2. Prayudi STT PLN
Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen
2
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Andaikan A marik bujur sangkar berordo nxn, vektor taknol x di dalam Rn
dikatakan vektor eigen A, jika tedapat skalar taknol sedemikian rupa
sehingga,
Ax = x
disebut dengan nilai eigen dari A dan x disebut vektor eigen dari A yang
bersesuaian dengan .
Contoh :
Vektor x = [1,2] adalah vektor eigen dari :
1
8
0
3
A
yang bersesuaian dengan nilai eigen, = 3, karena :
2
1
3
6
3
2
1
1
8
0
3
3. Prayudi STT PLN
3
Teknik Menghitung Nilai Eigen (1)
Untuk menghitung nilai eigen matrik A yang berorodo nxn tulislah Ax = x
sebagai,
Ax = Ix
(I – A)x = 0
0
...
0
0
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3
2
1
3
2
1
3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11
n
nn
n
n
n
ij
n
n
n
x
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Agar supaya menjadi nilai eigen, maka penyelesaian sistem
persamaan linier diatas haruslah non trivial, dimana syaratnya adalah :
0
...
0
)
det(
1
1
1
n
n
n
n c
c
c
A
I
4. Prayudi STT PLN
Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen
4
Teknik Menghitung Nilai Eigen (2)
Persamaan terakhir adalah polinomial berderajad n yang
disebut dengan persamaan karakteritik A, sedangkan nilai
eigen matrik A adalah akar-akar persamaan karakteristik A
(akar-akar polinomial dalam ).
Langkah-langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen
matrik A adalah :
(1) Bentuk matrik (I – A)
(2) Hitung determinan, det(I – A)=0
(3) Tentukan persamaan karakteristik dari, (I – A) = 0
(4) Hitung akar-akar persamaan karakteristik (nilai lamda)
(5) Hitung vektor eigen dari SPL, (I – A)x=0
5. Prayudi STT PLN
Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen
5
Contoh
Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari, A =
1
1
5
3
Jawab
Bentuk, I – A yaitu :
(I – A) =
1
1
5
3
Persamaan karakteristiknya adalah :
det(I – A) = 2 – 2 – 8 = 0
Akar-akar persamaan karakteristiknya
adalah : 1 = 4, dan 2 = –2, dan inilah
nilai eigen matrik A.
Vektor eigen x dari A diperoleh dari :
(I – A)x = 0
1
1
5
3
2
1
x
x
0
0
Untuk = 4, diperoleh SPL
5
1
5
1
2
1
x
x
0
0
Solusi SPL diatas adalah :
1
5
t
t
t
5
x
x
2
1
Jadi vektor eigen untuk = 4,
adalah x = [5,1]. Sedangkan
vektor eigen yang bersesuaian
dengan = –2 adalah, x = [1,–1].
6. Prayudi STT PLN
Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen
6
Contoh
Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari, A =
3
1
3
0
4
3
2
4
1
Jawab
Bentuk, I – A yaitu :
(I – A) =
3
1
3
0
4
3
2
4
1
Persamaan karakteristiknya adalah :
det(I – A) = 3 – 62 + 11 – 6 = 0
Akar-akar persamaan karakteristiknya
adalah : 1 = 1, 2 = 2, dan 3 = 3
Vektor eigen x dari A diperoleh dari :
(I – A)x = 0
3
1
3
0
4
3
2
4
1
Untuk = 1, diperoleh SPL
2
1
3
0
3
3
2
4
2
0
0
0
x
x
x
3
2
1
0
0
0
x
x
x
3
2
1
Solusi SPL diatas adalah :
1
1
1
t
t
t
t
x
x
x
3
2
1
Jadi vektor eigen yang
bersesuaian dengan :
= 1 adalah x = [1,1,1] ;
= 2 adalah x = [2,3,3] ;
= 3 adalah x = [1,3,4].
7. Prayudi STT PLN
Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen
7
Diagonalisasi
Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat matrik P
yang mempunyai invers sedemikian rupa sehingga, P–1AP adalah matrik
diagonal. Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A.
Langkah-langkah menentukan matrik P dan D adalah sebagai berikut :
(1). Hitung persamaan karakteristik A nilai eigen
(2). Carilah n vektor eigen bebas linier A sesuai nilai eigen, p1,p2, ... , pn,
(3). Bantuklah matrik P = [p1 p2 … pn] dan hitunglah P–1
(4). Hitung, D = P–1AP dengan diagonal utama, 1, 2, … ,n
Contoh :
3
1
3
0
4
3
2
4
1
A
Vektor eigen dan nilai eigennya :
= 1 adalah x = [1,1,1] ;
= 2 adalah x = [2,3,3] ;
= 3 adalah x = [1,3,4].
4
3
1
3
3
1
1
2
1
P
1
1
0
2
3
1
3
5
3
P 1
D = P–1AP =
3
0
0
0
2
0
0
0
1
8. Prayudi STT PLN
Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen
8
Contoh
Carilah nilai eigen, vektor eigen dan matrik
P yang mendiagonalisasi matrik A, bilamana
5
2
1
2
5
1
2
2
2
A
Jawab
Menentukan nilai eigen A dan vektor eigen. Persamaan karakteristik A
diperoleh dari :
det(I – A) = 0
Persamaan karakteristiknya adalah : 3 – 122 + 45 – 54 = 0. dan akar-
akarnya adalah : 1 = 2 = 3, dan 3 = 6. Vektor eigen x dari A diperoleh dari
: (I – A)x = 0
0
5
2
1
2
5
1
2
2
2
Untuk = 3, SPL-nya
0
0
0
x
x
x
3
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
1
0
2
s
0
1
2
t
x
x
x
3
2
1
Solusi SPL-nya adalah : Vektor eigen
p1 = [–2 ,1,0]
p2 = [–2 ,0,1]
10. Prayudi STT PLN
Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen
10
Diagonalisasi Ortogonal
Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal
jika terdapat matrik P yang ortogonal sedemikian rupa sehingga, P–1AP
(=PTAP) adalah matrik diagonal (elemen matrik D adlah nilai eigen matrik
A). Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A secara ortogonal.
Jika A adalah matrik nxn, maka pernyataan berikut ekivalen yakni :
(1). A dapat didiagonalisasi secara ortogonal,
(2). A matrik simetris,
(3). A mempunyai himpunan ortonormal n vektor eigen.
Langkah-langkah menentukan matrik P adalah sebagai berikut :
(1). Carilah n vektor eigen A yang bebas linier, x1, x2, ... , xn.
(2). Terapkan proses Gram-Schmidt untuk membentuk basis ortonormal,
dari vektor basis pada langkah (1).
(3). Bentuk matrik P dari langkah (2), yakni P = [p1 p2 … pn]
11. Prayudi STT PLN
Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen
11
Contoh
Carilah matrik P yang mendiagonalisasikan
matrik A, secara ortogonal bilamana
1
2
2
2
2
1
2
1
2
A
Jawab
Menentukan nilai eigen dan vktor eigen A. Persamaan karakteristik A
diperoleh dari :
det(I – A) = 0 0
1
2
2
2
2
1
2
1
2
Persamaan karakteristiknya adalah : 3 – 32 – 9 + 27 = 0. dan akar-akar
atau nilai eigennya adalah : 1 = 2 = 3, dan 3 = –3.
Vektor eigen x dari A diperoleh dari : (I – A)x = 0
Untuk = 3, SPL-nya
4
2
2
2
1
1
2
1
1
0
0
0
x
x
x
3
2
1
Solusi SPL-nya adalah :
1
0
2
s
0
1
1
t
x
x
x
3
2
1
Vektor eigen
x1 = [1,1,0]
x2 = [–2 ,0,1]
14. Prayudi STT PLN
Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen
14
b
a
a
a
a
b
a
a
a
a
b
a
A
1
1
1
1
1
1
1
1
1
b
a
a
a
a
b
a
a
a
a
b
a
A
SOAL-SOAL LATIHAN
a. Tentukan persamaan karakteristik, nilai eigen matrik A
b. Tentukan vector eigen A yang membentuk yang sesuai
dengan nilai eigen A.
c. Carilah matrik P yang mendiagonalisasikan A, dengan
rumus P= [x1 x2 … xn], dan D=P–1AP.
d. Dengan proses Gram-Schimdt, tentukan matrik P
mendiagonalisasikan A secara ortonormal,
P= [p1 p2 … pn], D=PTAP.
a
a
a
A
2
1
2
3
2
1
2
b
b
b
A
2
1
2
3
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
A
3
2
1
2
6
2
1
2
3
A
![Prayudi STT PLN
Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen
2
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Andaikan A marik bujur sangkar berordo nxn, vektor taknol x di dalam Rn
dikatakan vektor eigen A, jika tedapat skalar taknol sedemikian rupa
sehingga,
Ax = x
disebut dengan nilai eigen dari A dan x disebut vektor eigen dari A yang
bersesuaian dengan .
Contoh :
Vektor x = [1,2] adalah vektor eigen dari :
1
8
0
3
A
yang bersesuaian dengan nilai eigen, = 3, karena :
2
1
3
6
3
2
1
1
8
0
3](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)