The reality for companies that are trying to figure out their blogging or content strategy is that there's a lot of content to write beyond just the "buy now" page.
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2024 State of Marketing Report – by HubspotMarius Sescu
https://www.hubspot.com/state-of-marketing
· Scaling relationships and proving ROI
· Social media is the place for search, sales, and service
· Authentic influencer partnerships fuel brand growth
· The strongest connections happen via call, click, chat, and camera.
· Time saved with AI leads to more creative work
· Seeking: A single source of truth
· TLDR; Get on social, try AI, and align your systems.
· More human marketing, powered by robots
ChatGPT is a revolutionary addition to the world since its introduction in 2022. A big shift in the sector of information gathering and processing happened because of this chatbot. What is the story of ChatGPT? How is the bot responding to prompts and generating contents? Swipe through these slides prepared by Expeed Software, a web development company regarding the development and technical intricacies of ChatGPT!
Product Design Trends in 2024 | Teenage EngineeringsPixeldarts
The realm of product design is a constantly changing environment where technology and style intersect. Every year introduces fresh challenges and exciting trends that mold the future of this captivating art form. In this piece, we delve into the significant trends set to influence the look and functionality of product design in the year 2024.
How Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental HealthThinkNow
Mental health has been in the news quite a bit lately. Dozens of U.S. states are currently suing Meta for contributing to the youth mental health crisis by inserting addictive features into their products, while the U.S. Surgeon General is touring the nation to bring awareness to the growing epidemic of loneliness and isolation. The country has endured periods of low national morale, such as in the 1970s when high inflation and the energy crisis worsened public sentiment following the Vietnam War. The current mood, however, feels different. Gallup recently reported that national mental health is at an all-time low, with few bright spots to lift spirits.
To better understand how Americans are feeling and their attitudes towards mental health in general, ThinkNow conducted a nationally representative quantitative survey of 1,500 respondents and found some interesting differences among ethnic, age and gender groups.
Technology
For example, 52% agree that technology and social media have a negative impact on mental health, but when broken out by race, 61% of Whites felt technology had a negative effect, and only 48% of Hispanics thought it did.
While technology has helped us keep in touch with friends and family in faraway places, it appears to have degraded our ability to connect in person. Staying connected online is a double-edged sword since the same news feed that brings us pictures of the grandkids and fluffy kittens also feeds us news about the wars in Israel and Ukraine, the dysfunction in Washington, the latest mass shooting and the climate crisis.
Hispanics may have a built-in defense against the isolation technology breeds, owing to their large, multigenerational households, strong social support systems, and tendency to use social media to stay connected with relatives abroad.
Age and Gender
When asked how individuals rate their mental health, men rate it higher than women by 11 percentage points, and Baby Boomers rank it highest at 83%, saying it’s good or excellent vs. 57% of Gen Z saying the same.
Gen Z spends the most amount of time on social media, so the notion that social media negatively affects mental health appears to be correlated. Unfortunately, Gen Z is also the generation that’s least comfortable discussing mental health concerns with healthcare professionals. Only 40% of them state they’re comfortable discussing their issues with a professional compared to 60% of Millennials and 65% of Boomers.
Race Affects Attitudes
As seen in previous research conducted by ThinkNow, Asian Americans lag other groups when it comes to awareness of mental health issues. Twenty-four percent of Asian Americans believe that having a mental health issue is a sign of weakness compared to the 16% average for all groups. Asians are also considerably less likely to be aware of mental health services in their communities (42% vs. 55%) and most likely to seek out information on social media (51% vs. 35%).
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdfmarketingartwork
This article is all about what AI trends will emerge in the field of creative operations in 2024. All the marketers and brand builders should be aware of these trends for their further use and save themselves some time!
A report by thenetworkone and Kurio.
The contributing experts and agencies are (in an alphabetical order): Sylwia Rytel, Social Media Supervisor, 180heartbeats + JUNG v MATT (PL), Sharlene Jenner, Vice President - Director of Engagement Strategy, Abelson Taylor (USA), Alex Casanovas, Digital Director, Atrevia (ES), Dora Beilin, Senior Social Strategist, Barrett Hoffher (USA), Min Seo, Campaign Director, Brand New Agency (KR), Deshé M. Gully, Associate Strategist, Day One Agency (USA), Francesca Trevisan, Strategist, Different (IT), Trevor Crossman, CX and Digital Transformation Director; Olivia Hussey, Strategic Planner; Simi Srinarula, Social Media Manager, The Hallway (AUS), James Hebbert, Managing Director, Hylink (CN / UK), Mundy Álvarez, Planning Director; Pedro Rojas, Social Media Manager; Pancho González, CCO, Inbrax (CH), Oana Oprea, Head of Digital Planning, Jam Session Agency (RO), Amy Bottrill, Social Account Director, Launch (UK), Gaby Arriaga, Founder, Leonardo1452 (MX), Shantesh S Row, Creative Director, Liwa (UAE), Rajesh Mehta, Chief Strategy Officer; Dhruv Gaur, Digital Planning Lead; Leonie Mergulhao, Account Supervisor - Social Media & PR, Medulla (IN), Aurelija Plioplytė, Head of Digital & Social, Not Perfect (LI), Daiana Khaidargaliyeva, Account Manager, Osaka Labs (UK / USA), Stefanie Söhnchen, Vice President Digital, PIABO Communications (DE), Elisabeth Winiartati, Managing Consultant, Head of Global Integrated Communications; Lydia Aprina, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Nita Prabowo, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Okhi, Web Developer, PNTR Group (ID), Kei Obusan, Insights Director; Daffi Ranandi, Insights Manager, Radarr (SG), Gautam Reghunath, Co-founder & CEO, Talented (IN), Donagh Humphreys, Head of Social and Digital Innovation, THINKHOUSE (IRE), Sarah Yim, Strategy Director, Zulu Alpha Kilo (CA).
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Search Engine Journal
The search marketing landscape is evolving rapidly with new technologies, and professionals, like you, rely on innovative paid search strategies to meet changing demands.
It’s important that you’re ready to implement new strategies in 2024.
Check this out and learn the top trends in paid search advertising that are expected to gain traction, so you can drive higher ROI more efficiently in 2024.
You’ll learn:
- The latest trends in AI and automation, and what this means for an evolving paid search ecosystem.
- New developments in privacy and data regulation.
- Emerging ad formats that are expected to make an impact next year.
Watch Sreekant Lanka from iQuanti and Irina Klein from OneMain Financial as they dive into the future of paid search and explore the trends, strategies, and technologies that will shape the search marketing landscape.
If you’re looking to assess your paid search strategy and design an industry-aligned plan for 2024, then this webinar is for you.
5 Public speaking tips from TED - Visualized summarySpeakerHub
From their humble beginnings in 1984, TED has grown into the world’s most powerful amplifier for speakers and thought-leaders to share their ideas. They have over 2,400 filmed talks (not including the 30,000+ TEDx videos) freely available online, and have hosted over 17,500 events around the world.
With over one billion views in a year, it’s no wonder that so many speakers are looking to TED for ideas on how to share their message more effectively.
The article “5 Public-Speaking Tips TED Gives Its Speakers”, by Carmine Gallo for Forbes, gives speakers five practical ways to connect with their audience, and effectively share their ideas on stage.
Whether you are gearing up to get on a TED stage yourself, or just want to master the skills that so many of their speakers possess, these tips and quotes from Chris Anderson, the TED Talks Curator, will encourage you to make the most impactful impression on your audience.
See the full article and more summaries like this on SpeakerHub here: https://speakerhub.com/blog/5-presentation-tips-ted-gives-its-speakers
See the original article on Forbes here:
http://www.forbes.com/forbes/welcome/?toURL=http://www.forbes.com/sites/carminegallo/2016/05/06/5-public-speaking-tips-ted-gives-its-speakers/&refURL=&referrer=#5c07a8221d9b
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd Clark Boyd
Everyone is in agreement that ChatGPT (and other generative AI tools) will shape the future of work. Yet there is little consensus on exactly how, when, and to what extent this technology will change our world.
Businesses that extract maximum value from ChatGPT will use it as a collaborative tool for everything from brainstorming to technical maintenance.
For individuals, now is the time to pinpoint the skills the future professional will need to thrive in the AI age.
Check out this presentation to understand what ChatGPT is, how it will shape the future of work, and how you can prepare to take advantage.
A brief introduction to DataScience with explaining of the concepts, algorithms, machine learning, supervised and unsupervised learning, clustering, statistics, data preprocessing, real-world applications etc.
It's part of a Data Science Corner Campaign where I will be discussing the fundamentals of DataScience, AIML, Statistics etc.
Time Management & Productivity - Best PracticesVit Horky
Here's my presentation on by proven best practices how to manage your work time effectively and how to improve your productivity. It includes practical tips and how to use tools such as Slack, Google Apps, Hubspot, Google Calendar, Gmail and others.
The six step guide to practical project managementMindGenius
The six step guide to practical project management
If you think managing projects is too difficult, think again.
We’ve stripped back project management processes to the
basics – to make it quicker and easier, without sacrificing
the vital ingredients for success.
“If you’re looking for some real-world guidance, then The Six Step Guide to Practical Project Management will help.”
Dr Andrew Makar, Tactical Project Management
2024 State of Marketing Report – by HubspotMarius Sescu
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Mental health has been in the news quite a bit lately. Dozens of U.S. states are currently suing Meta for contributing to the youth mental health crisis by inserting addictive features into their products, while the U.S. Surgeon General is touring the nation to bring awareness to the growing epidemic of loneliness and isolation. The country has endured periods of low national morale, such as in the 1970s when high inflation and the energy crisis worsened public sentiment following the Vietnam War. The current mood, however, feels different. Gallup recently reported that national mental health is at an all-time low, with few bright spots to lift spirits.
To better understand how Americans are feeling and their attitudes towards mental health in general, ThinkNow conducted a nationally representative quantitative survey of 1,500 respondents and found some interesting differences among ethnic, age and gender groups.
Technology
For example, 52% agree that technology and social media have a negative impact on mental health, but when broken out by race, 61% of Whites felt technology had a negative effect, and only 48% of Hispanics thought it did.
While technology has helped us keep in touch with friends and family in faraway places, it appears to have degraded our ability to connect in person. Staying connected online is a double-edged sword since the same news feed that brings us pictures of the grandkids and fluffy kittens also feeds us news about the wars in Israel and Ukraine, the dysfunction in Washington, the latest mass shooting and the climate crisis.
Hispanics may have a built-in defense against the isolation technology breeds, owing to their large, multigenerational households, strong social support systems, and tendency to use social media to stay connected with relatives abroad.
Age and Gender
When asked how individuals rate their mental health, men rate it higher than women by 11 percentage points, and Baby Boomers rank it highest at 83%, saying it’s good or excellent vs. 57% of Gen Z saying the same.
Gen Z spends the most amount of time on social media, so the notion that social media negatively affects mental health appears to be correlated. Unfortunately, Gen Z is also the generation that’s least comfortable discussing mental health concerns with healthcare professionals. Only 40% of them state they’re comfortable discussing their issues with a professional compared to 60% of Millennials and 65% of Boomers.
Race Affects Attitudes
As seen in previous research conducted by ThinkNow, Asian Americans lag other groups when it comes to awareness of mental health issues. Twenty-four percent of Asian Americans believe that having a mental health issue is a sign of weakness compared to the 16% average for all groups. Asians are also considerably less likely to be aware of mental health services in their communities (42% vs. 55%) and most likely to seek out information on social media (51% vs. 35%).
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http://www.forbes.com/forbes/welcome/?toURL=http://www.forbes.com/sites/carminegallo/2016/05/06/5-public-speaking-tips-ted-gives-its-speakers/&refURL=&referrer=#5c07a8221d9b
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd Clark Boyd
Everyone is in agreement that ChatGPT (and other generative AI tools) will shape the future of work. Yet there is little consensus on exactly how, when, and to what extent this technology will change our world.
Businesses that extract maximum value from ChatGPT will use it as a collaborative tool for everything from brainstorming to technical maintenance.
For individuals, now is the time to pinpoint the skills the future professional will need to thrive in the AI age.
Check out this presentation to understand what ChatGPT is, how it will shape the future of work, and how you can prepare to take advantage.
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Time Management & Productivity - Best PracticesVit Horky
Here's my presentation on by proven best practices how to manage your work time effectively and how to improve your productivity. It includes practical tips and how to use tools such as Slack, Google Apps, Hubspot, Google Calendar, Gmail and others.
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The six step guide to practical project management
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Dr Andrew Makar, Tactical Project Management
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Classificazione e restauro di immagini a colori: un approccio via Gamma-convergenza
1. POLITECNICO DI MILANO
Classificazione e restauro
di immagini a colori:
un approccio via Γ -convergenza
Relatore: Prof. Franco Tomarelli
Tesi di laurea di: Alfonso Fascì
Anno Accademico 2009-2010
lunedì 17 gennaio 2011
2. In questo lavoro di tesi:
• Si propone un modello di classificazione per immagini a
colori basato sulla nozione di distanza percepita.
Il modello è formalizzato come un problema con discontinuità
libera.
• Si mostra l’esistenza di una soluzione ed alcune proprietà
qualitative.
• Si costruisce un’approssimazione del problema proposto tramite
la minimizzazione di una famiglia di funzionali ellittici, che può
essere interpretata come un modello di classificazione e
restauro per immagini a colori.
Tale approssimazione è intesa nel senso della Γ -convergenza.
lunedì 17 gennaio 2011
4. Cos’è un’immagine a colori?
2
Ω ⊂ R aperto, limitato rappresenta una regione del piano
lunedì 17 gennaio 2011
5. Cos’è un’immagine a colori?
2
Ω ⊂ R aperto, limitato rappresenta una regione del piano
• Immagini a colori
u : Ω → C in cui C rappresenta l’insieme dei colori
lunedì 17 gennaio 2011
6. Cos’è un’immagine a colori?
2
Ω ⊂ R aperto, limitato rappresenta una regione del piano
• Immagini a colori
u : Ω → C in cui C rappresenta l’insieme dei colori
C =???
lunedì 17 gennaio 2011
7. Cos’è un’immagine a colori?
2
Ω ⊂ R aperto, limitato rappresenta una regione del piano
• Immagini a colori
u : Ω → C in cui C rappresenta l’insieme dei colori
C =???
(Immagini monocromatiche u : Ω → [0, 1] intensità luminosa )
lunedì 17 gennaio 2011
8. Spazi di colori
‘‘ Il colore non è una proprietà fisica degli
oggetti, si tratta piuttosto di una rappresentazione
percettiva della distribuzione di energia fotonica
all’interno di uno spettro di riflessione o di
emissioni prodotte da un oggetto ’’
S.M. Boker, The Representation of Color Metrics and
Mappings in Perceptual Color Space
lunedì 17 gennaio 2011
9. Spazi di colori
‘‘ Il colore non è una proprietà fisica degli
oggetti, si tratta piuttosto di una rappresentazione
percettiva della distribuzione di energia fotonica
all’interno di uno spettro di riflessione o di
emissioni prodotte da un oggetto ’’
S.M. Boker, The Representation of Color Metrics and
Mappings in Perceptual Color Space
Storia della colorimetria:
• Newton: primo modello di colore.
• Thomas Young: ‘‘...la percezione del colore dipende dalla frequenza della radiazione che
investe l’occhio e dalla risposta dei sensori presenti nella retina...’’
• Hermann Von Helmholtz 1852: ‘‘ ... radiazioni che generano diversi colori viaggiano
senza alcuna azione reciproca e anche se ai nostri occhi appaiono uniti, vengono sempre
separati uno dall’altro con mezzi fisici... ’’
• Hermann Gunther Grassmann dimostra (1854) che per ogni colore spettrale esistono
altri colori che, se miscelati con il primo nelle giuste proporzioni producono luce
bianca.
• Maxwell descrive gli spettri di assorbimento dei recettori presenti nella retina.
lunedì 17 gennaio 2011
10. Spazi di colori
Perchè per l’uomo un spazio di colori è tridimensionale?
lunedì 17 gennaio 2011
11. Spazi di colori
Perchè per l’uomo un spazio di colori è tridimensionale?
Teoria del tristimolo
• L’occhio umano contiene tre tipi diversi di recettori responsabili della visione diurna
sensibili a lunghezze d’onda corte ( coni di tipo S), medie ( coni di tipo M) e lunghe
(coni di tipo L).
• I tre recettori, se investiti da una radiazione con spettro I(λ) , producono tre tensioni
elettriche
+∞ +∞ +∞
Il = I(λ)l(λ) dλ, Im = I(λ)m(λ) dλ, Is = I(λ)s(λ) dλ
−∞ −∞ −∞
in cui l(λ), m(λ), s(λ) sono gli spettri di assorbimento.
lunedì 17 gennaio 2011
12. Spazi di colori
Perchè per l’uomo un spazio di colori è tridimensionale?
Teoria del tristimolo
• L’occhio umano contiene tre tipi diversi di recettori responsabili della visione diurna
sensibili a lunghezze d’onda corte ( coni di tipo S), medie ( coni di tipo M) e lunghe
(coni di tipo L).
• I tre recettori, se investiti da una radiazione con spettro I(λ) , producono tre tensioni
elettriche
+∞ +∞ +∞
Il = I(λ)l(λ) dλ, Im = I(λ)m(λ) dλ, Is = I(λ)s(λ) dλ
−∞ −∞ −∞
in cui l(λ), m(λ), s(λ) sono gli spettri di assorbimento.
...ogni radiazione visibile viene sintetizzata con 3 quantità scalari
lunedì 17 gennaio 2011
13. Spazi di colori
Perchè per l’uomo un spazio di colori è tridimensionale?
Teoria del tristimolo
• L’occhio umano contiene tre tipi diversi di recettori responsabili della visione diurna
sensibili a lunghezze d’onda corte ( coni di tipo S), medie ( coni di tipo M) e lunghe
(coni di tipo L).
• I tre recettori, se investiti da una radiazione con spettro I(λ) , producono tre tensioni
elettriche
+∞ +∞ +∞
Il = I(λ)l(λ) dλ, Im = I(λ)m(λ) dλ, Is = I(λ)s(λ) dλ
−∞ −∞ −∞
in cui l(λ), m(λ), s(λ) sono gli spettri di assorbimento.
...ogni radiazione visibile viene sintetizzata con 3 quantità scalari
IDEA: esprimere ogni radiazione visibile come somma
di tre radiazioni (colori) fondamentali E 1 (λ), E 2 (λ), E 3 (λ)
11 2 2 3 3
I El + I El + I El = Il
1 1 2 2 3 1
I Em + I Em + I E m = Im
I 1 Es + I 2 Es + I 3 Es
1 2 3
= Is
lunedì 17 gennaio 2011
14. Spazi di colori
Spazio CIE-XYZ (International Commission on Illumination, 1931)
• costruito in seguito ad una campagna sperimentale condotta da W. David Wright and John
Guild impiegando come radiazioni fondamentali tre colori primari ‘‘virtuali’’, cioè non
rappresentabili in natura.
• primo spazio di colore completo, nel senso che rappresenta tutti i colori visibili e assunto
come modello di riferimento.
Altri spazi: RGB, CMYK,...
lunedì 17 gennaio 2011
15. Spazi di colori
Spazio RGB
• deriva dalla necessità di rappresentare il colore sui monitor.
• le radiazioni fondamentali sono visibli il rosso, il verde e il blu.
Altri spazi: CMYK, HSV,...
lunedì 17 gennaio 2011
16. Distanza percepita
OSSERVAZIONE: senza altre
precisazioni C è semplicemente
3
un sottoinsieme C ⊂ R
lunedì 17 gennaio 2011
17. Distanza percepita
OSSERVAZIONE: senza altre
precisazioni C è semplicemente metrica euclidea
3
un sottoinsieme C ⊂ R
lunedì 17 gennaio 2011
18. Distanza percepita
OSSERVAZIONE: senza altre
precisazioni C è semplicemente metrica euclidea
3
un sottoinsieme C ⊂ R
lunedì 17 gennaio 2011
19. Distanza percepita
OSSERVAZIONE: senza altre
precisazioni C è semplicemente metrica euclidea
3
un sottoinsieme C ⊂ R
lunedì 17 gennaio 2011
20. Distanza percepita
OSSERVAZIONE: senza altre
precisazioni C è semplicemente metrica euclidea
3
un sottoinsieme C ⊂ R
!!!
lunedì 17 gennaio 2011
22. Distanza percepita
IDEA: distorcere lo spazio XY Z con una trasformazione
biettiva, continua, non lineare
3 3
φ:R →R
lunedì 17 gennaio 2011
23. Distanza percepita
IDEA: distorcere lo spazio XY Z con una trasformazione
biettiva, continua, non lineare
3 3
φ:R →R
e definire la distanza percepita fra due punti
(X0 , Y0 , Z0 ) e (X1 , Y1 , Z1 ) come
|φ(X1 , Y1 , Z1 ) − φ(X1 , Y1 , Z1 )|
lunedì 17 gennaio 2011
24. Distanza percepita: due esempi
Esperimento di MacAdam
• Un osservatore tenta di riprodurre un colore dato mescolando 3 sorgenti primarie.
• A causa della limitata sensibilità dell'occhio, il colore ottenuto non è identico al
campione.
• Si ripete più volte l'esperimento, e si misura la dispersione..
lunedì 17 gennaio 2011
25. Distanza percepita: due esempi
Spazio CIE-Lab (1976)
Si definisce una funzione φ : [0, +∞) → [0, +∞) che
3 3
trasforma gli ellissoidi di MacAdam in sfere
lunedì 17 gennaio 2011
26. Distanza percepita: due esempi
Metrica di Stiles
Non linearità dell’occhio (legge di Weber):
δI
δP =
I
Stiles propone la metrica indotta dalla trasformazione :
ψr (r, g, b) = ψr (r) = αr ln(δr + r)
ψg (r, g, b) = ψg (g) = αg ln(δg + g)
ψb (r, g, b) = ψb (b) = αr ln(δb + b)
lunedì 17 gennaio 2011
27. Spazi di colori e varietà Riemanniane
Approccio alternativo alle trasformazioni globali:
lunedì 17 gennaio 2011
28. Spazi di colori e varietà Riemanniane
Approccio alternativo alle trasformazioni globali:
• modellazione di uno spazio di colori come una varietà
Riemanniana di dimensione 3.
lunedì 17 gennaio 2011
29. Spazi di colori e varietà Riemanniane
Approccio alternativo alle trasformazioni globali:
• modellazione di uno spazio di colori come una varietà
Riemanniana di dimensione 3.
• distorsione solo locale.
lunedì 17 gennaio 2011
30. Spazi di colori e varietà Riemanniane
Approccio alternativo alle trasformazioni globali:
• modellazione di uno spazio di colori come una varietà
Riemanniana di dimensione 3.
• distorsione solo locale.
Riemann, Helmoltz, Scrhodinger, Stiles , Ashtekar,...
lunedì 17 gennaio 2011
31. Una definizione di spazio di colori
Chiameremo spazio di colori una coppia (C, g) in cui:
lunedì 17 gennaio 2011
32. Una definizione di spazio di colori
Chiameremo spazio di colori una coppia (C, g) in cui:
• C ⊂ R3 è un insieme chiuso e limitato.
• g:R →R 3 3×3
è un campo di matrici che verifica:
(1) gij (x) = gji (x) per ogni x ∈ R3 e , j = 1, . . . , 3
(2) gij ∈ C ∞ (R3 ) per ogni i, j = 1, . . . , 3
(3) esistono 0 m M +∞ tali che per ogni x, y ∈ R3
2 2 2 3
m |x| ≤ x, g(y)x ≤ M |x|
lunedì 17 gennaio 2011
33. Una definizione di spazio di colori
Chiameremo spazio di colori una coppia (C, g) in cui:
• C ⊂ R3 è un insieme chiuso e limitato.
• g : R3 → R3×3 è un campo di matrici che verifica:
(1) gij (x) = gji (x) per ogni x ∈ R3 e , j = 1, . . . , 3
(2) gij ∈ C ∞ (R3 ) per ogni i, j = 1, . . . , 3
(3) esistono 0 m M +∞ tali che per ogni x, y ∈ R3
m2 |x|2 ≤ x, g(y)x ≤ M 2 |x|3
Indicheremo con dg (·, ·) la metrica indotta su C e definita ∀x, y ∈ C
come:
1
dg (w, z) = inf
0
|γ(v)v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], R3 ), v(0) = w, v(1) = z
˙ }
|γ(y)x| = x, g(y)x 2
lunedì 17 gennaio 2011
34. Il modello proposto:
esistenza di una soluzione debole
e proprietà qualitative delle
minimizzanti.
lunedì 17 gennaio 2011
35. Classificazione di immagini a colori
• Processo di partizione di un'immagine in regioni significative
ottenuta raggruppando i pixel che hanno caratteristiche
comuni (colore, intensità o texture).
lunedì 17 gennaio 2011
36. Classificazione di immagini a colori
• Processo di partizione di un'immagine in regioni significative
ottenuta raggruppando i pixel che hanno caratteristiche
comuni (colore, intensità o texture).
• Viene utilizzata per semplificare la rappresentazione
delle immagini mettendo in evidenza oggetti e bordi.
lunedì 17 gennaio 2011
37. Classificazione di immagini a colori
• Processo di partizione di un'immagine in regioni significative
ottenuta raggruppando i pixel che hanno caratteristiche
comuni (colore, intensità o texture).
• Viene utilizzata per semplificare la rappresentazione
delle immagini mettendo in evidenza oggetti e bordi.
lunedì 17 gennaio 2011
38. Classificazione di immagini a colori
La classificazione si può pensare come suddivisa in due passi:
lunedì 17 gennaio 2011
39. Classificazione di immagini a colori
La classificazione si può pensare come suddivisa in due passi:
• Si fissano un numero finito di colori K = {α1 , . . . , αl } ⊂ C
che rappresentino i colori medi macroscopici presenti in
un'immagine z : Ω → C (clustering, discretizzazione).
lunedì 17 gennaio 2011
40. Classificazione di immagini a colori
La classificazione si può pensare come suddivisa in due passi:
• Si fissano un numero finito di colori K = {α1 , . . . , αl } ⊂ C
che rappresentino i colori medi macroscopici presenti in
un'immagine z : Ω → C (clustering, discretizzazione).
• Si determina una partizione di Ω costituita da un numero
finito di porzioni ( ≤ l ) in mdo che ogni porzione Ui sia
associata al colore αi.
lunedì 17 gennaio 2011
41. Classificazione di immagini a colori
La classificazione si può pensare come suddivisa in due passi:
• Si fissano un numero finito di colori K = {α1 , . . . , αl } ⊂ C
che rappresentino i colori medi macroscopici presenti in
un'immagine z : Ω → C (clustering, discretizzazione).
• Si determina una partizione di Ω costituita da un numero
finito di porzioni ( ≤ l ) in mdo che ogni porzione Ui sia
associata al colore αi.
Poichè Ui potrebbe avere una frontiera topologica ∂Ui ∩ Ω molto
frastagliata si cerca di ottenere bordi ∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω regolari e
che soddisfino un principio d'interfaccia minima. Dobbiamo inoltre
penalizzare la distanza dal dato z.
lunedì 17 gennaio 2011
42. Il modello proposto
Sia (C, g) uno spazio di colori e dg (·, ·) la metrica associata.
lunedì 17 gennaio 2011
43. Il modello proposto
Sia (C, g) uno spazio di colori e dg (·, ·) la metrica associata.
Assegnati:
• ∞
un’immagine a colori z ∈ L (Ω, C)
lunedì 17 gennaio 2011
44. Il modello proposto
Sia (C, g) uno spazio di colori e dg (·, ·) la metrica associata.
Assegnati:
• ∞
un’immagine a colori z ∈ L (Ω, C)
• un numero finito di l ≥ 2 colori distinti denotati con K = {α1 , . . . , αl } ⊂ C
lunedì 17 gennaio 2011
45. Il modello proposto
Sia (C, g) uno spazio di colori e dg (·, ·) la metrica associata.
Assegnati:
• ∞
un’immagine a colori z ∈ L (Ω, C)
• un numero finito di l ≥ 2 colori distinti denotati con K = {α1 , . . . , αl } ⊂ C
• il parametro positivo β 0
lunedì 17 gennaio 2011
46. Il modello proposto
Sia (C, g) uno spazio di colori e dg (·, ·) la metrica associata.
Assegnati:
• ∞
un’immagine a colori z ∈ L (Ω, C)
• un numero finito di l ≥ 2 colori distinti denotati con K = {α1 , . . . , αl } ⊂ C
• il parametro positivo β 0
Ci proponiamo di determinare una partizione U = {Ui }i=1,...,l di Ω
che minimizzi il funzionale
lunedì 17 gennaio 2011
47. Il modello proposto
Sia (C, g) uno spazio di colori e dg (·, ·) la metrica associata.
Assegnati:
• ∞
un’immagine a colori z ∈ L (Ω, C)
• un numero finito di l ≥ 2 colori distinti denotati con K = {α1 , . . . , αl } ⊂ C
• il parametro positivo β 0
Ci proponiamo di determinare una partizione U = {Ui }i=1,...,l di Ω
che minimizzi il funzionale
1
l
l
E z (U) = dg (αi , αj )H1 (∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω) + β |dg (z(x), αi )|2 dx
2 i,j=1 Ui
i=1
i=j
lunedì 17 gennaio 2011
48. Il modello proposto
1
l
l
E z (U) = dg (αi , αj )H1 (∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω) + β |dg (z(x), αi )|2 dx
2 i,j=1 Ui
i=1
i=j
lunedì 17 gennaio 2011
49. Il modello proposto
l
1
dg (αi , αj )H1 (∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω)
2 i,j=1
i=j
dg ( b , r )
lunghezza del bordo della
Ur
partizione pesata con la
distanza percepita fra i colori Ub
relativi agli elementi della
partizione.
Uv
dg ( b , v )
l dg ( v , r )
β |dg (z(x), αi )|2 dx
i=1 Ui
lunedì 17 gennaio 2011
50. Il modello proposto
l
1
dg (αi , αj )H1 (∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω)
2 i,j=1
i=j
l
β |dg (z(x), αi )|2 dx fidelity term: energia di area che
i=1 Ui
misura la distanza percepita dal
dato z
lunedì 17 gennaio 2011
51. Il modello proposto
1
l
l
E z (U) = dg (αi , αj )H1 (∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω) + β |dg (z(x), αi )|2 dx
2 i,j=1 Ui
i=1
i=j
energia di linea energia di area
lunedì 17 gennaio 2011
52. Il modello proposto
1
l
l
E z (U) = dg (αi , αj )H1 (∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω) + β |dg (z(x), αi )|2 dx
2 i,j=1 Ui
i=1
i=j
energia di linea energia di area
... questo problema rientra nella classe dei
Problemi con discontinuità libera:
minimizzazione di funzionali che contengono
energie di volume ed energie di superficie
E. De Giorgi. Free discontinuity problems in calculus of variations.
lunedì 17 gennaio 2011
54. Formulazione debole
Caratterizzazione delle partizioni ad energia finita
{ U = {Ui }i=1,...,l : E z (U ) +∞ }
lunedì 17 gennaio 2011
55. Formulazione debole
Caratterizzazione delle partizioni ad energia finita
{ U = {Ui }i=1,...,l : E z (U ) +∞ }
lunedì 17 gennaio 2011
56. Formulazione debole
Caratterizzazione delle partizioni ad energia finita
{ U = {Ui }i=1,...,l : E z (U ) +∞ }
lunedì 17 gennaio 2011
57. Formulazione debole
Caratterizzazione delle partizioni ad energia finita
{ U = {Ui }i=1,...,l : E z (U ) +∞ }
Partizioni di Caccioppoli
E ⊂ R2 P (E, Ω) P (E, Ω) = H1 (∂ ∗ E ∩ Ω)
lunedì 17 gennaio 2011
58. Formulazione debole
Caratterizzazione delle partizioni ad energia finita
{ U = {Ui }i=1,...,l : E z (U ) +∞ }
Partizioni di Caccioppoli
E ⊂ R2 P (E, Ω) P (E, Ω) = H1 (∂ ∗ E ∩ Ω)
l
{U = {U }
i i=1,...,l : P (Ui , Ω) +∞ }
i=1
lunedì 17 gennaio 2011
59. Formulazione debole
Caratterizzazione delle partizioni ad energia finita
{ U = {Ui }i=1,...,l : E z (U ) +∞ }
Partizioni di Caccioppoli
E ⊂ R2 P (E, Ω) P (E, Ω) = H1 (∂ ∗ E ∩ Ω)
l
{U = {U }
i i=1,...,l : P (Ui , Ω) +∞ }
i=1
|||
{
BV (Ω, K) = u ∈ BV (Ω, R3 ) : u ∈ K q.o. in Ω }
lunedì 17 gennaio 2011
60. Formulazione debole
Partizioni di Caccioppoli
2 1 ∗
E⊂R P (E, Ω) P (E, Ω) = H (∂ E ∩ Ω)
{
BV (Ω, K) = u ∈ BV (Ω, R3 ) : u ∈ K q.o. in Ω }
lunedì 17 gennaio 2011
61. Formulazione debole
Partizioni di Caccioppoli
2 1 ∗
E⊂R P (E, Ω) P (E, Ω) = H (∂ E ∩ Ω)
{
BV (Ω, K) = u ∈ BV (Ω, R3 ) : u ∈ K q.o. in Ω }
l
z
E (u) : BV (Ω, K) → [0, +∞] u= αi χUi ∈ BV (Ω, K)
i=1
l
1
z
E (u) = dg (αi , αj )H1 (∂ ∗ Ui ∩ ∂ ∗ Uj ∩ Ω) + β |dg (u, z)|2
2 i,j=1 Ω
i=j
lunedì 17 gennaio 2011
62. Formulazione debole
l
z
E (u) : BV (Ω, K) → [0, +∞] u= αi χUi ∈ BV (Ω, K)
i=1
l
1
z
E (u) = dg (αi , αj )H1 (∂ ∗ Ui ∩ ∂ ∗ Uj ∩ Ω) + β |dg (u, z)|2
2 i,j=1 Ω
i=j
Teorema 7.42
z
Il funzionale E (u) ammette l’esistenza
di un minimo con energia finita.
lunedì 17 gennaio 2011
63. Soluzioni forti
• 2
Dato E ⊂ R la sua frontiera ridotta ∂ ∗ E potrebbe non
essere chiusa, quindi per ottenere la soluzione del problema
forte bisogna considerare la chiusura
∗
∪ i ∂ Ui ∩ Ω
• 2
Poichè esistono sottoinsiemi E ⊂ R di perimetro finito con
frontiera topologica ∂E che ha misura di Hausdorff
monodimensionale infinita, una soluzione debole potrebbe
avere energia infinita nella formulazione forte !
• E’ necessario uno studio variazionale delle soluzioni:
G.P. Leonardi e I. Tamanini, Metric space of partitions and
Caccioppoli partitions, 2002
G.P. Leonardi, Infiltrations in immiscible fluids systems, 2001
lunedì 17 gennaio 2011
64. Proprietà qualitative delle minimizzanti
dg ( r , g ) = dg ( r , a ) + dg ( a , g ) dg ( r , g ) dg ( r , v ) + dg ( v , g )
lunedì 17 gennaio 2011
65. Proprietà qualitative delle minimizzanti
dg ( r , g ) = dg ( r , a ) + dg ( a , g )
⇓ dg ( r , g ) dg ( r , v ) + dg ( v , g )
lunedì 17 gennaio 2011
66. Proprietà qualitative delle minimizzanti
dg ( r , g ) = dg ( r , a ) + dg ( a , g )
⇓ dg ( r , g ) dg ( r , v ) + dg ( v , g )
dipende dal termine di fedeltà, dalle
misure degli insiemi e dalla struttura
della metrica
lunedì 17 gennaio 2011
68. Problemi con discontinuità libera
• Difficoltà nell’analisi sia teorica che numerica a causa della
presenza di energie di superficie e di volume
lunedì 17 gennaio 2011
69. Problemi con discontinuità libera
• Difficoltà nell’analisi sia teorica che numerica a causa della
presenza di energie di superficie e di volume
• Sostituizione del funzionale con una famiglia di funzionali che
contengano solo energie di volume (quindi più trattabili
numericamente) che convergano ‘‘in un certo senso’’ al
problema di partenza.
lunedì 17 gennaio 2011
70. Γ-convergenza (E. De Giorgi,T. Franzoni)
• Definizione
F, F : X → R ∪ {+∞}
F = Γ- lim F
+
se ∀x ∈ X, j → 0+
→0
(disuguaglianza del liminf) xj → x ⇒ F (x) ≤ lim inf Fj (xj )
j
(disuguaglianza del limsup) ∃xj → x : F (x) ≥ lim sup Fj (xj )
j
lunedì 17 gennaio 2011
71. Γ-convergenza (E. De Giorgi,T. Franzoni)
• Definizione
F, F : X → R ∪ {+∞}
F = Γ- lim F
+
se ∀x ∈ X, j → 0+
→0
(disuguaglianza del liminf) xj → x ⇒ F (x) ≤ lim inf Fj (xj )
j
(disuguaglianza del limsup) ∃xj → x : F (x) ≥ lim sup Fj (xj )
j
• Proprietà fondamentale
+
Se F = Γ- lim F , j → 0 e uj ∈ argmin Fj ` una successione precompatta,
+
e
→0
allora ∀ per ogni sottosuccessione convergente ujk
u jk → u 0
Fjk (ujk ) → F (u0 )
e u0 ∈ argmin F .
lunedì 17 gennaio 2011
72. Γ-convergenza (E. De Giorgi,T. Franzoni)
Γ-convergenza + equicompatezza
lunedì 17 gennaio 2011
73. Γ-convergenza (E. De Giorgi,T. Franzoni)
Γ-convergenza + equicompatezza
⇓
Convergenza dei minimi
lunedì 17 gennaio 2011
74. Approssimazione via Γ-convergenza
Per ora teniamo da parte il fidelity term
e consideriamo E(u) : BV (Ω, K) → [0, +∞]
l
1 1 ∗ ∗
E(u) = dg (αi , αj )H (∂ Ui ∩ ∂ Uj ∩ Ω)
2 i,j=1
i=j
lunedì 17 gennaio 2011
75. Modelli di transizione di fase
Teorema (S. Baldo, Minimal interface criterionfor phase transitions in mixture of Cahn-Hilliard fluids )
lunedì 17 gennaio 2011
76. Modelli di transizione di fase
Teorema (S. Baldo, Minimal interface criterionfor phase transitions in mixture of Cahn-Hilliard fluids )
Sia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0, +∞] una funzione
continua tale che
(1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl },
(2) esistono C1 , C2 tali che W (x) ≥ max m W per ogni x ∈ [C1 , C2 ]m .
/
[C1 ,C2 ]
lunedì 17 gennaio 2011
77. Modelli di transizione di fase
Teorema (S. Baldo, Minimal interface criterionfor phase transitions in mixture of Cahn-Hilliard fluids )
Sia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0, +∞] una funzione
continua tale che
(1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl },
(2) esistono C1 , C2 tali che W (x) ≥ max m W per ogni x ∈ [C1 , C2 ]m .
/
[C1 ,C2 ]
lunedì 17 gennaio 2011
78. Modelli di transizione di fase
Teorema (S. Baldo, Minimal interface criterionfor phase transitions in mixture of Cahn-Hilliard fluids )
Sia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0, +∞] una funzione
continua tale che
(1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl },
max m W per ogni x ∈ [C1 , C2 ]m .
(2) esistono C1 , C2 tali che W (x) ≥ /
[C1 ,C2 ]
sia d ∈ R ,
m X = u : Ω → Rm misurabile t.c. u dx = d|Ω|}
Ω
e si considerino i funzionali F : X → [0, +∞], F : X ∩ BV (Ω, K) → [0, +∞]
lunedì 17 gennaio 2011
79. Modelli di transizione di fase
Teorema (S. Baldo, Minimal interface criterionfor phase transitions in mixture of Cahn-Hilliard fluids )
Sia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0, +∞] una funzione
continua tale che
(1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl },
max m W per ogni x ∈ [C1 , C2 ]m .
(2) esistono C1 , C2 tali che W (x) ≥ /
[C1 ,C2 ]
sia d ∈ R ,
m X = u : Ω → Rm misurabile t.c. u dx = d|Ω|}
Ω
e si considerino i funzionali F : X → [0, +∞], F : X ∩ BV (Ω, K) → [0, +∞]
l
1 1
2
F (u) = ( W (u) + |Du| ) dx F (u) = θW (αi , αj )Hm−1 (∂ ∗ Si ∩ ∂ ∗ Sj ∩ Ω)
Ω 2 i,j=1
1 i=j
θW (w, z) = inf{ 2 W (v)|v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], Rm )v(0) = w, v(1) = z}.
˙
0
lunedì 17 gennaio 2011
80. Modelli di transizione di fase
Teorema (S. Baldo, Minimal interface criterionfor phase transitions in mixture of Cahn-Hilliard fluids )
Sia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0, +∞] una funzione
continua tale che
(1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl },
max m W per ogni x ∈ [C1 , C2 ]m .
(2) esistono C1 , C2 tali che W (x) ≥ /
[C1 ,C2 ]
sia d ∈ R ,
m X = u : Ω → Rm misurabile t.c. u dx = d|Ω|}
Ω
e si considerino i funzionali F : X → [0, +∞], F : X ∩ BV (Ω, K) → [0, +∞]
l
1 1
2
F (u) = ( W (u) + |Du| ) dx F (u) = θW (αi , αj )Hm−1 (∂ ∗ Si ∩ ∂ ∗ Sj ∩ Ω)
Ω 2 i,j=1
1 i=j
θW (w, z) = inf{ 2 W (v)|v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], Rm )v(0) = w, v(1) = z}.
˙
0
Allora F (u) = Γ − lim F (u)
→0
rispetto alla topologia forte di L1 (Ω, Rm ).
lunedì 17 gennaio 2011
81. Approssimazione via Γ-convergenza
IDEA: modificare la famiglia di funzionali
1 2
F (u) = ( W (u) + |Du| ) dx
Ω
in modo che il Γ-limite sia
l
1 1 ∗ ∗
E(u) = dg (αi , αj )H (∂ Ui ∩ ∂ Uj ∩ Ω)
2 i,j=1
i=j
lunedì 17 gennaio 2011
82. Approssimazione via Γ-convergenza
IDEA: modificare la famiglia di funzionali
1 2
F (u) = ( W (u) + |Du| ) dx
Ω
in modo che il Γ-limite sia
l
1 1 ∗ ∗
E(u) = dg (αi , αj )H (∂ Ui ∩ ∂ Uj ∩ Ω)
2 i,j=1
i=j
Problemi:
• Bisogna introdurre nei funzionali l’effetto della metrica.
• E’ necessario un secondo passaggio al limite.
lunedì 17 gennaio 2011
84. Approssimazione via Γ-convergenza
Teorema 9.1
Sia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0, +∞] una funzione
continua tale che
(1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl },
(2) esistono C1 , C2 tali che W (x) ≥ max m W per ogni x ∈ [C1 , C2 ]m .
/
[C1 ,C2 ]
lunedì 17 gennaio 2011
85. Approssimazione via Γ-convergenza
Teorema 9.1
Sia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0, +∞] una funzione
continua tale che
(1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl },
(2) esistono C1 , C2 tali che W (x) ≥ max m W per ogni x ∈ [C1 , C2 ]m .
/
[C1 ,C2 ]
Si consideri la famiglia di funzionali F : H 1,2 (Ω, Rm ) ∩ L∞ (Ω, Rm ) e il
funzionale F : BV (Ω, K) → [0, +∞]
l l
1 1
F (u) = [ W (u)+ |γ(u)Dj u|2 ] dx F (u) = θW (αi , αj )Hn−1 (∂ ∗ Si ∩∂ ∗ Sj ∩Ω)
Ω j=1
2 i,j=1
i=j
lunedì 17 gennaio 2011
86. Approssimazione via Γ-convergenza
Teorema 9.1
Sia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0, +∞] una funzione
continua tale che
(1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl },
(2) esistono C1 , C2 tali che W (x) ≥ max m W per ogni x ∈ [C1 , C2 ]m .
/
[C1 ,C2 ]
Si consideri la famiglia di funzionali F : H 1,2 (Ω, Rm ) ∩ L∞ (Ω, Rm ) e il
funzionale F : BV (Ω, K) → [0, +∞]
l l
1 1
F (u) = [ W (u)+ |γ(u)Dj u|2 ] dx F (u) = θW (αi , αj )Hn−1 (∂ ∗ Si ∩∂ ∗ Sj ∩Ω)
Ω j=1
2 i,j=1
i=j
1
θW (w, z) = inf{ 2 W (v)|γ(v)v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], Rm ), v(0) = w, v(1) = z}
˙
0
lunedì 17 gennaio 2011
87. Approssimazione via Γ-convergenza
Teorema 9.1
Sia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0, +∞] una funzione
continua tale che
(1) {x ∈ Rm : W (x) = 0} = K = {α1 , . . . , αl },
(2) esistono C1 , C2 tali che W (x) ≥ max m W per ogni x ∈ [C1 , C2 ]m .
/
[C1 ,C2 ]
Si consideri la famiglia di funzionali F : H 1,2 (Ω, Rm ) ∩ L∞ (Ω, Rm ) e il
funzionale F : BV (Ω, K) → [0, +∞]
l l
1 1
F (u) = [ W (u)+ |γ(u)Dj u|2 ] dx F (u) = θW (αi , αj )Hn−1 (∂ ∗ Si ∩∂ ∗ Sj ∩Ω)
Ω j=1
2 i,j=1
i=j
1
θW (w, z) = inf{ 2 W (v)|γ(v)v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], Rm ), v(0) = w, v(1) = z}
˙
0
Allora F (u) = Γ − lim F (u)
→0
rispetto alla topologia forte di L (Ω, R ). p m
lunedì 17 gennaio 2011
88. Approssimazione via Γ-convergenza
Abbiamo ottenuto l’energia di segmentazione
1
θW (w, z) = inf{ 2 W (v)|γ(v)v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], Rm ), v(0) = w, v(1) = z}
˙
0
lunedì 17 gennaio 2011
89. Approssimazione via Γ-convergenza
Abbiamo ottenuto l’energia di segmentazione
1
θW (w, z) = inf{ 2 W (v)|γ(v)v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], Rm ), v(0) = w, v(1) = z}
˙
0
...vogliamo eliminare la dipendenza dal potenziale.
lunedì 17 gennaio 2011
90. Approssimazione via Γ-convergenza
Abbiamo ottenuto l’energia di segmentazione
1
θW (w, z) = inf{ 2 W (v)|γ(v)v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], Rm ), v(0) = w, v(1) = z}
˙
0
...vogliamo eliminare la dipendenza dal potenziale.
Wδ : R3 → [0, +∞] dipendente dal parametro positivo 0 δ δ = min{|α−
β| : α, β ∈ K, α = β}/2 definito come
2
1+δ dist(x, K)
Wδ (x) = ψ x ∈ R3
2 δ
in cui dist(x, K) = min{|x − α| : α ∈ K} ` la distanza euclidea del punto
e
x ∈ R3 dall’insieme K e ψ : [0, +∞] → [0, +∞] ` definita come
e
−x2 /(1−x2 )
1−e se 0 ≤ x ≤ 1
ψ(x) =
1 se x 1.
lunedì 17 gennaio 2011
92. Approssimazione via Γ-convergenza
Lemma 10.1
Siano w, z ∈ K,
1
dg (w, z) = inf
0
˙ }
|γ(v)v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], R3 ), v(0) = w, v(1) = z
1
θδ (w, z) = inf
0
2 Wδ (v)|γ(v)v| dt : v ∈ C 1 ([0, 1], R3 ), v(0) = w, v(1) = z
˙ }
Allora per δ sufficientemente piccolo vale la disuguaglianza
dg (w, z) ≤ θδ (w, z) + o(δ)
e
dg (w, z) = lim θδ (w, z).
δ→0
lunedì 17 gennaio 2011
93. Approssimazione via Γ-convergenza
Definendo la famiglia a due parametri
2
1 2
E,δ (u) = [ Wδ (u) + |γ(u)Dj u| ] dx
Ω j=1
usando il teorema 9.1 e il lemma 10.1 abbiamo
Γ- lim+ Γ- lim E,δ (u) = E(u)
+
δ→0 →0
rispetto alla topologia forte di L (Ω, R ).p 3
lunedì 17 gennaio 2011
95. Approssimazione via Γ-convergenza
Continuità del fidelity term + stabilità rispetto a perturbazioni continue
Teorema 10.2
⇓
Siano Eδ, : H 1,2 (Ω, R3 ) → [0, +∞], E z : BV (Ω, K) → [0, +∞]
z
2
z 1
E,δ (u) = Wδ (u) + |γ(u)Dj u|2 + |dg (u, z)|2 dx
Ω j=1
l
1
z
E (u) = dg (αi , αj )H1 (∂ ∗ Ui ∩ ∂ ∗ Uj ∩ Ω) + β |dg (u, z)|2 dx
2 i,j=1 Ω
i=j
Allora
Γ- lim+ Γ- lim E,δ (u) = E z (u)
+
z
δ→0 →0
rispetto alla convergenza forte in L2 (Ω, R3 ).
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96. Equicompattezza
Proposizione 9.9. Sia 1 ≤ p +∞, F : H 1,2 (Ω, Rm ) → [0, +∞] definito
come
l
1
F (u) = W (u) + 2
|γ(u)Di u| dx
Ω i=1
h una successione di numeri reali che tende a 0 e uh una successione tale
che suph Fh (uh ) +∞. Allora esiste una successione uh tale che Fh (˜h ) ≤
˜ u
Fh (uh ) per ogni j ∈ N e si pu` estrarre una sottosuccessione ukh che converge
o ˜
fortemente in Lp (Ω, Rm ).
lunedì 17 gennaio 2011
97. Un modello di classificazione e restauro
lunedì 17 gennaio 2011
98. Un modello di classificazione e restauro
I funzionali approssimanti
2
z 1
E,δ (u) = Wδ (u) + |γ(u)Dj u|2 + |dg (u, z)|2 dx
Ω j=1
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99. Un modello di classificazione e restauro
I funzionali approssimanti
2
z 1
E,δ (u) = Wδ (u) + |γ(u)Dj u|2 + |dg (u, z)|2 dx
Ω j=1
classificazione
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100. Un modello di classificazione e restauro
I funzionali approssimanti
2
z 1
E,δ (u) = Wδ (u) + |γ(u)Dj u|2 + |dg (u, z)|2 dx
Ω j=1
classificazione restauro
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101. Un modello di classificazione e restauro
I funzionali approssimanti
2
z 1
E,δ (u) = Wδ (u) + |γ(u)Dj u|2 + |dg (u, z)|2 dx
Ω j=1
classificazione restauro fidelity
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102. Un modello di classificazione e restauro
I funzionali approssimanti
2
z 1
E,δ (u) = Wδ (u) + |γ(u)Dj u|2 + |dg (u, z)|2 dx
Ω j=1
classificazione restauro fidelity
Interpretazione di come parametro di sfocamento
lunedì 17 gennaio 2011
104. Conclusioni
• Si propone un modello di classificazione per immagini a
colori basato sulla nozione di distanza percepita.
Il modello è formalizzato come un problema con discontinuità
libera.
lunedì 17 gennaio 2011
105. Conclusioni
• Si propone un modello di classificazione per immagini a
colori basato sulla nozione di distanza percepita.
Il modello è formalizzato come un problema con discontinuità
libera.
• E’ stata mostrata l’esistenza di una soluzione ed alcune
proprietà qualitative delle minimizanti.
lunedì 17 gennaio 2011
106. Conclusioni
• Si propone un modello di classificazione per immagini a
colori basato sulla nozione di distanza percepita.
Il modello è formalizzato come un problema con discontinuità
libera.
• E’ stata mostrata l’esistenza di una soluzione ed alcune
proprietà qualitative delle minimizanti.
• E’ stata costruita un’approssimazione del problema proposto che
può essere interpretata come un modello di classificazione e
restauro per immagini a colori.
lunedì 17 gennaio 2011
107. Conclusioni
• Si propone un modello di classificazione per immagini a
colori basato sulla nozione di distanza percepita.
Il modello è formalizzato come un problema con discontinuità
libera.
• E’ stata mostrata l’esistenza di una soluzione ed alcune
proprietà qualitative delle minimizanti.
• E’ stata costruita un’approssimazione del problema proposto che
può essere interpretata come un modello di classificazione e
restauro per immagini a colori.
• E’ stata provata la Γ-convergenza dei funzionali approssimanti al
funzionale introdotto.
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108. Conclusioni
• Si propone un modello di classificazione per immagini a
colori basato sulla nozione di distanza percepita.
Il modello è formalizzato come un problema con discontinuità
libera.
• E’ stata mostrata l’esistenza di una soluzione ed alcune
proprietà qualitative delle minimizanti.
• E’ stata costruita un’approssimazione del problema proposto che
può essere interpretata come un modello di classificazione e
restauro per immagini a colori.
• E’ stata provata la Γ-convergenza dei funzionali approssimanti al
funzionale introdotto.
• I funzionali approssimanti sono molto più trattabili in vista di
un'approssimazione numerica.
lunedì 17 gennaio 2011
109. Approssimazione via Γ-convergenza
Teorema 1
Sia (C, g) uno spazio di colori, K = {α1 , . . . , αl } ⊂ C un insieme finito di
l colori, z ∈ L∞ (Ω, C) un’immagine a colori, β 0 un parametro positivo. Si
consideri la famiglia di funzionali E,δ (u) : H 1,2 (Ω, R3 ) → [0, +∞]
z
3
z 1 2 2
E,δ (u) = Wδ (u) + |γ(u)Dj u| + β|dg (z, u)| dx
Ω j=1
e il funzionale E z (u) : BV (Ω, K) → [0, +∞]
l
1
E z (u) = dg (αi , αj )H1 (∂ ∗ Ui ∩ ∂ ∗ Uj ∩ Ω) + β |dg (u, z)|2 dx
2 i,j=1 Ω
i=j
Sia δ : [0, +∞] → [0, +∞] una funzione continua e strettamente monotona
crescente tale che δ(0) = 0, j una successione di numeri positivi che tende a 0.
Allora abbiamo che se uj ` una successione costituita da minimizzanti di
e
z
Ej ,δ(j ) si pu` estrarre una sottosuccessione convergente, che indichiamo ancora
o
con uj tale che
u j → u 0 fortemente in L2 (Ω, R3 )
Ej ,δ(j ) (uj ) → E z (u0 )
z
e u0 ∈ argmin(E z ).
lunedì 17 gennaio 2011