Seminario per l'esame di Automi Linguaggi e Complessità.
Argomento del seminario sono stati gli automi su oggetti infiniti. Sono stati presentati gli automi su parole infinite (omega-words) e gli automi su alberi infiniti.
Per ciascuna categoria sono stati presentati automi con diversi criteri di accettazione (Rabin, Muller, Street, Buchi).
Uso della logica fuzzy all'interno di ontologie scritte in OWL2, basato sul lavoro di U. Straccia e F. Bobillo. Presentazione fatta per il corso di Web Semantico @ Università degli studi di salerno.
Uso della logica fuzzy all'interno di ontologie scritte in OWL2, basato sul lavoro di U. Straccia e F. Bobillo. Presentazione fatta per il corso di Web Semantico @ Università degli studi di salerno.
XVI ENCONTRO DAS TIC NA EDUCAÇÃO:
Tecnologia na aprendizagem do mundo real
7 e 8 de julho - LeiriaEsta partilha tem como objetivo mostrar de que forma a disciplina de Inglês e TIC trabalharam em parceria num projeto eTwinning, onde a tecnologia e jogo usado acabam por ser invisíveis.
Il lavoro di tesi presenta lo studio di un esperimento fMRI tramite tecniche di machine learning. I partecipanti dell'esperimento erano invitati a premere un pulsante con il dito indice o anulare, a seconda delle istruzioni visive che venivano fornite loro. La domanda a cui si vuole rispondere è la seguente: "esiste una differenza tra le risposte del cervello a queste due condizioni?". L'intero lavoro mostra come algoritmi di machine learning sono utilizzati per rispondere a questa domanda. In particolare sono state confrontate diverse tecniche per ridurre le dimensionalità dei dati (PCA, clustering, features selection). In seguito alla riduzione delle dimensionalità, sono state valutate le componenti selezionate rappresentando la risposta emodinamica (HRF - hemodynamic response function) e le mappe di attivazione. Infine, è stato addestrato un classificatore SVM (lineare e non lineare) tramite cross-validation per classificare i pattern.
Project for the class "Advanced Operating System”: we developed a tool for the analysis of Hadoop, DSTAT and HPROF log in order to estimate the performance of a cluster through graphs and warnings.
Used technologies: Java, R, Hadoop, Python, C
More info: http://www.sromano.altervista.org/progetti_magistrale/SOA_HadoopAnalyzerJR.pdf
Sviluppo in Java di un tool che sia di ausilio al programmatore permettendo la ricerca e l'inserimento di code pattern attraverso una specifica keyword.
OpenIdeas is a web application that allows you to share your Idea and to have some feedbacks from users. It uses concpets of linked-data, rdfa, semantic web.
Project for the class "Advanced data management": we developed an hybrid web platform (data warehouse / mediator) that through the scraping from various websites is capable of give the meaning, rhyme, synonyms, antonyms, translation, wiki page, context and idioms of a single italian or english word
Used technologies: Php, XML, Xpath, Xquery, Kettle, SQL
More info: http://www.sromano.altervista.org/progetti_magistrale/LPR_Application.pdf
In this work we want apply dispersion(new metric for Social Network Analysis) in real
problems to show how this metric highlights particolar vertex in a Social Network graph.
Used technologies: Python, R, Weka, Snap(Stanford) library, Gephi.
XVI ENCONTRO DAS TIC NA EDUCAÇÃO:
Tecnologia na aprendizagem do mundo real
7 e 8 de julho - LeiriaEsta partilha tem como objetivo mostrar de que forma a disciplina de Inglês e TIC trabalharam em parceria num projeto eTwinning, onde a tecnologia e jogo usado acabam por ser invisíveis.
Il lavoro di tesi presenta lo studio di un esperimento fMRI tramite tecniche di machine learning. I partecipanti dell'esperimento erano invitati a premere un pulsante con il dito indice o anulare, a seconda delle istruzioni visive che venivano fornite loro. La domanda a cui si vuole rispondere è la seguente: "esiste una differenza tra le risposte del cervello a queste due condizioni?". L'intero lavoro mostra come algoritmi di machine learning sono utilizzati per rispondere a questa domanda. In particolare sono state confrontate diverse tecniche per ridurre le dimensionalità dei dati (PCA, clustering, features selection). In seguito alla riduzione delle dimensionalità, sono state valutate le componenti selezionate rappresentando la risposta emodinamica (HRF - hemodynamic response function) e le mappe di attivazione. Infine, è stato addestrato un classificatore SVM (lineare e non lineare) tramite cross-validation per classificare i pattern.
Project for the class "Advanced Operating System”: we developed a tool for the analysis of Hadoop, DSTAT and HPROF log in order to estimate the performance of a cluster through graphs and warnings.
Used technologies: Java, R, Hadoop, Python, C
More info: http://www.sromano.altervista.org/progetti_magistrale/SOA_HadoopAnalyzerJR.pdf
Sviluppo in Java di un tool che sia di ausilio al programmatore permettendo la ricerca e l'inserimento di code pattern attraverso una specifica keyword.
OpenIdeas is a web application that allows you to share your Idea and to have some feedbacks from users. It uses concpets of linked-data, rdfa, semantic web.
Project for the class "Advanced data management": we developed an hybrid web platform (data warehouse / mediator) that through the scraping from various websites is capable of give the meaning, rhyme, synonyms, antonyms, translation, wiki page, context and idioms of a single italian or english word
Used technologies: Php, XML, Xpath, Xquery, Kettle, SQL
More info: http://www.sromano.altervista.org/progetti_magistrale/LPR_Application.pdf
In this work we want apply dispersion(new metric for Social Network Analysis) in real
problems to show how this metric highlights particolar vertex in a Social Network graph.
Used technologies: Python, R, Weka, Snap(Stanford) library, Gephi.
1. Automata on infinite objects
Amedeo Leo1 Simone Romano1
1Università degli Studi di Salerno
Seminario Automi Linguaggi e Complessità - 2014/2015
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 1 / 40
2. 1 Introduzione
2 Automi su parole infinite
3 Automi ad albero
4 Conclusioni
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 2 / 40
3. Outline
1 Introduzione
2 Automi su parole infinite
3 Automi ad albero
4 Conclusioni
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 2 / 40
4. Perchè studiare la teoria degli automi?
È alla base di vari rami dell’informatica
Origine della scienza dell’informazione
Turing machine
Teoria dei compilatori
Model checking
Büchi automata, Rabin tree automata
Elaborazione dei dati sul Web (XML document)
Nota: Sebbene più astratta rispetto ai linguaggi di programmazione, la teoria
degli automi riflette l’essenza della computazione
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 3 / 40
5. Contesto storico
1930s: Turing machines (A. Turing)
1940s-1950s: Automi a stati finiti (W. McCulloch,W. Pitts, S. Kleene, etc.), Chomsky
hierarchy (N. Chomsky)
1960s-1970s: Pushdown automata (A.G. Oettinger, M.P. Schutzenberger), Büchi
automata over ω-words (J. R. Büchi ), Rabin tree automata over ω-trees (M. O. Rabin),
Tree automata (J. E. Doner, J. W. Thatcher, J. B. Wright, etc.)
1980s-1990s: ω-automata applied to formal verification (M. Vardi, P. Wolper, O.
Kupferman, etc.)
2000s-2010s: Automata over unranked trees applied to XML (A. Bruggemann-Klein,
M. Murata, D. Wood, F. Neven, etc.), Visibly pushdown automata (R. Alur, P. Madhusudan)
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 4 / 40
6. Notazioni
A, A*, Aω: alfabeto finito, insieme di parole finite, insieme di
ω-sequenze su A
ω-word: α(0)α(1)... con α(i) ∈ A
sottostringa finita di ω: α(m, n) := α(m)...α(n − 1) for m ≤ n
sottostringa infinita di ω: α(m, ω) := α(m)α(m + 1)...
Wω = {α ∈ Aω | α = w0w1... con wi ∈ W per i ≥ 0}
−→
W = {α ∈ Aω | ∃ωn α(0, n) ∈ W}
In(σ) = {s ∈ S | ∃ωn α(0, n) ∈ S }
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 5 / 40
7. Outline
1 Introduzione
2 Automi su parole infinite
Automi di Büchi
Altri modelli di automi
Calcolo delle sequenze
Context-free ω-languages
3 Automi ad albero
4 Conclusioni
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 6 / 40
8. Definizione
Un automa di Büchi sull’alfabeto A è della forma:
A = (Q, q0, ∆, F)
Q = insieme di stati
q0 = stato iniziale ∈ Q
∆ ⊆ QxAxQ
F ⊆ Q: insieme di stati finali
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 7 / 40
9. Definizione - 2
Run
Data una ω-word α(0)α(1)... sul Aω, una run di A è così definita:
sequenza di stati σ = σ(0)σ(1)... tale che
σ(0) = q0
(σ(i), α(i), σ(i + 1)) ∈ ∆ for i ≥ 0
Successful run
Data una ω-word una successful run di A è così definita:
In(σ) ∩ F = ∅ - ’Qualche stato di F occorre infinite volte’
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 8 / 40
10. ω-linguaggio - Büchi riconoscibile
ω-linguaggio di A
A accetta α se esiste una successful run di A su α
L(A) = {α ∈ Aω | A accetta α }
Nota: Un ω-linguaggio regolare contiene una ω-word finale periodica
Büchi riconoscibile
Se L = L(A) per qualche automa di Büchi A allora L è Büchi -
riconoscibile
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 9 / 40
11. Esempio
Dato l’alfabeto A = {a,b,c} ed L1 ⊆ Aω:
α ∈ L1 ⇔ dopo ogni occorrenza di a c’è qualche occorrenza di b
Aω − L1 è riconosciuto dall’automa in figura 2
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 10 / 40
12. Büchi riconoscibile - 2
Dato un automa di Büchi A
Data una parola finita w = a0...an−1
Se esiste una sequenza di stati s0, ..., sn tale che
s0 = s
(si, ai, si+1) ∈ ∆ per i < n
sn = s
Allora scriviamo:
s −→
w
s
Definiamo:
Wss = {w ∈ A∗ | s −→
w
s }
Wss è regolare.
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 11 / 40
13. Büchi riconoscibile - 2
Accettazione
L’ω-linguaggio riconosciuto da un automa di Büchi A è della forma:
L(A) = s∈F Wq0s · (Wss)ω
Teorema
Un ω linguaggio L ⊆ Aω è Büchi riconoscibile ⇔ L è un’unione finita di
insiemi U · Vω, dove U, V ⊆ A∗ sono insiemi regolari di parole finite.
Lemma
Se V ⊆ A∗
è regolare allora Vω
è Büchi riconoscibile
Se U ⊆ A∗
è regolare ed L ⊆ Aω
è Büchi riconoscibile allora U · L è
Büchi riconoscibile
Se L1, L2 ⊆ Aω
sono Büchi riconoscibili allora L1 L2 ed L1 L2 sono
Büchi riconoscibili
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 12 / 40
14. ω - regular expression
Dato un ω-linguaggio L, la sua rappresentazione nella forma:
L = n
i=1 Ui · Vω
i
dove Ui e Vi sono definiti da espressioni regolari, è definita
espressione ω-regolare
È quindi possibile definire un automa di Büchi a partire da una
espressione ω-regolare e viceversa
Linguaggio ω-regolare: ω-linguaggio riconosciuto da un automa di
Büchi
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 13 / 40
15. Complemento
Problema del vuoto è decidibile
Il complemento è un problema non banale
Se L ⊆ Aω
è Büchi riconoscibile, allora lo è anche Aω
-L. A partire
da L si può costruire un automa di Büchi che riconosce Aω
− L
(Caso non deterministico!)
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 14 / 40
16. Complemento - dim
La relazione
u ∼A v ⇔ ∀s, s ∈ Q(s −→
u
s ⇔ s −→
v
s e s
F
−→
u
s ⇔ s
F
−→
v
s )
ci consente di riscrivere L ed Aω-L con la stessa notazione.
Nota: ∼ è di indice finito data la finitezza di Q.
∀ coppia di classi ∼A U,V: se U · Vω L(A) = ∅, allora
U · Vω ⊆ L(A)
Vale anche per il complemento
Data ∼A, ∀ω-word α esistono delle ∼ classi U,V tali che α ∈ U · Vω
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 15 / 40
17. Complemento - dim - 2
Una congruenza ∼ su A∗ satura L ⊆ Aω se
U · Vω L = ∅ ⇒ U · Vω ⊆ L ∀ coppia di ∼ classi U,V
Se ∼ satura L ed è di indice finito, allora
L = {U · Vω | U, V sono ∼-classi, U · Vω L = ∅}
L’inclusione ⊇ deriva dalla notazione di saturazione, mentre la ⊆
deriva dal punto 2 del teorema precedente.
Note:
∼ ha indice finito; ∼ classi regolari la cui unione è finita ⇒ L è
regolare
Poichè la congruenza satura il complemento, anche il
complemento è regolare.
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 16 / 40
18. Automi di Büchi deterministici
Complemento
Gli automi di Büchi deterministici non sono chiusi rispetto al
complemento.
Dato il linguaggio W ⊆ A∗ riconosciuto da un automa
deterministico, definiamo
−→
W = {α ∈ Aω
| ∃ω
n α(0, n) ∈ W}
è riconosciuto da un automa di Büchi
Nota: Un ω-linguaggio L ⊆ Aω è riconosciuto da un automa di
Büchi deterministico ⇔ L =
−→
W per un insieme regolare W ⊆ A∗
Non essendo tutti di questa forma la chiusura del complemento
fallisce.
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 17 / 40
19. Automa di Muller
Un automa di Muller sull’alfabeto A è della forma
A = (Q, q0, δ, F)
Q = insieme di stati
q0 = stato iniziale ∈ Q
δ : QxA → Q
F ⊆ 2Q: insieme di stati finali
Successful run: un sottoinsieme di stati in F occorre infinite
volte
Accettazione di α: la run dell’automa su α è successful
Muller-riconoscibile: ω-word accettate da un automa di Muller
Teorema di McNaughton’s: Un ω-lingugaggio è regolare (Büchi
riconoscibile) ⇔ è Muller riconoscibile.
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 18 / 40
20. Automa di Rabin
Un automa di Rabin sull’alfabeto A è della forma
A = (Q, q0, δ, Ω)
(Q, q0, δ) come Muller
Ω = {(L1, U1), · · · , (Ln, Un)} è una collezione di coppie accettanti
Successful run: In(σ) Li = ∅ e In(σ) Ui = ∅
Accettazione di α: la run dell’automa su α è successful
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 19 / 40
21. Introduzione al calcolo delle sequenze
L’automa di Büchi può essere utilizzato per risolvere problemi
legati al calcolo delle sequenze
Büchi ha mostrato che ogni condizione su una sequenza può
essere riformulata come un problema di accettazione di una
sequenza da un automa
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 20 / 40
22. S1S
A: alfabeto finito di simboli
S1SA:
primo termine = 0
successori costruiti dalle variabili x, y,... applicando la funzione +1
funzioni atomiche: t1 = t2, t1 < t2, t1 ∈ X, t1 ∈ Qa
t1, t2 sono termini
X è una variabile al secondo ordine
Qa è un simbolo di predicato unario (uno per ogni a ∈ A)
le formule di S1SA si ottengono dalle formule atomiche applicando
gli operatori ¬, ∧, ∨ ed i quantificatori ∀, ∃
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 21 / 40
23. Relazione Büchi - S1S
Possiamo rappresentare ogni ω-word α ∈ Aω come
α = {ω, 0, +1, <, {Qa}a∈A}
dove
ω: insieme dei naturali
0: naturale 0
+1: funzione di successione
<: relazione di ordinamento
{Qa} = {i ∈ ω | α(i) = a ∀a ∈ A}
La verità di una formula S1S è decidibile.
Teorema di Büchi
un ω-linguaggio è definibile in S1S sse è regolare.
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 22 / 40
24. Context-free ω-languages
Grammatiche per ω-words
Una grammatica context-free sull’alfabeto A con variabili (non terminali)
x1, · · · , xn è data da una n-upla (G1, · · · , Gn) di insiemi finiti
Gi ⊆ (A {x1, · · · , xn})∗
, dove w ∈ Gi se xi → w è una produzione di G.
Esempio
G0 : x1 → x2x1, x2 → ax2b | ab.
Esempi di derivazioni:
x1 → x2x1 → abx1 → abx2x1 → ababx1 → ababx2x1 → · · ·
genera l’ ω-word (ab)ω
.
x1 → x2x1 → abx1 → abx2x1 → abax2bx1 → abaax2bbx1 →
abaaax2bbbx1 → · · · genera l’ ω-word abaω
.
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 23 / 40
25. A∞
Se la produzione x1 contiene variabili terminali:
la grammatica può generare anche parole di lunghezza finita
Parliamo di A∞ quando, data una grammatica G, consideriamo le sole
ω-word generabili
scartiamo quelle di lunghezza finita (se generabili)
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 24 / 40
26. Algebrico
Definizioni
(a) Un linguaggio infinito L ⊆ A∞ è algebrico se contiene tutte le
parole infinite generabili da una cfg G.
(b) Un linguaggio infinito L ⊆ A∞ è context-free se esiste una cfg G e
un insieme di variabili F di G tali che L consiste di tutte le parole
infinite generate da x1 con una leftmost dove le variabili usate
infinitamente spesso formano un insieme in F.
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 25 / 40
27. Outline
1 Introduzione
2 Automi su parole infinite
3 Automi ad albero
Introduzione
Esempi
4 Conclusioni
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 26 / 40
28. Tree automata - 1
A = {f, g, c}
A-valued tree
map t : dom(t) → A
chiuso sotto la notazione di prefisso
soddisfa l’implicazione
wj ∈ dom(t), i < j ⇒ wi ∈ dom(t)
frontiera di t: fr(t) = {w ∈ dom(t) | ¬∃i wi ∈ dom(t)}
frontiera esterna: fr+
(t) = {wi /∈ dom(t) | w ∈ dom(t) ed i < k}
(k = numero di figli)
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 27 / 40
29. Tree automata - 2
Informalmente:
prende un A-valued binary tree
inizia la computazione alla radice partendo dallo stato iniziale
visita parallelamente i vari cammini dell’albero percorrendo coppie
di stati
un automa ad albero accetta un albero t se c’è una run
successful
una run è successful se tutti i cammini dell’albero rispettano la
condizione di accettazione dell’automa
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 28 / 40
30. Tree automata - def. formale - 1
Un automa ad albero (non deterministico, top-down) su A è nella
forma:
A = (Q, q0, ∆, F)
Q = insieme di stati
q0 = stato iniziale ∈ Q
∆ ⊆ QxAxQxQ
F ⊆ Q: insieme di stati finali
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 29 / 40
31. Tree automata - def. formale - 2
Run di A su un albero binario finito t:
albero r:dom+(t) → Q dove
r( ) ∈ Q0
(r(w), t(w), r(w0), r(w1)) ∈ ∆ ∀w ∈ dom(t)
Una run è successful se:
r(w) ∈ F ∀w ∈ fr+(t)
Il linguaggio dell’albero T(A) riconosciuto da A:
insieme di alberi t che portano A a percorrere una successful run
T riconoscibile:
T = T(A) per qualche A
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 30 / 40
32. Automi su alberi infiniti
Due esempi di Tree automata infiniti sono rappresentati da:
Büchi Tree automata
Rabin Tree automata
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 31 / 40
33. Büchi tree automaton
Un automa di Büchi ad albero su A è nella forma:
A = (Q, q0, ∆, F)
Q = insieme di stati
q0 = stato iniziale ∈ Q
∆ ⊆ QxAxQxQ
F ⊆ Q: insieme di stati finali
Run di A su un albero t ∈ Tω
A :
mappa r:{0, 1}∗ → Q dove
r( ) ∈ q0
(r(w), t(w), r(w0), r(w1)) ∈ ∆ ∀w ∈ {0, 1}∗
Una run è successful se:
∀ path π, In(r|π) F = ∅
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 32 / 40
34. Rabin tree automaton
Un automa di Rabin ad albero su A è nella forma:
A = (Q, q0, ∆, Ω)
Q = insieme di stati
q0 = stato iniziale ∈ Q
F ⊆ Q: insieme di stati finali
Ω{(L1, U1), · · · , (Ln, Un)} è un insieme di coppie accettanti
Una run è successful se:
∀ path π ∃i ∈ {1, · · · , n} con
In(r|π) Li = ∅ e In(r|π) Ui = ∅
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 33 / 40
35. Accettazione
Un albero t ∈ Tω
A :
accettato da Büchi : "run successful" secondo Büchi
accettato da Rabin: "run successful" secondo Rabin
Un insieme T ⊆ Tω
A è:
Büchi riconoscibile: consiste degli alberi accettati da un automa di
Büchi
Rabin riconoscibile: consiste degli alberi accettati da un automa di
Rabin
Nota:
Automa di Büchi ⊆ Automa di Rabin (Ω = {(∅, F)})
⇒ Ogni Tω
A Büchi riconoscibile è anche Rabin riconoscibile.
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 34 / 40
36. Varianti di Rabin
Muller
Ω rimpiazzato dall’insieme di stati F
accettazione: ∃ una run r t.c. ∀π, In(r|π) ∈ F
Streett
∀ path π ∃i ∈ {1, · · · , n} con
In(r|π) Ui = ∅ ⇒ In(r|π) Li = ∅
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 35 / 40
37. Outline
1 Introduzione
2 Automi su parole infinite
3 Automi ad albero
4 Conclusioni
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 36 / 40
38. Riepilogo
Argomenti trattati:
ω-word
Automi di Büchi
ω-linguaggio
Espressioni ω-regolari
Problema del vuoto
Complemento
Automi di Muller - Rabin
ω-linguaggi Context-Free
Automi ad albero
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 37 / 40
39. Argomenti non trattati
Condizioni di accettazione e gerarchia di Borel
Complemento e determinazione dei giochi
Modelli di automi per sistemi temporizzati
Timed automata
Automi su alfabeti infiniti
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 38 / 40
40. Riferimenti
Automata on Infinite Objects - http://ki-www.
inferenzsysteme.informatik.tu-darmstadt.de/
fgdi3/2007/Material/Paper/Thomas_Automata.pdf
Automata theory and its applications -
http://lcs.ios.ac.cn/~wuzl/pub/lecture-01.pdf
Linguaggi formali, automi e logiche - https://users.dimi.
uniud.it/~angelo.montanari/automi.pdf
Amedeo Leo, Simone Romano Automata on infinite objects May 28, 2015 39 / 40