289.введение в динамику одномерных отображений учебное пособие

Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè
Ôåäåðàëüíîå àãåíòñòâî ïî îáðàçîâàíèþ
ßðîñëàâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
èì. Ï.Ã. Äåìèäîâà
Â.Ø. Áóðä
ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÄÈÍÀÌÈÊÓ
ÎÄÍÎÌÅÐÍÛÕ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈÉ
Ó÷åáíîå ïîñîáèå
Ðåêîìåíäîâàíî
Íàó÷íî-ìåòîäè÷åñêèì ñîâåòîì óíèâåðñèòåòà
äëÿ ñòóäåíòîâ ñïåöèàëüíîñòåé Ìàòåìàòèêà
è Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà
ßðîñëàâëü 2006
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ÓÄÊ 517.925
ÁÁÊ Â16ÿ73
Á 91
Ðåêîìåíäîâàíî
Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèì ñîâåòîì óíèâåðñèòåòà
â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî èçäàíèÿ. Ïëàí 2006 ãîäà.
Ðåöåíçåíòû:
ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. Â.Ô. Áóòóçîâ;
êàôåäðà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà
ßðîñëàâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ïåäàãîãè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà
Áóðä, Â.Ø. Ââåäåíèå â äèíàìèêó îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèé:
ó÷åáíîå ïîñîáèå / Â.Ø. Áóðä; ßðîñë. ãîñ. óí-ò. ßðîñëàâëü:
Á 91 ßðÃÓ, 2006. 104 ñ.
ISBN 5-8397-0491-1 (978-5-8397-0491-6)
Êíèãà ïîñâÿùåíà èçëîæåíèþ îñíîâ òåîðèè îäíîìåðíûõ äèñ-
êðåòíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì îäíîìó èç ñàìûõ ýôôåêòèâíûõ
ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ íåëèíåéíûõ ïðîöåññîâ. Ââîäÿòñÿ îñíîâ-
íûå ïîíÿòèÿ è äîêàçûâàþòñÿ îñíîâíûå òåîðåìû. Ðàññìàòðèâà-
þòñÿ âîïðîñû áèôóðêàöèè è óñòîé÷èâîñòè ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò,
èõ ñîñóùåñòâîâàíèÿ. Ïîäðîáíî èññëåäîâàíû íàèáîëåå ïðîñòûå
íåëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ èíòåðâàëà.
Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå ½Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâ-
íåíèÿ“ (áëîê ÎÏÄ) ïðåäíàçíà÷åíî ñòóäåíòàì ñïåöèàëüíîñòåé
010100 Ìàòåìàòèêà è 010200 Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîð-
ìàòèêà î÷íîé ôîðìû îáó÷åíèÿ.
Ðèñ. 14. Áèáëèîãð.: 32 íàçâ.
ÓÄÊ 517.925
ÁÁÊ Â16ÿ73
ISBN 5-8397-0491-1 c ßðîñëàâñêèé
(978-5-8397-0491-6) ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
èì. Ï.Ã. Äåìèäîâà, 2006
c Áóðä Â.Ø., 2006
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Îãëàâëåíèå
Ïðåäèñëîâèå 5
1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è òåîðåìû 7
1.1. Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1. Âñïîìîãàòåëüíûå ñâåäåíèÿ èç àíàëèçà . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1. Òîïîëîãè÷åñêàÿ ñîïðÿæåííîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2. Ãðóáûå îòîáðàæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3. Ëîêàëüíûå áèôóðêàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4. Ãëîáàëüíûå áèôóðêàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5. Ïðîèçâîäíàÿ Øâàðöà
è ïðèòÿãèâàþùèå öèêëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2. Ñåìåéñòâî êâàäðàòè÷íûõ îòîáðàæåíèé 45
2.1. Êàñêàä áèôóðêàöèé óäâîåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2. Öèêë ïåðèîäà 3
è ÷èñëî íåóñòîé÷èâûõ öèêëîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3. Äèíàìèêà îòîáðàæåíèÿ f(x) = 4x(1 − x) . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4. Äèíàìèêà îòîáðàæåíèÿ f(x, r) = rx(1 − x)
ïðè r 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.4.1. Ïðîñòðàíñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èç äâóõ ñèìâîëîâ . . . 73
2.4.2. Îòîáðàæåíèå ñäâèãà â Σ2 è îòîáðàæåíèå f(x, r)
ïðè r 2 +
√
5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Ïðèëîæåíèÿ 79
Ïðèëîæåíèå 1. Àñèìïòîòèêà îäíîìåðíûõ èòåðàöèé . . . . . . . . 79
Ïðèëîæåíèå 2. Ñîâåðøåííûå íèãäå íå ïëîòíûå ìíîæåñòâà
íà âåùåñòâåííîé ïðÿìîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Ïðèëîæåíèå 3. Ãèïåðáîëè÷åñêèå ìíîæåñòâà
è îòîáðàæåíèå f(x, r) = rx(1 − x) ïðè r 4 . . . . . . . . . . . . 88
3

4 ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ
Ïðèëîæåíèå 4. Îäíî êóñî÷íî-ëèíåéíîå ðàçðûâíîå îòîáðàæåíèå . 93
Ïðèëîæåíèå 5. Öèêë ïåðèîäà 3 è õàîñ . . . . . . . . . . . . . . . 95
Ïðèëîæåíèå 6. Ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü ìíîæåñòâ . . . . . . . . 95
Ïðèëîæåíèå 7. Ïîêàçàòåëü Ëÿïóíîâà . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Ëèòåðàòóðà 102

Ïðåäèñëîâèå
Â îñíîâó íàñòîÿùåãî ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ ïîëîæåí ñïåöèàëüíûé êóðñ, êîòîðûé
÷èòàåòñÿ àâòîðîì ñòóäåíòàì ñïåöèàëüíîñòè “Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà“. Öåëü
ïîñîáèÿ äàòü äîñòóïíîå ñòóäåíòàì 3 4 êóðñîâ ââåäåíèå â êðóã âîïðîñîâ, ñâÿ-
çàííûõ ñ ïîâåäåíèåì íåëèíåéíûõ äèñêðåòíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, îïðåäåëÿ-
åìûõ îäíîìåðíûìè îòîáðàæåíèÿìè. Ýòà òåìàòèêà â ïîñëåäíèå 25 ëåò âûçûâàåò
îãðîìíûé èíòåðåñ, òàê êàê åå ìåòîäû è ðåçóëüòàòû ïðèìåíèìû ê áîëüøîìó
÷èñëó âàæíûõ íåëèíåéíûõ çàäà÷ îò ôèçèêè è õèìèè äî ýêîëîãèè è ýêîíîìèêè.
Ó÷åáíîå ïîñîáèå ñîñòîèò èç 2 ãëàâ, âêëþ÷àþùèõ 9 ïàðàãðàôîâ, è ñåìè ïðè-
ëîæåíèé.
Â ïåðâîé ãëàâå èçëàãàþòñÿ âñïîìîãàòåëüíûå ñâåäåíèÿ èç àíàëèçà, ââîäÿòñÿ
îñíîâíûå ïîíÿòèÿ íåïîäâèæíûå òî÷êè, öèêëû. Îáñóæäàþòñÿ âîïðîñû óñòîé-
÷èâîñòè öèêëîâ, òîïîëîãè÷åñêîé ñîïðÿæåííîñòè îòîáðàæåíèé, ãðóáîñòè îòîáðà-
æåíèé. Â òðåòüåì ïàðàãðàôå ðàññìàòðèâàþòñÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêèå ñåìåéñòâà
îòîáðàæåíèé. Îïèñûâàþòñÿ ëîêàëüíûå áèôóðêàöèè, âîçíèêàþùèå ïðè ïðîõî-
æäåíèè ìóëüòèïëèêàòîðà öèêëà ÷åðåç çíà÷åíèÿ ±1. Â îäíîìåðíîì ñëó÷àå ñó-
ùåñòâóþò ñèëüíûå îãðàíè÷åíèÿ íà òèï ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò, êîòîðûå ìîãóò ñî-
ñóùåñòâîâàòü. Â ÷åòâåðòîì ïàðàãðàôå îáñóæäàþòñÿ âîïðîñû ñîñóùåñòâîâàíèÿ
ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò ðàçíûõ ïåðèîäîâ. Ðàçâèâàåòñÿ îáùàÿ òåõíèêà, êîòîðàÿ
ïîçâîëÿåò èç ñóùåñòâîâàíèÿ öèêëà ïåðèîäà k âûâåñòè ñóùåñòâîâàíèå öèêëîâ
íåêîòîðûõ äðóãèõ ïåðèîäîâ. Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóåòñÿ êîíñòðóêöèÿ ñîîòâåòñòâó-
þùåãî íàïðàâëåííîãî ãðàôà. Â ïÿòîì ïàðàãðàôå äîêàçûâàåòñÿ òåîðåìà Ñèí-
ãåðà î ñâÿçè ìåæäó óñòîé÷èâîñòüþ öèêëîâ è êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè ôóíêöèè,
ïîðîæäàþùåé äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó.
Â êà÷åñòâå ïðèìåðà èçëîæåííîé òåîðèè âî âòîðîé ãëàâå äåòàëüíî èññëåäóåò-
ñÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî êâàäðàòè÷íûõ ôóíêöèé f(x, r) = rx(1 − x)
ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðà r îò 0 äî çíà÷åíèé r 4. Ïîïóòíî îáñóæäàåòñÿ êàñêàä
áèôóðêàöèé óäâîåíèÿ, ââîäÿòñÿ ïîñòîÿííûå Ôåéãåíáàóìà, èçëàãàþòñÿ ìåòîäû
ïîäñ÷åòà ÷èñëà íåóñòîé÷èâûõ öèêëîâ. Äëÿ îòîáðàæåíèÿ f(x) = 4x(1−x) äàåòñÿ
äîñòàòî÷íî ïîëíîå îïèñàíèå äèíàìèêè. Çäåñü æå ïðèâîäèòñÿ îäíî èç âîçìîæ-
íûõ îïðåäåëåíèé õàîòè÷åñêîãî îòîáðàæåíèÿ è äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî âûøåóêàçàí-
íîå îòîáðàæåíèå õàîòè÷íî. Èññëåäóåòñÿ äèíàìèêà îòîáðàæåíèÿ f(x) = rx(1−x)
ïðè r 4. Ââîäèòñÿ è èçó÷àåòñÿ îòîáðàæåíèå ñäâèãà íà ïðîñòðàíñòâå ïîñëåäî-
âàòåëüíîñòåé èç äâóõ ñèìâîëîâ. Äàíî ïîëíîå îïèñàíèå äèíàìèêè îòîáðàæåíèÿ
f(x) = rx(1 − x) ïðè r 2 +
√
5.
Â ñåìè ïðèëîæåíèÿõ îïèñûâàþòñÿ àñèìïòîòèêà îäíîìåðíûõ èòåðàöèé, ïî-
ñòðîåíèå íèãäå íå ïëîòíûõ ñîâåðøåííûõ ìíîæåñòâ íà âåùåñòâåííîé ïðÿìîé,
îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ãèïåðáîëè÷åñêèõ ìíîæåñòâ è ïðèìåíåíèå ýòèõ ïîíÿ-
òèé ê èññëåäîâàíèþ äèíàìèêè îòîáðàæåíèÿ f(x) = rx(1−x) ïðè 4 r 2+
√
5,

6
äèíàìèêà îäíîãî êóñî÷íî-ëèíåéíîãî ðàçðûâíîãî îòîáðàæåíèÿ, ïîíÿòèå õàîñà ïî
Ëè - Éîðêó, ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü ìíîæåñòâ íà âåùåñòâåííîé ïðÿìîé, ïî-
êàçàòåëü Ëÿïóíîâà.
Â òåêñòå ïîñîáèÿ ñîäåðæèòñÿ ñâûøå ñîðîêà óïðàæíåíèé.
Îòìåòèì íåêîòîðûå îñîáåííîñòè ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ. Áîëüøèíñòâî ðåçóëüòà-
òîâ ñíàáæåíî ñòðîãèìè äîêàçàòåëüñòâàìè. Îêîí÷àíèå äîêàçàòåëüñòâà ôèêñè-
ðóåòñÿ çíàêîì . Ññûëêè íà ëèòåðàòóðó îãðàíè÷èâàþòñÿ òîëüêî òåìè ìîíî-
ãðàôèÿìè è ñòàòüÿìè, êîòîðûå áûëè èñïîëüçîâàíû ïðè íàïèñàíèè ïîñîáèÿ (ïî
îäíîìåðíîé äèíàìèêå íàïèñàíû ñîòíè ðàáîò) .
Â çàêëþ÷åíèå âûðàæàþ áëàãîäàðíîñòü À.Þ. Óõàëîâó çà ïîìîùü â îôîðì-
ëåíèè ðóêîïèñè ïîñîáèÿ.

Ãëàâà 1.
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è òåîðåìû
1.1. Ââåäåíèå
Îäíîìåðíàÿ äèñêðåòíàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà îïðåäåëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòüþ
xn+1 = f(xn), n = 0, 1, . . . ,
ãäå f(x) ñêàëÿðíàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå
òî÷åê âåùåñòâåííîé ïðÿìîé R. Äëÿ êàæäîé òî÷êè x0 ∈ R, ïðèíàäëåæàùåé
îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f(x), íàçîâåì òðàåêòîðèåé èëè îðáèòîé O(x0)
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
x0, f(x0), f(f(x0)), f(f(f(x0))), . . . (1.1)
Â êà÷åñòâå ïåðâîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó, îïðåäåëÿåìóþ
ôóíêöèåé f(x) = kx(k 0). Äëÿ x0 ∈ R îðáèòà èìååò âèä
x0, kx0, k2
x0, . . . , kn
x0, . . .
Åñëè k 1, òî îðáèòà ëþáîé òî÷êè x0 = 1 ñõîäèòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞. Åñëè
k 1, òî îðáèòà ñõîäèòñÿ ê ∞. Åñëè n = 1, òî îðáèòà O(x0) ñîñòîèò èç îäíîé
òî÷êè x0:
x0, x0, . . .
Îñíîâíîé âîïðîñ, êîòîðûì ìû áóäåì èíòåðåñîâàòüñÿ, ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû
óçíàòü, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ îðáèòîé O(x0) ïðè n → ∞, ò.å. ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ
èòåðàöèé (1.1) äëÿ ðàçëè÷íûõ òî÷åê x0. Íàïðèìåð, åñëè f(x) = sin x, òî ëþáàÿ
îðáèòà ñîîòâåòñòâóþùåé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû (èòåðàöèè ñèíóñà) ñõîäèòñÿ ê
0 ïðè n → ∞.
7

8 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è òåîðåìû
1.1.1. Âñïîìîãàòåëüíûå ñâåäåíèÿ èç àíàëèçà
Ïðèâåäåì íåîáõîäèìûå äëÿ äàëüíåéøåãî ñâåäåíèÿ èç àíàëèçà. Áóäåì ðàñ-
ñìàòðèâàòü íåïðåðûâíûå ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé x, îïðåäåëåííûå íà âåùå-
ñòâåííîé ïðÿìîé R èëè â íåêîòîðîì çàìêíóòîì (îòêðûòîì) èíòåðâàëå I ýòîé
ïðÿìîé. Ôóíêöèþ f(x) áóäåì íàçûâàòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîé, åñëè f(x) = f(y),
êàêîâû áû íè áûëè x = y. Åñëè ôóíêöèÿ f : I → J âçàèìíî îäíîçíà÷íà, òî
ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ f−1
(y)(y = f(x), x = f−1
(y)). Íàïðèìåð, åñëè
f(x) = x3
, òî f−1
(x) = 3
√
x. Îáå ôóíêöèè äåéñòâóþò èç R â R. Åñëè f(x) = tg x,
òî f−1
(x) = arctg x. Çäåñü f(x) : (−π/2, π/2) → R, f−1
(x) : R → (−π/2, π/2).
Ôóíêöèÿ f(x) íàçûâàåòñÿ ãîìåîìîðôèçìîì, åñëè îíà âçàèìíî îäíîçíà÷íà è îá-
ðàòíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà. Íàïðèìåð, f(x) = tg x åñòü ãîìåîìîðôèçì èç
(−π/2, π/2) â R. Åñëè f(x) ãîìåîìîðôèçì è f(x) äèôôåðåíöèðóåìà âìå-
ñòå ñ îáðàòíîé ôóíêöèåé, òî f(x) íàçûâàåòñÿ äèôôåîìîðôèçìîì. Íàïðèìåð,
f(x) = tg x ÿâëÿåòñÿ äèôôåîìîðôèçìîì, à f(x) = x3
ãîìåîìîðôèçìîì, íî
íå äèôôåîìîðôèçìîì, òàê êàê îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ f−1
(x) = 3
√
x íå èìååò ïðî-
èçâîäíîé â òî÷êå x = 0. Cóïåðïîçèöèþ ôóíêöèé f(x) è g(x) îáîçíà÷èì ÷åðåç
f(g(x)) = f(x) ◦ g(x), n êîìïîçèöèþ f(x) ñ ñîáîé îáîçíà÷èì
f(n)
(x) = f(x) ◦ f(x) ◦ · · · ◦ f(x)
nðàç
.
Åñëè ñóùåñòâóåò f−1
(x), òî
f(−n)
(x) = f−1
(x) ◦ f−1
(x) ◦ · · · ◦ f−1
(x)
nðàç
.
Ìû áóäåì â äàëüíåéøåì èñïîëüçîâàòü öåïíîå ïðàâèëî (äèôôåðåíöèðîâàíèå
ñëîæíîé ôóíêöèè):
[f(g(x))] = [f ◦ g] = f (g(x))g (x).
Îòñþäà ñëåäóåò, â ÷àñòíîñòè, åñëè g(x) = f(n−1)
(x), òî
[f(n)
(x)] = f (f(n−1)
(x))f (f(n−2)
(x)) . . . f (f(x))f (x).
Íàïîìíèì åùå äâå ýëåìåíòàðíûå òåîðåìû èç àíàëèçà.
Òåîðåìà Ëàãðàíæà î ñðåäíåì çíà÷åíèè. Åñëè f(x) : [a, b] → R íåïðå-
ðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà, òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà c ∈ [a, b], ÷òî
f(b) − f(a) = f (c)(b − a).

Ââåäåíèå 9
Ñëåäñòâèå 1. Åñëè ôóíêöèÿ f(x) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà [a, b],
òî
|f(x) − f(y)| ≤ K|x − y|, x, y ∈ [a, b].
Äåéñòâèòåëüíî, ïðîèçâîäíàÿ f (x) îãðàíè÷åíà íà [a, b] : |f (x)| ≤ K.
Òåîðåìà î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè. Ïóñòü f : [a, b] → R íåïðåðûâíà.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f(a) = u, f(b) = v. Òîãäà äëÿ ëþáîãî u z v ñóùåñòâóåò
òî÷êà c, a ≤ c ≤ b òàêàÿ, ÷òî f(c) = z.
Ñëåäñòâèå 2. Ïóñòü I = [a, b] è ïóñòü f : I → I íåïðåðûâíàÿ ôóíê-
öèÿ.Òîãäà ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå îäíà òî÷êà a ≤ c ≤ b òàêàÿ, ÷òî
f(c) = c. (Ýòà òî÷êà íàçûâàåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé ôóíêöèè f(x) èëè
íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ f(x).)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü g(x) = f(x) − x. Ôóíêöèÿ g(x) íåïðåðûâíà íà I.
Ïóñòü f(a) a, f(b) b (èíà÷å a èëè b áóäåò íåïîäâèæíîé òî÷êîé äëÿ f(x)).
Òîãäà g(a) 0, g(b) 0. Â ñèëó òåîðåìû î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè ñóùåñòâóåò
òî÷êà c, äëÿ êîòîðîé g(c) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, f(c) = c.
Ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò î ñóùåñòâîâàíèè åäèíñòâåííîé íåïîäâèæíîé òî÷êè
ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïðèíöèïà ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé. Ïóñòü I = [a, b],
f : I → I. Íàçîâåì ôóíêöèþ f(x) ñæèìàþùåé èëè ñæàòèåì íà I, åñëè
|f(x) − f(y)| ≤ q|x − y|, x, y ∈ I,
ãäå q 1. Èç ñëåäñòâèÿ è îïðåäåëåíèÿ ñæèìàþùåé ôóíêöèè íåïîñðåäñòâåí-
íî âûòåêàåò, ÷òî ñæèìàþùàÿ ôóíêöèÿ èìååò íà I åäèíñòâåííóþ íåïîäâèæíóþ
òî÷êó, ò.å. ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà (ïðèíöèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé). Ïóñòü f : I → I è
f(x) ñæèìàþùàÿ íà I. Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà
äëÿ f(x) íà I.
Ìû ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ, íå èñïîëüçóþùåå îäíîìåð-
íîñòü îòîáðàæåíèÿ (ôóíêöèè) f(x).
Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó x0 è ïîñòðîèì ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü
x0, x1 = f(x0), x2 = f(x1), . . . , xn = f(xn−1), . . . (1.2)
Ïîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (1.2) ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîìó ïðåäåëó x∗
∈ I.
Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî
|x2 − x1| = |f(x1) − f(x0)| ≤ q|x1 − x0| = q|f(x0) − x0|,

|x3 − x2| = |f(x2) − f(x1)| ≤ q|x2 − x1| ≤ q2
|f(x0) − x0|,
· · · · · · · · · · · ·
|xn+1 − xn| = |f(xn) − f(xn−1)| ≤ qn
|f(x0) − x0|.
Äàëåå,
|xn+p − xn| ≤ |xn+p − xn+p−1| + |xn+p−1 − xn+p−2| + · · · + |xn+2 − xn+1|+
+|xn+1 − xn| ≤ (qn+p
+ · · · + qn
)|f(x0) − x0| =
=
qn
− qn+p−1
1 − q
|f(x0) − x0|.
Òàê êàê q 1, òî
|xn+p − xn|
qn
1 − q
|f(x0) − x0|,
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî |xn+p − xn| → 0 ïðè n → ∞ è â ñèëó ïðèíöèïà ñõîäèìîñòè
Êîøè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (1.2) ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîé òî÷êå x∗
∈ I. Ïîêàæåì,
÷òî f(x∗
) = x∗
. Â ñàìîì äåëå,
|x∗
− f(x∗
)| ≤ |xn − x∗
| + |xn − f(x∗
)| = |xn − x∗
| + |f(xn−1) − f(x∗
)| ≤
≤ |xn − x∗
| + q|xn−1 − x∗
|.
Ïðè ëþáîì çàäàííîì ε 0 è äîñòàòî÷íî áîëüøîì n
|xn − x∗
|
ε
2
, |xn−1 − x∗
|
ε
2
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
|x∗
− f(x∗
)| ε.
Òàê êàê ε 0 ïðîèçâîëüíî, òî
|x∗
− f(x∗
)| = 0 → x∗
= f(x∗
).
Îñòàëîñü ïîêàçàòü åäèíñòâåííîñòü íåïîäâèæíîé òî÷êè. Ïóñòü ñóùåñòâóþò òà-
êèå äâå òî÷êè x∗
, y∗
, ÷òî f(x∗
) = x∗
, f(y∗
) = y∗
. Òîãäà
|x∗
− y∗
| = |f(x∗
) − f(y∗
)| ≤ q|x∗
− y∗
|.
Íî q 1. Ïîýòîìó |x∗
− y∗
| = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, x∗
= y∗
.
Ëåãêî íàéòè ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (1.2) ê íåïîäâèæíîé
òî÷êå. Â ñàìîì äåëå,
|x1 − x∗
| = |f(x0) − f(x∗
)| ≤ q|x0 − x∗
|, |x2 − x∗
| ≤ q2
|x0 − x∗
|.

Ââåäåíèå 11
Ïðîäîëæàÿ, ïîëó÷èì
|xn − x∗
| ≤ qn
|x0 − x∗
|.
Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (1.2) ñõîäèòñÿ ê x∗
co cêîðîñòüþ ãåîìåòðè÷å-
ñêîé ïðîãðåññèè ñî çíàìåíàòåëåì q.
Î÷åâèäíî, óñëîâèÿ ïðèíöèïà ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé âûïîëíåíû, åñëè ïðî-
èçâîäíàÿ f (x) óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó |f (x)| ≤ q 1 ïðè x ∈ I.
Ïóñòü òåïåðü x∗
íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ôóíêöèè f(x).
Òåîðåìà (îá îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ íåïîäâèæíîé òî÷êè). Ïóñòü ñóùå-
ñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f(x) â íåïîäâèæíîé òî÷êå x∗
è óäîâëåòâîðÿåò
íåðàâåíñòâó
|f (x∗
)| = q 1.
Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn = f(xn−1) (n = 0, 1, . . . ) cõîäèòñÿ ê òî÷êå x∗
,
åñëè íà÷àëüíàÿ òî÷êà x0 äîñòàòî÷íî áëèçêà ê x∗
. Ñïðàâåäëèâà îöåíêà
|xn − x∗
| ≤ (q + ε)n
|x0 − x∗
|, (1.3)
ãäå ε ëþáîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî (q + ε 1).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü çàäàíî ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε. Èç ñâîéñòâ ïðî-
èçâîäíîé âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî δ 0, ÷òî èç |x0 − x∗
| δ ñëåäóåò
íåðàâåíñòâî
|f(x0) − f(x∗
) − f (x∗
)(x0 − x∗
)| ≤ ε|x0 − x∗
|.
Ïîýòîìó èç |x0 − x∗
| δ âûòåêàåò íåðàâåíñòâî
|f(x0) − x∗
| ≤ |f(x0) − f(x∗
) − f (x∗
)(x0 − x∗
)|+
+ |f (x∗
)(x0 − x∗
)| ≤ (q + ε)|x0 − x∗
|.
(1.4)
Òàê êàê q +ε 1, òî òî÷êà x1 = f(x0) ëåæèò ê x∗
áëèæå, ÷åì x0 è |x1 − x∗
| δ.
Ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî (1.4) ïîñëåäîâàòåëüíî ê x1, x2, . . . , xn, ïîëó÷èì íåðàâåí-
ñòâî (1.3).
Çàìå÷àíèå. Èç íåðàâåíñòâà (1.3) âûòåêàåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (1.2)
ñõîäèòñÿ ê òî÷êå x∗
áûñòðåå ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñî ñêîëü óãîäíî ìàëûì
çíàìåíàòåëåì, åñëè f (x∗
) = 0.
Â äàëüíåéøåì íàì ïðèäåòñÿ ðàññìàòðèâàòü ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ
F(x, z), ãäå z áóäåò èãðàòü ðîëü ïàðàìåòðà. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèÿ
F(x, z) îïðåäåëåíà ïðè |x − x0| ≤ β, |z − z0| ≤ α. Ôóíêöèþ F(x, z), çàâèñÿùóþ
îò ïàðàìåòðà z, íàçîâåì ðàâíîìåðíî ñæèìàþùåé (èëè ðàâíîìåðíûì ñæàòèåì),
åñëè ïðè âñåõ z èç |z − z0| ≤ α ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
|F(x, z) − F(y, z)| ≤ q|x − y|, |x − x0| ≤ β, |y − x0| ≤ β,

ãäå q 1 è q íå çàâèñèò îò z. Ïóñòü ôóíêöèÿ F(x, z) ïðè êàæäîì z ïðåîáðàçóåò
èíòåðâàë |x − x0| ≤ β â ñåáÿ è ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíûì ñæàòèåì. Òîãäà èç ïðèí-
öèïà ñæàòûõ îòîáðàæåíèé âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå åäèíñòâåííîãî íà îòðåçêå
|x − x0| ≤ β ðåøåíèÿ x = x(z) óðàâíåíèÿ
x = F(x, z).
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f(x, z), îïðåäåëåííóþ ïðè |x − x0| ≤ b, |z − z0| ≤ a.
Ïóñòü
f(x0, z0) = 0,
ò.å. x0 ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
f(x, z) = 0 (1.5)
ïðè z = z0. Åñëè ïðè âñåõ z, áëèçêèõ ê z0, ñóùåñòâóþò áëèçêèå ê x0 ðåøåíèÿ x(z)
óðàâíåíèÿ (1.4), òî ãîâîðÿò,÷òî óðàâíåíèå (1.4) îïðåäåëÿåò íåÿâíóþ ôóíêöèþ
x(z).
Îäíèì èç ìåòîäîâ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû î ñóùåñòâîâàíèè íåÿâíîé ôóíê-
öèè ÿâëÿåòñÿ ìåòîä, îñíîâàííûé íà ïðèíöèïå ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé.
Òåîðåìà î íåÿâíîé ôóíêöèè. Ïóñòü ôóíêöèÿ f(x, z) óäîâëåòâîðÿåò ñëå-
äóþùèì óñëîâèÿì:
1) f(x, z) íåïðåðûâíà ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ x, z ïðè |x − x0| ≤ b,
|z − z0| ≤ a è f(x0, z0) = 0,
2) ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ fx(x, z), íåïðåðûâíàÿ ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðå-
ìåííûõ â îêðåñòíîñòè òî÷êè (x0, z0),
3) fx(x0, z0) = 0.
Òîãäà ñóùåñòâóþò òàêèå ÷èñëà α, β 0, ÷òî äëÿ êàæäîãî z èç èíòåðâàëà
|z − z0| ≤ α óðàâíåíèå (1.5) èìååò â èíòåðâàëå |x − x0| ≤ β åäèíñòâåííîå
ðåøåíèå x∗(z). Ôóíêöèÿ x∗(z) íåïðåðûâíà â ïðîìåæóòêå |z − z0| ≤ α.
Äîêàçàòåëüñòâî. Óðàâíåíèå
x = x − [fx(x0, z0)]−1
f(x, z)
ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ (1.5). Ïîêàæåì, ÷òî íåïðåðûâíàÿ ïî ñîâîêóïíîñòè ïå-
ðåìåííûõ ôóíêöèÿ
F(x, z) = x − [fx(x0, z0)]−1
f(x, z)
ïðè íåêîòîðûõ α, β 0 ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíûì ñæàòèåì èíòåðâàëà |x − x0| ≤ β
ïðè |z−z0| ≤ α. Îòñþäà áóäåò ñëåäîâàòü ñóùåñòâîâàíèå íåÿâíîé ôóíêöèè x∗(z).
Èç óñëîâèé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ
Fx(x, z) = 1 − [fx(x0, z0)]−1
fx(x, z)

Ââåäåíèå 13
íåïðåðûâíà ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ. Òàê êàê Fx(x0, z0) = 0, òî ìîæíî
óêàçàòü òàêîå β 0, ÷òî ïðè |x − x0| ≤ β, |z − z0| ≤ β âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
|Fx(x, z)| ≤ q 1.
Òàê êàê F(x0, z0) = x0, òî ìîæíî óêàçàòü òàêîå ïîëîæèòåëüíîå α ≤ β, ÷òî ïðè
|z − z0| ≤ α
|F(x0, z) − x0| ≤ (1 − q)β.
Òîãäà
|F(x, z) − x0| ≤ |F(x, z) − F(x0, z)| + |F(x0, z) − x0| ≤
≤ q|x − x0| + (1 − q)β ≤ qβ + (1 − q)β = β.
Ñëåäîâàòåëüíî, F(x, z) ïðåîáðàçóåò èíòåðâàë |x−x0| ≤ β â ñåáÿ ïðè |z−z0| ≤ α.
Äëÿ òåõ æå çíà÷åíèé z
|F(x, z) − F(y, z)| ≤ q|x − y| (|x − x0| ≤ β, |y − x0| ≤ β).
Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ôóíêöèè x∗
(z) äîêàçàíû. Ïîêàæåì íåïðåðûâ-
íîñòü x∗
(z) â òî÷êå z1 ∈ |z − z0| ≤ α. Äåéñòâèòåëüíî,
|x∗
(z1) − x∗
(z)| = |F(x∗
(z1), z1) − F(x∗
(z), z)| ≤
≤ |F(x∗
(z1), z1) − F(x∗
(z1), z)| + |F(x∗
(z1), z) − F(x∗
(z), z)| ≤
≤ |F(x∗
(z1), z1) − F(x∗
(z1), z)| + q|x∗
(z1) − x∗
(z)|,
îòêóäà
|x∗
(z1) − x∗
(z)| ≤
1
1 − q
|F(x∗
(z1), z1) − F(x∗
(z1), z)|.
Èç íåïðåðûâíîñòè F(x, z) âûòåêàåò òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå.
Ïðèâåäåì ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû. Ïóñòü f(x, z) = x2
+ z2
− 1. Óðàâ-
íåíèå
f(x, z) = x2
+ z2
− 1 = 0
îïðåäåëÿåò îêðóæíîñòü åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò íà
ïëîñêîñòè x, z. Åñëè f(x0, z0) = 0 è z0 0 (òî÷êà (x0, z0) ëåæèò íà âåðõíåé
ïîëóîêðóæíîñòè ), òî fz(x0, z0) = 2z0 = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò íåÿâíàÿ
ôóíêöèÿ z(x) òàêàÿ, ÷òî
f(x, z(x)) = 0
äëÿ âñåõ x, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê x0. Â äàííîì ñëó÷àå z(x) ìîæíî çàïèñàòü â
ÿâíîì âèäå z =
√
1 − x2. Ïóñòü òåïåðü f(x, y) = x5
y4
− xy5
− yx2
+ 1. Î÷åâèäíî,
f(1, 1) = 0, fy(1, 1) = −2 = 0. Â ñèëó òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè ñóùåñòâóåò

ôóíêöèÿ y = p(x) òàêàÿ, ÷òî f(x, p(x)) = 0, îïðåäåëåííàÿ â íåêîòîðîì èíòåð-
âàëå ñ öåíòðîì â òî÷êå 1. Âûðàçèòü ÿâíî ôóíêöèþ y = p(x) íå óäàåòñÿ.
Äèôôåðåíöèðóåìîñòü íåÿâíîé ôóíêöèè. Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåî-
ðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ íåÿâíîé ôóíêöèè è èìååòñÿ íåïðåðûâíàÿ ïðîèçâîäíàÿ
fz(x, z) â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè (x0, z0), òî íåÿâíàÿ ôóíêöèÿ x∗
(z) äèô-
ôåðåíöèðóåìà, à åå ïðîèçâîäíàÿ âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
dx∗
(z)
dz
= −
fz(x, z)
fx(x, z)
. (1.6)
Åñëè áû ìîæíî áûëî äèôôåðåíöèðîâàòü òîæäåñòâî f(x∗
(z), z) ≡ 0, òî ïî öåï-
íîìó ïðàâèëó ñðàçó áû ïîëó÷èëè ôîðìóëó (1.6). Îäíàêî äèôôåðåíöèðóåìîñòü
x∗
(z) òðåáóåòñÿ åùå äîêàçàòü. Òàê êàê ñóùåñòâóþò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðî-
èçâîäíûå fz(x, z) è fx(x, z), òî f(x, z) äèôôåðåíöèðóåìà è
f(x + h, z + k) = f(x, z) + hfx(x, z) + kfz(x, z) + ε1h + ε2k, (1.7)
ïðè÷åì ε1 è ε2 ñòðåìÿòñÿ ê 0 âìåñòå ñ h è k. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî òàêèå
ïàðû òî÷åê (x, z), (x+h, z+k), êîòîðûå ëåæàò â îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ íåÿâíîé
ôóíêöèè, ïðè÷åì x = x∗
(z), x + h = x∗
(z + k). Äëÿ òàêèõ òî÷åê f(x, z) = 0,
f(x + h, z + k) = 0 è ðàâåíñòâî (1.7) ïðèìåò âèä
0 = hfx(x, z) + kfz(x, z) + ε1h + ε2k. (1.8)
Òàê êàê ôóíêöèÿ x∗
(z) íåïðåðûâíà, òî ïðè k → 0 áóäåò è h → 0 è âìåñòå ñ
íèìè è ε1 → 0 è ε2 → 0. Ðàçäåëèâ (1.8) íà kfx(x, z) = 0, ïîëó÷èì
1 +
ε1
fx
h
k
+
fz
fx
+
ε2
fx
= 0.
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè k → 0, ïîëó÷èì
lim
k→0
h
k
+
fz
fx
= 0.
Ýòî ðàâåíñòâî è äîêàçûâàåò ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà
lim
k→0
h
k
= lim
k→0
x∗
(z + k) − x∗
(z)
k
=
dx∗
(z)
dz
.
Äèôôåðåíöèðóåìîñòü x∗
(z) è ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ äîêàçàíû.

1.2. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ 15
1.2. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ
Ìû óæå ââåëè ïîíÿòèå íåïîäâèæíîé òî÷êè.
Îïðåäåëåíèå 1.1. Òî÷êà x è îðáèòà O(x) íàçûâàþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè ïå-
ðèîäà l, åñëè
f(l)
(x) = x, íî f(j)
(x) = x äëÿ 0 j l.
Ïåðèîäè÷åñêàÿ îðáèòà ïåðèîäà 2 ñîñòîèò èç äâóõ òî÷åê x0, x1 = f(x0)
(f(2)
(x0) = x0, f(2)
(x1) = x1). Ïåðèîäè÷åñêàÿ îðáèòà ïåðèîäà 3 ñîñòîèò èç òðåõ
òî÷åê x0, x1 = f(x0), x2 = f(x1) = f(2)
(x0). Ïåðèîäè÷åñêàÿ îðáèòà ïåðèîäà l
ñîñòîèò èç l òî÷åê.
Ïðèâåäåì ïðèìåðû. Ôóíêöèÿ f(x) = x3
èìååò íåïîäâèæíûå òî÷êè 0, 1 è −1
è íå èìååò äðóãèõ ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê. Äëÿ ôóíêöèè f(x) = x2
− 1 èìååì
íåïîäâèæíûå òî÷êè 1±
√
5
2 , à òî÷êè 0, −1 òî÷êè ïåðèîäè÷åñêîé îðáèòû ïåðèîäà
2.
Îïðåäåëåíèå 1.2. Òî÷êà x íàçûâàåòñÿ ïðåäïåðèîäè÷åñêîé, åñëè f(i)
(x) äëÿ
íåêîòîðîãî i ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé òî÷êîé äëÿ f(x).
Íàïðèìåð, äëÿ ôóíêöèè f(x) = x2
òî÷êà x = 1 ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé, à
òî÷êà x = −1 ïðåäíåïîäâèæíîé, òàê êàê f(−1) = 1. Äëÿ ôóíêöèè f(x) =
= x2
− 1 òî÷êà 1 áóäåò ïðåäïåðèîäè÷åñêîé òî÷êîé, òàê êàê f(1) = 0, çà îäíó
èòåðàöèþ (îäèí øàã) ìû ïîïàäàåì â ïåðèîäè÷åñêóþ òî÷êó ïåðèîäà 2.
Îïðåäåëåíèå 1.3. Íåïîäâèæíàÿ òî÷êà x0 ôóíêöèè f(x) íàçûâàåòñÿ ïðè-
òÿãèâàþùåé, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ îêðåñòíîñòü U ýòîé òî÷êè, ÷òî fU ⊂ U è
lim
n→∞
f(n)
(x) = x0 äëÿ êàæäîé òî÷êè x ∈ U.
Îïðåäåëåíèå 1.4. Íåïîäâèæíàÿ òî÷êà x0 ôóíêöèè f(x) íàçûâàåòñÿ îòòàë-
êèâàþùåé, åñëè ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü U ýòîé òî÷êè, êîòîðóþ êàæäàÿ òî÷êà
èç ìíîæåñòâà U {x0} ïîêèäàåò çà êîíå÷íîå âðåìÿ, ò.å. äëÿ êàæäîãî x ∈ U {x0}
íàéäåòñÿ òàêîå n = n(x), ÷òî f(n)
(x) /∈ U.
Òåîðåìà 1.1. Åñëè òî÷êà x0 íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îòîáðàæåíèÿ f(x) è
|f (x0)| 1, òî òî÷êà x0 ïðèòÿãèâàþùàÿ. Åñëè æå |f (x0)| 1, òî òî÷êà
x0 îòòàëêèâàþùàÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè |f (x0)| 1, òî ñóùåñòâóåò ε 0, ÷òî |f (x)| ≤ q 1
ïðè x ∈ [x0 − ε, x0 + ε]. Ïî òåîðåìå î ñðåäíåì çíà÷åíèè
|f(x) − x0| = |f(x) − f(x0)| ≤ q|x − x0|.
Ñëåäîâàòåëüíî, f(x) ∈ [x0 − ε, x0 + ε] è òî÷êà f(x) áëèæå ê x0, ÷åì òî÷êà x.
Ïðîäîëæàÿ îöåíêè, ïîëó÷èì
|f(n)
(x) − x0| ≤ qn
|x − x0|.

Ïîýòîìó f(n)
(x) → x0 ïðè n → ∞. Òî÷êà x0 ïðèòÿãèâàþùàÿ. Åñëè |f (x0)| 1,
òî ñóùåñòâóåò ε 0, ÷òî |f (x)| ≥ q 1 ïðè x ∈ [x0 −ε, x0 +ε]. Òîãäà ïî òåîðåìå
î ñðåäíåì çíà÷åíèè
|f(x) − x0| = |f(x) − f(x0)| ≥ q|x − x0| |x − x0|.
Åñëè f(x) åùå ëåæèò â [x0 − ε, x0 + ε], òî, ïðîäîëæàÿ îöåíêè, ïîëó÷èì
|f(n)
(x) − x0| ≥ qn
|x − x0|.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî íàéäåòñÿ òàêîå n, ïðè êîòîðîì f(n)
(x) /∈ [x0 − ε, x0 + ε].
Ïðèìåðû. Äëÿ ôóíêöèè f(x) = x3
èìååì f (x) = 3x2
. Îòñþäà ÿñíî, ÷òî
íåïîäâèæíàÿ òî÷êà x0 = 0 ôóíêöèè f(x) ïðèòÿãèâàþùàÿ, à íåïîäâèæíûå
òî÷êè −1, 1 îòòàëêèâàþùèå. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ ôóíêöèè f(x) = x2
−1
íåïîäâèæíûå òî÷êè x0,1 = 1±
√
5
2 îòòàëêèâàþùèå.
Îòìåòèì, ÷òî íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ìîæåò áûòü ïðèòÿãèâàþùåé â ñëó÷àå, êî-
ãäà |f (x)| = 1. Íàïðèìåð, äëÿ ôóíêöèè f(x) = x−a(x−β)3
íåïîäâèæíàÿ òî÷êà
x = β ïðè a 0 ïðèòÿãèâàþùàÿ, õîòÿ f (β) = 1.
Îïðåäåëåíèå 1.5. Ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà x0 ïåðèîäà l äëÿ ôóíêöèè f(x)
íàçûâàåòñÿ ïðèòÿãèâàþùåé, åñëè x0 êàê íåïîäâèæíàÿ òî÷êà äëÿ ôóíêöèè f(l)
(x)
ÿâëÿåòñÿ ïðèòÿãèâàþùåé. Ýòà ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà íàçûâàåòñÿ îòòàëêèâàþùåé,
åñëè x0 êàê íåïîäâèæíàÿ òî÷êà äëÿ f(l)
(x) ÿâëÿåòñÿ îòòàëêèâàþùåé.
Èç òåîðåìû 1.1 íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
Òåîðåìà 1.2. Ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà x0 ïåðèîäà l äëÿ ôóíêöèè f(x) áóäåò
ïðèòÿãèâàþùåé, åñëè
d
dx
f(l)
(x0) 1,
è îòòàëêèâàþùåé, åñëè
d
dx
f(l)
(x0) 1.
×èñëî λ = d
dxf(l)
(x0) íàçûâàåòñÿ ìóëüòèïëèêàòîðîì ïåðèîäè÷åñêîé îðáè-
òû (öèêëà). Èç öåïíîãî ïðàâèëà ñëåäóåò, ÷òî
d
dx
f(l)
(x0) = f (f(l−1)
(x0))f (f(l−2)
(x0)) · · · f (x0).
Ïîýòîìó ìóëüòèïëèêàòîð îäèíàêîâ äëÿ âñåõ òî÷åê öèêëà x0, x1 = f(x0), . . . ,
xl = f(l−1)
(x0). Â äàëüíåéøåì áóäåì ãîâîðèòü î ïðèòÿãèâàþùåì èëè îòòàë-
êèâàþùåì öèêëå, åñëè âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç óñëîâèé òåîðåìû 1.2, òàê êàê âñå

Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ 17
òî÷êè öèêëà îäíîâðåìåííî ÿâëÿþòñÿ ïðèòÿãèâàþùèìè èëè îòòàëêèâàþùèìè.
Öèêë íàçûâàåòñÿ ñóïåðóñòîé÷èâûì, åñëè ìóëüòèïëèêàòîð öèêëà ðàâåí íóëþ.
Â ýòîì ñëó÷àå èç òåîðåìû îá îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ íåïîäâèæíîé òî÷êè ñëåäóåò,
÷òî ïðèòÿãèâàåìàÿ ïåðèîäè÷åñêîé òî÷êîé òðàåêòîðèÿ ñõîäèòñÿ ê íåé áûñòðåå
ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñî ñêîëü óãîäíî ìàëûì çíàìåíàòåëåì.
Ïðèìåð. Äëÿ ôóíêöèè f(x) = x2
− 1 öèêë 0, −1 ñóïåðóñòîé÷èâûé, òàê êàê
d
dx
f(2)
(0) = f (0)f (−1) = 0.
Áóäåì ãîâîðèòü îá èññëåäîâàíèè óñòîé÷èâîñòè íåïîäâèæíûõ òî÷åê è öèêëîâ
äëÿ ôóíêöèè f(x), åñëè èññëåäóåòñÿ âîïðîñ î òîì, êîãäà ýòè íåïîäâèæíûå òî÷êè
è öèêëû ÿâëÿþòñÿ ïðèòÿãèâàþùèìè èëè îòòàëêèâàþùèìè.
Óïðàæíåíèÿ
1. Íàéòè íåïîäâèæíûå òî÷êè è èññëåäîâàòü èõ óñòîé÷èâîñòü äëÿ ôóíêöèé
à) f(x) = 2x − x2
,
á) f(x) = 2x − 2x2
,
â) f(x) = 2, 44x − x3
,
ã) f(x) = arctan x,
ä) f(x) =
ax2
+ bx(1 − x)
ax2 + 2bx(1 − x) + c(1 − x)2
, 0 ≤ x ≤ 1, b a, b c.
e) f(x) = 1 +
√
3 + x, x + 3 ≥ 0.
2. Íàéòè íåïîäâèæíûå òî÷êè è èññëåäîâàòü èõ óñòîé÷èâîñòü äëÿ ôóíêöèè
f(x) =
2x
1 + x3
.
Ñóùåñòâóþò ëè öèêëû ïåðèîäà 2?
3. Äîêàçàòü, ÷òî ãîìåîìîðôèçì âåùåñòâåííîé ïðÿìîé R íå èìååò ïåðèîäè÷å-
ñêèõ òî÷åê ñ íàèìåíüøèì ïåðèîäîì áîëüøå 2. Ïðèâåñòè ïðèìåð ãîìåîìîðôèçìà,
êîòîðûé èìååò ïåðèîäè÷åñêóþ òî÷êó ïåðèîäà 2.
4. Íàéòè íåïîäâèæíûå òî÷êè è öèêëû ïåðèîäà 2 è èññëåäîâàòü èõ óñòîé÷è-
âîñòü äëÿ ôóíêöèé
à) f(x) = 3, 2x − 3, 2x2
,
á) f(x) = 2, 2x3
+ 1, 2x.
â)
f(x) =
2x, 0 ≤ x ≤ 1/2,
2 − 2x, 1/2 ≤ x ≤ 1.

ã) F(x) = x + ∆tf(x), ãäå ∆t 0, à
f(x) =
√
−x, ïðè x ≤ 0,
−
√
x, ïðè x 0.
ä) f(x) = (c − 1/2)x2
+ (1/2 − 2c)x + c, ãäå 0 c ≤ 1.
5. Íàéòè íåïîäâèæíûå òî÷êè è öèêëû ïåðèîäîâ 2 è 3 è èññëåäîâàòü èõ óñòîé-
÷èâîñòü äëÿ ôóíêöèè f(x) = 1 − 2|x|.
6. Ðàññìîòðèì êóñî÷íî-ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå
f(x) =
1
3x + 2
3 + 1
3p, 0 ≤ x ≤ 1 − 1
p,
p − px, 1 − 1
p ≤ x ≤ 1,
ãäå p 1. Íàéòè óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è óñòîé÷èâîñòè öèêëîâ ïåðèîäà 2 è 3.
1.2.1. Òîïîëîãè÷åñêàÿ ñîïðÿæåííîñòü
Ïóñòü çàäàíà äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà
xn+1 = f(xn), n = 0, 1, . . . , (1.9)
ãäå f(x) : A → A íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Ïóñòü h(x) ãîìåîìîðôèçì, äåé-
ñòâóþùèé èç B â A. Ñäåëàåì â (1.9) çàìåíó:
xn = h(yn).
Òîãäà ïîëó÷èì
h(yn+1) = f(h(yn)),
èëè
yn+1 = h−1
(f(h(yn))) = g(yn), n = 0, 1, . . . (1.10)
Î÷åâèäíî, ôóíêöèÿ g = h−1
◦ f ◦ h íåïðåðûâíà è äåéñòâóåò èç B â B. Êàæäîé
îðáèòå
x0, f(x0), f(2)
(x0), . . .
äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû (1.9) ñîîòâåòñòâóåò îðáèòà äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû (1.10):
y0 = h−1
(x0), y1 = h−1
(f(h(x0))), . . . .
Åñëè x0 íåïîäâèæíàÿ òî÷êà äëÿ ôóíêöèè f(x), òî y0 = h−1
(x0) íåïîäâèæíàÿ
òî÷êà äëÿ ôóíêöèè g(x). Åñëè x0 ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà ïåðèîäà l äëÿ ôóíêöèè
f(x)(f(l)
(x0) = x0), òî
(h−1
f(h(y0))(l)
= h−1
f(l)
(h(y0)) = y0,

ò.å. y0 ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà ïåðèîäà l äëÿ g(y). Îáðàòíî, åñëè y0 íåïîäâèæíàÿ
èëè ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà äëÿ ôóíêöèè g(y), òî x0 = h−1
(y0) íåïîäâèæíàÿ èëè
ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà äëÿ ôóíêöèè f(x).
Îïðåäåëåíèå 1.6. Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû (1.9) è (1.10) íàçûâàþòñÿ òîïî-
ëîãè÷åñêè ñîïðÿæåííûìè, èëè ôóíêöèè f(x) è g(y) = h−1
(f(h(y)) íàçûâàþòñÿ
òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåííûìè.
Èíà÷å ãîâîðÿ, äâå ôóíêöèè f : A → A è g : B → B òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿ-
æåíû, åñëè ñóùåñòâóåò ãîìåîìîðôèçì h : A → B òàêîé, ÷òî h ◦ g = f ◦ h. Ó
òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåííûõ ôóíêöèé îäèíàêîâîå ÷èñëî íåïîäâèæíûõ è ïåðè-
îäè÷åñêèõ òî÷åê. Åñëè x0 íåïîäâèæíàÿ èëè ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà äëÿ f(x)
ÿâëÿåòñÿ ïðèòÿãèâàþùåé, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ òî÷êà y0 äëÿ g(y) òàêæå áóäåò
ïðèòÿãèâàþùåé. Åñëè h(y) äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, òî èç ðàâåíñòâà
h ◦ g(l)
= f(l)
◦ h
ïîëó÷àåì ñ ïîìîùüþ öåïíîãî ïðàâèëà, ÷òî ìóëüòèïëèêàòîðû ñîîòâåòñòâóþùèõ
ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê äëÿ ôóíêöèé f(x) è g(y) ñîâïàäàþò. Åñëè òî÷êà x0 òàêîâà,
÷òî f (x0) = 0 (òàêàÿ òî÷êà íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ f(x)),
òî òî÷êà y0 ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêîé äëÿ îòîáðàæåíèÿ g(y).
Ïðèìåðû. Ïóñòü f(x) = x2
−1 è x = h(y) = y+c (c 0). Òîãäà y = h−1
(x) =
= x − c è g(y) = h−1
[(y + c)2
− 1] = y2
+ 2cy + c2
− c − 1 òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿ-
æåíà f(x). Åñëè x = h(y) = y3
, òî ôóíêöèÿ g(y) = (y6
− 1)1/3
òîïîëîãè÷åñêè
ñîïðÿæåíà f(x) = x2
− 1.
1. Áóäåì ïèñàòü f ∼ g, åñëè ôóíêöèè f(x) è g(x) òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæå-
íû. Äîêàæèòå, ÷òî îòíîøåíèå òîïîëîãè÷åñêîé ñîïðÿæåííîñòè åñòü îòíîøåíèå
ýêâèâàëåíòíîñòè, ò.å.
à) f ∼ f,
á) f ∼ g òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà g ∼ f,
â) åñëè f1 ∼ f2, f2 ∼ f3, òî f1 ∼ f3.
2. Ïóñòü f(x) = x2
, g(x) = x2
+ax+b(x ∈ R). Îïèøèòå ìíîæåñòâî òåõ ïàð
(a, b), äëÿ êîòîðûõ f ∼ g.
3. Äëÿ êàêèõ a ∈ R ìîæíî óêàçàòü òàêîå b ∈ R, ÷òî ôóíêöèè f(x) = 1 − ax2
è g(x) = bx(1 − x)(x ∈ R) òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåíû? Îïèøèòå ìíîæåñòâî âñåõ
âîçíèêàþùèõ ïðè ýòîì ÷èñåë.

1.2.2. Ãðóáûå îòîáðàæåíèÿ
Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåííûå îòîáðàæåíèÿ
îáëàäàþò îäèíàêîâîé äèíàìèêîé. Ñ ïîíÿòèåì òîïîëîãè÷åñêîé ñîïðÿæåííîñòè
òåñíî ñâÿçàíà êîíöåïöèÿ ãðóáîñòè (ñòðóêòóðíîé óñòîé÷èâîñòè) äèíàìè÷åñêîé
ñèñòåìû, êîòîðàÿ âàæíà â ïðèëîæåíèÿõ òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Îáñóæäå-
íèå ïîíÿòèÿ ãðóáîñòè íà÷íåì ñ îïðåäåëåíèÿ áëèçîñòè äâóõ îòîáðàæåíèé (ôóíê-
öèé).
Îïðåäåëåíèå 1.7. Ïóñòü f(x) è g(x) äâå ãëàäêèå ôóíêöèè, îïðåäåëåííûå
íà R = (−∞, +∞). C0
-ðàññòîÿíèå ìåæäó f(x) è g(x) çàäàåòñÿ ôîðìóëîé
d0(f, g) = sup
x∈R
|f(x) − g(x)|.
Cr
-ðàññòîÿíèå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
dr(f, g) = sup
x∈R
{|f(x) − g(x)|, |f (x) − g (x)|, . . . , |
dr
dxr
f(x) −
dr
dxr
g(x)|}.
Ìîæíî ðàññìîòðåòü òàêæå ðàññòîÿíèå ìåæäó ôóíêöèÿìè f(x) è g(x) íà èí-
òåðâàëå J = [a, b]. Îòìåòèì, ÷òî Cr
-ðàññòîÿíèå èñïîëüçóåòñÿ êàê ìåðà áëèçîñòè
äâóõ ôóíêöèé, à íå êàê ãëîáàëüíàÿ ìåòðèêà äëÿ âñåõ ôóíêöèé. Íàïðèìåð, C0
-
ðàññòîÿíèå äëÿ ôóíêöèé f1(x) = 2x è g2(x) = (2 + ε)x ðàâíî áåñêîíå÷íîñòè, à
ôóíêöèè f2(x) = 2x è g2(x) = 2x + ε ÿâëÿþòñÿ Cr
-ε áëèçêèìè äëÿ âñåõ r. Íà
ïðîìåæóòêå J = [0, 5] C0
-ðàññòîÿíèå ìåæäó ôóíêöèÿìè f1(x) è g1(x) ðàâíî 5|ε|.
Îïðåäåëåíèå 1.8. Ïóñòü f : J → J. Ãîâîðÿò, ÷òî îòîáðàæåíèå f(x) ÿâëÿ-
åòñÿ Cr
-ãðóáûì (Cr
-ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâûì) íà èíòåðâàëå J, åñëè ñóùåñòâóåò
òàêîå ε 0, ÷òî ëþáîå îòîáðàæåíèå g(x), äåéñòâóþùåå íà èíòåðâàëå J, äëÿ
êîòîðîãî dr(f, g) ε, òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåíî îòîáðàæåíèþ f(x).
Îïèñàíèå êëàññà ãðóáûõ îòîáðàæåíèé ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî ñëîæíîé çàäà÷åé.
Ïðèâåäåì ïðèìåð äîêàçàòåëüñòâà ãðóáîñòè êîíêðåòíîãî îòîáðàæåíèÿ. Ýòî äîêà-
çàòåëüñòâî íàìåòèì òîëüêî â îáùèõ ÷åðòàõ. Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå f(x) = 1
2x.
Ýòî îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ C1
-ãðóáûì íà R. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî óòâåð-
æäåíèÿ íàì íóæíî ïîêàçàòü ñëåäóþùåå. Ñóùåñòâóåò òàêîå ε 0, ÷òî, åñëè
d1(f, g) ε, òîãäà f(x) è g(x) òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåíû. Ïîêàæåì, ÷òî ãîäèòñÿ
ëþáîå ε 1/2. Åñëè d1(f, g) 1/2, òî ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî 0 g (x) 1
äëÿ âñåõ x ∈ R. Â ÷àñòíîñòè, g(x) âîçðàñòàåò. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî g(x) èìååò
åäèíñòâåííóþ ïðèòÿãèâàþùóþ òî÷êó p ∈ R è èòåðàöèè ëþáîé òî÷êè x ∈ R
ñòðåìÿòñÿ ê p ïðè èòåðàöèÿõ. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî |g (x)| 1 è,
ñëåäîâàòåëüíî, g(x) ÿâëÿåòñÿ ãëîáàëüíî ñæèìàþùèì îòîáðàæåíèåì.

Òåïåðü íåîáõîäèìî ñêîíñòðóèðîâàòü ñîïðÿãàþùóþ ôóíêöèþ h(x). Ââåäåì
â äàííîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå ïîíÿòèå ôóíäàìåíòàëüíîé îáëàñòè îòîáðà-
æåíèÿ. Ðàññìîòðèì ïàðó èíòåðâàëîâ 5 |x| ≤ 10. Îðáèòà ëþáîé òî÷êè äëÿ
îòîáðàæåíèÿ f(x) (èñêëþ÷àÿ òî÷êó 0) ìîæåò ïîïàñòü â êàæäûé èç ýòèõ èíòåð-
âàëîâ òîëüêî îäèí ðàç. Äëÿ îòîáðàæåíèÿ g(x) òàêæå ìîæíî íàéòè ïîäîáíóþ
ôóíäàìåíòàëüíóþ îáëàñòü. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî èíòåðâàëû g(10) x ≤ 10
è −10 ≤ x g(−10) îáëàäàþò òåìè æå ñâîéñòâàìè äëÿ îòîáðàæåíèÿ g(x),
ò.å. îðáèòà ëþáîé òî÷êè, êðîìå íåïîäâèæíîé, äëÿ îòîáðàæåíèÿ g(x) ìîæåò ïî-
ïàñòü â êàæäûé èç ýòèõ èíòåðâàëîâ òîëüêî îäèí ðàç. Îïðåäåëèì h(x) íà èí-
òåðâàëàõ [5, 10] è [−10, −5] êàê ëèíåéíóþ ôóíêöèþ h : [5, 10] → [g(10), 10], h :
[−10, −5] → [−10, g(−10)]. Òðåáóåì, ÷òîáû h(x) áûëà âîçðàñòàþùåé, òàê ÷òî
h(±10) = ±10. Ðàñïðîñòðàíèì îïðåäåëåíèå h(x) íà âñå äðóãèå òî÷êè ñëåäó-
þùèì îáðàçîì. Ïóñòü x = 0. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå öåëîå n, ÷òî f(n)
(x) ïðè-
íàäëåæèò ôóíäàìåíòàëüíîé îáëàñòè äëÿ f(x). Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ h◦g(x)
êîððåêòíî îïðåäåëåíà. Òåïåðü ïîëîæèì h(x) = g(−n)
◦h◦f(n)
(x). Ñëåäîâàòåëüíî,
ïîëó÷èì g(n)
◦h(x) = h◦f(n)
(x). Ïðèìåíÿÿ òó æå êîíñòðóêöèþ ê f(x), ïîëó÷èì
g ◦h(x) = h◦f(x). Íàêîíåö, ïîëîæèì h(0) = p. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îïðåäåëåííîå
òàêèì îáðàçîì îòîáðàæåíèå h(x) ÿâëÿåòñÿ ãîìåîìîðôèçìîì.
Âîçìîæíî, áîëåå âàæíûì, ÷åì âîïðîñ î ãðóáîñòè îòîáðàæåíèÿ, ÿâëÿåòñÿ âî-
ïðîñ î òîì, êîãäà îòîáðàæåíèå íå ÿâëÿåòñÿ ãðóáûì. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé
ïðèìåð. Ïóñòü f0(x) = x−x2
. Íåïîäâèæíàÿ òî÷êà x = 0 ÿâëÿåòñÿ ñëàáî ïðèòÿãè-
âàþùåé äëÿ òî÷åê x0 ∈ (0, 1), íî f (0) = 1. Âîçüìåì ôóíêöèþ fδ(x) = x−x2
+δ.
Î÷åâèäíî, ôóíêöèÿ fδ(x) ÿâëÿåòñÿ Cr
− δ-áëèçêîé ê ôóíêöèè f0(x). Ôóíêöèÿ
fδ(x) èìååò äâå íåïîäâèæíûå òî÷êè, êîãäà δ 0, è íè îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷-
êè, êîãäà δ 0. Òàêèì îáðàçîì, fδ(x) íå ìîæåò èìåòü òàêóþ æå äèíàìèêó êàê
f0(x). Îòîáðàæåíèå f0(x) íå ÿâëÿåòñÿ ãðóáûì.
Ïåðå÷èñëèì íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ãðóáîñòè îòîáðàæåíèÿ.
Îïðåäåëåíèå 1.9. Ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà p ïåðèîäà k îòîáðàæåíèÿ f(x) íà-
çûâàåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé ïåðèîäè÷åñêîé òî÷êîé, åñëè
0 =
d
dx
f(n)
(p) = 1.
Åñëè îòîáðàæåíèå f(x) ÿâëÿåòñÿ Cr
-ãðóáûì, òî êàæäàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ îð-
áèòà îòîáðàæåíèÿ f(x) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêîé (è, â ÷àñòíîñòè, f(x) èìååò
òîëüêî êîíå÷íîå ÷èñëî ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê êàæäîãî ïåðèîäà). Åñëè îòîáðàæå-
íèå f(x) ÿâëÿåòñÿ C1
-ãðóáûì, òî f(x) íå èìååò êðèòè÷åñêèõ òî÷åê. Åñëè îòîá-
ðàæåíèå f(x) ÿâëÿåòñÿ Cr
-ãðóáûì (r ≥ 2), òî âñå êðèòè÷åñêèå òî÷êè f(x) áóäóò
íåâûðîæäåííûìè (êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà x0 äëÿ f(x) íàçûâàåòñÿ íåâûðîæäåííîé,
åñëè f (x0) = 0). Äîêàçàòåëüñòâî âûøåïåðå÷èñëåííûõ óòâåðæäåíèé âûõîäèò çà
ðàìêè íàñòîÿùåé êíèãè.

Ãèïåðáîëè÷åñêàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà äëÿ îòîáðàæåíèÿ f(x) ÿâëÿåòñÿ C1
-
ãðóáîé ëîêàëüíî. Ïîä ýòèì ìû ïîäðàçóìåâàåì, ÷òî ñóùåñòâóþò îêðåñòíîñòü
íåïîäâèæíîé òî÷êè è ÷èñëî ε 0 òàêèå, ÷òî åñëè îòîáðàæåíèå g(x) ÿâëÿåòñÿ
C1
− ε-áëèçêèì ê f(x) íà ýòîé îêðåñòíîñòè, òî f(x) òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåíî
g(x) íà ýòîé îêðåñòíîñòè. Â ÷àñòíîñòè, èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, êîòîðàÿ
ïðèíàäëåæèò Ãðîáìàíó è Õàðòìàíó.
Òåîðåìà. Ïóñòü p ãèïåðáîëè÷åñêàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà äëÿ îòîáðàæå-
íèÿ f(x). Òîãäà ñóùåñòâóþò îêðåñòíîñòè U òî÷êè p è V òî÷êè 0 è ãîìåî-
ìîðôèçì h : U → R, êîòîðûé ñîïðÿãàåò f(x) íà U è ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå
l(x) = f (p)x íà V .
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû, êîòîðàÿ ñïðàâåäëèâà è â ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå,
ìû òàêæå íå ïðèâîäèì.
1.3. Ëîêàëüíûå áèôóðêàöèè
Åñëè îäíîìåðíàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ, òî èõ èç-
ìåíåíèå ìîæåò ïðèâîäèòü ê ðàçëè÷íûì êà÷åñòâåííûì èçìåíåíèÿì â ïîâåäåíèè
ñèñòåìû. Íàèáîëåå ïðîñòûå áèôóðêàöèè öèêëîâ, èññëåäîâàíèå êîòîðûõ ñâî-
äèòñÿ ê ëîêàëüíîìó èçó÷åíèþ îòîáðàæåíèÿ (ôóíêöèè) â îêðåñòíîñòè îäíîé èëè
íåñêîëüêèõ òî÷åê, îáðàçóþùèõ öèêë.
Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî ôóíêöèé f(x, c), çàâèñÿùåå îò ïàðàìåòðà c, èçìåíÿþ-
ùåãîñÿ â íåêîòîðîì èíòåðâàëå âåùåñòâåííîé ïðÿìîé. Çíà÷åíèå ïàðàìåòðà c = c0
íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíûì, åñëè ôóíêöèÿ f(x, c) òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåíà ôóíê-
öèè f(x, c0) äëÿ c äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê c0. Åñëè çíà÷åíèå ïàðàìåòðà c íå ðå-
ãóëÿðíî, òî îíî íàçûâàåòñÿ áèôóðêàöèîííûì çíà÷åíèåì. Î÷åâèäíî, ìíîæåñòâî
ðåãóëÿðíûõ òî÷åê îòêðûòî. Ïîýòîìó ìíîæåñòâî áèôóðêàöèîííûõ çíà÷åíèé êàê
äîïîëíèòåëüíîå ê ìíîæåñòâó ðåãóëÿðíûõ çíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì, ò.å.
ñîäåðæèò âñå ñâîè ïðåäåëüíûå òî÷êè.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü áèôóðêàöèîííûå çíà÷åíèÿ, ñâÿçàííûå ñ öèêëàìè ôóíê-
öèè f(x, c). Ïóñòü ôóíêöèÿ f(x, c) ïðè çíà÷åíèè c = c0 èìååò ïåðèîäè÷åñêóþ
òî÷êó ïåðèîäà k, ò.å. f(k)
(p, c0) = p. Åñëè λ(p) ìóëüòèïëèêàòîð öèêëà, òî ïðè
|λ(p)| 1 öèêë ïðèòÿãèâàþùèé, à ïðè |λ(p)| 1 öèêë îòòàëêèâàþùèé. Åñëè
λ(p) = 1, òî â îêðåñòíîñòè c0 ñóùåñòâóåò ñåìåéñòâî öèêëîâ p(c)(p(c0) = p) ïåðè-
îäà k äëÿ ñåìåéñòâà ôóíêöèé f(x, c), ãëàäêî çàâèñÿùåå îò ïàðàìåòðà c. Äîêàçà-
òåëüñòâî ýòîãî ôàêòà ñëåäóåò èç ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè ê óðàâ-
íåíèþ φ(x, c) = f(k)
(x, c)−x = 0, òàê êàê φ(p, c0) = 0, dφ(x,c)
dx (p,c0)
= λ(p)−1 = 0.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî öèêëû ïåðèîäà k îáðàçóþò ãëàäêóþ âåòâü.

Ëîêàëüíûå áèôóðêàöèè 23
Èç ïðåäûäóùåãî ñëåäóåò, ÷òî ÷èñëî ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò ñ íàèìåíüøèì ïå-
ðèîäîì k ìîæåò èçìåíèòüñÿ òîëüêî ïðè çíà÷åíèÿõ c, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò
òàêàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà p ïåðèîäà k, ÷òî λ(p) = 1. Óñòîé÷èâîñòü ïåðèîäè÷å-
ñêîé òî÷êè èçìåíÿåòñÿ ïðè |λ(p)| = 1. Ëîêàëüíàÿ òåîðèÿ áèôóðêàöèé îïèñûâàåò
êà÷åñòâåííûå èçìåíåíèÿ, êîòîðûå èìåþò ìåñòî â ñëó÷àÿõ, êîãäà ìóëüòèïëè-
êàòîð öèêëà ïðîõîäèò ÷åðåç çíà÷åíèÿ ±1. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèÿ
f(k)
(x, c) èìååò òðåòüè íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî x è c.
Ïðåäëîæåíèå 1.1. Ïóñòü ñåìåéñòâî ôóíêöèé f(x, c) óäîâëåòâîðÿåò óñëî-
âèÿì
1) f(k)
(x0, c0) = x0,
2)
∂f(k)
∂x
(x0, c0) = λ(x0) = 1,
3)
∂2
f(k)
∂x2
(x0, c0) = λ (x0) 0,
4)
∂f(k)
∂c
(x0, c0) 0.
Òîãäà ñóùåñòâóþò èíòåðâàëû (c1, c0) è (c0, c2) è ε 0 òàêèå, ÷òî åñëè
c ∈ (c1, c0), òî f(k)
(x, c) èìååò äâå íåïîäâèæíûå òî÷êè â (x0 − ε, x0 + ε), îäíà
èç íèõ ïðèòÿãèâàþùàÿ, à äðóãàÿ îòòàëêèâàþùàÿ. Åñëè æå c ∈ (c0, c2), òî
f(k)
(x, c) íå èìååò íåïîäâèæíûõ òî÷åê â (x0 − ε, x0 + ε).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì g(x, c) = f(k)
(x, c) − x. Òàê êàê
g(x0, c0) = 0, ∂g
∂x(x0, c0) = 0, ∂g
∂c (x0, c0) 0, òî â ñèëó òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè
ñóùåñòâóåò ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ c = h(x) òàêàÿ, ÷òî c0 = h(x0) è
g(x, h(x)) ≡ 0 (1.11)
â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè (x0, c0). Äèôôåðåíöèðóÿ òîæäåñòâî (1.11), ïî-
ëó÷àåì
gx(x, h(x)) + gc(x, h(x))
dh
dx
= 0. (1.12)
Îòñþäà
dh
dx
(x0) = 0,
òàê êàê gx(x0, c0) = 0. Äèôôåðåíöèðóÿ (1.12), ïîëó÷èì
gxx(x, h(x)) + 2gxc(x, h(x))
dh
dx
+ gcc(x, h(x))
dh
dx
2
+ gc(x, h(x))
d2
h
dx2
= 0.
Â òî÷êå x = x0
gxx(x0, c0) + gc(x0, c0)
d2
h
dx2
(x0) = 0.

Îòñþäà
d2
h
dx2
(x0) = −
gxx(x0, c0)
gc(x0, c0)
0.
Èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî òî÷êà x0 ýòî òî÷êà ìàêñèìóìà êðè-
âîé c = h(x), êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ êðèâîé íåïîäâèæíûõ òî÷åê ôóíêöèè f(k)
(x, c) :
f(k)
(x, h(x)) = x. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè c c0, òî íåïîäâèæíûõ òî÷åê íåò, à ïðè
c c0 ïîÿâëÿþòñÿ äâå íåïîäâèæíûå òî÷êè (äâå ïåðèîäè÷åñêèå òî÷êè ïåðèîäà
k). Âîïðîñ î òîì, êîãäà ýòè òî÷êè ÿâëÿþòñÿ ïðèòÿãèâàþùèìè èëè îòòàëêèâàþ-
ùèìè, ðåøàåòñÿ ñðàçó, åñëè çàìåòèòü, ÷òî ∂
∂xf(k)
(x, h(x)) ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ
x â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè (x0, c0), òàê êàê fxx(x0, c0) = 0.
Íà ñëåäóþùåì ðèñóíêå (ðèñ. 1.1) íèæíÿÿ âåòâü ñîñòîèò èç ïðèòÿãèâàþùèõ
ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê (èçîáðàæåíà ñïëîøíîé ëèíèåé), à âåðõíÿÿ âåòâü (èçîáðà-
æåíà ïóíêòèðîì) èç îòòàëêèâàþùèõ ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê.
Ðèñ. 1.1. Áèôóðêàöèÿ íåïîäâèæíûõ òî÷åê
Çàìå÷àíèå. Åñëè èçìåíèòü çíàê îäíîãî èç íåðàâåíñòâ 3) èëè 4), òî ìåíÿåòñÿ
ðîëü èíòåðâàëîâ (c1, c0) è (c0, c2).
Òàêèì îáðàçîì, â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0, ãäå ìóëüòèïëèêàòîð öèêëà λ(x0) = 1,
ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðà c ïðîèñõîäèò ðîæäåíèå äâóõ öèêëîâ ïåðèîäà k ëèáî
èñ÷åçíîâåíèå öèêëîâ ïåðèîäà k. Åñëè ïðè c c0 áûëî äâà öèêëà ïåðèîäà k, òî
ïðè c = c0 îíè ñëèâàþòñÿ â îäèí è ïðè c c0 èñ÷åçàþò. Åñëè æå ïðè c c0 íå
áûëî öèêëîâ ïåðèîäà k, à ïðè c = c0 ïîÿâëÿåòñÿ öèêë ïåðèîäà k ñ ìóëüòèïëè-
êàòîðîì, ðàâíûì 1, òî ïðè c c0 èç íåãî ðîæäàåòñÿ äâà öèêëà ïåðèîäà k, îäèí
èç êîòîðûõ ïðèòÿãèâàþùèé, à äðóãîé îòòàëêèâàþùèé.
Ïðåäëîæåíèå 1.2 (áèôóðêàöèÿ óäâîåíèÿ ïåðèîäà). Ïóñòü äëÿ ñåìåé-
ñòâà ôóíêöèé f(x, c) âûïîëíåíû óñëîâèÿ
1) f(k)
(x0, c0) = x0,
2)
∂f(k)
∂x
(x0, c0) = λ(x0) = −1.
Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ãëàäêàÿ âåòâü ïåðèîäè÷åñêèõ òî÷åê x(c)
ïåðèîäà k äëÿ c áëèçêèõ ê c0 è x(c0) = x0.

Åñëè ìóëüòèïëèêàòîð λ(c) =
∂f(k)
∂x
(x(c), c) óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó
3)
dλ
dc
(c0) 0
è, êðîìå òîãî,
4)
∂3
f(2k)
∂x3
(x0, c0) 0,
òî ñóùåñòâóþò èíòåðâàëû (c1, c0) è (c0, c2) è ε 0 òàêèå, ÷òî
i) åñëè c ∈ (c1, c0), òî f(k)
(x, c) èìååò îäíó îòòàëêèâàþùóþ íåïîäâèæíóþ
òî÷êó, à f(2k)
(x, c) îäíó ïðèòÿãèâàþùóþ íåïîäâèæíóþ òî÷êó â (x0−ε, x0+ε);
ii) åñëè c ∈ (c0, c2), òî f(2k)
(x, c) èìååò åäèíñòâåííóþ íåïîäâèæíóþ òî÷êó
â (x0 − ε, x0 + ε), êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïðèòÿãèâàþùåé íåïîäâèæíîé òî÷êîé äëÿ
f(k)
(x, c).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâîâàíèå ãëàäêîé âåòâè íåïîäâèæíûõ òî÷åê äëÿ
f(k)
(x, c) áûëî äîêàçàíî ðàíåå ïðèìåíåíèåì òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè ê
g(x, c) = f(k)
(x, c) − x, à èç óñëîâèÿ 3) ïðåäëîæåíèÿ 1.2 ñëåäóåò, ÷òî íåïîäâèæ-
íàÿ òî÷êà äëÿ f(k)
(x, c) îòòàëêèâàþùàÿ â èíòåðâàëå (c1, c0) è ïðèòÿãèâàþùàÿ â
èíòåðâàëå (c0, c2). ×òîáû íàéòè ïåðèîäè÷åñêóþ òî÷êó ïåðèîäà 2k, ââåäåì ôóíê-
öèþ
h(x, c) = f(2k)
(x, c) − x.
Òîãäà h(x0, c0) = f(2k)
(x0, c0) − x0 = 0. Äàëåå, èç óñëîâèÿ 2) è öåïíîãî ïðàâèëà
íàõîäèì
hx(x0, c0) =
∂
∂x
(f(k)
(f(k)
(x, c), c))
x=x0,c=c0
− 1 =
= f(k)
x (f(k)
(x0, c0), c0)f(k)
x (x0, c0) − 1 = [f(k)
x (x0, c0)]2
− 1 = 0,
hxx(x0, c0) =
∂2
∂x2
(f(k)
(f(k)
(x, c), c))
x=x0,c=c0
=
= f(k)
xx (f(k)
(x0, c0), c0)(f(k)
(x0, c0))2
+ f(k)
x (f(k)
(x0, c0), c0)f(k)
xx (x0, c0) =
= f(k)
xx (x0, c0)[f(k)
x (x0, c0)]2
+ f(k)
x (x0, c0)f(k)
xx (x0, c0) = 0
Â ñèëó óñëîâèÿ 4) äîêàçûâàåìîãî ïðåäëîæåíèÿ
hxxx(x0, c0) =
∂3
∂x3
f(2k)
(x0, c0) 0.

Òàê êàê ãëàäêàÿ âåòâü íåïîäâèæíûõ òî÷åê x(c) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ
h(x, c) = 0, òî ôóíêöèþ h(x, c) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
h(x, c) = (x − x(c))g(x, c).
Òîãäà èç ðàâåíñòâà
hx(x, c) = g(x, c) + (x − x(c))gx(x, c)
ïîëó÷àåì
g(x0, c0) = 0.
Äàëåå, èç ðàâåíñòâ
hxx(x, c) = 2gx(x, c) + (x − x(c))gxx(x, c),
hxxx(x, c) = 3gxx(x, c) + (x − x(c))gxxx(x, c)
è ïðîâåäåííûõ íàìè âûøå âû÷èñëåíèé çíà÷åíèé ôóíêöèé hxx(x, c),
hxxx(x, c) â òî÷êå (x0, c0) ñëåäóåò, ÷òî
gx(x0, c0) = 0, gxx(x0, c0) 0.
Âû÷èñëèì òåïåðü gc(x0, c0). Èìååì
hxc(x, c) = gc(x, c) −
dx
dc
gx(x, c) + (x − x(c))gxc(x, c).
Ïîýòîìó
hxc(x0, c0) = gc(x0, c0).
Âû÷èñëèì hxc(x, c). Òàê êàê
hx(x, c) = f(k)
x (f(k)
(x, c), c)f(k)
x (x, c) − 1,
òî
hxc(x, c) = f(k)
xx (f(k)
(x, c), c)f(k)
c (x, c)f(k)
x (x, c) + f(k)
xc (f(k)
(x, c), c)f(k)
x (x, c)+
+f(k)
x (f(k)
(x, c), c)f(k)
xc (x, c).
Òåïåðü ïîëó÷àåì
hxc(x0, c0) = f(k)
xx (x0, c0)f(k)
c (x0, c0)f(k)
x (x0, c0) + f(k)
xc (x0, c0)f(k)
x (x0, c0)+
+f(k)
x (x0, c0)f(k)
xc (x0, c0) = −f(k)
xx (x0, c0)f(k)
c (x0, c0) − 2f(k)
xc (x0, c0).

Èç òîæäåñòâà
f(k)
(x(c), c) ≡ x(c)
ñëåäóåò, ÷òî
f(k)
c (x(c), c) + f(k)
x (x(c), c)
dx
dc
=
dx
dc
. (1.13)
Èç (1.13) ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî
f(k)
c (x0, c0) = 2x (c0).
Äàëåå, óñëîâèå 3) ïðåäëîæåíèÿ âëå÷åò íåðàâåíñòâî
d
dc
(f(k)
x (x(c), c))
c=c0
= f(k)
xx (x0, c0)x (c0) + f(k)
xc (x0, c0) 0.
Ïîýòîìó
gc(x0, c0) = hxc(x0, c0) = −f(k)
xx (x0, c0)f(k)
c (x0, c0) − 2f(k)
xc (x0, c0) =
= −2f(k)
xx (x0, c0)x (c0) − 2f(k)
xc (x0, c0) 0.
Èòàê,
g(x0, c0) = 0, gx(x0, c0) = 0, gxx(x0, c0) 0, gc(x0, c0) 0. (1.14)
Â ñèëó òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè ïðè x áëèçêèõ ê x0 ñóùåñòâóåò òàêàÿ ôóíê-
öèÿ c(x), ÷òî c(x0) = c0 è
g(x, c(x)) ≡ 0.
Äèôôåðåíöèðóÿ ïîñëåäíåå òîæäåñòâî, ïîëó÷èì
gx(x, c(x)) + gc(x, c(x))
dc
dx
= 0. (1.15)
Èç (1.14) è (1.15) íåìåäëåííî ñëåäóåò, ÷òî
c (x0) = 0.
Äèôôåðåíöèðóÿ (1.15), ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó
gxx(x, c(x)) + 2gcx(x, c(x))
dc
dx
+ gc(x, c(x))
d2
c
dx2
+ gcc(x, c(x))
dc
dx
2
= 0.
Îòñþäà
c (x0) = −
gxx(x0, c0)
gc(x0, c0)
0.

Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ c(x) èìååò â òî÷êå x = x0 ìàêñèìóì. Ñëåäîâàòåëü-
íî, ïðè c c0 åñòü ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà ïåðèîäà 2k, à ïðè c c0 òàêèõ òî-
÷åê íåò. Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî öèêë ïåðèîäà 2k ïðèòÿãèâàþùèé. Òàê êàê
∂2
f(2k)
(x0,c0)
∂x2 = 0 è âûïîëíåíî óñëîâèå 4), òî
df(2k)
(x,c(x))
dx èìååò ìàêñèìóì â òî÷êå
x = x0. Ïîýòîìó èç ðàâåíñòâà
df(2k)
(x,c(x))
dx x=x0
= 1 ïðè c c0 ñëåäóåò, ÷òî öèêë
ïåðèîäà 2k ïðèòÿãèâàþùèé .
Íà ðèñ. 1.2 c(x) âåòâü òî÷åê ïåðèîäà 2k, à x(c) âåòâü òî÷åê
ïåðèîäà k.
Ðèñ. 1.2. Áèôóðêàöèÿ óäâîåíèÿ ïåðèîäà
Çàìå÷àíèå. Èçìåíåíèå çíàêà â íåðàâåíñòâå 3) ïðåäëîæåíèÿ 1.2 ìåíÿåò ìå-
ñòàìè èíòåðâàëû, â êîòîðûõ öèêë ïåðèîäà k ÿâëÿåòñÿ ïðèòÿãèâàþùèì èëè îò-
òàëêèâàþùèì, â òî âðåìÿ êàê èçìåíåíèå çíàêà íåðàâåíñòâà 4) ïðåäëîæåíèÿ 1.2
ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî öèêë ïåðèîäà 2k ñòàíîâèòñÿ îòòàëêèâàþùèì. Èçìåíåíèå
çíàêà ëèáî â íåðàâåíñòâå 3), ëèáî â íåðàâåíñòâå 4) ìåíÿåò ìåñòàìè èíòåðâàëû,
â êîòîðûõ ëåæèò öèêë ïåðèîäà 2k.
Ïðîèçâîäíîé Øâàðöà ôóíêöèè f(x) íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå
Sf(x) =
f (x)
f (x)
−
3
2
f (x)
f (x)
2
.
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî çíàê ïðîèçâîäíîé Øâàðöà îïðåäåëÿåò òèï áèôóðêàöèè óäâî-
åíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî,
∂3
f(2k)
(x, c)
∂x3
=
∂3
f(k)
(f(k)
(x, c), c)
∂x3
= f(k)
xxx(f(k)
(x, c), c)[f(k)
(x, c)]3
+
+3f(k)
xx (f(k)
(x, c), c)f(k)
xx (x, c)f(k)
x (x, c) + f(k)
xxx(x, c)f(k)
x (f(k)
(x, c), c).
Ïîýòîìó ïðè f(k)
(x0, c0) = x0, f
(k)
x (x0, c0) = −1 ïîëó÷àåì
∂3
f(2k)
∂x3
(x0, c0) = −2f(k)
xxx(x0, c0) − 3[f(k)
xx (x0, c0)]2
,

è, ñëåäîâàòåëüíî,
∂3
f(2k)
∂x3
(x0, c0) = 2Sf(k)
(x0, c0),
ò.å. çíàê ïðîèçâîäíîé Øâàðöà îïðåäåëÿåò çíàê íåðàâåíñòâà â óñëîâèè 4) ïðåä-
ëîæåíèÿ 1.2.
Äëÿ ôóíêöèé, ó êîòîðûõ ïðîèçâîäíàÿ Øâàðöà îòðèöàòåëüíà, âîçìîæåí òîëü-
êî îäèí òèï áèôóðêàöèé, ñâÿçàííûõ ñ óäâîåíèåì ïåðèîäà: ïðèòÿãèâàþùèé öèêë
ïåðèîäà k → áèôóðêàöèÿ → îòòàëêèâàþùèé öèêë ïåðèîäà k → ïðèòÿãèâàþùèé
öèêë ïåðèîäà 2k. Ñóáêðèòè÷åñêàÿ áèôóðêàöèÿ (ðèñ. 1.3) íå ìîæåò âñòðåòèòüñÿ.
Âî ìíîãèõ ïðèëîæåíèÿõ ðàññìàòðèâàåìûé êëàññ îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ ñå-
ìåéñòâ ôóíêöèé ìîæåò óäîâëåòâîðÿòü äîïîëíèòåëüíûì îãðàíè÷åíèÿì è äðóãèå
ëîêàëüíûå áèôóðêàöèè ìîãóò âñòðåòèòüñÿ. Ìû ïðèâåäåì äâà ïðèìåðà òàêèõ ñè-
òóàöèé, íî îïóñòèì äîêàçàòåëüñòâà ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåçóëüòàòîâ, òàê êàê îíè
àíàëîãè÷íû äîêàçàòåëüñòâàì ïðåäëîæåíèé 1.1 è 1.2. ×àñòî âñòðå÷àåòñÿ ñèòóà-
öèÿ, ïðè êîòîðîé òî÷êà x = 0 ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé ñåìåéñòâà ïðè âñåõ
çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà.
Ðèñ. 1.3. Ñóáêðèòè÷åñêàÿ áèôóðêàöèÿ óäâîåíèÿ ïåðèîäà
Ïðåäëîæåíèå 1.3. Ïóñòü f(x, c) îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ôóíê-
öèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì
1) f(0, c) = 0,
2)
∂f
∂x
(0, c) = λ(c), λ(0) = 1 è
dλ
dc
(0) 0,
3)
∂2
f
∂x2
(0, 0) 0.
Òîãäà f(x, c) èìååò åäèíñòâåííóþ áèôóðöèðóþùóþ âåòâü íåïîäâèæíûõ
òî÷åê x(c) äëÿ c áëèçêèõ ê 0, ïðè÷åì x(0) = 0 è x(c) = 0, åñëè c = 0. Òî÷êà
x = 0 ïðèòÿãèâàþùàÿ, åñëè c 0, è îòòàëêèâàþùàÿ, åñëè c 0, â òî âðåìÿ
êàê íåïîäâèæíûå òî÷êè èç áèôóðöèðóþùåé âåòâè îòòàëêèâàþùèå ïðè c 0
è ïðèòÿãèâàþùèå ïðè c 0.

Åñëè f(−x, c) = −f(x, c), ò.å. f(x, c) íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ x, òî íåîáõîäèìî
f(0, c) = 0, íî ïðåäûäóùåå ïðåäïîæåíèå íåïðèìåíèìî, òàê êàê ∂2
f
∂x2 (0, 0) = 0. Â
ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
Ïðåäëîæåíèå 1.4. Ïóñòü f(x, c) îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ôóíê-
öèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì
1) f(−x, c) = −f(x, c),
2)
∂f
∂x
(0, c) = λ(c), λ(0) = 1 è dλ
dc (0) 0,
3)
∂3
f
∂x3
(0, 0) 0.
Òîãäà ñóùåñòâóþò èíòåðâàëû (c1, 0) è (0, c2) è ε 0 òàêèå, ÷òî
i) åñëè c ∈ (c1, 0), òî x = 0 åäèíñòâåííàÿ ïðèòÿãèâàþùàÿ íåïîäâèæíàÿ
òî÷êà äëÿ f(x, c) â (−ε, ε);
ii) åñëè c ∈ (0, c2), òî f(x, c) èìååò òðè íåïîäâèæíûå òî÷êè â (−ε, ε).
Òî÷êà x = 0 îòòàëêèâàþùàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà, â òî âðåìÿ êàê äâå äðóãèå
íåïîäâèæíûå òî÷êè ïðèòÿãèâàþùèå.
Ïðèìåðû. Ïðèâåäåì ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ ïðåäëîæåíèé 1.1 - 1.4. Ðàññìîò-
ðèì ñíà÷àëà ñëåäóþùåå ñåìåéñòâî ôóíêöèé f(x, c) = c − x2
. Èç óðàâíåíèÿ
f(x, c) = c − x2
= x íàõîäèì, ÷òî ýòî ñåìåéñòâî èìååò äâå íåïîäâèæíûå òî÷êè
x1,2 = −1±
√
1+4c
2 ïðè c −1/4. Çíà÷åíèå ïàðàìåòðà c = −1/4 ÿâëÿåòñÿ áèôóðêà-
öèîííûì. Ïðè c = −1/4 ó ñåìåéñòâà òîëüêî îäíà íåïîäâèæíàÿ òî÷êà x = −1/2.
Ìóëüòèïëèêàòîð ýòîé òî÷êè ðàâåí 1. Óñëîâèå 4) ïðåäëîæåíèÿ 1.1 âûïîëíåíî,
à óñëîâèå 3) èìååò ïðîòèâîïîëîæíûé çíàê. Äâå íåïîäâèæíûå òî÷êè ïîÿâëÿ-
þòñÿ ïðè óâåëè÷åíèè ïàðàìåòðà îò çíà÷åíèé c 1/4 ê çíà÷åíèÿì c 1/4.
Ìóëüòèïëèêàòîðû äëÿ òî÷åê x1,2 èìåþò âèä λ1,2 = −2x = 1
√
1 + 4c. Îòñþ-
äà ïîëó÷àåì, ÷òî òî÷êà x1 = −1+
√
1+4c
2 ïðèòÿãèâàþùàÿ, åå îáëàñòü ïðèòÿæåíèÿ
îïðåäåëÿåòñÿ èç íåðàâåíñòâà
−1 1 −
√
1 + 4c 1.
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî −1/4 c 3/4. Ïðè c = 3/4 ìóëüòèïëè-
êàòîð ðàâåí −1. Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèé ïðåäëîæåíèÿ 1.2. Âûïîëíåíèå
óñëîâèé 1) è 2) óæå ïðîâåðåíî. Òàê êàê λ(c) = 1 −
√
1 + 4c, òî
dλ
dc c=3/4
= −
2
√
1 + 4c c=3/4
= −1 0.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ Øâàðöà ôóíêöèè f(x, c) = c−x2
îòðèöàòåëüíà.
Ïîýòîìó óñëîâèå 4) âûïîëíåíî. Ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè c 3/4 ðîæäàåòñÿ ïðèòÿãè-

1.4. Ãëîáàëüíûå áèôóðêàöèè 31
âàþùèé öèêë ïåðèîäà 2. Åãî òî÷êè ìîæíî íàéòè èç óðàâíåíèÿ
f(2)
(x, c) = c − c2
+ 2cx2
− x4
− x = 0,
ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìíîãî÷ëåí â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà äåëèòñÿ íà ìíîãî÷ëåí c−x2
−x.
Ñåìåéñòâî ôóíêöèé f(x, r) = rx(1 − x), êîòîðîå ìû â äàëüíåéøåì ïîäðîá-
íî èçó÷èì, äàåò âîçìîæíîñòü ïðîèëëþñòðèðîâàòü ïðåäëîæåíèå 1.3. Äåéñòâè-
òåëüíî, f(0, r) = 0 è ïðè r = 1 âûïîëíåíû îñòàëüíûå óñëîâèÿ ïðåäëîæåíèÿ
1.3 (fx(0, r) = r, λ(1) = 1, λ (1) = 1 è ∂2
f
∂x2 (0, 1) = −2 0). Ïîýòîìó ïðè
r 1 ñóùåñòâóåò âåòâü ïðèòÿãèâàþùèõ íåïîäâèæíûõ òî÷åê x(r) = r−1
r . Äëÿ
èññëåäîâàíèÿ ñåìåéñòâà f(x, c) = cx−x3
ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðåäëîæåíèåì
1.4. Ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî áèôóðêàöèÿ ïðîèñõîäèò ïðè ïðîõîæäåíèè ïàðàìåò-
ðîì c çíà÷åíèÿ 1. Ïðè c 1 òî÷êà x = 0 åäèíñòâåííàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà è
îíà ÿâëÿåòñÿ ïðèòÿãèâàþùåé. Ïðè c 1 ñóùåñòâóåò òðè íåïîäâèæíûå òî÷êè
x = 0, x1,2 = ±
√
c − 1. Òî÷êà x = 0 îòòàëêèâàþùàÿ, à òî÷êè x1,2 ïðèòÿãèâàþ-
ùèå.
1. Èäåíòèôèöèðîâàòü áèôóðêàöèè, êîòîðûå âñòðå÷àþòñÿ â ñëåäóþùèõ ñå-
ìåéñòâàõ ôóíêöèé ïðè óêàçàííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ:
1) f(x, r) = rx(1 − x), r = 3,
2) f(x, c) = cex
, c = e−1
, c = −e,
3) f(x, r) = xer(1−x)
, r = 2,
4) f(x, c) = cx − x3
, c = −1.
2. Äëÿ ñåìåéñòâà ôóíêöèé F(x) = x + ∆tf(x), ãäå
f(x) =
(−x)1/3
, ïðè x ≤ 0,
−(x)1/2
, ïðè x 0,
çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà ∆t 0, íàéòè öèêë ïåðèîäà 2 è èññëåäîâàòü åãî áè-
ôóðêàöèè ïðè ∆t → 0 è ∆t → ∞.
1.4. Ãëîáàëüíûå áèôóðêàöèè
Â ýòîì ðàçäåëå ìû ðàññìîòðèì âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñî ñëåäóþùèì îáñòîÿ-
òåëüñòâîì. Â îäíîìåðíîì ñëó÷àå ñóùåñòâóþò ñèëüíûå îãðàíè÷åíèÿ íà òèï ïåðè-
îäè÷åñêèõ îðáèò, êîòîðûå ìîãóò ñîñóùåñòâîâàòü. Ïðèñóòñòâèå îðáèòû íåêîòîðî-
ãî ïåðèîäà àâòîìàòè÷åñêè ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå îðáèò ðàçëè÷íûõ äðóãèõ
ïåðèîäîâ. Ïåðâûì ðåçóëüòàòîì òàêîãî òèïà ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Ëåììà 1.1. Åñëè íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ f(x) èìååò öèêë ïåðèîäà
k 1, òî îíà èìååò íåïîäâèæíóþ òî÷êó (öèêë ïåðèîäà 1).

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a ïåðèîäè÷åñêàÿ òî÷êà ïåðèîäà k äëÿ f(x)
(f(k)
(a) = a). Ïóñòü f(a) a. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
a, f(a), f(2)
(a), . . . , f(k−1)
(a), f(k)
(a) = a. (1.16)
Äîëæíà ñóùåñòâîâàòü òàêàÿ òî÷êà b = f(i)
(a), (i k) â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
(1.16), ÷òî f(b) b. Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (1.16) ïîñòîÿííî
áû âîçðàñòàëà è íå ìîãëà áû âåðíóòüñÿ ê òî÷êå a. Èç òåîðåìû î ïðîìåæóòî÷íîì
çíà÷åíèè, ïðèìåíåííîé ê ôóíêöèè φ(x) = f(x) − x, ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò
òàêàÿ òî÷êà c (a c b), äëÿ êîòîðîé f(c) = c. Àíàëîãè÷íûå àðãóìåíòû
ðàáîòàþò è â ñëó÷àå âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà f(a) a.
Äàëüíåéøåå ðàññìîòðåíèå îïèðàåòñÿ íà äâå ëåììû èç àíàëèçà, ðîëü êîòîðûõ
â èññëåäîâàíèè ãëîáàëüíûõ áèôóðêàöèé áûëà âûÿâëåíà Éîðêîì è Ëè.
Ëåììà 1.2. Ïóñòü f(x) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà âåùå-
ñòâåííîì èíòåðâàëå J. Ïóñòü I ⊂ J êîìïàêòíûé (îãðàíè÷åííûé è çàìêíó-
òûé) èíòåðâàë. Ïóñòü I ⊂ f(I). Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà p ∈ I, ÷òî
f(p) = p, ò.å. p íåïîäâèæíàÿ òî÷êà ôóíêöèè f(x).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü I = [β0, β1]. Âûáåðåì òî÷êè αi, i = 0, 1 â I òàê, ÷òî
f(αi) = βi. Äëÿ ôóíêöèè φ(x) = f(x)−x èìååì φ(α0) = f(α0)−α0 = β0−α0 0,
φ(α1) = f(α1) − α1 = β1 − α1 0. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà p ∈ I, ÷òî
φ(p) = 0, ò.å. f(p) = p.
Ëåììà 1.3. Ïóñòü f : I → R íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà èíòåðâàëå I. Äëÿ
ëþáîãî êîìïàêòíîãî èíòåðâàëà I1 ⊂ f(I) ñóùåñòâóåò òàêîé êîìïàêòíûé
èíòåðâàë Q1 ⊂ I, ÷òî f(Q1) = I1.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü I1 = [f(p), f(q)], ãäå p, q ∈ I. Åñëè p q, òî ÷åðåç
r îáîçíà÷èì íàèáîëüøóþ òî÷êó â I, â êîòîðîé f(r) = f(p). Ïóñòü s ïåðâàÿ
òî÷êà ïîñëå r â I, â êîòîðîé f(s) = f(q). Òîãäà f([r, s]) = I1, ò.å. Q1 = [r, s].
Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé p q. .
Ïóñòü f : R → R íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ è x1, x2, . . . , xk òî÷êè öèêëà ïå-
ðèîäà k ýòîé ôóíêöèè. Ïóñòü a íàèìåíüøåå ÷èñëî ñðåäè òî÷åê xi(i = 1, . . . , k).
Èòåðàöèè òî÷êè a, ðàñïîëîæåííûå â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ïî âåëè÷èíå, ðàçáè-
âàþò âåùåñòâåííóþ îñü íà äâà ïîëóáåñêîíå÷íûõ èíòåðâàëà è k − 1 êîíå÷íûõ
èíòåðâàëîâ. Ýòè êîíå÷íûå èíòåðâàëû çàíóìåðóåì êàê I1, I2, . . . , Ik−1 ñëåâà íà-
ïðàâî. Íàïðèìåð, åñëè f(x) èìååò öèêë ïåðèîäà 5 è
a f(3)
(a) f(a) f(2)
(a) f(4)
(a),
òî I1 = [a, f(3)
(a)], I2 = [f(3)
(a), f(a)], I3 = [f(a), f(2)
(a)], I4 = [f(2)
(a), f(4)
(a)].
Ðàññìîòðèì òåïåðü ìíîæåñòâî f(I1). Â íàøåì ïðèìåðå èíòåðâàë I1 èìååò êîí-
öû a è f(3)
(a), êîòîðûå ôóíêöèåé f(x) îòîáðàæàþòñÿ â òî÷êè f(a) è f(4)
(a)

Ãëîáàëüíûå áèôóðêàöèè 33
ñîîòâåòñòâåííî. Ïî òåîðåìå î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè ìíîæåñòâî f(I1) äîëæ-
íî âêëþ÷àòü â ñåáÿ âñå òî÷êè, ëåæàùèå ìåæäó f(a) è f(4)
(a). Èíà÷å ãîâîðÿ,
f(I1) ⊃ I3 ∪ I4. Àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì f(I2) ⊃ I4, f(I3) ⊃ I2 ∪ I3 è f(I4) ⊃ I1.
Óäîáíî îðãàíèçîâàòü ýòó èíôîðìàöèþ â âèäå íàïðàâëåííîãî ãðàôà, êîòîðûé
äëÿ ïðîñòîòû áóäåì íàçûâàòü äèãðàôîì (directed graph). Íóìåðóåì âåðøèíû
äèãðàôà êàê I1, I2, . . . , Ik−1. Ïóñòü si è ti êîíöû èíòåðâàëà Ii. Åñëè èíòåðâàë
Ij ëåæèò ìåæäó òî÷êàìè f(si) è f(sj) (f(Ii) ⊃ Ij), òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñóùå-
ñòâóåò íàïðàâëåíèå èç Ij â Ij, è ðèñóåì íàïðàâëåííóþ äóãó èç Ii â Ij. Â íàøåì
ïðèìåðå ìû ïîëó÷àåì ôèãóðó, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 1.4.
Ðèñ. 1.4. Äèãðàô öèêëà ïåðèîäà 5
Äèãðàô, âîçíèêàþùèé èç òî÷åê öèêëà ïåðèîäà k, íàçîâåì k ïåðèîäè÷åñêèì
äèãðàôîì. Öèêëîì èíòåðâàëîâ â ïåðèîäè÷åñêîì äèãðàôå áóäåì íàçûâàòü ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòü èíòåðâàëîâ âèäà IkIl . . . ImIk, â êîòîðîé f(Ik)⊃ Il, . . . , f(Im)⊃ Ik.
Öèêë â ïåðèîäè÷åñêîì äèãðàôå íàçûâàåòñÿ íåïîâòîðÿþùèìñÿ, åñëè îí íå ñîñòî-
èò öåëèêîì èç öèêëà ìåíüøåé äëèíû, ïðîõîäèìîãî íåñêîëüêî ðàç. Íàïðèìåð,
öèêë I1I3I2I4I1I3I2I4I1 íà ðèñ. 1.4 ÿâëÿåòñÿ ïîâòîðÿþùèìñÿ öèêëîì äëèíû 8, â
òî âðåìÿ êàê öèêë I1I3I3I3I3I3I2I4I1 íåïîâòîðÿþùèéñÿ öèêë äëèíû 8.
Ïóñòü â k ïåðèîäè÷åñêîì äèãðàôå (k 2) ñóùåñòâóåò íåïîâòîðÿþùèéñÿ
öèêë ïåðèîäà 2: I1I2I1. Ðàññìîòðèì äèàãðàììó
I1
f
→ f(I1)
∪
I2
.
Èç ëåììû 1.3 ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò èíòåðâàë Q1, êîòîðûé äåëàåò ïðåäûäó-
ùóþ äèàãðàììó ïîëíîé
I1
f
→ f(I1)
∪ ∪
Q1
f
→ I2
.

Ïðèìåíÿÿ ëåììó 1.3 ïîâòîðíî è ó÷èòûâàÿ, ÷òî f(I2) ⊃ I1, ïîëó÷àåì äèàãðàììó
I1
f
→ f(I1)
∪ ∪
Q1
f
→ I2
∪
Q2
f(2)
→ I1
f
→ f(I1) .
Ñëåäîâàòåëüíî, f(2)
(Q2) = I1 ⊃ Q2 è èç ëåììû 1.1 âûòåêàåò, ÷òî ôóíêöèÿ f(x)
èìååò â èíòåðâàëå Q2 ïåðèîäè÷åñêóþ òî÷êó x ∈ Q2 ïåðèîäà 2: f(2)
(x) = x. Åñëè
áû òî÷êà x áûëà íåïîäâèæíîé òî÷êîé ôóíêöèè f(x), òî f(x) = x ∈ I2. Ïîýòîìó
x ∈ I1 ∩I2 (ïåðåñå÷åíèþ èíòåðâàëîâ I1 è I2) è òî÷êà x áûëà áû òî÷êîé èñõîäíîãî
öèêëà ïåðèîäà k 2, ÷òî íåâîçìîæíî.
Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ îáùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 1.3. Åñëè k ïåðèîäè÷åñêèé äèãðàô, ñîîòâåòñòâóþùèé ôóíê-
öèè f(x), èìååò íåïîâòîðÿþùèéñÿ öèêë äëèíû l, òîãäà ôóíêöèÿ f(x) äîëæíà
èìåòü ïåðèîäè÷åñêóþ òî÷êó ïåðèîäà l.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü I0I1 . . . Il = I0 íåïîâòîðÿþùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëü-
Ðèñ. 1.5. Äèàãðàììà ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 1.3
íîñòü èíòåðâàëîâ, äëÿ êîòîðîé f(Ii) ⊃ Ii+1(i = 0, 1, . . . , l − 1). Ïîêàæåì, ÷òî
f(x) èìååò òî÷êó ïåðèîäà l. Èñïîëüçóÿ ëåììó 1.2 ïîñëåäîâàòåëüíî íåñêîëüêî
ðàç, ñêîíñòðóèðóåì äèàãðàììó (ðèñ. 1.5). Ëåâûé ñòîëáåö äèàãðàììû ñîñòîèò èç
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìíîæåñòâ I0 ⊃ Q1 ⊃ Q2 ⊃ · · · ⊃ Ql−1 ⊃ Ql, à ïîñëåäíÿÿ

ñòðîêà èìååò âèä
Ql
f(l)
→ Il = I0.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Ql ⊂ I0 = f(l)
(Ql). Èç ëåììû 1.2 âûòåêàåò, ÷òî f(l)
(x) èìååò
íåïîäâèæíóþ òî÷êó x â èíòåðâàëå Ql. Òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåðâàëîâ
íåïîâòîðÿþùàÿñÿ, òî x íå ìîæåò áûòü òî÷êîé ïåðèîäà k l äëÿ f(x).
Ñëåäñòâèå 1.1. Åñëè ôóíêöèÿ f(x) èìååò òî÷êó ïåðèîäà 3, òî îíà èìååò
ïåðèîäè÷åñêèå òî÷êè âñåõ ïåðèîäîâ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâóåò äâà ðàçëè÷íûõ ðàñïîëîæåíèÿ òî÷åê öèêëà
ïåðèîäà 3:
a f(a) f(2)
(a), èëè a f(2)
(a) f(a).
Â ïåðâîì ñëó÷àå I1 = [a, f(a)], I2 = [f(a), f(2)
(a)]. Ñëåäîâàòåëüíî, f(I1) = I2,
f(I2) ⊂ I1 ∪ I2. Âî âòîðîì ñëó÷àå I1 = [a, f(2)
(a)], I2 = [f(2)
(a), f(a)], f(I1) ⊂
⊂ I1∪I2, f(I2) = I1. Îáîèì ðàñïîëîæåíèÿì òî÷åê öèêëà ïåðèîäà 3 ñîîòâåòñòâóåò
îäèí è òîò æå äèãðàô (ðèñ. 1.6). Ïî ýòîìó äèãðàôó ìîæíî ïîñòðîèòü íåïîâòî-
ðÿþùèéñÿ öèêë ëþáîé äëèíû. Íàïðèìåð, öèêë ïåðèîäà 7 ýòî I1I2I2I2I2I2I2I1.
Åñëè ìû îáðàòèìñÿ ê äèãðàôó öèêëà ïåðèîäà 5 (ðèñ. 1.4), òî ïîëó÷èì, ÷òî
â ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóþò öèêëû âñåõ ïåðèîäîâ, êðîìå öèêëà ïåðèîäà 3.
Ðèñ. 1.6. Äèãðàôû öèêëà ïåðèîäà 3
Ðàññìîòðèì åùå ïîäðîáíî ñëó÷àé ñóùåñòâîâàíèÿ öèêëà ïåðèîäà 4. Ïîëó÷àåì
øåñòü âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ ðàñïîëîæåíèÿ òî÷åê öèêëà ïåðèîäà 4:
a f(a) f(2)
(a) f(3)
(a), (1.17)
a f(a) f(3)
(a) f(2)
(a), (1.18)
a f(2)
(a) f(3)
(a) f(a), (1.19)
a f(2)
(a) f(a) f(3)
(a), (1.20)
a f(3)
(a) f(2)
(a) f(a), (1.21)
a f(3)
(a) f(a) f(2)
(a). (1.22)

Ïðè ðàñïîëîæåíèè òî÷åê (1.17) ïîëó÷àåì
I1 = [a, f(a)], I2 = [f(a), f(2)
(a)], I3 = [f(2)
(a), f(3)
(a)]
è, î÷åâèäíî,
f(I1) ⊂ I2, f(I2) ⊂ I3, f(I3) ⊂ I1 ∪ I2 ∪ I3.
Ïîýòîìó äèãðàô öèêëà ñîäåðæèò ïåòëþ â âåðøèíå I3 è ñóùåñòâóåò íåïîâòîðÿ-
þùèéñÿ öèêë I2I3I3I2 äëèíû 3. Â ñèëó ñëåäñòâèÿ 1.1 èç ñóùåñòâîâàíèÿ öèêëà
ïåðèîäà 4 ñ ðàñïîëîæåíèåì òî÷åê (1.17) âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå öèêëîâ âñåõ ïå-
ðèîäîâ. ×èòàòåëþ ïðåäëàãàåòñÿ óáåäèòüñÿ, ÷òî òàêîé æå ðåçóëüòàò ïîëó÷àåòñÿ
â ñëó÷àå ðàñïîëîæåíèé (1.18), (1.21), (1.22) òî÷åê öèêëà ïåðèîäà 4, à â ñëó÷àÿõ
(1.18), (1.19) èç ñóùåñòâîâàíèÿ öèêëà ïåðèîäà 4 ñëåäóåò òîëüêî ñóùåñòâîâàíèå
öèêëà ïåðèîäà 2.
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, êîòîðóþ ìû íå áóäåì äîêàçûâàòü.
Òåîðåìà 1.4. Åñëè íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ f : R → R èìååò ïåðèîäè÷åñêóþ
òî÷êó íå÷åòíîãî ïåðèîäà k 1, òî îíà äîëæíà èìåòü ïåðèîäè÷åñêèå òî÷êè
âñåõ ïåðèîäîâ, áîëüøèõ èëè ðàâíûõ k − 1.
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû îñíîâûâàåòñÿ íà èäåå, êîòîðóþ ñôîðìóëèðóåì
ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ëåììà 1.4. k-ïåðèîäè÷åñêèé äèãðàô íåïðåðûâíîé ôóíêöèè âñåãäà ñîäåð-
æèò öèêë äëèíû k, â êîòîðîì íåêîòîðàÿ âåðøèíà ïîâòîðÿåòñÿ òî÷íî äâà-
æäû.
Öèêë äëèíû k, î êîòîðîì ãîâîðèòñÿ â ëåììå 1.4, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò áûòü
ïîâòîðÿþùèìñÿ öèêëîì. Îäíàêî òàê êàê öèêë ñîäåðæèò íåêîòîðóþ âåðøèíó
òî÷íî äâàæäû, òî îí ìîæåò áûòü ðàçëîæåí íà äâà ìåíüøèõ öèêëà, êîòîðûå
ñîäåðæàò ýòó âåðøèíó òî÷íî îäèí ðàç, è ýòè öèêëû íåïîâòîðÿþùèåñÿ.
Ëåììà 1.5. Åñëè íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ f(x) èìååò öèêë ëþáîãî ïåðèîäà
k 1, òî îíà èìååò öèêë ïåðèîäà 2.
Äîêàçàòåëüñòâî. Óòâåðæäåíèå òåîðåìû òðèâèàëüíî äëÿ k = 2. Ïðåäïîëî-
æèì òåïåðü, ÷òî k ≥ 3. Ïî ëåììå 1.4 ñîîòâåòñòâóþùèé k-ïåðèîäè÷åñêèé äèãðàô
ôóíêöèè f(x) ñîäåðæèò öèêë äëèíû k, êîòîðûé ðàçëàãàåòñÿ â äâà íåïîâòîðÿþ-
ùèõñÿ ïîäöèêëà. Ïî êðàéíåé ìåðå, îäèí èç ýòèõ ïîäöèêëîâ èìååò äëèíó, áîëü-
øóþ 1. Òîãäà óòâåðæäåíèå ëåììû ïîëó÷àåòñÿ ïî èíäóêöèè.
Ïðåäûäóùèå ðàññìîòðåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ñóùåñòâóþò ñèëüíûå îãðàíè÷å-
íèÿ íà òèï ïåðèîäè÷åñêèõ îðáèò, êîòîðûå ìîãóò ñîñóùåñòâîâàòü. Ïðèñóòñòâèå

îðáèòû îäíîãî ïåðèîäà àâòîìàòè÷åñêè âëå÷åò ñóùåñòâîâàíèå îðáèò ðàçëè÷íûõ
äðóãèõ ïåðèîäîâ. À.Í. Øàðêîâñêîìó ïðèíàäëåæèò âàæíûé ðåçóëüòàò, êîòîðûé
ïðèìåíèì êî âñåì íåïðåðûâíûì îòîáðàæåíèÿì (ôóíêöèÿì) íà âåùåñòâåííîé
ïðÿìîé. Åãî äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî ïîëó÷èòü íà îñíîâå ðàçâèòèÿ ñîîáðàæåíèé,
èñïîëüçîâàííûõ ïðè äîêàçàòåëüñòâå óòâåðæäåíèé ýòîãî ïàðàãðàôà.
Òåîðåìà 1.5. Ïóñòü âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà óïîðÿäî÷åíû ñëåäóþùèì îáðà-
çîì:
3 5 7 · · · 2 · 3 2 · 5 2 · 7 · · · 2n
· 3 2n
· 5 2n
· 7 . . .
2n
· · · 23
22
2 1.
Åñëè f : R → R íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ èìååò îðáèòó ïåðèîäà n,
òîãäà f(x) èìååò îðáèòó ïåðèîäà m äëÿ êàæäîãî m ∈ N, äëÿ êîòîðîãî n m.
Ëåììà 1.1 è ñëåäñòâèå 1.1, î÷åâèäíî, ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè òåîðåìû
1.5.
Ðàññìîòðèì îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî îäíîìåðíûõ îòîáðàæåíèé fλ(x),
îïðåäåëåííîå íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå I. Îáîçíà÷èì ÷åðåç λ[n] íàèìåíüøåå çíà-
÷åíèå ïàðàìåòðà λ, ïðè êîòîðîì ó îòîáðàæåíèÿ fλ(x) åñòü öèêë ïåðèîäà n. Èç
òåîðåìû 1.5 âûòåêàåò ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
Òåîðåìà 1.6. Ñïðàâåäëèâà öåïî÷êà íåðàâåíñòâ
λ[1] ≤ λ[2] ≤ λ[4] ≤ · · · ≤ λ[5 · 2] ≤ λ[3 · 2] ≤ . . . λ[5] ≤ λ[3].
1. Ðàññìîòðåòü âñå 5-ïåðèîäè÷åñêèå äèãðàôû.
2. Ïðèâåñòè ïðèìåð öèêëà ïåðèîäà 8, èç ñóùåñòâîâàíèÿ êîòîðîãî ñëåäóåò
ñóùåñòâîâàíèå öèêëîâ âñåõ ïåðèîäîâ.

289.введение в динамику одномерных отображений учебное пособие

289.введение в динамику одномерных отображений учебное пособие

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (15)

More from ivanov15666688

More from ivanov15666688 (20)

289.введение в динамику одномерных отображений учебное пособие