Bachelor Thesis

AGH University of Science and
Technology in Cracow
FACULTY OF MECHANICAL
ENGINEERING AND ROBOTICS
Thesis for Bachelor of Science in
Mechanical Engineering
Slawomir Polanski
Author
Mechanical Engineering
Course
Strength analysis of skateboard due to its
collision with the ground using Finite Element
Method.
Topic

SUMMARY
This thesis contains strength analysis of skateboard due to its collision with the
ground using Finite Element Method. It consists of two parts. In the first one static
strength of wooden sample was obtained experimentally, analytically and numerically
(FEM, ANSYS). Aim of the real experimental test was to check the strength of wood and
to compare obtained value with the strength from the numerical simulation. Analytical
calculation was performed in order to clarify the theory of composites as it was the main
assumption during whole procedure of modeling. Each analysis provided the same values
of strength. It indicated correctness of assumptions and experiments.
Second step based on performing numerical procedures in order to obtain the stresses
in skateboard due to its collision with the ground. The whole model of skateboard was
created in Autodesk Inventor package and it was simulated in dynamic transient
simulation. This allows to check whether or not the subject of analysis collapse.
Comparing the numerical results with data from real experiments proved that the
simulation was done properly. It means that Finite Element Analysis can be successfully
applied into area of extreme sports and thereby it could impact on performance of the
competitors.

Spis treści:
Wstęp...................................................................................................................................... 1
Cel pracy.................................................................................................................................2
Zakres pracy............................................................................................................................ 2
1. Opis konstrukcji deskorolki ............................................................................................... 3
2. Sklejka jako materiał kompozytowy i metody jej modelowania ............................................ 7
3. Wytrzymałość kompozytów warstwowych......................................................................... 9
4. Metoda elementów skończonych...................................................................................... 12
5. Wstępna analiza statyczna blatu deskorolki....................................................................... 16
5.1. Pomiar strzałki ugięcia modelu rzeczywistego........................................................... 16
5.2. Analiza statyczna modelu numerycznego badanego obiektu ....................................... 20
5.3. Weryfikacja statycznej próby zginania. ..................................................................... 25
6. Analiza wytrzymałościowa blatu deskorolki na skutek zderzenia z podłożem...................... 29
6.1. Założenia wstępne do analizy wytrzymałościowej ..................................................... 30
6.2. Analiza wytrzymałościowa blatu deskorolki dla przypadku poprawnego lądowania. .... 32
6.3. Analiza wytrzymałościowa blatu deskorolki dla przypadku błędnego lądowania.......... 40
6.4. Weryfikacja poprawności przeprowadzonych symulacji............................................. 47
7. Wnioski.......................................................................................................................... 51
Bibliografia............................................................................................................................ 53
Załączniki.............................................................................................................................. 55

str. 1
Wstęp
Deskorolka została stworzona w latach 30. XX wieku, gdy amatorzy surfingu1
przytwierdzili do desek dwie osie z kółkami, aby móc trenować kiedy pogoda nie
pozwalała na pływanie. Z biegiem czasu to ćwiczenie treningowe stało się odrębną
dyscypliną sportową, zwaną skateboardingiem, czyli jazdą na deskorolce. Przez większość
społeczeństwa ten sport postrzegany jest jako łatwy i niewymagający większych
umiejętności sposób na spożytkowanie wolnego czasu. W początkowej fazie rozwoju
dyscypliny mogła ona nie wymagać od skateboardera szczególnej kondycji i umiejętności,
jednak przez lata sztuka ta była doskonalona i uzupełniana w ciekawe, trudne i coraz
bardziej zaawansowane ewolucje.
XXI wiek to czas szybkiego rozwoju przemysłu i technologii cyfrowej. Komputery
wykorzystywane są we wszystkich dziedzinach życia, również w sporcie. Na wyniki
uzyskiwane przez zawodników pracują grupy inżynierów, którzy wykorzystują je
do poszukiwań najlepszych rozwiązań. Przykładem są stroje pływackie, które pozwalają
na przepłynięcie długości basenu w niemożliwym do osiągnięcia wcześniej czasie.
Technologia komputerowa ma również wpływ na rozwój omawianej dyscypliny sportu.
1
Surfing – sport polegający na ślizganiu się na falach morskich na specjalnie przystosowanej desce

str. 2
Cel pracy
Celem pracy jest przeprowadzenie analizy wytrzymałościowej deskorolki po jej
zderzeniu z podłożem w środowisku obliczeniowym ANSYS. Całość badania poprzedzona
jest wstępnymi obliczeniami sprawdzającymi, które pozwolą jednoznacznie stwierdzić,
czy tok postępowania podczas obliczeń numerycznych jest prawidłowy.
Zakres pracy
Niniejsza praca swoim zakresem obejmuje:
1. Wstęp teoretyczny – przedstawione zostały informacje dotyczące przede
wszystkim budowy deskorolki, materiału, z jakiego został wykonany jej blat
i sposobów, jakimi można go modelować.
2. Wstępną analizę zginania statycznego przeprowadzoną zarówno na próbce
rzeczywistej, jak i na stworzonym modelu numerycznym, oraz weryfikację
i porównanie otrzymanych rezultatów.
3. Analizę wytrzymałościową deskorolki po jej zderzeniu z podłożem,
przeprowadzoną w oparciu o dane, których słuszność została potwierdzona
w próbie statycznego zginania.
4. Wnioski wynikające z przeprowadzonych badań.

str. 3
1. Opis konstrukcji deskorolki
Wraz ze wzrostem popularności skateboardingu, zmieniała się budowa i funkcje
elementów składających się na deskorolkę. Głównym powodem zmian była ewolucja
charakteru dyscypliny ze sportu rekreacyjnego na wyczynowy. Pierwotnie deskorolka była
zwykłą, oszlifowaną deską z prymitywnie przytwierdzonymi kółkami na osiach.
Współczesna deskorolka składa się z części przedstawionych na rysunku rys.1.1.:
1. Blat
2. Taśma papieru ściernego (ang. griptape) – zwiększa przyczepność pomiędzy
butami a deskorolką
3. Truck (oś podtrzymująca kółka) – dwie sztuki; element umożliwiający
montaż kółek do blatu oraz kierowanie deskorolką
4. Łożyska toczne – osiem sztuk, po dwa na każde kółko
5. Kółka – cztery sztuki
6. Elementy złączne – nakrętki, śruby, podkładki.
Rys.1.1 Elementy deskorolki [13]
Blaty deskorolkowe wykonywane są tradycyjnie ze sklejki drewnianej z klonu
kanadyjskiego. Sklejka jest materiałem drewnopochodnym, powstającym przez złożenie
kilku cienkich warstw drewna, przy czym każdy kolejny arkusz obrócony jest względem
poprzedniego o pewien kąt. Liczba fornirów, czyli pojedynczych warstw składowych

str. 4
sklejki, powinna być nieparzysta. Dzięki temu kompozyt staje się symetryczny
wokół płaszczyzny środkowej, zapobiegając tym samym zwichrzeniu w czasie procesu
klejenia. Do połączeń poszczególnych warstw używa się klejów wodoodpornych. Zaletą
tak powstających sklejek jest możliwość uzyskania dogodnych właściwości końcowych
materiału, które powinien spełniać w zależności od przeznaczenia. Produkując tego typu
tworzywa drzewne uzyskuje się materiał bardziej jednorodny, w wyniku czego
niekorzystne cechy drewna spowodowane jego anizotropową budową, higroskopijnością
lub występowaniem wad (sęki itp.) są w tworzywach praktycznie eliminowane lub
ograniczane do minimum.
Sklejka przeznaczona na blat deskorolki charakteryzuje się odmiennym ułożeniem
warstw niż stosowane jest to w tradycyjnym wyrobie, jakiego używa się chociażby
do produkcji mebli.
Rys.1.2 Rozkład warstw w blacie deskorolki [14]
Rozkład warstw (od góry)[19]:
1. Warstwa wierzchnia – włókna ułożone wzdłuż długości blatu
2. Rdzeń – włókna ułożone wzdłuż długości blatu
3. Warstwa poprzeczna - włókna skierowanymi prostopadle do długości blatu.
5. Warstwa poprzeczna - włókna skierowane prostopadle do długości blatu
7. Warstwa wierzchnia – włókna ułożone wzdłuż długości blatu.

str. 5
Warstwa wierzchnia jest rdzeniem, który dodatkowo zostaje zaimpregnowany
i zabezpieczony przed czynnikami atmosferycznymi. Impregnaty te nie wpływają
na właściwości wytrzymałościowe materiału.
Poszczególne forniry różnią się grubością. Warstwa wierzchnia oraz rdzeń powinny
mieć ok. 1,47 mm, natomiast warstwa poprzeczna ok. 1,27 mm. Wielkości te mogą
się różnić w zależności od producenta sklejek deskorolkowych. Można sądzić, że takie
wymiary zostały dobrane celowo by zapewnić najlepsze relacje pomiędzy wytrzymałością
a sprężystością deskorolki.
Coraz częściej można spotkać blaty, w których stosowane są warstwy z włókna
węglowego lub innych tworzyw, mających wzmocnić konstrukcję i obniżyć jej ciężar.
Niestety, użycie takich materiałów jest niewspółmiernie droższe do odczuwalnego
komfortu jazdy.
Każda deskorolka powinna zostać dopasowana do odpowiednich warunków
fizycznych jeżdżącego. Jak większość obiektów użytkowych, również blaty deskorolkowe
posiadają pewne standardy rozmiarowe. Blat o długości 31.625 cala oraz szerokości 7.625
cala został przedstawiony na rys.1.3. (jednostki zostały zamienione na milimetry).
Zaznaczone na rysunku części Nose oraz Tail oznaczają nazwy używane do określania
odpowiednio przodu oraz tyłu deskorolki. Na przekroju A-A, pokazany został
tzw. Concave – „lej” powstały w wyniku zakrzywienia bocznych części blatu. Nose i Tail
wpływają na łatwość wykonywania wariacji. Tail jest nieco krótszy i ustawiony pod
mniejszym kątem względem podstawy, gdyż tylna noga jeżdżącego jest zazwyczaj
ułożona na jego czubku. Tym samym część ta jest częściej wykorzystywana, czyli bardziej
podatna na utratę kształtu. Concave ma decydujący wpływ na wytrzymałość blatu. Takie
ukształtowanie profilu umożliwia także skręcanie na deskorolce bez kolizji pomiędzy
częścią drewnianą a kółkami.
Wraz z większymi kątami zakrzywień, skraca się również czas zdatności deskorolki
do jazdy podczas której wykonywane są akrobacje. Po utracie profilu szybciej dochodzi
do pęknięć w środkowej części blatu. Dodatkowo, w wyniku działania sił dynamicznych
na Nose oraz Tail często dochodzi do przerwania ciągłości struktury na przejściach z
części środkowej na przednią/tylną.

str. 6
Rys.1.3 Poglądowy rysunek blatu deskorolki, wykonany w edukacyjnej wersji programu AUTODESK
INVENTOR

str. 7
2. Sklejka jako materiał kompozytowy i metody jej modelowania
Kompozytem nazywamy kombinację dwóch lub więcej materiałów, które różnią
się rodzajem lub składem chemicznym[4]. Ważną cechą jest fakt, że składniki zachowują
swoją odrębność, jednocześnie współdziałając ze sobą. Zazwyczaj w prosty sposób można
wyodrębnić elementy składowe kompozytu. Kolejną zaletą materiałów kompozytowych
jest fakt, że zapewniają one nie tylko dobre właściwości mechaniczne, a także elektryczne
czy cieplne. Istnieje wiele kryteriów, według których można podzielić kompozyty. Jeden
ze sposobów klasyfikacji przedstawiony jest na rys.2.1.
Rys.2.1. Klasyfikacja ze względu na rodzaj składników wzmacniających [4]
Materiałem, który towarzyszy człowiekowi od zarania dziejów i niezmiennie cieszy
się jego zainteresowaniem jest drewno. Cechuje je przede wszystkim lekkość, trwałość,
sprężystość, znaczna wytrzymałość mechaniczna, mały współczynnik rozszerzalności
cieplnej oraz łatwość obróbki. Równocześnie jednak drewno zalicza się do materiałów
o właściwościach anizotropowych, czyli zależnych od kierunku badań danej cechy, oraz
niejednorodnością 2
. Trudność ta sprawia, że podczas obliczeń analitycznych lub
numerycznych należy stosować pewne uproszczenia.
2
materiał nie jest wypełniony w całości substancją jednego rodzaju.
Kompozyty
Cząsteczkowe
Dużecząstki
Utwardzane
dyspersyjnie
Wzmacniane
włóknami
Włókna ciągłe
Włókna
nieciągłe
Strukturalne
Warstwowe
Z rdzeniem z
materiałów
lekkich

str. 8
Drewno może być opisywane jako materiał ortotropowy, tzn. taki, który posiada
jednoznaczne i niezależne właściwości mechaniczne w trzech wzajemnie prostopadłych
do siebie płaszczyznach. Trzy główne kierunki anatomiczne drewna przyporządkowane
są w tym wypadku trzem osiom głównym:
 oś x – wzdłuż włókien drewna,
 oś y – w poprzek włókien drewna i prostopadle do słojów rocznych,
 oś z – w poprzek włókien drewna i równolegle do słojów rocznych,
Rys. 2.2. Przekroje drewna i kierunki osi układu współrzędnych [15]
W rzeczywistym elemencie drewnianym łatwo jest określić kierunek wzdłuż
włókien, natomiast rozróżnienie kierunków y i z jest prawie niemożliwe. Z technicznego
punktu widzenia w przypadku drewna nieuzasadnionym jest traktowanie tych dwóch
kierunków jako odrębne. Przyjmuje się wartość mniejszą dla obu [9].
Jak wspomniano, sklejka drewniana składa się z kilku cienkich warstw, z których
poszczególne obrócone są względem warstwy poprzedzającej o kąt 90° . Dzięki
odpowiednim technikom wytwarzania otrzymany produkt ma właściwości bardziej
ujednolicone w stosunku do naturalnego drewna. Z tego powodu sklejka może być
modelowana jako kompozyt warstwowy, o warstwach mających właściwości
ortotropowe [10].

str. 9
3. Wytrzymałość kompozytów warstwowych
W przypadku kompozycji warstwowej, w której poszczególne warstwy mogą różnić
się parametrami geometrycznymi oraz materiałowymi, określenie nośności3
jest bardzo
ciężkie. Jak dotąd nie udało się stworzyć formuły, po zastosowaniu której w każdym
przypadku zostałby uzyskany poprawny wynik. Jest to spowodowane różnorodnością
materiałów składowych, mnogością ich mechanizmów zniszczenia oraz trudnościami
występującymi podczas weryfikacji kryteriów wytrzymałościowych. Z tej przyczyny
konieczne jest potraktowanie każdej warstwy z osobna, a następnie odniesienie się do
całości konstrukcji.
Ocena wytrzymałości warstwy o właściwościach ortotropowych jest bardziej
skomplikowana niż w przypadku materiału izotropowego. W tym ostatnim w celu
określenia nośności, podczas obliczeń korzysta się z różnych hipotez
wytrzymałościowych, zdefiniowanych przez naprężenia lub odkształcenia główne.
W przypadku warstwy o właściwościach ortotropowych stosowanie tak określonych
hipotez jest błędne, ponieważ nie bierze się pod uwagę faktu, że kierunki główne tensorów
naprężenia i odkształcenia są różne. W celu określenia nośności materiałów otrotropowych
stosowane są różne kryteria wytrzymałościowe. Podobnie jak hipotezy wytrzymałościowe,
wszystkie wspomniane kryteria wynikają z obserwacji doświadczalnych i mogą zostać
nazwane kryteriami empirycznymi.
W literaturze [5] rozróżnia się cztery podstawowe kryteria wytrzymałościowe:
1. Kryterium maksymalnego naprężenia – pozwala na identyfikację sposobu
zniszczenia kompozytu, ale nie uwzględnia sprzężenia pomiędzy
mechanizmami zniszczenia. Ma swoje źródło w hipotezie maksymalnych
naprężeń głównych dla materiałów izotropowych. Kryterium to stanowi,
że warunkiem stanu bezpiecznego kompozytu jest sytuacja, w której naprężenia
normalne 𝜎1 i 𝜎2 oraz naprężenia styczne 𝜎6 nie przekraczają wartości
wytrzymałości odpowiadających ich kierunkom.
2. Kryterium maksymalnego odkształcenia – jest bardzo zbliżone do kryterium
maksymalnego naprężenia, z tą różnicą, że warunki graniczne nakładane są nie
na naprężenia, ale na odkształcenia. Kryterium to zakłada, że 𝜀1, 𝜀2, 𝜀6
3
zdolności do przeniesienia konkretnej wartości obciążenia

str. 10
są mniejsze od poszczególnych wartości odkształceń dla danego kierunku.
Wartości odkształceń granicznych mogą zostać dobrane z prób
doświadczalnych.
3. Kryterium Azzi'ego-Tsai'a-Hill'a – zakłada, że o wytrzymałości kompozytu
decyduje osiągnięcie granicznego stanu liniowo-sprężystego. Kryterium
to wywodzi się z warunku plastyczności Hubera-Misesa-Hencky’ego, który
został uogólniony na materiały ortotropowe.
Dla płaskiego stanu naprężenia kryterium przyjmuje następującą postać:
𝜎1
𝑋
2
+
𝜎2
𝑌
2
−
𝜎1 𝜎2
𝑋2
+
𝜏12
𝑆
2
= 1
gdzie:
o 𝜎1 – naprężenia laminatu wzdłuż kierunku włókien
o 𝜎2 – naprężenia laminatu w poprzek kierunku włókien
o 𝜏12 – naprężenia ścinające laminatu
o 𝑋 – wytrzymałość warstwy na rozciąganie/ściskanie w kierunku
włókien
o 𝑌 – wytrzymałość warstwy na rozciąganie/ściskanie w kierunku
poprzecznym do włókien
o 𝑆 - wytrzymałość warstwy na ścinanie w płaszczyźnie głównych osi
materiałowych.
Rys.3.1. Kierunki naprężeń w pojedynczej warstwie
Przewagą tego kryterium w stosunku do dwóch poprzednich jest fakt, że daje
ono lepszą zgodność z wynikami doświadczalnymi oraz uwzględnia sprzężenie
składowych stanu naprężenia.

str. 11
4. Kryterium Tsai'a-Wu – odnosi się do skorup kompozytowych. Rozważa
całkowitą energię odkształcenia, w celu przewidzenia zniszczenia. Jest bardziej
ogólną formą kryterium Azzi'ego-Tsai'a-Hill'a, ponieważ rozróżniane
są wytrzymałości materiału na rozciąganie od wytrzymałości materiału
na ściskanie.
Wszystkie te kryteria łączy wspólna cecha – mają charakter makroskopowy, tzn. nie
uwzględniają mikrouszkodzeń, skupiają się na warstwie, a nie na jej składnikach. Istnieją
inne kryteria stosowane w celu określenia nośności kompozytów, jednak większość z nich
to modyfikacje wyżej wymienionych.
Z powodu braku danych materiałowych przytoczone kryteria nie zostaną użyte
w niniejszej pracy. Krótkie wspomnienie o nich ma charakter jedynie informacyjny.

str. 12
4. Metoda elementów skończonych
Badanie przeprowadzone w ramach niniejszej pracy zostało w głównej mierze oparte
na numerycznej analizie modelu deskorolki. Symulacja komputerowa będzie
wykorzystywała metodę elementów skończonych jako jeden ze sposobów służących
do określenia rozkładu naprężeń oraz odkształceń w konstrukcjach. Metoda ta jest
używana praktycznie w każdej możliwej dziedzinie inżynierii, która używa modeli
opisanych za pomocą równań różniczkowych cząstkowych. Pozwala ona
na przeprowadzanie obliczeń w dziedzinach fizyki, w których dawniej było to niemożliwe
lub bardzo skomplikowane, jak np. w mechanice płynów. Najważniejszą zaletą tej metody
jest fakt, że prowadzi ona do przekształcenia problemu z analizy matematycznej
do problemu algebraicznego, który może być rozwiązany przez dzisiejsze komputery bez
znacznych utrudnień. Dzięki swojej efektywności i szerokiemu zastosowaniu, MES jest
chętnie stosowany przez inżynierów. Ogólny algorytm metody można przedstawić w kilku
krokach (niezdefiniowane w tej części pracy pojęcia zostały opisane w dalszej części):
1. Budowa uproszczonego modelu geometrycznego w oparciu o model
rzeczywisty
2. Decyzja dotycząca stosowanych elementów skończonych
3. Dyskretyzacja modelu
4. Określenie warunków brzegowych
5. Budowa macierzy sztywności
6. Agregacja macierzy sztywności, uwzględniając przy tym warunki brzegowe
7. Rozwiązywanie układów liniowych
8. Wizualizacja wyników.
Przeprowadzając symulację dowolnej konstrukcji przy użyciu MES, należy
zdyskretyzować rozpatrywaną domenę, tzn. podzielić ją na mniejsze obszary przy użyciu
odpowiednich elementów skończonych. Proces dyskretyzacji ma kluczowe znaczenie
podczas analizy numerycznej, ponieważ to od niego zależy długość, a przede wszystkim
poprawność otrzymanych rezultatów. Rys.4.1. przedstawia kilka rodzajów elementów,
z których każdy opisany jest innym równaniem matematycznym.

str. 13
Rys.4.1. Zestawienie przykładowych elementów skończonych [16]
Elementy składają się z węzłów, w których otrzymywane są wyniki, a pole
międzywęzłowe opisywane jest dzięki funkcji kształtu, która zazwyczaj przyjmuje postać
wielomianu. Funkcja powinna spełniać następujące warunki [3]:
1. Zapewniać ciągłość przemieszczeń wewnątrz elementu oraz zgodność
na granicach.
2. Umożliwiać opisanie stałych przemieszczeń elementu.
3. Umożliwiać opisanie stałych odkształceń wewnątrz elementu, które
występują przy odpowiednich przemieszczeniach węzłów.
Gdy spełnione są warunki:
 1, 2, 3 – mamy do czynienia z elementami zgodnymi, czyli dostosowanymi,
tzn. dają zbieżność od dołu rozwiązania dokładnego;
 2, 3 – mamy do czynienia z elementami zupełnymi (niedostosowanymi), tzn.
że nie zawsze są zbieżne, a kiedy są to nie zawsze od dołu.
O rozwiązaniu zbieżnym od dołu można mówić, gdy otrzymane wyniki są mniejsze
od wyników rzeczywistych i należy traktować je jako wartości graniczne.
Nakładając na model fizyczny siatkę z elementów skończonych należy mieć
na uwadze, że wielkość błędu zależy również od ich ilości.

str. 14
Zależność pomiędzy rozwiązaniem dokładnym a rzeczywistym jest przedstawiona
na wykresie poniżej:
Rys.4.2. Typowa zależność rozwiązania modelu dyskretnego od ilości użytych elementów
Jak wynika z wykresu, zbieżność modelu numerycznego ulega poprawie wraz
z ilością elementów skończonych i jest to jeden ze sposobów na otrzymanie lepszego
rezultatu. Kolejnym sposobem uzyskania dokładniejszych wyników jest zastosowanie
elementu skończonego, którego funkcja kształtu opisana jest wielomianem wyższego
rzędu.
Po przeprowadzeniu procesu dyskretyzacji, na model należy nałożyć odpowiednie
warunki brzegowe, tzn. należy przypisać węzłom elementów skończonych określone
stopnie swobody. Przez stopień swobody rozumie się ilość prostych ruchów, jakie punkt
jest w stanie zrealizować w przestrzeni opisanej układem kartezjańskim. W zagadnieniach
MES zazwyczaj używane są trzy rodzaje warunków brzegowych:
1. Warunek Dirichleta – określa wartość funkcji w węźle
2. Warunek Neumanna – określa wartość pochodnej funkcji w węźle
3. Warunek Robina – warunek mieszany, w węźle określona jest wartość
funkcji i jej pochodna.

str. 15
Kolejnym etapem jest budowa macierzy sztywności elementu. Określa ona związek
pomiędzy obciążeniem a odkształceniem, a ważną jej cechą jest symetryczność.
Ma to ogromne znaczenie dla obliczeń numerycznych, ponieważ wystarczające jest
przechowanie połowy macierzy położonej po jednej stronie przekątnej głównej wraz
z tą przekątną. W celu określenia tej macierzy należy obliczyć następującą całkę:
𝐾 = 𝐵 𝑇
𝐷 𝐵 𝑑Ω
Ω
gdzie:
 [K] – macierz sztywności;
 Ω – obszar rozpatrywanej analizy;
 B – macierz zawierająca pochodne funkcji kształtu;
 [D] – macierz sprężystości, zawierające informację o stałych materiałowych.
Agregacja macierzy sztywności polega na tym, że wpisuje się odpowiednie macierze
elementów do odpowiednich komórek globalnej macierzy sztywności [3]. W przypadku
korzystania z oprogramowania komputerowego, jak np. ANSYS, środowisko obliczeniowe
wykona samodzielnie odpowiednie czynności.
Brak zrozumienia rozwiązywanego problemu, zarówno ze strony matematycznej, jak
i fizycznej, a także przyjęte błędne założenia powodują, że wyniki często różnią się
od rzeczywistych. Z tego powodu ważnym jest, aby zarówno model, jak i wyniki obliczeń
numerycznych były w każdym przypadku weryfikowane przez uproszczone obliczenia
analityczne.
Warto zaznaczyć również, że przy zastosowaniu tej metody wynik obliczeń jest
zawsze przybliżeniem wyniku rzeczywistego i zależy także od przyjętych uproszczeń.
Najczęściej stosuje się poniższe symplifikacje:
 uproszczenie kształtu geometrycznego,
 założenie jednorodności materiału,
 pomijanie odkształcalności lub masy niektórych elementów,
 założenie liniowych charakterystyk właściwości fizycznych rozpatrywanego
modelu,
 pomijanie oddziaływań wewnętrznych/zewnętrznych.

str. 16
5. Wstępna analiza statyczna blatu deskorolki
Eksperyment polegał na pomiarze strzałki ugięcia modelu rzeczywistego przy
różnych wartościach obciążeń. Wyniki posłużą jako punkt odniesienia dla wyników
otrzymanych z obliczeń numerycznych oraz pozwolą określić, czy sklejka posiada liniową
charakterystykę odkształceń i może być uznawana za materiał o właściwościach
ortotropowych.
5.1. Pomiar strzałki ugięcia modelu rzeczywistego
Próba będzie przeprowadzana na stanowisku badawczym, którego schemat
przedstawiono na rys.5.1. Stanowisko składa się z dwóch ram, połączonych ze sobą
sworzniem. Taka konstrukcja pozwala uzyskać odpowiednią stabilność względem podłoża
oraz możliwość względnie dokładnego ustawienia obszaru obciążonego na próbce.
Odważnik, którego masa będzie zwiększana w kolejnych próbach pomiarowych,
ustawiono na pionowym ramieniu konstrukcji, skierowanym prostopadle do sklejki.
Rys.5.1. Schemat stanowiska badawczego

str. 17
Podczas badania przyjmuje się następujące uproszczenia:
 próbka będzie pracować w zakresie odkształceń sprężystych, tzn. po odjęciu
sił wróci do pierwotnego kształtu;
 wypadkowa sił rozłożonych na powierzchni próbki znajduje się w środku
ciężkości próbki;
 odkształcenia próbki są na tyle małe, że nie powodują zmian w strukturze
międzywarstwowej;
 ciężar konstrukcji jest pomijalnie mały w stosunku do ciężaru pochodzącego
od odważników.
Gabaryty rozpatrywanej próbki wynoszą:
 długość - 𝑙 = 296 𝑚𝑚;
 szerokość - 𝑏 = 120 𝑚𝑚;
 grubość - 𝑕 = 10 𝑚𝑚.
Rys.5.2. Schemat obciążenia sklejki wykonany za pomocą edukacyjnej wersji programu AutoCAD.

str. 18
Przeprowadzono 24 próby, których wyniki przedstawiono w tab.5.1.
Tab.5.1. Wartości strzałek ugięcia dla poszczególnych prób
Nr.
𝑚
[𝑘𝑔]
𝑓𝑟𝑧
[𝑚𝑚]
Nr.
𝑚
[𝑘𝑔]
𝑓
[𝑚𝑚]
Nr.
𝑚
[𝑘𝑔]
𝑓
[𝑚𝑚]
1. 5 0 9. 25 1,5 17. 45 2,3
2. 7,5 0,1 10. 27,5 1,6 18. 47,5 2,5
3. 10 0,3 11. 30 1,8 19. 50 2,7
4. 12,5 0,5 12. 32,5 1,9 20. 52,5 2,9
5. 15 0,7 13. 35 1,9 21. 55 3
6. 17,5 1 14. 37,5 2 22. 57,5 3,1
7. 20 1,1 15. 40 2 23. 60 3,2
8. 22,5 1,3 16. 42,5 2,2 24. 68 3,5
Mnożąc każdą pozycję odpowiadającą masie odważnika przez przyspieszenie
ziemskie 𝑔 = 9,81 𝑚 𝑠2
, otrzymano siłę działającą na linię symetrii próbki jak
przedstawiono na rys.5.2. Wykres ukazujący zależność pomiędzy tą siłą a strzałką ugięcia
przedstawiono poniżej.
Rys.5.3. Zależność pomiędzy strzałką ugięcia a siłą obciążającą sklejkę(model rzeczywisty)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
49
74
98
123
147
172
196
221
245
270
294
319
343
368
392
417
441
466
491
515
540
564
589
Strzałkaugięciaf[mm]
Siła P[N]

str. 19
Jedna z prób została udokumentowana na zdjęciu przedstawionym poniżej.
Rys.5.4. Rzeczywista próba pomiaru strzałki ugięcia

str. 20
5.2. Analiza statyczna modelu numerycznego badanego obiektu
Obliczenia numeryczne wykonano w module Mechanical środowiska ANSYS 14,
stosując metodę elementów skończonych. Pakiet ten daje możliwości obliczeń materiałów
kompozytowych o właściwościach ortotropowych.
Parametry materiałowe drewna, jakim jest klon kanadyjski nie są jednoznacznie
określone w literaturze. Do badań przyjęto wartości podane w tab.5.2. i niektóre z nich
zostały uśrednione na podstawie dostępnych źródeł.
Tab.5.2 Zestawienie danych materiałowych [8].
Moduł sprężystość podłużnej
E [𝑀𝑃𝑎]
Współczynnik Poisson’a 𝒗
[-]
Moduł sprężystości
postaciowej 𝑮
[𝑀𝑃𝑎]
Gęstość
𝝆
[𝑘𝑔 𝑚3
]
𝑬 𝑿 𝑬 𝒀 𝑬 𝒁 𝒗 𝑿𝒀 𝒗 𝑿𝒁 𝒗 𝒀𝒁 𝑮 𝑿𝒀 𝑮 𝑿𝒁 𝑮 𝒀𝒁
7900 514 514 0,424 0,476 0,774 877 500 500 670
Blat deskorolki charakteryzuje się małym stosunkiem grubości do szerokości,
dlatego można traktować go jako konstrukcję płytową. Wykorzystując ten fakt, w celach
badawczych zostały zbudowane dwa modele numeryczne, różniące się rodzajem
zastosowanego płytowego elementu skończonego. Pierwszy model zbudowany został
z elementu typu SHELL281. Jest on odpowiedni do analizy cienkich i relatywnie cienkich
struktur, posiada osiem węzłów, z których każdy ma 6 stopni swobody. Drugi model został
zbudowany z elementów typu SOLSH190. Jest to forma przejściowa pomiędzy
elementami płytowymi a bryłowymi [11]. Umożliwia analizę bryłowych modeli
numerycznych i jest to podstawowa cecha, która odróżnia go od elementu typu
SHELL281. W stosunku do elementu płytowego posiada on tylko trzy stopnie swobody w
węźle. Warto również zaznaczyć, że forma, w której definiowane są poszczególne
warstwy w środowisku ANSYS, jest taka sama, tzn. służy temu odpowiednia funkcja w
menu kontekstowym.

str. 21
Z pomocą wspomnianych elementów można modelować kompozyty warstwowe
zbudowane z materiałów izotropowych, ortotropowych oraz anizotropowych. Dokładność,
jaką się uzyskuje, jest określona teorią płyt cienkich, tzn. że podczas obliczeń przyjęte
są następujące założenia [7]:
 płaszczyzna środkowa płyty nie doznaje odkształceń, tylko ugięć;
 prosta normalna do płaszczyzny środkowej przed ugięciem płyty pozostaje
prostopadłą do płaszczyzny środkowej po ugięciu;
 pomija się wpływ sił poprzecznych na odkształcenia;
 zakłada się liniowy rozkład odkształceń i naprężeń po grubości.
Rys.5.5 Schemat elementu płytowego typu A) SOLSH190 B) SHELL281 [11]

str. 22
Zarówno SHELL281 jak i SOLSH190 umożliwia operowanie na cienkiej płycie, która
będzie zachowywała właściwości laminatu. Poszczególne warstwy sklejki zostały
zamodelowane jak na rys.5.6., przy czym warstwy 1,2,4,6,7 mają grubość 1,47mm,
natomiast warstwy 3 oraz 5 – grubość 1,27mm (posiadają również odmienną orientację
w stosunku do reszty). Łączna grubość modelu numerycznego wynosi 9,89mm.
Rys.5.6. Układ warstw w modelu numerycznym
Kolejno wykonano geometrię modeli numerycznych, bazując na rys.5.2., nałożono
siatkę elementów oraz odebrano stopnie swobody. Następnie przeprowadzono próby
mające na celu wyznaczenie strzałki poprzez przyłożenie sił na odpowiednich polach
powierzchni. Wyniki eksperymentu przedstawiono w tab.5.3. i tab.5.4., przy czym
wartości mas użytych w poprzednim badaniu zastąpiono odpowiednimi ciężarami 𝑃.

str. 23
Tab.5.3. Wartość strzałek ugięcia poszczególnych prób numerycznych z użyciem elementu typu SHELL281
Nr.
𝑃
[𝑁]
𝑓𝑛
[𝑚𝑚]
Nr.
𝑃
[𝑁]
𝑓𝑛
[𝑚𝑚]
Nr.
𝑃
[𝑁]
𝑓𝑛
[𝑚𝑚]
1. 49,05 0,56 9. 245,25 2,81 17. 441,45 5,05
2. 73,58 0,84 10. 269,78 3,09 18. 465,98 5,33
3. 98,10 1,13 11. 294,30 3,37 19. 490,50 5,61
4. 122,63 1,41 12. 318,83 3,65 20. 515,03 5,89
5. 147,15 1,69 13. 343,35 3,93 21. 539,55 6,17
6. 171,68 1,97 14. 367,88 4,21 22. 564,08 6,45
7. 196,20 2,25 15. 392,40 4,49 23. 588,60 6,73
8. 220,73 2,53 16. 416,93 4,77 24. 667,08 7,01
Tab.5.4. Wartość strzałek ugięcia poszczególnych prób numerycznych z użyciem elementu typu SOLSH190
Nr.
𝑃
[𝑁]
𝑓𝑛
[𝑚𝑚]
Nr.
𝑃
[𝑁]
𝑓𝑛
[𝑚𝑚]
Nr.
𝑃
[𝑁]
𝑓𝑛
[𝑚𝑚]
1. 49,05 0,31 9. 245,25 1,55 17. 441,45 2,80
2. 73,58 0,47 10. 269,78 1,71 18. 465,98 2,95
3. 98,10 0,62 11. 294,30 1,86 19. 490,50 3,11
4. 122,63 0,78 12. 318,83 2,02 20. 515,03 3,26
5. 147,15 0,93 13. 343,35 2,18 21. 539,55 3,42
6. 171,68 1,09 14. 367,88 2,33 22. 564,08 3,57
7. 196,20 1,24 15. 392,40 2,49 23. 588,60 3,73
8. 220,73 1,40 16. 416,93 2,64 24. 667,08 3,88
Rys.5.7. Zależność pomiędzy strzałką ugięcia a siłą obciążającą sklejkę(model numeryczny)
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
10,00
49
74
98
123
147
172
196
221
245
270
294
319
343
368
392
417
441
466
491
515
540
564
589
667
Siła P[N]
SOLSH190 SHELL281

str. 24
Na rysunkach 5.8. i 5.9. zostały przedstawione ugięcia kompozytów pod wpływem
działania siły równej 300 𝑁.
Rys.5.8. Ugięcie kompozytu przy użyciu elementów typu SHELL281
Rys.5.9. Ugięcie kompozytu pod wpływem siły 300N (SOLSH190)

str. 25
5.3. Weryfikacja statycznej próby zginania.
Warunki, w jakich przeprowadzono eksperyment rzeczywisty odbiegały od
laboratoryjnych. Do pomiaru strzałki ugięcia użyto suwmiarki zamiast specjalnych
czujników, które pokazują niemalże dokładną wartość. Dodatkowo zastosowano pewne
uproszczenia, które także miały wpływ na wynik. Przykładowo, dla modelu numerycznego
przyjęto grubość poszczególnych warstw wg zaleceń producenta, a nie taką, jaka
rzeczywiście występuje w konkretnej próbce sklejki. Nieznajomość parametrów
materiałowych również miała wpływ na otrzymanie błędnego wyniku.
Rys.5.10. Zestawienie wyników z przeprowadzonych eksperymentów
Na podstawie powyższego wykresu łatwo zauważyć, że wykres strzałki ugięcia dla
próbki rzeczywistej można, z niewielką niedokładnością, aproksymować funkcją liniową.
Pozwala to sądzić, iż przyjęcie ortotropowych właściwości próbki było trafnym wyborem.
W przypadku modelu numerycznego strzałki ugięcia zawsze miały większą wartość niż
dla modelu rzeczywistego. Oznacza to, że rozpatrywany w niniejszym badaniu model
numeryczny uwzględnia pewien współczynnik bezpieczeństwa tzn. jeśli przy tym samym
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 98 172 245 319 392 466 540
Siła P[N]
RZECZYWISTA SOSHELL190 SHELL281

str. 26
wymuszeniu warunki zostaną zachowane w modelu numerycznym, zostaną one również
zachowane w przypadku obiektu rzeczywistego.
Z rys.5.10. wynika wprost, że element skończony typu SOSHEL190 sprawdza
się bardzo dobrze w przypadku zginania próbki, dlatego w dalszej części pracy zostanie
on wykorzystany podczas analizy dynamicznej. Błędy przy użyciu SHELL281 mogą
wynikać z faktu, że dla pojedynczego elementu grubość warstwy, a także długość
i szerokość są sobie bliskie, co nie powinno występować w konstrukcji płytowej.
W celu zweryfikowania poprawności badania i kontroli jakości siatki elementów
skończonych przeprowadzono dodatkowo obliczenia sprawdzające. W modelu
numerycznym badania statycznego zostały zmienione warunki brzegowe tak, aby
odpowiadały przypadkowi rozciągania jednokierunkowego. Jednocześnie, w środowisku
obliczeniowym MATLAB napisano program, który odpowiadał takiemu samemu
przypadkowi.
Rys.5.11. Model numeryczny badania weryfikującego

str. 27
Podczas badania założono następujące warunki brzegowe:
 obciążenie ciągłe rozciągające próbkę wynosiło 10 𝑁 𝑚𝑚 i zostało nałożone
na powierzchnie boczne;
 odjęto stopnie swobody zgodnie z rys.5.11. -w punkcie A zablokowano
przemieszczenie we wszystkich kierunkach; w punkcie B zablokowano
przemieszczenie w kierunku Y i Z; w punkcie C zablokowano
przemieszczenie w kierunku Z.
Eksperyment miał na celu zbadanie, czy odkształcenia dla konkretnych kierunków
będą takie same. Wyniki zostały przedstawione w tab.5.5. oraz na rys.5.12. Kod źródłowy
programu, wraz z opisem i algorytmem obliczeń, został zawarty w załącznikach do pracy.
Tab.5.5 Porównanie wartości przemieszczeń z obliczeń w środowisku ANSYS i MATLAB
Przemieszczenie Model obliczeniowy
(ANSYS) [mm]
Model obliczeniowy
(MATLAB) [mm]
W kierunku osi X 0,0201 0,0200
W kierunku osi Y 0,0045 0,0045
Jak wynika z powyższej tabeli, wyniki są identyczne, co świadczy o tym, że model
dla przypadku statycznego zginania został wykonany poprawnie.
Rys.5.12. Wyniki przemieszczeń modelu dla kierunku X

str. 28
Poniżej przedstawiony został wykres błędu bezwzględnego, czyli modułu z różnicy
wyników obliczeń rzeczywistych i numerycznych. Na podstawie niżej zawartego wykresu
łatwo zauważyć, że błąd dla elementu płytowo-bryłowego w niektórych przedziałach jest
niewielki, a jego średnia wynosi 29%. Jest to wynik, który mógłby zostać uznany
za niedopuszczalny w przypadku obliczeń układów o odpowiedzialnych zadaniach.
Deskorolka do powyższych nie należy, można więc przyjąć, iż wynik jest poprawny.
Rys.5.13. Zestawienie wartości błędu bezwzględnego
Na podstawie rys.5.13. łatwo również zauważyć, że element płytowy SHELL281
nie jest odpowiedni do przeprowadzania analiz numerycznych rozpatrywanego modelu
numerycznego.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0
49
74
98
123
147
172
196
221
245
270
294
319
343
368
392
417
441
466
491
515
540
564
589
667
Błądbezwzględny[mm]
Siła [N]
Błąd bezwzględny (SOSHELL190) Błąd bezwzględny (SHELL281)

str. 29
6. Analiza wytrzymałościowa blatu deskorolki na skutek zderzenia
z podłożem
Celem pracy jest przeprowadzenie analizy wytrzymałościowej deskorolki w czasie
jej zderzenia z podłożem. Badanie całej konstrukcji można uprościć do określenia
nośności sklejki, ponieważ jest ona najsłabszym ogniwem i zazwyczaj pierwsza niszczy
się podczas akrobacji. Z tego powodu w dalszej części autor skupi się na wspomnianym
kompozycie.
Istnieje wiele sytuacji, w których blat deskorolki traci swoją nośność i nie nadaje
się do dalszej jazdy. By analiza wytrzymałościowa miała sens, należało wybrać jeden
przypadek, w którym najczęściej dochodzi do złamania. Na podstawie obserwacji
stwierdzono, że jest to ewolucja polegająca na skoku nad schodami lub inną przeszkodą,
gdzie różnica poziomów najazdu i miejsca lądowania jest znaczna.
Rys.6.1. Przykładowy skok nad schodami [17]

str. 30
6.1. Założenia wstępne do analizy wytrzymałościowej
Podczas badania nie jest możliwe uwzględnienie wszystkich czynników, w tym
zjawisk fizycznych i losowych, które mają wpływ na kompozyt. Z tego powodu
w dalszych obliczeniach zastosowano następujące uproszczenia:
 badanie wytrzymałości rozpoczyna się w momencie zderzenia z podłożem,
które uznawane jest za idealnie sztywne. Za moment zderzenia uznaje
się czas, w którym prędkość chwilowa środka ciężkość deskorolki maleje,
by osiągnąć wartość zero;
 siły działające na deskorolkę pochodzą od sił grawitacji; pominięte zostały
czynniki pochodzące od prędkości najazdu;
 siła działa prostopadle do powierzchni deskorolki i nie zmienia swojego
położenia w czasie odkształcania się blatu;
 trucki wraz z kółkami rozpatrywanej deskorolki zderzają się z podłożem
w tym samym momencie.
W celu obliczenia siły zderzenia przyjęto następujące wielkości:
o wysokość z jakiej spada ciało - 𝑕 = 1𝑚;
o masa deskorolkarza - 𝑚 = 70𝑘𝑔;
o czas zderzenia z podłożem - 𝑡𝑧 = 0,1𝑠;
o przyspieszenie ziemskie - 𝑔 = 9,81 𝑚 𝑠2
.
Tok obliczeń:
1. Prędkość końcowa deskorolkarza przed zderzeniem została wyliczona
z przypadku spadku swobodnego:
𝑣 𝑘 = 2 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑕 = 2 ⋅ 9,81 ⋅ 1 = 3,87 𝑚/𝑠
2. Maksymalną całkowitą siłę zderzenia z blatem wyliczono ze wzoru:
𝐹𝑧 =
𝑚 ⋅ 𝑣 𝑘
𝑡𝑧
=
70 ⋅ 3,87
0,1
= 2709 𝑁

str. 31
Podczas skoku na deskorolce należy pamiętać o tym, aby środek ciężkości ciała
znajdował się jak najbliżej środka ciężkości deskorolki. Zapewnione jest wówczas
poprawne lądowanie, bez obawy, że blat wyślizgnie się spod nóg. Jednak nawet gdy
spełniony zostanie ten warunek, sklejka może pęknąć wskutek niewłaściwego
rozmieszczenia nóg w czasie lądowania. Podczas analizy należy w związku z tym zwrócić
szczególną uwagę na sposób, w jaki rozmieszczone są siły w czasie lądowania.
Rysunki 6.2. i 6.3. przedstawiają dwa sposoby na rozmieszczenie nóg podczas
skoku. Pierwszy, ze stopami znajdującymi się odpowiednio nad ośkami, jest poprawny,
ponieważ cały ciężar jest przenoszony z deskorolki na trucki, które charakteryzują
się większą wytrzymałością. Drugi sposób, przedstawiony poniżej, wynika z braku
odpowiednich umiejętności jeżdżącego na deskorolce. Podczas jazdy po płaskim gruncie
takie ułożenie kończyn pozwala na swobodne poruszanie blatem. Aby jednak zredukować
obciążenia w czasie wykonywania ewolucji, należy przenieść nogi tak, by odpowiadały
położeniu prostopadłościanom z rys.6.2.
Rys.6.2. Schematyczne przedstawienie poprawnego ułożenia nóg
Rys.6.3. Schematyczne przedstawienie błędnego ułożenia nóg

str. 32
6.2. Analiza wytrzymałościowa blatu deskorolki dla przypadku poprawnego
lądowania.
Mając na uwadze wcześniej poczynione założenia i uproszczenia, analiza
wytrzymałościowa będzie przeprowadzona dla dwóch przypadków rozmieszczenia sił
(kończyn deskorolkarza). Również tym razem w celach badawczych zostało wykorzystane
środowisko obliczeniowe ANSYS, bazujące na metodzie elementów skończonych. Tok
obliczeń pierwszej analizy, która sprawdza wytrzymałość sklejki w czasie poprawnego
lądowania, opisano w dalszej części.
W programie AUTODESK INVENTOR stworzono geometrię blatu deskorolki,
która zawierała uproszczenia mające na celu skrócenie i uproszczenie obliczeń. Następnie
model został przeniesiony do środowiska ANSYS, gdzie przeprowadzono na nim operacje
korygujące, umożliwiające poprawne nałożenie siatki elementów.
Rys.6.4. Geometria modelu zaimportowana do środowiska ANSYS

str. 33
Kolejnym krokiem było przyjęcie do symulacji elementu skończonego SOSHEL190,
wprowadzenie danych materiałowych zgodnych z tabelą 5.2. oraz poinformowanie
programu odnośnie kolejności występujących warstw, jak miało to miejsce w przypadku
obliczeń statycznych.
Następnie należało nałożyć siatkę elementów skończonych na przygotowany model.
Na podstawie wcześniej przeprowadzonych obliczeń wstępnych przyjęto, iż w skali
globalnej wielkość elementu nie powinna przekraczać 5 mm. Jest to odpowiedni rozmiar,
przy którym wyniki zmieniają się jedynie nieznacznie. Wynik dyskretyzacji fragmentu
modelu przedstawiono na rys.6.5.
Rys.6.5. Przykład zdyskretyzowanego fragmentu modelu numerycznego

str. 34
W celu dokładniejszego zrozumienia zachowanie się deskorolki w czasie zderzenia
z podłożem, należało przeprowadzić analizę czasową (ang. transient) konstrukcji. Dzięki
niej można określić przemieszczenia, odkształcenia, naprężenia i siły w funkcji czasu,
będące rezultatem jakiejkolwiek kombinacji statycznej obciążenia. Stosuje się ją, gdy czas
działania obciążenia pozwala na pominięcie sił bezwładności i tłumienia. Przy pomocy tej
analizy można rozwiązać równanie opisujące drgania własne oraz ruch układu pod
wpływem obciążeń zewnętrznych:
𝑀𝑢 + 𝐶𝑢 + 𝐾𝑢 = 𝐹(𝑡)
gdzie:
 M - macierz bezwładności;
 C - macierz tłumienia;
 K - macierz sztywności;
 u - wektor przyspieszeń węzłowych;
 u - wektor prędkości węzłowych;
 u - wektor przemieszczeń;
 F(t) - wektor obciążeń.
W środowisku ANSYS istnieją trzy metody rozwiązywania wspomnianego
równania: metoda pełna, metoda superpozycji modalnej oraz metoda redukcji stopni
swobody. Analiza została przeprowadzona przy użyciu metody pełnej, która polega
na bezpośrednim scałkowaniu wymienionego wcześniej równania. Do jej zalet należy
łatwość użycia, natomiast jej wadą jest stosunkowo długi czas obliczeń [6].
Na tym etapie należało zdefiniować warunki brzegowe określające położenie blatu
podczas analizy. W miejscu, w którym przytwierdzona jest w rzeczywistym modelu ośka
tylna, odebrane zostały wszystkie stopnie swobody. Dla ośki przedniej również odebrano
stopnie swobody, lecz tym razem pozostawiono możliwość przemieszczania się
w kierunku Z (zgodnie z rysunkiem 6.6.). Dodatkowo, nałożono warunek symetryczności
modelu.

str. 35
Kolejnym etapem obliczeń numerycznych było przyłożenie obciążenia. W tym celu
należało rozpatrzyć dwa okresy czasowe:
1. Okres obciążeń dynamicznych - jego czas trwania wynosił tyle, ile czas
zderzenia deskorolki z podłożem, czyli 0,1 s. Siły przyłożono równomiernie
na dwie ośki, tzn. każda miała wartość połowy siły zderzenia:
𝐹𝑜𝑑𝑦𝑛 = 0.5 ⋅ 2709 = 1354,5 𝑁.
2. Okres obciążeń statycznych - wystąpił po zderzeniu z podłożem,
a do obliczeń przyjęto, że trwał 0,9 s. W okresie tym całkowita siła
obciążająca blat wynosi:
𝐹𝑠𝑡𝑎𝑡 = 𝑚 ⋅ 𝑔 = 70 ⋅ 9,81 = 686,7 𝑁
Siła przypadająca na jedną ośkę przyjmuje wartość:
𝐹𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡 = 0,5 ⋅ 𝐹𝑠𝑡𝑎𝑡 = 0,5 ⋅ 686,7 = 343,35 𝑁
Rys.6.6. Schemat przedstawiający zastosowane warunki brzegowe
W każdym przypadku, siła działała na powierzchnie równą założonej powierzchni
zastępczej buta 𝐴 𝑧 = 193,7 ⋅ 97 = 18788,9𝑚𝑚2
.

str. 36
Po wykonaniu wszystkich wspomnianych czynności, program przeprowadził
obliczenia, których wyniki zaprezentowano poniżej.
Tab.6.1 Wartości naprężeń minimalnych i maksymalnych w kierunkach X,Y,Z dla przypadku poprawnego
lądowania
Nr warstwy
Naprężenia maksymalne
[MPa]
Naprężenia minimalne
[MPa]
σX σY σZ σX σY σZ
1 6,27 2,1 0,80 -32,27 -13,3 -9,15
2 7,51 2,10 1,02 -28,21 -13,32 -8,67
3 1,04 2,08 19,78 -8,03 -13,65 -44,09
4 9,92 2,10 1,45 -21,68 -13,33 -7,77
5 1,40 2,01 25,70 -7,20 -13,4 -30,95
6 12,40 2,10 1,89 -15,14 -13,35 -6,87
7 13,79 2,09 2,12 -11,63 -13,35 -6,38
Rys.6.7. Widok izometryczny odkształconego blatu deskorolki dla przypadku poprawnego lądowania

str. 37
Rys.6.8. Przekrój wykonany w płaszcz. wyznaczonej przez oś symetrii odkształconego blatu dla
przypadku poprawnego lądowania
Jak łatwo zauważyć odkształcenia w środkowej części blatu są niewielkie,
a maksymalne ugięcie w chwili zderzenia wynosi ok. 2,3mm. Można zatem wnioskować,
że sklejka nie ulegnie zniszczeniu. Warto podkreślić, że skrajne punkty blatu modelu
numerycznego przemieszczają się w kierunku pionowym, co można również
zaobserwować w czasie jazdy na deskorolce.
Jak wspomniano wcześniej, dla materiałów ortotropowych błędem jest stosowanie
hipotez wytężeniowych odpowiednich dla przypadku izotropii. Z powodu braku
parametrów potrzebnych, by określić nośność kompozytu warstwowego naprężenia
w każdej z warstw zostaną rozpatrzone osobno w trzech różnych kierunkach układu
współrzędnych. Na podstawie tab.6.1. wyodrębniono przypadki, dla których moduł
występujących naprężeń kolejno w osi X, Y, i Z był największy, a ich mapy naprężeń
zostały zamieszczone w dalszej części pracy.

str. 38
Rys.6.9. Maksymalne naprężenia w kierunku osi X dla przypadku poprawnego lądowania
(warstwa 1.)
Rys.6.10. Maksymalne naprężenia w kierunku osi Y dla przypadku poprawnego lądowania
(warstwa 3.)

str. 39
Rys.6.11. Maksymalne naprężenia w kierunku osi Z dla przypadku poprawnego lądowania
(warstwa 3.)
Rozpoczynając analizę powyższych map naprężeń należy pamiętać o zależnościach :
 kierunek wzdłuż włókien kompozytu określony jest przez oś Z;
 kierunek prostopadły do włókien kompozytu określony jest przez oś X;
 kierunek normalny do powierzchni włókien określony jest przez oś Y.
Na podstawie przedstawionych rysunków widać, że maksymalne naprężenia
kierunkach Y i Z wystąpią w warstwie trzeciej. Oznacza to, że może w niej dojść
do przerwania struktury włókien na skutek oddziaływania sił rozciągających, ściskających
lub tnących.
Można również zauważyć, że skupiska naprężeń ściskających występują punktowo
w miejscach, w których przecinają się proste wyznaczone przez krawędzie trucków.
Można to uznać za cenną wskazówkę konstrukcyjną i zaproponować nową podstawę osi
w postaci owalnej, która pozwoli rozłożyć naprężenia równomiernie.

str. 40
Rys.6.12. Wykres maksymalnych przemieszczeń występujących w blacie w kierunku osi Y.
Powyższy wykres został wykonany dla węzła, który uległ największym
przemieszczeniom w czasie zderzenia. Przedział czasu zawarty pomiędzy pierwszą, a
drugą sekundą przedstawia moment zderzenia z podłożem. W czasie tego okresu
konstrukcja ulega największym przemieszczeniom. Powyższy wykres zmienia się
nieliniowo i oscyluje wokół położenia, które zostałoby osiągnięte gdyby przyłożono siłę
statyczną.
6.3. Analiza wytrzymałościowa blatu deskorolki dla przypadku błędnego
lądowania.
W oparciu o model użyty we wcześniejszym badaniu, przeprowadzono obliczenia
sprawdzające wytrzymałość kompozytu podczas skoku, który nie został wykonany
poprawnie. W tym celu należało zmienić położenie oraz wartość sił działających na blat
podczas okresu obciążeń dynamicznych i statycznych (nie zmienione pozostały stopnie
swobody oraz czas przeprowadzonej analizy).

str. 41
Rys.6.12. Schemat rozmieszczenia sił dla przypadku błędnego lądowania
Założono, że siła obciążająca tylną część blatu równa jest:
𝐹𝑡𝑑𝑦𝑛 =
1
3
⋅ 𝐹𝑧 =
1
3
⋅ 2709 = 903 𝑁
W takim przypadku wartość siły oddziałującej na środek blatu wynosi:
𝐹ś𝑑𝑦𝑛 =
2
3
⋅ 𝐹𝑧 =
2
3
⋅ 2709 = 1806 𝑁
Przyjęto również, że sportowiec skacząc w ten sposób obciąża tylnią część sklejki
połową podeszwy buta, a nie całą powierzchnią, jak ma to miejsce w przypadku siły 𝐹Ś .
Taki rozkład sił podyktowany jest faktem, że podczas rzeczywistej akrobacji
niemożliwe jest lądowanie w inny sposób, nie doprowadzając przy tym do wypadku. Jak
wspomniano wcześniej, aby bezkolizyjnie wylądować, środek ciężkości człowieka
powinien zawsze znajdować się w pobliżu osi wyznaczonej przez środek ciężkości blatu.
Dla przypadku obciążeń statycznych rozkład sił jest identyczny do przedstawionego
wyżej - zmieniają się jedynie wartości sił, a zatem analogicznie:
𝐹𝑡𝑠𝑡 𝑎𝑡 =
1
3
⋅ 𝐹𝑠𝑡𝑎𝑡 = 228,9 𝑁
𝐹ś𝑠𝑡𝑎𝑡 =
2
3
⋅ 𝐹𝑠𝑡𝑎𝑡 = 457.8 𝑁

str. 42
Dla tak zdefiniowanych warunków przeprowadzono obliczenia sprawdzające
wytrzymałość konstrukcji.
Tab.6.2. Wartości naprężeń minimalnych i maksymalnych w kierunkach X,Y,Z dla przypadku poprawnego
lądowania
Nr warstwy
Naprężenia maksymalne
[MPa]
Naprężenia minimalne
[MPa]
σX σY σZ σX σY σZ
1 19,25 6,82 5,72 -70,79 -37,90 -36,48
2 16,64 6,78 7,27 -63,58 -37,99 -33,83
3 6,62 6,92 155,01 -28,64 -45,40 -313,436
4 18,77 6,71 10,18 -50,15 -38,20 -28,90
5 9,07 7,67 201,00 -24,62 -42,88 -220,09
6 24,41 6,70 13,23 -36,72 -38,33 -24,96
7 27,43 6,70 15,02 -29,50 -38,42 -21,31
Rys.6.13. Widok izometryczny odkształconego blatu deskorolki dla przypadku błędnego lądowania

str. 43
Rys.6.14. Widok w płaszczyźnie YZ odkształconego blatu deskorolki dla przypadku błędnego
lądowania
Na rysunkach powyżej można dostrzec, że największa część blatu deskorolkowego
odkształci się w okolicach jego tylnej części. Oznacza, to że środkowa strefa jest mniej
podatna na odkształcenia pomimo działania na nią siły dwa razy większej. Dzieje się tak
najprawdopodobniej, dlatego że w przekroju poprzecznym występuje tzw. Concave (patrz.
rys.1.3, przekrój A-A), który zwiększa wytrzymałość sklejki na zginanie.
Maksymalne przemieszczenie blatu dla przypadku błędnego lądowania wynosi
około 65mm. Jest to znaczna różnica pomiędzy wcześniej rozpatrywaną sytuacją i można
wnioskować, że najprawdopodobniej dojdzie do złamania sklejki.

str. 44
Rys.6.15. Maksymalne naprężenia w kierunku osi X dla przypadku błędnego lądowania (warstwa 1.)
Rys.6.16. Maksymalne naprężenia w kierunku osi Y dla przypadku błędnego lądowania (warstwa 3.)

str. 45
Rys.6.17. Maksymalne naprężenia w kierunku osi Z dla przypadku błędnego lądowania (warstwa 3.)
Przedstawione wyżej rysunki zostały wygenerowane analogicznie do poprzedniego
przypadku i analizując je należy pamiętać o zależnościach jakie występują pomiędzy
układem współrzędnych, a układem warstw.
Łatwo zauważyć, że zarówno dla przypadku poprawnego jak i błędnego lądowania
najbardziej obciążona jest warstwa trzecia. Oznacza to, że dla rozpatrywanych
przypadków obciążeń zmieniony układ włókien w tej warstwie powoduje występowanie
naprężeń krytycznych i należy wziąć to pod uwagę projektując sklejkę deskorolkową.
Wykonano również wykresy przemieszczeń dla punktów znajdujących się w
środkowej i tylnej części blatu. Różnica pomiędzy przemieszczeniami jest znaczna i
wynosi około 55 mm.

str. 46
Rys.6.18. Wykres przemieszczeń tylniej części blatu w kierunku osi Y (przypadek błędnego
lądowania)
Rys.6.19. Wykres przemieszczeń środkowej części blatu w kierunku osi Y (przypadek błędnego
lądowania)

str. 47
6.4. Weryfikacja poprawności przeprowadzonych symulacji
Głównym czynnikiem wpływającym na wynik symulacji numerycznej jest brak
dokładnych danych materiałowych. Na podstawie różnych kalkulacji stworzono hipotezy
wytężeniowe, mające na celu określenie wytrzymałości kompozytu. Często zdarza się
jednak, że i one nie dają zadowalających rezultatów. Trudność w ocenie nośności
materiałów warstwowych wynika z faktu, że na ich wytrzymałość składa się szereg
czynników, jak np.:
 wytrzymałość poszczególnych warstw;
 charakterystyka temperaturowa warstwy (naprężenia resztkowe powstające
w procesie tworzenia kompozytu mogą mieć wpływ na proces eksploatacji);
 sekwencja ułożenia warstw i ich udział objętościowy.
W związku z powyższym bez danych empirycznych z badania niszczącego
deskorolki nie jest możliwe jednoznaczne stwierdzenie, czy blat ulegnie zniszczeniu czy
też nie. Z drugiej strony, w oparciu o dane dla blatu o nieznanych (najprawdopodobniej
innych) parametrach materiałowych, można spróbować porównać otrzymane wyniki.
Znalezione w [18] dane oraz dokumentacja z próby zostały przedstawione poniżej.
Rys.6.20. Zdjęcie wykonane podczas jednej z prób wytrzymałościowych [18]

str. 48
Rys.6.21. Wykres przedstawiający zależność występującą między odkształceniema przyłożoną siłą [18]
[http://www.focusskatemag.com/wp -content/uploads/2013/05/Stress-Graph.png]
Tab.6.3. Wartości sił oraz wytrzymałości różnych rodzajów deskorolek
Nr Siła działająca w czasie
odkształcenia równego
1,25 cala (31,75 mm)
Wytrzymałość określona w czasie
odkształcenia równego
1,25 cala (31,75 mm)
1. 962,6 𝑙𝑏𝑓 = 4281,86 𝑁 17114 𝑝𝑠𝑖 = 117,99 𝑀𝑃𝑎
2. 788,5 𝑙𝑏𝑓 = 3505,20 𝑁 14020 𝑝𝑠𝑖 = 96,66 𝑀𝑃𝑎
3. 865,7 𝑙𝑏𝑓 = 3847,71 𝑁 15392 𝑝𝑠𝑖 = 106,12 𝑀𝑃𝑎
4. 778,6 𝑙𝑏𝑓 = 3460,72 𝑁 13844 𝑝𝑠𝑖 = 95,45 𝑀𝑃𝑎
Autor wspomnianej pracy badawczej przeprowadził próbę wytrzymałościową
dla czterech blatów deskorolkowych wyprodukowanych przez różne firmy. Zbadał on
ugięcie sklejki pod wpływem siły działającej na jej środek, a wyniki przedstawił w formie
wykresu.

str. 49
W celu sprawdzenia, czy model numeryczny oraz jego parametry zawarte
w niniejszej pracy mogą zostać porównane z wartościami przedstawionymi w tab.6.3.,
należy odczytać, czy dla wymuszenia oddziaływującego na środek deskorolki, które
przyjęto dla przypadku błędnego lądowania, wartości mieszczą się w przedziale zawartym
między krzywymi na rys.6.21.
Z rys.6.19. wynika, że maksymalne odkształcenie w środkowej części blatu wynosi
ok. 10,3 𝑚𝑚 , co odpowiada wartości 0,41 cala. Wartość ta jest uzyskiwana przy
wymuszeniu równym 𝐹ś𝑑𝑦𝑛 = 1806 𝑁 , co w przeliczeniu na funt-siłę daje 406 lbf.
Z wykresu jednoznacznie wynika, że dla takich wartości punkt wyznaczony przez te
współrzędne pokrywa się z blatem nr 2. Analogiczny odczyt przeprowadzony dla siły
statycznej również potwierdza, że analiza została wykonana poprawnie. Pamiętając o tym,
że rozpatrywany model numeryczny badany jest w zakresie liniowo-sprężystym, można
zależność ugięcia od przyłożonej siły interpolować funkcją liniową jak na rys.6.22.
Rys.6.22. Zestawienie wykresów ugięcia dla rzeczywistego i numerycznego modelu.

str. 50
Przyjmując, że krzywa na rys.6.22. oznaczona kolorem ciemnoczerwonym
odpowiada rzeczywistym odkształceniom sklejki branej pod uwagę w analizie
wytrzymałościowej, można oszacować nośność kompozytu.
Dla przypadku poprawnie wykonanego skoku można z pewnością stwierdzić, że
sklejka nie złamie się podczas lądowania. Należy jednak pamiętać, iż poszczególne
warstwy kompozytu mogą zostać uszkodzone.
Z kolei w sytuacji, w której lądowanie wykonano błędnie, dojdzie do uszkodzenia
blatu. Wynika to z przedstawionej zależności siły od ugięcia. Maksymalne
przemieszczenie, w którym struktura sklejki zostaje przerwana, wynosi ok. 30 mm,
natomiast w czasie analizy wytrzymałościowej otrzymano wynik równy dwukrotności tej
liczby. Dodatkowo, na podstawie danych wytrzymałościowych z tab.6.3. i naprężeń
występujących w tab.6.2. łatwo zauważyć, że co najmniej trzy spośród siedmiu warstw
ulegną uszkodzeniu.

str. 51
7. Wnioski
Na podstawie przeprowadzonych badań, zarówno rzeczywistych jak
i numerycznych, wyciągnięto następujące wnioski:
1. Sklejka deskorolkowa należy do materiałów, które można modelować jako
kompozyt o warstwach posiadających właściwości ortotropowe. Świadczą
o tym wyniki uzyskane na podstawie obliczeń numerycznych, które nie
odbiegają w sposób znaczny od wartości rzeczywistych.
2. Analizując blat deskorolkowy przy pomocy metody elementów skończonych
należy przeprowadzać symulację na bryłowym modelu numerycznym.
Uproszczenie polegające na rozpatrywaniu konstrukcji płytowej powoduje
otrzymanie błędnych wyników. Mogą one wynikać z faktu, że dla
pojedynczego elementu grubość warstwy oraz długość i szerokość są sobie
bliskie, co nie powinno charakteryzować konstrukcji płytowej.
3. Strzałki ugięcia w próbie statycznego zginania uzyskane przy pomocy MES
miały zawsze większą wartość niż dla modelu rzeczywistego. Jest to bardzo
korzystne zjawisko, świadczące o tym, że model numeryczny uwzględnia
pewien współczynnik bezpieczeństwa.
4. Pomimo rozbieżności danych materiałowych zawartych w literaturze przyjęte
parametry okazały się poprawne przy analizie sklejki wykonanej z klonu
kanadyjskiego. Można zatem sądzić, iż rezultaty otrzymane z badań
numerycznych nad tym materiałem przy użyciu tych samych wartości
materiałowych pozwolą na otrzymanie poprawnych wyników.
5. Na podstawie analizy naprężeń i odkształceń stwierdzono, że dla przypadku
poprawnego lądowania deskorolka nie ulegnie zniszczeniu, co jest zgodne
z rzeczywistością, ponieważ w tej sytuacji największe obciążenie przenoszą
ośki. W sytuacji, w której lądowanie zostaje wykonane błędnie wykazano, że
w blacie deskorolkowym zniszczone zostaną warstwy, które
najprawdopodobniej doprowadzą do utraty nośności kompozytu.
Na podstawie poczynionych obserwacji autora również i te wyniki okazują
się słuszne.

str. 52
6. Przy analizie materiałów posiadających właściwości ortotropowe istotne jest
nie używanie do ich oceny hipotez służących do określania nośności
materiałów izotropowych, ponieważ nie uwzględniają one, że kierunki
główne tensorów naprężenia i odkształcenia są różne. W celu określenia
nośności materiałów ortotropowych stosowane są inne kryteria
wytrzymałościowe, które często wyznaczane są na drodze doświadczalnej.
7. Porównując naprężenia w warstwach kompozytu, można zauważyć, że
najbardziej obciążoną warstwą, zarówno dla przypadku poprawnego jak
i błędnego lądowania, jest warstwa trzecia. Należy wziąć to pod uwagę przy
projektowaniu sklejki przeznaczonej na blat deskorolkowy i zastosować
zmieniony układ włókien lub inny materiał o podobnych właściwościach
sprężystych, ale o korzystniejszych parametrach wytrzymałościowych.

str. 53
Bibliografia
[1] Bathe K.J.: Finite element procedures. New Jersey, Upper Saddle River 1996
[2] Ciarlet P.G., Lions J.L.: Handbook of Numerical Analysis volume II. Amsterdam,
Elseviere Science B.V. 1991
[3] Czajka I. Kraków: Wykład MES. Dostępny:
http://home.agh.edu.pl/~iczajka/fakultet/fakultet_mesA_w1.pdf (Odwiedzono:
20.07.2013)
[4] Dobrzański L.: Podstawy nauki o materiałach. Warszawa, Wydawnictwo
Naukowo-Techniczne, 2002
[5] German J.: Podstawy mechaniki kompozytów włóknistych. Kraków, Wydawnictwo
Politechniki Krakowskiej , 1996
[6] Zagrajek T., Krzesiński G., Marek P.: Metoda elementów skończonych w
mechanice konstrukcji. Warszawa, Oficyna Wydawnicza Politechniki
Warszawskiej , 2006
[7] Rusiński E., Czmochowski J., Smolnicki T.,: Metoda elementów skończonych w
konstrukcjach nośnych. Wrocław, Oficyna Wydawnicza Politechniki
Wrocławskiej, 1999
[8] Forest Product Laboratory, Madison: Wood handbook – Wood as an engineering
material. Dostępny:
http://www.fpl.fs.fed.us/documnts/fplgtr/fpl_gtr190.pdf (Odwiedzono 28.07.2013)
[9] Gacek M.: Podstawowe materiały i wyroby budowlane. Drewno i tworzywa
drzewne. Dostępny: http://www.ikb.poznan.pl/mariusz.gaczek/pb02_v01.pdf
(Odwiedzono 22.07.2013)
[10] SKLEJKA-PISZ Spółka Akcyjna, Pisz: Właściwości fizyko-mechaniczne sklejki.
Dostępny:http://www.sklejka-pisz.com.pl/pl/index/html/id:52/Wlasciwosci_fizyko-
mechaniczne_sklejki (Odwiedzono: 22.07.2013)
[11] ANSYS Inc., Southpine: ANSYS Mechanical APDL Theory Reference. Dostępny:
[12] http://www.mecheng.osu.edu/documentation/Fluent14.5/145/ans_thry.pdf
(Odwiedzono: 17.01.2014)
[13] http://img.webme.com/pic/m/mati50/budowabysk8s.png
[14] http://www.diyskate.com/img/skateboard/basics/section.jpg

str. 54
[15] http://help.solidworks.com/2013/English/SolidWorks/cosmosxpresshelp/doc12
92868914297.image
[16] http://www.kkiem.agh.edu.pl/dydakt/fem/elem1.gif
[17] http://cache.desktopnexus.com/thumbnails/521819-bigthumbnail.jpg
[18] http://www.focusskatemag.com/2013/05/choosing-your-board-mfg/
[19] http://www.diyskate.com/make_a_skateboard.html
[20] http://etacar.put.poznan.pl/albert.kubzdela/p6-10.pdf

str. 55
Załączniki
1. Program wykonany w środowisku MATLAB
%% Program obliczający maksymalne przemieszczenia sklejki deskorolkowej
%% 7-dmiowarstwowej dla przypadku rozciągania jednokierunkowego
clear all
clc
%%Definicja parametrów geometrycznych i materiałowych
Ly=296; %%Długości sklejki[mm]
Lx=120; %%Szerokości sklejki [mm]
E1=7900; %%Moduł Younga w kierunku równoległym do włókiem [MPa]
E2=514; %%Moduł Younga w kierunku poprzecznym do włókiem [MPa]
G12=877; %%Moduł Kirchoffa w płaszczyźnie rozciągania [MPa]
v12=0.424; %%Większy współczynnik Poissona [-]
theta=90; %%Kąt o jaki została obrócona warstwa 3 i 5 [deg]
sil=10; %%Siła z jaką rozciągana jest próbka [N/mm^2]
v21=(E2/E1)*v12; %%Mniejszy współczynnik Poissona [-]
%%Definicja macierzy podatności "S" warstwy o układzie osiowym (warstwa nie
%%została obrócona)
S11=1/E1;
S12=-(v21/E2);
S22=1/E2;
S66=1/G12;
%%Wyznaczenie macierzy podatności warstwy osiowej
S=[S11,S12,0;S12,S22,0;0,0,S66];
%%Wyznaczenie macierzy sztywności "Q" o układzie osiowym (warstwa nie
%%została obrócona)
Q=inv(S);

str. 56
%%Definicja parametrów potrzenych przy określaniu macierzy podatności
%%warstwy o układzie włókien nieosiowym
th=theta*(pi/180);
m=cos(th);
n=sin(th);
%%Definicja elementów macierzy podatności z wykorzystaniem wzorów
%%transformacyjnych
R11=S11*m^4+S22*n^4+S12*2*m^2*n^2+S66*m^2*n^2;
R22=S11*n^4+S22*m^4+S12*2*m^2*n^2+S66*m^2*n^2;
R12=S11*m^2*n^2+S22*m^2*n^2+S12*(m^4+n^4)+S66*(-m^2*n^2);
R66=S11*4*m^2*n^2+S22*4*m^2*n^2+S12*(-8*m^2*n^2)+S66*((m^2-n^2)^2);
R16=S11*2*m^3*n+S22*(-2*m*n^3)+S12*(2*(m*n^3-m^3*n))+S66*(m*n^3-m^3*n);
R26=S11*2*m*n^3+S22*(-2*m^3*n)+S12*(2*(m^3*n-m*n^3))+S66*(m^3*n-m*n^3);
%%Wyznaczenie macierzy podatności warstwy nieosiowej
S2=[R11,R12,R16;R12,R22,R26;R16,R26,R66];
%%Wyznaczenie macierzy sztywności warstwy nieosiowej
Q2=inv(S2);
%%Definicja grubości warstw [mm]
t1=1.47;
t2=1.27;
%%Macierz sztywności tarczowej
A=5*(Q.*t1)+2*(Q2.*t2);
%%Macierz sztywności sprzężeń (w rozpatrywanym przypadku
%% składa się z samych zer ponieważ sklejka jest symetryczna)
B=zeros(3,3);

str. 57
%%Macierz sztywności zginania
D1=Q.*(t1*(-4.21)^2+(t1^3)/12);
D2=Q.*(t1*(-2.74)^2+(t1^3)/12);
D3=Q2.*(t2*(-1.37)^2+(t2^3)/12);
D41=Q.*(t1*(0.3675)^2+(t1^3)/12);
D42=Q.*(t1*(0.3675)^2+(t1^3)/12);
D5=Q2.*(t2*(1.37)^2+(t2^3)/12);
D6=Q.*(t1*(2.74)^2+(t1^3)/12);
D7=Q.*(t1*(4.21)^2+(t1^3)/12);
D=D1+D2+D3+D41+D42+D5+D6+D7;
%%Macierzy "ABD" wiążąca przemieszczenia i naprężenia występujące
%%w całym kompozycie
ABD=[A,B;B,D];
%%Wektor sił i momentów
N=[sil;0;0];
M=[0;0;0];
F=[N;M];
%%Definicja macierzy odkształceń kompozytu
E=inv(ABD)*F;
%%Maksymalne przemieszczenia w kierunku osi X (w kierunku równoległym
%% do włókien)
odkszx=E(1,1)*Lx
%%Maksymalne przemieszczenia w kierunku osi Y (w kierunku prostopadłym
%%do włókien)
odkszty=E(2,1)*Ly

Bachelor Thesis

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (18)

Bachelor Thesis