklama
• Uygulamalar
• Hız ve İvmenin Normal ve
Teğetsel Bileşenleri
• Hareketin Özel Durumları
• Kavramsal yoklama
• Dikkat yoklaması
2- 43/72
SÖZEL YOKLAMA
1. Eğer bir parçacık bir eğri üzerinde sabit hızla hareket
ediyorsa, bu durumda ivmesinin teğetsel bileşeni;
A) pozitiftir. B) negatiftir.
C) sıfırdır. D) sabittir.
2. İvmenin normal bileşeni;
A) hızın büyüklüğünün zamanla değişim oranıdır.
B) hızın yönünün zamanla değişim oranıdır.
C) hızın büyüklüğüdür.
D) bileşke ivmenin yönündedir.
2- 44/72

23
UYGULAMALAR
Yonca yaprağı formundaki bağlantı
yollarında seyahat eden arabalar
hem hızlarındaki değişimden hem
de hızlarının yönündeki
değişimden dolayı bir ivmeye
maruz kalırlar.
Eğer arabaların hızı eğri boyunca
bilinen bir oranda artıyorsa, bileşke
ivmenin büyüklüğünü ve yönünü
nasıl hesaplarız?
Arabaların bileşke ivmesi neden önemlidir??
2- 45/72
UYGULAMALAR
(devam)
Bir hız treni yaklaşık olarak
y = f(x) fonksiyonu ile
tanımlanabilecek bir yörünge
üzerinde aşağı doğru seyahat
ediyor.
Hız treni durağan halden harekete
başlıyor ve hızını sabit bir oranda
artırıryor
Rayların en alt noktasında hızını ve
ivmesini nasıl hesaplarız?
Bu değerleri neden bilmek
isteriz?
2- 46/72

24
NORMAL VE TEĞETSEL BİLEŞENLER (Bölüm 12.6)
Bir parçacık eğri bir yörünge üzerinde hareket ettiğinde bazen
hareketini Kartezyen yerine başka bir koordinat sistemi ile tanımlamak
daha uygun olur. Hareketin yörüngesi bilindiğinde, genellikle
normal(n) ve teğetsel (t) koordinatlar kullanılır.
n-t koordinat sisteminde, orijin yani
koordinat ekseninin merkezi
parçacık üzerine yerleştirilir
(orijin parçacıkla birlikte hareket
eder).
t-ekseni yörüngeye her an teğet ve s’nin artış yönünde pozitiftir.
n-ekseni, t-eksenine dik ve eğrinin eğrilik merkezi yönünde pozitiftir.
n ve t koordinatları parçacık üzerinde kesişir. 2- 47/72
(devam)
Pozitif n ve t yönleri sırasıyla un and ut
birim vektörleri ile tanımlanır.
Konum: Parçacığın herhangi bir
andaki konumu, sabit referans bir
noktadan eğri boyunca uzaklık, s,
olarak tanımlanır.
Eğriliğin merkezi, O’ , her zaman
eğrinin konkav (içbükey) tarafına
doğru uzanır.
Eğrilik yarıçapı, , o anki noktanın
eğrilik merkezi ile eğri arasındaki dik
uzaklıktır (yarıçap).
2- 48/72

25
(devam)
Normal eksen (n) ise yandaki şekile
referansla anlatılabilir:
Yörüngenin diferansiyel büyüklükte ds
yaylarından oluştuğu düşünülebilir.
n-koordinatı t-koordinatına dik, pozitif
yönü ise O' merkezine doğrudur. Pozitif
yön un birim vektörü ile belirtilir.
Bu durumda her ds segmentine karşılık
gelecek şekilde eğrilik yarıçapı ve
merkezi O' olan çember yayları yanyana
dizilmiş olur.
1
2 3
2- 49/72
n-t KORDİNAT SİSTEMİNDE HIZ
Hız vektörü her zaman
hareketin yörüngesine
teğettir (t - yönündedir).
Hız vektörünün büyüklüğü, s(t) yörünge fonksiyonunun,
zamana göre türevi alınarak hesaplanır.
v = s = ds/dt => v = v ut (1)
.
v , hızın büyüklüğü (sürat) ve ut de hız vektörünün yönüdür.
O
s(t)
ut
2- 50/72

26
n-t KOORDİNAT SİSTEMİNDE İVME
Burada v hızın büyüklüğündeki değişim,
de ’nin yönündeki değişim oranını
ifade eder.
İvme, hızın zamanla değişim oranıdır:
a = dv/dt = d(v ut)/dt = v v (2)
v = v ut (1)
Parçacık yörünge üzerinde hareket ettiğinde
birim vektörü şiddetini koruyacak,
ancak yönü değişerek ′ olacaktır,
Burada , yarıçapı (1) olan bir çemberin
yayıdır. Bu durumda şiddeti 1
ve yönü de un doğrultusundadır:
dut = dθ un (3)
2- 51/72
n-t KOORDİNAT SİSTEMİNDE İVME
/ / (3)
/ /
<=
(4)
v v (2)
v
v ,
2- 52/72

27
n-t KOORDİNAT SİSTEMİNDE İVME (devam)
Dolayısıyla, ivme vektörünün iki
bileşeni vardır:
a = at ut + an un
• Normal veya merkezcil bileşen ise her zaman eğrinin eğrilik
merkezine doğru yönelmiştir (merkeze doğrudur): an = v2/
• Teğetsel bileşen yörünge eğrisine teğet ve yönü ise hızın artan
ya da azalan yönündedir.
at = v veya at ds = v dv
.
• İvme vektörünün büyüklüğü: a = [(at)2 + (an)2]0.5 (işareti pozitif)
v v
at ds/dt = v dv/dt
2- 53/72
S1
HAREKETİN ÖZEL DURUMLARI
Hareketin, incelenebilecek bazı özel durumları vardır:
2) Parçacık bir eğri üzerinde sabit hızla ilerliyorsa;
at = v = 0 => a = an = v2/ sadece normal bileşen vardır
.
Normal bileşen, hızın doğrultusunun zamanla değişim oranıdır.
1) Parçacık doğrusal hareket ediyorsa;
  => an = v2/ a = at = v
Teğetsel bileşen, hızın büyüklüğünün zamanla değişim oranıdır.
a = an
1 Sabit hız
 ≠ ∞ , = sonlu
büyüklükte, sabit bir değer
Artan hız
Hızın doğrultu-
sundaki değişim
Hızın büyük-
lüğündeki değişim
Artan hız
a = at
Artan hız
→ ∞
2- 54/72

Slayt 53
S1 1. ŞUBE BURADA KALDIM
Serkan; 14.7.2017

28
HAREKETİN ÖZEL DURUMLARI (devam)
Normal ivme bileşeni için eğrilik yarıçapı formülünü bilmemiz
gerekmektedir,
Parçacık y = f(x) ile ifade edilen bir fonksiyonla tanımlı yörünge
üzerindeyse, bu yörüngenin üzerindeki herhangi bir noktanın
 eğrilik yarıçapı, aşağıdaki formülle bulunur:
1 / /
/
2- 55/72
Çocuk bir v hızıyla yukarı yönde salınıyor olduğundan, bu hareket n-t
koordinatları kullanılarak analiz edilebilir.
• Salıncak yükselirken hızın büyüklüğü (sürat) azalmakta ve
negatif olmaktadır.
• Her zaman pozitif olan ve hızın doğrultusundaki değişim oranını
ifade eden ise dönme merkezi yönündedir. 2- 56/72

29
ÖRNEK III
Verilen:Bir bot dairesel bir
yörüngede  = 40 m ve
zamanla artan bir hız ile,
v(t) = (0.0625 t2) m/s,
seyahat etmektedir.
İstenen: t = 10 s anında botun hız ve
ivmesinin büyüklüğü nedir?
Plan:
Bot başlangıçta durağan haldedir (t = 0 ’da v = 0).
1) v(t) eşitliğini kullanarak t = 0 için hızın şiddetini hesapla.
2) İvmenin teğetsel ve normal bileşenini ve sonra da ivme
vektörünün büyüklüğünü hesapla.
2- 57/72
ÖRNEK III (devam)
Çözüm:
1) Hızın büyüklüğü v = (0.0625t2) m/s olarak verildiğinden
hız vektörü v = v ut ile bulunur. t = 10 s ’de:
v = 0.0625 t2 = 0.0625 (10)2 = 6.25 m/s (skaler)
2) İvme vektörü: a = atut + anun = v ut + (v2/) un
.
Teğetsel bileşen: at = v = d(0.0625 t2 )/dt = 0.125 t m/s2
t = 10s’de: at = 0.125t = 0.125(10) = 1.25 m/s2
.
Normal bileşen: an = v2/ m/s2
t = 10s’de: an = (6.25)2 / (40 = 0.9766 m/s2
İvmenin büyüklüğü ise:
a = [(at)2 + (an)2]0.5 = [(1.25)2 + (0.9766)2]0.5 = 1.59 m/s2
2- 58/72

30
DİKKAT YOKLAMASI?
1. Yarıçapı 300 m olan eğrisel bir yörüngede hareket eden bir
parçacık, 30 m/s anlık hıza sahiptir ve hızı 4 m/s2 sabit
oranda artmaktadır. Tam o andaki bileşke ivmesinin
büyüklüğü nedir?
A) 3 m/s2 B) 4 m/s2
C) 5 m/s2 D) -5 m/s2
2. Yarıçapı 5 m olan dairesel bir yörünge üzerinde hareket eden
bir parçacığın hız fonksiyonu v = 4t2 m/s ile verilmişse,
t = 1 s anındaki bileşke ivmesinin büyüklüğü nedir?
A) 8 m/s B) 8.6 m/s
C) 3.2 m/s D) 11.2 m/s
2- 59/72
ÖRNEK IV
Verilen: Bir hız treni y = 0.01x2 parabolik
fonksiyonu ile verilen düşey bir
yörünge üzerinde seyahat
etmektedir. B noktasından, artış
oranı 3 m/s2 olan 25 m/s hız ile
geçmektedir.
İstenen: B noktasındayken hız treninin
ivmesinin büyüklüğü?
Plan:
1. Aracın hızındaki değişim (3 m/s2), bileşke ivmenin
teğetsel bileşenidir.
2. Yörüngenin B noktasındaki eğrilik yarçapını bulunuz.
3. İvmenin normal bileşenini hesaplayınız.
4. İvme vektörünün büyüklüğünü hesaplayınız.
2- 60/72

31
ÖRNEK IV (devam)
Çözüm:
1) İvmenin teğetsel bileşeni, trenin hızındaki artış oranıdır,
dolayısıyla: at = v = 3 m/s2.
.
2) B noktasındaki eğrilik yarıçapını hesaplayınız (x = 30 m):
3) İvmenin normal bileşeni;
an = v2/= (25)2/(79.3 = 7.881 m/s2
4) İvme vektörünün büyüklüğü ise;
a = [(at)2 + (an)2]0.5 = [(3)2 + (7.881)2]0.5 = 8.43 m/s2
dy/dx = d(0.01x2)/dx = 0.02x , d2y/dx2 = d (0.02x)/dx = 0.02
x =30 m’de, dy/dx = 0.02(30) = 0.6 , d2y/dx2 = 0.02
=>  = = [1 + (0.6)2]3/2/(0.02 = 79.3 m
[1+(dy/dx)2]3/2
d2y/dx2
2- 61/72
DİKKAT YOKLAMASI
1. İvmenin normal bileşeninin büyüklüğü ________________.
A) eğrilik yarıçapı ile doğru orantılıdır.
B) eğrilik yarıçapı ile ters orantılıdır.
C) bazen negatiftir.
D) hız sabit olduğunda sıfırdır.
2. Hızın yönü ve teğetsel ivmenin yönü her zaman
A) birbirine diktir. B) aynı doğrultudadır.
C) aynı yöndedir. D) ters yönlüdür.
2- 62/72

32
Kayak yapan kişi A noktasına ulaştığında hızı 6 m/s ve teğetsel ivmesi
2 m/s2 ’dir. Hızın yönünü ve ivmenin şiddetini bulunuz.
ÖRNEK V – ders dışında incelenecek
2- 63/72
ÖRNEK V (devam)
2- 64/72

33
ÖRNEK V
(devam)
Yatayla yaptığı açı = 45+90+57.5-180 = 12.5 derecedir!
Eğrilik yarıçapı
doğrultusundaki
merkezkaç ivmesi
2- 65/72
ÖRNEK VI – ders dışında incelenecek
Şekilde gösterilen araba A’dan geçerken 30 m/s hızla sahiptir.
Sürücü tam A noktasındayken frene basarak arabanın hızını 0.08 ile
azaltmaktadır ( / cinsinden). A’da C’ye 15 sn’de geldiğine göre,
arabanın C noktasındaki ivmesini hesaplayınız.
2- 66/72

34
ÖRNEK VI (devam)
t =
.
(ln |
30
t
.
ln /30
2- 67/72
ÖRNEK VI (devam)
2- 68/72

35
ÖRNEK VI (devam)
2- 69/72
2
(0.3957) 2
ÖDEV
Şekilde gösterilen güzergahta ilerleyen trenin A noktasındaki hızı
30 m/s’dir. Tren tam bu noktadayken hızını sabit at = -0.25 m/s2
ivme ile azaltmaya başlamıştır. Trenin B noktasına ulaştığı andaki
ivmesini bulunuz. SAB = 412 m’dir. (12-122)
Sonuç:
2- 70/72

36
Araç, şekilde verilen yörünge fonksiyonuna uygun olarak
yol almaktadır. Aracın yörünge boyuncaki hızı sabit 75 ft/s
ise x = 50 ft anında aracın hız ve ivmesinin x ve y
bileşenleri nedir?
ÖDEV II – eğrisel hareket dik koord.
2- 71/72
Kabul edilen
pozitif yönler!
Araç sabit hızla (her zaman yörüngeye teğet) hareket ettiği için
aracın ivmesinin teğet bileşeni sıfır olmalıdır!
Cevap: vx = 74.2 ft/s (sola doğru), vy = 11.1 ft/s (yukarıya doğru)
ax = 2.42 ft/s2 (sola doğru), ay = 16.14 ft/s2 (aşağıya doğru)
Hız her zaman
yörüngeye teğet!
x
ÖDEV II (İpucu)
y
2- 72/72

DİNAMİK. Ders_2. Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü. Ders notları için_ GÜZ.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

Featured

Featured (20)

DİNAMİK. Ders_2. Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü. Ders notları için_ GÜZ.pdf