1. Verso il concetto di
numero
Maria G. Bartolini Bussi *
(i numeri ordinali);
- l'uso dei numeri come elementi di
un codice (i numeri codice),'
- la lettura e la scrittura dei simboli
utilizzati per denotare i numeri (i
numerali).
Vi sono lingue nelle quali i diversi
usi del numero sono caratterizzati da
vocaboli diversi, Non è così per
l'italiano e per la maggior parte delle
lingue indoeuropee, che riservano
termini speciali solo ai numeri ordinali
e ad alcuni casi speciali dei cardinali,
Tuttavia, il fatto che siano usati gli
stessi termini e, spesso, gli stessi
simboli per denotare oggetti o attributi
di natura diversa non sembra
provocare ambiguità nell'adulto (che,
talvolta, non riflette neppure sulla
coincidenza) e nemmeno nei bambini,
che già alla scuola dell'infanzia usano
molte parole numero in modo
appropriato e consapevole (v, tav, 1),
1. Introduzione
L'adulto della nostra società usa
grande varietà di significati e di fun-
zioni dei numeri naturali, che richie-
dono almeno:
- la conoscenza della sequenza con-
venzionale delle parole numero (i nu-
meri per contare);
- il suo utilizzo nei conteggi (i numeri
per contare oggetti);
- la cardinalità degli insiemi (i numeri
cardinali);
- l'uso dei numeri per descrivere la
misura di una grandezza rispetto ad
una unità fissata (i numeri misura);
- l'uso dei numeri per indicare il posto
occupato in un certo ordinamento
* Nucleo di ricerca in Storia e Didattica della
Matematica Università di Modena.
Il Nucleo, diretto dal prof. P. Quattrocchi, opera
con fondi erogati dal M.P .1. (Ricerca
Scientifica) e dal C.N.R. (Contratti).
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2. Le ricerche compiute, da un lato,
sullo sviluppo storico dei sistemi di
numerazione (IFRAH 1983), dall'al-
tro, sulle costruzioni" spontanee"
dei bambini (HUGHES 1982, DA-
VOLI e VECCHI 1986, SINCLAIR
1987), mostrano che l'attività di
rappresentazione numerica è
strettamente collegata a necessità
sociali (ad esempio, di
comunicazione) o necessità di
astrazione (ad esempio la soluzione di
problemi non affrontabili per ma-
nipolazione diretta). La conquista di
questi strumenti è quindi strettamente
dipendente dall'ambiente in cui il
bambino viene educato.
Spesso, nel passato, si è suggerita
molta cautela nella introduzione di
attività sui numeri, fino a che non si
fosse accertato il supera mento di al-
cuni ostacoli legati alle intuizioni
spontanee. Così, molte guide per in-
segnanti (di scuola materna o ele-
mentare) suggeriscono, richiamando le
osservazioni di Piaget (PIAGET o
SZEMINSKA 1968), di svolgere
inizialmente tutta una serie di attività
di tipo logico miranti a stimolare il
riconoscimento della conservazione
della quantità rispetto a certe trasfor-
mazioni. Solo in seguito dunque sa-
rebbe utile e opportuno introdurre i
nomi e i simboli dei numeri.
Negli ultimi dieci anni, molte ricer-
che sono state compiute, soprattutto
all'estero, sulla formazione del
concetto di numero. Purtroppo, solo
raramente (v., ad esempio, NOCE e
VICENTINI MISSONI 1987) esse
sono state portate a conoscenza degli
insegnanti italiani.
Dal complesso di queste ricerche,
emerge la mancanza di schemi lineari
generali in grado di guidare la pro-
gettazione del lavoro secondo una se-
quenza preordinata. Sembra, piuttosto,
opportuno proporre ai bambini attività
che, se non sono del tutto da loro
dominabili, sono tuttavia vicine ai loro
interessi e alle loro capacità.
Guidandoli in queste attività, gli adulti
li avviano all'uso dei simboli numerici
e delle strategie di numerazione
proprie del gruppo culturale di cui
fanno parte.
Nei prossimi paragrafi, si cercherà
di esemplificare quanto detto sopra
attraverso la proposta di schemi di
lavoro sperimentati a Modena da
alcuni anni.
2. L'aspetto cardinale dei
numeri naturali
Sotto l'aspetto cardinale, un numero
è considerato come l'astratto comune
ad una classe di insiemi equivalenti
rispetto alla relazione di equipotenza
(ricordiamo che due insiemi sono
equipotenti quando i loro elementi si
possono porre in corrispondenza
biunivoca).
In italiano esistono alcuni termini,
diversi dai numeri, che possono
descrivere, in contesti particolari, la
cardinalità di un insieme:
- nella musica, solo, duo o duetto,
trio o terzetto, quartetto, ...;
- nella tombola, ambo, temo, qua-
terna, cinquina...;
- nella vita di tutti i giorni, coppia >
paio (anche se con accezioni diver:e);
- in aritmetica, doppio, triplo, .......... ;
-nella metrica, terzina, quartina.
Nelle esperienze iniziali del bam-
bino, due oggetti possono essere per-
cepiti in modi diversi: due anni,
cioè:sono grande; due caramelle, una
per
me e una per mio fratello; due mac-
chinine, devo scegliere; due alberi, il
giardino di casa mia; due scarpe, nes-
sun piede nudo; due cucchiai di pap-
pa, prima uno e poi l'altro... Per
conquistare l'uso cardinale del nu-
mero, è necessario che quéste espe-
rienze disparate si canalizzino verso
l'astrazione dell'aspetto comune ad
esse (il numero cardinale due).
Nell 'itinerario tradizionale prati-
cato e consigliato, si dà molta impor-
tanza all'acquisizione della conserva-
zione (o invarianza) della cardinalità:
si intende con ciò riferirsi, ad
esempio, alla consapevolezza che il
numero di oggetti non dipende dalla
loro disposizione nello spazio o dalla
loro grandezza o da altre carat-
teristiche percettive particolari. A tale
scopo, si suggeriscono tutta una serie
di attività di confronto tra insiemi
rispetto alla relazione di equipotenza.
Nella prassi, queste attività possono
prendere anche molti mesi di scuola,
fino a che l'insegnante non decide che
“il concetto di numero è stato
acquisito" e che quindi è lecito
passare alla simbolizzazione.
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3. Questa conclusione si fonda su al-
cuni presupposti discutibili. Nulla
garantisce, infatti, che il concetto di
numero sia stato acquisito, anzi si
possono avanzare ragionevoli dubbi al
riguardo.
In primo luogo, l'attività si svolge
sempre con collezioni finite di oggetti:
nessuna esperienza è finalizzata ad
intuire la infinità dell'insieme dei
numeri.
In secondo luogo, l'attività si svolge
generalmente con oggetti concreti (o
loro immagini): nessuna esperienza
riguarda la possibilità di contare
insiemi di oggetti astratti (ad esempio,
gesti, pensieri, sapori.. .).
Inoltre, i bambini operano di solito
con "piccole" collezioni di oggetti:
nulla garantisce che essi siano in grado
(o, almeno, credano nella possibilità)
di trasferire le strategie apprese a
collezioni più numerose, per le quali, a
volte, è di fatto impossibile.
Infine, l'attività statica su collezioni
di oggetti assegnate fa perdere di vista
la relazione tra un numero, il
precedente e il successivo.
In realtà, come è bene evidenzia
to nei Nuovi Programmi della Scuola
Primaria, il concetto di numero è più
complesso e richiede un approccio
che si avvale di diversi punti di vista
...la sua acquisizione avviene a livelli
sempre più elevati di interiorizzazione
e di astrazione durante l'intero corso
di scuola elementare e oltre.
Anche l'introduzione precoce, ma
naturale, dei nomi dei numeri con-
corre alla costruzione del concetto di
numero. Esperienze svolte in diversi
paesi mostrano che, fino dai due anni
di età, i bambini contano sponta-
neamente per confrontare due colle-
zioni di "pochi" oggetti e ricorrono a
metodi diversi su consegna esplicita
dell'adulto o quando la prassi sco-
lastica ha, in qualche modo, "vietato"
l'uso dello strumento spontaneo.
Anche sulla conservazione ritenia-
mo utile qualche osservazione. Molti
insegnanti pensano che, quando un
bambino sente il bisogno di contare di
nuovo gli oggetti dopo averli spostati,
ciò significa che non si è ancora
conquistata l'invarianza. Esperienze
svolte cori bambini che hanno ben
chiaro l'uso dei numeri cardinali
mostrano che spesso la ripeti
cardinale, che tiene conto delle os-
servazioni fin qui svolte e va in ogni
caso intrecciato ad altre attività che
saranno descritte nei prossimi para-
grafi. Lo schema non deve essere
preso come un itinerario scandito nel
tempo. In ogni proposta, possono
essere presenti ed intrecciati in modo
dialettico e con percorsi di andata e
ritorno una attività manipolativa o
motoria o, comunque, di azione diretta
ad una attività rappresentativa che
utilizza i diversi linguaggi (grafico.
verbale. gestuale...).
zio ne della conta non è legata a un
bisogno di verifica ma alla gratifica-
zione che nasce dall'eseguire un gioco
gradito.
Queste osservazioni critiche non
devono far pensare che sia scorretto
impiantare attività sull'aspetto car-
dinale del numero. Tali attività, che si
inseriscono naturalmente nell' e-
sperienza del bambino (v. tav.2),
vanno però intrecciate con attività
diverse, senza dunque riconoscere ad
esse una priorità risolutiva di tutti i
problemi.
3. L'aspetto ordinale dei
numeri naturali
I numeri naturali sono gli elementi
di un insieme infinito totalmente or-
dinato. Ad essi si possono dunque
applicare tutte le proprietà degli or-
dinamenti; non ha invece alcun senso
tentare, in questo contesto, di
estendere le operazioni aritmetiche.
La lingua italiana, come molte altre
lingue moderne, riserva termini
particolari (aggettivi ordinali) ai nu-
meri ordinali: primo, secondo... de-
cimo, undicesimo ...ventesimo...
centesimo... millesimo...
L'esperienza dei bambini muove
Un'ultima osservazione. Spesso
negli itinerari di approccio al numero
cardinale si vedono inserite attività
sugli insiemi, che prevedono l'uso di
quantificatori come "uno", "pochi",
"tanti". Queste attività possono essere
significative sul piano linguistico, ma
sono scorrette dal punto di vista
matematico. Infatti gli insiemi vanno
usati nel contesto di un linguaggio
scientifico univoco, mentre "pochi" e
"tanti" sono termini di significato
soggettivo e dipendente dal contesto.
Nel seguito, proponiamo un pro-
memoria di attività (v. tav. 3) per
l'approccio al numero nel suo aspetto
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4. dall 'uso degli aggettivi ordinali nel
contesto delle esperienze familiari: sono
arrivato primo,:il secondo cas- setto,…
l'ultimo giorno di scuola
(quest'ultima locuzione si applica,
ovviamente, solo ad insiemi finiti). La
sequenza degli aggettivi ordinali, per
frammentarietà di esperienze, è meno
conosciuta della sequenza dei numeri
cardinali. Le esperienze manipolative
sono invece frequenti, fino dal primo
anno: esistono molti materiali di gioco
che differiscono vistosamente per una
proprietà (regoli di altezze diverse,
contenitori incastrabili e impilabili,
scatolette di di
verse dimensioni, le bambolette russe…)
e possono essere ordinati.
Le difficoltà documentate nelle
esperienze di ordinamento di oggetti di
questo tipo sono legate soprattutto
all'utilizzo della proprietà transitiva: se
vogliamo ordinare per altezza alcuni
bastoncini e verifichiamo che il rosso è
più alto del blu e che il blu è più alto del
giallo, possiamo concludere, senza
ulteriori confronti, che il rosso è più alto
del giallo. Spesso i bambini non si ren-
dono conto di questo ed eseguono anche i
confronti non necessari, senza
individuare strategie risolutive ottimali
per i problemi di ordinamento di più
oggetti.
L'uso linguistico degli aggettivi or
'dinali è diffuso in contesti diversi uti
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5. lizzabili a scuola: le gare di corsa, i
piani delle case (ad esclusione del
piano terreno, considerato quasi un
livello zero), i gradini di una scala, le
vignette di una storia, le istruzioni per
il LEGO (v. tav. 4).
Sulla base di queste riflessioni si
può proporre uno schema di lavoro per
la pianificazione dell'attività scolastica
(v. tav. 5).
4. L'aspetto ricorsivo dei
numeri naturali
In questo caso ci occupiamo del-
l'uso dei numeri naturali per contare. Il
numero per contare, tradizionalmente
presente nella scuola fino agli anni
sessanta, era quasi scomparso negli
anni in cui si diffondeva l'approccio
cardinale attraverso gli insiemi. Negli
ultimi anni, il numero per contare è
stato ampiamente rivalutato,
soprattutto sulla base di ricerche di
scuola anglosassone, a cui ci
richiameremo in seguito, pur senza
citarle espressamente (v. ad esempio,
NOCE e VICENTINI MISSONI 1987,
PELLEREY 1987).
Nel contare, possiamo distinguere
un aspetto puramente linguistico o
intransitivo (contare per contare)
dall'aspetto finalizzato alla soluzione
di problemi o transitivo (contare
oggetti, persone, parole, gesti.. .).
L'abilità puramente linguistica del
recitare una sequenza di parole nu-
mero coincidente, almeno in parte, con
quella convenzionale è il presup
posto su cui si basa la capacità di
contare oggetti, che, a sua volta, sti-
mola la padronanza della sequenza
delle prime parole numero e la sco-
perta della regola ricorsiva di gene-
razione delle parole che denotano i
numeri più grandi: venti-due, ventitre..
(DAVOLI e VECCHI 1986). La me -
morizzazione della sequenza, che
inizialmente è pronunciata con sforzo
e senza costanza nel risultato, rende
pian piano la recita automatica e
consente di spostare l'attenzione sulla
procedura più complessa del contare
oggetti.
Almeno inizialmente, infatti, contare
oggetti significa combinare la
pronuncia di una parola numero con
un gesto (il dito che punta o tocca o
sposta, la mano che raccoglie o mette
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6. in fila...) e il gesto con un oggetto, in
modo da realizzare due corrispon-
denze biunivoche tra parole e gesti e
tra gesti e oggetti. Gli errori di con-
teggio possono riguardare la corri-
spondenza tra parole e gesti (la voce
corre più della mano o viceversa) o tra
gesti o oggetti (uno stesso oggetto è
segnato più volte o è saltato).
Si può quindi dire che l'abilità del
contare oggetti è una abilità comples-
sa: non ci si deve stupire se la cono -
scenza di una parte, anche consisten-
te, della sequenza numerica si ac-
compagna a molti errori di conteggio,
quando la recita è applicata ad un
insieme di oggetti. La difficoltà
aumenta se gli oggetti non sono ma-
nipolabili (ad esempio, gesti o eventi
scanditi nel tempo): per essi sarà
opportuno ricorrere, almeno inizial-
nente, ad una qualche forma di re-
gistrazione intermedia: un segno per
ogni colpo di tamburello...
L'approccio ricorsivo ai numeri è
quello che più suggerisce l'idea di in-
finito. Il dominio della regola di pro-
duzione linguistica delle parole nu-
mero, presto o tardi, induce la con-
sapevolezza che non esiste un limite,
se non il tempo a disposizione, per la
generazione di numeri sempre diversi.
Nel momento in cui ci si rende conto
che, detto un numero qualsiasi, con
questa regola se ne può generare uno
più grande (attraverso il meccanismo
del passaggio al successivo), il gioco è
fatto. Questo non capita di solito nella
scuola dell'infanzia, anche se,
singolarmente, qualche bambino può
avere intuizioni al riguardo (v. tav. 6).
Proponiamo ora un promemoria di
punti nodali da tenere presenti nella
progettazione di un itinerario sui
numeri per contare. Le prestazioni
evidenziate sono raggiunte gradual-
mente e non sono subito estese a tutti i
numeri. Ciò non deve stupire: anche
l'adulto, di fronte ad un insieme
numeroso o costituito di oggetti in
movimento, in assenza di strategie
particolari, può perdere il conto e
commettere qualche errore.
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