1. http://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed1
‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ‬ ‫اﻟﺤﺴﺎب‬–‫اﻟﺠﺰء‬1
‫اﻟﻤﻨﺘﻈﺮة‬ ‫اﻟﻘﺪرات‬
*-‫ﻧﺴﺒﻬﺎ‬ ‫ﺑﺄﺣﺪ‬ ‫ﻣﺤﺪدة‬ ‫ازاوﻳﺔ‬ ‫ﻣﻘﺮﺑﺔ‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﻟﺘﺤﺪﻳﺪ‬ ‫اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ‬ ‫اﻟﻤﺤﺴﺒﺔ‬ ‫اﺳﺘﻌﻤﺎل‬
‫واﻟﻌﻜﺲ‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬.
*-‫اﻟﻌﻼﻗﺎت‬ ‫ﻣﺨﺘﻠﻒ‬ ‫وﺗﻄﺒﻴﻖ‬ ‫اﻻﻋﺘﻴﺎدﻳﺔ‬ ‫ﻟﻠﺰواﻳﺎ‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫اﻟﻨﺴﺐ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫اﻟﺘﻤﻜﻦ‬
‫اﻷوﻟﻰ‬ ‫اﻟﺪورة‬
15‫ﺳﺎﻋﺔ‬
I-‫ﺗﺬآﻴﺮ‬‫اﺿﺎﻓﺎت‬ ‫و‬
1-‫ﻟﻠﺘ‬ ‫أﻧﺸﻄﺔ‬‫ﺬآﻴﺮ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬1
‫ﺣﻴﺚ‬ ‫اﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬4OA =‫و‬3AB =‫و‬H
‫اﻟﻌﻤﻮدي‬ ‫اﻟﻤﺴﻘﻂ‬‫ﻟـ‬A‫ﻋﻠﻰ‬( )OB:
1-‫أﺣﺴﺐ‬OB
2-‫أ‬/‫أﺣﺴﺐ‬( )cos AOB‫ﻣﻘﺮﺑﺔ‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫اﺳﺘﻨﺘﺞ‬ ‫ﺛﻢ‬
‫اﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫ﻟﻘﻴﺎس‬AOB 
 
‫ب‬/‫اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‬ ‫اﺳﺘﻨﺘﺞ‬OH
3-‫أﺣﺴﺐ‬( )tan AOB‫اﺳﺘﻨﺘﺞ‬ ‫ﺛﻢ‬( )sin AOB
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬2
‫اﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬‫ﺑﺤﻴﺚ‬5AB =‫و‬4EF =
B
A
O
E F
‫أﺣﺴﺐ‬( )cos AOE‫اﺳﺘﻨﺘﺞ‬ ‫ﺛﻢ‬( )sin AOE
1-‫اﻟﺰواﻳﺎ‬ ‫ﻗﻴﺎس‬ ‫وﺣﺪات‬‫و‬‫اﻻ‬‫ﻗﻮ‬‫ا‬‫س‬‫اﻟ‬‫ﻬﻨﺪﺳﻴﺔ‬–‫ﻣﺮآﺰﻳﺔ‬ ‫زاوﻳﺔ‬
1-‫أﻧﺸﻄﺔ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ‬( )C‫ﻣﺮآﺰهﺎ‬ ‫داﺋﺮة‬O‫ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ‬ ‫و‬R.‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬A‫و‬B‫و‬C
‫و‬'A‫و‬'B‫و‬M‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﻘﻂ‬( )C‫ﺑﺤﻴﺚ‬α‫اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ‬ ‫ﻟﻠﺰاوﻳﺔ‬ ‫ﻗﻴﺎس‬
AOM 
 
‫ﺑﺎﻟﺪرﺟﺔ‬
1-‫اﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫اﻟﺠﺪول‬ ‫اﺗﻤﻢ‬
‫اﻟﻤﺮآﺰﻳﺔ‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺔ‬'AOA 
 
AOB 
 
AOC 
 
'AOB
∨ 
 
 
AOM 
 
‫ﺑﺎﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫اﻟﻤﺮآﺰﻳﺔ‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫ﻗﻴﺎس‬α°
‫اﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ‬ ‫اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ‬ ‫اﻟﻘﻮس‬ ‫ﻃﻮل‬
‫ﺑﻬﺎ‬
l
2-‫أن‬ ‫ﺑﻴﻦ‬180°‫و‬90°‫و‬135°‫و‬270°‫ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺔ‬Rπ‫و‬
2
R
π
‫و‬
3
4
R
π
‫و‬
3
2
R
π
‫اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬
3-‫ﺣﺪد‬l‫ﺑﺪﻻﻟﺔ‬α‫و‬π‫و‬R
4-‫ﻟﺘﻜﻦ‬'M‫ﻧﻘﻄ‬‫ﺔ‬‫ﻣﻦ‬( )C‫اﻟﻬﻨﺪ‬ ‫اﻟﻘﻮس‬ ‫ﻃﻮل‬ ‫ﺣﻴﺚ‬‫ﺳﻴﺔ‬[ ]'AM‫هﻮ‬R.

2. http://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed2
‫ﺣﺪد‬β‫اﻟﻤﺮآﺰﻳﺔ‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫ﻗﻴﺎس‬'AOM 
 
‫ﺑﺎﻟﺪرﺟﺔ‬.
2-‫اﻟﺰواﻳﺎ‬ ‫ﻗﻴﺎس‬ ‫وﺣﺪات‬
‫اﻟﻐﺮ‬ ‫و‬ ‫اﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫هﻲ‬ ‫وﺣﺪات‬ ‫ﺛﻼث‬ ‫هﻨﺎك‬ ‫اﻟﺰواﻳﺎ‬ ‫ﻟﻘﻴﺎس‬‫اﻟﺮادﻳﺎن‬ ‫و‬ ‫اد‬.
‫أ‬/‫اﻟﺮادﻳﺎن‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫ﻓﻲ‬ ،‫ﻣﺮآﺰﻳﺔ‬ ‫زاوﻳﺔ‬ ‫ﻗﻴﺎس‬ ‫هﻮ‬ ‫اﻟﺮادﻳﺎن‬R‫ﻃﻮﻟﻬﺎ‬ ‫داﺋﺮﻳﺔ‬ ‫ﻗﻮﺳﺎ‬ ‫ﺗﺤﺼﺮ‬ ،R.
‫ﺑـ‬ ‫ﻟﻬﺎ‬ ‫ﻧﺮﻣﺰ‬rd‫أو‬rad
‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬200 180rd grπ = =)gr:‫ﻟﻠﻐﺮاد‬ ‫ﻳﺮﻣﺰ‬(
‫ب‬/‫ﻧﺘﻴﺠﺔ‬
‫آﺎن‬ ‫إذا‬x‫و‬ ‫ﺑﺎﻟﺮادﻳﺎن‬ ‫زاوﻳﺔ‬ ‫ﻗﻴﺎس‬y‫و‬ ‫ﺑﺎﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ‬z‫ﻓﺎن‬ ‫ﺑﺎﻟﻐﺮاد‬ ‫ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ‬
180 200
x y z
π
= =
‫ج‬/‫هﻨﺪﺳﻴﺔ‬ ‫ﻗﻮس‬ ‫ﻗﻴﺎس‬‫ﺗﺤﺼﺮﻩ‬ ‫اﻟﺘﻲ‬ ‫اﻟﻤﺮآﺰﻳﺔ‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫ﻗﻴﺎس‬ ‫هﻮ‬ ‫هﻨﺪﺳﻴﺔ‬ ‫ﻗﻮس‬ ‫ﻗﻴﺎس‬.
‫د‬/‫هﻨﺪﺳﻴﺔ‬ ‫ﻗﻮس‬ ‫ﻃﻮل‬
‫آﺎن‬ ‫إذا‬α،‫ﺑﺎﻟﺮادﻳﺎن‬ ‫هﻨﺪﺳﻴﺔ‬ ‫ﻗﻮس‬ ‫ﻗﻴﺎس‬‫ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫ﻓﻲ‬R‫هﻮ‬ ‫اﻟﻘﻮس‬ ‫هﺬﻩ‬ ‫ﻃﻮل‬ ‫ﻓﺎن‬ ،Rα.
‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
‫ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫ﻓﻲ‬ ،‫هﻨﺪﺳﻴﺔ‬ ‫ﻗﻮس‬ ‫ﻃﻮل‬1‫ﻗﻴﺎس‬ ‫هﻮ‬‫ﺗﺤﺼﺮهﺎ‬ ‫اﻟﺘﻲ‬ ‫اﻟﻤﺮآﺰﻳﺔ‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺔ‬.
‫ﺗﻄﺒﻴﻘﻴﺔ‬ ‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬1
‫اﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫اﻟﺠﺪول‬ ‫اﺗﻤﻢ‬
‫ﺑﺎﻟﺪرﺟﺔ‬ ‫زاوﻳﺔ‬ ‫ﻗﻴﺎس‬90°45°30°0°
‫ﺑﺎﻟﺮادﻳﺎن‬ ‫ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ‬
3
π
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬2
‫ﻟﻴﻜﻦ‬ABC‫ﺣﻴﺚ‬ ‫اﻻﺿﻼع‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوي‬ ‫ﻣﺜﻠﺜﺎ‬5AB cm=‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬ ‫و‬( )C‫ﻣﺮآﺰﻩ‬ ‫اﻟﺘﻲ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬A‫ﺗﻤﺮ‬ ‫و‬
‫ﻣﻦ‬B.‫أﺣﺴﺐ‬l‫اﻟﻤﺮآﺰﻳﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫اﻟﻤﺤﺼﻮرة‬ ‫اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ‬ ‫اﻟﻘﻮس‬ ‫ﻃﻮل‬BAC 
 
II-‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬
1-‫داﺋﺮة‬ ‫ﺗﻮﺟﻴﻪ‬-‫ﻣﺴﺘﻮى‬ ‫ﺗﻮﺟﻴﻪ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ‬( )C‫داﺋﺮة‬‫ﻣﺮآﺰهﺎ‬O‫ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ‬ ‫و‬R‫و‬I‫ﻧﻘﻄﺔ‬‫ﻣﻦ‬( )C.+
‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﻨﻄﻠﻖ‬ ‫أن‬ ‫أردﻧﺎ‬ ‫ﻟﻮ‬I‫ﺣﻮل‬ ‫ﻟﻨﺪور‬( )C‫ﻣﻨﺤﻴﻴﻦ‬ ‫أﻣﺎم‬ ‫أﻧﻔﺴﻨﺎ‬ ‫ﻟﻮﺟﺪﻧﺎ‬ ،.
‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺗﻮﺟﻴﻪ‬( )C‫ﻣﻮﺟﺒﺎ‬ ‫ﻣﻨﺤﻰ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻴﻴﻦ‬ ‫أﺣﺪ‬ ‫اﺧﺘﻴﺎر‬ ‫هﻮ‬)‫ﻣﺒﺎﺷﺮا‬ ‫أو‬(
‫ﺳﺎﻟﺒﺎ‬ ‫ﻣﻨﺤﻰ‬ ‫اﻵﺧﺮ‬ ‫و‬)‫ﻣﺒﺎﺷﺮ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬ ‫أو‬.(
‫اﻟﺴﺎﻋﺔ‬ ‫ﻋﻘﺎرب‬ ‫ﻟﺤﺮآﺔ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎآﺲ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻰ‬ ‫اﻟﻤﻮﺟﺐ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻰ‬ ‫ﻧﺄﺧﺬ‬ ‫ﻋﺎدة‬.
‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬I‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫أﺻﻞ‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ‬( )C.
‫ﻣﻮﺟﻪ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫إن‬ ‫ﻧﻘﻮل‬ ‫ﻓﺈﻧﻨﺎ‬ ‫ﻣﻮﺣﺪا‬ ‫ﺗﻮﺟﻴﻬﺎ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫دواﺋﺮ‬ ‫ﺟﻤﻴﻊ‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ‬.
2-‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬‫ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫هﻲ‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬1‫ﻣﻮﺟﺒﺎ‬ ‫ﺗﻮﺟﻴﻬﺎ‬ ‫ﻣﻮﺟﻬﺔ‬ ‫و‬ ‫أﺻﻞ‬ ‫ﺑﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﻣﺰودة‬.
+
I
III–‫اﻷﻓ‬‫ﺎ‬‫ﺻ‬‫ﻴ‬‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴ‬ ‫ﻞ‬‫ﺔ‬.
1-‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫اﻷﻓﺼﻮل‬‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ‬‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻟﻨﻘﻄﺔ‬
‫ﻟ‬‫ﺘﻜﻦ‬( )C‫أﺻﻠﻬﺎ‬ ‫ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫داﺋﺮة‬I.‫اﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬] ];π π−‫ﺣﻴﺚ‬0‫أﻓﺼﻮل‬I‫اﻟﻌﻤﻮدي‬ ‫اﻟﻤﺤﻮر‬ ‫ﻓﻲ‬
‫ﻋﻠﻰ‬( )OI.‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫وﺷﻌﺎع‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻣﺤﻴﻂ‬ ‫ﺣﺪد‬.
‫ﻟﻠﻤﺠﺎل‬ ‫اﻟﻤﻤﺜﻠﺔ‬ ‫اﻟﻘﻄﻌﺔ‬ ‫ﻟﻔﻔﻨﺎ‬ ‫إذا‬] ];π π−‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬( )C‫ﻋﺪد‬ ‫آﻞ‬ ‫أن‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ‬α‫ﻣﻦ‬] ];π π−‫ﻳﻨﻄﺒﻖ‬
‫وﺣﻴﺪة‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻣﻊ‬M‫ﻣﻦ‬( )C‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫آﻞ‬ ‫و‬M‫ﻣﻦ‬( )C‫وﺣﻴﺪ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﺗﻤﺜﻞ‬α‫ﻣﻦ‬] ];π π−
1O

3. http://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed3
‫اﻟﻌﺪد‬α‫اﻟﺮﺋﻴﺴ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫اﻻﻓﺼﻮل‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ‬‫ﻲ‬‫ﻟـ‬M
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫و‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫ﻟ‬‫ﺘﻜﻦ‬( )C‫داﺋﺮة‬‫أﺻﻠﻬﺎ‬ ‫ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‬I.
‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫آﻞ‬M‫ﻣﻦ‬( )C‫وﺣﻴﺪ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫ﺗﻤﺜﻞ‬α‫ﻣﻦ‬] ];π π−‫آﻞ‬ ‫و‬
‫ﻋﺪد‬α‫ﻣﻦ‬] ];π π−‫وﺣﻴﺪة‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻳﻤﺜﻞ‬M‫ﻣﻦ‬( )C.
‫اﻟﻌﺪد‬α‫اﻟﺮﺋﻴﺴ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫اﻻﻓﺼﻮل‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ‬‫ﻲ‬‫ﻟـ‬M
‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬‫اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫ﻗﻴﺎس‬IOM 
 
‫هﻮ‬α‫رادﻳﺎن‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬1
‫داﺋﺮة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬‫ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‬( )C‫أﺻﻠﻬﺎ‬I.‫اﻟﻨﻘﻂ‬ ‫أﻧﺸﺊ‬A‫و‬B‫و‬C‫و‬
D‫و‬E‫و‬F‫و‬G‫و‬H‫هﻲ‬ ‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻴﺔ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ‬ ‫اﻓﺎﺻﻴﻠﻬﺎ‬ ‫اﻟﺘﻲ‬
6
π
‫و‬
4
π
‫و‬
3
π
‫و‬
3
4
π
‫و‬
6
π
−‫و‬
4
π
−‫و‬
3
π
−‫و‬
3
4
π
−‫اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬2
( )C‫أﺻﻠﻬﺎ‬ ‫ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫داﺋﺮة‬I.‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ‬ ‫اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ‬ ‫ﺣﺪد‬‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻴﺔ‬
‫ﻟﻠﻨﻘﻂ‬A';A; J'; J; I';IB;‫آﻤﺎ‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻤﻤﺜﻠﺔ‬‫ﻳﻠﻲ‬
2-‫اﻷﻓ‬‫ﺎ‬‫ﺻ‬‫ﻴ‬‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴ‬ ‫ﻞ‬‫ﺔ‬‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻟﻨﻘﻄﺔ‬
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬( )C‫أﺻﻠﻬﺎ‬ ‫ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫داﺋﺮة‬I.‫اﻟﻤﺤﻮر‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬( ) ( ),D I E∆ =
‫ﺣﻴﺚ‬( ) ( )OI ⊥ ∆.
‫ﻟﺘﻜﻦ‬‫ﻧﻘﻄﺔ‬M‫ﻣﻦ‬( )C‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫أﻓﺼﻮﻟﻬﺎ‬α.
‫ﻣﻊ‬ ‫ﺗﻨﻄﺒﻖ‬ ‫اﻟﺘﻲ‬ ‫اﻷﻋﺪاد‬ ‫آﻞ‬ ‫ﻟﻨﺤﺪد‬M‫اﻟﻌﺪدي‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﻟﻔﻔﻨﺎ‬ ‫اذا‬
‫ﻋﻠﻰ‬( )C
‫ﻟـ‬ ‫اﻟﻤﻤﺜﻞ‬ ‫اﻟﻌﺪدي‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﻟﻔﻔﻨﺎ‬ ‫اذا‬ ‫اﻧﻨﺎ‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ‬‫ﻋﻠﻰ‬( )C‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬M
‫ﻣﻊ‬ ‫ﺗﻨﻄﺒﻖ‬‫اﻷﻋﺪاد‬
........... 4 ; 2 ; ; 2 ; 4 ..............α π α π α α π α π− − + +
‫ﺗﺴﻤﻰ‬ ‫اﻷﻋﺪاد‬ ‫هﺬﻩ‬ ‫آﻞ‬‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ‬ ‫اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ‬‫ﻟﻨﻘﻄﺔ‬M
‫هﺬﻩ‬ ‫أن‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ‬‫اﻷﻋﺪاد‬‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﻋﻞ‬ ‫ﻋﺎم‬ ‫ﺑﺸﻜﻞ‬ ‫ﺗﻜﺘﺐ‬2kα π+‫ﺣﻴﺚ‬k ∈
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ‬M‫ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬( )C‫أﺻﻠﻬﺎ‬I.‫ﻟﻴﻜﻦ‬ ‫و‬α
‫اﻟ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫أﻓﺼﻮﻟﻬﺎ‬‫ﺮﺋﻴﺴﻲ‬
‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻳﻜﺘﺐ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫آﻞ‬2kα π+‫ﺑﺤﻴﺚ‬k‫ﻣﻦ‬ ‫ﻋﻨﺼﺮ‬
‫ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻴﺎ‬ ‫أﻓﺼﻮﻻ‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ‬M.

4. http://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed4
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ‬ ‫اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ‬ ‫ﺣﺪد‬‫ﻟﻠﻨﻘﻄ‬‫ﺘﻴﻦ‬A‫و‬B‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻴﻴﻦ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻦ‬ ‫اﻻﻓﺼﻮﻟﻴﻦ‬ ‫ذات‬
5
π
‫و‬
2
3
π
−
‫اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬( )C‫أﺻﻠﻬﺎ‬ ‫ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫داﺋﺮة‬I.
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬
34
3
π
‫ﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻲ‬ ‫أﻓﺼﻮل‬M.‫أﻧﺸﺊ‬M
‫ب‬-‫ﺧﺎﺻﻴﺎت‬
‫ﻟﺘﻜﻦ‬M‫ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬( )C‫أﺻﻠﻬﺎ‬I.‫ﻟﻴﻜﻦ‬ ‫و‬α‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫أﻓﺼﻮﻟﻬﺎ‬
‫آﺎن‬ ‫اذا‬ ‫ﺑﻴﻦ‬x‫و‬y‫ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻴﻴﻦ‬ ‫أﻓﺼﻮﻟﻴﻦ‬M‫ﻋﻨﺼﺮ‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ‬ ‫ﻓﺎﻧﻪ‬λ‫ﻣﻦ‬‫ﺑﺤﻴﺚ‬2x y λπ− =
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬-‫آﺎن‬ ‫إذا‬x‫و‬y‫ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻴﻴﻦ‬ ‫أﻓﺼﻮﻟﻴﻦ‬M‫ﻋﻨﺼﺮ‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ‬ ‫ﻓﺎﻧﻪ‬λ‫ﻣﻦ‬‫ﺑﺤﻴﺚ‬2x y λπ− =
‫ﻧﻜﺘﺐ‬ ‫و‬[ ]2x y π≡‫ﻧﻘﺮأ‬ ‫و‬x‫ﻳﺴﺎوي‬y‫ﺑﺘﺮدﻳﺪ‬2π.
-‫آﺎن‬ ‫إذا‬x‫ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻲ‬ ‫أﻓﺼﻮل‬M‫ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ‬ ‫اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ‬ ‫ﺟﻤﻴﻊ‬ ‫ﻓﺎن‬M‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺗﻜﺘﺐ‬
2x k π+‫ﺣﻴﺚ‬k ∈.
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬‫ﺣﺪد‬‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ‬ ‫أﻓﺎﺻﻴﻠﻬﺎ‬ ‫إﺣﺪى‬ ‫اﻟﺘﻲ‬ ‫ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ‬ ‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫اﻷﻓﺼﻮل‬
227
6
π
α
−
=
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬‫اﻟﻨﻘﻂ‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺜﻞ‬; ;C B A‫هﻲ‬ ‫اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ‬ ‫أﻓﺎﺻﻴﻠﻬﺎ‬ ‫اﻟﺘﻲ‬
108 37
; ; 7
12 3
π π
π
−
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬‫اﻟﻨﻘﻂ‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫أﻧﺸﺊ‬kM‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ‬ ‫أﻓﺎﺻﻴﻠﻬﺎ‬ ‫اﻟﺘﻲ‬
4 3
kπ π
− +‫ﺣﻴﺚ‬k ∈.
IV–‫اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬ ‫اﻟﺰواﻳﺎ‬
4-‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﻟﻨﺼﻔﻲ‬ ‫اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺔ‬
‫أ‬-‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫اﻟﻤﻮﺟﻪ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫ﻓﻲ‬‫ﻧﻌﺘﺒ‬‫ﺮ‬[ [;O x‫و‬[ [;O y‫اﻷﺻﻞ‬ ‫ﻧﻔﺲ‬ ‫ﻟﻬﻤﺎ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﻧﺼﻔﻲ‬
‫اﻟﺰوج‬[ [ [ )( ); ; ;O x O y‫ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ‬ ‫ﻟﻬﺎ‬ ‫ﻳﺮﻣﺰ‬ ‫و‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﻟﻨﺼﻔﻲ‬ ‫ﻣﻮﺟﻬﺔ‬ ‫زاوﻳﺔ‬ ‫ﻳﺤﺪد‬( );Ox Oy
‫ب‬-‫ﻣﻮﺟﻬﺔ‬ ‫زاوﻳﺔ‬ ‫ﻗﻴﺎﺳﺎت‬‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﻟﻨﺼﻔﻲ‬
‫وﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ‬( );Ox Oy‫و‬ ، ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﻟﻨﺼﻔﻲ‬ ‫ﻣﻮﺟﻬﺔ‬ ‫زاوﻳﺔ‬( )C
‫ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫داﺋﺮة‬‫ﻣﺮآﺰهﺎ‬O،A‫و‬B‫ﺗﻘﺎﻃﻊ‬ ‫ﻧﻘﻄﺘﻲ‬( )C‫ﻧﺼﻔﻲ‬ ‫و‬
‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬[ [;O x‫و‬[ [;O y‫اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬
‫ﻟﻴﻜﻦ‬α‫و‬β‫ﻟﻠﻨﻘﻄﺘﻴﻦ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻴﻴﻦ‬ ‫أﻓﺼﻮﻟﻴﻦ‬A‫و‬B‫اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬.
‫اﻟﻌﺪد‬β α−‫ﻟﻠﺰاوﻳﺔ‬ ‫ﻗﻴﺎﺳﺎ‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ‬‫اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬( );Ox Oy.
‫ﺣﻘﻴ‬ ‫ﻋﺪد‬ ‫آﻞ‬‫اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻳﻜﺘﺐ‬ ‫ﻘﻲ‬2kβ α π− +‫ﺣﻴﺚ‬k ∈
‫ﻟﻠﺰاوﻳﺔ‬ ‫ﻗﻴﺎﺳﺎ‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ‬‫اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬( );Ox Oy.
‫اﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫ﻟﻘﻴﺎﺳﺎت‬ ‫ﻧﺮﻣﺰ‬( );Ox Oy‫ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ‬( );Ox Oy‫ﻧﻜﺘﺐ‬( ); 2Ox Oy k kβ α π= − + ∈
‫أﻳﻀﺎ‬ ‫ﻧﻜﺘﺐ‬ ‫و‬( ) [ ]; 2Ox Oy β α π≡ −

5. http://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed5
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫و‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫اﻟﻤﺠﺎل‬ ‫إﻟﻰ‬ ‫ﻳﻨﺘﻤﻲ‬ ‫وﺣﻴﺪ‬ ‫ﻗﻴﺎس‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﻟﻨﺼﻔﻲ‬ ‫ﻣﻮﺟﻬﺔ‬ ‫زاوﻳﺔ‬ ‫ﻟﻜﻞ‬] ];π π−‫اﻟﻘﻴﺎس‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ‬
‫اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫ﻟﻬﺬﻩ‬ ‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ‬.
‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬
‫آﺎن‬ ‫إذا‬θ‫اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬ ‫ﻟﻠـﺰاوﻳﺔ‬ ‫ﻗﻴﺎس‬( );Ox Oy‫ﻓﺎن‬2kθ π+‫ﺣﻴﺚ‬k ∈‫ﻟﻠﺰاوﻳﺔ‬ ‫ﻗﻴﺎس‬( );Ox Oy.
‫آﺎن‬ ‫إذا‬α‫و‬β‫ﻟﻠﺰاو‬ ‫ﻗﻴﺎﺳﻴﻦ‬‫اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬ ‫ﻳﺔ‬( );Ox Oy‫ﻓﺎن‬0 2α β π− ≡
‫أي‬( )/ 2k kα β π∈ − =
‫ﻣﻼﺣﻈﺎت‬
*‫آﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬M‫أﺻﻠﻬﺎ‬ ‫ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬I‫ﻣﺮآﺰهﺎ‬ ‫و‬O‫ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ‬ ‫اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ‬ ‫ﻓﺎن‬M‫هﻲ‬
‫اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫ﻗﻴﺎﺳﺎت‬( );OI OM‫ﻟـ‬ ‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫اﻻﻓﺼﻮل‬ ‫أن‬ ‫و‬M‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ‬ ‫اﻟﻘﻴﺎس‬ ‫هﻮ‬
‫ﻟ‬‫اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬ ‫ﻠﺰاوﻳﺔ‬( );OI OM
*‫اﻟﻤﻮﺟﻬﺔ‬ ‫ﻟﻠﺰاوﻳﺔ‬ ‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ‬ ‫ﻟﻠﻘﻴﺎس‬ ‫اﻟﻤﻄﻠﻘﺔ‬ ‫اﻟﻘﻴﻤﺔ‬( );Ox Oy‫اﻟﻬﻨﺪﺳﻴﺔ‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫ﻗﻴﺎس‬ ‫هﻲ‬( )xOy.
‫اﻟﺨﺎﺻﺔ‬ ‫اﻟﺰواﻳﺎ‬ ‫ﺑﻌﺾ‬
‫اﻟﻤﻨﻌﺪﻣﺔ‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺔ‬( ) [ ]; 0 2Ox Ox π≡
‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴ‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺔ‬‫ﻤﻴﺔ‬( ) [ ]; 2Ox Oy π π≡( ) [ ]; 2Oy Ox π π≡
‫اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺔ‬-( ) [ ]; 2
2
Ox Oy
π
π≡.
‫اﻟﺰاوﻳﺔ‬( );Ox Oy‫ﻣﻮﺟﺒﺔ‬ ‫ﻗﺎﺋﻤﺔ‬ ‫زاوﻳﺔ‬
-( ) [ ]; 2
2
Ox Oy
π
π≡ −.
‫اﻟﺰاوﻳﺔ‬( );Ox Oy‫ﺳﺎﻟﺒﺔ‬ ‫ﻗﺎﺋﻤﺔ‬ ‫زاوﻳﺔ‬.
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
1-‫اﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫ﻧﻔﺲ‬ ‫ﻗﻴﺎﺳﺎت‬ ‫ﺗﻤﺜﻞ‬ ‫اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫اﻟﻘﻴﺎﺳﺎت‬ ‫أن‬ ‫ﺑﻴﻦ‬
25 143 601
; ;
6 6 6
π π π−
2-‫اﻟﻘﻴﺎﺳﺎت‬ ‫أﺣﺪ‬ ‫ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ‬ ‫ﻣﻮﺟﻬﺔ‬ ‫ﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ‬ ‫اﻟﻘﻴﺎس‬ ‫هﻮ‬ ‫ﻣﺎ‬
25 52
; ; 36 ; 47
3 5
π π
π π− −
3-‫ﻣﻮﺟﻬﺔ‬ ‫زاوﻳﺔ‬ ‫أﻧﺸﺊ‬( );Ox Oy‫ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ‬
234
5
π−
.
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬‫أﻧﺸﺊ‬ABC‫ﺣﻴﺚ‬ ‫اﻷﺿﻼع‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوي‬ ‫ﻣﺜﻠﺚ‬( ) [ ]; 2
3
AB AC
π
π≡ −
‫ج‬-‫وﻧﺘﺎﺋﺠﻬﺎ‬ ‫ﺷﺎل‬ ‫ﻋﻼﻗﺔ‬
‫ﺷﺎل‬ ‫ﻋﻼﻗﺔ‬
‫آﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬[ [;O x‫و‬[ [;O y‫و‬[ [;O z‫ﻓﺎن‬ ‫اﻷﺻﻞ‬ ‫ﻧﻔﺲ‬ ‫ﻟﻬﺎ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫أﻧﺼﺎف‬ ‫ﺛﻼﺛﺔ‬
( ) ( ) ( ) [ ]; ; ; 2Ox Oy Oy Oz Ox Oz π+ ≡
‫ﻧﺘﺎﺋﺞ‬
*‫آﺎن‬ ‫اذا‬[ [;O x‫و‬[ [;O y‫ﻓﺎن‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﻧﺼﻔﻲ‬( ) ( ) [ ]; ; 2Ox Oy Oy Ox π≡ −
*‫آﺎﻧﺖ‬ ‫اذا‬[ [;O x‫و‬[ [;O y‫و‬[ [;O z‫ﺗﺤﻘﻖ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫أﻧﺼﺎف‬ ‫ﺛﻼﺛﺔ‬( ) ( ) [ ]; ; 2Ox Oy Ox Oz π≡
‫ﻓﺎن‬[ [;O x‫و‬[ [;O y‫ﻣﻨﻄﺒﻘﺎن‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﻧﺼﻔﻲ‬.

6. http://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed6
‫آﺎن‬ ‫اذا‬ ‫أﻧﻪ‬ ‫ﻳﻌﻨﻲ‬ ‫هﺬا‬ ‫و‬[ [Ox‫و‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬α‫وﺣﻴﺪ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﻧﺼﻒ‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ‬ ‫ﻓﺎﻧﻪ‬ ‫ﺣﻘﻴﻘﻴﺎ‬ ‫ﻋﺪدا‬
[ [;O y‫ﺑﺤﻴﺚ‬( ) [ ]; 2Ox Oy α π≡.
‫د‬-‫ﻣﻨﻌﺪﻣﺘﻴﻦ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬ ‫زوج‬ ‫زاوﻳﺔ‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ‬u‫و‬v‫ﻏﻴﺮ‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬‫اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻣﻨﻌﺪﻣﺘﻴﻦ‬
‫اﻟﻤﻮﺟﻪ‬.‫و‬[ [;O x‫و‬[ [;O y‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﻮﺟﻬﻴﻦ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﻧﺼﻔﻲ‬
‫اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬‫ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬u‫و‬v.
‫اﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬ ‫زوج‬ ‫زاوﻳﺔ‬( );u v‫اﻟ‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫هﻲ‬‫ﻤﻮﺟﻬﺔ‬( );Ox Oy
‫ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ‬ ‫ﻟﻬﺎ‬ ‫ﻳﺮﻣﺰ‬ ‫و‬( );u v.
‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
‫اﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫ﻗﻴﺎﺳﺎت‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬( );u v‫ﻗﻴﺎﺳﺎت‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫هﻲ‬
‫اﻟﺰاوﻳﺔ‬( );Ox Oy.
‫وﻧﺘﺎﺋﺠﻬﺎ‬ ‫ﺷﺎل‬ ‫ﻋﻼﻗﺔ‬
‫ﺷﺎل‬ ‫ﻋﻼﻗﺔ‬
‫آﺎﻧﺖ‬ ‫إذا‬u‫و‬v‫و‬w‫ﺛﻼﺛﺔ‬‫ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﺎت‬‫ﻓﺎن‬
( ) ( ) ( ) [ ]; ; ; 2u v v w u w π+ ≡
‫ﻧﺘﺎﺋﺞ‬
*‫آﺎن‬ ‫اذا‬u‫و‬v‫ﻣﻨﻌﺪﻣﺘﻴﻦ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬‫ﻓﺎن‬( ) ( ) [ ]; ; 2u v u v π≡ −
*‫آﺎﻧﺖ‬ ‫اذا‬u‫و‬v‫و‬w‫ﺛﻼﺛﺔ‬‫ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬ ‫ﻣﺘﺠﻬﺎت‬‫ﺗﺤﻘﻖ‬( ) ( ) [ ]; ; 2u v u w π≡
‫ﻓﺎن‬v‫و‬w‫اﻟﻤﻨﺤﻰ‬ ‫ﻧﻔﺲ‬ ‫وﻟﻬﻤﺎ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ‬.
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ‬( )C‫ﻣﺮآﺰهﺎ‬ ‫ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫داﺋﺮة‬O‫أﺻﻠﻬﺎ‬ ‫و‬I.‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬( )C‫ﺑﺄﻓﺎﺻﻴﻠﻬﺎ‬ ‫اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ‬ ‫اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫اﻟﻨﻘﻂ‬
‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ‬( )
17 23 3
3 4 2
F E B A
π π π
π
−     
     
     
‫ﻣﻨﻬﻦ‬ ‫ﻟﻜﻞ‬ ‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ‬ ‫اﻟﻘﻴﺎس‬ ‫ﺣﺪد‬ ‫ﺛﻢ‬ ، ‫اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺎ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻟﻜﻞ‬ ‫ﻗﻴﺎﺳﺎ‬ ‫أﻋﻂ‬
( ) ( ) ( ) ( ); ; ; ; ; ; ;OE OF OA OE OB OA OA OA
V-‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫اﻟﻨﺴﺐ‬
1-‫اﻟﻤﻤﻨ‬ ‫اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ‬ ‫اﻟﻤﻌﻠﻢ‬‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫اﻟﻤﺮﺗﺒﻂ‬ ‫ﻈﻢ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ‬( )C‫ﻣﺮآﺰهﺎ‬ ‫ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫داﺋﺮة‬O‫أﺻﻠﻬﺎ‬ ‫و‬I.
‫وﻟﺘﻜﻦ‬J‫ﻣﻦ‬( )C‫ﺑﺤﻴﺚ‬( );OI OJ‫ز‬‫ﻣﻮﺟﺒﺔ‬ ‫ﻗﺎﺋﻤﺔ‬ ‫اوﻳﺔ‬
‫اﻟﻤﻌﻠﻢ‬( ); ;O OI OJ‫اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ‬ ‫اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ‬ ‫اﻟﻤﻌﻠﻢ‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ‬
‫اﻟﻤﺒﺎﺷﺮ‬‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫اﻟﻤﺮﺗﺒﻂ‬( )C.
‫ﻟﺘﻜﻦ‬'J‫ﻣﻦ‬( )C‫ﺑﺤﻴﺚ‬( ); 'OI OJ‫ﻗ‬ ‫زاوﻳﺔ‬‫ﺳﺎﻟﺒﺔ‬ ‫ﺎﺋﻤﺔ‬.
‫اﻟﻤﻌﻠﻢ‬( ); ; 'O OI OJ‫اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ‬ ‫اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ‬ ‫اﻟﻤﻌﻠﻢ‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ‬
‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫اﻟﻤﺮﺗﺒﻂ‬ ‫اﻟﻤﺒﺎﺷﺮ‬ ‫اﻟﻐﻴﺮ‬( )C.

7. http://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed7
2-‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫اﻟﻨﺴﺐ‬
2-1‫ﺗﻌﺎرﻳﻒ‬
‫ﻟﺘﻜﻦ‬( )C‫و‬ ‫ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫داﺋﺮة‬( ); ;O OI OJ‫اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ‬ ‫اﻟﻤﻌﻠﻢ‬
‫ﺑﻬﺎ‬ ‫اﻟﻤﺮﺗﺒﻂ‬ ‫اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ‬.‫ﻟﺘﻜﻦ‬M‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬( )C
‫و‬x‫ﻟﻬﺎ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻴﺎ‬ ‫أﻓﺼﻮﻻ‬.‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬C‫ﻟـ‬ ‫اﻟﻌﻤﻮدي‬ ‫اﻟﻤﺴﻘﻂ‬M
‫ﻋﻠﻰ‬( )OI‫و‬S‫ﻟـ‬ ‫اﻟﻌﻤﻮدي‬ ‫اﻟﻤﺴﻘﻂ‬M
‫ﻋﻠﻰ‬( )OJ
*-‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫أﻓﺼﻮل‬ ‫اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫اﻟﻌﺪد‬M‫اﻟﻤﻌﻠﻢ‬ ‫ﻓﻲ‬( ); ;O OI OJ
‫اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫اﻟﻌﺪد‬ ‫ﺗﻤﺎم‬ ‫ﺟﻴﺐ‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ‬x‫ﺑـ‬ ‫ﻟﻪ‬ ‫ﻧﺮﻣﺰ‬cos x
*-‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫أرﺗﻮب‬ ‫اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫اﻟﻌﺪد‬M‫اﻟﻤﻌﻠﻢ‬ ‫ﻓﻲ‬( ); ;O OI OJ
‫اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫اﻟﻌﺪد‬ ‫ﺟﻴﺐ‬ ‫ﻳﺴﻤﻰ‬x.‫ﺑـ‬ ‫ﻟﻪ‬ ‫ﻧﺮﻣﺰ‬sin x
*-‫ﻟﻴﻜﻦ‬∆‫ﻟـ‬ ‫اﻟﻤﻤﺎس‬( )C‫ﻋﻨﺪ‬I‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫و‬( )1;1P.
‫ﻟﺘﻜﻦ‬T‫ﺗﻘﺎﻃﻊ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬( )OM‫و‬∆‫أي‬
2
k x k
π
π∈ ≠ +
‫اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫اﻟﻌﺪد‬‫أﻓﺼﻮل‬T‫اﻟﻤﻌﻠﻢ‬ ‫ﻓﻲ‬( );I P‫ﻳﺴﻤﻰ‬
‫اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫اﻟﻌﺪد‬ ‫ﻇﻞ‬x‫ﺑـ‬ ‫ﻟﻪ‬ ‫ﻧﺮﻣﺰ‬tan x.
‫اﺻﻄﻼﺣﺎت‬ ‫و‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬
-‫آﺎن‬ ‫إذا‬x‫ﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻲ‬ ‫أﻓﺼﻮل‬M‫ﻓﺎن‬( )cos ;sinM x x
-‫اﻟﺪاﻟﺔ‬
cosx x
→
→
‫ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ‬ ‫ﺣﻴﺰ‬ ‫اﻟﺘﻤﺎم‬ ‫ﺟﻴﺐ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ‬‫ﺑـ‬ ‫ﻟﻬﺎ‬ ‫ﻳﺮﻣﺰ‬cos
-‫اﻟﺪاﻟﺔ‬
sinx x
→
→
‫ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ‬ ‫ﺣﻴﺰ‬ ‫اﻟﺠﻴﺐ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ‬‫ﺑـ‬ ‫ﻟﻬﺎ‬ ‫ﻳﺮﻣﺰ‬sin
-‫اﻟﺪاﻟﺔ‬
tanx x
→
→
‫ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ‬ ‫ﺣﻴﺰ‬ ‫اﻟﻈﻞ‬ ‫داﻟﺔ‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ‬/
2
k k
π
π
 
− + ∈ 
 
‫ﺑـ‬ ‫ﻟﻬﺎ‬ ‫ﻳﺮﻣﺰ‬tan
2-2-‫ﺧﺎﺻﻴﺎت‬
*-‫وﺿﻊ‬ ‫آﺎن‬ ‫آﻴﻔﻤﺎ‬M‫ﻣﻦ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬( )C‫ﻣﻨﺤﻲ‬ ‫أﻓﺼﻮﻟﻬﺎ‬x‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬C‫اﻟﻘﻄﻌﺔ‬ ‫اﻟﻰ‬ ‫ﺗﻨﺘﻤﻲ‬[ ]'II
‫و‬S‫اﻟﻰ‬ ‫ﺗﻨﺘﻤﻲ‬[ ]'JJ‫ﺣﻴﺚ‬( ) ( ) ( ) ( )1;0 ; ' 1;0 ; ' 0; 1 ; 0;1I I J J− −
‫ﻟﻜﻞ‬x ∈1 cos 1 1 sin 1x x− ≤ ≤ − ≤ ≤
*-‫ﻟﻜﻞ‬x ∈2 2
cos sin 1x x+ =
*-‫ﻟﻜﻞ‬/
2
x k k
π
π
 
∈ − + ∈ 
 
sin
tan
cos
x
x
x
=
*-‫ﺗﻜﺘﺐ‬ ‫اﻟﺘﻲ‬ ‫اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫اﻷﻋﺪاد‬ ‫ﺟﻤﻴﻊ‬ ‫أن‬ ‫ﻧﻌﻠﻢ‬2x k π+‫ﺣﻴﺚ‬k ∈‫ﻟﻨﻔﺲ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻴﺔ‬ ‫أﻓﺎﺻﻴﻞ‬ ،
‫اﻟﻨﻘﻄﺔ‬M
‫ﻟﻜﻞ‬x ∈( ) ( )cos 2 cos ; sin 2 sinx k x x k xπ π+ = + =
-‫آﺎﻧﺖ‬ ‫ﻣﻬﻤﺎ‬( )M x k π+‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬‫ـﻮل‬‫ـ‬‫أﻓﺼــ‬T‫هﻮ‬tan x
‫ﻟﻜﻞ‬/
2
x k k
π
π
 
∈ − + ∈ 
 
( )tan tanx k xπ+ =
‫ﺧﺎﺻﺔ‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ‬‫ﻟﻜﻞ‬/
2
x k k
π
π
 
∈ − + ∈ 
 
( )tan tanx xπ+ =

8. http://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed8
*-‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻧﺤﺼﻞ‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺑﺘﻮﻇﻴﻒ‬
( ) ( )cos cos ; sin sinx x x x− = − = −‫ﻟﻜﻞ‬x ∈
‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫ان‬ ‫ﺑﻘﻮﻟﻨﺎ‬ ‫هﺬا‬ ‫ﻧﻌﺒﺮﻋﻦ‬cos‫زوﺟﻴﺔ‬‫اﻟﺪاﻟﺔ‬ ‫أن‬ ‫و‬sin‫ﻓﺮدﻳﺔ‬.
( )tan tanx x− = −‫آﻞ‬/
2
x k k
π
π
 
∈ − + ∈ 
 
‫ﻧﻌﺒﺮ‬‫اﻟﺪا‬ ‫ان‬ ‫ﺑﻘﻮﻟﻨﺎ‬ ‫هﺬا‬ ‫ﻋﻦ‬‫ﻟﺔ‬tan‫ﻓﺮدﻳﺔ‬.
( ) ( )sin sin ; cosx x cos x xπ π− = − = −‫ﻟﻜﻞ‬x ∈
( ) ( )sin sin ; cosx x cos x xπ π+ = − + = −‫ﻟﻜﻞ‬x ∈
sin cos ; sin
2 2
x x cos x x
π π   
− = − =   
   
‫ﻟﻜﻞ‬x ∈
sin cos ; sin
2 2
x x cos x x
π π   
+ = + = −   
   
‫ﻟﻜﻞ‬x ∈
2-3-‫اﻋﺘﻴﺎدﻳﺔ‬ ‫ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﻧﺴﺐ‬
π
5
6
π3
4
π2
3
π
2
π
3
π
4
π
6
π
0x
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0sinx
-1
3
2
-
2
2
-
1
2
-0
1
2
2
2
3
2
1cosx
0
3
3
--13-
‫ﻏﻴﺮ‬
‫ﻣﻌﺮف‬
31
3
3
0tanx
‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬1‫أﺣﺴﺐ‬
34 37 53 7
cos ;cos ;sin ;sin
3 4 6 2
π π π π− −
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬2‫أ‬-‫ﺣﺪد‬
2 11
1 cos cos .... cos
6 6 6
π π π
+ + + +
‫ب‬-‫ﺑﺴﻂ‬( ) ( )
7 27
sin cos sin 3 cos 7
2 2
x x x x
π π
π π
   
+ + − + + − −   
   

9. http://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed9
‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ‬
‫ﻣﺤﻠﻮﻟﺔ‬ ‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬1
‫ﻣﺒﺎﺷﺮ‬ ‫ﻣﻤﻨﻈﻢ‬ ‫ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ‬ ‫ﻣﻌﻠﻢ‬ ‫إﻟﻰ‬ ‫ﻣﻨﺴﻮب‬ ‫ﻣﺴﺘﻮى‬ ‫ﻓﻲ‬( ); ;O i j‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬ ،
267
6
π
‫و‬
238
3
π
−
‫ﻟﻠﻨﻘﻄﺘﻴﻦ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻦ‬ ‫اﻷﻓﺼﻮﻟﻴﻦ‬A‫و‬B.‫ﻟﺘﻜﻦ‬C‫ﺣﻴﺚ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬( ) [ ]
42
; 2
5
OA OC
π
π
−
≡.
1-‫ﻟﻠﻨﻘﻄﺘﻴﻦ‬ ‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻴﻦ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻦ‬ ‫اﻷﻓﺼﻮﻟﻴﻦ‬ ‫ﺣﺪد‬A‫و‬B
2-‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ‬ ‫اﻟﻘﻴﺎس‬ ‫ﺣﺪد‬( );OA OB‫ﺣﺪد‬ ‫ﺛﻢ‬( )cos ;OA OB
3-‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ‬ ‫اﻟﻘﻴﺎس‬ ‫ﺣﺪد‬( );OC OB
4-‫اﻟﻨﻘﻂ‬ ‫ﻣﺜﻞ‬A‫و‬B‫و‬C‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬2
1-‫أﺣﺴﺐ‬
2 2 2 23 5 7
cos cos cos cos
8 8 8 8
A
π π π π
= + + +
2 2 2 23 5 7
sin sin sin sin
8 8 8 8
B
π π π π
= + + +
2-‫أن‬ ‫ﻋﻠﻤﺎ‬tan 2 1
8
π
= −‫ﺣﺪد‬cos
8
π
‫و‬sin
8
π
‫و‬
7
cos
8
π
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬3
1-‫ﺑﺴﻂ‬( ) ( )
7 27
sin cos 7 cos sin 3
2 2
C x x x x
π π
π π
   
= + ⋅ − + − ⋅ +   
   
2-‫أن‬ ‫ﺑﻴﻦ‬
6 6 2 2
cos sin 3cos sin 1x x x x+ + =
‫اﻟﺤﻞ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬1
1-‫ﻧ‬‫ﻟﻠﻨﻘﻄﺘﻴﻦ‬ ‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻴﻦ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻦ‬ ‫اﻷﻓﺼﻮﻟﻴﻦ‬ ‫ﺤﺪد‬A‫و‬B
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
267
6
A
π 
 
 
‫و‬
267
2 22
6 2
π π
π= × +‫ﺣﻴﺚ‬] ];
2
π
π π∈ −
‫إذن‬
2
π
‫ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ‬ ‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫اﻷﻓﺼﻮل‬A
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
238
3
B
π 
− 
 
‫و‬
238 2
2 40
3 3
π π
π− = × − +‫ﺣﻴ‬‫ﺚ‬] ]
2
;
3
π
π π∈ −
‫إذن‬
2
3
π
‫ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ‬ ‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫اﻷﻓﺼﻮل‬B
2-‫ﻧ‬‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ‬ ‫اﻟﻘﻴﺎس‬ ‫ﺤﺪد‬( );OA OB‫ﺛﻢ‬‫ﻧ‬‫ﺤﺪد‬( )cos ;OA OB
( ) 2
; 2 2
3 2 6
OA OB k k
π π π
π π= − + = +‫و‬] ];
6
π
π π∈ −
‫إذن‬
6
π
‫اﻟﻘﻴﺎس‬‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ‬( );OA OB‫وﻣﻨﻪ‬( ) 3
cos ; cos
6 2
OA OB
π
= =
3-‫ﻧ‬‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ‬ ‫اﻟﻘﻴﺎس‬ ‫ﺤﺪد‬( );OC OB
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬( ) [ ]
42
; 2
5
OA OC
π
π
−
≡
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ ‫ﺷﺎل‬ ‫ﻋﻼﻗﺔ‬ ‫ﺣﺴﺐ‬

10. http://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed10
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
; ; ; 2
; ; ; 2
42
; 2
5 6
257
; 2
30
17 17
; 8 2 2 4
30 30
OC OB OC OA OA OB k
OC OB OA OC OA OB k
OC OB k
OC OB k
OC OB k k
π
π
π π
π
π
π
π π
π π π
= + +
= − + +
= + +
= +
= + + = + +
‫وﺣﻴﺚ‬] ]
17
;
30
π
π π∈ −‫ﻓﺎن‬
17
30
π
‫هﻲ‬‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ‬ ‫اﻟﻘﻴﺎس‬( );OC OB
4-‫ﻧ‬‫اﻟﻨﻘﻂ‬ ‫ﻤﺜﻞ‬A‫و‬B‫و‬C‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬2
1-‫ﻧﺤﺴﺐ‬A‫و‬B
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
2 2 2 23 5 7
cos cos cos cos
8 8 8 8
A
π π π π
= + + +
7
cos cos cos
8 8 8
π π π
π
 
= − = − 
 
‫وﻣﻨﻪ‬2 27
cos cos
8 8
π π
=
5 3 3
cos cos cos
8 8 8
π π π
π
 
= − = − 
 
‫وﻣﻨﻪ‬2 25 3
cos cos
8 8
π π
=
‫ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫و‬
2 2 3
2 cos cos
8 8
A
π π 
= + 
 
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
3
cos cos sin
8 2 8 8
π π π π 
= − = 
 
‫وﻣﻨﻪ‬
2 2
2 cos sin 2
8 8
A
π π 
= + = 
 
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬
2 2 2 23 5 7
sin sin sin sin
8 8 8 8
B
π π π π
= + + +
‫وﻣﻨﻪ‬
2 2 2 2 2 2 2 23 3 5 5 7 7
sin cos sin cos sin cos sin cos
8 8 8 8 8 8 8 8
A B
π π π π π π π π
+ = + + + + + + +
‫ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫و‬4A B+ =‫اذن‬4 4 2 2B A= − = − =

11. http://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed11
2-‫ﻧ‬‫ﺤﺪد‬cos
8
π
‫و‬sin
8
π
‫و‬
7
cos
8
π
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬tan 2 1
8
π
= −‫أن‬ ‫ﻧﻌﻠﻢ‬2
2
1
1 tan
8
cos
8
π
π
+ =
‫وﻣﻨﻪ‬
( ) ( )
2
2
2
1 1 1 1 2 2
cos
8 44 2 2 2 2 21 2 11 tan
8
π
π
+
= = = = =
− −+ −+
‫أن‬ ‫وﺣﻴﺚ‬0;
8 2
π π 
∈   
‫ﻓﺎن‬cos 0
8
π
‫و‬sin 0
8
π
‫ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‬ ‫و‬
2 2
cos
8 2
π +
=‫و‬2 2 2 2 2
sin 1 cos 1
8 8 4 2
π π + −
= − = − =
7 2 2
cos cos
8 8 2
π π +
= − = −
‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬3
1-‫ﻧ‬‫ﺒﺴﻂ‬( ) ( )
7 27
sin cos 7 cos sin 3
2 2
C x x x x
π π
π π
   
= + ⋅ − + − ⋅ +   
   
‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬( ) ( )sin 3 sin sinx x xπ π+ = + = −
‫و‬
27
cos cos 14 cos cos sin
2 2 2 2
x x x x x
π π π π
π
       
− = − − = − − = + = −       
       
‫و‬( ) ( )cos 7 cos cosx x xπ π− = − = −
‫و‬
7
sin sin 4 sin cos
2 2 2
x x x x
π π π
π
     
+ = − + = − − = −     
     
‫إذن‬2 2
cos sin 1C x x= + =
2-‫ﻧ‬‫أن‬ ‫ﺒﻴﻦ‬
6 6 2 2
cos sin 3cos sin 1x x x x+ + =
( )( )
( )
6 6 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2
4 2 2 4 2 2
4 2 2 4
2
2 2
cos sin 3cos sin cos sin cos cos sin sin 3cos sin
cos cos sin sin 3cos sin
cos 2cos sin sin
cos sin 1
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x
+ + ⋅ = + − ⋅ + + ⋅
= − ⋅ + + ⋅
= + ⋅ +
= + =
‫ﻣﺤﻠﻮﻟﺔ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬ ‫ﺗﻤﺎرﻳﻦ‬
‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‬1
1-‫اﻟﺘﺎﻟﻴﻴﻦ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻦ‬ ‫ﺑﺎﻻﻓﺼﻮﻟﻴﻦ‬ ‫اﻟﻤﺮﺗﺒﻂ‬ ‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫اﻷﻓﺼﻮل‬ ‫ﺣﺪد‬
214 789
;
5 7
π π−
2-‫اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ‬ ‫ذات‬ ‫اﻟﻨﻘﻂ‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺜﻞ‬‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ‬
6
π−
‫و‬
2
3
π
‫و‬
23
2
π
‫و‬
59
4
π−
3-‫أن‬ ‫ﺑﻴﻦ‬‫اﻻﻋﺪاد‬‫ﺗﻤﺜﻞ‬ ‫اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬‫ﻟ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ‬ ‫اﻻﻓﺎﺻﻴﻞ‬‫اﻟ‬ ‫ﻨﻔﺲ‬‫ﻨﻘﻄﺔ‬
25 143 601
; ;
6 6 6
π π π−
2-‫ا‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺜﻞ‬‫ﻟﻨﻘﻂ‬kM‫هﻲ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ‬ ‫أﻓﺎﺻﻴﻠﻬﺎ‬ ‫اﻟﺘﻲ‬
3 4
k
π π
+‫ﺣﻴﺚ‬k ∈
4-‫ﻟﻴﻜﻦ‬x‫ﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫اﻷﻓﺼﻮل‬M
‫ﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ‬ ‫اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ‬ ‫ﺣﺪد‬M‫اﻟﻤﺠﺎل‬ ‫اﻟﻰ‬ ‫ﺗﻨﺘﻤﻲ‬ ‫اﻟﺘﻲ‬I‫اﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ‬ ‫ﻓﻲ‬
34 43
; (
3 3 4
I x a
π π π 
= =  
33 13 2
; (
5 5 5
I x b
π π π− − − 
= =  

12. http://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed12
5-‫اﻟﻨﻘﻂ‬ ‫ﻣﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺿﻊ‬M‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫أﻓﺼﻮﻟﻬﺎ‬ ‫اﻟﺘﻲ‬x‫ﺣﻴﺚ‬[ ]3 2
2
x
π
π≡
6-‫اﻟﻘﻴﺎﺳﺎت‬ ‫أﺣﺪ‬ ‫ﻗﻴﺎﺳﻬﺎ‬ ‫ﻣﻮﺟﻬﺔ‬ ‫ﻟﺰاوﻳﺔ‬ ‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ‬ ‫اﻟﻘﻴﺎس‬ ‫هﻮ‬ ‫ﻣﺎ‬
25 52
; ; 36 ; 47
3 5
π π
π π− −
‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‬2
-‫ﻣﺜﻠﺜﺎ‬ ‫أﻧﺸﺊ‬ABC‫اﻟﺮأس‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ‬ ‫ﻣﺘﺴﺎوي‬A‫ﺣ‬‫ﻴﺚ‬( ) [ ]
2
; 2
5
AB AC
π
π≡ −
-‫اﻟﺰواﻳﺎ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫آﻞ‬ ‫ﻗﻴﺎس‬ ‫ﺑﺎﻟﺮدﻳﺎن‬ ‫ﺣﺪد‬( );BA BC‫و‬( );BA AC‫و‬( );CB AC
‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‬3
‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬
3
A
π− 
 
 
.‫ﻟ‬ ‫اﻟﺮﺋﻴﺴﻲ‬ ‫اﻟﻘﻴﺎس‬ ‫أﻋﻂ‬‫ﻠﺰاوﻳﺔ‬( ; )OA OM‫اﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ‬ ‫ﻣﻦ‬ ‫آﻞ‬ ‫ﻓﻲ‬
(a
27
2
π
‫ﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻲ‬ ‫أﻓﺼﻮل‬M(b[ ]
23
( ; ) 2
8
OJ OM
π
π≡
‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‬4
1-‫اﻟﻨﺴ‬ ‫ﺣﺪد‬‫ﻟﻸﻋﺪاد‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫ﺐ‬
23 15 73 7
sin ; sin ; tan ; cos
3 4 3 6
π π π π−
−
2-‫أن‬ ‫ﻋﻠﻤﺖ‬ ‫إذا‬
7 2 2
sin
8 2
π −
=‫ﻓ‬‫ﺄﺣﺴﺐ‬
3 7 7
sin ; sin ; tan ; cos
8 8 8 8
π π π π
25 78 327
sin ; tan ; cos
8 8 8
π π π− −
‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‬5
‫ﻟﻴﻜﻦ‬;
2
x
π
π
 
∈   
.‫ﻧﻀﻊ‬2
tan 1
tan 1
x
A
x
−
=
+
1-‫ﺑﻴ‬‫أن‬ ‫ﻦ‬2
cos sin cosA x x x= −
2-‫أن‬ ‫ﻋﻠﻤﺖ‬ ‫إذا‬
4
sin
5
x =‫ﻓﺄﺣﺴﺐ‬A
3-‫أن‬ ‫ﻋﻠﻤﺖ‬ ‫إذا‬0A =‫ﻓﺎﺣﺴﺐ‬x
‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‬6
1-‫أن‬ ‫ﻋﻠﻤﺖ‬ ‫إذا‬
7 2 2
sin
8 2
π −
=‫أﺣﺴﺐ‬
3 7 7
sin ; sin ; tan ; cos
8 8 8 8
π π π π
2-‫ﺑﺴﻂ‬6 6 2 2
cos sin 3cos sinA x x x x= + + ⋅( ) ( )( )
2
1 sin cos 2 1 sin 1 cosB x x x x= + + − + +
( ) ( )6 6 4 4
2 cos sin 3 cos sinC x x x x= + − +6 6 4 4 2 2
cos sin cos sin 5cos sinD x x x x x x= + + + +
‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‬7
1-‫أﺣﺴﺐ‬
2 3 4
tan tan tan tan
5 5 5 5
π π π π
+ + +
2-‫ﻟﻴﻜﻦ‬x ∈
‫ﺑﺴﻂ‬( ) ( )sin cos sin cos
2 2
x x x x
π π
π π
   
− ⋅ − − − ⋅ −   
   
sin( 7 ) sin( 9 )x xπ π− + +
27
cos( ) sin( 27 )
2
x x
π
π− − +
‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‬8
‫ﻟﻴﻜﻦ‬0; ;
2 2
x
π π
π
   
∈ ∪      
.‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬4 4 2
cos sin (sin cos )(cos sin )A x x x x x x= + − −
1-‫أن‬ ‫ﺑﻴﻦ‬1 sin cosA x x= − ⋅

13. http://arabmaths.ift.fr Moustaouli Mohamed13
2-‫أن‬ ‫ﻋﻠﻤﺎ‬
11 6 2
sin
12 4
π −
=‫أﺣﺴﺐ‬A‫أﺟﻞ‬ ‫ﻣﻦ‬
11
12
x
π
=
‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‬9
‫ﻧﻀﻊ‬( ) 6 6 1
cos sin
4
P x x x= + −‫ﺣﻴﺚ‬[ ]0;x π∈
1-‫أن‬ ‫ﺑﻴﻦ‬( ) ( )
2
23
2cos 1
4
P x x= −
2-‫أآﺘﺐ‬( )P x‫ﺑﺪﻻﻟﺔ‬tan x
3-‫أن‬ ‫ﻋﻠﻤﺎ‬tan 2x = −‫أﺣﺴﺐ‬( )P x‫و‬cosx.
‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‬10
‫ﺣﺪد‬
2 2 2 23 5 7
cos cos cos cos
8 8 8 8
A
π π π π
= + + +
2 3 13
1 sin sin sin ..... sin
7 7 7 7
B
π π π π
= + + + + +
‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‬11
‫اﻟﻨﻘﻂ‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫داﺋﺮة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺜﻞ‬M‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ‬ ‫أﻓﺎﺻﻴﻠﻬﺎ‬ ‫اﻟﺘﻲ‬α‫ﺣﻴﺚ‬
3
cos
4
α
−
=‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﺟﺰء‬ ‫ﺑﺎﻷﺣﻤﺮ‬ ‫ﻟﻮن‬ ‫ﺛﻢ‬ ،
‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ‬ ‫أﻓﺎﺻﻴﻠﻬﺎ‬ ‫اﻟﺘﻲ‬ ‫اﻟﻨﻘﻂ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻳﺤﺘﻮي‬ ‫اﻟﺬي‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬β‫ﺣﻴﺚ‬
3
cos
4
β ≤ −
‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‬12
‫اﻟﻨﻘﻂ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﺑﺎﻷﺣﻤﺮ‬ ‫ﻟﻮن‬M‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ‬ ‫أﻓﺎﺻﻴﻠﻬﺎ‬ ‫اﻟﺘﻲ‬θ‫ﺣﻴﺚ‬tan 2θ ≥
‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‬13
‫اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ‬ ‫اﻧﺸﺊ‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬1M‫و‬2M‫أرﺗﻮﺑﻴﻬﻤﺎ‬ ‫اﻟﺬي‬
1
2
1-‫اﻟﻨﻘﻂ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﺣﺪد‬M‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻴﺔ‬ ‫أﻓﺎﺻﻴﻠﻬﺎ‬ ‫اﻟﺘﻲ‬x‫ﺣﻴﺚ‬
1
sin
2
x
2-‫اﻷﻋﺪاد‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﺣﺪد‬x‫ﻣﻦ‬] ];π π−‫ﺣﻴﺚ‬
1
sin
2
x
3-‫اﻷﻋﺪاد‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﺣﺪد‬x‫ﻣﻦ‬[ [0;2π‫ﺣﻴﺚ‬
1
sin
2
x
4-‫ﺣﺪد‬‫اﻷﻋﺪاد‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬x‫ﻣﻦ‬
3
;
2
π
π
 
  
‫ﺣﻴﺚ‬
1
sin
2
x