bracket method

1. Metode Pengurung
AKAR PERSAMAAN

2. Akar–akar Persamaan
Untuk menentukan akar–akar persamaan polinomial
berderajat dua dengan bentuk
digunakan rumus:
0
2


 c
bx
ax
a
ac
b
b
x
2
4
2
2
.
1





3. Untuk polinomial berderajat tiga, empat
atau yang lebih tinggi belum ada rumus
yang dapat digunakan untuk menyelesaikan
bentuk persamaan polinomial tersebut.
Metode numerik memberikan cara-cara untuk
menyelesaikan bentuk persamaan tersebut
secara perkiraan sampai diperoleh hasil
yang mendekati penyelesaian eksak.

4. Penyelesaian numerik dilakukan dengan
perkiraan yang berurutan (iterasi),
sedemikian sehingga setiap hasil adalah
lebih teliti dari perkiraan sebelumnya.
Dengan melakukan sejumlah prosedur
iterasi yang dianggap cukup, akan didapat
hasil perkiraan yang mendekati hasil
eksak (hasil yang benar) dengan toleransi
kesalahan yang diijinkan.

5. Metode Grafis
Metode ini merupakan cara paling mudah, dengan
menggambarkan fungsi tersebut dan kemudian
dicari titik potongnya dengan sumbu x yang
menunjukkan akar dari persamaan tersebut,
tetapi cara ini hanya memberikan hasil yang
sangat kasar, karena sulit untuk menetapkan
nilai sampai berapa digit dibelakang koma
hanya dengan membaca gambar.

6. )
(x
f
akar persamaan
y
x

7. METODE PENCARIAN AKAR
Metode Tertutup
Metode
Bagi Dua
Metode
Posisi Palsu
Metode
Terbuka
Metode
Fix-
Point
Iteratio
n
Metode
Newton
Raphso
n
Metode
Secant
7

8. METODE BAGI DUA
Langkah–langkah metode bagi dua :
1. Hitung fungsi pada interval yang sama dari x
sampai pada perubahan tanda dari fungsi (fxn)
dan (fxn+1)yaitu,apabila :
2. Estimasi pertama dari akar dihitung dengan :
0
)
(
)
( 1 
 
n
n x
f
x
f
2
1


 n
n
t
x
x
x

9. 3.Buat evaluasi berikut untuk menentukan di dalam sub
interval mana akar persamaan berada:
a. Jika ,akar
persamaan berada pada sub interval
pertama,kemudian tetapkan dan
lanjutkan pada langkah 4.
b. Jika , akar
persamaan berada pada sub interval
kedua,kemudian tetapkan dan
lanjutkan pada langkah 4.
c. Jika ,akar persamaan
adalah dan hitungan selesai.
0
)
(
)
( 1 
 
n
n x
f
x
f
0
)
(
)
( 1 
 
n
n x
f
x
f
0
)
(
)
( 1 
 
n
n x
f
x
f
t
n x
x 
1
t
n x
x 
t
x

10. 4. Hitung perkiraan baru dari akar dengan :
5. Apabila perkiraan baru sudah cukup kecil (sesuai
dengan batasan yang ditentukan), maka
hitunganselesai, dan adalah akar persamaan
yang dicari. Jika belum, maka hitungan kembali ke
langkah 3.
2
1


 n
n
t
x
x
x
t
x

11. METODE POSISI PALSU
Dengan menggunakan metode ini nilai akar dari suatu
fungsi dapat lebih cepat diperoleh dari pada
dengan menggunakan metode bagi dua.

12. Langkah pertama dimulai dengan mencari nilai fungsi
untuk setiap interval x yang sama sampai
akhirnya didapat dua nilai fungsi dan
berurutan yang mempunyai tanda
berlawanan. Dari kedua nilai fungsi
dan ditarik garis lurus sehingga
terbentuk suatu segitiga.
)
( n
x
f
)
( 1

n
x
f
)
( n
x
f
)
( 1

n
x
f

13. Metode posisi palsu diberikan pada persamaan berikut :
nilai tersebut digunakan untuk menghitung nilai
, yang kemudian digunakan lagi untuk interpolasi linier
dengan nilai atau sedemikian sehingga kedua
fungsi mempunyai tanda yang berbeda. Prosedur ini
diulang sampai didapat nilai
mendekati nol.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x
x
x


















)
( n
x
f )
( 1

n
x
f
)
( 
x
f
)
( 
x
f

14. METODE NEWTON-RAPHSON
Dalam metode ini, perkiraan awal dari
akar adalah ,suatu garis singgung
dapat dibuat dari titik
Titik di mana garis singgung
tersebut memotong sumbu biasanya
memberikan perkiraan yang lebih dekat
dari nilai akar.
i
x
))
(
,
( i
i x
f
x
x

15. )
(
'
)
(
atau
0
)
(
)
(
'
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
x
f
x
f
x
x
x
x
x
f
x
f








16. METODE SECANT
Kekurangan metode Newton-Raphson adalah diperlukannya
turunan pertama (diferensial) dari dalam
hitungan. Kadang-kadang sulit untuk
mendiferensialkan persamaan yang diselesaikan.
Untuk itu maka bentuk diferensial didekati dengan
nilai perkiraan berdasarkan diferensial beda
hingga.
x

17. Garis singgung dititik didekati
oleh bentuk berikut :
atau
dalam metode ini pendekatan memerlukan
dua nilai awal dari .
x
i
x
1
1)
(
)
(
)
(
'





i
i
i
i
i
x
x
x
f
x
f
x
f
)
(
)
(
)
)(
(
1
1
1







i
i
i
i
i
i
i
x
f
x
f
x
x
x
f
x
x