منتدى الرياضيات المتقدمة, profile picture
Uploaded byمنتدى الرياضيات المتقدمة
743 views

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

كتاب الرياضيات للصف الأول الثانوي للفصل الدراسي الثاني يركز على تقديم تطبيقات عملية لمفاهيم رياضية في مجالات متعددة مثل إنشاء الطرق وتخطيط المدن. يهدف الكتاب إلى تنمية مهارات حل المشكلات والتفكير النقدي لدى الطلاب من خلال تقديم دروس متكاملة وأنشطة متنوعة. يعزز الكتاب التعلم المستمر ويوفر روابط بين الرياضيات والحياة اليومية، مما يسهل فهم واستخدام المعرفة الرياضية بشكل فعال.

Embed presentation

Downloaded 30 times
1 / 137
2 / 137
3 / 137
4 / 137
5 / 137
6 / 137
7 / 137
8 / 137
9 / 137
10 / 137
11 / 137
12 / 137
13 / 137
14 / 137
15 / 137
16 / 137
17 / 137
18 / 137
19 / 137
20 / 137
21 / 137
22 / 137
23 / 137
24 / 137
25 / 137
26 / 137
27 / 137
28 / 137
29 / 137
30 / 137
31 / 137
32 / 137
33 / 137
34 / 137
35 / 137
36 / 137
37 / 137
38 / 137
39 / 137
40 / 137
41 / 137
42 / 137
43 / 137
44 / 137
45 / 137
46 / 137
47 / 137
48 / 137
49 / 137
50 / 137
51 / 137
52 / 137
53 / 137
54 / 137
55 / 137
56 / 137
57 / 137
58 / 137
59 / 137
60 / 137
61 / 137
62 / 137
63 / 137
64 / 137
65 / 137
66 / 137
67 / 137
68 / 137
69 / 137
70 / 137
71 / 137
72 / 137
73 / 137
74 / 137
75 / 137
76 / 137
77 / 137
78 / 137
79 / 137
80 / 137
81 / 137
82 / 137
83 / 137
84 / 137
85 / 137
86 / 137
87 / 137
88 / 137
89 / 137
90 / 137
91 / 137
92 / 137
93 / 137
94 / 137
95 / 137
96 / 137
97 / 137
98 / 137
99 / 137
100 / 137
101 / 137
102 / 137
103 / 137
104 / 137
105 / 137
106 / 137
107 / 137
108 / 137
109 / 137
110 / 137
111 / 137
112 / 137
113 / 137
114 / 137
115 / 137
116 / 137
117 / 137
118 / 137
119 / 137
120 / 137
121 / 137
122 / 137
123 / 137
124 / 137
125 / 137
126 / 137
127 / 137
128 / 137
129 / 137
130 / 137
131 / 137
132 / 137
133 / 137
134 / 137
135 / 137
136 / 137
137 / 137
‫الريا�ضيات‬ ‫كتاب الطالب‬ ‫ال�صف الأول الثانوى‬ ‫الف�صل الدرا�سى الثانى‬ ‫للريا�ضيات تطبيقات عملية فى مجاالت متعددة منها �إن�شاء الطرق والكبارى وتخطيط المدن و�إعداد‬ ‫خرائطها التى تعتمد على توازى الم�ستقيمات و الم�ستقيمات القاطعة لها وفق تنا�سب بين الطول‬ ‫الحقيقى والطول فى الر�سم.‬ ‫وال�صورة لكوبرى ال�سالم الذى يربط بين �ضفتى قناة ال�سوي�س‬
‫�إعداد‬ ‫�أ/ عمر ف�ؤاد جاب اهلل‬ ‫�أ.د/ نبيل توفيق ال�ضبع‬ ‫�أ.د/ عفاف �أبو الفتوح �صالح ‬ ‫�أ / �سريافيم �إليا�س �إ�سكندر‬ ‫�أ.م.د/ ع�صام و�صفى روفائيل ‬ ‫�أ/ كمال يون�س كب�شة‬ ‫جميع الحقوق محفوظة ال يجور نشر أى جزء من هذا الكتاب أو تصويره أو تخزينه أو تسجيله‬ ‫بأى وسيلة دون موافقة خطية من الناشر.‬ ‫شركة سقارة للنشر‬ ‫�ش. م. م‬ ‫الطبعــة األولى 3102/4102‬ ‫رقم اإليــداع 9497 / 3102‬ ‫الرقم الدولى 8 - 200 - 607 - 779 - 879‬
‫المقدمة‬ ‫بسم ال� ل�ه الرحمن الرحيم‬ ‫يسعدنا ونحن نقدم هذا الكتاب أن نوضح الفلسفة التى تم فى ضوئها بناء المادة التعليمية ونوجزها فيمايلى:‬ ‫1 التأكيد عىل أن الغاية األساسية من هذه الكتب هى مساعدة املتعلم عىل حل املشكالت واتخاذ القرارات ىف حياته‬ ‫اليومية, والتى تساعده عىل املشاركه ىف املجتمع.‬ ‫2 التأكيد عىل مبدأ استمرارية التعلم مدى الحياة من خالل العمل عىل أن يكتسب الطالب منهجية التفكري العلمى، وأن‬ ‫يمارسوا التعلم املمتزج باملتعة والتشويق، وذلك باالعتماد عىل تنمية مهارات حل املشكالت وتنمية مهارات االستنتاج‬ ‫والتعليل، واستخدام أساليب التعلم الذاتى والتعلم النشط والتعلم التعاونى بروح الفريق، واملناقشة والحوار، وتقبل‬ ‫آراء اآلخرين، واملوضوعية ىف إصدار األحكام، باإلضافة إىل التعريف ببعض األنشطة واإلنجازات الوطنية.‬ ‫3 تقديم رؤى شاملة متماسكة للعالقة بني العلم والتكنولوجيا واملجتمع)‪ (STS‬تعكس دور التقدُّم العلمى ىف تنمية‬ ‫ ‬ ‫املجتمع املحىل، باإلضافة إىل الرتكيز عىل ممارسة الطالب الترصُّف الواعى الفعّال حِ يال استخدام األدوات التكنولوجية.‬ ‫4 تنمية اتجاهات إيجابية تجاه الرياضيات ودراستها وتقدير علمائها‬ ‫ ‬ ‫5 تزويد الطالب بثقافة شاملة لحسن استخدام املوارد البيئية املتاحة.‬ ‫ ‬ ‫6 االعتماد عىل أساسيات املعرفة وتنمية طرائق التفكري، وتنمية املهارات العلمية، والبعد عن التفاصيل والحشو،‬ ‫واإلبتعاد عن التعليم التلقينى؛ لهذا فاالهتمام يوجه إىل إبراز املفاهيم واملبادئ العامة وأساليب البحث وحل املشكالت‬ ‫وطرائق التفكري األساسية التى تميز مادة الرياضيات عن غريها.‬ ‫وفى �ضوء ما �سبق روعى فى هذا الكتاب ما يلى:‬ ‫‪ ‬تقسيم الكتاب إىل وحدات متكاملة ومرتابطة لكل منها مقدمة توضح أهدافها ودروسها ومخطط تنظيمى لها‬ ‫ ‬ ‫واملصطلحات الواردة بها باللغة العربية واإلنجليزية ومقسمة إىل دروس يوضح الهدف من تدريسها للطالب تحت‬ ‫عنوان سوف تتعلم، ويبدأ كل درس من دروس كل وحدة بالفكرة األساسية ملحتوى الدرس وروعى عرض املادة‬ ‫العلمية من السهل إىل الصعب ويتضمن مجموعة من األنشطة التى تتناول الربط باملواد األخرى والحياة العملية والتى‬ ‫تناسب القدرات املختلفة للطالب وتراعى الفروق الفردية بينهم وتؤكد عىل العمل التعاونى، وتتكامل مع املوضوع.‬ ‫‪ ‬كما قدم ىف كل درس أمثلة تبدأ من السهل إىل الصعب وتشمل مستويات تفكري متنوعة، مع تدريبات عليها تحت‬ ‫عنوان حاول أن تحل وينتهى كل درس ببند «تحقق من فهمك».‬ ‫‪ ‬تنتهى كل وحدة بملخص للوحدة يتناول املفاهيم والتعليمات الواردة بالوحدة.‬ ‫ ‬ ‫وأخير ًا ..نتمنى أن نكون قد وفقنا فى إنجاز هذا العمل لما فيه خير لأولادنا، ولمصرنا العزيزة.‬ ‫وال� �له من وراء القصد، وهو يهدى إلى سواء السبيل‬
‫خريطة الكتاب للفصل الدراسى الثانى‬ ‫اسم‬ ‫الوحدة‬ ‫الدروس املتضمنة بالوحدة‬ ‫1 - 1 :تنظيم البيانات فى‬ ‫1‬ ‫مصفوفات‬ ‫املفاهيم‬ ‫املتضمنة‬ ‫مصفوفة - عنصر - مصفوفة‬ ‫صف - مصفوفة عمود - مصفوفة‬ ‫مربعة - مصفوفة صفرية -‬ ‫العمليات العقلية‬ ‫واملهارات الذهنية‬ ‫املتضمنة‬ ‫تفكري ناقد صـ8، صـ01‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫متماثلة - مصفوفة شبه متماثلة‬ ‫جمع المصفوفات - طرح‬ ‫تفكري جربى (اثناء عرض‬ ‫الدرس)‬ ‫1 - 3 : ضرب المصفوفات‬ ‫ضرب المصفوفات‬ ‫تفكري ناقد صـ91‬ ‫1 - 4 : المحددات‬ ‫محدد - محدد الدرجة الثانية -‬ ‫محدد الدرجة الثالثة - القطر‬ ‫الرئيس للمحدد - القطر اآلخر‬ ‫1 - 5 :المعكوس الضربى‬ ‫للمصفوفة‬ ‫2 - 1: المتبانيات الخطية‬ ‫‬ ‫الخطية‬ ‫معكوس ضربى للمصفوفة-‬ ‫مصفوفة الوحدة - معادلة‬ ‫مصفوفية - مصفوفة المتغيرات-‬ ‫مصفوفة الثوابت‬ ‫متباينة خطية - مستقيم حدى -‬ ‫مستقيم حدى منقط - مستقيم‬ ‫حدى متصل - متباينة خطية فى‬ ‫2‬ ‫الربمجة‬ ‫للمحدد مصفوفة المعامالت‬ ‫املتجهات‬ ‫الربط بالرياضيات صـ 7‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري ناقد صـ 03‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري ناقد صـ 24‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالتكنولوجيا صـ 31‬ ‫الربط باالحصاء صـ 41‬ ‫الربط بالتكنولوجيا صـ 71‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 81‬ ‫الربط بالسياحة صـ 02‬ ‫الربط بالهندسة صـ 51‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 43‬ ‫تطبيقات حياتية صـ 24‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 24‬ ‫مجهول واحد - متباينة خطية فى‬ ‫مجهولين‬ ‫2 - 2: حل أنظمة من المتباينات نظام متباينات خطية-منطقة الحل تفكري جربى‬ ‫‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫رسم بيانى‬ ‫الخطية بيانيًا‬ ‫2 - 3: البرمجة الخطية والحل األمثل برمجة خطية - قيود محدودة -‬ ‫‬ ‫غير محدودة حل أمثل‬ ‫3‬ ‫صـ 01.‬ ‫الربط بالتجارة صـ 31‬ ‫1 - 2 : جمع وطرح المصفوفات‬ ‫املصفوفات‬ ‫والحياة العلمية‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 7،‬ ‫الربط بالطاقة صـ 7‬ ‫مصفوفات متساوية - مصفوفة‬ ‫المصفوفات‬ ‫الرتابط والتداخل‬ ‫مع العلوم اآلخرى‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫3 - 1:الكميات القياسية والكميات‬ ‫كمية قياسية - متجه - مسافة - تفكري منطقى صـ 95‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫ازاحة - اتجاه‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫3 - 2: المتجهات‬ ‫‬ ‫متجه - متجع موضع - زوج‬ ‫المتجهة، والقطعة‬ ‫المستقيمة الموجهه‬ ‫مرتب - قيمة مطلقة - معيار‬ ‫متجه- متجه مكافئ - صورة‬ ‫قطبية - متجه وحدة‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هندسى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالحياة صـ 64، 74‬ ‫الربط بالمهن صـ 74‬ ‫الربط بإدارة الوقت صـ 84‬ ‫الربط بإدارة اإلعمال صـ 05‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 05‬ ‫الربط بالصناعة صـ 05،15‬ ‫الربط بالزراعة صـ 25‬ ‫الربط بالزراعة صـ 25‬
‫جمع متجهين - طرح متجهين -‬ ‫3 - 4: تطبيقات على المتجهات‬ ‫‬ ‫األضالع‬ ‫قوة محصلة - توازى القوى -‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫4 - 1: تقسيم قطعة مستقيمة‬ ‫اسم‬ ‫الوحدة‬ ‫العمليات العقلية‬ ‫واملهارات الذهنية‬ ‫املتضمنة‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫تقسيم من الداخل - تقسيم من‬ ‫4 - 2:معادلة الخط المستقيم‬ ‫متجه إتجاه مستقيم - معادلة‬ ‫الدروس املتضمنة بالوحدة‬ ‫3 - 3: العمليات على المتجهات‬ ‫‬ ‫تابع‬ ‫املتجهات‬ ‫4‬ ‫املفاهيم‬ ‫املتضمنة‬ ‫قاعدة المثلث - قاعدة متوازى‬ ‫سرعة نسبية‬ ‫الخارج - نسبة التقسيم‬ ‫متجهة - معادلة برامترية -‬ ‫معادلة كارتيزية - معادلة عامة‬ ‫الخط‬ ‫الرتابط والتداخل‬ ‫مع العلوم اآلخرى‬ ‫والحياة العلمية‬ ‫تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري ناقد 48، 29‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس (اثناء عرض‬ ‫الدرس)‬ ‫4 - 4 :طول العمود المرسوم من‬ ‫عمود - خط مستقيم‬ ‫نقطة تقاطع مستقيمين -‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالطرق صـ 79‬ ‫4 - 5 :المعادلة العامة للمستقيم‬ ‫املستقيم‬ ‫4 - 3:قياس الزاوية بين‬ ‫زاوية بين مستقيمين‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالهندسة صـ 59‬ ‫مستقيمين‬ ‫نقطة إلى خط مستقيم‬ ‫المار بنقطة تقاطع‬ ‫مستقيمين‬ ‫5 - 1: المتطابقات المثلثية‬ ‫معادلة عامة‬ ‫معادلة‬ ‫5 - 2:حل المعادالت المثلثية‬ ‫5‬ ‫حساب‬ ‫املثلثات‬ ‫متطابقة‬ ‫معادلة مثلثية - حل عام‬ ‫5 - 3: حل المثلث القائم الزاوية‬ ‫حل مثلث‬ ‫5 - 4 : زوايا اإلرتفاع واإلنخفاض‬ ‫زاوية ارتفاع‬ ‫5 - 5 : القطاع الدائرى‬ ‫زاويا انخفاض‬ ‫قطاع دائرى‬ ‫5 - 6 : القطعة الدائرية‬ ‫قطعة دائرية‬ ‫5 - 7 : المساحات‬ ‫مضلع منتظم‬ ‫الربط بالتكنولوجيا صـ 001‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى (اثناء عرض‬ ‫الدرس)‬ ‫تفكري ناقد صـ 511‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري ناقد صـ 021‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالهندسة صـ511‬ ‫الربط بالزراعة والزينة‬ ‫صـ321‬ ‫الربط بالتكنولوجيا صـ721‬
‫المحتويات‬ ‫الوحدة‬ ‫الأولى‬ ‫المصفوفات‬ ‫1- 1 ‬ ‫تنظيم البيانات في مصفوفات‬ ‫1- 2 ‬ ‫جمع وطرح المصفوفات‬ ‫41‬ ‫1- 3 ‬ ‫ضرب المصفوفات‬ ‫81‬ ‫1- 4 ‬ ‫المحددات‬ ‫22‬ ‫1- 5 ‬ ‫المعكوس الضربى للمصفوفة‬ ‫03‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫53‬ ‫ ‬ ‫4‬ ‫...........................................................................................................................................................................................‬ ‫.................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫........................................................................................................................................................................................................................ .‬ ‫.................................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫...................................................................................................................................................................................... .‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫الوحدة‬ ‫الثانية‬ ‫الربمجة الخطية‬ ‫2 - 1 ‬ ‫المتباينات الخطية‬ ‫83‬ ‫2 - 2 ‬ ‫حل أنظمة من المتباينات الخطية بيانيًا‬ ‫34‬ ‫2 - 3 ‬ ‫البرمجة الخطية والحل األمثل‬ ‫84‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫55‬ ‫ ‬ ‫......................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫........................................................................................................................................................ .‬ ‫....................................................................................................................................................................................... .‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫املتجهات‬ ‫3 - 1 ‬ ‫3 - 2 ‬ ‫المتجهات‬ ‫36‬ ‫3 - 3 ‬ ‫العمليات على المتجهات‬ ‫17‬ ‫3 - 4 ‬ ‫ ‬ ‫الكميات القياسية والكميات المتجهة، والقطعة المستقيمة الموجهة‬ ‫85‬ ‫تطبيقات على المتجهات‬ ‫67‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫28‬ ‫............................................................. .‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫....................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫......................................................................................................................................................................................... .‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................... .‬
‫الوحدة‬ ‫الرابعة‬ ‫الخط المستقيم‬ ‫4 - 1 ‬ ‫تقسيم قطعة مستقيمة‬ ‫68‬ ‫4 - 2 ‬ ‫معادلة الخط المستقيم‬ ‫19‬ ‫4 - 3 ‬ ‫قياس الزاوية بين مستقيمين‬ ‫69‬ ‫4 - 4 ‬ ‫طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم‬ ‫89‬ ‫4 - 5 ‬ ‫المعادلة العامة للمستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين‬ ‫001‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫301‬ ‫ ‬ ‫.........................................................................................................................................................................................................‬ ‫...........................................................................................................................................................................................................‬ ‫.......................................................................................................................................................................................‬ ‫........................................................................................................................‬ ‫......................................................... .‬ ‫............................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫الوحدة‬ ‫اخلام�سة‬ ‫حساب املثلثات‬ ‫5 - 1 ‬ ‫5 - 2 ‬ ‫حل المعادالت المثلثية.‬ ‫111‬ ‫5 - 3 ‬ ‫حل المثلث القائم الزاوية.‬ ‫411‬ ‫5 - 4 ‬ ‫زوايا االرتفاع وزوايا االنخفاض‬ ‫711‬ ‫5 - 5 ‬ ‫القطاع الدائرى‬ ‫021‬ ‫5 - 6 ‬ ‫القطعة الدائرية.‬ ‫321‬ ‫5 - 7 ‬ ‫ ‬ ‫المتطابقات المثلثية.‬ ‫601‬ ‫المساحات.‬ ‫521‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫921‬ ‫............................................................................................................................................................................................................ .‬ ‫....................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫.............................................................................................................................................................................................. .‬ ‫............................................................................................................................................................................ .‬ ‫............................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫.......................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫.......................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫............................................................................................................................................................................................................................... .‬
‫الوحدة‬ ‫1‬ ‫الجبر‬ ‫المصفوفات‬ ‫‪Matrices‬‬ ‫أهداف الوحدة‬ ‫في نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:‬ ‫ً‬ ‫• •يتحقق من صحة حلول بعض المشكالت التى تتضمن‬ ‫• •يتعرف مفهوم المصفوفة ونظمها.‬ ‫مصفوفات باستخدام البرمجيات المتاحة.‬ ‫• •يتعرف بعض المصفوفات الخاصة (مصفوفة الصف -‬ ‫مصفوفة العمود - المصفوفة المربعة - المصفوفة • •ينمذج بعض المشكالت الحياتية باستخدام المصفوفات.‬ ‫الصفرية - المصفوفة القطرية - مصفوفة الوحدة - • •يوظف استخدام المصفوفات في مجاالت أخرى.‬ ‫• •يتعرف محدد المصفوفة من الرتبة الثانية والرتبة الثالثة.‬ ‫المصفوفة المتماثلة وشبه المتماثلة).‬ ‫• •يوجد قيمة المحدد على الصورة المثلثية.‬ ‫• •يضرب عددا حقيقيا في مصفوفة .‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫• •يوجد معكوس المصفوفة المربعة من الرتبة 2 × 2‬ ‫• •يتعرف تساوى مصفوفتين.‬ ‫• •يحل معادلتين آنيتين باستخدام معكوس المصفوفة.‬ ‫• •يوجد مدور المصفوفة.‬ ‫• •يجرى عمليات الجمع والطرح والضرب على المصفوفات. • •يحل المعادالت بطريقة كرامر.‬ ‫• •يوجد مساحة المثلث باستخدام المحددات.‬ ‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة‬ ‫‪Matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬عنصر‬ ‫‪Element‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة الصف‬ ‫‪Row matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة العمود‬ ‫‬ ‫‪Column matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة مربعة‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة متماثلة‬ ‫‬ ‫‪Symmetric matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة شبه متماثلة‬ ‫‪Skew-symmetric matrix‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬جمع المصفوفات‬ ‫‪Adding matrices‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة الوحدة‬ ‫‪Identity matrix‬‬ ‫‬ ‫‪Square matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬معادلة مصفوفية‬ ‫‪Matrix equation‬‬ ‫‬ ‫‪Equal matrices‬‬ ‫‪Variable matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة صفرية‬ ‫‪Zero matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفات متساوية‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة الثوابت‬ ‫‬ ‫‪Constant matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة المتغيرات‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬طرح المصفوفات‬ ‫‬ ‫‪Subtracting matrices‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬ضرب المصفوفات‬ ‫‪Multiplying matrices‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬مدور المصفوفة‬ ‫‪Transpose of matrix‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬محدد‬ ‫‪Determinant‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬محدد الرتبة الثانية‬ ‫‬ ‫‪Second order determinant‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬محدد الرتبة الثالثة‬ ‫‪Third order determinant‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة المعامالت‬ ‫‬ ‫‪Coefficient matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬معكوس ضربى للمصفوفة‬ ‫‪Inverse matrix‬‬ ‫‬
‫دروس الوحدة‬ ‫الدرس (1 - 1): تنظيم البيانات في مصفوفات.‬ ‫الدرس (1 - 2): جمع وطرح المصفوفات.‬ ‫الدرس (1 - 3): ضرب المصفوفات .‬ ‫الدرس (1 - 4): المحددات .‬ ‫الدرس (1 - 5): المعكوس الضربي للمصفوفة‬ ‫األدوات المستخدمة‬ ‫آلة حاسبة علمية - برنامج االكسيل ‪- Excel‬‬ ‫جهاز كمبيوتر. ‬ ‫نبذه تاريخية‬ ‫المصفوفات هي جمع كلمة مصفوفة، وهى من المفاهيم الرياضية التي انتشر استخدامها في عصرنا الحاضر، فشملت‬ ‫العديد من فروع المعرفة، فنجد استخداماتها في علوم االحصاء واالقتصاد، واالجتماع وعلم النفس وغيرها، وذلك‬ ‫ألنها تعرض البيانات، وتخزنها في صورة جداول مستطيلة الشكل، وتنظيم البيانات بهذه الصورة يسهل تذكرها‬ ‫والمقارنة بينها وإجراء العمليات عليها، كما أن للمصفوفات دورا هاما في علم الرياضيات وخاصة في فرع الجبر‬ ‫ًّ‬ ‫ً‬ ‫الخطى، وأول من الحظ المصفوفات واستخدمها هو العالم كيلي (1281 - 5981م).‬ ‫مخطط تنظيمي للوحدة‬ ‫المصفوفات‬ ‫تنظيم البيانات‬ ‫في مصفوفات‬ ‫المحددات‬ ‫العمليات على المصفوفات‬ ‫ايجاد مساحة المثلث‬ ‫تعريف المصفوفة‬ ‫تمثيل المصفوفات‬ ‫تحليل البيانات‬ ‫جمع وطرح المصفوفات‬ ‫ضرب المصفوفات‬ ‫خواص جمع المصفوفات‬ ‫خواص ضرب المصفوفات‬ ‫محدد المصفوفة المثلثية‬ ‫حل أنظمة المعادالت‬ ‫بطريقة كرامر‬ ‫ضرب عدد بمصفوفة‬ ‫بعض المصفوفات‬ ‫حل المعادالت المصفوفية‬ ‫مدور حاصل ضرب‬ ‫مصفوفتين‬ ‫المعكوس الضربي‬ ‫للمصفوفة‬ ‫الخاصة‬ ‫حدود المصفوفة‬ ‫حل نظام من المعادالت‬ ‫باستخدام المصفوفات‬
‫تنظيم البيانات في مصفوفات‬ ‫1 ‍‬ ‫‪Organizing data in Matrices‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫فكر‬ ‫ما املصفوفة؟‬ ‫بعض املصفوفات اخلاصة‬ ‫(املصفوفة املربعة - مصفوفة‬ ‫الصف - مصفوفة العمود -‬ ‫املصفوفة الصفرية - املصفوفة‬ ‫القطرية - مصفوفة الوحدة)‬ ‫مدور املصفوفة‬ ‫املصفوفة املتامثلة واملصفوفة شبه‬ ‫املتامثلة.‬ ‫تساوى مصفوفتني.‬ ‫رضب عدد حقيقي يف مصفوفة‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫مصفوفة‬ ‫‪Matrix‬‬ ‫عنرص ‬ ‫‪Element‬‬ ‫مصفوفة الصف‬ ‫‪Row matrix‬‬ ‫مصفوفة العمود‬ ‫‪Column matrix‬‬ ‫مصفوفة مربعة‬ ‫‪Square matrix‬‬ ‫مصفوفة صفرية‬ ‫‪Zero matrix‬‬ ‫مصفوفات متساوية‬ ‫مصفوفة متامثلة‬ ‫‪Equal matrix‬‬ ‫‪Symmetric matrix‬‬ ‫مصفوفة شبه متامثلة‬ ‫‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫الربط بالصناعة‬ ‫مصنع إلنتاج بعض مكونات شاشات التليفزيون به‬ ‫3 أقسام، ينتج 4 أجزاء رئيسية من الشاشة أ، ب، جـ، د‬ ‫على النحو التالي:‬ ‫القسم األول ينتج يوميا 57 قطعة من أ ، 531 قطعة من‬ ‫ًّ‬ ‫ب ، 051 قطعة من جـ ، 512 قطعة من د .‬ ‫القسم الثاني ينتج يوميا 001 قطعة من أ ، 861 قطعة من ب ، 012 قطعة من جـ،‬ ‫ً‬ ‫282 قطعة من د.‬ ‫القسم الثالث ينتج يوميا 08 قطعة من أ ، 001 قطعة من ب ، 441 قطعة من جـ ،‬ ‫ًّ‬ ‫46 قطعة من د.‬ ‫واضح أنه من الصعب تذكر هذه المعلومات أو المقارنة بينها، وهي على هذه‬ ‫الصورة واآلن هناك سؤاال يطرح نفسه:‬ ‫ً‬ ‫كيف يمكن ترتيب هذه البيانات حتى يمكن تحليلها واالستفادة منها؟‬ ‫لإلجابة عن هذا السؤال فإنه يمكننا كتابة البيانات في صورة جدول يمكننا من‬ ‫معرفة ما ينتجه كل قسم من األقسام الثالثة من األجزاء المختلفة بسرعة ووضوح،‬ ‫كما يسهل لنا المقارنة بين إنتاج األقسام الثالثة من األجزاء المختلفة.‬ ‫‪Skew symmetric matrix‬‬ ‫آلة حاسبة بيانية‬ ‫برنامج اإلكسيل‬ ‫جهاز كمبيوتر‬ ‫األقسام‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫القسم األول‬ ‫القسم الثاني‬ ‫القسم الثالث‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫4‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫أ‬ ‫57‬ ‫001‬ ‫08‬ ‫األجزاء‬ ‫ب‬ ‫531‬ ‫861‬ ‫001‬ ‫جـ‬ ‫051‬ ‫012‬ ‫441‬ ‫د‬ ‫512‬ ‫282‬ ‫46‬
‫تافوفصم يف تانايبلا ميظنت‬ ‫فإذا كنا نعلم أن األعداد بالصف األول هي إنتاج القسم األول من األجزاء أ ، ب، جـ ، د على الترتيب، وبالمثل‬ ‫األعداد التي بالصف الثاني هي إنتاج القسم الثاني بنفس الترتيب، كذلك األعداد التى بالصف الثالث هي إنتاج‬ ‫و‬ ‫القسم الثالث بنفس الترتيب، فإننا نستطيع كتابة المعلومات التى بالجدول السابق بصورة أكثر اختصارا كاآلتي:‬ ‫ً‬ ‫الصف األول‬ ‫الصف الثانى‬ ‫الصف الثالث‬ ‫57‬ ‫001‬ ‫08‬ ‫531‬ ‫861‬ ‫001‬ ‫051‬ ‫012‬ ‫441‬ ‫512‬ ‫282‬ ‫46‬ ‫-‬ ‫-‬ ‫-‬ ‫-‬ ‫وتسمى هذه الصورة مصفوفة كما تسمى األعداد داخل‬ ‫القوسين عناصر المصفوفة‬ ‫العمود العمود العمود العمود‬ ‫األول الثانى الثالث الرابع‬ ‫وهذه المصفوفة لها ثالثة صفوف وأربعة أعمدة، لذا يقال لها مصفوفة على النظم 3 * 4‬ ‫(أو باالختصار مصفوفة 3 * 4) حيث تذكر عدد الصفوف أوال ثم عدد األعمدة، كما نالحظ أن:‬ ‫عدد عناصر المصفوفة = 3 *4 = 21 عنصرا .‬ ‫ً‬ ‫واآلن:‬ ‫1- هل هناك طريقة أخرى لترتيب بيانات المسألة ، ووضعها على صورة مصفوفة أخرى؟ فسر إجابتك.‬ ‫2- من المصفوفة السابقة ، ما العنصر في الصف األول والعمود الثاني؟ وما العنصر في الصف الثاني والعمود‬ ‫األول؟‬ ‫3- سؤال مفتوح: اكتب مثاال من عندك يمكن كتابة المعلومات المتضمنة فيه على صورة مصفوفة 2 * 3‬ ‫ً‬ ‫تعلم‬ ‫ت‬ ‫تنظيم البيانات في مصفوفا ‬ ‫‪Organizing Data in Matrices‬‬ ‫المصفوفة هى ترتيب لعدد من العناصر (متغيرات أو أعداد) في صفوف وأعمدة محصورة بين قوسين، وتنظم‬ ‫العناصر في المصفوفة بحيث يكون الموقع في المصفوفة ذا معنى، ويرمز إلى المصفوفة عادة باستخدام‬ ‫الحروف الكبيرة ‪ ، D ،C‬ج، ‪ .... ،N ،M‬ولعناصر المصفوفة بالحروف الصغيرة ‪ ،C‬ب، جـ، س، ص ، ....‬ ‫إذا أردنا التعبير عن العنصر داخل المصفوفة ‪ C‬الذي يقع في الصف ص والعمود ع فإنه يمكننا كتابته على‬ ‫الصورة ‪C‬‬ ‫صع‬ ‫ً‬ ‫و‬ ‫فمثال العنصر ‪ 21C‬يقع في الصف األول والعمود الثاني، كذلك ‪ 23C‬يقع في الصف الثالث والعمود الثاني.‬ ‫فى المصفوفة: ‪= C‬‬ ‫1‬‫2‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫1‬‫5‬ ‫6‬ ‫2‬ ‫-2‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫-1‬ ‫العنصر -1 يقع في الصف 2 والعمود 2 ويرمز له بالرمز ‪C‬‬ ‫العنصر 6 يقع في الصف 1 والعمود 3 ويرمز له بالرمز ‪C‬‬ ‫22‬ ‫13‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫5‬
‫وبصفة عامة:‬ ‫المصفوفة المكونة من م صفا، ن عمودا تكون على النظم م * ن أو من الرتبة م * ن أو من النوع م * ن (وتقرأ م‬ ‫ًّ‬ ‫ً‬ ‫فى ن، حيث م، ن أعداد صحيحة موجبة.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ ‬ ‫‌ استخدم المصفوفة ‪= D‬‬ ‫1 5‬ ‫3 2‬ ‫5 7‬ ‫أ ما نظم المصفوفة ‬ ‫‪D‬؟‬ ‫تعلم‬ ‫لإلجابة عن مايلى:‬ ‫ب ما قيمة ‪12D ،21D‬؟‬ ‫تمثيل المصفوفات‬ ‫‪Representing Matrcies‬‬ ‫إذا كانت ‪ C‬مصفوفة على النظم م * ن فإنه يمكن كتابة المصفوفة ‪ C‬على الصورة:‬ ‫‪C( = C‬ص ع)،  ص = 1 ، 2، 3، ......................، م‬ ‫        ع  = 1 ، 2، 3، ......................، ن‬ ‫وسوف تقتصر دراستنا على الحاالت التى فيها م ‪ ، 3 H‬ن ‪3 H‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ اكتب جميع عناصر المصفوفات اآلتية:‬ ‫ص = 1 ، 2     ،  ع = 1، 2، 3‬ ‫أ ‪C( = C‬ص ع) ، ‬ ‫ ‬ ‫ص = 1 ، 2، 3 ،  ع = 1‬ ‫ب ‪( = D‬بص ع) ، ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ص = 1 ، 2      ،  ع = 1، 2‬ ‫ج‍ ج = (جـ ) ، ‬ ‫ ‬ ‫صع‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫أ ‪=C‬‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫21‬ ‫ج‍ ج =‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫21‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫22‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫22‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫13‬ ‫‪C‬‬ ‫23‬ ‫مصفوفة على النظم 2 * 3 ‬ ‫مصفوفة على النظم 2 * 2‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ اكتب جميع عناصر المصفوفات اآلتية:‬ ‫أ ‪C( =     C‬ص ع)، ص = 1 ، 2 ،3، ع = 1، 2، 3‬ ‫ ‬ ‫ب ب = (ب س ص)، ص = 1 ، 2، ع = 1‬ ‫ ‬ ‫6‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ب‬ ‫ب ‪ = D‬ب21 مصفوفة على النظم 3 *1‬ ‫ب‬ ‫31‬ ‫11‬
‫تافوفصم يف تانايبلا ميظنت‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ الربط بالمستهلك: يبين الجدول المقابل األسعار بالجنيه‬ ‫لثالثة أنواع من الساندويتشات بثالثة أحجام مختلفة في‬ ‫أحد مطاعم الوجبات الجاهزة.‬ ‫أ نظم هذه البيانات في مصفوفة، على أن تكون األسعار‬ ‫ ‬ ‫مرتبة تصاعديا.‬ ‫ًّ‬ ‫ب حدد نظم المصفوفة.‬ ‫ ‬ ‫ج‬ ‫‍ ما قيمة العنصر ‪ C‬؟‬ ‫ ‬ ‫صدور‬ ‫فراخ‬ ‫صغير‬ ‫متوسط‬ ‫كبير‬ ‫8‬ ‫21‬ ‫61‬ ‫9‬ ‫31‬ ‫71‬ ‫7‬ ‫11‬ ‫51‬ ‫جمبرى‬ ‫مقلى‬ ‫سمك‬ ‫فيليه‬ ‫32‬ ‫الحل‬ ‫صغير متوسط كبير‬ ‫51‬ ‫11‬ ‫7‬ ‫61‬ ‫21‬ ‫8‬ ‫71‬ ‫31‬ ‫9‬ ‫ ‬ ‫أ ‬ ‫ ‬ ‫ب هناك 3 صفوف، 3 أعمدة لذا فإن المصفوفة على النظم 3 * 3‬ ‫ج‍ قيمة العنصر ‪ C‬هى الموجودة بالصف 3 والعمود 2 وهى 31‬ ‫ ‬ ‫سمك فيليه‬ ‫صدور فراخ‬ ‫جمبرى مقلى‬ ‫32‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ رصد مدرب فريق كرة السلة بالمدرسة، إنجازات ثالثة العبين في مباريات‬ ‫دورى الفصول فكانت على النحو التالي:‬ ‫ سمير: لعب 01 مباريات ،  02 تسديدة  ،  5 أهداف.‬ ‫ حازم: لعب 61 مباراة   ،  53 تسديدة  ،  8 أهداف.‬ ‫ كريم: لعب 81 مباراة    ،  14 تسديدة  ،  01 أهداف.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫أ نظم البيانات فى مصفوفة على أن ترتب أسماء الالعبين ترتيبا تصاعديا تبعا لعدد األهداف.‬ ‫ًّ ً‬ ‫ً‬ ‫ب حدد نظم المصفوفة، ما قيمة‪32C‬؟‬ ‫مـثـال‬ ‫تنظيم البيانات اإلحصائية باستخدام المصفوفات‬ ‫ﺍﻻﺳﺘﻬﻼﻙ‬ ‫٥٢‬ ‫ﺍﻻﻧﺘﺎﺝ‬ ‫٠٢‬ ‫٥١‬ ‫٠١‬ ‫٥‬ ‫ﺍﻟﺪﻭﻟﺔ ﺟـ‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫ﺍﻟﺪﻭﻟﺔ ﺏ‬ ‫ﺍﻟﺪﻭﻟﺔ ﺃ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻜﻴﻠﻮ ﻭﺍﺕ / ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ‬ ‫‌ الربط بالطاقة: يمكن أن تقاس الطاقة بالكيلو وات / ساعة.‬ ‫يبين الرسم البيانى المقابل إنتاج الطاقة واالستهالك لبعض‬ ‫الدول. اكتب مصفوفة تمثل بيانات الرسم البياني المقابل.‬ ‫٠٣‬ ‫٠‬ ‫7‬
‫الحل‬ ‫افرض أن كل صف فى المصفوفة يمثل دولة، كل عمود يمثل‬ ‫و‬ ‫مستوى اإلنتاج واالستهالك. استنتج القيم من الرسم.‬ ‫تفكير ناقد‬ ‫دولة( أ )‬ ‫دولة (ب)‬ ‫دولة (جـ)‬ ‫االنتاج‬ ‫5٫9‬ ‫31‬ ‫91‬ ‫االستهالك‬ ‫5٫9‬ ‫9‬ ‫52‬ ‫كيف يمكنك تعديل المصفوفة لتمثيل البيانات بإضافة دول أخرى؟‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أعد كتابة البيانات فى المثال السابق فى صورة مصفوفة 2 *3، ضع عنوانًا للصفوف واألعمدة.‬ ‫‌ وضح الفرق بين المصفوفة التى على النظم 2 * 3، والمصفوفة التى على النظم 3 * 2‬ ‫تعلم‬ ‫ة‬ ‫بعض المصفوفات الخاص ‬ ‫‪Some special Matrices‬‬ ‫3 2‬‫‪l‬‬ ‫أ‬ ‫ المصفوفة المربعة: هى المصفوفة التى عدد الصفوف فيها يساوى عدد األعمدة مثل: 4 -1‬ ‫(مصفوفة مربعة على النظم 2 * 2)‬ ‫ ‬ ‫‪b‬‬ ‫ب مصفوفة الصف: هى المصفوفة التى تحتوى على صف واحد وأى عدد من األعمدة مثل: (2 4 6 8)‬ ‫(مصفوفة صف على النظم 1 * 4)‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫ج‍ مصفوفة العمود: هى المصفوفة التى تحتوى على عمود واحد، وأى عدد من الصفوف مثل: ‪f 5- p‬‬ ‫1‬ ‫(مصفوفة عمود على النظم 3 * 1)‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫د المصفوفة الصفرية: هى المصفوفة التى تكون جميع عناصرها أصفار وقد تكون مربعة أو التكون‬ ‫فمثال المصفوفات:‬ ‫ً‬ ‫0‬ ‫ (0) مصفوفة صفرية على النظم 1 * 1، (0 0) مصفوفة صفرية على النظم 1 * 2،  ‪ b 0 l‬مصفوفة‬ ‫0 0‬ ‫صفرية على النظم2 * 1،  ‪ b 0 0 l‬مصفوفة صفرية علي النظم 2 * 2، ويرمز للمصفوفة الصفرية‬ ‫بمستطيل صغير‬ ‫ه‍ المصفوفة القطرية: هى مصفوفة مربعة جميع عناصرها أصفار، ما عدا عناصر القطر الرئيسى فيكون،‬ ‫أحدها على األقل مغايرا للصفر فمثال المصفوفة:‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ ‬ ‫‪p‬‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬‫0‬ ‫0‬ ‫0 ‪( f‬مصفوفة قطرية على النظم 3 * 3)‬ ‫2‬ ‫و مصفوفة الوحدة: هى مصفوفة قطرية، يكون فيها كل عناصر القطر الرئيسى مساو يا الواحد، ويرمز‬ ‫ً‬ ‫لها بالرمز ‪ . I‬فمثال كل من المصفوفات:‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫8‬ ‫1 0‬ ‫(1) ،   ‪p   ،  b 1 0 l‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫‪  f‬هي مصفوفة وحدة.‬
‫تافوفصم يف تانايبلا ميظنت‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ اكتب نوع كل مصفوفة ونظمها.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫1 -1‬ ‫أ ‪ b 2 0 l‬‬ ‫ب (1 3 5 7) ‬ ‫1 0‬ ‫ه‍ ‪ b 3 0 l‬‬ ‫0 0‬ ‫د ‪ b0 0l‬‬ ‫ج‍ ‬ ‫و ‬ ‫‌ اكتب المصفوفة الصفرية على النظم 3 * 3‬ ‫تعلم‬ ‫تساوى مصفوفتين‬ ‫3‬ ‫‪f4p‬‬ ‫5‬ ‫0 0‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫0 1‬ ‫‪Equality of two Matrices‬‬ ‫تتساوى مصفوفتان ‪ D ،C‬إذا كانتا على نفس النظم، كان كل عنصر في المصفوفة ‪ C‬مساو يا لنظيره في المصفوفة‬ ‫و‬ ‫ً‬ ‫‪ D‬أي أن: ‪C‬ص ع = ‪ D‬ص ع  لكل ص ولكل ع.‬ ‫مـثـال‬ ‫1 2‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫1 2 0‬ ‫‌ أ المصفوفتان ‪ b 0 5 1- l ، b 5 1- l‬‬ ‫1 س 2‬ ‫ب ‪ b 2 3- 1 l = b 5 6 1- l‬‬ ‫-1 6 ص‬ ‫1 ص‬‫ج‍ المصفوفتان ‪ b 1- 3 l ، b 2 1 l‬‬ ‫س -1‬ ‫0 1 5‬ ‫د ‪p =f 0 7 1 p‬‬ ‫2 6 3‬ ‫0 1 5‬ ‫1 7 0‬ ‫2 6 3‬ ‫غير متساويتين ألنهما ليسا على نفس النظم.‬ ‫إذا و فقط إذا كانت س = -3 ، ص = 5‬ ‫اليمكن أن يتساويا، وذلك إلختالف أحد العناصر المناظرة‬ ‫في كل منهما (عناصر الصف األول والعمود األول)‬ ‫‪ f‬‬ ‫المصفوفتان متساويتان ألن لهما نفس النظم وعناصرهما‬ ‫المتناظرة متساوية.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ 3 2٫0‬‫57٫0 1‬‫‪4 o‬‬ ‫5 ‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‌ أ إذا كان ‪  2- 0٫5 = D     ،  2- 1 o = C‬هل ‪D = C‬؟ فسر إجابتك.‬ ‫2‬ ‫3 4‬‫3 4‬ ‫ب إذا كانت ‪      b 2- 0 l = N     ،       b 2- 0 l = M‬هل ‪N = M‬؟ فسر إجابتك .‬ ‫ ‬ ‫مـثـال‬ ‫استخدام المصفوفات المتساوية في حل المعادالت‬ ‫‌ إذا كان: ‪2 l‬س-5‬ ‫3‬ ‫الحل‬ ‫4‬ ‫‪ 2 l‬س-5‬ ‫3 3 ص +21‬ ‫‪l=b‬‬ ‫52‬ ‫4‬ ‫‪l =b‬‬ ‫3ص + 21‬ ‫3‬ ‫52‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫ص +81‬ ‫4‬ ‫ص + 81‬ ‫‪  b‬فأوجد قيمتى س، ص.‬ ‫‪b‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫9‬
‫حيث أن المصفوفتين متساويتان، فيكون العناصر المتناظرة متساوية ونكتب:‬ ‫3ص + 21 = ص + 81‬ ‫ ، ‬ ‫2 س - 5 = 52‬ ‫3ص- ص = 81 - 21‬ ‫ ، ‬ ‫2 س     = 52 - 5‬ ‫ص     = 3‬ ‫ ، ‬ ‫2 س     = 02‬ ‫س       = 01‬ ‫الحل هو س = 01، ص = 3‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان ‪ l‬س + 8‬ ‫3‬ ‫5‬‫-ص‬ ‫‪l = b‬‬ ‫83‬ ‫3‬ ‫-5 ‪     b‬فأوجد قيمتى س، ص‬ ‫4ص-01‬ ‫1 ‌ تفكير ناقد: إذا كان (3س  س + ص  س - ع) = (-9  4  -01)   فأوجد قيم كل من س، ص، ع‬ ‫‪+C‬ب‬ ‫1 ‌ تفكير ناقد: إذا علم أن:‬ ‫‪ + C‬ب + جـ‬ ‫تعلم‬ ‫‪-C‬ب‬ ‫‪ - C‬ب + 2د‬ ‫= ‪ b 3- 9 l‬فأوجد قيم ‪ ،C‬ب، جـ، د‬ ‫7 5‬ ‫ة‬ ‫ضرب عدد حقيقي في مصفوف ‬ ‫‪Multipling a Real Number by a Matrix‬‬ ‫ضرب عدد حقيقي في مصفوفة يعنى ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في ذلك العدد الحقيقي أي أن:‬ ‫حاصل ضرب عدد حقيقي ك في مصفوفة ‪ C‬على النظم م * ن هي مصفوفة ج = ك ‪ C‬على نفس النظم م * ن كل‬ ‫و‬ ‫عنصر فيها جـ ص ع يساوى العنصر المناظر له في المصفوفة ‪ C‬مضروبا في العدد الحقيقي ك.‬ ‫ً‬ ‫أي: جـ ص ع = ك ‪ C‬ص ع   حيث ص =1، 2، .....، م ، ع = 1، 2، .....، ن‬ ‫الحظ أن:‬ ‫كس كص‬ ‫س ص‬ ‫‪l= b‬‬ ‫ك‪l‬‬ ‫كع كل‬ ‫ع ل‬ ‫‪b‬‬ ‫فمثال -2 4 1‬ ‫ً‬ ‫‪b 2- 8- l = b 1 * 2- 4 * 2- l = b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫5 -1‬ ‫01 2‬‫2 * 5 -2 * -1‬‫مـثـال‬ ‫‌ تخطط إحدى الكافيتريات لرفع ثمن كل مشروب مرة ونصف المرة. استخدم‬ ‫الئحة األسعار فى الجدول التالى إليجاد ثمن كل مشروب بعد الزيادة؟‬ ‫حجم صغير‬ ‫حجم كبير‬ ‫كوب لبن كامل الدسم‬ ‫57٫0 من الجنيه‬ ‫05٫1 من الجنيه‬ ‫كوب عصير مانجو‬ ‫09٫0 من الجنيه‬ ‫09٫1 من الجنيه‬ ‫كوب عصير برتقال‬ ‫01‬ ‫58٫0 من الجنيه‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫57٫1 من الجنيه‬
‫تافوفصم يف تانايبلا ميظنت‬ ‫الحل‬ ‫57٫0‬ ‫05٫1‬ ‫09٫0‬ ‫09٫1‬ ‫58٫0‬ ‫5٫1 * 57٫0 5٫1 * 05٫1‬ ‫=‬ ‫57٫1‬ ‫=‬ ‫521٫1 52٫2‬ ‫572٫1 526٫2‬ ‫ ‬ ‫5٫1‬ ‫ ‬ ‫سوف يصبح ثمن كوب اللبن من الحجم الصغير 521٫1 من الجنيه، ثمن كوب اللبن‬ ‫من الحجم الكبير 52٫2 من الجنيه، وسوف يصبح ثمن كوب عصير البرتقال من‬ ‫الحجم الصغير 572٫1 من الجنيه، وثمن كوب البرتقال من الحجم الكبير 526٫2،‬ ‫وسوف يصبح ثمن كوب عصير المانجو من الحجم الصغير 53٫1من الجنيه، وثمن‬ ‫كوب المانجو من الحجم الكبير 58٫2 من الجنيه.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫5٫1 * 09٫0 5٫1 * 09٫1‬ ‫51 -21 01‬ ‫02 -01 7‬ ‫-2 1 3‬ ‫‌‬ ‫1 إذا كان ‪= C‬‬ ‫تعلم‬ ‫5٫1 * 58٫0 5٫1 * 57٫1‬ ‫53٫1 58٫2‬ ‫فأوجد -5‪C‬‬ ‫مدور المصفوفة‬ ‫‪Transpose of a Matrix‬‬ ‫في أي مصفوفة ‪ C‬على النظم م * ن إذا استبدلنا الصفوف باألعمدة واألعمدة بالصفوف بنفس الترتيب فإننا نحصل‬ ‫على مصفوفة على النظم ن * م، وتسمى مدور المصفوفة ‪ ،C‬ويرمز لها بالرمز ‪ C‬مد ويتضح من التعريف أن (‪C‬مد)مد = ‪C‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد مدور كل من المصفوفات اآلتية:‬ ‫ ‬ ‫أ ‪=C‬‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫الحل‬ ‫2‬ ‫-1‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫-1‬ ‫1‬‫5‬ ‫3‬ ‫1 ‪ f‬‬‫5‬ ‫ ‬ ‫أ ‪ C‬مد   = ‪p‬‬ ‫ ‬ ‫ب ب مد = ‪ 2- p‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫6‬ ‫مد ‪3- l‬‬ ‫ج‍ ج   =‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫-1 ‪ b‬‬ ‫ ‬ ‫ب ب = (1  -2  6) ‬ ‫3 4‬‫ج‍‬ ‫‪l‬‬ ‫ ج = 2 -1‬ ‫‪b‬‬ ‫مصفوفة على النظم 3 * 2‬ ‫مصفوفة عمود على النظم 3 * 1‬ ‫مصفوفة مربعة على النظم 2 * 2‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫11‬
‫الم�صفوفات المتماثلة و�شبه المتماثلة‬ ‫‪Symmetric and Semi Symmetric Matrices‬‬ ‫إذا كانت ‪ C‬مصفوفة مربعة فإنها تسمى متماثلة إذا وفقط إذا كانت ‪C = C‬مد وتسمى شبه متماثلة إذا وفقط إذا كانت‬ ‫مد‬ ‫‪C- = C‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ هل المصفوفة ب = ‪p‬‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ب= ‪p‬‬ ‫0‬ ‫1‬‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫-3‬ ‫0‬ ‫1‬‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫-3‬ ‫1‬‫3‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬‫1‬ ‫1‬‫3‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫-3‬ ‫‪ f‬متماثلة أم شبه متماثلة؟‬ ‫‪ f‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫-1‬ ‫ب مد = ‪p‬‬ ‫1‬ ‫3‬‫0‬ ‫1‬‫0‬ ‫3‬ ‫‪f‬‬ ‫-1‬ ‫ ‬ ‫ب مد = -1 * ‪p‬‬ ‫ ‬ ‫` ب مد = -ب فيكون ب = - ‪ D‬مد فتكون المصفوفة ب شبه متماثلة‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌‬ ‫1 هل المصفوفة ‪p = C‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫-1‬ ‫3 ‪-= f‬ب‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫1‬‫5‬ ‫6‬ ‫‪ f‬متماثلة أم شبه متماثلة؟‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ أوجد قيمة كل من س، ص، ع في كل مما يأتى:‬ ‫س‬ ‫أ ‪l‬‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫1 ‪l =b‬‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫‪ b‬‬ ‫س‬ ‫ب ‪l‬‬ ‫0‬ ‫‌ بين أيا من المصفوفات اآلتية متماثلة وأيها شبه متماثلة:‬ ‫ًّ‬ ‫أ ‪p‬‬ ‫ ‬ ‫21‬ ‫1‬ ‫1‬‫4‬ ‫1‬‫2‬ ‫6‬ ‫4‬ ‫6‬ ‫5‬ ‫‪ f‬‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ب ‬ ‫0‬ ‫5‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫1‬ ‫5‬‫2‬ ‫0‬ ‫1‬‫2‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫‪l =b‬‬ ‫0‬ ‫ص‬ ‫1‬‫1‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫ع‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫3 ‪ b‬‬
‫تافوفصم يف تانايبلا ميظنت‬ ‫نشاط‬ ‫الربط بالتكنولوجيا: استخدام الجداول اإللكترونية في تنظيم البيانات‬ ‫األدوات المستخدمة: برنامج الجداول اإللكترونية(‪)Excel‬‬ ‫‬ ‫استخدم الجداول اإللكترونية لتنظيم البيانات وعرضها وتحليلها، حيث يتم إدخالها في برنامج الجداول‬ ‫اإللكترونية في صفوف وأعمدة مثل المصفوفات، بعد ذلك يمكنك استخدامها في عمل الرسوم أو إيجاد‬ ‫الحسابات.‬ ‫مـثـال‬ ‫01 الربط بالتجارة: جمع مدير سوبر ماركت مبيعاته من السلع‬ ‫الغذائية بالكيلو جرام في أربعة أسابيع متتالية، ونظمها في‬ ‫الجدول المقابل، أدخل البيانات في برنامج الجداول اإللكترونية.‬ ‫1- استخدم العمود ‪ A‬للنوع والعمود ‪ B‬لمبيعات األسبوع األول ،‬ ‫والعمود ‪ C‬لمبيعات األسبوع الثانى، والعمود ‪ D‬لمبيعات األسبوع‬ ‫الثالث والعمود ‪ E‬لمبيعات األسبوع الرابع.‬ ‫مبيعات السوبر ماركت من بعض السلع الغذائية بالكيلو‬ ‫جرامات خالل 4 أسابيع متتالية‬ ‫النوع‬ ‫سكر‬ ‫زيت‬ ‫مكرونة‬ ‫دقيق‬ ‫زبدة‬ ‫ألبان‬ ‫شاي‬ ‫فول‬ ‫األسبوع‬ ‫األول‬ ‫43‬ ‫24‬ ‫06‬ ‫07‬ ‫52‬ ‫06‬ ‫22‬ ‫54‬ ‫األسبوع‬ ‫الثاني‬ ‫03‬ ‫84‬ ‫26‬ ‫57‬ ‫42‬ ‫63‬ ‫81‬ ‫53‬ ‫األسبوع‬ ‫الثالث‬ ‫72‬ ‫63‬ ‫45‬ ‫08‬ ‫02‬ ‫14‬ ‫03‬ ‫83‬ ‫األسبوع‬ ‫الرابع‬ ‫81‬ ‫23‬ ‫85‬ ‫27‬ ‫81‬ ‫77‬ ‫23‬ ‫04‬ ‫يحوي كل صف مبيعات النوع‬ ‫نفسه من السلعة الغذائية، ويمثل‬ ‫الصف الثانى مبيعات الزيت.‬ ‫81‬ ‫72‬ ‫03‬ ‫43‬ ‫ﺳــﻛــﺭ‬ ‫23‬ ‫63‬ ‫84‬ ‫24‬ ‫ﺯﻳﺕ‬ ‫85‬ ‫45‬ ‫86‬ ‫06‬ ‫ﻣﻛﺭﻭﻧﺔ‬ ‫27‬ ‫08‬ ‫57‬ ‫07‬ ‫ﺩﻗﻳﻕ‬ ‫81‬ ‫02‬ ‫42‬ ‫52‬ ‫ﺯﺑﺩﻩ‬ ‫77‬ ‫14‬ ‫63‬ ‫06‬ ‫23‬ ‫03‬ ‫81‬ ‫22‬ ‫ﺍﻟﺑﺎﻥ‬ ‫ﺷﺎﻯ‬ ‫04‬ ‫83‬ ‫53‬ ‫54‬ ‫ﻓﻭﻝ‬ ‫تحتوي كل خلية في الجدول جزءا‬ ‫ً‬ ‫واحدً ا من البيانات، حيث تحتوي‬ ‫الخلية 7‪ D‬على القيمة 03، والتي‬ ‫تمثل عدد الكيلو جرامات المبيعة‬ ‫في األسبوع الثالث من الشاي.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌‬ ‫1 قارن بين تنظيم البيانات في الجداول اإللكترونية وتنظيمها في مصفوفة.‬ ‫‌‬ ‫1 عند استخدامك لألمر (‪ )sum‬يمكنك إيجاد مجاميع مدخالت الصفوف واألعمدة في الجداول اإللكترونية.‬ ‫يمكنك إيجاد مجاميع مدخالت الصفوف من 1 إلى 8 بإدخال الصيغة )8‪ = sum (F1:F‬ماذا تمثل هذه المجاميع؟‬ ‫ ‬ ‫‌‬ ‫1 اختر إحدى المسائل التي درستها في هذا الدرس، وتحقق من صحة إجاباتك باستخدام الجداول اإللكترونية‬ ‫(يمكنك استخدام برنامج (‪.))EXCEL‬‬ ‫‌‬ ‫1 مسألة مفتوحة: أنشئ مصفوفة باستخدام بيانات حياتية تكون مجاميع عناصر أعمدتها ذات معنى،‬ ‫ومجاميع عناصر صفوفها لها معنى أيضا، أدخل بيانات المصفوفة على برنامج الجداول اإللكترونية، وتحقق‬ ‫ً‬ ‫من صحة المجاميع التى حصلت عليها، ثم فسر ماذا تعنى مجاميع كل من األعمدة والصفوف.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫31‬
‫جمع وطرح المصفوفات‬ ‫1 ‍‬ ‫‪Adding and subtracting Matrices‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫عمل تعاونى‬ ‫مجع املصفوفات.‬ ‫الربط باالحصاء: اعمل مع زميل لك . استخدم المعلومات في الجدول التالي:‬ ‫طرح املصفوفات.‬ ‫السنة‬ ‫1102‬ ‫2102‬ ‫3102‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫مجع املصفوفات‬ ‫‪Adding matrices‬‬ ‫طرح املصفوفات‬ ‫‬ ‫‪Subtracting matrices‬‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة بيانية‬ ‫الوسط الحسابى للدرجات‬ ‫رياضيات‬ ‫علوم‬ ‫إناث‬ ‫ذكور‬ ‫إناث‬ ‫ذكور‬ ‫754‬ ‫205‬ ‫024‬ ‫824‬ ‫064‬ ‫105‬ ‫124‬ ‫524‬ ‫364‬ ‫305‬ ‫624‬ ‫924‬ ‫1- أ أوجد مجموع درجات الوسطين الحسابيين للذكور في كل سنة في الجدول.‬ ‫ب أوجد مجموع درجات الوسطين الحسابيين لإلناث في كل سنة في الجدول.‬ ‫ ‬ ‫2- أ اكتب مصفوفة تمثل الوسط الحسابي لدرجات مادة العلوم للذكور‬ ‫واإلناث. ضع عنوانًا للمصفوفة وصفوفها وأعمدتها.‬ ‫ب ما نظم المصفوفة؟‬ ‫ ‬ ‫3- أ اكتب مصفوفة تمثل الوسط الحسابى لدرجات الرياضيات للذكور‬ ‫واإلناث. ضع عنوانًا للمصفوفة وصفوفها وأعمدتها.‬ ‫ب ما نظم المصفوفة ؟‬ ‫ ‬ ‫4- بفحص إجابتك عن السؤال رقم (1) والمصفوفات التى كتبتها في السؤالين (2)،‬ ‫ ‬ ‫(3)، اكتب مصفوفة ثالثة تمثل مجموع درجات الوسطين الحسابيين للذكور‬ ‫واإلناث. ضع عنوانًا للمصفوفة وصفوفها وأعمدتها، ما نظم المصفوفة؟‬ ‫5- استخدم مالحظاتك، وأى أنماط تراها لصياغة طريقة لجمع المصفوفات.‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫جمع المصفوفات‬ ‫‪Adding Matrices‬‬ ‫نريد أحيانا ان نجمع أو نطرح مصفوفات، لكى نحصل على معلومات جديدة.‬ ‫لتحصل على مصفوفة الجمع، اجمع العناصر المتناظرة.‬ ‫أى أن: إذا كانت ‪ D ،C‬مصفوفتين على النظم م * ن، فإن ‪ + C‬ب هى مصفوفة أيضا على‬ ‫ً‬ ‫النظم م * ن ويكون كل عنصر فيها هو مجموع العنصرين المتناظرين في ‪ ،C‬ب.‬ ‫41‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫تافوفصملا حرطو عمج‬ ‫مـثـال‬ ‫0 2‬ ‫‌ إذا كان ‪ ، b 3 1- l = C‬ب = ‪ b 2- 7 l‬فأوجد: ‪.D + C‬‬ ‫1 -4‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫0 2‬ ‫7‬ ‫2 ‪ b‬‬‫‪ + C‬ب =‪l + b 3 1- l‬‬ ‫1 -4‬ ‫(بالتعويض عن ‪ ،C‬ب)‬ ‫2+ (-2) ‬ ‫0+7‬ ‫   =‬ ‫1 + 1 3 + (-4)‬‫7 0‬ ‫‪b‬‬ ‫ = ‪l‬‬ ‫ ‬ ‫0 -1‬ ‫(بجمع العناصر المتناظرة)‬ ‫(بسط)‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ، b 1- 4- l = C‬ب = ‪ ، b 7- 2 l‬جـ = ‪ b 7 l‬أوجد كال ممايأتي إن أمكن:‬ ‫ً‬ ‫3 -7‬‫4‬ ‫8 -1‬ ‫ب ‪ + C‬جـ‬ ‫أ ‬ ‫‪+C‬ب‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫ت‬ ‫خواص جمع المصفوفا ‬ ‫‪Properties of Adding Matrices‬‬ ‫نفرض ‪ ، C‬ب ، ج ثالث مصفوفات من النظم م * ن وأن‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫مصفوفة صفرية على نفس النظم فإن:‬ ‫1- خاصية اإلنغالق: ‪ + C‬ب تكون مصفوفة على النظم م * ن‬ ‫مصفوفة على النظم 2 * 2، ب = 7‬ ‫إذا كانت ‪2 1- = C‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫2 0‬‫0 3‬ ‫فإن    ‪ + C‬ب = ‪ b 4 6 l = b 2 7 l + b 2 1- l‬مصفوفة على النظم 2 * 2‬ ‫0 3‬ ‫2 0‬‫-2 3‬ ‫2- خاصية اإلبدال: ‪ + C‬ب = ب + ‪C‬‬ ‫واآلن: إذا كان ‪ ، b 1- 3 l = C‬ب = ‪  b 5 6 l‬فبين أن  ‪ + C‬ب = ب + ‪C‬‬ ‫4‬ ‫-2 3‬ ‫0‬ ‫3- خاصية الدمج: (‪ + C‬ب) + ج = ‪( + C‬ب + ج)‬ ‫واآلن: إذا كان ‪ ، b 1- 3 l = C‬ب = ‪ ، b 5 6 l‬ج = ‪  b 4 2 l‬فبين أن (‪ + )D + C‬ج = ‪ + D( + C‬ج)‬ ‫4‬ ‫0‬ ‫4- خاصية المحايد الجمعى:  ‪+ C‬‬ ‫ ‬ ‫0 0 0‬ ‫1 2 3‬ ‫فمثالً: ‪+ f 4 5- 6 p‬‬ ‫ ‬ ‫‪0 0 0 p‬‬ ‫0 0 0‬ ‫7 8 -9‬ ‫-2 3‬ ‫=‬ ‫+‪C=C‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫-1 -3‬ ‫فمثال 3‬ ‫ً‪l‬‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫7‬ ‫8 -9‬ ‫‪p = f 4 5- 6 p + f 0 0 0 p = f‬‬ ‫5- خاصية المعكوس (النظير)الجمعي:  ‪= C + )C-( = )C-( + C‬‬ ‫حيث (-‪ )C‬النظير الجمعى للمصفوفة ‪C‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫2 ‪ b‬مصفوفة على النظم 2 * 2‬ ‫5 2 + ‪0 = b 2- 5- 3- l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫2 0 5‬‫0‬ ‫0 -5‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1 2 3‬ ‫6 -5 4‬ ‫7 8 -9‬ ‫0  حيث ‪3 - = b 2- 5- 3- l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫2 0 5‬‫2‬ ‫0‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫‪f‬‬ ‫5 2‬ ‫0 -5‬ ‫‪b‬‬ ‫51‬
‫تعلم‬ ‫طرح المصفوفات ‬ ‫إذا كانت كل من المصفوفتين ‪ ،C‬ب على النظم م * ن فإن المصفوفة ج = ‪ - C‬ب = ‪-( + C‬ب) حيث ج مصفوفة‬ ‫علي النظم م * ن ، (-ب) هى معكوس للمصفوفة ب بالنسبة لعملية جمع المصفوفات.‬ ‫فمثالً: ‪ C l‬ب ‪ l - b‬س ص ‪ C l = b‬ب ‪- l + b‬س -ص ‪ - C l = b‬س ب - ص ‪b‬‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫جـ - ع ‪ - E‬ل‬ ‫ع ل‬ ‫ع -ل‬‫مـثـال‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ، b 11 4- 7 l = C‬ب = ‪ b 2 9 5 l‬أثبت أن ‪ - C‬ب ! ب - ‪.C‬‬ ‫6 5 -1‬ ‫8 -7 -3‬ ‫الحل‬ ‫7‬ ‫ ‬ ‫‪-C‬ب= ‪l‬‬ ‫6‬ ‫    = 7‬ ‫ ‬ ‫‪l‬‬ ‫6‬ ‫    = 2‬ ‫ ‬ ‫‪l‬‬ ‫-2‬ ‫4‬‫5‬ ‫4‬‫5‬ ‫31‬‫-2‬ ‫11‬ ‫‪b‬‬ ‫1‬‫11‬ ‫‪b‬‬ ‫1‬‫9 ‪b‬‬ ‫-4‬ ‫5 9 2‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬‫8 -7 -3‬ ‫+ ‪b 2- 9- 5- l‬‬ ‫-8 7 3‬ ‫ب - ‪l =  C‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫(1) ‬ ‫    = ‪l‬‬ ‫    = ‪l‬‬ ‫5‬ ‫8‬ ‫5‬ ‫8‬ ‫2‬‫2‬ ‫9‬ ‫7‬‫9‬ ‫7‬‫31‬ ‫-21‬ ‫2 - 7‬ ‫‪l b‬‬ ‫3‬‫6‬ ‫2 + ‪7- l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫6‬‫3‬‫9 ‪b‬‬‫-2‬ ‫4‬‫5‬ ‫4‬ ‫-5‬ ‫11‬ ‫1‬‫11 ‪b‬‬‫1‬ ‫‪b‬‬ ‫(2)‬ ‫من (1)، (2) نالحظ أن: ‪ - C‬ب ! ب - ‪( C‬عملية طرح المصفوفات ليست إبدالية)‬ ‫ ‬ ‫فكر: هل عملية طرح المصفوفات دامجة؟‬ ‫ ‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ، b 1- 5 2 l = C‬ب = ‪ ، b 3 4 1- l‬ج = ‪ b 2- 1- 6 l‬أوجد المصفوفة 2‪5 + D 3 - C‬ج‬ ‫الحل‬ ‫9 -2 5‬ ‫3 -4 6‬ ‫-3 5‬ ‫4‬ ‫2 * -1 = 4 01‬ ‫2 ‪b‬‬‫‪l b‬‬ ‫6 -8‬ ‫21‬ ‫2*6‬ ‫3 * 3 = -3 21 9‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l b‬‬ ‫72 -6 51‬ ‫3*5‬ ‫2‪5 * 2 2 * 2 l = b 1- 5 2 l 2 =       C‬‬ ‫ ‬ ‫2 * 3 2 * -4‬ ‫3 -4 6‬ ‫3ب = 3 ‪4 * 3 1-* 3 l = b 3 4 1- l‬‬ ‫ ‬ ‫9 -2 5‬ ‫3 * 9 3 * -2‬ ‫3ب = 3‬‫ ‬ ‫21 -9 ‪b‬‬‫‪l‬‬ ‫72 6 -51‬‫5ج = 5 6 -1 -2 = 5 * 6 5 * -1 5 * -2 = 03‬ ‫ ‬ ‫5 -01 ‪b‬‬‫‪l b‬‬ ‫‪l b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫51‬‫52 02‬ ‫5 * -3 5 * 5 5 * 4‬ ‫3 5 4‬‫` 2 ‪3 - C‬ب + 5 ج = 4 01 -2 + 3 -21 -9 + 03‬ ‫5 -01 ‪b‬‬‫‪l b‬‬ ‫‪l b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫51 52 02‬‫72 6 -51‬‫6 -8 21‬ ‫       = 4 +3 + 03 01 - 21 -5 -2 - 9 - 01 = 73‬ ‫ ‬ ‫7 -12 ‪b‬‬‫‪l b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫63‬‫32 71‬ ‫6 - 72 - 51 -8 + 6 + 52 21 - 51 + 02‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان ‪ ، b 1- 2 l = C‬ب = ‪ ، b 4 1- l‬ج = ‪ b 3- 1 l‬فأوجد المصفوفة 2‪4 + D3 - C‬ج‬ ‫-3 5‬ ‫61‬ ‫6 -2‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫0‬ ‫3‬
‫تافوفصملا حرطو عمج‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‌ أوجد قيمة كل ممايأتى:‬ ‫2‬ ‫‪l‬‬ ‫9‬ ‫أ‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫‪4- l‬‬ ‫1‬ ‫‪+b‬‬ ‫1‬ ‫-1‬ ‫3‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫2‬ ‫‪l‬‬ ‫‌ إذا كانت‪4 = C‬‬ ‫1‬ ‫-2 ‪ b‬‬ ‫1‬ ‫1 ‪ ، b‬ب = ‪l‬‬‫0‬ ‫0‬ ‫ب ‪p‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫أ أوجد ‪ - C‬ب ، ب - ‪ . C‬‬ ‫ماذا تالحظ؟‬ ‫3 ‪b‬‬‫1‬ ‫3 4‬‫3 -3‬ ‫0 4 ‪1- 5 p - f‬‬ ‫2 2‬ ‫5 2‬ ‫‪f‬‬ ‫ب تحقق من أن - (‪ + C‬ب) = (-‪-( + )C‬ب)‬ ‫نشاط‬ ‫الربط بالتكنولوجيا: يمكنك استخدام اآللة الحاسبة لجمع أو طرح المصفوفات، على اآللة الحاسبة تسمى‬ ‫المصفوفة باستخدام متغير، بعض اآلالت الحاسبة تضع أقواس [ ] حول‬ ‫تذكر‬ ‫المتغير لتوضيح المصفوفة، قبل إدخال القيم للمصفوفة، يجب أن تدخل‬ ‫تذكر أن [‪ ]B] ،[A‬يمكن‬ ‫جمعها وطرحها ألنهما على‬ ‫نظم المصفوفة‬ ‫ ‬ ‫[‪[ = ]A‬‬ ‫4]‬ ‫[‪[ = ]B‬‬ ‫3 2 1 ‬ ‫5‬ ‫6‬ ‫9‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫7‬ ‫نفس النظم 3 × 2‬ ‫16 ]‬ ‫تتابع المفاتيح الموضح أدناه هو إلدخال وجمع مصفوفتين، إجر كل الخطوات للمصفوفة ‪ ،A‬ثم للمصفوفة ‪B‬‬ ‫مصفوفة [‪]A‬‬ ‫مصفوفة [‪]B‬‬ ‫2‬ ‫‪Enter‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫(-)‬ ‫2‬ ‫‪Enter‬‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫‪Enter‬‬ ‫9‬ ‫‪Enter‬‬ ‫6‬ ‫4‬ ‫‪Enter‬‬ ‫(-)‬ ‫1‬ ‫‪Quit‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫1‬ ‫$‬ ‫إلدخال القيم في الصف األول‬ ‫‪Enter‬‬ ‫4‬ ‫$‬ ‫إلدخال القيم في الصف الثاني‬ ‫‪Matrx‬‬ ‫3‬ ‫‪Enter‬‬ ‫3‬ ‫‪Enter‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫7‬ ‫‪Enter‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫2‬ ‫$‬ ‫إلدخال نظم المصفوفة‬ ‫1‬ ‫‪Matrx‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫$‬ ‫إلضافة مصفوفة‬ ‫6‬ ‫2‬ ‫‪Enter‬‬ ‫5‬ ‫‪Enter‬‬ ‫‪2nd‬‬ ‫‪Quit‬‬ ‫1‬ ‫‪Matrx‬‬ ‫+‬ ‫‪Matrx‬‬ ‫]‪[A] + [b‬‬ ‫]5 1 1 7[[‬ ‫]]1- 9 3[‬ ‫2‬ ‫‪$ 2nd‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫ ‬ ‫[‬ ‫8٫3 1٫2‬ ‫]‬ ‫أ [‪= ]B] ،  0٫8- 1٫5 = [A‬‬ ‫-4٫1 9٫1‬ ‫[‬ ‫ $             لجمع[‪]B] ،[A‬‬ ‫   $    سوف تعرض اآللة الحاسبة مجموع المصفوفتين‬ ‫1- واآلن: استخدم اآللة الحاسبة إليجاد: [‪]A] - [B] ،[A] + [B‬‬ ‫ ‬ ‫1.1 -4.1‬ ‫6.0 1.‬ ‫-7.1 8.0‬ ‫للذهاب إلى‬ ‫(‪)home screen‬‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫7‬ ‫5‬ ‫-4‬ ‫6‬ ‫-7 -6‬ ‫] [‬ ‫ ب [‪= ]B]  ، 10- 9- 4 = [A‬‬ ‫5 8 31‬‫4 11 7‬ ‫-51 6 -8‬ ‫]‬ ‫2- هل التغيير في ترتيب المصفوفات يؤثر على الناتج عند جمع المصفوفات؟ وعند طرح المصفوفات؟ فسر إجابتك.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫71‬
‫ضرب المصفوفات‬ ‫1 ‍‬ ‫‪Multiplying matrices‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫عمل تعاونى‬ ‫ رضب املصفوفات.‬ ‫خواص رضب املصفوفات.‬ ‫مدور حاصل رضب مصفوفتني.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫رضب املصفوفات‬ ‫‪Multiplying matrices‬‬ ‫‬ ‫مدور مصفوفة‬ ‫‪Transpose of matrix‬‬ ‫‬ ‫اعمل مع زميل لك. استخدم البيانات‬ ‫في الجدول المقابل:‬ ‫ثمن الوجبة بالجنيهات‬ ‫1- ما ثمن وجبات الغذاء(1)؟ وجبات‬ ‫ ‬ ‫001‬ ‫05‬ ‫عدد الوجبات المباعة‬ ‫الغذاء(2)؟ وجبات الغذاء (3)؟‬ ‫2- أ ما مجموع ثمن جميع الوحدات المباعة من الوجبات الثالثة ؟‬ ‫ب وضح كيف استخدمت بيانات الجدول إليجاد اإلجابة.‬ ‫ ‬ ‫وجبة وجبة وجبة‬ ‫(1) (2) (3)‬ ‫2‬ ‫05٫3 57٫2‬ ‫57‬ ‫3- أ اكتب مصفوفة 1 * 3 لتمثل ثمن كل وجبة مباعة.‬ ‫ب اكتب مصفوفة 3 * 1 لتمثل عدد الوجبات المباعة.‬ ‫ ‬ ‫ج‍ الكتابة: استخدم الكلمات صف، عمود ، عنصر لوصف إجراءات‬ ‫ ‬ ‫استخدام المصفوفات التى حصلت عليها إليجاد عدد الجنيهات التى تبيع‬ ‫بها الكافتيريا الوجبات الثالث.‬ ‫واآلن: لكي نقوم بضرب المصفوفات، اضرب عناصر كل صف من المصفوفة‬ ‫األولى في عناصر كل عمود من المصفوفة الثانية، ثم اجمع حواصل الضرب.‬ ‫فمثال إليجاد حاصل ضرب: ‪ ، 2 0 = C‬ب = 5 0‬ ‫ً‬ ‫‪l‬‬ ‫‪f 3- 2- p‬‬ ‫1 1‬‫1 4‬ ‫‪b‬‬ ‫نضرب ‪ 11C‬فى ب11، ثم نضرب ‪ 21C‬فى ب21 ثم نجمع حاصل الضرب‬ ‫0‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫0‬ ‫الناتج هو العنصر في الصف األول والعمود األول. كرر الخطوات نفسها مع باقي‬ ‫الصفوف واألعمدة.‬ ‫0 2‬ ‫‪= b 0 5 l f 3- 2- p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫-1 1‬ ‫‪p‬‬ ‫81‬ ‫2‬ ‫‪p = b 1 1- l f 3- 2- p‬‬ ‫؟‬ ‫‪2- = )1-( * 2+ 5 * )0(     f‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫2‬‫1‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫3‬‫4‬ ‫‪f‬‬ ‫-2 ؟‬ ‫2 2‬‫5 0‬ ‫‪l‬‬ ‫‪ p= b‬؟‬ ‫-1 1‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫‪2 = )1()2( + )0()0(     f‬‬ ‫‪7-= )1-()3-( + )5()2-(     f‬‬
‫تافوفصملا برض‬ ‫ ‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫0 2‬ ‫2 -3‬‫1 4‬ ‫ ‬ ‫0‬ ‫2‬‫1‬ ‫‪f‬‬ ‫2 2‬‫5 0‬ ‫‪ 7- p = b 1 1- l‬؟‬ ‫‪p‬‬ ‫‪f‬‬ ‫0 2‬ ‫2 -3‬‫1 4‬ ‫(-2)(0) + (-3)(1) =-3 ‬ ‫2‬ ‫2 2‬‫5 0‬ ‫3 ‪3- 7- p = b 1 1- l f‬‬‫4‬ ‫؟‬ ‫(1)(5) + (4)(-1)= 1‬ ‫‪p‬‬ ‫‪f‬‬ ‫0 2‬ ‫2 -3‬‫1 4‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫2 2‬‫‪  f 3- 7- p = b 0 5 l‬‬ ‫1 1‬‫1‬ ‫(1)(0)+(4)(1)=4‬ ‫2 2‬‫‪3- 7- p = b 0 5 l‬‬ ‫1 1‬‫1 4‬ ‫‪f‬‬ ‫ ‬ ‫4- صف نموذجا للصفوف واألعمدة الملونة.‬ ‫ً‬ ‫5- أ ما نظم المصفوفات األصلية في المثال السابق، ومانظم مصفوفة الضرب؟‬ ‫ ‬ ‫ب تفكير ناقد: كيف نقارن نظم مصفوفة الضرب بنظم المصفوفات األصلية؟‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫ضرب المصفوفات‬ ‫‪Multiplying matrices‬‬ ‫يمكنك ضرب مصفوفتين إذا وفقط إذا كان عدد‬ ‫أعمدة المصفوفة األولى يساوى عدد صفوف‬ ‫المصفوفة الثانية، وعند ضرب المصفوفة ‪ C‬على‬ ‫النظم م * ن بالمصفوفة ب على النظم ن * ل فإن‬ ‫الناتج هو المصفوفة ‪ D C‬على النظم م * ل فمثالً:‬ ‫مصفوفة ‪C‬‬ ‫3 صفوف ‪p‬‬ ‫1 2‬‫3 -4‬ ‫5 0‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪f‬‬ ‫صفان‬ ‫عمودان‬ ‫مـثـال‬ ‫ ‬ ‫مصفوفة ب‬ ‫3 -4 5‬ ‫‪l‬‬ ‫7 8 9‬ ‫‪b‬‬ ‫3 أعمدة‬ ‫متساويان‬ ‫نظم مصفوفة الضرب 3 * 3‬ ‫‌ حدد ما إذا كانت مصفوفة حاصل الضرب ‪ C‬ب معرفة في كل حالة أم ال.‬ ‫أ إذا كانت المصفوفة ‪ C‬على النظم 3 * 4، والمصفوفة ب من النظم 4 * 2‬ ‫ب إذا كانت المصفوفة ‪ C‬على النظم 5 * 3، والمصفوفة ب من النظم 5 * 2‬ ‫الحل‬ ‫أ بما أن عدد أعمدة المصفوفة ‪ C‬يساوى عدد صفوف المصفوفة ب،‬ ‫ فإن مصفوفة حاصل الضرب ‪ C‬ب معرفة وتكون على النظم 3 * 2‬ ‫ب بما أن عدد أعمدة المصفوفة ‪ C‬اليساوى عدد صفوف المصفوفة ب،‬ ‫‪     .    C‬ب   =          ‪ C‬ب‬ ‫3*4‬ ‫فإن مصفوفة حاصل الضرب ‪ C‬ب غير معرفة.‬ ‫متساويان‬ ‫3*2‬ ‫4*2‬ ‫3*2‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ ‬ ‫‌ حدد ما إذا كانت مصفوفة حاصل الضرب ‪ C‬ب معرفة في كل حالة أم ال موضحا السبب.‬ ‫ً‬ ‫أ إذا كانت المصفوفة ‪ C‬من النظم 3 * 2، والمصفوفة ب على النظم 2 * 3‬ ‫ب إذا كانت المصفوفة ‪ C‬من النظم 1 * 3 والمصفوفة ب على النظم 1 * 3‬ ‫ ‬ ‫من تعريف ضرب المصفوفات يتضح إنه من الممكن أن تكون ‪ C‬ب معرفة بينما ب ‪ C‬غير معرفة، وبصفة عامة‬ ‫إذا كانت كل من ‪ C‬ب، ب ‪ C‬معرفتين فإن ‪ C‬ب ليست بالضرورة تساوى ب ‪ C‬حتى وإن تساويتا في نفس النظم.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫91‬
‫مـثـال‬ ‫1 -1 2‬ ‫‌ إذا كان ‪3 0 1- p = C‬‬ ‫0 1 4‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪  ،   f‬ب = ‪p‬‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫1 0‬ ‫4 1‬ ‫0 -1‬ ‫‪ f‬فأوجد كال من ‪ C‬ب ، ب ‪ .C‬ماذا تالحظ؟‬ ‫ًّ‬ ‫‪ C a‬على النظم 3 * 3، ب على النظم 3 * 3 فإن ‪ D C‬معرفة (ألن عدد أعمدة ‪ C‬يساوى عدد صفوف ب)‬ ‫وتكون مصفوفة حاصل الضرب على النظم 3 * 3‬ ‫2 1‬ ‫1 -1 2‬ ‫‪ C‬ب = ‪4 3 p f 3 0 1- p‬‬ ‫0 1 4‬ ‫5 0‬ ‫1 * 2 + (-1) * 3 + 2 * 5‬ ‫       = ‪5 * 3 + 3 * 0    +  2 * 1- p‬‬ ‫0 * 2  +  1       * 3 + 4 * 5‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫0‬ ‫1 ‪f‬‬ ‫1‬‫1  * 1 + (-1) * 4 + 2 * 0 1  * 0 + (-1) * 1 + 2 * (-1)‬ ‫1 * 1 +  0   * 4 + 1 *0 -1  * 0 +      0      * 1 + 3 * (-1)‬‫  0   * 1 +  1  * 4 + 4 *0 0   * 0 +      1       * 1 + 4 * (-1)‬ ‫9 -3 -3‬ ‫‪f 3- 1- 13 p = f‬‬ ‫32 4 -3‬ ‫‪ a‬ب على النظم 3 * 3 ‪ C‬على النظم 3 * 3 فإن ب ‪ C‬معرفة (ألن عدد أعمدة ب يساوى عدد صفوف ‪ )C‬وتكون‬ ‫مصفوفة حاصل الضرب على النظم 3 * 3‬ ‫2 1 0‬ ‫1 -1‬ ‫ب‪0 1- p f 1 4 3 p = C‬‬ ‫5 0 -1‬ ‫0 1‬ ‫2 * 1 + 1 * -1 + 0    * 0‬ ‫    = ‪0 *  1 + 1- * 4 + 1 * 3 p‬‬ ‫5 * 1 + 0 * -1 + (-1) * 0‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫3 ‪f‬‬ ‫4‬ ‫2 * -1 + 1 * 0 + 0 *1‬ ‫3 * -1 + 4 * 0 + 0 * 1‬ ‫5 * -1 + 0 * 0 + 0 * 1‬ ‫1 -2 7‬ ‫2 * 2 + 1 * 3 +   0 * 4‬ ‫3 * 2 + 4 * 3 +     1 * 4 ‪= f‬‬ ‫‪f 22 3- 1- p‬‬ ‫5 -5 6‬ ‫5 * 2 + 0 * 3 + -1 * 4‬ ‫نالحظ أن ‪ C‬ب ! ب ‪   C‬يمكن استخدام ضرب المصفوفات في بعض المواقف الحياتية.‬ ‫مـثـال‬ ‫غرفة‬ ‫غرفة‬ ‫بسرير بسريرين‬ ‫46‬ ‫82‬ ‫‌ الربط بالسياحة: لدى كة سياحية 3 فنادق بمدينة الغردقة‬ ‫شر‬ ‫ ‬ ‫يبين الجدول المقابل عدد الغرف المختلفة في كل فندق، فإذا كانت الزهرة‬ ‫59‬ ‫األجرة اليومية للغرفة التى تحتوى على سرير واحد 052 جنيها، وللغرفة اللؤلؤة 53‬ ‫ً‬ ‫08‬ ‫02‬ ‫الماسة‬ ‫التى تحتوي على سريرين 054 جنيها، وللجناح 006 جنيها.‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫أ اكتب مصفوفة تمثل عدد الغرف المختلفة في الثالثة فنادق، ثم اكتب مصفوفة أسعار الغرف.‬ ‫ ‬ ‫ب‬ ‫ اكتب مصفوفة تمثل الدخل اليومي كة، على فرض أن جميع الغرف تم شغلها.‬ ‫للشر‬ ‫ ‬ ‫كة على فرض أن جميع الغرف تم شغلها؟‬ ‫ج‍ ما الدخل اليومى للشر‬ ‫ ‬ ‫الفندق‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫أ نكتب مصفوفة عدد الغرف ‪ C‬كاآلتي: ‬ ‫ ‬ ‫وتكتب مصفوفة أسعار الغرف ‪ D‬كاآلتى‬ ‫ ‬ ‫82 46 8‬ ‫‪20 95 35 p =    C‬‬ ‫02 08 51‬ ‫052‬ ‫ب = ‪f 450 p‬‬ ‫006‬ ‫جناح‬ ‫8‬ ‫02‬ ‫51‬ ‫‪f‬‬ ‫ونالحظ أننا قد كتبنا المصفوفتين بحيث يكون عدد الصفوف في المصفوفة ‪ C‬مساو يا لعدد األعمدة في المصفوفة‬ ‫ً‬ ‫ب، حتى يمكن إجراء عملية الضرب ، إيجاد المطلوب في البندين (ب)، (جـ).‬ ‫02‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫تافوفصملا برض‬ ‫82 46 8‬ ‫052‬ ‫ب مصفوفة الدخل اليومى للشر‬ ‫ ‬ ‫كة هي المصفوفة ‪450 p f 20 95 35 p = D C‬‬ ‫‪f‬‬ ‫02 08 51‬ ‫006‬ ‫00604‬ ‫82 * 052 + 46 * 054 + 8 * 006‬ ‫ ‬ ‫  = ‪63500 p = f 600 * 20 + 450 * 95 + 250 * 35 p‬‬ ‫00005‬ ‫02 * 052 + 08 * 054 + 51 * 006‬ ‫ج‍ الدخل اليومى كة = 00604 + 00536 + 00005 = 001451 جنيه‬ ‫للشر‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫ت‬ ‫خواص عملية ضرب المصفوفا ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪Properties of Matrix Multiplication‬‬ ‫من تعريف عمليتى جمع وضرب المصفوفات، مع افتراض تحقق الشروط الالزمة للتعريفين: يمكن استنتاج‬ ‫الخواص التالية:‬ ‫1- خاصية الدمج:‬ ‫ ‬ ‫(‪ C‬ب) ج = ‪( C‬ب ج)‬ ‫واألن إذا كان:‬ ‫1 0‬ ‫‪ ، b 2- 1 l = C‬ب = ‪ ، b 1 0 2 l‬ج = ‪ f 2 3 p‬أوجد (‪ C‬ب) ج، ‪( C‬ب ج). ماذا تالحظ؟ هل عملية‬ ‫1 1 -2‬ ‫3 1‬ ‫2 -1‬ ‫ضرب المصفوفات دامجة؟‬ ‫2- خاصية المحايد الضربى ‬ ‫‪C = C I = I C‬‬ ‫واآلن إذا كان ‪ b 3- 2 l = C‬فبرهن أن: ‪ C =CI= IC‬‬ ‫-1 5‬ ‫حيث ‪ I‬هي مصفوفة الوحدة‬ ‫حيث ‪ I‬هي مصفوفة الوحدة‬ ‫3- خاصية توزيع ضرب المصفوفات على جمعها.‬ ‫واآلن إذا كان ‪1 = C‬‬ ‫‪l‬‬ ‫3‬ ‫2 ، ب = ‪ ، b 2- 1 l‬ج = 3 1‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫5 4‬ ‫3 0‬‫4‬ ‫إثبت أن: أ ‪(C‬ب + ج) = ‪C‬ب + ‪C‬ج‬ ‫ن‬ ‫مدور حاصل ضرب مصفوفتي ‬ ‫ ‬ ‫‪(C‬ب + ج) = ‪ C‬ب + ‪ C‬ج‬ ‫(‪ + C‬ب) ج = ‪ C‬ج + ب ج‬ ‫‪b‬‬ ‫ب (ب + ج) ‪ = C‬ب ‪ + C‬ج‪C‬‬ ‫‪Transpose of the product of two matrices‬‬ ‫من تعريف مدور المصفوفة وتعريف ضرب المصفوفات يمكن استنتاج الخاصية التالية: (‪ C‬ب)مد = ب ‪C‬‬ ‫1‬ ‫واآلن إذا كانت ‪l = C‬‬ ‫3‬ ‫1 2‬‫2 -1 ‪ ، b‬ب = ‪   ، f 1- 1 p‬أثبت أن: (‪ C‬ب) = ب ‪C‬‬ ‫1 5‬ ‫4 3‬ ‫مد‬ ‫مد مد‬ ‫مد مد‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫حدد ما إذا كانت مصفوفة حاصل الضرب ‪C‬ب معرفة فى كل ممايأتي أم ال، وإذا كانت معرفة فأوجد نظم‬ ‫المصفوفة الناتجة:‬ ‫أ المصفوفة ‪ C‬على النظم 3 * 1، والمصفوفة ب على النظم 2 * 3‬ ‫ب المصفوفة ‪ C‬على النظم 3 * 3، والمصفوفة ب على النظم 2 * 2‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫12‬
‫المحددات‬ ‫1 ‍‬ ‫‪Determinants‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫حمدد املصفوفة املربعة من الرتبة‬ ‫الثانية.‬ ‫حمدد املصفوفة املربعة من الرتبة‬ ‫الثالثة.‬ ‫حمدد املصفوفة املثلثية.‬ ‫إجياد مساحة املثلث باستخدام‬ ‫املحددات.‬ ‫حل نظام من املعادالت اخلطية‬ ‫بطريقة كرامر.‬ ‫فكر‬ ‫1- ما المصفوفة المربعة؟‬ ‫2- اكتب مصفوفة مربعة من النظم 2 * 2، ومن النظم 3 * 3‬ ‫3- إذا كانت أ مصفوفة مربعة من النظم 2 * 2 حيث: ‪ b 5 2 l = C‬فإن محدد‬ ‫1 7‬ ‫المصفوفة ‪ C‬هو العدد المعرف كاآلتي:‬ ‫ |‪9 = 5 - 14 = 5 * 1- 7 * 2 = |C‬‬ ‫ما محدد كل من المصفوفات التالية؟‬ ‫ ‬ ‫ب= 1‬ ‫‪l‬‬ ‫3‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫حمدد‬ ‫‪Determinant‬‬ ‫حمدد الرتبة الثانية‬ ‫‬ ‫‪Second order determinant‬‬ ‫حمدد من الرتبة الثالثة‬ ‫‪Third order determinant‬‬ ‫‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫2   ،  ج = 3 5‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫4‬ ‫-3 1‬ ‫المحددات‬ ‫أ ب‬ ‫|‪= |C‬‬ ‫جـ د‬ ‫القطر الرئيسى للمحدد‬ ‫‬ ‫القطر اآلخر للمحدد‬ ‫‬ ‫مصفوفة املعامالت‬ ‫‪Coefficient matrix‬‬ ‫‬ ‫القطر األخر‬ ‫= أ د - جـ ب‬ ‫القطر الرئيسى‬ ‫ونالحظ أن قيمة محدد الرتبة الثانية يساوى حاصل ضرب عنصرى القطر الرئيسى‬ ‫مطروحا منه حاصل ضرب عنصرى القطر اآلخر.‬ ‫ً‬ ‫مـثـال‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة علمية.‬ ‫ورق رسم بياين.‬ ‫‪Determinants‬‬ ‫إذا كانت ‪ C‬مصفوفة مربعة على النظم 2 * 2 حيث:‬ ‫‪ l = C‬أ ب ‪ b‬فإن محدد المصفوفة ‪ C‬يرمز له بالرمز|‪ |C‬ويسمى بمحدد الرتبة‬ ‫جـ د‬ ‫الثانية، وهو العدد المعرف كاآلتي:‬ ‫‪Principle or leading diagonal‬‬ ‫‪Other diagonal‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ ‬ ‫‌ أوجد قيمة كل محدد ممايلى:‬ ‫أ‬ ‫الحل‬ ‫4 5  ب‬ ‫3 7‬ ‫0 5   ج‍‬ ‫7 3‬ ‫1 0   د‬ ‫0 1‬ ‫1 0‬ ‫2 7‬ ‫0 5‬ ‫4 5‬ ‫أ 3 7  = 4 * 7 - 3 * 5 ‬ ‫ ‬ ‫ب 7 3  = 0 * 3 - 7 * 5‬ ‫            = 82 - 51 = 31            = 0 - 53 = - 53‬ ‫22‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫تاددحملا‬ ‫1 0‬ ‫ ‬ ‫د 2 7 =1*7-2*0‬ ‫            = 7 - 2 = 5‬ ‫1 0‬ ‫ج‍ 0 1 = 1 * 1 - 0 * 0‬ ‫ ‬ ‫            = 1 - 0 = 1‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ ‬ ‫‌ أوجد قيمة كل من المحددات التالية :‬ ‫2‬ ‫أ ‬ ‫5‬ ‫1 -1 ‬ ‫0‬ ‫ب ‬ ‫4‬ ‫5 -1 ‬ ‫ج‍ ‬ ‫‪ C‬ب‬ ‫ب جـ‬ ‫تعلم‬ ‫‪Third order determinant‬‬ ‫ة‬ ‫محدد الرتبة الثالث ‬ ‫‪ C‬ب حـ‬ ‫يسمى محدد المصفوفة على النظم 3 * 3 محدد الرتبة الثالثة، وإليجاد قيمة محدد الرتبة الثالثة د هـ و فإن:‬ ‫ز ح ط‬ ‫‪ C‬ب حـ‬ ‫هـ و = ‪ C‬هـ و - ب د و + حـ د هـ‬ ‫د‬ ‫ح ط‬ ‫ز ط‬ ‫ز ح‬ ‫ز ح ط‬ ‫           = ‪(C‬هـ ط - ح و) - ب ( د ط - ز و) + حـ ( د ح - ز هـ)‬ ‫مـثـال‬ ‫5‬ ‫1‬ ‫6‬ ‫7 2‬ ‫‌ إليجاد قيمة المحدد 3 4‬ ‫1 2‬‫7 2 5‬ ‫3 4‬ ‫3 1‬ ‫4 1‬ ‫3 4 1 = 7 2 6 - 2 -1 6 + 5‬ ‫ ‬ ‫1 2‬‫1 2 6‬‫          = 7 ( 4 * 6 - 2 *1) -2 (3 * 6 - (-1) * 1) + 5 ( 3 * 2 - (-1) * 4)‬ ‫فإن :‬ ‫         = 7 * 22 - 2 * 91 + 5 * 01‬ ‫         = 451 - 83 + 05 = 661‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫المحدد األصغر المناظر ألى عنصر في مصفوفة‬ ‫‬ ‫‪Minor determinant corresponding to any element of a matrix‬‬ ‫إذا كانت المصفوفة ‪ C‬هى مصفوفة على النظم 3 * 3 حيث‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C p =C‬‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫22‬ ‫‪C 23C‬‬ ‫33‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫‪  f 32C‬فإن: المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪ 11C‬يرمز له بالرمز| ‪ | 11C‬وهو‬ ‫13‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫22‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫23‬ ‫والحظ إننا حصلنا على هذا المحدد بحذف الصف والعمود المتقاطعين على العنصر ‪11C‬كاآلتي:‬ ‫‪C‬‬ ‫11‬ ‫‪C 21C‬‬ ‫13‬ ‫31‬ ‫‪C 23C‬‬ ‫33‬ ‫‪f 32C 22C 12C p‬‬ ‫‪C‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫32‬
‫بالمثل:‬ ‫× ×المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪ 21C‬يرمز له بالرمز|‪ |21C‬وهو‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫× ×المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪ 31C‬يرمز له بالرمز|‪ |31C‬وهو‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫× ×المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪ 12C‬يرمز له بالرمز|‪ |12C‬وهو‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫وهكذا، وجميع هذه المحددات هى محددات من الرتبة الثانية:‬ ‫21‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫23‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫22‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫13‬ ‫مالحظات هامة‬ ‫1- إذا كانت ‪ C‬مصفوفة مربعة على النظم 3 *3 على الصورة:‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C p = C‬‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫11‬ ‫ ‬ ‫ |‪C = |C‬‬ ‫ ‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫22‬ ‫‪C 23C‬‬ ‫33‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫22‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ ، f 32C‬ومحدد ‪ C‬يرمز له بالرمز |‪ |C‬حيث:‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫23‬ ‫13‬ ‫-‪C‬‬ ‫13‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫23‬ ‫+‪C‬‬ ‫13‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫22‬ ‫= ‪|31C| 31C + |21C| 21C - |11C| 11C‬‬ ‫2- الحظ أننا ضربنا كل عنصر في المحدد األصغر المناظر له مسبوقًا باإلشارات +، -، +، ... على الترتيب،‬ ‫وإشارة المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪C‬وهـ تتعين بالقاعدة:‬ ‫و +هـ‬ ‫ إشارة |‪ C‬و هـ| هى نفس إشارة (-1)‬ ‫ً‬ ‫فمثال إشارة |‪ |21C‬هى نفس إشارة (-1) 1 + 2 وهى سالبة‬ ‫ ‬ ‫ إشارة  |‪ |31C‬هى نفس إشارة (-1) 1 + 3 وهى موجبة‬ ‫بعبارة أخرى لتحديد إشارة أي محدد أصغر مناظر لعنصر ما نجمع رتبتى الصف، والعمود اللذين يتقاطعان عند‬ ‫هذا العنصر:‬ ‫× ×فإذا كان مجموع الرتبتين زوجيا كانت اإلشارة موجبة.‬ ‫ًّ‬ ‫× ×إذا كان مجموع الرتبتين فرد ًّيا كانت اإلشارة سالبة.‬ ‫+ - +‬ ‫ونالحظ أن قاعدة اإلشارات للمحدد األصغر تكون كاآلتى: - + -‬ ‫+ - +‬ ‫3- يمكن فك المحدد بداللة عناصر أى صف (أو عمود) ومحددتها الصغرى ولكن بإشارة مناسبة.‬ ‫ ‬ ‫42‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫تاددحملا‬ ‫مـثـال‬ ‫1 2 3‬ ‫4 0 5‬ ‫7 -2 -1‬ ‫‌ إليجاد قيمة المحدد‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫باستخدام عناصر العمود الثاني.‬ ‫نالحظ أن إشارات المحدد األصغر المناظر لعناصر العمود الثاني هى - ، + ، - على الترتيب فيكون:‬ ‫4‬ ‫1‬ ‫5‬ ‫3‬ ‫المحدد = -2 7 -1 + 0 7 -1 - (-2)‬ ‫    = -2 (-4 - 53) + 0 + 2 (5 - 21)‬ ‫   = 87 - 41 = 46‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫فكرة مفيدة للحل‬ ‫يمكنك فك المحدد باستخدام‬ ‫أى صف أو عمود فيه أكبر‬ ‫عدد ممكن من األصفار‬ ‫لتسهيل حصولك على قيمته‬ ‫بعد أخذ اإلشارة المناسبة.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد قيمة كل محدد ممايلى:‬ ‫ ‬ ‫-1 7‬ ‫أ ‬ ‫5‬ ‫0‬ ‫6‬ ‫3 0 1 ‬ ‫4‬ ‫تعلم‬ ‫7‬ ‫-2 3‬ ‫ب ‬ ‫ج‍ ‬ ‫0 4 5 ‬ ‫0‬ ‫0 -3‬ ‫ة‬ ‫محدد المصفوفة المثلثي ‬ ‫3 4 0‬ ‫2 -3 1‬ ‫5 0 -2‬ ‫ ‬ ‫د ‬ ‫2 0 -3‬ ‫5 -1 4‬ ‫-2 0 3‬ ‫‪Determinant of triangular Matrix‬‬ ‫المصفوفة المثلثية هى مصفوفة جميع عناصرها التى تحت القطر الرئيسى (أو فوقه) أصفار مثل:‬ ‫2 3‬ ‫‪p ،b 4 0 l‬‬ ‫2‬ ‫4‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1 0 0‬‫3‬ ‫5 ‪0 4- 2 p ، f‬‬ ‫5 -1 2‬ ‫6‬ ‫‪f‬‬ ‫ونالحظ أن: قيمة محدد المصفوفة المثلثية يساوى حاصل ضرب عناصر قطرها الرئيسى.‬ ‫أى أن:‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫‪C‬‬ ‫11‬ ‫= ‪C 22C 11C‬‬ ‫‪C 12C‬‬ ‫33‬ ‫22‬ ‫‪C 23C 13C‬‬ ‫33‬ ‫ولبرهان ذلك نفك المحدد باستخدام عناصر الصف األول:‬ ‫المحدد = ‪C‬‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫22‬ ‫0‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ ما قيمة المحدد‬ ‫الحل‬ ‫= ‪C C C = )0 * 21C - 32C * 22C ( 11C‬‬ ‫11 22 23‬ ‫1 2 3‬ ‫0 -3 5‬ ‫0 0 6‬ ‫؟‬ ‫نالحظ أن المحدد هو محدد مصفوفة مثلثية فيكون:‬ ‫المحدد = 1 * - 3 * 6 = -81‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫52‬
‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد قيمة كل محدد ممايلى:‬ ‫ ‬ ‫-1 2‬ ‫أ ‬ ‫0 -2‬ ‫0‬ ‫تعلم‬ ‫‬ ‫5‬ ‫0 3 -4 ‬ ‫ب ‬ ‫3 2‬‫0 4‬ ‫0 0‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫0‬ ‫إيجاد مساحة سطح المثلث باستخدام المحددات‬ ‫‪Finding area of a triangle by using Determinants‬‬ ‫يمكنك استخدام المحددات إليجاد مساحة سطح المثلث، بمعلومية إحداثيات رؤوس المثلث كاآلتى:‬ ‫مساحة سطح المثلث الذى رؤوسه: س (‪ ،C‬ب)، ص (جـ، ‪ ،)E‬ع (هـ، و) هى |‪ |W‬حيث:‬ ‫‪1 =W‬‬ ‫2‬ ‫‪ C‬ب 1‬ ‫جـ د 1‬ ‫هـ و 1‬ ‫تذكر‬ ‫|‪ |W‬تعنى قيمة ‪ W‬الموجبة.‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد مستخدما المحددات مساحة سطح المثلث الذى إحداثيات رؤوسه (-1، -3) ، (2، 4)، (-3، 5)‬ ‫ً‬ ‫الحل‬ ‫1 -3 1‬‫1‬ ‫‪1 4 2 2 =W‬‬ ‫3 5 1‬‫2 4‬ ‫2 1‬ ‫4 1‬ ‫    = 1 -1 5 1 - (-3) -3 1 + 1‬ ‫2‬ ‫3 5‬‫        = 1 [-1 (4 - 5) + 3 (2 + 3) + 1 (01 + 21)]‬ ‫2‬ ‫        = 1 (1 + 51 + 22) = 91 وحدة مربعة‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫[‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ص (2، 4)‬ ‫]‬ ‫س3 2 1‬ ‫ص‬ ‫ع (-3، 5)‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1 -2 -3 -4 -5‬‫1‬‫2‬‫-3 س (-1، -3)‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد مستخدما المحددات مساحة سطح المثلث ‪ C‬ب جـ الذى فيه ‪ ،)2- ،2-(C‬ب (3، 1)، جـ (-4، 3)‬ ‫ً‬ ‫ص‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ الربط بالهندسة: إذا كانت إحدثيات ثالث نقط على المستوى‬ ‫اإلحداثى هي (0، 2) (3، 5)، (-3، 2) كانت اإلحداثيات باألمتار،‬ ‫و‬ ‫فأوجد مساحة سطح المثلث الذى رؤوسه تلك النقط.‬ ‫62‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫س‬ ‫6‬ ‫(3، 5)‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫(0، 2) 2‬ ‫1‬ ‫4 3 2 1‬ ‫(-3، 2)‬ ‫-1 -2 -3 -4‬
‫تاددحملا‬ ‫الحل‬ ‫0 2‬ ‫3 5‬ ‫3 2‬‫5 1‬ ‫0‬ ‫2 1‬ ‫‪1 = W‬‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫           = 21 [‬ ‫           = 1 [0 - 0 - 3 (2-5)] = 1 4 متر مربع‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫-3‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫+ (-3)‬ ‫2‬ ‫5‬ ‫]‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫‌ أوجد مستخدما المحددات مساحة المثلث المبين بالشكل المقابل.‬ ‫ً‬ ‫‬ ‫‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫5 4 3 2 1‬ ‫س‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫تعلم‬ ‫ص‬ ‫‪C‬‬ ‫1 -2 -3 -4 -5‬‫1‬‫2‬‫3‬‫4‬‫-5‬ ‫حل نظام من المعادالت الخطية بطريقة كرامر‬ ‫‪Solving a system of linear equations by Cramer's method‬‬ ‫1- حل �أنظمة المعادالت الخطية في مجهولين‬ ‫‪Solving a system of Linear equations in two unknowns‬‬ ‫ إذا كان لدينا نظام من المعادالت الخطية في مجهولين كاآلتي:‬ ‫   ‪ C‬س   + ب ص = م‬ ‫ ‬ ‫جـ س + ‪ E‬ص   = ن‬ ‫ ‬ ‫‪ C‬ب‬ ‫‪b E‬‬ ‫فإن المصفوفة التى عناصرها معامال المجهولين بعد ترتيب النظام تسمى بمصفوفة المعامالت ‪l‬‬ ‫جـ‬ ‫ويمكنك استخدام المحددات لحل أنظمة المعادالت الخطية، فإذا كانت قيمة محدد مصفوفة المعامالت‬ ‫‪ C‬ب ويرمز له بالرمز 9 (يقرأ دلتا) اليساوى صفرا، فإن للنظام حال وحيدا، وإذا كانت قيمة المحدد‬ ‫ًّ‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫صفرا، فإما أن يكون للنظام عدد النهائى من الحلول أو ليس له حل.‬ ‫ً‬ ‫ونالحظ أن معاملى المجهول س تكون العمود األول للمحدد 9، ومعامال المجهول ص تكون العمود الثاني‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫للمحدد 9.‬ ‫يسمى م ب محدد المجهول س ونرمز له بالرمز 9س (يقرأ دلتا س)، ونحصل عليه من المحدد 9 بعد‬ ‫ن ‪E‬‬ ‫تغيير عناصر العمود األول (معامالت س) بالثوابت م ، ن.‬ ‫كما يسمى‬ ‫‪ C‬م‬ ‫جـ ن‬ ‫محدد المجهول ص ونرمز له بالرمز 9ص (يقرأ دلتا ص)، ونحصل عليه من المحدد 9‬ ‫بعد تغيير عناصر العمود الثاني (معامالت ص) بالثوابت م، ن.‬ ‫واآلن: نفرض أن 9!0 ،  فإن حل النظام هو:‬ ‫ ‬ ‫     س = 9س =‬ ‫9‬ ‫م‬ ‫ن‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫م‪-E‬نب‬ ‫‪= E‬‬ ‫ب‬ ‫‪-EC‬جـ ب‬ ‫‪E‬‬ ‫ ‬ ‫     ص = 9 ص =‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫9‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫م‬ ‫ن‬ ‫=‬ ‫ب‬ ‫‪ -EC‬جـ ب‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬ن - جـ م‬ ‫72‬
‫مـثـال‬ ‫‌ حل نظام المعادلتين اآلتيتين بطريقة كرامر.‬ ‫ س - 3 ص = -4 2س + ص = 2‬ ‫الحل‬ ‫1‬ ‫حيث إن: 9 = 2 -3 = (1 * 1) - (2 * -3) = 1 + 6 = 7! 0‬ ‫1‬ ‫فيكون‬ ‫4 -3‬‫= 2 1‬ ‫س= 9‬ ‫9‬ ‫س‬ ‫7‬ ‫ص= 9‬ ‫9‬ ‫ص‬ ‫1 -4‬ ‫2 2‬ ‫=‬ ‫7‬ ‫= (-4 * 1) - (2 * -3) = -4 + 6 = 2‬ ‫7‬ ‫7‬ ‫7‬ ‫= 1 * 2) - (-2 * -4) = 2 + 8 = 01‬ ‫7‬ ‫7‬ ‫7‬ ‫مجموعة الحل = {( 2 ، 01 )}‬ ‫7 7‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫تحقق:‬ ‫‪4- ) 10 (3 - 2 ‬‬ ‫7‬ ‫7‬ ‫82‬‫   7   ‬ ‫        = -4‬ ‫‪2 10 + ) 2 ( 2 ‬‬ ‫7‬ ‫7‬ ‫ ‬ ‫    2       = 2‬ ‫(✓)‬ ‫(✓)‬ ‫‌ حل نظام المعادلتين اآلتيتين بطريقة كرامر:‬ ‫ س + 2 ص = 0 2 س - 3 ص =1‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫2- حل �أنظمة المعادالت الخطية في ثالثة مجاهيل‬ ‫‪Solving systems of Linear equations in three unknowns‬‬ ‫إذا كان لدينا نظام من المعادالت الخطية في ثالثة مجاهيل كاآلتي:‬ ‫‪ 2C‬س + ب2 ص + جـ2 ع = ن ‬ ‫‪ 1C‬س + ب1 ص + جـ1 ع = م ‬ ‫فإنه بطريقة مماثلة لما فعلناه في حالة نظام معادلتين خطيتين في مجهولين يكون:‬ ‫9       =‬ ‫‪ 3C‬س + ب3 ص + جـ3 ع = ك‬ ‫‪ 1C‬ب1 جـ‬ ‫‪ C‬ب جـ = محدد المعامالت‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫‪ 3C‬ب3 جـ‬ ‫م ب1 جـ‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫9س = ن ب جـ =محدد المجهول س‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ك ب3 جـ3 نحصل عليه بتغيير عناصر العمود األول (معامالت س) بالثوابت م، ن، ك‬ ‫‪C‬‬ ‫م جـ‬ ‫1‬ ‫ن جـ =محدد المجهول ص‬ ‫9ص=‬ ‫‪C‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪ C‬ك جـ نحصل عليه بتغيير عناصر العمود الثاني (معامالت ص) بالثوابت م، ن، ك‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫1‬ ‫‪ 1C‬ب1 م‬ ‫‪ 2C‬ب2 ن‬ ‫=محدد المجهول ع‬ ‫9 ع =‬ ‫‪ C‬ب3 ك نحصل عليه بتغيير عناصر العمود الثالث (معامالت ع) بالثوابت م، ن، ك‬ ‫3‬ ‫82‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫تاددحملا‬ ‫9‬ ‫واآلن إذا فرض أن 9 ! صفر، فإن: س = 9س ، ص = 9ص ، ع =‬ ‫9‬ ‫9‬ ‫9‬ ‫ع‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ حل نظام المعادالت الخطية التالية بطريقة كرامر.‬ ‫3س - 2 ص - ع  = 1 ‬ ‫ - س + 3 ص + ع  = 0 ‬ ‫الحل‬ ‫1 3 1‬‫9     = 3 -2 -1‬ ‫1 1 2‬ ‫9س =‬ ‫0 3 1‬ ‫1 -2 -1‬ ‫0 1 2‬ ‫1 3 0‬‫9ع = 3 -2 1‬ ‫1 1 0‬ ‫س    +   ص  + 2ع = 0‬ ‫= -1 (-4 +1) -3 (6-1) + 1 (-3 +2)‬ ‫= 3 - 51 - 1 = -31‬ ‫= - ‬ ‫1 (6 -1) = -5‬ ‫1 0 1‬‫9ص = 3 1 -1‬ ‫1 0 2‬ ‫= -1 (-1 * 1 - 1 * 3) = 4‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫3‬‫5‬‫` س = 9س = -31 = 31 ،    ص = 9ص = -31 = 31 ،‬ ‫9‬ ‫9‬ ‫     ع = 9ع = 4‬ ‫9 -31‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫مجموعة الحل = {( 31 ، 31 ، -4 )}‬ ‫31‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ حل نظام المعادالت الخطية التالية باستخدام طريقة كرامر:‬ ‫س + 2 ص + ع = 7 ‬ ‫ س + ص - ع = 2 ‬ ‫= 1 (-1 * 2 -1 * 1) = -3‬ ‫تحقق:‬ ‫-4‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫‪0 ) 13 ( + ) 13 (3 + ) 13 (- ‬‬ ‫(✓)‬ ‫       0 = 0‬ ‫3‬ ‫‪1 ) 4- ( - ) 13 (2+) 5- ( 3 ‬‬ ‫31‬ ‫31‬ ‫(✓)‬ ‫    1       = 1‬ ‫‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫‪0 ) 4- (2 + 13 + 13 1 ‬‬ ‫31‬ ‫    0       = 0‬ ‫(✓)‬ ‫3س - ص + ع = 01‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ حل كل من أنظمة المعادالت اآلتية بطريقة كرامر.‬ ‫ب 2 س +   ص - ع = -1‬ ‫ ‬ ‫أ 2 س    - 3 ص + 5ع = 7‬ ‫ ‬ ‫ 3 س  + 4 ص + 2 س -   ص + 4 ع = 1‬ ‫2ع = 11‬ ‫       س - 2ص    + 5 س - 3ص + 2 ع = 3‬ ‫7ع = 61‬ ‫‌ الربط بالمستهلك: اشترى فادى 3 كشاكيل كتابين بمبلغ 58 جنيها، واشترى كريم كشكولين و 4‬ ‫و‬ ‫ً‬ ‫كتب من األنواع نفسها بمبلغ 011 جنيه . استخدم طريقة كرامر إليجاد سعر كل من الكشكول والكتاب.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫92‬
‫المعكوس الضربى للمصفوفة‬ ‫1 ‍‬ ‫‪Multiplicative Inverse of a Matrix‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫عمل تعاونى‬ ‫إجياد املعكوس الرضيب ملصفوفة‬ ‫عىل النظم 2 * 2‬ ‫حل نظام من معادلتني خطيتني‬ ‫باستخدام معكوس املصفوفة.‬ ‫اعمل مع زميل لك‬ ‫1- أوجد كل حاصل ضرب:‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫أ ( 45 26 ) (‬ ‫2- صف أى أنماط تراها في إجابتك عن البند رقم (1).‬ ‫ ‬ ‫3- أوجد كل حاصل ضرب:‬ ‫ ‬ ‫3 5‬ ‫3 5‬ ‫2 -5‬ ‫2 -5 ب‬ ‫أ ‬ ‫ ‬ ‫1 2‬ ‫1 2‬ ‫1 3‬‫1 3‬‫4- صف أي انماط تراها في إجابتك عن البند رقم (3).‬ ‫ ‬ ‫5- تفكير ناقد: كيف تربط إجاباتك عن البندين (1) ، (3) ؟‬ ‫ ‬ ‫(‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫معكوس رضبى ملصفوفة‬ ‫ ‪Multiplicative inverse of a matrix‬‬ ‫مصفوفة الوحدة‬ ‫معادلة مصفوفية ‬ ‫مصفوفة املتغريات‬ ‫مصفوفة الثوابت‬ ‫‪Identity matrix‬‬ ‫‪Matrix equation‬‬ ‫‪Variable matrix‬‬ ‫‪Constant matrix‬‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫)‬ ‫1 0 ب‬ ‫0 1‬ ‫( 01 10 ) ( -5 26 )‬ ‫4‬ ‫)(‬ ‫تعلم‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)(‬ ‫المعكوس الضربي للمصفوفة 2 * 2:‬ ‫إذا كان لدينا مصفوفتان مربعتان ‪ ،C‬ب كل منهما على‬ ‫و‬ ‫النظم 2 * 2 كان: ‪ C‬ب = ب ‪ I) I = C‬مصفوفة الوحدة)‬ ‫و‬ ‫فإن المصفوفة ب تسمى معكوسا ضربيا للمصفوفة ‪C‬‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫كذلك تسمى المصفوفة ‪ C‬معكوسا ضربيا للمصفوفة ب.‬ ‫و‬ ‫ً‬ ‫ًّ‬ ‫إذا كان للمصفوفة ‪ C‬معكوسا ضربيا فإننا نرمز إليها‬ ‫ًّ‬ ‫ًّ‬ ‫بالرمز ‪ 1-C‬حيث:  ‪I = C 1-C = 1-C C‬‬ ‫بعض المصفوفات ليس لها معكوسا ضربيا وسوف‬ ‫ًّ‬ ‫ًّ‬ ‫يساعدك مايلى فى استنتاج ما إذا كانت المصفوفة على‬ ‫النظم 2 *2 لها معكوسا ضربيا أم ال ، كيفية إيجاد هذا‬ ‫و‬ ‫ًّ‬ ‫ًّ‬ ‫المعكوس إن وجد.‬ ‫( أ ب)‬ ‫)‬ ‫تذكر‬ ‫1- المصفوفة المحايدة في‬ ‫عملية الضرب هي مصفوفة‬ ‫الوحدة ‪ I‬وهى مصفوفة مربعة‬ ‫جميع عناصر قطرها الرئيسى‬ ‫1 وباقي العناصر أصفار.‬ ‫2- ألى عددين حقيقيين‬ ‫يكون كل منهما معكوسا‬ ‫ً‬ ‫ضربيا لالخر (نظيرا ضربيا)‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ًّ‬ ‫إذا كان حاصل ضربهما هو‬ ‫العنصر المحايد الضربي (1)‬ ‫إذا كانت ‪ = C‬جـ ‪ E‬فإن المعكوس الضربي للمصفوفة ‪ C‬يكون معرفًا (موجودا)‬ ‫ً‬ ‫عندما يكون محدد ‪0 ! 9 = C‬‬ ‫وبفرض أن المصفوفة‪ 1-C‬هي المعكوس الضربي للمصفوفة ‪ ،C‬وأن محدد ‪0 ! 9 = C‬فإن:‬ ‫-1‬ ‫‪C‬‬ ‫03‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫1‬ ‫= 9 ( -‪E‬جـ -‪C‬ب )‬
‫ةفوفصملل ىبرضلا سوكعملا‬ ‫مـثـال‬ ‫تذكر‬ ‫‌ إذا كانت ‪ 0 1- = C‬أثبت ان للمصفوفة ‪ C‬معكوس ضربي ثم أوجد هذا المعكوس إذا كان 9 ! 0 فإن للمصفوفة‬ ‫8 -2‬ ‫‪ C‬معكوسا ضربيآ يتعين كاآلتي:‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫الحل‬ ‫أ)تبادل بين وضعى العنصرين‬ ‫1 0‬‫ محدد ‪2 = 0 * 8 - 2- * 1- = 2- 8 = C‬‬ ‫الواقعين على القطر‬ ‫الرئيسى للمصفوفة ‪.C‬‬ ‫ ` 9 ! 0 أي انه للمصفوفة ‪ C‬معكوسا ضربيا.‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ب) نغير كال من إشارتي‬ ‫1 0‬‫‪ E‬ب‬ ‫1‬‫1‬‫   ‪ 1 = C‬جـ - = 1 -2 0 =‬ ‫العنصرين الواقعين على‬ ‫أ‬ ‫9 -‬ ‫2 -8 -1‬ ‫-4 2‬ ‫(‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫‌ إذا كان ‪( = C‬‬ ‫0‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫القطر اآلخر للمصفوفة ‪C‬‬ ‫جـ) نضرب المصفوفة الناتجة‬ ‫‬ ‫بعد إجراء (أ)، (ب) بالعدد‬ ‫فأثبت ان للمصفوفة أ معكوسا ضربيا ثم أوجده.‬ ‫ًّ‬ ‫ًّ‬ ‫‌ هل للمصفوفة ب = ( -5 35 )‬ ‫-3‬ ‫1‬ ‫9‬ ‫معكوس ضربي؟ فسر إجابتك.‬ ‫-1‬ ‫فنحصل على ‪C‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد قيم ‪ C‬التي تجعل للمصفوفة ( ‪) 2C 8C‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫معكوسا ضربيا.‬ ‫ً‬ ‫ًّ‬ ‫الحل‬ ‫المصفوفة ليس لها معكوسا ضربيا عندما يكون محدد المصفوفة يساوى صفرا.‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫أى عندما‬ ‫‪C‬‬ ‫8‬ ‫2‬ ‫‪C‬‬ ‫= صفر‬ ‫أى ‪ = 2 * 8 - 2C‬صفر‬ ‫‪ = 16 - 2C‬صفر‬ ‫إذن توجد قيمتان لـ ‪ C‬هما 4، -4 (وهما جذرا المعادلة ‪)0 = 16 - 2C‬‬ ‫تجعالن المصفوفة المعطاة ليس لها معكوس ضربي.‬ ‫` عندما ‪ }4 ،4-{ - I ∈ C‬يكون للمصفوفة المعطاة معكوسا ضربيا.‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد قيم س التي تجعل المصفوفة (‬ ‫مـثـال‬ ‫‪C‬‬ ‫‌ إذا كانت ‪) 1- 10 ( = M‬‬ ‫س 9‬ ‫4 س‬ ‫)‬ ‫فأثبت أن ‪M = 1- M‬‬ ‫الحل‬ ‫1‬ ‫ ‬ ‫‪0 ! 1- = C‬‬ ‫ 9=‬ ‫0 -1‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان ب = (‬ ‫ليس لها معكوس ضربي.‬ ‫)‬ ‫-1‬ ‫`‪M‬‬ ‫س -س‬ ‫0 صص فأثبت أن ب-1=‬ ‫(‬ ‫1‬ ‫س‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫ص‬ ‫1‬ ‫= -1 (‬ ‫)‬ ‫1‬‫0‬ ‫-1‪( = ) C‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫‪C‬‬ ‫-1 )‬ ‫=‪M‬‬ ‫علما بأن س ص ! 0‬ ‫ً‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫13‬
‫نشاط‬ ‫الت�شفير‬ ‫‪Cryptography‬‬ ‫يمكنك استخدام أى مصفوفه ومعكوسها الضربى لتشفير الرسالة . استخدم معكوس المصفوفة لفك شفرة‬ ‫الرسالة: نكتب الرسالة في فريق كمصفوفات على النظم 2 * 1 لتصبح األرقام الموجودة تباعا.‬ ‫ً‬ ‫( 02 ) ( 02 ) ( 82 )‬ ‫في 82 فر ‬ ‫01 يق‬ ‫12‬ ‫عندما تستخدم ضرب المصفوفات وتستخدم مصفوفة‬ ‫مثل ر = 6 2 فإن الرسالة سوف تصبح هذه المصفوفات:‬ ‫(1)‬ ‫(2 1)‬ ‫( 86 ) ( ‬ ‫671 041 ) ( 012 )‬ ‫77‬ ‫05‬ ‫(2)‬ ‫الحظ أن: مصفوفة التشفير ر-1 يمكن إيجادها كاآلتي:‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫6 2‬ ‫‪a‬ر= 6 2 ، 9=‬ ‫2 1‬ ‫2 1‬ ‫1 -1‬ ‫فيكون ر-1 = 1 1 -2 = 2‬ ‫2 -2 6‬ ‫-1 3‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫=6-4=2!0‬ ‫)‬ ‫‪1 C‬‬ ‫ب 2‬ ‫ت 3‬ ‫ث 4‬ ‫ج 5‬ ‫ح 6‬ ‫خ 7‬ ‫د 8‬ ‫ذ 9‬ ‫ر 01‬ ‫ز 11‬ ‫س 21‬ ‫ش 31‬ ‫ص 41‬ ‫ض 51‬ ‫ط 61‬ ‫ظ 71‬ ‫ع 81‬ ‫غ 91‬ ‫ف 02‬ ‫ق 12‬ ‫ك 22‬ ‫ل 32‬ ‫م 42‬ ‫ن 52‬ ‫هـ 62‬ ‫و 72‬ ‫ي 82‬ ‫وعند ضرب المصفوفة ر-1 في كل من المصفوفات في البند (2) تحصل على المصفوفات في البند (1) وتستطيع‬ ‫فك الشفرة.‬ ‫واألن:‬ ‫ ‬ ‫1- اكتب رسالة أرسل طعام وشفرها باستخدام ضرب المصفوفات والمصفوفة ر = ( 26 12 )‬ ‫2- اكتب رسالة من عندك وشفرها باستخدام ضرب المصفوفات (استخدم مصفوفة تشفير من عندك).‬ ‫تعلم‬ ‫حل معادلتين آنيتين باستخدام معكوس المصفوفة‬ ‫‬ ‫‪Solving two simultaneous equations by using Inverse Matrix‬‬ ‫إذا كان لدينا نظام من معادلتين خطيتين كاآلتي:‬ ‫‪ 2C‬س + ب2 ص = ك‬ ‫‪1C‬س +ب1 ‬ ‫ص=ك‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫فإنه يمكن كتابتهما على الصورة التالية:‬ ‫س‬ ‫( ‪ CC‬ب ) ( ص ) = ( ك )‬ ‫ب‬ ‫ك‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫وإذا فرضنا أن:‬ ‫2‬ ‫‪ CC ( = C‬ب ) ، ‪ ، ) ( = M‬ج = ( )‬ ‫ب‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫س‬ ‫ص‬ ‫ك‬ ‫1‬ ‫ك‬ ‫2‬ ‫فإن المعادلتين يمكن كتابتهما على صورة معادلة مصفوفية واحدة كاآلتي:‬ ‫‪=MC‬ج‬ ‫23‬ ‫حيث ‪ C‬هي مصفوفة المعامالت، ‪ M‬هي مصفوفة المجاهيل، ج هي مصفوفة الثوابت.‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫ةفوفصملل ىبرضلا سوكعملا‬ ‫أى 9 = ‪ 1C‬ب 2 - ‪ 2C‬ب1!0‬ ‫وإذا كان محدد ‪ 0 ! C‬‬ ‫فيكون من الممكن إيجاد حل المعادلة ‪ = M C‬ج كاآلتي:‬ ‫1‬‫1‬‫1‬‫(بضرب طرفي المعادلة من اليمين في ‪) C‬‬ ‫  ‪ C = )MC( C‬ج ‬ ‫1‬‫1‬‫(خاصية التجميع)‬ ‫` (‪ C = M )C C‬ج ‬ ‫1‬‫(المعكوس الضربي للمصفوفة ‪)C‬‬ ‫   ‪ C =  M I‬ج ‬ ‫`‬ ‫-1‬ ‫‪ C = M‬ج‬ ‫وبهذا يتضح إنه يمكننا إيجاد المجهولين س ، ص بداللة الثوابت العددية ‪ ، 1C‬ب1 ، ‪ ، 2C‬ب2 ، ك1 ، ك2.‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ حل نظام المعادلتين اآلنيتين التاليتين باستخدام المصفوفات:‬ ‫ 3س + 2 ص = 5 2 س + ص   = 3‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫تكتب المعادلة المصفوفية ‪ = M C‬ج حيث‬ ‫س‬ ‫‪ ( = M ، ) 21 32 ( = C‬ص ) ، ج = ( 35 )‬ ‫محدد ‪= 9 = C‬‬ ‫| |‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫= 3 - 4 = -1 ! 0‬ ‫-1‬ ‫فيكون للمصفوفة ‪ C‬معكوسا ضربيا ويكون الحل هو ك ‪ C = M‬ج  وحيث أن:‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫2‬ ‫1 1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪) 3- 1- ( = ) 2- 2- ( 1- = ) 2- 2- ( 9 = C‬‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫س‬ ‫1‬ ‫5‬ ‫1 2‬‫` ‪ ( = M‬ص ) = ( 2 -3 ) ( 3 ) = ( 1 )‬ ‫-1‬ ‫أى أن س = 1 ، ص = 1‬ ‫مجموعة الحل {(1، 1)}‬ ‫التحقق: 3 (1) + 2(1) 5‬ ‫     5   = 5  (✓)‬ ‫    2 (1) + 1 3‬ ‫     3   = 3  (✓)‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ حل كل نظام من المعادالت الخطية التالية باستخدام المصفوفات.‬ ‫أ 3س+7ص=2‬ ‫ ‬ ‫ 2 س + 5ص = 1 (تحقق من صحة إجابتك)‬ ‫ ‬ ‫ب س + 3 ص - 5 = 0‬ ‫ 2 س = 8 - 5 ص (تحقق من صحة إجابتك)‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫33‬
‫مـثـال‬ ‫‌ معرض الكتاب: ذهبت هدى ومريم إلى معرض القاهرة الدولى للكتاب،‬ ‫فاشترت هدى من إحدى المكتبات 5 كتب علمية و4 كتب تاريخية ودفعت ثمنا‬ ‫ً‬ ‫لها مبلغ 021 جنيها، واشترت مريم من نفس المكتبة 5 كتب علمية، 01 كتب‬ ‫ً‬ ‫تاريخية، ودفعت ثمناً لها مبلغ 051 جنيها، فإذا كانت الكتب العلمية لها نفس‬ ‫ً‬ ‫الثمن، كذلك الكتب التاريخية لها نفس الثمن، استخدم المصفوفات في إيجاد‬ ‫و‬ ‫سعر كل من الكتاب العلمى والكتاب التاريخى.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫نفرض أن س ثمن الكتاب العلمى، ص ثمن الكتاب التاريخى فيكون:‬ ‫5 س + 01 ص = 051‬ ‫5 س + 4 ص     = 021 ، ‬ ‫021‬ ‫س‬ ‫5 4‬ ‫نكون المعادلة المصفوفية على الصورة : ‪ = M C‬ج فيكون:  ‬ ‫ص = 051‬ ‫5 01‬ ‫نوجد محدد ‪ 9 = C‬حيث 9 =‬ ‫ ‬ ‫| |‬ ‫5 4‬ ‫5 01‬ ‫(‬ ‫= 05 - 02 = 03 ! 0‬ ‫ ` المصفوفة ‪ C‬لها معكوس ضربى ‪ C‬حيث ‪( 1 = C‬‬ ‫03 -5‬ ‫1 -2‬ ‫02‬ ‫021‬ ‫3‬ ‫ فيكون ‪) 5 ( = ) 150 ( 15 1- = M‬‬ ‫1‬ ‫( )‬ ‫6‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫-1‬ ‫)( ) (‬ ‫-1‬ ‫5)‬ ‫01 -4 =‬ ‫6‬ ‫أى أن: س = 02 ، ص = 5‬ ‫فيكون ثمن الكتاب العلمى 02 جنيها‬ ‫ً‬ ‫وثمن الكتاب التاريخى 5 جنيهات.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫( )‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫1‬‫6‬ ‫)‬ ‫2‬‫51‬ ‫1‬ ‫6‬ ‫التحقق: 5(02) + 4(5) 021‬ ‫    021  = 021 (✓)‬ ‫   5(02) + 01(5) 051‬ ‫    051  = 051 (✓)‬ ‫‌ الربط بالمستهلك: اشترت أمل 8 كجم من الدقيق، 2 كجم من الزبد، بمبلغ 041 جنيها، واشترت صديقتها‬ ‫ً‬ ‫ريم 4 كيلو جرامات من الدقيق، 3 كيلو جرامات من الزبد، بمبلغ 071 جنيها، استخدم المصفوفات في‬ ‫ً‬ ‫إيجاد سعر الكيلو جرام الواحد من كال النوعين.‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫2 4‬ ‫‌ إذا كان ب = ‪ C ، b 1 3 l‬ب =‪ I‬فأوجد المصفوفة ‪.C‬‬ ‫2 -2‬ ‫4 -2‬ ‫‌ إذا كان ‪ C ، b 3 1- l =     C‬ب = ‪ b 7 0 l‬فأوجد المصفوفة ب‬ ‫‌ تفكير ناقد: باستخدام المصفوفات ، أوجد عددين مجموعهما 01، والفرق بينهما 4‬ ‫43‬ ‫الرياضيات - الصف الثانى الثانوى‬
‫ملخص الوحدة‬ ‫× ×المصفوفة هى ترتيب لعدد من العناصر (متغيرات أو أعداد) في صفوف وأعمدة وتكتب بين قوسين، ويرمز‬ ‫لها باستخدام الحروف الكبيرة. كما يرمز لعناصر المصفوفة بالحروف الصغيرة، وإذا أردنا التعبير عن‬ ‫العنصر داخل المصفوفة ‪ C‬الذى يقع في الصف ص والعمود ع فإنه يمكننا كتابته على الصورة ‪C‬‬ ‫صع‬ ‫× ×المصفوفة المربعة: هى مصفوفة عدد صفوفها يساوى عدد اعمدتها.‬ ‫× ×مصفوفة الصف: هى مصفوفة تحتوى على صف واحد، وأى عدد من األعمدة.‬ ‫× ×مصفوفة العمود: هى مصفوفة تحتوى على عمود واحد وأى عدد من الصفوف.‬ ‫× ×المصفوفة الصفرية: هى مصفوفة جميع عناصرها أصفار.‬ ‫× ×المصفوفة القطرية: هى مصفوفة مربعة جميع عناصرها اصفار، ما عدا عناصر القطر الرئيسى فتكون‬ ‫أحدها على األقل مغايرا للصفر.‬ ‫ً‬ ‫× ×مصفوفة الوحدة: هى مصفوفة قطرية، يكون فيها كل عناصر القطر الرئيسى مساو يا الواحد ، ويرمز لها‬ ‫ً‬ ‫بالرمز ‪.I‬‬ ‫× ×المصفوفات المتساوية: هى المصفوفات التى لها نفس النظم وعناصرها المتناظرة متساوية.‬ ‫× ×مدور المصفوفة: في أى مصفوفة ‪ C‬على النظم م * ن إذا استبدلنا الصفوف باألعمدة، واألعمدة بالصفوف‬ ‫مد مد‬ ‫مد‬ ‫بنفس الترتيب، فإننا نحصل على مصفوفة من النظم ن * م وتسمى مدور المصفوفة ‪ C‬ويرمز لها ‪C = ) C( ، C‬‬ ‫مد‬ ‫× ×المصفوفة المتماثلة: إذا كانت ‪ C‬مصفوفة مربعة، فإنها تسمى متماثلة إذا وفقط إذا كانت ‪C = C‬‬ ‫مد‬ ‫ ‬ ‫× ×المصفوفة شبه المتماثلة: تسمى المصفوفة ‪ C‬شبه متماثلة إذا وفقط إذا كانت ‪C- = C‬‬ ‫يمكن جمع أو طرح المصفوفات إذا كان لهما نفس النظم ، وذلك بجمع العناصر المتناظرة أو طرحها.‬ ‫× ×لضرب مصفوفة فى عدد حقيقى ك ، اضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في هذا العدد.‬ ‫× ×يمكن ضرب مصفوفتين إذا كان عدد األعمدة في المصفوفة األولى يساوى عدد الصفوف في المصفوفة‬ ‫الثانية.‬ ‫× ×تكون كل من المصفوفتين معكوسا ضربيا لألخرى إذا كان حاصل ضربهما هو مصفوفة الوحدة ‪.I‬‬ ‫ًّ‬ ‫ًّ‬ ‫× ×لحل معادلة مصفوفية على الصورة ‪ = M C‬ب ، نوجد المعكوس الضربى لمصفوفة المعامالت، ثم نضرب‬ ‫طرفى المعادلة فيه.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫53‬
‫الجبر‬ ‫1‬ ‫الوحدة‬ ‫0‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫2‬ ‫البرمجة الخطية‬ ‫‪Linear Programing‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫أهداف الوحدة‬ ‫فى نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:‬ ‫ً‬ ‫• •يحل متباينات من الدرجة األولى فى مجهول واحد مع تمثيل‬ ‫الحل بيانيا.‬ ‫ًّ‬ ‫• •يحل متباينات من الدرجة األولى فى مجهولين وتحديد‬ ‫منطقة الحل بيانيا.‬ ‫ًّ‬ ‫• •يحل نظام من المتباينات الخطية بيانيا.‬ ‫ًّ‬ ‫• •يحل مسائل حياتية على أنظمة المتباينات الخطية.‬ ‫• •يستخدم البرمجة الخطية فى حل مشكالت رياضية حياتية.‬ ‫• •يضع معلومات خاصة بموضوع مشكلة رياضية حياتية فى‬ ‫جدول مناسب، ويترجم البيانات لها فى صورة متباينات‬ ‫خطية، ثم يحدد منطقة الحل بيانيا.‬ ‫ًّ‬ ‫• •يعين دالة الهدف بداللة اإلحداثيات، مع تحديد النقط‬ ‫التى تنتمى إلى مجموعة الحل، وإعطاء الحل األمثل لدالة‬ ‫الهدف.‬ ‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪Ñ Ñ‬متباينة خطية‬ ‫‪Ñ Ñ‬مستقيم حدى‬ ‫‪Ñ Ñ‬مستقيم حدى منقط‬ ‫‪Ñ Ñ‬مستقيم حدى متصل‬ ‫‪Ñ Ñ‬متباينة خطية فى مجهولين‬ ‫‪Ñ Ñ‬نظام المتباينات الخطية‬ ‫‪Linear Inequality‬‬ ‫‪Boundary line‬‬ ‫‪Dashed boundary line‬‬ ‫‪Solid boundary line‬‬ ‫‪Linear Inequality in two unknowns‬‬ ‫‪System of linear inequalities‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬منطقة الحل‬ ‫‪Ñ Ñ‬رسم بياني‬ ‫‪Ñ Ñ‬برمجة خطية‬ ‫‪Ñ Ñ‬القيود‬ ‫‪Ñ Ñ‬الحل األمثل‬ ‫‪Feasible region‬‬ ‫‪Graph‬‬ ‫‪Linear programing‬‬ ‫‪Constrains‬‬ ‫‪Optimize‬‬
‫دروس الوحدة‬ ‫الدرس (2 - 1): المتباينات الخطية.‬ ‫الدرس (2 - 2): حل أنظمة من المتباينات‬ ‫الخطية بيانيا.‬ ‫ًّ‬ ‫الدرس (2 - 3): البرمجة الخطية والحل‬ ‫األمثل.‬ ‫دروس الوحدة‬ ‫شبكة إحداثيات 01 * 01‬ ‫ورق مربعات - أقالم ألوان رصاص -‬ ‫بعض المواقع اإللكترونية‬ ‫مثل ‪www.phschool.com‬‬ ‫مقدمة الوحدة‬ ‫عندما يؤدى تحليل مسألة أو مشكلة ما إلى إيجاد‬ ‫قيمة عظمى أو صغرى لتعبير خطى، يجب أن تخضع‬ ‫متغيراته لمجموعة من المتباينات الخطية. فإنه ربما‬ ‫يمكننا الحصول على الحل باستخدام تكنيكات البرمجة‬ ‫الخطية.‬ ‫وتاريخيا، فقد ظهرت مشكالت البرمجة الخطية‬ ‫ًّ‬ ‫كنتيجة للحاجة لحل مشكالت تتعلق بمرتبات أفراد‬ ‫القوات المسلحة أثناء الحرب العالمية الثانية، ومن‬ ‫أمثال الذين عملوا فى حل مثل هذه المشكالت چورچ‬ ‫دانتزيج ‪ George Dantzig‬الذى توصل لصيغة عامة‬ ‫لمشكالت البرمجة الخطية مع عرض طريقة لحلها‬ ‫تسمى السمبلكس ‪ ،Simplex method‬وللبرمجة الخطية‬ ‫تطبيقاتها فى كل المجاالت مثل الصناعة والتجارة‬ ‫ً‬ ‫وإدارة الوقت، والزراعة، والصحة، وغيرها، فمثال‬ ‫يتطلب النجاح فى إدارة األعمال استخدام البرمجة‬ ‫الخطية، وذلك لتحقيق أقصى ربح ممكن أو تحقيق‬ ‫أقل تكلفة ممكنة وهكذا، وفى هذه الوحدة سوف نتعلم‬ ‫طرق حل مسائل البرمجة الخطية التى تتضمن مجهولين‬ ‫فقط، وتطبيقاتها فى مواقف حياتية مختلفة.‬ ‫مخطط تنظيمى للوحدة‬ ‫المتباينات الخطية‬ ‫حل متباينة من‬ ‫الدرجة األولى فى‬ ‫مجهولين‬ ‫حل متباينة من‬ ‫الدرجة األولى فى‬ ‫مجهول واحد‬ ‫حل نظام‬ ‫المتباينات‬ ‫الخطية بيانيًا‬ ‫ّ‬ ‫حل نظام من‬ ‫متباينتين‬ ‫خطيتين بيانيًا‬ ‫ّ‬ ‫الربط‬ ‫حل نظام من أكثر‬ ‫من متباينتين‬ ‫خطيتين‬ ‫الربط بالتربية‬ ‫الرياضية‬ ‫بالهندسة‬ ‫الربط بالحياة‬ ‫البرمجة الخطية و الحل األمثل‬ ‫الربط بإدارة األعمال‬ ‫الربط بالصناعة‬ ‫الربط بالزراعة‬ ‫الربط بالمستهلك‬
‫المتباينات الخطية‬ ‫2 ‍‬ ‫‪Linear Inequalities‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫عمل تعاونى‬ ‫حل متباينة من الدرجة األوىل ىف‬ ‫جمهول واحد، ومتثيل احلل بيانيا.‬ ‫ًّ‬ ‫حل متباينة من الدرجة األوىل‬ ‫ىف جمهولني، وحتديد منطقة احلل‬ ‫بيانيا.‬ ‫ًّ‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫متباينة خطية‬ ‫مستقيم حدى. ‬ ‫‪Linear inequality‬‬ ‫‪Boundary line‬‬ ‫مستقيم حدى متقطع.‬ ‫‪Dashed boundary line‬‬ ‫‬ ‫مستقيم حدى متصل.‬ ‫‪Solid boundary line‬‬ ‫‬ ‫متباينة خطية ىف جمهول واحد‬ ‫‬ ‫‪Linear inequality in one unknown‬‬ ‫ متباينة خطية ىف جمهولني‬ ‫‪Linear inequality in two unknowns‬‬ ‫شبكة إحداثيات 01 * 01‬ ‫أقالم ألوان رصاص.‬ ‫1- باالشتراك مع زميل لك العب لعبةما النقطة؟‬ ‫هدف اللعبة:‬ ‫تحديد موضع نقطة على المستوى اإلحداثى بطرح أقل عدد ممكن من األسئلة.‬ ‫كيف تلعب؟‬ ‫هل س أكبر من‬ ‫× ×يختار الالعب (أ) نقطة على‬ ‫نعم‬ ‫4 أو تساوى صفرا؟‬ ‫ً‬ ‫المستوى اإلحداثى، واليعلمها‬ ‫الالعب اآلخر (نقطة سرية)،‬ ‫2 هل ص أكبر من‬ ‫ال‬ ‫أو تساوى صفرا؟‬ ‫ويكون كل من إحداثييها عددا‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫صحيحا من -5 إلى 5‬ ‫4‬‫2‬‫2‬ ‫4‬ ‫ً‬ ‫(2، -2)‬ ‫× ×يسأل الالعب (ب) أسئلة تشمل‬ ‫2‬‫هل س أقل‬ ‫نعم‬ ‫الكلمات أقل من أو أكبر من،‬ ‫من 3؟‬ ‫ويجيب الالعب (أ) عن كل سؤال‬ ‫4‬‫فقط بـ نعم أو ال.‬ ‫× ×يسجل الالعب (أ) عدد األسئلة المطروحة بينما يسمى الالعب (ب) النقطة السرية.‬ ‫ُ‬ ‫× ×يتبادل الالعبان أدوارهما لتكملة جولة واحدة من اللعبة.‬ ‫كيف تفوز؟‬ ‫الالعب الذى يحدد النقطة بطرحه عددا أقل من األسئلة هو الذى يفوز بالجولة،‬ ‫ً‬ ‫والالعب الذى يفوز بأول ثالث جوالت، هو الالعب الفائر.‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫ورق مربعات.‬ ‫‬ ‫األدوات املستخدمة: شبكة احداثيات 01 * 01‬ ‫2- ‬ ‫كم سؤاال تحتاج لطرحه لتحديد موضع النقطة السرية؟‬ ‫3- إذا كنت محظوظًا بدرجة كبيرة، فما عدد األسئلة التى تحتاج لطرحها، لتحديد‬ ‫موضع النقطة السرية؟ فسر إجابتك موضحا باألمثلة.‬ ‫ً‬ ‫4- ‬ ‫كيف تساعدك المتباينات فى تحديد موضع النقطة السرية؟‬ ‫5- اقترح إستراتيجية لتفوز فى هذه اللعبة.‬ ‫83‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫ةيطخلا تانيابتملا‬ ‫تعلم‬ ‫‬ ‫د‬ ‫حل متباينات الدرجة األولى فى مجهول واح ‬ ‫‪Solving linear inequalitues in one unknown‬‬ ‫سبق أن درست حل المتباينة من الدرجة األولى فى متغير واحد، ونذكرك بأن حل المتباينات يتوقف على مجموعة‬ ‫التعويض، كما يتوقف على خواص عالقة التباين التالية:‬ ‫خوا�ص عالقة التباين فى ح‬ ‫إذا كان ‪ ،C‬ب، جـ ∈ ح فإن: × ×إذا كان ‪ G C‬ب ‬ ‫الحظ‬ ‫إذا كانت المتباينة فى متغير‬ ‫واحد فإنه يمكن تمثيل‬ ‫مجموعة حلها على خط‬ ‫األعداد وذلك كما درست‬ ‫ً‬ ‫مسبقا.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫فإن ‪ + C‬جـ ‪ G‬ب + جـ   لكل جـ 0‬ ‫       ‪ C‬جـ ‪ G‬ب جـ  لكل جـ 0‬ ‫       ‪ C‬جـ ‪ H‬ب جـ  لكل جـ 0‬ ‫فإن ‪ + C‬جـ ‪ H‬ب + جـ  لكل جـ 0‬ ‫× ×إذا كان ‪ H C‬ب ‬ ‫        ‪ C‬جـ ‪ H‬ب جـ  لكل جـ 0‬ ‫        ‪ C‬جـ ‪ G‬ب جـ  لكل جـ 0‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد مجموعة حل كل من المتباينتين التاليتين حيث س ∈ ح ثم مثل الحل على خط األعداد:‬ ‫ب 6 + س 3 س + 2 ‪ + 14 H‬س‬ ‫أ ‬ ‫3س - 9 6 س‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫أ 3س - 9 6 س ‬ ‫ ‬ ‫ ` 3 س - 9 + 9 - 6س 6 س + 9 - 6س‬ ‫(بضرب الطرفين فى - 1 )‬ ‫ ` -3 س 9 ‬ ‫3‬ ‫   س -3‬ ‫ مجموعة الحل = ] -∞ و -3[‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫بإضافة (9 - 6س) لكل من الطرفين.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ب نقسم المتباينة إلى متباينتين كاآلتي:‬ ‫المتباينة األولى: 6 + س 3 س + 2‬ ‫   ` 6 - 2 3 س - س‬ ‫    ` س 2‬ ‫مجموعة الحل = ]2، ∞[‬ ‫مجموعة الحل = ]2، ∞[ ∩ ]-∞، 6] = ]2، 6]‬ ‫-1‬ ‫-2‬ ‫-3‬ ‫-4‬ ‫-5‬ ‫-6‬ ‫المتباينة الثانية: 3س + 2 ‪ + 14 H‬س‬ ‫  ` 3س - س ‪2 - 14 H‬‬ ‫   ` س ‪6 H‬‬ ‫مجموعة الحل = ]-∞، 6]‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ حل المتباينات اآلتية فى ح ومثل مجموعة الحل بيانيا على خط األعداد:‬ ‫ًّ‬ ‫ج‍‬ ‫ 3+2س3س+2‪H‬س+7‬ ‫ب 2 س - 1 5 ‬ ‫أ 3س + 5 ‪ 2 G‬‬ ‫ ‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫93‬
‫تعلم‬ ‫‬ ‫ن‬ ‫حل متباينات الدرجة األولى فى مجهولي ‬ ‫‪Solving linear inequalities in two unknowns‬‬ ‫المتباينة من الدرجة األولى فى مجهولين تشبه المعادلة الخطية من الدرجة األولى فى مجهولين، والفرق بينهما هو‬ ‫وضع رمز المتباينة بدال من وضع رمز التساوى فمثال: ص 2 س + 2 هى متباينة خطية، ص = 2 س + 2 هى‬ ‫ً‬ ‫معادلة خطية مرتبطة بها.‬ ‫ص‬ ‫التمثيل البيانى للمتباينة ص 2 س + 2 موضح بالمنطقة‬ ‫المظللة فى الشكل المقابل.‬ ‫3‬ ‫ص = 2س + 2‬ ‫ونالحظ أن كل نقطة فى المنطقة الملونة تحقق المتباينة،‬ ‫والتمثيل البيانى للمستقيم ص = 2 س + 2 هو حد المنطقة‬ ‫الممثلة للحل، وقد رسم المستقيم بشكل متقطع ليدل على أنه ال‬ ‫يحقق المتباينة. أما إذا احتوت المتباينة على الرمز‪ G‬أو ‪ H‬فإن‬ ‫النقاط الواقعة على المستقيم الحدى ستحقق المتباينة وعندئذ‬ ‫يكون تمثيل المستقيم خطًّا متصلاً.‬ ‫س‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫4‬ ‫ص 2س + 2‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1 -2 -3 -4‬‫-1‬ ‫س‬ ‫َ‬ ‫2‬‫-3‬ ‫ف‬ ‫ف‬ ‫2‬ ‫ص -4‬ ‫َ‬ ‫1‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ مثل بيانيا مجموعة حل المتباينة: ص 2 س + 3‬ ‫ًّ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫الخطوة (1): ارسم المستقيم الحدى ص = 2 س + 3‬ ‫والحظ أن نقط المستقيم‬ ‫ص‬ ‫الحدى ليست حلاًّ للمتباينة‬ ‫لذا يرسم المستقيم الحدى‬ ‫متقطعا.‬ ‫ً‬ ‫س‬ ‫ص‬ ‫ ‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫1 -2‬‫1 -1‬ ‫س‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫الحظ‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫ص = 2س + 3‬ ‫1 -2 -3 -4‬‫-1‬ ‫س‬ ‫َ‬ ‫المستقيم الحدى يقسم المستوى‬ ‫إلى ثالث مجموعات من النقط.‬ ‫1-مجموعة نقط المستقيم‬ ‫الحدى.‬ ‫2-مجموعة نقط المستوى‬ ‫التى تقع على أحد جانبى‬ ‫المستقيم الحدى وتسمى‬ ‫نصف مستوى ويرمز لها‬ ‫بالرمز (ف1).‬ ‫3-مجموعة نقط المستوى‬ ‫التى تقع على الجانب‬ ‫اآلخر للمستقيم الحدى‬ ‫وتسمى نصف مستوى‬ ‫ويرمز لها بالرمز (ف2).‬ ‫الخطوة (2): نختار إحدى‬ ‫النقط فى أحد جانبى‬ ‫3‬‫ص -4‬ ‫الخط المرسوم ونعوض‬ ‫ف‬ ‫ف‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫َ‬ ‫بها فى الطرف األيمن، فإذا‬ ‫حققت هذه النقطة المتباينة نلون هذا الجانب (مجموعة الحل)، وإذا لم تحقق المتباينة نلون الجانب‬ ‫اآلخر ويكون هو مجموعة الحل.‬ ‫04‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫-2‬
‫ةيطخلا تانيابتملا‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫اختر النقطة (0، 0) والتى التقع على المستقيم الحدى، بل تقع على أحد جانبيه.‬ ‫(المتباينة األصلية)‬ ‫ص 2 س + 3 ‬ ‫؟‬ ‫(نعوض بالنقطة (0، 0))‬ ‫0 2 (0) + 3 ‬ ‫(صواب)‬ ‫0 3 ‬ ‫ظلل المنطقة التى تحتوى على النقطة (0، 0)، حيث مجموعة التحقق:‬ ‫الحل هى نصف المستوى الذى تنتمى إليه النقطة (0، 0).‬ ‫يبين التمثيل البيانى أن النقطة (2، 3)‬ ‫(المتباينة األصلية)‬ ‫ص 2 س + 3 ‬ ‫تقع فى منطقة الحل.‬ ‫؟‬ ‫(نعوض بالنقطة (2، 3))‬ ‫3 2 (2) + 3 ‬ ‫3 7 (صواب) إذن الحل صحيح.‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ مثل بيانيا مجموعة حل المتباينة: 2س – 5 ص ‪10 H‬‬ ‫ًّ‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الخطوة (1):نمثل بيانيا المستقيم الحدى (ل).‬ ‫ًّ‬ ‫2 س – 5 ص = 01 بخط متصل (ألن عالقة التباين ‪.)H‬‬ ‫س‬ ‫0‬ ‫5 12‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫يمكنك رسم المستقيم الحدى بوضع المستقيم:‬ ‫2 س – 5 ص = 01 على الصورة: ص = م س + جـ‬ ‫حيث م الميل، جـ الجزء المقطوع من محور الصادات.‬ ‫فيكون: – 5 ص = – 2 س + 01 ` ص = 2 س – 2‬ ‫ ‬ ‫5‬ ‫ص‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ص‬ ‫–2‬ ‫0‬ ‫2‬ ‫–1‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫س‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫2س -5ص = 01‬ ‫1‬ ‫س‬ ‫َ‬ ‫1 -2 -3 -4‬‫1‬‫2‬‫-3‬ ‫ل‬ ‫ص -4‬ ‫َ‬ ‫الخطوة (2): اختبر النقطة (0،0) والتى تقع على أحد جانبى المستقيم الحدى.‬ ‫(المتباينة األصلية)‬ ‫2 س – 5 ص ‪ 10 H‬‬ ‫؟‬ ‫(نعوض بالنقطة (0، 0))‬ ‫2 (0) – 5 (0) ‪ 10 H‬‬ ‫(صواب)‬ ‫0 ‪ 10 H‬‬ ‫لون المنطقة التى تحتوى على النقطة (0، 0)، حيث مجموعة الحل هى نصف المستوى الذى تقع فيه النقطة‬ ‫(0، 0) ∪ مجموعة نقط المستقيم الحدى ل.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ مثل بيانيا مجموعة الحل لكل من المتباينات اآلتية‬ ‫ًّ‬ ‫ب ص 5 س – 5 ‬ ‫أ 2 س – ص ‪ 6 G‬‬ ‫ ‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫ج‍ ص – 2 س 2‬ ‫14‬
‫مـثـال‬ ‫حمص‬ ‫الكيلو 8 جنيهات‬ ‫‌ تطبيقات حياتية: تسوق الطعام: افترض أنك قررت عدم‬ ‫فول سودانى‬ ‫صرف أكثر من 84 جنيها لشراء الحمص والفول السودانى‬ ‫ً‬ ‫الكيلو 61 جنيها‬ ‫ً‬ ‫الالزم لرحلتك أنت وعائلتك إلى حديقة الحيوان بالجيزة،‬ ‫كم كيلو جراما يمكنك شراؤه من كل نوع؟‬ ‫ً‬ ‫الحل‬ ‫ عرف: نفرض أن س = عدد الكيلو جرامات التى يمكنك شراؤها من الحمص.‬ ‫    ص = عدد الكيلو جرامات التى يمكنك شراؤها من الفول السودانى.‬ ‫ اربط: ثمن شراء الحمص + ثمن شراء الفول السودانى ‪ H‬الحد األقصى للشراء (انظر إلى الرسم).‬ ‫ اكتب: 8 س + 61 ص ‪48 H‬‬ ‫ ارسم المستقيم الحدى 8 س + 61 ص = 84، ويمثل بخط مستقيم متصل (ألن عالقة التباين ‪.)H‬‬ ‫ استخدم الربع األول فقط من المستوى اإلحداثى، حيث إنه اليمكنك شراء كمية سالبة من المحمصات.‬ ‫ اختبر النقطة (0، 0)‬ ‫؟‬ ‫ 8 (0) + 61 (0) ‪48 H‬‬ ‫0   ‪( 48 H‬صواب)‬ ‫ ‬ ‫ لون المنطقة التى تحتوى النقطة (0، 0).‬ ‫يوضح التمثيل البيانى كل الحلول الممكنة، على س‬ ‫ ‬ ‫9 8 7 6 5 4‬ ‫سبيل المثال إذا قمت بشراء 2 كجم من الحمص،‬ ‫الحمص بالكجم‬ ‫فإنه اليمكنك شراء أكثر من 2 كجم من الفول‬ ‫السودانى. واآلن هل 2 كجم حمص، 1كجم من الفول السودانى حل لهذا المثال؟‬ ‫ص‬ ‫6‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫الفول السودانى (بالكجم)‬ ‫س‬ ‫ص‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫6‬ ‫0‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫محمصات الرحلة‬ ‫1‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ تفكير ناقد: عندما نمثل المتباينة ص ‪ 2 G‬س - 2 بيانيا، هل ستظلل المنطقة فوق أم تحت الخط المستقيم‬ ‫ًّ‬ ‫5‬ ‫ص = 2 س - 2؟ كيف علمت ذلك؟‬ ‫5‬ ‫‌ الربط بالمستهلك: تبيع مكتبة نوعين من الكشاكيل، النوع األول سعره 52٫6 جنيه، والنوع اآلخر سعره‬ ‫5٫7 جنيه، فإذا أراد أحمد شراء بعض من هذه الكشاكيل، بحيث ال يدفع أكثر من 52 جنيها، فكم عدد‬ ‫ً‬ ‫الكشاكيل التى يمكنه شراؤها من كل نوع؟‬ ‫24‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫حل أنظمة من المتباينات الخطية بيانيّا‬ ‫2 ‍‬ ‫‪Solving Systems of Linear Inequalities Graphically‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫عمل تعاونى‬ ‫اعمل مع زميل لك.‬ ‫1- مثل بيانيا مجموعة حل المتباينة س ‪ 2 G‬فى مستوى إحداثى متعامد، ولون‬ ‫ًّ‬ ‫منطقة الحل باللون األصفر.‬ ‫2- مثل بيانيا مجموعة حل المتباينة ص -1 فى نفس المستوى اإلحداثى‬ ‫ ِّ‬ ‫ًّ‬ ‫المتعامد، ثم لون منطقة الحل باللون األخضر.‬ ‫3- حدد المنطقة التى تداخل فيها اللونين األصفر واألخضر معا.‬ ‫ً‬ ‫4 ماذا تمثل المنطقة التى حددتها فى بند (3)؟‬ ‫‬‫5- اختر ثالث نقط مختلفة يمثل كل منها حلاًّ للمتباينتين معا. فسرإجابتك.‬ ‫ً‬ ‫تعلم‬ ‫حل نظام من املتباينات اخلطية‬ ‫بيانيا.‬ ‫ًّ‬ ‫حل مسائل حياتية عىل أنظمة‬ ‫املتباينات اخلطية.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫نظام المتباينات الخطية‬ ‫تكون متباينتان خطيتان أو أكثر معا نظاما من المتباينات الخطية، ويكون الزوج‬ ‫ُ‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫المرتب (س1، ص1) حلاً لهذا النظام إذا حقق جميع متبايناته.‬ ‫نظام متباينات خطية‬ ‫‪System of linear inequalities‬‬ ‫‬ ‫منطقة احلل‬ ‫‪Feasible region‬‬ ‫رسم بياين.‬ ‫‪Graph‬‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ يمكنك وصف كل ربع من أرباع مستوى إحداثى متعامد باستخدام نظام من‬ ‫ٍ‬ ‫المتباينات الخطية.‬ ‫ص‬ ‫ص‬ ‫ من الشكل المقابل، حدد رقم‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫الربع الذى يمثل مجموعة‬ ‫/‬ ‫/‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫س‬ ‫س‬ ‫س‬ ‫س‬ ‫حل كل نظام مما يأتى‬ ‫/‬ ‫/‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ج‍ س 0 ، ص 0‬ ‫ص‬ ‫أ س 0 ، ص 0‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ص‬ ‫ب  س 0 ، ص 0‬ ‫د  س 0 ، ص 0‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫4‬ ‫0‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫س‬ ‫س‬ ‫/3‬ ‫ص‬ ‫ورق رسم بياين.‬ ‫ألوان رصاص.‬ ‫ص‬ ‫0‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫/‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫34‬
‫تعلم‬ ‫ًّ ا‬ ‫حل نظام من المتباينات الخطية بياني‬ ‫‬ ‫‪Solving a system of liner inequalitues graphically‬‬ ‫حل نظام المتباينات الخطية يعنى إيجاد جميع األزواج المرتبة التى تحقق متباينات هذا النظام.‬ ‫لتحديد جميع النقاط (األزواج المرتبة) التى تشكل حال للنظام يتم تلوين (تظليل) منطقة حل كل واحدة من‬ ‫ًّ‬ ‫كة بين مناطق حل جميع المتباينات هى منطقة‬ ‫المتباينات فى مستوى إحداثى واحد، فتكون المنطقة المشتر‬ ‫حل هذا النظام‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ حل نظام المتباينات الخطية التالى بيانيا:  ص ‪ 2 G‬س + 6  ،    ص + 3س -1‬ ‫ًّ‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الخطوة (1): مثل مجموعة حل كل متباينة فى النظام بيانيا، ولون منطقة الحل.‬ ‫ِّ‬ ‫ًّ‬ ‫للمتباينة األولى: ص ‪ 2 G‬س + 6‬ ‫ص‬ ‫6 ‪1M‬‬ ‫نرسم المستقيم الحدى ص = 2 س + 6   (خط متصل)‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫النقطة (0، 0) التحقق المتباينة‬ ‫`مجموعة الحل ‪ 1M‬هى نصف المستوى الذى التقع فيه‬ ‫نقطة األصل ∪ ل‬ ‫1‬ ‫للمتباينة الثانية: ص + 3 س -1‬ ‫نرسم المستقيم الحدى ص + 3 س = -1    (خط متقطع)‬ ‫س‬ ‫ص‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫0‬ ‫6‬ ‫س 0‬ ‫ص -1‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫3‬‫0‬ ‫1‬‫2‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫2‬‫2‬ ‫2‬‫5‬ ‫س‬ ‫3 2 1‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫‪M ∩ 1M‬‬ ‫2‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫1 -2 -3 -4 -5 -6‬‫1‬‫2‬‫3‬‫4‬‫‪2M‬‬ ‫5‬‫ل‬ ‫6‬‫1‬ ‫النقطة (0، 0)التحقق المتباينة‬ ‫` مجموعة الحل ‪ 2 M‬هى نصف المستوى الذى التقع فيه نقطة األصل.‬ ‫كة بين مناطق حل متباينات النظام، وهى المنطقة التى تتداخل فيها‬ ‫الخطوة (2): حدد المنطقة المشتر‬ ‫األلوان، والتى تمثل منطقة حل النظام، فيكون مجموعة الحل للمتباينتين معا هى ‪M ∩ 1M‬‬ ‫ً‬ ‫2‬ ‫تحقق: الحظ أن النقطة (-4، 2) تنتمى إلى منطقة حل النظام؛ لذا يمكن استخدامها نقطة اختبار، والتحقق‬ ‫من صحة الحل بالتعويض عن (س، ص) بالنقطة (-4، 2) فى كلتا المتباينتين:‬ ‫ص + 3 س -1‬ ‫ص ‬ ‫‪2G‬س+6‬ ‫؟‬ ‫؟‬ ‫2 + 3 (-4) -1‬ ‫2 ‪ G‬‬ ‫2(-4) + 6‬ ‫01 -1 ( صواب)‬‫2 ‪ G‬‬ ‫-2 (صواب)‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫44‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫اّينايب ةيطخلا تانيابتملا نم ةمظنأ ح‬ ‫ل‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ حل النظام اآلتى بيانيا: 3 س + 5ص ‪ ، 15 G‬ص س -1‬ ‫ًّ‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ حل نظام المتباينات الخطية التالى بيانيا: 4 ص ‪6 G‬س‬ ‫ًّ‬ ‫  -3 س + 2ص ‪6- H‬‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫الخطوة (1): مثل مجموعة حل كل متباينة فى النظام بيانيا، ولون منطقة الحل.‬ ‫ِّ‬ ‫ًّ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫للمتباينة األولى: 4 ص ‪ 6 G‬س‬ ‫نرسم المستقيم الحدى 4 ص = 6س  (خط متصل)‬ ‫س 0 2 -2‬ ‫ص 0 3 -3‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫للمتباينة الثانية: - 3 س + 2 ص ‪6- H‬‬ ‫نرسم المستقيم الحدى -3س -2ص = -6 (خط متصل)‬ ‫س 0 2 -2‬ ‫ص -3 0 6‬ ‫ النقطة (0، 0) تقع على المستقيم الحدى؛ لذا يختبر باستخدام‬ ‫نقطة أخرى على إحدى جانبى المستقيم الحدى ولتكن (-3، 2)‬ ‫      فيكون: 4 (2) ‪)3-( 6 G‬‬ ‫     أي 8 ‪( 12- G‬صواب)‬ ‫ ‬ ‫ فيكون مجموعة الحل ‪ ،1M‬و هى نصف المستوى الذى يقع‬ ‫فيه النقطة (-3، 2) ∪ ل‬ ‫1‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫س‬ ‫ص‬ ‫ل‬ ‫2‬ ‫5 4 3‬ ‫2 1‬ ‫‪M‬‬ ‫6‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫‪M‬‬ ‫1‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫1 -2 -3 -4 -5‬‫1‬‫2‬‫3‬‫4‬‫ل‬ ‫1‬ ‫5‬‫-6‬ ‫2‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫النقطة (0، 0) التحقق المتباينة‬ ‫` مجموعة الحل ‪ ،2M‬و هى نصف المستوى الذى التقع فيه النقطة (0، 0) ∪ ل‬ ‫2‬ ‫كة بين مناطق حل متباينات النظام، والتى تمثل منطقة حل النظام.‬ ‫الخطوة (2): نحدد المنطقة المشتر‬ ‫ونالحظ أن المستقمين ل1، ل2 متوازيان، والتوجد منطقة كة بين المنطقتين الملونتين كما فى الشكل.‬ ‫مشتر‬ ‫` مجموعة حل المتباينتين معا = ‪z‬‬ ‫ً‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد حل نظام المتباينات الخطية التالى بيانيا:    ص ‪ H‬س‬ ‫ًّ‬ ‫     ص ‪ G‬س + 1‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫54‬
‫مـثـال‬ ‫‌ الربط بالحياة يريد مربى حيوانات عمل حظيرة مستطيلة الشكل، يجب أن اليقل طول الحظيرة عن 08‬ ‫مترا، وأن اليزيد محيطها عن 013 أمتار. فما األبعاد الممكنة للحظيرة؟‬ ‫ً‬ ‫الحل‬ ‫ص = طول الحظيرة.‬ ‫ عرف: س = عرض الحظيرة. ‬ ‫المحيط اليزيد عن 013 أمتار‬ ‫ اربط: الطول اليقل عن 08 مترا. ‬ ‫ً‬ ‫ 2 س + 2 ص ‪310 H‬‬ ‫ ‬ ‫  ص ‪80 G‬‬ ‫ لحل نظام المتباينات الخطية: ص ‪80 G‬‬ ‫ 2 س + 2 ص ‪310 H‬‬ ‫ يمكنك اتباع التالى:‬ ‫للمتباينة األولى:‬ ‫ص‬ ‫ص ‪80 G‬‬ ‫041‬ ‫‪2M‬‬ ‫‪1M‬‬ ‫استخدم الميل وطول الجزء‬ ‫∩‬ ‫‪1M‬‬ ‫001‬ ‫المقطوع من محور الصادات‬ ‫ل‬ ‫1‬ ‫لرسم المستقيم الحدى‬ ‫06‬ ‫ص = 08‬ ‫‪2M‬‬ ‫ل‬ ‫02‬ ‫س 2‬ ‫(المستقيم الحدى متصل)‬ ‫02‬ ‫041 001 06‬ ‫س 0 1 2‬ ‫العرض بالمتر‬ ‫ص 08 08 08‬ ‫أبعاد حظيرة الحيوانات‬ ‫ص ‪80 G‬‬ ‫؟‬ ‫02 ‪( 80 G‬خطأ)‬ ‫مجموعة الحل ‪ 1M‬هى نصف المستوى الذى‬ ‫التقع فيه النقطة (02، 02) ∪ ل‬ ‫1‬ ‫ ‬ ‫الطول بالمتر‬ ‫اختبر النقطة (02، 02)‬ ‫للمتباينة الثانية:‬ ‫2 س + 2ص ‪310 H‬‬ ‫استخدم األجزاء المقطوعة‬ ‫من محورى اإلحداثيات‬ ‫لرسم المستقيم الحدى:‬ ‫2 س + 2ص = 013‬ ‫(المستقيم الحدى متصل)‬ ‫س 0 551 01‬ ‫ص 551 0 541‬ ‫اختبر النقطة (02، 02)‬ ‫2 س + 2ص ‪310 H‬‬ ‫؟‬ ‫2(02) + 2(02) ‪310 H‬‬ ‫08 ‪( 310 H‬صواب)‬ ‫مجموعة الحل ‪ 2M‬هى نصف المستوى الذى‬ ‫تقع فيه النقطة (02، 02) ∪ ل‬ ‫2‬ ‫كة والموضحة بالرسم.‬ ‫مجموعة الحل ‪ 2M ∩1M =M‬وهى مجموعة النقط فى المنطقة المشتر‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫من المثال السابق:‬ ‫‌ أعط ثالثة أبعاد ممكنة (للطول والعرض) للحظيرة. كم حلاًّ لهذا النظام؟‬ ‫‌ لماذا تم توضيح منطقة الحل فى الربع األول فقط من المستوى اإلحداثى؟‬ ‫64‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫اّينايب ةيطخلا تانيابتملا نم ةمظنأ ح‬ ‫ل‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ الربط بالحياة قام إسالم وفادى برحلة لزيارة اآلثار الفرعونية بمحافظات الوجه القبلى، فتناوبا قيادة‬ ‫السيارة، فإذا كانت فترات قيادة إسالم للسيارة على نحو متواصل فى اليوم التقل عن 3 ساعات، والتزيد‬ ‫عن 7 ساعات، كانت فترات قيادة فادى للسيارة على نحو متواصل فى اليوم التقل عن ساعتين والتزيد‬ ‫و‬ ‫عن 6 ساعات، كان إجمالى زمن قيادة كليهما يوميا اليزيد عن 8 ساعات. اكتب نظام متباينات خطية‬ ‫و‬ ‫ًّ‬ ‫يمثل هذا الموقف، ثم مثل بيانيا منطقة حل هذا النظام.‬ ‫ًّ‬ ‫الحل‬ ‫عدد ساعات قيادة فادى‬ ‫ إسالم: عدد ساعات قيادة إسالم للسيارة على نحو متواصل اليقل عن 3 ساعات واليزيد عن 7 ساعات.‬ ‫نفرض أن س هى عدد ساعات قيادة إسالم للسيارة فيكون: 3 ‪ H‬س ‪.7 H‬‬ ‫ ‬ ‫ص‬ ‫ فادى:عدد ساعات قيادة فادى للسيارة التقل عن ساعتين‬ ‫8‬ ‫7‬ ‫والتزيد عن 6 ساعات. نفرض أن ص هى عدد ساعات‬ ‫6‬ ‫فيادة فادى للسيارة فيكون: 2 ‪ H‬ص ‪6 H‬‬ ‫5‬ ‫ إجمالى زمن قيادة كليهما يوميا اليزيد عن 8 ساعات فيكون:‬ ‫4‬ ‫ًّ‬ ‫3‬ ‫ س+ص‪8H‬‬ ‫2‬ ‫ مثل مجموعة حل كل من المتباينات الثالث بيانيا،‬ ‫1‬ ‫ًّ‬ ‫س‬ ‫0‬ ‫أى زوج مرتب فى منطقة حل النظام يمثل حلاًّ للنظام؟‬ ‫ ‬ ‫8 7 6 5 4 3 2 1‬ ‫عدد ساعات قيادة إسالم‬ ‫ من الحلول الممكنة:‬ ‫ساعتان قيادة لفادى، 6 ساعات قيادة إلسالم.‬ ‫ 3 ساعات قيادة لفادى، 5 ساعات قيادة إلسالم. ‬ ‫3 ساعات قيادة لفادى، 4 ساعات قيادة إلسالم.‬ ‫ 5 ساعات قيادة لفادى، 3 ساعات قيادة إلسالم. ‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫الربط بالمهن: يريد نجار شراء نوعين من المسامير، وال يريد دفع أكثر من 84 جنيها ثمنا للشراء، فإذا كان‬ ‫ً ً‬ ‫النجار يحتاج 3 كيلو جرامات على األقل من النوع األول، كيلو جراما واحدا على األقل من النوع الثانى،‬ ‫و‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫فما المبلغ الذى سيدفعه النجار ثمنا لكل نوع، إذا علمت أن ثمن الكيلو جرام الواحد من النوع األول هو‬ ‫ً‬ ‫6 جنيهات، وثمن الكيلو جرام الواحد من النوع الثانى هو 8 جنيهات؟‬ ‫أ اكتب نظاما من المتباينات الخطية يصف هذا الموقف.‬ ‫ً‬ ‫ب مثل بيانيا هذا النظام لتوضيح الحلول الممكنة.‬ ‫ًّ‬ ‫ج‍ سم نقطة تكون حلاًّ لهذا النظام.‬ ‫ِّ‬ ‫د سم نقطة ال تكون حلاًّ لهذا النظام.‬ ‫ِّ‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫74‬
‫البرمجة الخطية والحل األمثل‬ ‫2 ‍‬ ‫‪Linear programing and Optimization‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫عمل تعاونى‬ ‫إجياد القيمة العظمى والقيمة‬ ‫الصغرى لدالة ضمن منطقة معينة.‬ ‫استخدام الربجمة اخلطية ىف حل‬ ‫بعض املسائل.‬ ‫ترمجة معلومات خاصة بمشكلة‬ ‫رياضية حياتية ىف جدول مناسب‬ ‫مع ترمجة البيانات ىف صورة‬ ‫متباينات خطية وحتديد منطقة احلل‬ ‫بيانيا، مع حتديد دالة اهلدف وحلها‬ ‫ًّ‬ ‫األمثل.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫برجمة خطية‬ ‫‪linear programing‬‬ ‫القيود‬ ‫‪Constrains‬‬ ‫حمدود‬ ‫غري حمدود‬ ‫‪Bounded‬‬ ‫‪Unbounded‬‬ ‫احلل األمثل‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫ورق رسم بيانى.‬ ‫ألوان رصاص.‬ ‫‪Optimize‬‬ ‫افترض أنه عرض عليك وظيفة لبعض الوقت، وأنت‬ ‫تفكر ما الوقت الذى يمكنك تخصيصه لهذا العمل.‬ ‫يمكنك استخدام الرياضيات لتساعدك على تنظيم‬ ‫تفكيرك واتخاذ القرار السليم.‬ ‫اعمل مع زميل لك:‬ ‫1- أ اكتب قائمة بالطرق التى تقضى‬ ‫بها أوقاتك خالل األسبوع.‬ ‫ب نظم قائمتك بحيث التزيد عن عشرة طرق.‬ ‫ ‬ ‫2- اعمل تقويما شخصيا لألسبوع الماضى.‬ ‫ًّ‬ ‫ً‬ ‫أ حدد وقتا للطرق التى حددتها فى البند رقم (1).‬ ‫ ‬ ‫ً‬ ‫ب ما الوقت الذى تراه مناسبا للعمل فى وظيفة بعض الوقت؟‬ ‫ ‬ ‫ً‬ ‫ج‍ ناقش: ما الذى يمكنك اإلقالع عنه أو عدم اإلقالع عنه فى جدولك؟‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫البرمجة الخطية‬ ‫‪Linear Programing‬‬ ‫يمكنك اإلجابة عن أسئلة مثل المطروحة أعاله باستخدام عملية تسمى البرمجة‬ ‫الخطية ‪.Linear programing‬‬ ‫ولحل مسائل البرمجة الخطية فإن أول عمل يجب القيام به هو كتابة البرنامج‬ ‫الخطى للمسألة، ويتكون من:‬ ‫1- دالة الهدف (وهى ما تهدف إليه المشكلة محل الدراسة لحساب قيمة عظمى‬ ‫ ‬ ‫أو قيمة صغرى)، وهى دالة خطية تكون على الصورة:‬ ‫حيث ‪ ،C‬ب عددان حقيقيان اليساويان الصفر معا.‬ ‫ ‪ C = S‬س + ب ص ‬ ‫ً‬ ‫2- مجموعة القيود التى تفرضها طبيعة المسألة، وهى فى صورة متباينات خطية‬ ‫ ‬ ‫بمتغيرين تمثل الحدود العليا أو الدنيا للعوامل التى تتحكم بمتغيرات المسألة.‬ ‫3- القيود التى يفرضها الواقع العلمى للمسألة على المتغيرات عندما ال يمكن أن‬ ‫ ‬ ‫تأخذ هذه المتغيرات قيما سالبة.‬ ‫ً‬ ‫84‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫ثمألا لحلاو ةيطخلا ةجمربلا‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ باستخدام البرمجة الخطية أوجد قيمتى س، ص التى تجعل قيمة الدالة ‪3 = S‬س + 2ص قيمة عظمى‬ ‫ ثم قيمة صغرى تحت القيود: س ‪ ، 0 G‬ص ‪ ، 0 G‬س + ص ‪ ، 8 H‬ص ‪3 G‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫الخطوة (1): ارسم القيود (مثل المتباينات بيانيا)‬ ‫ًّ‬ ‫الخطوة (2): أوجد إحداثيات رؤوس منطقة الحل.‬ ‫من الشكل نالحظ أن رؤوس منطقة الحل هى:‬ ‫‪ ،)8 ،0(C‬ب ( 5، 3)، جـ (0، 3)‬ ‫الخطوة (3): أوجد قيمة الدالة ‪ 3 = S‬س + 2 ص عند كل رأس‬ ‫نكون الجدول التالى:‬ ‫النقطة‬ ‫‪)8 ،0( C‬‬ ‫ب (5، 3)‬ ‫جـ (0، 3)‬ ‫س‬ ‫0‬ ‫5‬ ‫0‬ ‫ص‬ ‫8‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫3س + 2ص‬ ‫3 (0) + 2 (8)‬ ‫3 (5) + 2 (3)‬ ‫3 (0) + 2 (3)‬ ‫قيمة الدالة ‪S‬‬ ‫(5، 3)‬ ‫ب‬ ‫س‬ ‫ص‬ ‫‪9 C‬‬ ‫(0، 8) 8‬ ‫7‬ ‫6‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫جـ‬ ‫2‬ ‫(0، 3)‬ ‫1‬ ‫8 7 6 5 4 3 2 1‬ ‫0‬ ‫61‬ ‫12‬ ‫6‬ ‫$ قيمة عظمى‬ ‫$ قيمة صغرى‬ ‫ القيمة العظمى للدالة تساوى 12 وتكون عند النقطة (5، 3)، والقيمة الصغرى للدالة تساوى 6 وتكون عند‬ ‫النقطة (0، 3)‬ ‫فكر: لماذا تتحقق القيمة العظمى أو الصغرى لدالة الهدف عند أحد رؤوس منطقة الحل؟‬ ‫ص‬ ‫لتعرف إجابة هذا التساؤل:‬ ‫‪9 C‬‬ ‫(0، 8) 8‬ ‫1- نضع ‪ 0 = S‬فى دالة الهدف ‪3 = S‬س + 2ص فنجد أن 3س + 2ص = 0‬ ‫ ‬ ‫7‬ ‫تمثل مستقيما يمر بنقطة األصل، والنقطة (2، -3).‬ ‫6‬ ‫ً‬ ‫5‬ ‫2- إذا رسمت عدة مستقيمات تقطع منطقة الحل وموازية لهذا المستقيم‬ ‫4‬ ‫(5، 3)‬ ‫3‬ ‫المار بنقطة األصل فإن:‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫2‬ ‫ أول هذه المستقيمات يمر بالنقطة جـ (0، 3)‬ ‫(0، 3) 1‬ ‫س‬ ‫0‬ ‫ وتكون معادلته  3س + 2ص = 6  أى  ‪6 = S‬‬ ‫8 7 6 5 4 3 2 1‬ ‫1‬‫3- قيمة ‪ S‬عند جميع النقط التى تنتمى إلى المستقيم الثانى المار‬ ‫2‬‫3‬‫بالنقطة ‪ )8 ،0( C‬تساوى 61، و تستمر ‪ S‬فى التزايد حتى نصل إلى‬ ‫آخر خط يقطع منطقة حل النظام والمار بالنقطة ب (5، 3) ، فنجد أن ‪21 = 3 * 2 + 5 * 3 = S‬‬ ‫ لذلك فإن القيمة الصغرى لدالة الهدف = 6 عند النقطة (0، 3) وهى أحد رؤوس منطقة الحل، كذلك القيمة‬ ‫و‬ ‫العظمى لدالة الهدف = 12 عند النقطة (5، 3) وهى أحد رؤوس منطقة الحل أيضا.‬ ‫ً‬ ‫مما سبق نستنتج أن: القيمة العظمى والقيمة الصغرى إن وجدتا لدالة الهدف، فإنهما تتحققان عند رؤوس‬ ‫المضلع الذى يحيط منطقة الحلول الممكنة للمتباينات التى تشكل مجموعة قيود المسألة أو عند نقط إلتقاء‬ ‫المستقيمات التى تحد منطقة الحلول الممكنة.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫94‬
‫حاول أن تحل‬ ‫‌ باستخدام البرمجة الخطية أوجد كلاًّ من القيمة الصغرى والقيمة الكبرى للدالة ‪ = S‬س + ص تحت القيود:‬ ‫ص‬ ‫س ‪ ، 0 G‬ص ‪ ، 0G‬ص ‪ 2G‬س -2 ، ص ‪- H‬س + 8‬ ‫7‬ ‫6‬ ‫‌ من الشكل المقابل: أوجد قيمتى س، ص‬ ‫5‬ ‫ التى تجعل قيمة الدالة ‪ 2 = S‬س + 5 ص قيمة صغرى.‬ ‫4‬ ‫تعلم‬ ‫‬ ‫ة‬ ‫تطبيقات حياتية على البرمجة الخطي ‬ ‫‪Real life applications of linear programing‬‬ ‫ٍ‬ ‫س‬ ‫7 6 5 4 3 2 1‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫البرمجة الخطية طريقة رياضية تمكنا من الوصول إلى أفضل قرار لحل مشكلة حياتية أو الوصول إلى الحل‬ ‫األمثل ‪Optimization‬؛ لتحقيق هدف معين مثل تحقيق أقل تكلفة أو أعلى ربح لمشروع معين، مع االلتزام بشروط‬ ‫وقيود آليات اإلنتاج والسوق أو المشكلة محل الدراسة، ويمكن تحقيق ذلك من خالل:‬ ‫1- تحليل الموقف أو المشكلة لتحديد المتغيرات، والتعرف على القيود ووضعها فى صورة نظام من المتباينات‬ ‫الخطية.‬ ‫2- كتابة دالة الهدف المراد تحقيقه فى المشكلة موضع الدراسة (وهى دالة خطية).‬ ‫3- تمثيل نظام المتباينات الخطية بيانيا.‬ ‫ًّ‬ ‫4- تحديد رؤوس منطقة الحل.‬ ‫5- نعوض بإحداثيات الرؤوس فى دالة الهدف، ثم نختبر القيمة العظمى أو القيمة الصغرى تبعا للمطلوب فى المسألة.‬ ‫ ‬ ‫ً‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ إدارة األعمال يبيع أحد محال المأكوالت البحرية نوعين من‬ ‫األسماك المطهية ‪ ،C‬ب، والتقل الطلبات من صاحب المحل عن 05‬ ‫سمكة، كما أنه اليستخدم أكثر من 03 سمكة من النوع (أ)، أو أكثر‬ ‫من 53 سمكة من النوع (ب)، فإذا علمت أن ثمن شراء السمكة من النوع (أ)‬ ‫هو 4 جنيهات، ومن النوع (ب) هو 3 جنيهات، كم سمكة من كل من النوعين‬ ‫أ، ب يجب استخدامها لتحقيق أقل ثمن ممكن للشراء؟‬ ‫الحل‬ ‫1- نفرض أن: عدد األسماك من النوع (أ) هو س، عدد األسماك من النوع (ب) هو ص‬ ‫النوع األول‬ ‫(سوف يشترى أسماكًا من النوع أ)‬ ‫ ويكون س ‪0 G‬‬ ‫ ‬ ‫س‬ ‫(سوف يشترى أسماكًا من النوع ب)‬ ‫  ص ‪0 G‬‬ ‫ ‬ ‫  س + ص ‪( 50 G‬هو يحتاج 05 سمكة على األقل) ثمن الشراء 4‬ ‫ ‬ ‫(اليمكنه استخدام أكثر من 03 سمكة من النوع أ)‬ ‫  س‪ 30 H‬‬ ‫(اليمكنه استخدام أكثر من 53 سمكة من النوع ب)‬ ‫  ص ‪35 H‬‬ ‫ ‬ ‫05‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫النوع الثاني الحد األقصى‬ ‫ص‬ ‫3‬ ‫05‬ ‫4س + 3ص‬
‫ثمألا لحلاو ةيطخلا ةجمربلا‬ ‫ص‬ ‫2- نكتب دالة الهدف وهى: ثمن الشراء أقل ما يمكن: ‪ 4 = S‬س + 3 ص‬ ‫3- نمثل نظام المتباينات بيانيا كما هو موضح بالشكل المقابل.‬ ‫ًّ‬ ‫ب‬ ‫4- نحدد رؤوس منطقة الحل وهي:‬ ‫ ‪ ،)20 ،30( C‬ب (03، 53)، جـ (51، 53).‬ ‫5- نعوض بإحداثيات الرؤوس فى دالة الهدف لتحديد أقل ثمن ممكن‬ ‫للشراء، كما هو موضح بالجدول التالي:‬ ‫س‬ ‫النقطة‬ ‫‪30 )20 ،30( C‬‬ ‫ب (03، 53) 03‬ ‫جـ (51، 53) 51‬ ‫ص‬ ‫02‬ ‫53‬ ‫53‬ ‫4س + 3ص‬ ‫4 (03) + 3 (02)‬ ‫4 (03) + 3 (53)‬ ‫4 (51) + 3 (53)‬ ‫قيمة الدالة ‪S‬‬ ‫081‬ ‫522‬ ‫561‬ ‫05‬ ‫جـ‬ ‫03‬ ‫‪C‬‬ ‫س‬ ‫03‬ ‫05‬ ‫01‬ ‫01‬ ‫0‬ ‫$ أقل قيمة ممكنة لثمن الشراء‬ ‫يجب على صاحب محل األسماك شراء 51 سمكة من النوع (أ)، 53 سمكة من النوع (ب) ليكون ثمن الشراء‬ ‫أقل ما يمكن.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ الربط بالصناعة: ينتج مصنع صغير لألثاث المعدنى 02 دوالبا أسبوعيا على األكثر من نوعين مختلفين ‪،C‬‬ ‫ً‬ ‫ًّ‬ ‫ب، فإذا كان ربحه من النوع (أ) هو 08 جنيها وربحه من النوع (ب) هو 001 جنيه، كان مايباع من النوع‬ ‫و‬ ‫ً‬ ‫األول اليقل عن ثالثة أمثال ما يباع من النوع الثاني. أوجد عدد الدواليب من كل نوع ليحقق المصنع أكبر‬ ‫ربح ممكن.‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ الربط بالصحة ينتج مصنع ألغذية األطفال نوعين من األغذية ذات‬ ‫مواصفات خاصة، فإذا كان النوع األول يحتوى على وحدتين من فيتامين (أ)،‬ ‫3 وحدات من فيتامين (ب) والنوع الثانى يحتوى على 3 وحدات من فيتامين‬ ‫(أ)، ووحدتين من فيتامين (ب)، وإذا كان الطفل يحتاج فى غذائه على األقل 021 وحدة من فيتامين (أ)،‬ ‫001 وحدة من فيتامين (ب) كانت تكلفة النوع (أ) 5 جنيهات، وتكلفة النوع (ب) 4 جنيهات، فما الكمية‬ ‫و‬ ‫الواجب شراؤها من كل من النوعين لتحقيق ما يحتاجه الطفل فى غذائه بأقل تكلفة ممكنة؟‬ ‫الحل‬ ‫1- نفرض أن: عدد السلع من النوع األول س‬ ‫وعدد السلع من النوع الثانى ص ويكون:‬ ‫ س ‪  ، 0 G‬ص ‪0 G‬‬ ‫ 2 س + 3 ص ‪120 G‬‬ ‫ 3 س + 2 ص ‪100 G‬‬ ‫الصنف‬ ‫فيتامين أ‬ ‫فيتامين ب‬ ‫التكاليف‬ ‫عدد السلع من عدد السلع من‬ ‫النوع األول‬ ‫النوع الثاني‬ ‫3س‬ ‫2ص‬ ‫2س‬ ‫5 جنيهات‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫3ص‬ ‫4 جنيهات‬ ‫الحد األدنى‬ ‫من الوحدات‬ ‫021‬ ‫001‬ ‫15‬
‫2- دالة الهدف هى التكلفة أقل مايمكن:  ‪ 5 = S‬س + 4 ص‬ ‫ص‬ ‫07‬ ‫3- نمثل نظام المتباينات الخطية كما هو موضح بالشكل المقابل.‬ ‫(0، جـ 05‬ ‫05)‬ ‫(21، 23) ب 03‬ ‫4- رؤوس منطقة الحل هي:‬ ‫ ‪ ،)0 ،60( C‬ب (21، 23)، جـ (0، 05).‬ ‫النقطة‬ ‫(06، 0)‬ ‫س‬ ‫‪C‬‬ ‫07 05‬ ‫س ص 5س + 4ص‬ ‫06 0 5 (06) + 4 (0)‬ ‫5- نعوض بإحداثيات‬ ‫الرؤوس فى دالة ‪)0 ،60( C‬‬ ‫الهدف لتحديد أقل ب (21، 23) 21 23 5 (21) + 4 (23)‬ ‫تكلفة ممكنة:‬ ‫جـ (0، 05) 0 05 5 (0) + 4 (05)‬ ‫03‬ ‫01‬ ‫01‬ ‫0‬ ‫قيمة الدالة ‪S‬‬ ‫003‬ ‫881‬ ‫002‬ ‫$ أقل تكلفة ممكنة‬ ‫تكون التكلفة أقل ما يمكن عند ب، عدد األغذية من النوع األول هو 21 وعدد األغذية من النوع الثانى هو 23‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ الربط بالمستهلك: ينتج مصنع نوعين من المكاتب الصاج كل نوع يقوم بتجميعه أحد العمال ثم يقوم‬ ‫و‬ ‫عامل آخر بالدهان. يستغرق العامل األول ساعتين لتجميع الوحدة من النوع األول، و3 ساعات لتجميع‬ ‫الوحدة من النوع الثانى، بينما يستغرق العامل الثانى ساعة ونصف الساعة لدهان الوحدة من النوع األول‬ ‫وساعتين لدهان الوحدة من النوع الثانى، فإذا كان العامل األول يعمل 6 ساعات يوميا على األقل ،بينما‬ ‫ًّ‬ ‫يعمل العامل الثانى 6 ساعات يوميا على األكثر، كان ربح المصنع هو 05 جنيها فى كل وحدة من كل من‬ ‫و‬ ‫ً‬ ‫ًّ‬ ‫النوعين، فما عدد الوحدات التى يجب أن ينتجها المصنع يوميا من كال النوعين ليحقق أكبر ربح ممكن؟‬ ‫ًّ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫نفرض أن عدد الوحدات من النوع األول س‬ ‫عدد الوحدات ساعات التجميع ساعات الدهان الربح بالجنيه‬ ‫النوع األول س‬ ‫05‬ ‫2‬ ‫وعدد الوحدات من النوع الثانى ص‬ ‫11‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫2 س + 3ص ‪6 G‬‬ ‫فيكون س ‪ ، 0 G‬ص ‪0 G‬‬ ‫ ‬ ‫النوع الثانى ص‬ ‫1 1س + 2ص ‪   6 H‬أى  3 س + 4 ص ‪12 H‬‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫دالة الهدف: الربح أكبر ما يمكن ‪ 50 = S‬س + 05 ص‬ ‫ ‬ ‫25‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫05‬
‫ثمألا لحلاو ةيطخلا ةجمربلا‬ ‫س‬ ‫النقطة‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫‪)2 ،0( C‬‬ ‫ب (3، 0)‬ ‫جـ (4، 0)‬ ‫ ‬ ‫0‬ ‫‪)3 ،0( E‬‬ ‫ص‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫05 س+ 05ص قيمة الدالة ‪S‬‬ ‫05(0) + 05 (2)‬ ‫05(3) + 0 (0)‬ ‫05(4) + 0 (0)‬ ‫0(0) + 3 (05)‬ ‫` أكبر ربح ممكن = 002 جنيه عند النقطة (4، 0)‬ ‫001‬ ‫051‬ ‫002‬ ‫051‬ ‫$ أكبر ربح ممكن‬ ‫ص‬ ‫س جـ (4، 0)‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‪3 )3 ،0( E‬‬ ‫2‬ ‫‪)2 ،0( C‬‬ ‫1/‬ ‫س‬ ‫ب (3، 0)‬ ‫3 2 ص‬ ‫/‬ ‫‌ الربط بالمستهلك: سلعتان غذائيتان تعطى األولى 3 سعرات حرارية وبها 5 وحدات من فيتامين سى‬ ‫والثانية تعطى 6 سعرات حرارية ولها وحدتان من فيتامين سي. فإذا كان المطلوب هو 63 سعرا حرار يا‬ ‫ًّ‬ ‫ً‬ ‫على األقل، 52 وحدة من فيتامين سى على األقل، وبفرض أن سعر الوحدة من السلعة األولى 6 جنيهات ومن‬ ‫الثانية 8 جنيهات، فما الكمية الواجب شراؤها من كل من السلعتين لتحقيق المطلوب بأقل تكلفة ممكنة؟‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫الربط بالزراعة: وجد مزارع أنه يمكن تحسين نوعية مزروعاته إذا استخدم على األقل 61 وحدة من النيترات،‬ ‫9 وحدات من الفوسفات فى عملية التسميد للقيراط الواحد. يوجد فى األسواق نوعان من السماد أ، ب موضحة‬ ‫محتوياتها وتكلفة كل منها فى الجدول التالي:‬ ‫السماد‬ ‫ ‬ ‫أ‬ ‫ب‬ ‫عدد الوحدات لكل كيلو جرام‬ ‫النترات‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫الفوسفات‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫التكلفة لكل كيلو جرام‬ ‫071 قرشا‬ ‫ً‬ ‫051 قرشا‬ ‫ً‬ ‫أوجد أقل تكلفة من مزيج السمادين أ، ب تمكنان المزارع من توفير العدد الكافى من وحدات النيترات‬ ‫والفوسفات لتحسين نوعية مزروعاته.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫35‬
‫نشاط‬ ‫إذا كان المستقيم الذى يمثل دالة الهدف يوازى أحد أضالع منطقة الحل، هل تتغير قيمة دالة الهدف عند أى‬ ‫نقطة على هذا الضلع؟‬ ‫تتبع المثال اآلتى ثم أجب عن السؤال المطروح‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد أقصى قيمة ممكنة للدالة ‪3 = S‬س + 6ص تحت القيود التالية:‬ ‫ س ‪ ، 0 G‬ص ‪ ، 0 G‬س + ص ‪2 ، 5 H‬س + ص ‪ ، 6 H‬س + 2ص ‪8 H‬‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫نرسم ل1 : س = 0 ، ل2 : ص = 0‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫ص‬ ‫ل5 : س + 2ص = 8‬ ‫0‬ ‫6‬ ‫3‬ ‫س‬ ‫ل4 : 2س + ص = 6‬ ‫5‬ ‫س‬ ‫ل3 : س + ص = 5‬ ‫0‬ ‫5‬ ‫0‬ ‫8‬ ‫ص‬ ‫4‬ ‫ص‬ ‫0‬ ‫‪a1 ،4k‬‬ ‫3 3‬ ‫0‬ ‫س‬ ‫0‬ ‫ب‬ ‫جـ (0، 4)‬ ‫‪ )0 ،3( C‬و‬ ‫المنطقة الملونة بالشكل هى و ‪ C‬ب جـ تمثل مجموعة حل النظام حيث: ب( 4 ، 01 ) لماذا؟‬ ‫3 3‬ ‫النقطة‬ ‫‪C‬‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫س‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫0‬ ‫ص‬ ‫0‬ ‫01‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫3س + 6ص‬ ‫3*3+0‬ ‫3 * 4 + 6 * 01‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫3*0+6*4‬ ‫قيمة الدالة ‪S‬‬ ‫9‬ ‫42‬ ‫42‬ ‫الحظ أن: القيمة العظمى لدالة الهدف = 42 تحققت عند النقطتين ب، جـ‬ ‫1- هل المستقيم ب جـ يوازى المستقيم الذى يمثل دالة الهدف؟ فسر إجابتك.‬ ‫ ‬ ‫ِّ‬ ‫2- أوجد قيمة دالة الهدف عند منتصف ب جـ ، ماذا تالحظ؟‬ ‫ ‬ ‫3- هل العبارة التالية صحيحة؟ فسر إجابتك.‬ ‫ «إذا وقعت القيمة العظمى (أو الصغرى) عند نقطتين فى منطقة حل النظام فهى تقع عند جميع نقاط‬ ‫القطعة المستقيمة الواصلة بينهما».‬ ‫45‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫ملخص الوحدة‬ ‫× ×المتباينة الخطية فى مجهولين‬ ‫‪Linear Inequality in two unknowns‬‬ ‫المتباينة من الدرجة األولى فى مجهولين تشبه المعادلة الخطية من الدرجة األولى فى مجهولين، والفرق بينهما‬ ‫هو وضع رمز المتباينة بدال من وضع رمز التساوي، فمثال: ص 5س +1 هى متباينة خطية فى مجهولين س، ص،‬ ‫ً‬ ‫ص = 5 س + 1 هى معادلة خطية مرتبطة بها.‬ ‫وتصف المتباينة الخطية منطقة من المستوى اإلحداثى، ولتمثيل حل المتباينة الخطية، نرسم أوال المستقيم الحدى‬ ‫ً‬ ‫ويرسم منقطًا إذا كان اليحقق المتباينة (إذا احتوت المتباينة الرمز أو )، ويرسم متصال إذا كان يحقق‬ ‫ً‬ ‫المتباينة (إذا احتوت المتباينة الرمز ‪G‬أو ‪ ،)H‬ثم نختبر نقطة لتظليل المنطقة التى تجعل المتباينة صحيحة.‬ ‫× ×حل نظام من المتباينات الخطية‬ ‫‪Solving a system of Linear inequalities‬‬ ‫تكون متباينتان خطيتان أو أكثر نظاما من المتباينات الخطية، وإليجاد حل نظام من المتباينات الخطية، نرسم‬ ‫ُ َّ ُ‬ ‫ً‬ ‫كل متباينة، ومنطقة الحل هى التى تكون فيها جميع المتباينات صحيحة.‬ ‫× ×البرمجة الخطية‬ ‫‪Linear programing‬‬ ‫البرمجة الخطية طريقة رياضية تمكننا من الوصول إلى أفضل قرار لحل مشكلة حياتيةأو الوصول إلى الحل‬ ‫األمثل لتحقيق هدف معين، مثل تحقيق أقل تكلفة أو أعلى ربح لمشروع معين مع االلتزام بشروط وقيود آليات‬ ‫اإلنتاج والسوق أو المشكلة محل الدراسة، ويمكن تحقيق ذلك من خالل:‬ ‫1- تحليل الموقف أو المشكلة للتعرف على القيود ووضعها فى صورة نظام متباينات خطية.‬ ‫2- تحديد دالة الهدف فى صورة خطية (‪ C‬س + ب ص).‬ ‫3- تحديد فضاء حل المشكلة.‬ ‫4- البحث عن القيمة أو القيم من فضاء الحل التى تحقق دالة الهدف.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫55‬
‫-‬ ‫الهندسة‬ ‫التحليلية‬ ‫الوحدة‬ ‫3‬ ‫المتجهات‬ ‫‪Vectors‬‬ ‫أهداف الوحدة‬ ‫فى نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على:‬ ‫ً‬ ‫• •يتعرف الكمية القياسية والكمية المتجهة والقطعة المستقيمة‬ ‫الموجهة، ويعبر عنها بداللة طرفيها فى مستوى اإلحداثيات.‬ ‫• •يتعرف توازى متجهين وتعامد متجهين.‬ ‫• •يضرب متجه فى عدد حقيقى.‬ ‫• •يتعرف متجه الموضع ويضعه فى الصورة القطبية.‬ ‫• •يجمع متجهين باستخدام قاعدة المثلث (اإلحداثيات -‬ ‫• •يتعرف ويحل تمارين على تكافؤ متجهين.‬ ‫• •يثبت بعض النظريات الهندسية باستخدام المتجهات.‬ ‫• •يوجد معيار المتجه، والمتجه الصفرى.‬ ‫• •يتعرف متجه الوحدة ويعبر عن المتجه بداللة متجهى الوحدة‬ ‫األساسيين.‬ ‫طريقة متوازى األضالع) - يطرح متجهين.‬ ‫• •يحل تطبيقات فى الهندسة المستوية على المتجهات.‬ ‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪Ñ Ñ‬كمية قياسية‬ ‫‪(Ñ Ñ‬كمية متجهة)‬ ‫‪Ñ Ñ‬متجه‬ ‫‪Ñ Ñ‬مسافة‬ ‫‪Ñ Ñ‬إزاحة‬ ‫‪Ñ Ñ‬متجه موضع‬ ‫‪Scalar Quantities‬‬ ‫‪Vector Quantities‬‬ ‫‪Vector‬‬ ‫‪Distance‬‬ ‫‪Displacement‬‬ ‫‪Position Vector‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬زوج مرتب‬ ‫‪Ñ Ñ‬قيمة مطلقة‬ ‫‪Ñ Ñ‬معيار متجه‬ ‫‪Ñ Ñ‬متجه مكافئ‬ ‫‪Ñ Ñ‬جمع المتجهات‬ ‫‪Ñ Ñ‬قاعدة المثلث‬ ‫‪Orderd Pair‬‬ ‫‪Absolute value‬‬ ‫‪Norm‬‬ ‫‪Equivalent Vector‬‬ ‫‪Adding vectors‬‬ ‫‪The triangle Rule‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬قاعدة متوازى األضالع‬ ‫‪Ñ Ñ‬طرح المتجهات‬ ‫‪Parallelogram Rule‬‬ ‫‪Subtracting Vectors‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬قوة محصلة (محصلة القوى)‬ ‫‪Resultant Force‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬سرعة نسبية‬ ‫‪Relative Velocity‬‬
‫دروس الوحدة‬ ‫الدرس (3 - 1): الكميات القياسية، والكميات المتجهة،‬ ‫والقطعة المستقيمة الموجهة.‬ ‫الدرس (3 - 2): المتجهات .‬ ‫الدرس (3 - 3): العمليات على المتجهات .‬ ‫الدرس (3 - 4): تطبيقات على المتجهات.‬ ‫األدوات المستخدمة‬ ‫حاسب آلى - جهاز عرض بيانات - برامج رسومية - ورق‬ ‫مربعات - أدوات هندسية للرسم والقياس - خيوط - أثقال -‬ ‫دبابيس رسم.‬ ‫نبذه تاريخية‬ ‫وضع العرب اللبنة األولى للهندسة التحليلية، فقد‬ ‫استخدموا الجبر فى حل بعض المشكالت الهندسية، كما‬ ‫استخدموا الهندسة فى حل المعادالت الجبرية فقدم ثابت‬ ‫اً‬ ‫بن قرة (538 - 009م) حلول هندسية لبعض المعادالت‬ ‫ِ‬ ‫كما ربط الكندى فى مؤلفاته بين الجبر والهندسة.‬ ‫ومع بداية القرن السابع عشر ساهم كل من‬ ‫فيرمات ‪1665 - 1601( Fermat‬م)، ورينيه ديكارت ‪Rene‬‬ ‫‪1650 - 1596( Descartes‬م) فى تبسيط الطرق الجبرية‬ ‫لحل المشكالت الهندسية استنادا إلى أن الهندسة المستوية‬ ‫ً‬ ‫لها بعدان، فعبرا عن كل شيء فى أى شكل هندسى بداللة‬ ‫طولين متغيرين رمزا لهما بالرمزين س، ص باإلضافة‬ ‫إلى بعض الكميات الثابتة التى يتيحها الشكل، مما ألبس‬ ‫الهندسة ثو ًبا جديدً ا عرف بالهندسة التحليلية (اإلحداثية)‬ ‫والتى وظفت الستنباط النظريات والحقائق وبرهنة صحتها‬ ‫بإسلوب جبرى، كما كانت من العوامل المساعدة على‬ ‫ظهور علمى التفاضل والتكامل بواسطة نيوتن ‪Newton‬‬ ‫(2461 - 7271م) وليبنيز ‪1716 - 1646( Leibinz‬م)،‬ ‫وابتكار جبس ‪1903 - 1839( Gibbs‬م) لتحليل المتجهات‬ ‫فى ثالثة أبعاد.‬ ‫مخطط تنظيمى للوحدة‬ ‫الكميات‬ ‫متجهة‬ ‫قياسية‬ ‫هندسيًا‬ ‫ّ‬ ‫المتجهات‬ ‫قطعة مستقيمة‬ ‫زوج مرتب‬ ‫موجهة‬ ‫تساوى‬ ‫متجهين‬ ‫جمع‬ ‫متجهين‬ ‫طرح‬ ‫متجهين‬ ‫متجها الوحدة‬ ‫األساسيين‬ ‫ضرب قسمة‬ ‫بعدد حقيقى‬ ‫الصورة القطبية‬ ‫توازى‬ ‫متجهين‬ ‫تطبيقات‬ ‫هندسية‬ ‫براهين‬ ‫نظريات‬ ‫جبريًا‬ ‫ّ‬ ‫حل‬ ‫مشكالت‬ ‫محصلة‬ ‫قوى‬ ‫تعامد‬ ‫متجهين‬ ‫فيزيائية‬ ‫اتزان‬ ‫قوى‬ ‫السرعة‬ ‫النسبية‬
‫الكميات القياسية والكميات المتجهة، والقطعة‬ ‫المستقيمة الموجهة‬ ‫‪Scalars, Vectors and Directed Line Segment‬‬ ‫3 ‍‬ ‫مقدمة‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫تصنيف ومتيز الكميات القياسية‬ ‫والكميات املتجهة.‬ ‫مفهوم القطعة املستقيمة املوجهة‬ ‫واجتاهها ومعيارها.‬ ‫التعرف عىل القطع املستقيمة‬ ‫املوجهة املتكافئة.‬ ‫إنشاء قطعة مستقيمة موجهة‬ ‫مكافئة لقطعة مستقيمة موجهة‬ ‫أخرى ىف املستوى اإلحداثى.‬ ‫التعبري عن قطعة مستقيمة‬ ‫موجهة بداللة طرفيها ىف املستوى‬ ‫اإلحداثى.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫كمية قياسية‬ ‫‪Scalar quantity‬‬ ‫متجه (كمية متجهة)‬ ‫‪Vector quantity‬‬ ‫‬ ‫مسافة‬ ‫إزاحة‬ ‫‪Distance‬‬ ‫‪Displacement‬‬ ‫اجتاه‬ ‫‪Direction‬‬ ‫هى كميات تتحدد تماما بمعرفة مقدارها فقط مثل الطول والمساحة ...‬ ‫ً‬ ‫الكميات المتجهة‬ ‫‪Vector quantities‬‬ ‫هى كميات تتحدد تماما بمعرفة مقدارها واتجاهها مثل السرعة والقوة ...‬ ‫ً‬ ‫فكر‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫إذا تحرك جسم من النقطة ‪ C‬مسافة 3 أمتار شرقًا ثم غير‬ ‫اتجاهه وسار 4 أمتار شمالاً وتوقف عند النقطة جـ.‬ ‫× ×كم المسافة التى قطعها الجسم أثناء كته؟‬ ‫حر‬ ‫جـ‬ ‫شرق‬ ‫جنوب‬ ‫ب‬ ‫3 متر‬ ‫× ×المسافة ‪ Distance‬هى كمية قياسية وهى ناتج ‪ C‬ب + ب جـ أو جـ ب + ب ‪.C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫× ×اإلزاحة ‪ Displacement‬وهى المسافة بين نقطتى البداية والنهاية فقط وفى اتجاه‬ ‫واحد من ‪ C‬إلى جـ، أى أن لوصف اإلزاحة يلزم تحديد مقدارها ‪ C‬جـ واتجاهها‬ ‫من ‪ C‬إلى جـ‬ ‫فاإلزاحة إذاً كمية متجهة وهى المسافة المقطوعة فى اتجاه معين.‬ ‫85‬ ‫شمال‬ ‫غرب‬ ‫4 متر‬ ‫برامج رسومية.‬ ‫‪Scalar quantities‬‬ ‫الحظ أن‬ ‫أدوات هندسية للرسم والقياس.‬ ‫جهاز عرض بيانات.‬ ‫الكميات القياسية‬ ‫× ×كم يكون بعد الجسم عن النقطة ‪ C‬وهى النقطة التى‬ ‫كة؟‬ ‫بدأ منها الحر‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫حاسب آىل.‬ ‫هناك كميات ال يحتاج وصفها إال إلى معرفة العدد الذى يعبر عن قيمتها مثل الطول‬ ‫والمساحة والحجم والكتلة والكثافة وعدد السكان ....... غير أنه توجد كميات‬ ‫أخرى ال يكفى لوصفها مجرد ذكر العدد الذى يدل على قيمتها، فمعرفة سرعة‬ ‫الرياح ليس كافيا كة الطيران بل يجب تحديد اتجاه الرياح أيضا. كة‬ ‫ً فحر‬ ‫ً لحر‬ ‫الرياح إذًا تقاس مقدارا واتجاها، والقوة المؤثرة على جسم يختلف تأثيرها عليه‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ليس بمقدارها فحسب، بل باتجاهها أيضا. وهكذا نجد أننا أمام نوعين من الكميات.‬ ‫ً‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫ةهجوملا ةميقتسملا ةعطقلاو ،ةهجتملا تايمكلاو ةيسايقلا تايمكلا‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ فى الشكل المقابل: احسب المسافة واإلزاحة الحادثة‬ ‫عندما يتحرك جسم من النقطة ‪ C‬إلى النقطة جـ ثم يعود‬ ‫إلى النقطة ب.‬ ‫جـ‬ ‫4 سم‬ ‫6 سم‬ ‫ب‬ ‫االتجاه‬ ‫و س يحدد اتجاه الشرق، و س/ يحدد اتجاه الغرب،‬ ‫ ‬ ‫ما االتجاهات التى يحددها كل من:‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫و ص يحدد اتجاه الشمال، و ص/ يحدد اتجاه الجنوب.‬ ‫06‪c‬‬ ‫03‪c‬‬ ‫54‪c‬‬ ‫س‬ ‫‪E‬‬ ‫و ‪ ، C‬و ب ، و جـ ، و ‪ E‬؟‬ ‫و‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫2- إذا كان ‪ C‬ب // جـ ‪ ، E‬هـ ∈ ‪ C‬ب فإن:‬ ‫ ‬ ‫× × هـ ‪ ، C‬ب هـ لهما نفس االتجاه ويحملهما مستقيم واحد.‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫52‪c‬‬ ‫ ‬ ‫‪Direction‬‬ ‫ص‬ ‫1- كل شعاع فى المستوى يعين اتجاها، ففى الشكل المقابل:‬ ‫ ‬ ‫ً‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫× × هـ ‪E ، C‬جـ لهما نفس االتجاه ويحملهما مستقيمان متوازيان.‬ ‫هـ‬ ‫× × هـ ‪ ، C‬هـ ب فى اتجاهين متضادين ويحملهما مستقيم واحد.‬ ‫‪E‬‬ ‫ب‬ ‫× × هـ ‪ ، C‬جـ ‪ E‬فى اتجاهين متضادين ويحملهما مستقيمان متوازيان.‬ ‫وبصفة عامة فإن:‬ ‫× ×الشعاعان المتحدان فى االتجاه أو المتضادان فى االتجاه يحملهما مستقيم واحد أو مستقيمان متوازيان،‬ ‫والعكس صحيح.‬ ‫× ×الشعاعان المختلفان فى االتجاه ال يمكن أن يحملهما مستقيم واحد أو مستقيمان متوازيان.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ فى الشكل المقابل: ‪ C‬ب ، جـ ‪ E‬متوازيان كل منهما ال يوازى س ص ،‬ ‫و‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫هـ ∈ ‪ C‬ب ، و ∈ جـ ‪ ، E‬ع ∈ س ص .‬ ‫بين ما إذا كان الشعاعان فى كل مما يأتى متحدين فى االتجاه أو‬ ‫متضادين فى االتجاه أو مختلفى االتجاه.‬ ‫‍‬ ‫ب ‪ C‬ب ، س ص ‬ ‫أ ‪ C‬ب ، ‪ E‬و ‬ ‫ج جـ ‪ ، E‬هـ ب‬ ‫د ع ص ، ع س ‬ ‫ه‍ جـ و ، ع س ‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫هـ‬ ‫س‬ ‫و‬ ‫ب‬ ‫ع‬ ‫‪E‬‬ ‫ص‬ ‫و عس، عص‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫95‬
‫ة‬ ‫القطعة المستقيمة الموجه ‬ ‫النقطتان ‪ ،C‬ب هما طرفا ‪ C‬ب أو ب ‪ C‬إذا حددنا إحدى هاتين‬ ‫النقطتين لتكون نقطة بداية للقطعة، واألخرى لتكون نقطة نهاية‬ ‫لها، فإنه يترتب على ذلك أن يصبح للقطعة المستقيمة اتجاه هو‬ ‫اتجاه الشعاع الذى يحمل هذه القطعة وتكون نقطة بدايته هى‬ ‫نفس نقطة البداية للقطعة.‬ ‫فإذا حددنا النقطة ‪ C‬لتكون نقطة بداية ‪ C‬ب والنقطة ب هى‬ ‫نهايتها، فإننا نصف هذه القطعة بأنها قطعة مستقيمة موجهة‬ ‫من ‪ C‬إلى ب ويرمز لها بالرمز ‪ C‬ب .‬ ‫فكر‬ ‫و‬ ‫‪The Directed Line Segment‬‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫نقطة‬ ‫النهاية‬ ‫ب‬ ‫‪C‬ب‬ ‫نقطة‬ ‫‪ C‬البداية‬ ‫ناقش‬ ‫× ×هل ‪ C‬ب / ب ‪ C‬؟ هل ‪ C‬ب / ب ‪ C‬؟ فسر إجابتك.‬ ‫× ×هل ‪ C‬ب ، ب ‪ C‬مختلفان أم متضادان فى االتجاه ؟ ولماذا؟‬ ‫تعريف‬ ‫1‬ ‫القطعة المستقيمة الموجهة: هى قطعة مستقيمة لها نقطة بداية، و نقطة نهاية، و اتجاه.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ ‪ ،C‬ب، جـ ثالث نقط فى المستوى. اكتب كل القطع المستقيمة الموجهة التى تعينها هذه النقط.‬ ‫تعريف‬ ‫2‬ ‫معيار القطعة المستقيمة الموجهة: معيار ‪ C‬ب هو طول ‪ C‬ب ويرمز له بالرمز || ‪ C‬ب ||.‬ ‫الحظ أن || ‪ C‬ب || = || ب ‪ C = || C‬ب‬ ‫ ‬ ‫تعريف‬ ‫3‬ ‫06‬ ‫تكافؤ قطعتين مستقيمتين موجهتين: تتكافأ القطعتان المستقيمتان الموجهتان إذا كان‬ ‫لهما نفس المعيار ونفس االتجاه.‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫ةهجوملا ةميقتسملا ةعطقلاو ،ةهجتملا تايمكلاو ةيسايقلا تايمكلا‬ ‫هـ‬ ‫‪C‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ فى الشكل المقابل: ‪ C‬ب جـ ‪ E‬مستطيل تقاطع قطراه‬ ‫فى م . هـ ∈ ‪ E C‬فيكون:‬ ‫‪ C‬ب // جـ ‪ E‬ويساويه ، ب جـ // ‪ E C‬ويساويه،‬ ‫ ‬ ‫م ‪ = C‬م جـ = م ب = م ‪E‬‬ ‫ ‬ ‫‪E‬‬ ‫م‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫ ‬ ‫أ ‪ C || a‬ب || = || ‪ E‬جـ || واتجاه ‪ C‬ب هو نفس اتجاه ‪ E‬جـ ‬ ‫` ‪ C‬ب تكافئ ‪ E‬جـ‬ ‫ ‬ ‫ج‍ ‪ || a‬م ‪ || = || C‬م ب || واتجاه م ‪ C‬مختلف عن اتجاه م ب ‬ ‫` م ‪ C‬ال تكافئ م ب‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ب ‪ C || a‬م || = || م جـ || واتجاه ‪ C‬م هو نفس اتجاه م جـ ‬ ‫د ‪ C || a‬هـ || ! || ب جـ || واتجاه ‪ C‬هـ هو نفس اتجاه ب جـ ‬ ‫` ‪ C‬م تكافئ م جـ‬ ‫` ‪ C‬هـ ال تكافئ ب جـ‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ ‪ C‬ب جـ ‪ E‬متوازى أضالع تقاطع قطراه فى م.‬ ‫اً‬ ‫ أول: اذكر القطع المستقيمة الموجهة (إن وجدت) والتى تكافئ:‬ ‫أ ‪ C‬ب      ب جـ ‪      E‬ج‍ ب جـ      د‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ثانيا: بين لماذا تكون القطع المستقيمة الموجهة التالية غير متكافئة:‬ ‫ً‬ ‫ب ب ‪ E  ،  C‬جـ ‬ ‫أ ‪ C‬م  ،  ‪ C‬جـ ‬ ‫‪ C‬م      ه‍‬ ‫م‪E‬‬ ‫ج‍ ب م  ،  ‪ E‬م‬ ‫تفكير منطقى:‬ ‫1- إذا كان ‪ C‬ب تكافئ جـ ‪ E‬ماذا تستنتج؟‬ ‫ ‬ ‫2- ما عدد القطع المستقيمة الموجهة التى يمكن رسمها فى المستوى كل منها تكافئ ‪ C‬ب ؟‬ ‫و‬ ‫ ‬ ‫3- من نقطة جـ فى المستوى كم قطعة مستقيمة موجهة يمكن رسمها وتكافئ ‪ C‬ب ؟‬ ‫ ‬ ‫الحظ أنه:‬ ‫توجد قطعة مستقيمة موجهة وحيدة يمكن رسمها من النقطة جـ ( جـ ‪ E‬مثلاً) بحيث تكون جـ ‪ E‬تكافئ ‪ C‬ب .‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ القطع المستقيمة الموجهة فى المستوى اإلحداثى المتعامد:‬ ‫ ‬ ‫فى مستوى إحداثى متعامد عين النقط ‪ ،)1 ،2-(C‬ب(2، 3)، جـ(1، -3)، ‪ )4 ،1-(E‬ثم ارسم جـ هـ ، ‪ E‬ل‬ ‫كل منهما تكافئ ‪ C‬ب . أوجد إحداثيى كل من هـ، ل.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫16‬
‫ل‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫6‬ ‫5‬ ‫لرسم جـ هـ تكافئ ‪ C‬ب يجب أن تكون جـ هـ ، ‪ C‬ب لهما‬ ‫نفس االتجاه، ونفس المعيار.‬ ‫ب (2، 3)‬ ‫أى أن: جـ هـ // ‪ C‬ب ، || جـ هـ || = || ‪ C‬ب || = طول ‪ C‬ب .‬ ‫ ‬ ‫ص‬ ‫4‬ ‫‪)4 ،1-( E‬‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫× ×نرسم جـ هـ // ‪ C‬ب (ميل ‪ C‬ب = ميل جـ هـ = 1 )‬ ‫2‬ ‫س‬ ‫هـ‬ ‫× ×نحدد طول جـ هـ = طول ‪ C‬ب باستخدام الفرجار،‬ ‫أو بحساب عدد المربعات األفقية والرأسية، فنجد أن‬ ‫هـ (5، -1). بالمثل نرسم ‪ E‬ل فنجد أن: ل (3، 6)‬ ‫(-2، 1)‬ ‫1‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫‪C‬‬ ‫و -1 -2 -3‬ ‫-1‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫-2‬ ‫(1، -3) جـ‬ ‫-3‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫الحظ أن: حيث إن االنتقال يحافظ على توازى المستقيمات، وأطوال القطع المستقيمة وباعتبار النقطة جـ‬ ‫صورة النقطة ‪ C‬باالنتقال (1 - (-2)، -3 - 1) = (3، -4)‬ ‫` لرسم جـ هـ تكافئ ‪ C‬ب نجد أن جـ هـ هى صورة ‪ C‬ب باالنتقال (3، -4)‬ ‫  ويكون إحداثى هـ = (2 + 3، 3 + (-4)) = (5، -1)‬ ‫باستخدام االنتقال: عين إحداثيى النقطة ‪ S‬التى تجعل و ‪ S‬تكافئ ‪ C‬ب‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ فى مستوى إحداثى متعامد عين النقط ‪ ،)3 ،2(C‬ب(-2، 6)، جـ (5، -3)، ‪ )5 ،2(E‬ثم ارسم جـ هـ ، ل ‪، E‬‬ ‫و ‪ S‬كل منها تكافئ ‪ C‬ب ، وأوجد إحداثيى كل من هـ ، ل ، ‪.S‬‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‪C‬‬ ‫فى الشكل المقابل: ‪ C‬ب جـ مثلث فيه ‪ C‬ب = ‪ C‬جـ‬ ‫س‬ ‫س، ص، ع منصفات ‪ C‬ب ، ب جـ ، جـ ‪ C‬على الترتيب‬ ‫أوالً: أى العبارات التالية صحيحة؟‬ ‫أ || س ص || = || ع ص ||. ‬ ‫ ‬ ‫ب‬ ‫ب س ص تكافئ ع ص . ‬ ‫ثانيا: اكتب القطع المستقيمة الموجهة (إن وجدت) والتى تكافئ كل من:‬ ‫اًّ‬ ‫ً‬ ‫ب ‪ C‬ع ‬ ‫أ ب س ‬ ‫ ‬ ‫ه‍ س ص ‬ ‫د جـ ص ‬ ‫ ‬ ‫26‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ع‬ ‫ص‬ ‫جـ‬ ‫ج‍ ب ص تكافئ ع س .‬ ‫ج‍ س ع‬ ‫و عص‬
‫المتجهات‬ ‫3 ‍‬ ‫‪Vectors‬‬ ‫مقدمة‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫يمكن تعيين موضع النقطة ‪ C‬فى المستوى‬ ‫اإلحداثى المتعامد بمعرفة الزوج‬ ‫المرتب (س، ص) المناظر لها، حيث‬ ‫إن لكل نقطة فى المستوى اإلحداثى‬ ‫موضع وحيد بالنسبة لنقطة األصل و.‬ ‫‪( C‬س، ص)‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫وضع متجه ىف الصورة القطبية.‬ ‫و‬ ‫ص/ س‬ ‫س‬ ‫متجه المو�ضع لنقطة معلومة بالن�سبة لنقطة الأ�صل:‬ ‫تعريف‬ ‫4‬ ‫ص‬ ‫إجياد متجه املوضع لنقطة معلومة‬ ‫بالنسبة لنقطة األصل ىف مستوى‬ ‫إحداثى متعامد.‬ ‫/‬ ‫‪Position Vector‬‬ ‫متجه الموضع لنقطة معلومة بالنسبة لنقطة األصل: هو القطعة‬ ‫المستقيمة الموجهة التى بدايتها نقطة األصل ونهايتها النقطة المعلومة.‬ ‫ص‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ فى الشكل المقابل: ‪،)3 ،5( C‬‬ ‫ب(4، -3)، جـ (-2، 4) فيكون:‬ ‫× × و ‪ C‬هو متجه الموضع لنقطة ‪C‬‬ ‫بالنسبة لنقطة األصل و، ويناظر‬ ‫الزوج المرتب (5، 3). ويكتب‬ ‫و ‪.)3 ،5( = C‬‬ ‫جـ (-2، 4)‬ ‫‪)3 ،5( C‬‬ ‫فإن: || ‪= || S‬‬ ‫مجع متجهني جرب ًيا‬ ‫رضب متجه ىف عدد حقيقى.‬ ‫التعبري عن متجه بداللة متجهى‬ ‫الوحدة االساسيني.‬ ‫رشط توازى متجهني.‬ ‫رشط تعامد متجهني.‬ ‫رضب متجه ىف عدد حقيقى‬ ‫والتمثيل اهلندسى له.‬ ‫س‬ ‫س‬ ‫و‬ ‫ب (4، -3)‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫معيار المتجه: هو طول القطعة المستقيمة الممثلة للمتجه.‬ ‫س2 + ص‬ ‫مفهوم تكافؤ متجهني وحل متارين‬ ‫عليه.‬ ‫/‬ ‫× × و ب متجه الموضع لنقطة ب بالنسبة لنقطة األصل، حيث و ب = (4، -3)‬ ‫كما أن و جـ = (-2، 4)‬ ‫مالحظة: نظرا ألن كل متجهات الموضع لها نفس نقطة البداية (و) فإنه يمكننا‬ ‫ً‬ ‫أن نرمز لمتجه الموضع و ‪ C‬بالرمز ‪ C‬ولمتجه الموضع و ب بالرمز ب وهكذا‬ ‫وبذلك يكون: ‪   ،  )3 ،5( = C‬ب = (4، -3)  ،   جـ = (-2، 4).‬ ‫فإذا كان: ‪( = S‬س، ص)‬ ‫إجياد معيار متجه والتعرف عىل‬ ‫املتجه الصفرى.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫متجه (كمية متجهة)‬ ‫متجه موضع‬ ‫زوج مرتب‬ ‫قيمة مطلقة‬ ‫معيار متجه‬ ‫‪Vector‬‬ ‫‪Position Vector‬‬ ‫‪Orderd Pair‬‬ ‫‪Absolute Value‬‬ ‫‪Norm‬‬ ‫متجهات متكافئة ‪Equivalent Vectors‬‬ ‫مجع املتجهات‬ ‫رضب‬ ‫صورة قطبية‬ ‫متجه وحدة‬ ‫مقدار‬ ‫‪Addition of vector‬‬ ‫‪Multiplication‬‬ ‫‪Polar Form‬‬ ‫‪Unit Vector‬‬ ‫‪Magnitude‬‬ ‫2‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫36‬
‫حاول أن تحل‬ ‫‌ فى المستوى اإلحداثى المتعامد إذا كانت ‪ ،)1- ،2(C‬ب(5، 0)، جـ(-2، -3) فأوجد متجه الموضع لكل منها‬ ‫بالنسبة لنقطة األصل و، وارسم القطعة المستقيمة الموجهة الممثلة له فى المستوى اإلحداثى.‬ ‫فكر‬ ‫و‬ ‫‪C‬‬ ‫ناقش‬ ‫يبين الشكل المقابل قطعة مستقيمة موجهة و ‪ ، C‬معيارها 4سم واتجاهها‬ ‫يصنع زاوية قياسها 06‪ c‬مع االتجاه الموجب لمحور السينات.‬ ‫كيف يمكن إيجاد متجه الموضع لنقطة ‪ C‬بالنسبة لنقطة األصل و فى مستوى‬ ‫إحداثى متعامد؟‬ ‫ال�صورة القطبية لمتجه المو�ضع‬ ‫06‪c‬‬ ‫س‬ ‫و‬ ‫‪Polar form of position Vector‬‬ ‫فى الشكل المقابل المتجه و ‪ C‬يصنع زاوية قياسها ‪ i‬مع االتجاه الموجب‬ ‫لمحور السينات كما أن معياره يساوى || و ‪ .|| C‬فيمكن التعبير عنه كما يلي:‬ ‫‪C‬‬ ‫و ‪ ||( = C‬و ‪ )i ،|| C‬‬ ‫ويكون إحداثيا النقطة ‪ C‬فى المستوى اإلحداثى المتعامد هما:‬ ‫وتعرف بالصورة القطبية للمتجه.‬ ‫ص‬ ‫س = || و ‪ || C‬جتا‪ ، i‬ص = || و ‪ || C‬جا‪ i‬ويكون ظا ‪ = i‬س‬ ‫(س، ص)‬ ‫|| و ‪ || C‬جا ‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫س‬ ‫|| و ‪ || C‬جتا ‪i‬‬ ‫مـثـال‬ ‫و‬ ‫‌ فى مستوى إحداثى متعامد إذا كانت ‪ .) 3 6 ،6(C‬أوجد الصورة القطبية لمتجه موضع النقطة ‪ C‬بالنسبة‬ ‫لنقطة األصل و.‬ ‫الحل‬ ‫ ` || و ‪ = || C‬طول و ‪12 = 2) 3 6( + 2)6( = C‬‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أ ‬ ‫ب ‬ ‫ ‬ ‫المتجه الصفرى: يعرف و = (0، 0) بالمتجه الصفرى 0‬ ‫   ويكون || و || = || 0 || = 0، والمتجه الصفرى غير معين االتجاه.‬ ‫46‬ ‫س‬ ‫‪i‬‬ ‫و‬ ‫إذا كان و ‪ )8 ، 3 8( = C‬أوجد الصورة القطبية للمتجه و ‪. C‬‬ ‫إذا كان و جـ = (21 2 ، 3‪ ) r‬متجه موضع لنقطة جـ بالنسبة لنقطة األصل و، فأوجد احداثيي نقطة جـ‬ ‫4‬ ‫فكر: ما متجه الموضع لنقطة األصل و(0، 0) فى مستوى إحداثى متعامد؟‬ ‫ ‬ ‫| و‪C‬‬ ‫|‬ ‫ ‬ ‫` ‪ = i‬ظا-1 ‪ `  c60 = _ 3 i‬و ‪) r ،12( = C‬‬ ‫ ‬ ‫3‬ ‫ص‬ ‫  ، ظا ‪ = i‬س = 6 63 =‬ ‫3  ‪[ r ، 0] ∈ i‬‬ ‫ص‬ ‫||‬ ‫ ‬ ‫‪ a‬و ‪ ) 3 6 ،6( = C‬‬ ‫‪)8 ،6( C‬‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫تاهجتملا‬ ‫المتجهات ‬ ‫المتكافئة‬ ‫‪Eequivalent Vectors‬‬ ‫لنفرض أن جسما تحرك من ‪ C‬حتى وصل إلى ب بعد أن قطع‬ ‫ً‬ ‫4 وحدات إلى اليمين، 3 وحدات إلى أعلى. فإن ‪ C‬ب تمثل‬ ‫متجه إزاحة الجسم من ‪ C‬إلى ب.‬ ‫يمكننا تمثيل ‪ C‬ب فى المستوى اإلحداثى المتعامد بعدد‬ ‫ٍ‬ ‫غير منته من القطع المستقيمة الموجهة المتوازية والتى‬ ‫يكافئ كل منها ‪ C‬ب ، ويكون إحداها متجه الموضع و ن .‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫أى إن:    ‪ C‬ب   =   ‪ E‬هـ    = ....... = و ن = (4، 3)‬ ‫ص‬ ‫ب‬ ‫8‬ ‫هـ‬ ‫7‬ ‫6‬ ‫5‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫4‬ ‫ن (4، 3)‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫س‬ ‫7 6‬ ‫5‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫س‬ ‫و -1 -2‬ ‫/‬ ‫ويكون: || ‪ C‬ب || = || ‪ E‬هـ || = ...... = || و ن || = (4)2 + (3)2 = 5 وحدات طول.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ فى الشكل المقابل:‬ ‫أ عين متجه الموضع للنقطة جـ بالنسبة إلى نقطة‬ ‫ ‬ ‫األصل و، ثم أوجد معياره.‬ ‫ ‬ ‫‪E‬‬ ‫ب حدد جميع عناصر مجموعة المتجهات التى يكافئ‬ ‫كل منها و جـ .‬ ‫ن‬ ‫م‬ ‫ع‬ ‫يكون:‬ ‫ق‬ ‫ب‬ ‫ك‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫المتجهات: عناصر المجموعة ح2 مع عمليتى الجمع والضرب المعرفتين عليها تسمى‬ ‫ّ‬ ‫متجهات.‬ ‫جمع مجهين جبريًا‬ ‫لكل ‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫يرمز للمتجهات بأحد الرموز مـ  ،  ن  ،  ‪ ........... S  ،  X‬مثل:‬ ‫مـ = (2، 3) ،  ن = (-7، 2) ،  ‪ ........... )5 ،0( = X‬وهكذا‬ ‫‪C‬‬ ‫هـ‬ ‫و‬ ‫‪E‬‬ ‫س‬ ‫لعلك الحظت ارتباط المتجهات بعناصر مجموعة األزواج‬ ‫المرتبة (س، ص) حيث (س، ص) ∈ ح2 وعلى ذلك يمكن‬ ‫تعريف المتجهات كما يلى:‬ ‫تعريف‬ ‫5‬ ‫س‬ ‫ل‬ ‫  ‪Adding two Vectors Algebraically‬‬ ‫= (س1، ص1) ∈ ح2 ،  ب = (س2، ص2) ∈ ح‬ ‫‪C‬‬ ‫+ ب = (س1 + س2، ص1 + ص2) ∈ ح‬ ‫2‬ ‫م‬ ‫أض‬ ‫علو‬ ‫ف إل‬ ‫ى‬ ‫ما‬ ‫تك‬ ‫نرمز لحاصل الضرب‬ ‫الديكارتى ح * ح‬ ‫2‬ ‫بالرمز ح‬ ‫وتقرأ: ح اثنان‬ ‫2‬ ‫اً‬ ‫فمثل: (3، -2) + (5، 7) = (3 + 5، -2 + 7) = (8، 5)‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫56‬
‫ولعملية الجمع الخوا�ص التالية:‬ ‫لكل‬ ‫خا�صية االنغالق‬ ‫لكل‬ ‫خا�صية الإبدال‬ ‫خا�صية التجميع �أو الدمج‬ ‫خا�صية وجود العن�صر المحايد‬ ‫خا�صية توافر المعكو�سات‬ ‫، ب ∈ ح2  يكون  ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫، ب ∈ ح2  يكون  ‬ ‫‪C‬‬ ‫∈ ح2 يوجد و = (0، 0) ∈ ح2   حيث:‬ ‫+ب=‬ ‫‪C‬‬ ‫ب + ‪C‬‬ ‫لكل ‪ ، C‬ب ، جـ ∈ ح2 يكون   ‪ ( + C‬ب + جـ ) = ( ‪ + C‬ب ) + جـ = ‪ + C‬ب + جـ‬ ‫لكل‬ ‫لكل ‪( C‬س، ص) ∈ ح2 يوجد‬ ‫حيث: ‪ = ) C -( + C‬و = (- ‪+ ) C‬‬ ‫- ‪C‬‬ ‫ى‬ ‫ضرب متجه فى عدد حقيق ‬ ‫لكل ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫+ و =‬ ‫= (-س، -ص) ∈ ح‬ ‫2‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫و + ‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫لكل ‪ ، C‬ب ، جـ ∈ ح2 إذا كان ‪ + C‬ب = ‪ + C‬جـ  فإن  ب = جـ‬ ‫خا�صية الحذف‬ ‫‪C‬‬ ‫+ ب ∈ح‬ ‫2‬ ‫‪Multiplying a vectore by a real number‬‬ ‫= (س، ص) ∈ ح2 ، ولكل ك ∈ ح : ‬ ‫ك‬ ‫‪C‬‬ ‫= ك (س، ص) = (ك س، ك ص) ∈ ح‬ ‫2‬ ‫اً‬ ‫فمثل: 3(2، -5) = (6، -51) ،  1 (4، 9) = (2، 9 ) ،   4(0 ، 0) = (0 ، 0)   ، -2(3، -4) = (-6، 8)‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ولعملية ال�ضرب الخوا�ص التالية:‬ ‫اً‬ ‫أول: لكل ‪ ، C‬ب ∈ ح2، لكل ك ∈ ح     يكون: ك( ‪ + C‬ب ) = ك ‪ + C‬ك ب‬ ‫خا�صية التوزيع‬ ‫خا�صية التجميع �أو الدمج‬ ‫خا�صية الحذف‬ ‫ثانيا: لكل‬ ‫ً‬ ‫لكل‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫∈ ح2     ، لكل ك1، ك2 ∈ ح  يكون: (ك1 + ك2)‬ ‫‪C‬‬ ‫=ك‬ ‫1‬ ‫‪C‬‬ ‫∈ ح2     ،  لكل ك1، ك2 ∈ ح  يكون: (ك1 ك2) ‪ = C‬ك1(ك‬ ‫لكل ‪ ، C‬ب ∈ ح2   ،  لكل ك ∈ ح‬ ‫إذا كان ك ‪ = C‬ك ب   فإن: ‪ = C‬ب والعكس صحيح‬ ‫٭‬ ‫+ك‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫الحظ أن :إذا كان مـ = (س1 ، ص1) يكافئ ن = (س2، ص2)‬ ‫  فإن: س1 = س2، ص1 = ص2 (خاصية تساوى األزواج المرتبة).‬ ‫  ونقول عندئذ أن المتجهين مـ ، ن متساويان.‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ إذا كان ‪ ، )2- ،6( = C‬ب = (4، 3)‬ ‫ ‬ ‫أ أوجد 2‪3 - C‬ب‬ ‫الحل‬ ‫أ 2‪3 - C‬ب = 2 (6، -2) - 3(4، 3)‬ ‫ ‬ ‫       = (21، -4) + (-21، -9) = (0، -31)‬ ‫ب عبر عن جـ = (11، 5) بداللة ‪ ، C‬ب‬ ‫ب   بفرض أن جـ = ك1 ‪ + C‬ك2 ب  حيث ك1، ك2 ∈ ح‬ ‫ ‬ ‫        = ك1 (6، -2) + ك2(4، 3)‬ ‫        = (6ك1 - 2ك1) + (4ك2 + 3ك2) = (6ك1 + 4ك2، -2ك1 + 3ك2)‬ ‫66‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫‪C‬‬ ‫)‬ ‫‪C‬‬
‫تاهجتملا‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ومن خاصية تساوى زوجين مرتبين ينتج أن:‬ ‫6ك1 + 4ك2 = 11   (1)  ،   -2ك1 + 3ك2 = 5   (2)‬ ‫بحل المعادلتين (1)، (2) نجد أن: ك1 = 1  ، ك2 = 2 ` جـ = 1 ‪ 2 + C‬ب‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان ‪ ،)6- ،2( = C‬ب = (-2، 5)، جـ = (-6، 41)‬ ‫ ‬ ‫أ أوجد: 2‪-  ،  C‬ب  ،  1 جـ  ،  ‪ + C‬ب - جـ‬ ‫2‬ ‫ب عبر عن جـ بداللة ‪ ، C‬ب .‬ ‫ ‬ ‫متجة الوحدة: هو متجه معياره الوحدة.‬ ‫‪Unit Vector‬‬ ‫التعبير عن المتجه بداللة متجهى الوحدة الأ�سا�سيين.‬ ‫تعريف‬ ‫6‬ ‫× ×متجه الوحدة األساسى ‪ : M‬هو القطعة المستقيمة‬ ‫الموجهة التى مبدؤها نقطة األصل ومعيارها الوحدة‬ ‫واتجاهها هو االتجاه الموجب لمحور السينات.‬ ‫× ×متجه الوحدة األساسى ‪ : N‬هو القطعة المستقيمة‬ ‫الموجهة التى مبدؤها نقطة األصل ومعيارها الوحدة‬ ‫واتجاهها هو االتجاه الموجب لمحور الصادات.‬ ‫ إذا كان مـ = (س، ص)‬ ‫ `      مـ = (س، 0)  + (0، ص) ‬ ‫        = س (1، 0) + ص (0، 1) ‬ ‫ ‬ ‫      = س ‪ + M‬ص ‪N‬‬ ‫2‬ ‫ويكون: || مـ || = س2 + ص‬ ‫ ‬ ‫ص‬ ‫2‬ ‫س‬ ‫3‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬ ‫(1، 0)‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫= (1، 0)‬ ‫ص‬ ‫2‬ ‫س‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫‪N‬‬ ‫(0، 1)‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪)1 ،0( = N‬‬ ‫من تعريف الجمع.‬ ‫من تعريف الضرب.‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ عبر عن كل من المتجهات التالية بداللة متجهى الوحدة األساسيين:‬ ‫ج‍ ل = (-5، 0) ‬ ‫ب ن = (4، -3) ‬ ‫أ مـ = (2، 7) ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫أ مـ = 2 ‪ N 7 + M‬‬ ‫ج‍ ل = -5 ‪ M‬‬ ‫ب ن = 4 ‪3 - M‬‬ ‫د ع = -3 ‪N‬‬ ‫2‬ ‫د ع = (0، - 3 )‬ ‫2‬ ‫‪N‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫76‬
‫حاول أن تحل‬ ‫‌ عبر عن كل من المتجهات التالية بداللة متجهى الوحدة األساسيين ثم أوجد معياره:‬ ‫د ع = (-7، 0)‬ ‫ج‍ ل = (-3، -6) ‬ ‫ب ن = (5، -21) ‬ ‫أ مـ = (-3، 4) ‬ ‫ ‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد بداللة متجهى الوحدة األساسيين المتجه الذى يعبر عن كل من:‬ ‫أ السرعة المنتظمة لسيارة تقطع 09 كم كل ساعة فى اتجاه الشرق.‬ ‫ ‬ ‫ب قوة مقدارها 05 نيوتن تؤثر فى نقطة مادية فى اتجاه 03‪ c‬شمال الشرق.‬ ‫ ‬ ‫ص‬ ‫الحل‬ ‫أ بفرض أن متجه الموضع لسرعة السيارة و ب = (س، ص).‬ ‫ ‬ ‫ ` س = 09 ، ص = 0‬ ‫ ‬ ‫  ب = 09 ‪M‬‬ ‫س‬ ‫ب بفرض أن متجه الموضع للقوة المعطاة و جـ = (س، ص)‬ ‫ ‬ ‫ ` س = 05 جتا03‪، 3 25 = c‬‬ ‫،  ص = 05 جا 03‪25 = c‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫جـ = 52 3 ‪N 25 + M‬‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫س‬ ‫09 كم/ س‬ ‫و‬ ‫0‬ ‫ص‬ ‫5 ني‬ ‫وتن‬ ‫03‪c‬‬ ‫‪E‬‬ ‫و‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد بداللة متجهى الوحدة األساسيين المتجه الذى يعبر عن كل من:‬ ‫أ ازاحة جسم مسافة 06سم فى اتجاه الجنوب.‬ ‫ ‬ ‫ب قوة مقدارها 03ث كجم تؤثر على جسيم فى اتجاه 06‪ c‬شمال الغرب.‬ ‫ ‬ ‫توازى متجهين وتعامدهم ا‬ ‫‪Perpendicular and Parallel Vectors‬‬ ‫لكل مـ ، ن متجهين غير صفريين‬ ‫حيث مـ = (س1، ص1) ، ن = (س2 ، ص2)‬ ‫ن‬ ‫‪E‬‬ ‫1- إذا كان مـ // ن‬ ‫ص1 ص‬ ‫2‬ ‫ فإن: ظا ‪ = 1i‬ظا ‪ ، 2i‬س1 = س‬ ‫2‬ ‫ ويكون س1 ص2 - س2 ص1 = صفر والعكس صحيح‬ ‫86‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ب‬ ‫س‬ ‫‪i‬‬ ‫1‬ ‫مـ // ن‬ ‫ص‬ ‫جـ‬ ‫مـ‬ ‫‪i‬‬ ‫‪C‬‬ ‫2‬ ‫و‬ ‫/‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫/‬
‫تاهجتملا‬ ‫‪E‬‬ ‫2- إذا كان مـ = ن‬ ‫جـ‬ ‫ فإن: ظا ‪ * 1i‬ظا ‪1- = 2i‬‬ ‫ ‬ ‫ص‬ ‫ص‬ ‫ص‬ ‫س 1 * س 2 = -1‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫ ويكون س1 س2 + ص1 ص2 = 0 والعكس صحيح‬ ‫س‬ ‫‪i‬‬ ‫2‬ ‫ب‬ ‫ن‬ ‫‪i‬‬ ‫مـ‬ ‫1‬ ‫مـ = ن‬ ‫‪C‬‬ ‫و‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫الحظ أن: إذا كان ‪ ، )4 ،2( = C‬ب = (-6، 3) ، جـ = (4، 8)‬ ‫   فإن: ‪ = C‬ب  ألن: 2 * -6 + 4 * 3 = -21 + 21 = صفرا.‬ ‫ً‬ ‫    ‪ // C‬جـ  ألن: 2 * 8 - 4 * 4 = 61  - 61 = صفرا.‬ ‫ً‬ ‫    ب = جـ  ألن:  - 6 * 4 + 3 * 8 = -42  + 42 = صفرا.‬ ‫ً‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ إذا كان ‪ ، )5 ،2( = C‬ب = (ك، -4) فأوجد قيمة ك عندما:‬ ‫ب ‪ = C‬ب .‬ ‫أ ‬ ‫‪ // C‬ب .‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫أ عندما ‪ // C‬ب فإن شرط التوازى هو: 2 * -4 - 5 * ك = صفرا‬ ‫ ‬ ‫ً‬ ‫ويكون: ك = - 8‬ ‫ ` -8 - 5ك = ‬ ‫صفر‬ ‫5‬ ‫ب ‪ = C‬ب فإن شرط التعامد هو: 2 * ك + 5 * -4 = صفرا‬ ‫ ‬ ‫ً‬ ‫ ` 2ك - 02 = ويكون: ك = 01‬ ‫صفرا‬ ‫ً‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان ‪ ،)6 ،4-( = C‬ب = (6، -9)، جـ = (3، 2) أثبت أن: ‪ // C‬ب ، ب = جـ ، جـ = ‪C‬‬ ‫الحظ أن إذا كان مـ = (س، ص)، ك ∈ح‬ ‫  فإن: ك مـ = ك (س، ص) = (ك س، ك ص)‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫وإذا كان مـ متجه غير صفرى، ك !0 فإن: مـ // ك مـ‬ ‫ ‬ ‫حيث اتجاه ك مـ هو نفس اتجاه مـ لكل ك 0‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ويكون: ||ك مـ || =|ك| 0 || مـ ||‬ ‫اتجاه ك مـ هو عكس اتجاه مـ لكل ك 0‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫96‬
‫فمثالً:‬ ‫إذا كان مـ = (2، 1) فإن: ‪ 2 = C‬مـ = 2(2، 1) = (4، 2)‬ ‫    ب = 3 مـ = 3(2، 1) = (6، 3)‬ ‫ ‬ ‫    جـ = - مـ  = -(2، 1) = (-2، -1)‬ ‫ ‬ ‫    ‪ 3 - = E‬مـ = - 3 (2، 1) = (-3، - 3 )‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫والشكل المقابل يوضح ذلك.‬ ‫ص‬ ‫‪E‬‬ ‫=-‬ ‫3‬ ‫2 مـ‬ ‫‪C‬‬ ‫س‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫=‬ ‫3 مـ‬ ‫مـ‬ ‫=‬ ‫2 مـ‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫و‬ ‫=‬ ‫- مـ‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ الشبكة المقابلة لمتوازيات أضالع متطابقة.‬ ‫ أوالً: عبر عن كل من القطع المستقيمة الموجهة التالية بداللة‬ ‫ ‬ ‫المتجهين مـ ، ن‬ ‫ب‬ ‫ جـ ب ‬ ‫أ ‪ C‬ب ‬ ‫ ‬ ‫ج‍ جـ هـ‬ ‫ه‍ ب ‪ C‬‬ ‫د ب جـ ‬ ‫ ‬ ‫و ط هـ‬ ‫ح ‪ E‬هـ ‬ ‫ز ‪ E‬ل ‬ ‫ ‬ ‫ط ل‪C‬‬ ‫ل‬ ‫‪E‬‬ ‫جـ‬ ‫هـ‬ ‫ب‬ ‫ن‬ ‫مـ‬ ‫ط‬ ‫‪C‬‬ ‫ثانيا: استنتج أن ‪ C‬ب = - ب ‪ C‬وفسر ذلك هندسيا.‬ ‫ً‬ ‫ًّ‬ ‫ ‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫يبين الشكل التالى تمثيلاً لبعض المتجهات فى المستوى اإلحداثى المتعامد.‬ ‫اكتب كل متجه بداللة متجهى الوحدة األساسيين.‬ ‫ص‬ ‫ل‬ ‫8‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫‪E‬‬ ‫ك‬ ‫س‬ ‫07‬ ‫02‬ ‫61‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫هـ‬ ‫‪S‬‬ ‫‪C‬‬ ‫21‬ ‫8‬ ‫4‬ ‫6‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫‪N‬‬ ‫و‬ ‫‪ M‬ص‬ ‫/‬ ‫س‬ ‫/‬
‫العمليات على المتجهات‬ ‫3 ‍‬ ‫‪Operations on Vectors‬‬ ‫ً‬ ‫ًا‬ ‫أوال: جمع المتجهات هندسي‬ ‫فكر‬ ‫و‬ ‫‪Adding vectors geomitricaly‬‬ ‫ناقش‬ ‫تمثل المتجه ن حيث:‬ ‫مـ = (4، -2) ، ن = (1، 5)‬ ‫اكتب ما يساويه مـ + ن .‬ ‫اكتب المتجه الذى تمثله ‪ C‬جـ .‬ ‫ماذا تالحظ؟ ماذا تستنتج؟‬ ‫قاعدة المثلث لجمع متجهين‬ ‫قاعدة املثلث جلمع متجهني .‬ ‫جـ‬ ‫قاعدة متوازى األضالع جلمع‬ ‫متجهني.‬ ‫ن‬ ‫س‬ ‫طرح املتجهات والتمثيل البيانى‬ ‫هلا.‬ ‫‪C‬‬ ‫مـ‬ ‫ب‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫و‬ ‫/‬ ‫ص‬ ‫‪Triangle Rule of Adding two vectors‬‬ ‫إذا كان ‪ C‬ب تمثل المتجه مـ ، ب جـ تمثل المتجه ن‬ ‫حيث النقطة ب نقطة النهاية للمتجه مـ و هى‬ ‫نفسها نقطة البداية للمتجه ن .‬ ‫فإن:المتجه مـ + ن تمثله القطعة المستقيمة‬ ‫الموجهة ‪ C‬جـ‬ ‫أى إن: مـ + ن = ‪ C‬جـ    أى‬ ‫وتعرف هذه العالقة بعالقة شال‬ ‫مجع املتجهات والتمثيل اهلندسى‬ ‫هلا.‬ ‫ص‬ ‫إذا كانت ‪ C‬ب تمثل المتجه مـ ، ب جـ‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫جـ‬ ‫ن‬ ‫مـ‬ ‫ب‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫مجع املتجهات‬ ‫+ ن‬ ‫مـ‬ ‫التعبري عن قطعة مستقيمة موجهة‬ ‫بداللة متجهى املوضع لطرفيها.‬ ‫‪Addition of vectors‬‬ ‫طرح املتجهات‬ ‫‪Subtraction of vectors‬‬ ‫‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ C‬ب + ب جـ = ‪ C‬جـ‬ ‫ قاعدة املثلث‬ ‫‬ ‫‪Triangle Rule‬‬ ‫قاعدة متوازى األضالع‬ ‫‪Parallelogram Rule‬‬ ‫‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ تقطع سفينة 003 متر شرقًا، ثم 004 متر شماال للخروج من الميناء.‬ ‫ً‬ ‫ احسب إزاحة السفينة حتى خروجها من الميناء.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫1- نأخذ مقياس رسم مناسب: باعتبار كل 1 سم تمثل 001 متر.‬ ‫  ` 3سم تمثل 003 متر، 4 سم تمثل 004 متر.‬ ‫2-ارسم مسار الرحلة بمقياس الرسم مستخدما أدواتك الهندسية، فيكون‬ ‫ً‬ ‫متجه اإلزاحة ‪ C‬جـ = ‪ C‬ب + ب جـ .‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫أدوات رسم هندسى.‬ ‫ورق مربعات للرسم.‬ ‫17‬
‫ 3- قس طول ‪ C‬جـ بالمسطرة ( ‪ C‬جـ = 5سم)‬ ‫ 4- معيار اإلزاحة = الطول فى الرسم * مقياس الرسم‬ ‫     = 5 * 001 = 005 متر.‬ ‫ 5- اتجاه اإلزاحة : ‪ = i‬طا-1 ( 4 ) - 35‪ c‬ألقرب درجة.‬ ‫3‬ ‫ ` السفينة تبعد عن نقطة إبحارها مسافة 005 متر فى اتجاه 35‪ c‬شمال الشرق.‬ ‫النهاية‬ ‫جـ‬ ‫ا‬ ‫حة‬ ‫إلزا‬ ‫البداية‬ ‫الشرق‬ ‫‪i‬‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ كت شاحنة من الموقع ‪ C‬مسافة 08 كم فى اتجاه الغرب ثم مسافة 021 كم فى اتجاه 06‪ c‬شمال الغرب.‬ ‫تحر‬ ‫إلى أن وصلت إلى الموقع ب. أوجد مقدار واتجاه اإلزاحة ‪ C‬ب .‬ ‫مالحظات هامة:‬ ‫1- أى متجهين مـ ، ن يمكن جمعهما (إيجاد محصلتهما) بإنشاء‬ ‫متجهين متتالين ومكافئين للمتجهين مـ ، ن كما فى الشكل‬ ‫المقابل.‬ ‫ن‬ ‫مـ‬ ‫ن‬ ‫مـ + ن‬ ‫2- قاعدة شال لجمع متجهين صحيحة إذا كانت النقط ‪ ،C‬ب، جـ‬ ‫تنتمى إلى مستقيم واحد.‬ ‫ففى األشكال الثالثة المقابلة يكون ‪ C‬ب + ب جـ = ‪ C‬جـ‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫3- ‪ C‬ب + ب ‪( 0 = C C = C‬العنصر المحايد لعملية جمع المتجهات)‬ ‫` ب ‪ C‬هو المعكوس الجمعى للمتجه ‪ C‬ب‬ ‫أى إن ب ‪ C - = C‬ب‬ ‫فكر: استنتج صحة العبارات التالية:‬ ‫1- فى 9 ‪ C‬ب جـ : ‪ C‬ب + ب جـ + جـ ‪0 = C‬‬ ‫مـ‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫2- فى الشكل ‪ C‬ب جـ ‪ E‬هـ : ‪ C‬ب + ب جـ + جـ ‪ E + E‬هـ = ‪ C‬هـ‬ ‫هـ‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫27‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫‪C‬‬
‫تاهجتملا ىلع تايلمعلا‬ ‫قاعدة متوازى الأ�ضالع لجمع متجهين‬ ‫‪Parallelorgram Rule of Adding two vectors‬‬ ‫جـ‬ ‫إذا كان ‪ C‬ب تمثل المتجه مـ ، ‪ E C‬تمثل المتجه ن ، أى إن للمتجهات‬ ‫‪E‬‬ ‫مـ ، ن نفس نقطة البداية، فإليجاد مـ + ن نكمل متوازى األضالع‬ ‫مـ‬ ‫‪ C‬ب جـ ‪ E‬ونرسم قطره ‪ C‬جـ فتكون ‪ E C‬تكافئ ب جـ . (لماذا؟)‬ ‫` مـ + ن = ‪ C‬ب + ‪E C‬‬ ‫  = ‪ C‬ب + ب جـ = ‪ C‬جـ‬ ‫ ‬ ‫أى أن:‬ ‫ب‬ ‫‪ C‬ب + ‪ C = E C‬جـ‬ ‫+ ن‬ ‫ن‬ ‫‪C‬‬ ‫مـ‬ ‫وتعرف هذه القاعدة بقاعدة متوازى األضالع لجمع متجهين.‬ ‫فكر استنتج صحة العبارات التالية:‬ ‫1- مـ +   ن =   ن +   مـ‬ ‫2- فى9 ‪ C‬ب ‪ E‬إذا كانت هـ منتصف ب ‪E‬‬ ‫ ‬ ‫جـ‬ ‫‪E‬‬ ‫هـ‬ ‫فإن: ‪ C‬ب + ‪ C 2 = E C‬هـ‬ ‫ب‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ فى أى شكل رباعى ‪ C‬ب جـ ‪ E‬أثبت أن: ‪ C‬ب + ‪E‬جـ = ‪ C‬جـ + ‪ E‬ب‬ ‫الحل‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫ فى 9 ‪ C‬ب جـ : ‪ C‬ب = ‪ C‬جـ + جـ ب ‬ ‫(2)‬ ‫ فى 9 ‪ E‬جـ ب :   ‪E‬جـ = ‪ E‬ب + ب جـ ‬ ‫ من (1) ، (2) ينتج أن:‬ ‫ب‬ ‫ ‬ ‫‪ C‬ب + ‪E‬جـ = ‪ C‬جـ + جـ ب + ‪ E‬ب   + ب جـ‬ ‫    = ‪ C‬جـ + ‪ E‬ب + جـ ب + ب جـ (خاصية اإلبدال).‬ ‫ ‬ ‫    = ( ‪ C‬جـ + ‪ E‬ب ) + ( جـ ب + ب جـ ) (خاصية الدمج).‬ ‫ ‬ ‫(المعكوس الجمعى).‬ ‫     = ‪ C‬جـ + ‪ E‬ب + 0 ‬ ‫(خاصية المحايد الجمعى).‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫    = ‪ C‬جـ + ‪ E‬ب‬ ‫(1)‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ ‪ C‬ب جـ ‪ E‬شكل رباعى فيه ب جـ = 3 ‪ E C‬أثبت أن :‬ ‫ب ‪ C‬جـ + ب‪. E C 4 = E‬‬ ‫أ ‪ C‬ب ‬ ‫جـ ‪ E‬شبه منحرف.‬ ‫ ‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ ‪ C‬ب جـ د متوازى أضالع تقاطع قطراه فى م. ن نقطة فى نفس المستوى. أثبت أن:‬ ‫أ ‪ C‬ب + ‪ 2+ E C‬جـ م = 0 ‬ ‫ ‬ ‫ب ن‪ + C‬ن جـ = ن ب + ن‪E‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫37‬
‫ن‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫أ ‪ C a‬ب + ‪ C = E C‬جـ (1)   قاعدة متوازى األضالع.‬ ‫2 جـ م ‬ ‫= جـ ‪C‬‬ ‫بجمع (1) ، (2) ينتج أن‬ ‫‪ C‬ب + ‪ 2 + E C‬جـ م =‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ C a‬جـ + جـ ‪0 = C‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫(2)  (جـ م = م ‪.)C‬‬ ‫‪ C‬جـ + جـ ‪C‬‬ ‫ب ارسم ن م‬ ‫‪E‬‬ ‫م‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫` ‪ C‬ب + ‪ 2 + E C‬جـ م = 0‬ ‫` ن ‪ + C‬ن جـ = 2 ن م (3).‬ ‫` ن ب + ن ‪ 2 = E‬ن م (4).‬ ‫فى 9 ن ‪ C‬جـ: ‪ a‬م منتصف ‪ C‬جـ ‬ ‫فى 9 ن ب ‪ a :E‬م منتصف ب ‪ E‬‬ ‫من (3) ، (4) ينتج أن: ن ‪ + C‬ن جـ = ن ب + ن ‪. E‬‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ ‪ C‬ب جـ ‪ E‬متوازى أضالع فيه هـ منتصف ب جـ أثبت أن: ‪ C‬ب + ‪E + E C‬جـ = 2 ‪ C‬هـ‬ ‫ًا‬ ‫ثانيًا: طرح المتجهات هندسي‬ ‫أى إن‬ ‫‪ C‬ب - ‪ C‬جـ = جـ ب‬ ‫جـ‬ ‫  (تعريف الطرح).‬ ‫  (المعكوس الجمعى).‬ ‫ن‬ ‫- ن‬ ‫  (اإلبدال).‬ ‫مـ‬ ‫فى 9 ‪ C‬ب جـ بالشكل المقابل:‬ ‫‪ C‬ب - ‪ C‬جـ = ‪ C‬ب + (- ‪ C‬جـ ) ‬ ‫   = ‪ C‬ب + ‬ ‫جـ‪C‬‬ ‫   = جـ‪ C + C‬‬ ‫ب‬ ‫   = جـ ب ‬ ‫‪Subtracting Vectors geometricaly‬‬ ‫  (قاعدة المثلث).‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫مـ‬ ‫فإذا كانت ‪ C‬ب تمثل المتجه مـ ، ‪ C‬جـ تمثل المتجه ن‬ ‫فإن: جـ ب تمثل مـ - ن كما أن ب جـ تمثل ن - مـ‬ ‫التعبير عن القطعة الم�ستقيمة الموجهة‬ ‫‪C‬ب‬ ‫بداللة متجهى المو�ضع لطرفيها:‬ ‫إذا كانت ‪( C‬س1، ص1) ، ب (س2، ص2).‬ ‫(من قاعدة الطرح).‬ ‫فإن: ‪ C‬ب = و ب - و ‪ C‬‬ ‫حيث و ب ، و ‪ C‬متجهى موضع للنقطتين ب ، ‪ C‬على الترتيب.‬ ‫`‬ ‫‪C‬ب =‬ ‫‪C‬‬ ‫س‬ ‫ب - ‪C‬‬ ‫ً‬ ‫فمثال: إذا كانت ‪ ، )1- ،7( C‬ب (2، 5) فإن: ‪ C‬ب =‬ ‫47‬ ‫ب‬ ‫ص‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫س‬ ‫و‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫ب - ‪C‬‬ ‫= (2، 5) - (7، -1) = (-5، 6)‬ ‫/‬
‫تاهجتملا ىلع تايلمعلا‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ ‪ C‬ب جـ ‪ E‬متوازى أضالع حيث ‪ ، )1- ،2 (C‬ب (7، 1) ، جـ (4، 4) أوجد إحداثيى نقطة ‪.E‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫‪ // E C a‬ب جـ ، ‪ = E C‬ب جـ ` ‪ = E C‬ب جـ‬ ‫د‬ ‫ويكون ‪ = C - E‬جـ - ب ` ‪ + C = E‬جـ - ب‬ ‫أى إن ‪ ` )2 ،1-( = )1 ،7 ( - )4 ،4( + )1- ،2( = E‬إحداثيا نقطة ‪ E‬هما (-1، 2)‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ ‪ C‬ب جـ ‪ E‬شكل رباعى فيه ‪ ،)2- ،1-(C‬ب (9، 0)، جـ(8، 4)، ‪.)2 ،0( E‬‬ ‫ب ‪ C‬ب = ب جـ .‬ ‫ أثبت أن:  أ ‪ C‬ب = ‪ E‬جـ . ‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ إذا كان: 3 ن - 2 ‪ C‬ب = 3 جـ ب + 5 ب ‪ C‬أثبت أن ن = جـ ‪. C‬‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫3 ن = 3 جـ ب + 5 ب ‪ C 2 + C‬ب ‬ ‫3 ن = 3 جـ ب + 5 ب ‪ 2 - C‬ب‪ C‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫3 ن = 3 جـ ب + 3 ب ‪C‬‬ ‫ ‬ ‫3 ن = 3 ( جـ ب + ب ‪ 3 = ) C‬جـ ‪ C‬‬ ‫(إضافة 2 ‪ C‬ب للطرفين).‬ ‫(المعكوس الجمعى للمتجهات).‬ ‫(عملية الطرح).‬ ‫` ن = جـ ‪. C‬‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان: 2 مـ + 3 ‪ C‬ب = 2 جـ ب - ب ‪ C‬أثبت أن مـ = جـ ‪. C‬‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‪E‬‬ ‫فى الشكل المقابل: ‪ C‬ب جـ ‪ E‬سداسى منتظم، أثبت أن:‬ ‫‪ C‬ب + ‪ C‬جـ + ‪ C‬هـ + ‪ C‬و = 2 ‪. E C‬‬ ‫هـ‬ ‫و‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫‪C‬‬ ‫57‬
‫تطبيقات على المتجهات‬ ‫3 ‍‬ ‫‪Applications on Vectos‬‬ ‫ً‬ ‫ة‬ ‫أوال: تطبيقات هندسي ‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫استخدام املتجهات والعمليات‬ ‫عليها ىف إثبات بعض النظريات‬ ‫اهلندسية.‬ ‫فكر‬ ‫حل تطبيقات هندسية ىف اهلندسة‬ ‫املستوية باستخدام املتجهات.‬ ‫حل تطبيقات فيزيائية عىل‬ ‫املتجهات إلجياد :‬ ‫حمصلة عدة قوى‬ ‫اتزان القوى‬ ‫الرسعة النسبية.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫قوة حمصلة.‬ ‫‪Resultant Force‬‬ ‫توازن القوى.‬ ‫‪Equilibrium of Forces‬‬ ‫‬ ‫رسعة نسبية.‬ ‫‪Relative Velocity‬‬ ‫و‬ ‫‪Geometric Applications‬‬ ‫ناقش‬ ‫فى الشكل الرباعى ‪ C‬ب جـ ‪:E‬‬ ‫1- إذا كان ‪ C‬ب = ‪ E‬جـ ماذا تستتنج؟‬ ‫ ‬ ‫2- إذا كان ‪ C‬ب = 3 ‪ E‬جـ ما العالقة بين ‪ C‬ب ، ‪ E‬جـ ؟‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫الحظ أن: إذا كان: ‪ C‬ب = ك ‪ E‬جـ ، ك ! 0‬ ‫ ‬ ‫  فإن: ‪ C‬ب // جـ ‪E‬‬ ‫وعلى ذلك يمكن استخدام المتجهات والعمليات عليها‬ ‫فى إثبات بعض النظريات والعالقات الهندسية كمايلى:‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ باستخدام المتجهات أثبت أن: إذا تساوى وتوازى ضلعان متقابالن فى الشكل‬ ‫الرباعى كان الشكل متوازى أضالع.‬ ‫الحل‬ ‫جـ‬ ‫المعطيات: فى الشكل ‪ C‬ب جـ ‪:E‬‬ ‫   ‪ C‬ب // ‪ E‬جـ ، ‪ C‬ب = ‪E‬جـ‬ ‫المطلوب: ب جـ // ‪E C‬‬ ‫ب‬ ‫ ‬ ‫البرهان:  ارسم ‪ C‬جـ‬ ‫  ‪ C a‬ب = ‪ E‬جـ ، ‪ C‬ب // ‪ E‬جـ   ‬ ‫ ‬ ‫ ` ‪ C‬ب = ‪ E‬جـ‬ ‫(تعريف الجمع).‬ ‫   فى 9 ‪ C‬ب جـ : ‪ C‬جـ = ‪ C‬ب + ب جـ ‬ ‫(تعريف الجمع).‬ ‫   فى 9 ‪  E C‬جـ : ‪ C‬جـ = ‪E +  E C‬جـ ‬ ‫  ‪ C a‬ب = ‪ E‬جـ‬ ‫ ‬ ‫ ` ب جـ = ‪  E C‬ويكون ب جـ // ‪E C‬‬ ‫  ` الشكل ‪ C‬ب جـ ‪ E‬متوازى أضالع.‬ ‫67‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬
‫تاهجتملا ىلع تاقيبطت‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ باستخدام المتجهات أثبت أن: القطعة المستقيمة المرسومة بين منتصفى ضلعين فى مثلث توازى الضلع الثالث.‬ ‫الحل‬ ‫‪C‬‬ ‫المعطيات: فى 9 ‪ C‬ب جـ : ‪ E‬منتصف ‪ C‬ب ، هـ منتصف ‪ C‬جـ‬ ‫‪E‬‬ ‫المطلوب: ‪E‬هـ // ب جـ‬ ‫البرهان: ‪ E a‬منتصف ‪ C‬ب ` ‪ C 1 = E C‬ب ، ‪ C 1 =  E C‬ب‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪ a‬هـ منتصف ‪ C‬جـ ` ‪ C‬هـ = 1 ‪ C‬جـ ، ‪ C‬هـ = 1 ‪ C‬جـ‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫  فى 9 ‪ C‬ب جـ : ب جـ = ب ‪ C + C‬جـ ‬ ‫ ‬ ‫هـ‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫(1)‬ ‫(تعريف الجمع). ‬ ‫(تعريف الجمع).‬ ‫   فى 9 ‪ E C‬هـ : ‪ E‬هـ = ‪ C + C E‬هـ ‬ ‫(2)‬ ‫  = 1 ب ‪ C 1 + C‬جـ = 1 ( ب ‪ C + C‬جـ ). ‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ من (1)، (2) ينتج أن:‬ ‫وهو المطلوب‬ ‫‪ E‬هـ = 1 ب جـ ` ‪E‬هـ // ب جـ ‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫الحظ أن || ‪ E‬هـ || = 1 || ب جـ ||  فيكون طول ‪E‬هـ = 1 طول ب جـ‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ ‪ C‬ب جـ ‪ E‬شكل رباعى. س ص ع ل منتصفات األضالع ‪ C‬ب ، ب جـ ، جـ ‪ C E ، E‬على الترتيب.‬ ‫باستخدام المتجهات أثبت أن:‬ ‫أ الشكل س ص ع ل متوازى أضالع. ب محيط الشكل ‪ C‬ب جـ ‪ E‬يساوى مجموع طولى قطريه.‬ ‫ ‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ باستخدام المتجهات أثبت أن: قطرى متوازى األضالع ينصف كل منهما اآلخر.‬ ‫الحل‬ ‫‪E‬‬ ‫العمل والبرهان: نفرض أن م نقطة تنصيف ب ‪ E‬‬ ‫    ارسم المتجهين ‪ C‬م ، م جـ فيكون:‬ ‫(تعريف الجمع).‬ ‫    فى 9 ‪ C‬ب م: ‪ C‬م = ‪ C‬ب + ب م ‬ ‫ب‬ ‫(تعريف الجمع).‬ ‫    فى 9 جـ ‪ E‬م: م جـ = م ‪E + E‬جـ ‬ ‫   ‪ a‬ب م = م ‪ E‬عمالً ، ‪ C‬ب = ‪ E‬جـ (من متوازى األضالع).‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫   ` ‪ C‬م = م جـ‬ ‫كان فى نقطة م.‬ ‫    وحيث إن ‪ C‬م ، م جـ لهما نفس االتجاه وتشتر‬ ‫    `كل منهما يقع على نفس المستقيم، أى أن ‪ ، C‬م ، جـ على استقامة واحدة‬ ‫` م منتصف ‪ C‬جـ  ، م منتصف ب ‪ E‬عمال.‬ ‫    ‪ C || a‬م || = || م جـ ||  ‬ ‫ً‬ ‫    ` القطران ‪ C‬جـ ، ب ‪ E‬ينصف كل منهما اآلخر (وهو المطلوب).‬ ‫` بم = م‪E‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫‪C‬‬ ‫م‬ ‫جـ‬ ‫77‬
‫حاول أن تحل‬ ‫ ‬ ‫‌ فى الشكل المقابل: ‪C‬ب جـ ‪E‬شبه منحرف، ‪ // E C‬ب جـ ،‬ ‫‪ 1 = E C‬ب جـ ، ‪ C‬ب = ن‬ ‫2‬ ‫‪C‬‬ ‫ن‬ ‫مـ‬ ‫‪E‬‬ ‫س‬ ‫أ عبر بداللة ‪ ، W‬ن عن كل من:‬ ‫ ‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫ ‬ ‫ب جـ ، ‪ C‬جـ ، ‪ E‬جـ ، ‪ E‬ب‬ ‫ب إذا كانت س∈ ‪ C‬جـ حيث ‪ C‬س = 1 ‪ C‬جـ، أثبت أن النقط ‪ ،E‬س، ب تقع على استقامة واحدة.‬ ‫ ‬ ‫3‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ باستخدام المتجهات أثبت أن النقط ‪ ،)4 ،1( C‬ب(-1، -2)، جـ(2، -3) هى رؤوس مثلث قائم الزاوية فى ب.‬ ‫الحل‬ ‫ فى المثلث ‪ C‬ب جـ:‬ ‫‪ C‬ب = ب - ‪ ،     C‬‬ ‫ ‬ ‫جـ ب = ب - جـ‬ ‫   = (-1، -2) - (2، -3) = (-3، 1)‬ ‫= (-1، -2) - (1، 4) = (-2، -6) ‬ ‫ ‬ ‫ ‪ = 1 * )6-( + )3-( * )2-( a‬صفر ` ‪ C‬ب = جـ ب   ،  ‪c(X‬ب) = 09‪c‬‬ ‫ ` المثلث ‪ C‬ب جـ قائم الزاوية فى ب.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ باستخدام المتجهات أثبت أن النقط ‪ ،)4 ،3( C‬ب(1، -1)، جـ(-4، -3)، ‪ )2 ،2(E‬هى رؤوس معين‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‪ C‬ب جـ ‪ E‬مربع، إذا كانت ‪ ،)2 ،8( C‬ب(3، -1)، جـ(0، 4) فأوجد باستخدام المتجهات إحداثيى نقطة ‪ E‬ومساحة‬ ‫سطح المربع.‬ ‫ة‬ ‫ثانيًا: تطبيقات فيزيائي ‬ ‫‪Physical Applications‬‬ ‫نشاط (1)‬ ‫1- إذا أثرت قوة مقدارها 6 نيوتن باتجاه الشرق على مكعب خشبى‬ ‫ ‬ ‫واخترنا أن تمثل كل 3 نيوتن على الرسم بقطعة مستقيمة موجهة‬ ‫طولها سنتيمترا واحدا، ما طول المتجه الذى يمثل هذه القوة؟ إذا‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫أثرت قوة إضافية مقدارها 3 نيوتن باتجاه الشرق على المكعب. ما‬ ‫مقدار القوة المؤثرة على الجسم عندئذ؟‬ ‫وما طول القطعة المستقيمة الموجهة التى تمثل هذه القوة على الرسم؟‬ ‫ ‬ ‫87‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ق1 = 6 نيوتن‬ ‫ق1 = 6 نيوتن‬ ‫ق2 = 3 نيوتن‬ ‫ق = ..... نيوتن‬
‫تاهجتملا ىلع تاقيبطت‬ ‫2- عند محاولتك لتحريك كتاب على سطح نضد أفقى خشن قد تشعر‬ ‫ ‬ ‫ بمقاومة سطح النضد كة الكتاب وهى ما تعرف بقوة االحتكاك.‬ ‫لحر‬ ‫ إذا تحرك الكتاب على سطح النضد، فأى القوتين تكون األكبر:‬ ‫القوة المؤثرة لتحريك الكتاب أم قوة االحتكاك؟‬ ‫ ‬ ‫قوة دفع‬ ‫قوة احتكاك‬ ‫القوة المحصلة‬ ‫‪Resultant Force‬‬ ‫تخضع القوى المؤثرة على جسم لعملية جمع المتجهات، ويعرف ناتج هذه العملية بمحصلة القوى ق‬ ‫(أو القوة المحصلة) المؤثرة على الجسم حيث ق = ق1 + ق2 + ...‬ ‫وعلى ذلك: إليجاد محصلة القوى المؤثرة على المكعب الخشبى:‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ق1 = 6 ى‬ ‫(1) اعتبر ى متجه وحدة فى اتجاه الشرق.‬ ‫ ‬ ‫فيكون ق = ق1 + ق2 = 6 ى + 3 ى = 9 ى‬ ‫ق2 = 3 ى‬ ‫أى إن: ق = 9 نيوتن، وتعمل فى اتجاه الشرق.‬ ‫ ‬ ‫(2) إليجاد محصلة القوى المؤثرة على الكتاب عند محاولة تحريكه بقوة ق‬ ‫1‬ ‫مقدارها 5 نيوتن كان مقدار قوة االحتكاك 3 نيوتن اعتبر ى متجه وحدة‬ ‫و‬ ‫فى اتجاه كة الكتاب.‬ ‫حر‬ ‫ ` قوة الدفع: ق1 = 5 ى‬ ‫ ‬ ‫  قوة االحتكاك: كـ = - 3 ى‬ ‫ ‬ ‫  ويكون ق = ق1 + كـ = 5 ى - 3 ى = 2 ى‬ ‫ أى إن: ق = 2 نيوتن، وتعمل فى اتجاه كة الكتاب.‬ ‫حر‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد محصلة القوى المؤثرة ق فى كل ممايأتى:‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫07 نيوتن‬ ‫04 ث كجم‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫ق1 = 5 ى‬ ‫كـ = -3 ى‬ ‫م‬ ‫أض‬ ‫علو‬ ‫ف إل‬ ‫ى‬ ‫ما‬ ‫تك‬ ‫وحدات القوة‬ ‫داين - نيوتن‬ ‫ثقل الجرام (ث جم)‬ ‫ثقل الكيلو جرام (ث كجم).‬ ‫07 نيوتن‬ ‫03 ث كجم‬ ‫ج‍‬ ‫د‬ ‫05 ث كجم‬ ‫51 ث كجم‬ ‫51 ث كجم‬ ‫03 ث كجم‬ ‫001 ث كجم‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫97‬
‫3- إذا أثرت القوى: ق1 = 2 ‪  ،  N + M‬ق2 = ‪  ،  N 7 + M‬ق3 = ‪ N 5 - M‬فى نقطة‬ ‫مادية.‬ ‫ احسب مقدار واتجاه محصلة هذه القوى (القوى مقاسه بالنيوتن).‬ ‫ ‬ ‫ص‬ ‫الحل‬ ‫‪ a‬محصلة القوى ق = ق1 + ق2 + ق‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫3‬ ‫` ق = (2 + 1 + 1) ‪N )5 - 7 + 1( + M‬‬ ‫  = 4 ‪N 3+ M‬‬ ‫‪X‬‬ ‫س‬ ‫‪i‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪N‬‬ ‫و‬ ‫مقدار المحصلة =|| ق || = (4)2 + (3)2 = 5 نيوتن  ‬ ‫اتجاه المحصلة: ‪ = i‬طا-1 ( 3 ) - 73‪.c‬‬ ‫4‬ ‫ ‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ القوى: ق1 = 2 ‪  ،  N 3 + M‬ق2 = ‪  ،  N + M C‬ق3 = 5 ‪ + M‬ب ‪ N‬تؤثر فى نقطة مادية.‬ ‫ ‬ ‫أوجد قيمتى ‪ ،C‬ب إذا كانت محصلة هذة القوى ق :‬ ‫ ‬ ‫ب ق = 0 .‬ ‫أ ق = 5‪. N 2 - M‬‬ ‫ ‬ ‫فكر: ما معنى أن محصلة عدة قوى متالقية فى نقطة واحدة = 0‬ ‫نشاط (2)‬ ‫السرعة النسبية‬ ‫‪Relative Velocity‬‬ ‫كة (‪ )C‬والحظت سرعة سيارة أخرى (ب) تتحرك فى نفس اتجاه كة السيارة (‪)C‬‬ ‫حر‬ ‫أثناء جلوسك فى سيارة متحر‬ ‫فإنك تشعر أن سرعة السيارة (ب) أقل من سرعتها األصلية. أما إذا كت السيارة (ب) فى عكس اتجاه كة‬ ‫حر‬ ‫تحر‬ ‫السيارة (‪ )C‬فإنك تشعر أن سرعة السيارة (ب) أكبر من سرعتها األصلية.‬ ‫الحظ أن: السرعة النسبية لجسم (ب) بالنسبة إلى جسم آخر (‪ )C‬ويرمز لها بالرمز عب ‪ ، C‬هى السرعة التى يبدو‬ ‫كًا بها إذا اعتبر الجسم (‪ )C‬فى حالة سكون.‬ ‫الجسم (ب) متحر‬ ‫فإذا كان: ع ‪ C‬سرعة السيارة ‪ C‬الفعلية، عب سرعة السيارة ب الفعلية.‬ ‫فإن:‬ ‫عب ‪ = C‬عب - ع‬ ‫‪C‬‬ ‫فكر ماذ تعنى ع ‪ C‬ب ؟‬ ‫08‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫تاهجتملا ىلع تاقيبطت‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ تتحرك سيارة (‪ )C‬على طريقة مستقيم بسرعة 07 كم /س وتتحرك السيارة (ب) على نفس الطريق بسرعة‬ ‫09كم/س. أوجد سرعة السيارة (‪ )C‬بالنسبة إلى السيارة (ب) عندما:‬ ‫أ تتحرك السيارتان فى اتجاه واحد.‬ ‫ ‬ ‫ب تتحرك السيارتان فى اتجاهين متضادين.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫باعتبار ى متجه وحدة فى نفس اتجاه سرعة السيارة ‪C‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫أ السيارتان كان فى اتجاه واحد:‬ ‫تتحر‬ ‫ع ‪ 70 = C‬ى‬ ‫09 ى‬ ‫عب = 09 ى‬ ‫ع‬ ‫‪C‬ب‬ ‫ى‬ ‫= ع‪ - C‬ع‬ ‫ب‬ ‫07 ى‬ ‫ب‬ ‫   = 07 ى - 09 ى = 02 ى‬ ‫‪C‬‬ ‫أى إن راكب السيارة (ب) يشعر أن السيارة ‪ C‬تتحرك نحوه بسرعة 02كم/س.‬ ‫ب السيارتان كان فى اتجاهين متضادين:‬ ‫تتحر‬ ‫ع ‪ 70 = C‬ى‬ ‫-09 ى‬ ‫عب = - 09 ى‬ ‫ع‬ ‫‪C‬ب‬ ‫= ع‪ - C‬ع‬ ‫ب‬ ‫   = 07 ى - (- 09 ى ) = 061 ى‬ ‫ب‬ ‫ى‬ ‫07 ى‬ ‫‪C‬‬ ‫أى إن راكب السيارة (ب) يشعر أن السيارة ‪ C‬تتحرك نحوه بسرعة 061كم/س.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ تتحرك سيارة على طريق مستقيم بسرعة 09كم/س. إذا كت دراجة بخارية بسرعة 04كم/س على‬ ‫تحر‬ ‫نفس الطريق. فأوجد سرعة الدراجة البخارية بالنسبة إلى السيارة عندما كان فى نفس االتجاه.‬ ‫يتحر‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫18‬
‫ملخص الوحدة‬ ‫× ×الكميات القياسية ‪ :Scalars‬هى كميات تتحدد تماما بمعرفة مقدارها فقط مثل الطول والمساحة والكثافة.‬ ‫ً‬ ‫× ×الكميات المتجهة ‪ :Vectors‬هى كميات تتحدد تماما بمعرفة مقدارها واتجاهها مثل اإلزاحة والسرعة والقوة.‬ ‫ً‬ ‫× ×القطعة المستقيمة الموجهة ‪ :Directed Line Segment‬هى قطعة مستقيمة لها نقطة بداية، نقطة نهاية، اتجاه.‬ ‫× ×معيار القطعة المستقيمة الموجهة ‪ C‬ب هو طول ‪ C‬ب ويرمز لها بالرمز || ‪C‬ب ||.‬ ‫× ×تتكافأ القطعتان المستقيمتان الموجهتان إذا كان لهما نفس المعيار ونفس االتجاه.‬ ‫× ×متجه الموضع ‪ :Position Vector‬متجه الموضع لنقطة معلومة بالنسبة لنقطة األصل هو القطعة المستقيمة‬ ‫الموجهة التى بدايتها نقطة األصل ونهايتها النقطة المعلومة.‬ ‫× ×معيار المتجه ‪ :Norm‬هو طول القطعة المستقيمة الممثلة للمتجه.‬ ‫× ×الصورة القطبية لمتجه الموضع ‪ )i ،|| S ||( = S :Polar Form S‬حيث ‪ i‬قياس الزاوية التى يصنعها‬ ‫المتجه مع اتجاه ثابت.‬ ‫× ×المتجه الصفرى يرمز له بالرمز و أو( 0 ) ‪ :Zero Vector‬يعرف و = (0، 0) بالمتجه الصفرى حيث:‬ ‫|| و || = || 0 || = 0 وهو غير معين االتجاه.‬ ‫× ×المتجهات ‪ :Vectors‬هى عناصر المجموعة ح2 مع عمليتى الجمع والضرب فى عدد حقيقى المعرفتين عليها.‬ ‫× ×خواص عملية جمع المتجهات: مغلقة - إبدالية - دامجة - و عنصر محايد - لكل‬ ‫× ×خواص ضرب متجه فى عدد حقيقى‬ ‫ خاصية التوزيع: لكل ‪ ، C‬ب ∈ ح2 ،‬ ‫     ولكل ‪ ∈ C‬ح2   ،‬ ‫ خاصية التجميع: لكل ‪ ∈ C‬ح2   ،‬ ‫ خاصية الحذف: لكل ‪ ، C‬ب ∈ ح2 ،‬ ‫‪C‬‬ ‫∈ ح2 يوجد - ‪ ∈ C‬ح2.‬ ‫   يكون: ك ( ‪ + C‬ب ) = ك ‪ + C‬ك ب‬ ‫لكل ك ‬ ‫∈ح‬ ‫لكل ك1 ، ك2 ∈ ح  يكون: (ك1 + ك2) ‪ = C‬ك1 ‪+ C‬ك2 ‪C‬‬ ‫لكل ك1 ، ك2 ∈ ح  يكون: (ك1 + ك2) ‪ = C‬ك1(ك2 ‪) C‬‬ ‫لكل ك ∈ح إذا كان ك ‪ = C‬ك ب فإن ‪ = C‬ب والعكس صحيح.‬ ‫× ×متجه الوحدة هو متجه معياره وحدة واحدة‬ ‫× ×متجه الوحدة األساسى ‪ M‬وهو القطعة المستقيمة الموجهة التى مبدؤها نقطة األصل ومعيارها الوحدة‬ ‫واتجاهها هو االتجاه الموجب لمحور السينات ويكتب ‪)0 ،1( = M‬‬ ‫× ×متجه الوحدة األساسى ‪ N‬وهو القطعة المستقيمة الموجهة التى مبدؤها نقطة األصل ومعيارها الوحدة‬ ‫واتجاهها هو االتجاه الموجب لمحور الصادات ويكتب ‪.)1 ،0( = N‬‬ ‫× ×التعبير عن المتجه بداللة متجهى الوحدة األساسيين إذا كان‬ ‫28‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫‪C‬‬ ‫= (‪ )2C ، 1C‬فإن‬ ‫‪C‬‬ ‫= ‪. N 2C + M 1C‬‬
‫ملخص الوحدة‬ ‫× ×المتجهان المتوازيان: يقال لمتجهين مـ ، ن أنهما متوازيان إذا كانت أى قطعة مستقيمة موجهة تمثل‬ ‫أحدهما توازى أى قطعة مستقيمة موجهة تمثل اآلخر أو محتواه معها فى مستقيم.‬ ‫× ×المتجهان المتعامدان: يقال لمتجهين مـ ، ن أنهما متعامدان إذا كان المستقيم الذى يحمل قطعة مستقيمة‬ ‫موجهة ممثلة ألحدهما عمودى على المستقيم الذى يحمل قطعة مستقيمة موجهة ممثلة لآلخر.‬ ‫× ×شرطا التوازى والمتعامد: إذا كان مـ ، ن متجهين غير صفريين حيث مـ = (س1، ص1)، ن = (س2، ص2)‬ ‫  فإن: (1) مـ // ن إذا كان: س1 ص2 - س2 ص1 = 0 والعكس صحيح.‬ ‫ ‬ ‫(2) مـ = ن إذا كان: س1 س2 - ص1 ص2 = 0 والعكس صحيح.‬ ‫ ‬ ‫× ×يمكن ضرب متجه بعدد حقيقى، فإذا كان مـ = (س1، ص1)، ك ∈ ح‬ ‫فإن ك مـ = ك (س1 ، ص1)= (ك س1 ، ك ص1)‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫وإذا كان ك ! 0، م متجه غير صفرى فإن مـ // ك مـ‬ ‫اتجاه ك مـ هو نفس اتجاه مـ لكل ك 0‬ ‫ ‬ ‫اتجاه ك مـ هو عكس اتجاه مـ لكل ك 0‬ ‫ ‬ ‫جـ‬ ‫مـ‬ ‫‪ C‬ب - ‪C‬جـ = جـ ب‬ ‫ن‬ ‫+‬ ‫ن‬ ‫‪C‬‬ ‫ ‪Subtracting Vectors Geometrically‬‬ ‫مـ‬ ‫مـ‬ ‫ب‬ ‫+‬ ‫ن‬ ‫‪E‬‬ ‫جـ‬ ‫ن‬ ‫جـ‬ ‫ن‬ ‫مـ‬ ‫ب‬ ‫× ×طرح المتجهات هندسيا:‬ ‫ً‬ ‫مـ‬ ‫قاعدة متوازى األضالع‬ ‫ب‪ + C‬ب جـ = ب هـ‬ ‫ ‬ ‫      = 2 ب ‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫- ن‬ ‫× ×جمع المتجهات هندسيا‬ ‫ً‬ ‫قاعدة المثلث‬ ‫‪ C‬ب + ب جـ = ‪ C‬جـ‬ ‫  ‪Adding Vectors Geometrically‬‬ ‫× ×التعبير عن ‪ C‬ب بداللة متجهى الموضع لطرفيها.‬ ‫  إذا كان ‪(C‬س1، ص1) ، ب (س2، ص2)  فإن: ‪ C‬ب = ب -‬ ‫ب‬ ‫مـ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫× ×تطبيقات على المتجهات:‬ ‫ (1) تطبيقات هندسية (إلثبات النظريات وحل مشكالت حياتية بنمذجتها).‬ ‫ (2) تطبيقات فيزيائية (أنشطة)‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫38‬
‫-‬ ‫الوحدة‬ ‫4‬ ‫الهندسة‬ ‫التحليلية‬ ‫الخط المستقيم‬ ‫‪Straight Line‬‬ ‫أهداف الوحدة‬ ‫في نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:‬ ‫ً‬ ‫• •يوجد إحداثيى نقطة تقسيم قطعة مستقيمة من الداخل أو‬ ‫الخارج إذا علمت نسبة التقسيم.‬ ‫• •يوجد النسبة التى تنقسم بها قطعة مستقيمة من الداخل أو من‬ ‫الخارج إذا علم إحداثيات نقطة التقسيم.‬ ‫• •يتعرف الصور المختلفة لمعادلة الخط المستقيم.‬ ‫• •يوجد المعادلة المتجهة والمعادالت البارامترية، والمعادلة‬ ‫الكارتيزية للخط المستقيم.‬ ‫• •يوجد الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم.‬ ‫• •يوجد معادلة الخط المستقيم بداللة األجزاء المقطوعة من‬ ‫محورى اإلحداثيات.‬ ‫• •يوجد قياس الزاوية الحادة بين مستقيمين.‬ ‫• •يوجد طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم.‬ ‫• •يوجد المعادلة العامة للمستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين.‬ ‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪Ñ Ñ‬نقطة تقسيم‬ ‫‪Ñ Ñ‬متجه اتجاه مستقيم‬ ‫‪Ñ Ñ‬معادلة متجهة‬ ‫‪Ñ Ñ‬معادلة بارامترية‬ ‫‪point of division‬‬ ‫‪direction vector of Straight line direction‬‬ ‫‪Vector equation‬‬ ‫‪parametric Equation‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬معادلة كارتيزية‬ ‫‪Ñ Ñ‬معادلة عامة‬ ‫‪Ñ Ñ‬زاوية بين مستقيمين‬ ‫‪Ñ Ñ‬طول عمود‬ ‫‪Cartesian Equation‬‬ ‫‪General Equation‬‬ ‫‪Angle between two straight lines‬‬ ‫‪Length of perpendicular‬‬
‫دروس الوحدة‬ ‫الدرس (4 - 1): تقسيم قطعة مستقيمة.‬ ‫الدرس (4 - 2): معادلة الخط المستقيم.‬ ‫الدرس (4 - 3): قياس الزاوية بين مستقيمين.‬ ‫الدرس (4 - 4): طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط‬ ‫مستقيم.‬ ‫الدرس (4 - 5): المعادلة العامة للمستقيم المار بنقطة‬ ‫تقاطع مستقيمين.‬ ‫األدوات المستخدمة‬ ‫آلة حاسبة علمية - حاسب آلى - برامج رسم بيانى.‬ ‫نبذه تاريخية‬ ‫تعد الهندسة التحليلية أحد الفروع األساسية للرياضيات‬ ‫لما لها من أهمية بالغة عند دراسة معظم العلوم الرياضية‬ ‫والتطبيقات الفيزيائية والعلوم التقنية، ولقد ساعدت على‬ ‫دراسة الفضاء وخواصه الهندسية في العصر الحديث، وترتبط‬ ‫بكل ما هو جديد، حيث إنها تُعتبر األساس فى تفسير الصور‬ ‫فى علم الكمبيوتر.‬ ‫اً‬ ‫وتعتبر الهندسة التحليلية مدخل لدراسة الهندسة‬ ‫التفاضلية (هندسة الحركة) والهندسة الجبرية، حيث إن‬ ‫الهندسة التفاضلية تختص بدراسة األشكال الهندسية وخاصة‬ ‫المنحنيات والسطوح من حيث خواصها الهندسية، وذلك‬ ‫بتطبيق حساب التفاضل والتكامل، وقد ابتكر العلماء النظام‬ ‫اإلحداثى المكون من محورين متعامدين ومتقاطعين (محور‬ ‫السينات ومحور الصادات) والذى بواسطته يمكن التعبير عن‬ ‫كل نقطة فى المستوى بعددين حقيقيين (س، ص) وباستخدام‬ ‫النظام اإلحداثى امكن اثبات صحة خواص الهندسة اإلقليدية‬ ‫معبرا عن المستقيمات والمنحنيات بمعادالت جبرية باعتبارها‬ ‫ً‬ ‫مسارات لنقط عامة تتحرك بشروط تحكم العالقة بين‬ ‫(س، ص)، ولقد يسرت الهندسة التحليلية الكثير من‬ ‫المعالجات فى فروع الرياضيات المختلفة، كما كانت من‬ ‫عوامل تطورها والتعامل بينها.‬ ‫مخطط تنظيمي للوحدة‬ ‫الخط المستقيم‬ ‫تقسيم قطعة‬ ‫مستقيمة‬ ‫من الداخل‬ ‫الصور المختلفة‬ ‫لمعادلة المستقيم‬ ‫العالقة بين‬ ‫مستقيمين‬ ‫إيجاد طول العمود‬ ‫المرسوم من نقطة‬ ‫إلى خط مستقيم.‬ ‫الصورة المتجهة‬ ‫متوازيين‬ ‫من الخارج‬ ‫متعامدين‬ ‫متجه اتجاه متجه اتجاه‬ ‫المستقيم‬ ‫العمودى‬ ‫الصورة البارمترية‬ ‫يحصران بينهما زاوية حادة‬ ‫أنشطة وتطبيقات حياتية‬ ‫الصورة الكارتيزية‬ ‫الصورة العامة لمعادلة‬ ‫الخط المستقيم‬ ‫ميل الخط المستقيم‬ ‫فى الصورة العامة‬ ‫تكوين معادلة الخط المستقيم‬ ‫بمعلومية الميل ونقطة‬ ‫فى الصورة المتجهة‬ ‫بمعلومية نقطتين تقعان على المستقيم‬ ‫بمعلومية نقطتين‬ ‫الميل والجزء المقطوع من محور الصادات‬ ‫بمعلومية ظل الزاوية‬ ‫الموجبة مع االتجاه‬ ‫الموجب لمحور السينات‬ ‫الجزءان المقطوعان من محورى‬ ‫اإلحداثيات‬ ‫المستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين‬
‫تقسيم قطعة مستقيمة‬ ‫4 ‍‬ ‫‪Division of a line segment‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫مفهوم التقسيم من الداخل‬ ‫مفهوم التقسيم من اخلارج‬ ‫إجياد نسبة التقسيم‬ ‫فكر‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫سبق أن درست إيجاد إحداثيى نقطة منتصف قطعة مستقيمة، فهل يمكنك إيجاد‬ ‫إحداثيى نقطة تقسيم قطعة مستقيمة من الداخل أو الخارج إذا علمت نسبة التقسيم؟‬ ‫�أوالً: �إيجاد �إحداثيى النقطة التى تق�سم قطعة م�ستقيمة معلومة بن�سبة معينة:‬ ‫‪Coordinates of the point of division of a line segment‬‬ ‫‬ ‫1- التقي�سم من الداخل‬ ‫(س، ص)‬ ‫إذا كانت جـ ∈ ‪ C‬ب فإن النقطة جـ‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫تقسيم من الداخل‬ ‫‪Internal Division‬‬ ‫‬ ‫ تقسيم من اخلارج‬ ‫‬ ‫‪External Division‬‬ ‫نسبة التقسيم‬ ‫‬ ‫‪Ratio of Division‬‬ ‫تقسم ‪ C‬ب من الداخل بنسبة ل2 : ل‬ ‫‪ C‬جـ ل‬ ‫ل‬ ‫حيث ل2 0 فيكون جـ ب =‬ ‫ل‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫ل‬ ‫1‬ ‫جـ‬ ‫2‬ ‫‪C‬‬ ‫(س1، ص1)‬ ‫ويكون للقطعتين الموجهتين ‪ C‬جـ ، جـ ب‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫نفس األتجاه، أى أن: ل1 * ‪ C‬جـ = ل2 * جـ ب‬ ‫ل‬ ‫1‬ ‫ب‬ ‫1‬ ‫شكل (1)‬ ‫وإذا فرضنا أن ‪(C‬س1، ص1)، ب(س2، ص2)، جـ(س، ص)‬ ‫فإن ‪ S ، 2S ، 1S‬هى المتجهات الممثلة بالقطع المستقيمة الموجهة و ‪، C‬‬ ‫وباستخدام طرح المتجهات: ل1 ( و جـ - و ‪ = ) C‬ل2 ( و ب - و جـ )‬ ‫األدوات ‬ ‫والوسائل‬ ‫ ‬ ‫بالتوزيع‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫فيكون‬ ‫أى أن:‬ ‫68‬ ‫2‬ ‫و‬ ‫و ب ، و جـ على الترتيب، حيث و نقطة األصل لنظام إحداثى متعامد.‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫(س2، ص2)‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ل1 ( ‪ = ) 1S - S‬ل2 ( ‪) S - 2S‬‬ ‫ل1 ‪ - S‬ل1 ‪ = 1S‬ل2 ‪ - 2S‬ل2 ‪S‬‬ ‫ل1 ‪ + S‬ل2 ‪ = S‬ل1 ‪ + 1S‬ل2 ‪S‬‬ ‫2‬ ‫‪(  S‬ل1 + ل2) = ل1 ‪ + 1S‬ل2 ‪S‬‬ ‫ل1 ‪ + 1S‬ل2 ‪S‬‬ ‫‪= S‬‬ ‫ل1 + ل‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫وت�سمى بال�صيغة المتجهة‬
‫ةميقتسم ةعطق ميسقت‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ،)1 - ،2( C‬ب (- 3، 4) فأوجد إحداثيى النقطة جـ التى تقسم ‪ C‬ب من الداخل بنسبة 3 : 2‬ ‫بالصيغة المتجهة‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫بفرض جـ (س، ص)‬ ‫‪ )1- ،2( C a‬‬ ‫ل2 : ل1 = 3 : 2‬ ‫` ‪)1- ،2( = 1S‬‬ ‫` ‪)4 ،3-( = 2S‬‬ ‫،    ‪ a‬ب (-3، 4) ‬ ‫ل1 ‪ + 1S‬ل2 ‪S‬‬ ‫‪= S a‬‬ ‫ل1 + ل‬ ‫2‬ ‫(-5،‬ ‫` ‪)2 ،1-( = )105 = )12 ،9-(5+ )2- ،4( = )4 ،3-(3 + )1- ،2(2 = S‬‬ ‫2+3‬ ‫` إحداثيا النقطة جـ هما (-1، 2)‬ ‫2‬ ‫ال�صيغة الإحداثية:‬ ‫ل1(س1، ص1) + ل2(س2، ص2) (ل1 س1 + ل2 س2، ل1 ص1 +ل2 ص2)‬ ‫=‬ ‫(س، ص) =‬ ‫ل1 + ل‬ ‫ل1 + ل‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ل1 س1 + ل2 س2 ل1 ص1 + ل2 ص‬ ‫،‬ ‫(س ، ص) = ‪l‬‬ ‫ل1 + ل‬ ‫ل1 + ل‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ومنها ينتج أن:‬ ‫2‪b‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ حل المثال السابق باستخدام الصيغة اإلحداثية.‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫الحل‬ ‫(س، ص) = ‪)2 ،1-( = _ 4 * 33++1- * 2 ، 3- *33++22 * 2 i‬‬ ‫2‬ ‫ب (-3، 4)‬ ‫جـ (س، ص)‬ ‫‪)1- ،2( C‬‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ،)2 ،4( C‬ب (8، -6) فأوجد إحداثيي النقطة جـ التى تقسم ‪ C‬ب من الداخل بنسبة 1 : 3‬ ‫2- التقي�سم من الخارج‬ ‫ل‬ ‫إذا كانت جـ ∈ ‪ C‬ب ،جـ ∉ ‪ C‬ب فإن جـ تقسم ‪ C‬ب من الخارج بنسبة ل2 : ل1 حيث ل2 0 وبالتالى تكون‬ ‫1‬ ‫إحدى القيمتين ل1 أو ل2 موجبة واألخرى سالبة، ويكون هناك احتماالن، واألشكال التالية توضح ذلك:‬ ‫جـ (س، ص)‬ ‫جـ ∈ ب ‪، C‬جـ ∉ ‪ C‬ب‬ ‫‪( C‬س1، ص1) ب (س2، ص2)‬ ‫‪S‬‬ ‫شكل (2)‬ ‫‪S‬‬ ‫1‬ ‫و‬ ‫‪S‬‬ ‫2‬ ‫جـ ∈ ‪ C‬ب ،جـ ∉ ‪ C‬ب‬ ‫ب (س2، ص2)‬ ‫‪( C‬س1، ص1)‬ ‫‪S‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫1‬ ‫‪S‬‬ ‫شكل (3)‬ ‫2‬ ‫و‬ ‫جـ (س، ص)‬ ‫‪S‬‬ ‫78‬
‫مـثـال‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ،)0 ،2( C‬ب (1، -1) فأوجد إحداثيى النقطة جـ التى تقسم ‪ C‬ب من الخارج بنسبة 5 : 4.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫‪)1 - ،1( = 2S ،)0 ،2( = 1S a‬‬ ‫ل‬ ‫ل1 0 أى سالبة ‬ ‫ ، ل 2 : ل1 = 5 : - 4 ‬ ‫2‬ ‫ل1 ‪ + 1S‬ل2 ‪S‬‬ ‫2‬ ‫، ‪ S‬‬ ‫=‬ ‫ل +ل‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫4(2، 0) + 5 (1، - 1)‬‫` ‪ = S‬‬ ‫-4 + 5‬ ‫ ‬ ‫` إحداثيا نقطة جـ هما (-3، -5)‬ ‫ ‬ ‫  ‪ )5 - ،3 -( = )5 – 0 ،5 + 8 -( = S‬‬ ‫بالتعويض‬ ‫ ‬ ‫ب (1، -1)‬ ‫ ‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫(2، 0)‬ ‫5‬ ‫ب (1، -1)‬ ‫الحظ أن: إذا كانت جـ منتصف ‪ C‬ب حيث ‪( C‬س1، ص1)، ب(س2، ص2)‬ ‫فإن: ل1 = ل2 = (ل مثل) ويكون‬ ‫اً‬ ‫ الصيغة المتجهة‬ ‫س1 + س2 ص1 + ص‬ ‫،‬ ‫(س، ص) = ‪k‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫(س، ص)‬ ‫بالجمع والتبسيط‬ ‫   = (-3، -5)‬ ‫+‬ ‫  ‪ 2S 2 1S =   S‬‬ ‫4‬ ‫بالتوزيع‬ ‫ الصيغة اإلحداثية:‬ ‫0‬ ‫ (س، ص) = ‪_ 1- *55++4-* 4- ، 1* 5 + 2 * 4- i‬‬ ‫4+5‬‫ ‬ ‫5‬ ‫الصيغة الرياضية للقانون‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫(2، 0)‬ ‫2‬ ‫‪ a‬الصيغة اإلحداثية‬ ‫‪( C‬س1، ص1)‬ ‫جـ‬ ‫4‬ ‫جـ‬ ‫ب (س2، ص2)‬ ‫(س، ص)‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫1‬ ‫(س، ص)‬ ‫و‬ ‫‪S‬‬ ‫2‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان جـ (2، 4) منتصف ‪ C‬ب حيث ‪( C‬س، 4)، ب (1، ص) أوجد كل من س، ص‬ ‫اًّ‬ ‫ثانيًا: �إيجاد ن�سبة التق�سيم‬ ‫‪Finding the ratio of Division‬‬ ‫إذا كانت النقطة جـ تقسم ‪ C‬ب بنسبة ل2 : ل1 كان:‬ ‫و‬ ‫ل‬ ‫1- نسبة التقسيم ل2 0 كان التقسيم من الداخل.‬ ‫2- نسبة التقسيم‬ ‫ل‬ ‫1‬ ‫ل2 ‬ ‫1‬ ‫0 كان التقسيم من الخارج.‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ،)2 ،5( C‬ب (2، - 1) فأوجد النسبة التى تنقسم بها ‪ C‬ب بكل من نقط تقاطع ‪ C‬ب مع محورى‬ ‫اإلحداثيات، مبينا نوع التقسيم فى كل حالة، ثم أوجد إحداثيى نقطة التقسيم.‬ ‫ً‬ ‫88‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫ةميقتسم ةعطق ميسقت‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫ً‬ ‫أوال: نفرض أن محور السينات يقطع ‪ C‬ب في النقطة جـ (س، 0)‬ ‫ل1 ص1 + ل2 ص‬ ‫‪ C‬جـ ل‬ ‫حيث جـ ب = ل2 فيكون: ص =‬ ‫ل1 + ل‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫ل1 (2) + ل2 (-1) 2ل1 - ل‬ ‫2‬ ‫=‬ ‫`0=‬ ‫ل1 + ل‬ ‫ل1 + ل‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ل‬ ‫(نسبة التقسيم)‬ ‫` ل2 = 2 ‬ ‫` 2ل1 = ل2 ‬ ‫1 1‬ ‫ل‬ ‫` التقسيم من الداخل بنسبة 2 : 1‬ ‫‪ a‬ل2 0 ‬ ‫1‬ ‫ل1 س1 + ل2 س‬ ‫2 ، 0‪ a‬أى ‪a0 ، 2 * 2 + 5 * 1 k‬‬ ‫` إحداثيا جـ هما ‪k‬‬ ‫1+2‬ ‫ل1 + ل‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ص‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫‪)2 ،5( C‬‬ ‫ل‬ ‫2‬ ‫س‬ ‫جـ ل‬ ‫6 5 4 3 2 1‬ ‫و‬ ‫1‬ ‫1 -2‬‫1‬‫2‬‫3‬‫-4‬ ‫ب‬ ‫(2، -1)‬ ‫ويكون إحداثيا نقطة جـ هما (3، 0)‬ ‫ثانيا: المستقيم يقطع محور الصادات في النقطة ‪E‬‬ ‫ً‬ ‫ص‬ ‫نفرض أن إحداثيى النقطة ‪ E‬هما (0، ص)‬ ‫ل1 س1 + ل2 س‬ ‫‪ EC‬ل‬ ‫حيث ‪ E‬ب = ل2 فيكون   س =‬ ‫1‬ ‫ل1 + ل‬ ‫2‬ ‫ل1 * 5 + ل2 * 2‬ ‫` 0=‬ ‫ل1 + ل‬ ‫2‬ ‫ل‬ ‫(نسبة التقسيم)‬ ‫ ` ل2 = - 5 ‬ ‫` 2 ل2 = -5ل‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫ل‬ ‫ ` التقسيم من الخارج نسبة 5 : 2‬ ‫‪ a‬ل2 0‬ ‫1‬ ‫إحداثيا نقطة ‪ E‬هما (0، ص) أى ‪1- * 5 + 2 * 2- ، 0k‬‬ ‫‪a‬‬ ‫2 + 5‬‫` إحداثيا ‪ E‬هما (0، -3)‬ ‫2‬ ‫س‬ ‫‪C‬‬ ‫(5، 2)‬ ‫جـ‬ ‫ل‬ ‫2‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1 -2‬‫6 5 4 3 2 1‬ ‫1‬‫(2، -1)ب ل‬ ‫1 -2‬ ‫3‬‫‪E‬‬ ‫-4‬ ‫فكر: فى المثال السابق استخدم الصورة المتجهة إليجاد النسبة التى تنقسم بها ‪ C‬ب بمحورى اإلحداثيات،‬ ‫ثم أوجد إحداثيى نقطة التقسيم.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ،)3 ،4 -( C‬ب (8، 6)، جـ ∈ ‪ C‬ب حيث جـ (س، 0)، فأوجد النسبة التى تنقسم بها ‪ C‬ب بالنقطة‬ ‫جـ مبينا نوع التقسيم، ثم أوجد قيمة س.‬ ‫ً‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ،)3 - ،0( C‬ب (3، 6) فأوجد إحداثيى النقطة جـ التى تقسم ب ‪ C‬من الداخل بنسبة 1 : 2‬ ‫‌ الربط بالمسافة: تتحرك سيارة نقل ركاب فى طريقها من المدينة أ إلى المدينة ب حيث ‪،)6 - ،5(C‬‬ ‫ب(- 1، 0) وتوقفت مرتين أثناء سيرها. أوجد إحداثيات النقطتين التى توقفت عندهما السيارة إذا كانت:‬ ‫ب توقفت فى ثلثى الطريق من جهة النقطة أ.‬ ‫أ توقفت فى منتصف الطريق. ‬ ‫ ‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫98‬
‫معادلة الخط المستقيم‬ ‫4 ‍‬ ‫‪Equation of the straight line‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫اجياد معادلة اخلط املستقيم‬ ‫بمعلومية نقطة معلومة ومتجة‬ ‫اجتاه له.‬ ‫اجياد الصورة العامة ملعادلة اخلط‬ ‫املستقيم.‬ ‫اجياد معادلة اخلط املستقيم‬ ‫بمعلومية األجزاء املقطوعة من‬ ‫املحورين.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫متجه اجتاه مستقيم‬ ‫ ‪vector direction of Straight line‬‬ ‫معادلة متجهة‬ ‫‪Vector equation‬‬ ‫معادلة بارامرتية‬ ‫‬ ‫‪Parametric equation‬‬ ‫معادلة كارتيزية ‪Cartisian equation‬‬ ‫معادلة عامة‬ ‫‪General equation‬‬ ‫فكر‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫سبق أن درست المعادلة العامة للخط المستقيم وهى:‬ ‫‪ C‬س + ب ص + جـ = 0 حيث ‪ ،C‬ب(كالهما معا) !0 ومثلتها بيانيا بخط مستقيم.‬ ‫ً‬ ‫ًّ‬ ‫ًّ‬ ‫بين أى من العالقات التالية تمثل خطا مستقيما:‬ ‫ً‬ ‫ج‍ ص = 3‬ ‫ب ص= س + 1 ‬ ‫أ 3س - 2ص = 5 ‬ ‫و س ص‬ ‫1‬ ‫ - =1‬ ‫ه‍ ص + = 2 ‬ ‫د س - 2 = 0 ‬ ‫س‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫الحظ أن المعادلة ‪ C‬س + ب ص + جـ = 0 حيث ‪ ،C‬ب اليساويان الصفر معا تسمى‬ ‫بالصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم.‬ ‫1- إذا كان ب = 0 ، ‪ 0 ! C‬فإن: ‪ C‬س +جـ = 0‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫أى أن: س = - جـ وهى معادلة مستقيم موازى لمحور الصادات‬ ‫‪C‬‬ ‫ويمر بالنقطة ( - جـ ، 0)‬ ‫‪C‬‬ ‫2- إذا كان ‪ ، 0 = C‬ب ! 0 فإن: ب ص +جـ = 0‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ جـ‬‫ أى أن: ص = ب وهى معادلة مستقيم موازى لمحور السينات‬ ‫ ‬ ‫ويمر بالنقطة (0، - جـ )‬ ‫ب‬ ‫فإن: ‪C‬س + ب ص = 0‬ ‫3- إذا كان جـ = 0 ‬ ‫ وهى معادلة مستقيم يمر بنقطة األصل.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫‬ ‫‪Scientific calculator‬‬ ‫‌ أى من المستقيمات اآلتية يكون موازيا لمحور الصادات، وأيها يكون مواز يا‬ ‫ً‬ ‫لمحور السينات، وأيها يمر بنقطة األصل، ثم أوجد إحداثيات نقاط التقاطع‬ ‫مع محورى اإلحداثيات (إن وجدت).‬ ‫ب س + 3ص = 0‬ ‫أ 2س + 3 = 0 ‬ ‫ ‬ ‫د ص–5=0‬ ‫ج‍ 2س + 3ص = 21 ‬ ‫ ‬ ‫تفكير ناقد: إذا كان ل خطًّا مستقيما، ق نقطة فى المستوى، ق ∉ ل‬ ‫ً‬ ‫فكم عدد المستقيمات التى تمر بالنقطة ق وتوازى الخط المستقيم ل؟‬ ‫09‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ق‬ ‫ل‬
‫ميقتسملا طخلا ةلداعم‬ ‫ميل الخط الم�ستقيم‬ ‫‪Slope of a straight line‬‬ ‫سبق أن عرفت أنه يلزم لتعيين الخط المستقيم تعينا تاما شرطان مثل نقطة‬ ‫ً ًّ‬ ‫معلومة ، ميل الخط المستقيم، كما علمت أن ميل الخط المستقيم (م) المار‬ ‫ص2 - ص‬ ‫بالنقطتين (س1، ص1) ، (س2، ص2) يساوى‬ ‫س2 - س‬ ‫1‬ ‫(س2، ص2)‬ ‫ص2 - ص‬ ‫(س1، ص1)‬ ‫1‬ ‫س2 - س‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫مالحظة (1) إذا كان ل1 // ل2  فإن  م1 = م‬ ‫   أى أنه إذا توازى مستقيمان فإن ميليهما يكونان متساويين، وعكس ذلك صحيح.‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫(2) إذا كان ل1 = ل2 فإن م1 * م2 = -1‬ ‫ ‬ ‫أى أنه حاصل ضرب ميلى المستقيمين المتعامدين = -1 وعكس ذلك صحيح.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد ميل الخط المستقيم المار بكل زوج من النقط التالية، وبين أيا من هذه المستقيمات متواز يا وأيها‬ ‫ً‬ ‫ًّ‬ ‫متعامد:‬ ‫ب (4، 0) ، (2، -1)‬ ‫أ ‬ ‫(3، 1) ، (-2، 5)‬ ‫ ‬ ‫د (-5، -2) ، (-1، 3)‬ ‫ج‍ ‬ ‫(7، -1) ، (3، -3)‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫م‬ ‫متجه اتجاه المستقي ‬ ‫‪Direction vector of a straight line‬‬ ‫كل متجه غير صفرى يمكن تمثيله بقطعة مستقيمة موجهة على خط مستقيم يسمى متجه‬ ‫اتجاه للخط المستقيم ل‬ ‫تعريف‬ ‫فإذا كانت النقاط ‪ ،C‬ب، جـ ∈ ل  فإن ‪ C‬ب ، ب جـ ، جـ ‪ C‬متجهات اتجاه للخط المستقيم.‬ ‫ل‬ ‫‪C‬‬ ‫ً‬ ‫فمثـــال: إذا كان ى = (2، 1) متجه اتجاه للمستقيم‬ ‫   فإن كل من المتجهات (4، 2)، (-2، -1)، (1، 1 )،... متجه اتجاه لهذا المستقيم.‬ ‫اًّ‬ ‫2‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫وبوجه عام إذا كان ى = (‪ ،C‬ب) متجه اتجاه للمستقيم‬ ‫ ‬ ‫فإن ك ى حيث ك ∈ ح – {0} متجه اتجاه لنفس المستقيم. لماذا؟‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‌ إذا كان ى = (2، -3) متجه اتجاه لمستقيم فأى مما يأتى يكون متجه اتجاه لنفس المستقيم؟‬ ‫أ ‬ ‫(-2، 3).‬ ‫ج‍ ‬ ‫(2، 3).‬ ‫ب ‬ ‫د ‬ ‫(-2، -3).‬ ‫(6، -9).‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫19‬
‫معادلة الم�ستقيم بمعلومية نقطة عليه ومتجه االتجاه له‬ ‫�أوالً: ال�صيغة المتجهة‬ ‫ ‪Vector form‬‬ ‫ن‬ ‫لتعيين معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ق، والمتجه ى متجه اتجاه له،‬ ‫ق‬ ‫نفرض نقطة ن تقع على الخط المستقيم ل.‬ ‫‪S‬‬ ‫وأن ‪ ، S‬ق هما المتجهان الممثالن بالقطعتين المستقيمتين الموجهتين‬ ‫ى‬ ‫ل‬ ‫ق‬ ‫و‬ ‫و ن ، و ق على الترتيب، حيث و أى نقطة فى المستوى.‬ ‫إذن، يوجد عدد ك ∈ ح – {0} بحيث أن ق ن = ‪ - S‬ق = ك ى‬ ‫وبالتالى فإن:‬ ‫‪ = S‬ق +ك ى‬ ‫تسمى هذه الصورة بالمعادلة المتجهة للخط المستقيم ل المار بالنقطة ق، والمتجه ى متجه اتجاه له.‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ اكتب المعادلة المتجهة للمستقيم الذى يمر بالنقطة (2، -3) ومتجه االتجاه له (1، 2).‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫بفرض أن المستقيم يمر بالنقطة ق (2، -3)  ، ‬ ‫ ‬ ‫` المعادلة المتجهة للمستقيم هى ‪ + )3 -،2( = S‬ك(1، 2).‬ ‫‪ = S a‬ق + ك ‬ ‫ى‬ ‫ ‬ ‫ى = (1، 2)‬ ‫ الصورة المتجهة لمعادلة المستقيم.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ اكتب المعادلة المتجهة للمستقيم الذى يمر بالنقطة (- 4،3) ومتجه االتجاه له (2،5).‬ ‫ثانيًا: المعادالت الو�سيطية (البارامترية)‬ ‫‪The parametric equations‬‬ ‫المعادلة المتجهة هى ‪ = S‬ق + ك ى‬ ‫(س، ص)‬ ‫إذا كانت ق (س1، ص1) ، ‪( S‬س، ص) بالنسبة لنظام إحداثى متعامد،‬ ‫‪S‬‬ ‫ى‬ ‫و نقطة األصل، كان ى = (‪ ،C‬ب)‬ ‫و‬ ‫فإن معادلة المستقيم هي (س ، ص) = (س1 ، ص1) + ك ( ‪ ، C‬ب)‬ ‫ومنها ينتج أن: س = س1 + ك ‪  ، C‬ص = ص1 + ك ب‬ ‫وهما المعادلتان الوسيطيتان للخط المستقيم المار بالنقطة (س1، ص1)‬ ‫والمتجه ى = (‪ ،C‬ب) متجه اتجاه له. حيث ك ∈ ح – {0}.‬ ‫29‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ق (س1، ص1)‬ ‫ل‬ ‫‪S‬‬ ‫ق‬ ‫و‬
‫ميقتسملا طخلا ةلداعم‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ اكتب المعادلتين الوسيطيتين (البارامتريتين) للمستقيم الذى يمر بالنقطة (4، -3) ومتجه اتجاه له (2، 3).‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫بفرض أن ق (4، -3) ∈ للمستقيم ل ،   ى = (2، 3)‬ ‫` المعادلة المتجهة للمستقيم ل هى (س، ص) = (4،- 3) + ك(2، 3) ‬ ‫  وتكون المعادلتان س = 4 + 2 ك ، ص = -3 + 3 ك ‬ ‫الصورة المتجهة‬ ‫المعادلتان البارامتريتان‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ اكتب المعادلتين البارامتريتين للمسقيم الذى يمر بالنقطة (0، 5) ومتجه االتجاه له هو (-1، 4).‬ ‫ً‬ ‫ثالثا: المعادلة الكارتيزية‬ ‫‪Cartesian Equation‬‬ ‫بحذف ك من المعادلتين البارامتريتين: س = س1 + ك ‪ ، C‬ص = ص1 + ك ب‬ ‫س-س‬ ‫ص-ص‬ ‫1 =‬ ‫نحصل على المعادلة: ‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫ب‬ ‫وبوضع‬ ‫‪C‬‬ ‫= م (حيث م هو ميل ‬ ‫المستقيم)‬ ‫1‬ ‫ ‬ ‫ص-ص‬ ‫ب‬ ‫أى أن: =‬ ‫س-س‬ ‫‪C‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫ص-ص‬ ‫فإن المعادلة تصبح على الصورة: م =‬ ‫س-س‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد المعادلة الكارتيزية للخط المستقيم الذى يمر بالنقطة (3،-4) ومتجه االتجاه له (2، -1)‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫م = -1‬ ‫2‬ ‫ص-ص‬ ‫1‬ ‫م=‬ ‫س-س‬ ‫1‬ ‫1 ص - (-4)‬‫2 =‬ ‫س-3‬ ‫2ص + 8 = - س + 3‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫س + 2 ص + 5 = 0 ‬ ‫ميل المستقيم م =‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫معادلة المستقيم بمعلومية ميله ونقطة تنتمى إليه.‬ ‫بالتعويض عن م = -1 ، س1 = 3، ص1 = - 4‬ ‫2‬ ‫حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين.‬ ‫الصورة العامة.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد المعادلة الكارتيزية للخط المستقيم الذى يمر بالنقطة (3، -4) ويصنع زاوية قياسها 54‪ c‬مع االتجاه‬ ‫الموجب لمحور السينات.‬ ‫أض‬ ‫م‬ ‫ف إل‬ ‫ى‬ ‫عل‬ ‫تفكير ناقد: أوجد المعادالت المتجهة والمعادالت الكارتيزية للخط المستقيم‬ ‫وما‬ ‫تك‬ ‫المار بالنقطة (س1، ص1) ومتجه االتجاه له ى = (‪ ،C‬ب) فى الحاالت اآلتية:‬ ‫متجه اتجاه المستقيم الذى‬ ‫أولاً: إذا كان المستقيم يوازى محور الصادات.‬ ‫يمر بنقطة األصل والنقطة‬ ‫(س1، ص1) هو‬ ‫ثانيا: إذا كان المستقيم يوازى محور السينات.‬ ‫ً‬ ‫ى = (س1، ص1)‬ ‫ً‬ ‫ثالثا: إذا كان المستقيم يمر بنقطة األصل.‬ ‫وميله هو‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫39‬
‫تعلم‬ ‫م‬ ‫متجه اتجاه العمودى للمستقي ‬ ‫‪The perependicular direction vector of a straight line‬‬ ‫إذا كان ى = (‪ ،C‬ب) متجه اتجاه مستقيم فإن أيا من عائلة المتجهات التى‬ ‫ًّ‬ ‫على الصورة ك (ب، -‪ )C‬حيث ك ∈ ح - {0} يكون متجه اتجاه العمودى على‬ ‫ق‬ ‫المتجه ى .‬ ‫‪S‬‬ ‫ن‬ ‫وبالعكس إذا كان ن = (‪ ،C‬ب) عموديا على خط مستقيم فإن أيا من عائلة‬ ‫س‬ ‫ًّ‬ ‫ًّ‬ ‫ن‬ ‫و‬ ‫المتجهات التى على الصورة ك (ب، -‪ )C‬حيث ك ∈ ح - {0} يكون متجه اتجاه‬ ‫المستقيم.‬ ‫فمثلاً: إذا كان ى = (3، 2) متجه اتجاه للمستقيم فإن متجه اتجاه العمودى له هو (-2، 3)، (2، -3)، (-4، 6)، ...‬ ‫ى‬ ‫ص‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان ى = ( 1‬ ‫2 ، 1) متجه اتجاه للمستقيم فإن جميع المتجهات التالية عموديا على المستقيم عدا المتجه:‬ ‫ً‬ ‫د (4، -2)‬ ‫ج‍ (-1، - 1 ) ‬ ‫ب (2، -1) ‬ ‫أ (1، - 1 ) ‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ إذا كان المستقيم الذى يمر بالنقطة ق (- 3، 5) والمتجه (- 1، 2) عمودى عليه فأوجد:‬ ‫ب المعادلة الكارتيزية للمستقيم.‬ ‫أ المعادلة المتجهة للمستقيم. ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫أ ‪ a‬المستقيم المار بالنقطة ق (-3، 5) عمودى على المتجه (-1، 2).‬ ‫ ‬ ‫` متجه اتجاه المستقيم هو ى = (2، 1)‬ ‫ ‬ ‫` ‪ + )5 ،3-( = S‬ك(2، 1)‬ ‫ ‬ ‫‪ a‬المعادلة المتجهة للمستقيم هى: ‪ = S‬ق + ك ى‬ ‫ص-ص‬ ‫ب ‪ a‬معادلة المستقيم الذى ميله م ويمر بالنقطة (س1، ص1) هى: م =‬ ‫ ‬ ‫س-س‬ ‫1‬ ‫بالتعويض عن م = 1 وإحداثى النقطة (-3، 5).‬ ‫ ` 1 = ص - 5 ‬ ‫2‬ ‫2 س+3‬ ‫ ` س + 3 = 2 ص – 01‬ ‫1‬ ‫ ‬ ‫وتكون س – 2 ص + 31 = 0 هي المعادلة الكارتيزية للمستقيم.‬ ‫فكر: أوجد المعادلة الكارتيزية لنفس المستقيم، وذلك بحذف ك من المعادلتين البارامتريتين.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان المستقيم المار بالنقطة ‪ )3 - ،2( X‬عموديا على المتجه ى = (- 1، 2) فأوجد:‬ ‫ً‬ ‫ب المعادلتين البارامتريتين للمستقيم.‬ ‫أ المعادلة المتجهة للمستقيم. ‬ ‫ ‬ ‫ج‍ المعادلة الكارتيزية للمستقيم.‬ ‫ ‬ ‫49‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫ميقتسملا طخلا ةلداعم‬ ‫تعلم‬ ‫‬ ‫ت‬ ‫معادلة المستقيم بمعلومية الجزءين المقطوعين من محورى اإلحداثيا ‬ ‫‪The Equation of the straight line in terms of the two intercepts parts from the two axes‬‬ ‫نعلم أن معادلة المستقيم الذى ميله (م) ويقطع جزءا من محور الصادات طوله ب هى: ص = م س + ب‬ ‫من الشكل المقابل‬ ‫نجد أن ميل المستقيم المار بالنقطتين (‪،0( ،)0،C‬ب) هو: م = - ب (لماذا؟)‬ ‫ص-‬ ‫س - ص1 = م ‬ ‫س‬ ‫1‬ ‫ص-0‬ ‫س-‪C‬‬ ‫=-‬ ‫‪C‬‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫ ‬ ‫معادلة المستقيم بمعلومية الميل ونقطة‬ ‫ ‬ ‫بالتعويض عن إحداثى نقاط التقاطع‬ ‫‪ C‬ص = - ب س + ‪ C‬ب ‬ ‫ب س + ‪ C‬ص = ‪ C‬ب ‬ ‫س‬ ‫‪C‬‬ ‫(0، ب)‬ ‫ب‬ ‫(‪)0 ،C‬‬ ‫حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين‬ ‫‪C‬‬ ‫بقسمة الطرفين على ‪ C‬ب‬ ‫ص‬ ‫+ ب =1‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد طولى الجزءين المقطوعين من المحورين بالمستقيم: 3 س + 4 ص – 21 = 0‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫س ص‬ ‫بوضع المعادلة على الصورة + ب = 1‬ ‫‪C‬‬ ‫س ص‬ ‫` 4 + 3 = 1 (لماذا؟)‬ ‫` طوال الجزأين المقطوعين من المحورين السينى والصادى هما 4، 3 على الترتيب‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد طولى الجزأين المقطوعين من المحورين بالمستقيم: 5 س – 3 ص = 51‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫أوجد المعادلة العامة للمستقيم فى الحاالت اآلتية:‬ ‫أ يقطع محورى اإلحداثيات فى النقطتين (3، 0)، (0، - 4).‬ ‫ب يمر بالنقطة (3، 1) ويوازى المستقيم 2 س – 3 ص + 7 = 0‬ ‫ج‍ يمر بالنقطة (0، - 1) ومتجه االتجاه له (2، -3)‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫59‬
‫قياس الزاوية بين مستقيمين‬ ‫4 ‍‬ ‫‪Measure of the angle between two straight lines‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫تعلم‬ ‫اجياد قياس الزاوية احلادة بني‬ ‫مستقيمني.‬ ‫ن‬ ‫قياس الزاوية الحادة بين مستقيمي ‬ ‫‪Measure of the acute angle between two straight lines‬‬ ‫‬ ‫ل‬ ‫ل1 ص‬ ‫إذا كانت هـ قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين ل1، ل‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫اللذين ميالهما م1، م2 فإن:‬ ‫ ‬ ‫مـثـال‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫زاوية بني مستقيمني‬ ‫ ‪Anagle between two straight lines‬‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫‬ ‫69‬ ‫2‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫الحل‬ ‫أ نوجد ميل كل من المستقيمين:‬ ‫ ‬ ‫(م ) = -3 = 3‬ ‫ميل المستقيم األول‬ ‫1 -4 4 ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪Scientific calculator‬‬ ‫حيث م1م2 ! -1‬ ‫س هـ‬ ‫1‬ ‫هـ‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫‌ أوجد قياس الزاوية الحادة بين كل زوج من أزواج المستقيمات اآلتية‬ ‫ 3 س – 4 ص – 11 = 0 ، س + 7 ص + 5 = 0‬ ‫ ‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫| |‬ ‫م1 - م‬ ‫ ظا هـ = 1 + م م‬ ‫1 2‬ ‫2‬ ‫هـ‬ ‫(م ) = -1‬ ‫2 7‬ ‫ ‬ ‫| |‬ ‫م1 - م‬ ‫2‬ ‫ظاهـ = 1 + م م ‬ ‫1 2‬ ‫ميل المستقيم الثانى‬ ‫|‬ ‫| || |‬ ‫3 - (- 1 )‬ ‫7‬ ‫ظاهـ = 4‬ ‫1 + 3 (- 1 )‬ ‫7‬ ‫4‬ ‫3+1‬ ‫   = 4 37 =‬ ‫1 - 82‬ ‫|‬ ‫صيغة القانون‬ ‫تذكر‬ ‫ميل الخط المستقيم‬ ‫‪C‬س + ب ص + جـ = 0‬ ‫يساوى -‪C‬‬ ‫ب‬ ‫ بالتعويض عن قيمتى م ، م‬ ‫1 2‬ ‫12 + 4‬ ‫82‬ ‫82 - 3‬ ‫82‬ ‫=1‬ ‫   هـ = 54‪c‬‬ ‫تعبير شفهى: اذكر العالقة بين المستقيمين ل1، ل2 فى الحاالت اآلتية:‬ ‫أ إذا كان ظل الزاوية بينهما يساوى صفرا.‬ ‫ً‬ ‫ب إذا كان ظل الزاوية بينهما غير معرف.‬ ‫جـ إذا كان ميل األول م1 وميل الثانى م2 فاذكر العالقة بين م1، م2 فى أ ، ب .‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫نيميقتسم نيب ةيوازلا سايق‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد قياس الزاوية الحادة بين كل زوج من أزواج المستقيمات اآلتية:‬ ‫أ ‪ + )2- ،0( = S‬ك(3، -1) ،  ‪ + )5 ،0( = S‬ك(1، 2).‬ ‫ ‬ ‫ج‍ 2ص = 3 ، 2س + ص = 4‬ ‫ب س + 2ص + 3 = 0 ، س – 3ص + 1 = 0 ‬ ‫ ‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ الربط بالهندسة: ‪ C‬ب جـ مثلث فيه ‪ ،)5 ،0( C‬ب (2، -1)، جـ (6، 3) أثبت أن المثلث متساوى الساقين،‬ ‫ثم أوجد قياس زاوية ‪.C‬‬ ‫الحل‬ ‫ البعد بين نقطتين = (س2 - س1)2 + (ص2 - ص1)2 ‬ ‫   ‪ C‬ب = (0 - 2)2 + (5 - (-1))2 = 2 01 ‬ ‫   ‪ C‬جـ = (0 - 6)2 + (5 - 3)2   = 2 01 ‬ ‫   ب جـ = (2 - 6)2 + (-1 - 3)2   = 4 2 ‬ ‫ المثلث متساوى الساقين؛ ألن ‪ C‬ب = ‪ C‬جـ‬ ‫2‬ ‫ نالحظ أن (ب جـ)2 (‪ C‬ب)2 + (‪ C‬جـ)‬ ‫ أى أن ‪ C c‬حادة‬ ‫ م1 = ‬ ‫5 - (-1) = -3‬ ‫ميل ‪ C‬ب‬ ‫0-2‬ ‫صيغة القانون‬ ‫5-3 =- 1‬ ‫م2 = ‬ ‫3‬ ‫0-6‬ ‫ ‬ ‫|‬ ‫ ‬ ‫م -م‬ ‫|‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫ظا ‬ ‫هـ =‬ ‫1+م م‬ ‫|‬ ‫1 2‬ ‫-3 - (- 1 )‬ ‫|‬ ‫=4‬ ‫3‬ ‫ظا ‪ = C‬‬ ‫1 + (-3) (- 1 ) 3‬ ‫3‬ ‫ ‬ ‫ق(‪ c53 َ 7 ً 49 = )C c‬‬ ‫ ‬ ‫ميل ‪ C‬جـ‬ ‫صيغة القانون‬ ‫الحظ‬ ‫عند استخدام قانون الزاوية‬ ‫بين مستقيمين فى إيجاد قياس‬ ‫زاوية داخلة لمثلث يجب أوال‬ ‫تحديد نوع الزاوية (حادة -‬ ‫قائمة - منفرجة)‬ ‫بالتعويض عن قيمتى م ، م‬ ‫1 2‬ ‫باستخدام الحاسبة‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ فى المثال السابق أوجد مساحة سطح المثلث أ ب جـ ألقرب رقمين عشريين.‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ ‬ ‫‌ ‬ ‫‌ ‬ ‫أوجد قياس الزاوية الحادة المحصورة بين المستقيمين ى = (2، 0) + ك(-2، 1)، ‪ + )1 ،3-( = S‬ك(6، 3).‬ ‫أوجد قياس الزاوية الحادة المحصورة بين المستقيم س - 2ص + 3 = 0  والمستقيم المار بالنقطتين‬ ‫(4، -1)، (2، 1).‬ ‫‪ C‬ب جـ مثلث فيه ‪ ،)2 ،0( C‬ب(3، 1)، جـ(-2، -1). أوجد قياس زاوية ‪C‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫79‬
‫طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم‬ ‫4 ‍‬ ‫‪The length of the perpendicular from a point to a straight line‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫تعلم‬ ‫إجياد طول العمود املرسوم من‬ ‫نقطة معلومة إىل خط مستقيم.‬ ‫م‬ ‫إيجاد طول العمود المرسوم من نقطة معلومة إلى خط مستقي ‬ ‫‬ ‫‪The length of the perpendicular from a point to a straight line‬‬ ‫(س1، ص1)‬ ‫إذا كانت النقطة (س1، ص1) ال تنتمى للمستقيم الذى‬ ‫معادلته ‪ C‬س + ب ص + جـ = 0‬ ‫فإن طول العمود (ل) المرسوم من هذه النقطة إلى المستتقيم‬ ‫يتحدد من العالقة: ل = |‪ C‬س + ب ص + جـ|‬ ‫1‬ ‫عمود ‬ ‫خط مستقيم‬ ‫‪Straight Line‬‬ ‫ ‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‪Scientific calculator‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫نفرض أن (س، ص) = (0، 2) + ك (4، 3)‬ ‫` س = 4 ك ، ص = 2 + 3ك (المعادلتان الوسطيتان للمعادلة المتجهة)‬ ‫س ص-2‬ ‫بحذف ك‬ ‫ ‬ ‫4 = 3‬ ‫حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين‬ ‫ ‬ ‫3س = 4ص – 8‬ ‫المعادلة الكارتيزية‬ ‫3س – 4ص + 8 = 0 ‬ ‫ل=‬ ‫|‪ C‬س1 + ب ص + جـ|‬ ‫1 2 ‬ ‫‪ + 2C‬ب‬ ‫صيغة قانون طول العمود‬ ‫بالتعويض: ‪ ، 3 = C‬ب = -4 ، جـ = 8 ، س1 = 4 ، ص1 = -5‬ ‫ل = |3 * 4 - 42 * - 25 + 8| ‬ ‫3 +4‬ ‫  = |21 + 02 + 8| = |04| = 04‬ ‫5 = 8 وحدات طول‬ ‫52‬ ‫9 +61‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫89‬ ‫2‬ ‫‌ أوجد طول العمود المرسوم من النقطة ( 4، -5 ) إلى الخط المستقيم‬ ‫‪ + )2 ،0( = S‬ك(4، 3).‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫‪+ C‬ب‬ ‫2‬ ‫س+‬ ‫ب‬ ‫ص+‬ ‫جـ‬ ‫=0‬ ‫مـثـال‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫‪Perpendicular‬‬ ‫1‬ ‫‪C‬‬ ‫ل‬ ‫‌ أوجد طول العمود المرسوم من النقطة (2، -5) إلى المستقيم:‬ ‫‪ + )0 ،1-( = S‬ك(21، 5).‬ ‫ ‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫ميقتسم طخ ىلإ ةطقن نم موسرملا دومعلا لوط‬ ‫‌ تعبير شفهى: اكتب طول العمود المرسوم من النقطة ‪ C‬إلى المستقيم م فى الحاالت اآلتية:‬ ‫أ ‪ ،  )0 ، 0( C‬م : ‪C‬س + ب ص + جـ = 0‬ ‫ ‬ ‫ج‍  ‪( C‬س1، ص1) ، م : س = 0‬ ‫ ‬ ‫ب ‪( C‬س1، ص1) ، م : ص = 0‬ ‫ ‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ في الشكل المقابل:أوجد طول العمود المرسوم من النقطة ‪ )2- ،6( C‬إلى‬ ‫المستقيم المار بالنقطتين ب (4، 4)، جـ (1، 0)، ثم أوجد مساحة سطح‬ ‫المثلث ‪ C‬ب جـ.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫ص2 - ص‬ ‫م = ‬ ‫س2 - س‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪ a‬جـ (1، 0) ، ب (4، 4)‬ ‫   ` م = 4 - 0 = 4‬ ‫ ‬ ‫4-1 3‬ ‫ ‬ ‫ص-ص‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫   ل =‬ ‫‪ + 2C‬ب‬ ‫2‬ ‫6 5 4 3 2 1‬ ‫‪C‬‬ ‫1 -2‬‫1‬‫2‬‫3‬‫-4‬ ‫معادلة المستقيم بمعلومية الميل ونقطة عليه‬ ‫1‬ ‫|‪ C‬س1 + ب ص1 + جـ|‬ ‫س‬ ‫جـ‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫بالتعويض بالنقطتين (4، 4)، (1، 0)‬ ‫1‬ ‫ ‬ ‫   م =‬ ‫س-س‬ ‫4 ص- 0‬ ‫ ‬ ‫    =‬ ‫3 س-1‬ ‫ ‬ ‫ فيكون: 4س – 3ص – 4 = 0‬ ‫ ‬ ‫صيغة الميل‬ ‫ب‬ ‫ص‬ ‫بالتعويض عن م = 4‬ ‫3‬ ‫المعادلة الكارتيزية‬ ‫ ‬ ‫صيغة قانون طول العمود‬ ‫فيكون طول العمود المرسوم من النقطة ‪ )2- ،6( C‬إلى المستقيم : 4س - 3ص - 4 = 0‬ ‫هو : ل = |4 * 6 - 3 * - 2 - 4| = |42 + 6 - 4| = 1‬ ‫5‬ ‫2‬ ‫52‬ ‫42 + 3‬ ‫ باعتبار ب جـ قاعدة للمثلث ‪ C‬ب جـ‬ ‫2‬ ‫‪ a‬ب جـ = (س2 - س1)2 + (ص2 - ص1)‬ ‫ ‬ ‫= (4 - 1)2 + (4 - 0)2 = 5 وحدات‬ ‫ ‬ ‫5 وحدة طول‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫  صيغة قانون البعد بين نقطتين‬ ‫  بالتعويض بالنقطتين (4، 4)، (1، 0)‬ ‫مساحة سطح المثلث ‪ C‬ب جـ = 1 طول القاعدة * االرتفاع  صيغة قانون مساحة المثلث‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫         = 1 * 5 * 62 = 31 وحدة مربعة‬ ‫5‬ ‫2‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد طول العمود المرسوم من النقطة (5، 2) إلى الخط المستقيم المار بالنقطتين (0، -3)، (4، 0)‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ طرق طريقان متجاوران مسار الطريق األول تمثله المعادلة 3 س – 4 ص – 7 = 0 ومسار الطريق الثانى‬ ‫تمثله المعادلة 3 س – 4 ص + 11 = 0‬ ‫ أثبت أن الطريقين متوازيان، ثم أوجد أقصر بعد بينهما.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫99‬
‫المعادلة العامة للمستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين‬ ‫4 ‍‬ ‫‪General equation of the straight line passing through the point of‬‬ ‫‪intersection of two lines‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫كيفية إجياد الصورة العامة ملعادلة‬ ‫اخلط املستقيم املار بنقطة تقاطع‬ ‫مستقيمني‬ ‫فكر‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫سبق أن درست كيفية إيجاد إحداثيي نقطة تقاطع مستقيمين غير متوازيين‬ ‫‪ 1C‬س + ب1 ص +جـ1 = 0، ‪ 2C‬س + ب2 ص +جـ2 = 0‬ ‫فهل يمكنك إيجاد معادلة عدة مستقيمات تمر بنقطة تقاطع المستقيمين السابقين؟‬ ‫تعلم‬ ‫المعادلة العامة للمستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين معلومين‬ ‫‪General equation of the straight line passing through the point of intersection of two given lines‬‬ ‫‪ a‬أى نقطة معلومة يمكن أن يمر بها عدد النهائى من المستقيمات.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫نقطة تقاطع مستقيمني‬ ‫ ‪intersection point of two straight‬‬ ‫‪lines‬‬ ‫معادلة عامة‬ ‫‪General Equation‬‬ ‫` المعادلة التى تمثل جميع المستقيمات المارة بنقطة تقاطع المستقيمين.‬ ‫‪ 1C‬س + ب1 ص + جـ 1 = صفر  ،  ‪ 2C‬س + ب2 ص + جـ 2 = صفر هى:‬ ‫م (‪ 1C‬س + ب1 ص + جـ1 ) + ل (‪ 2C‬س + ب2 ص + جـ2) = صفر ، م ∈‪ ، I‬ل ∈ح (1)‬ ‫ففى حالة  م = صفر تنتج معادلة المستقيم الثانى.‬ ‫فى حالة   ل = صفر تنتج معادلة المستقيم األول.‬ ‫أما فى حالة م ! صفر ، ل ! صفر فتنتج معادلة أى مستقيم يمر بنقطة التقاطع‬ ‫خالف المستقيمين األصليين، ويمكن فى هذه الحالة وضع المعادلة (1) على الصورة:‬ ‫ ‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫‬ ‫مـثـال‬ ‫‪Scientific calculator‬‬ ‫001‬ ‫‪ 1C‬س + ب1ص +جـ1 + ك (‪2C‬س + ب2ص+جـ2) = صفر‬ ‫‬ ‫(2)‬ ‫‌ أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ‪ )4 ،2 -( C‬وبنقطة تقاطع المستقيمين:‬ ‫ س + 2 ص – 5 = 0 ، 2 س – 3 ص + 4 = 0‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫نيميقتسم عطاقت ةطقنب راملا ميقتسملل ةماعلا ةلداعملا‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫‪ 1C‬س + ب1 ص +جـ + ك (‪ 2C‬س + ب2 ص +جـ) = 0 المعادلة العامة‬ ‫س + 2 ص – 5 + ك ( 2 س – 3 ص + 4) = 0 ‬ ‫ 2 + 2 × 4 – 5 + ك (2×- 2 – 3×4 + 4) = 0 ‬‫1‬ ‫1 – 21ك ‬ ‫= 0  أى  ك = 21‬ ‫1‬ ‫س + 2 ص – 5 + 21 ( 2 س – 3 ص + 4 ) = 0 ‬ ‫21 س + 42 ص – 06 + 2 س – 3 ص + 4 = 0 ‬ ‫41 ‬ ‫س + 12 ص – 65 = 0‬ ‫2 س ‬ ‫+3ص-8=0‬ ‫بالتعويض عن معادلة المستقيمين‬ ‫بالتعويض عن س = - 2 ، ص = 4‬ ‫بالتبسيط‬ ‫بالتعويض عن قيمة ك‬ ‫بضرب طرفى المعادلة فى 21‬ ‫بالتبسيط‬ ‫بقسمة طرفى المعادلة ÷ 7‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ‪)1- ،2( C‬‬ ‫ وبنقطة تقاطع المستقيمين: 7س + ص + 3 = 0 ، 5 س – ص – 3 = 0‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أثبت أن المستقيمين 2س – 3ص + 4 = 0 ، ‪ + )2 ،1( = S‬ك (-2، 3) متقاطعان على التعامد، ثم أوجد:‬ ‫ نقطة تقاطعهما.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫م = -2 = 2  ، م = 3‬ ‫=- 3‬ ‫1 -3 ‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫2 -2‬ ‫` م *م = 2 *- 3‬ ‫1 ‬ ‫2 3 2 =-1‬ ‫ميل المستقيمين.‬ ‫شرط تعامد مستقيمين.‬ ‫‪ a‬م1 * م2 = 1‬ ‫` المستقيمان متقاطعان على التعامد.‬ ‫أ إليجاد نقطة تقاطع المستقيمين، نوجد المعادلة الكارتيزية للمعادلة الثانية.‬ ‫‪( a‬س، ص) = (1، 2) + ك (-2، 3)‬ ‫ص-2‬ ‫‬‫ ` ‬ ‫س-2 1 =‬ ‫3‬ ‫حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسيطين.‬ ‫ ‬ ‫3س – 3 = -2ص + 4‬ ‫بالتبسيط‬ ‫ ‬ ‫3س + 2ص – 7 = 0‬ ‫بحل المعادلتين‬ ‫ 2س – 3ص + 4 = 0، 3س + 2ص – 7 = 0 ‬ ‫ ` س=1،ص=2‬ ‫ وتكون نقطة تقاطع المستقيمين المتعامدين هى (1، 2)‬ ‫بحذف الثابت ك.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أثبت أن المستقيمين س – 4ص + 41 = 0 ، 4س + ص + 5 = 0 متعامدان‬ ‫ ثم أوجد نقطة تقاطعهما ومعادلة المستقيم المار بنقطة التقاطع والنقطة (2، 1).‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫101‬
‫تحقق من فهمك‬ ‫إذا كان ل1: 3س + 2ص - 7 = 0، ل2: ‪ + )0 ،2-( = S‬ك (3، 2).‬ ‫فأوجد:‬ ‫‌ المعادلة الكارتيزية للمستقيم ل‬ ‫2‬ ‫‌ قياس الزاوية بين المستقيمان ل1، ل‬ ‫2‬ ‫‌ نقطة تقاطع المستقيمين ل1، ل2.‬ ‫‌ معادلة المستقيم الذى يمر بنقطة تقاطع المستقيمين والنقطة (3، 4)‬ ‫‌ طول العمود المرسوم من نقطة تقاطع المستقيمين إلى الخط المستقيم الذى معادلته 3س - 4ص -9 = 0‬ ‫‌ مساحة سطح المثلث المحدد بالمستقيمين ل1، ل2 ومحور السينات.‬ ‫نشاط‬ ‫يبين الشكل المقابل شبكة تربيعية مقسمة بالميل البحرى، مبين‬ ‫عليها إحداثيات كل من: الميناء أ (4، 5) والجزيرة ب (-6، 3)‬ ‫والسفينة جـ (-2، -3).‬ ‫أوجد:‬ ‫‌ المسافة بالميل البحرى بين الميناء والسفينة.‬ ‫‌ الزمن الذى استغرقته السفينة فى قطع المسافة ‪ C‬ب إذا كانت‬ ‫سرعتها 02 عقدة.‬ ‫‌ النسبة التى تنقسم بها ب جـ بمحور السينات، ثم أوجد إحداثيى‬ ‫نقطة التقسيم.‬ ‫‌ معادلة مسار السفينة إذا كانت تتحرك فى خط مستقيم.‬ ‫‌ أقصر مسافة بين الجزيرة والسفينة.‬ ‫‌ قياس الزاوية المحصورة بين ‪ C‬ب ، ‪ C‬جـ‬ ‫‌ مساحة سطح المثلث ‪ C‬ب جـ‬ ‫‪ C‬ميناء‬ ‫5 4 3 2 1‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫تكنولوجيا:‬ ‫م‬ ‫أض‬ ‫علو‬ ‫جزيرة‬ ‫ب‬ ‫1 -2 -3 -4 -5 -6‬‫1‬‫2‬‫سفينة‬ ‫3 جـ‬‫-4‬ ‫ف إل‬ ‫ى‬ ‫ما‬ ‫تك‬ ‫العقدة هى وحدة قياس سرعة‬ ‫السفن في البحر، وهى تساوى‬ ‫ميل بحرى لكل ساعة. والميل‬ ‫البحرى يساوى 2581 مترا‬ ‫ً‬ ‫علما بأن الميل البرى يساوى‬ ‫ً‬ ‫0061 مترا.‬ ‫‌ استعن بالشبكة الدولية للمعلومات (اإلنترنت).‬ ‫أ ابحث عن الخدمات التى تقدمها الهيئة المصرية لسالمة المالحة البحرية للموانئ والسفن البحرية.‬ ‫ ‬ ‫هل تفضل العمل فى المالحة البحرية؟ لماذا؟‬ ‫ ‬ ‫201‬ ‫ب حدد أهم الموانئ البحرية بجمهورية مصر العربية، وحدد مواقعها.‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫ملخص الوحدة‬ ‫ ‬ ‫‌ إذا كانت جـ تقسم ‪ C‬ب بنسبة ل2 : ل1 حيث ‪ S ، 2S ، 1S‬هى المتجهات الممثلة بالقطع المستقيمة‬ ‫الموجهة و ‪ ، C‬و ب ، و جـ على الترتيب‬ ‫فإن: ‪= S‬‬ ‫ل1 ‪ + 1S‬ل2 ‪S‬‬ ‫ل1 + ل‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ل1 س1 + ل2 س2 ل1 ص1 + ل2 ص‬ ‫،‬ ‫ ، (س، ص) = ‪l‬‬ ‫ل1 + ل‬ ‫ل1 + ل‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‌ ميل الخط المستقيم (م):‬ ‫أ الذى يصنع زاوية موجبة (هـ) مع االتجاه الموجب لمحور السينات: م = ظا هـ‬ ‫ ‬ ‫ص2 - ص‬ ‫1‬ ‫ب‬ ‫ ‬ ‫ الذى يمر بالنقطتين (س1،ص1)، (س2،ص2):           م = س - س‬ ‫ج‍ الذى معادلته على الصورة: ‪( = S‬س1،ص1) + ك(‪ ،C‬ب)  م =‬ ‫ ‬ ‫د الذى معادلته على الصورة: ‪ C‬س + ب ص + جـ = 0‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ب‬ ‫2‬ ‫2‪b‬‬ ‫1‬ ‫‪C‬‬ ‫-‪C‬‬ ‫  م = ب‬ ‫‌ إذا كان ن = (‪ ،C‬ب) متجها اتجاه العمودى لمستقيم معلوم، فإن متجه االتجاه لهذا المستقيم هو‬ ‫ً‬ ‫ (ب، -‪ )C‬أو (- ب، ‪.)C‬‬ ‫‌ إذا كان م1، م2 هما ميال مستقيمين معلومين فإن:‬ ‫أ م1 = م2  إذا كان المستقيمان متوازيين. ‬ ‫ ‬ ‫ب م1 * م2 = -1  إذا كان المستقيمان متعامدين.‬ ‫‌ معادالت الخط المستقيم:‬ ‫أ المعادلة المتجهة هى: ‪ + X = S‬ك ى   أى  (س، ص) = (س1، ص1) + ك(‪ ،C‬ب)‬ ‫ ‬ ‫ب المعادالت البارامترية هى: س = س1 + ك ‪ ، C‬ص = ص1 + ك ب‬ ‫ ‬ ‫ص-ص‬ ‫1‬ ‫ج‍ المعادلة الكارتيزية (بمعلومية الميل ونقطة معلومة): م =‬ ‫ ‬ ‫س-س‬ ‫1‬ ‫د بمعلومية الميل (م) وطول الجزء المقطوع من محور الصادات جـ:  ص = م س + جـ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ه‍ ‬ ‫و ‬ ‫ز ‬ ‫س ص‬ ‫بمعلومية طولى الجزءين المقطوعين ‪ ، C‬ب من محورى السينات والصادات على الترتيب: + ب = 1‬ ‫‪C‬‬ ‫الصورة العامة لمعادلة المستقيم: ‪ C‬س + ب ص + جـ = 0 حيث ‪ ، C‬ب ال يساويا الصفر معا.‬ ‫ً‬ ‫المعادلة العامة للمستقيم الماربنقطة تقاطع مستقيمين معلومين هى:‬ ‫‪ 1C‬س + ب1 ص +جـ + ك (‪ 2C‬س + ب2 ص +جـ) = 0  حيث ك ! 0‬ ‫| |‬ ‫م1 - م‬ ‫‌ إذا كانت (هـ) هى قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين ل1، ل2 اللذين ميالهما م1، م2 فإن: ظاهـ =‬ ‫1+م م‬ ‫1 2‬ ‫حيث م1م2 ! -1‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫‌ طول العمود (ل) المرسوم من النقطة (س1، ص1) إلى المستقيم ‪ C‬س + ب ص + جـ = 0 هو:‬ ‫ل=‬ ‫| ‪ C‬س1 + ب ص1 + جـ |‬ ‫‪ + 2C‬ب‬ ‫2‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫301‬
‫الوحدة‬ ‫5‬ ‫حساب المثلثات‬ ‫‪Trigonometry‬‬ ‫أهداف الوحدة‬ ‫في نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:‬ ‫ً‬ ‫• •يستنتج العالقات األساسية بين الدوال المثلثية .‬ ‫• •يوجد مساحة المثلث ومساحة الشكل الرباعى ومساحة‬ ‫• •يحل معادالت مثلثية بسيطة فى الصورة العامة فى الفترة‬ ‫• •يحل مسائل متنوعة على حساب المثلثات.‬ ‫• •يثبت صحة متطابقات على الدوال المثلثية .‬ ‫[0، 2‪[r‬‬ ‫المضلع المنتظم.‬ ‫• •يستخدم تكنولوجيا المعلومات فى التعرف على التطبيقات‬ ‫• •يتعرف الحل العام للمعادلة المثلثية.‬ ‫المتعددة للمفاهيم األساسية لحساب المثلثات.‬ ‫• •يحل تطبيقات تشمل زوايا االرتفاع واالنخفاض.‬ ‫مثلثية.‬ ‫• •يحل المثلث القائم الزاوية.‬ ‫• •يتعرف القطاع الدائرى وكيفية إيجاد مساحته.‬ ‫• •يتعرف القطعة الدائرية وكيفية إيجاد مساحتها.‬ ‫• •ينمذج بعض الظواهر الفيزيائية والحيوية والتى تمثل بدوال‬ ‫• •يستخدم أنشطة لبرامج الحاسب اآللى‬ ‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪Ñ Ñ‬متطابقة مثلثية‬ ‫‪Ñ Ñ‬معادلة مثلثية‬ ‫‪Ñ Ñ‬زاوية ارتفاع‬ ‫‪Trigonometric identitie‬‬ ‫‪Trigonometric equation‬‬ ‫‪Angle of elevation‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬زاوية انخفاض‬ ‫‪Ñ Ñ‬قطاع دائرى‬ ‫‪Ñ Ñ‬قطعة دائرية‬ ‫‪Angle of depression‬‬ ‫‪Circular sector‬‬ ‫‪Circular Segment‬‬
‫دروس الوحدة‬ ‫الدرس (5 - 1): المتطابقات المثلثية.‬ ‫الدرس (5 - 2): حل المعادالت المثلثية.‬ ‫الدرس (5 - 3): حل المثلث القائم الزاوية.‬ ‫الدرس (5 - 4): تطبيقات تشمل زوايا االرتفاع واالنخفاض.‬ ‫الدرس (5 - 5): القطاع الدائرى.‬ ‫الدرس (5 - 6): القطعة الدائرية.‬ ‫الدرس (5 - 7): مساحة المثلث، مساحة الشكل الرباعى،‬ ‫مساحة المضلع المنتظم.‬ ‫األدوات المستخدمة‬ ‫آلة حاسبة علمية - ورق مربعات - حاسب آلى متصل باالنترنت‬ ‫ برامج رسومية‬‫نبذه تاريخية‬ ‫حساب المثلثات هو أحد فروع علم‬ ‫الرياضيات، وهذا فرع كما هو واضح من اسمه‬ ‫يتعلق بالحسابات الخاصة بالمثلث من حيث‬ ‫زواياه وأضالعه. ويذكر بعض المؤرخين أن‬ ‫الرياضى العربى نصير الدين الطوسى هو أول‬ ‫من فصل حساب المثلثات عن الفلك، كما‬ ‫يذكر المؤرخون أن طاليس (006 قبل الميالد)‬ ‫تعرض لحساب المثلثات،عندما تمكن من قياس‬ ‫ارتفاع الهرم عن طريق المقارنة بين طول ظل‬ ‫عصا رأسية وطول ظله فى نفس الوقت.‬ ‫ولقد كان لحساب المثلثات نصيبه من‬ ‫اهتمامات العرب. ويذكر أن اصطالح (الظل)‬ ‫قد وصفه العالم العربى أبو الوفا البوزجانى فى‬ ‫القرن العاشر الميالدى. وهذا االصطالح مأخوذ‬ ‫من ظالل األجسام، التى تتكون نتيجة سير الضوء‬ ‫المنبعث من الشمس فى خطوط مستقيمة.‬ ‫مخطط تنظيمي للوحدة‬ ‫حساب المثلثات‬ ‫حل المثلث القائم الزاوية‬ ‫المتطابقات المثلثية‬ ‫المعادالت المثلثية‬ ‫حل المعادلة فى فترة‬ ‫بمعلومية ضلع‬ ‫وزاوية‬ ‫بمعلومية ضلعين‬ ‫الحل العام للمعادلة‬ ‫زاويا االرتفاع‬ ‫زاويا االنخفاض‬ ‫تطبيقات حياتية‬ ‫استخدام‬ ‫التكنولوجيا‬ ‫المساحة‬ ‫القطاع الدائرى‬ ‫القطعة الدائرية‬ ‫المثلث‬ ‫الشكل الرباعى‬ ‫المضلع المنتظم‬ ‫كما أن للعرب إضافات عديدة فى حساب المثلثات المستوى والكُرى أو الكروى (نسبة إلى سطح الكرة)، وعنهم أخذ‬ ‫َ ّ‬ ‫الغربيون المعلومات الهامة وأضافوا أيضا الكثير، حتى أصبح حساب المثلثات متضمنًا فى العديد من األبحاث الرياضية،‬ ‫ً‬ ‫وأصبحت تطبيقاته فى شتى المناحى العلمية والعملية. وساهم ذلك فى دفع عجلة التقدم والحضارة.‬
‫المتطابقات المثلثية‬ ‫5 ‍‬ ‫‪Trigonometric Identities‬‬ ‫العالقات األساسية بين الدوال المثلثية‬ ‫‪Basic Relations Among Trigonometric Functions‬‬ ‫‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫مفهوم املتطابقة املثلثية .‬ ‫تبسيط املقادير املثلثية.‬ ‫إثبات صحة متطابقة مثلثية .‬ ‫فكر‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫ب (س، ص)‬ ‫سبق أن درست فى الفصل الداسى األول بعض‬ ‫خواص الدوال المثلثية ورسومها البيانية، وفى هذه‬ ‫الوحدة سوف تستخدم المتطابقات المثلثية؛ وذلك‬ ‫لتبسيط المقادير وحل المعادالت المثلثية.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫معادلة ‬ ‫متطابقة‬ ‫‪Equation‬‬ ‫‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫‪Scientific calculator‬‬ ‫‬ ‫‪i‬‬ ‫‪C‬‬ ‫و‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫تعلم المتطابقات والمعادالت المثلثية‬ ‫‪Trigonometric Identities and Equations‬‬ ‫المتطابقة: هى متساوية صحيحة لجميع قيم المتغير الحقيقية والذى يعرف به كل‬ ‫ُْ‬ ‫طرف من طرفى المتساوية.‬ ‫فمثال: جا ( ‪ = )i - r‬جتا ‪  i‬متطابقة صحيحة لجميع قيم ‪ i‬الحقيقية.‬ ‫2‬ ‫المعادلة: هى متساوية صحيحة لبعض األعداد الحقيقية التى تحقق هذه المتساوية‬ ‫وغير صحيحة للبعض اآلخر الذى ال يحققها.‬ ‫اً‬ ‫فمثل: جا‪[r 2 ،0[ ∈ i  ،  1 = i‬‬ ‫2‬ ‫نجد أن:قيم ‪ i‬التى تحقق هذه المعادلة والتى تنتمى إلى الفترة [0، 2‪[r‬‬ ‫هى ‪ r5 ، r‬فقط.‬ ‫6 6‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫601‬ ‫1‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫وسبق أن درست دائرة الوحدة وعلمت أن ‪ Cc‬و ب الموجهة فى الوضع القياسى وضلعها‬ ‫النهائى و ب يقطع دائرة الوحدة فى نقطة ب(س، ص) حيث ‪ Cc(X‬و ب) = ‪،i‬‬ ‫ب(جتا‪ ،i‬جا‪ )i‬فهل يمكنك استنتاج بعض العالقات األساسية بين الدوال المثلثية؟‬ ‫‪Identity‬‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫س‬ ‫ص‬ ‫‌ أى من العالقات اآلتية تمثل معادلة وأيها تمثل متطابقة.‬ ‫3‬ ‫ب ظا ( 3‪ - = )i + r‬ظتا ‪i‬‬ ‫أ جتا ‪ 2 = i‬‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫د جا (‪ = )i - r‬جا ‪i‬‬ ‫ج‍ ظتا ‪ 1  - = i‬‬ ‫ ‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫3‬
‫ةيثلثملا تاقباطتملا‬ ‫ة‬ ‫المتطابقات المثلثية األساسي ‬ ‫‪Basic Trigonometric Identities‬‬ ‫1- سبق أن درست الدوال المثلثية األساسية ومقلوباتها وعلمت أن:‬ ‫جا ‪  ،  i1 = i‬جتا ‪ = i‬قا1‪  ،  i‬ظا ‪=   i‬‬ ‫قتا‬ ‫قتا ‪  ،  i 1 = i‬قا ‪  ،  i 1 =      i‬ظتا ‪= i‬‬ ‫جتا‬ ‫جا‬ ‫1‬ ‫ظتا ‪i‬‬ ‫1‬ ‫ظا ‪i‬‬ ‫ب/ (س/، ص/)‬ ‫2- الدوال المثلثية للزاويتين المتتامتين:‬ ‫ب‬ ‫(س، ص)‬ ‫جا( ‪ = )i - r‬جتا‪  ،  i‬جتا( ‪ = )i - r‬جا‪i‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ظا( ‪ = )i - r‬ظتا‪  ،   i‬قتا( ‪ =     )i - r‬قا‪i‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫قا( ‪ =   )i - r‬قتا‪  ،     i‬ظتا( ‪ =    )i - r‬ظا‪i‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫3- متطابقة الزاويتين ‪:i- ، i‬‬ ‫ نالحظ من الشكل المقابل أن:‬ ‫× ×س = جتا ‪ ، i‬س = جتا(-‪)i‬‬ ‫س‬ ‫(س، ص)‬ ‫س‬ ‫× ×ص = جا ‪- ، i‬ص = جا(-‪)i‬‬ ‫ص‬ ‫ص‬ ‫1‬ ‫‪i‬‬ ‫-‪i‬‬ ‫(09‪)i - c‬‬ ‫‪H‬‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪i‬‬ ‫و‬ ‫ص‬ ‫م‬ ‫و‬ ‫أض‬ ‫علو‬ ‫ف إل‬ ‫ى‬ ‫ما‬ ‫تك‬ ‫تسمى متطابقات الزاويتين‬ ‫‪ θ- ،θ‬بمتطابقات الدوال‬ ‫الزوجية والفردية، وستدرس‬ ‫فى صف دراسى الحق.‬ ‫جا(-‪ - = )i‬جا ‪   ،   i‬جتا(-‪ = ) i‬جتا ‪i‬‬ ‫قتا(-‪ - = )i‬قتا ‪     ،    i‬قا(-‪ =  )i‬قا ‪i‬‬ ‫ظا(-‪ - = )i‬ظا ‪     ،   i‬ظتا(-‪ - =  )i‬ظتا ‪i‬‬ ‫4- متطابقات فيثاغورث:‬ ‫ نعلم من دائرة الوحدة أن:‬ ‫س2 + ص2 = 1  1   وبالتعويض عن س = جتا‪  ، i‬ص = جا‪i‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫فإن:   جتا2 ‪ + i‬جا2 ‪1 = i‬‬ ‫وبقسمة طرفى العالقة 1 على س2 فإن:‬ ‫س2 + ص2 = 1‬ ‫2‬ ‫س2 س2 س‬ ‫أى أن: ‬ ‫1 + ظا2 ‪ = i‬قا2 ‪i‬‬ ‫/‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫من تطابق المثلثين: و ‪ C‬ب، ب/ جـ و‬ ‫نجد أن: ص/ = س، س/ = ص‬ ‫(س، -ص)‬ ‫لذلك فإن:‬ ‫ص‬ ‫ب (س، ص)‬ ‫س‬ ‫ص‬ ‫1‬ ‫‪i‬‬ ‫‪C‬‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫و‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫وبقسمة طرفى العالقة 1 على ص2 فإن:‬ ‫س2 ص2 1‬ ‫ص2 + ص2 = ص2 ‬ ‫أى أن:  1 + ظتا2 ‪ = i‬قتا2 ‪i‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫701‬
‫س‬ ‫ص‬ ‫5- التعبيرعن ظا ‪ = i‬س ، ظتا ‪ = i‬ص ، بداللة جا ‪ ،i‬جتا ‪:i‬‬ ‫جا ‪i‬‬ ‫` ظا ‪= i‬‬ ‫جتا ‪i‬‬ ‫ ‬ ‫         ،          `‬ ‫ظتا ‪ = i‬جتا ‪i‬‬ ‫جا ‪i‬‬ ‫تب�سيط المقادير المثلثية:‬ ‫المقصود بتبسيط المقادير المثلثية هو وضعها فى ابسط صورة، وذلك باستخدام المتطابقات المثلثية األساسية.‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ اكتب فى أبسط صورة:   (جا ‪ + i‬جتا ‪ 2 – 2)i‬جا ‪ i‬جتا ‪ i‬‬ ‫الحل‬ ‫أ (جا ‪ + i‬جتا ‪ 2 – 2)i‬جا ‪ i‬جتا ‪i‬‬ ‫الحظ أن‬ ‫جا‪ × i‬جا‪( = i‬جا‪ = 2)i‬جا2‪i‬‬ ‫ ‬ ‫ المقدار = جا2 ‪ + i‬جتا2 ‪ 2 + i‬جا ‪ i‬جتا ‪ 2 – i‬جا ‪ i‬جتا ‪  i‬بفك األقواس‬ ‫2‬ ‫        = جا2 ‪         + i‬بالتبسيط‬ ‫جتا ‪i‬‬ ‫        = 1     بتطبيق متطابقة فيثاغورث:‬ ‫ ويمكن التحقق من الناتج باستخدام أحد البرامج الرسومية الموضحة بالشكل التالى:‬ ‫‌ اكتب في أبسط صورة:  ‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫1 + ظا2 ‪i‬‬ ‫1 + ظتا2 ‪i‬‬ ‫1 + ظا ‪i‬‬ ‫2‬ ‫المقدار:       1 + ظتا2 ‪ i‬‬ ‫قا2 ‪i‬‬ ‫ بتطبيق متطابقة فيثاغورث: المقدار =‬ ‫قتا2 ‪i‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫                = 2 ÷‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫جتا ‪ i‬جا ‪i‬‬ ‫جا2 ‪i‬‬ ‫                        = 2 = ظا2 ‪i‬‬ ‫ ‬ ‫جتا ‪i‬‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ ضع كال من المقادير اآلتية فى أبسط صورة ثم تحقق من صحة الناتج:‬ ‫ ‬ ‫801‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫أ جتا2 ‪ - i‬ظتا2 ‪ i‬‬ ‫ب جتا ( ‪ )i - r‬قا ( ‪ )i - r‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫‪r‬‬ ‫‍ جا ( 2 - ‪)i‬‬ ‫ج‬ ‫جتا (2‪)i -r‬‬
‫ةيثلثملا تاقباطتملا‬ ‫المتطابقات المثلثية‬ ‫‪trigonometric identities‬‬ ‫عند إثبات صحة متطابقة مثلثية نثبت أن الدالتين المحددتين لطرفيها متساويتان‬ ‫وللتحقق من عدم صحة الجملة: جتا2 ‪2 = i‬جا ‪ i‬جتا ‪i‬‬ ‫نرسم الشكل البيانى لكل من الدالتين:‬ ‫د(س) = جتا2 ‪(S  ،  i‬س) = 2 جا ‪ i‬جتا ‪i‬‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫2‪r‬‬ ‫2‬ ‫2/3‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫2/‪r‬‬ ‫-2‬ ‫2/-‪r‬‬ ‫-‪r‬‬ ‫2/-3‪r2- r‬‬ ‫وبتأمل الشكل البيانى المجاور‬ ‫نجد عدم تطابق الدالتين؛ أى أن د(س) ! ‪(S‬س)، لذلك فإن هذه العالقة ليست متطابقة.‬ ‫ويمكن التحقق من ذلك جبريا وذلك بوضع ‪ = i‬صفر فتكون:‬ ‫د(0) = 1 ، ر(0) = 0 لذلك فإن الدالتين غير متساويتين.‬ ‫2‪r‬‬ ‫س‬ ‫بينما فى المتساوية: جا2 ‪ 2 = i‬جا ‪ i‬جتا ‪i‬‬ ‫بوضع د(س) = جا2 ‪(S  ،  i‬س) = 2 جا ‪ i‬جتا ‪i‬‬ ‫ص‬ ‫2‬ ‫2/3‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫نجد من التمثيل البيانى للشكل تطابق منحنى الدالتين؛ أى أن د(س) = ‪(S‬س)‬ ‫وبذلك تكون هذه المتساوية متطابقة .‬ ‫مـثـال‬ ‫جتا ‪i‬‬ ‫‌ أثبت صحة المتطابقة: 1 - جا ‪ + 1 = i‬جا ‪i‬‬ ‫الحل‬ ‫2‬ ‫1-جا2 ‪i‬‬ ‫جتا‬ ‫ ‬ ‫‪= i‬‬ ‫ الطرف األيمن     =‬ ‫1 - جا ‪i‬‬ ‫1 - جا ‪i‬‬ ‫2‬ ‫(1 + جا ‪ - 1()i‬جا ‪)i‬‬ ‫                =‬ ‫1 - جا ‪i‬‬ ‫ ‬ ‫2/‪r‬‬ ‫-2‬ ‫2/-‪r‬‬ ‫-‪r‬‬ ‫2/-3‪r2- r‬‬ ‫تذكر‬ ‫جا2 ‪ + i‬جتا2‪1 = i‬‬ ‫جا2 ‪ -1 = i‬جتا2‪i‬‬ ‫جتا2 ‪ -1 = i‬جا2‪i‬‬ ‫= 1 + جا ‪ = i‬الطرف األيسر‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أثبت صحة المتطابقة: ظا ‪ + i‬ظتا ‪ = i‬قا ‪ i‬قتا ‪i‬‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫الطرف األيمن     = ظا ‪ + i‬ظتا ‪i‬‬ ‫ ‬ ‫            =‬ ‫ ‬ ‫          =‬ ‫ ‬ ‫جتا ‪i‬‬ ‫جا ‪i‬‬ ‫جتا ‪ + i‬جا ‪i‬‬ ‫1‬ ‫جتا ‪ i‬جا ‪i‬‬ ‫=‬ ‫جا2 ‪ + i‬جتا2 ‪i‬‬ ‫جتا ‪ i‬جا ‪i‬‬ ‫ ‬ ‫        = قا ‪ i‬قتا ‪ = i‬الطرف األيسر‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫901‬
‫حاول أن تحل‬ ‫(1 - جا2 ‪ - 1()i‬جتا2 ‪)i‬‬ ‫= جتا4 ‪i‬‬ ‫‌ أثبت صحة المتطابقة:‬ ‫ظا2 ‪i‬‬ ‫مـثـال‬ ‫2‬ ‫‌ أثبت صحة المتطابقة: 1 - ظتا2 ‪2 = i‬جا2 ‪1 - i‬‬ ‫1 + ظتا ‪i‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫1 - ظتا2 ‪i‬‬ ‫الطرف األيمن  =‬ ‫1 + ظتا2 ‪i‬‬ ‫2‬ ‫          = 1 - ظتا ‪= i‬‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫قتا ‪i‬‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫جتا ‪i‬‬ ‫‬‫جا2 ‪i‬‬ ‫1-‬ ‫جتا2 ‪i‬‬ ‫جا2 ‪i‬‬ ‫1‬ ‫جا2‪i‬‬ ‫ ‬ ‫بالتحويل إلى جا ‪ ،i‬جتا ‪i‬‬ ‫جا ‪i‬‬ ‫* جا2 ‪ =   i‬جا2 ‪ - i‬جتا2 ‪i‬‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫              =‬ ‫ ‬ ‫              = جا2 ‪ - 1( - i‬جا2 ‪ )i‬‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫جا2 ‪i‬‬ ‫             = 2جا2 ‪ = 1 - i‬الطرف األيسر ‬ ‫فكر: هل توجد حلول أخرى للمثال؟‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أثبت صحة كل من المتطابقات اآلتية:‬ ‫1 + ظتا2 ‪i‬‬ ‫ ‬ ‫أ ‬ ‫ ‬ ‫ج‍ (قا ‪ - i‬ظا ‪= 2)i‬‬ ‫1+‬ ‫ظا2 ‪i‬‬ ‫= ظتا2 ‪ i‬‬ ‫ظتا‬ ‫ب ظاقا‪+ii‬قتا ‪1 = i i‬‬ ‫1 - جا ‪i‬‬ ‫1 + جا ‪i‬‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ اكتشف اإلجابة الخطأ:‬ ‫ جا2 ‪ + i‬جتا2 ‪ i‬تساوى:‬ ‫أ 1 ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ب 2 جتا2 ‪ 1 - i‬‬ ‫‌ أثبت صحة المتطابقات اآلتية:‬ ‫011‬ ‫أ‬ ‫ظا ‪i‬‬ ‫جا ‪ i‬جتا ‪i‬‬ ‫+‬ ‫قا ‪ i‬قتا ‪i‬‬ ‫ظا ‪i‬‬ ‫= 1 ‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ج‍ 1 - 2 جا2 ‪ i‬‬ ‫ب ‬ ‫د 1 + 2جا ‪ i‬جتا ‪i‬‬ ‫جا3 ‪ + i‬جتا 3‪ i‬جا3 ‪ - i‬جتا3 ‪i‬‬ ‫+‬ ‫جا ‪ - i‬جتا ‪i‬‬ ‫جا ‪ + i‬جتا ‪i‬‬ ‫=2‬
‫حل المعادالت المثلثية‬ ‫5 ‍‬ ‫‪Solving Trigonometric Equations‬‬ ‫حل معادلة مثلثية بحلول حقيقية‬ ‫فكر‬ ‫و‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫إجياد احلل العام للمعادالت املثلثية‬ ‫ناقش‬ ‫سبق أن درسنا حل المعادالت الجبرية من الدرجة األولى والدرجة الثانية (جبريا‬ ‫وبيانيا)، وفى هذا الدرس سوف نحل المعادالت المثلثية وذلك باالستعانة بالمتطابقات‬ ‫ًّ‬ ‫األساسية، فهل يوجد تشابه بين حل المعادالت الجبرية وحل المعادالت المثلثية؟‬ ‫حل املعادالت ىف الفرتة [0، 2‪[r‬‬ ‫عمل تعاونى‬ ‫اشترك مع أحد زمالئك فى رسم الدالة المثلثية ص = جتا ‪ i‬والدالة ص = 1 والحظ‬ ‫2‬ ‫كة‬ ‫نقط تقاطعهما المشتر‬ ‫كة.‬ ‫1- ارسم منحنى الدالة ص1 = جتا‪ ،i‬ص2 = 1 والحظ نقاط تقاطعهما المشتر‬ ‫2‬ ‫2- كم حلاًّ للمعادلة جتا‪ 1 = i‬في [0، 2‪[r‬؟‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫اً‬ ‫3 هل توجد حلول أخرى للمعادلة جتا‪ 1 = i‬في الشكل البيانى؟‬ ‫‬‫2‬ ‫الشكل البيانى التالى يمثل حل المعادلة جتا‪ 1 = i‬حيث نجد أن‬ ‫2‬ ‫المعادلة لها حالن هما ‪ r5 ، r‬عندما ‪ ،[r2 ،0[∈ i‬وبإضافة 2‪ r‬أو -2 ‪ r‬نحصل‬ ‫3 3‬ ‫على حلول أخرى للمعادلة.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫معادلة مثلثية‬ ‫‪Trigonometric equation‬‬ ‫‬ ‫حل عام‬ ‫‪General solution‬‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫س‬ ‫2‪r‬‬ ‫2/3‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫2/-‪r‬‬ ‫2/‪r‬‬ ‫-‪r‬‬ ‫2/-3‪r‬‬ ‫-2‪r‬‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫الحل العام للمعادالت المثلثية‬ ‫‬ ‫الة حاسبة رسومية‬ ‫‪General solution of the trigonometric equations‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد الحل العام لكل من المعادالت اآلتية :‬ ‫2‬ ‫ب جتا ‪ 2 = i‬‬ ‫أ جا ‪ 1 = i‬‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫ج‬ ‫‍ ظا ‪3 = i‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫111‬
‫الحل‬ ‫أ ‪ a‬جا ‪1 = i‬‬ ‫2 ‬ ‫`‪6 =i‬‬ ‫أى أن الحل العام للمعادلة هو     ‪2 + r‬ن ‪    r‬أو   - ‪2+ r + r‬ن ‪ ،   r‬ن ∈ ‪N‬‬ ‫6‬ ‫6‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪r‬‬ ‫ص 2‬ ‫س‬ ‫2‪r‬‬ ‫2/3‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫2/‪r‬‬ ‫1‬ ‫5٫0‬ ‫-1‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫2/-‪r‬‬ ‫2/-3‪r2- r‬‬ ‫-‪r‬‬ ‫/‬ ‫ص -2‬ ‫2‬ ‫ب ‪ a‬جتا ‪ 2 = i‬‬ ‫`‪4 =i‬‬ ‫أى أن الحل العام للمعادلة هو 2ن ‪    ،   r ! r‬ن ∈ ‪N‬‬ ‫ ‬ ‫4‬ ‫‪r‬‬ ‫ص‬ ‫1‬ ‫17٫0‬ ‫س‬ ‫2‪r‬‬ ‫2/3‪r‬‬ ‫2/-‪r‬‬ ‫2/‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫-‪r‬‬ ‫2/-3‪r‬‬ ‫-2‪r‬‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫ج‍ ‪ a‬ظا ‪ 3 = i‬‬ ‫`‪3 =i‬‬ ‫أى أن الحل العام للمعادلة هو    ‪r + r‬ن   ،   ن ∈ ‪N‬‬ ‫ ‬ ‫3‬ ‫‪r‬‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ ‬ ‫‌ أوجد الحل العام لكل من المعادالت اآلتية:‬ ‫3‬ ‫ب 2جتا ‪ 1 = i‬‬ ‫أ جا ‪ 2 = i‬‬ ‫3‬ ‫ج‍‬ ‫ظا ‪2 = i‬‬ ‫مـثـال‬ ‫3‬ ‫‌ أوجد الحل العام للمعادلة: جا ‪ i‬جتا ‪ 2 = i‬جا ‪i‬‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫3‬ ‫جا ‪ i‬جتا ‪ 2 - i‬جا ‪ = i‬‬ ‫0‬ ‫إما‬ ‫جا ‪0 = i‬‬ ‫  ‪، 0 = i‬‬ ‫الحل العام للمعادلة‬ ‫211‬ ‫ ‪ = i‬ن ‪ r‬حيث ن ∈ ‪N‬‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫3‬ ‫جا ‪( i‬جتا ‪0 =  ) 2 - i‬‬ ‫3‬ ‫أو جتا‪0 = 2 - i‬‬ ‫3‬ ‫جتا‪2 =    i‬‬ ‫  ‪r =    i‬‬ ‫6‬ ‫  ‪2 + r ! =    i‬ن‪ r‬حيث ن ∈ ‪N‬‬ ‫6‬
‫يثلثملا تالداعملا لح‬ ‫والشكل البيانى التالى يمثل جزءا من حل المعادلة.‬ ‫ً‬ ‫س‬ ‫2‪r‬‬ ‫2/3‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ص‬ ‫و‬ ‫2/‪r‬‬ ‫2/-‪r‬‬ ‫-‪r‬‬ ‫2/-3‪r‬‬ ‫-2‪r‬‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫تفكير ناقد: هل بالضرورة أن جميع المعادالت المثلثية لها حلول حقيقية؟ وضح ذلك بأمثلة.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد الحل العام لكل من المعادالت اآلتية:‬ ‫أ جتا2 ‪ - i‬جتا ‪ 0 = i‬ب 2 جا2 ‪ = i‬جا ‪ i‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ج‍   2 جا ‪ i‬جتا ‪ - i‬جا ‪0 = i‬‬ ‫حل المعادالت المثلثية فى الفترة [0، 2‪[r‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ حل المعادلة: جا ‪ i‬جتا ‪ 1 - i‬جتا ‪    0 = i‬إذا كانت   0‪c180 i c‬‬ ‫2‬ ‫الحل‬ ‫جتا ‪(i‬جا ‪ 0 = ) 1 - i‬‬ ‫2‬ ‫بالتحليل‬ ‫جتا ‪       0 = i‬أو      جا ‪1 = i‬‬ ‫2‬ ‫‪         c90 = i‬أو      ‪      c30 = i‬أو      051‪c‬‬ ‫حل المعادلة هى: 03‪     c‬أو    09‪      c‬أو     051‪c‬‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كانت 0‪ c360 H i c‬فأوجد مجموعة حل كل من المعادالت اآلتية:‬ ‫ب 4 جا2 ‪ 3 – i‬جا ‪ i‬جتا ‪0 = i‬‬ ‫أ 2 جا ‪ i‬جتا ‪ 3 + i‬جتا ‪ 0 = i‬‬ ‫ ‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ أوجد الحل العام لكل من المعادالت اآلتية بالراديان .‬ ‫ب جتا ‪ = i‬جا2 ‪ i‬‬ ‫أ ظا ‪ 1 = i‬‬ ‫ ‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫ج‍ 2 جا ‪0 = 3 - i‬‬ ‫311‬
‫حل المثلث القائم الزاوية‬ ‫5 ‍‬ ‫‪Solving the Right Angled Triangle‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫حل املثلث القائم الزاوية بمعلومية‬ ‫طوىل ضلعني.‬ ‫حل املثلث القائم الزاوية بمعلومية‬ ‫طول أحد أضالعه وقياس إحدى‬ ‫زاوياه احلادة.‬ ‫فكر‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫نعلم أن للمثلث ستة عناصر هى أضالعه الثالثة وزواياه الثالث ، وحل المثلث يعنى‬ ‫إيجاد قياسات عناصره الستة، وإذا كان المثلث قائم الزاوية فإنه يلزم معرفة إما‬ ‫طولى ضلعين فيه أو طول أحد أضالعه وقياس إحدى زاويتيه الحادتين.‬ ‫حل المثلث القائم الزاوية �إذا علم منه طوال �ضلعين:‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ حل المثلث ‪ C‬ب جـ القائم الزاوية فى ب والذي فيه ‪ C‬ب = 93 سم، ب جـ = 26سم.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫حل املثلث ‬ ‫‪Solution of a tringle‬‬ ‫الحل‬ ‫اً‬ ‫أول: نوجد ‪ c( X‬جـ):‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬ب‬ ‫‪ a‬ظا جـ = ب جـ‬ ‫ب‬ ‫باستخدام اآللة الحاسبة يكون:‬ ‫ ‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫      ‪ c( X‬جـ) = 71 ً 01 َ 23‪c‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫نوجد ‪:)C c( X‬‬ ‫‪c57 َ 49 ً 43 = c32 َ 10 ً 17 – c90 = )C c( X‬‬ ‫أو من الممكن استخدام الحاسبة كاآلتى: ‬ ‫,,,‪c‬‬ ‫,,,‪c‬‬ ‫=‬ ‫7‬ ‫‪Ans‬‬ ‫1‬ ‫1-‪Tan‬‬ ‫,,,‪c‬‬ ‫ثانيا: نوجد طول: ‪ C‬جـ‬ ‫ً‬ ‫ ‪ a‬جا جـ = ‪ C‬ب ‬ ‫‪ C‬جـ‬ ‫411‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫0‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫?‬ ‫93 سم‬ ‫` ظا جـ = 93 - 1852230926.0‬ ‫26‬ ‫‪Shift‬‬ ‫?‬ ‫=‬ ‫,,,‪c‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫6‬ ‫3‬ ‫26 سم‬ ‫÷‬ ‫–‬ ‫93‬ ‫‪ a‬جا 71 ً 01 َ 23‪= c‬‬ ‫‪ C‬جـ‬ ‫9‬ ‫3‬ ‫0‬ ‫9‬ ‫,,,‪c‬‬ ‫=‬ ‫?‬ ‫جـ‬ ‫$‬ ‫$‬
‫ةيوازلا مئاقلا ثلثملا لح‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫,,,‪c‬‬ ‫7‬ ‫93‬ ‫فيكون  ‪ C‬جـ =‬ ‫جا 71 01 23‪c‬‬ ‫فكر‬ ‫1‬ ‫,,,‪c‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫,,,‪c‬‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫‪sin‬‬ ‫÷‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫9‬ ‫$‬ ‫- 42118542.37 سم‬ ‫× ×هل توجد دوال مثلثية أخرى تستطيع بواستطها إيجاد طول ‪ C‬جـ ؟ اذكر هذه الدوال إن وجدت.‬ ‫× ×هل يمكنك االستعانة بنظرية فيثاغورث إليجاد طول ‪ C‬جـ ؟ أكتب خطوات الحل إن أمكنك ذلك.‬ ‫× ×أيهما تفضل استخدام نظرية فيثاغورث إليجاد طول ‪ C‬جـ أم استخدام إحدى الدوال المثلثية؟ لماذا؟‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ حل المثلث ‪ C‬ب جـ القائم الزاوية فى ب فى الحالتين اآلتيتين :‬ ‫ب ب جـ = 5 سم ، ‪ C‬جـ = 31 سم‬ ‫أ ‪C‬ب = 8 سم ، ب جـ = 21 سم ‬ ‫ ‬ ‫حل المثلث القائم الزاوية �إذا علم منه طول �ضلع وقيا�س زاوية‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ حل المثلث ‪ C‬ب جـ القائم الزاوية فى ب، حيث ‪ c( X‬جـ ) = 26‪ C ،c‬ب = 61 سم، مقر ًبا الناتج لرقمين عشريين.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫نوجد ‪:)C c( X‬‬ ‫‪c28 = c62 – c90 = )C c( X‬‬ ‫نوجد طول ب جـ :‬ ‫61‬ ‫‪C‬ب‬ ‫‪ a‬ظا جـ = ب جـ     أى أن: ظا 26‪ = c‬ب جـ  فيكون‬ ‫ب جـ * ظا 26‪16 = c‬‬ ‫ ‬ ‫ب جـ = 61 = 709053705.8 - 15.8 سم‬ ‫ظا 26‪c‬‬ ‫نوجد طول ‪ C‬جـ :‬ ‫61‬ ‫‪ a‬جا جـ = ‪ C‬ب     أى أن: جا 26‪= c‬‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫?‬ ‫?‬ ‫61 سم‬ ‫ب‬ ‫?‬ ‫26‪c‬‬ ‫جـ‬ ‫‪ C‬جـ = 61 = 18021121.81 - 21.81 سم‬ ‫جا 26‪c‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ C‬جـ‬ ‫‪ C‬جـ × جا 26‪16 = c‬‬ ‫‪ C‬جـ‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ حل المثلث ‪ C‬ب جـ القائم الزاوية فى ب فى الحالتين اآلتيتين:‬ ‫ب ‪ C‬جـ = 62 سم ، ‪c53 /12 = )C c( X‬‬ ‫أ ‪ C‬ب = 8 سم ، ‪ c( X‬جـ ) = 43‪ c‬‬ ‫ ‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫511‬
‫تفكير ناقد:‬ ‫هل يمكن حل المثلث القائم الزاوية بمعلومية زاويتيه الحادتين؟ فسر إجابتك .‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ الربط بالهندسة: دائرة طول نصف قطرها 7 سم، رسم فيها وتر يقابل زاوية كزية قياسها 011‪،c‬‬ ‫مر‬ ‫احسب طول هذا الوتر ألقرب ثالثة أرقام عشرية.‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫فى الشكل المقابل: نرسم م ‪ C = E‬ب‬ ‫ ‬ ‫من خواص الدائرة: نقطة د منتصف ‪ C‬ب‬ ‫ ‬ ‫نوجد طول ‪ E C‬فى المثلث ‪ E C‬م القائم الزاوية:‬ ‫‪ C c( X‬م ‪c55 = 2 ÷ c110 = )E‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪E‬‬ ‫جا (‪ C‬م ‪ C = )E‬‬ ‫م‬ ‫ ‬ ‫55‪c‬‬ ‫‪C‬‬ ‫م‬ ‫ب‬ ‫‪E‬‬ ‫حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين :‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫أى أن: جا 55 ‪E C =c‬‬ ‫7‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫من تعريف دالة الجيب‬ ‫           ‪ × 7 = E C‬جا 55‪ 5.73406431 - c‬سم‬ ‫إيجاد طول ‪ C‬ب : ‪ C‬ب = 2 * ‪E C‬‬ ‫أى أن: ‪ C‬ب = 2×13460437.5 = 26821864.11 - 864.11 سم‬ ‫جـ‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ الربط بالهندسة: يبين الشكل المقابل دائرة مركزها م ، ‪ C‬ب قطر فيها،‬ ‫ فإذا كان ‪C‬جـ = 21 سم، ‪ c37 = )C c( X‬فأوجد طول نصف قطر الدائرة.‬ ‫ ألقرب رقمين عشريين.‬ ‫‪C‬‬ ‫73‪c‬‬ ‫م‬ ‫ب‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ س ص ع مثلث فيه س ص = 5.11 سم، ص ع = 6.72 سم، س ع = 9.92 سم، أثبت أن المثلث قائم الزاوية‬ ‫فى ص، ثم أوجد قياس زاوية س‬ ‫‌ تفكير ناقد: دائرة طول نصف قطرها 6 سم، رسم فيها وتر يقابل زاوية كزية قياسها 801‪ c‬احسب طول‬ ‫مر‬ ‫هذا الوتر مقربا الناتج ألقرب رقمين عشريين.‬ ‫ً‬ ‫611‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫زوايا االرتفاع وزوايا االنخفاض‬ ‫5 ‍‬ ‫‪Angles of Elevation and Angles of Depression‬‬ ‫فكر‬ ‫و‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫ناقش‬ ‫هل يمكنك أن توجد ارتفاع مأذنه عن سطح األرض وأنت تبتعد عنها مسافة معلومة‬ ‫دون أن تقوم بالقياس الفعلى لطول هذه المأذنه؟‬ ‫تعلم‬ ‫مفهوم زوايا االرتفاع واالنخفاض.‬ ‫استخدام املثلث القائم الزاوية‬ ‫حلل مسائل تتضمن زوايا االرتفاع‬ ‫واالنخفاض.‬ ‫‬ ‫زوايا االرتفاع واالنخفاض‬ ‫‪Angles of Elevation and Angles of Depression‬‬ ‫1- إذا رصد شخص ‪ C‬نقطة جـ أعلى‬ ‫من مستوى نظره األفقى ‪ C‬ب فإن‬ ‫الزاوية بين ‪ C‬ب ، ‪ C‬جـ تسمى‬ ‫زاوية ارتفاع جـ عن المستوى‬ ‫األفقى لنظر الشخص ‪.C‬‬ ‫ب‬ ‫د‬ ‫الشعاع األفقى‬ ‫زاوية األنخفاض‬ ‫ع وا‬ ‫صل ب‬ ‫شعا‬ ‫ين ال‬ ‫جسم‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫ي‬ ‫ن ال‬ ‫ج‬ ‫سم و‬ ‫زاوية االرتفاع‬ ‫عين‬ ‫الرا‬ ‫الشعاع األفقى‬ ‫ص‬ ‫د عين‬ ‫‪ C‬الراصد‬ ‫2-وإذا رصد شخص ‪ C‬نقطة د أسفل‬ ‫من مستوى نظره األفقى ‪ C‬ب فإن‬ ‫الزاوية بين ‪ C‬ب ، ‪ C‬د تسمى‬ ‫زاوية أنخفاض د عن المستوى‬ ‫األفقى لنظر الشخص ‪.C‬‬ ‫‪ C‬عين‬ ‫صد الراصد‬ ‫ن الرا‬ ‫و عي‬ ‫ش‬ ‫عاع‬ ‫وا‬ ‫صل ب‬ ‫3- فى الشكل المقابل:‬ ‫× ×‪ c‬جـ ‪ C‬ب هى زاوية ارتفاع‬ ‫البالون بالنسبة للشخص عند ‪.C‬‬ ‫× ×‪ E c‬ب ‪ C‬هى زاوية انخفاض‬ ‫الشخص عند ‪ C‬بالنسبة للبالون وفى‬ ‫هذه الحالة يكون: ∝ = ‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫زا‬ ‫ألن‬ ‫زاوية ارتفاع‬ ‫‪Angle of Elevation‬‬ ‫زاوية انخفاض‬ ‫‬ ‫‪Angle of Depression‬‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫ب مستوى النظر األفقى ‪E‬‬ ‫و‬ ‫ية ا‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫خفا‬ ‫ض‬ ‫∝‬ ‫جـ مستوى النظر األفقى‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫‪C‬‬ ‫711‬
‫حاول أن تحل‬ ‫‪i‬‬ ‫‌ فى الشكل المقابل‬ ‫اً‬ ‫ أول: حدد نوع كل زاوية (‪ )a( ،)i( ،)b( ،)c‬من حيث‬ ‫كونها زاوية ارتفاع أم انحفاض بالنسبة للراصد عند ‪.C‬‬ ‫ ‬ ‫∝‬ ‫‪b‬‬ ‫ثانيا: اكتب أزواج الزوايا المتساوية.‬ ‫‪c‬‬ ‫مـثـال‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫فتكون ‪ C E c‬جـ هى زاوية انخفاض الجسم‬ ‫لذلك فإن: ‪c( X‬جـ) = ‪ C Ec( X‬جـ)‬ ‫ ‬ ‫تعريف دالة الظل: ‬ ‫ ‬ ‫ب جـ × ظا 63 َ 82‪60 = c‬‬ ‫ ‬ ‫نفرض أن ‪ C‬هى قمة البرج ‪ C‬ب‬ ‫بالتعويض عن ‪ C‬ب = ‬ ‫06:‬ ‫ب جـ         =‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫06‬ ‫ظا 63 َ 82‪c‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫63/  82‪c‬‬ ‫06مترا‬ ‫ً‬ ‫‌ من قمة برج ارتفاعه 06 مترا وجد أن قياس زاوية انخفاض‬ ‫ً‬ ‫جسم واقع فى المستوى األفقى المار بقاعدة البرج تساوى‬ ‫63 َ 82‪ .c‬أوجد بعد الجسم عن قاعدة البرج ألقرب متر.‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫63/  82‪c‬‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬ب‬ ‫ظاجـ        = ب جـ‬ ‫06‬ ‫ظا 63 َ 82‪ =         c‬ب جـ‬ ‫= 66922.521 - 521 مترا‬ ‫‌ رصد شخص من قمة جبل ارتفاعه 65.2 كم نقطة على سطح األرض، فوجد أن زاوية انخفاضها هو 36‪.c‬‬ ‫أوجد المسافة ألقرب متر بين النقطة والراصد.‬ ‫مـثـال‬ ‫‪C‬‬ ‫‌ عمود إنارة طوله 2.7 متر يلقى ظلاًّ على األرض طوله 8.4 متر، أوجد بالراديان‬ ‫قياس زاوية ارتفاع الشمس عندئذ.‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫نفرض أن نقطة ‪ C‬هى قمة عمود اإلنارة ‪ C‬ب، وأن ب جـ هو طول ظل العمود،‬ ‫‪ i‬زاوية ارتفاع الشمس‬ ‫ ‬ ‫‪C‬ب‬ ‫‪ a‬ظاجـ = ب جـ ‬ ‫ ‬ ‫` زاوية ارتفاع الشمس بالراديان = 63 َ 81 ً 65‪* c‬‬ ‫ ‬ ‫2٫7 م‬ ‫  ‪c56 ً 18 َ 36 = )ic( X‬‬ ‫811‬ ‫ب‬ ‫` ظا ‪1.5 = 7.2 = i‬‬ ‫8.4‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫‪r‬‬ ‫081‪c‬‬ ‫- 2327397289.0‬ ‫‪E‬‬ ‫8٫4 م‬ ‫‪i‬‬ ‫جـ‬
‫فخنالا اياوزو عافترالا اياوز‬ ‫مالحظة:‬ ‫يمكن استخدام اآللة الحاسبة إليجاد ‪ i‬بالراديان مباشرة دون إيجادها بالدرجات كاآلتى:‬ ‫‪Mode‬‬ ‫(4: ‪4 )Rad‬‬ ‫1- تهيئة اآللة الحاسبة على نظام (‪:)Radian‬‬ ‫ ‬ ‫2- أدخال البيانات (‪:)Data‬‬ ‫ ‬ ‫‪Shift‬‬ ‫‪r      math‬‬ ‫237397289.0‬ ‫(1-‪)tan‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫3- أستدعاء النواتج (‪:)call outputs‬‬ ‫.‬ ‫1‬ ‫=‬ ‫‪Shift‬‬ ‫5‬ ‫$‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ من قمة صخرة ارتفاعها 081 متر من سطح البحر قيست زاوية انخفاض قارب يبعد 003 متر عن قاعدة‬ ‫الصخرة، فما مقدار قياس زاوية االنخفاض بالراديان؟‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ وقف شخص على صخرة ارتفاعها 05 مترا، والحظ سفينتين فى البحر على شعاع واحد من قاعدة الصخرة‬ ‫ً‬ ‫وقاس زاويتى انخفاضيهما، فوجدهما 83 ‪ c55 ،c‬أوجد البعد بين السفينتين ألقرب متر .‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫نفرض أن ارتفاع الصخرة هو ‪ C‬ب ، وأن البعد بين السفينتين هو جـ ‪E‬‬ ‫فى 9 ‪ C‬ب ‪:E‬‬ ‫05‬ ‫‪ a‬ظا 83‪ = c‬ب ‬ ‫‪E‬‬ ‫` ب ‪ 64 -    E‬متر‬ ‫05‬ ‫‪ a‬ظا 55‪ = c‬ب جـ ‬ ‫‪ a‬جـ ‪ =       E‬ب ‪ – E‬ب جـ ‬ ‫05‬ ‫` ب ‪= E‬‬ ‫ظا 83‪c‬‬ ‫‪C‬‬ ‫05‬ ‫` ب جـ =‬ ‫ظا 55‪c‬‬ ‫` جـ ‪ 29 = 35 – 64 =     E‬متر‬ ‫55‪c‬‬ ‫83‪c‬‬ ‫05 متر‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫- 53 متر‬ ‫ب‬ ‫55‪c‬‬ ‫جـ‬ ‫83‪c‬‬ ‫؟‬ ‫‪E‬‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ شاهد راصد أن قياس زاوية ارتفاع منطاد مثبت هى 03‪ ،c‬ولما سار الراصد فى مستوى أفقى نحو المنطاد‬ ‫ً‬ ‫مسافة 0001 متر شاهد أن قياس زاوية االرتفاع هى 54‪ .c‬أوجد ارتفاع المنطاد ألقرب متر.‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ يقف شخص على بعد 05 متر من قاعة برج ، رصد زاوية ارتفاع قمة برج، فوجد أن قياسها 52‪ . c‬أوجد‬ ‫ارتفاع البرج ألقرب متر.‬ ‫‌ رصد شخص طائرة على ارتفاع 0001 متر، فوجد أن قياس زاوية ارتفاعها 71 َ 52‪ . c‬أوجد المسافة بين‬ ‫الراصد عن الطائرة.‬ ‫‌ رصد شخص واقف على سطح األرض طائرة على ارتفاع 008 متر عن سطح األرض، فوجد أن قياس زاوية‬ ‫ارتفاعها 71 َ 52‪ .c‬أوجد المسافة بين الشخص والطائرة .‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫911‬
‫القطاع الدائرى‬ ‫5 ‍‬ ‫‪Circular Sector‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫فكر‬ ‫مفهوم القطاع الدائرى‬ ‫إجياد مساحة القطاع الدائرى‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫قطاع دائرى‬ ‫‪Circular Sector‬‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫القطاع الدائرى:‬ ‫سبق أن درست العالقة بين طول قوس (ل) من دائرة‬ ‫طول نصف قطرها (‪ )H‬وقياس الزاوية كزية‬ ‫المر‬ ‫المقابلة لهذا القوس (‪ )i‬وعلمت أن: ل = ‪.H * Ei‬‬ ‫فهل يمكنك إيجاد مساحة هذا الجزء من سطح الدائرة‬ ‫المظلل فى الشكل المقابل؟‬ ‫م‬ ‫‪H‬‬ ‫ل‬ ‫القطاع الدائرى: هو جزء من سطح الدائرة محدود‬ ‫بنصفى قطرين وقوس.‬ ‫ففى الشكل المجاور م ‪ ، C‬م ب يقسمان الدائرة إلى‬ ‫قطاعين دائريين، القطاع األصغر م ‪ C‬ج‍ ‌ب والقطاع‬ ‫األكبر م‪ E C‬ب. وتسمى ‪C c‬م ب بزاوية القطاع‬ ‫األصغر، ‪Cc‬م ب المنعكسة بزاوية القطاع األكبر.‬ ‫م�ساحة القطاع الدائرى‬ ‫‪H i‬‬ ‫‪E‬‬ ‫القطاع األكبر‬ ‫م‬ ‫‪C‬‬ ‫القطاع األصغر‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫‪Area of the Circular sector‬‬ ‫نشاط:‬ ‫ب‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫‪C‬‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫‪Scientific Calculator‬‬ ‫‬ ‫021‬ ‫ب‬ ‫م‬ ‫‪C‬‬ ‫م‬ ‫‪C‬‬ ‫م‬ ‫ب‪C‬‬ ‫م‬ ‫األشكال الموضحة بالشكل العلوى تمثل عددا من الدوائر المتطابقة:‬ ‫ً‬ ‫1- هل زيادة مساحات القطاعات الدائرية ناتج عن زيادة طول نصف قطر الدائرة؟‬ ‫2- هل زيادة مساحات القطاعات الدائرية ناتج عن زيادةقياس زاوية القطاع الدائرى؟‬ ‫3- إذا استمرت الزيادة فى قياس زاوية القطاع إلى أن ينطبق الضلع النهائى م ب‬ ‫على الضلع االبتدائى م ‪ C‬فماذا تتوقع أن تكون مساحة القطاع؟‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫ىرئادلا عاطقلا‬ ‫تعلم‬ ‫مساحة القطاع الدائرى بمعلومية قياس زاويته المركزية وطول نصف القطر‬ ‫مساحة القطاع يمثل جزء من مساحة دائرة قياس زاويتها المركزية يساوى 2‪. r‬‬ ‫من النشاط السابق نستنتج أن:‬ ‫ ‬ ‫مساحة القطاع =‬ ‫ ‬ ‫‪E‬‬ ‫            = ‪i 2H 1 = 2H r * i‬‬ ‫2‬ ‫2‪r‬‬ ‫ ‬ ‫م‬ ‫مساحة الدائرة‬ ‫أى أن مساحة القطاع    =‬ ‫‪H‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪i‬‬ ‫2‪r‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ * i‬مساحة الدائرة‬ ‫2‪r‬‬ ‫مساحة القطاع الدائرى = 1 ‪i 2H‬‬ ‫2‬ ‫‪E‬‬ ‫‪H i‬‬ ‫ل‬ ‫‪E‬‬ ‫(حيث ‪ i‬زاوية القطاع، ‪ H‬طول نصف قطر دائرته)‬ ‫تفكير ناقد: هل تعتبر الدائرة قطاعا دائر يا؟ وضح ذلك‬ ‫ً‬ ‫ًّ‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد مساحة القطاع الدائرى الذى طول نصف قطر دائرته 01 سم وقياس زاويته2.1‬ ‫‪E‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫مساحة القطاع الدائرى = 1‬ ‫‪E‬‬ ‫2‪i H‬‬ ‫ ‬ ‫صيغة القانون:‬ ‫2‬ ‫     = 1 (01)2 * 2.1 = 06 سم‬ ‫بالتعويض عن ‪ :E1.2 = Ei ،10 = H‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ قطاع دائرى مساحته 072 سم2 وطول نصف قطر دائرته 51 سم ، أوجد بالراديان قياس زاويته .‬ ‫ثانيا: إيجاد مساحة القطاع الدائرى بمعلومية زاويته بالدرجات:‬ ‫ً‬ ‫مساحة القطاع‬ ‫‪ a‬مساحته دائرته =‬ ‫1‬ ‫2 ‪i * 2H‬‬ ‫2‬ ‫‪Hr‬‬ ‫‪E‬‬ ‫  ولكن      ‪ = Ei‬س‪c‬‬ ‫2‪c360 r‬‬ ‫` مساحة القطاع = س‪ * c‬مساحة الدائرة‬ ‫063‪c‬‬ ‫تذكر‬ ‫العالقة بين القياس الستينى‬ ‫والقياس الدائرى هى:‬ ‫مـثـال‬ ‫‪ Ei‬س‪c‬‬ ‫=‬ ‫‪c180 r‬‬ ‫‌ قطاع دائرى طول نصف قطر دائرته 61 سم وقياس زاويته 021‪ ،c‬أوجد مساحته ألقرب سنتيمتر مربع .‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫س‪c‬‬ ‫2‬ ‫*‪Hr‬‬ ‫      مساحة القطاع =‬ ‫صيغة القانون:‬ ‫063‪c‬‬ ‫2‬ ‫بالتعويض عن ‪، 16 = H‬س‪ 268 - 2)16( r * c120 =           :c120 =c‬سم‬ ‫063‪c‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫121‬
‫حاول أن تحل‬ ‫‌ قطاع دائرى قياس زاويته 06‪ c‬وطول نصف قطر دائرته 21 سم أوجد مساحته ألقرب رقم عشرى واحد.‬ ‫ً‬ ‫ثالثا:إيجاد مساحة القطاع الدائرى بمعلومية طول قوسه‬ ‫تعلم أن: مساحة القطاع الدائرى = 1 ‪i 2H‬‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫تذكر‬ ‫طول القوس الذى يقابل زاوية‬ ‫‪E‬‬ ‫ل‬ ‫   = 1 ‪ 1 = H * 2H‬ل ‪H‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫مركزية قياسها ‪ i‬فى دائرة‬ ‫طول نصف قطرها ‪ H‬يتحدد‬ ‫من العالقة:‬ ‫‪E‬‬ ‫ل=‪H× i‬‬ ‫ل‬ ‫      (وذلك بالتعويض عن: ‪) H = Ei‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد مساحة قطاع دائرى محيطه يساوى 82 سم، وطول نصف قطر دائرته 8 سم.‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫محيط القطاع = 2 ‪ + H‬ل: أى  2 ‪ + H‬ل = 82‬ ‫ ‬ ‫بالتبسيط:‬ ‫م‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫بالتعويض عن ‪ 8 = H‬سم: ‬ ‫ ‬ ‫أ‬ ‫ض‬ ‫ف إل‬ ‫علو‬ ‫    2 * 8 + ل = 82‬ ‫ى‬ ‫ما‬ ‫تك‬ ‫محيط القطاع الذى طول‬ ‫قوسه ل وطول نصف قطر‬ ‫دائرته ‪ H‬يتحدد من العالقة :‬ ‫محيط القطاع = 2‪ + H‬ل‬ ‫    ل = 82 – 61 = 21 سم‬ ‫صيغة القانون: مساحة القطاع = 1 ل ‪H‬‬ ‫2‬ ‫ بالتعويض عن: ل = 21 سم، ‪ 8 = H‬سم:‬ ‫2‬ ‫مساحة القطاع = 1 * 21* 8 = 84 سم‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫‪H‬‬ ‫م‬ ‫‪H‬‬ ‫ل‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ الربط بالجغرافيا: إذا علمت أن خط االستواء هو دائرة طول نصف قطرها 0836 كم، فأوجد المسافة بين‬ ‫مدينتين على خط األستواء إذا كان القوس الواصل بينهما يقابل زاوية قياسها 03‪ c‬عند كز األرض.‬ ‫مر‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ أوجد بداللة ‪ r‬مساحة الجزء المظلل فى كل شكل من األشكال اآلتية:‬ ‫ج‍‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫6 سم‬ ‫8 سم‬ ‫221‬ ‫3 سم‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫3 سم‬ ‫6 سم‬ ‫د‬ ‫7 سم‬ ‫5 سم‬ ‫06‪c‬‬ ‫2 سم‬
‫القطعة الدائرية‬ ‫5 ‍‬ ‫‪Circular Segment‬‬ ‫تعلم‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫القطعة الدائرية‬ ‫القطعة الدائرية هى جزء من سطح الدائرة محدود بقوس فيها ووتر مار بنهايتى ذلك‬ ‫القوس.‬ ‫الوتر ‪ C‬ب يقسم الدائرة إلى قطعتين دائرتين تسمى‬ ‫القطعة الصغرى ‪ C‬جـ ب والقطعة الكبرى ‪ E C‬ب،‬ ‫وتسمى ‪ Cc‬م ب بزاوية القطعة الصغرى بينما‬ ‫‪ Cc‬م ب المنعكسة بزاوية القطعة الكبرى.‬ ‫‪E‬‬ ‫ القطعة الدائرية‬ ‫ إجياد مساحة القطعة الدائرية‬ ‫القطعة الكبرى‬ ‫م‬ ‫‪ C‬القطعة الصغرى‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫�إيجاد م�ساحة القطعة الدائرية:‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫تذكر‬ ‫مساحة المثلث = 1 ‪ × H‬ع‬ ‫2‬ ‫م‬ ‫‪H‬‬ ‫‪i‬‬ ‫حيث:‬ ‫جا ‪= i‬‬ ‫‪H‬‬ ‫جـ‬ ‫‪i‬‬ ‫‪H‬‬ ‫ع = ‪ H‬جا ‪i‬‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫ع‬ ‫‪H‬‬ ‫قطعة دائرية‬ ‫‪Circular Segment‬‬ ‫ع‬ ‫‪H‬‬ ‫مساحة المثلث =‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫* ‪ H * H‬جا‪i‬‬ ‫مساحة القطعة الصغرى ‪ C‬جـ ب‬ ‫= مساحة القطاع األصغر م ‪ C‬ب - مساحة سطح المثلث م ‪ C‬ب‬ ‫ ‬ ‫= 1 ‪ H * H * 1 - Ei 2H‬جا‪i‬‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫مساحة القطعة الدائرية = 1 ‪ - Ei(2H‬جا ‪)i‬‬ ‫2‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫ آلة حاسبة علمية‬ ‫‪Scientific Calculator‬‬ ‫‬ ‫حيث ‪ H‬طول نصف قطر دائرتها، ‪ i‬هو قياس زاوية القطعة.‬ ‫فكر: هل يمكنك إيجاد مساحة القطعة الكبرى بمعلومية مساحة القطعة الصغرى؟‬ ‫وضح ذلك.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫321‬
‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد مساحة القطعة الدائرية التى طول نصف قطر دائرتها 8 سم، قياس زاويتها 051‪.c‬‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪r * c150 =       Ei‬‬ ‫081‪c‬‬ ‫جا‪ = i‬جا051‪c‬‬ ‫- 5‪r‬‬ ‫6‬ ‫مساحة القطعة الدائرية = 1 ‪ - Ei( 2H‬جا‪)i‬‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫مساحة القطعة الدائرية = 1 * 46 ( 5‪ – r‬جا051‪ 67.7758 - )c‬سم‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫6‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫2‬ ‫‌ أوجد مساحة القطعة الدائرية التى طول نصف قطر دائرتها 01 سم، قياس زاويتها 2.2‪ E‬مقربا الناتج‬ ‫ً‬ ‫ألقرب رقمين عشريين.‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ دائرتان متطابقتان طول نصف قطر كل منهما 21 سم، وتمر كل منهما كز األخرى. أوجد مساحة‬ ‫بمر‬ ‫كة بينهما.‬ ‫المنطقة المشتر‬ ‫الحل‬ ‫نرسم ‪ C‬جـ فيقسم الجزء المظلل إلى قطعتين متساويتين فى المساحة حيث‬ ‫الزاوية كزية لكل منها 09‪ c‬ونصف قطر كل منها 21 سم.‬ ‫المر‬ ‫مساحة الجزء المظلل   = 2 * مساحة القطعة الدائرية‬ ‫         = 2 * 1 ‪ -Ei( 2H‬جا‪)i‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫        = 441 ( ‪ - r‬جا ‪r‬‬ ‫2 ) = 441 * 57٫0 - 91٫28 سم‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫‪C‬‬ ‫21 سم‬ ‫ب‬ ‫‪E‬‬ ‫جـ‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد مساحة القطعة الدائرية الكبرى التى طول وترها 21 سنتيمترا‬ ‫ً‬ ‫وارتفاعها 2 سنتيمتر مقربا الناتج ألقرب سنتيمتر مربع.‬ ‫ً‬ ‫2 سم‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫م‬ ‫أرتفاع القطعة‬ ‫‌ زينه: حوض زهور على شكل دائرة طول نصف قطرها 8 أمتار، رسم فى الدائرة وتر طوله 8 أمتار. احسب‬ ‫مساحة القطعة الدائرية الصغرى ألقرب رقم عشرى واحد.‬ ‫‌ زراعة: حوض للزرع على شكل دائرة طول نصف قطرها 4 أمتار، قُسم إلى أربعة أجزاء بواسطة مثلث‬ ‫متساوى األضالع تقع رؤوسه على الدائرة. احسب مساحة إحدى القطع الدائرية الصغرى ألقرب رقمين‬ ‫عشريين .‬ ‫421‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫المساحات‬ ‫5 ‍‬ ‫‪Areas‬‬ ‫فكر‬ ‫و‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫ناقش‬ ‫مساحة املثلث‬ ‫م�ساحة المثلث:‬ ‫‪The Area of a Triangle‬‬ ‫سبق أن درست مساحة المثلث وعلمت أن مساحته تتحدد كاآلتى:‬ ‫مساحة المثلث = 1 طول القاعدة * االرتفاع‬ ‫2‬ ‫ففى الشكل المجاور:‬ ‫مساحة المثلث = 1 ب جـ × ‪E C‬‬ ‫2‬ ‫مساحة الشكل الرباعى‬ ‫مساحة املضلع املنتظم‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫‪E‬‬ ‫ب‬ ‫فكر: هل تنطبق هذه العالقة على المثلث القائم الزاوية والمثلث المنفرج الزاوية؟‬ ‫م�ساحة المثلث بمعلومية طولى �ضلعين والزاوية المح�صورة بينهما‬ ‫ ‪The Area of a tringle in terms of the lengths of two sides and the included angle‬‬ ‫مضلع منتظم‬ ‫تعلم‬ ‫من الشكل المقابل:‬ ‫‪E‬‬ ‫جا ب = ‪C‬ب   أى أن:  ‪C = E C‬ب جا ب‬ ‫‪C‬‬ ‫ب‬ ‫تعبير شفهى: أوجد مساحة المثلث بمعلومية كل من:‬ ‫ ‬ ‫وبوجه عام نستنتج أن:‬ ‫‪regular polygon‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫ومن قانون مساحة المثلث:‬ ‫مساحة المثلث = 1 ب جـ * ‪E C‬‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫       = 1 * ب جـ * ‪C‬ب جا ب‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫أ ‬ ‫جـ ‪ ،C‬جـ ب، ‪c‬جـ‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫جـ‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫ب ‪ C‬ب، ‪ C‬جـ، ‪C c‬‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫‪Scientific calculator‬‬ ‫‬ ‫مساحة المثلث = نصف حاصل ضرب طولى ضلعين * جيب الزاوية المحصورة بينهما.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫521‬
‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد مساحة المثلث ‪ C‬ب جـ الذى ‪ C‬ب = 9 سم ، ‪ C‬جـ = 21 سم، ‪ c48 = )Cc(X‬مقربا الناتج ألقرب رقمين‬ ‫ً‬ ‫عشريين.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫مساحة المثلث ‪ C‬ب جـ = 1 * ‪ C‬ب * ‪C‬جـ جا ‪C‬‬ ‫2‬ ‫بالتعويض عن ‪ C‬ب = 9 سم ، ‪ C‬جـ = 21 سم، ‪c48 = )Cc(X‬‬ ‫2‬ ‫مساحة المثلث ‪ C‬ب جـ = 1 * 9 * 21 * جا 84 - 31.04 سم‬ ‫2‬ ‫=‬ ‫8‬ ‫4‬ ‫‪Sin‬‬ ‫×‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫9‬ ‫×‬ ‫2‬ ‫×‬ ‫÷‬ ‫1‬ ‫$‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد مساحة المثلث ‪ C‬ب جـ الذى فيه ب جـ = 61 سم، ب ‪ 22 = C‬سم ، ‪c(X‬ب) = 36 ‪ c‬مقربا الناتج‬ ‫ألقرب ثالثة أرقام عشرية.‬ ‫�إيجاد م�ساحة ال�شكل الرباعى المحدب‬ ‫‪The Area of a Convex Quadrilateral‬‬ ‫فى الشكل المقابل:‬ ‫‪ C‬ب جـ ‪ E‬شكل رباعى فيه ‪ C‬جـ ∩ ب ‪{ = E‬م}‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ C‬هـ = ب ‪ ، E‬جـ و = ب ‪ i ، E‬هى الزاوية المحصورة بين القطرين.‬ ‫مساحة الشكل الرباعى = مساحة 9‪ C‬ب ‪9 + E‬جـ ب ‪E‬‬ ‫ب‬ ‫ ‬ ‫         = 1 ب ‪ C * E‬هـ  +  1 ب ‪ * E‬جـ و‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫‪i‬‬ ‫هـ‬ ‫م‬ ‫و‬ ‫‪i‬‬ ‫جـ‬ ‫         = 1 ب ‪ * E‬جا‪ C( i‬م + جـ م) = 1 ب ‪ C * E‬جـ * جا‪i‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫         = 1 ب ‪ C( E‬هـ + جـ و)      = 1 ب ‪ C( E‬م جا‪ + i‬جـ م جا‪)i‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫وبوجه عام يكون مساحة الشكل الرباعى بمعلومية طولى قطريه والزاوية المحصورة بينهما هى:‬ ‫مساحة الشكل الرباعى = 1 حاصل ضرب طولى قطريه * جيب الزاوية المحصورة بينهما‬ ‫2‬ ‫فكر: هل تتغير مساحة الشكل الرباعى إذا استبدلنا الزاوية ‪ i‬بالزاوية المكملة لها؟ فسر إجابتك.‬ ‫621‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫تاحاسملا‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد مساحة الشكل الرباعى الذى طوال قطريه 21 سم، 61 سم وقياس الزاوية المحصورة بينهما 86‪c‬‬ ‫مقربا الناتج ألقرب سنتيمتر مربع.‬ ‫الحل‬ ‫صيغة المساحة هى:‬ ‫ ‬ ‫ مساحة الشكل الرباعى = 1 حاصل ضرب طولى قطريه * جيب الزاوية المحصورة بينهما‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ ` مساحة الشكل الرباعى    = 1 * 21 * 61 * جا 86‪ 89 - c‬سم‬ ‫2‬ ‫     ‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد مساحة الشكل الرباعى الذى طوال قطريه 23 سم، 64 سم وقياس الزاوية المحصورة بينهما 221‪c‬‬ ‫مقربا الناتج ألقرب رقم عشرى واحد.‬ ‫‌ تفكير ناقد: احسب باستخدام القانون السابق مساحة كال من:‬ ‫ً‬ ‫ ‬ ‫أ مربع طول قطره 01 سم‬ ‫ب معين طوال قطريه 8 سم  ،  21 سم - ماذا تالحظ؟‬ ‫ ‬ ‫�إيجاد م�ساحة الم�ضلع المنتظم‬ ‫‪The area of a regular polygon‬‬ ‫شكل (1): يمثل مضلع منتظم، عدد أضالعه ن وطول ضلعه س.‬ ‫‪C‬‬ ‫شكل (2): يمثل أحد المثلثات المأخوذه من شكل (1)‬ ‫‪c( X a‬ب‪C‬جـ) = 2‪(    r‬لماذا)؟‬ ‫ن‬ ‫‪r‬‬ ‫‪EC‬‬ ‫` ظتا ن = ب ‪    E‬أى أن   ‪ = E C‬ب ‪ * E‬ظتا ن‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ 1 =     E C‬س ظتا ‪(    r‬حيث س طول ضلع المضلع)‬ ‫ن‬ ‫2‬ ‫ب‬ ‫‪E‬‬ ‫س‬ ‫شكل (2)‬ ‫جـ‬ ‫شكل (1)‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫مساحة المثلث = 2 ب جـ  * ‪ 2 = E C‬س * 2 س ظتا ن‬ ‫‪r‬‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫           = 4 س * ظتا ن‬ ‫‪r‬‬ ‫مساحة المضلع الذى عدد أضالعه ن وطول ضلعه س =‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫4 ن س * ظتا ن‬ ‫‪r‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد مساحة الشكل الثمانى المنتظم الذى طول ضلعه 6 سم مقربا الناتج ألقرب رقمين عشريين.‬ ‫ً‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫721‬
‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫      مساحة الشكل المنتظم = 4 ن س * ظتا ن‬ ‫صيغة القانون‬ ‫بالتعويض عن ن = 8، س = 6 سم:‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫تعبير شفهى:‬ ‫‪r‬‬ ‫081˚‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫     المساحة = 4 * 8 * (6) * ظتا 8‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫           = 27 * ظا 5٫22˚ - 8٫371 سم‬ ‫باستخدام صيغة القانون السابق أوجد مساحة كل من:‬ ‫2-  المربع ‬ ‫1-  المثلث المتساوى األضالع ‬ ‫3-  المسدس المنتظم‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد مساحة الشكل الخماسى المنتظم الذى طول ضلعه 61 سم مقربا الناتج ألقرب ثالثة أرقام عشرية.‬ ‫نشاط‬ ‫استخدم برنامج (‪ )GSP‬المجانى ‪ SKETCHEXCHANGE‬وتحميله من الموقع ‪http://www.keycurriculum.com/products/sketchpad‬‬ ‫يستخدم هذا البرنامج لرسم األشكال الهندسية المختلفة وإيجاد أطوال أضالعها وقياسات زواياها ومساحاتها‬ ‫كما يستخدم فى رسم الدوال الجبرية وإيجاد خصائصها فمثل لرسم شكل رباعى وإيجاد مساحته نتبع اآلتى:‬ ‫اً‬ ‫1- نفتح البرنامج كما فى الشكل المجاور.‬ ‫ ‬ ‫نختار صفة الشكل الذى نريد رسمه‬ ‫2- بالضغط على األيقونة‬ ‫ ‬ ‫وبالضغط بالماوس نحدد نقاط الشكل على الرسم.‬ ‫3- بالضغط على األيقونة‬ ‫ ‬ ‫تحديد نقاط الشكل.‬ ‫4- بالضغط على األيقونة‬ ‫تغيير أبعاده.‬ ‫5- بالضغط على األيقونة‬ ‫ ‬ ‫نكتب رموز الشكل تلقائيا بمجرد‬ ‫ًّ‬ ‫يمكن االختيار المناسب إلجراء التحويالت الهندسية المختلفة على الشكل أو‬ ‫يمكن رسم قطع مستقيمة أو مستقيمات أو أشعة فى الشكل .‬ ‫6- من التبويب (‪ )Measure‬نختار نوع القياس المطلوب (محيط، مساحة ، طول ضلع، قياس زاوية، ...) مع‬ ‫ ‬ ‫كتابة بيانات كل قياس بجوار الشكل.‬ ‫7- للتعرف على أدوات أكثر أو عمليات أخرى استخدم التبويب (‪.)Help‬‬ ‫821‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫ملخص الوحدة‬ ‫المتطابقة: هى متساوية صحيحة لجميع قيم المتغير الحقيقية والذى يعرف به كل طرف من طرفى المتساوية.‬ ‫ُْ‬ ‫متطابقات فيثاغورث: جا2 ‪ + θ‬جتا2 ‪ + 1 ، 1 = θ‬ظا2 ‪ = θ‬قا2 ‪ + 1 ، θ‬ظتا2 ‪ = θ‬قتا2 ‪θ‬‬ ‫إثبات صحة متطابقة: إلثبات صحة متطابقة مثلثية نثبت أن الدالتين المحددتين لطرفيها متساويتان.‬ ‫المعادلة: هى متساوية صحيحة لبعض األعداد الحقيقية التى تحقق هذه المتساوية وغير صحيحة للبعض األخر‬ ‫الذى ال يحققها.‬ ‫زاوية االنخفاض‬ ‫زاوية االرتفاع وزاوية االنخفاض:‬ ‫زاوية االرتفاع أو االنخفاض هى اتحاد الشعاع األفقى‬ ‫مع الشعاع البادئ من الجسم مارا بعين الراصد.‬ ‫ًّ‬ ‫قياس زاوية االرتفاع = قياس زاوية االنخفاض (بالتبادل).‬ ‫زاوية األرتفاع‬ ‫القطاع الدائرى : هو جزء من سطح الدائرة محدودة بنصفى قطرين وقوس .‬ ‫2 ‪E‬‬ ‫ ‬ ‫مساحة القطاع الدائرى = 1 ‪θ H‬‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫س‪c‬‬ ‫       =‬ ‫063‪c‬‬ ‫ ‬ ‫           = 1 ل ‪H‬‬ ‫2‬ ‫× مساحة الدائرة ‬ ‫(حيث ‪ Eθ‬زاوية القطاع ، ‪ H‬نصف قطر دائرته)‬ ‫(حيث س‪ c‬زاوية القطاع بالدرجات)‬ ‫(حيث ل طول القوس، ‪ H‬طول نصف قطر دائرته)‬ ‫القطعة الدائرية : هى جزء من سطح الدائرة محدود بقوس فيها ووتر مار بنهايتى ذلك القوس.‬ ‫مساحة القطعة = 1 ‪ - Eθ(2H‬جا‪)θ‬‬ ‫2‬ ‫(حيث ‪ θ‬قياس الزاوية كزية للقطعة، ‪ H‬طول نصف قطر دائرتها).‬ ‫المر‬ ‫ ‬ ‫مساحة المثلث   = 1 طول القاعدة × االرتفاع‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫        = 1 حاصل ضرب ضلعين × جيب الزاوية المحصورة بينهما.‬ ‫2‬ ‫مساحة الشكل الرباعى = 1 حاصل ضرب القطرين × جيب الزاوية المحصورة بينهما.‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫مساحة الشكل المنتظم = 4 ن س × ظتا ن‬ ‫‪r‬‬ ‫ ‬ ‫(حيث ن عدد أضالع المضلع ، س طول الضلع)‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫921‬
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

More Related Content

PPT
خرائط المفاهيم
byMahmoud Gomaa
 
PDF
Math 5th-primary-2nd-term- (6)
bykhawagah
 
PDF
كتاب دليل مدرس الرياضيات للصف الثالث متوسط
byAyad Haris Beden
 
PDF
Herramientadela web2.0
byKaren Loya
 
PPTX
Europa [reparado]
byrisischos
 
PDF
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
byمنتدى الرياضيات المتقدمة
 
PDF
دليل المعلم - مصر - الصف الاول الثانوى 2013-2014
byمنتدى الرياضيات المتقدمة
 
PDF
دليل معلم الرياضيات للصف السادس الابتدائي
byAyad Haris Beden
 
خرائط المفاهيم
byMahmoud Gomaa
 
Math 5th-primary-2nd-term- (6)
bykhawagah
 
كتاب دليل مدرس الرياضيات للصف الثالث متوسط
byAyad Haris Beden
 
Herramientadela web2.0
byKaren Loya
 
Europa [reparado]
byrisischos
 
كتاب الطالب مصر - ترم اول - 2013 - 2014
byمنتدى الرياضيات المتقدمة
 
دليل المعلم - مصر - الصف الاول الثانوى 2013-2014
byمنتدى الرياضيات المتقدمة
 
دليل معلم الرياضيات للصف السادس الابتدائي
byAyad Haris Beden
 

Similar to كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

PDF
دفتر تحضير مادة الرياضيات لجميع المراحل التعليمية باللغة العربية
byأمنية وجدى
 
DOC
رحلة معرفية في الهندسة التحليلية2
byaasrawi
 
PDF
وثيقة مناهج الرياضيات المرحلة الثانوية
byمنتدى الرياضيات المتقدمة
 
DOC
خطة الوحدة
byeljmmalfatmahyahoocom
 
PPT
المحاضرة 4
bydalal1982
 
PPTX
المحتوى الدراسي
byShahad Al_hyali
 
PDF
المحذوف من رياضيات الثانوى 2013 2014
byمنتدى الرياضيات المتقدمة
 
PDF
تنمية مهارات الرياضيات
byمحمد الجمل
 
PPT
استراتيجيات
byessa1425
 
PDF
New math
bymyoon
 
PPT
حقيبة الإبداع الإداري عنحقيبة الإبداع الإداري
bySamerjeref
 
PDF
تاريخ الرياضيات
byDrzainab Mohammed
 
PDF
دليل المعلم العلوم-التاسع الاساسي
byReyad Ibrahim - bard college
 
PDF
PPt 6 -الدورة الوطنية - اليوم السادس.pdf
byAbdelhakElakchioui
 
PDF
الهندسة التحليلة ( الاحداثيات القطبية)
byDr Abd Allah Mousa
 
PDF
الا طر المرجعية-للامتحان-الموحد-1 (1)
byم م أولاد سيدي عبد النبي
 
PDF
2 بعض المبادئ الأساسية
bymyoon
 
PDF
Math12 adabics62019
byMohammad Ahmad
 
PPT
التحضير القبلي للدرس وبناء المفاهيم الري
byayoubelghanaoui1
 
DOCX
عرض تقديمي - نظام تعليمي ذكيعرض تقديمي - نظام تعليمي ذكي
byialriyati1
 
دفتر تحضير مادة الرياضيات لجميع المراحل التعليمية باللغة العربية
byأمنية وجدى
 
رحلة معرفية في الهندسة التحليلية2
byaasrawi
 
وثيقة مناهج الرياضيات المرحلة الثانوية
byمنتدى الرياضيات المتقدمة
 
خطة الوحدة
byeljmmalfatmahyahoocom
 
المحاضرة 4
bydalal1982
 
المحتوى الدراسي
byShahad Al_hyali
 
المحذوف من رياضيات الثانوى 2013 2014
byمنتدى الرياضيات المتقدمة
 
تنمية مهارات الرياضيات
byمحمد الجمل
 
استراتيجيات
byessa1425
 
New math
bymyoon
 
حقيبة الإبداع الإداري عنحقيبة الإبداع الإداري
bySamerjeref
 
تاريخ الرياضيات
byDrzainab Mohammed
 
دليل المعلم العلوم-التاسع الاساسي
byReyad Ibrahim - bard college
 
PPt 6 -الدورة الوطنية - اليوم السادس.pdf
byAbdelhakElakchioui
 
الهندسة التحليلة ( الاحداثيات القطبية)
byDr Abd Allah Mousa
 
الا طر المرجعية-للامتحان-الموحد-1 (1)
byم م أولاد سيدي عبد النبي
 
2 بعض المبادئ الأساسية
bymyoon
 
Math12 adabics62019
byMohammad Ahmad
 
التحضير القبلي للدرس وبناء المفاهيم الري
byayoubelghanaoui1
 
عرض تقديمي - نظام تعليمي ذكيعرض تقديمي - نظام تعليمي ذكي
byialriyati1
 

Recently uploaded

PDF
نموذج_لخطة_زمنية_لبرنامج مهارات استخدام الحاسب في الاعمال المكتبية _مقسمة_لا_...
byssuser4b20f1
 
PDF
كتاب دورة استخدام الحاسب في الأعمال المكتبية.pdf
bymaa998li
 
PDF
نظم الأرشيفات الالكترونية : تحديد المتطلبات وقواعد الادارة - دكتور محمد عزت أمنة
byMuhammad Ezzat Amna
 
PDF
التوثيق أساس لبناء نظم معلومات المشروعات - دكتور محمد عزت أمنة
byMuhammad Ezzat Amna
 
PPTX
MATHS NIVEAU 4 PERIODE 2 SEMAINE 2 SEANCE 3
bydemnatonline
 
PDF
إدارة سلامة الأجهزة والمعدات الطبية1.pdf
byDr. Mohammad Algharibeh
 
PDF
التغيير التكنولوجى والتحول لنظم ادارة الوثائق الالكترونية داخل المؤسسات - دكت...
byMuhammad Ezzat Amna
 
PPTX
مجد الامارات.pptx..................................
byroonydodo
 
PPTX
النسيج العضلي - الجزء الثاني - ج2 .pptx
byIdlib University
 
PPTX
اثر استخدام تكاليف الجودة في تحسين الأداء_.pptx
byssuser6a02b4
 
PDF
متن الجزرية سؤال وجواب؟ كتاب جميل وسهل .pdf
byUmabadi14Khalifa
 
PDF
الاستعداد لاختبار الرخصة المهنية للمدربين 2026
byali2060
 
PDF
الرقمنة أداة لبناء نظم الأرشيفات الالكترونية - دكتور محمد عزت أمنة
byMuhammad Ezzat Amna
 
PPTX
النسيج العضلي الهيكلية والفلبية والملساء - الجزء الأول .pptx
byIdlib University
 
PDF
تطبيق نظم اداره الوثائق الالكترونيه داخل المؤسسات : الافراد مفتاح النجاح - دك...
byMuhammad Ezzat Amna
 
PDF
ادارة المعرفة واخصائيو الوثائق : المفاهيم ، التكنولوجيات، العلاقة و المسئوليا...
byMuhammad Ezzat Amna
 
نموذج_لخطة_زمنية_لبرنامج مهارات استخدام الحاسب في الاعمال المكتبية _مقسمة_لا_...
byssuser4b20f1
 
كتاب دورة استخدام الحاسب في الأعمال المكتبية.pdf
bymaa998li
 
نظم الأرشيفات الالكترونية : تحديد المتطلبات وقواعد الادارة - دكتور محمد عزت أمنة
byMuhammad Ezzat Amna
 
التوثيق أساس لبناء نظم معلومات المشروعات - دكتور محمد عزت أمنة
byMuhammad Ezzat Amna
 
MATHS NIVEAU 4 PERIODE 2 SEMAINE 2 SEANCE 3
bydemnatonline
 
إدارة سلامة الأجهزة والمعدات الطبية1.pdf
byDr. Mohammad Algharibeh
 
التغيير التكنولوجى والتحول لنظم ادارة الوثائق الالكترونية داخل المؤسسات - دكت...
byMuhammad Ezzat Amna
 
مجد الامارات.pptx..................................
byroonydodo
 
النسيج العضلي - الجزء الثاني - ج2 .pptx
byIdlib University
 
اثر استخدام تكاليف الجودة في تحسين الأداء_.pptx
byssuser6a02b4
 
متن الجزرية سؤال وجواب؟ كتاب جميل وسهل .pdf
byUmabadi14Khalifa
 
الاستعداد لاختبار الرخصة المهنية للمدربين 2026
byali2060
 
الرقمنة أداة لبناء نظم الأرشيفات الالكترونية - دكتور محمد عزت أمنة
byMuhammad Ezzat Amna
 
النسيج العضلي الهيكلية والفلبية والملساء - الجزء الأول .pptx
byIdlib University
 
تطبيق نظم اداره الوثائق الالكترونيه داخل المؤسسات : الافراد مفتاح النجاح - دك...
byMuhammad Ezzat Amna
 
ادارة المعرفة واخصائيو الوثائق : المفاهيم ، التكنولوجيات، العلاقة و المسئوليا...
byMuhammad Ezzat Amna
 

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

  • 2.
    ‫الريا�ضيات‬ ‫كتاب الطالب‬ ‫ال�صف الأولالثانوى‬ ‫الف�صل الدرا�سى الثانى‬ ‫للريا�ضيات تطبيقات عملية فى مجاالت متعددة منها �إن�شاء الطرق والكبارى وتخطيط المدن و�إعداد‬ ‫خرائطها التى تعتمد على توازى الم�ستقيمات و الم�ستقيمات القاطعة لها وفق تنا�سب بين الطول‬ ‫الحقيقى والطول فى الر�سم.‬ ‫وال�صورة لكوبرى ال�سالم الذى يربط بين �ضفتى قناة ال�سوي�س‬
  • 3.
    ‫�إعداد‬ ‫�أ/ عمر ف�ؤادجاب اهلل‬ ‫�أ.د/ نبيل توفيق ال�ضبع‬ ‫�أ.د/ عفاف �أبو الفتوح �صالح ‬ ‫�أ / �سريافيم �إليا�س �إ�سكندر‬ ‫�أ.م.د/ ع�صام و�صفى روفائيل ‬ ‫�أ/ كمال يون�س كب�شة‬ ‫جميع الحقوق محفوظة ال يجور نشر أى جزء من هذا الكتاب أو تصويره أو تخزينه أو تسجيله‬ ‫بأى وسيلة دون موافقة خطية من الناشر.‬ ‫شركة سقارة للنشر‬ ‫�ش. م. م‬ ‫الطبعــة األولى 3102/4102‬ ‫رقم اإليــداع 9497 / 3102‬ ‫الرقم الدولى 8 - 200 - 607 - 779 - 879‬
  • 4.
    ‫المقدمة‬ ‫بسم ال� ل�هالرحمن الرحيم‬ ‫يسعدنا ونحن نقدم هذا الكتاب أن نوضح الفلسفة التى تم فى ضوئها بناء المادة التعليمية ونوجزها فيمايلى:‬ ‫1 التأكيد عىل أن الغاية األساسية من هذه الكتب هى مساعدة املتعلم عىل حل املشكالت واتخاذ القرارات ىف حياته‬ ‫اليومية, والتى تساعده عىل املشاركه ىف املجتمع.‬ ‫2 التأكيد عىل مبدأ استمرارية التعلم مدى الحياة من خالل العمل عىل أن يكتسب الطالب منهجية التفكري العلمى، وأن‬ ‫يمارسوا التعلم املمتزج باملتعة والتشويق، وذلك باالعتماد عىل تنمية مهارات حل املشكالت وتنمية مهارات االستنتاج‬ ‫والتعليل، واستخدام أساليب التعلم الذاتى والتعلم النشط والتعلم التعاونى بروح الفريق، واملناقشة والحوار، وتقبل‬ ‫آراء اآلخرين، واملوضوعية ىف إصدار األحكام، باإلضافة إىل التعريف ببعض األنشطة واإلنجازات الوطنية.‬ ‫3 تقديم رؤى شاملة متماسكة للعالقة بني العلم والتكنولوجيا واملجتمع)‪ (STS‬تعكس دور التقدُّم العلمى ىف تنمية‬ ‫ ‬ ‫املجتمع املحىل، باإلضافة إىل الرتكيز عىل ممارسة الطالب الترصُّف الواعى الفعّال حِ يال استخدام األدوات التكنولوجية.‬ ‫4 تنمية اتجاهات إيجابية تجاه الرياضيات ودراستها وتقدير علمائها‬ ‫ ‬ ‫5 تزويد الطالب بثقافة شاملة لحسن استخدام املوارد البيئية املتاحة.‬ ‫ ‬ ‫6 االعتماد عىل أساسيات املعرفة وتنمية طرائق التفكري، وتنمية املهارات العلمية، والبعد عن التفاصيل والحشو،‬ ‫واإلبتعاد عن التعليم التلقينى؛ لهذا فاالهتمام يوجه إىل إبراز املفاهيم واملبادئ العامة وأساليب البحث وحل املشكالت‬ ‫وطرائق التفكري األساسية التى تميز مادة الرياضيات عن غريها.‬ ‫وفى �ضوء ما �سبق روعى فى هذا الكتاب ما يلى:‬ ‫‪ ‬تقسيم الكتاب إىل وحدات متكاملة ومرتابطة لكل منها مقدمة توضح أهدافها ودروسها ومخطط تنظيمى لها‬ ‫ ‬ ‫واملصطلحات الواردة بها باللغة العربية واإلنجليزية ومقسمة إىل دروس يوضح الهدف من تدريسها للطالب تحت‬ ‫عنوان سوف تتعلم، ويبدأ كل درس من دروس كل وحدة بالفكرة األساسية ملحتوى الدرس وروعى عرض املادة‬ ‫العلمية من السهل إىل الصعب ويتضمن مجموعة من األنشطة التى تتناول الربط باملواد األخرى والحياة العملية والتى‬ ‫تناسب القدرات املختلفة للطالب وتراعى الفروق الفردية بينهم وتؤكد عىل العمل التعاونى، وتتكامل مع املوضوع.‬ ‫‪ ‬كما قدم ىف كل درس أمثلة تبدأ من السهل إىل الصعب وتشمل مستويات تفكري متنوعة، مع تدريبات عليها تحت‬ ‫عنوان حاول أن تحل وينتهى كل درس ببند «تحقق من فهمك».‬ ‫‪ ‬تنتهى كل وحدة بملخص للوحدة يتناول املفاهيم والتعليمات الواردة بالوحدة.‬ ‫ ‬ ‫وأخير ًا ..نتمنى أن نكون قد وفقنا فى إنجاز هذا العمل لما فيه خير لأولادنا، ولمصرنا العزيزة.‬ ‫وال� �له من وراء القصد، وهو يهدى إلى سواء السبيل‬
  • 5.
    ‫خريطة الكتاب للفصلالدراسى الثانى‬ ‫اسم‬ ‫الوحدة‬ ‫الدروس املتضمنة بالوحدة‬ ‫1 - 1 :تنظيم البيانات فى‬ ‫1‬ ‫مصفوفات‬ ‫املفاهيم‬ ‫املتضمنة‬ ‫مصفوفة - عنصر - مصفوفة‬ ‫صف - مصفوفة عمود - مصفوفة‬ ‫مربعة - مصفوفة صفرية -‬ ‫العمليات العقلية‬ ‫واملهارات الذهنية‬ ‫املتضمنة‬ ‫تفكري ناقد صـ8، صـ01‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫متماثلة - مصفوفة شبه متماثلة‬ ‫جمع المصفوفات - طرح‬ ‫تفكري جربى (اثناء عرض‬ ‫الدرس)‬ ‫1 - 3 : ضرب المصفوفات‬ ‫ضرب المصفوفات‬ ‫تفكري ناقد صـ91‬ ‫1 - 4 : المحددات‬ ‫محدد - محدد الدرجة الثانية -‬ ‫محدد الدرجة الثالثة - القطر‬ ‫الرئيس للمحدد - القطر اآلخر‬ ‫1 - 5 :المعكوس الضربى‬ ‫للمصفوفة‬ ‫2 - 1: المتبانيات الخطية‬ ‫‬ ‫الخطية‬ ‫معكوس ضربى للمصفوفة-‬ ‫مصفوفة الوحدة - معادلة‬ ‫مصفوفية - مصفوفة المتغيرات-‬ ‫مصفوفة الثوابت‬ ‫متباينة خطية - مستقيم حدى -‬ ‫مستقيم حدى منقط - مستقيم‬ ‫حدى متصل - متباينة خطية فى‬ ‫2‬ ‫الربمجة‬ ‫للمحدد مصفوفة المعامالت‬ ‫املتجهات‬ ‫الربط بالرياضيات صـ 7‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري ناقد صـ 03‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري ناقد صـ 24‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالتكنولوجيا صـ 31‬ ‫الربط باالحصاء صـ 41‬ ‫الربط بالتكنولوجيا صـ 71‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 81‬ ‫الربط بالسياحة صـ 02‬ ‫الربط بالهندسة صـ 51‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 43‬ ‫تطبيقات حياتية صـ 24‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 24‬ ‫مجهول واحد - متباينة خطية فى‬ ‫مجهولين‬ ‫2 - 2: حل أنظمة من المتباينات نظام متباينات خطية-منطقة الحل تفكري جربى‬ ‫‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫رسم بيانى‬ ‫الخطية بيانيًا‬ ‫2 - 3: البرمجة الخطية والحل األمثل برمجة خطية - قيود محدودة -‬ ‫‬ ‫غير محدودة حل أمثل‬ ‫3‬ ‫صـ 01.‬ ‫الربط بالتجارة صـ 31‬ ‫1 - 2 : جمع وطرح المصفوفات‬ ‫املصفوفات‬ ‫والحياة العلمية‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 7،‬ ‫الربط بالطاقة صـ 7‬ ‫مصفوفات متساوية - مصفوفة‬ ‫المصفوفات‬ ‫الرتابط والتداخل‬ ‫مع العلوم اآلخرى‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫3 - 1:الكميات القياسية والكميات‬ ‫كمية قياسية - متجه - مسافة - تفكري منطقى صـ 95‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫ازاحة - اتجاه‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫3 - 2: المتجهات‬ ‫‬ ‫متجه - متجع موضع - زوج‬ ‫المتجهة، والقطعة‬ ‫المستقيمة الموجهه‬ ‫مرتب - قيمة مطلقة - معيار‬ ‫متجه- متجه مكافئ - صورة‬ ‫قطبية - متجه وحدة‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هندسى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالحياة صـ 64، 74‬ ‫الربط بالمهن صـ 74‬ ‫الربط بإدارة الوقت صـ 84‬ ‫الربط بإدارة اإلعمال صـ 05‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 05‬ ‫الربط بالصناعة صـ 05،15‬ ‫الربط بالزراعة صـ 25‬ ‫الربط بالزراعة صـ 25‬
  • 6.
    ‫جمع متجهين -طرح متجهين -‬ ‫3 - 4: تطبيقات على المتجهات‬ ‫‬ ‫األضالع‬ ‫قوة محصلة - توازى القوى -‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫4 - 1: تقسيم قطعة مستقيمة‬ ‫اسم‬ ‫الوحدة‬ ‫العمليات العقلية‬ ‫واملهارات الذهنية‬ ‫املتضمنة‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫تقسيم من الداخل - تقسيم من‬ ‫4 - 2:معادلة الخط المستقيم‬ ‫متجه إتجاه مستقيم - معادلة‬ ‫الدروس املتضمنة بالوحدة‬ ‫3 - 3: العمليات على المتجهات‬ ‫‬ ‫تابع‬ ‫املتجهات‬ ‫4‬ ‫املفاهيم‬ ‫املتضمنة‬ ‫قاعدة المثلث - قاعدة متوازى‬ ‫سرعة نسبية‬ ‫الخارج - نسبة التقسيم‬ ‫متجهة - معادلة برامترية -‬ ‫معادلة كارتيزية - معادلة عامة‬ ‫الخط‬ ‫الرتابط والتداخل‬ ‫مع العلوم اآلخرى‬ ‫والحياة العلمية‬ ‫تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري ناقد 48، 29‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس (اثناء عرض‬ ‫الدرس)‬ ‫4 - 4 :طول العمود المرسوم من‬ ‫عمود - خط مستقيم‬ ‫نقطة تقاطع مستقيمين -‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالطرق صـ 79‬ ‫4 - 5 :المعادلة العامة للمستقيم‬ ‫املستقيم‬ ‫4 - 3:قياس الزاوية بين‬ ‫زاوية بين مستقيمين‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالهندسة صـ 59‬ ‫مستقيمين‬ ‫نقطة إلى خط مستقيم‬ ‫المار بنقطة تقاطع‬ ‫مستقيمين‬ ‫5 - 1: المتطابقات المثلثية‬ ‫معادلة عامة‬ ‫معادلة‬ ‫5 - 2:حل المعادالت المثلثية‬ ‫5‬ ‫حساب‬ ‫املثلثات‬ ‫متطابقة‬ ‫معادلة مثلثية - حل عام‬ ‫5 - 3: حل المثلث القائم الزاوية‬ ‫حل مثلث‬ ‫5 - 4 : زوايا اإلرتفاع واإلنخفاض‬ ‫زاوية ارتفاع‬ ‫5 - 5 : القطاع الدائرى‬ ‫زاويا انخفاض‬ ‫قطاع دائرى‬ ‫5 - 6 : القطعة الدائرية‬ ‫قطعة دائرية‬ ‫5 - 7 : المساحات‬ ‫مضلع منتظم‬ ‫الربط بالتكنولوجيا صـ 001‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى (اثناء عرض‬ ‫الدرس)‬ ‫تفكري ناقد صـ 511‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري ناقد صـ 021‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالهندسة صـ511‬ ‫الربط بالزراعة والزينة‬ ‫صـ321‬ ‫الربط بالتكنولوجيا صـ721‬
  • 7.
    ‫المحتويات‬ ‫الوحدة‬ ‫الأولى‬ ‫المصفوفات‬ ‫1- 1 ‬ ‫تنظيم البياناتفي مصفوفات‬ ‫1- 2 ‬ ‫جمع وطرح المصفوفات‬ ‫41‬ ‫1- 3 ‬ ‫ضرب المصفوفات‬ ‫81‬ ‫1- 4 ‬ ‫المحددات‬ ‫22‬ ‫1- 5 ‬ ‫المعكوس الضربى للمصفوفة‬ ‫03‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫53‬ ‫ ‬ ‫4‬ ‫...........................................................................................................................................................................................‬ ‫.................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫........................................................................................................................................................................................................................ .‬ ‫.................................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫...................................................................................................................................................................................... .‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫الوحدة‬ ‫الثانية‬ ‫الربمجة الخطية‬ ‫2 - 1 ‬ ‫المتباينات الخطية‬ ‫83‬ ‫2 - 2 ‬ ‫حل أنظمة من المتباينات الخطية بيانيًا‬ ‫34‬ ‫2 - 3 ‬ ‫البرمجة الخطية والحل األمثل‬ ‫84‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫55‬ ‫ ‬ ‫......................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫........................................................................................................................................................ .‬ ‫....................................................................................................................................................................................... .‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫املتجهات‬ ‫3 - 1 ‬ ‫3 - 2 ‬ ‫المتجهات‬ ‫36‬ ‫3 - 3 ‬ ‫العمليات على المتجهات‬ ‫17‬ ‫3 - 4 ‬ ‫ ‬ ‫الكميات القياسية والكميات المتجهة، والقطعة المستقيمة الموجهة‬ ‫85‬ ‫تطبيقات على المتجهات‬ ‫67‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫28‬ ‫............................................................. .‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫....................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫......................................................................................................................................................................................... .‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................... .‬
  • 8.
    ‫الوحدة‬ ‫الرابعة‬ ‫الخط المستقيم‬ ‫4 -1 ‬ ‫تقسيم قطعة مستقيمة‬ ‫68‬ ‫4 - 2 ‬ ‫معادلة الخط المستقيم‬ ‫19‬ ‫4 - 3 ‬ ‫قياس الزاوية بين مستقيمين‬ ‫69‬ ‫4 - 4 ‬ ‫طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم‬ ‫89‬ ‫4 - 5 ‬ ‫المعادلة العامة للمستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين‬ ‫001‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫301‬ ‫ ‬ ‫.........................................................................................................................................................................................................‬ ‫...........................................................................................................................................................................................................‬ ‫.......................................................................................................................................................................................‬ ‫........................................................................................................................‬ ‫......................................................... .‬ ‫............................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫الوحدة‬ ‫اخلام�سة‬ ‫حساب املثلثات‬ ‫5 - 1 ‬ ‫5 - 2 ‬ ‫حل المعادالت المثلثية.‬ ‫111‬ ‫5 - 3 ‬ ‫حل المثلث القائم الزاوية.‬ ‫411‬ ‫5 - 4 ‬ ‫زوايا االرتفاع وزوايا االنخفاض‬ ‫711‬ ‫5 - 5 ‬ ‫القطاع الدائرى‬ ‫021‬ ‫5 - 6 ‬ ‫القطعة الدائرية.‬ ‫321‬ ‫5 - 7 ‬ ‫ ‬ ‫المتطابقات المثلثية.‬ ‫601‬ ‫المساحات.‬ ‫521‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫921‬ ‫............................................................................................................................................................................................................ .‬ ‫....................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫.............................................................................................................................................................................................. .‬ ‫............................................................................................................................................................................ .‬ ‫............................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫.......................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫.......................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫............................................................................................................................................................................................................................... .‬
  • 9.
    ‫الوحدة‬ ‫1‬ ‫الجبر‬ ‫المصفوفات‬ ‫‪Matrices‬‬ ‫أهداف الوحدة‬ ‫في نهايةالوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:‬ ‫ً‬ ‫• •يتحقق من صحة حلول بعض المشكالت التى تتضمن‬ ‫• •يتعرف مفهوم المصفوفة ونظمها.‬ ‫مصفوفات باستخدام البرمجيات المتاحة.‬ ‫• •يتعرف بعض المصفوفات الخاصة (مصفوفة الصف -‬ ‫مصفوفة العمود - المصفوفة المربعة - المصفوفة • •ينمذج بعض المشكالت الحياتية باستخدام المصفوفات.‬ ‫الصفرية - المصفوفة القطرية - مصفوفة الوحدة - • •يوظف استخدام المصفوفات في مجاالت أخرى.‬ ‫• •يتعرف محدد المصفوفة من الرتبة الثانية والرتبة الثالثة.‬ ‫المصفوفة المتماثلة وشبه المتماثلة).‬ ‫• •يوجد قيمة المحدد على الصورة المثلثية.‬ ‫• •يضرب عددا حقيقيا في مصفوفة .‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫• •يوجد معكوس المصفوفة المربعة من الرتبة 2 × 2‬ ‫• •يتعرف تساوى مصفوفتين.‬ ‫• •يحل معادلتين آنيتين باستخدام معكوس المصفوفة.‬ ‫• •يوجد مدور المصفوفة.‬ ‫• •يجرى عمليات الجمع والطرح والضرب على المصفوفات. • •يحل المعادالت بطريقة كرامر.‬ ‫• •يوجد مساحة المثلث باستخدام المحددات.‬ ‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة‬ ‫‪Matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬عنصر‬ ‫‪Element‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة الصف‬ ‫‪Row matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة العمود‬ ‫‬ ‫‪Column matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة مربعة‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة متماثلة‬ ‫‬ ‫‪Symmetric matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة شبه متماثلة‬ ‫‪Skew-symmetric matrix‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬جمع المصفوفات‬ ‫‪Adding matrices‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة الوحدة‬ ‫‪Identity matrix‬‬ ‫‬ ‫‪Square matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬معادلة مصفوفية‬ ‫‪Matrix equation‬‬ ‫‬ ‫‪Equal matrices‬‬ ‫‪Variable matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة صفرية‬ ‫‪Zero matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفات متساوية‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة الثوابت‬ ‫‬ ‫‪Constant matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة المتغيرات‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬طرح المصفوفات‬ ‫‬ ‫‪Subtracting matrices‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬ضرب المصفوفات‬ ‫‪Multiplying matrices‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬مدور المصفوفة‬ ‫‪Transpose of matrix‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬محدد‬ ‫‪Determinant‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬محدد الرتبة الثانية‬ ‫‬ ‫‪Second order determinant‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬محدد الرتبة الثالثة‬ ‫‪Third order determinant‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة المعامالت‬ ‫‬ ‫‪Coefficient matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬معكوس ضربى للمصفوفة‬ ‫‪Inverse matrix‬‬ ‫‬
  • 10.
    ‫دروس الوحدة‬ ‫الدرس (1- 1): تنظيم البيانات في مصفوفات.‬ ‫الدرس (1 - 2): جمع وطرح المصفوفات.‬ ‫الدرس (1 - 3): ضرب المصفوفات .‬ ‫الدرس (1 - 4): المحددات .‬ ‫الدرس (1 - 5): المعكوس الضربي للمصفوفة‬ ‫األدوات المستخدمة‬ ‫آلة حاسبة علمية - برنامج االكسيل ‪- Excel‬‬ ‫جهاز كمبيوتر. ‬ ‫نبذه تاريخية‬ ‫المصفوفات هي جمع كلمة مصفوفة، وهى من المفاهيم الرياضية التي انتشر استخدامها في عصرنا الحاضر، فشملت‬ ‫العديد من فروع المعرفة، فنجد استخداماتها في علوم االحصاء واالقتصاد، واالجتماع وعلم النفس وغيرها، وذلك‬ ‫ألنها تعرض البيانات، وتخزنها في صورة جداول مستطيلة الشكل، وتنظيم البيانات بهذه الصورة يسهل تذكرها‬ ‫والمقارنة بينها وإجراء العمليات عليها، كما أن للمصفوفات دورا هاما في علم الرياضيات وخاصة في فرع الجبر‬ ‫ًّ‬ ‫ً‬ ‫الخطى، وأول من الحظ المصفوفات واستخدمها هو العالم كيلي (1281 - 5981م).‬ ‫مخطط تنظيمي للوحدة‬ ‫المصفوفات‬ ‫تنظيم البيانات‬ ‫في مصفوفات‬ ‫المحددات‬ ‫العمليات على المصفوفات‬ ‫ايجاد مساحة المثلث‬ ‫تعريف المصفوفة‬ ‫تمثيل المصفوفات‬ ‫تحليل البيانات‬ ‫جمع وطرح المصفوفات‬ ‫ضرب المصفوفات‬ ‫خواص جمع المصفوفات‬ ‫خواص ضرب المصفوفات‬ ‫محدد المصفوفة المثلثية‬ ‫حل أنظمة المعادالت‬ ‫بطريقة كرامر‬ ‫ضرب عدد بمصفوفة‬ ‫بعض المصفوفات‬ ‫حل المعادالت المصفوفية‬ ‫مدور حاصل ضرب‬ ‫مصفوفتين‬ ‫المعكوس الضربي‬ ‫للمصفوفة‬ ‫الخاصة‬ ‫حدود المصفوفة‬ ‫حل نظام من المعادالت‬ ‫باستخدام المصفوفات‬
  • 11.
    ‫تنظيم البيانات فيمصفوفات‬ ‫1 ‍‬ ‫‪Organizing data in Matrices‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫فكر‬ ‫ما املصفوفة؟‬ ‫بعض املصفوفات اخلاصة‬ ‫(املصفوفة املربعة - مصفوفة‬ ‫الصف - مصفوفة العمود -‬ ‫املصفوفة الصفرية - املصفوفة‬ ‫القطرية - مصفوفة الوحدة)‬ ‫مدور املصفوفة‬ ‫املصفوفة املتامثلة واملصفوفة شبه‬ ‫املتامثلة.‬ ‫تساوى مصفوفتني.‬ ‫رضب عدد حقيقي يف مصفوفة‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫مصفوفة‬ ‫‪Matrix‬‬ ‫عنرص ‬ ‫‪Element‬‬ ‫مصفوفة الصف‬ ‫‪Row matrix‬‬ ‫مصفوفة العمود‬ ‫‪Column matrix‬‬ ‫مصفوفة مربعة‬ ‫‪Square matrix‬‬ ‫مصفوفة صفرية‬ ‫‪Zero matrix‬‬ ‫مصفوفات متساوية‬ ‫مصفوفة متامثلة‬ ‫‪Equal matrix‬‬ ‫‪Symmetric matrix‬‬ ‫مصفوفة شبه متامثلة‬ ‫‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫الربط بالصناعة‬ ‫مصنع إلنتاج بعض مكونات شاشات التليفزيون به‬ ‫3 أقسام، ينتج 4 أجزاء رئيسية من الشاشة أ، ب، جـ، د‬ ‫على النحو التالي:‬ ‫القسم األول ينتج يوميا 57 قطعة من أ ، 531 قطعة من‬ ‫ًّ‬ ‫ب ، 051 قطعة من جـ ، 512 قطعة من د .‬ ‫القسم الثاني ينتج يوميا 001 قطعة من أ ، 861 قطعة من ب ، 012 قطعة من جـ،‬ ‫ً‬ ‫282 قطعة من د.‬ ‫القسم الثالث ينتج يوميا 08 قطعة من أ ، 001 قطعة من ب ، 441 قطعة من جـ ،‬ ‫ًّ‬ ‫46 قطعة من د.‬ ‫واضح أنه من الصعب تذكر هذه المعلومات أو المقارنة بينها، وهي على هذه‬ ‫الصورة واآلن هناك سؤاال يطرح نفسه:‬ ‫ً‬ ‫كيف يمكن ترتيب هذه البيانات حتى يمكن تحليلها واالستفادة منها؟‬ ‫لإلجابة عن هذا السؤال فإنه يمكننا كتابة البيانات في صورة جدول يمكننا من‬ ‫معرفة ما ينتجه كل قسم من األقسام الثالثة من األجزاء المختلفة بسرعة ووضوح،‬ ‫كما يسهل لنا المقارنة بين إنتاج األقسام الثالثة من األجزاء المختلفة.‬ ‫‪Skew symmetric matrix‬‬ ‫آلة حاسبة بيانية‬ ‫برنامج اإلكسيل‬ ‫جهاز كمبيوتر‬ ‫األقسام‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫القسم األول‬ ‫القسم الثاني‬ ‫القسم الثالث‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫4‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫أ‬ ‫57‬ ‫001‬ ‫08‬ ‫األجزاء‬ ‫ب‬ ‫531‬ ‫861‬ ‫001‬ ‫جـ‬ ‫051‬ ‫012‬ ‫441‬ ‫د‬ ‫512‬ ‫282‬ ‫46‬
  • 12.
    ‫تافوفصم يف تانايبلاميظنت‬ ‫فإذا كنا نعلم أن األعداد بالصف األول هي إنتاج القسم األول من األجزاء أ ، ب، جـ ، د على الترتيب، وبالمثل‬ ‫األعداد التي بالصف الثاني هي إنتاج القسم الثاني بنفس الترتيب، كذلك األعداد التى بالصف الثالث هي إنتاج‬ ‫و‬ ‫القسم الثالث بنفس الترتيب، فإننا نستطيع كتابة المعلومات التى بالجدول السابق بصورة أكثر اختصارا كاآلتي:‬ ‫ً‬ ‫الصف األول‬ ‫الصف الثانى‬ ‫الصف الثالث‬ ‫57‬ ‫001‬ ‫08‬ ‫531‬ ‫861‬ ‫001‬ ‫051‬ ‫012‬ ‫441‬ ‫512‬ ‫282‬ ‫46‬ ‫-‬ ‫-‬ ‫-‬ ‫-‬ ‫وتسمى هذه الصورة مصفوفة كما تسمى األعداد داخل‬ ‫القوسين عناصر المصفوفة‬ ‫العمود العمود العمود العمود‬ ‫األول الثانى الثالث الرابع‬ ‫وهذه المصفوفة لها ثالثة صفوف وأربعة أعمدة، لذا يقال لها مصفوفة على النظم 3 * 4‬ ‫(أو باالختصار مصفوفة 3 * 4) حيث تذكر عدد الصفوف أوال ثم عدد األعمدة، كما نالحظ أن:‬ ‫عدد عناصر المصفوفة = 3 *4 = 21 عنصرا .‬ ‫ً‬ ‫واآلن:‬ ‫1- هل هناك طريقة أخرى لترتيب بيانات المسألة ، ووضعها على صورة مصفوفة أخرى؟ فسر إجابتك.‬ ‫2- من المصفوفة السابقة ، ما العنصر في الصف األول والعمود الثاني؟ وما العنصر في الصف الثاني والعمود‬ ‫األول؟‬ ‫3- سؤال مفتوح: اكتب مثاال من عندك يمكن كتابة المعلومات المتضمنة فيه على صورة مصفوفة 2 * 3‬ ‫ً‬ ‫تعلم‬ ‫ت‬ ‫تنظيم البيانات في مصفوفا ‬ ‫‪Organizing Data in Matrices‬‬ ‫المصفوفة هى ترتيب لعدد من العناصر (متغيرات أو أعداد) في صفوف وأعمدة محصورة بين قوسين، وتنظم‬ ‫العناصر في المصفوفة بحيث يكون الموقع في المصفوفة ذا معنى، ويرمز إلى المصفوفة عادة باستخدام‬ ‫الحروف الكبيرة ‪ ، D ،C‬ج، ‪ .... ،N ،M‬ولعناصر المصفوفة بالحروف الصغيرة ‪ ،C‬ب، جـ، س، ص ، ....‬ ‫إذا أردنا التعبير عن العنصر داخل المصفوفة ‪ C‬الذي يقع في الصف ص والعمود ع فإنه يمكننا كتابته على‬ ‫الصورة ‪C‬‬ ‫صع‬ ‫ً‬ ‫و‬ ‫فمثال العنصر ‪ 21C‬يقع في الصف األول والعمود الثاني، كذلك ‪ 23C‬يقع في الصف الثالث والعمود الثاني.‬ ‫فى المصفوفة: ‪= C‬‬ ‫1‬‫2‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫1‬‫5‬ ‫6‬ ‫2‬ ‫-2‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫-1‬ ‫العنصر -1 يقع في الصف 2 والعمود 2 ويرمز له بالرمز ‪C‬‬ ‫العنصر 6 يقع في الصف 1 والعمود 3 ويرمز له بالرمز ‪C‬‬ ‫22‬ ‫13‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫5‬
  • 13.
    ‫وبصفة عامة:‬ ‫المصفوفة المكونةمن م صفا، ن عمودا تكون على النظم م * ن أو من الرتبة م * ن أو من النوع م * ن (وتقرأ م‬ ‫ًّ‬ ‫ً‬ ‫فى ن، حيث م، ن أعداد صحيحة موجبة.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ ‬ ‫‌ استخدم المصفوفة ‪= D‬‬ ‫1 5‬ ‫3 2‬ ‫5 7‬ ‫أ ما نظم المصفوفة ‬ ‫‪D‬؟‬ ‫تعلم‬ ‫لإلجابة عن مايلى:‬ ‫ب ما قيمة ‪12D ،21D‬؟‬ ‫تمثيل المصفوفات‬ ‫‪Representing Matrcies‬‬ ‫إذا كانت ‪ C‬مصفوفة على النظم م * ن فإنه يمكن كتابة المصفوفة ‪ C‬على الصورة:‬ ‫‪C( = C‬ص ع)،  ص = 1 ، 2، 3، ......................، م‬ ‫        ع  = 1 ، 2، 3، ......................، ن‬ ‫وسوف تقتصر دراستنا على الحاالت التى فيها م ‪ ، 3 H‬ن ‪3 H‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ اكتب جميع عناصر المصفوفات اآلتية:‬ ‫ص = 1 ، 2     ،  ع = 1، 2، 3‬ ‫أ ‪C( = C‬ص ع) ، ‬ ‫ ‬ ‫ص = 1 ، 2، 3 ،  ع = 1‬ ‫ب ‪( = D‬بص ع) ، ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ص = 1 ، 2      ،  ع = 1، 2‬ ‫ج‍ ج = (جـ ) ، ‬ ‫ ‬ ‫صع‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫أ ‪=C‬‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫21‬ ‫ج‍ ج =‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫21‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫22‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫22‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫13‬ ‫‪C‬‬ ‫23‬ ‫مصفوفة على النظم 2 * 3 ‬ ‫مصفوفة على النظم 2 * 2‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ اكتب جميع عناصر المصفوفات اآلتية:‬ ‫أ ‪C( =     C‬ص ع)، ص = 1 ، 2 ،3، ع = 1، 2، 3‬ ‫ ‬ ‫ب ب = (ب س ص)، ص = 1 ، 2، ع = 1‬ ‫ ‬ ‫6‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ب‬ ‫ب ‪ = D‬ب21 مصفوفة على النظم 3 *1‬ ‫ب‬ ‫31‬ ‫11‬
  • 14.
    ‫تافوفصم يف تانايبلاميظنت‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ الربط بالمستهلك: يبين الجدول المقابل األسعار بالجنيه‬ ‫لثالثة أنواع من الساندويتشات بثالثة أحجام مختلفة في‬ ‫أحد مطاعم الوجبات الجاهزة.‬ ‫أ نظم هذه البيانات في مصفوفة، على أن تكون األسعار‬ ‫ ‬ ‫مرتبة تصاعديا.‬ ‫ًّ‬ ‫ب حدد نظم المصفوفة.‬ ‫ ‬ ‫ج‬ ‫‍ ما قيمة العنصر ‪ C‬؟‬ ‫ ‬ ‫صدور‬ ‫فراخ‬ ‫صغير‬ ‫متوسط‬ ‫كبير‬ ‫8‬ ‫21‬ ‫61‬ ‫9‬ ‫31‬ ‫71‬ ‫7‬ ‫11‬ ‫51‬ ‫جمبرى‬ ‫مقلى‬ ‫سمك‬ ‫فيليه‬ ‫32‬ ‫الحل‬ ‫صغير متوسط كبير‬ ‫51‬ ‫11‬ ‫7‬ ‫61‬ ‫21‬ ‫8‬ ‫71‬ ‫31‬ ‫9‬ ‫ ‬ ‫أ ‬ ‫ ‬ ‫ب هناك 3 صفوف، 3 أعمدة لذا فإن المصفوفة على النظم 3 * 3‬ ‫ج‍ قيمة العنصر ‪ C‬هى الموجودة بالصف 3 والعمود 2 وهى 31‬ ‫ ‬ ‫سمك فيليه‬ ‫صدور فراخ‬ ‫جمبرى مقلى‬ ‫32‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ رصد مدرب فريق كرة السلة بالمدرسة، إنجازات ثالثة العبين في مباريات‬ ‫دورى الفصول فكانت على النحو التالي:‬ ‫ سمير: لعب 01 مباريات ،  02 تسديدة  ،  5 أهداف.‬ ‫ حازم: لعب 61 مباراة   ،  53 تسديدة  ،  8 أهداف.‬ ‫ كريم: لعب 81 مباراة    ،  14 تسديدة  ،  01 أهداف.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫أ نظم البيانات فى مصفوفة على أن ترتب أسماء الالعبين ترتيبا تصاعديا تبعا لعدد األهداف.‬ ‫ًّ ً‬ ‫ً‬ ‫ب حدد نظم المصفوفة، ما قيمة‪32C‬؟‬ ‫مـثـال‬ ‫تنظيم البيانات اإلحصائية باستخدام المصفوفات‬ ‫ﺍﻻﺳﺘﻬﻼﻙ‬ ‫٥٢‬ ‫ﺍﻻﻧﺘﺎﺝ‬ ‫٠٢‬ ‫٥١‬ ‫٠١‬ ‫٥‬ ‫ﺍﻟﺪﻭﻟﺔ ﺟـ‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫ﺍﻟﺪﻭﻟﺔ ﺏ‬ ‫ﺍﻟﺪﻭﻟﺔ ﺃ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻜﻴﻠﻮ ﻭﺍﺕ / ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ‬ ‫‌ الربط بالطاقة: يمكن أن تقاس الطاقة بالكيلو وات / ساعة.‬ ‫يبين الرسم البيانى المقابل إنتاج الطاقة واالستهالك لبعض‬ ‫الدول. اكتب مصفوفة تمثل بيانات الرسم البياني المقابل.‬ ‫٠٣‬ ‫٠‬ ‫7‬
  • 15.
    ‫الحل‬ ‫افرض أن كلصف فى المصفوفة يمثل دولة، كل عمود يمثل‬ ‫و‬ ‫مستوى اإلنتاج واالستهالك. استنتج القيم من الرسم.‬ ‫تفكير ناقد‬ ‫دولة( أ )‬ ‫دولة (ب)‬ ‫دولة (جـ)‬ ‫االنتاج‬ ‫5٫9‬ ‫31‬ ‫91‬ ‫االستهالك‬ ‫5٫9‬ ‫9‬ ‫52‬ ‫كيف يمكنك تعديل المصفوفة لتمثيل البيانات بإضافة دول أخرى؟‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أعد كتابة البيانات فى المثال السابق فى صورة مصفوفة 2 *3، ضع عنوانًا للصفوف واألعمدة.‬ ‫‌ وضح الفرق بين المصفوفة التى على النظم 2 * 3، والمصفوفة التى على النظم 3 * 2‬ ‫تعلم‬ ‫ة‬ ‫بعض المصفوفات الخاص ‬ ‫‪Some special Matrices‬‬ ‫3 2‬‫‪l‬‬ ‫أ‬ ‫ المصفوفة المربعة: هى المصفوفة التى عدد الصفوف فيها يساوى عدد األعمدة مثل: 4 -1‬ ‫(مصفوفة مربعة على النظم 2 * 2)‬ ‫ ‬ ‫‪b‬‬ ‫ب مصفوفة الصف: هى المصفوفة التى تحتوى على صف واحد وأى عدد من األعمدة مثل: (2 4 6 8)‬ ‫(مصفوفة صف على النظم 1 * 4)‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫ج‍ مصفوفة العمود: هى المصفوفة التى تحتوى على عمود واحد، وأى عدد من الصفوف مثل: ‪f 5- p‬‬ ‫1‬ ‫(مصفوفة عمود على النظم 3 * 1)‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫د المصفوفة الصفرية: هى المصفوفة التى تكون جميع عناصرها أصفار وقد تكون مربعة أو التكون‬ ‫فمثال المصفوفات:‬ ‫ً‬ ‫0‬ ‫ (0) مصفوفة صفرية على النظم 1 * 1، (0 0) مصفوفة صفرية على النظم 1 * 2،  ‪ b 0 l‬مصفوفة‬ ‫0 0‬ ‫صفرية على النظم2 * 1،  ‪ b 0 0 l‬مصفوفة صفرية علي النظم 2 * 2، ويرمز للمصفوفة الصفرية‬ ‫بمستطيل صغير‬ ‫ه‍ المصفوفة القطرية: هى مصفوفة مربعة جميع عناصرها أصفار، ما عدا عناصر القطر الرئيسى فيكون،‬ ‫أحدها على األقل مغايرا للصفر فمثال المصفوفة:‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ ‬ ‫‪p‬‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬‫0‬ ‫0‬ ‫0 ‪( f‬مصفوفة قطرية على النظم 3 * 3)‬ ‫2‬ ‫و مصفوفة الوحدة: هى مصفوفة قطرية، يكون فيها كل عناصر القطر الرئيسى مساو يا الواحد، ويرمز‬ ‫ً‬ ‫لها بالرمز ‪ . I‬فمثال كل من المصفوفات:‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫8‬ ‫1 0‬ ‫(1) ،   ‪p   ،  b 1 0 l‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫‪  f‬هي مصفوفة وحدة.‬
  • 16.
    ‫تافوفصم يف تانايبلاميظنت‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ اكتب نوع كل مصفوفة ونظمها.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫1 -1‬ ‫أ ‪ b 2 0 l‬‬ ‫ب (1 3 5 7) ‬ ‫1 0‬ ‫ه‍ ‪ b 3 0 l‬‬ ‫0 0‬ ‫د ‪ b0 0l‬‬ ‫ج‍ ‬ ‫و ‬ ‫‌ اكتب المصفوفة الصفرية على النظم 3 * 3‬ ‫تعلم‬ ‫تساوى مصفوفتين‬ ‫3‬ ‫‪f4p‬‬ ‫5‬ ‫0 0‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫0 1‬ ‫‪Equality of two Matrices‬‬ ‫تتساوى مصفوفتان ‪ D ،C‬إذا كانتا على نفس النظم، كان كل عنصر في المصفوفة ‪ C‬مساو يا لنظيره في المصفوفة‬ ‫و‬ ‫ً‬ ‫‪ D‬أي أن: ‪C‬ص ع = ‪ D‬ص ع  لكل ص ولكل ع.‬ ‫مـثـال‬ ‫1 2‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫1 2 0‬ ‫‌ أ المصفوفتان ‪ b 0 5 1- l ، b 5 1- l‬‬ ‫1 س 2‬ ‫ب ‪ b 2 3- 1 l = b 5 6 1- l‬‬ ‫-1 6 ص‬ ‫1 ص‬‫ج‍ المصفوفتان ‪ b 1- 3 l ، b 2 1 l‬‬ ‫س -1‬ ‫0 1 5‬ ‫د ‪p =f 0 7 1 p‬‬ ‫2 6 3‬ ‫0 1 5‬ ‫1 7 0‬ ‫2 6 3‬ ‫غير متساويتين ألنهما ليسا على نفس النظم.‬ ‫إذا و فقط إذا كانت س = -3 ، ص = 5‬ ‫اليمكن أن يتساويا، وذلك إلختالف أحد العناصر المناظرة‬ ‫في كل منهما (عناصر الصف األول والعمود األول)‬ ‫‪ f‬‬ ‫المصفوفتان متساويتان ألن لهما نفس النظم وعناصرهما‬ ‫المتناظرة متساوية.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ 3 2٫0‬‫57٫0 1‬‫‪4 o‬‬ ‫5 ‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‌ أ إذا كان ‪  2- 0٫5 = D     ،  2- 1 o = C‬هل ‪D = C‬؟ فسر إجابتك.‬ ‫2‬ ‫3 4‬‫3 4‬ ‫ب إذا كانت ‪      b 2- 0 l = N     ،       b 2- 0 l = M‬هل ‪N = M‬؟ فسر إجابتك .‬ ‫ ‬ ‫مـثـال‬ ‫استخدام المصفوفات المتساوية في حل المعادالت‬ ‫‌ إذا كان: ‪2 l‬س-5‬ ‫3‬ ‫الحل‬ ‫4‬ ‫‪ 2 l‬س-5‬ ‫3 3 ص +21‬ ‫‪l=b‬‬ ‫52‬ ‫4‬ ‫‪l =b‬‬ ‫3ص + 21‬ ‫3‬ ‫52‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫ص +81‬ ‫4‬ ‫ص + 81‬ ‫‪  b‬فأوجد قيمتى س، ص.‬ ‫‪b‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫9‬
  • 17.
    ‫حيث أن المصفوفتينمتساويتان، فيكون العناصر المتناظرة متساوية ونكتب:‬ ‫3ص + 21 = ص + 81‬ ‫ ، ‬ ‫2 س - 5 = 52‬ ‫3ص- ص = 81 - 21‬ ‫ ، ‬ ‫2 س     = 52 - 5‬ ‫ص     = 3‬ ‫ ، ‬ ‫2 س     = 02‬ ‫س       = 01‬ ‫الحل هو س = 01، ص = 3‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان ‪ l‬س + 8‬ ‫3‬ ‫5‬‫-ص‬ ‫‪l = b‬‬ ‫83‬ ‫3‬ ‫-5 ‪     b‬فأوجد قيمتى س، ص‬ ‫4ص-01‬ ‫1 ‌ تفكير ناقد: إذا كان (3س  س + ص  س - ع) = (-9  4  -01)   فأوجد قيم كل من س، ص، ع‬ ‫‪+C‬ب‬ ‫1 ‌ تفكير ناقد: إذا علم أن:‬ ‫‪ + C‬ب + جـ‬ ‫تعلم‬ ‫‪-C‬ب‬ ‫‪ - C‬ب + 2د‬ ‫= ‪ b 3- 9 l‬فأوجد قيم ‪ ،C‬ب، جـ، د‬ ‫7 5‬ ‫ة‬ ‫ضرب عدد حقيقي في مصفوف ‬ ‫‪Multipling a Real Number by a Matrix‬‬ ‫ضرب عدد حقيقي في مصفوفة يعنى ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في ذلك العدد الحقيقي أي أن:‬ ‫حاصل ضرب عدد حقيقي ك في مصفوفة ‪ C‬على النظم م * ن هي مصفوفة ج = ك ‪ C‬على نفس النظم م * ن كل‬ ‫و‬ ‫عنصر فيها جـ ص ع يساوى العنصر المناظر له في المصفوفة ‪ C‬مضروبا في العدد الحقيقي ك.‬ ‫ً‬ ‫أي: جـ ص ع = ك ‪ C‬ص ع   حيث ص =1، 2، .....، م ، ع = 1، 2، .....، ن‬ ‫الحظ أن:‬ ‫كس كص‬ ‫س ص‬ ‫‪l= b‬‬ ‫ك‪l‬‬ ‫كع كل‬ ‫ع ل‬ ‫‪b‬‬ ‫فمثال -2 4 1‬ ‫ً‬ ‫‪b 2- 8- l = b 1 * 2- 4 * 2- l = b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫5 -1‬ ‫01 2‬‫2 * 5 -2 * -1‬‫مـثـال‬ ‫‌ تخطط إحدى الكافيتريات لرفع ثمن كل مشروب مرة ونصف المرة. استخدم‬ ‫الئحة األسعار فى الجدول التالى إليجاد ثمن كل مشروب بعد الزيادة؟‬ ‫حجم صغير‬ ‫حجم كبير‬ ‫كوب لبن كامل الدسم‬ ‫57٫0 من الجنيه‬ ‫05٫1 من الجنيه‬ ‫كوب عصير مانجو‬ ‫09٫0 من الجنيه‬ ‫09٫1 من الجنيه‬ ‫كوب عصير برتقال‬ ‫01‬ ‫58٫0 من الجنيه‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫57٫1 من الجنيه‬
  • 18.
    ‫تافوفصم يف تانايبلاميظنت‬ ‫الحل‬ ‫57٫0‬ ‫05٫1‬ ‫09٫0‬ ‫09٫1‬ ‫58٫0‬ ‫5٫1 * 57٫0 5٫1 * 05٫1‬ ‫=‬ ‫57٫1‬ ‫=‬ ‫521٫1 52٫2‬ ‫572٫1 526٫2‬ ‫ ‬ ‫5٫1‬ ‫ ‬ ‫سوف يصبح ثمن كوب اللبن من الحجم الصغير 521٫1 من الجنيه، ثمن كوب اللبن‬ ‫من الحجم الكبير 52٫2 من الجنيه، وسوف يصبح ثمن كوب عصير البرتقال من‬ ‫الحجم الصغير 572٫1 من الجنيه، وثمن كوب البرتقال من الحجم الكبير 526٫2،‬ ‫وسوف يصبح ثمن كوب عصير المانجو من الحجم الصغير 53٫1من الجنيه، وثمن‬ ‫كوب المانجو من الحجم الكبير 58٫2 من الجنيه.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫5٫1 * 09٫0 5٫1 * 09٫1‬ ‫51 -21 01‬ ‫02 -01 7‬ ‫-2 1 3‬ ‫‌‬ ‫1 إذا كان ‪= C‬‬ ‫تعلم‬ ‫5٫1 * 58٫0 5٫1 * 57٫1‬ ‫53٫1 58٫2‬ ‫فأوجد -5‪C‬‬ ‫مدور المصفوفة‬ ‫‪Transpose of a Matrix‬‬ ‫في أي مصفوفة ‪ C‬على النظم م * ن إذا استبدلنا الصفوف باألعمدة واألعمدة بالصفوف بنفس الترتيب فإننا نحصل‬ ‫على مصفوفة على النظم ن * م، وتسمى مدور المصفوفة ‪ ،C‬ويرمز لها بالرمز ‪ C‬مد ويتضح من التعريف أن (‪C‬مد)مد = ‪C‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد مدور كل من المصفوفات اآلتية:‬ ‫ ‬ ‫أ ‪=C‬‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫الحل‬ ‫2‬ ‫-1‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫-1‬ ‫1‬‫5‬ ‫3‬ ‫1 ‪ f‬‬‫5‬ ‫ ‬ ‫أ ‪ C‬مد   = ‪p‬‬ ‫ ‬ ‫ب ب مد = ‪ 2- p‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫6‬ ‫مد ‪3- l‬‬ ‫ج‍ ج   =‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫-1 ‪ b‬‬ ‫ ‬ ‫ب ب = (1  -2  6) ‬ ‫3 4‬‫ج‍‬ ‫‪l‬‬ ‫ ج = 2 -1‬ ‫‪b‬‬ ‫مصفوفة على النظم 3 * 2‬ ‫مصفوفة عمود على النظم 3 * 1‬ ‫مصفوفة مربعة على النظم 2 * 2‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫11‬
  • 19.
    ‫الم�صفوفات المتماثلة و�شبهالمتماثلة‬ ‫‪Symmetric and Semi Symmetric Matrices‬‬ ‫إذا كانت ‪ C‬مصفوفة مربعة فإنها تسمى متماثلة إذا وفقط إذا كانت ‪C = C‬مد وتسمى شبه متماثلة إذا وفقط إذا كانت‬ ‫مد‬ ‫‪C- = C‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ هل المصفوفة ب = ‪p‬‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ب= ‪p‬‬ ‫0‬ ‫1‬‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫-3‬ ‫0‬ ‫1‬‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫-3‬ ‫1‬‫3‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬‫1‬ ‫1‬‫3‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫-3‬ ‫‪ f‬متماثلة أم شبه متماثلة؟‬ ‫‪ f‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫-1‬ ‫ب مد = ‪p‬‬ ‫1‬ ‫3‬‫0‬ ‫1‬‫0‬ ‫3‬ ‫‪f‬‬ ‫-1‬ ‫ ‬ ‫ب مد = -1 * ‪p‬‬ ‫ ‬ ‫` ب مد = -ب فيكون ب = - ‪ D‬مد فتكون المصفوفة ب شبه متماثلة‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌‬ ‫1 هل المصفوفة ‪p = C‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫-1‬ ‫3 ‪-= f‬ب‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫1‬‫5‬ ‫6‬ ‫‪ f‬متماثلة أم شبه متماثلة؟‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ أوجد قيمة كل من س، ص، ع في كل مما يأتى:‬ ‫س‬ ‫أ ‪l‬‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫1 ‪l =b‬‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫‪ b‬‬ ‫س‬ ‫ب ‪l‬‬ ‫0‬ ‫‌ بين أيا من المصفوفات اآلتية متماثلة وأيها شبه متماثلة:‬ ‫ًّ‬ ‫أ ‪p‬‬ ‫ ‬ ‫21‬ ‫1‬ ‫1‬‫4‬ ‫1‬‫2‬ ‫6‬ ‫4‬ ‫6‬ ‫5‬ ‫‪ f‬‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ب ‬ ‫0‬ ‫5‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫1‬ ‫5‬‫2‬ ‫0‬ ‫1‬‫2‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫‪l =b‬‬ ‫0‬ ‫ص‬ ‫1‬‫1‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫ع‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫3 ‪ b‬‬
  • 20.
    ‫تافوفصم يف تانايبلاميظنت‬ ‫نشاط‬ ‫الربط بالتكنولوجيا: استخدام الجداول اإللكترونية في تنظيم البيانات‬ ‫األدوات المستخدمة: برنامج الجداول اإللكترونية(‪)Excel‬‬ ‫‬ ‫استخدم الجداول اإللكترونية لتنظيم البيانات وعرضها وتحليلها، حيث يتم إدخالها في برنامج الجداول‬ ‫اإللكترونية في صفوف وأعمدة مثل المصفوفات، بعد ذلك يمكنك استخدامها في عمل الرسوم أو إيجاد‬ ‫الحسابات.‬ ‫مـثـال‬ ‫01 الربط بالتجارة: جمع مدير سوبر ماركت مبيعاته من السلع‬ ‫الغذائية بالكيلو جرام في أربعة أسابيع متتالية، ونظمها في‬ ‫الجدول المقابل، أدخل البيانات في برنامج الجداول اإللكترونية.‬ ‫1- استخدم العمود ‪ A‬للنوع والعمود ‪ B‬لمبيعات األسبوع األول ،‬ ‫والعمود ‪ C‬لمبيعات األسبوع الثانى، والعمود ‪ D‬لمبيعات األسبوع‬ ‫الثالث والعمود ‪ E‬لمبيعات األسبوع الرابع.‬ ‫مبيعات السوبر ماركت من بعض السلع الغذائية بالكيلو‬ ‫جرامات خالل 4 أسابيع متتالية‬ ‫النوع‬ ‫سكر‬ ‫زيت‬ ‫مكرونة‬ ‫دقيق‬ ‫زبدة‬ ‫ألبان‬ ‫شاي‬ ‫فول‬ ‫األسبوع‬ ‫األول‬ ‫43‬ ‫24‬ ‫06‬ ‫07‬ ‫52‬ ‫06‬ ‫22‬ ‫54‬ ‫األسبوع‬ ‫الثاني‬ ‫03‬ ‫84‬ ‫26‬ ‫57‬ ‫42‬ ‫63‬ ‫81‬ ‫53‬ ‫األسبوع‬ ‫الثالث‬ ‫72‬ ‫63‬ ‫45‬ ‫08‬ ‫02‬ ‫14‬ ‫03‬ ‫83‬ ‫األسبوع‬ ‫الرابع‬ ‫81‬ ‫23‬ ‫85‬ ‫27‬ ‫81‬ ‫77‬ ‫23‬ ‫04‬ ‫يحوي كل صف مبيعات النوع‬ ‫نفسه من السلعة الغذائية، ويمثل‬ ‫الصف الثانى مبيعات الزيت.‬ ‫81‬ ‫72‬ ‫03‬ ‫43‬ ‫ﺳــﻛــﺭ‬ ‫23‬ ‫63‬ ‫84‬ ‫24‬ ‫ﺯﻳﺕ‬ ‫85‬ ‫45‬ ‫86‬ ‫06‬ ‫ﻣﻛﺭﻭﻧﺔ‬ ‫27‬ ‫08‬ ‫57‬ ‫07‬ ‫ﺩﻗﻳﻕ‬ ‫81‬ ‫02‬ ‫42‬ ‫52‬ ‫ﺯﺑﺩﻩ‬ ‫77‬ ‫14‬ ‫63‬ ‫06‬ ‫23‬ ‫03‬ ‫81‬ ‫22‬ ‫ﺍﻟﺑﺎﻥ‬ ‫ﺷﺎﻯ‬ ‫04‬ ‫83‬ ‫53‬ ‫54‬ ‫ﻓﻭﻝ‬ ‫تحتوي كل خلية في الجدول جزءا‬ ‫ً‬ ‫واحدً ا من البيانات، حيث تحتوي‬ ‫الخلية 7‪ D‬على القيمة 03، والتي‬ ‫تمثل عدد الكيلو جرامات المبيعة‬ ‫في األسبوع الثالث من الشاي.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌‬ ‫1 قارن بين تنظيم البيانات في الجداول اإللكترونية وتنظيمها في مصفوفة.‬ ‫‌‬ ‫1 عند استخدامك لألمر (‪ )sum‬يمكنك إيجاد مجاميع مدخالت الصفوف واألعمدة في الجداول اإللكترونية.‬ ‫يمكنك إيجاد مجاميع مدخالت الصفوف من 1 إلى 8 بإدخال الصيغة )8‪ = sum (F1:F‬ماذا تمثل هذه المجاميع؟‬ ‫ ‬ ‫‌‬ ‫1 اختر إحدى المسائل التي درستها في هذا الدرس، وتحقق من صحة إجاباتك باستخدام الجداول اإللكترونية‬ ‫(يمكنك استخدام برنامج (‪.))EXCEL‬‬ ‫‌‬ ‫1 مسألة مفتوحة: أنشئ مصفوفة باستخدام بيانات حياتية تكون مجاميع عناصر أعمدتها ذات معنى،‬ ‫ومجاميع عناصر صفوفها لها معنى أيضا، أدخل بيانات المصفوفة على برنامج الجداول اإللكترونية، وتحقق‬ ‫ً‬ ‫من صحة المجاميع التى حصلت عليها، ثم فسر ماذا تعنى مجاميع كل من األعمدة والصفوف.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫31‬
  • 21.
    ‫جمع وطرح المصفوفات‬ ‫1‍‬ ‫‪Adding and subtracting Matrices‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫عمل تعاونى‬ ‫مجع املصفوفات.‬ ‫الربط باالحصاء: اعمل مع زميل لك . استخدم المعلومات في الجدول التالي:‬ ‫طرح املصفوفات.‬ ‫السنة‬ ‫1102‬ ‫2102‬ ‫3102‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫مجع املصفوفات‬ ‫‪Adding matrices‬‬ ‫طرح املصفوفات‬ ‫‬ ‫‪Subtracting matrices‬‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة بيانية‬ ‫الوسط الحسابى للدرجات‬ ‫رياضيات‬ ‫علوم‬ ‫إناث‬ ‫ذكور‬ ‫إناث‬ ‫ذكور‬ ‫754‬ ‫205‬ ‫024‬ ‫824‬ ‫064‬ ‫105‬ ‫124‬ ‫524‬ ‫364‬ ‫305‬ ‫624‬ ‫924‬ ‫1- أ أوجد مجموع درجات الوسطين الحسابيين للذكور في كل سنة في الجدول.‬ ‫ب أوجد مجموع درجات الوسطين الحسابيين لإلناث في كل سنة في الجدول.‬ ‫ ‬ ‫2- أ اكتب مصفوفة تمثل الوسط الحسابي لدرجات مادة العلوم للذكور‬ ‫واإلناث. ضع عنوانًا للمصفوفة وصفوفها وأعمدتها.‬ ‫ب ما نظم المصفوفة؟‬ ‫ ‬ ‫3- أ اكتب مصفوفة تمثل الوسط الحسابى لدرجات الرياضيات للذكور‬ ‫واإلناث. ضع عنوانًا للمصفوفة وصفوفها وأعمدتها.‬ ‫ب ما نظم المصفوفة ؟‬ ‫ ‬ ‫4- بفحص إجابتك عن السؤال رقم (1) والمصفوفات التى كتبتها في السؤالين (2)،‬ ‫ ‬ ‫(3)، اكتب مصفوفة ثالثة تمثل مجموع درجات الوسطين الحسابيين للذكور‬ ‫واإلناث. ضع عنوانًا للمصفوفة وصفوفها وأعمدتها، ما نظم المصفوفة؟‬ ‫5- استخدم مالحظاتك، وأى أنماط تراها لصياغة طريقة لجمع المصفوفات.‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫جمع المصفوفات‬ ‫‪Adding Matrices‬‬ ‫نريد أحيانا ان نجمع أو نطرح مصفوفات، لكى نحصل على معلومات جديدة.‬ ‫لتحصل على مصفوفة الجمع، اجمع العناصر المتناظرة.‬ ‫أى أن: إذا كانت ‪ D ،C‬مصفوفتين على النظم م * ن، فإن ‪ + C‬ب هى مصفوفة أيضا على‬ ‫ً‬ ‫النظم م * ن ويكون كل عنصر فيها هو مجموع العنصرين المتناظرين في ‪ ،C‬ب.‬ ‫41‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 22.
    ‫تافوفصملا حرطو عمج‬ ‫مـثـال‬ ‫02‬ ‫‌ إذا كان ‪ ، b 3 1- l = C‬ب = ‪ b 2- 7 l‬فأوجد: ‪.D + C‬‬ ‫1 -4‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫0 2‬ ‫7‬ ‫2 ‪ b‬‬‫‪ + C‬ب =‪l + b 3 1- l‬‬ ‫1 -4‬ ‫(بالتعويض عن ‪ ،C‬ب)‬ ‫2+ (-2) ‬ ‫0+7‬ ‫   =‬ ‫1 + 1 3 + (-4)‬‫7 0‬ ‫‪b‬‬ ‫ = ‪l‬‬ ‫ ‬ ‫0 -1‬ ‫(بجمع العناصر المتناظرة)‬ ‫(بسط)‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ، b 1- 4- l = C‬ب = ‪ ، b 7- 2 l‬جـ = ‪ b 7 l‬أوجد كال ممايأتي إن أمكن:‬ ‫ً‬ ‫3 -7‬‫4‬ ‫8 -1‬ ‫ب ‪ + C‬جـ‬ ‫أ ‬ ‫‪+C‬ب‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫ت‬ ‫خواص جمع المصفوفا ‬ ‫‪Properties of Adding Matrices‬‬ ‫نفرض ‪ ، C‬ب ، ج ثالث مصفوفات من النظم م * ن وأن‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫مصفوفة صفرية على نفس النظم فإن:‬ ‫1- خاصية اإلنغالق: ‪ + C‬ب تكون مصفوفة على النظم م * ن‬ ‫مصفوفة على النظم 2 * 2، ب = 7‬ ‫إذا كانت ‪2 1- = C‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫2 0‬‫0 3‬ ‫فإن    ‪ + C‬ب = ‪ b 4 6 l = b 2 7 l + b 2 1- l‬مصفوفة على النظم 2 * 2‬ ‫0 3‬ ‫2 0‬‫-2 3‬ ‫2- خاصية اإلبدال: ‪ + C‬ب = ب + ‪C‬‬ ‫واآلن: إذا كان ‪ ، b 1- 3 l = C‬ب = ‪  b 5 6 l‬فبين أن  ‪ + C‬ب = ب + ‪C‬‬ ‫4‬ ‫-2 3‬ ‫0‬ ‫3- خاصية الدمج: (‪ + C‬ب) + ج = ‪( + C‬ب + ج)‬ ‫واآلن: إذا كان ‪ ، b 1- 3 l = C‬ب = ‪ ، b 5 6 l‬ج = ‪  b 4 2 l‬فبين أن (‪ + )D + C‬ج = ‪ + D( + C‬ج)‬ ‫4‬ ‫0‬ ‫4- خاصية المحايد الجمعى:  ‪+ C‬‬ ‫ ‬ ‫0 0 0‬ ‫1 2 3‬ ‫فمثالً: ‪+ f 4 5- 6 p‬‬ ‫ ‬ ‫‪0 0 0 p‬‬ ‫0 0 0‬ ‫7 8 -9‬ ‫-2 3‬ ‫=‬ ‫+‪C=C‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫-1 -3‬ ‫فمثال 3‬ ‫ً‪l‬‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫7‬ ‫8 -9‬ ‫‪p = f 4 5- 6 p + f 0 0 0 p = f‬‬ ‫5- خاصية المعكوس (النظير)الجمعي:  ‪= C + )C-( = )C-( + C‬‬ ‫حيث (-‪ )C‬النظير الجمعى للمصفوفة ‪C‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫2 ‪ b‬مصفوفة على النظم 2 * 2‬ ‫5 2 + ‪0 = b 2- 5- 3- l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫2 0 5‬‫0‬ ‫0 -5‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1 2 3‬ ‫6 -5 4‬ ‫7 8 -9‬ ‫0  حيث ‪3 - = b 2- 5- 3- l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫2 0 5‬‫2‬ ‫0‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫‪f‬‬ ‫5 2‬ ‫0 -5‬ ‫‪b‬‬ ‫51‬
  • 23.
    ‫تعلم‬ ‫طرح المصفوفات ‬ ‫إذا كانتكل من المصفوفتين ‪ ،C‬ب على النظم م * ن فإن المصفوفة ج = ‪ - C‬ب = ‪-( + C‬ب) حيث ج مصفوفة‬ ‫علي النظم م * ن ، (-ب) هى معكوس للمصفوفة ب بالنسبة لعملية جمع المصفوفات.‬ ‫فمثالً: ‪ C l‬ب ‪ l - b‬س ص ‪ C l = b‬ب ‪- l + b‬س -ص ‪ - C l = b‬س ب - ص ‪b‬‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫جـ - ع ‪ - E‬ل‬ ‫ع ل‬ ‫ع -ل‬‫مـثـال‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ، b 11 4- 7 l = C‬ب = ‪ b 2 9 5 l‬أثبت أن ‪ - C‬ب ! ب - ‪.C‬‬ ‫6 5 -1‬ ‫8 -7 -3‬ ‫الحل‬ ‫7‬ ‫ ‬ ‫‪-C‬ب= ‪l‬‬ ‫6‬ ‫    = 7‬ ‫ ‬ ‫‪l‬‬ ‫6‬ ‫    = 2‬ ‫ ‬ ‫‪l‬‬ ‫-2‬ ‫4‬‫5‬ ‫4‬‫5‬ ‫31‬‫-2‬ ‫11‬ ‫‪b‬‬ ‫1‬‫11‬ ‫‪b‬‬ ‫1‬‫9 ‪b‬‬ ‫-4‬ ‫5 9 2‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬‫8 -7 -3‬ ‫+ ‪b 2- 9- 5- l‬‬ ‫-8 7 3‬ ‫ب - ‪l =  C‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫(1) ‬ ‫    = ‪l‬‬ ‫    = ‪l‬‬ ‫5‬ ‫8‬ ‫5‬ ‫8‬ ‫2‬‫2‬ ‫9‬ ‫7‬‫9‬ ‫7‬‫31‬ ‫-21‬ ‫2 - 7‬ ‫‪l b‬‬ ‫3‬‫6‬ ‫2 + ‪7- l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫6‬‫3‬‫9 ‪b‬‬‫-2‬ ‫4‬‫5‬ ‫4‬ ‫-5‬ ‫11‬ ‫1‬‫11 ‪b‬‬‫1‬ ‫‪b‬‬ ‫(2)‬ ‫من (1)، (2) نالحظ أن: ‪ - C‬ب ! ب - ‪( C‬عملية طرح المصفوفات ليست إبدالية)‬ ‫ ‬ ‫فكر: هل عملية طرح المصفوفات دامجة؟‬ ‫ ‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ، b 1- 5 2 l = C‬ب = ‪ ، b 3 4 1- l‬ج = ‪ b 2- 1- 6 l‬أوجد المصفوفة 2‪5 + D 3 - C‬ج‬ ‫الحل‬ ‫9 -2 5‬ ‫3 -4 6‬ ‫-3 5‬ ‫4‬ ‫2 * -1 = 4 01‬ ‫2 ‪b‬‬‫‪l b‬‬ ‫6 -8‬ ‫21‬ ‫2*6‬ ‫3 * 3 = -3 21 9‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l b‬‬ ‫72 -6 51‬ ‫3*5‬ ‫2‪5 * 2 2 * 2 l = b 1- 5 2 l 2 =       C‬‬ ‫ ‬ ‫2 * 3 2 * -4‬ ‫3 -4 6‬ ‫3ب = 3 ‪4 * 3 1-* 3 l = b 3 4 1- l‬‬ ‫ ‬ ‫9 -2 5‬ ‫3 * 9 3 * -2‬ ‫3ب = 3‬‫ ‬ ‫21 -9 ‪b‬‬‫‪l‬‬ ‫72 6 -51‬‫5ج = 5 6 -1 -2 = 5 * 6 5 * -1 5 * -2 = 03‬ ‫ ‬ ‫5 -01 ‪b‬‬‫‪l b‬‬ ‫‪l b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫51‬‫52 02‬ ‫5 * -3 5 * 5 5 * 4‬ ‫3 5 4‬‫` 2 ‪3 - C‬ب + 5 ج = 4 01 -2 + 3 -21 -9 + 03‬ ‫5 -01 ‪b‬‬‫‪l b‬‬ ‫‪l b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫51 52 02‬‫72 6 -51‬‫6 -8 21‬ ‫       = 4 +3 + 03 01 - 21 -5 -2 - 9 - 01 = 73‬ ‫ ‬ ‫7 -12 ‪b‬‬‫‪l b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫63‬‫32 71‬ ‫6 - 72 - 51 -8 + 6 + 52 21 - 51 + 02‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان ‪ ، b 1- 2 l = C‬ب = ‪ ، b 4 1- l‬ج = ‪ b 3- 1 l‬فأوجد المصفوفة 2‪4 + D3 - C‬ج‬ ‫-3 5‬ ‫61‬ ‫6 -2‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫0‬ ‫3‬
  • 24.
    ‫تافوفصملا حرطو عمج‬ ‫تحققمن فهمك‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‌ أوجد قيمة كل ممايأتى:‬ ‫2‬ ‫‪l‬‬ ‫9‬ ‫أ‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫‪4- l‬‬ ‫1‬ ‫‪+b‬‬ ‫1‬ ‫-1‬ ‫3‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫2‬ ‫‪l‬‬ ‫‌ إذا كانت‪4 = C‬‬ ‫1‬ ‫-2 ‪ b‬‬ ‫1‬ ‫1 ‪ ، b‬ب = ‪l‬‬‫0‬ ‫0‬ ‫ب ‪p‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫أ أوجد ‪ - C‬ب ، ب - ‪ . C‬‬ ‫ماذا تالحظ؟‬ ‫3 ‪b‬‬‫1‬ ‫3 4‬‫3 -3‬ ‫0 4 ‪1- 5 p - f‬‬ ‫2 2‬ ‫5 2‬ ‫‪f‬‬ ‫ب تحقق من أن - (‪ + C‬ب) = (-‪-( + )C‬ب)‬ ‫نشاط‬ ‫الربط بالتكنولوجيا: يمكنك استخدام اآللة الحاسبة لجمع أو طرح المصفوفات، على اآللة الحاسبة تسمى‬ ‫المصفوفة باستخدام متغير، بعض اآلالت الحاسبة تضع أقواس [ ] حول‬ ‫تذكر‬ ‫المتغير لتوضيح المصفوفة، قبل إدخال القيم للمصفوفة، يجب أن تدخل‬ ‫تذكر أن [‪ ]B] ،[A‬يمكن‬ ‫جمعها وطرحها ألنهما على‬ ‫نظم المصفوفة‬ ‫ ‬ ‫[‪[ = ]A‬‬ ‫4]‬ ‫[‪[ = ]B‬‬ ‫3 2 1 ‬ ‫5‬ ‫6‬ ‫9‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫7‬ ‫نفس النظم 3 × 2‬ ‫16 ]‬ ‫تتابع المفاتيح الموضح أدناه هو إلدخال وجمع مصفوفتين، إجر كل الخطوات للمصفوفة ‪ ،A‬ثم للمصفوفة ‪B‬‬ ‫مصفوفة [‪]A‬‬ ‫مصفوفة [‪]B‬‬ ‫2‬ ‫‪Enter‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫(-)‬ ‫2‬ ‫‪Enter‬‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫‪Enter‬‬ ‫9‬ ‫‪Enter‬‬ ‫6‬ ‫4‬ ‫‪Enter‬‬ ‫(-)‬ ‫1‬ ‫‪Quit‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫1‬ ‫$‬ ‫إلدخال القيم في الصف األول‬ ‫‪Enter‬‬ ‫4‬ ‫$‬ ‫إلدخال القيم في الصف الثاني‬ ‫‪Matrx‬‬ ‫3‬ ‫‪Enter‬‬ ‫3‬ ‫‪Enter‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫7‬ ‫‪Enter‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫2‬ ‫$‬ ‫إلدخال نظم المصفوفة‬ ‫1‬ ‫‪Matrx‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫$‬ ‫إلضافة مصفوفة‬ ‫6‬ ‫2‬ ‫‪Enter‬‬ ‫5‬ ‫‪Enter‬‬ ‫‪2nd‬‬ ‫‪Quit‬‬ ‫1‬ ‫‪Matrx‬‬ ‫+‬ ‫‪Matrx‬‬ ‫]‪[A] + [b‬‬ ‫]5 1 1 7[[‬ ‫]]1- 9 3[‬ ‫2‬ ‫‪$ 2nd‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫ ‬ ‫[‬ ‫8٫3 1٫2‬ ‫]‬ ‫أ [‪= ]B] ،  0٫8- 1٫5 = [A‬‬ ‫-4٫1 9٫1‬ ‫[‬ ‫ $             لجمع[‪]B] ،[A‬‬ ‫   $    سوف تعرض اآللة الحاسبة مجموع المصفوفتين‬ ‫1- واآلن: استخدم اآللة الحاسبة إليجاد: [‪]A] - [B] ،[A] + [B‬‬ ‫ ‬ ‫1.1 -4.1‬ ‫6.0 1.‬ ‫-7.1 8.0‬ ‫للذهاب إلى‬ ‫(‪)home screen‬‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫7‬ ‫5‬ ‫-4‬ ‫6‬ ‫-7 -6‬ ‫] [‬ ‫ ب [‪= ]B]  ، 10- 9- 4 = [A‬‬ ‫5 8 31‬‫4 11 7‬ ‫-51 6 -8‬ ‫]‬ ‫2- هل التغيير في ترتيب المصفوفات يؤثر على الناتج عند جمع المصفوفات؟ وعند طرح المصفوفات؟ فسر إجابتك.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫71‬
  • 25.
    ‫ضرب المصفوفات‬ ‫1 ‍‬ ‫‪Multiplyingmatrices‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫عمل تعاونى‬ ‫ رضب املصفوفات.‬ ‫خواص رضب املصفوفات.‬ ‫مدور حاصل رضب مصفوفتني.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫رضب املصفوفات‬ ‫‪Multiplying matrices‬‬ ‫‬ ‫مدور مصفوفة‬ ‫‪Transpose of matrix‬‬ ‫‬ ‫اعمل مع زميل لك. استخدم البيانات‬ ‫في الجدول المقابل:‬ ‫ثمن الوجبة بالجنيهات‬ ‫1- ما ثمن وجبات الغذاء(1)؟ وجبات‬ ‫ ‬ ‫001‬ ‫05‬ ‫عدد الوجبات المباعة‬ ‫الغذاء(2)؟ وجبات الغذاء (3)؟‬ ‫2- أ ما مجموع ثمن جميع الوحدات المباعة من الوجبات الثالثة ؟‬ ‫ب وضح كيف استخدمت بيانات الجدول إليجاد اإلجابة.‬ ‫ ‬ ‫وجبة وجبة وجبة‬ ‫(1) (2) (3)‬ ‫2‬ ‫05٫3 57٫2‬ ‫57‬ ‫3- أ اكتب مصفوفة 1 * 3 لتمثل ثمن كل وجبة مباعة.‬ ‫ب اكتب مصفوفة 3 * 1 لتمثل عدد الوجبات المباعة.‬ ‫ ‬ ‫ج‍ الكتابة: استخدم الكلمات صف، عمود ، عنصر لوصف إجراءات‬ ‫ ‬ ‫استخدام المصفوفات التى حصلت عليها إليجاد عدد الجنيهات التى تبيع‬ ‫بها الكافتيريا الوجبات الثالث.‬ ‫واآلن: لكي نقوم بضرب المصفوفات، اضرب عناصر كل صف من المصفوفة‬ ‫األولى في عناصر كل عمود من المصفوفة الثانية، ثم اجمع حواصل الضرب.‬ ‫فمثال إليجاد حاصل ضرب: ‪ ، 2 0 = C‬ب = 5 0‬ ‫ً‬ ‫‪l‬‬ ‫‪f 3- 2- p‬‬ ‫1 1‬‫1 4‬ ‫‪b‬‬ ‫نضرب ‪ 11C‬فى ب11، ثم نضرب ‪ 21C‬فى ب21 ثم نجمع حاصل الضرب‬ ‫0‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫0‬ ‫الناتج هو العنصر في الصف األول والعمود األول. كرر الخطوات نفسها مع باقي‬ ‫الصفوف واألعمدة.‬ ‫0 2‬ ‫‪= b 0 5 l f 3- 2- p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫-1 1‬ ‫‪p‬‬ ‫81‬ ‫2‬ ‫‪p = b 1 1- l f 3- 2- p‬‬ ‫؟‬ ‫‪2- = )1-( * 2+ 5 * )0(     f‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫2‬‫1‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫3‬‫4‬ ‫‪f‬‬ ‫-2 ؟‬ ‫2 2‬‫5 0‬ ‫‪l‬‬ ‫‪ p= b‬؟‬ ‫-1 1‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫‪2 = )1()2( + )0()0(     f‬‬ ‫‪7-= )1-()3-( + )5()2-(     f‬‬
  • 26.
    ‫تافوفصملا برض‬ ‫ ‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫0 2‬ ‫2-3‬‫1 4‬ ‫ ‬ ‫0‬ ‫2‬‫1‬ ‫‪f‬‬ ‫2 2‬‫5 0‬ ‫‪ 7- p = b 1 1- l‬؟‬ ‫‪p‬‬ ‫‪f‬‬ ‫0 2‬ ‫2 -3‬‫1 4‬ ‫(-2)(0) + (-3)(1) =-3 ‬ ‫2‬ ‫2 2‬‫5 0‬ ‫3 ‪3- 7- p = b 1 1- l f‬‬‫4‬ ‫؟‬ ‫(1)(5) + (4)(-1)= 1‬ ‫‪p‬‬ ‫‪f‬‬ ‫0 2‬ ‫2 -3‬‫1 4‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫2 2‬‫‪  f 3- 7- p = b 0 5 l‬‬ ‫1 1‬‫1‬ ‫(1)(0)+(4)(1)=4‬ ‫2 2‬‫‪3- 7- p = b 0 5 l‬‬ ‫1 1‬‫1 4‬ ‫‪f‬‬ ‫ ‬ ‫4- صف نموذجا للصفوف واألعمدة الملونة.‬ ‫ً‬ ‫5- أ ما نظم المصفوفات األصلية في المثال السابق، ومانظم مصفوفة الضرب؟‬ ‫ ‬ ‫ب تفكير ناقد: كيف نقارن نظم مصفوفة الضرب بنظم المصفوفات األصلية؟‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫ضرب المصفوفات‬ ‫‪Multiplying matrices‬‬ ‫يمكنك ضرب مصفوفتين إذا وفقط إذا كان عدد‬ ‫أعمدة المصفوفة األولى يساوى عدد صفوف‬ ‫المصفوفة الثانية، وعند ضرب المصفوفة ‪ C‬على‬ ‫النظم م * ن بالمصفوفة ب على النظم ن * ل فإن‬ ‫الناتج هو المصفوفة ‪ D C‬على النظم م * ل فمثالً:‬ ‫مصفوفة ‪C‬‬ ‫3 صفوف ‪p‬‬ ‫1 2‬‫3 -4‬ ‫5 0‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪f‬‬ ‫صفان‬ ‫عمودان‬ ‫مـثـال‬ ‫ ‬ ‫مصفوفة ب‬ ‫3 -4 5‬ ‫‪l‬‬ ‫7 8 9‬ ‫‪b‬‬ ‫3 أعمدة‬ ‫متساويان‬ ‫نظم مصفوفة الضرب 3 * 3‬ ‫‌ حدد ما إذا كانت مصفوفة حاصل الضرب ‪ C‬ب معرفة في كل حالة أم ال.‬ ‫أ إذا كانت المصفوفة ‪ C‬على النظم 3 * 4، والمصفوفة ب من النظم 4 * 2‬ ‫ب إذا كانت المصفوفة ‪ C‬على النظم 5 * 3، والمصفوفة ب من النظم 5 * 2‬ ‫الحل‬ ‫أ بما أن عدد أعمدة المصفوفة ‪ C‬يساوى عدد صفوف المصفوفة ب،‬ ‫ فإن مصفوفة حاصل الضرب ‪ C‬ب معرفة وتكون على النظم 3 * 2‬ ‫ب بما أن عدد أعمدة المصفوفة ‪ C‬اليساوى عدد صفوف المصفوفة ب،‬ ‫‪     .    C‬ب   =          ‪ C‬ب‬ ‫3*4‬ ‫فإن مصفوفة حاصل الضرب ‪ C‬ب غير معرفة.‬ ‫متساويان‬ ‫3*2‬ ‫4*2‬ ‫3*2‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ ‬ ‫‌ حدد ما إذا كانت مصفوفة حاصل الضرب ‪ C‬ب معرفة في كل حالة أم ال موضحا السبب.‬ ‫ً‬ ‫أ إذا كانت المصفوفة ‪ C‬من النظم 3 * 2، والمصفوفة ب على النظم 2 * 3‬ ‫ب إذا كانت المصفوفة ‪ C‬من النظم 1 * 3 والمصفوفة ب على النظم 1 * 3‬ ‫ ‬ ‫من تعريف ضرب المصفوفات يتضح إنه من الممكن أن تكون ‪ C‬ب معرفة بينما ب ‪ C‬غير معرفة، وبصفة عامة‬ ‫إذا كانت كل من ‪ C‬ب، ب ‪ C‬معرفتين فإن ‪ C‬ب ليست بالضرورة تساوى ب ‪ C‬حتى وإن تساويتا في نفس النظم.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫91‬
  • 27.
    ‫مـثـال‬ ‫1 -1 2‬ ‫‌ إذا كان ‪3 0 1- p = C‬‬ ‫0 1 4‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪  ،   f‬ب = ‪p‬‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫1 0‬ ‫4 1‬ ‫0 -1‬ ‫‪ f‬فأوجد كال من ‪ C‬ب ، ب ‪ .C‬ماذا تالحظ؟‬ ‫ًّ‬ ‫‪ C a‬على النظم 3 * 3، ب على النظم 3 * 3 فإن ‪ D C‬معرفة (ألن عدد أعمدة ‪ C‬يساوى عدد صفوف ب)‬ ‫وتكون مصفوفة حاصل الضرب على النظم 3 * 3‬ ‫2 1‬ ‫1 -1 2‬ ‫‪ C‬ب = ‪4 3 p f 3 0 1- p‬‬ ‫0 1 4‬ ‫5 0‬ ‫1 * 2 + (-1) * 3 + 2 * 5‬ ‫       = ‪5 * 3 + 3 * 0    +  2 * 1- p‬‬ ‫0 * 2  +  1       * 3 + 4 * 5‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫0‬ ‫1 ‪f‬‬ ‫1‬‫1  * 1 + (-1) * 4 + 2 * 0 1  * 0 + (-1) * 1 + 2 * (-1)‬ ‫1 * 1 +  0   * 4 + 1 *0 -1  * 0 +      0      * 1 + 3 * (-1)‬‫  0   * 1 +  1  * 4 + 4 *0 0   * 0 +      1       * 1 + 4 * (-1)‬ ‫9 -3 -3‬ ‫‪f 3- 1- 13 p = f‬‬ ‫32 4 -3‬ ‫‪ a‬ب على النظم 3 * 3 ‪ C‬على النظم 3 * 3 فإن ب ‪ C‬معرفة (ألن عدد أعمدة ب يساوى عدد صفوف ‪ )C‬وتكون‬ ‫مصفوفة حاصل الضرب على النظم 3 * 3‬ ‫2 1 0‬ ‫1 -1‬ ‫ب‪0 1- p f 1 4 3 p = C‬‬ ‫5 0 -1‬ ‫0 1‬ ‫2 * 1 + 1 * -1 + 0    * 0‬ ‫    = ‪0 *  1 + 1- * 4 + 1 * 3 p‬‬ ‫5 * 1 + 0 * -1 + (-1) * 0‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫3 ‪f‬‬ ‫4‬ ‫2 * -1 + 1 * 0 + 0 *1‬ ‫3 * -1 + 4 * 0 + 0 * 1‬ ‫5 * -1 + 0 * 0 + 0 * 1‬ ‫1 -2 7‬ ‫2 * 2 + 1 * 3 +   0 * 4‬ ‫3 * 2 + 4 * 3 +     1 * 4 ‪= f‬‬ ‫‪f 22 3- 1- p‬‬ ‫5 -5 6‬ ‫5 * 2 + 0 * 3 + -1 * 4‬ ‫نالحظ أن ‪ C‬ب ! ب ‪   C‬يمكن استخدام ضرب المصفوفات في بعض المواقف الحياتية.‬ ‫مـثـال‬ ‫غرفة‬ ‫غرفة‬ ‫بسرير بسريرين‬ ‫46‬ ‫82‬ ‫‌ الربط بالسياحة: لدى كة سياحية 3 فنادق بمدينة الغردقة‬ ‫شر‬ ‫ ‬ ‫يبين الجدول المقابل عدد الغرف المختلفة في كل فندق، فإذا كانت الزهرة‬ ‫59‬ ‫األجرة اليومية للغرفة التى تحتوى على سرير واحد 052 جنيها، وللغرفة اللؤلؤة 53‬ ‫ً‬ ‫08‬ ‫02‬ ‫الماسة‬ ‫التى تحتوي على سريرين 054 جنيها، وللجناح 006 جنيها.‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫أ اكتب مصفوفة تمثل عدد الغرف المختلفة في الثالثة فنادق، ثم اكتب مصفوفة أسعار الغرف.‬ ‫ ‬ ‫ب‬ ‫ اكتب مصفوفة تمثل الدخل اليومي كة، على فرض أن جميع الغرف تم شغلها.‬ ‫للشر‬ ‫ ‬ ‫كة على فرض أن جميع الغرف تم شغلها؟‬ ‫ج‍ ما الدخل اليومى للشر‬ ‫ ‬ ‫الفندق‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫أ نكتب مصفوفة عدد الغرف ‪ C‬كاآلتي: ‬ ‫ ‬ ‫وتكتب مصفوفة أسعار الغرف ‪ D‬كاآلتى‬ ‫ ‬ ‫82 46 8‬ ‫‪20 95 35 p =    C‬‬ ‫02 08 51‬ ‫052‬ ‫ب = ‪f 450 p‬‬ ‫006‬ ‫جناح‬ ‫8‬ ‫02‬ ‫51‬ ‫‪f‬‬ ‫ونالحظ أننا قد كتبنا المصفوفتين بحيث يكون عدد الصفوف في المصفوفة ‪ C‬مساو يا لعدد األعمدة في المصفوفة‬ ‫ً‬ ‫ب، حتى يمكن إجراء عملية الضرب ، إيجاد المطلوب في البندين (ب)، (جـ).‬ ‫02‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 28.
    ‫تافوفصملا برض‬ ‫82 468‬ ‫052‬ ‫ب مصفوفة الدخل اليومى للشر‬ ‫ ‬ ‫كة هي المصفوفة ‪450 p f 20 95 35 p = D C‬‬ ‫‪f‬‬ ‫02 08 51‬ ‫006‬ ‫00604‬ ‫82 * 052 + 46 * 054 + 8 * 006‬ ‫ ‬ ‫  = ‪63500 p = f 600 * 20 + 450 * 95 + 250 * 35 p‬‬ ‫00005‬ ‫02 * 052 + 08 * 054 + 51 * 006‬ ‫ج‍ الدخل اليومى كة = 00604 + 00536 + 00005 = 001451 جنيه‬ ‫للشر‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫ت‬ ‫خواص عملية ضرب المصفوفا ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪Properties of Matrix Multiplication‬‬ ‫من تعريف عمليتى جمع وضرب المصفوفات، مع افتراض تحقق الشروط الالزمة للتعريفين: يمكن استنتاج‬ ‫الخواص التالية:‬ ‫1- خاصية الدمج:‬ ‫ ‬ ‫(‪ C‬ب) ج = ‪( C‬ب ج)‬ ‫واألن إذا كان:‬ ‫1 0‬ ‫‪ ، b 2- 1 l = C‬ب = ‪ ، b 1 0 2 l‬ج = ‪ f 2 3 p‬أوجد (‪ C‬ب) ج، ‪( C‬ب ج). ماذا تالحظ؟ هل عملية‬ ‫1 1 -2‬ ‫3 1‬ ‫2 -1‬ ‫ضرب المصفوفات دامجة؟‬ ‫2- خاصية المحايد الضربى ‬ ‫‪C = C I = I C‬‬ ‫واآلن إذا كان ‪ b 3- 2 l = C‬فبرهن أن: ‪ C =CI= IC‬‬ ‫-1 5‬ ‫حيث ‪ I‬هي مصفوفة الوحدة‬ ‫حيث ‪ I‬هي مصفوفة الوحدة‬ ‫3- خاصية توزيع ضرب المصفوفات على جمعها.‬ ‫واآلن إذا كان ‪1 = C‬‬ ‫‪l‬‬ ‫3‬ ‫2 ، ب = ‪ ، b 2- 1 l‬ج = 3 1‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫5 4‬ ‫3 0‬‫4‬ ‫إثبت أن: أ ‪(C‬ب + ج) = ‪C‬ب + ‪C‬ج‬ ‫ن‬ ‫مدور حاصل ضرب مصفوفتي ‬ ‫ ‬ ‫‪(C‬ب + ج) = ‪ C‬ب + ‪ C‬ج‬ ‫(‪ + C‬ب) ج = ‪ C‬ج + ب ج‬ ‫‪b‬‬ ‫ب (ب + ج) ‪ = C‬ب ‪ + C‬ج‪C‬‬ ‫‪Transpose of the product of two matrices‬‬ ‫من تعريف مدور المصفوفة وتعريف ضرب المصفوفات يمكن استنتاج الخاصية التالية: (‪ C‬ب)مد = ب ‪C‬‬ ‫1‬ ‫واآلن إذا كانت ‪l = C‬‬ ‫3‬ ‫1 2‬‫2 -1 ‪ ، b‬ب = ‪   ، f 1- 1 p‬أثبت أن: (‪ C‬ب) = ب ‪C‬‬ ‫1 5‬ ‫4 3‬ ‫مد‬ ‫مد مد‬ ‫مد مد‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫حدد ما إذا كانت مصفوفة حاصل الضرب ‪C‬ب معرفة فى كل ممايأتي أم ال، وإذا كانت معرفة فأوجد نظم‬ ‫المصفوفة الناتجة:‬ ‫أ المصفوفة ‪ C‬على النظم 3 * 1، والمصفوفة ب على النظم 2 * 3‬ ‫ب المصفوفة ‪ C‬على النظم 3 * 3، والمصفوفة ب على النظم 2 * 2‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫12‬
  • 29.
    ‫المحددات‬ ‫1 ‍‬ ‫‪Determinants‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫حمدداملصفوفة املربعة من الرتبة‬ ‫الثانية.‬ ‫حمدد املصفوفة املربعة من الرتبة‬ ‫الثالثة.‬ ‫حمدد املصفوفة املثلثية.‬ ‫إجياد مساحة املثلث باستخدام‬ ‫املحددات.‬ ‫حل نظام من املعادالت اخلطية‬ ‫بطريقة كرامر.‬ ‫فكر‬ ‫1- ما المصفوفة المربعة؟‬ ‫2- اكتب مصفوفة مربعة من النظم 2 * 2، ومن النظم 3 * 3‬ ‫3- إذا كانت أ مصفوفة مربعة من النظم 2 * 2 حيث: ‪ b 5 2 l = C‬فإن محدد‬ ‫1 7‬ ‫المصفوفة ‪ C‬هو العدد المعرف كاآلتي:‬ ‫ |‪9 = 5 - 14 = 5 * 1- 7 * 2 = |C‬‬ ‫ما محدد كل من المصفوفات التالية؟‬ ‫ ‬ ‫ب= 1‬ ‫‪l‬‬ ‫3‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫حمدد‬ ‫‪Determinant‬‬ ‫حمدد الرتبة الثانية‬ ‫‬ ‫‪Second order determinant‬‬ ‫حمدد من الرتبة الثالثة‬ ‫‪Third order determinant‬‬ ‫‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫2   ،  ج = 3 5‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫4‬ ‫-3 1‬ ‫المحددات‬ ‫أ ب‬ ‫|‪= |C‬‬ ‫جـ د‬ ‫القطر الرئيسى للمحدد‬ ‫‬ ‫القطر اآلخر للمحدد‬ ‫‬ ‫مصفوفة املعامالت‬ ‫‪Coefficient matrix‬‬ ‫‬ ‫القطر األخر‬ ‫= أ د - جـ ب‬ ‫القطر الرئيسى‬ ‫ونالحظ أن قيمة محدد الرتبة الثانية يساوى حاصل ضرب عنصرى القطر الرئيسى‬ ‫مطروحا منه حاصل ضرب عنصرى القطر اآلخر.‬ ‫ً‬ ‫مـثـال‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة علمية.‬ ‫ورق رسم بياين.‬ ‫‪Determinants‬‬ ‫إذا كانت ‪ C‬مصفوفة مربعة على النظم 2 * 2 حيث:‬ ‫‪ l = C‬أ ب ‪ b‬فإن محدد المصفوفة ‪ C‬يرمز له بالرمز|‪ |C‬ويسمى بمحدد الرتبة‬ ‫جـ د‬ ‫الثانية، وهو العدد المعرف كاآلتي:‬ ‫‪Principle or leading diagonal‬‬ ‫‪Other diagonal‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ ‬ ‫‌ أوجد قيمة كل محدد ممايلى:‬ ‫أ‬ ‫الحل‬ ‫4 5  ب‬ ‫3 7‬ ‫0 5   ج‍‬ ‫7 3‬ ‫1 0   د‬ ‫0 1‬ ‫1 0‬ ‫2 7‬ ‫0 5‬ ‫4 5‬ ‫أ 3 7  = 4 * 7 - 3 * 5 ‬ ‫ ‬ ‫ب 7 3  = 0 * 3 - 7 * 5‬ ‫            = 82 - 51 = 31            = 0 - 53 = - 53‬ ‫22‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 30.
    ‫تاددحملا‬ ‫1 0‬ ‫ ‬ ‫د 27 =1*7-2*0‬ ‫            = 7 - 2 = 5‬ ‫1 0‬ ‫ج‍ 0 1 = 1 * 1 - 0 * 0‬ ‫ ‬ ‫            = 1 - 0 = 1‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ ‬ ‫‌ أوجد قيمة كل من المحددات التالية :‬ ‫2‬ ‫أ ‬ ‫5‬ ‫1 -1 ‬ ‫0‬ ‫ب ‬ ‫4‬ ‫5 -1 ‬ ‫ج‍ ‬ ‫‪ C‬ب‬ ‫ب جـ‬ ‫تعلم‬ ‫‪Third order determinant‬‬ ‫ة‬ ‫محدد الرتبة الثالث ‬ ‫‪ C‬ب حـ‬ ‫يسمى محدد المصفوفة على النظم 3 * 3 محدد الرتبة الثالثة، وإليجاد قيمة محدد الرتبة الثالثة د هـ و فإن:‬ ‫ز ح ط‬ ‫‪ C‬ب حـ‬ ‫هـ و = ‪ C‬هـ و - ب د و + حـ د هـ‬ ‫د‬ ‫ح ط‬ ‫ز ط‬ ‫ز ح‬ ‫ز ح ط‬ ‫           = ‪(C‬هـ ط - ح و) - ب ( د ط - ز و) + حـ ( د ح - ز هـ)‬ ‫مـثـال‬ ‫5‬ ‫1‬ ‫6‬ ‫7 2‬ ‫‌ إليجاد قيمة المحدد 3 4‬ ‫1 2‬‫7 2 5‬ ‫3 4‬ ‫3 1‬ ‫4 1‬ ‫3 4 1 = 7 2 6 - 2 -1 6 + 5‬ ‫ ‬ ‫1 2‬‫1 2 6‬‫          = 7 ( 4 * 6 - 2 *1) -2 (3 * 6 - (-1) * 1) + 5 ( 3 * 2 - (-1) * 4)‬ ‫فإن :‬ ‫         = 7 * 22 - 2 * 91 + 5 * 01‬ ‫         = 451 - 83 + 05 = 661‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫المحدد األصغر المناظر ألى عنصر في مصفوفة‬ ‫‬ ‫‪Minor determinant corresponding to any element of a matrix‬‬ ‫إذا كانت المصفوفة ‪ C‬هى مصفوفة على النظم 3 * 3 حيث‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C p =C‬‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫22‬ ‫‪C 23C‬‬ ‫33‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫‪  f 32C‬فإن: المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪ 11C‬يرمز له بالرمز| ‪ | 11C‬وهو‬ ‫13‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫22‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫23‬ ‫والحظ إننا حصلنا على هذا المحدد بحذف الصف والعمود المتقاطعين على العنصر ‪11C‬كاآلتي:‬ ‫‪C‬‬ ‫11‬ ‫‪C 21C‬‬ ‫13‬ ‫31‬ ‫‪C 23C‬‬ ‫33‬ ‫‪f 32C 22C 12C p‬‬ ‫‪C‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫32‬
  • 31.
    ‫بالمثل:‬ ‫× ×المحدد األصغرالمناظر للعنصر ‪ 21C‬يرمز له بالرمز|‪ |21C‬وهو‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫× ×المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪ 31C‬يرمز له بالرمز|‪ |31C‬وهو‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫× ×المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪ 12C‬يرمز له بالرمز|‪ |12C‬وهو‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫وهكذا، وجميع هذه المحددات هى محددات من الرتبة الثانية:‬ ‫21‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫23‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫22‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫13‬ ‫مالحظات هامة‬ ‫1- إذا كانت ‪ C‬مصفوفة مربعة على النظم 3 *3 على الصورة:‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C p = C‬‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫11‬ ‫ ‬ ‫ |‪C = |C‬‬ ‫ ‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫22‬ ‫‪C 23C‬‬ ‫33‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫22‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ ، f 32C‬ومحدد ‪ C‬يرمز له بالرمز |‪ |C‬حيث:‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫23‬ ‫13‬ ‫-‪C‬‬ ‫13‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫23‬ ‫+‪C‬‬ ‫13‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫22‬ ‫= ‪|31C| 31C + |21C| 21C - |11C| 11C‬‬ ‫2- الحظ أننا ضربنا كل عنصر في المحدد األصغر المناظر له مسبوقًا باإلشارات +، -، +، ... على الترتيب،‬ ‫وإشارة المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪C‬وهـ تتعين بالقاعدة:‬ ‫و +هـ‬ ‫ إشارة |‪ C‬و هـ| هى نفس إشارة (-1)‬ ‫ً‬ ‫فمثال إشارة |‪ |21C‬هى نفس إشارة (-1) 1 + 2 وهى سالبة‬ ‫ ‬ ‫ إشارة  |‪ |31C‬هى نفس إشارة (-1) 1 + 3 وهى موجبة‬ ‫بعبارة أخرى لتحديد إشارة أي محدد أصغر مناظر لعنصر ما نجمع رتبتى الصف، والعمود اللذين يتقاطعان عند‬ ‫هذا العنصر:‬ ‫× ×فإذا كان مجموع الرتبتين زوجيا كانت اإلشارة موجبة.‬ ‫ًّ‬ ‫× ×إذا كان مجموع الرتبتين فرد ًّيا كانت اإلشارة سالبة.‬ ‫+ - +‬ ‫ونالحظ أن قاعدة اإلشارات للمحدد األصغر تكون كاآلتى: - + -‬ ‫+ - +‬ ‫3- يمكن فك المحدد بداللة عناصر أى صف (أو عمود) ومحددتها الصغرى ولكن بإشارة مناسبة.‬ ‫ ‬ ‫42‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 32.
    ‫تاددحملا‬ ‫مـثـال‬ ‫1 2 3‬ ‫40 5‬ ‫7 -2 -1‬ ‫‌ إليجاد قيمة المحدد‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫باستخدام عناصر العمود الثاني.‬ ‫نالحظ أن إشارات المحدد األصغر المناظر لعناصر العمود الثاني هى - ، + ، - على الترتيب فيكون:‬ ‫4‬ ‫1‬ ‫5‬ ‫3‬ ‫المحدد = -2 7 -1 + 0 7 -1 - (-2)‬ ‫    = -2 (-4 - 53) + 0 + 2 (5 - 21)‬ ‫   = 87 - 41 = 46‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫فكرة مفيدة للحل‬ ‫يمكنك فك المحدد باستخدام‬ ‫أى صف أو عمود فيه أكبر‬ ‫عدد ممكن من األصفار‬ ‫لتسهيل حصولك على قيمته‬ ‫بعد أخذ اإلشارة المناسبة.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد قيمة كل محدد ممايلى:‬ ‫ ‬ ‫-1 7‬ ‫أ ‬ ‫5‬ ‫0‬ ‫6‬ ‫3 0 1 ‬ ‫4‬ ‫تعلم‬ ‫7‬ ‫-2 3‬ ‫ب ‬ ‫ج‍ ‬ ‫0 4 5 ‬ ‫0‬ ‫0 -3‬ ‫ة‬ ‫محدد المصفوفة المثلثي ‬ ‫3 4 0‬ ‫2 -3 1‬ ‫5 0 -2‬ ‫ ‬ ‫د ‬ ‫2 0 -3‬ ‫5 -1 4‬ ‫-2 0 3‬ ‫‪Determinant of triangular Matrix‬‬ ‫المصفوفة المثلثية هى مصفوفة جميع عناصرها التى تحت القطر الرئيسى (أو فوقه) أصفار مثل:‬ ‫2 3‬ ‫‪p ،b 4 0 l‬‬ ‫2‬ ‫4‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1 0 0‬‫3‬ ‫5 ‪0 4- 2 p ، f‬‬ ‫5 -1 2‬ ‫6‬ ‫‪f‬‬ ‫ونالحظ أن: قيمة محدد المصفوفة المثلثية يساوى حاصل ضرب عناصر قطرها الرئيسى.‬ ‫أى أن:‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫‪C‬‬ ‫11‬ ‫= ‪C 22C 11C‬‬ ‫‪C 12C‬‬ ‫33‬ ‫22‬ ‫‪C 23C 13C‬‬ ‫33‬ ‫ولبرهان ذلك نفك المحدد باستخدام عناصر الصف األول:‬ ‫المحدد = ‪C‬‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫22‬ ‫0‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ ما قيمة المحدد‬ ‫الحل‬ ‫= ‪C C C = )0 * 21C - 32C * 22C ( 11C‬‬ ‫11 22 23‬ ‫1 2 3‬ ‫0 -3 5‬ ‫0 0 6‬ ‫؟‬ ‫نالحظ أن المحدد هو محدد مصفوفة مثلثية فيكون:‬ ‫المحدد = 1 * - 3 * 6 = -81‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫52‬
  • 33.
    ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد قيمة كل محدد ممايلى:‬ ‫ ‬ ‫-1 2‬ ‫أ ‬ ‫0 -2‬ ‫0‬ ‫تعلم‬ ‫‬ ‫5‬ ‫0 3 -4 ‬ ‫ب ‬ ‫3 2‬‫0 4‬ ‫0 0‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫0‬ ‫إيجاد مساحة سطح المثلث باستخدام المحددات‬ ‫‪Finding area of a triangle by using Determinants‬‬ ‫يمكنك استخدام المحددات إليجاد مساحة سطح المثلث، بمعلومية إحداثيات رؤوس المثلث كاآلتى:‬ ‫مساحة سطح المثلث الذى رؤوسه: س (‪ ،C‬ب)، ص (جـ، ‪ ،)E‬ع (هـ، و) هى |‪ |W‬حيث:‬ ‫‪1 =W‬‬ ‫2‬ ‫‪ C‬ب 1‬ ‫جـ د 1‬ ‫هـ و 1‬ ‫تذكر‬ ‫|‪ |W‬تعنى قيمة ‪ W‬الموجبة.‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد مستخدما المحددات مساحة سطح المثلث الذى إحداثيات رؤوسه (-1، -3) ، (2، 4)، (-3، 5)‬ ‫ً‬ ‫الحل‬ ‫1 -3 1‬‫1‬ ‫‪1 4 2 2 =W‬‬ ‫3 5 1‬‫2 4‬ ‫2 1‬ ‫4 1‬ ‫    = 1 -1 5 1 - (-3) -3 1 + 1‬ ‫2‬ ‫3 5‬‫        = 1 [-1 (4 - 5) + 3 (2 + 3) + 1 (01 + 21)]‬ ‫2‬ ‫        = 1 (1 + 51 + 22) = 91 وحدة مربعة‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫[‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ص (2، 4)‬ ‫]‬ ‫س3 2 1‬ ‫ص‬ ‫ع (-3، 5)‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1 -2 -3 -4 -5‬‫1‬‫2‬‫-3 س (-1، -3)‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد مستخدما المحددات مساحة سطح المثلث ‪ C‬ب جـ الذى فيه ‪ ،)2- ،2-(C‬ب (3، 1)، جـ (-4، 3)‬ ‫ً‬ ‫ص‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ الربط بالهندسة: إذا كانت إحدثيات ثالث نقط على المستوى‬ ‫اإلحداثى هي (0، 2) (3، 5)، (-3، 2) كانت اإلحداثيات باألمتار،‬ ‫و‬ ‫فأوجد مساحة سطح المثلث الذى رؤوسه تلك النقط.‬ ‫62‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫س‬ ‫6‬ ‫(3، 5)‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫(0، 2) 2‬ ‫1‬ ‫4 3 2 1‬ ‫(-3، 2)‬ ‫-1 -2 -3 -4‬
  • 34.
    ‫تاددحملا‬ ‫الحل‬ ‫0 2‬ ‫3 5‬ ‫32‬‫5 1‬ ‫0‬ ‫2 1‬ ‫‪1 = W‬‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫           = 21 [‬ ‫           = 1 [0 - 0 - 3 (2-5)] = 1 4 متر مربع‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫-3‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫+ (-3)‬ ‫2‬ ‫5‬ ‫]‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫‌ أوجد مستخدما المحددات مساحة المثلث المبين بالشكل المقابل.‬ ‫ً‬ ‫‬ ‫‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫5 4 3 2 1‬ ‫س‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫تعلم‬ ‫ص‬ ‫‪C‬‬ ‫1 -2 -3 -4 -5‬‫1‬‫2‬‫3‬‫4‬‫-5‬ ‫حل نظام من المعادالت الخطية بطريقة كرامر‬ ‫‪Solving a system of linear equations by Cramer's method‬‬ ‫1- حل �أنظمة المعادالت الخطية في مجهولين‬ ‫‪Solving a system of Linear equations in two unknowns‬‬ ‫ إذا كان لدينا نظام من المعادالت الخطية في مجهولين كاآلتي:‬ ‫   ‪ C‬س   + ب ص = م‬ ‫ ‬ ‫جـ س + ‪ E‬ص   = ن‬ ‫ ‬ ‫‪ C‬ب‬ ‫‪b E‬‬ ‫فإن المصفوفة التى عناصرها معامال المجهولين بعد ترتيب النظام تسمى بمصفوفة المعامالت ‪l‬‬ ‫جـ‬ ‫ويمكنك استخدام المحددات لحل أنظمة المعادالت الخطية، فإذا كانت قيمة محدد مصفوفة المعامالت‬ ‫‪ C‬ب ويرمز له بالرمز 9 (يقرأ دلتا) اليساوى صفرا، فإن للنظام حال وحيدا، وإذا كانت قيمة المحدد‬ ‫ًّ‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫صفرا، فإما أن يكون للنظام عدد النهائى من الحلول أو ليس له حل.‬ ‫ً‬ ‫ونالحظ أن معاملى المجهول س تكون العمود األول للمحدد 9، ومعامال المجهول ص تكون العمود الثاني‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫للمحدد 9.‬ ‫يسمى م ب محدد المجهول س ونرمز له بالرمز 9س (يقرأ دلتا س)، ونحصل عليه من المحدد 9 بعد‬ ‫ن ‪E‬‬ ‫تغيير عناصر العمود األول (معامالت س) بالثوابت م ، ن.‬ ‫كما يسمى‬ ‫‪ C‬م‬ ‫جـ ن‬ ‫محدد المجهول ص ونرمز له بالرمز 9ص (يقرأ دلتا ص)، ونحصل عليه من المحدد 9‬ ‫بعد تغيير عناصر العمود الثاني (معامالت ص) بالثوابت م، ن.‬ ‫واآلن: نفرض أن 9!0 ،  فإن حل النظام هو:‬ ‫ ‬ ‫     س = 9س =‬ ‫9‬ ‫م‬ ‫ن‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫م‪-E‬نب‬ ‫‪= E‬‬ ‫ب‬ ‫‪-EC‬جـ ب‬ ‫‪E‬‬ ‫ ‬ ‫     ص = 9 ص =‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫9‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫م‬ ‫ن‬ ‫=‬ ‫ب‬ ‫‪ -EC‬جـ ب‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬ن - جـ م‬ ‫72‬
  • 35.
    ‫مـثـال‬ ‫‌ حلنظام المعادلتين اآلتيتين بطريقة كرامر.‬ ‫ س - 3 ص = -4 2س + ص = 2‬ ‫الحل‬ ‫1‬ ‫حيث إن: 9 = 2 -3 = (1 * 1) - (2 * -3) = 1 + 6 = 7! 0‬ ‫1‬ ‫فيكون‬ ‫4 -3‬‫= 2 1‬ ‫س= 9‬ ‫9‬ ‫س‬ ‫7‬ ‫ص= 9‬ ‫9‬ ‫ص‬ ‫1 -4‬ ‫2 2‬ ‫=‬ ‫7‬ ‫= (-4 * 1) - (2 * -3) = -4 + 6 = 2‬ ‫7‬ ‫7‬ ‫7‬ ‫= 1 * 2) - (-2 * -4) = 2 + 8 = 01‬ ‫7‬ ‫7‬ ‫7‬ ‫مجموعة الحل = {( 2 ، 01 )}‬ ‫7 7‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫تحقق:‬ ‫‪4- ) 10 (3 - 2 ‬‬ ‫7‬ ‫7‬ ‫82‬‫   7   ‬ ‫        = -4‬ ‫‪2 10 + ) 2 ( 2 ‬‬ ‫7‬ ‫7‬ ‫ ‬ ‫    2       = 2‬ ‫(✓)‬ ‫(✓)‬ ‫‌ حل نظام المعادلتين اآلتيتين بطريقة كرامر:‬ ‫ س + 2 ص = 0 2 س - 3 ص =1‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫2- حل �أنظمة المعادالت الخطية في ثالثة مجاهيل‬ ‫‪Solving systems of Linear equations in three unknowns‬‬ ‫إذا كان لدينا نظام من المعادالت الخطية في ثالثة مجاهيل كاآلتي:‬ ‫‪ 2C‬س + ب2 ص + جـ2 ع = ن ‬ ‫‪ 1C‬س + ب1 ص + جـ1 ع = م ‬ ‫فإنه بطريقة مماثلة لما فعلناه في حالة نظام معادلتين خطيتين في مجهولين يكون:‬ ‫9       =‬ ‫‪ 3C‬س + ب3 ص + جـ3 ع = ك‬ ‫‪ 1C‬ب1 جـ‬ ‫‪ C‬ب جـ = محدد المعامالت‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫‪ 3C‬ب3 جـ‬ ‫م ب1 جـ‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫9س = ن ب جـ =محدد المجهول س‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ك ب3 جـ3 نحصل عليه بتغيير عناصر العمود األول (معامالت س) بالثوابت م، ن، ك‬ ‫‪C‬‬ ‫م جـ‬ ‫1‬ ‫ن جـ =محدد المجهول ص‬ ‫9ص=‬ ‫‪C‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪ C‬ك جـ نحصل عليه بتغيير عناصر العمود الثاني (معامالت ص) بالثوابت م، ن، ك‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫1‬ ‫‪ 1C‬ب1 م‬ ‫‪ 2C‬ب2 ن‬ ‫=محدد المجهول ع‬ ‫9 ع =‬ ‫‪ C‬ب3 ك نحصل عليه بتغيير عناصر العمود الثالث (معامالت ع) بالثوابت م، ن، ك‬ ‫3‬ ‫82‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 36.
    ‫تاددحملا‬ ‫9‬ ‫واآلن إذا فرضأن 9 ! صفر، فإن: س = 9س ، ص = 9ص ، ع =‬ ‫9‬ ‫9‬ ‫9‬ ‫ع‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ حل نظام المعادالت الخطية التالية بطريقة كرامر.‬ ‫3س - 2 ص - ع  = 1 ‬ ‫ - س + 3 ص + ع  = 0 ‬ ‫الحل‬ ‫1 3 1‬‫9     = 3 -2 -1‬ ‫1 1 2‬ ‫9س =‬ ‫0 3 1‬ ‫1 -2 -1‬ ‫0 1 2‬ ‫1 3 0‬‫9ع = 3 -2 1‬ ‫1 1 0‬ ‫س    +   ص  + 2ع = 0‬ ‫= -1 (-4 +1) -3 (6-1) + 1 (-3 +2)‬ ‫= 3 - 51 - 1 = -31‬ ‫= - ‬ ‫1 (6 -1) = -5‬ ‫1 0 1‬‫9ص = 3 1 -1‬ ‫1 0 2‬ ‫= -1 (-1 * 1 - 1 * 3) = 4‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫3‬‫5‬‫` س = 9س = -31 = 31 ،    ص = 9ص = -31 = 31 ،‬ ‫9‬ ‫9‬ ‫     ع = 9ع = 4‬ ‫9 -31‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫مجموعة الحل = {( 31 ، 31 ، -4 )}‬ ‫31‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ حل نظام المعادالت الخطية التالية باستخدام طريقة كرامر:‬ ‫س + 2 ص + ع = 7 ‬ ‫ س + ص - ع = 2 ‬ ‫= 1 (-1 * 2 -1 * 1) = -3‬ ‫تحقق:‬ ‫-4‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫‪0 ) 13 ( + ) 13 (3 + ) 13 (- ‬‬ ‫(✓)‬ ‫       0 = 0‬ ‫3‬ ‫‪1 ) 4- ( - ) 13 (2+) 5- ( 3 ‬‬ ‫31‬ ‫31‬ ‫(✓)‬ ‫    1       = 1‬ ‫‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫‪0 ) 4- (2 + 13 + 13 1 ‬‬ ‫31‬ ‫    0       = 0‬ ‫(✓)‬ ‫3س - ص + ع = 01‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ حل كل من أنظمة المعادالت اآلتية بطريقة كرامر.‬ ‫ب 2 س +   ص - ع = -1‬ ‫ ‬ ‫أ 2 س    - 3 ص + 5ع = 7‬ ‫ ‬ ‫ 3 س  + 4 ص + 2 س -   ص + 4 ع = 1‬ ‫2ع = 11‬ ‫       س - 2ص    + 5 س - 3ص + 2 ع = 3‬ ‫7ع = 61‬ ‫‌ الربط بالمستهلك: اشترى فادى 3 كشاكيل كتابين بمبلغ 58 جنيها، واشترى كريم كشكولين و 4‬ ‫و‬ ‫ً‬ ‫كتب من األنواع نفسها بمبلغ 011 جنيه . استخدم طريقة كرامر إليجاد سعر كل من الكشكول والكتاب.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫92‬
  • 37.
    ‫المعكوس الضربى للمصفوفة‬ ‫1‍‬ ‫‪Multiplicative Inverse of a Matrix‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫عمل تعاونى‬ ‫إجياد املعكوس الرضيب ملصفوفة‬ ‫عىل النظم 2 * 2‬ ‫حل نظام من معادلتني خطيتني‬ ‫باستخدام معكوس املصفوفة.‬ ‫اعمل مع زميل لك‬ ‫1- أوجد كل حاصل ضرب:‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫أ ( 45 26 ) (‬ ‫2- صف أى أنماط تراها في إجابتك عن البند رقم (1).‬ ‫ ‬ ‫3- أوجد كل حاصل ضرب:‬ ‫ ‬ ‫3 5‬ ‫3 5‬ ‫2 -5‬ ‫2 -5 ب‬ ‫أ ‬ ‫ ‬ ‫1 2‬ ‫1 2‬ ‫1 3‬‫1 3‬‫4- صف أي انماط تراها في إجابتك عن البند رقم (3).‬ ‫ ‬ ‫5- تفكير ناقد: كيف تربط إجاباتك عن البندين (1) ، (3) ؟‬ ‫ ‬ ‫(‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫معكوس رضبى ملصفوفة‬ ‫ ‪Multiplicative inverse of a matrix‬‬ ‫مصفوفة الوحدة‬ ‫معادلة مصفوفية ‬ ‫مصفوفة املتغريات‬ ‫مصفوفة الثوابت‬ ‫‪Identity matrix‬‬ ‫‪Matrix equation‬‬ ‫‪Variable matrix‬‬ ‫‪Constant matrix‬‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫)‬ ‫1 0 ب‬ ‫0 1‬ ‫( 01 10 ) ( -5 26 )‬ ‫4‬ ‫)(‬ ‫تعلم‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)(‬ ‫المعكوس الضربي للمصفوفة 2 * 2:‬ ‫إذا كان لدينا مصفوفتان مربعتان ‪ ،C‬ب كل منهما على‬ ‫و‬ ‫النظم 2 * 2 كان: ‪ C‬ب = ب ‪ I) I = C‬مصفوفة الوحدة)‬ ‫و‬ ‫فإن المصفوفة ب تسمى معكوسا ضربيا للمصفوفة ‪C‬‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫كذلك تسمى المصفوفة ‪ C‬معكوسا ضربيا للمصفوفة ب.‬ ‫و‬ ‫ً‬ ‫ًّ‬ ‫إذا كان للمصفوفة ‪ C‬معكوسا ضربيا فإننا نرمز إليها‬ ‫ًّ‬ ‫ًّ‬ ‫بالرمز ‪ 1-C‬حيث:  ‪I = C 1-C = 1-C C‬‬ ‫بعض المصفوفات ليس لها معكوسا ضربيا وسوف‬ ‫ًّ‬ ‫ًّ‬ ‫يساعدك مايلى فى استنتاج ما إذا كانت المصفوفة على‬ ‫النظم 2 *2 لها معكوسا ضربيا أم ال ، كيفية إيجاد هذا‬ ‫و‬ ‫ًّ‬ ‫ًّ‬ ‫المعكوس إن وجد.‬ ‫( أ ب)‬ ‫)‬ ‫تذكر‬ ‫1- المصفوفة المحايدة في‬ ‫عملية الضرب هي مصفوفة‬ ‫الوحدة ‪ I‬وهى مصفوفة مربعة‬ ‫جميع عناصر قطرها الرئيسى‬ ‫1 وباقي العناصر أصفار.‬ ‫2- ألى عددين حقيقيين‬ ‫يكون كل منهما معكوسا‬ ‫ً‬ ‫ضربيا لالخر (نظيرا ضربيا)‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ًّ‬ ‫إذا كان حاصل ضربهما هو‬ ‫العنصر المحايد الضربي (1)‬ ‫إذا كانت ‪ = C‬جـ ‪ E‬فإن المعكوس الضربي للمصفوفة ‪ C‬يكون معرفًا (موجودا)‬ ‫ً‬ ‫عندما يكون محدد ‪0 ! 9 = C‬‬ ‫وبفرض أن المصفوفة‪ 1-C‬هي المعكوس الضربي للمصفوفة ‪ ،C‬وأن محدد ‪0 ! 9 = C‬فإن:‬ ‫-1‬ ‫‪C‬‬ ‫03‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫1‬ ‫= 9 ( -‪E‬جـ -‪C‬ب )‬
  • 38.
    ‫ةفوفصملل ىبرضلا سوكعملا‬ ‫مـثـال‬ ‫تذكر‬ ‫‌ إذا كانت ‪ 0 1- = C‬أثبت ان للمصفوفة ‪ C‬معكوس ضربي ثم أوجد هذا المعكوس إذا كان 9 ! 0 فإن للمصفوفة‬ ‫8 -2‬ ‫‪ C‬معكوسا ضربيآ يتعين كاآلتي:‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫الحل‬ ‫أ)تبادل بين وضعى العنصرين‬ ‫1 0‬‫ محدد ‪2 = 0 * 8 - 2- * 1- = 2- 8 = C‬‬ ‫الواقعين على القطر‬ ‫الرئيسى للمصفوفة ‪.C‬‬ ‫ ` 9 ! 0 أي انه للمصفوفة ‪ C‬معكوسا ضربيا.‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ب) نغير كال من إشارتي‬ ‫1 0‬‫‪ E‬ب‬ ‫1‬‫1‬‫   ‪ 1 = C‬جـ - = 1 -2 0 =‬ ‫العنصرين الواقعين على‬ ‫أ‬ ‫9 -‬ ‫2 -8 -1‬ ‫-4 2‬ ‫(‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫‌ إذا كان ‪( = C‬‬ ‫0‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫) (‬ ‫القطر اآلخر للمصفوفة ‪C‬‬ ‫جـ) نضرب المصفوفة الناتجة‬ ‫‬ ‫بعد إجراء (أ)، (ب) بالعدد‬ ‫فأثبت ان للمصفوفة أ معكوسا ضربيا ثم أوجده.‬ ‫ًّ‬ ‫ًّ‬ ‫‌ هل للمصفوفة ب = ( -5 35 )‬ ‫-3‬ ‫1‬ ‫9‬ ‫معكوس ضربي؟ فسر إجابتك.‬ ‫-1‬ ‫فنحصل على ‪C‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد قيم ‪ C‬التي تجعل للمصفوفة ( ‪) 2C 8C‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫معكوسا ضربيا.‬ ‫ً‬ ‫ًّ‬ ‫الحل‬ ‫المصفوفة ليس لها معكوسا ضربيا عندما يكون محدد المصفوفة يساوى صفرا.‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫أى عندما‬ ‫‪C‬‬ ‫8‬ ‫2‬ ‫‪C‬‬ ‫= صفر‬ ‫أى ‪ = 2 * 8 - 2C‬صفر‬ ‫‪ = 16 - 2C‬صفر‬ ‫إذن توجد قيمتان لـ ‪ C‬هما 4، -4 (وهما جذرا المعادلة ‪)0 = 16 - 2C‬‬ ‫تجعالن المصفوفة المعطاة ليس لها معكوس ضربي.‬ ‫` عندما ‪ }4 ،4-{ - I ∈ C‬يكون للمصفوفة المعطاة معكوسا ضربيا.‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد قيم س التي تجعل المصفوفة (‬ ‫مـثـال‬ ‫‪C‬‬ ‫‌ إذا كانت ‪) 1- 10 ( = M‬‬ ‫س 9‬ ‫4 س‬ ‫)‬ ‫فأثبت أن ‪M = 1- M‬‬ ‫الحل‬ ‫1‬ ‫ ‬ ‫‪0 ! 1- = C‬‬ ‫ 9=‬ ‫0 -1‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان ب = (‬ ‫ليس لها معكوس ضربي.‬ ‫)‬ ‫-1‬ ‫`‪M‬‬ ‫س -س‬ ‫0 صص فأثبت أن ب-1=‬ ‫(‬ ‫1‬ ‫س‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫ص‬ ‫1‬ ‫= -1 (‬ ‫)‬ ‫1‬‫0‬ ‫-1‪( = ) C‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫‪C‬‬ ‫-1 )‬ ‫=‪M‬‬ ‫علما بأن س ص ! 0‬ ‫ً‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫13‬
  • 39.
    ‫نشاط‬ ‫الت�شفير‬ ‫‪Cryptography‬‬ ‫يمكنك استخدام أىمصفوفه ومعكوسها الضربى لتشفير الرسالة . استخدم معكوس المصفوفة لفك شفرة‬ ‫الرسالة: نكتب الرسالة في فريق كمصفوفات على النظم 2 * 1 لتصبح األرقام الموجودة تباعا.‬ ‫ً‬ ‫( 02 ) ( 02 ) ( 82 )‬ ‫في 82 فر ‬ ‫01 يق‬ ‫12‬ ‫عندما تستخدم ضرب المصفوفات وتستخدم مصفوفة‬ ‫مثل ر = 6 2 فإن الرسالة سوف تصبح هذه المصفوفات:‬ ‫(1)‬ ‫(2 1)‬ ‫( 86 ) ( ‬ ‫671 041 ) ( 012 )‬ ‫77‬ ‫05‬ ‫(2)‬ ‫الحظ أن: مصفوفة التشفير ر-1 يمكن إيجادها كاآلتي:‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫6 2‬ ‫‪a‬ر= 6 2 ، 9=‬ ‫2 1‬ ‫2 1‬ ‫1 -1‬ ‫فيكون ر-1 = 1 1 -2 = 2‬ ‫2 -2 6‬ ‫-1 3‬ ‫(‬ ‫) (‬ ‫=6-4=2!0‬ ‫)‬ ‫‪1 C‬‬ ‫ب 2‬ ‫ت 3‬ ‫ث 4‬ ‫ج 5‬ ‫ح 6‬ ‫خ 7‬ ‫د 8‬ ‫ذ 9‬ ‫ر 01‬ ‫ز 11‬ ‫س 21‬ ‫ش 31‬ ‫ص 41‬ ‫ض 51‬ ‫ط 61‬ ‫ظ 71‬ ‫ع 81‬ ‫غ 91‬ ‫ف 02‬ ‫ق 12‬ ‫ك 22‬ ‫ل 32‬ ‫م 42‬ ‫ن 52‬ ‫هـ 62‬ ‫و 72‬ ‫ي 82‬ ‫وعند ضرب المصفوفة ر-1 في كل من المصفوفات في البند (2) تحصل على المصفوفات في البند (1) وتستطيع‬ ‫فك الشفرة.‬ ‫واألن:‬ ‫ ‬ ‫1- اكتب رسالة أرسل طعام وشفرها باستخدام ضرب المصفوفات والمصفوفة ر = ( 26 12 )‬ ‫2- اكتب رسالة من عندك وشفرها باستخدام ضرب المصفوفات (استخدم مصفوفة تشفير من عندك).‬ ‫تعلم‬ ‫حل معادلتين آنيتين باستخدام معكوس المصفوفة‬ ‫‬ ‫‪Solving two simultaneous equations by using Inverse Matrix‬‬ ‫إذا كان لدينا نظام من معادلتين خطيتين كاآلتي:‬ ‫‪ 2C‬س + ب2 ص = ك‬ ‫‪1C‬س +ب1 ‬ ‫ص=ك‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫فإنه يمكن كتابتهما على الصورة التالية:‬ ‫س‬ ‫( ‪ CC‬ب ) ( ص ) = ( ك )‬ ‫ب‬ ‫ك‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫وإذا فرضنا أن:‬ ‫2‬ ‫‪ CC ( = C‬ب ) ، ‪ ، ) ( = M‬ج = ( )‬ ‫ب‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫س‬ ‫ص‬ ‫ك‬ ‫1‬ ‫ك‬ ‫2‬ ‫فإن المعادلتين يمكن كتابتهما على صورة معادلة مصفوفية واحدة كاآلتي:‬ ‫‪=MC‬ج‬ ‫23‬ ‫حيث ‪ C‬هي مصفوفة المعامالت، ‪ M‬هي مصفوفة المجاهيل، ج هي مصفوفة الثوابت.‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 40.
    ‫ةفوفصملل ىبرضلا سوكعملا‬ ‫أى9 = ‪ 1C‬ب 2 - ‪ 2C‬ب1!0‬ ‫وإذا كان محدد ‪ 0 ! C‬‬ ‫فيكون من الممكن إيجاد حل المعادلة ‪ = M C‬ج كاآلتي:‬ ‫1‬‫1‬‫1‬‫(بضرب طرفي المعادلة من اليمين في ‪) C‬‬ ‫  ‪ C = )MC( C‬ج ‬ ‫1‬‫1‬‫(خاصية التجميع)‬ ‫` (‪ C = M )C C‬ج ‬ ‫1‬‫(المعكوس الضربي للمصفوفة ‪)C‬‬ ‫   ‪ C =  M I‬ج ‬ ‫`‬ ‫-1‬ ‫‪ C = M‬ج‬ ‫وبهذا يتضح إنه يمكننا إيجاد المجهولين س ، ص بداللة الثوابت العددية ‪ ، 1C‬ب1 ، ‪ ، 2C‬ب2 ، ك1 ، ك2.‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ حل نظام المعادلتين اآلنيتين التاليتين باستخدام المصفوفات:‬ ‫ 3س + 2 ص = 5 2 س + ص   = 3‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫تكتب المعادلة المصفوفية ‪ = M C‬ج حيث‬ ‫س‬ ‫‪ ( = M ، ) 21 32 ( = C‬ص ) ، ج = ( 35 )‬ ‫محدد ‪= 9 = C‬‬ ‫| |‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫= 3 - 4 = -1 ! 0‬ ‫-1‬ ‫فيكون للمصفوفة ‪ C‬معكوسا ضربيا ويكون الحل هو ك ‪ C = M‬ج  وحيث أن:‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫2‬ ‫1 1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪) 3- 1- ( = ) 2- 2- ( 1- = ) 2- 2- ( 9 = C‬‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫س‬ ‫1‬ ‫5‬ ‫1 2‬‫` ‪ ( = M‬ص ) = ( 2 -3 ) ( 3 ) = ( 1 )‬ ‫-1‬ ‫أى أن س = 1 ، ص = 1‬ ‫مجموعة الحل {(1، 1)}‬ ‫التحقق: 3 (1) + 2(1) 5‬ ‫     5   = 5  (✓)‬ ‫    2 (1) + 1 3‬ ‫     3   = 3  (✓)‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ حل كل نظام من المعادالت الخطية التالية باستخدام المصفوفات.‬ ‫أ 3س+7ص=2‬ ‫ ‬ ‫ 2 س + 5ص = 1 (تحقق من صحة إجابتك)‬ ‫ ‬ ‫ب س + 3 ص - 5 = 0‬ ‫ 2 س = 8 - 5 ص (تحقق من صحة إجابتك)‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫33‬
  • 41.
    ‫مـثـال‬ ‫‌ معرضالكتاب: ذهبت هدى ومريم إلى معرض القاهرة الدولى للكتاب،‬ ‫فاشترت هدى من إحدى المكتبات 5 كتب علمية و4 كتب تاريخية ودفعت ثمنا‬ ‫ً‬ ‫لها مبلغ 021 جنيها، واشترت مريم من نفس المكتبة 5 كتب علمية، 01 كتب‬ ‫ً‬ ‫تاريخية، ودفعت ثمناً لها مبلغ 051 جنيها، فإذا كانت الكتب العلمية لها نفس‬ ‫ً‬ ‫الثمن، كذلك الكتب التاريخية لها نفس الثمن، استخدم المصفوفات في إيجاد‬ ‫و‬ ‫سعر كل من الكتاب العلمى والكتاب التاريخى.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫نفرض أن س ثمن الكتاب العلمى، ص ثمن الكتاب التاريخى فيكون:‬ ‫5 س + 01 ص = 051‬ ‫5 س + 4 ص     = 021 ، ‬ ‫021‬ ‫س‬ ‫5 4‬ ‫نكون المعادلة المصفوفية على الصورة : ‪ = M C‬ج فيكون:  ‬ ‫ص = 051‬ ‫5 01‬ ‫نوجد محدد ‪ 9 = C‬حيث 9 =‬ ‫ ‬ ‫| |‬ ‫5 4‬ ‫5 01‬ ‫(‬ ‫= 05 - 02 = 03 ! 0‬ ‫ ` المصفوفة ‪ C‬لها معكوس ضربى ‪ C‬حيث ‪( 1 = C‬‬ ‫03 -5‬ ‫1 -2‬ ‫02‬ ‫021‬ ‫3‬ ‫ فيكون ‪) 5 ( = ) 150 ( 15 1- = M‬‬ ‫1‬ ‫( )‬ ‫6‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫-1‬ ‫)( ) (‬ ‫-1‬ ‫5)‬ ‫01 -4 =‬ ‫6‬ ‫أى أن: س = 02 ، ص = 5‬ ‫فيكون ثمن الكتاب العلمى 02 جنيها‬ ‫ً‬ ‫وثمن الكتاب التاريخى 5 جنيهات.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫( )‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫1‬‫6‬ ‫)‬ ‫2‬‫51‬ ‫1‬ ‫6‬ ‫التحقق: 5(02) + 4(5) 021‬ ‫    021  = 021 (✓)‬ ‫   5(02) + 01(5) 051‬ ‫    051  = 051 (✓)‬ ‫‌ الربط بالمستهلك: اشترت أمل 8 كجم من الدقيق، 2 كجم من الزبد، بمبلغ 041 جنيها، واشترت صديقتها‬ ‫ً‬ ‫ريم 4 كيلو جرامات من الدقيق، 3 كيلو جرامات من الزبد، بمبلغ 071 جنيها، استخدم المصفوفات في‬ ‫ً‬ ‫إيجاد سعر الكيلو جرام الواحد من كال النوعين.‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫2 4‬ ‫‌ إذا كان ب = ‪ C ، b 1 3 l‬ب =‪ I‬فأوجد المصفوفة ‪.C‬‬ ‫2 -2‬ ‫4 -2‬ ‫‌ إذا كان ‪ C ، b 3 1- l =     C‬ب = ‪ b 7 0 l‬فأوجد المصفوفة ب‬ ‫‌ تفكير ناقد: باستخدام المصفوفات ، أوجد عددين مجموعهما 01، والفرق بينهما 4‬ ‫43‬ ‫الرياضيات - الصف الثانى الثانوى‬
  • 42.
    ‫ملخص الوحدة‬ ‫× ×المصفوفةهى ترتيب لعدد من العناصر (متغيرات أو أعداد) في صفوف وأعمدة وتكتب بين قوسين، ويرمز‬ ‫لها باستخدام الحروف الكبيرة. كما يرمز لعناصر المصفوفة بالحروف الصغيرة، وإذا أردنا التعبير عن‬ ‫العنصر داخل المصفوفة ‪ C‬الذى يقع في الصف ص والعمود ع فإنه يمكننا كتابته على الصورة ‪C‬‬ ‫صع‬ ‫× ×المصفوفة المربعة: هى مصفوفة عدد صفوفها يساوى عدد اعمدتها.‬ ‫× ×مصفوفة الصف: هى مصفوفة تحتوى على صف واحد، وأى عدد من األعمدة.‬ ‫× ×مصفوفة العمود: هى مصفوفة تحتوى على عمود واحد وأى عدد من الصفوف.‬ ‫× ×المصفوفة الصفرية: هى مصفوفة جميع عناصرها أصفار.‬ ‫× ×المصفوفة القطرية: هى مصفوفة مربعة جميع عناصرها اصفار، ما عدا عناصر القطر الرئيسى فتكون‬ ‫أحدها على األقل مغايرا للصفر.‬ ‫ً‬ ‫× ×مصفوفة الوحدة: هى مصفوفة قطرية، يكون فيها كل عناصر القطر الرئيسى مساو يا الواحد ، ويرمز لها‬ ‫ً‬ ‫بالرمز ‪.I‬‬ ‫× ×المصفوفات المتساوية: هى المصفوفات التى لها نفس النظم وعناصرها المتناظرة متساوية.‬ ‫× ×مدور المصفوفة: في أى مصفوفة ‪ C‬على النظم م * ن إذا استبدلنا الصفوف باألعمدة، واألعمدة بالصفوف‬ ‫مد مد‬ ‫مد‬ ‫بنفس الترتيب، فإننا نحصل على مصفوفة من النظم ن * م وتسمى مدور المصفوفة ‪ C‬ويرمز لها ‪C = ) C( ، C‬‬ ‫مد‬ ‫× ×المصفوفة المتماثلة: إذا كانت ‪ C‬مصفوفة مربعة، فإنها تسمى متماثلة إذا وفقط إذا كانت ‪C = C‬‬ ‫مد‬ ‫ ‬ ‫× ×المصفوفة شبه المتماثلة: تسمى المصفوفة ‪ C‬شبه متماثلة إذا وفقط إذا كانت ‪C- = C‬‬ ‫يمكن جمع أو طرح المصفوفات إذا كان لهما نفس النظم ، وذلك بجمع العناصر المتناظرة أو طرحها.‬ ‫× ×لضرب مصفوفة فى عدد حقيقى ك ، اضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في هذا العدد.‬ ‫× ×يمكن ضرب مصفوفتين إذا كان عدد األعمدة في المصفوفة األولى يساوى عدد الصفوف في المصفوفة‬ ‫الثانية.‬ ‫× ×تكون كل من المصفوفتين معكوسا ضربيا لألخرى إذا كان حاصل ضربهما هو مصفوفة الوحدة ‪.I‬‬ ‫ًّ‬ ‫ًّ‬ ‫× ×لحل معادلة مصفوفية على الصورة ‪ = M C‬ب ، نوجد المعكوس الضربى لمصفوفة المعامالت، ثم نضرب‬ ‫طرفى المعادلة فيه.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫53‬
  • 43.
    ‫الجبر‬ ‫1‬ ‫الوحدة‬ ‫0‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫2‬ ‫البرمجة الخطية‬ ‫‪Linear Programing‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫أهدافالوحدة‬ ‫فى نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:‬ ‫ً‬ ‫• •يحل متباينات من الدرجة األولى فى مجهول واحد مع تمثيل‬ ‫الحل بيانيا.‬ ‫ًّ‬ ‫• •يحل متباينات من الدرجة األولى فى مجهولين وتحديد‬ ‫منطقة الحل بيانيا.‬ ‫ًّ‬ ‫• •يحل نظام من المتباينات الخطية بيانيا.‬ ‫ًّ‬ ‫• •يحل مسائل حياتية على أنظمة المتباينات الخطية.‬ ‫• •يستخدم البرمجة الخطية فى حل مشكالت رياضية حياتية.‬ ‫• •يضع معلومات خاصة بموضوع مشكلة رياضية حياتية فى‬ ‫جدول مناسب، ويترجم البيانات لها فى صورة متباينات‬ ‫خطية، ثم يحدد منطقة الحل بيانيا.‬ ‫ًّ‬ ‫• •يعين دالة الهدف بداللة اإلحداثيات، مع تحديد النقط‬ ‫التى تنتمى إلى مجموعة الحل، وإعطاء الحل األمثل لدالة‬ ‫الهدف.‬ ‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪Ñ Ñ‬متباينة خطية‬ ‫‪Ñ Ñ‬مستقيم حدى‬ ‫‪Ñ Ñ‬مستقيم حدى منقط‬ ‫‪Ñ Ñ‬مستقيم حدى متصل‬ ‫‪Ñ Ñ‬متباينة خطية فى مجهولين‬ ‫‪Ñ Ñ‬نظام المتباينات الخطية‬ ‫‪Linear Inequality‬‬ ‫‪Boundary line‬‬ ‫‪Dashed boundary line‬‬ ‫‪Solid boundary line‬‬ ‫‪Linear Inequality in two unknowns‬‬ ‫‪System of linear inequalities‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬منطقة الحل‬ ‫‪Ñ Ñ‬رسم بياني‬ ‫‪Ñ Ñ‬برمجة خطية‬ ‫‪Ñ Ñ‬القيود‬ ‫‪Ñ Ñ‬الحل األمثل‬ ‫‪Feasible region‬‬ ‫‪Graph‬‬ ‫‪Linear programing‬‬ ‫‪Constrains‬‬ ‫‪Optimize‬‬
  • 44.
    ‫دروس الوحدة‬ ‫الدرس (2- 1): المتباينات الخطية.‬ ‫الدرس (2 - 2): حل أنظمة من المتباينات‬ ‫الخطية بيانيا.‬ ‫ًّ‬ ‫الدرس (2 - 3): البرمجة الخطية والحل‬ ‫األمثل.‬ ‫دروس الوحدة‬ ‫شبكة إحداثيات 01 * 01‬ ‫ورق مربعات - أقالم ألوان رصاص -‬ ‫بعض المواقع اإللكترونية‬ ‫مثل ‪www.phschool.com‬‬ ‫مقدمة الوحدة‬ ‫عندما يؤدى تحليل مسألة أو مشكلة ما إلى إيجاد‬ ‫قيمة عظمى أو صغرى لتعبير خطى، يجب أن تخضع‬ ‫متغيراته لمجموعة من المتباينات الخطية. فإنه ربما‬ ‫يمكننا الحصول على الحل باستخدام تكنيكات البرمجة‬ ‫الخطية.‬ ‫وتاريخيا، فقد ظهرت مشكالت البرمجة الخطية‬ ‫ًّ‬ ‫كنتيجة للحاجة لحل مشكالت تتعلق بمرتبات أفراد‬ ‫القوات المسلحة أثناء الحرب العالمية الثانية، ومن‬ ‫أمثال الذين عملوا فى حل مثل هذه المشكالت چورچ‬ ‫دانتزيج ‪ George Dantzig‬الذى توصل لصيغة عامة‬ ‫لمشكالت البرمجة الخطية مع عرض طريقة لحلها‬ ‫تسمى السمبلكس ‪ ،Simplex method‬وللبرمجة الخطية‬ ‫تطبيقاتها فى كل المجاالت مثل الصناعة والتجارة‬ ‫ً‬ ‫وإدارة الوقت، والزراعة، والصحة، وغيرها، فمثال‬ ‫يتطلب النجاح فى إدارة األعمال استخدام البرمجة‬ ‫الخطية، وذلك لتحقيق أقصى ربح ممكن أو تحقيق‬ ‫أقل تكلفة ممكنة وهكذا، وفى هذه الوحدة سوف نتعلم‬ ‫طرق حل مسائل البرمجة الخطية التى تتضمن مجهولين‬ ‫فقط، وتطبيقاتها فى مواقف حياتية مختلفة.‬ ‫مخطط تنظيمى للوحدة‬ ‫المتباينات الخطية‬ ‫حل متباينة من‬ ‫الدرجة األولى فى‬ ‫مجهولين‬ ‫حل متباينة من‬ ‫الدرجة األولى فى‬ ‫مجهول واحد‬ ‫حل نظام‬ ‫المتباينات‬ ‫الخطية بيانيًا‬ ‫ّ‬ ‫حل نظام من‬ ‫متباينتين‬ ‫خطيتين بيانيًا‬ ‫ّ‬ ‫الربط‬ ‫حل نظام من أكثر‬ ‫من متباينتين‬ ‫خطيتين‬ ‫الربط بالتربية‬ ‫الرياضية‬ ‫بالهندسة‬ ‫الربط بالحياة‬ ‫البرمجة الخطية و الحل األمثل‬ ‫الربط بإدارة األعمال‬ ‫الربط بالصناعة‬ ‫الربط بالزراعة‬ ‫الربط بالمستهلك‬
  • 45.
    ‫المتباينات الخطية‬ ‫2 ‍‬ ‫‪LinearInequalities‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫عمل تعاونى‬ ‫حل متباينة من الدرجة األوىل ىف‬ ‫جمهول واحد، ومتثيل احلل بيانيا.‬ ‫ًّ‬ ‫حل متباينة من الدرجة األوىل‬ ‫ىف جمهولني، وحتديد منطقة احلل‬ ‫بيانيا.‬ ‫ًّ‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫متباينة خطية‬ ‫مستقيم حدى. ‬ ‫‪Linear inequality‬‬ ‫‪Boundary line‬‬ ‫مستقيم حدى متقطع.‬ ‫‪Dashed boundary line‬‬ ‫‬ ‫مستقيم حدى متصل.‬ ‫‪Solid boundary line‬‬ ‫‬ ‫متباينة خطية ىف جمهول واحد‬ ‫‬ ‫‪Linear inequality in one unknown‬‬ ‫ متباينة خطية ىف جمهولني‬ ‫‪Linear inequality in two unknowns‬‬ ‫شبكة إحداثيات 01 * 01‬ ‫أقالم ألوان رصاص.‬ ‫1- باالشتراك مع زميل لك العب لعبةما النقطة؟‬ ‫هدف اللعبة:‬ ‫تحديد موضع نقطة على المستوى اإلحداثى بطرح أقل عدد ممكن من األسئلة.‬ ‫كيف تلعب؟‬ ‫هل س أكبر من‬ ‫× ×يختار الالعب (أ) نقطة على‬ ‫نعم‬ ‫4 أو تساوى صفرا؟‬ ‫ً‬ ‫المستوى اإلحداثى، واليعلمها‬ ‫الالعب اآلخر (نقطة سرية)،‬ ‫2 هل ص أكبر من‬ ‫ال‬ ‫أو تساوى صفرا؟‬ ‫ويكون كل من إحداثييها عددا‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫صحيحا من -5 إلى 5‬ ‫4‬‫2‬‫2‬ ‫4‬ ‫ً‬ ‫(2، -2)‬ ‫× ×يسأل الالعب (ب) أسئلة تشمل‬ ‫2‬‫هل س أقل‬ ‫نعم‬ ‫الكلمات أقل من أو أكبر من،‬ ‫من 3؟‬ ‫ويجيب الالعب (أ) عن كل سؤال‬ ‫4‬‫فقط بـ نعم أو ال.‬ ‫× ×يسجل الالعب (أ) عدد األسئلة المطروحة بينما يسمى الالعب (ب) النقطة السرية.‬ ‫ُ‬ ‫× ×يتبادل الالعبان أدوارهما لتكملة جولة واحدة من اللعبة.‬ ‫كيف تفوز؟‬ ‫الالعب الذى يحدد النقطة بطرحه عددا أقل من األسئلة هو الذى يفوز بالجولة،‬ ‫ً‬ ‫والالعب الذى يفوز بأول ثالث جوالت، هو الالعب الفائر.‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫ورق مربعات.‬ ‫‬ ‫األدوات املستخدمة: شبكة احداثيات 01 * 01‬ ‫2- ‬ ‫كم سؤاال تحتاج لطرحه لتحديد موضع النقطة السرية؟‬ ‫3- إذا كنت محظوظًا بدرجة كبيرة، فما عدد األسئلة التى تحتاج لطرحها، لتحديد‬ ‫موضع النقطة السرية؟ فسر إجابتك موضحا باألمثلة.‬ ‫ً‬ ‫4- ‬ ‫كيف تساعدك المتباينات فى تحديد موضع النقطة السرية؟‬ ‫5- اقترح إستراتيجية لتفوز فى هذه اللعبة.‬ ‫83‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 46.
    ‫ةيطخلا تانيابتملا‬ ‫تعلم‬ ‫‬ ‫د‬ ‫حل متبايناتالدرجة األولى فى مجهول واح ‬ ‫‪Solving linear inequalitues in one unknown‬‬ ‫سبق أن درست حل المتباينة من الدرجة األولى فى متغير واحد، ونذكرك بأن حل المتباينات يتوقف على مجموعة‬ ‫التعويض، كما يتوقف على خواص عالقة التباين التالية:‬ ‫خوا�ص عالقة التباين فى ح‬ ‫إذا كان ‪ ،C‬ب، جـ ∈ ح فإن: × ×إذا كان ‪ G C‬ب ‬ ‫الحظ‬ ‫إذا كانت المتباينة فى متغير‬ ‫واحد فإنه يمكن تمثيل‬ ‫مجموعة حلها على خط‬ ‫األعداد وذلك كما درست‬ ‫ً‬ ‫مسبقا.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫فإن ‪ + C‬جـ ‪ G‬ب + جـ   لكل جـ 0‬ ‫       ‪ C‬جـ ‪ G‬ب جـ  لكل جـ 0‬ ‫       ‪ C‬جـ ‪ H‬ب جـ  لكل جـ 0‬ ‫فإن ‪ + C‬جـ ‪ H‬ب + جـ  لكل جـ 0‬ ‫× ×إذا كان ‪ H C‬ب ‬ ‫        ‪ C‬جـ ‪ H‬ب جـ  لكل جـ 0‬ ‫        ‪ C‬جـ ‪ G‬ب جـ  لكل جـ 0‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد مجموعة حل كل من المتباينتين التاليتين حيث س ∈ ح ثم مثل الحل على خط األعداد:‬ ‫ب 6 + س 3 س + 2 ‪ + 14 H‬س‬ ‫أ ‬ ‫3س - 9 6 س‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫أ 3س - 9 6 س ‬ ‫ ‬ ‫ ` 3 س - 9 + 9 - 6س 6 س + 9 - 6س‬ ‫(بضرب الطرفين فى - 1 )‬ ‫ ` -3 س 9 ‬ ‫3‬ ‫   س -3‬ ‫ مجموعة الحل = ] -∞ و -3[‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫بإضافة (9 - 6س) لكل من الطرفين.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ب نقسم المتباينة إلى متباينتين كاآلتي:‬ ‫المتباينة األولى: 6 + س 3 س + 2‬ ‫   ` 6 - 2 3 س - س‬ ‫    ` س 2‬ ‫مجموعة الحل = ]2، ∞[‬ ‫مجموعة الحل = ]2، ∞[ ∩ ]-∞، 6] = ]2، 6]‬ ‫-1‬ ‫-2‬ ‫-3‬ ‫-4‬ ‫-5‬ ‫-6‬ ‫المتباينة الثانية: 3س + 2 ‪ + 14 H‬س‬ ‫  ` 3س - س ‪2 - 14 H‬‬ ‫   ` س ‪6 H‬‬ ‫مجموعة الحل = ]-∞، 6]‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ حل المتباينات اآلتية فى ح ومثل مجموعة الحل بيانيا على خط األعداد:‬ ‫ًّ‬ ‫ج‍‬ ‫ 3+2س3س+2‪H‬س+7‬ ‫ب 2 س - 1 5 ‬ ‫أ 3س + 5 ‪ 2 G‬‬ ‫ ‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫93‬
  • 47.
    ‫تعلم‬ ‫‬ ‫ن‬ ‫حل متباينات الدرجةاألولى فى مجهولي ‬ ‫‪Solving linear inequalities in two unknowns‬‬ ‫المتباينة من الدرجة األولى فى مجهولين تشبه المعادلة الخطية من الدرجة األولى فى مجهولين، والفرق بينهما هو‬ ‫وضع رمز المتباينة بدال من وضع رمز التساوى فمثال: ص 2 س + 2 هى متباينة خطية، ص = 2 س + 2 هى‬ ‫ً‬ ‫معادلة خطية مرتبطة بها.‬ ‫ص‬ ‫التمثيل البيانى للمتباينة ص 2 س + 2 موضح بالمنطقة‬ ‫المظللة فى الشكل المقابل.‬ ‫3‬ ‫ص = 2س + 2‬ ‫ونالحظ أن كل نقطة فى المنطقة الملونة تحقق المتباينة،‬ ‫والتمثيل البيانى للمستقيم ص = 2 س + 2 هو حد المنطقة‬ ‫الممثلة للحل، وقد رسم المستقيم بشكل متقطع ليدل على أنه ال‬ ‫يحقق المتباينة. أما إذا احتوت المتباينة على الرمز‪ G‬أو ‪ H‬فإن‬ ‫النقاط الواقعة على المستقيم الحدى ستحقق المتباينة وعندئذ‬ ‫يكون تمثيل المستقيم خطًّا متصلاً.‬ ‫س‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫4‬ ‫ص 2س + 2‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1 -2 -3 -4‬‫-1‬ ‫س‬ ‫َ‬ ‫2‬‫-3‬ ‫ف‬ ‫ف‬ ‫2‬ ‫ص -4‬ ‫َ‬ ‫1‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ مثل بيانيا مجموعة حل المتباينة: ص 2 س + 3‬ ‫ًّ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫الخطوة (1): ارسم المستقيم الحدى ص = 2 س + 3‬ ‫والحظ أن نقط المستقيم‬ ‫ص‬ ‫الحدى ليست حلاًّ للمتباينة‬ ‫لذا يرسم المستقيم الحدى‬ ‫متقطعا.‬ ‫ً‬ ‫س‬ ‫ص‬ ‫ ‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫1 -2‬‫1 -1‬ ‫س‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫الحظ‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫ص = 2س + 3‬ ‫1 -2 -3 -4‬‫-1‬ ‫س‬ ‫َ‬ ‫المستقيم الحدى يقسم المستوى‬ ‫إلى ثالث مجموعات من النقط.‬ ‫1-مجموعة نقط المستقيم‬ ‫الحدى.‬ ‫2-مجموعة نقط المستوى‬ ‫التى تقع على أحد جانبى‬ ‫المستقيم الحدى وتسمى‬ ‫نصف مستوى ويرمز لها‬ ‫بالرمز (ف1).‬ ‫3-مجموعة نقط المستوى‬ ‫التى تقع على الجانب‬ ‫اآلخر للمستقيم الحدى‬ ‫وتسمى نصف مستوى‬ ‫ويرمز لها بالرمز (ف2).‬ ‫الخطوة (2): نختار إحدى‬ ‫النقط فى أحد جانبى‬ ‫3‬‫ص -4‬ ‫الخط المرسوم ونعوض‬ ‫ف‬ ‫ف‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫َ‬ ‫بها فى الطرف األيمن، فإذا‬ ‫حققت هذه النقطة المتباينة نلون هذا الجانب (مجموعة الحل)، وإذا لم تحقق المتباينة نلون الجانب‬ ‫اآلخر ويكون هو مجموعة الحل.‬ ‫04‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫-2‬
  • 48.
    ‫ةيطخلا تانيابتملا‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫اختر النقطة(0، 0) والتى التقع على المستقيم الحدى، بل تقع على أحد جانبيه.‬ ‫(المتباينة األصلية)‬ ‫ص 2 س + 3 ‬ ‫؟‬ ‫(نعوض بالنقطة (0، 0))‬ ‫0 2 (0) + 3 ‬ ‫(صواب)‬ ‫0 3 ‬ ‫ظلل المنطقة التى تحتوى على النقطة (0، 0)، حيث مجموعة التحقق:‬ ‫الحل هى نصف المستوى الذى تنتمى إليه النقطة (0، 0).‬ ‫يبين التمثيل البيانى أن النقطة (2، 3)‬ ‫(المتباينة األصلية)‬ ‫ص 2 س + 3 ‬ ‫تقع فى منطقة الحل.‬ ‫؟‬ ‫(نعوض بالنقطة (2، 3))‬ ‫3 2 (2) + 3 ‬ ‫3 7 (صواب) إذن الحل صحيح.‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ مثل بيانيا مجموعة حل المتباينة: 2س – 5 ص ‪10 H‬‬ ‫ًّ‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الخطوة (1):نمثل بيانيا المستقيم الحدى (ل).‬ ‫ًّ‬ ‫2 س – 5 ص = 01 بخط متصل (ألن عالقة التباين ‪.)H‬‬ ‫س‬ ‫0‬ ‫5 12‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫يمكنك رسم المستقيم الحدى بوضع المستقيم:‬ ‫2 س – 5 ص = 01 على الصورة: ص = م س + جـ‬ ‫حيث م الميل، جـ الجزء المقطوع من محور الصادات.‬ ‫فيكون: – 5 ص = – 2 س + 01 ` ص = 2 س – 2‬ ‫ ‬ ‫5‬ ‫ص‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ص‬ ‫–2‬ ‫0‬ ‫2‬ ‫–1‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫س‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫2س -5ص = 01‬ ‫1‬ ‫س‬ ‫َ‬ ‫1 -2 -3 -4‬‫1‬‫2‬‫-3‬ ‫ل‬ ‫ص -4‬ ‫َ‬ ‫الخطوة (2): اختبر النقطة (0،0) والتى تقع على أحد جانبى المستقيم الحدى.‬ ‫(المتباينة األصلية)‬ ‫2 س – 5 ص ‪ 10 H‬‬ ‫؟‬ ‫(نعوض بالنقطة (0، 0))‬ ‫2 (0) – 5 (0) ‪ 10 H‬‬ ‫(صواب)‬ ‫0 ‪ 10 H‬‬ ‫لون المنطقة التى تحتوى على النقطة (0، 0)، حيث مجموعة الحل هى نصف المستوى الذى تقع فيه النقطة‬ ‫(0، 0) ∪ مجموعة نقط المستقيم الحدى ل.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ مثل بيانيا مجموعة الحل لكل من المتباينات اآلتية‬ ‫ًّ‬ ‫ب ص 5 س – 5 ‬ ‫أ 2 س – ص ‪ 6 G‬‬ ‫ ‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫ج‍ ص – 2 س 2‬ ‫14‬
  • 49.
    ‫مـثـال‬ ‫حمص‬ ‫الكيلو 8 جنيهات‬ ‫‌ تطبيقات حياتية: تسوق الطعام: افترض أنك قررت عدم‬ ‫فول سودانى‬ ‫صرف أكثر من 84 جنيها لشراء الحمص والفول السودانى‬ ‫ً‬ ‫الكيلو 61 جنيها‬ ‫ً‬ ‫الالزم لرحلتك أنت وعائلتك إلى حديقة الحيوان بالجيزة،‬ ‫كم كيلو جراما يمكنك شراؤه من كل نوع؟‬ ‫ً‬ ‫الحل‬ ‫ عرف: نفرض أن س = عدد الكيلو جرامات التى يمكنك شراؤها من الحمص.‬ ‫    ص = عدد الكيلو جرامات التى يمكنك شراؤها من الفول السودانى.‬ ‫ اربط: ثمن شراء الحمص + ثمن شراء الفول السودانى ‪ H‬الحد األقصى للشراء (انظر إلى الرسم).‬ ‫ اكتب: 8 س + 61 ص ‪48 H‬‬ ‫ ارسم المستقيم الحدى 8 س + 61 ص = 84، ويمثل بخط مستقيم متصل (ألن عالقة التباين ‪.)H‬‬ ‫ استخدم الربع األول فقط من المستوى اإلحداثى، حيث إنه اليمكنك شراء كمية سالبة من المحمصات.‬ ‫ اختبر النقطة (0، 0)‬ ‫؟‬ ‫ 8 (0) + 61 (0) ‪48 H‬‬ ‫0   ‪( 48 H‬صواب)‬ ‫ ‬ ‫ لون المنطقة التى تحتوى النقطة (0، 0).‬ ‫يوضح التمثيل البيانى كل الحلول الممكنة، على س‬ ‫ ‬ ‫9 8 7 6 5 4‬ ‫سبيل المثال إذا قمت بشراء 2 كجم من الحمص،‬ ‫الحمص بالكجم‬ ‫فإنه اليمكنك شراء أكثر من 2 كجم من الفول‬ ‫السودانى. واآلن هل 2 كجم حمص، 1كجم من الفول السودانى حل لهذا المثال؟‬ ‫ص‬ ‫6‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫الفول السودانى (بالكجم)‬ ‫س‬ ‫ص‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫6‬ ‫0‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫محمصات الرحلة‬ ‫1‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ تفكير ناقد: عندما نمثل المتباينة ص ‪ 2 G‬س - 2 بيانيا، هل ستظلل المنطقة فوق أم تحت الخط المستقيم‬ ‫ًّ‬ ‫5‬ ‫ص = 2 س - 2؟ كيف علمت ذلك؟‬ ‫5‬ ‫‌ الربط بالمستهلك: تبيع مكتبة نوعين من الكشاكيل، النوع األول سعره 52٫6 جنيه، والنوع اآلخر سعره‬ ‫5٫7 جنيه، فإذا أراد أحمد شراء بعض من هذه الكشاكيل، بحيث ال يدفع أكثر من 52 جنيها، فكم عدد‬ ‫ً‬ ‫الكشاكيل التى يمكنه شراؤها من كل نوع؟‬ ‫24‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 50.
    ‫حل أنظمة منالمتباينات الخطية بيانيّا‬ ‫2 ‍‬ ‫‪Solving Systems of Linear Inequalities Graphically‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫عمل تعاونى‬ ‫اعمل مع زميل لك.‬ ‫1- مثل بيانيا مجموعة حل المتباينة س ‪ 2 G‬فى مستوى إحداثى متعامد، ولون‬ ‫ًّ‬ ‫منطقة الحل باللون األصفر.‬ ‫2- مثل بيانيا مجموعة حل المتباينة ص -1 فى نفس المستوى اإلحداثى‬ ‫ ِّ‬ ‫ًّ‬ ‫المتعامد، ثم لون منطقة الحل باللون األخضر.‬ ‫3- حدد المنطقة التى تداخل فيها اللونين األصفر واألخضر معا.‬ ‫ً‬ ‫4 ماذا تمثل المنطقة التى حددتها فى بند (3)؟‬ ‫‬‫5- اختر ثالث نقط مختلفة يمثل كل منها حلاًّ للمتباينتين معا. فسرإجابتك.‬ ‫ً‬ ‫تعلم‬ ‫حل نظام من املتباينات اخلطية‬ ‫بيانيا.‬ ‫ًّ‬ ‫حل مسائل حياتية عىل أنظمة‬ ‫املتباينات اخلطية.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫نظام المتباينات الخطية‬ ‫تكون متباينتان خطيتان أو أكثر معا نظاما من المتباينات الخطية، ويكون الزوج‬ ‫ُ‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫المرتب (س1، ص1) حلاً لهذا النظام إذا حقق جميع متبايناته.‬ ‫نظام متباينات خطية‬ ‫‪System of linear inequalities‬‬ ‫‬ ‫منطقة احلل‬ ‫‪Feasible region‬‬ ‫رسم بياين.‬ ‫‪Graph‬‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ يمكنك وصف كل ربع من أرباع مستوى إحداثى متعامد باستخدام نظام من‬ ‫ٍ‬ ‫المتباينات الخطية.‬ ‫ص‬ ‫ص‬ ‫ من الشكل المقابل، حدد رقم‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫الربع الذى يمثل مجموعة‬ ‫/‬ ‫/‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫س‬ ‫س‬ ‫س‬ ‫س‬ ‫حل كل نظام مما يأتى‬ ‫/‬ ‫/‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ج‍ س 0 ، ص 0‬ ‫ص‬ ‫أ س 0 ، ص 0‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ص‬ ‫ب  س 0 ، ص 0‬ ‫د  س 0 ، ص 0‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫4‬ ‫0‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫س‬ ‫س‬ ‫/3‬ ‫ص‬ ‫ورق رسم بياين.‬ ‫ألوان رصاص.‬ ‫ص‬ ‫0‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫/‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫34‬
  • 51.
    ‫تعلم‬ ‫ًّ ا‬ ‫حل نظاممن المتباينات الخطية بياني‬ ‫‬ ‫‪Solving a system of liner inequalitues graphically‬‬ ‫حل نظام المتباينات الخطية يعنى إيجاد جميع األزواج المرتبة التى تحقق متباينات هذا النظام.‬ ‫لتحديد جميع النقاط (األزواج المرتبة) التى تشكل حال للنظام يتم تلوين (تظليل) منطقة حل كل واحدة من‬ ‫ًّ‬ ‫كة بين مناطق حل جميع المتباينات هى منطقة‬ ‫المتباينات فى مستوى إحداثى واحد، فتكون المنطقة المشتر‬ ‫حل هذا النظام‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ حل نظام المتباينات الخطية التالى بيانيا:  ص ‪ 2 G‬س + 6  ،    ص + 3س -1‬ ‫ًّ‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الخطوة (1): مثل مجموعة حل كل متباينة فى النظام بيانيا، ولون منطقة الحل.‬ ‫ِّ‬ ‫ًّ‬ ‫للمتباينة األولى: ص ‪ 2 G‬س + 6‬ ‫ص‬ ‫6 ‪1M‬‬ ‫نرسم المستقيم الحدى ص = 2 س + 6   (خط متصل)‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫النقطة (0، 0) التحقق المتباينة‬ ‫`مجموعة الحل ‪ 1M‬هى نصف المستوى الذى التقع فيه‬ ‫نقطة األصل ∪ ل‬ ‫1‬ ‫للمتباينة الثانية: ص + 3 س -1‬ ‫نرسم المستقيم الحدى ص + 3 س = -1    (خط متقطع)‬ ‫س‬ ‫ص‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫0‬ ‫6‬ ‫س 0‬ ‫ص -1‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫3‬‫0‬ ‫1‬‫2‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫2‬‫2‬ ‫2‬‫5‬ ‫س‬ ‫3 2 1‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫‪M ∩ 1M‬‬ ‫2‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫1 -2 -3 -4 -5 -6‬‫1‬‫2‬‫3‬‫4‬‫‪2M‬‬ ‫5‬‫ل‬ ‫6‬‫1‬ ‫النقطة (0، 0)التحقق المتباينة‬ ‫` مجموعة الحل ‪ 2 M‬هى نصف المستوى الذى التقع فيه نقطة األصل.‬ ‫كة بين مناطق حل متباينات النظام، وهى المنطقة التى تتداخل فيها‬ ‫الخطوة (2): حدد المنطقة المشتر‬ ‫األلوان، والتى تمثل منطقة حل النظام، فيكون مجموعة الحل للمتباينتين معا هى ‪M ∩ 1M‬‬ ‫ً‬ ‫2‬ ‫تحقق: الحظ أن النقطة (-4، 2) تنتمى إلى منطقة حل النظام؛ لذا يمكن استخدامها نقطة اختبار، والتحقق‬ ‫من صحة الحل بالتعويض عن (س، ص) بالنقطة (-4، 2) فى كلتا المتباينتين:‬ ‫ص + 3 س -1‬ ‫ص ‬ ‫‪2G‬س+6‬ ‫؟‬ ‫؟‬ ‫2 + 3 (-4) -1‬ ‫2 ‪ G‬‬ ‫2(-4) + 6‬ ‫01 -1 ( صواب)‬‫2 ‪ G‬‬ ‫-2 (صواب)‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫44‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 52.
    ‫اّينايب ةيطخلا تانيابتملانم ةمظنأ ح‬ ‫ل‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ حل النظام اآلتى بيانيا: 3 س + 5ص ‪ ، 15 G‬ص س -1‬ ‫ًّ‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ حل نظام المتباينات الخطية التالى بيانيا: 4 ص ‪6 G‬س‬ ‫ًّ‬ ‫  -3 س + 2ص ‪6- H‬‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫الخطوة (1): مثل مجموعة حل كل متباينة فى النظام بيانيا، ولون منطقة الحل.‬ ‫ِّ‬ ‫ًّ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫للمتباينة األولى: 4 ص ‪ 6 G‬س‬ ‫نرسم المستقيم الحدى 4 ص = 6س  (خط متصل)‬ ‫س 0 2 -2‬ ‫ص 0 3 -3‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫للمتباينة الثانية: - 3 س + 2 ص ‪6- H‬‬ ‫نرسم المستقيم الحدى -3س -2ص = -6 (خط متصل)‬ ‫س 0 2 -2‬ ‫ص -3 0 6‬ ‫ النقطة (0، 0) تقع على المستقيم الحدى؛ لذا يختبر باستخدام‬ ‫نقطة أخرى على إحدى جانبى المستقيم الحدى ولتكن (-3، 2)‬ ‫      فيكون: 4 (2) ‪)3-( 6 G‬‬ ‫     أي 8 ‪( 12- G‬صواب)‬ ‫ ‬ ‫ فيكون مجموعة الحل ‪ ،1M‬و هى نصف المستوى الذى يقع‬ ‫فيه النقطة (-3، 2) ∪ ل‬ ‫1‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫س‬ ‫ص‬ ‫ل‬ ‫2‬ ‫5 4 3‬ ‫2 1‬ ‫‪M‬‬ ‫6‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫‪M‬‬ ‫1‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫1 -2 -3 -4 -5‬‫1‬‫2‬‫3‬‫4‬‫ل‬ ‫1‬ ‫5‬‫-6‬ ‫2‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫النقطة (0، 0) التحقق المتباينة‬ ‫` مجموعة الحل ‪ ،2M‬و هى نصف المستوى الذى التقع فيه النقطة (0، 0) ∪ ل‬ ‫2‬ ‫كة بين مناطق حل متباينات النظام، والتى تمثل منطقة حل النظام.‬ ‫الخطوة (2): نحدد المنطقة المشتر‬ ‫ونالحظ أن المستقمين ل1، ل2 متوازيان، والتوجد منطقة كة بين المنطقتين الملونتين كما فى الشكل.‬ ‫مشتر‬ ‫` مجموعة حل المتباينتين معا = ‪z‬‬ ‫ً‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد حل نظام المتباينات الخطية التالى بيانيا:    ص ‪ H‬س‬ ‫ًّ‬ ‫     ص ‪ G‬س + 1‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫54‬
  • 53.
    ‫مـثـال‬ ‫‌ الربطبالحياة يريد مربى حيوانات عمل حظيرة مستطيلة الشكل، يجب أن اليقل طول الحظيرة عن 08‬ ‫مترا، وأن اليزيد محيطها عن 013 أمتار. فما األبعاد الممكنة للحظيرة؟‬ ‫ً‬ ‫الحل‬ ‫ص = طول الحظيرة.‬ ‫ عرف: س = عرض الحظيرة. ‬ ‫المحيط اليزيد عن 013 أمتار‬ ‫ اربط: الطول اليقل عن 08 مترا. ‬ ‫ً‬ ‫ 2 س + 2 ص ‪310 H‬‬ ‫ ‬ ‫  ص ‪80 G‬‬ ‫ لحل نظام المتباينات الخطية: ص ‪80 G‬‬ ‫ 2 س + 2 ص ‪310 H‬‬ ‫ يمكنك اتباع التالى:‬ ‫للمتباينة األولى:‬ ‫ص‬ ‫ص ‪80 G‬‬ ‫041‬ ‫‪2M‬‬ ‫‪1M‬‬ ‫استخدم الميل وطول الجزء‬ ‫∩‬ ‫‪1M‬‬ ‫001‬ ‫المقطوع من محور الصادات‬ ‫ل‬ ‫1‬ ‫لرسم المستقيم الحدى‬ ‫06‬ ‫ص = 08‬ ‫‪2M‬‬ ‫ل‬ ‫02‬ ‫س 2‬ ‫(المستقيم الحدى متصل)‬ ‫02‬ ‫041 001 06‬ ‫س 0 1 2‬ ‫العرض بالمتر‬ ‫ص 08 08 08‬ ‫أبعاد حظيرة الحيوانات‬ ‫ص ‪80 G‬‬ ‫؟‬ ‫02 ‪( 80 G‬خطأ)‬ ‫مجموعة الحل ‪ 1M‬هى نصف المستوى الذى‬ ‫التقع فيه النقطة (02، 02) ∪ ل‬ ‫1‬ ‫ ‬ ‫الطول بالمتر‬ ‫اختبر النقطة (02، 02)‬ ‫للمتباينة الثانية:‬ ‫2 س + 2ص ‪310 H‬‬ ‫استخدم األجزاء المقطوعة‬ ‫من محورى اإلحداثيات‬ ‫لرسم المستقيم الحدى:‬ ‫2 س + 2ص = 013‬ ‫(المستقيم الحدى متصل)‬ ‫س 0 551 01‬ ‫ص 551 0 541‬ ‫اختبر النقطة (02، 02)‬ ‫2 س + 2ص ‪310 H‬‬ ‫؟‬ ‫2(02) + 2(02) ‪310 H‬‬ ‫08 ‪( 310 H‬صواب)‬ ‫مجموعة الحل ‪ 2M‬هى نصف المستوى الذى‬ ‫تقع فيه النقطة (02، 02) ∪ ل‬ ‫2‬ ‫كة والموضحة بالرسم.‬ ‫مجموعة الحل ‪ 2M ∩1M =M‬وهى مجموعة النقط فى المنطقة المشتر‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫من المثال السابق:‬ ‫‌ أعط ثالثة أبعاد ممكنة (للطول والعرض) للحظيرة. كم حلاًّ لهذا النظام؟‬ ‫‌ لماذا تم توضيح منطقة الحل فى الربع األول فقط من المستوى اإلحداثى؟‬ ‫64‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 54.
    ‫اّينايب ةيطخلا تانيابتملانم ةمظنأ ح‬ ‫ل‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ الربط بالحياة قام إسالم وفادى برحلة لزيارة اآلثار الفرعونية بمحافظات الوجه القبلى، فتناوبا قيادة‬ ‫السيارة، فإذا كانت فترات قيادة إسالم للسيارة على نحو متواصل فى اليوم التقل عن 3 ساعات، والتزيد‬ ‫عن 7 ساعات، كانت فترات قيادة فادى للسيارة على نحو متواصل فى اليوم التقل عن ساعتين والتزيد‬ ‫و‬ ‫عن 6 ساعات، كان إجمالى زمن قيادة كليهما يوميا اليزيد عن 8 ساعات. اكتب نظام متباينات خطية‬ ‫و‬ ‫ًّ‬ ‫يمثل هذا الموقف، ثم مثل بيانيا منطقة حل هذا النظام.‬ ‫ًّ‬ ‫الحل‬ ‫عدد ساعات قيادة فادى‬ ‫ إسالم: عدد ساعات قيادة إسالم للسيارة على نحو متواصل اليقل عن 3 ساعات واليزيد عن 7 ساعات.‬ ‫نفرض أن س هى عدد ساعات قيادة إسالم للسيارة فيكون: 3 ‪ H‬س ‪.7 H‬‬ ‫ ‬ ‫ص‬ ‫ فادى:عدد ساعات قيادة فادى للسيارة التقل عن ساعتين‬ ‫8‬ ‫7‬ ‫والتزيد عن 6 ساعات. نفرض أن ص هى عدد ساعات‬ ‫6‬ ‫فيادة فادى للسيارة فيكون: 2 ‪ H‬ص ‪6 H‬‬ ‫5‬ ‫ إجمالى زمن قيادة كليهما يوميا اليزيد عن 8 ساعات فيكون:‬ ‫4‬ ‫ًّ‬ ‫3‬ ‫ س+ص‪8H‬‬ ‫2‬ ‫ مثل مجموعة حل كل من المتباينات الثالث بيانيا،‬ ‫1‬ ‫ًّ‬ ‫س‬ ‫0‬ ‫أى زوج مرتب فى منطقة حل النظام يمثل حلاًّ للنظام؟‬ ‫ ‬ ‫8 7 6 5 4 3 2 1‬ ‫عدد ساعات قيادة إسالم‬ ‫ من الحلول الممكنة:‬ ‫ساعتان قيادة لفادى، 6 ساعات قيادة إلسالم.‬ ‫ 3 ساعات قيادة لفادى، 5 ساعات قيادة إلسالم. ‬ ‫3 ساعات قيادة لفادى، 4 ساعات قيادة إلسالم.‬ ‫ 5 ساعات قيادة لفادى، 3 ساعات قيادة إلسالم. ‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫الربط بالمهن: يريد نجار شراء نوعين من المسامير، وال يريد دفع أكثر من 84 جنيها ثمنا للشراء، فإذا كان‬ ‫ً ً‬ ‫النجار يحتاج 3 كيلو جرامات على األقل من النوع األول، كيلو جراما واحدا على األقل من النوع الثانى،‬ ‫و‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫فما المبلغ الذى سيدفعه النجار ثمنا لكل نوع، إذا علمت أن ثمن الكيلو جرام الواحد من النوع األول هو‬ ‫ً‬ ‫6 جنيهات، وثمن الكيلو جرام الواحد من النوع الثانى هو 8 جنيهات؟‬ ‫أ اكتب نظاما من المتباينات الخطية يصف هذا الموقف.‬ ‫ً‬ ‫ب مثل بيانيا هذا النظام لتوضيح الحلول الممكنة.‬ ‫ًّ‬ ‫ج‍ سم نقطة تكون حلاًّ لهذا النظام.‬ ‫ِّ‬ ‫د سم نقطة ال تكون حلاًّ لهذا النظام.‬ ‫ِّ‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫74‬
  • 55.
    ‫البرمجة الخطية والحلاألمثل‬ ‫2 ‍‬ ‫‪Linear programing and Optimization‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫عمل تعاونى‬ ‫إجياد القيمة العظمى والقيمة‬ ‫الصغرى لدالة ضمن منطقة معينة.‬ ‫استخدام الربجمة اخلطية ىف حل‬ ‫بعض املسائل.‬ ‫ترمجة معلومات خاصة بمشكلة‬ ‫رياضية حياتية ىف جدول مناسب‬ ‫مع ترمجة البيانات ىف صورة‬ ‫متباينات خطية وحتديد منطقة احلل‬ ‫بيانيا، مع حتديد دالة اهلدف وحلها‬ ‫ًّ‬ ‫األمثل.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫برجمة خطية‬ ‫‪linear programing‬‬ ‫القيود‬ ‫‪Constrains‬‬ ‫حمدود‬ ‫غري حمدود‬ ‫‪Bounded‬‬ ‫‪Unbounded‬‬ ‫احلل األمثل‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫ورق رسم بيانى.‬ ‫ألوان رصاص.‬ ‫‪Optimize‬‬ ‫افترض أنه عرض عليك وظيفة لبعض الوقت، وأنت‬ ‫تفكر ما الوقت الذى يمكنك تخصيصه لهذا العمل.‬ ‫يمكنك استخدام الرياضيات لتساعدك على تنظيم‬ ‫تفكيرك واتخاذ القرار السليم.‬ ‫اعمل مع زميل لك:‬ ‫1- أ اكتب قائمة بالطرق التى تقضى‬ ‫بها أوقاتك خالل األسبوع.‬ ‫ب نظم قائمتك بحيث التزيد عن عشرة طرق.‬ ‫ ‬ ‫2- اعمل تقويما شخصيا لألسبوع الماضى.‬ ‫ًّ‬ ‫ً‬ ‫أ حدد وقتا للطرق التى حددتها فى البند رقم (1).‬ ‫ ‬ ‫ً‬ ‫ب ما الوقت الذى تراه مناسبا للعمل فى وظيفة بعض الوقت؟‬ ‫ ‬ ‫ً‬ ‫ج‍ ناقش: ما الذى يمكنك اإلقالع عنه أو عدم اإلقالع عنه فى جدولك؟‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫البرمجة الخطية‬ ‫‪Linear Programing‬‬ ‫يمكنك اإلجابة عن أسئلة مثل المطروحة أعاله باستخدام عملية تسمى البرمجة‬ ‫الخطية ‪.Linear programing‬‬ ‫ولحل مسائل البرمجة الخطية فإن أول عمل يجب القيام به هو كتابة البرنامج‬ ‫الخطى للمسألة، ويتكون من:‬ ‫1- دالة الهدف (وهى ما تهدف إليه المشكلة محل الدراسة لحساب قيمة عظمى‬ ‫ ‬ ‫أو قيمة صغرى)، وهى دالة خطية تكون على الصورة:‬ ‫حيث ‪ ،C‬ب عددان حقيقيان اليساويان الصفر معا.‬ ‫ ‪ C = S‬س + ب ص ‬ ‫ً‬ ‫2- مجموعة القيود التى تفرضها طبيعة المسألة، وهى فى صورة متباينات خطية‬ ‫ ‬ ‫بمتغيرين تمثل الحدود العليا أو الدنيا للعوامل التى تتحكم بمتغيرات المسألة.‬ ‫3- القيود التى يفرضها الواقع العلمى للمسألة على المتغيرات عندما ال يمكن أن‬ ‫ ‬ ‫تأخذ هذه المتغيرات قيما سالبة.‬ ‫ً‬ ‫84‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 56.
    ‫ثمألا لحلاو ةيطخلاةجمربلا‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ باستخدام البرمجة الخطية أوجد قيمتى س، ص التى تجعل قيمة الدالة ‪3 = S‬س + 2ص قيمة عظمى‬ ‫ ثم قيمة صغرى تحت القيود: س ‪ ، 0 G‬ص ‪ ، 0 G‬س + ص ‪ ، 8 H‬ص ‪3 G‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫الخطوة (1): ارسم القيود (مثل المتباينات بيانيا)‬ ‫ًّ‬ ‫الخطوة (2): أوجد إحداثيات رؤوس منطقة الحل.‬ ‫من الشكل نالحظ أن رؤوس منطقة الحل هى:‬ ‫‪ ،)8 ،0(C‬ب ( 5، 3)، جـ (0، 3)‬ ‫الخطوة (3): أوجد قيمة الدالة ‪ 3 = S‬س + 2 ص عند كل رأس‬ ‫نكون الجدول التالى:‬ ‫النقطة‬ ‫‪)8 ،0( C‬‬ ‫ب (5، 3)‬ ‫جـ (0، 3)‬ ‫س‬ ‫0‬ ‫5‬ ‫0‬ ‫ص‬ ‫8‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫3س + 2ص‬ ‫3 (0) + 2 (8)‬ ‫3 (5) + 2 (3)‬ ‫3 (0) + 2 (3)‬ ‫قيمة الدالة ‪S‬‬ ‫(5، 3)‬ ‫ب‬ ‫س‬ ‫ص‬ ‫‪9 C‬‬ ‫(0، 8) 8‬ ‫7‬ ‫6‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫جـ‬ ‫2‬ ‫(0، 3)‬ ‫1‬ ‫8 7 6 5 4 3 2 1‬ ‫0‬ ‫61‬ ‫12‬ ‫6‬ ‫$ قيمة عظمى‬ ‫$ قيمة صغرى‬ ‫ القيمة العظمى للدالة تساوى 12 وتكون عند النقطة (5، 3)، والقيمة الصغرى للدالة تساوى 6 وتكون عند‬ ‫النقطة (0، 3)‬ ‫فكر: لماذا تتحقق القيمة العظمى أو الصغرى لدالة الهدف عند أحد رؤوس منطقة الحل؟‬ ‫ص‬ ‫لتعرف إجابة هذا التساؤل:‬ ‫‪9 C‬‬ ‫(0، 8) 8‬ ‫1- نضع ‪ 0 = S‬فى دالة الهدف ‪3 = S‬س + 2ص فنجد أن 3س + 2ص = 0‬ ‫ ‬ ‫7‬ ‫تمثل مستقيما يمر بنقطة األصل، والنقطة (2، -3).‬ ‫6‬ ‫ً‬ ‫5‬ ‫2- إذا رسمت عدة مستقيمات تقطع منطقة الحل وموازية لهذا المستقيم‬ ‫4‬ ‫(5، 3)‬ ‫3‬ ‫المار بنقطة األصل فإن:‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫2‬ ‫ أول هذه المستقيمات يمر بالنقطة جـ (0، 3)‬ ‫(0، 3) 1‬ ‫س‬ ‫0‬ ‫ وتكون معادلته  3س + 2ص = 6  أى  ‪6 = S‬‬ ‫8 7 6 5 4 3 2 1‬ ‫1‬‫3- قيمة ‪ S‬عند جميع النقط التى تنتمى إلى المستقيم الثانى المار‬ ‫2‬‫3‬‫بالنقطة ‪ )8 ،0( C‬تساوى 61، و تستمر ‪ S‬فى التزايد حتى نصل إلى‬ ‫آخر خط يقطع منطقة حل النظام والمار بالنقطة ب (5، 3) ، فنجد أن ‪21 = 3 * 2 + 5 * 3 = S‬‬ ‫ لذلك فإن القيمة الصغرى لدالة الهدف = 6 عند النقطة (0، 3) وهى أحد رؤوس منطقة الحل، كذلك القيمة‬ ‫و‬ ‫العظمى لدالة الهدف = 12 عند النقطة (5، 3) وهى أحد رؤوس منطقة الحل أيضا.‬ ‫ً‬ ‫مما سبق نستنتج أن: القيمة العظمى والقيمة الصغرى إن وجدتا لدالة الهدف، فإنهما تتحققان عند رؤوس‬ ‫المضلع الذى يحيط منطقة الحلول الممكنة للمتباينات التى تشكل مجموعة قيود المسألة أو عند نقط إلتقاء‬ ‫المستقيمات التى تحد منطقة الحلول الممكنة.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫94‬
  • 57.
    ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ باستخدام البرمجة الخطية أوجد كلاًّ من القيمة الصغرى والقيمة الكبرى للدالة ‪ = S‬س + ص تحت القيود:‬ ‫ص‬ ‫س ‪ ، 0 G‬ص ‪ ، 0G‬ص ‪ 2G‬س -2 ، ص ‪- H‬س + 8‬ ‫7‬ ‫6‬ ‫‌ من الشكل المقابل: أوجد قيمتى س، ص‬ ‫5‬ ‫ التى تجعل قيمة الدالة ‪ 2 = S‬س + 5 ص قيمة صغرى.‬ ‫4‬ ‫تعلم‬ ‫‬ ‫ة‬ ‫تطبيقات حياتية على البرمجة الخطي ‬ ‫‪Real life applications of linear programing‬‬ ‫ٍ‬ ‫س‬ ‫7 6 5 4 3 2 1‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫البرمجة الخطية طريقة رياضية تمكنا من الوصول إلى أفضل قرار لحل مشكلة حياتية أو الوصول إلى الحل‬ ‫األمثل ‪Optimization‬؛ لتحقيق هدف معين مثل تحقيق أقل تكلفة أو أعلى ربح لمشروع معين، مع االلتزام بشروط‬ ‫وقيود آليات اإلنتاج والسوق أو المشكلة محل الدراسة، ويمكن تحقيق ذلك من خالل:‬ ‫1- تحليل الموقف أو المشكلة لتحديد المتغيرات، والتعرف على القيود ووضعها فى صورة نظام من المتباينات‬ ‫الخطية.‬ ‫2- كتابة دالة الهدف المراد تحقيقه فى المشكلة موضع الدراسة (وهى دالة خطية).‬ ‫3- تمثيل نظام المتباينات الخطية بيانيا.‬ ‫ًّ‬ ‫4- تحديد رؤوس منطقة الحل.‬ ‫5- نعوض بإحداثيات الرؤوس فى دالة الهدف، ثم نختبر القيمة العظمى أو القيمة الصغرى تبعا للمطلوب فى المسألة.‬ ‫ ‬ ‫ً‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ إدارة األعمال يبيع أحد محال المأكوالت البحرية نوعين من‬ ‫األسماك المطهية ‪ ،C‬ب، والتقل الطلبات من صاحب المحل عن 05‬ ‫سمكة، كما أنه اليستخدم أكثر من 03 سمكة من النوع (أ)، أو أكثر‬ ‫من 53 سمكة من النوع (ب)، فإذا علمت أن ثمن شراء السمكة من النوع (أ)‬ ‫هو 4 جنيهات، ومن النوع (ب) هو 3 جنيهات، كم سمكة من كل من النوعين‬ ‫أ، ب يجب استخدامها لتحقيق أقل ثمن ممكن للشراء؟‬ ‫الحل‬ ‫1- نفرض أن: عدد األسماك من النوع (أ) هو س، عدد األسماك من النوع (ب) هو ص‬ ‫النوع األول‬ ‫(سوف يشترى أسماكًا من النوع أ)‬ ‫ ويكون س ‪0 G‬‬ ‫ ‬ ‫س‬ ‫(سوف يشترى أسماكًا من النوع ب)‬ ‫  ص ‪0 G‬‬ ‫ ‬ ‫  س + ص ‪( 50 G‬هو يحتاج 05 سمكة على األقل) ثمن الشراء 4‬ ‫ ‬ ‫(اليمكنه استخدام أكثر من 03 سمكة من النوع أ)‬ ‫  س‪ 30 H‬‬ ‫(اليمكنه استخدام أكثر من 53 سمكة من النوع ب)‬ ‫  ص ‪35 H‬‬ ‫ ‬ ‫05‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫النوع الثاني الحد األقصى‬ ‫ص‬ ‫3‬ ‫05‬ ‫4س + 3ص‬
  • 58.
    ‫ثمألا لحلاو ةيطخلاةجمربلا‬ ‫ص‬ ‫2- نكتب دالة الهدف وهى: ثمن الشراء أقل ما يمكن: ‪ 4 = S‬س + 3 ص‬ ‫3- نمثل نظام المتباينات بيانيا كما هو موضح بالشكل المقابل.‬ ‫ًّ‬ ‫ب‬ ‫4- نحدد رؤوس منطقة الحل وهي:‬ ‫ ‪ ،)20 ،30( C‬ب (03، 53)، جـ (51، 53).‬ ‫5- نعوض بإحداثيات الرؤوس فى دالة الهدف لتحديد أقل ثمن ممكن‬ ‫للشراء، كما هو موضح بالجدول التالي:‬ ‫س‬ ‫النقطة‬ ‫‪30 )20 ،30( C‬‬ ‫ب (03، 53) 03‬ ‫جـ (51، 53) 51‬ ‫ص‬ ‫02‬ ‫53‬ ‫53‬ ‫4س + 3ص‬ ‫4 (03) + 3 (02)‬ ‫4 (03) + 3 (53)‬ ‫4 (51) + 3 (53)‬ ‫قيمة الدالة ‪S‬‬ ‫081‬ ‫522‬ ‫561‬ ‫05‬ ‫جـ‬ ‫03‬ ‫‪C‬‬ ‫س‬ ‫03‬ ‫05‬ ‫01‬ ‫01‬ ‫0‬ ‫$ أقل قيمة ممكنة لثمن الشراء‬ ‫يجب على صاحب محل األسماك شراء 51 سمكة من النوع (أ)، 53 سمكة من النوع (ب) ليكون ثمن الشراء‬ ‫أقل ما يمكن.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ الربط بالصناعة: ينتج مصنع صغير لألثاث المعدنى 02 دوالبا أسبوعيا على األكثر من نوعين مختلفين ‪،C‬‬ ‫ً‬ ‫ًّ‬ ‫ب، فإذا كان ربحه من النوع (أ) هو 08 جنيها وربحه من النوع (ب) هو 001 جنيه، كان مايباع من النوع‬ ‫و‬ ‫ً‬ ‫األول اليقل عن ثالثة أمثال ما يباع من النوع الثاني. أوجد عدد الدواليب من كل نوع ليحقق المصنع أكبر‬ ‫ربح ممكن.‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ الربط بالصحة ينتج مصنع ألغذية األطفال نوعين من األغذية ذات‬ ‫مواصفات خاصة، فإذا كان النوع األول يحتوى على وحدتين من فيتامين (أ)،‬ ‫3 وحدات من فيتامين (ب) والنوع الثانى يحتوى على 3 وحدات من فيتامين‬ ‫(أ)، ووحدتين من فيتامين (ب)، وإذا كان الطفل يحتاج فى غذائه على األقل 021 وحدة من فيتامين (أ)،‬ ‫001 وحدة من فيتامين (ب) كانت تكلفة النوع (أ) 5 جنيهات، وتكلفة النوع (ب) 4 جنيهات، فما الكمية‬ ‫و‬ ‫الواجب شراؤها من كل من النوعين لتحقيق ما يحتاجه الطفل فى غذائه بأقل تكلفة ممكنة؟‬ ‫الحل‬ ‫1- نفرض أن: عدد السلع من النوع األول س‬ ‫وعدد السلع من النوع الثانى ص ويكون:‬ ‫ س ‪  ، 0 G‬ص ‪0 G‬‬ ‫ 2 س + 3 ص ‪120 G‬‬ ‫ 3 س + 2 ص ‪100 G‬‬ ‫الصنف‬ ‫فيتامين أ‬ ‫فيتامين ب‬ ‫التكاليف‬ ‫عدد السلع من عدد السلع من‬ ‫النوع األول‬ ‫النوع الثاني‬ ‫3س‬ ‫2ص‬ ‫2س‬ ‫5 جنيهات‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫3ص‬ ‫4 جنيهات‬ ‫الحد األدنى‬ ‫من الوحدات‬ ‫021‬ ‫001‬ ‫15‬
  • 59.
    ‫2- دالة الهدفهى التكلفة أقل مايمكن:  ‪ 5 = S‬س + 4 ص‬ ‫ص‬ ‫07‬ ‫3- نمثل نظام المتباينات الخطية كما هو موضح بالشكل المقابل.‬ ‫(0، جـ 05‬ ‫05)‬ ‫(21، 23) ب 03‬ ‫4- رؤوس منطقة الحل هي:‬ ‫ ‪ ،)0 ،60( C‬ب (21، 23)، جـ (0، 05).‬ ‫النقطة‬ ‫(06، 0)‬ ‫س‬ ‫‪C‬‬ ‫07 05‬ ‫س ص 5س + 4ص‬ ‫06 0 5 (06) + 4 (0)‬ ‫5- نعوض بإحداثيات‬ ‫الرؤوس فى دالة ‪)0 ،60( C‬‬ ‫الهدف لتحديد أقل ب (21، 23) 21 23 5 (21) + 4 (23)‬ ‫تكلفة ممكنة:‬ ‫جـ (0، 05) 0 05 5 (0) + 4 (05)‬ ‫03‬ ‫01‬ ‫01‬ ‫0‬ ‫قيمة الدالة ‪S‬‬ ‫003‬ ‫881‬ ‫002‬ ‫$ أقل تكلفة ممكنة‬ ‫تكون التكلفة أقل ما يمكن عند ب، عدد األغذية من النوع األول هو 21 وعدد األغذية من النوع الثانى هو 23‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ الربط بالمستهلك: ينتج مصنع نوعين من المكاتب الصاج كل نوع يقوم بتجميعه أحد العمال ثم يقوم‬ ‫و‬ ‫عامل آخر بالدهان. يستغرق العامل األول ساعتين لتجميع الوحدة من النوع األول، و3 ساعات لتجميع‬ ‫الوحدة من النوع الثانى، بينما يستغرق العامل الثانى ساعة ونصف الساعة لدهان الوحدة من النوع األول‬ ‫وساعتين لدهان الوحدة من النوع الثانى، فإذا كان العامل األول يعمل 6 ساعات يوميا على األقل ،بينما‬ ‫ًّ‬ ‫يعمل العامل الثانى 6 ساعات يوميا على األكثر، كان ربح المصنع هو 05 جنيها فى كل وحدة من كل من‬ ‫و‬ ‫ً‬ ‫ًّ‬ ‫النوعين، فما عدد الوحدات التى يجب أن ينتجها المصنع يوميا من كال النوعين ليحقق أكبر ربح ممكن؟‬ ‫ًّ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫نفرض أن عدد الوحدات من النوع األول س‬ ‫عدد الوحدات ساعات التجميع ساعات الدهان الربح بالجنيه‬ ‫النوع األول س‬ ‫05‬ ‫2‬ ‫وعدد الوحدات من النوع الثانى ص‬ ‫11‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫2 س + 3ص ‪6 G‬‬ ‫فيكون س ‪ ، 0 G‬ص ‪0 G‬‬ ‫ ‬ ‫النوع الثانى ص‬ ‫1 1س + 2ص ‪   6 H‬أى  3 س + 4 ص ‪12 H‬‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫دالة الهدف: الربح أكبر ما يمكن ‪ 50 = S‬س + 05 ص‬ ‫ ‬ ‫25‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫05‬
  • 60.
    ‫ثمألا لحلاو ةيطخلاةجمربلا‬ ‫س‬ ‫النقطة‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫‪)2 ،0( C‬‬ ‫ب (3، 0)‬ ‫جـ (4، 0)‬ ‫ ‬ ‫0‬ ‫‪)3 ،0( E‬‬ ‫ص‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫05 س+ 05ص قيمة الدالة ‪S‬‬ ‫05(0) + 05 (2)‬ ‫05(3) + 0 (0)‬ ‫05(4) + 0 (0)‬ ‫0(0) + 3 (05)‬ ‫` أكبر ربح ممكن = 002 جنيه عند النقطة (4، 0)‬ ‫001‬ ‫051‬ ‫002‬ ‫051‬ ‫$ أكبر ربح ممكن‬ ‫ص‬ ‫س جـ (4، 0)‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‪3 )3 ،0( E‬‬ ‫2‬ ‫‪)2 ،0( C‬‬ ‫1/‬ ‫س‬ ‫ب (3، 0)‬ ‫3 2 ص‬ ‫/‬ ‫‌ الربط بالمستهلك: سلعتان غذائيتان تعطى األولى 3 سعرات حرارية وبها 5 وحدات من فيتامين سى‬ ‫والثانية تعطى 6 سعرات حرارية ولها وحدتان من فيتامين سي. فإذا كان المطلوب هو 63 سعرا حرار يا‬ ‫ًّ‬ ‫ً‬ ‫على األقل، 52 وحدة من فيتامين سى على األقل، وبفرض أن سعر الوحدة من السلعة األولى 6 جنيهات ومن‬ ‫الثانية 8 جنيهات، فما الكمية الواجب شراؤها من كل من السلعتين لتحقيق المطلوب بأقل تكلفة ممكنة؟‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫الربط بالزراعة: وجد مزارع أنه يمكن تحسين نوعية مزروعاته إذا استخدم على األقل 61 وحدة من النيترات،‬ ‫9 وحدات من الفوسفات فى عملية التسميد للقيراط الواحد. يوجد فى األسواق نوعان من السماد أ، ب موضحة‬ ‫محتوياتها وتكلفة كل منها فى الجدول التالي:‬ ‫السماد‬ ‫ ‬ ‫أ‬ ‫ب‬ ‫عدد الوحدات لكل كيلو جرام‬ ‫النترات‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫الفوسفات‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫التكلفة لكل كيلو جرام‬ ‫071 قرشا‬ ‫ً‬ ‫051 قرشا‬ ‫ً‬ ‫أوجد أقل تكلفة من مزيج السمادين أ، ب تمكنان المزارع من توفير العدد الكافى من وحدات النيترات‬ ‫والفوسفات لتحسين نوعية مزروعاته.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫35‬
  • 61.
    ‫نشاط‬ ‫إذا كان المستقيمالذى يمثل دالة الهدف يوازى أحد أضالع منطقة الحل، هل تتغير قيمة دالة الهدف عند أى‬ ‫نقطة على هذا الضلع؟‬ ‫تتبع المثال اآلتى ثم أجب عن السؤال المطروح‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد أقصى قيمة ممكنة للدالة ‪3 = S‬س + 6ص تحت القيود التالية:‬ ‫ س ‪ ، 0 G‬ص ‪ ، 0 G‬س + ص ‪2 ، 5 H‬س + ص ‪ ، 6 H‬س + 2ص ‪8 H‬‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫نرسم ل1 : س = 0 ، ل2 : ص = 0‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫ص‬ ‫ل5 : س + 2ص = 8‬ ‫0‬ ‫6‬ ‫3‬ ‫س‬ ‫ل4 : 2س + ص = 6‬ ‫5‬ ‫س‬ ‫ل3 : س + ص = 5‬ ‫0‬ ‫5‬ ‫0‬ ‫8‬ ‫ص‬ ‫4‬ ‫ص‬ ‫0‬ ‫‪a1 ،4k‬‬ ‫3 3‬ ‫0‬ ‫س‬ ‫0‬ ‫ب‬ ‫جـ (0، 4)‬ ‫‪ )0 ،3( C‬و‬ ‫المنطقة الملونة بالشكل هى و ‪ C‬ب جـ تمثل مجموعة حل النظام حيث: ب( 4 ، 01 ) لماذا؟‬ ‫3 3‬ ‫النقطة‬ ‫‪C‬‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫س‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫0‬ ‫ص‬ ‫0‬ ‫01‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫3س + 6ص‬ ‫3*3+0‬ ‫3 * 4 + 6 * 01‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫3*0+6*4‬ ‫قيمة الدالة ‪S‬‬ ‫9‬ ‫42‬ ‫42‬ ‫الحظ أن: القيمة العظمى لدالة الهدف = 42 تحققت عند النقطتين ب، جـ‬ ‫1- هل المستقيم ب جـ يوازى المستقيم الذى يمثل دالة الهدف؟ فسر إجابتك.‬ ‫ ‬ ‫ِّ‬ ‫2- أوجد قيمة دالة الهدف عند منتصف ب جـ ، ماذا تالحظ؟‬ ‫ ‬ ‫3- هل العبارة التالية صحيحة؟ فسر إجابتك.‬ ‫ «إذا وقعت القيمة العظمى (أو الصغرى) عند نقطتين فى منطقة حل النظام فهى تقع عند جميع نقاط‬ ‫القطعة المستقيمة الواصلة بينهما».‬ ‫45‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 62.
    ‫ملخص الوحدة‬ ‫× ×المتباينةالخطية فى مجهولين‬ ‫‪Linear Inequality in two unknowns‬‬ ‫المتباينة من الدرجة األولى فى مجهولين تشبه المعادلة الخطية من الدرجة األولى فى مجهولين، والفرق بينهما‬ ‫هو وضع رمز المتباينة بدال من وضع رمز التساوي، فمثال: ص 5س +1 هى متباينة خطية فى مجهولين س، ص،‬ ‫ً‬ ‫ص = 5 س + 1 هى معادلة خطية مرتبطة بها.‬ ‫وتصف المتباينة الخطية منطقة من المستوى اإلحداثى، ولتمثيل حل المتباينة الخطية، نرسم أوال المستقيم الحدى‬ ‫ً‬ ‫ويرسم منقطًا إذا كان اليحقق المتباينة (إذا احتوت المتباينة الرمز أو )، ويرسم متصال إذا كان يحقق‬ ‫ً‬ ‫المتباينة (إذا احتوت المتباينة الرمز ‪G‬أو ‪ ،)H‬ثم نختبر نقطة لتظليل المنطقة التى تجعل المتباينة صحيحة.‬ ‫× ×حل نظام من المتباينات الخطية‬ ‫‪Solving a system of Linear inequalities‬‬ ‫تكون متباينتان خطيتان أو أكثر نظاما من المتباينات الخطية، وإليجاد حل نظام من المتباينات الخطية، نرسم‬ ‫ُ َّ ُ‬ ‫ً‬ ‫كل متباينة، ومنطقة الحل هى التى تكون فيها جميع المتباينات صحيحة.‬ ‫× ×البرمجة الخطية‬ ‫‪Linear programing‬‬ ‫البرمجة الخطية طريقة رياضية تمكننا من الوصول إلى أفضل قرار لحل مشكلة حياتيةأو الوصول إلى الحل‬ ‫األمثل لتحقيق هدف معين، مثل تحقيق أقل تكلفة أو أعلى ربح لمشروع معين مع االلتزام بشروط وقيود آليات‬ ‫اإلنتاج والسوق أو المشكلة محل الدراسة، ويمكن تحقيق ذلك من خالل:‬ ‫1- تحليل الموقف أو المشكلة للتعرف على القيود ووضعها فى صورة نظام متباينات خطية.‬ ‫2- تحديد دالة الهدف فى صورة خطية (‪ C‬س + ب ص).‬ ‫3- تحديد فضاء حل المشكلة.‬ ‫4- البحث عن القيمة أو القيم من فضاء الحل التى تحقق دالة الهدف.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫55‬
  • 63.
    ‫-‬ ‫الهندسة‬ ‫التحليلية‬ ‫الوحدة‬ ‫3‬ ‫المتجهات‬ ‫‪Vectors‬‬ ‫أهداف الوحدة‬ ‫فى نهايةالوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على:‬ ‫ً‬ ‫• •يتعرف الكمية القياسية والكمية المتجهة والقطعة المستقيمة‬ ‫الموجهة، ويعبر عنها بداللة طرفيها فى مستوى اإلحداثيات.‬ ‫• •يتعرف توازى متجهين وتعامد متجهين.‬ ‫• •يضرب متجه فى عدد حقيقى.‬ ‫• •يتعرف متجه الموضع ويضعه فى الصورة القطبية.‬ ‫• •يجمع متجهين باستخدام قاعدة المثلث (اإلحداثيات -‬ ‫• •يتعرف ويحل تمارين على تكافؤ متجهين.‬ ‫• •يثبت بعض النظريات الهندسية باستخدام المتجهات.‬ ‫• •يوجد معيار المتجه، والمتجه الصفرى.‬ ‫• •يتعرف متجه الوحدة ويعبر عن المتجه بداللة متجهى الوحدة‬ ‫األساسيين.‬ ‫طريقة متوازى األضالع) - يطرح متجهين.‬ ‫• •يحل تطبيقات فى الهندسة المستوية على المتجهات.‬ ‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪Ñ Ñ‬كمية قياسية‬ ‫‪(Ñ Ñ‬كمية متجهة)‬ ‫‪Ñ Ñ‬متجه‬ ‫‪Ñ Ñ‬مسافة‬ ‫‪Ñ Ñ‬إزاحة‬ ‫‪Ñ Ñ‬متجه موضع‬ ‫‪Scalar Quantities‬‬ ‫‪Vector Quantities‬‬ ‫‪Vector‬‬ ‫‪Distance‬‬ ‫‪Displacement‬‬ ‫‪Position Vector‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬زوج مرتب‬ ‫‪Ñ Ñ‬قيمة مطلقة‬ ‫‪Ñ Ñ‬معيار متجه‬ ‫‪Ñ Ñ‬متجه مكافئ‬ ‫‪Ñ Ñ‬جمع المتجهات‬ ‫‪Ñ Ñ‬قاعدة المثلث‬ ‫‪Orderd Pair‬‬ ‫‪Absolute value‬‬ ‫‪Norm‬‬ ‫‪Equivalent Vector‬‬ ‫‪Adding vectors‬‬ ‫‪The triangle Rule‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬قاعدة متوازى األضالع‬ ‫‪Ñ Ñ‬طرح المتجهات‬ ‫‪Parallelogram Rule‬‬ ‫‪Subtracting Vectors‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬قوة محصلة (محصلة القوى)‬ ‫‪Resultant Force‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬سرعة نسبية‬ ‫‪Relative Velocity‬‬
  • 64.
    ‫دروس الوحدة‬ ‫الدرس (3- 1): الكميات القياسية، والكميات المتجهة،‬ ‫والقطعة المستقيمة الموجهة.‬ ‫الدرس (3 - 2): المتجهات .‬ ‫الدرس (3 - 3): العمليات على المتجهات .‬ ‫الدرس (3 - 4): تطبيقات على المتجهات.‬ ‫األدوات المستخدمة‬ ‫حاسب آلى - جهاز عرض بيانات - برامج رسومية - ورق‬ ‫مربعات - أدوات هندسية للرسم والقياس - خيوط - أثقال -‬ ‫دبابيس رسم.‬ ‫نبذه تاريخية‬ ‫وضع العرب اللبنة األولى للهندسة التحليلية، فقد‬ ‫استخدموا الجبر فى حل بعض المشكالت الهندسية، كما‬ ‫استخدموا الهندسة فى حل المعادالت الجبرية فقدم ثابت‬ ‫اً‬ ‫بن قرة (538 - 009م) حلول هندسية لبعض المعادالت‬ ‫ِ‬ ‫كما ربط الكندى فى مؤلفاته بين الجبر والهندسة.‬ ‫ومع بداية القرن السابع عشر ساهم كل من‬ ‫فيرمات ‪1665 - 1601( Fermat‬م)، ورينيه ديكارت ‪Rene‬‬ ‫‪1650 - 1596( Descartes‬م) فى تبسيط الطرق الجبرية‬ ‫لحل المشكالت الهندسية استنادا إلى أن الهندسة المستوية‬ ‫ً‬ ‫لها بعدان، فعبرا عن كل شيء فى أى شكل هندسى بداللة‬ ‫طولين متغيرين رمزا لهما بالرمزين س، ص باإلضافة‬ ‫إلى بعض الكميات الثابتة التى يتيحها الشكل، مما ألبس‬ ‫الهندسة ثو ًبا جديدً ا عرف بالهندسة التحليلية (اإلحداثية)‬ ‫والتى وظفت الستنباط النظريات والحقائق وبرهنة صحتها‬ ‫بإسلوب جبرى، كما كانت من العوامل المساعدة على‬ ‫ظهور علمى التفاضل والتكامل بواسطة نيوتن ‪Newton‬‬ ‫(2461 - 7271م) وليبنيز ‪1716 - 1646( Leibinz‬م)،‬ ‫وابتكار جبس ‪1903 - 1839( Gibbs‬م) لتحليل المتجهات‬ ‫فى ثالثة أبعاد.‬ ‫مخطط تنظيمى للوحدة‬ ‫الكميات‬ ‫متجهة‬ ‫قياسية‬ ‫هندسيًا‬ ‫ّ‬ ‫المتجهات‬ ‫قطعة مستقيمة‬ ‫زوج مرتب‬ ‫موجهة‬ ‫تساوى‬ ‫متجهين‬ ‫جمع‬ ‫متجهين‬ ‫طرح‬ ‫متجهين‬ ‫متجها الوحدة‬ ‫األساسيين‬ ‫ضرب قسمة‬ ‫بعدد حقيقى‬ ‫الصورة القطبية‬ ‫توازى‬ ‫متجهين‬ ‫تطبيقات‬ ‫هندسية‬ ‫براهين‬ ‫نظريات‬ ‫جبريًا‬ ‫ّ‬ ‫حل‬ ‫مشكالت‬ ‫محصلة‬ ‫قوى‬ ‫تعامد‬ ‫متجهين‬ ‫فيزيائية‬ ‫اتزان‬ ‫قوى‬ ‫السرعة‬ ‫النسبية‬
  • 65.
    ‫الكميات القياسية والكمياتالمتجهة، والقطعة‬ ‫المستقيمة الموجهة‬ ‫‪Scalars, Vectors and Directed Line Segment‬‬ ‫3 ‍‬ ‫مقدمة‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫تصنيف ومتيز الكميات القياسية‬ ‫والكميات املتجهة.‬ ‫مفهوم القطعة املستقيمة املوجهة‬ ‫واجتاهها ومعيارها.‬ ‫التعرف عىل القطع املستقيمة‬ ‫املوجهة املتكافئة.‬ ‫إنشاء قطعة مستقيمة موجهة‬ ‫مكافئة لقطعة مستقيمة موجهة‬ ‫أخرى ىف املستوى اإلحداثى.‬ ‫التعبري عن قطعة مستقيمة‬ ‫موجهة بداللة طرفيها ىف املستوى‬ ‫اإلحداثى.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫كمية قياسية‬ ‫‪Scalar quantity‬‬ ‫متجه (كمية متجهة)‬ ‫‪Vector quantity‬‬ ‫‬ ‫مسافة‬ ‫إزاحة‬ ‫‪Distance‬‬ ‫‪Displacement‬‬ ‫اجتاه‬ ‫‪Direction‬‬ ‫هى كميات تتحدد تماما بمعرفة مقدارها فقط مثل الطول والمساحة ...‬ ‫ً‬ ‫الكميات المتجهة‬ ‫‪Vector quantities‬‬ ‫هى كميات تتحدد تماما بمعرفة مقدارها واتجاهها مثل السرعة والقوة ...‬ ‫ً‬ ‫فكر‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫إذا تحرك جسم من النقطة ‪ C‬مسافة 3 أمتار شرقًا ثم غير‬ ‫اتجاهه وسار 4 أمتار شمالاً وتوقف عند النقطة جـ.‬ ‫× ×كم المسافة التى قطعها الجسم أثناء كته؟‬ ‫حر‬ ‫جـ‬ ‫شرق‬ ‫جنوب‬ ‫ب‬ ‫3 متر‬ ‫× ×المسافة ‪ Distance‬هى كمية قياسية وهى ناتج ‪ C‬ب + ب جـ أو جـ ب + ب ‪.C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫× ×اإلزاحة ‪ Displacement‬وهى المسافة بين نقطتى البداية والنهاية فقط وفى اتجاه‬ ‫واحد من ‪ C‬إلى جـ، أى أن لوصف اإلزاحة يلزم تحديد مقدارها ‪ C‬جـ واتجاهها‬ ‫من ‪ C‬إلى جـ‬ ‫فاإلزاحة إذاً كمية متجهة وهى المسافة المقطوعة فى اتجاه معين.‬ ‫85‬ ‫شمال‬ ‫غرب‬ ‫4 متر‬ ‫برامج رسومية.‬ ‫‪Scalar quantities‬‬ ‫الحظ أن‬ ‫أدوات هندسية للرسم والقياس.‬ ‫جهاز عرض بيانات.‬ ‫الكميات القياسية‬ ‫× ×كم يكون بعد الجسم عن النقطة ‪ C‬وهى النقطة التى‬ ‫كة؟‬ ‫بدأ منها الحر‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫حاسب آىل.‬ ‫هناك كميات ال يحتاج وصفها إال إلى معرفة العدد الذى يعبر عن قيمتها مثل الطول‬ ‫والمساحة والحجم والكتلة والكثافة وعدد السكان ....... غير أنه توجد كميات‬ ‫أخرى ال يكفى لوصفها مجرد ذكر العدد الذى يدل على قيمتها، فمعرفة سرعة‬ ‫الرياح ليس كافيا كة الطيران بل يجب تحديد اتجاه الرياح أيضا. كة‬ ‫ً فحر‬ ‫ً لحر‬ ‫الرياح إذًا تقاس مقدارا واتجاها، والقوة المؤثرة على جسم يختلف تأثيرها عليه‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ليس بمقدارها فحسب، بل باتجاهها أيضا. وهكذا نجد أننا أمام نوعين من الكميات.‬ ‫ً‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 66.
    ‫ةهجوملا ةميقتسملا ةعطقلاو،ةهجتملا تايمكلاو ةيسايقلا تايمكلا‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ فى الشكل المقابل: احسب المسافة واإلزاحة الحادثة‬ ‫عندما يتحرك جسم من النقطة ‪ C‬إلى النقطة جـ ثم يعود‬ ‫إلى النقطة ب.‬ ‫جـ‬ ‫4 سم‬ ‫6 سم‬ ‫ب‬ ‫االتجاه‬ ‫و س يحدد اتجاه الشرق، و س/ يحدد اتجاه الغرب،‬ ‫ ‬ ‫ما االتجاهات التى يحددها كل من:‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫و ص يحدد اتجاه الشمال، و ص/ يحدد اتجاه الجنوب.‬ ‫06‪c‬‬ ‫03‪c‬‬ ‫54‪c‬‬ ‫س‬ ‫‪E‬‬ ‫و ‪ ، C‬و ب ، و جـ ، و ‪ E‬؟‬ ‫و‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫2- إذا كان ‪ C‬ب // جـ ‪ ، E‬هـ ∈ ‪ C‬ب فإن:‬ ‫ ‬ ‫× × هـ ‪ ، C‬ب هـ لهما نفس االتجاه ويحملهما مستقيم واحد.‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫52‪c‬‬ ‫ ‬ ‫‪Direction‬‬ ‫ص‬ ‫1- كل شعاع فى المستوى يعين اتجاها، ففى الشكل المقابل:‬ ‫ ‬ ‫ً‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫× × هـ ‪E ، C‬جـ لهما نفس االتجاه ويحملهما مستقيمان متوازيان.‬ ‫هـ‬ ‫× × هـ ‪ ، C‬هـ ب فى اتجاهين متضادين ويحملهما مستقيم واحد.‬ ‫‪E‬‬ ‫ب‬ ‫× × هـ ‪ ، C‬جـ ‪ E‬فى اتجاهين متضادين ويحملهما مستقيمان متوازيان.‬ ‫وبصفة عامة فإن:‬ ‫× ×الشعاعان المتحدان فى االتجاه أو المتضادان فى االتجاه يحملهما مستقيم واحد أو مستقيمان متوازيان،‬ ‫والعكس صحيح.‬ ‫× ×الشعاعان المختلفان فى االتجاه ال يمكن أن يحملهما مستقيم واحد أو مستقيمان متوازيان.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ فى الشكل المقابل: ‪ C‬ب ، جـ ‪ E‬متوازيان كل منهما ال يوازى س ص ،‬ ‫و‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫هـ ∈ ‪ C‬ب ، و ∈ جـ ‪ ، E‬ع ∈ س ص .‬ ‫بين ما إذا كان الشعاعان فى كل مما يأتى متحدين فى االتجاه أو‬ ‫متضادين فى االتجاه أو مختلفى االتجاه.‬ ‫‍‬ ‫ب ‪ C‬ب ، س ص ‬ ‫أ ‪ C‬ب ، ‪ E‬و ‬ ‫ج جـ ‪ ، E‬هـ ب‬ ‫د ع ص ، ع س ‬ ‫ه‍ جـ و ، ع س ‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫هـ‬ ‫س‬ ‫و‬ ‫ب‬ ‫ع‬ ‫‪E‬‬ ‫ص‬ ‫و عس، عص‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫95‬
  • 67.
    ‫ة‬ ‫القطعة المستقيمة الموجه‬ ‫النقطتان ‪ ،C‬ب هما طرفا ‪ C‬ب أو ب ‪ C‬إذا حددنا إحدى هاتين‬ ‫النقطتين لتكون نقطة بداية للقطعة، واألخرى لتكون نقطة نهاية‬ ‫لها، فإنه يترتب على ذلك أن يصبح للقطعة المستقيمة اتجاه هو‬ ‫اتجاه الشعاع الذى يحمل هذه القطعة وتكون نقطة بدايته هى‬ ‫نفس نقطة البداية للقطعة.‬ ‫فإذا حددنا النقطة ‪ C‬لتكون نقطة بداية ‪ C‬ب والنقطة ب هى‬ ‫نهايتها، فإننا نصف هذه القطعة بأنها قطعة مستقيمة موجهة‬ ‫من ‪ C‬إلى ب ويرمز لها بالرمز ‪ C‬ب .‬ ‫فكر‬ ‫و‬ ‫‪The Directed Line Segment‬‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫نقطة‬ ‫النهاية‬ ‫ب‬ ‫‪C‬ب‬ ‫نقطة‬ ‫‪ C‬البداية‬ ‫ناقش‬ ‫× ×هل ‪ C‬ب / ب ‪ C‬؟ هل ‪ C‬ب / ب ‪ C‬؟ فسر إجابتك.‬ ‫× ×هل ‪ C‬ب ، ب ‪ C‬مختلفان أم متضادان فى االتجاه ؟ ولماذا؟‬ ‫تعريف‬ ‫1‬ ‫القطعة المستقيمة الموجهة: هى قطعة مستقيمة لها نقطة بداية، و نقطة نهاية، و اتجاه.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ ‪ ،C‬ب، جـ ثالث نقط فى المستوى. اكتب كل القطع المستقيمة الموجهة التى تعينها هذه النقط.‬ ‫تعريف‬ ‫2‬ ‫معيار القطعة المستقيمة الموجهة: معيار ‪ C‬ب هو طول ‪ C‬ب ويرمز له بالرمز || ‪ C‬ب ||.‬ ‫الحظ أن || ‪ C‬ب || = || ب ‪ C = || C‬ب‬ ‫ ‬ ‫تعريف‬ ‫3‬ ‫06‬ ‫تكافؤ قطعتين مستقيمتين موجهتين: تتكافأ القطعتان المستقيمتان الموجهتان إذا كان‬ ‫لهما نفس المعيار ونفس االتجاه.‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 68.
    ‫ةهجوملا ةميقتسملا ةعطقلاو،ةهجتملا تايمكلاو ةيسايقلا تايمكلا‬ ‫هـ‬ ‫‪C‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ فى الشكل المقابل: ‪ C‬ب جـ ‪ E‬مستطيل تقاطع قطراه‬ ‫فى م . هـ ∈ ‪ E C‬فيكون:‬ ‫‪ C‬ب // جـ ‪ E‬ويساويه ، ب جـ // ‪ E C‬ويساويه،‬ ‫ ‬ ‫م ‪ = C‬م جـ = م ب = م ‪E‬‬ ‫ ‬ ‫‪E‬‬ ‫م‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫ ‬ ‫أ ‪ C || a‬ب || = || ‪ E‬جـ || واتجاه ‪ C‬ب هو نفس اتجاه ‪ E‬جـ ‬ ‫` ‪ C‬ب تكافئ ‪ E‬جـ‬ ‫ ‬ ‫ج‍ ‪ || a‬م ‪ || = || C‬م ب || واتجاه م ‪ C‬مختلف عن اتجاه م ب ‬ ‫` م ‪ C‬ال تكافئ م ب‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ب ‪ C || a‬م || = || م جـ || واتجاه ‪ C‬م هو نفس اتجاه م جـ ‬ ‫د ‪ C || a‬هـ || ! || ب جـ || واتجاه ‪ C‬هـ هو نفس اتجاه ب جـ ‬ ‫` ‪ C‬م تكافئ م جـ‬ ‫` ‪ C‬هـ ال تكافئ ب جـ‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ ‪ C‬ب جـ ‪ E‬متوازى أضالع تقاطع قطراه فى م.‬ ‫اً‬ ‫ أول: اذكر القطع المستقيمة الموجهة (إن وجدت) والتى تكافئ:‬ ‫أ ‪ C‬ب      ب جـ ‪      E‬ج‍ ب جـ      د‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ثانيا: بين لماذا تكون القطع المستقيمة الموجهة التالية غير متكافئة:‬ ‫ً‬ ‫ب ب ‪ E  ،  C‬جـ ‬ ‫أ ‪ C‬م  ،  ‪ C‬جـ ‬ ‫‪ C‬م      ه‍‬ ‫م‪E‬‬ ‫ج‍ ب م  ،  ‪ E‬م‬ ‫تفكير منطقى:‬ ‫1- إذا كان ‪ C‬ب تكافئ جـ ‪ E‬ماذا تستنتج؟‬ ‫ ‬ ‫2- ما عدد القطع المستقيمة الموجهة التى يمكن رسمها فى المستوى كل منها تكافئ ‪ C‬ب ؟‬ ‫و‬ ‫ ‬ ‫3- من نقطة جـ فى المستوى كم قطعة مستقيمة موجهة يمكن رسمها وتكافئ ‪ C‬ب ؟‬ ‫ ‬ ‫الحظ أنه:‬ ‫توجد قطعة مستقيمة موجهة وحيدة يمكن رسمها من النقطة جـ ( جـ ‪ E‬مثلاً) بحيث تكون جـ ‪ E‬تكافئ ‪ C‬ب .‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ القطع المستقيمة الموجهة فى المستوى اإلحداثى المتعامد:‬ ‫ ‬ ‫فى مستوى إحداثى متعامد عين النقط ‪ ،)1 ،2-(C‬ب(2، 3)، جـ(1، -3)، ‪ )4 ،1-(E‬ثم ارسم جـ هـ ، ‪ E‬ل‬ ‫كل منهما تكافئ ‪ C‬ب . أوجد إحداثيى كل من هـ، ل.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫16‬
  • 69.
    ‫ل‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫6‬ ‫5‬ ‫لرسم جـ هـتكافئ ‪ C‬ب يجب أن تكون جـ هـ ، ‪ C‬ب لهما‬ ‫نفس االتجاه، ونفس المعيار.‬ ‫ب (2، 3)‬ ‫أى أن: جـ هـ // ‪ C‬ب ، || جـ هـ || = || ‪ C‬ب || = طول ‪ C‬ب .‬ ‫ ‬ ‫ص‬ ‫4‬ ‫‪)4 ،1-( E‬‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫× ×نرسم جـ هـ // ‪ C‬ب (ميل ‪ C‬ب = ميل جـ هـ = 1 )‬ ‫2‬ ‫س‬ ‫هـ‬ ‫× ×نحدد طول جـ هـ = طول ‪ C‬ب باستخدام الفرجار،‬ ‫أو بحساب عدد المربعات األفقية والرأسية، فنجد أن‬ ‫هـ (5، -1). بالمثل نرسم ‪ E‬ل فنجد أن: ل (3، 6)‬ ‫(-2، 1)‬ ‫1‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫‪C‬‬ ‫و -1 -2 -3‬ ‫-1‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫-2‬ ‫(1، -3) جـ‬ ‫-3‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫الحظ أن: حيث إن االنتقال يحافظ على توازى المستقيمات، وأطوال القطع المستقيمة وباعتبار النقطة جـ‬ ‫صورة النقطة ‪ C‬باالنتقال (1 - (-2)، -3 - 1) = (3، -4)‬ ‫` لرسم جـ هـ تكافئ ‪ C‬ب نجد أن جـ هـ هى صورة ‪ C‬ب باالنتقال (3، -4)‬ ‫  ويكون إحداثى هـ = (2 + 3، 3 + (-4)) = (5، -1)‬ ‫باستخدام االنتقال: عين إحداثيى النقطة ‪ S‬التى تجعل و ‪ S‬تكافئ ‪ C‬ب‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ فى مستوى إحداثى متعامد عين النقط ‪ ،)3 ،2(C‬ب(-2، 6)، جـ (5، -3)، ‪ )5 ،2(E‬ثم ارسم جـ هـ ، ل ‪، E‬‬ ‫و ‪ S‬كل منها تكافئ ‪ C‬ب ، وأوجد إحداثيى كل من هـ ، ل ، ‪.S‬‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‪C‬‬ ‫فى الشكل المقابل: ‪ C‬ب جـ مثلث فيه ‪ C‬ب = ‪ C‬جـ‬ ‫س‬ ‫س، ص، ع منصفات ‪ C‬ب ، ب جـ ، جـ ‪ C‬على الترتيب‬ ‫أوالً: أى العبارات التالية صحيحة؟‬ ‫أ || س ص || = || ع ص ||. ‬ ‫ ‬ ‫ب‬ ‫ب س ص تكافئ ع ص . ‬ ‫ثانيا: اكتب القطع المستقيمة الموجهة (إن وجدت) والتى تكافئ كل من:‬ ‫اًّ‬ ‫ً‬ ‫ب ‪ C‬ع ‬ ‫أ ب س ‬ ‫ ‬ ‫ه‍ س ص ‬ ‫د جـ ص ‬ ‫ ‬ ‫26‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ع‬ ‫ص‬ ‫جـ‬ ‫ج‍ ب ص تكافئ ع س .‬ ‫ج‍ س ع‬ ‫و عص‬
  • 70.
    ‫المتجهات‬ ‫3 ‍‬ ‫‪Vectors‬‬ ‫مقدمة‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫يمكنتعيين موضع النقطة ‪ C‬فى المستوى‬ ‫اإلحداثى المتعامد بمعرفة الزوج‬ ‫المرتب (س، ص) المناظر لها، حيث‬ ‫إن لكل نقطة فى المستوى اإلحداثى‬ ‫موضع وحيد بالنسبة لنقطة األصل و.‬ ‫‪( C‬س، ص)‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫وضع متجه ىف الصورة القطبية.‬ ‫و‬ ‫ص/ س‬ ‫س‬ ‫متجه المو�ضع لنقطة معلومة بالن�سبة لنقطة الأ�صل:‬ ‫تعريف‬ ‫4‬ ‫ص‬ ‫إجياد متجه املوضع لنقطة معلومة‬ ‫بالنسبة لنقطة األصل ىف مستوى‬ ‫إحداثى متعامد.‬ ‫/‬ ‫‪Position Vector‬‬ ‫متجه الموضع لنقطة معلومة بالنسبة لنقطة األصل: هو القطعة‬ ‫المستقيمة الموجهة التى بدايتها نقطة األصل ونهايتها النقطة المعلومة.‬ ‫ص‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ فى الشكل المقابل: ‪،)3 ،5( C‬‬ ‫ب(4، -3)، جـ (-2، 4) فيكون:‬ ‫× × و ‪ C‬هو متجه الموضع لنقطة ‪C‬‬ ‫بالنسبة لنقطة األصل و، ويناظر‬ ‫الزوج المرتب (5، 3). ويكتب‬ ‫و ‪.)3 ،5( = C‬‬ ‫جـ (-2، 4)‬ ‫‪)3 ،5( C‬‬ ‫فإن: || ‪= || S‬‬ ‫مجع متجهني جرب ًيا‬ ‫رضب متجه ىف عدد حقيقى.‬ ‫التعبري عن متجه بداللة متجهى‬ ‫الوحدة االساسيني.‬ ‫رشط توازى متجهني.‬ ‫رشط تعامد متجهني.‬ ‫رضب متجه ىف عدد حقيقى‬ ‫والتمثيل اهلندسى له.‬ ‫س‬ ‫س‬ ‫و‬ ‫ب (4، -3)‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫معيار المتجه: هو طول القطعة المستقيمة الممثلة للمتجه.‬ ‫س2 + ص‬ ‫مفهوم تكافؤ متجهني وحل متارين‬ ‫عليه.‬ ‫/‬ ‫× × و ب متجه الموضع لنقطة ب بالنسبة لنقطة األصل، حيث و ب = (4، -3)‬ ‫كما أن و جـ = (-2، 4)‬ ‫مالحظة: نظرا ألن كل متجهات الموضع لها نفس نقطة البداية (و) فإنه يمكننا‬ ‫ً‬ ‫أن نرمز لمتجه الموضع و ‪ C‬بالرمز ‪ C‬ولمتجه الموضع و ب بالرمز ب وهكذا‬ ‫وبذلك يكون: ‪   ،  )3 ،5( = C‬ب = (4، -3)  ،   جـ = (-2، 4).‬ ‫فإذا كان: ‪( = S‬س، ص)‬ ‫إجياد معيار متجه والتعرف عىل‬ ‫املتجه الصفرى.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫متجه (كمية متجهة)‬ ‫متجه موضع‬ ‫زوج مرتب‬ ‫قيمة مطلقة‬ ‫معيار متجه‬ ‫‪Vector‬‬ ‫‪Position Vector‬‬ ‫‪Orderd Pair‬‬ ‫‪Absolute Value‬‬ ‫‪Norm‬‬ ‫متجهات متكافئة ‪Equivalent Vectors‬‬ ‫مجع املتجهات‬ ‫رضب‬ ‫صورة قطبية‬ ‫متجه وحدة‬ ‫مقدار‬ ‫‪Addition of vector‬‬ ‫‪Multiplication‬‬ ‫‪Polar Form‬‬ ‫‪Unit Vector‬‬ ‫‪Magnitude‬‬ ‫2‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫36‬
  • 71.
    ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ فى المستوى اإلحداثى المتعامد إذا كانت ‪ ،)1- ،2(C‬ب(5، 0)، جـ(-2، -3) فأوجد متجه الموضع لكل منها‬ ‫بالنسبة لنقطة األصل و، وارسم القطعة المستقيمة الموجهة الممثلة له فى المستوى اإلحداثى.‬ ‫فكر‬ ‫و‬ ‫‪C‬‬ ‫ناقش‬ ‫يبين الشكل المقابل قطعة مستقيمة موجهة و ‪ ، C‬معيارها 4سم واتجاهها‬ ‫يصنع زاوية قياسها 06‪ c‬مع االتجاه الموجب لمحور السينات.‬ ‫كيف يمكن إيجاد متجه الموضع لنقطة ‪ C‬بالنسبة لنقطة األصل و فى مستوى‬ ‫إحداثى متعامد؟‬ ‫ال�صورة القطبية لمتجه المو�ضع‬ ‫06‪c‬‬ ‫س‬ ‫و‬ ‫‪Polar form of position Vector‬‬ ‫فى الشكل المقابل المتجه و ‪ C‬يصنع زاوية قياسها ‪ i‬مع االتجاه الموجب‬ ‫لمحور السينات كما أن معياره يساوى || و ‪ .|| C‬فيمكن التعبير عنه كما يلي:‬ ‫‪C‬‬ ‫و ‪ ||( = C‬و ‪ )i ،|| C‬‬ ‫ويكون إحداثيا النقطة ‪ C‬فى المستوى اإلحداثى المتعامد هما:‬ ‫وتعرف بالصورة القطبية للمتجه.‬ ‫ص‬ ‫س = || و ‪ || C‬جتا‪ ، i‬ص = || و ‪ || C‬جا‪ i‬ويكون ظا ‪ = i‬س‬ ‫(س، ص)‬ ‫|| و ‪ || C‬جا ‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫س‬ ‫|| و ‪ || C‬جتا ‪i‬‬ ‫مـثـال‬ ‫و‬ ‫‌ فى مستوى إحداثى متعامد إذا كانت ‪ .) 3 6 ،6(C‬أوجد الصورة القطبية لمتجه موضع النقطة ‪ C‬بالنسبة‬ ‫لنقطة األصل و.‬ ‫الحل‬ ‫ ` || و ‪ = || C‬طول و ‪12 = 2) 3 6( + 2)6( = C‬‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أ ‬ ‫ب ‬ ‫ ‬ ‫المتجه الصفرى: يعرف و = (0، 0) بالمتجه الصفرى 0‬ ‫   ويكون || و || = || 0 || = 0، والمتجه الصفرى غير معين االتجاه.‬ ‫46‬ ‫س‬ ‫‪i‬‬ ‫و‬ ‫إذا كان و ‪ )8 ، 3 8( = C‬أوجد الصورة القطبية للمتجه و ‪. C‬‬ ‫إذا كان و جـ = (21 2 ، 3‪ ) r‬متجه موضع لنقطة جـ بالنسبة لنقطة األصل و، فأوجد احداثيي نقطة جـ‬ ‫4‬ ‫فكر: ما متجه الموضع لنقطة األصل و(0، 0) فى مستوى إحداثى متعامد؟‬ ‫ ‬ ‫| و‪C‬‬ ‫|‬ ‫ ‬ ‫` ‪ = i‬ظا-1 ‪ `  c60 = _ 3 i‬و ‪) r ،12( = C‬‬ ‫ ‬ ‫3‬ ‫ص‬ ‫  ، ظا ‪ = i‬س = 6 63 =‬ ‫3  ‪[ r ، 0] ∈ i‬‬ ‫ص‬ ‫||‬ ‫ ‬ ‫‪ a‬و ‪ ) 3 6 ،6( = C‬‬ ‫‪)8 ،6( C‬‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 72.
    ‫تاهجتملا‬ ‫المتجهات ‬ ‫المتكافئة‬ ‫‪Eequivalent Vectors‬‬ ‫لنفرض أنجسما تحرك من ‪ C‬حتى وصل إلى ب بعد أن قطع‬ ‫ً‬ ‫4 وحدات إلى اليمين، 3 وحدات إلى أعلى. فإن ‪ C‬ب تمثل‬ ‫متجه إزاحة الجسم من ‪ C‬إلى ب.‬ ‫يمكننا تمثيل ‪ C‬ب فى المستوى اإلحداثى المتعامد بعدد‬ ‫ٍ‬ ‫غير منته من القطع المستقيمة الموجهة المتوازية والتى‬ ‫يكافئ كل منها ‪ C‬ب ، ويكون إحداها متجه الموضع و ن .‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫أى إن:    ‪ C‬ب   =   ‪ E‬هـ    = ....... = و ن = (4، 3)‬ ‫ص‬ ‫ب‬ ‫8‬ ‫هـ‬ ‫7‬ ‫6‬ ‫5‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫4‬ ‫ن (4، 3)‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫س‬ ‫7 6‬ ‫5‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫س‬ ‫و -1 -2‬ ‫/‬ ‫ويكون: || ‪ C‬ب || = || ‪ E‬هـ || = ...... = || و ن || = (4)2 + (3)2 = 5 وحدات طول.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ فى الشكل المقابل:‬ ‫أ عين متجه الموضع للنقطة جـ بالنسبة إلى نقطة‬ ‫ ‬ ‫األصل و، ثم أوجد معياره.‬ ‫ ‬ ‫‪E‬‬ ‫ب حدد جميع عناصر مجموعة المتجهات التى يكافئ‬ ‫كل منها و جـ .‬ ‫ن‬ ‫م‬ ‫ع‬ ‫يكون:‬ ‫ق‬ ‫ب‬ ‫ك‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫المتجهات: عناصر المجموعة ح2 مع عمليتى الجمع والضرب المعرفتين عليها تسمى‬ ‫ّ‬ ‫متجهات.‬ ‫جمع مجهين جبريًا‬ ‫لكل ‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫يرمز للمتجهات بأحد الرموز مـ  ،  ن  ،  ‪ ........... S  ،  X‬مثل:‬ ‫مـ = (2، 3) ،  ن = (-7، 2) ،  ‪ ........... )5 ،0( = X‬وهكذا‬ ‫‪C‬‬ ‫هـ‬ ‫و‬ ‫‪E‬‬ ‫س‬ ‫لعلك الحظت ارتباط المتجهات بعناصر مجموعة األزواج‬ ‫المرتبة (س، ص) حيث (س، ص) ∈ ح2 وعلى ذلك يمكن‬ ‫تعريف المتجهات كما يلى:‬ ‫تعريف‬ ‫5‬ ‫س‬ ‫ل‬ ‫  ‪Adding two Vectors Algebraically‬‬ ‫= (س1، ص1) ∈ ح2 ،  ب = (س2، ص2) ∈ ح‬ ‫‪C‬‬ ‫+ ب = (س1 + س2، ص1 + ص2) ∈ ح‬ ‫2‬ ‫م‬ ‫أض‬ ‫علو‬ ‫ف إل‬ ‫ى‬ ‫ما‬ ‫تك‬ ‫نرمز لحاصل الضرب‬ ‫الديكارتى ح * ح‬ ‫2‬ ‫بالرمز ح‬ ‫وتقرأ: ح اثنان‬ ‫2‬ ‫اً‬ ‫فمثل: (3، -2) + (5، 7) = (3 + 5، -2 + 7) = (8، 5)‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫56‬
  • 73.
    ‫ولعملية الجمع الخوا�صالتالية:‬ ‫لكل‬ ‫خا�صية االنغالق‬ ‫لكل‬ ‫خا�صية الإبدال‬ ‫خا�صية التجميع �أو الدمج‬ ‫خا�صية وجود العن�صر المحايد‬ ‫خا�صية توافر المعكو�سات‬ ‫، ب ∈ ح2  يكون  ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫، ب ∈ ح2  يكون  ‬ ‫‪C‬‬ ‫∈ ح2 يوجد و = (0، 0) ∈ ح2   حيث:‬ ‫+ب=‬ ‫‪C‬‬ ‫ب + ‪C‬‬ ‫لكل ‪ ، C‬ب ، جـ ∈ ح2 يكون   ‪ ( + C‬ب + جـ ) = ( ‪ + C‬ب ) + جـ = ‪ + C‬ب + جـ‬ ‫لكل‬ ‫لكل ‪( C‬س، ص) ∈ ح2 يوجد‬ ‫حيث: ‪ = ) C -( + C‬و = (- ‪+ ) C‬‬ ‫- ‪C‬‬ ‫ى‬ ‫ضرب متجه فى عدد حقيق ‬ ‫لكل ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫+ و =‬ ‫= (-س، -ص) ∈ ح‬ ‫2‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫و + ‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫لكل ‪ ، C‬ب ، جـ ∈ ح2 إذا كان ‪ + C‬ب = ‪ + C‬جـ  فإن  ب = جـ‬ ‫خا�صية الحذف‬ ‫‪C‬‬ ‫+ ب ∈ح‬ ‫2‬ ‫‪Multiplying a vectore by a real number‬‬ ‫= (س، ص) ∈ ح2 ، ولكل ك ∈ ح : ‬ ‫ك‬ ‫‪C‬‬ ‫= ك (س، ص) = (ك س، ك ص) ∈ ح‬ ‫2‬ ‫اً‬ ‫فمثل: 3(2، -5) = (6، -51) ،  1 (4، 9) = (2، 9 ) ،   4(0 ، 0) = (0 ، 0)   ، -2(3، -4) = (-6، 8)‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ولعملية ال�ضرب الخوا�ص التالية:‬ ‫اً‬ ‫أول: لكل ‪ ، C‬ب ∈ ح2، لكل ك ∈ ح     يكون: ك( ‪ + C‬ب ) = ك ‪ + C‬ك ب‬ ‫خا�صية التوزيع‬ ‫خا�صية التجميع �أو الدمج‬ ‫خا�صية الحذف‬ ‫ثانيا: لكل‬ ‫ً‬ ‫لكل‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫∈ ح2     ، لكل ك1، ك2 ∈ ح  يكون: (ك1 + ك2)‬ ‫‪C‬‬ ‫=ك‬ ‫1‬ ‫‪C‬‬ ‫∈ ح2     ،  لكل ك1، ك2 ∈ ح  يكون: (ك1 ك2) ‪ = C‬ك1(ك‬ ‫لكل ‪ ، C‬ب ∈ ح2   ،  لكل ك ∈ ح‬ ‫إذا كان ك ‪ = C‬ك ب   فإن: ‪ = C‬ب والعكس صحيح‬ ‫٭‬ ‫+ك‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫الحظ أن :إذا كان مـ = (س1 ، ص1) يكافئ ن = (س2، ص2)‬ ‫  فإن: س1 = س2، ص1 = ص2 (خاصية تساوى األزواج المرتبة).‬ ‫  ونقول عندئذ أن المتجهين مـ ، ن متساويان.‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ إذا كان ‪ ، )2- ،6( = C‬ب = (4، 3)‬ ‫ ‬ ‫أ أوجد 2‪3 - C‬ب‬ ‫الحل‬ ‫أ 2‪3 - C‬ب = 2 (6، -2) - 3(4، 3)‬ ‫ ‬ ‫       = (21، -4) + (-21، -9) = (0، -31)‬ ‫ب عبر عن جـ = (11، 5) بداللة ‪ ، C‬ب‬ ‫ب   بفرض أن جـ = ك1 ‪ + C‬ك2 ب  حيث ك1، ك2 ∈ ح‬ ‫ ‬ ‫        = ك1 (6، -2) + ك2(4، 3)‬ ‫        = (6ك1 - 2ك1) + (4ك2 + 3ك2) = (6ك1 + 4ك2، -2ك1 + 3ك2)‬ ‫66‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫‪C‬‬ ‫)‬ ‫‪C‬‬
  • 74.
    ‫تاهجتملا‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ومن خاصية تساوىزوجين مرتبين ينتج أن:‬ ‫6ك1 + 4ك2 = 11   (1)  ،   -2ك1 + 3ك2 = 5   (2)‬ ‫بحل المعادلتين (1)، (2) نجد أن: ك1 = 1  ، ك2 = 2 ` جـ = 1 ‪ 2 + C‬ب‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان ‪ ،)6- ،2( = C‬ب = (-2، 5)، جـ = (-6، 41)‬ ‫ ‬ ‫أ أوجد: 2‪-  ،  C‬ب  ،  1 جـ  ،  ‪ + C‬ب - جـ‬ ‫2‬ ‫ب عبر عن جـ بداللة ‪ ، C‬ب .‬ ‫ ‬ ‫متجة الوحدة: هو متجه معياره الوحدة.‬ ‫‪Unit Vector‬‬ ‫التعبير عن المتجه بداللة متجهى الوحدة الأ�سا�سيين.‬ ‫تعريف‬ ‫6‬ ‫× ×متجه الوحدة األساسى ‪ : M‬هو القطعة المستقيمة‬ ‫الموجهة التى مبدؤها نقطة األصل ومعيارها الوحدة‬ ‫واتجاهها هو االتجاه الموجب لمحور السينات.‬ ‫× ×متجه الوحدة األساسى ‪ : N‬هو القطعة المستقيمة‬ ‫الموجهة التى مبدؤها نقطة األصل ومعيارها الوحدة‬ ‫واتجاهها هو االتجاه الموجب لمحور الصادات.‬ ‫ إذا كان مـ = (س، ص)‬ ‫ `      مـ = (س، 0)  + (0، ص) ‬ ‫        = س (1، 0) + ص (0، 1) ‬ ‫ ‬ ‫      = س ‪ + M‬ص ‪N‬‬ ‫2‬ ‫ويكون: || مـ || = س2 + ص‬ ‫ ‬ ‫ص‬ ‫2‬ ‫س‬ ‫3‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬ ‫(1، 0)‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫= (1، 0)‬ ‫ص‬ ‫2‬ ‫س‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫‪N‬‬ ‫(0، 1)‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪)1 ،0( = N‬‬ ‫من تعريف الجمع.‬ ‫من تعريف الضرب.‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ عبر عن كل من المتجهات التالية بداللة متجهى الوحدة األساسيين:‬ ‫ج‍ ل = (-5، 0) ‬ ‫ب ن = (4، -3) ‬ ‫أ مـ = (2، 7) ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫أ مـ = 2 ‪ N 7 + M‬‬ ‫ج‍ ل = -5 ‪ M‬‬ ‫ب ن = 4 ‪3 - M‬‬ ‫د ع = -3 ‪N‬‬ ‫2‬ ‫د ع = (0، - 3 )‬ ‫2‬ ‫‪N‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫76‬
  • 75.
    ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ عبر عن كل من المتجهات التالية بداللة متجهى الوحدة األساسيين ثم أوجد معياره:‬ ‫د ع = (-7، 0)‬ ‫ج‍ ل = (-3، -6) ‬ ‫ب ن = (5، -21) ‬ ‫أ مـ = (-3، 4) ‬ ‫ ‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد بداللة متجهى الوحدة األساسيين المتجه الذى يعبر عن كل من:‬ ‫أ السرعة المنتظمة لسيارة تقطع 09 كم كل ساعة فى اتجاه الشرق.‬ ‫ ‬ ‫ب قوة مقدارها 05 نيوتن تؤثر فى نقطة مادية فى اتجاه 03‪ c‬شمال الشرق.‬ ‫ ‬ ‫ص‬ ‫الحل‬ ‫أ بفرض أن متجه الموضع لسرعة السيارة و ب = (س، ص).‬ ‫ ‬ ‫ ` س = 09 ، ص = 0‬ ‫ ‬ ‫  ب = 09 ‪M‬‬ ‫س‬ ‫ب بفرض أن متجه الموضع للقوة المعطاة و جـ = (س، ص)‬ ‫ ‬ ‫ ` س = 05 جتا03‪، 3 25 = c‬‬ ‫،  ص = 05 جا 03‪25 = c‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫جـ = 52 3 ‪N 25 + M‬‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫س‬ ‫09 كم/ س‬ ‫و‬ ‫0‬ ‫ص‬ ‫5 ني‬ ‫وتن‬ ‫03‪c‬‬ ‫‪E‬‬ ‫و‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد بداللة متجهى الوحدة األساسيين المتجه الذى يعبر عن كل من:‬ ‫أ ازاحة جسم مسافة 06سم فى اتجاه الجنوب.‬ ‫ ‬ ‫ب قوة مقدارها 03ث كجم تؤثر على جسيم فى اتجاه 06‪ c‬شمال الغرب.‬ ‫ ‬ ‫توازى متجهين وتعامدهم ا‬ ‫‪Perpendicular and Parallel Vectors‬‬ ‫لكل مـ ، ن متجهين غير صفريين‬ ‫حيث مـ = (س1، ص1) ، ن = (س2 ، ص2)‬ ‫ن‬ ‫‪E‬‬ ‫1- إذا كان مـ // ن‬ ‫ص1 ص‬ ‫2‬ ‫ فإن: ظا ‪ = 1i‬ظا ‪ ، 2i‬س1 = س‬ ‫2‬ ‫ ويكون س1 ص2 - س2 ص1 = صفر والعكس صحيح‬ ‫86‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ب‬ ‫س‬ ‫‪i‬‬ ‫1‬ ‫مـ // ن‬ ‫ص‬ ‫جـ‬ ‫مـ‬ ‫‪i‬‬ ‫‪C‬‬ ‫2‬ ‫و‬ ‫/‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫/‬
  • 76.
    ‫تاهجتملا‬ ‫‪E‬‬ ‫2- إذا كانمـ = ن‬ ‫جـ‬ ‫ فإن: ظا ‪ * 1i‬ظا ‪1- = 2i‬‬ ‫ ‬ ‫ص‬ ‫ص‬ ‫ص‬ ‫س 1 * س 2 = -1‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫ ويكون س1 س2 + ص1 ص2 = 0 والعكس صحيح‬ ‫س‬ ‫‪i‬‬ ‫2‬ ‫ب‬ ‫ن‬ ‫‪i‬‬ ‫مـ‬ ‫1‬ ‫مـ = ن‬ ‫‪C‬‬ ‫و‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫الحظ أن: إذا كان ‪ ، )4 ،2( = C‬ب = (-6، 3) ، جـ = (4، 8)‬ ‫   فإن: ‪ = C‬ب  ألن: 2 * -6 + 4 * 3 = -21 + 21 = صفرا.‬ ‫ً‬ ‫    ‪ // C‬جـ  ألن: 2 * 8 - 4 * 4 = 61  - 61 = صفرا.‬ ‫ً‬ ‫    ب = جـ  ألن:  - 6 * 4 + 3 * 8 = -42  + 42 = صفرا.‬ ‫ً‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ إذا كان ‪ ، )5 ،2( = C‬ب = (ك، -4) فأوجد قيمة ك عندما:‬ ‫ب ‪ = C‬ب .‬ ‫أ ‬ ‫‪ // C‬ب .‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫أ عندما ‪ // C‬ب فإن شرط التوازى هو: 2 * -4 - 5 * ك = صفرا‬ ‫ ‬ ‫ً‬ ‫ويكون: ك = - 8‬ ‫ ` -8 - 5ك = ‬ ‫صفر‬ ‫5‬ ‫ب ‪ = C‬ب فإن شرط التعامد هو: 2 * ك + 5 * -4 = صفرا‬ ‫ ‬ ‫ً‬ ‫ ` 2ك - 02 = ويكون: ك = 01‬ ‫صفرا‬ ‫ً‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان ‪ ،)6 ،4-( = C‬ب = (6، -9)، جـ = (3، 2) أثبت أن: ‪ // C‬ب ، ب = جـ ، جـ = ‪C‬‬ ‫الحظ أن إذا كان مـ = (س، ص)، ك ∈ح‬ ‫  فإن: ك مـ = ك (س، ص) = (ك س، ك ص)‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫وإذا كان مـ متجه غير صفرى، ك !0 فإن: مـ // ك مـ‬ ‫ ‬ ‫حيث اتجاه ك مـ هو نفس اتجاه مـ لكل ك 0‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ويكون: ||ك مـ || =|ك| 0 || مـ ||‬ ‫اتجاه ك مـ هو عكس اتجاه مـ لكل ك 0‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫96‬
  • 77.
    ‫فمثالً:‬ ‫إذا كان مـ= (2، 1) فإن: ‪ 2 = C‬مـ = 2(2، 1) = (4، 2)‬ ‫    ب = 3 مـ = 3(2، 1) = (6، 3)‬ ‫ ‬ ‫    جـ = - مـ  = -(2، 1) = (-2، -1)‬ ‫ ‬ ‫    ‪ 3 - = E‬مـ = - 3 (2، 1) = (-3، - 3 )‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫والشكل المقابل يوضح ذلك.‬ ‫ص‬ ‫‪E‬‬ ‫=-‬ ‫3‬ ‫2 مـ‬ ‫‪C‬‬ ‫س‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫=‬ ‫3 مـ‬ ‫مـ‬ ‫=‬ ‫2 مـ‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫و‬ ‫=‬ ‫- مـ‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ الشبكة المقابلة لمتوازيات أضالع متطابقة.‬ ‫ أوالً: عبر عن كل من القطع المستقيمة الموجهة التالية بداللة‬ ‫ ‬ ‫المتجهين مـ ، ن‬ ‫ب‬ ‫ جـ ب ‬ ‫أ ‪ C‬ب ‬ ‫ ‬ ‫ج‍ جـ هـ‬ ‫ه‍ ب ‪ C‬‬ ‫د ب جـ ‬ ‫ ‬ ‫و ط هـ‬ ‫ح ‪ E‬هـ ‬ ‫ز ‪ E‬ل ‬ ‫ ‬ ‫ط ل‪C‬‬ ‫ل‬ ‫‪E‬‬ ‫جـ‬ ‫هـ‬ ‫ب‬ ‫ن‬ ‫مـ‬ ‫ط‬ ‫‪C‬‬ ‫ثانيا: استنتج أن ‪ C‬ب = - ب ‪ C‬وفسر ذلك هندسيا.‬ ‫ً‬ ‫ًّ‬ ‫ ‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫يبين الشكل التالى تمثيلاً لبعض المتجهات فى المستوى اإلحداثى المتعامد.‬ ‫اكتب كل متجه بداللة متجهى الوحدة األساسيين.‬ ‫ص‬ ‫ل‬ ‫8‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫‪E‬‬ ‫ك‬ ‫س‬ ‫07‬ ‫02‬ ‫61‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫هـ‬ ‫‪S‬‬ ‫‪C‬‬ ‫21‬ ‫8‬ ‫4‬ ‫6‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫‪N‬‬ ‫و‬ ‫‪ M‬ص‬ ‫/‬ ‫س‬ ‫/‬
  • 78.
    ‫العمليات على المتجهات‬ ‫3‍‬ ‫‪Operations on Vectors‬‬ ‫ً‬ ‫ًا‬ ‫أوال: جمع المتجهات هندسي‬ ‫فكر‬ ‫و‬ ‫‪Adding vectors geomitricaly‬‬ ‫ناقش‬ ‫تمثل المتجه ن حيث:‬ ‫مـ = (4، -2) ، ن = (1، 5)‬ ‫اكتب ما يساويه مـ + ن .‬ ‫اكتب المتجه الذى تمثله ‪ C‬جـ .‬ ‫ماذا تالحظ؟ ماذا تستنتج؟‬ ‫قاعدة المثلث لجمع متجهين‬ ‫قاعدة املثلث جلمع متجهني .‬ ‫جـ‬ ‫قاعدة متوازى األضالع جلمع‬ ‫متجهني.‬ ‫ن‬ ‫س‬ ‫طرح املتجهات والتمثيل البيانى‬ ‫هلا.‬ ‫‪C‬‬ ‫مـ‬ ‫ب‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫و‬ ‫/‬ ‫ص‬ ‫‪Triangle Rule of Adding two vectors‬‬ ‫إذا كان ‪ C‬ب تمثل المتجه مـ ، ب جـ تمثل المتجه ن‬ ‫حيث النقطة ب نقطة النهاية للمتجه مـ و هى‬ ‫نفسها نقطة البداية للمتجه ن .‬ ‫فإن:المتجه مـ + ن تمثله القطعة المستقيمة‬ ‫الموجهة ‪ C‬جـ‬ ‫أى إن: مـ + ن = ‪ C‬جـ    أى‬ ‫وتعرف هذه العالقة بعالقة شال‬ ‫مجع املتجهات والتمثيل اهلندسى‬ ‫هلا.‬ ‫ص‬ ‫إذا كانت ‪ C‬ب تمثل المتجه مـ ، ب جـ‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫جـ‬ ‫ن‬ ‫مـ‬ ‫ب‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫مجع املتجهات‬ ‫+ ن‬ ‫مـ‬ ‫التعبري عن قطعة مستقيمة موجهة‬ ‫بداللة متجهى املوضع لطرفيها.‬ ‫‪Addition of vectors‬‬ ‫طرح املتجهات‬ ‫‪Subtraction of vectors‬‬ ‫‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ C‬ب + ب جـ = ‪ C‬جـ‬ ‫ قاعدة املثلث‬ ‫‬ ‫‪Triangle Rule‬‬ ‫قاعدة متوازى األضالع‬ ‫‪Parallelogram Rule‬‬ ‫‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ تقطع سفينة 003 متر شرقًا، ثم 004 متر شماال للخروج من الميناء.‬ ‫ً‬ ‫ احسب إزاحة السفينة حتى خروجها من الميناء.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫1- نأخذ مقياس رسم مناسب: باعتبار كل 1 سم تمثل 001 متر.‬ ‫  ` 3سم تمثل 003 متر، 4 سم تمثل 004 متر.‬ ‫2-ارسم مسار الرحلة بمقياس الرسم مستخدما أدواتك الهندسية، فيكون‬ ‫ً‬ ‫متجه اإلزاحة ‪ C‬جـ = ‪ C‬ب + ب جـ .‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫أدوات رسم هندسى.‬ ‫ورق مربعات للرسم.‬ ‫17‬
  • 79.
    ‫ 3- قسطول ‪ C‬جـ بالمسطرة ( ‪ C‬جـ = 5سم)‬ ‫ 4- معيار اإلزاحة = الطول فى الرسم * مقياس الرسم‬ ‫     = 5 * 001 = 005 متر.‬ ‫ 5- اتجاه اإلزاحة : ‪ = i‬طا-1 ( 4 ) - 35‪ c‬ألقرب درجة.‬ ‫3‬ ‫ ` السفينة تبعد عن نقطة إبحارها مسافة 005 متر فى اتجاه 35‪ c‬شمال الشرق.‬ ‫النهاية‬ ‫جـ‬ ‫ا‬ ‫حة‬ ‫إلزا‬ ‫البداية‬ ‫الشرق‬ ‫‪i‬‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ كت شاحنة من الموقع ‪ C‬مسافة 08 كم فى اتجاه الغرب ثم مسافة 021 كم فى اتجاه 06‪ c‬شمال الغرب.‬ ‫تحر‬ ‫إلى أن وصلت إلى الموقع ب. أوجد مقدار واتجاه اإلزاحة ‪ C‬ب .‬ ‫مالحظات هامة:‬ ‫1- أى متجهين مـ ، ن يمكن جمعهما (إيجاد محصلتهما) بإنشاء‬ ‫متجهين متتالين ومكافئين للمتجهين مـ ، ن كما فى الشكل‬ ‫المقابل.‬ ‫ن‬ ‫مـ‬ ‫ن‬ ‫مـ + ن‬ ‫2- قاعدة شال لجمع متجهين صحيحة إذا كانت النقط ‪ ،C‬ب، جـ‬ ‫تنتمى إلى مستقيم واحد.‬ ‫ففى األشكال الثالثة المقابلة يكون ‪ C‬ب + ب جـ = ‪ C‬جـ‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫3- ‪ C‬ب + ب ‪( 0 = C C = C‬العنصر المحايد لعملية جمع المتجهات)‬ ‫` ب ‪ C‬هو المعكوس الجمعى للمتجه ‪ C‬ب‬ ‫أى إن ب ‪ C - = C‬ب‬ ‫فكر: استنتج صحة العبارات التالية:‬ ‫1- فى 9 ‪ C‬ب جـ : ‪ C‬ب + ب جـ + جـ ‪0 = C‬‬ ‫مـ‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫2- فى الشكل ‪ C‬ب جـ ‪ E‬هـ : ‪ C‬ب + ب جـ + جـ ‪ E + E‬هـ = ‪ C‬هـ‬ ‫هـ‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫27‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫‪C‬‬
  • 80.
    ‫تاهجتملا ىلع تايلمعلا‬ ‫قاعدةمتوازى الأ�ضالع لجمع متجهين‬ ‫‪Parallelorgram Rule of Adding two vectors‬‬ ‫جـ‬ ‫إذا كان ‪ C‬ب تمثل المتجه مـ ، ‪ E C‬تمثل المتجه ن ، أى إن للمتجهات‬ ‫‪E‬‬ ‫مـ ، ن نفس نقطة البداية، فإليجاد مـ + ن نكمل متوازى األضالع‬ ‫مـ‬ ‫‪ C‬ب جـ ‪ E‬ونرسم قطره ‪ C‬جـ فتكون ‪ E C‬تكافئ ب جـ . (لماذا؟)‬ ‫` مـ + ن = ‪ C‬ب + ‪E C‬‬ ‫  = ‪ C‬ب + ب جـ = ‪ C‬جـ‬ ‫ ‬ ‫أى أن:‬ ‫ب‬ ‫‪ C‬ب + ‪ C = E C‬جـ‬ ‫+ ن‬ ‫ن‬ ‫‪C‬‬ ‫مـ‬ ‫وتعرف هذه القاعدة بقاعدة متوازى األضالع لجمع متجهين.‬ ‫فكر استنتج صحة العبارات التالية:‬ ‫1- مـ +   ن =   ن +   مـ‬ ‫2- فى9 ‪ C‬ب ‪ E‬إذا كانت هـ منتصف ب ‪E‬‬ ‫ ‬ ‫جـ‬ ‫‪E‬‬ ‫هـ‬ ‫فإن: ‪ C‬ب + ‪ C 2 = E C‬هـ‬ ‫ب‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ فى أى شكل رباعى ‪ C‬ب جـ ‪ E‬أثبت أن: ‪ C‬ب + ‪E‬جـ = ‪ C‬جـ + ‪ E‬ب‬ ‫الحل‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫ فى 9 ‪ C‬ب جـ : ‪ C‬ب = ‪ C‬جـ + جـ ب ‬ ‫(2)‬ ‫ فى 9 ‪ E‬جـ ب :   ‪E‬جـ = ‪ E‬ب + ب جـ ‬ ‫ من (1) ، (2) ينتج أن:‬ ‫ب‬ ‫ ‬ ‫‪ C‬ب + ‪E‬جـ = ‪ C‬جـ + جـ ب + ‪ E‬ب   + ب جـ‬ ‫    = ‪ C‬جـ + ‪ E‬ب + جـ ب + ب جـ (خاصية اإلبدال).‬ ‫ ‬ ‫    = ( ‪ C‬جـ + ‪ E‬ب ) + ( جـ ب + ب جـ ) (خاصية الدمج).‬ ‫ ‬ ‫(المعكوس الجمعى).‬ ‫     = ‪ C‬جـ + ‪ E‬ب + 0 ‬ ‫(خاصية المحايد الجمعى).‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫    = ‪ C‬جـ + ‪ E‬ب‬ ‫(1)‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ ‪ C‬ب جـ ‪ E‬شكل رباعى فيه ب جـ = 3 ‪ E C‬أثبت أن :‬ ‫ب ‪ C‬جـ + ب‪. E C 4 = E‬‬ ‫أ ‪ C‬ب ‬ ‫جـ ‪ E‬شبه منحرف.‬ ‫ ‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ ‪ C‬ب جـ د متوازى أضالع تقاطع قطراه فى م. ن نقطة فى نفس المستوى. أثبت أن:‬ ‫أ ‪ C‬ب + ‪ 2+ E C‬جـ م = 0 ‬ ‫ ‬ ‫ب ن‪ + C‬ن جـ = ن ب + ن‪E‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫37‬
  • 81.
    ‫ن‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫أ ‪C a‬ب + ‪ C = E C‬جـ (1)   قاعدة متوازى األضالع.‬ ‫2 جـ م ‬ ‫= جـ ‪C‬‬ ‫بجمع (1) ، (2) ينتج أن‬ ‫‪ C‬ب + ‪ 2 + E C‬جـ م =‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ C a‬جـ + جـ ‪0 = C‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫(2)  (جـ م = م ‪.)C‬‬ ‫‪ C‬جـ + جـ ‪C‬‬ ‫ب ارسم ن م‬ ‫‪E‬‬ ‫م‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫` ‪ C‬ب + ‪ 2 + E C‬جـ م = 0‬ ‫` ن ‪ + C‬ن جـ = 2 ن م (3).‬ ‫` ن ب + ن ‪ 2 = E‬ن م (4).‬ ‫فى 9 ن ‪ C‬جـ: ‪ a‬م منتصف ‪ C‬جـ ‬ ‫فى 9 ن ب ‪ a :E‬م منتصف ب ‪ E‬‬ ‫من (3) ، (4) ينتج أن: ن ‪ + C‬ن جـ = ن ب + ن ‪. E‬‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ ‪ C‬ب جـ ‪ E‬متوازى أضالع فيه هـ منتصف ب جـ أثبت أن: ‪ C‬ب + ‪E + E C‬جـ = 2 ‪ C‬هـ‬ ‫ًا‬ ‫ثانيًا: طرح المتجهات هندسي‬ ‫أى إن‬ ‫‪ C‬ب - ‪ C‬جـ = جـ ب‬ ‫جـ‬ ‫  (تعريف الطرح).‬ ‫  (المعكوس الجمعى).‬ ‫ن‬ ‫- ن‬ ‫  (اإلبدال).‬ ‫مـ‬ ‫فى 9 ‪ C‬ب جـ بالشكل المقابل:‬ ‫‪ C‬ب - ‪ C‬جـ = ‪ C‬ب + (- ‪ C‬جـ ) ‬ ‫   = ‪ C‬ب + ‬ ‫جـ‪C‬‬ ‫   = جـ‪ C + C‬‬ ‫ب‬ ‫   = جـ ب ‬ ‫‪Subtracting Vectors geometricaly‬‬ ‫  (قاعدة المثلث).‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫مـ‬ ‫فإذا كانت ‪ C‬ب تمثل المتجه مـ ، ‪ C‬جـ تمثل المتجه ن‬ ‫فإن: جـ ب تمثل مـ - ن كما أن ب جـ تمثل ن - مـ‬ ‫التعبير عن القطعة الم�ستقيمة الموجهة‬ ‫‪C‬ب‬ ‫بداللة متجهى المو�ضع لطرفيها:‬ ‫إذا كانت ‪( C‬س1، ص1) ، ب (س2، ص2).‬ ‫(من قاعدة الطرح).‬ ‫فإن: ‪ C‬ب = و ب - و ‪ C‬‬ ‫حيث و ب ، و ‪ C‬متجهى موضع للنقطتين ب ، ‪ C‬على الترتيب.‬ ‫`‬ ‫‪C‬ب =‬ ‫‪C‬‬ ‫س‬ ‫ب - ‪C‬‬ ‫ً‬ ‫فمثال: إذا كانت ‪ ، )1- ،7( C‬ب (2، 5) فإن: ‪ C‬ب =‬ ‫47‬ ‫ب‬ ‫ص‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫س‬ ‫و‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫ب - ‪C‬‬ ‫= (2، 5) - (7، -1) = (-5، 6)‬ ‫/‬
  • 82.
    ‫تاهجتملا ىلع تايلمعلا‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ ‪ C‬ب جـ ‪ E‬متوازى أضالع حيث ‪ ، )1- ،2 (C‬ب (7، 1) ، جـ (4، 4) أوجد إحداثيى نقطة ‪.E‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫‪ // E C a‬ب جـ ، ‪ = E C‬ب جـ ` ‪ = E C‬ب جـ‬ ‫د‬ ‫ويكون ‪ = C - E‬جـ - ب ` ‪ + C = E‬جـ - ب‬ ‫أى إن ‪ ` )2 ،1-( = )1 ،7 ( - )4 ،4( + )1- ،2( = E‬إحداثيا نقطة ‪ E‬هما (-1، 2)‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ ‪ C‬ب جـ ‪ E‬شكل رباعى فيه ‪ ،)2- ،1-(C‬ب (9، 0)، جـ(8، 4)، ‪.)2 ،0( E‬‬ ‫ب ‪ C‬ب = ب جـ .‬ ‫ أثبت أن:  أ ‪ C‬ب = ‪ E‬جـ . ‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ إذا كان: 3 ن - 2 ‪ C‬ب = 3 جـ ب + 5 ب ‪ C‬أثبت أن ن = جـ ‪. C‬‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫3 ن = 3 جـ ب + 5 ب ‪ C 2 + C‬ب ‬ ‫3 ن = 3 جـ ب + 5 ب ‪ 2 - C‬ب‪ C‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫3 ن = 3 جـ ب + 3 ب ‪C‬‬ ‫ ‬ ‫3 ن = 3 ( جـ ب + ب ‪ 3 = ) C‬جـ ‪ C‬‬ ‫(إضافة 2 ‪ C‬ب للطرفين).‬ ‫(المعكوس الجمعى للمتجهات).‬ ‫(عملية الطرح).‬ ‫` ن = جـ ‪. C‬‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان: 2 مـ + 3 ‪ C‬ب = 2 جـ ب - ب ‪ C‬أثبت أن مـ = جـ ‪. C‬‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‪E‬‬ ‫فى الشكل المقابل: ‪ C‬ب جـ ‪ E‬سداسى منتظم، أثبت أن:‬ ‫‪ C‬ب + ‪ C‬جـ + ‪ C‬هـ + ‪ C‬و = 2 ‪. E C‬‬ ‫هـ‬ ‫و‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫‪C‬‬ ‫57‬
  • 83.
    ‫تطبيقات على المتجهات‬ ‫3‍‬ ‫‪Applications on Vectos‬‬ ‫ً‬ ‫ة‬ ‫أوال: تطبيقات هندسي ‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫استخدام املتجهات والعمليات‬ ‫عليها ىف إثبات بعض النظريات‬ ‫اهلندسية.‬ ‫فكر‬ ‫حل تطبيقات هندسية ىف اهلندسة‬ ‫املستوية باستخدام املتجهات.‬ ‫حل تطبيقات فيزيائية عىل‬ ‫املتجهات إلجياد :‬ ‫حمصلة عدة قوى‬ ‫اتزان القوى‬ ‫الرسعة النسبية.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫قوة حمصلة.‬ ‫‪Resultant Force‬‬ ‫توازن القوى.‬ ‫‪Equilibrium of Forces‬‬ ‫‬ ‫رسعة نسبية.‬ ‫‪Relative Velocity‬‬ ‫و‬ ‫‪Geometric Applications‬‬ ‫ناقش‬ ‫فى الشكل الرباعى ‪ C‬ب جـ ‪:E‬‬ ‫1- إذا كان ‪ C‬ب = ‪ E‬جـ ماذا تستتنج؟‬ ‫ ‬ ‫2- إذا كان ‪ C‬ب = 3 ‪ E‬جـ ما العالقة بين ‪ C‬ب ، ‪ E‬جـ ؟‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫الحظ أن: إذا كان: ‪ C‬ب = ك ‪ E‬جـ ، ك ! 0‬ ‫ ‬ ‫  فإن: ‪ C‬ب // جـ ‪E‬‬ ‫وعلى ذلك يمكن استخدام المتجهات والعمليات عليها‬ ‫فى إثبات بعض النظريات والعالقات الهندسية كمايلى:‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ باستخدام المتجهات أثبت أن: إذا تساوى وتوازى ضلعان متقابالن فى الشكل‬ ‫الرباعى كان الشكل متوازى أضالع.‬ ‫الحل‬ ‫جـ‬ ‫المعطيات: فى الشكل ‪ C‬ب جـ ‪:E‬‬ ‫   ‪ C‬ب // ‪ E‬جـ ، ‪ C‬ب = ‪E‬جـ‬ ‫المطلوب: ب جـ // ‪E C‬‬ ‫ب‬ ‫ ‬ ‫البرهان:  ارسم ‪ C‬جـ‬ ‫  ‪ C a‬ب = ‪ E‬جـ ، ‪ C‬ب // ‪ E‬جـ   ‬ ‫ ‬ ‫ ` ‪ C‬ب = ‪ E‬جـ‬ ‫(تعريف الجمع).‬ ‫   فى 9 ‪ C‬ب جـ : ‪ C‬جـ = ‪ C‬ب + ب جـ ‬ ‫(تعريف الجمع).‬ ‫   فى 9 ‪  E C‬جـ : ‪ C‬جـ = ‪E +  E C‬جـ ‬ ‫  ‪ C a‬ب = ‪ E‬جـ‬ ‫ ‬ ‫ ` ب جـ = ‪  E C‬ويكون ب جـ // ‪E C‬‬ ‫  ` الشكل ‪ C‬ب جـ ‪ E‬متوازى أضالع.‬ ‫67‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬
  • 84.
    ‫تاهجتملا ىلع تاقيبطت‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ باستخدام المتجهات أثبت أن: القطعة المستقيمة المرسومة بين منتصفى ضلعين فى مثلث توازى الضلع الثالث.‬ ‫الحل‬ ‫‪C‬‬ ‫المعطيات: فى 9 ‪ C‬ب جـ : ‪ E‬منتصف ‪ C‬ب ، هـ منتصف ‪ C‬جـ‬ ‫‪E‬‬ ‫المطلوب: ‪E‬هـ // ب جـ‬ ‫البرهان: ‪ E a‬منتصف ‪ C‬ب ` ‪ C 1 = E C‬ب ، ‪ C 1 =  E C‬ب‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‪ a‬هـ منتصف ‪ C‬جـ ` ‪ C‬هـ = 1 ‪ C‬جـ ، ‪ C‬هـ = 1 ‪ C‬جـ‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫  فى 9 ‪ C‬ب جـ : ب جـ = ب ‪ C + C‬جـ ‬ ‫ ‬ ‫هـ‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫(1)‬ ‫(تعريف الجمع). ‬ ‫(تعريف الجمع).‬ ‫   فى 9 ‪ E C‬هـ : ‪ E‬هـ = ‪ C + C E‬هـ ‬ ‫(2)‬ ‫  = 1 ب ‪ C 1 + C‬جـ = 1 ( ب ‪ C + C‬جـ ). ‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ من (1)، (2) ينتج أن:‬ ‫وهو المطلوب‬ ‫‪ E‬هـ = 1 ب جـ ` ‪E‬هـ // ب جـ ‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫الحظ أن || ‪ E‬هـ || = 1 || ب جـ ||  فيكون طول ‪E‬هـ = 1 طول ب جـ‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ ‪ C‬ب جـ ‪ E‬شكل رباعى. س ص ع ل منتصفات األضالع ‪ C‬ب ، ب جـ ، جـ ‪ C E ، E‬على الترتيب.‬ ‫باستخدام المتجهات أثبت أن:‬ ‫أ الشكل س ص ع ل متوازى أضالع. ب محيط الشكل ‪ C‬ب جـ ‪ E‬يساوى مجموع طولى قطريه.‬ ‫ ‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ باستخدام المتجهات أثبت أن: قطرى متوازى األضالع ينصف كل منهما اآلخر.‬ ‫الحل‬ ‫‪E‬‬ ‫العمل والبرهان: نفرض أن م نقطة تنصيف ب ‪ E‬‬ ‫    ارسم المتجهين ‪ C‬م ، م جـ فيكون:‬ ‫(تعريف الجمع).‬ ‫    فى 9 ‪ C‬ب م: ‪ C‬م = ‪ C‬ب + ب م ‬ ‫ب‬ ‫(تعريف الجمع).‬ ‫    فى 9 جـ ‪ E‬م: م جـ = م ‪E + E‬جـ ‬ ‫   ‪ a‬ب م = م ‪ E‬عمالً ، ‪ C‬ب = ‪ E‬جـ (من متوازى األضالع).‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫   ` ‪ C‬م = م جـ‬ ‫كان فى نقطة م.‬ ‫    وحيث إن ‪ C‬م ، م جـ لهما نفس االتجاه وتشتر‬ ‫    `كل منهما يقع على نفس المستقيم، أى أن ‪ ، C‬م ، جـ على استقامة واحدة‬ ‫` م منتصف ‪ C‬جـ  ، م منتصف ب ‪ E‬عمال.‬ ‫    ‪ C || a‬م || = || م جـ ||  ‬ ‫ً‬ ‫    ` القطران ‪ C‬جـ ، ب ‪ E‬ينصف كل منهما اآلخر (وهو المطلوب).‬ ‫` بم = م‪E‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫‪C‬‬ ‫م‬ ‫جـ‬ ‫77‬
  • 85.
    ‫حاول أن تحل‬ ‫ ‬ ‫‌ فى الشكل المقابل: ‪C‬ب جـ ‪E‬شبه منحرف، ‪ // E C‬ب جـ ،‬ ‫‪ 1 = E C‬ب جـ ، ‪ C‬ب = ن‬ ‫2‬ ‫‪C‬‬ ‫ن‬ ‫مـ‬ ‫‪E‬‬ ‫س‬ ‫أ عبر بداللة ‪ ، W‬ن عن كل من:‬ ‫ ‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫ ‬ ‫ب جـ ، ‪ C‬جـ ، ‪ E‬جـ ، ‪ E‬ب‬ ‫ب إذا كانت س∈ ‪ C‬جـ حيث ‪ C‬س = 1 ‪ C‬جـ، أثبت أن النقط ‪ ،E‬س، ب تقع على استقامة واحدة.‬ ‫ ‬ ‫3‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ باستخدام المتجهات أثبت أن النقط ‪ ،)4 ،1( C‬ب(-1، -2)، جـ(2، -3) هى رؤوس مثلث قائم الزاوية فى ب.‬ ‫الحل‬ ‫ فى المثلث ‪ C‬ب جـ:‬ ‫‪ C‬ب = ب - ‪ ،     C‬‬ ‫ ‬ ‫جـ ب = ب - جـ‬ ‫   = (-1، -2) - (2، -3) = (-3، 1)‬ ‫= (-1، -2) - (1، 4) = (-2، -6) ‬ ‫ ‬ ‫ ‪ = 1 * )6-( + )3-( * )2-( a‬صفر ` ‪ C‬ب = جـ ب   ،  ‪c(X‬ب) = 09‪c‬‬ ‫ ` المثلث ‪ C‬ب جـ قائم الزاوية فى ب.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ باستخدام المتجهات أثبت أن النقط ‪ ،)4 ،3( C‬ب(1، -1)، جـ(-4، -3)، ‪ )2 ،2(E‬هى رؤوس معين‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‪ C‬ب جـ ‪ E‬مربع، إذا كانت ‪ ،)2 ،8( C‬ب(3، -1)، جـ(0، 4) فأوجد باستخدام المتجهات إحداثيى نقطة ‪ E‬ومساحة‬ ‫سطح المربع.‬ ‫ة‬ ‫ثانيًا: تطبيقات فيزيائي ‬ ‫‪Physical Applications‬‬ ‫نشاط (1)‬ ‫1- إذا أثرت قوة مقدارها 6 نيوتن باتجاه الشرق على مكعب خشبى‬ ‫ ‬ ‫واخترنا أن تمثل كل 3 نيوتن على الرسم بقطعة مستقيمة موجهة‬ ‫طولها سنتيمترا واحدا، ما طول المتجه الذى يمثل هذه القوة؟ إذا‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫أثرت قوة إضافية مقدارها 3 نيوتن باتجاه الشرق على المكعب. ما‬ ‫مقدار القوة المؤثرة على الجسم عندئذ؟‬ ‫وما طول القطعة المستقيمة الموجهة التى تمثل هذه القوة على الرسم؟‬ ‫ ‬ ‫87‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ق1 = 6 نيوتن‬ ‫ق1 = 6 نيوتن‬ ‫ق2 = 3 نيوتن‬ ‫ق = ..... نيوتن‬
  • 86.
    ‫تاهجتملا ىلع تاقيبطت‬ ‫2-عند محاولتك لتحريك كتاب على سطح نضد أفقى خشن قد تشعر‬ ‫ ‬ ‫ بمقاومة سطح النضد كة الكتاب وهى ما تعرف بقوة االحتكاك.‬ ‫لحر‬ ‫ إذا تحرك الكتاب على سطح النضد، فأى القوتين تكون األكبر:‬ ‫القوة المؤثرة لتحريك الكتاب أم قوة االحتكاك؟‬ ‫ ‬ ‫قوة دفع‬ ‫قوة احتكاك‬ ‫القوة المحصلة‬ ‫‪Resultant Force‬‬ ‫تخضع القوى المؤثرة على جسم لعملية جمع المتجهات، ويعرف ناتج هذه العملية بمحصلة القوى ق‬ ‫(أو القوة المحصلة) المؤثرة على الجسم حيث ق = ق1 + ق2 + ...‬ ‫وعلى ذلك: إليجاد محصلة القوى المؤثرة على المكعب الخشبى:‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ق1 = 6 ى‬ ‫(1) اعتبر ى متجه وحدة فى اتجاه الشرق.‬ ‫ ‬ ‫فيكون ق = ق1 + ق2 = 6 ى + 3 ى = 9 ى‬ ‫ق2 = 3 ى‬ ‫أى إن: ق = 9 نيوتن، وتعمل فى اتجاه الشرق.‬ ‫ ‬ ‫(2) إليجاد محصلة القوى المؤثرة على الكتاب عند محاولة تحريكه بقوة ق‬ ‫1‬ ‫مقدارها 5 نيوتن كان مقدار قوة االحتكاك 3 نيوتن اعتبر ى متجه وحدة‬ ‫و‬ ‫فى اتجاه كة الكتاب.‬ ‫حر‬ ‫ ` قوة الدفع: ق1 = 5 ى‬ ‫ ‬ ‫  قوة االحتكاك: كـ = - 3 ى‬ ‫ ‬ ‫  ويكون ق = ق1 + كـ = 5 ى - 3 ى = 2 ى‬ ‫ أى إن: ق = 2 نيوتن، وتعمل فى اتجاه كة الكتاب.‬ ‫حر‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد محصلة القوى المؤثرة ق فى كل ممايأتى:‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫07 نيوتن‬ ‫04 ث كجم‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫ق1 = 5 ى‬ ‫كـ = -3 ى‬ ‫م‬ ‫أض‬ ‫علو‬ ‫ف إل‬ ‫ى‬ ‫ما‬ ‫تك‬ ‫وحدات القوة‬ ‫داين - نيوتن‬ ‫ثقل الجرام (ث جم)‬ ‫ثقل الكيلو جرام (ث كجم).‬ ‫07 نيوتن‬ ‫03 ث كجم‬ ‫ج‍‬ ‫د‬ ‫05 ث كجم‬ ‫51 ث كجم‬ ‫51 ث كجم‬ ‫03 ث كجم‬ ‫001 ث كجم‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫97‬
  • 87.
    ‫3- إذا أثرتالقوى: ق1 = 2 ‪  ،  N + M‬ق2 = ‪  ،  N 7 + M‬ق3 = ‪ N 5 - M‬فى نقطة‬ ‫مادية.‬ ‫ احسب مقدار واتجاه محصلة هذه القوى (القوى مقاسه بالنيوتن).‬ ‫ ‬ ‫ص‬ ‫الحل‬ ‫‪ a‬محصلة القوى ق = ق1 + ق2 + ق‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫3‬ ‫` ق = (2 + 1 + 1) ‪N )5 - 7 + 1( + M‬‬ ‫  = 4 ‪N 3+ M‬‬ ‫‪X‬‬ ‫س‬ ‫‪i‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪N‬‬ ‫و‬ ‫مقدار المحصلة =|| ق || = (4)2 + (3)2 = 5 نيوتن  ‬ ‫اتجاه المحصلة: ‪ = i‬طا-1 ( 3 ) - 73‪.c‬‬ ‫4‬ ‫ ‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ القوى: ق1 = 2 ‪  ،  N 3 + M‬ق2 = ‪  ،  N + M C‬ق3 = 5 ‪ + M‬ب ‪ N‬تؤثر فى نقطة مادية.‬ ‫ ‬ ‫أوجد قيمتى ‪ ،C‬ب إذا كانت محصلة هذة القوى ق :‬ ‫ ‬ ‫ب ق = 0 .‬ ‫أ ق = 5‪. N 2 - M‬‬ ‫ ‬ ‫فكر: ما معنى أن محصلة عدة قوى متالقية فى نقطة واحدة = 0‬ ‫نشاط (2)‬ ‫السرعة النسبية‬ ‫‪Relative Velocity‬‬ ‫كة (‪ )C‬والحظت سرعة سيارة أخرى (ب) تتحرك فى نفس اتجاه كة السيارة (‪)C‬‬ ‫حر‬ ‫أثناء جلوسك فى سيارة متحر‬ ‫فإنك تشعر أن سرعة السيارة (ب) أقل من سرعتها األصلية. أما إذا كت السيارة (ب) فى عكس اتجاه كة‬ ‫حر‬ ‫تحر‬ ‫السيارة (‪ )C‬فإنك تشعر أن سرعة السيارة (ب) أكبر من سرعتها األصلية.‬ ‫الحظ أن: السرعة النسبية لجسم (ب) بالنسبة إلى جسم آخر (‪ )C‬ويرمز لها بالرمز عب ‪ ، C‬هى السرعة التى يبدو‬ ‫كًا بها إذا اعتبر الجسم (‪ )C‬فى حالة سكون.‬ ‫الجسم (ب) متحر‬ ‫فإذا كان: ع ‪ C‬سرعة السيارة ‪ C‬الفعلية، عب سرعة السيارة ب الفعلية.‬ ‫فإن:‬ ‫عب ‪ = C‬عب - ع‬ ‫‪C‬‬ ‫فكر ماذ تعنى ع ‪ C‬ب ؟‬ ‫08‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 88.
    ‫تاهجتملا ىلع تاقيبطت‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ تتحرك سيارة (‪ )C‬على طريقة مستقيم بسرعة 07 كم /س وتتحرك السيارة (ب) على نفس الطريق بسرعة‬ ‫09كم/س. أوجد سرعة السيارة (‪ )C‬بالنسبة إلى السيارة (ب) عندما:‬ ‫أ تتحرك السيارتان فى اتجاه واحد.‬ ‫ ‬ ‫ب تتحرك السيارتان فى اتجاهين متضادين.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫باعتبار ى متجه وحدة فى نفس اتجاه سرعة السيارة ‪C‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫أ السيارتان كان فى اتجاه واحد:‬ ‫تتحر‬ ‫ع ‪ 70 = C‬ى‬ ‫09 ى‬ ‫عب = 09 ى‬ ‫ع‬ ‫‪C‬ب‬ ‫ى‬ ‫= ع‪ - C‬ع‬ ‫ب‬ ‫07 ى‬ ‫ب‬ ‫   = 07 ى - 09 ى = 02 ى‬ ‫‪C‬‬ ‫أى إن راكب السيارة (ب) يشعر أن السيارة ‪ C‬تتحرك نحوه بسرعة 02كم/س.‬ ‫ب السيارتان كان فى اتجاهين متضادين:‬ ‫تتحر‬ ‫ع ‪ 70 = C‬ى‬ ‫-09 ى‬ ‫عب = - 09 ى‬ ‫ع‬ ‫‪C‬ب‬ ‫= ع‪ - C‬ع‬ ‫ب‬ ‫   = 07 ى - (- 09 ى ) = 061 ى‬ ‫ب‬ ‫ى‬ ‫07 ى‬ ‫‪C‬‬ ‫أى إن راكب السيارة (ب) يشعر أن السيارة ‪ C‬تتحرك نحوه بسرعة 061كم/س.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ تتحرك سيارة على طريق مستقيم بسرعة 09كم/س. إذا كت دراجة بخارية بسرعة 04كم/س على‬ ‫تحر‬ ‫نفس الطريق. فأوجد سرعة الدراجة البخارية بالنسبة إلى السيارة عندما كان فى نفس االتجاه.‬ ‫يتحر‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫18‬
  • 89.
    ‫ملخص الوحدة‬ ‫× ×الكمياتالقياسية ‪ :Scalars‬هى كميات تتحدد تماما بمعرفة مقدارها فقط مثل الطول والمساحة والكثافة.‬ ‫ً‬ ‫× ×الكميات المتجهة ‪ :Vectors‬هى كميات تتحدد تماما بمعرفة مقدارها واتجاهها مثل اإلزاحة والسرعة والقوة.‬ ‫ً‬ ‫× ×القطعة المستقيمة الموجهة ‪ :Directed Line Segment‬هى قطعة مستقيمة لها نقطة بداية، نقطة نهاية، اتجاه.‬ ‫× ×معيار القطعة المستقيمة الموجهة ‪ C‬ب هو طول ‪ C‬ب ويرمز لها بالرمز || ‪C‬ب ||.‬ ‫× ×تتكافأ القطعتان المستقيمتان الموجهتان إذا كان لهما نفس المعيار ونفس االتجاه.‬ ‫× ×متجه الموضع ‪ :Position Vector‬متجه الموضع لنقطة معلومة بالنسبة لنقطة األصل هو القطعة المستقيمة‬ ‫الموجهة التى بدايتها نقطة األصل ونهايتها النقطة المعلومة.‬ ‫× ×معيار المتجه ‪ :Norm‬هو طول القطعة المستقيمة الممثلة للمتجه.‬ ‫× ×الصورة القطبية لمتجه الموضع ‪ )i ،|| S ||( = S :Polar Form S‬حيث ‪ i‬قياس الزاوية التى يصنعها‬ ‫المتجه مع اتجاه ثابت.‬ ‫× ×المتجه الصفرى يرمز له بالرمز و أو( 0 ) ‪ :Zero Vector‬يعرف و = (0، 0) بالمتجه الصفرى حيث:‬ ‫|| و || = || 0 || = 0 وهو غير معين االتجاه.‬ ‫× ×المتجهات ‪ :Vectors‬هى عناصر المجموعة ح2 مع عمليتى الجمع والضرب فى عدد حقيقى المعرفتين عليها.‬ ‫× ×خواص عملية جمع المتجهات: مغلقة - إبدالية - دامجة - و عنصر محايد - لكل‬ ‫× ×خواص ضرب متجه فى عدد حقيقى‬ ‫ خاصية التوزيع: لكل ‪ ، C‬ب ∈ ح2 ،‬ ‫     ولكل ‪ ∈ C‬ح2   ،‬ ‫ خاصية التجميع: لكل ‪ ∈ C‬ح2   ،‬ ‫ خاصية الحذف: لكل ‪ ، C‬ب ∈ ح2 ،‬ ‫‪C‬‬ ‫∈ ح2 يوجد - ‪ ∈ C‬ح2.‬ ‫   يكون: ك ( ‪ + C‬ب ) = ك ‪ + C‬ك ب‬ ‫لكل ك ‬ ‫∈ح‬ ‫لكل ك1 ، ك2 ∈ ح  يكون: (ك1 + ك2) ‪ = C‬ك1 ‪+ C‬ك2 ‪C‬‬ ‫لكل ك1 ، ك2 ∈ ح  يكون: (ك1 + ك2) ‪ = C‬ك1(ك2 ‪) C‬‬ ‫لكل ك ∈ح إذا كان ك ‪ = C‬ك ب فإن ‪ = C‬ب والعكس صحيح.‬ ‫× ×متجه الوحدة هو متجه معياره وحدة واحدة‬ ‫× ×متجه الوحدة األساسى ‪ M‬وهو القطعة المستقيمة الموجهة التى مبدؤها نقطة األصل ومعيارها الوحدة‬ ‫واتجاهها هو االتجاه الموجب لمحور السينات ويكتب ‪)0 ،1( = M‬‬ ‫× ×متجه الوحدة األساسى ‪ N‬وهو القطعة المستقيمة الموجهة التى مبدؤها نقطة األصل ومعيارها الوحدة‬ ‫واتجاهها هو االتجاه الموجب لمحور الصادات ويكتب ‪.)1 ،0( = N‬‬ ‫× ×التعبير عن المتجه بداللة متجهى الوحدة األساسيين إذا كان‬ ‫28‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫‪C‬‬ ‫= (‪ )2C ، 1C‬فإن‬ ‫‪C‬‬ ‫= ‪. N 2C + M 1C‬‬
  • 90.
    ‫ملخص الوحدة‬ ‫× ×المتجهانالمتوازيان: يقال لمتجهين مـ ، ن أنهما متوازيان إذا كانت أى قطعة مستقيمة موجهة تمثل‬ ‫أحدهما توازى أى قطعة مستقيمة موجهة تمثل اآلخر أو محتواه معها فى مستقيم.‬ ‫× ×المتجهان المتعامدان: يقال لمتجهين مـ ، ن أنهما متعامدان إذا كان المستقيم الذى يحمل قطعة مستقيمة‬ ‫موجهة ممثلة ألحدهما عمودى على المستقيم الذى يحمل قطعة مستقيمة موجهة ممثلة لآلخر.‬ ‫× ×شرطا التوازى والمتعامد: إذا كان مـ ، ن متجهين غير صفريين حيث مـ = (س1، ص1)، ن = (س2، ص2)‬ ‫  فإن: (1) مـ // ن إذا كان: س1 ص2 - س2 ص1 = 0 والعكس صحيح.‬ ‫ ‬ ‫(2) مـ = ن إذا كان: س1 س2 - ص1 ص2 = 0 والعكس صحيح.‬ ‫ ‬ ‫× ×يمكن ضرب متجه بعدد حقيقى، فإذا كان مـ = (س1، ص1)، ك ∈ ح‬ ‫فإن ك مـ = ك (س1 ، ص1)= (ك س1 ، ك ص1)‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫وإذا كان ك ! 0، م متجه غير صفرى فإن مـ // ك مـ‬ ‫اتجاه ك مـ هو نفس اتجاه مـ لكل ك 0‬ ‫ ‬ ‫اتجاه ك مـ هو عكس اتجاه مـ لكل ك 0‬ ‫ ‬ ‫جـ‬ ‫مـ‬ ‫‪ C‬ب - ‪C‬جـ = جـ ب‬ ‫ن‬ ‫+‬ ‫ن‬ ‫‪C‬‬ ‫ ‪Subtracting Vectors Geometrically‬‬ ‫مـ‬ ‫مـ‬ ‫ب‬ ‫+‬ ‫ن‬ ‫‪E‬‬ ‫جـ‬ ‫ن‬ ‫جـ‬ ‫ن‬ ‫مـ‬ ‫ب‬ ‫× ×طرح المتجهات هندسيا:‬ ‫ً‬ ‫مـ‬ ‫قاعدة متوازى األضالع‬ ‫ب‪ + C‬ب جـ = ب هـ‬ ‫ ‬ ‫      = 2 ب ‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫- ن‬ ‫× ×جمع المتجهات هندسيا‬ ‫ً‬ ‫قاعدة المثلث‬ ‫‪ C‬ب + ب جـ = ‪ C‬جـ‬ ‫  ‪Adding Vectors Geometrically‬‬ ‫× ×التعبير عن ‪ C‬ب بداللة متجهى الموضع لطرفيها.‬ ‫  إذا كان ‪(C‬س1، ص1) ، ب (س2، ص2)  فإن: ‪ C‬ب = ب -‬ ‫ب‬ ‫مـ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫× ×تطبيقات على المتجهات:‬ ‫ (1) تطبيقات هندسية (إلثبات النظريات وحل مشكالت حياتية بنمذجتها).‬ ‫ (2) تطبيقات فيزيائية (أنشطة)‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫38‬
  • 91.
    ‫-‬ ‫الوحدة‬ ‫4‬ ‫الهندسة‬ ‫التحليلية‬ ‫الخط المستقيم‬ ‫‪Straight Line‬‬ ‫أهدافالوحدة‬ ‫في نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:‬ ‫ً‬ ‫• •يوجد إحداثيى نقطة تقسيم قطعة مستقيمة من الداخل أو‬ ‫الخارج إذا علمت نسبة التقسيم.‬ ‫• •يوجد النسبة التى تنقسم بها قطعة مستقيمة من الداخل أو من‬ ‫الخارج إذا علم إحداثيات نقطة التقسيم.‬ ‫• •يتعرف الصور المختلفة لمعادلة الخط المستقيم.‬ ‫• •يوجد المعادلة المتجهة والمعادالت البارامترية، والمعادلة‬ ‫الكارتيزية للخط المستقيم.‬ ‫• •يوجد الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم.‬ ‫• •يوجد معادلة الخط المستقيم بداللة األجزاء المقطوعة من‬ ‫محورى اإلحداثيات.‬ ‫• •يوجد قياس الزاوية الحادة بين مستقيمين.‬ ‫• •يوجد طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم.‬ ‫• •يوجد المعادلة العامة للمستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين.‬ ‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪Ñ Ñ‬نقطة تقسيم‬ ‫‪Ñ Ñ‬متجه اتجاه مستقيم‬ ‫‪Ñ Ñ‬معادلة متجهة‬ ‫‪Ñ Ñ‬معادلة بارامترية‬ ‫‪point of division‬‬ ‫‪direction vector of Straight line direction‬‬ ‫‪Vector equation‬‬ ‫‪parametric Equation‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬معادلة كارتيزية‬ ‫‪Ñ Ñ‬معادلة عامة‬ ‫‪Ñ Ñ‬زاوية بين مستقيمين‬ ‫‪Ñ Ñ‬طول عمود‬ ‫‪Cartesian Equation‬‬ ‫‪General Equation‬‬ ‫‪Angle between two straight lines‬‬ ‫‪Length of perpendicular‬‬
  • 92.
    ‫دروس الوحدة‬ ‫الدرس (4- 1): تقسيم قطعة مستقيمة.‬ ‫الدرس (4 - 2): معادلة الخط المستقيم.‬ ‫الدرس (4 - 3): قياس الزاوية بين مستقيمين.‬ ‫الدرس (4 - 4): طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط‬ ‫مستقيم.‬ ‫الدرس (4 - 5): المعادلة العامة للمستقيم المار بنقطة‬ ‫تقاطع مستقيمين.‬ ‫األدوات المستخدمة‬ ‫آلة حاسبة علمية - حاسب آلى - برامج رسم بيانى.‬ ‫نبذه تاريخية‬ ‫تعد الهندسة التحليلية أحد الفروع األساسية للرياضيات‬ ‫لما لها من أهمية بالغة عند دراسة معظم العلوم الرياضية‬ ‫والتطبيقات الفيزيائية والعلوم التقنية، ولقد ساعدت على‬ ‫دراسة الفضاء وخواصه الهندسية في العصر الحديث، وترتبط‬ ‫بكل ما هو جديد، حيث إنها تُعتبر األساس فى تفسير الصور‬ ‫فى علم الكمبيوتر.‬ ‫اً‬ ‫وتعتبر الهندسة التحليلية مدخل لدراسة الهندسة‬ ‫التفاضلية (هندسة الحركة) والهندسة الجبرية، حيث إن‬ ‫الهندسة التفاضلية تختص بدراسة األشكال الهندسية وخاصة‬ ‫المنحنيات والسطوح من حيث خواصها الهندسية، وذلك‬ ‫بتطبيق حساب التفاضل والتكامل، وقد ابتكر العلماء النظام‬ ‫اإلحداثى المكون من محورين متعامدين ومتقاطعين (محور‬ ‫السينات ومحور الصادات) والذى بواسطته يمكن التعبير عن‬ ‫كل نقطة فى المستوى بعددين حقيقيين (س، ص) وباستخدام‬ ‫النظام اإلحداثى امكن اثبات صحة خواص الهندسة اإلقليدية‬ ‫معبرا عن المستقيمات والمنحنيات بمعادالت جبرية باعتبارها‬ ‫ً‬ ‫مسارات لنقط عامة تتحرك بشروط تحكم العالقة بين‬ ‫(س، ص)، ولقد يسرت الهندسة التحليلية الكثير من‬ ‫المعالجات فى فروع الرياضيات المختلفة، كما كانت من‬ ‫عوامل تطورها والتعامل بينها.‬ ‫مخطط تنظيمي للوحدة‬ ‫الخط المستقيم‬ ‫تقسيم قطعة‬ ‫مستقيمة‬ ‫من الداخل‬ ‫الصور المختلفة‬ ‫لمعادلة المستقيم‬ ‫العالقة بين‬ ‫مستقيمين‬ ‫إيجاد طول العمود‬ ‫المرسوم من نقطة‬ ‫إلى خط مستقيم.‬ ‫الصورة المتجهة‬ ‫متوازيين‬ ‫من الخارج‬ ‫متعامدين‬ ‫متجه اتجاه متجه اتجاه‬ ‫المستقيم‬ ‫العمودى‬ ‫الصورة البارمترية‬ ‫يحصران بينهما زاوية حادة‬ ‫أنشطة وتطبيقات حياتية‬ ‫الصورة الكارتيزية‬ ‫الصورة العامة لمعادلة‬ ‫الخط المستقيم‬ ‫ميل الخط المستقيم‬ ‫فى الصورة العامة‬ ‫تكوين معادلة الخط المستقيم‬ ‫بمعلومية الميل ونقطة‬ ‫فى الصورة المتجهة‬ ‫بمعلومية نقطتين تقعان على المستقيم‬ ‫بمعلومية نقطتين‬ ‫الميل والجزء المقطوع من محور الصادات‬ ‫بمعلومية ظل الزاوية‬ ‫الموجبة مع االتجاه‬ ‫الموجب لمحور السينات‬ ‫الجزءان المقطوعان من محورى‬ ‫اإلحداثيات‬ ‫المستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين‬
  • 93.
    ‫تقسيم قطعة مستقيمة‬ ‫4‍‬ ‫‪Division of a line segment‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫مفهوم التقسيم من الداخل‬ ‫مفهوم التقسيم من اخلارج‬ ‫إجياد نسبة التقسيم‬ ‫فكر‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫سبق أن درست إيجاد إحداثيى نقطة منتصف قطعة مستقيمة، فهل يمكنك إيجاد‬ ‫إحداثيى نقطة تقسيم قطعة مستقيمة من الداخل أو الخارج إذا علمت نسبة التقسيم؟‬ ‫�أوالً: �إيجاد �إحداثيى النقطة التى تق�سم قطعة م�ستقيمة معلومة بن�سبة معينة:‬ ‫‪Coordinates of the point of division of a line segment‬‬ ‫‬ ‫1- التقي�سم من الداخل‬ ‫(س، ص)‬ ‫إذا كانت جـ ∈ ‪ C‬ب فإن النقطة جـ‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫تقسيم من الداخل‬ ‫‪Internal Division‬‬ ‫‬ ‫ تقسيم من اخلارج‬ ‫‬ ‫‪External Division‬‬ ‫نسبة التقسيم‬ ‫‬ ‫‪Ratio of Division‬‬ ‫تقسم ‪ C‬ب من الداخل بنسبة ل2 : ل‬ ‫‪ C‬جـ ل‬ ‫ل‬ ‫حيث ل2 0 فيكون جـ ب =‬ ‫ل‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫ل‬ ‫1‬ ‫جـ‬ ‫2‬ ‫‪C‬‬ ‫(س1، ص1)‬ ‫ويكون للقطعتين الموجهتين ‪ C‬جـ ، جـ ب‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫نفس األتجاه، أى أن: ل1 * ‪ C‬جـ = ل2 * جـ ب‬ ‫ل‬ ‫1‬ ‫ب‬ ‫1‬ ‫شكل (1)‬ ‫وإذا فرضنا أن ‪(C‬س1، ص1)، ب(س2، ص2)، جـ(س، ص)‬ ‫فإن ‪ S ، 2S ، 1S‬هى المتجهات الممثلة بالقطع المستقيمة الموجهة و ‪، C‬‬ ‫وباستخدام طرح المتجهات: ل1 ( و جـ - و ‪ = ) C‬ل2 ( و ب - و جـ )‬ ‫األدوات ‬ ‫والوسائل‬ ‫ ‬ ‫بالتوزيع‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫فيكون‬ ‫أى أن:‬ ‫68‬ ‫2‬ ‫و‬ ‫و ب ، و جـ على الترتيب، حيث و نقطة األصل لنظام إحداثى متعامد.‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫(س2، ص2)‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ل1 ( ‪ = ) 1S - S‬ل2 ( ‪) S - 2S‬‬ ‫ل1 ‪ - S‬ل1 ‪ = 1S‬ل2 ‪ - 2S‬ل2 ‪S‬‬ ‫ل1 ‪ + S‬ل2 ‪ = S‬ل1 ‪ + 1S‬ل2 ‪S‬‬ ‫2‬ ‫‪(  S‬ل1 + ل2) = ل1 ‪ + 1S‬ل2 ‪S‬‬ ‫ل1 ‪ + 1S‬ل2 ‪S‬‬ ‫‪= S‬‬ ‫ل1 + ل‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫وت�سمى بال�صيغة المتجهة‬
  • 94.
    ‫ةميقتسم ةعطق ميسقت‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ،)1 - ،2( C‬ب (- 3، 4) فأوجد إحداثيى النقطة جـ التى تقسم ‪ C‬ب من الداخل بنسبة 3 : 2‬ ‫بالصيغة المتجهة‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫بفرض جـ (س، ص)‬ ‫‪ )1- ،2( C a‬‬ ‫ل2 : ل1 = 3 : 2‬ ‫` ‪)1- ،2( = 1S‬‬ ‫` ‪)4 ،3-( = 2S‬‬ ‫،    ‪ a‬ب (-3، 4) ‬ ‫ل1 ‪ + 1S‬ل2 ‪S‬‬ ‫‪= S a‬‬ ‫ل1 + ل‬ ‫2‬ ‫(-5،‬ ‫` ‪)2 ،1-( = )105 = )12 ،9-(5+ )2- ،4( = )4 ،3-(3 + )1- ،2(2 = S‬‬ ‫2+3‬ ‫` إحداثيا النقطة جـ هما (-1، 2)‬ ‫2‬ ‫ال�صيغة الإحداثية:‬ ‫ل1(س1، ص1) + ل2(س2، ص2) (ل1 س1 + ل2 س2، ل1 ص1 +ل2 ص2)‬ ‫=‬ ‫(س، ص) =‬ ‫ل1 + ل‬ ‫ل1 + ل‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ل1 س1 + ل2 س2 ل1 ص1 + ل2 ص‬ ‫،‬ ‫(س ، ص) = ‪l‬‬ ‫ل1 + ل‬ ‫ل1 + ل‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ومنها ينتج أن:‬ ‫2‪b‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ حل المثال السابق باستخدام الصيغة اإلحداثية.‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫الحل‬ ‫(س، ص) = ‪)2 ،1-( = _ 4 * 33++1- * 2 ، 3- *33++22 * 2 i‬‬ ‫2‬ ‫ب (-3، 4)‬ ‫جـ (س، ص)‬ ‫‪)1- ،2( C‬‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ،)2 ،4( C‬ب (8، -6) فأوجد إحداثيي النقطة جـ التى تقسم ‪ C‬ب من الداخل بنسبة 1 : 3‬ ‫2- التقي�سم من الخارج‬ ‫ل‬ ‫إذا كانت جـ ∈ ‪ C‬ب ،جـ ∉ ‪ C‬ب فإن جـ تقسم ‪ C‬ب من الخارج بنسبة ل2 : ل1 حيث ل2 0 وبالتالى تكون‬ ‫1‬ ‫إحدى القيمتين ل1 أو ل2 موجبة واألخرى سالبة، ويكون هناك احتماالن، واألشكال التالية توضح ذلك:‬ ‫جـ (س، ص)‬ ‫جـ ∈ ب ‪، C‬جـ ∉ ‪ C‬ب‬ ‫‪( C‬س1، ص1) ب (س2، ص2)‬ ‫‪S‬‬ ‫شكل (2)‬ ‫‪S‬‬ ‫1‬ ‫و‬ ‫‪S‬‬ ‫2‬ ‫جـ ∈ ‪ C‬ب ،جـ ∉ ‪ C‬ب‬ ‫ب (س2، ص2)‬ ‫‪( C‬س1، ص1)‬ ‫‪S‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫1‬ ‫‪S‬‬ ‫شكل (3)‬ ‫2‬ ‫و‬ ‫جـ (س، ص)‬ ‫‪S‬‬ ‫78‬
  • 95.
    ‫مـثـال‬ ‫‌ إذاكانت ‪ ،)0 ،2( C‬ب (1، -1) فأوجد إحداثيى النقطة جـ التى تقسم ‪ C‬ب من الخارج بنسبة 5 : 4.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫‪)1 - ،1( = 2S ،)0 ،2( = 1S a‬‬ ‫ل‬ ‫ل1 0 أى سالبة ‬ ‫ ، ل 2 : ل1 = 5 : - 4 ‬ ‫2‬ ‫ل1 ‪ + 1S‬ل2 ‪S‬‬ ‫2‬ ‫، ‪ S‬‬ ‫=‬ ‫ل +ل‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫4(2، 0) + 5 (1، - 1)‬‫` ‪ = S‬‬ ‫-4 + 5‬ ‫ ‬ ‫` إحداثيا نقطة جـ هما (-3، -5)‬ ‫ ‬ ‫  ‪ )5 - ،3 -( = )5 – 0 ،5 + 8 -( = S‬‬ ‫بالتعويض‬ ‫ ‬ ‫ب (1، -1)‬ ‫ ‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫(2، 0)‬ ‫5‬ ‫ب (1، -1)‬ ‫الحظ أن: إذا كانت جـ منتصف ‪ C‬ب حيث ‪( C‬س1، ص1)، ب(س2، ص2)‬ ‫فإن: ل1 = ل2 = (ل مثل) ويكون‬ ‫اً‬ ‫ الصيغة المتجهة‬ ‫س1 + س2 ص1 + ص‬ ‫،‬ ‫(س، ص) = ‪k‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫(س، ص)‬ ‫بالجمع والتبسيط‬ ‫   = (-3، -5)‬ ‫+‬ ‫  ‪ 2S 2 1S =   S‬‬ ‫4‬ ‫بالتوزيع‬ ‫ الصيغة اإلحداثية:‬ ‫0‬ ‫ (س، ص) = ‪_ 1- *55++4-* 4- ، 1* 5 + 2 * 4- i‬‬ ‫4+5‬‫ ‬ ‫5‬ ‫الصيغة الرياضية للقانون‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫(2، 0)‬ ‫2‬ ‫‪ a‬الصيغة اإلحداثية‬ ‫‪( C‬س1، ص1)‬ ‫جـ‬ ‫4‬ ‫جـ‬ ‫ب (س2، ص2)‬ ‫(س، ص)‬ ‫‪S‬‬ ‫‪S‬‬ ‫1‬ ‫(س، ص)‬ ‫و‬ ‫‪S‬‬ ‫2‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان جـ (2، 4) منتصف ‪ C‬ب حيث ‪( C‬س، 4)، ب (1، ص) أوجد كل من س، ص‬ ‫اًّ‬ ‫ثانيًا: �إيجاد ن�سبة التق�سيم‬ ‫‪Finding the ratio of Division‬‬ ‫إذا كانت النقطة جـ تقسم ‪ C‬ب بنسبة ل2 : ل1 كان:‬ ‫و‬ ‫ل‬ ‫1- نسبة التقسيم ل2 0 كان التقسيم من الداخل.‬ ‫2- نسبة التقسيم‬ ‫ل‬ ‫1‬ ‫ل2 ‬ ‫1‬ ‫0 كان التقسيم من الخارج.‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ،)2 ،5( C‬ب (2، - 1) فأوجد النسبة التى تنقسم بها ‪ C‬ب بكل من نقط تقاطع ‪ C‬ب مع محورى‬ ‫اإلحداثيات، مبينا نوع التقسيم فى كل حالة، ثم أوجد إحداثيى نقطة التقسيم.‬ ‫ً‬ ‫88‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 96.
    ‫ةميقتسم ةعطق ميسقت‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫ً‬ ‫أوال:نفرض أن محور السينات يقطع ‪ C‬ب في النقطة جـ (س، 0)‬ ‫ل1 ص1 + ل2 ص‬ ‫‪ C‬جـ ل‬ ‫حيث جـ ب = ل2 فيكون: ص =‬ ‫ل1 + ل‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫ل1 (2) + ل2 (-1) 2ل1 - ل‬ ‫2‬ ‫=‬ ‫`0=‬ ‫ل1 + ل‬ ‫ل1 + ل‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ل‬ ‫(نسبة التقسيم)‬ ‫` ل2 = 2 ‬ ‫` 2ل1 = ل2 ‬ ‫1 1‬ ‫ل‬ ‫` التقسيم من الداخل بنسبة 2 : 1‬ ‫‪ a‬ل2 0 ‬ ‫1‬ ‫ل1 س1 + ل2 س‬ ‫2 ، 0‪ a‬أى ‪a0 ، 2 * 2 + 5 * 1 k‬‬ ‫` إحداثيا جـ هما ‪k‬‬ ‫1+2‬ ‫ل1 + ل‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ص‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫‪)2 ،5( C‬‬ ‫ل‬ ‫2‬ ‫س‬ ‫جـ ل‬ ‫6 5 4 3 2 1‬ ‫و‬ ‫1‬ ‫1 -2‬‫1‬‫2‬‫3‬‫-4‬ ‫ب‬ ‫(2، -1)‬ ‫ويكون إحداثيا نقطة جـ هما (3، 0)‬ ‫ثانيا: المستقيم يقطع محور الصادات في النقطة ‪E‬‬ ‫ً‬ ‫ص‬ ‫نفرض أن إحداثيى النقطة ‪ E‬هما (0، ص)‬ ‫ل1 س1 + ل2 س‬ ‫‪ EC‬ل‬ ‫حيث ‪ E‬ب = ل2 فيكون   س =‬ ‫1‬ ‫ل1 + ل‬ ‫2‬ ‫ل1 * 5 + ل2 * 2‬ ‫` 0=‬ ‫ل1 + ل‬ ‫2‬ ‫ل‬ ‫(نسبة التقسيم)‬ ‫ ` ل2 = - 5 ‬ ‫` 2 ل2 = -5ل‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫ل‬ ‫ ` التقسيم من الخارج نسبة 5 : 2‬ ‫‪ a‬ل2 0‬ ‫1‬ ‫إحداثيا نقطة ‪ E‬هما (0، ص) أى ‪1- * 5 + 2 * 2- ، 0k‬‬ ‫‪a‬‬ ‫2 + 5‬‫` إحداثيا ‪ E‬هما (0، -3)‬ ‫2‬ ‫س‬ ‫‪C‬‬ ‫(5، 2)‬ ‫جـ‬ ‫ل‬ ‫2‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1 -2‬‫6 5 4 3 2 1‬ ‫1‬‫(2، -1)ب ل‬ ‫1 -2‬ ‫3‬‫‪E‬‬ ‫-4‬ ‫فكر: فى المثال السابق استخدم الصورة المتجهة إليجاد النسبة التى تنقسم بها ‪ C‬ب بمحورى اإلحداثيات،‬ ‫ثم أوجد إحداثيى نقطة التقسيم.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ،)3 ،4 -( C‬ب (8، 6)، جـ ∈ ‪ C‬ب حيث جـ (س، 0)، فأوجد النسبة التى تنقسم بها ‪ C‬ب بالنقطة‬ ‫جـ مبينا نوع التقسيم، ثم أوجد قيمة س.‬ ‫ً‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ،)3 - ،0( C‬ب (3، 6) فأوجد إحداثيى النقطة جـ التى تقسم ب ‪ C‬من الداخل بنسبة 1 : 2‬ ‫‌ الربط بالمسافة: تتحرك سيارة نقل ركاب فى طريقها من المدينة أ إلى المدينة ب حيث ‪،)6 - ،5(C‬‬ ‫ب(- 1، 0) وتوقفت مرتين أثناء سيرها. أوجد إحداثيات النقطتين التى توقفت عندهما السيارة إذا كانت:‬ ‫ب توقفت فى ثلثى الطريق من جهة النقطة أ.‬ ‫أ توقفت فى منتصف الطريق. ‬ ‫ ‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫98‬
  • 97.
    ‫معادلة الخط المستقيم‬ ‫4‍‬ ‫‪Equation of the straight line‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫اجياد معادلة اخلط املستقيم‬ ‫بمعلومية نقطة معلومة ومتجة‬ ‫اجتاه له.‬ ‫اجياد الصورة العامة ملعادلة اخلط‬ ‫املستقيم.‬ ‫اجياد معادلة اخلط املستقيم‬ ‫بمعلومية األجزاء املقطوعة من‬ ‫املحورين.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫متجه اجتاه مستقيم‬ ‫ ‪vector direction of Straight line‬‬ ‫معادلة متجهة‬ ‫‪Vector equation‬‬ ‫معادلة بارامرتية‬ ‫‬ ‫‪Parametric equation‬‬ ‫معادلة كارتيزية ‪Cartisian equation‬‬ ‫معادلة عامة‬ ‫‪General equation‬‬ ‫فكر‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫سبق أن درست المعادلة العامة للخط المستقيم وهى:‬ ‫‪ C‬س + ب ص + جـ = 0 حيث ‪ ،C‬ب(كالهما معا) !0 ومثلتها بيانيا بخط مستقيم.‬ ‫ً‬ ‫ًّ‬ ‫ًّ‬ ‫بين أى من العالقات التالية تمثل خطا مستقيما:‬ ‫ً‬ ‫ج‍ ص = 3‬ ‫ب ص= س + 1 ‬ ‫أ 3س - 2ص = 5 ‬ ‫و س ص‬ ‫1‬ ‫ - =1‬ ‫ه‍ ص + = 2 ‬ ‫د س - 2 = 0 ‬ ‫س‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫الحظ أن المعادلة ‪ C‬س + ب ص + جـ = 0 حيث ‪ ،C‬ب اليساويان الصفر معا تسمى‬ ‫بالصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم.‬ ‫1- إذا كان ب = 0 ، ‪ 0 ! C‬فإن: ‪ C‬س +جـ = 0‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫أى أن: س = - جـ وهى معادلة مستقيم موازى لمحور الصادات‬ ‫‪C‬‬ ‫ويمر بالنقطة ( - جـ ، 0)‬ ‫‪C‬‬ ‫2- إذا كان ‪ ، 0 = C‬ب ! 0 فإن: ب ص +جـ = 0‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ جـ‬‫ أى أن: ص = ب وهى معادلة مستقيم موازى لمحور السينات‬ ‫ ‬ ‫ويمر بالنقطة (0، - جـ )‬ ‫ب‬ ‫فإن: ‪C‬س + ب ص = 0‬ ‫3- إذا كان جـ = 0 ‬ ‫ وهى معادلة مستقيم يمر بنقطة األصل.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫‬ ‫‪Scientific calculator‬‬ ‫‌ أى من المستقيمات اآلتية يكون موازيا لمحور الصادات، وأيها يكون مواز يا‬ ‫ً‬ ‫لمحور السينات، وأيها يمر بنقطة األصل، ثم أوجد إحداثيات نقاط التقاطع‬ ‫مع محورى اإلحداثيات (إن وجدت).‬ ‫ب س + 3ص = 0‬ ‫أ 2س + 3 = 0 ‬ ‫ ‬ ‫د ص–5=0‬ ‫ج‍ 2س + 3ص = 21 ‬ ‫ ‬ ‫تفكير ناقد: إذا كان ل خطًّا مستقيما، ق نقطة فى المستوى، ق ∉ ل‬ ‫ً‬ ‫فكم عدد المستقيمات التى تمر بالنقطة ق وتوازى الخط المستقيم ل؟‬ ‫09‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ق‬ ‫ل‬
  • 98.
    ‫ميقتسملا طخلا ةلداعم‬ ‫ميلالخط الم�ستقيم‬ ‫‪Slope of a straight line‬‬ ‫سبق أن عرفت أنه يلزم لتعيين الخط المستقيم تعينا تاما شرطان مثل نقطة‬ ‫ً ًّ‬ ‫معلومة ، ميل الخط المستقيم، كما علمت أن ميل الخط المستقيم (م) المار‬ ‫ص2 - ص‬ ‫بالنقطتين (س1، ص1) ، (س2، ص2) يساوى‬ ‫س2 - س‬ ‫1‬ ‫(س2، ص2)‬ ‫ص2 - ص‬ ‫(س1، ص1)‬ ‫1‬ ‫س2 - س‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫مالحظة (1) إذا كان ل1 // ل2  فإن  م1 = م‬ ‫   أى أنه إذا توازى مستقيمان فإن ميليهما يكونان متساويين، وعكس ذلك صحيح.‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫(2) إذا كان ل1 = ل2 فإن م1 * م2 = -1‬ ‫ ‬ ‫أى أنه حاصل ضرب ميلى المستقيمين المتعامدين = -1 وعكس ذلك صحيح.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد ميل الخط المستقيم المار بكل زوج من النقط التالية، وبين أيا من هذه المستقيمات متواز يا وأيها‬ ‫ً‬ ‫ًّ‬ ‫متعامد:‬ ‫ب (4، 0) ، (2، -1)‬ ‫أ ‬ ‫(3، 1) ، (-2، 5)‬ ‫ ‬ ‫د (-5، -2) ، (-1، 3)‬ ‫ج‍ ‬ ‫(7، -1) ، (3، -3)‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫م‬ ‫متجه اتجاه المستقي ‬ ‫‪Direction vector of a straight line‬‬ ‫كل متجه غير صفرى يمكن تمثيله بقطعة مستقيمة موجهة على خط مستقيم يسمى متجه‬ ‫اتجاه للخط المستقيم ل‬ ‫تعريف‬ ‫فإذا كانت النقاط ‪ ،C‬ب، جـ ∈ ل  فإن ‪ C‬ب ، ب جـ ، جـ ‪ C‬متجهات اتجاه للخط المستقيم.‬ ‫ل‬ ‫‪C‬‬ ‫ً‬ ‫فمثـــال: إذا كان ى = (2، 1) متجه اتجاه للمستقيم‬ ‫   فإن كل من المتجهات (4، 2)، (-2، -1)، (1، 1 )،... متجه اتجاه لهذا المستقيم.‬ ‫اًّ‬ ‫2‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫وبوجه عام إذا كان ى = (‪ ،C‬ب) متجه اتجاه للمستقيم‬ ‫ ‬ ‫فإن ك ى حيث ك ∈ ح – {0} متجه اتجاه لنفس المستقيم. لماذا؟‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‌ إذا كان ى = (2، -3) متجه اتجاه لمستقيم فأى مما يأتى يكون متجه اتجاه لنفس المستقيم؟‬ ‫أ ‬ ‫(-2، 3).‬ ‫ج‍ ‬ ‫(2، 3).‬ ‫ب ‬ ‫د ‬ ‫(-2، -3).‬ ‫(6، -9).‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫19‬
  • 99.
    ‫معادلة الم�ستقيم بمعلوميةنقطة عليه ومتجه االتجاه له‬ ‫�أوالً: ال�صيغة المتجهة‬ ‫ ‪Vector form‬‬ ‫ن‬ ‫لتعيين معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة ق، والمتجه ى متجه اتجاه له،‬ ‫ق‬ ‫نفرض نقطة ن تقع على الخط المستقيم ل.‬ ‫‪S‬‬ ‫وأن ‪ ، S‬ق هما المتجهان الممثالن بالقطعتين المستقيمتين الموجهتين‬ ‫ى‬ ‫ل‬ ‫ق‬ ‫و‬ ‫و ن ، و ق على الترتيب، حيث و أى نقطة فى المستوى.‬ ‫إذن، يوجد عدد ك ∈ ح – {0} بحيث أن ق ن = ‪ - S‬ق = ك ى‬ ‫وبالتالى فإن:‬ ‫‪ = S‬ق +ك ى‬ ‫تسمى هذه الصورة بالمعادلة المتجهة للخط المستقيم ل المار بالنقطة ق، والمتجه ى متجه اتجاه له.‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ اكتب المعادلة المتجهة للمستقيم الذى يمر بالنقطة (2، -3) ومتجه االتجاه له (1، 2).‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫بفرض أن المستقيم يمر بالنقطة ق (2، -3)  ، ‬ ‫ ‬ ‫` المعادلة المتجهة للمستقيم هى ‪ + )3 -،2( = S‬ك(1، 2).‬ ‫‪ = S a‬ق + ك ‬ ‫ى‬ ‫ ‬ ‫ى = (1، 2)‬ ‫ الصورة المتجهة لمعادلة المستقيم.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ اكتب المعادلة المتجهة للمستقيم الذى يمر بالنقطة (- 4،3) ومتجه االتجاه له (2،5).‬ ‫ثانيًا: المعادالت الو�سيطية (البارامترية)‬ ‫‪The parametric equations‬‬ ‫المعادلة المتجهة هى ‪ = S‬ق + ك ى‬ ‫(س، ص)‬ ‫إذا كانت ق (س1، ص1) ، ‪( S‬س، ص) بالنسبة لنظام إحداثى متعامد،‬ ‫‪S‬‬ ‫ى‬ ‫و نقطة األصل، كان ى = (‪ ،C‬ب)‬ ‫و‬ ‫فإن معادلة المستقيم هي (س ، ص) = (س1 ، ص1) + ك ( ‪ ، C‬ب)‬ ‫ومنها ينتج أن: س = س1 + ك ‪  ، C‬ص = ص1 + ك ب‬ ‫وهما المعادلتان الوسيطيتان للخط المستقيم المار بالنقطة (س1، ص1)‬ ‫والمتجه ى = (‪ ،C‬ب) متجه اتجاه له. حيث ك ∈ ح – {0}.‬ ‫29‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ق (س1، ص1)‬ ‫ل‬ ‫‪S‬‬ ‫ق‬ ‫و‬
  • 100.
    ‫ميقتسملا طخلا ةلداعم‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ اكتب المعادلتين الوسيطيتين (البارامتريتين) للمستقيم الذى يمر بالنقطة (4، -3) ومتجه اتجاه له (2، 3).‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫بفرض أن ق (4، -3) ∈ للمستقيم ل ،   ى = (2، 3)‬ ‫` المعادلة المتجهة للمستقيم ل هى (س، ص) = (4،- 3) + ك(2، 3) ‬ ‫  وتكون المعادلتان س = 4 + 2 ك ، ص = -3 + 3 ك ‬ ‫الصورة المتجهة‬ ‫المعادلتان البارامتريتان‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ اكتب المعادلتين البارامتريتين للمسقيم الذى يمر بالنقطة (0، 5) ومتجه االتجاه له هو (-1، 4).‬ ‫ً‬ ‫ثالثا: المعادلة الكارتيزية‬ ‫‪Cartesian Equation‬‬ ‫بحذف ك من المعادلتين البارامتريتين: س = س1 + ك ‪ ، C‬ص = ص1 + ك ب‬ ‫س-س‬ ‫ص-ص‬ ‫1 =‬ ‫نحصل على المعادلة: ‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫ب‬ ‫وبوضع‬ ‫‪C‬‬ ‫= م (حيث م هو ميل ‬ ‫المستقيم)‬ ‫1‬ ‫ ‬ ‫ص-ص‬ ‫ب‬ ‫أى أن: =‬ ‫س-س‬ ‫‪C‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫ص-ص‬ ‫فإن المعادلة تصبح على الصورة: م =‬ ‫س-س‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد المعادلة الكارتيزية للخط المستقيم الذى يمر بالنقطة (3،-4) ومتجه االتجاه له (2، -1)‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫م = -1‬ ‫2‬ ‫ص-ص‬ ‫1‬ ‫م=‬ ‫س-س‬ ‫1‬ ‫1 ص - (-4)‬‫2 =‬ ‫س-3‬ ‫2ص + 8 = - س + 3‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫س + 2 ص + 5 = 0 ‬ ‫ميل المستقيم م =‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫معادلة المستقيم بمعلومية ميله ونقطة تنتمى إليه.‬ ‫بالتعويض عن م = -1 ، س1 = 3، ص1 = - 4‬ ‫2‬ ‫حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين.‬ ‫الصورة العامة.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد المعادلة الكارتيزية للخط المستقيم الذى يمر بالنقطة (3، -4) ويصنع زاوية قياسها 54‪ c‬مع االتجاه‬ ‫الموجب لمحور السينات.‬ ‫أض‬ ‫م‬ ‫ف إل‬ ‫ى‬ ‫عل‬ ‫تفكير ناقد: أوجد المعادالت المتجهة والمعادالت الكارتيزية للخط المستقيم‬ ‫وما‬ ‫تك‬ ‫المار بالنقطة (س1، ص1) ومتجه االتجاه له ى = (‪ ،C‬ب) فى الحاالت اآلتية:‬ ‫متجه اتجاه المستقيم الذى‬ ‫أولاً: إذا كان المستقيم يوازى محور الصادات.‬ ‫يمر بنقطة األصل والنقطة‬ ‫(س1، ص1) هو‬ ‫ثانيا: إذا كان المستقيم يوازى محور السينات.‬ ‫ً‬ ‫ى = (س1، ص1)‬ ‫ً‬ ‫ثالثا: إذا كان المستقيم يمر بنقطة األصل.‬ ‫وميله هو‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫39‬
  • 101.
    ‫تعلم‬ ‫م‬ ‫متجه اتجاه العمودىللمستقي ‬ ‫‪The perependicular direction vector of a straight line‬‬ ‫إذا كان ى = (‪ ،C‬ب) متجه اتجاه مستقيم فإن أيا من عائلة المتجهات التى‬ ‫ًّ‬ ‫على الصورة ك (ب، -‪ )C‬حيث ك ∈ ح - {0} يكون متجه اتجاه العمودى على‬ ‫ق‬ ‫المتجه ى .‬ ‫‪S‬‬ ‫ن‬ ‫وبالعكس إذا كان ن = (‪ ،C‬ب) عموديا على خط مستقيم فإن أيا من عائلة‬ ‫س‬ ‫ًّ‬ ‫ًّ‬ ‫ن‬ ‫و‬ ‫المتجهات التى على الصورة ك (ب، -‪ )C‬حيث ك ∈ ح - {0} يكون متجه اتجاه‬ ‫المستقيم.‬ ‫فمثلاً: إذا كان ى = (3، 2) متجه اتجاه للمستقيم فإن متجه اتجاه العمودى له هو (-2، 3)، (2، -3)، (-4، 6)، ...‬ ‫ى‬ ‫ص‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان ى = ( 1‬ ‫2 ، 1) متجه اتجاه للمستقيم فإن جميع المتجهات التالية عموديا على المستقيم عدا المتجه:‬ ‫ً‬ ‫د (4، -2)‬ ‫ج‍ (-1، - 1 ) ‬ ‫ب (2، -1) ‬ ‫أ (1، - 1 ) ‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ إذا كان المستقيم الذى يمر بالنقطة ق (- 3، 5) والمتجه (- 1، 2) عمودى عليه فأوجد:‬ ‫ب المعادلة الكارتيزية للمستقيم.‬ ‫أ المعادلة المتجهة للمستقيم. ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫أ ‪ a‬المستقيم المار بالنقطة ق (-3، 5) عمودى على المتجه (-1، 2).‬ ‫ ‬ ‫` متجه اتجاه المستقيم هو ى = (2، 1)‬ ‫ ‬ ‫` ‪ + )5 ،3-( = S‬ك(2، 1)‬ ‫ ‬ ‫‪ a‬المعادلة المتجهة للمستقيم هى: ‪ = S‬ق + ك ى‬ ‫ص-ص‬ ‫ب ‪ a‬معادلة المستقيم الذى ميله م ويمر بالنقطة (س1، ص1) هى: م =‬ ‫ ‬ ‫س-س‬ ‫1‬ ‫بالتعويض عن م = 1 وإحداثى النقطة (-3، 5).‬ ‫ ` 1 = ص - 5 ‬ ‫2‬ ‫2 س+3‬ ‫ ` س + 3 = 2 ص – 01‬ ‫1‬ ‫ ‬ ‫وتكون س – 2 ص + 31 = 0 هي المعادلة الكارتيزية للمستقيم.‬ ‫فكر: أوجد المعادلة الكارتيزية لنفس المستقيم، وذلك بحذف ك من المعادلتين البارامتريتين.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان المستقيم المار بالنقطة ‪ )3 - ،2( X‬عموديا على المتجه ى = (- 1، 2) فأوجد:‬ ‫ً‬ ‫ب المعادلتين البارامتريتين للمستقيم.‬ ‫أ المعادلة المتجهة للمستقيم. ‬ ‫ ‬ ‫ج‍ المعادلة الكارتيزية للمستقيم.‬ ‫ ‬ ‫49‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 102.
    ‫ميقتسملا طخلا ةلداعم‬ ‫تعلم‬ ‫‬ ‫ت‬ ‫معادلةالمستقيم بمعلومية الجزءين المقطوعين من محورى اإلحداثيا ‬ ‫‪The Equation of the straight line in terms of the two intercepts parts from the two axes‬‬ ‫نعلم أن معادلة المستقيم الذى ميله (م) ويقطع جزءا من محور الصادات طوله ب هى: ص = م س + ب‬ ‫من الشكل المقابل‬ ‫نجد أن ميل المستقيم المار بالنقطتين (‪،0( ،)0،C‬ب) هو: م = - ب (لماذا؟)‬ ‫ص-‬ ‫س - ص1 = م ‬ ‫س‬ ‫1‬ ‫ص-0‬ ‫س-‪C‬‬ ‫=-‬ ‫‪C‬‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫ ‬ ‫معادلة المستقيم بمعلومية الميل ونقطة‬ ‫ ‬ ‫بالتعويض عن إحداثى نقاط التقاطع‬ ‫‪ C‬ص = - ب س + ‪ C‬ب ‬ ‫ب س + ‪ C‬ص = ‪ C‬ب ‬ ‫س‬ ‫‪C‬‬ ‫(0، ب)‬ ‫ب‬ ‫(‪)0 ،C‬‬ ‫حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين‬ ‫‪C‬‬ ‫بقسمة الطرفين على ‪ C‬ب‬ ‫ص‬ ‫+ ب =1‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد طولى الجزءين المقطوعين من المحورين بالمستقيم: 3 س + 4 ص – 21 = 0‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫س ص‬ ‫بوضع المعادلة على الصورة + ب = 1‬ ‫‪C‬‬ ‫س ص‬ ‫` 4 + 3 = 1 (لماذا؟)‬ ‫` طوال الجزأين المقطوعين من المحورين السينى والصادى هما 4، 3 على الترتيب‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد طولى الجزأين المقطوعين من المحورين بالمستقيم: 5 س – 3 ص = 51‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫أوجد المعادلة العامة للمستقيم فى الحاالت اآلتية:‬ ‫أ يقطع محورى اإلحداثيات فى النقطتين (3، 0)، (0، - 4).‬ ‫ب يمر بالنقطة (3، 1) ويوازى المستقيم 2 س – 3 ص + 7 = 0‬ ‫ج‍ يمر بالنقطة (0، - 1) ومتجه االتجاه له (2، -3)‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫59‬
  • 103.
    ‫قياس الزاوية بينمستقيمين‬ ‫4 ‍‬ ‫‪Measure of the angle between two straight lines‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫تعلم‬ ‫اجياد قياس الزاوية احلادة بني‬ ‫مستقيمني.‬ ‫ن‬ ‫قياس الزاوية الحادة بين مستقيمي ‬ ‫‪Measure of the acute angle between two straight lines‬‬ ‫‬ ‫ل‬ ‫ل1 ص‬ ‫إذا كانت هـ قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين ل1، ل‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫اللذين ميالهما م1، م2 فإن:‬ ‫ ‬ ‫مـثـال‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫زاوية بني مستقيمني‬ ‫ ‪Anagle between two straight lines‬‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫‬ ‫69‬ ‫2‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫الحل‬ ‫أ نوجد ميل كل من المستقيمين:‬ ‫ ‬ ‫(م ) = -3 = 3‬ ‫ميل المستقيم األول‬ ‫1 -4 4 ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪Scientific calculator‬‬ ‫حيث م1م2 ! -1‬ ‫س هـ‬ ‫1‬ ‫هـ‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫‌ أوجد قياس الزاوية الحادة بين كل زوج من أزواج المستقيمات اآلتية‬ ‫ 3 س – 4 ص – 11 = 0 ، س + 7 ص + 5 = 0‬ ‫ ‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫| |‬ ‫م1 - م‬ ‫ ظا هـ = 1 + م م‬ ‫1 2‬ ‫2‬ ‫هـ‬ ‫(م ) = -1‬ ‫2 7‬ ‫ ‬ ‫| |‬ ‫م1 - م‬ ‫2‬ ‫ظاهـ = 1 + م م ‬ ‫1 2‬ ‫ميل المستقيم الثانى‬ ‫|‬ ‫| || |‬ ‫3 - (- 1 )‬ ‫7‬ ‫ظاهـ = 4‬ ‫1 + 3 (- 1 )‬ ‫7‬ ‫4‬ ‫3+1‬ ‫   = 4 37 =‬ ‫1 - 82‬ ‫|‬ ‫صيغة القانون‬ ‫تذكر‬ ‫ميل الخط المستقيم‬ ‫‪C‬س + ب ص + جـ = 0‬ ‫يساوى -‪C‬‬ ‫ب‬ ‫ بالتعويض عن قيمتى م ، م‬ ‫1 2‬ ‫12 + 4‬ ‫82‬ ‫82 - 3‬ ‫82‬ ‫=1‬ ‫   هـ = 54‪c‬‬ ‫تعبير شفهى: اذكر العالقة بين المستقيمين ل1، ل2 فى الحاالت اآلتية:‬ ‫أ إذا كان ظل الزاوية بينهما يساوى صفرا.‬ ‫ً‬ ‫ب إذا كان ظل الزاوية بينهما غير معرف.‬ ‫جـ إذا كان ميل األول م1 وميل الثانى م2 فاذكر العالقة بين م1، م2 فى أ ، ب .‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 104.
    ‫نيميقتسم نيب ةيوازلاسايق‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد قياس الزاوية الحادة بين كل زوج من أزواج المستقيمات اآلتية:‬ ‫أ ‪ + )2- ،0( = S‬ك(3، -1) ،  ‪ + )5 ،0( = S‬ك(1، 2).‬ ‫ ‬ ‫ج‍ 2ص = 3 ، 2س + ص = 4‬ ‫ب س + 2ص + 3 = 0 ، س – 3ص + 1 = 0 ‬ ‫ ‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ الربط بالهندسة: ‪ C‬ب جـ مثلث فيه ‪ ،)5 ،0( C‬ب (2، -1)، جـ (6، 3) أثبت أن المثلث متساوى الساقين،‬ ‫ثم أوجد قياس زاوية ‪.C‬‬ ‫الحل‬ ‫ البعد بين نقطتين = (س2 - س1)2 + (ص2 - ص1)2 ‬ ‫   ‪ C‬ب = (0 - 2)2 + (5 - (-1))2 = 2 01 ‬ ‫   ‪ C‬جـ = (0 - 6)2 + (5 - 3)2   = 2 01 ‬ ‫   ب جـ = (2 - 6)2 + (-1 - 3)2   = 4 2 ‬ ‫ المثلث متساوى الساقين؛ ألن ‪ C‬ب = ‪ C‬جـ‬ ‫2‬ ‫ نالحظ أن (ب جـ)2 (‪ C‬ب)2 + (‪ C‬جـ)‬ ‫ أى أن ‪ C c‬حادة‬ ‫ م1 = ‬ ‫5 - (-1) = -3‬ ‫ميل ‪ C‬ب‬ ‫0-2‬ ‫صيغة القانون‬ ‫5-3 =- 1‬ ‫م2 = ‬ ‫3‬ ‫0-6‬ ‫ ‬ ‫|‬ ‫ ‬ ‫م -م‬ ‫|‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫ظا ‬ ‫هـ =‬ ‫1+م م‬ ‫|‬ ‫1 2‬ ‫-3 - (- 1 )‬ ‫|‬ ‫=4‬ ‫3‬ ‫ظا ‪ = C‬‬ ‫1 + (-3) (- 1 ) 3‬ ‫3‬ ‫ ‬ ‫ق(‪ c53 َ 7 ً 49 = )C c‬‬ ‫ ‬ ‫ميل ‪ C‬جـ‬ ‫صيغة القانون‬ ‫الحظ‬ ‫عند استخدام قانون الزاوية‬ ‫بين مستقيمين فى إيجاد قياس‬ ‫زاوية داخلة لمثلث يجب أوال‬ ‫تحديد نوع الزاوية (حادة -‬ ‫قائمة - منفرجة)‬ ‫بالتعويض عن قيمتى م ، م‬ ‫1 2‬ ‫باستخدام الحاسبة‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ فى المثال السابق أوجد مساحة سطح المثلث أ ب جـ ألقرب رقمين عشريين.‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ ‬ ‫‌ ‬ ‫‌ ‬ ‫أوجد قياس الزاوية الحادة المحصورة بين المستقيمين ى = (2، 0) + ك(-2، 1)، ‪ + )1 ،3-( = S‬ك(6، 3).‬ ‫أوجد قياس الزاوية الحادة المحصورة بين المستقيم س - 2ص + 3 = 0  والمستقيم المار بالنقطتين‬ ‫(4، -1)، (2، 1).‬ ‫‪ C‬ب جـ مثلث فيه ‪ ،)2 ،0( C‬ب(3، 1)، جـ(-2، -1). أوجد قياس زاوية ‪C‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫79‬
  • 105.
    ‫طول العمود المرسوممن نقطة إلى خط مستقيم‬ ‫4 ‍‬ ‫‪The length of the perpendicular from a point to a straight line‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫تعلم‬ ‫إجياد طول العمود املرسوم من‬ ‫نقطة معلومة إىل خط مستقيم.‬ ‫م‬ ‫إيجاد طول العمود المرسوم من نقطة معلومة إلى خط مستقي ‬ ‫‬ ‫‪The length of the perpendicular from a point to a straight line‬‬ ‫(س1، ص1)‬ ‫إذا كانت النقطة (س1، ص1) ال تنتمى للمستقيم الذى‬ ‫معادلته ‪ C‬س + ب ص + جـ = 0‬ ‫فإن طول العمود (ل) المرسوم من هذه النقطة إلى المستتقيم‬ ‫يتحدد من العالقة: ل = |‪ C‬س + ب ص + جـ|‬ ‫1‬ ‫عمود ‬ ‫خط مستقيم‬ ‫‪Straight Line‬‬ ‫ ‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‪Scientific calculator‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫نفرض أن (س، ص) = (0، 2) + ك (4، 3)‬ ‫` س = 4 ك ، ص = 2 + 3ك (المعادلتان الوسطيتان للمعادلة المتجهة)‬ ‫س ص-2‬ ‫بحذف ك‬ ‫ ‬ ‫4 = 3‬ ‫حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين‬ ‫ ‬ ‫3س = 4ص – 8‬ ‫المعادلة الكارتيزية‬ ‫3س – 4ص + 8 = 0 ‬ ‫ل=‬ ‫|‪ C‬س1 + ب ص + جـ|‬ ‫1 2 ‬ ‫‪ + 2C‬ب‬ ‫صيغة قانون طول العمود‬ ‫بالتعويض: ‪ ، 3 = C‬ب = -4 ، جـ = 8 ، س1 = 4 ، ص1 = -5‬ ‫ل = |3 * 4 - 42 * - 25 + 8| ‬ ‫3 +4‬ ‫  = |21 + 02 + 8| = |04| = 04‬ ‫5 = 8 وحدات طول‬ ‫52‬ ‫9 +61‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫89‬ ‫2‬ ‫‌ أوجد طول العمود المرسوم من النقطة ( 4، -5 ) إلى الخط المستقيم‬ ‫‪ + )2 ،0( = S‬ك(4، 3).‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫‪+ C‬ب‬ ‫2‬ ‫س+‬ ‫ب‬ ‫ص+‬ ‫جـ‬ ‫=0‬ ‫مـثـال‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫‪Perpendicular‬‬ ‫1‬ ‫‪C‬‬ ‫ل‬ ‫‌ أوجد طول العمود المرسوم من النقطة (2، -5) إلى المستقيم:‬ ‫‪ + )0 ،1-( = S‬ك(21، 5).‬ ‫ ‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 106.
    ‫ميقتسم طخ ىلإةطقن نم موسرملا دومعلا لوط‬ ‫‌ تعبير شفهى: اكتب طول العمود المرسوم من النقطة ‪ C‬إلى المستقيم م فى الحاالت اآلتية:‬ ‫أ ‪ ،  )0 ، 0( C‬م : ‪C‬س + ب ص + جـ = 0‬ ‫ ‬ ‫ج‍  ‪( C‬س1، ص1) ، م : س = 0‬ ‫ ‬ ‫ب ‪( C‬س1، ص1) ، م : ص = 0‬ ‫ ‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ في الشكل المقابل:أوجد طول العمود المرسوم من النقطة ‪ )2- ،6( C‬إلى‬ ‫المستقيم المار بالنقطتين ب (4، 4)، جـ (1، 0)، ثم أوجد مساحة سطح‬ ‫المثلث ‪ C‬ب جـ.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫ص2 - ص‬ ‫م = ‬ ‫س2 - س‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫‪ a‬جـ (1، 0) ، ب (4، 4)‬ ‫   ` م = 4 - 0 = 4‬ ‫ ‬ ‫4-1 3‬ ‫ ‬ ‫ص-ص‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫   ل =‬ ‫‪ + 2C‬ب‬ ‫2‬ ‫6 5 4 3 2 1‬ ‫‪C‬‬ ‫1 -2‬‫1‬‫2‬‫3‬‫-4‬ ‫معادلة المستقيم بمعلومية الميل ونقطة عليه‬ ‫1‬ ‫|‪ C‬س1 + ب ص1 + جـ|‬ ‫س‬ ‫جـ‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫بالتعويض بالنقطتين (4، 4)، (1، 0)‬ ‫1‬ ‫ ‬ ‫   م =‬ ‫س-س‬ ‫4 ص- 0‬ ‫ ‬ ‫    =‬ ‫3 س-1‬ ‫ ‬ ‫ فيكون: 4س – 3ص – 4 = 0‬ ‫ ‬ ‫صيغة الميل‬ ‫ب‬ ‫ص‬ ‫بالتعويض عن م = 4‬ ‫3‬ ‫المعادلة الكارتيزية‬ ‫ ‬ ‫صيغة قانون طول العمود‬ ‫فيكون طول العمود المرسوم من النقطة ‪ )2- ،6( C‬إلى المستقيم : 4س - 3ص - 4 = 0‬ ‫هو : ل = |4 * 6 - 3 * - 2 - 4| = |42 + 6 - 4| = 1‬ ‫5‬ ‫2‬ ‫52‬ ‫42 + 3‬ ‫ باعتبار ب جـ قاعدة للمثلث ‪ C‬ب جـ‬ ‫2‬ ‫‪ a‬ب جـ = (س2 - س1)2 + (ص2 - ص1)‬ ‫ ‬ ‫= (4 - 1)2 + (4 - 0)2 = 5 وحدات‬ ‫ ‬ ‫5 وحدة طول‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫  صيغة قانون البعد بين نقطتين‬ ‫  بالتعويض بالنقطتين (4، 4)، (1، 0)‬ ‫مساحة سطح المثلث ‪ C‬ب جـ = 1 طول القاعدة * االرتفاع  صيغة قانون مساحة المثلث‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫         = 1 * 5 * 62 = 31 وحدة مربعة‬ ‫5‬ ‫2‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد طول العمود المرسوم من النقطة (5، 2) إلى الخط المستقيم المار بالنقطتين (0، -3)، (4، 0)‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ طرق طريقان متجاوران مسار الطريق األول تمثله المعادلة 3 س – 4 ص – 7 = 0 ومسار الطريق الثانى‬ ‫تمثله المعادلة 3 س – 4 ص + 11 = 0‬ ‫ أثبت أن الطريقين متوازيان، ثم أوجد أقصر بعد بينهما.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫99‬
  • 107.
    ‫المعادلة العامة للمستقيمالمار بنقطة تقاطع مستقيمين‬ ‫4 ‍‬ ‫‪General equation of the straight line passing through the point of‬‬ ‫‪intersection of two lines‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫كيفية إجياد الصورة العامة ملعادلة‬ ‫اخلط املستقيم املار بنقطة تقاطع‬ ‫مستقيمني‬ ‫فكر‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫سبق أن درست كيفية إيجاد إحداثيي نقطة تقاطع مستقيمين غير متوازيين‬ ‫‪ 1C‬س + ب1 ص +جـ1 = 0، ‪ 2C‬س + ب2 ص +جـ2 = 0‬ ‫فهل يمكنك إيجاد معادلة عدة مستقيمات تمر بنقطة تقاطع المستقيمين السابقين؟‬ ‫تعلم‬ ‫المعادلة العامة للمستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين معلومين‬ ‫‪General equation of the straight line passing through the point of intersection of two given lines‬‬ ‫‪ a‬أى نقطة معلومة يمكن أن يمر بها عدد النهائى من المستقيمات.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫نقطة تقاطع مستقيمني‬ ‫ ‪intersection point of two straight‬‬ ‫‪lines‬‬ ‫معادلة عامة‬ ‫‪General Equation‬‬ ‫` المعادلة التى تمثل جميع المستقيمات المارة بنقطة تقاطع المستقيمين.‬ ‫‪ 1C‬س + ب1 ص + جـ 1 = صفر  ،  ‪ 2C‬س + ب2 ص + جـ 2 = صفر هى:‬ ‫م (‪ 1C‬س + ب1 ص + جـ1 ) + ل (‪ 2C‬س + ب2 ص + جـ2) = صفر ، م ∈‪ ، I‬ل ∈ح (1)‬ ‫ففى حالة  م = صفر تنتج معادلة المستقيم الثانى.‬ ‫فى حالة   ل = صفر تنتج معادلة المستقيم األول.‬ ‫أما فى حالة م ! صفر ، ل ! صفر فتنتج معادلة أى مستقيم يمر بنقطة التقاطع‬ ‫خالف المستقيمين األصليين، ويمكن فى هذه الحالة وضع المعادلة (1) على الصورة:‬ ‫ ‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫‬ ‫مـثـال‬ ‫‪Scientific calculator‬‬ ‫001‬ ‫‪ 1C‬س + ب1ص +جـ1 + ك (‪2C‬س + ب2ص+جـ2) = صفر‬ ‫‬ ‫(2)‬ ‫‌ أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ‪ )4 ،2 -( C‬وبنقطة تقاطع المستقيمين:‬ ‫ س + 2 ص – 5 = 0 ، 2 س – 3 ص + 4 = 0‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 108.
    ‫نيميقتسم عطاقت ةطقنبراملا ميقتسملل ةماعلا ةلداعملا‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫‪ 1C‬س + ب1 ص +جـ + ك (‪ 2C‬س + ب2 ص +جـ) = 0 المعادلة العامة‬ ‫س + 2 ص – 5 + ك ( 2 س – 3 ص + 4) = 0 ‬ ‫ 2 + 2 × 4 – 5 + ك (2×- 2 – 3×4 + 4) = 0 ‬‫1‬ ‫1 – 21ك ‬ ‫= 0  أى  ك = 21‬ ‫1‬ ‫س + 2 ص – 5 + 21 ( 2 س – 3 ص + 4 ) = 0 ‬ ‫21 س + 42 ص – 06 + 2 س – 3 ص + 4 = 0 ‬ ‫41 ‬ ‫س + 12 ص – 65 = 0‬ ‫2 س ‬ ‫+3ص-8=0‬ ‫بالتعويض عن معادلة المستقيمين‬ ‫بالتعويض عن س = - 2 ، ص = 4‬ ‫بالتبسيط‬ ‫بالتعويض عن قيمة ك‬ ‫بضرب طرفى المعادلة فى 21‬ ‫بالتبسيط‬ ‫بقسمة طرفى المعادلة ÷ 7‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ‪)1- ،2( C‬‬ ‫ وبنقطة تقاطع المستقيمين: 7س + ص + 3 = 0 ، 5 س – ص – 3 = 0‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أثبت أن المستقيمين 2س – 3ص + 4 = 0 ، ‪ + )2 ،1( = S‬ك (-2، 3) متقاطعان على التعامد، ثم أوجد:‬ ‫ نقطة تقاطعهما.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫م = -2 = 2  ، م = 3‬ ‫=- 3‬ ‫1 -3 ‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫2 -2‬ ‫` م *م = 2 *- 3‬ ‫1 ‬ ‫2 3 2 =-1‬ ‫ميل المستقيمين.‬ ‫شرط تعامد مستقيمين.‬ ‫‪ a‬م1 * م2 = 1‬ ‫` المستقيمان متقاطعان على التعامد.‬ ‫أ إليجاد نقطة تقاطع المستقيمين، نوجد المعادلة الكارتيزية للمعادلة الثانية.‬ ‫‪( a‬س، ص) = (1، 2) + ك (-2، 3)‬ ‫ص-2‬ ‫‬‫ ` ‬ ‫س-2 1 =‬ ‫3‬ ‫حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسيطين.‬ ‫ ‬ ‫3س – 3 = -2ص + 4‬ ‫بالتبسيط‬ ‫ ‬ ‫3س + 2ص – 7 = 0‬ ‫بحل المعادلتين‬ ‫ 2س – 3ص + 4 = 0، 3س + 2ص – 7 = 0 ‬ ‫ ` س=1،ص=2‬ ‫ وتكون نقطة تقاطع المستقيمين المتعامدين هى (1، 2)‬ ‫بحذف الثابت ك.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أثبت أن المستقيمين س – 4ص + 41 = 0 ، 4س + ص + 5 = 0 متعامدان‬ ‫ ثم أوجد نقطة تقاطعهما ومعادلة المستقيم المار بنقطة التقاطع والنقطة (2، 1).‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫101‬
  • 109.
    ‫تحقق من فهمك‬ ‫إذاكان ل1: 3س + 2ص - 7 = 0، ل2: ‪ + )0 ،2-( = S‬ك (3، 2).‬ ‫فأوجد:‬ ‫‌ المعادلة الكارتيزية للمستقيم ل‬ ‫2‬ ‫‌ قياس الزاوية بين المستقيمان ل1، ل‬ ‫2‬ ‫‌ نقطة تقاطع المستقيمين ل1، ل2.‬ ‫‌ معادلة المستقيم الذى يمر بنقطة تقاطع المستقيمين والنقطة (3، 4)‬ ‫‌ طول العمود المرسوم من نقطة تقاطع المستقيمين إلى الخط المستقيم الذى معادلته 3س - 4ص -9 = 0‬ ‫‌ مساحة سطح المثلث المحدد بالمستقيمين ل1، ل2 ومحور السينات.‬ ‫نشاط‬ ‫يبين الشكل المقابل شبكة تربيعية مقسمة بالميل البحرى، مبين‬ ‫عليها إحداثيات كل من: الميناء أ (4، 5) والجزيرة ب (-6، 3)‬ ‫والسفينة جـ (-2، -3).‬ ‫أوجد:‬ ‫‌ المسافة بالميل البحرى بين الميناء والسفينة.‬ ‫‌ الزمن الذى استغرقته السفينة فى قطع المسافة ‪ C‬ب إذا كانت‬ ‫سرعتها 02 عقدة.‬ ‫‌ النسبة التى تنقسم بها ب جـ بمحور السينات، ثم أوجد إحداثيى‬ ‫نقطة التقسيم.‬ ‫‌ معادلة مسار السفينة إذا كانت تتحرك فى خط مستقيم.‬ ‫‌ أقصر مسافة بين الجزيرة والسفينة.‬ ‫‌ قياس الزاوية المحصورة بين ‪ C‬ب ، ‪ C‬جـ‬ ‫‌ مساحة سطح المثلث ‪ C‬ب جـ‬ ‫‪ C‬ميناء‬ ‫5 4 3 2 1‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫تكنولوجيا:‬ ‫م‬ ‫أض‬ ‫علو‬ ‫جزيرة‬ ‫ب‬ ‫1 -2 -3 -4 -5 -6‬‫1‬‫2‬‫سفينة‬ ‫3 جـ‬‫-4‬ ‫ف إل‬ ‫ى‬ ‫ما‬ ‫تك‬ ‫العقدة هى وحدة قياس سرعة‬ ‫السفن في البحر، وهى تساوى‬ ‫ميل بحرى لكل ساعة. والميل‬ ‫البحرى يساوى 2581 مترا‬ ‫ً‬ ‫علما بأن الميل البرى يساوى‬ ‫ً‬ ‫0061 مترا.‬ ‫‌ استعن بالشبكة الدولية للمعلومات (اإلنترنت).‬ ‫أ ابحث عن الخدمات التى تقدمها الهيئة المصرية لسالمة المالحة البحرية للموانئ والسفن البحرية.‬ ‫ ‬ ‫هل تفضل العمل فى المالحة البحرية؟ لماذا؟‬ ‫ ‬ ‫201‬ ‫ب حدد أهم الموانئ البحرية بجمهورية مصر العربية، وحدد مواقعها.‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 110.
    ‫ملخص الوحدة‬ ‫ ‬ ‫‌ إذا كانت جـ تقسم ‪ C‬ب بنسبة ل2 : ل1 حيث ‪ S ، 2S ، 1S‬هى المتجهات الممثلة بالقطع المستقيمة‬ ‫الموجهة و ‪ ، C‬و ب ، و جـ على الترتيب‬ ‫فإن: ‪= S‬‬ ‫ل1 ‪ + 1S‬ل2 ‪S‬‬ ‫ل1 + ل‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ل1 س1 + ل2 س2 ل1 ص1 + ل2 ص‬ ‫،‬ ‫ ، (س، ص) = ‪l‬‬ ‫ل1 + ل‬ ‫ل1 + ل‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫‌ ميل الخط المستقيم (م):‬ ‫أ الذى يصنع زاوية موجبة (هـ) مع االتجاه الموجب لمحور السينات: م = ظا هـ‬ ‫ ‬ ‫ص2 - ص‬ ‫1‬ ‫ب‬ ‫ ‬ ‫ الذى يمر بالنقطتين (س1،ص1)، (س2،ص2):           م = س - س‬ ‫ج‍ الذى معادلته على الصورة: ‪( = S‬س1،ص1) + ك(‪ ،C‬ب)  م =‬ ‫ ‬ ‫د الذى معادلته على الصورة: ‪ C‬س + ب ص + جـ = 0‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ب‬ ‫2‬ ‫2‪b‬‬ ‫1‬ ‫‪C‬‬ ‫-‪C‬‬ ‫  م = ب‬ ‫‌ إذا كان ن = (‪ ،C‬ب) متجها اتجاه العمودى لمستقيم معلوم، فإن متجه االتجاه لهذا المستقيم هو‬ ‫ً‬ ‫ (ب، -‪ )C‬أو (- ب، ‪.)C‬‬ ‫‌ إذا كان م1، م2 هما ميال مستقيمين معلومين فإن:‬ ‫أ م1 = م2  إذا كان المستقيمان متوازيين. ‬ ‫ ‬ ‫ب م1 * م2 = -1  إذا كان المستقيمان متعامدين.‬ ‫‌ معادالت الخط المستقيم:‬ ‫أ المعادلة المتجهة هى: ‪ + X = S‬ك ى   أى  (س، ص) = (س1، ص1) + ك(‪ ،C‬ب)‬ ‫ ‬ ‫ب المعادالت البارامترية هى: س = س1 + ك ‪ ، C‬ص = ص1 + ك ب‬ ‫ ‬ ‫ص-ص‬ ‫1‬ ‫ج‍ المعادلة الكارتيزية (بمعلومية الميل ونقطة معلومة): م =‬ ‫ ‬ ‫س-س‬ ‫1‬ ‫د بمعلومية الميل (م) وطول الجزء المقطوع من محور الصادات جـ:  ص = م س + جـ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ه‍ ‬ ‫و ‬ ‫ز ‬ ‫س ص‬ ‫بمعلومية طولى الجزءين المقطوعين ‪ ، C‬ب من محورى السينات والصادات على الترتيب: + ب = 1‬ ‫‪C‬‬ ‫الصورة العامة لمعادلة المستقيم: ‪ C‬س + ب ص + جـ = 0 حيث ‪ ، C‬ب ال يساويا الصفر معا.‬ ‫ً‬ ‫المعادلة العامة للمستقيم الماربنقطة تقاطع مستقيمين معلومين هى:‬ ‫‪ 1C‬س + ب1 ص +جـ + ك (‪ 2C‬س + ب2 ص +جـ) = 0  حيث ك ! 0‬ ‫| |‬ ‫م1 - م‬ ‫‌ إذا كانت (هـ) هى قياس الزاوية الحادة بين المستقيمين ل1، ل2 اللذين ميالهما م1، م2 فإن: ظاهـ =‬ ‫1+م م‬ ‫1 2‬ ‫حيث م1م2 ! -1‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫‌ طول العمود (ل) المرسوم من النقطة (س1، ص1) إلى المستقيم ‪ C‬س + ب ص + جـ = 0 هو:‬ ‫ل=‬ ‫| ‪ C‬س1 + ب ص1 + جـ |‬ ‫‪ + 2C‬ب‬ ‫2‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫301‬
  • 111.
    ‫الوحدة‬ ‫5‬ ‫حساب المثلثات‬ ‫‪Trigonometry‬‬ ‫أهداف الوحدة‬ ‫فينهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:‬ ‫ً‬ ‫• •يستنتج العالقات األساسية بين الدوال المثلثية .‬ ‫• •يوجد مساحة المثلث ومساحة الشكل الرباعى ومساحة‬ ‫• •يحل معادالت مثلثية بسيطة فى الصورة العامة فى الفترة‬ ‫• •يحل مسائل متنوعة على حساب المثلثات.‬ ‫• •يثبت صحة متطابقات على الدوال المثلثية .‬ ‫[0، 2‪[r‬‬ ‫المضلع المنتظم.‬ ‫• •يستخدم تكنولوجيا المعلومات فى التعرف على التطبيقات‬ ‫• •يتعرف الحل العام للمعادلة المثلثية.‬ ‫المتعددة للمفاهيم األساسية لحساب المثلثات.‬ ‫• •يحل تطبيقات تشمل زوايا االرتفاع واالنخفاض.‬ ‫مثلثية.‬ ‫• •يحل المثلث القائم الزاوية.‬ ‫• •يتعرف القطاع الدائرى وكيفية إيجاد مساحته.‬ ‫• •يتعرف القطعة الدائرية وكيفية إيجاد مساحتها.‬ ‫• •ينمذج بعض الظواهر الفيزيائية والحيوية والتى تمثل بدوال‬ ‫• •يستخدم أنشطة لبرامج الحاسب اآللى‬ ‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪Ñ Ñ‬متطابقة مثلثية‬ ‫‪Ñ Ñ‬معادلة مثلثية‬ ‫‪Ñ Ñ‬زاوية ارتفاع‬ ‫‪Trigonometric identitie‬‬ ‫‪Trigonometric equation‬‬ ‫‪Angle of elevation‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬زاوية انخفاض‬ ‫‪Ñ Ñ‬قطاع دائرى‬ ‫‪Ñ Ñ‬قطعة دائرية‬ ‫‪Angle of depression‬‬ ‫‪Circular sector‬‬ ‫‪Circular Segment‬‬
  • 112.
    ‫دروس الوحدة‬ ‫الدرس (5- 1): المتطابقات المثلثية.‬ ‫الدرس (5 - 2): حل المعادالت المثلثية.‬ ‫الدرس (5 - 3): حل المثلث القائم الزاوية.‬ ‫الدرس (5 - 4): تطبيقات تشمل زوايا االرتفاع واالنخفاض.‬ ‫الدرس (5 - 5): القطاع الدائرى.‬ ‫الدرس (5 - 6): القطعة الدائرية.‬ ‫الدرس (5 - 7): مساحة المثلث، مساحة الشكل الرباعى،‬ ‫مساحة المضلع المنتظم.‬ ‫األدوات المستخدمة‬ ‫آلة حاسبة علمية - ورق مربعات - حاسب آلى متصل باالنترنت‬ ‫ برامج رسومية‬‫نبذه تاريخية‬ ‫حساب المثلثات هو أحد فروع علم‬ ‫الرياضيات، وهذا فرع كما هو واضح من اسمه‬ ‫يتعلق بالحسابات الخاصة بالمثلث من حيث‬ ‫زواياه وأضالعه. ويذكر بعض المؤرخين أن‬ ‫الرياضى العربى نصير الدين الطوسى هو أول‬ ‫من فصل حساب المثلثات عن الفلك، كما‬ ‫يذكر المؤرخون أن طاليس (006 قبل الميالد)‬ ‫تعرض لحساب المثلثات،عندما تمكن من قياس‬ ‫ارتفاع الهرم عن طريق المقارنة بين طول ظل‬ ‫عصا رأسية وطول ظله فى نفس الوقت.‬ ‫ولقد كان لحساب المثلثات نصيبه من‬ ‫اهتمامات العرب. ويذكر أن اصطالح (الظل)‬ ‫قد وصفه العالم العربى أبو الوفا البوزجانى فى‬ ‫القرن العاشر الميالدى. وهذا االصطالح مأخوذ‬ ‫من ظالل األجسام، التى تتكون نتيجة سير الضوء‬ ‫المنبعث من الشمس فى خطوط مستقيمة.‬ ‫مخطط تنظيمي للوحدة‬ ‫حساب المثلثات‬ ‫حل المثلث القائم الزاوية‬ ‫المتطابقات المثلثية‬ ‫المعادالت المثلثية‬ ‫حل المعادلة فى فترة‬ ‫بمعلومية ضلع‬ ‫وزاوية‬ ‫بمعلومية ضلعين‬ ‫الحل العام للمعادلة‬ ‫زاويا االرتفاع‬ ‫زاويا االنخفاض‬ ‫تطبيقات حياتية‬ ‫استخدام‬ ‫التكنولوجيا‬ ‫المساحة‬ ‫القطاع الدائرى‬ ‫القطعة الدائرية‬ ‫المثلث‬ ‫الشكل الرباعى‬ ‫المضلع المنتظم‬ ‫كما أن للعرب إضافات عديدة فى حساب المثلثات المستوى والكُرى أو الكروى (نسبة إلى سطح الكرة)، وعنهم أخذ‬ ‫َ ّ‬ ‫الغربيون المعلومات الهامة وأضافوا أيضا الكثير، حتى أصبح حساب المثلثات متضمنًا فى العديد من األبحاث الرياضية،‬ ‫ً‬ ‫وأصبحت تطبيقاته فى شتى المناحى العلمية والعملية. وساهم ذلك فى دفع عجلة التقدم والحضارة.‬
  • 113.
    ‫المتطابقات المثلثية‬ ‫5 ‍‬ ‫‪TrigonometricIdentities‬‬ ‫العالقات األساسية بين الدوال المثلثية‬ ‫‪Basic Relations Among Trigonometric Functions‬‬ ‫‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫مفهوم املتطابقة املثلثية .‬ ‫تبسيط املقادير املثلثية.‬ ‫إثبات صحة متطابقة مثلثية .‬ ‫فكر‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫ب (س، ص)‬ ‫سبق أن درست فى الفصل الداسى األول بعض‬ ‫خواص الدوال المثلثية ورسومها البيانية، وفى هذه‬ ‫الوحدة سوف تستخدم المتطابقات المثلثية؛ وذلك‬ ‫لتبسيط المقادير وحل المعادالت المثلثية.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫معادلة ‬ ‫متطابقة‬ ‫‪Equation‬‬ ‫‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫‪Scientific calculator‬‬ ‫‬ ‫‪i‬‬ ‫‪C‬‬ ‫و‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫تعلم المتطابقات والمعادالت المثلثية‬ ‫‪Trigonometric Identities and Equations‬‬ ‫المتطابقة: هى متساوية صحيحة لجميع قيم المتغير الحقيقية والذى يعرف به كل‬ ‫ُْ‬ ‫طرف من طرفى المتساوية.‬ ‫فمثال: جا ( ‪ = )i - r‬جتا ‪  i‬متطابقة صحيحة لجميع قيم ‪ i‬الحقيقية.‬ ‫2‬ ‫المعادلة: هى متساوية صحيحة لبعض األعداد الحقيقية التى تحقق هذه المتساوية‬ ‫وغير صحيحة للبعض اآلخر الذى ال يحققها.‬ ‫اً‬ ‫فمثل: جا‪[r 2 ،0[ ∈ i  ،  1 = i‬‬ ‫2‬ ‫نجد أن:قيم ‪ i‬التى تحقق هذه المعادلة والتى تنتمى إلى الفترة [0، 2‪[r‬‬ ‫هى ‪ r5 ، r‬فقط.‬ ‫6 6‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫601‬ ‫1‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫وسبق أن درست دائرة الوحدة وعلمت أن ‪ Cc‬و ب الموجهة فى الوضع القياسى وضلعها‬ ‫النهائى و ب يقطع دائرة الوحدة فى نقطة ب(س، ص) حيث ‪ Cc(X‬و ب) = ‪،i‬‬ ‫ب(جتا‪ ،i‬جا‪ )i‬فهل يمكنك استنتاج بعض العالقات األساسية بين الدوال المثلثية؟‬ ‫‪Identity‬‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫س‬ ‫ص‬ ‫‌ أى من العالقات اآلتية تمثل معادلة وأيها تمثل متطابقة.‬ ‫3‬ ‫ب ظا ( 3‪ - = )i + r‬ظتا ‪i‬‬ ‫أ جتا ‪ 2 = i‬‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫د جا (‪ = )i - r‬جا ‪i‬‬ ‫ج‍ ظتا ‪ 1  - = i‬‬ ‫ ‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫3‬
  • 114.
    ‫ةيثلثملا تاقباطتملا‬ ‫ة‬ ‫المتطابقات المثلثيةاألساسي ‬ ‫‪Basic Trigonometric Identities‬‬ ‫1- سبق أن درست الدوال المثلثية األساسية ومقلوباتها وعلمت أن:‬ ‫جا ‪  ،  i1 = i‬جتا ‪ = i‬قا1‪  ،  i‬ظا ‪=   i‬‬ ‫قتا‬ ‫قتا ‪  ،  i 1 = i‬قا ‪  ،  i 1 =      i‬ظتا ‪= i‬‬ ‫جتا‬ ‫جا‬ ‫1‬ ‫ظتا ‪i‬‬ ‫1‬ ‫ظا ‪i‬‬ ‫ب/ (س/، ص/)‬ ‫2- الدوال المثلثية للزاويتين المتتامتين:‬ ‫ب‬ ‫(س، ص)‬ ‫جا( ‪ = )i - r‬جتا‪  ،  i‬جتا( ‪ = )i - r‬جا‪i‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ظا( ‪ = )i - r‬ظتا‪  ،   i‬قتا( ‪ =     )i - r‬قا‪i‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫قا( ‪ =   )i - r‬قتا‪  ،     i‬ظتا( ‪ =    )i - r‬ظا‪i‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫3- متطابقة الزاويتين ‪:i- ، i‬‬ ‫ نالحظ من الشكل المقابل أن:‬ ‫× ×س = جتا ‪ ، i‬س = جتا(-‪)i‬‬ ‫س‬ ‫(س، ص)‬ ‫س‬ ‫× ×ص = جا ‪- ، i‬ص = جا(-‪)i‬‬ ‫ص‬ ‫ص‬ ‫1‬ ‫‪i‬‬ ‫-‪i‬‬ ‫(09‪)i - c‬‬ ‫‪H‬‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪i‬‬ ‫و‬ ‫ص‬ ‫م‬ ‫و‬ ‫أض‬ ‫علو‬ ‫ف إل‬ ‫ى‬ ‫ما‬ ‫تك‬ ‫تسمى متطابقات الزاويتين‬ ‫‪ θ- ،θ‬بمتطابقات الدوال‬ ‫الزوجية والفردية، وستدرس‬ ‫فى صف دراسى الحق.‬ ‫جا(-‪ - = )i‬جا ‪   ،   i‬جتا(-‪ = ) i‬جتا ‪i‬‬ ‫قتا(-‪ - = )i‬قتا ‪     ،    i‬قا(-‪ =  )i‬قا ‪i‬‬ ‫ظا(-‪ - = )i‬ظا ‪     ،   i‬ظتا(-‪ - =  )i‬ظتا ‪i‬‬ ‫4- متطابقات فيثاغورث:‬ ‫ نعلم من دائرة الوحدة أن:‬ ‫س2 + ص2 = 1  1   وبالتعويض عن س = جتا‪  ، i‬ص = جا‪i‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫فإن:   جتا2 ‪ + i‬جا2 ‪1 = i‬‬ ‫وبقسمة طرفى العالقة 1 على س2 فإن:‬ ‫س2 + ص2 = 1‬ ‫2‬ ‫س2 س2 س‬ ‫أى أن: ‬ ‫1 + ظا2 ‪ = i‬قا2 ‪i‬‬ ‫/‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫من تطابق المثلثين: و ‪ C‬ب، ب/ جـ و‬ ‫نجد أن: ص/ = س، س/ = ص‬ ‫(س، -ص)‬ ‫لذلك فإن:‬ ‫ص‬ ‫ب (س، ص)‬ ‫س‬ ‫ص‬ ‫1‬ ‫‪i‬‬ ‫‪C‬‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫و‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫وبقسمة طرفى العالقة 1 على ص2 فإن:‬ ‫س2 ص2 1‬ ‫ص2 + ص2 = ص2 ‬ ‫أى أن:  1 + ظتا2 ‪ = i‬قتا2 ‪i‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫701‬
  • 115.
    ‫س‬ ‫ص‬ ‫5- التعبيرعن ظا‪ = i‬س ، ظتا ‪ = i‬ص ، بداللة جا ‪ ،i‬جتا ‪:i‬‬ ‫جا ‪i‬‬ ‫` ظا ‪= i‬‬ ‫جتا ‪i‬‬ ‫ ‬ ‫         ،          `‬ ‫ظتا ‪ = i‬جتا ‪i‬‬ ‫جا ‪i‬‬ ‫تب�سيط المقادير المثلثية:‬ ‫المقصود بتبسيط المقادير المثلثية هو وضعها فى ابسط صورة، وذلك باستخدام المتطابقات المثلثية األساسية.‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ اكتب فى أبسط صورة:   (جا ‪ + i‬جتا ‪ 2 – 2)i‬جا ‪ i‬جتا ‪ i‬‬ ‫الحل‬ ‫أ (جا ‪ + i‬جتا ‪ 2 – 2)i‬جا ‪ i‬جتا ‪i‬‬ ‫الحظ أن‬ ‫جا‪ × i‬جا‪( = i‬جا‪ = 2)i‬جا2‪i‬‬ ‫ ‬ ‫ المقدار = جا2 ‪ + i‬جتا2 ‪ 2 + i‬جا ‪ i‬جتا ‪ 2 – i‬جا ‪ i‬جتا ‪  i‬بفك األقواس‬ ‫2‬ ‫        = جا2 ‪         + i‬بالتبسيط‬ ‫جتا ‪i‬‬ ‫        = 1     بتطبيق متطابقة فيثاغورث:‬ ‫ ويمكن التحقق من الناتج باستخدام أحد البرامج الرسومية الموضحة بالشكل التالى:‬ ‫‌ اكتب في أبسط صورة:  ‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫1 + ظا2 ‪i‬‬ ‫1 + ظتا2 ‪i‬‬ ‫1 + ظا ‪i‬‬ ‫2‬ ‫المقدار:       1 + ظتا2 ‪ i‬‬ ‫قا2 ‪i‬‬ ‫ بتطبيق متطابقة فيثاغورث: المقدار =‬ ‫قتا2 ‪i‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫                = 2 ÷‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫جتا ‪ i‬جا ‪i‬‬ ‫جا2 ‪i‬‬ ‫                        = 2 = ظا2 ‪i‬‬ ‫ ‬ ‫جتا ‪i‬‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ ضع كال من المقادير اآلتية فى أبسط صورة ثم تحقق من صحة الناتج:‬ ‫ ‬ ‫801‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫أ جتا2 ‪ - i‬ظتا2 ‪ i‬‬ ‫ب جتا ( ‪ )i - r‬قا ( ‪ )i - r‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫‪r‬‬ ‫‍ جا ( 2 - ‪)i‬‬ ‫ج‬ ‫جتا (2‪)i -r‬‬
  • 116.
    ‫ةيثلثملا تاقباطتملا‬ ‫المتطابقات المثلثية‬ ‫‪trigonometricidentities‬‬ ‫عند إثبات صحة متطابقة مثلثية نثبت أن الدالتين المحددتين لطرفيها متساويتان‬ ‫وللتحقق من عدم صحة الجملة: جتا2 ‪2 = i‬جا ‪ i‬جتا ‪i‬‬ ‫نرسم الشكل البيانى لكل من الدالتين:‬ ‫د(س) = جتا2 ‪(S  ،  i‬س) = 2 جا ‪ i‬جتا ‪i‬‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫2‪r‬‬ ‫2‬ ‫2/3‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫2/‪r‬‬ ‫-2‬ ‫2/-‪r‬‬ ‫-‪r‬‬ ‫2/-3‪r2- r‬‬ ‫وبتأمل الشكل البيانى المجاور‬ ‫نجد عدم تطابق الدالتين؛ أى أن د(س) ! ‪(S‬س)، لذلك فإن هذه العالقة ليست متطابقة.‬ ‫ويمكن التحقق من ذلك جبريا وذلك بوضع ‪ = i‬صفر فتكون:‬ ‫د(0) = 1 ، ر(0) = 0 لذلك فإن الدالتين غير متساويتين.‬ ‫2‪r‬‬ ‫س‬ ‫بينما فى المتساوية: جا2 ‪ 2 = i‬جا ‪ i‬جتا ‪i‬‬ ‫بوضع د(س) = جا2 ‪(S  ،  i‬س) = 2 جا ‪ i‬جتا ‪i‬‬ ‫ص‬ ‫2‬ ‫2/3‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫نجد من التمثيل البيانى للشكل تطابق منحنى الدالتين؛ أى أن د(س) = ‪(S‬س)‬ ‫وبذلك تكون هذه المتساوية متطابقة .‬ ‫مـثـال‬ ‫جتا ‪i‬‬ ‫‌ أثبت صحة المتطابقة: 1 - جا ‪ + 1 = i‬جا ‪i‬‬ ‫الحل‬ ‫2‬ ‫1-جا2 ‪i‬‬ ‫جتا‬ ‫ ‬ ‫‪= i‬‬ ‫ الطرف األيمن     =‬ ‫1 - جا ‪i‬‬ ‫1 - جا ‪i‬‬ ‫2‬ ‫(1 + جا ‪ - 1()i‬جا ‪)i‬‬ ‫                =‬ ‫1 - جا ‪i‬‬ ‫ ‬ ‫2/‪r‬‬ ‫-2‬ ‫2/-‪r‬‬ ‫-‪r‬‬ ‫2/-3‪r2- r‬‬ ‫تذكر‬ ‫جا2 ‪ + i‬جتا2‪1 = i‬‬ ‫جا2 ‪ -1 = i‬جتا2‪i‬‬ ‫جتا2 ‪ -1 = i‬جا2‪i‬‬ ‫= 1 + جا ‪ = i‬الطرف األيسر‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أثبت صحة المتطابقة: ظا ‪ + i‬ظتا ‪ = i‬قا ‪ i‬قتا ‪i‬‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫الطرف األيمن     = ظا ‪ + i‬ظتا ‪i‬‬ ‫ ‬ ‫            =‬ ‫ ‬ ‫          =‬ ‫ ‬ ‫جتا ‪i‬‬ ‫جا ‪i‬‬ ‫جتا ‪ + i‬جا ‪i‬‬ ‫1‬ ‫جتا ‪ i‬جا ‪i‬‬ ‫=‬ ‫جا2 ‪ + i‬جتا2 ‪i‬‬ ‫جتا ‪ i‬جا ‪i‬‬ ‫ ‬ ‫        = قا ‪ i‬قتا ‪ = i‬الطرف األيسر‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫901‬
  • 117.
    ‫حاول أن تحل‬ ‫(1- جا2 ‪ - 1()i‬جتا2 ‪)i‬‬ ‫= جتا4 ‪i‬‬ ‫‌ أثبت صحة المتطابقة:‬ ‫ظا2 ‪i‬‬ ‫مـثـال‬ ‫2‬ ‫‌ أثبت صحة المتطابقة: 1 - ظتا2 ‪2 = i‬جا2 ‪1 - i‬‬ ‫1 + ظتا ‪i‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫1 - ظتا2 ‪i‬‬ ‫الطرف األيمن  =‬ ‫1 + ظتا2 ‪i‬‬ ‫2‬ ‫          = 1 - ظتا ‪= i‬‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫قتا ‪i‬‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫جتا ‪i‬‬ ‫‬‫جا2 ‪i‬‬ ‫1-‬ ‫جتا2 ‪i‬‬ ‫جا2 ‪i‬‬ ‫1‬ ‫جا2‪i‬‬ ‫ ‬ ‫بالتحويل إلى جا ‪ ،i‬جتا ‪i‬‬ ‫جا ‪i‬‬ ‫* جا2 ‪ =   i‬جا2 ‪ - i‬جتا2 ‪i‬‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫              =‬ ‫ ‬ ‫              = جا2 ‪ - 1( - i‬جا2 ‪ )i‬‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫جا2 ‪i‬‬ ‫             = 2جا2 ‪ = 1 - i‬الطرف األيسر ‬ ‫فكر: هل توجد حلول أخرى للمثال؟‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أثبت صحة كل من المتطابقات اآلتية:‬ ‫1 + ظتا2 ‪i‬‬ ‫ ‬ ‫أ ‬ ‫ ‬ ‫ج‍ (قا ‪ - i‬ظا ‪= 2)i‬‬ ‫1+‬ ‫ظا2 ‪i‬‬ ‫= ظتا2 ‪ i‬‬ ‫ظتا‬ ‫ب ظاقا‪+ii‬قتا ‪1 = i i‬‬ ‫1 - جا ‪i‬‬ ‫1 + جا ‪i‬‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ اكتشف اإلجابة الخطأ:‬ ‫ جا2 ‪ + i‬جتا2 ‪ i‬تساوى:‬ ‫أ 1 ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ب 2 جتا2 ‪ 1 - i‬‬ ‫‌ أثبت صحة المتطابقات اآلتية:‬ ‫011‬ ‫أ‬ ‫ظا ‪i‬‬ ‫جا ‪ i‬جتا ‪i‬‬ ‫+‬ ‫قا ‪ i‬قتا ‪i‬‬ ‫ظا ‪i‬‬ ‫= 1 ‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ج‍ 1 - 2 جا2 ‪ i‬‬ ‫ب ‬ ‫د 1 + 2جا ‪ i‬جتا ‪i‬‬ ‫جا3 ‪ + i‬جتا 3‪ i‬جا3 ‪ - i‬جتا3 ‪i‬‬ ‫+‬ ‫جا ‪ - i‬جتا ‪i‬‬ ‫جا ‪ + i‬جتا ‪i‬‬ ‫=2‬
  • 118.
    ‫حل المعادالت المثلثية‬ ‫5‍‬ ‫‪Solving Trigonometric Equations‬‬ ‫حل معادلة مثلثية بحلول حقيقية‬ ‫فكر‬ ‫و‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫إجياد احلل العام للمعادالت املثلثية‬ ‫ناقش‬ ‫سبق أن درسنا حل المعادالت الجبرية من الدرجة األولى والدرجة الثانية (جبريا‬ ‫وبيانيا)، وفى هذا الدرس سوف نحل المعادالت المثلثية وذلك باالستعانة بالمتطابقات‬ ‫ًّ‬ ‫األساسية، فهل يوجد تشابه بين حل المعادالت الجبرية وحل المعادالت المثلثية؟‬ ‫حل املعادالت ىف الفرتة [0، 2‪[r‬‬ ‫عمل تعاونى‬ ‫اشترك مع أحد زمالئك فى رسم الدالة المثلثية ص = جتا ‪ i‬والدالة ص = 1 والحظ‬ ‫2‬ ‫كة‬ ‫نقط تقاطعهما المشتر‬ ‫كة.‬ ‫1- ارسم منحنى الدالة ص1 = جتا‪ ،i‬ص2 = 1 والحظ نقاط تقاطعهما المشتر‬ ‫2‬ ‫2- كم حلاًّ للمعادلة جتا‪ 1 = i‬في [0، 2‪[r‬؟‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫اً‬ ‫3 هل توجد حلول أخرى للمعادلة جتا‪ 1 = i‬في الشكل البيانى؟‬ ‫‬‫2‬ ‫الشكل البيانى التالى يمثل حل المعادلة جتا‪ 1 = i‬حيث نجد أن‬ ‫2‬ ‫المعادلة لها حالن هما ‪ r5 ، r‬عندما ‪ ،[r2 ،0[∈ i‬وبإضافة 2‪ r‬أو -2 ‪ r‬نحصل‬ ‫3 3‬ ‫على حلول أخرى للمعادلة.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫معادلة مثلثية‬ ‫‪Trigonometric equation‬‬ ‫‬ ‫حل عام‬ ‫‪General solution‬‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫س‬ ‫2‪r‬‬ ‫2/3‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫2/-‪r‬‬ ‫2/‪r‬‬ ‫-‪r‬‬ ‫2/-3‪r‬‬ ‫-2‪r‬‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫الحل العام للمعادالت المثلثية‬ ‫‬ ‫الة حاسبة رسومية‬ ‫‪General solution of the trigonometric equations‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد الحل العام لكل من المعادالت اآلتية :‬ ‫2‬ ‫ب جتا ‪ 2 = i‬‬ ‫أ جا ‪ 1 = i‬‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫ج‬ ‫‍ ظا ‪3 = i‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫111‬
  • 119.
    ‫الحل‬ ‫أ ‪a‬جا ‪1 = i‬‬ ‫2 ‬ ‫`‪6 =i‬‬ ‫أى أن الحل العام للمعادلة هو     ‪2 + r‬ن ‪    r‬أو   - ‪2+ r + r‬ن ‪ ،   r‬ن ∈ ‪N‬‬ ‫6‬ ‫6‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪r‬‬ ‫ص 2‬ ‫س‬ ‫2‪r‬‬ ‫2/3‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫2/‪r‬‬ ‫1‬ ‫5٫0‬ ‫-1‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫2/-‪r‬‬ ‫2/-3‪r2- r‬‬ ‫-‪r‬‬ ‫/‬ ‫ص -2‬ ‫2‬ ‫ب ‪ a‬جتا ‪ 2 = i‬‬ ‫`‪4 =i‬‬ ‫أى أن الحل العام للمعادلة هو 2ن ‪    ،   r ! r‬ن ∈ ‪N‬‬ ‫ ‬ ‫4‬ ‫‪r‬‬ ‫ص‬ ‫1‬ ‫17٫0‬ ‫س‬ ‫2‪r‬‬ ‫2/3‪r‬‬ ‫2/-‪r‬‬ ‫2/‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫-‪r‬‬ ‫2/-3‪r‬‬ ‫-2‪r‬‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫ج‍ ‪ a‬ظا ‪ 3 = i‬‬ ‫`‪3 =i‬‬ ‫أى أن الحل العام للمعادلة هو    ‪r + r‬ن   ،   ن ∈ ‪N‬‬ ‫ ‬ ‫3‬ ‫‪r‬‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ ‬ ‫‌ أوجد الحل العام لكل من المعادالت اآلتية:‬ ‫3‬ ‫ب 2جتا ‪ 1 = i‬‬ ‫أ جا ‪ 2 = i‬‬ ‫3‬ ‫ج‍‬ ‫ظا ‪2 = i‬‬ ‫مـثـال‬ ‫3‬ ‫‌ أوجد الحل العام للمعادلة: جا ‪ i‬جتا ‪ 2 = i‬جا ‪i‬‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫3‬ ‫جا ‪ i‬جتا ‪ 2 - i‬جا ‪ = i‬‬ ‫0‬ ‫إما‬ ‫جا ‪0 = i‬‬ ‫  ‪، 0 = i‬‬ ‫الحل العام للمعادلة‬ ‫211‬ ‫ ‪ = i‬ن ‪ r‬حيث ن ∈ ‪N‬‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫3‬ ‫جا ‪( i‬جتا ‪0 =  ) 2 - i‬‬ ‫3‬ ‫أو جتا‪0 = 2 - i‬‬ ‫3‬ ‫جتا‪2 =    i‬‬ ‫  ‪r =    i‬‬ ‫6‬ ‫  ‪2 + r ! =    i‬ن‪ r‬حيث ن ∈ ‪N‬‬ ‫6‬
  • 120.
    ‫يثلثملا تالداعملا لح‬ ‫والشكلالبيانى التالى يمثل جزءا من حل المعادلة.‬ ‫ً‬ ‫س‬ ‫2‪r‬‬ ‫2/3‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ص‬ ‫و‬ ‫2/‪r‬‬ ‫2/-‪r‬‬ ‫-‪r‬‬ ‫2/-3‪r‬‬ ‫-2‪r‬‬ ‫س‬ ‫/‬ ‫ص‬ ‫/‬ ‫تفكير ناقد: هل بالضرورة أن جميع المعادالت المثلثية لها حلول حقيقية؟ وضح ذلك بأمثلة.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد الحل العام لكل من المعادالت اآلتية:‬ ‫أ جتا2 ‪ - i‬جتا ‪ 0 = i‬ب 2 جا2 ‪ = i‬جا ‪ i‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ج‍   2 جا ‪ i‬جتا ‪ - i‬جا ‪0 = i‬‬ ‫حل المعادالت المثلثية فى الفترة [0، 2‪[r‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ حل المعادلة: جا ‪ i‬جتا ‪ 1 - i‬جتا ‪    0 = i‬إذا كانت   0‪c180 i c‬‬ ‫2‬ ‫الحل‬ ‫جتا ‪(i‬جا ‪ 0 = ) 1 - i‬‬ ‫2‬ ‫بالتحليل‬ ‫جتا ‪       0 = i‬أو      جا ‪1 = i‬‬ ‫2‬ ‫‪         c90 = i‬أو      ‪      c30 = i‬أو      051‪c‬‬ ‫حل المعادلة هى: 03‪     c‬أو    09‪      c‬أو     051‪c‬‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كانت 0‪ c360 H i c‬فأوجد مجموعة حل كل من المعادالت اآلتية:‬ ‫ب 4 جا2 ‪ 3 – i‬جا ‪ i‬جتا ‪0 = i‬‬ ‫أ 2 جا ‪ i‬جتا ‪ 3 + i‬جتا ‪ 0 = i‬‬ ‫ ‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ أوجد الحل العام لكل من المعادالت اآلتية بالراديان .‬ ‫ب جتا ‪ = i‬جا2 ‪ i‬‬ ‫أ ظا ‪ 1 = i‬‬ ‫ ‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫ج‍ 2 جا ‪0 = 3 - i‬‬ ‫311‬
  • 121.
    ‫حل المثلث القائمالزاوية‬ ‫5 ‍‬ ‫‪Solving the Right Angled Triangle‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫حل املثلث القائم الزاوية بمعلومية‬ ‫طوىل ضلعني.‬ ‫حل املثلث القائم الزاوية بمعلومية‬ ‫طول أحد أضالعه وقياس إحدى‬ ‫زاوياه احلادة.‬ ‫فكر‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫نعلم أن للمثلث ستة عناصر هى أضالعه الثالثة وزواياه الثالث ، وحل المثلث يعنى‬ ‫إيجاد قياسات عناصره الستة، وإذا كان المثلث قائم الزاوية فإنه يلزم معرفة إما‬ ‫طولى ضلعين فيه أو طول أحد أضالعه وقياس إحدى زاويتيه الحادتين.‬ ‫حل المثلث القائم الزاوية �إذا علم منه طوال �ضلعين:‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ حل المثلث ‪ C‬ب جـ القائم الزاوية فى ب والذي فيه ‪ C‬ب = 93 سم، ب جـ = 26سم.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫حل املثلث ‬ ‫‪Solution of a tringle‬‬ ‫الحل‬ ‫اً‬ ‫أول: نوجد ‪ c( X‬جـ):‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬ب‬ ‫‪ a‬ظا جـ = ب جـ‬ ‫ب‬ ‫باستخدام اآللة الحاسبة يكون:‬ ‫ ‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫      ‪ c( X‬جـ) = 71 ً 01 َ 23‪c‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫نوجد ‪:)C c( X‬‬ ‫‪c57 َ 49 ً 43 = c32 َ 10 ً 17 – c90 = )C c( X‬‬ ‫أو من الممكن استخدام الحاسبة كاآلتى: ‬ ‫,,,‪c‬‬ ‫,,,‪c‬‬ ‫=‬ ‫7‬ ‫‪Ans‬‬ ‫1‬ ‫1-‪Tan‬‬ ‫,,,‪c‬‬ ‫ثانيا: نوجد طول: ‪ C‬جـ‬ ‫ً‬ ‫ ‪ a‬جا جـ = ‪ C‬ب ‬ ‫‪ C‬جـ‬ ‫411‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫0‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫?‬ ‫93 سم‬ ‫` ظا جـ = 93 - 1852230926.0‬ ‫26‬ ‫‪Shift‬‬ ‫?‬ ‫=‬ ‫,,,‪c‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫6‬ ‫3‬ ‫26 سم‬ ‫÷‬ ‫–‬ ‫93‬ ‫‪ a‬جا 71 ً 01 َ 23‪= c‬‬ ‫‪ C‬جـ‬ ‫9‬ ‫3‬ ‫0‬ ‫9‬ ‫,,,‪c‬‬ ‫=‬ ‫?‬ ‫جـ‬ ‫$‬ ‫$‬
  • 122.
    ‫ةيوازلا مئاقلا ثلثملالح‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫,,,‪c‬‬ ‫7‬ ‫93‬ ‫فيكون  ‪ C‬جـ =‬ ‫جا 71 01 23‪c‬‬ ‫فكر‬ ‫1‬ ‫,,,‪c‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫,,,‪c‬‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫‪sin‬‬ ‫÷‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫9‬ ‫$‬ ‫- 42118542.37 سم‬ ‫× ×هل توجد دوال مثلثية أخرى تستطيع بواستطها إيجاد طول ‪ C‬جـ ؟ اذكر هذه الدوال إن وجدت.‬ ‫× ×هل يمكنك االستعانة بنظرية فيثاغورث إليجاد طول ‪ C‬جـ ؟ أكتب خطوات الحل إن أمكنك ذلك.‬ ‫× ×أيهما تفضل استخدام نظرية فيثاغورث إليجاد طول ‪ C‬جـ أم استخدام إحدى الدوال المثلثية؟ لماذا؟‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ حل المثلث ‪ C‬ب جـ القائم الزاوية فى ب فى الحالتين اآلتيتين :‬ ‫ب ب جـ = 5 سم ، ‪ C‬جـ = 31 سم‬ ‫أ ‪C‬ب = 8 سم ، ب جـ = 21 سم ‬ ‫ ‬ ‫حل المثلث القائم الزاوية �إذا علم منه طول �ضلع وقيا�س زاوية‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ حل المثلث ‪ C‬ب جـ القائم الزاوية فى ب، حيث ‪ c( X‬جـ ) = 26‪ C ،c‬ب = 61 سم، مقر ًبا الناتج لرقمين عشريين.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫نوجد ‪:)C c( X‬‬ ‫‪c28 = c62 – c90 = )C c( X‬‬ ‫نوجد طول ب جـ :‬ ‫61‬ ‫‪C‬ب‬ ‫‪ a‬ظا جـ = ب جـ     أى أن: ظا 26‪ = c‬ب جـ  فيكون‬ ‫ب جـ * ظا 26‪16 = c‬‬ ‫ ‬ ‫ب جـ = 61 = 709053705.8 - 15.8 سم‬ ‫ظا 26‪c‬‬ ‫نوجد طول ‪ C‬جـ :‬ ‫61‬ ‫‪ a‬جا جـ = ‪ C‬ب     أى أن: جا 26‪= c‬‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫?‬ ‫?‬ ‫61 سم‬ ‫ب‬ ‫?‬ ‫26‪c‬‬ ‫جـ‬ ‫‪ C‬جـ = 61 = 18021121.81 - 21.81 سم‬ ‫جا 26‪c‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ C‬جـ‬ ‫‪ C‬جـ × جا 26‪16 = c‬‬ ‫‪ C‬جـ‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ حل المثلث ‪ C‬ب جـ القائم الزاوية فى ب فى الحالتين اآلتيتين:‬ ‫ب ‪ C‬جـ = 62 سم ، ‪c53 /12 = )C c( X‬‬ ‫أ ‪ C‬ب = 8 سم ، ‪ c( X‬جـ ) = 43‪ c‬‬ ‫ ‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫511‬
  • 123.
    ‫تفكير ناقد:‬ ‫هل يمكنحل المثلث القائم الزاوية بمعلومية زاويتيه الحادتين؟ فسر إجابتك .‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ الربط بالهندسة: دائرة طول نصف قطرها 7 سم، رسم فيها وتر يقابل زاوية كزية قياسها 011‪،c‬‬ ‫مر‬ ‫احسب طول هذا الوتر ألقرب ثالثة أرقام عشرية.‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫فى الشكل المقابل: نرسم م ‪ C = E‬ب‬ ‫ ‬ ‫من خواص الدائرة: نقطة د منتصف ‪ C‬ب‬ ‫ ‬ ‫نوجد طول ‪ E C‬فى المثلث ‪ E C‬م القائم الزاوية:‬ ‫‪ C c( X‬م ‪c55 = 2 ÷ c110 = )E‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪E‬‬ ‫جا (‪ C‬م ‪ C = )E‬‬ ‫م‬ ‫ ‬ ‫55‪c‬‬ ‫‪C‬‬ ‫م‬ ‫ب‬ ‫‪E‬‬ ‫حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين :‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫أى أن: جا 55 ‪E C =c‬‬ ‫7‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫من تعريف دالة الجيب‬ ‫           ‪ × 7 = E C‬جا 55‪ 5.73406431 - c‬سم‬ ‫إيجاد طول ‪ C‬ب : ‪ C‬ب = 2 * ‪E C‬‬ ‫أى أن: ‪ C‬ب = 2×13460437.5 = 26821864.11 - 864.11 سم‬ ‫جـ‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ الربط بالهندسة: يبين الشكل المقابل دائرة مركزها م ، ‪ C‬ب قطر فيها،‬ ‫ فإذا كان ‪C‬جـ = 21 سم، ‪ c37 = )C c( X‬فأوجد طول نصف قطر الدائرة.‬ ‫ ألقرب رقمين عشريين.‬ ‫‪C‬‬ ‫73‪c‬‬ ‫م‬ ‫ب‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ س ص ع مثلث فيه س ص = 5.11 سم، ص ع = 6.72 سم، س ع = 9.92 سم، أثبت أن المثلث قائم الزاوية‬ ‫فى ص، ثم أوجد قياس زاوية س‬ ‫‌ تفكير ناقد: دائرة طول نصف قطرها 6 سم، رسم فيها وتر يقابل زاوية كزية قياسها 801‪ c‬احسب طول‬ ‫مر‬ ‫هذا الوتر مقربا الناتج ألقرب رقمين عشريين.‬ ‫ً‬ ‫611‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 124.
    ‫زوايا االرتفاع وزوايااالنخفاض‬ ‫5 ‍‬ ‫‪Angles of Elevation and Angles of Depression‬‬ ‫فكر‬ ‫و‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫ناقش‬ ‫هل يمكنك أن توجد ارتفاع مأذنه عن سطح األرض وأنت تبتعد عنها مسافة معلومة‬ ‫دون أن تقوم بالقياس الفعلى لطول هذه المأذنه؟‬ ‫تعلم‬ ‫مفهوم زوايا االرتفاع واالنخفاض.‬ ‫استخدام املثلث القائم الزاوية‬ ‫حلل مسائل تتضمن زوايا االرتفاع‬ ‫واالنخفاض.‬ ‫‬ ‫زوايا االرتفاع واالنخفاض‬ ‫‪Angles of Elevation and Angles of Depression‬‬ ‫1- إذا رصد شخص ‪ C‬نقطة جـ أعلى‬ ‫من مستوى نظره األفقى ‪ C‬ب فإن‬ ‫الزاوية بين ‪ C‬ب ، ‪ C‬جـ تسمى‬ ‫زاوية ارتفاع جـ عن المستوى‬ ‫األفقى لنظر الشخص ‪.C‬‬ ‫ب‬ ‫د‬ ‫الشعاع األفقى‬ ‫زاوية األنخفاض‬ ‫ع وا‬ ‫صل ب‬ ‫شعا‬ ‫ين ال‬ ‫جسم‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫ي‬ ‫ن ال‬ ‫ج‬ ‫سم و‬ ‫زاوية االرتفاع‬ ‫عين‬ ‫الرا‬ ‫الشعاع األفقى‬ ‫ص‬ ‫د عين‬ ‫‪ C‬الراصد‬ ‫2-وإذا رصد شخص ‪ C‬نقطة د أسفل‬ ‫من مستوى نظره األفقى ‪ C‬ب فإن‬ ‫الزاوية بين ‪ C‬ب ، ‪ C‬د تسمى‬ ‫زاوية أنخفاض د عن المستوى‬ ‫األفقى لنظر الشخص ‪.C‬‬ ‫‪ C‬عين‬ ‫صد الراصد‬ ‫ن الرا‬ ‫و عي‬ ‫ش‬ ‫عاع‬ ‫وا‬ ‫صل ب‬ ‫3- فى الشكل المقابل:‬ ‫× ×‪ c‬جـ ‪ C‬ب هى زاوية ارتفاع‬ ‫البالون بالنسبة للشخص عند ‪.C‬‬ ‫× ×‪ E c‬ب ‪ C‬هى زاوية انخفاض‬ ‫الشخص عند ‪ C‬بالنسبة للبالون وفى‬ ‫هذه الحالة يكون: ∝ = ‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫زا‬ ‫ألن‬ ‫زاوية ارتفاع‬ ‫‪Angle of Elevation‬‬ ‫زاوية انخفاض‬ ‫‬ ‫‪Angle of Depression‬‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫ب مستوى النظر األفقى ‪E‬‬ ‫و‬ ‫ية ا‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫خفا‬ ‫ض‬ ‫∝‬ ‫جـ مستوى النظر األفقى‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫‪C‬‬ ‫711‬
  • 125.
    ‫حاول أن تحل‬ ‫‪i‬‬ ‫‌ فى الشكل المقابل‬ ‫اً‬ ‫ أول: حدد نوع كل زاوية (‪ )a( ،)i( ،)b( ،)c‬من حيث‬ ‫كونها زاوية ارتفاع أم انحفاض بالنسبة للراصد عند ‪.C‬‬ ‫ ‬ ‫∝‬ ‫‪b‬‬ ‫ثانيا: اكتب أزواج الزوايا المتساوية.‬ ‫‪c‬‬ ‫مـثـال‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫فتكون ‪ C E c‬جـ هى زاوية انخفاض الجسم‬ ‫لذلك فإن: ‪c( X‬جـ) = ‪ C Ec( X‬جـ)‬ ‫ ‬ ‫تعريف دالة الظل: ‬ ‫ ‬ ‫ب جـ × ظا 63 َ 82‪60 = c‬‬ ‫ ‬ ‫نفرض أن ‪ C‬هى قمة البرج ‪ C‬ب‬ ‫بالتعويض عن ‪ C‬ب = ‬ ‫06:‬ ‫ب جـ         =‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫06‬ ‫ظا 63 َ 82‪c‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫63/  82‪c‬‬ ‫06مترا‬ ‫ً‬ ‫‌ من قمة برج ارتفاعه 06 مترا وجد أن قياس زاوية انخفاض‬ ‫ً‬ ‫جسم واقع فى المستوى األفقى المار بقاعدة البرج تساوى‬ ‫63 َ 82‪ .c‬أوجد بعد الجسم عن قاعدة البرج ألقرب متر.‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫63/  82‪c‬‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬ب‬ ‫ظاجـ        = ب جـ‬ ‫06‬ ‫ظا 63 َ 82‪ =         c‬ب جـ‬ ‫= 66922.521 - 521 مترا‬ ‫‌ رصد شخص من قمة جبل ارتفاعه 65.2 كم نقطة على سطح األرض، فوجد أن زاوية انخفاضها هو 36‪.c‬‬ ‫أوجد المسافة ألقرب متر بين النقطة والراصد.‬ ‫مـثـال‬ ‫‪C‬‬ ‫‌ عمود إنارة طوله 2.7 متر يلقى ظلاًّ على األرض طوله 8.4 متر، أوجد بالراديان‬ ‫قياس زاوية ارتفاع الشمس عندئذ.‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫نفرض أن نقطة ‪ C‬هى قمة عمود اإلنارة ‪ C‬ب، وأن ب جـ هو طول ظل العمود،‬ ‫‪ i‬زاوية ارتفاع الشمس‬ ‫ ‬ ‫‪C‬ب‬ ‫‪ a‬ظاجـ = ب جـ ‬ ‫ ‬ ‫` زاوية ارتفاع الشمس بالراديان = 63 َ 81 ً 65‪* c‬‬ ‫ ‬ ‫2٫7 م‬ ‫  ‪c56 ً 18 َ 36 = )ic( X‬‬ ‫811‬ ‫ب‬ ‫` ظا ‪1.5 = 7.2 = i‬‬ ‫8.4‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫‪r‬‬ ‫081‪c‬‬ ‫- 2327397289.0‬ ‫‪E‬‬ ‫8٫4 م‬ ‫‪i‬‬ ‫جـ‬
  • 126.
    ‫فخنالا اياوزو عافترالااياوز‬ ‫مالحظة:‬ ‫يمكن استخدام اآللة الحاسبة إليجاد ‪ i‬بالراديان مباشرة دون إيجادها بالدرجات كاآلتى:‬ ‫‪Mode‬‬ ‫(4: ‪4 )Rad‬‬ ‫1- تهيئة اآللة الحاسبة على نظام (‪:)Radian‬‬ ‫ ‬ ‫2- أدخال البيانات (‪:)Data‬‬ ‫ ‬ ‫‪Shift‬‬ ‫‪r      math‬‬ ‫237397289.0‬ ‫(1-‪)tan‬‬ ‫‪tan‬‬ ‫3- أستدعاء النواتج (‪:)call outputs‬‬ ‫.‬ ‫1‬ ‫=‬ ‫‪Shift‬‬ ‫5‬ ‫$‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ من قمة صخرة ارتفاعها 081 متر من سطح البحر قيست زاوية انخفاض قارب يبعد 003 متر عن قاعدة‬ ‫الصخرة، فما مقدار قياس زاوية االنخفاض بالراديان؟‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ وقف شخص على صخرة ارتفاعها 05 مترا، والحظ سفينتين فى البحر على شعاع واحد من قاعدة الصخرة‬ ‫ً‬ ‫وقاس زاويتى انخفاضيهما، فوجدهما 83 ‪ c55 ،c‬أوجد البعد بين السفينتين ألقرب متر .‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫نفرض أن ارتفاع الصخرة هو ‪ C‬ب ، وأن البعد بين السفينتين هو جـ ‪E‬‬ ‫فى 9 ‪ C‬ب ‪:E‬‬ ‫05‬ ‫‪ a‬ظا 83‪ = c‬ب ‬ ‫‪E‬‬ ‫` ب ‪ 64 -    E‬متر‬ ‫05‬ ‫‪ a‬ظا 55‪ = c‬ب جـ ‬ ‫‪ a‬جـ ‪ =       E‬ب ‪ – E‬ب جـ ‬ ‫05‬ ‫` ب ‪= E‬‬ ‫ظا 83‪c‬‬ ‫‪C‬‬ ‫05‬ ‫` ب جـ =‬ ‫ظا 55‪c‬‬ ‫` جـ ‪ 29 = 35 – 64 =     E‬متر‬ ‫55‪c‬‬ ‫83‪c‬‬ ‫05 متر‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫- 53 متر‬ ‫ب‬ ‫55‪c‬‬ ‫جـ‬ ‫83‪c‬‬ ‫؟‬ ‫‪E‬‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ شاهد راصد أن قياس زاوية ارتفاع منطاد مثبت هى 03‪ ،c‬ولما سار الراصد فى مستوى أفقى نحو المنطاد‬ ‫ً‬ ‫مسافة 0001 متر شاهد أن قياس زاوية االرتفاع هى 54‪ .c‬أوجد ارتفاع المنطاد ألقرب متر.‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ يقف شخص على بعد 05 متر من قاعة برج ، رصد زاوية ارتفاع قمة برج، فوجد أن قياسها 52‪ . c‬أوجد‬ ‫ارتفاع البرج ألقرب متر.‬ ‫‌ رصد شخص طائرة على ارتفاع 0001 متر، فوجد أن قياس زاوية ارتفاعها 71 َ 52‪ . c‬أوجد المسافة بين‬ ‫الراصد عن الطائرة.‬ ‫‌ رصد شخص واقف على سطح األرض طائرة على ارتفاع 008 متر عن سطح األرض، فوجد أن قياس زاوية‬ ‫ارتفاعها 71 َ 52‪ .c‬أوجد المسافة بين الشخص والطائرة .‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫911‬
  • 127.
    ‫القطاع الدائرى‬ ‫5 ‍‬ ‫‪CircularSector‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫فكر‬ ‫مفهوم القطاع الدائرى‬ ‫إجياد مساحة القطاع الدائرى‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫قطاع دائرى‬ ‫‪Circular Sector‬‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫القطاع الدائرى:‬ ‫سبق أن درست العالقة بين طول قوس (ل) من دائرة‬ ‫طول نصف قطرها (‪ )H‬وقياس الزاوية كزية‬ ‫المر‬ ‫المقابلة لهذا القوس (‪ )i‬وعلمت أن: ل = ‪.H * Ei‬‬ ‫فهل يمكنك إيجاد مساحة هذا الجزء من سطح الدائرة‬ ‫المظلل فى الشكل المقابل؟‬ ‫م‬ ‫‪H‬‬ ‫ل‬ ‫القطاع الدائرى: هو جزء من سطح الدائرة محدود‬ ‫بنصفى قطرين وقوس.‬ ‫ففى الشكل المجاور م ‪ ، C‬م ب يقسمان الدائرة إلى‬ ‫قطاعين دائريين، القطاع األصغر م ‪ C‬ج‍ ‌ب والقطاع‬ ‫األكبر م‪ E C‬ب. وتسمى ‪C c‬م ب بزاوية القطاع‬ ‫األصغر، ‪Cc‬م ب المنعكسة بزاوية القطاع األكبر.‬ ‫م�ساحة القطاع الدائرى‬ ‫‪H i‬‬ ‫‪E‬‬ ‫القطاع األكبر‬ ‫م‬ ‫‪C‬‬ ‫القطاع األصغر‬ ‫ب‬ ‫جـ‬ ‫‪Area of the Circular sector‬‬ ‫نشاط:‬ ‫ب‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫‪C‬‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫‪Scientific Calculator‬‬ ‫‬ ‫021‬ ‫ب‬ ‫م‬ ‫‪C‬‬ ‫م‬ ‫‪C‬‬ ‫م‬ ‫ب‪C‬‬ ‫م‬ ‫األشكال الموضحة بالشكل العلوى تمثل عددا من الدوائر المتطابقة:‬ ‫ً‬ ‫1- هل زيادة مساحات القطاعات الدائرية ناتج عن زيادة طول نصف قطر الدائرة؟‬ ‫2- هل زيادة مساحات القطاعات الدائرية ناتج عن زيادةقياس زاوية القطاع الدائرى؟‬ ‫3- إذا استمرت الزيادة فى قياس زاوية القطاع إلى أن ينطبق الضلع النهائى م ب‬ ‫على الضلع االبتدائى م ‪ C‬فماذا تتوقع أن تكون مساحة القطاع؟‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 128.
    ‫ىرئادلا عاطقلا‬ ‫تعلم‬ ‫مساحة القطاعالدائرى بمعلومية قياس زاويته المركزية وطول نصف القطر‬ ‫مساحة القطاع يمثل جزء من مساحة دائرة قياس زاويتها المركزية يساوى 2‪. r‬‬ ‫من النشاط السابق نستنتج أن:‬ ‫ ‬ ‫مساحة القطاع =‬ ‫ ‬ ‫‪E‬‬ ‫            = ‪i 2H 1 = 2H r * i‬‬ ‫2‬ ‫2‪r‬‬ ‫ ‬ ‫م‬ ‫مساحة الدائرة‬ ‫أى أن مساحة القطاع    =‬ ‫‪H‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪i‬‬ ‫2‪r‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪ * i‬مساحة الدائرة‬ ‫2‪r‬‬ ‫مساحة القطاع الدائرى = 1 ‪i 2H‬‬ ‫2‬ ‫‪E‬‬ ‫‪H i‬‬ ‫ل‬ ‫‪E‬‬ ‫(حيث ‪ i‬زاوية القطاع، ‪ H‬طول نصف قطر دائرته)‬ ‫تفكير ناقد: هل تعتبر الدائرة قطاعا دائر يا؟ وضح ذلك‬ ‫ً‬ ‫ًّ‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد مساحة القطاع الدائرى الذى طول نصف قطر دائرته 01 سم وقياس زاويته2.1‬ ‫‪E‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫مساحة القطاع الدائرى = 1‬ ‫‪E‬‬ ‫2‪i H‬‬ ‫ ‬ ‫صيغة القانون:‬ ‫2‬ ‫     = 1 (01)2 * 2.1 = 06 سم‬ ‫بالتعويض عن ‪ :E1.2 = Ei ،10 = H‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ قطاع دائرى مساحته 072 سم2 وطول نصف قطر دائرته 51 سم ، أوجد بالراديان قياس زاويته .‬ ‫ثانيا: إيجاد مساحة القطاع الدائرى بمعلومية زاويته بالدرجات:‬ ‫ً‬ ‫مساحة القطاع‬ ‫‪ a‬مساحته دائرته =‬ ‫1‬ ‫2 ‪i * 2H‬‬ ‫2‬ ‫‪Hr‬‬ ‫‪E‬‬ ‫  ولكن      ‪ = Ei‬س‪c‬‬ ‫2‪c360 r‬‬ ‫` مساحة القطاع = س‪ * c‬مساحة الدائرة‬ ‫063‪c‬‬ ‫تذكر‬ ‫العالقة بين القياس الستينى‬ ‫والقياس الدائرى هى:‬ ‫مـثـال‬ ‫‪ Ei‬س‪c‬‬ ‫=‬ ‫‪c180 r‬‬ ‫‌ قطاع دائرى طول نصف قطر دائرته 61 سم وقياس زاويته 021‪ ،c‬أوجد مساحته ألقرب سنتيمتر مربع .‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫س‪c‬‬ ‫2‬ ‫*‪Hr‬‬ ‫      مساحة القطاع =‬ ‫صيغة القانون:‬ ‫063‪c‬‬ ‫2‬ ‫بالتعويض عن ‪، 16 = H‬س‪ 268 - 2)16( r * c120 =           :c120 =c‬سم‬ ‫063‪c‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫121‬
  • 129.
    ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ قطاع دائرى قياس زاويته 06‪ c‬وطول نصف قطر دائرته 21 سم أوجد مساحته ألقرب رقم عشرى واحد.‬ ‫ً‬ ‫ثالثا:إيجاد مساحة القطاع الدائرى بمعلومية طول قوسه‬ ‫تعلم أن: مساحة القطاع الدائرى = 1 ‪i 2H‬‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫تذكر‬ ‫طول القوس الذى يقابل زاوية‬ ‫‪E‬‬ ‫ل‬ ‫   = 1 ‪ 1 = H * 2H‬ل ‪H‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫مركزية قياسها ‪ i‬فى دائرة‬ ‫طول نصف قطرها ‪ H‬يتحدد‬ ‫من العالقة:‬ ‫‪E‬‬ ‫ل=‪H× i‬‬ ‫ل‬ ‫      (وذلك بالتعويض عن: ‪) H = Ei‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد مساحة قطاع دائرى محيطه يساوى 82 سم، وطول نصف قطر دائرته 8 سم.‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫محيط القطاع = 2 ‪ + H‬ل: أى  2 ‪ + H‬ل = 82‬ ‫ ‬ ‫بالتبسيط:‬ ‫م‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫بالتعويض عن ‪ 8 = H‬سم: ‬ ‫ ‬ ‫أ‬ ‫ض‬ ‫ف إل‬ ‫علو‬ ‫    2 * 8 + ل = 82‬ ‫ى‬ ‫ما‬ ‫تك‬ ‫محيط القطاع الذى طول‬ ‫قوسه ل وطول نصف قطر‬ ‫دائرته ‪ H‬يتحدد من العالقة :‬ ‫محيط القطاع = 2‪ + H‬ل‬ ‫    ل = 82 – 61 = 21 سم‬ ‫صيغة القانون: مساحة القطاع = 1 ل ‪H‬‬ ‫2‬ ‫ بالتعويض عن: ل = 21 سم، ‪ 8 = H‬سم:‬ ‫2‬ ‫مساحة القطاع = 1 * 21* 8 = 84 سم‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫‪H‬‬ ‫م‬ ‫‪H‬‬ ‫ل‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ الربط بالجغرافيا: إذا علمت أن خط االستواء هو دائرة طول نصف قطرها 0836 كم، فأوجد المسافة بين‬ ‫مدينتين على خط األستواء إذا كان القوس الواصل بينهما يقابل زاوية قياسها 03‪ c‬عند كز األرض.‬ ‫مر‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ أوجد بداللة ‪ r‬مساحة الجزء المظلل فى كل شكل من األشكال اآلتية:‬ ‫ج‍‬ ‫ب‬ ‫أ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫6 سم‬ ‫8 سم‬ ‫221‬ ‫3 سم‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫3 سم‬ ‫6 سم‬ ‫د‬ ‫7 سم‬ ‫5 سم‬ ‫06‪c‬‬ ‫2 سم‬
  • 130.
    ‫القطعة الدائرية‬ ‫5 ‍‬ ‫‪CircularSegment‬‬ ‫تعلم‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫القطعة الدائرية‬ ‫القطعة الدائرية هى جزء من سطح الدائرة محدود بقوس فيها ووتر مار بنهايتى ذلك‬ ‫القوس.‬ ‫الوتر ‪ C‬ب يقسم الدائرة إلى قطعتين دائرتين تسمى‬ ‫القطعة الصغرى ‪ C‬جـ ب والقطعة الكبرى ‪ E C‬ب،‬ ‫وتسمى ‪ Cc‬م ب بزاوية القطعة الصغرى بينما‬ ‫‪ Cc‬م ب المنعكسة بزاوية القطعة الكبرى.‬ ‫‪E‬‬ ‫ القطعة الدائرية‬ ‫ إجياد مساحة القطعة الدائرية‬ ‫القطعة الكبرى‬ ‫م‬ ‫‪ C‬القطعة الصغرى‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫�إيجاد م�ساحة القطعة الدائرية:‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫تذكر‬ ‫مساحة المثلث = 1 ‪ × H‬ع‬ ‫2‬ ‫م‬ ‫‪H‬‬ ‫‪i‬‬ ‫حيث:‬ ‫جا ‪= i‬‬ ‫‪H‬‬ ‫جـ‬ ‫‪i‬‬ ‫‪H‬‬ ‫ع = ‪ H‬جا ‪i‬‬ ‫ب‬ ‫‪C‬‬ ‫ع‬ ‫‪H‬‬ ‫قطعة دائرية‬ ‫‪Circular Segment‬‬ ‫ع‬ ‫‪H‬‬ ‫مساحة المثلث =‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫* ‪ H * H‬جا‪i‬‬ ‫مساحة القطعة الصغرى ‪ C‬جـ ب‬ ‫= مساحة القطاع األصغر م ‪ C‬ب - مساحة سطح المثلث م ‪ C‬ب‬ ‫ ‬ ‫= 1 ‪ H * H * 1 - Ei 2H‬جا‪i‬‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫مساحة القطعة الدائرية = 1 ‪ - Ei(2H‬جا ‪)i‬‬ ‫2‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫ آلة حاسبة علمية‬ ‫‪Scientific Calculator‬‬ ‫‬ ‫حيث ‪ H‬طول نصف قطر دائرتها، ‪ i‬هو قياس زاوية القطعة.‬ ‫فكر: هل يمكنك إيجاد مساحة القطعة الكبرى بمعلومية مساحة القطعة الصغرى؟‬ ‫وضح ذلك.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫321‬
  • 131.
    ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجدمساحة القطعة الدائرية التى طول نصف قطر دائرتها 8 سم، قياس زاويتها 051‪.c‬‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪r * c150 =       Ei‬‬ ‫081‪c‬‬ ‫جا‪ = i‬جا051‪c‬‬ ‫- 5‪r‬‬ ‫6‬ ‫مساحة القطعة الدائرية = 1 ‪ - Ei( 2H‬جا‪)i‬‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫مساحة القطعة الدائرية = 1 * 46 ( 5‪ – r‬جا051‪ 67.7758 - )c‬سم‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫6‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫2‬ ‫‌ أوجد مساحة القطعة الدائرية التى طول نصف قطر دائرتها 01 سم، قياس زاويتها 2.2‪ E‬مقربا الناتج‬ ‫ً‬ ‫ألقرب رقمين عشريين.‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ دائرتان متطابقتان طول نصف قطر كل منهما 21 سم، وتمر كل منهما كز األخرى. أوجد مساحة‬ ‫بمر‬ ‫كة بينهما.‬ ‫المنطقة المشتر‬ ‫الحل‬ ‫نرسم ‪ C‬جـ فيقسم الجزء المظلل إلى قطعتين متساويتين فى المساحة حيث‬ ‫الزاوية كزية لكل منها 09‪ c‬ونصف قطر كل منها 21 سم.‬ ‫المر‬ ‫مساحة الجزء المظلل   = 2 * مساحة القطعة الدائرية‬ ‫         = 2 * 1 ‪ -Ei( 2H‬جا‪)i‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫        = 441 ( ‪ - r‬جا ‪r‬‬ ‫2 ) = 441 * 57٫0 - 91٫28 سم‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫‪C‬‬ ‫21 سم‬ ‫ب‬ ‫‪E‬‬ ‫جـ‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد مساحة القطعة الدائرية الكبرى التى طول وترها 21 سنتيمترا‬ ‫ً‬ ‫وارتفاعها 2 سنتيمتر مقربا الناتج ألقرب سنتيمتر مربع.‬ ‫ً‬ ‫2 سم‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫م‬ ‫أرتفاع القطعة‬ ‫‌ زينه: حوض زهور على شكل دائرة طول نصف قطرها 8 أمتار، رسم فى الدائرة وتر طوله 8 أمتار. احسب‬ ‫مساحة القطعة الدائرية الصغرى ألقرب رقم عشرى واحد.‬ ‫‌ زراعة: حوض للزرع على شكل دائرة طول نصف قطرها 4 أمتار، قُسم إلى أربعة أجزاء بواسطة مثلث‬ ‫متساوى األضالع تقع رؤوسه على الدائرة. احسب مساحة إحدى القطع الدائرية الصغرى ألقرب رقمين‬ ‫عشريين .‬ ‫421‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 132.
    ‫المساحات‬ ‫5 ‍‬ ‫‪Areas‬‬ ‫فكر‬ ‫و‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫ناقش‬ ‫مساحةاملثلث‬ ‫م�ساحة المثلث:‬ ‫‪The Area of a Triangle‬‬ ‫سبق أن درست مساحة المثلث وعلمت أن مساحته تتحدد كاآلتى:‬ ‫مساحة المثلث = 1 طول القاعدة * االرتفاع‬ ‫2‬ ‫ففى الشكل المجاور:‬ ‫مساحة المثلث = 1 ب جـ × ‪E C‬‬ ‫2‬ ‫مساحة الشكل الرباعى‬ ‫مساحة املضلع املنتظم‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫‪E‬‬ ‫ب‬ ‫فكر: هل تنطبق هذه العالقة على المثلث القائم الزاوية والمثلث المنفرج الزاوية؟‬ ‫م�ساحة المثلث بمعلومية طولى �ضلعين والزاوية المح�صورة بينهما‬ ‫ ‪The Area of a tringle in terms of the lengths of two sides and the included angle‬‬ ‫مضلع منتظم‬ ‫تعلم‬ ‫من الشكل المقابل:‬ ‫‪E‬‬ ‫جا ب = ‪C‬ب   أى أن:  ‪C = E C‬ب جا ب‬ ‫‪C‬‬ ‫ب‬ ‫تعبير شفهى: أوجد مساحة المثلث بمعلومية كل من:‬ ‫ ‬ ‫وبوجه عام نستنتج أن:‬ ‫‪regular polygon‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪E‬‬ ‫ومن قانون مساحة المثلث:‬ ‫مساحة المثلث = 1 ب جـ * ‪E C‬‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫       = 1 * ب جـ * ‪C‬ب جا ب‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫أ ‬ ‫جـ ‪ ،C‬جـ ب، ‪c‬جـ‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫جـ‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫ب ‪ C‬ب، ‪ C‬جـ، ‪C c‬‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫‪Scientific calculator‬‬ ‫‬ ‫مساحة المثلث = نصف حاصل ضرب طولى ضلعين * جيب الزاوية المحصورة بينهما.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫521‬
  • 133.
    ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجدمساحة المثلث ‪ C‬ب جـ الذى ‪ C‬ب = 9 سم ، ‪ C‬جـ = 21 سم، ‪ c48 = )Cc(X‬مقربا الناتج ألقرب رقمين‬ ‫ً‬ ‫عشريين.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫مساحة المثلث ‪ C‬ب جـ = 1 * ‪ C‬ب * ‪C‬جـ جا ‪C‬‬ ‫2‬ ‫بالتعويض عن ‪ C‬ب = 9 سم ، ‪ C‬جـ = 21 سم، ‪c48 = )Cc(X‬‬ ‫2‬ ‫مساحة المثلث ‪ C‬ب جـ = 1 * 9 * 21 * جا 84 - 31.04 سم‬ ‫2‬ ‫=‬ ‫8‬ ‫4‬ ‫‪Sin‬‬ ‫×‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫9‬ ‫×‬ ‫2‬ ‫×‬ ‫÷‬ ‫1‬ ‫$‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد مساحة المثلث ‪ C‬ب جـ الذى فيه ب جـ = 61 سم، ب ‪ 22 = C‬سم ، ‪c(X‬ب) = 36 ‪ c‬مقربا الناتج‬ ‫ألقرب ثالثة أرقام عشرية.‬ ‫�إيجاد م�ساحة ال�شكل الرباعى المحدب‬ ‫‪The Area of a Convex Quadrilateral‬‬ ‫فى الشكل المقابل:‬ ‫‪ C‬ب جـ ‪ E‬شكل رباعى فيه ‪ C‬جـ ∩ ب ‪{ = E‬م}‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ C‬هـ = ب ‪ ، E‬جـ و = ب ‪ i ، E‬هى الزاوية المحصورة بين القطرين.‬ ‫مساحة الشكل الرباعى = مساحة 9‪ C‬ب ‪9 + E‬جـ ب ‪E‬‬ ‫ب‬ ‫ ‬ ‫         = 1 ب ‪ C * E‬هـ  +  1 ب ‪ * E‬جـ و‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫‪i‬‬ ‫هـ‬ ‫م‬ ‫و‬ ‫‪i‬‬ ‫جـ‬ ‫         = 1 ب ‪ * E‬جا‪ C( i‬م + جـ م) = 1 ب ‪ C * E‬جـ * جا‪i‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫         = 1 ب ‪ C( E‬هـ + جـ و)      = 1 ب ‪ C( E‬م جا‪ + i‬جـ م جا‪)i‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫وبوجه عام يكون مساحة الشكل الرباعى بمعلومية طولى قطريه والزاوية المحصورة بينهما هى:‬ ‫مساحة الشكل الرباعى = 1 حاصل ضرب طولى قطريه * جيب الزاوية المحصورة بينهما‬ ‫2‬ ‫فكر: هل تتغير مساحة الشكل الرباعى إذا استبدلنا الزاوية ‪ i‬بالزاوية المكملة لها؟ فسر إجابتك.‬ ‫621‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 134.
    ‫تاحاسملا‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجدمساحة الشكل الرباعى الذى طوال قطريه 21 سم، 61 سم وقياس الزاوية المحصورة بينهما 86‪c‬‬ ‫مقربا الناتج ألقرب سنتيمتر مربع.‬ ‫الحل‬ ‫صيغة المساحة هى:‬ ‫ ‬ ‫ مساحة الشكل الرباعى = 1 حاصل ضرب طولى قطريه * جيب الزاوية المحصورة بينهما‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ ` مساحة الشكل الرباعى    = 1 * 21 * 61 * جا 86‪ 89 - c‬سم‬ ‫2‬ ‫     ‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد مساحة الشكل الرباعى الذى طوال قطريه 23 سم، 64 سم وقياس الزاوية المحصورة بينهما 221‪c‬‬ ‫مقربا الناتج ألقرب رقم عشرى واحد.‬ ‫‌ تفكير ناقد: احسب باستخدام القانون السابق مساحة كال من:‬ ‫ً‬ ‫ ‬ ‫أ مربع طول قطره 01 سم‬ ‫ب معين طوال قطريه 8 سم  ،  21 سم - ماذا تالحظ؟‬ ‫ ‬ ‫�إيجاد م�ساحة الم�ضلع المنتظم‬ ‫‪The area of a regular polygon‬‬ ‫شكل (1): يمثل مضلع منتظم، عدد أضالعه ن وطول ضلعه س.‬ ‫‪C‬‬ ‫شكل (2): يمثل أحد المثلثات المأخوذه من شكل (1)‬ ‫‪c( X a‬ب‪C‬جـ) = 2‪(    r‬لماذا)؟‬ ‫ن‬ ‫‪r‬‬ ‫‪EC‬‬ ‫` ظتا ن = ب ‪    E‬أى أن   ‪ = E C‬ب ‪ * E‬ظتا ن‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ 1 =     E C‬س ظتا ‪(    r‬حيث س طول ضلع المضلع)‬ ‫ن‬ ‫2‬ ‫ب‬ ‫‪E‬‬ ‫س‬ ‫شكل (2)‬ ‫جـ‬ ‫شكل (1)‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫مساحة المثلث = 2 ب جـ  * ‪ 2 = E C‬س * 2 س ظتا ن‬ ‫‪r‬‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫           = 4 س * ظتا ن‬ ‫‪r‬‬ ‫مساحة المضلع الذى عدد أضالعه ن وطول ضلعه س =‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫4 ن س * ظتا ن‬ ‫‪r‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد مساحة الشكل الثمانى المنتظم الذى طول ضلعه 6 سم مقربا الناتج ألقرب رقمين عشريين.‬ ‫ً‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫721‬
  • 135.
    ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫      مساحة الشكل المنتظم= 4 ن س * ظتا ن‬ ‫صيغة القانون‬ ‫بالتعويض عن ن = 8، س = 6 سم:‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫تعبير شفهى:‬ ‫‪r‬‬ ‫081˚‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫     المساحة = 4 * 8 * (6) * ظتا 8‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫           = 27 * ظا 5٫22˚ - 8٫371 سم‬ ‫باستخدام صيغة القانون السابق أوجد مساحة كل من:‬ ‫2-  المربع ‬ ‫1-  المثلث المتساوى األضالع ‬ ‫3-  المسدس المنتظم‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد مساحة الشكل الخماسى المنتظم الذى طول ضلعه 61 سم مقربا الناتج ألقرب ثالثة أرقام عشرية.‬ ‫نشاط‬ ‫استخدم برنامج (‪ )GSP‬المجانى ‪ SKETCHEXCHANGE‬وتحميله من الموقع ‪http://www.keycurriculum.com/products/sketchpad‬‬ ‫يستخدم هذا البرنامج لرسم األشكال الهندسية المختلفة وإيجاد أطوال أضالعها وقياسات زواياها ومساحاتها‬ ‫كما يستخدم فى رسم الدوال الجبرية وإيجاد خصائصها فمثل لرسم شكل رباعى وإيجاد مساحته نتبع اآلتى:‬ ‫اً‬ ‫1- نفتح البرنامج كما فى الشكل المجاور.‬ ‫ ‬ ‫نختار صفة الشكل الذى نريد رسمه‬ ‫2- بالضغط على األيقونة‬ ‫ ‬ ‫وبالضغط بالماوس نحدد نقاط الشكل على الرسم.‬ ‫3- بالضغط على األيقونة‬ ‫ ‬ ‫تحديد نقاط الشكل.‬ ‫4- بالضغط على األيقونة‬ ‫تغيير أبعاده.‬ ‫5- بالضغط على األيقونة‬ ‫ ‬ ‫نكتب رموز الشكل تلقائيا بمجرد‬ ‫ًّ‬ ‫يمكن االختيار المناسب إلجراء التحويالت الهندسية المختلفة على الشكل أو‬ ‫يمكن رسم قطع مستقيمة أو مستقيمات أو أشعة فى الشكل .‬ ‫6- من التبويب (‪ )Measure‬نختار نوع القياس المطلوب (محيط، مساحة ، طول ضلع، قياس زاوية، ...) مع‬ ‫ ‬ ‫كتابة بيانات كل قياس بجوار الشكل.‬ ‫7- للتعرف على أدوات أكثر أو عمليات أخرى استخدم التبويب (‪.)Help‬‬ ‫821‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 136.
    ‫ملخص الوحدة‬ ‫المتطابقة: هىمتساوية صحيحة لجميع قيم المتغير الحقيقية والذى يعرف به كل طرف من طرفى المتساوية.‬ ‫ُْ‬ ‫متطابقات فيثاغورث: جا2 ‪ + θ‬جتا2 ‪ + 1 ، 1 = θ‬ظا2 ‪ = θ‬قا2 ‪ + 1 ، θ‬ظتا2 ‪ = θ‬قتا2 ‪θ‬‬ ‫إثبات صحة متطابقة: إلثبات صحة متطابقة مثلثية نثبت أن الدالتين المحددتين لطرفيها متساويتان.‬ ‫المعادلة: هى متساوية صحيحة لبعض األعداد الحقيقية التى تحقق هذه المتساوية وغير صحيحة للبعض األخر‬ ‫الذى ال يحققها.‬ ‫زاوية االنخفاض‬ ‫زاوية االرتفاع وزاوية االنخفاض:‬ ‫زاوية االرتفاع أو االنخفاض هى اتحاد الشعاع األفقى‬ ‫مع الشعاع البادئ من الجسم مارا بعين الراصد.‬ ‫ًّ‬ ‫قياس زاوية االرتفاع = قياس زاوية االنخفاض (بالتبادل).‬ ‫زاوية األرتفاع‬ ‫القطاع الدائرى : هو جزء من سطح الدائرة محدودة بنصفى قطرين وقوس .‬ ‫2 ‪E‬‬ ‫ ‬ ‫مساحة القطاع الدائرى = 1 ‪θ H‬‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫س‪c‬‬ ‫       =‬ ‫063‪c‬‬ ‫ ‬ ‫           = 1 ل ‪H‬‬ ‫2‬ ‫× مساحة الدائرة ‬ ‫(حيث ‪ Eθ‬زاوية القطاع ، ‪ H‬نصف قطر دائرته)‬ ‫(حيث س‪ c‬زاوية القطاع بالدرجات)‬ ‫(حيث ل طول القوس، ‪ H‬طول نصف قطر دائرته)‬ ‫القطعة الدائرية : هى جزء من سطح الدائرة محدود بقوس فيها ووتر مار بنهايتى ذلك القوس.‬ ‫مساحة القطعة = 1 ‪ - Eθ(2H‬جا‪)θ‬‬ ‫2‬ ‫(حيث ‪ θ‬قياس الزاوية كزية للقطعة، ‪ H‬طول نصف قطر دائرتها).‬ ‫المر‬ ‫ ‬ ‫مساحة المثلث   = 1 طول القاعدة × االرتفاع‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫        = 1 حاصل ضرب ضلعين × جيب الزاوية المحصورة بينهما.‬ ‫2‬ ‫مساحة الشكل الرباعى = 1 حاصل ضرب القطرين × جيب الزاوية المحصورة بينهما.‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫مساحة الشكل المنتظم = 4 ن س × ظتا ن‬ ‫‪r‬‬ ‫ ‬ ‫(حيث ن عدد أضالع المضلع ، س طول الضلع)‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫921‬