Se calcula la derivada de la función arcotangente hiperbólica.

1. Arcotangente hiperbólica.
Derivada.
José de Jesús García Ruvalcaba.
UABC

2. Recordatorio.
arctanh: −1,1 → −∞, +∞
arctanh 𝑥 =
1
2
log
1 + 𝑥
1 − 𝑥
arctanh 𝑥 =
1
2
log 1 + 𝑥 − log 1 − 𝑥

3. Derivar.
arctanh 𝑥 =
1
2
log 1 + 𝑥 − log 1 − 𝑥
arctanh′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
1
2
log 1 + 𝑥 − log 1 − 𝑥
arctanh′ 𝑥 =
1
2
𝑑
𝑑𝑥
log 1 + 𝑥 −
𝑑
𝑑𝑥
log 1 − 𝑥
arctanh′ 𝑥 =
1
2
1
1 + 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
1 + 𝑥 −
1
1 − 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
1 − 𝑥

4. Continuación.
arctanh′ 𝑥 =
1
2
1
1 + 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
1 + 𝑥 −
1
1 − 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
1 − 𝑥
arctanh′ 𝑥 =
1
2
1
1 + 𝑥
1 −
1
1 − 𝑥
−1
arctanh′ 𝑥 =
1
2
1
1 + 𝑥
+
1
1 − 𝑥
arctanh′ 𝑥 =
1
2
1 − 𝑥 + 1 + 𝑥
1 + 𝑥 1 − 𝑥

5. Conclusión.
arctanh′ 𝑥 =
1
2
1 − 𝑥 + 1 + 𝑥
1 + 𝑥 1 − 𝑥
arctanh′ 𝑥 =
1
2
2
1 + 𝑥 1 − 𝑥
arctanh′ 𝑥 =
1
1 + 𝑥 1 − 𝑥
arctanh′ 𝑥 =
1
1 − 𝑥2

6. Importante: el
dominio.
arctanh′ 𝑥 =
1
1 − 𝑥2
Para 𝑥 ∈ −1,1

7. Lado derecho de la
igualdad anterior.
 Gráfica de la función:
𝑥 ⟼
1
1 − 𝑥2