Δυναμική Προσομοίωση Διεργασιών

1. Βασικές Εξισώσεις Ισοζυγίων
ΜΑΚΡΟΣΚΟΠΙΚΑ ΙΣΟΖΥΓΙΑ ΜΑΖΑΣ & ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ
ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ ΙΣΟΖΥΓΙΑ

2. Ισοζύγια μάζας και ενέργειας
• Εισαγωγικά θα παρουσιαστούν η μεθοδολογία κατάστρωσης των
ισοζυγίων μάζας και ενέργειας και επιδεικνύεται η εφαρμογή τους σε μία
ποικιλία διεργασιών.
• Τα ισοζύγια μάζας αποτελούν τη λογιστική απεικόνιση μίας διεργασίας ή
μίας ενότητας διεργασιών (Himmelblau & Riggs, 2004). Με την
κατάστρωσή τους αποκτούμε μία πρώτη εικόνα για τις μεταβολές των
διαφόρων ρευμάτων υλικών χωρίς να είναι απαραίτητη η γνώση των
λεπτομερειών κάθε διεργασίας.

3. Ισοζύγια μάζας και ενέργειας
• Έστω ότι γνωρίζεται πόσα υλικά έχετε στον χρόνο t τότε για να μπορέσετε
για να υπολογίσετε πόσα υλικά έχετε στον χρόνο t + Δt θα πρέπει να γίνει
ο παρακάτω υπολογισμός
• [Υλικά στο χρόνο t + Δt] =
• [Υλικά στο χρόνο t] +
• [Παραλαβές {εισροές} στο χρονικό διάστημα t έως t + Δt] –
• [Παραδόσεις {εκροές} στο χρονικό διάστημα t έως t + Δt]
• Η παραπάνω εξίσωση εκφράζει το «ισοζύγιο των υλικών» (material
balance) αποτελεί μια θεμελιώδη εξίσωση στην μηχανική και περιγράφει
ένα εξαιρετικά μεγάλο πλήθος διεργασιών
• Η παραπάνω εξίσωση έχει εφαρμογή για «υλικά» τα οποία διατηρούνται –
δεν παράγονται ή καταστρέφονται (καταναλώνονται)

4. Ισοζύγια μάζας και ενέργειας
• Στην περίπτωση που θα πρέπει να εντάξετε την εσωτερική κατανάλωση ή
την καταστροφή υλικών θα διαπιστώσετε ότι κανείς από τους όρους τηε
εξίσωσης δεν είναι κατάλληλος:
• [Υλικά στο χρόνο t + Δt] =
• [Υλικά στο χρόνο t] +
• [Παραλαβές {εισροές} στο χρονικό διάστημα t έως t + Δt] –
• [Παραδόσεις {εκροές} στο χρονικό διάστημα t έως t + Δt]
• [Παραγωγή στο χρονικό διάστημα t έως t + Δt] –
• [Κατανάλωση στο χρονικό διάστημα t έως t + Δt]

5. Ισοζύγια μάζας και ενέργειας
• Εάν συμβολίσουμε με Ψt τον αριθμό ή την ποσότητα (πχ. Μάζα) των υλικών
στο χρόνο t τότε η εξίσωση με μαθηματικούς όρους γράφεται ως εξής:
• Η εξίσωση αποτελεί την γενικότερη μορφή ισοζυγίου η οποία μπορεί να
εφαρμοστεί σε οποιαδήποτε ποσότητα μας ενδιαφέρει και σε οποιοδήποτε
σύστημα
• Καθοριστική προϋπόθεση για την ορθή και χρήσιμη εφαρμογή των ισοζυγίων
μάζας αποτελεί η κατάλληλη επιλογή του όγκου ελέγχου (ΟΕ), δηλαδή του
νοητού συνόρου που διαχωρίζει το σύστημα από το περιβάλλον. Τα υλικών
που λαμβάνονται υπόψη στο ισοζύγιο είναι μόνον αυτά που διαπερνούν τον
ΟΕ.
• Μία συνηθισμένη επιλογή είναι ο ΟΕ να περιλαμβάνει μία μόνον συσκευή,
οπότε τα υλικά είναι τα διάφορα ρεύματα εισόδου και εξόδου της διεργασίας.

6. Ισοζύγια μάζας και ενέργειας
• Συχνά όμως είναι χρήσιμη η επιλογή όγκου ελέγχου που περιλαμβάνει
περισσότερες συσκευές ή ακόμη και ολόκληρη την παραγωγική
διαδικασία.
• Στην περίπτωση αυτή, τα διάφορα ρεύματα υλικών που συνδέουν μεταξύ
τους συσκευές εντός του όγκου ελέγχου είναι εσωτερικά και δεν
λαμβάνονται υπόψη στα ισοζύγια.
• Η επιλογή και διαχείριση του όγκου ελέγχου μπορεί να γίνει αρκετά
πολύπλοκη, για παράδειγμα σε περιπτώσεις όπου τα σύνορα του όγκου
ελέγχου μετακινούνται με τον χρόνο (Slattery, 1999).
• Κάθε σύστημα εκτός από τον ΟΕ έχει σαφώς ορισμένη επιφάνεια – Ε.Ο.Ε

7. Ισοζύγια μάζας και ενέργειας
• Η εξίσωση αυτή αποτελεί την διακριτή μορφή του ισοζυγίου
• Για να αναπτύξουμε την συνεχή μορφή:

8. Ισοζύγια μάζας και ενέργειας
• Η τελευταία εξίσωση μπορεί να διατυπωθεί και ως εξής:
• [Συσσώρευση της ποσότητας Ψ στο εσωτερικό του Ο.Ε.] = [Ρυθμός
εισροής της Ψ διαμέσου της Ε.Ο.Ε] – [Ρυθμός εκροής της Ψ διαμέσου
της Ε.Ο.Ε] + [ Ρυθμός παραγωγής της Ψ στο εσωτερικό του Ο.Ε] –
[Ρυθμός κατανάλωσης της Ψ στο εσωτερικό του Ο.Ε.]
• [Συσσώρευση της ποσότητας Ψ στο εσωτερικό του Ο.Ε.] = [ΚΑΘΑΡΟΣ
Ρυθμός εισροής της Ψ διαμέσου της Ε.Ο.Ε] – [ΚΑΘΑΡΟΣ Ρυθμός
εκροής της Ψ διαμέσου της Ε.Ο.Ε]

9. ΜΑΚΡΟΣΚΟΠΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
• ΙΣΟΖΥΓΙΑ ΜΑΖΑΣ
• ΙΣΟΖΥΓΙΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

10. ΙΣΟΖΥΓΙΟ ΜΑΖΑΣ
• Ολικό μακροσκοπικό ισοζύγιο μάζας
• Μακροσκοπικά ισοζύγια μάζας συστατικών
• Μακροσκοπικά ισοζύγια μάζας συστατικών με χημική αντίδραση

13. Ισοζύγια μάζας σε στήλη κλασματικής απόσταξης

14. Ισοζύγια μάζας με αντίδραση τέλειας καύσης

15. Ισοζύγια μάζας και συστημάτων με χημική
αντίδραση
• Πραγματοποιείται αντίδραση  πιθανότητα αύξηση (παραγωγής
προϊόντων) ή μείωσης (κατανάλωσης αντιδρώντων)

16. Ισοζύγια μάζας με αμφίδρομη αντίδραση

17. Παράδειγμα συνδυασμού ισοζυγίων μάζας και δεδομένων ισορροπίας

18. • Θεωρήστε τις διαδοχικές μονόδρομες αντιδράσεις
• R  P  W
• Όπου R είναι το αντιδρών, P το επιθυμητό προϊόν και
W ανεπιθύμητο παραπροϊόν.
• Καθαρό αντιδρών R τροφοδοτείται σε υγρή μορφή:
• α) σε συνεχή αντιδραστήρα πλήρους ανάδευσης και
• β) σε ασυνεχή αντιδραστήρα πλήρους ανάδευσης
όπου πραγματοποιούνται ισοθερμογρασιακά οι
παραπάνω αντιδράσεις
CR
CP
CW
CR(t)
CP(t)
CW(t)
nR,0 = c0,R
nR = cR

19. ΙΣΟΖΥΓΙΟ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ
• Ισοζύγιο ενέργειας για ανοικτά συστήματα
• Ισοζύγιο ενέργειας για κλειστά συστήματα

20. Ισοζύγιο ενέργειας για ανοικτά συστήματα
• [Ενέργεια στο Ο.Ε. στο χρόνο t + Δt] =
• [Ενέργεια στον Ο.Ε. στο χρόνο t] +
• [Εισροή ενέργειας στο χρονικό διάστημα Δt] – [Εκροή ενέργειας στο
χρονικό διάστημα Δt]
• Η συνολική ειδική ενέργεια e αποτελείται από την εσωτερική ενέργεια u,
την κινητική ενέργεια ek και τη δυναμική ενέργεια ep
• Η ενέργεια που αποδίδεται στον Ο.Ε. κάθε χρονική στιγμή από την
εισρέουσα μάζα αποτελείται από:
• Τη συνολική ενέργεια της μάζας που εισρέει (e = u + ek + ep), και
• Το έργο ροή (Pv) που αποδίδει στον Ο.Ε. στο εισρέων ρευστό

21. • Έτσι μπορούμε να γράψουμε το εξής:
• [εισροή ενέργειας στο χρονικό διάστημα Δt] =

23. Παράδειγμα
• Το δοχείο σταθερής διατομής S = 1 m2
του σχήματος περιέχει αρχικά Μ(0) =
1000 kg υγρού. Το περιεχόμενο του δοχείου αναδεύεται συνεχώς με
κατάλληλο αναδευκτήρα και η ειδική (ανά m3 υγρού) ισχύς που παρέχεται
στο περιεχόμενο του δοχείου είναι Ws
m
= 10 kW/m3
. ταυτόχρονα υπάρχουν
απώλειες θερμότητας από τα τοιχώματα του δοχείου προς το περιβάλλον
που περιγράφονται από το νόμο του Νεύτωνα: , όπου Τ είναι η θερμοκρασία
του υγρού στο δοχείο και Τ∞ = 15 o
C είναι η θερμοκρασία του περιβάλλοντος
και AU = 2 kW/o
C είναι το γινόμενο της παράπλευρης επιφάνειας του
δοχείου και του συντελεστή μεταφοράς θερμότητας. Το σύστημα βρίσκεται
αρχικά σε μόνιμες συνθήκες. Ποια είναι η θερμοκρασία του υγρού;
• Στη συνέχεια τροφοδοτείται στο δοχείο θερμό υγρό (Ti = 90 o
C) με παροχή ,
για 5 min. Να υπολογιστεί η μεταβολή της θερμοκρασίας του υγρού για τα 5
min που διαρκεί η τροφοδοσία του θερμού υγρού.
• Δίνονται: ρ = 1000 kg/m3
, cp = 1 kJ/(kgo
C) & u~h~cp(T-Tref), Tref = 0

24. Λύση

25. Ισοζύγιο ενέργειας για κλειστά συστήματα
• Τα κλειστά συστήματα είναι εκείνα στα οποία δεν υπάρχει ανταλλαγή μάζας
με το περιβάλλον και η εξίσωση ανοικτού συστήματος σε μονάδες μάζας:
Ποσότητα 0.5 kg αέρα (μοριακή μάζα περίπου 29) βρίσκεται στο εσωτερικό
κυλίνδρου στον οποίο έχει προσαρμοστεί έμβολο διατομής 10 m2
, μάζας
mpist = 10 t, το οποίο κινείται χωρίς τριβές. Εξωτερικά του εμβόλου έχει
προσαρμοστεί ελατήριο σταθεράς kspr = 10 MN/m το οποίο στην αρχική
κατάσταση δεν ασκεί δύναμη στο σύστημα εμβόλου/αερίου. Να βρεθεί η
πίεση του αερίου στην αρχική κατάσταση. Στο αέριο παρέχεται θερμότητα
έως ότου το έμβολο μετακινηθεί κατά 0.1 m. Να βρεθεί η πίεση του αερίου
στην τελική κατάσταση, η θερμότητα που μεταφέρεται και το έργο που
εκτελεί το αέριο στο περιβάλλον.
Παράδειγμα

26. Λύση

27. Καταστατικές Εξισώσεις
• Εξισώσεις που συνδέουν θερμοδυναμικές συναρτήσεις με μεταβλητές
του συστήματος
• Οι εξισώσεις αυτές ανήκουν σε μια ευρύτερη οικογένεια εξισώσεων οι
οποίες καλούνται καταστατικές εξισώσεις (constitutive equations).
• Η ανάπτυξη αυτών των καταστατικών εξισώσεων επιτυγχάνεται σε 3
στάδια:
• Βήμα 1  εκτέλεση περαμάτων/αναγνώριση σημαντικών παραμέτρων
• Βήμα 2  ανάλυση πειραμάτων/ανάπτυξη μακροσκοπικών καταστατικών
εξισώσεων
• Βήμα 3  έλεγχος της συμφωνίας/ασυμφωνίας των πειραματικών
μετρήσεων/θεωρητικών

28. Καταστατικές Εξισώσεις
• Το μοντέλο των τέλειων αερίων (Pv = RT)
• Ειδική θερμοχωρητικότητα υπό σταθερό όγκο
• Ειδική θερμοχωρητικότητα υπό σταθερή πίεση

29. Παράδειγμα
• Στο αυτόκλειστο σταθερού όγκου του σχήματος τοποθετείται καθαρός δι-
μεθυλ-αιθέρας (DME) σε αέρια μορφή και το σύστημα διατηρείται σε
σταθερή θερμοκρασία 552 o
C. Στις συνθήκες του πειράματος ο DME
διασπάται σύμφωνα με την αντίδραση
CH3OCH3  CH4 + CO + H2
• Στον παρακάτω πίνακα δίνονται τα πειραματικά δεδομένα για την εξέλιξη
της πίεσης του δοχείου ως συνάρτηση του χρόνου για την μετατροπή του
DME σε μεθάνιο. Η αντίδραση πιστεύεται ότι είναι πρώτης τάξης ως προς
την συγκέντρωση του DME: r = kcDME όπου k ([=] 1/s) σταθερά που
εξαρτάται μόνο από την θερμοκρασία. Να ελέγξετε εάν η παραπάνω
εξίσωση ρυθμού (καταστατική εξίσωση) περιγράφει ικανοποιητικά τα
πειραματικά δεδομένα.

30. Λύση

31. Διαφορικά ισοζύγια Μάζας & Ενέργειας
• Ισοζύγιο σε διαφορικό όγκο ελέγχου
Θ(x,t) = u(x,t)dV
• [Συσσώρευση στο εσωτερικό του Ο.Ε.] =
• [ρυθμός εισροής διαμέσου της Ε.Ο.Ε] –
• [ρυθμός εκροής διαμέσου της Ε.Ο.Ε.] +
• [Καθαρός Ρυθμός παραγωγής στο
εσωτερικό του Ο.Ε.]

32. • Επιμέρους ανάλυση
• Ο όρος συσσώρευσης:
• Ο δεύτερος μηχανισμός περιλαμβάνει την μεταφορά μιας ιδιότητας μέσω
της μακροσκοπικής μετακίνησης του ρευστού

33. Εξισώσεις ισοζυγίου ενέργειας και μάζα
συστατικού σε διμερές μίγμα
• Στην περίπτωση όπου η ιδιότητα ψ συμβολίζει την συγκέντρωση ενός
συστατικού Α σε διμερές μίγμα τότε ψ = cA.
• Η εξίσωση μεταφοράς με μοριακό μηχανισμό (Fick):

34. Παράδειγμα
• Μικροοργανισμός κυλινδρικού σχήματος ακτίνας R και μήκους L με R << L
καταναλώσει οξυγόνο με σταθερό ρυθμό ομοιόμορφα στο σώμα του. Ο
μικροοργανισμός λαμβάνει το οξυγόνο από το περιβάλλον του (το οξυγόνο
έχει σταθερή συγκέντρωση στην εξωτερική επιφάνεια του μικροοργανισμό
• Η διάχυση του οξυγόνου στο σώμα του μικροοργανισμού ακολουθεί τον
νόμο του Fick με σταθερό συντελεστή διάχυση
• Να αναπτύξετε το μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει την συγκέντρωση
του οξυγόνου στον μικροοργανισμό:
• Χρησιμοποιώντας το διαφορικό ισοζύγιο μάζας
• Ορίζοντας διαφορικό όγκο ελέγχου μορφής δακτυλίου και αναπτύσσοντας
ισοζύγιο μάζας του οξυγόνου

36. Λύση