1. Тема 3
1 Численное интегрирование
xf
x0
dxxfJ
b
a
ba
af
bf
abafI1
abbfI 2
ab
ba
fI
2
3
2
ba

2. составные формулы прямоугольников
xf
x0 ba
ixf
1ixf
1
0
1
0
1
1
0
1
1
n
i
i
n
i
ii
n
i
iiin xf
n
ab
hxfxxxfI
n
i
in xf
n
ab
I
1
2
1
0 2
1
3
n
i
in xf
n
ab
I
ix 1ix... ...
bxxxa nh ...10

3. погрешность составных формул
IJfR
ii
b
a
n
i
in xxxfdxxffR 1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
n
i
ni
n
i
ii
x
x
fRhxfdxxf
i
i
1
)(1
i
i
x
x
ini dxxfxffR
1
)...
2
1
(
2
i
i
x
x
iiiiii dxxfxxxfxxxfxf
раскладываем в ряд Тейлора подынтегральную функцию

4. 1
0
3
2
1
6
1
2
n
i
iin hf
h
xffR
Mxf
bax ,
maxпусть справедливо
1
...
32
1
2
32
i
i
x
x
i
i
i
i
xx
xf
xx
xf
...
32
1
2
32
h
xf
h
xf ii
h
abM
hh
M
fR
n
i
n
22
1
0
1
получили формулу первого порядка аппроксимации

5. Составная формула трапеций
xf
x0 ba
af
bf
ab
bfaf
I
2
4
Задание: выяснить порядок погрешности формулы правых прямоугольников и
центральных прямоугольников.
1
0
1
14
2
n
i
i
ii
n h
xfxf
I
1
1
04
2
n
i
i
n
n
n f
ff
n
ab
I
1ixf
ixf
ix 1ix... ...

6. погрешность формулы трапеций
1
1
0
14
2
i
b
a
n
i
ii
n h
xfxf
dxxffR
1
0
4
n
i
ni fR
1
)
2
( 14
i
i
x
x
ii
ni dx
xfxf
xffR
1
...
2
1
(
24
i
i
x
x
ni xxxfxxxfxfR
раскладываем в ряд Тейлора подъинтегральную функцию
1,, ii xfxfxf в точке ,
2
1i
x обозначим xxi
2
1
dx
xxxfxxxfxf
xxxfxxxfxf
ii
ii
)
...
2
1
...
2
1
2
1
2
11
2

7. 1
0
5
3
4
12
n
i
in hΟ
h
xffR
Mxf
bax ,
maxпусть справедливо
...
5!4
1
32
1
53
4 xx
xf
xx
xfR IV
ni
5
2
3
3
2
1
826
2
hΟ
hhh
xf i
2
1
0
24
1212
h
abM
hh
M
fR
n
i
n
получили формулу второго порядка аппроксимации
1
...
2!4
1
22
1
42
i
i
x
x
IV
x
h
xfx
h
xf

8. 1
0
1
4 1
n
i
x
x
in
i
i
dxxLxffR
ii
i
i
ii
i
ii
xx
xx
xf
xx
xx
xfxL
1
1
1
1
1
Подъинтегральную функцию заменяем многочленом Лагранжа
11
2
ii
i
i xxxx
f
xR
h
ffh
h
fh
h
f
dxxL iiii
x
x
i
i
i 222
1
2
1
2
1
1
формула трапеции
11
1
1
0
1
0
1
4
2
i
i
i
i
x
x
ii
n
i
i
n
i
x
x
in dxxxxx
f
dxxRfR
Задание: вывести формулу погрешности fRn
4

9. xLxf i2
формула Симпсона
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
iiii
ii
i
iiii
ii
ii
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xfxL
iiii
ii
i
xxxx
xxxx
xf
1
2
11
2
1
1
222
1
2
1
1
2
1
2
11
hh
xxxx
f
h
h
xxxx
fdxxL ii
i
x
x
ii
i
x
x
i
i
i
i
i
dx
h
h
xxxx
f
ii
i
2
2
1
1

10. dxxxxx
i
i
x
x
ii
1
1
62323
333
1
23
hhh
x
xxx
h
xx
i
iii
1
1
2
1
i
i
x
x
ii
dxxxxx
22
1
h
xi
1283
2
223
33
1
2
2
1
3
2
1 hh
x
xxx
h
xx
i
iii
hxi

11. 1
2
1
i
i
x
x ii dxxxxx
2
h
xi
1243223
333
1
23
hhh
x
xxxhxx
i
iii
2
3
1
3
2
12
3
2
12
2
6
4
12
2
1
h
h
f
h
f
h
h
fdxxL iii
x
x
i
i
i
1
2
14
6
iii fff
h
1
1
1
0 2
10
1
0
1
2
1
5
42
6
4
6
n
i
n
i
iin
n
i
iiin ffff
n
ab
fff
h
I

12. погрешность формулы Симпсона
b
a
n
i
iiin fff
h
dxxffR
1
0
1
2
1
5
4
6
1
0
5
n
i
ni fR
1
)4
6
( 1
2
1
5
i
i
x
x
iiini dxxfxfxf
h
xffR
Задание: вывести формулу погрешности интегрирования по формуле Симпсона
двумя способами: непосредственно вычисляя интеграл (*) и интегрируя
погрешность используемой интерполяционной формулы Лагранжа.
xLxf i2

13. xLxf i2
Третий способ вычисления погрешности формулы Симпсона
1
0
14
2
n
i
ii
n h
xfxf
I
xLxf i1
- для формулы трапеций
- для формулы Симпсона
424
hΟChfRn
1
0
5
3
4
12
n
i
in hΟ
h
xffR
1
0
1
2
1
2
1
4
2
2222
n
i
iiii
n
hffhff
I
- с шагом h
- с шагом h/2
4
2
4
2
2
hΟ
h
CfR n

14. 1
0
1
1
0
1
2
1
2
1
44
2
23223
2
3
1
3
4 n
i
ii
n
i
iiii
nn
ffhffffh
II
4244
hΟChIJfR nn
4
2
4
2
4
2
4
hΟ
h
CIJfR nn
4
44
2
4
43 hΟIIJ nn
444
2
3
1
3
4
hΟIIJ nn
1
0
1
2
14
6
n
i
iii fff
h

15. Задание: доказать, что квадратурная формула Симпсона точна
для любого многочлена 3-ей степени.

16. 2 Квадратурные формулы интерполяционного типа
Рассмотрим
заданная весовая функция
достаточно гладкая функция
где коэффициенты формулы –
Очевидно, формулы
dxxfxJ
b
a
n
k
kk xfcI
0
.0, xx
.xf
.,, baxc kk
n
ijj ji
j
n
i
in
xx
xx
xfxL
,00
dx
xx
xx
xxfI
b
a
n
ijj ji
j
n
i
i
,00
kс
.2,1,0,1при,,,, 54321
nxIIIII

17. Замена переменных
в частности
в новых переменных
dxx
n
f
xdxxLxfxfR
b
a
n
n
b
a
nn 1
1
!1
t
abba
xtbaxk
22
,1,1,
t
abba
xi
22
n
n
nn tttt
ab
xxxxx ...
2
... 0
1
01
1
1
,0,0 222
n
ijj ji
jb
a
n
ijj ji
j
i dx
tt
tt
t
abbaab
dx
xx
xx
xс
dxttttt
abbaab
n
M
fR n
n
n
1
1
0
2
...
222!1
Mxf n
bax
1
,
max