1300 Math Formulas.pdf

1300 Math Formulas
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
fp_k= =VVQVNMTTQN=
=
`çéóêáÖÜí=«=OMMQ=^KpîáêáåK=^ää=oáÖÜíë=oÉëÉêîÉÇK=
www.everypdfbook.com

i
=
qÜáë=é~ÖÉ=áë=áåíÉåíáçå~ääó=äÉÑí=Ää~åâK=

ii
Preface
=
=
=
=
qÜáë= Ü~åÇÄççâ= áë= ~= ÅçãéäÉíÉ= ÇÉëâíçé= êÉÑÉêÉåÅÉ= Ñçê= ëíì-
ÇÉåíë= ~åÇ= ÉåÖáåÉÉêëK= fí= Ü~ë= ÉîÉêóíÜáåÖ= Ñêçã= ÜáÖÜ= ëÅÜççä=
ã~íÜ=íç=ã~íÜ=Ñçê=~Çî~åÅÉÇ=ìåÇÉêÖê~Çì~íÉë=áå=ÉåÖáåÉÉêáåÖI=
ÉÅçåçãáÅëI=éÜóëáÅ~ä=ëÅáÉåÅÉëI=~åÇ=ã~íÜÉã~íáÅëK=qÜÉ=ÉÄççâ=
Åçåí~áåë= ÜìåÇêÉÇë= çÑ= Ñçêãìä~ëI= í~ÄäÉëI= ~åÇ= ÑáÖìêÉë= Ñêçã=
kìãÄÉê=pÉíëI=^äÖÉÄê~I=dÉçãÉíêóI=qêáÖçåçãÉíêóI=j~íêáÅÉë=
~åÇ= aÉíÉêãáå~åíëI= sÉÅíçêëI= ^å~äóíáÅ= dÉçãÉíêóI= `~äÅìäìëI=
aáÑÑÉêÉåíá~ä=bèì~íáçåëI=pÉêáÉëI=~åÇ=mêçÄ~Äáäáíó=qÜÉçêóK==
qÜÉ= ëíêìÅíìêÉÇ= í~ÄäÉ= çÑ= ÅçåíÉåíëI= äáåâëI= ~åÇ= ä~óçìí= ã~âÉ=
ÑáåÇáåÖ= íÜÉ= êÉäÉî~åí= áåÑçêã~íáçå= èìáÅâ= ~åÇ= é~áåäÉëëI= ëç= áí=
Å~å=ÄÉ=ìëÉÇ=~ë=~å=ÉîÉêóÇ~ó=çåäáåÉ=êÉÑÉêÉåÅÉ=ÖìáÇÉK===
=
=

iii
Contents
=
=
=
=
1 krj_bo=pbqp=
NKN= pÉí=fÇÉåíáíáÉë==1=
NKO= pÉíë=çÑ=kìãÄÉêë==5=
NKP= _~ëáÅ=fÇÉåíáíáÉë==7=
NKQ= `çãéäÉñ=kìãÄÉêë==8=
=
2 ^idb_o^=
OKN= c~ÅíçêáåÖ=cçêãìä~ë==12=
OKO= mêçÇìÅí=cçêãìä~ë==13=
OKP= mçïÉêë==14=
OKQ= oççíë==15=
OKR= içÖ~êáíÜãë==16=
OKS= bèì~íáçåë==18=
OKT= fåÉèì~äáíáÉë==19=
OKU= `çãéçìåÇ=fåíÉêÉëí=cçêãìä~ë==22=
=
3 dbljbqov=
PKN= oáÖÜí=qêá~åÖäÉ==24=
PKO= fëçëÅÉäÉë=qêá~åÖäÉ==27=
PKP= bèìáä~íÉê~ä=qêá~åÖäÉ==28=
PKQ= pÅ~äÉåÉ=qêá~åÖäÉ==29=
PKR= pèì~êÉ==33=
PKS= oÉÅí~åÖäÉ==34=
PKT= m~ê~ääÉäçÖê~ã==35=
PKU= oÜçãÄìë==36=
PKV= qê~éÉòçáÇ==37=
PKNM= fëçëÅÉäÉë=qê~éÉòçáÇ==38=
PKNN= fëçëÅÉäÉë=qê~éÉòçáÇ=ïáíÜ=fåëÅêáÄÉÇ=`áêÅäÉ==40=
PKNO= qê~éÉòçáÇ=ïáíÜ=fåëÅêáÄÉÇ=`áêÅäÉ==41=

iv
PKNP= háíÉ==42=
PKNQ= `óÅäáÅ=nì~Çêáä~íÉê~ä==43=
PKNR= q~åÖÉåíá~ä=nì~Çêáä~íÉê~ä==45=
PKNS= dÉåÉê~ä=nì~Çêáä~íÉê~ä==46=
PKNT= oÉÖìä~ê=eÉñ~Öçå==47=
PKNU= oÉÖìä~ê=mçäóÖçå==48=
PKNV= `áêÅäÉ==50=
PKOM= pÉÅíçê=çÑ=~=`áêÅäÉ==53=
PKON= pÉÖãÉåí=çÑ=~=`áêÅäÉ==54=
PKOO= `ìÄÉ==55=
PKOP= oÉÅí~åÖìä~ê=m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ==56=
PKOQ= mêáëã==57=
PKOR= oÉÖìä~ê=qÉíê~ÜÉÇêçå==58=
PKOS= oÉÖìä~ê=móê~ãáÇ==59=
PKOT= cêìëíìã=çÑ=~=oÉÖìä~ê=móê~ãáÇ==61=
PKOU= oÉÅí~åÖìä~ê=oáÖÜí=tÉÇÖÉ==62=
PKOV= mä~íçåáÅ=pçäáÇë==63=
PKPM= oáÖÜí=`áêÅìä~ê=`óäáåÇÉê==66=
PKPN= oáÖÜí=`áêÅìä~ê=`óäáåÇÉê=ïáíÜ=~å=lÄäáèìÉ=mä~åÉ=c~ÅÉ==68=
PKPO= oáÖÜí=`áêÅìä~ê=`çåÉ==69=
PKPP= cêìëíìã=çÑ=~=oáÖÜí=`áêÅìä~ê=`çåÉ==70=
PKPQ= péÜÉêÉ==72=
PKPR= péÜÉêáÅ~ä=`~é==72=
PKPS= péÜÉêáÅ~ä=pÉÅíçê==73=
PKPT= péÜÉêáÅ~ä=pÉÖãÉåí==74=
PKPU= péÜÉêáÅ~ä=tÉÇÖÉ==75=
PKPV= bääáéëçáÇ==76=
PKQM= `áêÅìä~ê=qçêìë==78=
= =
4 qofdlkljbqov=
QKN= o~Çá~å=~åÇ=aÉÖêÉÉ=jÉ~ëìêÉë=çÑ=^åÖäÉë==80=
QKO= aÉÑáåáíáçåë=~åÇ=dê~éÜë=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==81=
QKP= páÖåë=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==86=
QKQ= qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë=çÑ=`çããçå=^åÖäÉë==87=
QKR= jçëí=fãéçêí~åí=cçêãìä~ë==88=

v
QKS= oÉÇìÅíáçå=cçêãìä~ë==89=
QKT= mÉêáçÇáÅáíó=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==90=
QKU= oÉä~íáçåë=ÄÉíïÉÉå=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==90=
QKV= ^ÇÇáíáçå=~åÇ=pìÄíê~Åíáçå=cçêãìä~ë==91=
QKNM= açìÄäÉ=^åÖäÉ=cçêãìä~ë==92=
QKNN= jìäíáéäÉ=^åÖäÉ=cçêãìä~ë==93=
QKNO= e~äÑ=^åÖäÉ=cçêãìä~ë==94=
QKNP= e~äÑ=^åÖäÉ=q~åÖÉåí=fÇÉåíáíáÉë==94=
QKNQ= qê~åëÑçêãáåÖ=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=bñéêÉëëáçåë=íç=mêçÇìÅí==95=
QKNR= qê~åëÑçêãáåÖ=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=bñéêÉëëáçåë=íç=pìã==97===
QKNS= mçïÉêë=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==98=
QKNT= dê~éÜë=çÑ=fåîÉêëÉ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==99=
QKNU= mêáåÅáé~ä=s~äìÉë=çÑ=fåîÉêëÉ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==102=
QKNV= oÉä~íáçåë=ÄÉíïÉÉå=fåîÉêëÉ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==103=
QKOM= qêáÖçåçãÉíêáÅ=bèì~íáçåë==106=
QKON= oÉä~íáçåë=íç=eóéÉêÄçäáÅ=cìåÅíáçåë==106=
= =
5 j^qof`bp=^ka=abqbojfk^kqp=
RKN= aÉíÉêãáå~åíë==107=
RKO= mêçéÉêíáÉë=çÑ=aÉíÉêãáå~åíë==109=
RKP= j~íêáÅÉë==110=
RKQ= léÉê~íáçåë=ïáíÜ=j~íêáÅÉë==111=
RKR= póëíÉãë=çÑ=iáåÉ~ê=bèì~íáçåë==114=
= =
6 sb`qlop=
SKN= sÉÅíçê=`ççêÇáå~íÉë==118=
SKO= sÉÅíçê=^ÇÇáíáçå==120=
SKP= sÉÅíçê=pìÄíê~Åíáçå==122=
SKQ= pÅ~äáåÖ=sÉÅíçêë==122=
SKR= pÅ~ä~ê=mêçÇìÅí==123=
SKS= sÉÅíçê=mêçÇìÅí==125=
SKT= qêáéäÉ=mêçÇìÅí=127=
= =
7 ^k^ivqf`=dbljbqov=
TKN= låÉ=-aáãÉåëáçå~ä=`ççêÇáå~íÉ=póëíÉã==130=

vi
TKO= qïç=-aáãÉåëáçå~ä=`ççêÇáå~íÉ=póëíÉã==131=
TKP= píê~áÖÜí=iáåÉ=áå=mä~åÉ==139=
TKQ= `áêÅäÉ==149=
TKR= bääáéëÉ==152=
TKS= eóéÉêÄçä~==154=
TKT= m~ê~Äçä~==158=
TKU= qÜêÉÉ=-aáãÉåëáçå~ä=`ççêÇáå~íÉ=póëíÉã==161=
TKV= mä~åÉ==165=
TKNM= píê~áÖÜí=iáåÉ=áå=pé~ÅÉ==175=
TKNN= nì~ÇêáÅ=pìêÑ~ÅÉë==180=
TKNO= péÜÉêÉ==189=
= =
8 afccbobkqfî=`î`rirp=
UKN= cìåÅíáçåë=~åÇ=qÜÉáê=dê~éÜë==191=
UKO= iáãáíë=çÑ=cìåÅíáçåë==208=
UKP= aÉÑáåáíáçå=~åÇ=mêçéÉêíáÉë=çÑ=íÜÉ=aÉêáî~íáîÉ==209=
UKQ= q~ÄäÉ=çÑ=aÉêáî~íáîÉë==211=
UKR= eáÖÜÉê=lêÇÉê=aÉêáî~íáîÉë==215=
UKS= ^ééäáÅ~íáçåë=çÑ=aÉêáî~íáîÉ==217=
UKT= aáÑÑÉêÉåíá~ä==221=
UKU= jìäíáî~êá~ÄäÉ=cìåÅíáçåë==222=
UKV= aáÑÑÉêÉåíá~ä=léÉê~íçêë==225=
= =
9 fkqbdoî=`î`rirp=
VKN= fåÇÉÑáåáíÉ=fåíÉÖê~ä==227=
VKO= fåíÉÖê~äë=çÑ=o~íáçå~ä=cìåÅíáçåë==228=
VKP= fåíÉÖê~äë=çÑ=fêê~íáçå~ä=cìåÅíáçåë==231=
VKQ= fåíÉÖê~äë=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë==237=
VKR= fåíÉÖê~äë=çÑ=eóéÉêÄçäáÅ=cìåÅíáçåë==241=
VKS= fåíÉÖê~äë=çÑ=bñéçåÉåíá~ä=~åÇ=içÖ~êáíÜãáÅ=cìåÅíáçåë==242=
VKT= oÉÇìÅíáçå=cçêãìä~ë==243=
VKU= aÉÑáåáíÉ=fåíÉÖê~ä==247=
VKV= fãéêçéÉê=fåíÉÖê~ä==253=
VKNM= açìÄäÉ=fåíÉÖê~ä==257=
VKNN= qêáéäÉ=fåíÉÖê~ä==269=

vii
VKNO= iáåÉ=fåíÉÖê~ä==275=
VKNP= pìêÑ~ÅÉ=fåíÉÖê~ä==285=
= =
10 afccbobkqf^i=bnr^qflkp=
NMKN= cáêëí=lêÇÉê=lêÇáå~êó=aáÑÑÉêÉåíá~ä=bèì~íáçåë==295=
NMKO= pÉÅçåÇ=lêÇÉê=lêÇáå~êó=aáÑÑÉêÉåíá~ä=bèì~íáçåë==298=
NMKP= pçãÉ=m~êíá~ä=aáÑÑÉêÉåíá~ä=bèì~íáçåë==302=
= =
11 pbofbp=
NNKN= ^êáíÜãÉíáÅ=pÉêáÉë==304=
NNKO= dÉçãÉíêáÅ=pÉêáÉë==305=
NNKP= pçãÉ=cáåáíÉ=pÉêáÉë==305=
NNKQ= fåÑáåáíÉ=pÉêáÉë==307=
NNKR= mêçéÉêíáÉë=çÑ=`çåîÉêÖÉåí=pÉêáÉë==307=
NNKS= `çåîÉêÖÉåÅÉ=qÉëíë==308=
NNKT= ^äíÉêå~íáåÖ=pÉêáÉë==310=
NNKU= mçïÉê=pÉêáÉë==311=
NNKV= aáÑÑÉêÉåíá~íáçå=~åÇ=fåíÉÖê~íáçå=çÑ=mçïÉê=pÉêáÉë==312=
NNKNM= q~óäçê=~åÇ=j~Åä~ìêáå=pÉêáÉë==313=
NNKNN= mçïÉê=pÉêáÉë=bñé~åëáçåë=Ñçê=pçãÉ=cìåÅíáçåë==314=
NNKNO= _áåçãá~ä=pÉêáÉë==316=
NNKNP= cçìêáÉê=pÉêáÉë==316=
= =
12 mol_^_fifqv=
NOKN= mÉêãìí~íáçåë=~åÇ=`çãÄáå~íáçåë==318=
NOKO= mêçÄ~Äáäáíó=cçêãìä~ë==319=
= =
=
=
=

viii
=
qÜáë=é~ÖÉ=áë=áåíÉåíáçå~ääó=äÉÑí=Ää~åâK=
=

1
Chapter 1
Number Sets
=
=
=
=
1.1 Set Identities
=
pÉíëW=^I=_I=`=
råáîÉêë~ä=ëÉíW=f=
`çãéäÉãÉåí=W= ^′ =
mêçéÉê=ëìÄëÉíW= _
^ ⊂ ==
bãéíó=ëÉíW=∅=
råáçå=çÑ=ëÉíëW= _
^ ∪ =
fåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=ëÉíëW= _
^ ∩ =
aáÑÑÉêÉåÅÉ=çÑ=ëÉíëW= _
y
^ =
=
=
1. f
^ ⊂ =
=
2. ^
^ ⊂ =
=
3. _
^ = =áÑ= _
^ ⊂ =~åÇ= ^
_ ⊂ .=
=
4. bãéíó=pÉí=
^
⊂
∅ =
=
5. råáçå=çÑ=pÉíë==
{ }
_
ñ
çê
^
ñ
ö
ñ
_
^
` ∈
∈
=
∪
= =
=

CHAPTER 1. NUMBER SETS
2
===== =
=
Figure 1.
=
6. `çããìí~íáîáíó=
^
_
_
^ ∪
=
∪ =
=
7. ^ëëçÅá~íáîáíó=
( ) ( ) `
_
^
`
_
^ ∪
∪
=
∪
∪ =
=
8. fåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=pÉíë=
{ }
_
ñ
~åÇ
^
ñ
ö
ñ
_
^
` ∈
∈
=
∪
= = =
=
===== =
=
Figure 2.
=
9. `çããìí~íáîáíó=
^
_
_
^ ∩
=
∩ =
=
10. ^ëëçÅá~íáîáíó=
( ) ( ) `
_
^
`
_
^ ∩
∩
=
∩
∩ =
=

3
11. aáëíêáÄìíáîáíó=
( ) ( ) ( )
`
^
_
^
`
_
^ ∪
∩
∪
=
∩
∪ I=
( ) ( ) ( )
`
^
_
^
`
_
^ ∩
∪
∩
=
∪
∩ K=
=
12. fÇÉãéçíÉåÅó=
^
^
^ =
∩ I==
^
^
^ =
∪ =
=
13. açãáå~íáçå=
∅
=
∅
∩
^ I=
f
f
^ =
∪ =
=
14. fÇÉåíáíó=
^
^ =
∅
∪ I==
^
f
^ =
∩
=
15. `çãéäÉãÉåí=
{ }
^
ñ
ö
f
ñ
^ ∉
∈
=
′
=
16. `çãéäÉãÉåí=çÑ=fåíÉêëÉÅíáçå=~åÇ=råáçå
f
^
^ =
′
∪ I==
∅
=
′
∩ ^
^ =
=
17. aÉ=jçêÖ~å∞ë=i~ïë
( ) _
^
_
^ ′
∩
′
=
′
∪ I==
( ) _
^
_
^ ′
∪
′
=
′
∩ =
=
18. aáÑÑÉêÉåÅÉ=çÑ=pÉíë
{ }
^
ñ
~åÇ
_
ñ
ö
ñ
^
y
_
` ∉
∈
=
= =
=

4
===== =
=
Figure 3.
=
19. ( )
_
^
y
_
^
y
_ ∩
=
=
20. ^
_
^
y
_ ′
∩
=
=
21. ∅
=
^
y
^
=
22. ^
_
y
^ = =áÑ= ∅
=
∩_
^ .
=
===== =
=
Figure 4.
=
23. ( ) ( ) ( )
`
_
y
`
^
`
_
y
^ ∩
∩
=
∩
24. ^
y
f
^ =
′
25. `~êíÉëá~å=mêçÇìÅí
( )
{ }
_
ó
~åÇ
^
ñ
ö
ó
I
ñ
_
^
` ∈
∈
=
×
=
=
=

5
1.2 Sets of Numbers
=
k~íìê~ä=åìãÄÉêëW=k=
tÜçäÉ=åìãÄÉêëW= M
k =
fåíÉÖÉêëW=w=
mçëáíáîÉ=áåíÉÖÉêëW= +
w =
kÉÖ~íáîÉ=áåíÉÖÉêëW= −
w =
o~íáçå~ä=åìãÄÉêëW=n=
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=o==
`çãéäÉñ=åìãÄÉêëW=`==
=
=
26. k~íìê~ä=kìãÄÉêë
`çìåíáåÖ=åìãÄÉêëW { }
K
I
P
I
O
I
N
k = K=
27. tÜçäÉ=kìãÄÉêë
`çìåíáåÖ=åìãÄÉêë=~åÇ=òÉêçW= { }
K
I
P
I
O
I
N
I
M
kM = K=
=
28. fåíÉÖÉêë
tÜçäÉ=åìãÄÉêë=~åÇ=íÜÉáê=çééçëáíÉë=~åÇ=òÉêçW=
{ }
K
I
P
I
O
I
N
k
w =
=
+
I=
{ }
N
I
O
I
P
I
w −
−
−
=
−
K I=
{ } { }
K
K I
P
I
O
I
N
I
M
I
N
I
O
I
P
I
w
M
w
w −
−
−
=
∪
∪
= +
−
K=
=
29. o~íáçå~ä=kìãÄÉêë
oÉéÉ~íáåÖ=çê=íÉêãáå~íáåÖ=ÇÉÅáã~äëW==






≠
∈
∈
=
= M
Ä
~åÇ
w
Ä
~åÇ
w
~
~åÇ
Ä
~
ñ
ö
ñ
n K=
=
30. fêê~íáçå~ä=kìãÄÉêë
kçåêÉéÉ~íáåÖ=~åÇ=åçåíÉêãáå~íáåÖ=ÇÉÅáã~äëK
=

6
31. oÉ~ä=kìãÄÉêë==
råáçå=çÑ=ê~íáçå~ä=~åÇ=áêê~íáçå~ä=åìãÄÉêëW=oK=
=
32. `çãéäÉñ=kìãÄÉêë
{ }
o
ó
~åÇ
o
ñ
ö
áó
ñ
` ∈
∈
+
= I==
ïÜÉêÉ=á=áë=íÜÉ=áã~Öáå~êó=ìåáíK
=
33. `
o
n
w
k ⊂
⊂
⊂
⊂ =
=
=== =
=
Figure 5.
=
=
=
=
=
=

7
1.3 Basic Identities
=
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=Å=
=
=
34. ^ÇÇáíáîÉ=fÇÉåíáíó=
~
M
~ =
+ =
=
35. ^ÇÇáíáîÉ=fåîÉêëÉ=
( ) M
~
~ =
−
+ =
=
36. `çããìí~íáîÉ=çÑ=^ÇÇáíáçå=
~
Ä
Ä
~ +
=
+ =
=
37. ^ëëçÅá~íáîÉ=çÑ=^ÇÇáíáçå=
( ) ( )
Å
Ä
~
Å
Ä
~ +
+
=
+
+ =
=
38. aÉÑáåáíáçå=çÑ=pìÄíê~Åíáçå=
( )
Ä
~
Ä
~ −
+
=
− =
=
39. jìäíáéäáÅ~íáîÉ=fÇÉåíáíó=
~
N
~ =
⋅ =
=
40. jìäíáéäáÅ~íáîÉ=fåîÉêëÉ=
N
~
N
~ =
⋅ I= M
~ ≠
=
41. jìäíáéäáÅ~íáçå=qáãÉë=M
M
M
~ =
⋅
=
42. `çããìí~íáîÉ=çÑ=jìäíáéäáÅ~íáçå=
~
Ä
Ä
~ ⋅
=
⋅
=
=

8
43. ^ëëçÅá~íáîÉ=çÑ=jìäíáéäáÅ~íáçå=
( ) ( )
Å
Ä
~
Å
Ä
~ ⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
44. aáëíêáÄìíáîÉ=i~ï=
( ) ~Å
~Ä
Å
Ä
~ +
=
+ =
=
45. aÉÑáåáíáçå=çÑ=aáîáëáçå=
Ä
N
~
Ä
~
⋅
= =
=
=
=
1.4 Complex Numbers
=
k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å=
fã~Öáå~êó=ìåáíW=á=
`çãéäÉñ=åìãÄÉêW=ò=
oÉ~ä=é~êíW=~I=Å=
fã~Öáå~êó=é~êíW=ÄáI=Çá=
jçÇìäìë=çÑ=~=ÅçãéäÉñ=åìãÄÉêW=êI= N
ê I= O
ê =
^êÖìãÉåí=çÑ=~=ÅçãéäÉñ=åìãÄÉêW=ϕ I= N
ϕ I= O
ϕ =
=
=
á
áN
= = á
áR
= = á
á N
å
Q
=
+
=
N
áO
−
= = N
áS
−
= = N
á O
å
Q
−
=
+
=
á
áP
−
= = á
áT
−
= = á
á P
å
Q
−
=
+
=
46.
N
áQ
= = N
áU
= = N
á å
Q
= =
=
47. Äá
~
ò +
= =
=
48. `çãéäÉñ=mä~åÉ=
=

9
===== =
=
Figure 6.
=
49. ( ) ( ) ( ) ( )á
Ç
Ä
Å
~
Çá
Å
Äá
~ +
+
+
=
+
+
+ =
=
50. ( ) ( ) ( ) ( )á
Ç
Ä
Å
~
Çá
Å
Äá
~ −
+
−
=
+
−
+ =
=
51. ( )( ) ( ) ( )á
ÄÅ
~Ç
ÄÇ
~Å
Çá
Å
Äá
~ +
+
−
=
+
+ =
=
52. á
Ç
Å
~Ç
ÄÅ
Ç
Å
ÄÇ
~Å
Çá
Å
Äá
~
O
O
O
O
⋅
+
−
+
+
+
=
+
+
=
=
53. `çåàìÖ~íÉ=`çãéäÉñ=kìãÄÉêë=
Äá
~
Äá
~
|||||||
−
=
+ =
=
54. ϕ
= Åçë
ê
~ I= ϕ
= ëáå
ê
Ä ==
=

10
=
=
Figure 7.
=
55. mçä~ê=mêÉëÉåí~íáçå=çÑ=`çãéäÉñ=kìãÄÉêë=
( )
ϕ
+
ϕ
=
+ ëáå
á
Åçë
ê
Äá
~ =
=
56. jçÇìäìë=~åÇ=^êÖìãÉåí=çÑ=~=`çãéäÉñ=kìãÄÉê=
fÑ= Äá
~ + =áë=~=ÅçãéäÉñ=åìãÄÉêI=íÜÉå=
O
O
Ä
~
ê +
= =EãçÇìäìëFI==
~
Ä
~êÅí~å
=
ϕ =E~êÖìãÉåíFK=
=
57. mêçÇìÅí=áå=mçä~ê=oÉéêÉëÉåí~íáçå=
( ) ( )
O
O
O
N
N
N
O
N ëáå
á
Åçë
ê
ëáå
á
Åçë
ê
ò
ò ϕ
+
ϕ
⋅
ϕ
+
ϕ
=
⋅ =
( ) ( )
[ ]
O
N
O
N
O
N ëáå
á
Åçë
ê
ê ϕ
+
ϕ
+
ϕ
+
ϕ
= =
=
58. `çåàìÖ~íÉ=kìãÄÉêë=áå=mçä~ê=oÉéêÉëÉåí~íáçå=
( ) ( ) ( )
[ ]
ϕ
−
+
ϕ
−
=
ϕ
+
ϕ ëáå
á
Åçë
ê
ëáå
á
Åçë
ê
|
||||||||||
||||||||||
=
=
59. fåîÉêëÉ=çÑ=~=`çãéäÉñ=kìãÄÉê=áå=mçä~ê=oÉéêÉëÉåí~íáçå=
( )
( ) ( )
[ ]
ϕ
−
+
ϕ
−
=
ϕ
+
ϕ
ëáå
á
Åçë
ê
N
ëáå
á
Åçë
ê
N
=

11
60. nìçíáÉåí=áå=mçä~ê=oÉéêÉëÉåí~íáçå=
( )
( )
( ) ( )
[ ]
O
N
O
N
O
N
O
O
O
N
N
N
O
N
ëáå
á
Åçë
ê
ê
ëáå
á
Åçë
ê
ëáå
á
Åçë
ê
ò
ò
ϕ
−
ϕ
+
ϕ
−
ϕ
=
ϕ
+
ϕ
ϕ
+
ϕ
= =
=
61. mçïÉê=çÑ=~=`çãéäÉñ=kìãÄÉê=
( )
[ ] ( ) ( )
[ ]
ϕ
+
ϕ
=
ϕ
+
ϕ
= å
ëáå
á
å
Åçë
ê
ëáå
á
Åçë
ê
ò å
å
å
=
=
62. cçêãìä~=±aÉ=jçáîêÉ≤=
( ) ( ) ( )
ϕ
+
ϕ
=
ϕ
+
ϕ å
ëáå
á
å
Åçë
ëáå
á
Åçë
å
=
=
63. kíÜ=oççí=çÑ=~=`çãéäÉñ=kìãÄÉê=
( ) 




 π
+
ϕ
+
π
+
ϕ
=
ϕ
+
ϕ
=
å
â
O
ëáå
á
å
â
O
Åçë
ê
ëáå
á
Åçë
ê
ò å
å
å
I==
ïÜÉêÉ==
N
å
I
I
O
I
N
I
M
â −
= K K==
=
64. bìäÉê∞ë=cçêãìä~=
ñ
ëáå
á
ñ
Åçë
Éáñ
+
= =
=
=

12
Chapter 2
Algebra
=
=
=
=
2.1 Factoring Formulas
=
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=Å==
=
=
65. ( )( )
Ä
~
Ä
~
Ä
~ O
O
−
+
=
− =
=
66. ( )( )
O
O
P
P
Ä
~Ä
~
Ä
~
Ä
~ +
+
−
=
− =
=
67. ( )( )
O
O
P
P
Ä
~Ä
~
Ä
~
Ä
~ +
−
+
=
+ =
=
68. ( )( ) ( )( )( )
O
O
O
O
O
O
Q
Q
Ä
~
Ä
~
Ä
~
Ä
~
Ä
~
Ä
~ +
+
−
=
+
−
=
− =
=
69. ( )( )
Q
P
O
O
P
Q
R
R
Ä
~Ä
Ä
~
Ä
~
~
Ä
~
Ä
~ +
+
+
+
−
=
− =
=
70. ( )( )
Q
P
O
O
P
Q
R
R
Ä
~Ä
Ä
~
Ä
~
~
Ä
~
Ä
~ +
−
+
−
+
=
+ =
=
71. fÑ=å=áë=çÇÇI=íÜÉå=
( )( )
N
å
O
å
O
P
å
O
å
N
å
å
å
Ä
~Ä
Ä
~
Ä
~
~
Ä
~
Ä
~ −
−
−
−
−
+
−
−
+
−
+
=
+ K K==
=
72. fÑ=å=áë=ÉîÉåI=íÜÉå==
( )( )
N
å
O
å
O
P
å
O
å
N
å
å
å
Ä
~Ä
Ä
~
Ä
~
~
Ä
~
Ä
~ −
−
−
−
−
+
+
+
+
+
−
=
− K I==

CHAPTER 2. ALGEBRA
13
( )( )
N
å
O
å
O
P
å
O
å
N
å
å
å
Ä
~Ä
Ä
~
Ä
~
~
Ä
~
Ä
~ −
−
−
−
−
−
+
−
+
−
+
=
+ K K=
=
=
=
2.2 Product Formulas
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=Å==
tÜçäÉ=åìãÄÉêëW=åI=â=
=
=
73. ( ) O
O
O
Ä
~Ä
O
~
Ä
~ +
−
=
− =
=
74. ( ) O
O
O
Ä
~Ä
O
~
Ä
~ +
+
=
+ =
=
75. ( ) P
O
O
P
P
Ä
~Ä
P
Ä
~
P
~
Ä
~ −
+
−
=
− =
=
76. ( ) P
O
O
P
P
Ä
~Ä
P
Ä
~
P
~
Ä
~ +
+
+
=
+ =
=
77. ( ) Q
P
O
O
P
Q
Q
Ä
~Ä
Q
Ä
~
S
Ä
~
Q
~
Ä
~ +
−
+
−
=
− =
=
78. ( ) Q
P
O
O
P
Q
Q
Ä
~Ä
Q
Ä
~
S
Ä
~
Q
~
Ä
~ +
+
+
+
=
+ =
=
79. _áåçãá~ä=cçêãìä~=
( ) I
Ä
`
~Ä
`
Ä
~
`
Ä
~
`
~
`
Ä
~ å
å
å
N
å
N
å
å
O
O
å
O
å
N
å
N
å
å
M
å
å
+
+
+
+
+
=
+ −
−
−
−
K
ïÜÉêÉ=
( )>
â
å
>
â
>
å
`â
å
−
= =~êÉ=íÜÉ=Äáåçãá~ä=ÅçÉÑÑáÅáÉåíëK=
=
80. ( ) ÄÅ
O
~Å
O
~Ä
O
Å
Ä
~
Å
Ä
~ O
O
O
O
+
+
+
+
+
=
+
+ =
=
81. ( ) +
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+ O
O
O
O
O
O
î
ì
Å
Ä
~
î
ì
Å
Ä
~ K
K =
( )
ìî
Äî
Äì
ÄÅ
~î
~ì
~Å
~Ä
O +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ K
K
K =

CHAPTER 2. ALGEBRA
14
2.3 Powers
=
_~ëÉë=EéçëáíáîÉ=êÉ~ä=åìãÄÉêëFW=~I=Ä==
mçïÉêë=Eê~íáçå~ä=åìãÄÉêëFW=åI=ã=
=
=
82. å
ã
å
ã
~
~
~ +
= =
=
83. å
ã
å
ã
~
~
~ −
= =
=
84. ( ) ã
ã
ã
Ä
~
~Ä = =
=
85. ã
ã
ã
Ä
~
Ä
~
=






=
=
86. ( ) ãå
å
ã
~
~ = =
=
87. N
~M
= I= M
~ ≠ =
=
88. N
~N
= =
=
89. ã
ã
~
N
~ =
−
=
=
90. å ã
å
ã
~
~ = =
=
=
=
=
=

CHAPTER 2. ALGEBRA
15
2.4 Roots
=
_~ëÉëW=~I=Ä==
mçïÉêë=Eê~íáçå~ä=åìãÄÉêëFW=åI=ã=
M
Ä
I
~ ≥ =Ñçê=ÉîÉå=êççíë=E â
O
å = I= k
â∈ F=
=
=
91. å
å
å
Ä
~
~Ä = =
=
92. åã å
ã
ã
å
Ä
~
Ä
~ = =
=
93. å
å
å
Ä
~
Ä
~
= I= M
Ä ≠ =
=
94. åã
å
ã
åã å
åã ã
ã
å
Ä
~
Ä
~
Ä
~
=
= I= M
Ä ≠ K=
=
95. ( ) å ãé
é
å ã
~
~ = =
=
96. ( ) ~
~
å
å
= =
=
97.
åé ãé
å ã
~
~ = =
=
98. å
ã
å ã
~
~ = =
=
99. ãå
ã å
~
~ = =
=
100. ( ) å ã
ã
å
~
~ = =
=

CHAPTER 2. ALGEBRA
16
101.
~
~
~
N å N
å
å
−
= I= M
~ ≠ K=
=
102.
O
Ä
~
~
O
Ä
~
~
Ä
~
O
O
−
−
±
−
+
=
± =
=
103.
Ä
~
Ä
~
Ä
~
N
−
=
±
m
=
=
=
=
2.5 Logarithms
=
mçëáíáîÉ=êÉ~ä=åìãÄÉêëW=ñI=óI=~I=ÅI=â=
k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å==
=
=
104. aÉÑáåáíáçå=çÑ=içÖ~êáíÜã=
ñ
äçÖ
ó ~
= =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ= ó
~
ñ = I= M
~ > I= N
~ ≠ K=
=
105. M
N
äçÖ~ = =
=
106. N
~
äçÖ~ = =
=
107.



<
∞
+
>
∞
−
=
N
~
áÑ
N
~
áÑ
M
äçÖ~ =
=
108. ( ) ó
äçÖ
ñ
äçÖ
ñó
äçÖ ~
~
~ +
= =
=
109. ó
äçÖ
ñ
äçÖ
ó
ñ
äçÖ ~
~
~ −
= =

CHAPTER 2. ALGEBRA
17
110. ( ) ñ
äçÖ
å
ñ
äçÖ ~
å
~ = =
=
111. ñ
äçÖ
å
N
ñ
äçÖ ~
å
~ = =
=
112. Å
äçÖ
ñ
äçÖ
~
äçÖ
ñ
äçÖ
ñ
äçÖ ~
Å
Å
Å
~ ⋅
=
= I= M
Å > I= N
Å ≠ K=
=
113.
~
äçÖ
N
Å
äçÖ
Å
~ = =
=
114. ñ
äçÖ~
~
ñ = =
=
115. içÖ~êáíÜã=íç=_~ëÉ=NM=
ñ
äçÖ
ñ
äçÖNM = =
=
116. k~íìê~ä=içÖ~êáíÜã=
ñ
äå
ñ
äçÖÉ = I==
ïÜÉêÉ= K
TNUOUNUOU
K
O
â
N
N
äáã
É
â
â
=






+
=
∞
→
=
=
117. ñ
äå
QPQOVQ
K
M
ñ
äå
NM
äå
N
ñ
äçÖ =
= =
=
118. ñ
äçÖ
PMORUR
K
O
ñ
äçÖ
É
äçÖ
N
ñ
äå =
= =
=
=
=
=
=

CHAPTER 2. ALGEBRA
18
2.6 Equations
=
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=ÅI=éI=èI=ìI=î=
pçäìíáçåëW= N
ñ I= O
ñ I= N
ó I= O
ó I= P
ó =
=
=
119. iáåÉ~ê=bèì~íáçå=áå=låÉ=s~êá~ÄäÉ=
M
Ä
~ñ =
+ I=
~
Ä
ñ −
= K==
=
120. nì~Çê~íáÅ=bèì~íáçå=
M
Å
Äñ
~ñO
=
+
+ I=
~
O
~Å
Q
Ä
Ä
ñ
O
O
I
N
−
±
−
= K=
=
121. aáëÅêáãáå~åí=
~Å
Q
Ä
a O
−
= =
=
122. sáÉíÉ∞ë=cçêãìä~ë=
fÑ= M
è
éñ
ñO
=
+
+ I=íÜÉå==



=
−
=
+
è
ñ
ñ
é
ñ
ñ
O
N
O
N
K=
=
123. M
Äñ
~ñO
=
+ I= M
ñN = I=
~
Ä
ñO −
= K=
=
124. M
Å
~ñO
=
+ I=
~
Å
ñ O
I
N −
±
= K=
=
125. `ìÄáÅ=bèì~íáçåK=`~êÇ~åç∞ë=cçêãìä~K==
M
è
éó
óP
=
+
+ I==

CHAPTER 2. ALGEBRA
19
î
ì
óN +
= I= ( ) ( )á
î
ì
O
P
î
ì
O
N
ó P
I
O +
±
+
−
= I==
ïÜÉêÉ==
P
O
O
P
é
O
è
O
è
ì 





+






+
−
= I= P
O
O
P
é
O
è
O
è
î 





+






−
−
= K==
=
=
2.7 Inequalities
s~êá~ÄäÉëW=ñI=óI=ò=
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=



å
P
O
N ~
I
I
~
I
~
I
~
Ç
I
Å
I
Ä
I
~
K
I=ãI=å=
aÉíÉêãáå~åíëW=aI= ñ
a I= ó
a I= ò
a ==
=
=
126. fåÉèì~äáíáÉëI=fåíÉêî~ä=kçí~íáçåë=~åÇ=dê~éÜë==
=
fåÉèì~äáíó= fåíÉêî~ä=kçí~íáçå= dê~éÜ=
Ä
ñ
~ ≤
≤ = [ ]
Ä
I
~ =
=
Ä
ñ
~ ≤
< = ( ]
Ä
I
~ =
=
Ä
ñ
~ <
≤ = [ )
Ä
I
~ =
=
Ä
ñ
~ <
< = ( )
Ä
I
~ =
=
Ä
ñ ≤
<
∞
− I=
Ä
ñ ≤ =
( ]
Ä
I
∞
− =
=
Ä
ñ <
<
∞
− I=
Ä
ñ < =
( )
Ä
I
∞
− =
=
∞
<
≤ ñ
~ I=
~
ñ ≥ =
[ )
∞
I
~ =
=
∞
<
< ñ
~ I=
~
ñ > =
( )
∞
I
~ =
=

CHAPTER 2. ALGEBRA
20
127. fÑ= Ä
~ > I=íÜÉå= ~
Ä < K=
=
128. fÑ= Ä
~ > I=íÜÉå= M
Ä
~ >
− =çê= M
~
Ä <
− K=
=
129. fÑ= Ä
~ > I=íÜÉå= Å
Ä
Å
~ +
>
+ K=
=
130. fÑ= Ä
~ > I=íÜÉå= Å
Ä
Å
~ −
>
− K=
=
131. fÑ= Ä
~ > =~åÇ= Ç
Å > I=íÜÉå= Ç
Ä
Å
~ +
>
+ K=
=
132. fÑ= Ä
~ > =~åÇ= Ç
Å > I=íÜÉå= Å
Ä
Ç
~ −
>
− K=
=
133. fÑ= Ä
~ > =~åÇ= M
ã > I=íÜÉå= ãÄ
ã~ > K=
=
134. fÑ= Ä
~ > =~åÇ= M
ã > I=íÜÉå=
ã
Ä
ã
~
> K=
=
135. fÑ= Ä
~ > =~åÇ= M
ã < I=íÜÉå= ãÄ
ã~ < K=
=
136. fÑ= Ä
~ > =~åÇ= M
ã < I=íÜÉå=
ã
Ä
ã
~
< K=
=
137. fÑ= Ä
~
M <
< =~åÇ= M
å > I=íÜÉå= å
å
Ä
~ < K=
=
138. fÑ= Ä
~
M <
< =~åÇ= M
å < I=íÜÉå= å
å
Ä
~ > K=
=
139. fÑ= Ä
~
M <
< I=íÜÉå= å
å
Ä
~ < K=
=
140.
O
Ä
~
~Ä
+
≤ I==
ïÜÉêÉ= M
~ > =I= M
Ä > X=~å=Éèì~äáíó=áë=î~äáÇ=çåäó=áÑ= Ä
~ = K==
=
141. O
~
N
~ ≥
+ I=ïÜÉêÉ= M
~ > X=~å=Éèì~äáíó=í~âÉë=éä~ÅÉ=çåäó=~í= N
~ = K=

CHAPTER 2. ALGEBRA
21
142.
å
~
~
~
~
~
~ å
O
N
å
å
O
N
+
+
+
≤
K
K I=ïÜÉêÉ= M
~
I
I
~
I
~ å
O
N >
K K=
=
143. fÑ= M
Ä
~ñ >
+ =~åÇ= M
~ > I=íÜÉå=
~
Ä
ñ −
> K=
=
144. fÑ= M
Ä
~ñ >
+ =~åÇ= M
~ < I=íÜÉå=
~
Ä
ñ −
< K==
=
145. M
Å
Äñ
~ñO
>
+
+ =
=
= M
~ > = M
~ < =
=
=
=
M
a > =
=
=
N
ñ
ñ < I= O
ñ
ñ > =
=
=
=
O
N ñ
ñ
ñ <
< =
=
=
=
M
a = =
=
ñ
ñN < I= N
ñ
ñ > =
=
=
∅
∈
ñ =
=
=
=
M
a< =
=
=
∞
<
<
∞
− ñ =
=
=
=
∅
∈
ñ =
=

CHAPTER 2. ALGEBRA
22
146. Ä
~
Ä
~ +
≤
+ =
=
147. fÑ= ~
ñ < I=íÜÉå= ~
ñ
~ <
<
− I=ïÜÉêÉ= M
~ > K=
=
148. fÑ= ~
ñ > I=íÜÉå= ~
ñ −
< =~åÇ= ~
ñ > I=ïÜÉêÉ= M
~ > K=
=
149. fÑ= ~
ñO
< I=íÜÉå= ~
ñ < I=ïÜÉêÉ= M
~ > K=
=
150. fÑ= ~
ñO
> I=íÜÉå= ~
ñ > I=ïÜÉêÉ= M
~ > K=
=
151. fÑ=
( )
( )
M
ñ
Ö
ñ
Ñ
> I=íÜÉå=
( ) ( )
( )



≠
>
⋅
M
ñ
Ö
M
ñ
Ö
ñ
Ñ
K=
=
152.
( )
( )
M
ñ
Ö
ñ
Ñ
< I=íÜÉå=
( ) ( )
( )



≠
<
⋅
M
ñ
Ö
M
ñ
Ö
ñ
Ñ
K=
=
=
=
2.8 Compound Interest Formulas
=
cìíìêÉ=î~äìÉW=^=
fåáíá~ä=ÇÉéçëáíW=`=
^ååì~ä=ê~íÉ=çÑ=áåíÉêÉëíW=ê=
kìãÄÉê=çÑ=óÉ~êë=áåîÉëíÉÇW=í=
kìãÄÉê=çÑ=íáãÉë=ÅçãéçìåÇÉÇ=éÉê=óÉ~êW=å=
=
=
153. dÉåÉê~ä=`çãéçìåÇ=fåíÉêÉëí=cçêãìä~=
åí
å
ê
N
`
^ 





+
= =
=

CHAPTER 2. ALGEBRA
23
154. páãéäáÑáÉÇ=`çãéçìåÇ=fåíÉêÉëí=cçêãìä~=
fÑ=áåíÉêÉëí=áë=ÅçãéçìåÇÉÇ=çåÅÉ=éÉê=óÉ~êI=íÜÉå=íÜÉ=éêÉîáçìë=
Ñçêãìä~=ëáãéäáÑáÉë=íçW=
( )í
ê
N
`
^ +
= K=
=
155. `çåíáåìçìë=`çãéçìåÇ=fåíÉêÉëí=
fÑ=áåíÉêÉëí=áë=ÅçãéçìåÇÉÇ=Åçåíáåì~ääó=E ∞
→
å FI=íÜÉå==
êí
`É
^ = K=
=
=

24
Chapter 3
Geometry
=
=
=
=
3.1 Right Triangle
=
iÉÖë=çÑ=~=êáÖÜí=íêá~åÖäÉW=~I=Ä=
eóéçíÉåìëÉW=Å=
^äíáíìÇÉW=Ü=
jÉÇá~åëW= ~
ã I= Ä
ã I= Å
ã =
^åÖäÉëW=α Iβ =
o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o=
o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê=
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 8.
=
156. °
=
β
+
α VM =
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
25
157. β
=
=
α Åçë
Å
~
ëáå =
=
158. β
=
=
α ëáå
Å
Ä
Åçë =
=
159. β
=
=
α Åçí
Ä
~
í~å =
=
160. β
=
=
α í~å
~
Ä
Åçí =
=
161. β
=
=
α ÉÅ
Åçë
Ä
Å
ëÉÅ =
=
162. β
=
=
α ëÉÅ
~
Å
ÉÅ
Åçë =
=
163. móíÜ~ÖçêÉ~å=qÜÉçêÉã=
O
O
O
Å
Ä
~ =
+ =
=
164. ÑÅ
~O
= I= ÖÅ
ÄO
= I==
ïÜÉêÉ= Ñ= ~åÇ= Å= ~êÉ= éêçàÉÅíáçåë= çÑ= íÜÉ= äÉÖë= ~= ~åÇ= ÄI= êÉëéÉÅ-
íáîÉäóI=çåíç=íÜÉ=ÜóéçíÉåìëÉ=ÅK=
=
===== =
=
Figure 9.
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
26
165. ÑÖ
ÜO
= I===
ïÜÉêÉ=Ü=áë=íÜÉ=~äíáíìÇÉ=Ñêçã=íÜÉ=êáÖÜí=~åÖäÉK==
=
166.
Q
~
Ä
ã
O
O
O
~ −
= I=
Q
Ä
~
ã
O
O
O
Ä −
= I===
ïÜÉêÉ= ~
ã =~åÇ= Ä
ã =~êÉ=íÜÉ=ãÉÇá~åë=íç=íÜÉ=äÉÖë=~=~åÇ=ÄK==
=
=
=
Figure 10.
=
167.
O
Å
ãÅ = I==
ïÜÉêÉ= Å
ã =áë=íÜÉ=ãÉÇá~å=íç=íÜÉ=ÜóéçíÉåìëÉ=ÅK=
=
168. Å
ã
O
Å
o =
= =
=
169.
Å
Ä
~
~Ä
O
Å
Ä
~
ê
+
+
=
−
+
= =
=
170. ÅÜ
~Ä = =
=
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
27
171.
O
ÅÜ
O
~Ä
p =
= =
=
=
=
3.2 Isosceles Triangle
=
_~ëÉW=~=
iÉÖëW=Ä=
_~ëÉ=~åÖäÉW=β =
sÉêíÉñ=~åÖäÉW=α =
^äíáíìÇÉ=íç=íÜÉ=Ä~ëÉW=Ü=
mÉêáãÉíÉêW=i=
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 11.
=
172.
O
VM
α
−
°
=
β =
=
173.
Q
~
Ä
Ü
O
O
O
−
= =

CHAPTER 3. GEOMETRY
28
174. Ä
O
~
i +
= =
=
175. α
=
= ëáå
O
Ä
O
~Ü
p
O
=
=
=
=
3.3 Equilateral Triangle
=
páÇÉ=çÑ=~=Éèìáä~íÉê~ä=íêá~åÖäÉW=~=
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 12.
=
176.
O
P
~
Ü = =
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
29
177.
P
P
~
Ü
P
O
o =
= =
=
178.
O
o
S
P
~
Ü
P
N
ê =
=
= =
=
179. ~
P
i = =
=
180.
Q
P
~
O
~Ü
p
O
=
= =
=
=
=
3.4 Scalene Triangle
E^=íêá~åÖäÉ=ïáíÜ=åç=íïç=ëáÇÉë=Éèì~äF=
=
=
páÇÉë=çÑ=~=íêá~åÖäÉW=~I=ÄI=Å=
pÉãáéÉêáãÉíÉêW=
O
Å
Ä
~
é
+
+
= ==
^åÖäÉë=çÑ=~=íêá~åÖäÉW= γ
β
α I
I =
^äíáíìÇÉë=íç=íÜÉ=ëáÇÉë=~I=ÄI=ÅW= Å
Ä
~ Ü
I
Ü
I
Ü =
jÉÇá~åë=íç=íÜÉ=ëáÇÉë=~I=ÄI=ÅW= Å
Ä
~ ã
I
ã
I
ã =
_áëÉÅíçêë=çÑ=íÜÉ=~åÖäÉë= γ
β
α I
I W= Å
Ä
~ í
I
í
I
í =
^êÉ~W=p=
=
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
30
===== =
=
Figure 13.
=
181. °
=
γ
+
β
+
α NUM =
=
182. Å
Ä
~ >
+ I==
~
Å
Ä >
+ I==
Ä
Å
~ >
+ K=
=
183. Å
Ä
~ <
− I==
~
Å
Ä <
− I==
Ä
Å
~ <
− K=
=
184. jáÇäáåÉ=
O
~
è = I= ~
öö
è K=
=
===== =
=
Figure 14.
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
31
185. i~ï=çÑ=`çëáåÉë=
α
−
+
= Åçë
ÄÅ
O
Å
Ä
~ O
O
O
I=
β
−
+
= Åçë
~Å
O
Å
~
Ä O
O
O
I=
γ
−
+
= Åçë
~Ä
O
Ä
~
Å O
O
O
K=
=
186. i~ï=çÑ=páåÉë=
o
O
ëáå
Å
ëáå
Ä
ëáå
~
=
γ
=
β
=
α
I==
ïÜÉêÉ=o=áë=íÜÉ=ê~Çáìë=çÑ=íÜÉ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉK==
=
187.
p
Q
~ÄÅ
Ü
O
~Ä
Ü
O
~Å
Ü
O
ÄÅ
ëáå
O
Å
ëáå
O
Ä
ëáå
O
~
o
Å
Ä
~
=
=
=
=
γ
=
β
=
α
= =
=
188.
( )( )( )
é
Å
é
Ä
é
~
é
êO −
−
−
= I==
Å
Ä
~ Ü
N
Ü
N
Ü
N
ê
N
+
+
= K=
=
189.
( )( )
ÄÅ
Å
é
Ä
é
O
ëáå
−
−
=
α
I=
( )
ÄÅ
~
é
é
O
Åçë
−
=
α
I=
( )( )
( )
~
é
é
Å
é
Ä
é
O
í~å
−
−
−
=
α
K=
=
190. ( )( )( )
Å
é
Ä
é
~
é
é
~
O
Ü~ −
−
−
= I=
( )( )( )
Å
é
Ä
é
~
é
é
Ä
O
ÜÄ −
−
−
= I=
( )( )( )
Å
é
Ä
é
~
é
é
Å
O
ÜÅ −
−
−
= K=

CHAPTER 3. GEOMETRY
32
191. β
=
γ
= ëáå
Å
ëáå
Ä
Ü~ I=
α
=
γ
= ëáå
Å
ëáå
~
ÜÄ I=
α
=
β
= ëáå
Ä
ëáå
~
ÜÅ K=
=
192.
Q
~
O
Å
Ä
ã
O
O
O
O
~ −
+
= I==
Q
Ä
O
Å
~
ã
O
O
O
O
Ä −
+
= I==
Q
Å
O
Ä
~
ã
O
O
O
O
Å −
+
= K=
=
===== =
=
Figure 15.
=
193. ~
ã
P
O
^j = I= Ä
ã
P
O
_j = I= Å
ã
P
O
`j = =EcáÖKNRFK=
=
194.
( )
( )O
O
~
Å
Ä
~
é
ÄÅé
Q
í
+
−
= I==
( )
( )O
O
Ä
Å
~
Ä
é
~Åé
Q
í
+
−
= I==
( )
( )O
O
Å
Ä
~
Å
é
~Äé
Q
í
+
−
= K=
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
33
195.
O
ÅÜ
O
ÄÜ
O
~Ü
p Å
Ä
~
=
=
= I==
O
ëáå
ÄÅ
O
ëáå
~Å
O
ëáå
~Ä
p
α
=
β
=
γ
= I==
( )( )( )
Å
é
Ä
é
~
é
é
p −
−
−
= =EeÉêçå∞ë=cçêãìä~FI=
éê
p = I==
o
Q
~ÄÅ
p = I=
γ
β
α
= ëáå
ëáå
ëáå
o
O
p O
I=
O
í~å
O
í~å
O
í~å
é
p O γ
β
α
= K=
=
=
=
3.5 Square
páÇÉ=çÑ=~=ëèì~êÉW=~=
aá~Öçå~äW=Ç=
^êÉ~W=p=
=
=
=
Figure 16.

CHAPTER 3. GEOMETRY
34
196. O
~
Ç = ==
=
197.
O
O
~
O
Ç
o =
= =
=
198.
O
~
ê = =
=
199. ~
Q
i = =
=
200. O
~
p = =
=
=
=
3.6 Rectangle
=
páÇÉë=çÑ=~=êÉÅí~åÖäÉW=~I=Ä=
aá~Öçå~äW=Ç=
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 17.
=
201. O
O
Ä
~
Ç +
= ==

CHAPTER 3. GEOMETRY
35
202.
O
Ç
o = =
=
203. ( )
Ä
~
O
i +
= =
=
204. ~Ä
p = =
=
=
=
3.7 Parallelogram
=
páÇÉë=çÑ=~=é~ê~ääÉäçÖê~ãW=~I=Ä=
aá~Öçå~äëW= O
N Ç
I
Ç =
`çåëÉÅìíáîÉ=~åÖäÉëW= β
αI =
^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=Çá~Öçå~äëW=ϕ =
^äíáíìÇÉW=Ü==
^êÉ~W=p=
=
=
===== =
=
Figure 18.
=
205. °
=
β
+
α NUM =
=
206. ( )
O
O
O
O
O
N Ä
~
O
Ç
Ç +
=
+ =
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
36
207. β
=
α
= ëáå
Ä
ëáå
Ä
Ü =
=
208. ( )
Ä
~
O
i +
= =
=
209. α
=
= ëáå
~Ä
~Ü
p I==
ϕ
= ëáå
Ç
Ç
O
N
p O
N K=
=
=
=
3.8 Rhombus
=
páÇÉ=çÑ=~=êÜçãÄìëW=~=
aá~Öçå~äëW= O
N Ç
I
Ç =
`çåëÉÅìíáîÉ=~åÖäÉëW= β
αI =
^äíáíìÇÉW=e=
^êÉ~W=p=
=
=
===== =
=
Figure 19.
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
37
210. °
=
β
+
α NUM =
=
211. O
O
O
O
N ~
Q
Ç
Ç =
+ =
=
212.
~
O
Ç
Ç
ëáå
~
Ü O
N
=
α
= =
=
213.
O
ëáå
~
~
Q
Ç
Ç
O
Ü
ê O
N α
=
=
= =
=
214. ~
Q
i = =
=
215. α
=
= ëáå
~
~Ü
p O
I==
O
NÇ
Ç
O
N
p = K=
=
=
=
3.9 Trapezoid
=
_~ëÉë=çÑ=~=íê~éÉòçáÇW=~I=Ä=
jáÇäáåÉW=è=
^êÉ~W=p=
=
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
38
=
=
Figure 20.
=
216.
O
Ä
~
è
+
= =
=
217. èÜ
Ü
O
Ä
~
p =
⋅
+
= =
=
=
=
3.10 Isosceles Trapezoid
=
iÉÖW=Å=
jáÇäáåÉW=è=
aá~Öçå~äW=Ç=
^êÉ~W=p=
=
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
39
=
=
Figure 21.
=
218.
O
Ä
~
è
+
= =
=
219. O
Å
~Ä
Ç +
= =
=
220. ( )O
O
~
Ä
Q
N
Å
Ü −
−
= =
=
221.
( )( )
Ä
~
Å
O
Ä
~
Å
O
Å
~Ä
Å
o
O
−
+
+
−
+
= =
=
222. èÜ
Ü
O
Ä
~
p =
⋅
+
= =
=
=
=
=
=
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
40
3.11 Isosceles Trapezoid with
Inscribed Circle
=
iÉÖW=Å=
jáÇäáåÉW=è=
aá~Öçå~äW=Ç=
o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o=
o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê=
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 22.
=
223. Å
O
Ä
~ =
+ =
=
224. Å
O
Ä
~
è =
+
= =
=
225. O
O
O
Å
Ü
Ç +
= =
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
41
226.
O
~Ä
O
Ü
ê =
= =
=
227.
~
Ä
S
Ä
~
U
Ä
~
Å
Ü
Ü
O
Å
~Ä
Å
N
O
Å
ê
Q
ÅÇ
Ü
O
ÅÇ
o O
O
O
+
+
+
=
+
=
+
=
=
= =
=
228. ( ) Å
Q
Ä
~
O
i =
+
= =
=
229.
( )
O
iê
ÅÜ
èÜ
O
~Ä
Ä
~
Ü
O
Ä
~
p =
=
=
+
=
⋅
+
= ==
=
=
=
3.12 Trapezoid with Inscribed Circle
=
i~íÉê~ä=ëáÇÉëW=ÅI=Ç=
jáÇäáåÉW=è=
aá~Öçå~äëW= O
N Ç
I
Ç =
^êÉ~W=p=
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
42
=
=
Figure 23.
=
230. Ç
Å
Ä
~ +
=
+ =
=
231.
O
Ç
Å
O
Ä
~
è
+
=
+
= =
=
232. ( ) ( )
Ç
Å
O
Ä
~
O
i +
=
+
= =
=
233. èÜ
Ü
O
Ç
Å
Ü
O
Ä
~
p =
⋅
+
=
⋅
+
= I==
ϕ
= ëáå
Ç
Ç
O
N
p O
N K=
=
=
=
3.13 Kite
=
páÇÉë=çÑ=~=âáíÉW=~I=Ä=
aá~Öçå~äëW= O
N Ç
I
Ç =
^åÖäÉëW= γ
β
α I
I =
^êÉ~W=p=
=
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
43
=
=
Figure 24.
=
234. °
=
γ
+
β
+
α PSM
O =
=
235. ( )
Ä
~
O
i +
= =
=
236.
O
Ç
Ç
p O
N
= =
=
=
=
3.14 Cyclic Quadrilateral
páÇÉë=çÑ=~=èì~Çêáä~íÉê~äW=~I=ÄI=ÅI=Ç=
aá~Öçå~äëW= O
N Ç
I
Ç =
fåíÉêå~ä=~åÖäÉëW= δ
γ
β
α I
I
I =
pÉãáéÉêáãÉíÉêW=é==
^êÉ~W=p=

CHAPTER 3. GEOMETRY
44
=
=
Figure 25.
=
237. °
=
δ
+
β
=
γ
+
α NUM =
=
238. míçäÉãó∞ë=qÜÉçêÉã=
O
NÇ
Ç
ÄÇ
~Å =
+ =
=
239. Ç
Å
Ä
~
i +
+
+
= =
=
240.
( )( )( )
( )( )( )( )
Ç
é
Å
é
Ä
é
~
é
ÅÇ
~Ä
ÄÅ
~Ç
ÄÇ
~Å
Q
N
o
−
−
−
−
+
+
+
= I==
ïÜÉêÉ=
O
i
é = K=
=
241. ϕ
= ëáå
Ç
Ç
O
N
p O
N I==
( )( )( )( )
Ç
é
Å
é
Ä
é
~
é
p −
−
−
−
= I==
ïÜÉêÉ=
O
i
é = K=
=
=
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
45
3.15 Tangential Quadrilateral
=
aá~Öçå~äëW= O
N Ç
I
Ç =
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 26.
=
242. Ç
Ä
Å
~ +
=
+ =
=
243. ( ) ( )
Ç
Ä
O
Å
~
O
Ç
Å
Ä
~
i +
=
+
=
+
+
+
= =
=
244.
( ) ( )
é
O
é
Ä
~
Ä
~
Ç
Ç
ê
O
O
O
O
O
N −
+
−
−
= I==
ïÜÉêÉ=
O
i
é = K==
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
46
245. ϕ
=
= ëáå
Ç
Ç
O
N
éê
p O
N =
=
=
=
3.16 General Quadrilateral
=
aá~Öçå~äëW= O
N Ç
I
Ç =
fåíÉêå~ä=~åÖäÉëW= δ
γ
β
α I
I
I =
^êÉ~W=p=
=
=
======= =
=
Figure 27.
=
246. °
=
δ
+
γ
+
β
+
α PSM =
=
247. Ç
Å
Ä
~
i +
+
+
= =
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
47
248. ϕ
= ëáå
Ç
Ç
O
N
p O
N =
=
=
=
3.17 Regular Hexagon
=
páÇÉW=~=
fåíÉêå~ä=~åÖäÉW=α =
pä~åí=ÜÉáÖÜíW=ã=
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 28.
=
249. °
=
α NOM =
=
250.
O
P
~
ã
ê =
= =

CHAPTER 3. GEOMETRY
48
251. ~
o = =
=
252. ~
S
i = =
=
253.
O
P
P
~
éê
p
O
=
= I==
ïÜÉêÉ=
O
i
é = K=
=
=
=
3.18 Regular Polygon
=
páÇÉW=~=
kìãÄÉê=çÑ=ëáÇÉëW=å=
fåíÉêå~ä=~åÖäÉW=α =
^êÉ~W=p=
=
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
49
=
=
Figure 29.
=
254. °
⋅
−
=
α NUM
O
O
å
=
=
255. °
⋅
−
=
α NUM
O
O
å
=
=
256.
å
ëáå
O
~
o
π
= =
=
257.
Q
~
o
å
í~å
O
~
ã
ê
O
O
−
=
π
=
= =
=
258. å~
i = =
=
259.
å
O
ëáå
O
åo
p
O
π
= I==
Q
~
o
é
éê
p
O
O
−
=
= I==

CHAPTER 3. GEOMETRY
50
ïÜÉêÉ=
O
i
é = K==
=
=
=
3.19 Circle
=
o~ÇáìëW=o=
aá~ãÉíÉêW=Ç=
`ÜçêÇW=~=
pÉÅ~åí=ëÉÖãÉåíëW=ÉI=Ñ=
q~åÖÉåí=ëÉÖãÉåíW=Ö=
`Éåíê~ä=~åÖäÉW=α =
fåëÅêáÄÉÇ=~åÖäÉW=β =
^êÉ~W=p=
=
=
260.
O
ëáå
o
O
~
α
= =
=
=
=
Figure 30.
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
51
261. O
N
O
N Ä
Ä
~
~ = =
=
=
=
Figure 31.
=
262. N
N ÑÑ
ÉÉ = =
=
===== =
=
Figure 32.
=
263. N
O
ÑÑ
Ö = =
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
52
===== =
=
Figure 33.
=
264.
O
α
=
β =
=
=
=
Figure 34.
=
265. Ç
o
O
i π
=
π
= =
=
266.
O
io
Q
Ç
o
p
O
O
=
π
=
π
= ==
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
53
3.20 Sector of a Circle
=
o~Çáìë=çÑ=~=ÅáêÅäÉW=o=
^êÅ=äÉåÖíÜW=ë=
`Éåíê~ä=~åÖäÉ=Eáå=ê~Çá~åëFW=ñ=
`Éåíê~ä=~åÖäÉ=Eáå=ÇÉÖêÉÉëFW=α=
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 35.
=
267. oñ
ë = =
=
268.
°
α
π
=
NUM
o
ë =
=
269. o
O
ë
i +
= =
=
270.
°
α
π
=
=
=
PSM
o
O
ñ
o
O
oë
p
O
O
==
=
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
54
3.21 Segment of a Circle
=
o~Çáìë=çÑ=~=ÅáêÅäÉW=o=
^êÅ=äÉåÖíÜW=ë=
`ÜçêÇW=~=
`Éåíê~ä=~åÖäÉ=Eáå=ê~Çá~åëFW=ñ=
`Éåíê~ä=~åÖäÉ=Eáå=ÇÉÖêÉÉëFW=α=
eÉáÖÜí=çÑ=íÜÉ=ëÉÖãÉåíW=Ü=
^êÉ~W=p=
=
=
=
=
Figure 36.
=
271. O
Ü
Üo
O
O
~ −
= =
=
272. O
O
~
o
Q
O
N
o
Ü −
−
= I= o
Ü < =
=
273. ~
ë
i +
= =
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
55
274. ( )
[ ] ( )
ñ
ëáå
ñ
O
o
ëáå
NUM
O
o
Ü
o
~
ëo
O
N
p
O
O
−
=






α
−
°
απ
=
−
−
= I==
Ü~
P
O
p ≈ K=
=
=
=
3.22 Cube
=
bÇÖÉW=~==
aá~Öçå~äW=Ç=
o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ëéÜÉêÉW=ê=
o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ëéÜÉêÉW=ê=
pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sçäìãÉW=s=
=
=
=== =
=
Figure 37.
=
275. P
~
Ç = =
=
276.
O
~
ê = =
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
56
277.
O
P
~
o = =
=
278. O
~
S
p = =
=
279. P
~
s = ==
=
=
=
3.23 Rectangular Parallelepiped
=
bÇÖÉëW=~I=ÄI=Å==
aá~Öçå~äW=Ç=
sçäìãÉW=s=
=
=
===== =
=
Figure 38.
=
280. O
O
O
Å
Ä
~
Ç +
+
= =
=
281. ( )
ÄÅ
~Å
~Ä
O
p +
+
= =
=
282. ~ÄÅ
s = ==

CHAPTER 3. GEOMETRY
57
3.24 Prism
=
i~íÉê~ä=ÉÇÖÉW=ä=
eÉáÖÜíW=Ü=
i~íÉê~ä=~êÉ~W= i
p =
^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= _
p =
qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=
sçäìãÉW=s=
=
=
===== =
=
Figure 39.
=
283. _
i p
O
p
p +
= K==
=
284. i~íÉê~ä=^êÉ~=çÑ=~=oáÖÜí=mêáëã=
( )ä
~
~
~
~
p å
P
O
N
i +
+
+
+
= K =
=
285. i~íÉê~ä=^êÉ~=çÑ=~å=lÄäáèìÉ=mêáëã=
éä
pi = I==
ïÜÉêÉ=é=áë=íÜÉ=éÉêáãÉíÉê=çÑ=íÜÉ=Åêçëë=ëÉÅíáçåK=
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
58
286. Ü
p
s _
= =
=
287. `~î~äáÉêáDë=mêáåÅáéäÉ==
dáîÉå=íïç=ëçäáÇë=áåÅäìÇÉÇ=ÄÉíïÉÉå=é~ê~ääÉä=éä~åÉëK=fÑ=ÉîÉêó=
éä~åÉ=Åêçëë=ëÉÅíáçå=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ÖáîÉå=éä~åÉë=Ü~ë=íÜÉ=ë~ãÉ=
~êÉ~=áå=ÄçíÜ=ëçäáÇëI=íÜÉå=íÜÉ=îçäìãÉë=çÑ=íÜÉ=ëçäáÇë=~êÉ=Éèì~äK=
=
=
=
3.25 Regular Tetrahedron
=
qêá~åÖäÉ=ëáÇÉ=äÉåÖíÜW=~=
eÉáÖÜíW=Ü=
p =
sçäìãÉW=s=
=
=
=
=
Figure 40.
=
288. ~
P
O
Ü = =
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
59
289.
Q
~
P
p
O
_ = =
=
290. O
~
P
p = =
=
291.
O
S
~
Ü
p
P
N
s
P
_ =
= K==
=
=
=
3.26 Regular Pyramid
=
páÇÉ=çÑ=Ä~ëÉW=~=
i~íÉê~ä=ÉÇÖÉW=Ä=
eÉáÖÜíW=Ü=
pä~åí=ÜÉáÖÜíW=ã==
kìãÄÉê=çÑ=ëáÇÉëW=å==
pÉãáéÉêáãÉíÉê=çÑ=Ä~ëÉW=é=
o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ëéÜÉêÉ=çÑ=Ä~ëÉW=ê=
p =
i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= i
p =
sçäìãÉW=s=
=
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
60
=
=
Figure 41.
=
292.
Q
~
Ä
ã
O
O
−
= =
=
293.
å
ëáå
O
~
å
ëáå
Ä
Q
Ü
O
O
O
π
−
π
= =
=
294. éã
~
Ä
Q
å~
Q
N
å~ã
O
N
p O
O
i =
−
=
= =
=
295. éê
p_ = =
=
296. i
_ p
p
p +
= =
=
297. éêÜ
P
N
Ü
p
P
N
s _ =
= ==
=
=
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
61
3.27 Frustum of a Regular Pyramid
=
_~ëÉ=~åÇ=íçé=ëáÇÉ=äÉåÖíÜëW=



å
P
O
N
å
P
O
N
Ä
I
I
Ä
I
Ä
I
Ä
~
I
I
~
I
~
I
~
K
K
=
eÉáÖÜíW=Ü=
pä~åí=ÜÉáÖÜíW=ã==
^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉëW= N
p I= O
p =
p =
mÉêáãÉíÉê=çÑ=Ä~ëÉëW= N
m I= O
m =
pÅ~äÉ=Ñ~ÅíçêW=â=
sçäìãÉW=s=
=
=
=
=
Figure 42.
=
298. â
~
Ä
~
Ä
~
Ä
~
Ä
~
Ä
å
å
P
P
O
O
N
N
=
=
=
=
=
= K =
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
62
299. O
N
O
â
p
p
= =
=
300.
( )
O
m
m
ã
p O
N
i
+
= =
=
301. O
N
i p
p
p
p +
+
= =
=
302. ( )
O
O
N
N p
p
p
p
P
Ü
s +
+
= =
=
303. [ ]
O
N
O
N
â
â
N
P
Üp
~
Ä
~
Ä
N
P
Üp
s +
+
=














+
+
= =
=
=
=
3.28 Rectangular Right Wedge
=
páÇÉë=çÑ=Ä~ëÉW=~I=Ä=
qçé=ÉÇÖÉW=Å=
eÉáÖÜíW=Ü=
p =
p =
sçäìãÉW=s=
=
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
63
=
=
Figure 43.
=
304. ( ) ( )O
O
O
O
i Å
~
Ü
Ä
Ä
Ü
Q
Å
~
O
N
p −
+
+
+
+
= =
=
305. ~Ä
p_ = =
=
306. i
_ p
p
p +
= =
=
307. ( )
Å
~
O
S
ÄÜ
s +
= =
=
=
=
3.29 Platonic Solids
=
bÇÖÉW=~=
sçäìãÉW=s=
=
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
64
308. cáîÉ=mä~íçåáÅ=pçäáÇë=
qÜÉ= éä~íçåáÅ= ëçäáÇë= ~êÉ= ÅçåîÉñ= éçäóÜÉÇê~= ïáíÜ= Éèìáî~äÉåí=
Ñ~ÅÉë=ÅçãéçëÉÇ=çÑ=ÅçåÖêìÉåí=ÅçåîÉñ=êÉÖìä~ê=éçäóÖçåëK==
=
pçäáÇ= kìãÄÉê=
çÑ=sÉêíáÅÉë
kìãÄÉê=
çÑ=bÇÖÉë=
kìãÄÉê=
çÑ=c~ÅÉë=
pÉÅíáçå=
qÉíê~ÜÉÇêçå== Q= S= Q= PKOR=
`ìÄÉ= U= NO= S= PKOO=
lÅí~ÜÉÇêçå= S= NO= U= PKOT=
fÅçë~ÜÉÇêçå= NO= PM= OM= PKOT=
açÇÉÅ~ÜÉÇêçå= OM= PM= NO= PKOT=
=
=
Octahedron
=
=
=
Figure 44.
=
309.
S
S
~
ê = =
=
310.
O
O
~
o = =
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
65
311. P
~
O
p O
= =
=
312.
P
O
~
s
P
= =
=
=
Icosahedron
=
=
=
Figure 45.
=
313.
( )
NO
R
P
P
~
ê
+
= =
=
314. ( )
R
R
O
Q
~
o +
= =
=
315. P
~
R
p O
= =
=
316.
( )
NO
R
P
~
R
s
P
+
= =
=
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
66
Dodecahedron
=
=
=
Figure 46.
=
317.
( )
O
R
NN
OR
NM
~
ê
+
= =
=
318.
( )
Q
R
N
P
~
o
+
= =
=
319. ( )
R
O
R
R
~
P
p O
+
= =
=
320.
( )
Q
R
T
NR
~
s
P
+
= =
=
=
=
3.30 Right Circular Cylinder
=
o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉW=o=
aá~ãÉíÉê=çÑ=Ä~ëÉW=Ç=

CHAPTER 3. GEOMETRY
67
eÉáÖÜíW=e=
p =
p =
sçäìãÉW=s=
=
=
===== =
=
Figure 47.
=
321. oe
O
pi π
= =
=
322. ( ) 





+
π
=
+
π
=
+
=
O
Ç
e
Ç
o
e
o
O
p
O
p
p _
i =
=
323. e
o
e
p
s O
_ π
=
= =
=
=
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
68
3.31 Right Circular Cylinder with
an Oblique Plane Face
=
qÜÉ=ÖêÉ~íÉëí=ÜÉáÖÜí=çÑ=~=ëáÇÉW= N
Ü =
qÜÉ=ëÜçêíÉëí=ÜÉáÖÜí=çÑ=~=ëáÇÉW= O
Ü =
p =
^êÉ~=çÑ=éä~åÉ=ÉåÇ=Ñ~ÅÉëW= _
p =
sçäìãÉW=s=
=
=
=
=
Figure 48.
=
324. ( )
O
N
i Ü
Ü
o
p +
π
= =
=
325.
O
O
N
O
O
_
O
Ü
Ü
o
o
o
p 




 −
+
π
+
π
= =
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
69
326.













 −
+
+
+
+
π
=
+
=
O
O
N
O
O
N
_
i
O
Ü
Ü
o
o
Ü
Ü
o
p
p
p =
=
327. ( )
O
N
O
Ü
Ü
O
o
s +
π
= =
=
=
=
3.32 Right Circular Cone
aá~ãÉíÉê=çÑ=Ä~ëÉW=Ç=
eÉáÖÜíW=e=
p =
p =
sçäìãÉW=s=
=
=
=
=
Figure 49.

CHAPTER 3. GEOMETRY
70
328. O
O
o
ã
e −
= =
=
329.
O
ãÇ
oã
pi
π
=
π
= =
=
330. O
_ o
p π
= =
=
331. ( ) 





+
π
=
+
π
=
+
=
O
Ç
ã
Ç
O
N
o
ã
o
p
p
p _
i =
=
332. e
o
P
N
e
p
P
N
s O
_ π
=
= =
=
=
=
3.33 Frustum of a Right Circular Cone
=
o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉëW=oI=ê=
eÉáÖÜíW=e=
pÅ~äÉ=Ñ~ÅíçêW=â=
^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉëW= N
p I= O
p =
p =
sçäìãÉW=s=
=
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
71
=
=
Figure 50.
=
333. ( )O
O
ê
o
ã
e −
−
= =
=
334. â
ê
o
= =
=
335. O
O
O
N
O
â
ê
o
p
p
=
= =
=
336. ( )
ê
o
ã
pi +
π
= =
=
337. ( )
[ ]
ê
o
ã
ê
o
p
p
p
p O
O
i
O
N +
+
+
π
=
+
+
= =
=
338. ( )
O
O
N
N p
p
p
p
P
Ü
s +
+
= =
=
339. [ ]
O
N
O
N
â
â
N
P
Üp
ê
o
ê
o
N
P
Üp
s +
+
=














+
+
= =
=
=
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
72
3.34 Sphere
=
o~ÇáìëW=o=
aá~ãÉíÉêW=Ç=
sçäìãÉW=s=
=
=
=
Figure 51.
=
340. O
o
Q
p π
= =
=
341. po
P
N
Ç
S
N
e
o
P
Q
s P
P
=
π
=
π
= =
=
=
=
3.35 Spherical Cap
o~Çáìë=çÑ=ëéÜÉêÉW=o=
o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉW=ê=
eÉáÖÜíW=Ü=
^êÉ~=çÑ=éä~åÉ=Ñ~ÅÉW= _
p =
^êÉ~=çÑ=ëéÜÉêáÅ~ä=Å~éW= `
p =
sçäìãÉW=s=

CHAPTER 3. GEOMETRY
73
=
=
Figure 52.
=
342.
Ü
O
Ü
ê
o
O
O
+
= =
=
343. O
_ ê
p π
= =
=
344. ( )
O
O
` ê
Ü
p +
π
= =
=
345. ( ) ( )
O
O
O
`
_ ê
oÜ
O
ê
O
Ü
p
p
p +
π
=
+
π
=
+
= =
=
346. ( ) ( )
O
O
O
Ü
ê
P
Ü
S
Ü
o
P
Ü
S
s +
π
=
−
π
= =
=
=
=
3.36 Spherical Sector
=
o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉ=çÑ=ëéÜÉêáÅ~ä=Å~éW=ê=
eÉáÖÜíW=Ü=
sçäìãÉW=s=
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
74
====== === =
=
Figure 53.
=
347. ( )
ê
Ü
O
o
p +
π
= =
=
348. Ü
o
P
O
s O
π
= =
=
kçíÉW=qÜÉ=ÖáîÉå=Ñçêãìä~ë=~êÉ=ÅçêêÉÅí=ÄçíÜ=Ñçê=±çéÉå≤=~åÇ=
±ÅäçëÉÇ≤=ëéÜÉêáÅ~ä=ëÉÅíçêK=
=
=
=
3.37 Spherical Segment
=
o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉëW= N
ê I= O
ê =
eÉáÖÜíW=Ü=
^êÉ~=çÑ=ëéÜÉêáÅ~ä=ëìêÑ~ÅÉW= p
p =
^êÉ~=çÑ=éä~åÉ=ÉåÇ=Ñ~ÅÉëW= N
p I= O
p =
sçäìãÉW=s=
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
75
===== =
=
Figure 54.
=
349. oÜ
O
pp π
= =
=
350. ( )
O
O
O
N
O
N
p ê
ê
oÜ
O
p
p
p
p +
+
π
=
+
+
= =
=
351. ( )
O
O
O
O
N Ü
ê
P
ê
P
Ü
S
N
s +
+
π
= =
=
=
=
3.38 Spherical Wedge
=
o~ÇáìëW=o=
aáÜÉÇê~ä=~åÖäÉ=áå=ÇÉÖêÉÉëW=ñ=
aáÜÉÇê~ä=~åÖäÉ=áå=ê~Çá~åëW=α=
^êÉ~=çÑ=ëéÜÉêáÅ~ä=äìåÉW= i
p =
sçäìãÉW=s=
=
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
76
=
=
Figure 55.
=
352. ñ
o
O
VM
o
p O
O
i =
α
π
= =
=
353. ñ
o
O
o
VM
o
o
p O
O
O
O
+
π
=
α
π
+
π
= =
=
354. ñ
o
P
O
OTM
o
s P
P
=
α
π
= =
=
=
=
3.39 Ellipsoid
=
pÉãá-~ñÉëW=~I=ÄI=Å=
sçäìãÉW=s=

CHAPTER 3. GEOMETRY
77
======= =
=
Figure 56.
=
355. ~ÄÅ
P
Q
s π
= =
=
=
=
Prolate Spheroid
=
pÉãá-~ñÉëW=~I=ÄI=Ä=E Ä
~ > F=
sçäìãÉW=s=
=
=
356. 





+
π
=
É
É
~êÅëáå
~
Ä
Ä
O
p I==
ïÜÉêÉ=
~
Ä
~
É
O
O
−
= K=
=
357. ~
Ä
P
Q
s O
π
= =
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
78
Oblate Spheroid
=
pÉãá-~ñÉëW=~I=ÄI=Ä=E Ä
~ < F=
sçäìãÉW=s=
=
=
358.


















+
π
=
~
L
ÄÉ
~
ÄÉ
~êÅëáåÜ
~
Ä
Ä
O
p I==
ïÜÉêÉ=
Ä
~
Ä
É
O
O
−
= K=
=
359. ~
Ä
P
Q
s O
π
= =
=
=
=
3.40 Circular Torus
=
j~àçê=ê~ÇáìëW=o=
jáåçê=ê~ÇáìëW=ê=
sçäìãÉW=s=
=

CHAPTER 3. GEOMETRY
79
== =
Picture 57.
=
360. oê
Q
p O
π
= =
=
361. O
O
oê
O
s π
= =
=
=

80
Chapter 4
Trigonometry
=
=
=
=
^åÖäÉëW=α I=β =
oÉ~ä=åìãÄÉêë=EÅççêÇáå~íÉë=çÑ=~=éçáåíFW=ñI=ó==
tÜçäÉ=åìãÄÉêW=â=
=
=
4.1 Radian and Degree Measures of Angles
=
362. ?
QR
D
NT
RT
NUM
ê~Ç
N °
≈
π
°
= =
=
363. ê~Ç
MNTQRP
K
M
ê~Ç
NUM
N ≈
π
=
° =
=
364. ê~Ç
MMMOVN
K
M
ê~Ç
SM
NUM
D
N ≈
⋅
π
= =
=
365. ê~Ç
MMMMMR
K
M
ê~Ç
PSMM
NUM
?
N ≈
⋅
π
= =
=
366. =
=
^åÖäÉ=
EÇÉÖêÉÉëF=
M= PM= QR= SM= VM= NUM= OTM= PSM=
^åÖäÉ=
Eê~Çá~åëF= M=
S
π
=
Q
π
=
P
π
=
O
π
= π=
O
Pπ
= π
O =
=
=
=

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
81
4.2 Definitions and Graphs of Trigonometric
Functions
=
= =
=
Figure 58.
=
367.
ê
ó
ëáå =
α =
=
368.
ê
ñ
Åçë =
α =
=
369.
ñ
ó
í~å =
α =
=
370.
ó
ñ
Åçí =
α =
=

82
371.
ñ
ê
ëÉÅ =
α =
=
372.
ó
ê
ÅçëÉÅ =
α =
=
373. páåÉ=cìåÅíáçå=
ñ
ëáå
ó = I= N
ñ
ëáå
N ≤
≤
− K=
=
=
Figure 59.
=
374. `çëáåÉ=cìåÅíáçå==
ñ
Åçë
ó = I= N
ñ
Åçë
N ≤
≤
− K=

83
=
=
Figure 60.
=
375. q~åÖÉåí=cìåÅíáçå=
ñ
í~å
ó = I= ( )
O
N
â
O
ñ
π
+
≠ I= K
ñ
í~å ∞
≤
≤
∞
− =
=
=
=
Figure 61.
=

84
376. `çí~åÖÉåí=cìåÅíáçå==
ñ
Åçí
ó = I= π
≠ â
ñ I== ∞
≤
≤
∞
− ñ
Åçí K=
=
=
=
Figure 62.
=
377. pÉÅ~åí=cìåÅíáçå=
ñ
ëÉÅ
ó = I= ( )
O
N
â
O
ñ
π
+
≠ K=
==

85
=
=
Figure 63.
=
378. `çëÉÅ~åí=cìåÅíáçå==
ñ
ÉÅ
Åçë
ó = I= π
≠ â
ñ K=
=
Figure 64.

86
4.3. Signs of Trigonometric Functions
379. =
=
nì~Çê~åí=
páå
α =
`çë
α =
q~å
α =
`çí
α =
pÉÅ
α =
`çëÉÅ=
α =
f= H= H= H= H= H= H=
ff= H= = = = = H=
fff= = = H= H= = =
fs= = H= = = H= =
=
=
=
380. =
=
=
Figure 65.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=

87
4.4 Trigonometric Functions of Common
Angles
381. =
°
α = ê~Ç
α = α
ëáå = α
Åçë = α
í~å = α
Åçí α
ëÉÅ = α
ÅçëÉÅ =
M= M= M= N= M= ∞= N= ∞=
PM=
S
π
=
O
N
=
O
P
=
P
N
= P =
P
O
= O=
QR=
Q
π
=
O
O
=
O
O
= N= N= O = O =
SM=
P
π
=
O
P
=
O
N
= P =
P
N
= O=
P
O
=
VM=
O
π
= N= M= ∞ = M= ∞ = N=
NOM=
P
Oπ
=
O
P
=
O
N
− = P
− =
P
N
− O
− =
P
O
=
NUM= π= M= N
− = M= ∞ = N
− = ∞ =
OTM=
O
Pπ
= N
− = M= ∞= M= ∞= N
− =
PSM= π
O = M= N= M= ∞ = N= ∞ =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=

88
382. =
°
α = ê~Ç
α = α
ëáå = α
Åçë = α
í~å = α
Åçí =
NR=
NO
π
=
Q
O
S −
=
Q
O
S +
= P
O− = P
O+ =
NU=
NM
π
=
Q
N
R −
=
Q
R
O
NM +
R
R
O
R−
= R
O
R+ =
PS=
R
π
=
Q
R
O
NM −
Q
N
R +
=
N
R
R
O
NM
+
−
R
O
NM
N
R
−
+
=
RQ=
NM
Pπ
=
Q
N
R +
=
Q
R
O
NM −
R
O
NM
N
R
−
+
N
R
R
O
NM
+
−
=
TO=
R
Oπ
=
Q
R
O
NM +
Q
N
R −
= R
O
R+ = R
R
O
R−
=
TR=
NO
Rπ
=
Q
O
S +
=
Q
O
S −
= P
O+ = P
O− =
=
=
=
4.5 Most Important Formulas
=
383. N
Åçë
ëáå O
O
=
α
+
α =
=
384. N
í~å
ëÉÅ O
O
=
α
−
α =
=
385. N
Åçí
ÅëÅ O
O
=
α
−
α =
=
386.
α
α
=
α
Åçë
ëáå
í~å =

89
387.
α
α
=
α
ëáå
Åçë
Åçí =
=
388. N
Åçí
í~å =
α
⋅
α =
=
389.
α
=
α
Åçë
N
ëÉÅ =
=
390.
α
=
α
ëáå
N
ÅçëÉÅ =
=
=
=
4.6 Reduction Formulas
=
391. =
=
β = β
ëáå = β
Åçë = β
í~å = β
Åçí =
α
− = α
− ëáå = α
+ Åçë = α
− í~å = α
− Åçí =
α
−
°
VM = α
+ Åçë = α
+ ëáå = α
+ Åçí = α
+ í~å =
α
+
°
VM = α
+ Åçë = α
− ëáå = α
− Åçí = α
− í~å =
α
−
°
NUM α
+ ëáå = α
− Åçë = α
− í~å = α
− Åçí =
α
+
°
NUM α
− ëáå = α
− Åçë = α
+ í~å = α
+ Åçí =
α
−
°
OTM α
− Åçë = α
− ëáå = α
+ Åçí = α
+ í~å =
α
+
°
OTM α
− Åçë = α
+ ëáå = α
− Åçí = α
− í~å =
α
−
°
PSM α
− ëáå = α
+ Åçë = α
− í~å = α
− Åçí =
α
+
°
PSM α
+ ëáå = α
+ Åçë = α
+ í~å = α
+ Åçí =
=
=
=
=
=
=

90
4.7 Periodicity of Trigonometric Functions
=
392. ( ) α
=
π
±
α ëáå
å
O
ëáå I=éÉêáçÇ= π
O =çê= °
PSM K=
=
393. ( ) α
=
π
±
α Åçë
å
O
Åçë I=éÉêáçÇ= π
O =çê= °
PSM K=
=
394. ( ) α
=
π
±
α í~å
å
í~å I=éÉêáçÇ=π=çê= °
NUM K=
=
395. ( ) α
=
π
±
α Åçí
å
Åçí I=éÉêáçÇ=π=çê= °
NUM K=
=
=
=
4.8 Relations between Trigonometric
Functions
=
396. ( ) N
Q
O
Åçë
O
O
Åçë
N
O
N
Åçë
N
ëáå O
O
−





 π
−
α
=
α
−
±
=
α
−
±
=
α =
=
O
í~å
N
O
í~å
O
O α
+
α
= =
=
397. ( ) N
O
Åçë
O
O
Åçë
N
O
N
ëáå
N
Åçë O
O
−
α
=
α
+
±
=
α
−
±
=
α =
=
O
í~å
N
O
í~å
N
O
O
α
+
α
−
= =
=
398.
α
α
−
=
α
+
α
=
−
α
±
=
α
α
=
α
O
ëáå
O
Åçë
N
O
Åçë
N
O
ëáå
N
ëÉÅ
Åçë
ëáå
í~å O
=

91
=
O
í~å
N
O
í~å
O
O
Åçë
N
O
Åçë
N
O α
+
α
=
α
+
α
−
±
= =
=
399.
α
−
α
=
α
α
+
=
−
α
±
=
α
α
=
α
O
Åçë
N
O
ëáå
O
ëáå
O
Åçë
N
N
ÅëÅ
ëáå
Åçë
Åçí O
=
=
O
í~å
O
O
í~å
N
O
Åçë
N
O
Åçë
N
O
α
α
−
=
α
−
α
+
±
= =
=
400.
O
í~å
N
O
í~å
N
í~å
N
Åçë
N
ëÉÅ
O
O
O
α
−
α
+
=
α
+
±
=
α
=
α =
=
401.
O
í~å
O
O
í~å
N
Åçí
N
ëáå
N
ÅëÅ
O
O
α
α
+
=
α
+
±
=
α
=
α =
=
=
=
4.9 Addition and Subtraction Formulas
=
402. ( ) α
β
+
β
α
=
β
+
α Åçë
ëáå
Åçë
ëáå
ëáå =
=
403. ( ) α
β
−
β
α
=
−
α Åçë
ëáå
Åçë
ëáå
ó
ëáå =
=
404. ( ) β
α
−
β
α
=
β
+
α ëáå
ëáå
Åçë
Åçë
Åçë =
=
405. ( ) β
α
+
β
α
=
β
−
α ëáå
ëáå
Åçë
Åçë
Åçë =

92
406. ( )
β
α
−
β
+
α
=
β
+
α
í~å
í~å
N
í~å
í~å
í~å =
=
407. ( )
β
α
+
β
−
α
=
β
−
α
í~å
í~å
N
í~å
í~å
í~å =
=
408. ( )
β
+
α
β
α
−
=
β
+
α
í~å
í~å
í~å
í~å
N
Åçí =
=
409. ( )
β
−
α
β
α
+
=
β
−
α
í~å
í~å
í~å
í~å
N
Åçí =
=
=
=
4.10 Double Angle Formulas
=
410. α
⋅
α
=
α Åçë
ëáå
O
O
ëáå =
=
411. N
Åçë
O
ëáå
O
N
ëáå
Åçë
O
Åçë O
O
O
O
−
α
=
α
−
=
α
−
α
=
α =
=
412.
α
−
α
=
α
−
α
=
α
í~å
Åçí
O
í~å
N
í~å
O
O
í~å O
=
=
413.
O
í~å
Åçí
Åçí
O
N
Åçí
O
Åçí
O
α
−
α
=
α
−
α
=
α =
=
=
=
=
=
=

93
4.11 Multiple Angle Formulas
=
414. α
−
α
⋅
α
=
α
−
α
=
α P
O
P
ëáå
ëáå
Åçë
P
ëáå
Q
ëáå
P
P
ëáå =
=
415. α
⋅
α
−
α
⋅
α
=
α Åçë
ëáå
U
Åçë
ëáå
Q
Q
ëáå P
=
=
416. α
+
α
−
α
=
α R
P
ëáå
NS
ëáå
OM
ëáå
R
R
ëáå =
=
417. α
⋅
α
−
α
=
α
−
α
=
α O
P
P
ëáå
Åçë
P
Åçë
Åçë
P
Åçë
Q
P
Åçë =
=
418. N
Åçë
U
Åçë
U
Q
Åçë O
Q
+
α
−
α
=
α =
=
419. α
+
α
−
α
=
α Åçë
R
Åçë
OM
Åçë
NS
R
Åçë P
R
=
=
420.
α
−
α
−
α
=
α O
P
í~å
P
N
í~å
í~å
P
P
í~å =
=
421.
α
+
α
−
α
−
α
=
α Q
O
P
í~å
í~å
S
N
í~å
Q
í~å
Q
Q
í~å =
=
422.
α
+
α
−
α
+
α
−
α
=
α Q
O
P
R
í~å
R
í~å
NM
N
í~å
R
í~å
NM
í~å
R
í~å =
=
423.
N
Åçí
P
Åçí
P
Åçí
P
Åçí O
P
−
α
α
−
α
=
α =
=
424.
α
−
α
α
+
α
−
=
α P
Q
O
í~å
Q
í~å
Q
í~å
í~å
S
N
Q
Åçí ==
=

94
425.
α
+
α
−
α
α
+
α
−
=
α
í~å
R
í~å
NM
í~å
í~å
R
í~å
NM
N
R
Åçí P
R
Q
O
=
=
=
=
4.12 Half Angle Formulas
=
426.
O
Åçë
N
O
ëáå
α
−
±
=
α
=
=
427.
O
Åçë
N
O
Åçë
α
+
±
=
α
=
=
428. α
−
α
=
α
α
−
=
α
+
α
=
α
+
α
−
±
=
α
Åçí
ÅëÅ
ëáå
Åçë
N
Åçë
N
ëáå
Åçë
N
Åçë
N
O
í~å =
=
429. α
+
α
=
α
α
+
=
α
−
α
=
α
−
α
+
±
=
α
Åçí
ÅëÅ
ëáå
Åçë
N
Åçë
N
ëáå
Åçë
N
Åçë
N
O
Åçí =
=
=
=
4.13 Half Angle Tangent Identities
=
430.
O
í~å
N
O
í~å
O
ëáå
O α
+
α
=
α =
=

95
431.
O
í~å
N
O
í~å
N
Åçë
O
O
α
+
α
−
=
α =
=
432.
O
í~å
N
O
í~å
O
í~å
O α
−
α
=
α =
=
433.
O
í~å
O
O
í~å
N
Åçí
O
α
α
−
=
α =
=
=
=
4.14 Transforming of Trigonometric
Expressions to Product
=
434.
O
Åçë
O
ëáå
O
ëáå
ëáå
β
−
α
β
+
α
=
β
+
α =
=
435.
O
ëáå
O
Åçë
O
ëáå
ëáå
β
−
α
β
+
α
=
β
−
α =
=
436.
O
Åçë
O
Åçë
O
Åçë
Åçë
β
−
α
β
+
α
=
β
+
α =
=
437.
O
ëáå
O
ëáå
O
Åçë
Åçë
β
−
α
β
+
α
−
=
β
−
α =
=

96
438.
( )
β
⋅
α
β
+
α
=
β
+
α
Åçë
Åçë
ëáå
í~å
í~å =
=
439.
( )
β
⋅
α
β
−
α
=
β
−
α
Åçë
Åçë
ëáå
í~å
í~å =
=
440.
( )
β
⋅
α
α
+
β
=
β
+
α
ëáå
ëáå
ëáå
Åçí
Åçí =
=
441.
( )
β
⋅
α
α
−
β
=
β
−
α
ëáå
ëáå
ëáå
Åçí
Åçí =
=
442. 





α
+
π
=






α
−
π
=
α
+
α
Q
ëáå
O
Q
Åçë
O
ëáå
Åçë =
=
443. 





α
+
π
=






α
−
π
=
α
−
α
Q
Åçë
O
Q
ëáå
O
ëáå
Åçë =
=
444.
( )
β
⋅
α
β
−
α
=
β
+
α
ëáå
Åçë
Åçë
Åçí
í~å =
=
445.
( )
β
⋅
α
β
+
α
−
=
β
−
α
ëáå
Åçë
Åçë
Åçí
í~å =
=
446.
O
Åçë
O
Åçë
N O α
=
α
+ =
=
447.
O
ëáå
O
Åçë
N O α
=
α
− =
=

97
448. 




 α
−
π
=
α
+
O
Q
Åçë
O
ëáå
N O
=
=
449. 




 α
−
π
=
α
−
O
Q
ëáå
O
ëáå
N O
=
=
=
=
4.15 Transforming of Trigonometric
Expressions to Sum
=
450.
( ) ( )
O
Åçë
Åçë
ëáå
ëáå
β
+
α
−
β
−
α
=
β
⋅
α =
=
451.
( ) ( )
O
Åçë
Åçë
Åçë
Åçë
β
+
α
+
β
−
α
=
β
⋅
α =
=
452.
( ) ( )
O
ëáå
ëáå
Åçë
ëáå
β
+
α
+
β
−
α
=
β
⋅
α =
=
453.
β
+
α
β
+
α
=
β
⋅
α
Åçí
Åçí
í~å
í~å
í~å
í~å =
=
454.
β
+
α
β
+
α
=
β
⋅
α
í~å
í~å
Åçí
Åçí
Åçí
Åçí =
=
455.
β
+
α
β
+
α
=
β
⋅
α
í~å
Åçí
Åçí
í~å
Åçí
í~å =
=
=
=

98
4.16 Powers of Trigonometric Functions
=
456.
O
O
Åçë
N
ëáåO α
−
=
α =
=
457.
Q
P
ëáå
ëáå
P
ëáåP α
−
α
=
α =
=
458.
U
P
O
Åçë
Q
Q
Åçë
ëáåQ +
α
−
α
=
α =
=
459.
NS
R
ëáå
P
ëáå
R
ëáå
NM
ëáåR α
+
α
−
α
=
α =
=
460.
PO
S
Åçë
Q
Åçë
S
O
Åçë
NR
NM
ëáåS α
−
α
+
α
−
=
α =
=
461.
O
O
Åçë
N
ÅçëO α
+
=
α =
=
462.
Q
P
Åçë
Åçë
P
ÅçëP α
+
α
=
α =
=
463.
U
P
O
Åçë
Q
Q
Åçë
ÅçëQ +
α
+
α
=
α =
=
464.
NS
R
Åçë
P
ëáå
R
Åçë
NM
ÅçëR α
+
α
+
α
=
α =
=
465.
PO
S
Åçë
Q
Åçë
S
O
Åçë
NR
NM
ÅçëS α
+
α
+
α
+
=
α =
=

99
4.17 Graphs of Inverse Trigonometric
Functions
=
466. fåîÉêëÉ=páåÉ=cìåÅíáçå==
ñ
~êÅëáå
ó = I= N
ñ
N ≤
≤
− I=
O
ñ
~êÅëáå
O
π
≤
≤
π
− K=
=
=
=
Figure 66.
=
467. fåîÉêëÉ=`çëáåÉ=cìåÅíáçå==
ñ
~êÅÅçë
ó = I= N
ñ
N ≤
≤
− I= π
≤
≤ ñ
~êÅÅçë
M K=
=

100
=
=
Figure 67.
=
468. fåîÉêëÉ=q~åÖÉåí=cìåÅíáçå==
ñ
~êÅí~å
ó = I= ∞
≤
≤
∞
− ñ I=
O
ñ
~êÅí~å
O
π
<
<
π
− K=
=
===== =
=
Figure 68.

101
469. fåîÉêëÉ=`çí~åÖÉåí=cìåÅíáçå==
ñ
Åçí
~êÅ
ó = I= ∞
≤
≤
∞
− ñ I= π
<
< ñ
Åçí
~êÅ
M K=
===== =
Figure 69.
=
470. fåîÉêëÉ=pÉÅ~åí=cìåÅíáçå==
( ] [ ) K
I
O
O
I
M
ñ
ëÉÅ
~êÅ
I
I
N
N
I
ñ
I
ñ
=
~êÅëÉÅ
ó 





π
π
∪





 π
∈
∞
∪
−
∞
−
∈
=
=
Figure 70.

102
471. fåîÉêëÉ=`çëÉÅ~åí=cìåÅíáçå==
( ] [ ) K
O
I
M
M
I
O
ñ
ÅëÅ
~êÅ
I
I
N
N
I
ñ
I
ñ
~êÅÅëÅ
ó 




 π
∪





 π
−
∈
∞
∪
−
∞
−
∈
=
=
=
Figure 71.
=
=
4.18 Principal Values of Inverse
Trigonometric Functions
472.
ñ = M=
O
N
=
O
O
=
O
P
N=
ñ
~êÅëáå = °
M = °
PM = °
QR = °
SM °
VM
ñ
~êÅÅçë = °
VM °
SM = °
QR = °
PM °
M =
ñ = O
N
−
O
O
−
O
P
− N
− = =
ñ
~êÅëáå =
°
−PM
=
°
− QR °
− SM
°
− VM
=
=
ñ
~êÅÅçë =
°
NOM
=
°
NPR = °
NRM =
°
NUM
=
=

103
473.
ñ = M=
P
P
N= P =
P
P
− N
− = P
− =
ñ
~êÅí~å = °
M = °
PM °
QR °
SM °
−PM
°
− QR
=
°
− SM =
ñ
Åçí
~êÅ = °
VM °
SM °
QR °
PM °
NOM =
°
NPR
=
°
NRM =
=
=
=
4.19 Relations between Inverse
Trigonometric Functions
=
474. ( ) ñ
~êÅëáå
ñ
~êÅëáå −
=
− =
=
475. ñ
~êÅÅçë
O
ñ
~êÅëáå −
π
= =
=
476. O
ñ
N
~êÅÅçë
ñ
~êÅëáå −
= I= N
ñ
M ≤
≤ K=
=
477. O
ñ
N
~êÅÅçë
ñ
~êÅëáå −
−
= I= M
ñ
N ≤
≤
− K=
=
478.
O
ñ
N
ñ
~êÅí~å
ñ
~êÅëáå
−
= I= N
ñO
< K=
=
479.
ñ
ñ
N
Åçí
~êÅ
ñ
~êÅëáå
O
−
= I= N
ñ
M ≤
< K=
=
480. π
−
−
=
ñ
ñ
N
Åçí
~êÅ
ñ
~êÅëáå
O
I= M
ñ
N <
≤
− K=
=
481. ( ) ñ
~êÅÅçë
ñ
~êÅÅçë −
π
=
− =

104
482. ñ
~êÅëáå
O
ñ
~êÅÅçë −
π
= =
=
483. O
ñ
N
~êÅëáå
ñ
~êÅÅçë −
= I= N
ñ
M ≤
≤ K=
=
484. O
ñ
N
~êÅëáå
ñ
~êÅÅçë −
−
π
= I= M
ñ
N ≤
≤
− K=
=
485.
ñ
ñ
N
~êÅí~å
ñ
~êÅÅçë
O
−
= I= N
ñ
M ≤
< K=
=
486.
ñ
ñ
N
~êÅí~å
ñ
~êÅÅçë
O
−
+
π
= I= M
ñ
N <
≤
− K=
=
487.
O
ñ
N
ñ
Åçí
~êÅ
ñ
~êÅÅçë
−
= I= N
ñ
N ≤
≤
− K=
=
488. ( ) ñ
~êÅí~å
ñ
~êÅí~å −
=
− =
=
489. ñ
Åçí
~êÅ
O
ñ
~êÅí~å −
π
= =
=
490.
O
ñ
N
ñ
~êÅëáå
ñ
~êÅí~å
+
= =
=
491.
O
ñ
N
N
~êÅÅçë
ñ
~êÅí~å
+
= I= M
ñ ≥ K=
=
492.
O
ñ
N
N
~êÅÅçë
ñ
~êÅí~å
+
−
= I= M
ñ ≤ K=
=

105
493.
ñ
N
~êÅí~å
O
ñ
~êÅí~å −
π
= I= M
ñ > K=
=
494.
ñ
N
~êÅí~å
O
ñ
~êÅí~å −
π
−
= I= M
ñ < K=
=
495.
ñ
N
Åçí
~êÅ
ñ
~êÅí~å = I= M
ñ > K=
=
496. π
−
=
ñ
N
Åçí
~êÅ
ñ
~êÅí~å I= M
ñ < K=
=
497. ( ) ñ
Åçí
~êÅ
ñ
Åçí
~êÅ −
π
=
− =
=
498. ñ
~êÅí~å
O
ñ
Åçí
~êÅ −
π
= =
=
499.
O
ñ
N
N
~êÅëáå
ñ
Åçí
~êÅ
+
= I= M
ñ > K=
=
500.
O
ñ
N
N
~êÅëáå
ñ
Åçí
~êÅ
+
−
π
= I= M
ñ < K=
=
501.
O
ñ
N
ñ
~êÅÅçë
ñ
Åçí
~êÅ
+
= =
=
502.
ñ
N
~êÅí~å
ñ
Åçí
~êÅ = I= M
ñ > K=
=
503.
ñ
N
~êÅí~å
ñ
Åçí
~êÅ +
π
= I= M
ñ < K=
=
=

106
4.20 Trigonometric Equations
=
tÜçäÉ=åìãÄÉêW=å=
=
=
504. ~
ñ
ëáå = I= ( ) å
~
~êÅëáå
N
ñ
å
π
+
−
= =
=
505. ~
ñ
Åçë = I= å
O
~
~êÅÅçë
ñ π
+
±
= =
=
506. ~
ñ
í~å = I= å
~
~êÅí~å
ñ π
+
= =
=
507. ~
ñ
Åçí = I= å
~
Åçí
~êÅ
ñ π
+
= =
=
=
=
4.21 Relations to Hyperbolic Functions
=
fã~Öáå~êó=ìåáíW=á=
=
=
508. ( ) ñ
ëáåÜ
á
áñ
ëáå = =
=
509. ( ) ñ
í~åÜ
á
áñ
í~å = =
=
510. ( ) ñ
ÅçíÜ
á
áñ
Åçí −
= =
=
511. ( ) ñ
ëÉÅÜ
áñ
ëÉÅ = =
=
512. ( ) ñ
ÅëÅÜ
á
áñ
ÅëÅ −
= =
=
=
=

107
Chapter 5
Matrices and Determinants
=
=
=
=
j~íêáÅÉëW=^I=_I=`=
bäÉãÉåíë=çÑ=~=ã~íêáñW= á
~ I= á
Ä I= áà
~ I= áà
Ä I= áà
Å =
aÉíÉêãáå~åí=çÑ=~=ã~íêáñW= ^
ÇÉí =
jáåçê=çÑ=~å=ÉäÉãÉåí= áà
~ W= áà
j =
`çÑ~Åíçê=çÑ=~å=ÉäÉãÉåí= áà
~ W= áà
` =
qê~åëéçëÉ=çÑ=~=ã~íêáñW= q
^ I= ^
ú
=
^Çàçáåí=çÑ=~=ã~íêáñW= ^
~Çà =
qê~ÅÉ=çÑ=~=ã~íêáñW= ^
íê =
fåîÉêëÉ=çÑ=~=ã~íêáñW= N
^−
=
oÉ~ä=åìãÄÉêW=â=
oÉ~ä=î~êá~ÄäÉëW= á
ñ =
k~íìê~ä=åìãÄÉêëW=ãI=å===
=
=
5.1 Determinants
=
513. pÉÅçåÇ=lêÇÉê=aÉíÉêãáå~åí=
N
O
O
N
O
O
N
N
Ä
~
Ä
~
Ä
~
Ä
~
^
ÇÉí −
=
= =
=
=
=
=
=

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
108
514. qÜáêÇ=lêÇÉê=aÉíÉêãáå~åí=
−
+
+
=
= PO
ON
NP
PN
OP
NO
PP
OO
NN
PP
PO
PN
OP
OO
ON
NP
NO
NN
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
^
ÇÉí =
PN
OO
NP
PP
ON
NO
PO
OP
NN ~
~
~
~
~
~
~
~
~ −
−
− =
=
515. p~êêìë=oìäÉ=E^êêçï=oìäÉF=
=
=
Figure 72.
=
516. k-íÜ=lêÇÉê=aÉíÉêãáå~åí=
åå
åà
O
å
N
å
áå
áà
O
á
N
á
å
O
à
O
OO
ON
å
N
à
N
NO
NN
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
^
ÇÉí
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
= =
=
517. jáåçê=
qÜÉ=ãáåçê= áà
j =~ëëçÅá~íÉÇ=ïáíÜ=íÜÉ=ÉäÉãÉåí= áà
~ =çÑ=å-íÜ=çêÇÉê=
ã~íêáñ=^=áë=íÜÉ= ( )
N
å − -íÜ=çêÇÉê=ÇÉíÉêãáå~åí=ÇÉêáîÉÇ=Ñêçã=
íÜÉ=ã~íêáñ=^=Äó=ÇÉäÉíáçå=çÑ=áíë=á-íÜ=êçï=~åÇ=à-íÜ=ÅçäìãåK===
=

109
518. `çÑ~Åíçê=
( ) áà
à
á
áà j
N
`
+
−
= =
=
519. i~éä~ÅÉ=bñé~åëáçå=çÑ=å-íÜ=lêÇÉê=aÉíÉêãáå~åí=
i~éä~ÅÉ=Éñé~åëáçå=Äó=ÉäÉãÉåíë=çÑ=íÜÉ=á-íÜ=êçï=
∑
=
=
å
N
à
áà
áà`
~
^
ÇÉí I= å
I
I
O
I
N
á K
= K=
i~éä~ÅÉ=Éñé~åëáçå=Äó=ÉäÉãÉåíë=çÑ=íÜÉ=à-íÜ=Åçäìãå=
∑
=
=
å
N
á
áà
áà`
~
^
ÇÉí I= å
I
I
O
I
N
à K
= K==
=
=
=
5.2 Properties of Determinants
=
520. qÜÉ==î~äìÉ==çÑ=~=ÇÉíÉêãáå~åí=êÉã~áåë==ìåÅÜ~åÖÉÇ=áÑ=êçïë=~êÉ=
ÅÜ~åÖÉÇ=íç=Åçäìãåë=~åÇ=Åçäìãåë=íç=êçïëK=
=
O
O
N
N
O
N
O
N
Ä
~
Ä
~
Ä
Ä
~
~
= ==
=
521. fÑ=íïç==êçïë==Eçê=íïç=ÅçäìãåëF=~êÉ==áåíÉêÅÜ~åÖÉÇI=íÜÉ=ëáÖå=çÑ=
íÜÉ=ÇÉíÉêãáå~åí=áë=ÅÜ~åÖÉÇK=
N
N
O
O
O
O
N
N
Ä
~
Ä
~
Ä
~
Ä
~
−
= =
=
522. fÑ=íïç=êçïë==Eçê=íïç=ÅçäìãåëF=~êÉ==áÇÉåíáÅ~äI=íÜÉ=î~äìÉ=çÑ=íÜÉ=
ÇÉíÉêãáå~åí=áë=òÉêçK=
M
~
~
~
~
O
O
N
N
= =
=

110
523. fÑ==íÜÉ===ÉäÉãÉåíë==çÑ==~åó=êçï==Eçê=ÅçäìãåF=~êÉ=ãìäíáéäáÉÇ=Äó=====
~==Åçããçå==Ñ~ÅíçêI==íÜÉ==ÇÉíÉêãáå~åí==áë==ãìäíáéäáÉÇ==Äó==íÜ~í=
Ñ~ÅíçêK=
O
O
N
N
O
O
N
N
Ä
~
Ä
~
â
Ä
~
âÄ
â~
= =
=
524. fÑ==íÜÉ==ÉäÉãÉåíë==çÑ==~åó==êçï==Eçê==ÅçäìãåF=~êÉ=áåÅêÉ~ëÉÇ=Eçê=
ÇÉÅêÉ~ëÉÇFÄó=Éèì~ä=ãìäíáéäÉë=çÑ=íÜÉ=ÅçêêÉëéçåÇáåÖ=ÉäÉãÉåíë=
çÑ=~åó=çíÜÉê=êçï==Eçê=ÅçäìãåFI==íÜÉ=î~äìÉ=çÑ=íÜÉ=ÇÉíÉêãáå~åí=
áë=ìåÅÜ~åÖÉÇK=
O
O
N
N
O
O
O
N
N
N
Ä
~
Ä
~
Ä
âÄ
~
Ä
âÄ
~
=
+
+
=
=
=
=
5.3 Matrices
=
525. aÉÑáåáíáçå=
^å= å
ã× =ã~íêáñ=^=áë=~=êÉÅí~åÖìä~ê=~êê~ó=çÑ=ÉäÉãÉåíë=Eåìã-
ÄÉêë=çê=ÑìåÅíáçåëF=ïáíÜ=ã=êçïë=~åÇ=å=ÅçäìãåëK==
[ ]












=
=
ãå
O
ã
N
ã
å
O
OO
ON
å
N
NO
NN
áà
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
^
K
M
M
M
K
K
==
=
526. pèì~êÉ=ã~íêáñ=áë=~=ã~íêáñ=çÑ=çêÇÉê= å
å× K==
=
527. ^=ëèì~êÉ=ã~íêáñ==[ ]
áà
~ ==áë==ëóããÉíêáÅ==áÑ== àá
áà ~
~ = I==áKÉK==áí==áë=
ëóããÉíêáÅ=~Äçìí=íÜÉ=äÉ~ÇáåÖ=Çá~Öçå~äK==
=
528. ^=ëèì~êÉ=ã~íêáñ=[ ]
áà
~ =áë=ëâÉï-ëóããÉíêáÅ=áÑ= àá
áà ~
~ −
= K==
=

111
529. aá~Öçå~ä=ã~íêáñ==áë==~=ëèì~êÉ==ã~íêáñ=ïáíÜ=~ää==ÉäÉãÉåíë==òÉêç=
ÉñÅÉéí=íÜçëÉ=çå=íÜÉ=äÉ~ÇáåÖ=Çá~Öçå~äK==
=
530. råáí=ã~íêáñ==áë==~=Çá~Öçå~ä==ã~íêáñ==áå=ïÜáÅÜ=íÜÉ=ÉäÉãÉåíë=çå=
íÜÉ=äÉ~ÇáåÖ=Çá~Öçå~ä=~êÉ=~ää=ìåáíóK=qÜÉ=ìåáí=ã~íêáñ=áë===========
ÇÉåçíÉÇ=Äó=fK==
=
531. ^=åìää=ã~íêáñ=áë=çåÉ=ïÜçëÉ=ÉäÉãÉåíë=~êÉ=~ää=òÉêçK=
=
=
=
5.4 Operations with Matrices
=
532. qïç=ã~íêáÅÉë=^=~åÇ=_=~êÉ=Éèì~ä=áÑI=~åÇ=çåäó=áÑI=íÜÉó=~êÉ=ÄçíÜ=
çÑ==íÜÉ==ë~ãÉ==ëÜ~éÉ== å
ã× ==~åÇ=ÅçêêÉëéçåÇáåÖ=ÉäÉãÉåíë=~êÉ=
Éèì~äK=
=
533. qïç=ã~íêáÅÉë==^=~åÇ=_==Å~å=ÄÉ=~ÇÇÉÇ=Eçê=ëìÄíê~ÅíÉÇF=çÑI=~åÇ=
çåäó=áÑI=íÜÉó=Ü~îÉ=íÜÉ=ë~ãÉ=ëÜ~éÉ= å
ã× K=fÑ==
[ ]












=
=
ãå
O
ã
N
ã
å
O
OO
ON
å
N
NO
NN
áà
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
^
K
M
M
M
K
K
I==
[ ]












=
=
ãå
O
ã
N
ã
å
O
OO
ON
å
N
NO
NN
áà
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
_
K
M
M
M
K
K
I==
=
=
=
=
=

112
íÜÉå==












+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
ãå
ãå
O
ã
O
ã
N
ã
N
ã
å
O
å
O
OO
OO
ON
ON
å
N
å
N
NO
NO
NN
NN
Ä
~
Ä
~
Ä
~
Ä
~
Ä
~
Ä
~
Ä
~
Ä
~
Ä
~
_
^
K
M
M
M
K
K
K=
=
534. fÑ=â=áë=~=ëÅ~ä~êI=~åÇ= [ ]
áà
~
^ = =áë=~=ã~íêáñI=íÜÉå=
[ ]












=
=
ãå
O
ã
N
ã
å
O
OO
ON
å
N
NO
NN
áà
â~
â~
â~
â~
â~
â~
â~
â~
â~
â~
â^
K
M
M
M
K
K
K=
=
535. jìäíáéäáÅ~íáçå=çÑ=qïç=j~íêáÅÉë=
qïç= ã~íêáÅÉë= Å~å= ÄÉ= ãìäíáéäáÉÇ= íçÖÉíÜÉê= çåäó= ïÜÉå= íÜÉ=
åìãÄÉê=çÑ=Åçäìãåë=áå=íÜÉ=Ñáêëí=áë=Éèì~ä=íç=íÜÉ=åìãÄÉê=çÑ=
êçïë=áå=íÜÉ=ëÉÅçåÇK==
=
fÑ=
[ ]












=
=
ãå
O
ã
N
ã
å
O
OO
ON
å
N
NO
NN
áà
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
^
K
M
M
M
K
K
I==
[ ]












=
=
åâ
O
å
N
å
â
O
OO
ON
â
N
NO
NN
áà
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
_
K
M
M
M
K
K
I=
=
=
=
=
=

113
íÜÉå==












=
=
ãâ
O
ã
N
ã
â
O
OO
ON
â
N
NO
NN
Å
Å
Ä
Å
Å
Å
Å
Å
Å
`
^_
K
M
M
M
K
K
I==
ïÜÉêÉ==
∑
=
λ
λ
λ
=
+
+
+
=
å
N
à
á
åà
áå
à
O
O
á
à
N
N
á
áà Ä
~
Ä
~
Ä
~
Ä
~
Å K =
E ã
I
I
O
I
N
á K
= X â
I
I
O
I
N
à K
= FK==
=
qÜìë=áÑ=
[ ] 





=
=
OP
OO
ON
NP
NO
NN
áà
~
~
~
~
~
~
~
^ I= [ ]










=
=
P
O
N
á
Ä
Ä
Ä
Ä
_ I==
íÜÉå==






=










⋅






=
P
OP
O
OO
N
ON
P
NP
O
NO
N
NN
P
O
N
OP
OO
ON
NP
NO
NN
Ä
~
Ä
~
Ä
~
Ä
~
Ä
~
Ä
~
Ä
Ä
Ä
~
~
~
~
~
~
^_ K==
=
536. qê~åëéçëÉ=çÑ=~=j~íêáñ=
fÑ=íÜÉ=êçïë=~åÇ=Åçäìãåë=çÑ=~=ã~íêáñ=~êÉ=áåíÉêÅÜ~åÖÉÇI=íÜÉå=
íÜÉ=åÉï=ã~íêáñ=áë=Å~ääÉÇ=íÜÉ=íê~åëéçëÉ=çÑ=íÜÉ=çêáÖáå~ä=ã~íêáñK===
fÑ=^=áë=íÜÉ=çêáÖáå~ä=ã~íêáñI=áíë=íê~åëéçëÉ=áë=ÇÉåçíÉÇ= q
^ =çê=
^
ú
K==
=
537. qÜÉ=ã~íêáñ=^=áë=çêíÜçÖçå~ä=áÑ= f
^^q
= K==
=
538. fÑ=íÜÉ=ã~íêáñ=éêçÇìÅí=^_=áë=ÇÉÑáåÉÇI=íÜÉå==
( ) q
q
q
^
_
^_ = K=
=
=

114
539. ^Çàçáåí=çÑ=j~íêáñ=
fÑ=^=áë=~=ëèì~êÉ= å
å× ã~íêáñI=áíë=~ÇàçáåíI=ÇÉåçíÉÇ=Äó= ^
~Çà I=
áë=íÜÉ=íê~åëéçëÉ=çÑ=íÜÉ=ã~íêáñ=çÑ=ÅçÑ~Åíçêë= áà
` =çÑ=^W=
[ ]q
áà
`
^
~Çà = K==
=
540. qê~ÅÉ=çÑ=~=j~íêáñ=
å× ã~íêáñI=áíë=íê~ÅÉI=ÇÉåçíÉÇ=Äó= ^
íê I=áë=
ÇÉÑáåÉÇ=íç=ÄÉ==íÜÉ=ëìã=çÑ==íÜÉ=íÉêãë=çå=íÜÉ=äÉ~ÇáåÖ=Çá~Öçå~äW=
åå
OO
NN ~
~
~
^
íê +
+
+
= K K=
=
541. fåîÉêëÉ=çÑ=~=j~íêáñ=
å× ã~íêáñ=ïáíÜ=~=åçåëáåÖìä~ê=ÇÉíÉêãáå~åí=
^
ÇÉí I=íÜÉå=áíë=áåîÉêëÉ= N
^−
=áë=ÖáîÉå=Äó=
^
ÇÉí
^
~Çà
^ N
=
−
K=
=
542. fÑ=íÜÉ=ã~íêáñ=éêçÇìÅí=^_=áë=ÇÉÑáåÉÇI=íÜÉå==
( ) N
N
N
^
_
^_ −
−
−
= K=
=
543. fÑ==^==áë=~=ëèì~êÉ=== å
å× ==ã~íêáñI==íÜÉ==ÉáÖÉåîÉÅíçêë==u===ë~íáëÑó=
íÜÉ=Éèì~íáçå=
u
^u λ
= I==
ïÜáäÉ=íÜÉ=ÉáÖÉåî~äìÉë=λ =ë~íáëÑó=íÜÉ=ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ=Éèì~íáçå=
M
f
^ =
λ
− K===
=
=
=
5.5 Systems of Linear Equations
=
=
s~êá~ÄäÉëW=ñI=óI=òI= N
ñ I= K
I
ñO =
oÉ~ä=åìãÄÉêëW= K
I
~
I
~
I
Ä
I
~
I
~
I
~ NO
NN
N
P
O
N =

115
aÉíÉêãáå~åíëW=aI= ñ
a I= ó
a I= ò
a ==
j~íêáÅÉëW=^I=_I=u=
=
=
544.



=
+
=
+
O
O
O
N
N
N
Ç
ó
Ä
ñ
~
Ç
ó
Ä
ñ
~
I==
a
a
ñ ñ
= I=
a
a
ó
ó
= =E`ê~ãÉê∞ë=êìäÉFI==
ïÜÉêÉ==
N
O
O
N
O
O
N
N
Ä
~
Ä
~
Ä
~
Ä
~
a −
=
= I==
N
O
O
N
O
O
N
N
ñ Ä
Ç
Ä
Ç
Ä
Ç
Ä
Ç
a −
=
= I==
N
O
O
N
O
O
N
N
ó Ç
~
Ç
~
Ç
~
Ç
~
a −
=
= K==
=
545. fÑ= M
a ≠ I=íÜÉå=íÜÉ=ëóëíÉã=Ü~ë=~=ëáåÖäÉ=ëçäìíáçåW==
a
a
ñ ñ
= I=
a
a
ó
ó
= K=
fÑ= M
a = =~åÇ= M
añ ≠ Eçê= M
aó ≠ FI=íÜÉå=íÜÉ=ëóëíÉã=Ü~ë==åç==
ëçäìíáçåK=
fÑ= M
a
a
a ó
ñ =
=
= I= íÜÉå= íÜÉ= ëóëíÉã= Ü~ë= = áåÑáåáíÉäó= = ã~åó==
ëçäìíáçåëK=
=
546.





=
+
+
=
+
+
=
+
+
P
P
P
P
O
O
O
O
N
N
N
N
Ç
ò
Å
ó
Ä
ñ
~
Ç
ò
Å
ó
Ä
ñ
~
=
Ç
ò
Å
ó
Ä
ñ
~
I==
a
a
ñ ñ
= I=
a
a
ó
ó
= I=
a
a
ò ò
= =E`ê~ãÉê∞ë=êìäÉFI==
=

116
ïÜÉêÉ==
P
P
P
O
O
O
N
N
N
Å
Ä
~
Å
Ä
~
Å
Ä
~
a = I=
P
P
P
O
O
O
N
N
N
ñ
Å
Ä
Ç
Å
Ä
Ç
Å
Ä
Ç
a = I=
P
P
P
O
O
O
N
N
N
ó
Å
Ç
~
Å
Ç
~
Å
Ç
~
a = I=
P
P
P
O
O
O
N
N
N
ò
Ç
Ä
~
Ç
Ä
~
Ç
Ä
~
a = K==
=
547. fÑ= M
a ≠ I=íÜÉå=íÜÉ=ëóëíÉã=Ü~ë=~=ëáåÖäÉ=ëçäìíáçåW==
a
a
ñ ñ
= I=
a
a
ó
ó
= I=
a
a
ò ò
= K=
fÑ= M
a = =~åÇ= M
añ ≠ Eçê= M
aó ≠ =çê= M
aò ≠ FI=íÜÉå=íÜÉ=ëóëíÉã=
Ü~ë=åç=ëçäìíáçåK=
fÑ= M
a
a
a
a ò
ó
ñ =
=
=
= I= íÜÉå= íÜÉ= ëóëíÉã= Ü~ë= áåÑáåáíÉäó=
ã~åó=ëçäìíáçåëK=
=
548. j~íêáñ=cçêã=çÑ=~=póëíÉã=çÑ=å=iáåÉ~ê=bèì~íáçåë=áå=================
å=råâåçïåë=
qÜÉ=ëÉí=çÑ=äáåÉ~ê=Éèì~íáçåë==







=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
å
å
åå
O
O
å
N
N
å
O
å
å
O
O
OO
N
ON
N
å
å
N
O
NO
N
NN
Ä
ñ
~
ñ
~
ñ
~
Ä
ñ
~
ñ
~
ñ
~
Ä
ñ
~
ñ
~
ñ
~
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
=
Å~å=ÄÉ=ïêáííÉå=áå=ã~íêáñ=Ñçêã=














=














⋅














å
O
N
å
O
N
åå
O
å
N
å
å
O
OO
ON
å
N
NO
NN
Ä
Ä
Ä
ñ
ñ
ñ
~
~
~
~
~
~
~
~
~
M
M
K
M
M
M
K
K
I==
áKÉK==
_
u
^ =
⋅ I==

117
ïÜÉêÉ==














=
åå
O
å
N
å
å
O
OO
ON
å
N
NO
NN
~
~
~
~
~
~
~
~
~
^
K
M
M
M
K
K
I=














=
å
O
N
ñ
ñ
ñ
u
M
I=














=
å
O
N
Ä
Ä
Ä
_
M
K==
=
549. pçäìíáçå=çÑ=~=pÉí=çÑ=iáåÉ~ê=bèì~íáçåë= å
å× =
_
^
u N
⋅
= −
I==
ïÜÉêÉ= N
^−
=áë=íÜÉ=áåîÉêëÉ=çÑ=^K=
=
=

118
Chapter 6
Vectors
=
=
=
=
sÉÅíçêëW=ì
r
I= î
r
I= ï
r
I= ê
r
I=
→
^_ I=£=
sÉÅíçê=äÉåÖíÜW= ì
r
I= î
r
I=£=
råáí=îÉÅíçêëW= á
r
I= à
r
I=â
r
=
kìää=îÉÅíçêW=M
r
=
`ççêÇáå~íÉë=çÑ=îÉÅíçê=ì
r
W= N
N
N w
I
v
I
u =
`ççêÇáå~íÉë=çÑ=îÉÅíçê= î
r
W= O
O
O w
I
v
I
u =
pÅ~ä~êëW=λ Iµ=
aáêÉÅíáçå=ÅçëáåÉëW= α
Åçë I= β
Åçë I= γ
Åçë =
^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=îÉÅíçêëW=θ =
=
=
6.1 Vector Coordinates
=
550. råáí=sÉÅíçêë=
( )
M
I
M
I
N
á =
r
I=
( )
M
I
N
I
M
à =
r
I=
( )
N
I
M
I
M
â =
r
I=
N
â
à
á =
=
=
r
r
r
K=
=
551. ( ) ( ) ( )â
ò
ò
à
ó
ó
á
ñ
ñ
^_
ê M
N
M
N
M
N
r
r
r
r
−
+
−
+
−
=
=
→
=
=

CHAPTER 6. VECTORS
119
======= =
=
Figure 73.
=
552. ( ) ( ) ( )O
M
N
O
M
N
O
M
N ò
ò
ó
ó
ñ
ñ
^_
ê −
+
−
+
−
=
=
→
r
=
=
553. fÑ= ê
^_
r
=
→
I=íÜÉå= ê
_^
r
−
=
→
K=
=
=
=
Figure 74.
=
554. α
= Åçë
ê
u
r
I=
β
= Åçë
ê
v
r
I=
γ
= Åçë
ê
w
r
K=

CHAPTER 6. VECTORS
120
===== =
=
Figure 75.
=
555. fÑ= ( ) ( )
N
N
N
N w
I
v
I
u
ê
w
I
v
I
u
ê
r
r
= I=íÜÉå==
N
u
u = I= N
v
v = I= N
w
w = K==
==
=
6.2 Vector Addition
=
556. î
ì
ï
r
r
r
+
= =
=
== =
=
Figure 76.

CHAPTER 6. VECTORS
121
== =
=
Figure 77.
=
557. å
P
O
N ì
ì
ì
ì
ï
r
K
r
r
r
r
+
+
+
+
= =
=
== =
=
Figure 78.
=
558. `çããìí~íáîÉ=i~ï=
ì
î
î
ì
r
r
r
r
+
=
+ =
=
559. ^ëëçÅá~íáîÉ=i~ï=
( ) ( )
ï
î
ì
ï
î
ì
r
r
r
r
r
r
+
+
=
+
+ =
=
560. ( )
O
N
O
N
O
N w
w
I
v
v
I
u
u
î
ì +
+
+
=
+
r
r
=
=
=
=
=
=
=

CHAPTER 6. VECTORS
122
6.3 Vector Subtraction
=
561. î
ì
ï
r
r
r
−
= =áÑ= ì
ï
î
r
r
r
=
+ K=
=
=
=
Figure 79.
=
== =
=
Figure 80.
=
562. ( )
î
ì
î
ì
r
r
r
r
−
+
=
− =
=
563. ( )
M
I
M
I
M
M
ì
ì =
=
−
r
r
r
=
=
564. M
M =
r
=
=
565. ( )
O
N
O
N
O
N w
w
I
v
v
I
u
u
î
ì −
−
−
=
−
r
r
I==
=
=
=
6.4 Scaling Vectors
=
566. ì
ï
r
r
λ
= =

CHAPTER 6. VECTORS
123
=
=
Figure 81.
=
567. ì
ï
r
r
⋅
λ
= =
=
568. ( )
w
I
v
I
u
ì λ
λ
λ
=
λ
r
=
=
569. λ
=
λ ì
ì
r
r
=
=
570. ( ) ì
ì
ì
r
r
r
µ
+
λ
=
µ
+
λ =
=
571. ( ) ( ) ( )ì
ì
ì
r
r
r
λµ
=
λ
µ
=
µ
λ =
=
572. ( ) î
ì
î
ì
r
r
r
r
λ
+
λ
=
+
λ =
=
=
=
6.5 Scalar Product
=
573. pÅ~ä~ê=mêçÇìÅí=çÑ=sÉÅíçêë=ì
r
=~åÇ î
r
=
θ
⋅
⋅
=
⋅ Åçë
î
ì
î
ì
r
r
r
r
I==
ïÜÉêÉ=θ =áë=íÜÉ=~åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=îÉÅíçêë=ì
r
=~åÇ î
r
K====
=

CHAPTER 6. VECTORS
124
= =
=
Figure 82.
=
574. pÅ~ä~ê=mêçÇìÅí=áå=`ççêÇáå~íÉ=cçêã=
fÑ= ( )
N
N
N w
I
v
I
u
ì =
r
I= ( )
O
O
O w
I
v
I
u
î =
r
I=íÜÉå==
O
N
O
N
O
N w
w
v
v
u
u
î
ì +
+
=
⋅
r
r
K=
=
575. ^åÖäÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=sÉÅíçêë==
fÑ= ( )
N
N
N w
I
v
I
u
ì =
r
I= ( )
O
O
O w
I
v
I
u
î =
r
I=íÜÉå==
O
O
O
O
O
O
O
N
O
N
O
N
O
N
O
N
O
N
w
v
u
w
v
u
w
w
v
v
u
u
Åçë
+
+
+
+
+
+
=
θ K=
=
576. `çããìí~íáîÉ=mêçéÉêíó=
ì
î
î
ì
r
r
r
r
⋅
=
⋅ =
=
577. ^ëëçÅá~íáîÉ=mêçéÉêíó=
( ) ( ) î
ì
î
ì
r
r
r
r
⋅
λµ
=
µ
⋅
λ =
=
578. aáëíêáÄìíáîÉ=mêçéÉêíó=
( ) ï
ì
î
ì
ï
î
ì
r
r
r
r
r
r
r
⋅
+
⋅
=
+
⋅ =
=
579. M
î
ì =
⋅
r
r
=áÑ=ì
r
I î
r
=~êÉ=çêíÜçÖçå~ä=E
O
π
=
θ FK=
=
580. M
î
ì >
⋅
r
r
=áÑ=
O
M
π
<
θ
< K=
=

CHAPTER 6. VECTORS
125
581. M
î
ì <
⋅
r
r
=áÑ= π
<
θ
<
π
O
K=
=
582. î
ì
î
ì
r
r
r
r
⋅
≤
⋅ =
=
583. î
ì
î
ì
r
r
r
r
⋅
=
⋅ =áÑ=ì
r
I î
r
=~êÉ=é~ê~ääÉä=E M
=
θ FK=
=
584. fÑ= ( )
N
N
N w
I
v
I
u
ì =
r
I=íÜÉå==
O
N
O
N
O
N
O
O
w
v
u
ì
ì
ì
ì +
+
=
=
=
⋅
r
r
r
r
K=
=
585. N
â
â
à
à
á
á =
⋅
=
⋅
=
⋅
r
r
r
r
r
r
=
=
586. M
á
â
â
à
à
á =
⋅
=
⋅
=
⋅
r
r
r
r
r
r
=
=
=
=
6.6 Vector Product
=
587. sÉÅíçê=mêçÇìÅí=çÑ=sÉÅíçêë=ì
r
=~åÇ î
r
=
ï
î
ì
r
r
r
=
× I=ïÜÉêÉ==
• θ
⋅
⋅
= ëáå
î
ì
ï
r
r
r
I=ïÜÉêÉ=
O
M
π
≤
θ
≤ X=
• ì
ï
r
r
⊥ = ~åÇ= î
ï
r
r
⊥ X=
• =sÉÅíçêë=ì
r
I= î
r
I= ï
r
=Ñçêã=~=êáÖÜí-Ü~åÇÉÇ=ëÅêÉïK=
=

CHAPTER 6. VECTORS
126
======= =
=
Figure 83.
=
588.
O
O
O
N
N
N
w
v
u
w
v
u
â
à
á
î
ì
ï
r
r
r
r
r
r
=
×
= =
=
589. 







−
=
×
=
O
O
N
N
O
O
N
N
O
O
N
N
v
u
v
u
I
w
u
w
u
I
w
v
w
v
î
ì
ï
r
r
r
=
=
590. θ
⋅
⋅
=
×
= ëáå
î
ì
î
ì
p
r
r
r
r
=EcáÖKUPF=
=
591. ^åÖäÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=sÉÅíçêë=EcáÖKUPF=
î
ì
î
ì
ëáå r
r
r
r
⋅
×
=
θ =
=
592. kçåÅçããìí~íáîÉ=mêçéÉêíó=
( )
ì
î
î
ì
r
r
r
r
×
−
=
× ==
=
593. ^ëëçÅá~íáîÉ=mêçéÉêíó=
( ) ( ) î
ì
î
ì
r
r
r
r
×
λµ
=
µ
×
λ =
=
=

CHAPTER 6. VECTORS
127
594. aáëíêáÄìíáîÉ=mêçéÉêíó=
( ) ï
ì
î
ì
ï
î
ì
r
r
r
r
r
r
r
×
+
×
=
+
× =
=
595. M
î
ì
r
r
r
=
× =áÑ=ì
r
=~åÇ= î
r
=~êÉ=é~ê~ääÉä=E M
=
θ FK=
=
596. M
â
â
à
à
á
á
r
r
r
r
r
r
r
=
×
=
×
=
× =
=
597. â
à
á
r
r
r
=
× I= á
â
à
r
r
r
=
× I= à
á
â
r
r
r
=
× =
=
=
=
6.7 Triple Product
=
598. pÅ~ä~ê=qêáéäÉ=mêçÇìÅí=
[ ] ( ) ( ) ( )
î
ì
ï
ì
ï
î
ï
î
ì
ï
î
ì
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
×
⋅
=
×
⋅
=
×
⋅
= =
=
599. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
î
ï
ì
ì
î
ï
ï
ì
î
ì
ï
î
î
ì
ï
ï
î
ì
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
−
=
−
=
−
=
=
= =
=
600. ( ) [ ]
ï
î
ì
â
ï
î
ì
â
r
r
r
r
r
r
=
×
⋅ =
=
601. pÅ~ä~ê=qêáéäÉ=mêçÇìÅí=áå=`ççêÇáå~íÉ=cçêã=
( )
P
P
P
O
O
O
N
N
N
w
v
u
w
v
u
w
v
u
ï
î
ì =
×
⋅
r
r
r
I==
ïÜÉêÉ==
( )
N
N
N w
I
v
I
u
ì =
r
I= ( )
O
O
O w
I
v
I
u
î =
r
I= ( )
P
P
P w
I
v
I
u
ï =
r
K==
=
602. sçäìãÉ=çÑ=m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ=
( )
ï
î
ì
s
r
r
r
×
⋅
= =
=

CHAPTER 6. VECTORS
128
============ =
=
Figure 84.
=
603. sçäìãÉ=çÑ=móê~ãáÇ=
( )
ï
î
ì
S
N
s
r
r
r
×
⋅
= =
=
=
=
Figure 85.
=
604. fÑ== ( ) M
ï
î
ì =
×
⋅
r
r
r
I=íÜÉå=íÜÉ=îÉÅíçêë==ì
r
I= î
r
I=~åÇ= ï
r
=~êÉ=äáåÉ~êäó=
ÇÉéÉåÇÉåí=I=ëç= î
ì
ï
r
r
r
µ
+
λ
= =Ñçê=ëçãÉ=ëÅ~ä~êë=λ =~åÇ=µK==
=
605. fÑ== ( ) M
ï
î
ì ≠
×
⋅
r
r
r
I=íÜÉå=íÜÉ=îÉÅíçêë==ì
r
I= î
r
I=~åÇ= ï
r
=~êÉ=äáåÉ~êäó=
áåÇÉéÉåÇÉåíK=
=

CHAPTER 6. VECTORS
129
606. sÉÅíçê=qêáéäÉ=mêçÇìÅí=
( ) ( ) ( )ï
î
ì
î
ï
ì
ï
î
ì
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
−
⋅
=
×
× ==
=
=
=
=
=
=
=
=

130
Chapter 7
Analytic Geometry
=
=
=
=
7.1 One-Dimensional Coordinate System
=
mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW= M
ñ I= N
ñ I= O
ñ I= M
ó I= N
ó I= O
ó =
oÉ~ä=åìãÄÉêW=λ ==
aáëí~åÅÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=éçáåíëW=Ç=
=
=
607. aáëí~åÅÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=mçáåíë=
O
N
N
O ñ
ñ
ñ
ñ
^_
Ç −
=
−
=
= =
=
=
=
Figure 86.
=
608. aáîáÇáåÖ=~=iáåÉ=pÉÖãÉåí=áå=íÜÉ=o~íáç=λ =
λ
+
λ
+
=
N
ñ
ñ
ñ O
N
M I=
`_
^`
=
λ I= N
−
≠
λ K=
=
======== =
=
Figure 87.

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
131
609. jáÇéçáåí=çÑ=~=iáåÉ=pÉÖãÉåí=
O
ñ
ñ
ñ O
N
M
+
= I= N
=
λ K=
=
=
=
7.2 Two-Dimensional Coordinate System
=
ñ I= N
ñ I= O
ñ I= M
ó I= N
ó I= O
ó =
mçä~ê=ÅççêÇáå~íÉëW= ϕ
I
ê =
mçëáíáîÉ=êÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=ÅI==
^êÉ~W=p=
=
=
( ) ( )O
N
O
O
N
O ó
ó
ñ
ñ
^_
Ç −
+
−
=
= =
=
=
=
Figure 88.

132
λ
+
λ
+
=
N
ñ
ñ
ñ O
N
M I=
λ
+
λ
+
=
N
ó
ó
ó O
N
M I==
`_
^`
=
λ I= N
−
≠
λ K=
=
======= =
=
Figure 89.
=
=

133
======= =
=
Figure 90.
=
O
ñ
ñ
ñ O
N
M
+
= I=
O
ó
ó
ó O
N
M
+
= I= N
=
λ K=
=
613. `ÉåíêçáÇ=EfåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=jÉÇá~åëF=çÑ=~=qêá~åÖäÉ=
P
ñ
ñ
ñ
ñ P
O
N
M
+
+
= I=
P
ó
ó
ó
ó P
O
N
M
+
+
= I==
ïÜÉêÉ== ( )
N
N ó
I
ñ
^ I== ( )
O
O ó
I
ñ
_ I==~åÇ== ( )
P
P ó
I
ñ
` ==~êÉ=îÉêíáÅÉë=çÑ=
íÜÉ=íêá~åÖäÉ= ^_` K= =
=

134
========= =
=
Figure 91.
=
614. fåÅÉåíÉê=EfåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=^åÖäÉ=_áëÉÅíçêëF=çÑ=~=qêá~åÖäÉ=
Å
Ä
~
Åñ
Äñ
~ñ
ñ P
O
N
M
+
+
+
+
= I=
Å
Ä
~
Åó
Äó
~ó
ó P
O
N
M
+
+
+
+
= I==
ïÜÉêÉ= _`
~ = I= `^
Ä = I= ^_
Å = K==
=
======== =
=
Figure 92.

135
615. `áêÅìãÅÉåíÉê=EfåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=íÜÉ=páÇÉ=mÉêéÉåÇáÅìä~ê======================
_áëÉÅíçêëF=çÑ=~=qêá~åÖäÉ=
N
ó
ñ
N
ó
ñ
N
ó
ñ
O
N
ó
ó
ñ
N
ó
ó
ñ
N
ó
ó
ñ
ñ
P
P
O
O
N
N
P
O
P
O
P
O
O
O
O
O
N
O
N
O
N
M
+
+
+
= I=
N
ó
ñ
N
ó
ñ
N
ó
ñ
O
N
ó
ñ
ñ
N
ó
ñ
ñ
N
ó
ñ
ñ
ó
P
P
O
O
N
N
O
P
O
P
P
O
O
O
O
O
O
N
O
N
N
M
+
+
+
= =
=
======== =
==
Figure 93.
=
=
=
=
=
=
=

136
616. lêíÜçÅÉåíÉê=EfåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=^äíáíìÇÉëF=çÑ=~=qêá~åÖäÉ=
N
ó
ñ
N
ó
ñ
N
ó
ñ
N
ó
ñ
ñ
ó
N
ó
ñ
ñ
ó
N
ó
ñ
ñ
ó
ñ
P
P
O
O
N
N
O
P
O
N
P
O
O
N
P
O
O
N
P
O
N
M
+
+
+
= I=
N
ó
ñ
N
ó
ñ
N
ó
ñ
N
ñ
ó
ó
ñ
N
ñ
ó
ó
ñ
N
ñ
ó
ó
ñ
ó
P
P
O
O
N
N
P
O
N
O
P
O
N
P
O
O
N
P
O
O
N
M
+
+
+
= =
=
====== =
=
Figure 94.
=
617. ^êÉ~=çÑ=~=qêá~åÖäÉ=
( ) ( )
N
P
N
P
N
O
N
O
P
P
O
O
N
N
ó
ó
ñ
ñ
ó
ó
ñ
ñ
O
N
N
ó
ñ
N
ó
ñ
N
ó
ñ
O
N
p
−
−
−
−
±
=
±
= =
=
=
=

137
618. ^êÉ~=çÑ=~=nì~Çêáä~íÉê~ä=
( ) ( )( ) ( )( )
[ +
+
−
+
+
−
±
= P
O
P
O
O
N
O
N ó
ó
ñ
ñ
ó
ó
ñ
ñ
O
N
p =
( )( ) ( )( )]
N
Q
N
Q
Q
P
Q
P ó
ó
ñ
ñ
ó
ó
ñ
ñ +
−
+
+
−
+ =
=
=== =
=
Figure 95.
=
kçíÉW=få=Ñçêãìä~ë=SNTI=SNU=ïÉ=ÅÜççëÉ=íÜÉ=ëáÖå=EHF=çê=E¥F=ëç=
íÜ~í=íç=ÖÉí=~=éçëáíáîÉ=~åëïÉê=Ñçê=~êÉ~K==
=
619. aáëí~åÅÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=mçáåíë=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=
( )
N
O
O
N
O
O
O
N Åçë
ê
ê
O
ê
ê
^_
Ç ϕ
−
ϕ
−
+
=
= =
=

138
=
=
Figure 96.
=
620. `çåîÉêíáåÖ=oÉÅí~åÖìä~ê=`ççêÇáå~íÉë=íç=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=
ϕ
= Åçë
ê
ñ I= ϕ
= ëáå
ê
ó K=
=
=
=
Figure 97.
=
621. `çåîÉêíáåÖ=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=íç=oÉÅí~åÖìä~ê=`ççêÇáå~íÉë=
O
O
ó
ñ
ê +
= I=
ñ
ó
í~å =
ϕ K=

139
7.3 Straight Line in Plane
=
mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW=uI=vI=ñI= M
ñ I= N
ñ I== M
ó I= N
ó I= N
~ I= O
~ I=£==
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=âI=~I=ÄI=éI=íI=^I=_I=`I= N
^ I= O
^ I=£=
^åÖäÉëW=α I=β =
^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=äáåÉëW=ϕ =
kçêã~ä=îÉÅíçêW=å
r
=
mçëáíáçå=îÉÅíçêëW= ê
r
I=~
r
I= Ä
r
=
=
=
622. dÉåÉê~ä=bèì~íáçå=çÑ=~=píê~áÖÜí=iáåÉ=
M
`
_ó
^ñ =
+
+ =
=
623. kçêã~ä=sÉÅíçê=íç=~=píê~áÖÜí=iáåÉ=
qÜÉ=îÉÅíçê= ( )
_
I
^
å
r
=áë=åçêã~ä=íç=íÜÉ=äáåÉ= M
`
_ó
^ñ =
+
+ K=
=
=
=
Figure 98.
=
624. bñéäáÅáí=bèì~íáçå=çÑ=~=píê~áÖÜí=iáåÉ=EpäçéÉ-fåíÉêÅÉéí=cçêãF=
Ä
âñ
ó +
= K==

140
qÜÉ=Öê~ÇáÉåí=çÑ=íÜÉ=äáåÉ=áë= α
= í~å
â K=
=
=
=
Figure 99.
=
625. dê~ÇáÉåí=çÑ=~=iáåÉ==
N
O
N
O
ñ
ñ
ó
ó
í~å
â
−
−
=
α
= =
=
=
=
Figure 100.

141
626. bèì~íáçå=çÑ=~=iáåÉ=dáîÉå=~=mçáåí=~åÇ=íÜÉ=dê~ÇáÉåí=
( )
M
M ñ
ñ
â
ó
ó −
+
= I==
ïÜÉêÉ=â=áë=íÜÉ=Öê~ÇáÉåíI= ( )
M
M ó
I
ñ
m =áë=~=éçáåí=çå=íÜÉ=äáåÉK=
=
=
=
Figure 101.
=
627. bèì~íáçå=çÑ=~=iáåÉ=qÜ~í=m~ëëÉë=qÜêçìÖÜ=qïç=mçáåíë=
N
O
N
N
O
N
ñ
ñ
ñ
ñ
ó
ó
ó
ó
−
−
=
−
−
==
çê=
M
N
ó
ñ
N
ó
ñ
N
ó
ñ
O
O
N
N = K=
=

142
=
=
Figure 102.
=
628. fåíÉêÅÉéí=cçêã=
N
Ä
ó
~
ñ
=
+ =
=
=
=
Figure 103.
=
=

143
629. kçêã~ä=cçêã=
M
é
ëáå
ó
Åçë
ñ =
−
β
+
β =
=
=
=
Figure 104.
=
630. mçáåí=aáêÉÅíáçå=cçêã=
v
ó
ó
u
ñ
ñ N
N −
=
−
I==
ïÜÉêÉ= ( )
v
I
u =áë=íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå=çÑ=íÜÉ=äáåÉ=~åÇ= ( )
N
N
N ó
I
ñ
m =äáÉë=
çå=íÜÉ=äáåÉK=
=

144
=
=
Figure 105.
=
631. sÉêíáÅ~ä=iáåÉ=
~
ñ = =
=
632. eçêáòçåí~ä=iáåÉ=
Ä
ó = =
=
633. sÉÅíçê=bèì~íáçå=çÑ=~=píê~áÖÜí=iáåÉ=
Ä
í
~
ê
r
r
r
+
= I==
ïÜÉêÉ==
l=áë=íÜÉ=çêáÖáå=çÑ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉëI=
u=áë=~åó=î~êá~ÄäÉ=éçáåí=çå=íÜÉ=äáåÉI==
~
r
=áë=íÜÉ=éçëáíáçå=îÉÅíçê=çÑ=~=âåçïå=éçáåí=^=çå=íÜÉ=äáåÉ=I=
Ä
r
=áë=~=âåçïå=îÉÅíçê=çÑ=ÇáêÉÅíáçåI=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=äáåÉI==
í=áë=~=é~ê~ãÉíÉêI==
→
= lu
ê
r
=áë=íÜÉ=éçëáíáçå=îÉÅíçê=çÑ=~åó=éçáåí=u=çå=íÜÉ=äáåÉK==
=

145
=
=
Figure 106.
=
634. píê~áÖÜí=iáåÉ=áå=m~ê~ãÉíêáÅ=cçêã=



+
=
+
=
O
O
N
N
íÄ
~
ó
íÄ
~
ñ
I==
ïÜÉêÉ==
( )
ó
I
ñ ~êÉ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉë=çÑ=~åó=ìåâåçïå=éçáåí=çå=íÜÉ=äáåÉI==
( )
O
N ~
I
~ =~êÉ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉë=çÑ=~=âåçïå=éçáåí=çå=íÜÉ=äáåÉI==
( )
O
N Ä
I
Ä =~êÉ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉë=çÑ=~=îÉÅíçê=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=äáåÉI==
í=áë=~=é~ê~ãÉíÉêK=
=

146
=
Figure 107.
=
635. aáëí~åÅÉ=cêçã=~=mçáåí=qç=~=iáåÉ=
qÜÉ=Çáëí~åÅÉ=Ñêçã=íÜÉ=éçáåí= ( )
Ä
I
~
m =íç=íÜÉ=äáåÉ=
M
`
_ó
^ñ =
+
+ =áë==
O
O
_
^
`
_Ä
^~
Ç
+
+
+
= K=
=
=
=
Figure 108.

147
636. m~ê~ääÉä=iáåÉë=
qïç=äáåÉë= N
N Ä
ñ
â
ó +
= =~åÇ= O
O Ä
ñ
â
ó +
= =~êÉ=é~ê~ääÉä=áÑ==
O
N â
â = K=
qïç= äáåÉë= M
`
ó
_
ñ
^ N
N
N =
+
+ = ~åÇ= M
`
ó
_
ñ
^ O
O
O =
+
+ = ~êÉ=
é~ê~ääÉä=áÑ=
O
N
O
N
_
_
^
^
= K=
=
=
=
Figure 109.
=
637. mÉêéÉåÇáÅìä~ê=iáåÉë=
qïç=äáåÉë= N
N Ä
ñ
â
ó +
= =~åÇ= O
O Ä
ñ
â
ó +
= =~êÉ=éÉêéÉåÇáÅìä~ê=áÑ==
N
O
â
N
â −
= =çêI=Éèìáî~äÉåíäóI= N
â
â O
N −
= K=
qïç= äáåÉë= M
`
ó
_
ñ
^ N
N
N =
+
+ = ~åÇ= M
`
ó
_
ñ
^ O
O
O =
+
+ = ~êÉ=
éÉêéÉåÇáÅìä~ê=áÑ=
M
_
_
^
^ O
N
O
N =
+ K=
=

148
=
=
Figure 110.
=
638. ^åÖäÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=iáåÉë=
O
N
N
O
â
â
N
â
â
í~å
+
−
=
ϕ I==
O
O
O
O
O
N
O
N
O
N
O
N
_
^
_
^
_
_
^
^
Åçë
+
⋅
+
+
=
ϕ K=
=

149
=
=
Figure 111.
=
639. fåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=qïç=iáåÉë=
fÑ=íïç=äáåÉë= M
`
ó
_
ñ
^ N
N
N =
+
+ =~åÇ= M
`
ó
_
ñ
^ O
O
O =
+
+ =áåíÉê-
ëÉÅíI=íÜÉ=áåíÉêëÉÅíáçå=éçáåí=Ü~ë=ÅççêÇáå~íÉë=
N
O
O
N
N
O
O
N
M
_
^
_
^
_
`
_
`
ñ
−
+
−
= I=
N
O
O
N
N
O
O
N
M
_
^
_
^
`
^
`
^
ó
−
+
−
= K=
=
=
=
7.4 Circle
=
o~ÇáìëW=o=
`ÉåíÉê=çÑ=ÅáêÅäÉW=( )
Ä
I
~ =
mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW=ñI=óI= N
ñ I= N
ó I=£=
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=aI=bI=cI=í=

150
640. bèì~íáçå=çÑ=~=`áêÅäÉ=`ÉåíÉêÉÇ=~í=íÜÉ=lêáÖáå=Epí~åÇ~êÇ=
cçêãF=
O
O
O
o
ó
ñ =
+ =
====== =
=
Figure 112.
=
641. bèì~íáçå=çÑ=~=`áêÅäÉ=`ÉåíÉêÉÇ=~í=^åó=mçáåí=( )
Ä
I
~
( ) ( ) O
O
O
o
Ä
ó
~
ñ =
−
+
−
Figure 113.

151
642. qÜêÉÉ=mçáåí=cçêã
M
N
ó
ñ
ó
ñ
N
ó
ñ
ó
ñ
N
ó
ñ
ó
ñ
N
ó
ñ
ó
ñ
P
P
O
P
O
P
O
O
O
O
O
O
N
N
O
N
O
N
O
O
=
+
+
+
+
=
=
=
Figure 114.
=
643. m~ê~ãÉíêáÅ=cçêã



=
=
í
ëáå
o
ó
í
Åçë
o
ñ
I= π
≤
≤ O
í
M K
=
644. dÉåÉê~ä=cçêã
M
c
bó
añ
^ó
^ñ O
O
=
+
+
+
+ =E^=åçåòÉêçI= ^c
Q
b
a O
O
>
+ FK==
qÜÉ=ÅÉåíÉê=çÑ=íÜÉ=ÅáêÅäÉ=Ü~ë=ÅççêÇáå~íÉë=( )
Ä
I
~ I=ïÜÉêÉ==
^
O
a
~ −
= I=
^
O
b
Ä −
= K=
qÜÉ=ê~Çáìë=çÑ=íÜÉ=ÅáêÅäÉ=áë

152
^
O
^c
Q
b
a
o
O
O
−
+
= K
=
=
=
7.5 Ellipse
=
pÉãáã~àçê=~ñáëW=~=
pÉãáãáåçê=~ñáëW=Ä=
cçÅáW= ( )
M
I
Å
cN − I= ( )
M
I
Å
cO =
aáëí~åÅÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=ÑçÅáW=OÅ= =
bÅÅÉåíêáÅáíóW=É==
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=aI=bI=cI=í=
^êÉ~W=p=
=
=
645. bèì~íáçå=çÑ=~å=bääáéëÉ=Epí~åÇ~êÇ=cçêãF
N
Ä
ó
~
ñ
O
O
O
O
=
+
=
=
Figure 115.

153
646. ~
O
ê
ê O
N =
+ I=
ïÜÉêÉ== N
ê I== O
ê ==~êÉ==Çáëí~åÅÉë==Ñêçã==~åó==éçáåí== ( )
ó
I
ñ
m ==çå=
íÜÉ=ÉääáéëÉ=íç=íÜÉ=íïç=ÑçÅáK=
=
=
=
Figure 116.
=
647. O
O
O
Å
Ä
~ +
=
=
648. bÅÅÉåíêáÅáíó
N
~
Å
É <
= =
=
649. bèì~íáçåë=çÑ=aáêÉÅíêáÅÉë
Å
~
É
~
ñ
O
±
=
±
= =
=
650. m~ê~ãÉíêáÅ=cçêã



=
=
í
ëáå
Ä
ó
í
Åçë
~
ñ
I= π
≤
≤ O
í
M K
=
=

154
M
c
bó
añ
`ó
_ñó
^ñ O
O
=
+
+
+
+
+ I==
ïÜÉêÉ= M
^`
Q
_O
<
− K=
=
652. dÉåÉê~ä=cçêã=ïáíÜ=^ñÉë=m~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=`ççêÇáå~íÉ=^ñÉë
M
c
bó
añ
`ó
^ñ O
O
=
+
+
+
+ I==
ïÜÉêÉ= M
^` > K
=
653. `áêÅìãÑÉêÉåÅÉ
( )
É
~b
Q
i = I==
ïÜÉêÉ==íÜÉ==ÑìåÅíáçå=b==áë==íÜÉ=ÅçãéäÉíÉ==ÉääáéíáÅ=áåíÉÖê~ä==çÑ=
íÜÉ=ëÉÅçåÇ=âáåÇK==
=
654. ^ééêçñáã~íÉ=cçêãìä~ë=çÑ=íÜÉ=`áêÅìãÑÉêÉåÅÉ
( )
( )
~Ä
Ä
~
R
K
N
i −
+
π
= I==
( )
O
O
Ä
~
O
i +
π
= K=
=
655. ~Ä
p π
= =
=
=
=
7.6 Hyperbola
=
qê~åëîÉêëÉ=~ñáëW=~=
`çåàìÖ~íÉ=~ñáëW=Ä=
cçÅáW= ( )
M
I
Å
cN − I= ( )
M
I
Å
cO =
aáëí~åÅÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=ÑçÅáW=OÅ= =
bÅÅÉåíêáÅáíóW=É==
^ëóãéíçíÉëW=ëI=í=
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=aI=bI=cI=íI=â=
=
=
=

155
656. bèì~íáçå=çÑ=~=eóéÉêÄçä~=Epí~åÇ~êÇ=cçêãF=
N
Ä
ó
~
ñ
O
O
O
O
=
− =
=
=
=
Figure 117.
=
657. ~
O
ê
ê O
N =
− I=
ïÜÉêÉ== N
ê I== O
ê ==~êÉ==Çáëí~åÅÉë==Ñêçã==~åó=éçáåí== ( )
ó
I
ñ
m ==çå=
íÜÉ=ÜóéÉêÄçä~=íç=íÜÉ=íïç=ÑçÅáK=
=

156
=
=
Figure 118.
=
658. bèì~íáçåë=çÑ=^ëóãéíçíÉë=
ñ
~
Ä
ó ±
= =
=
659. O
O
O
Ä
~
Å +
= =
=
660. bÅÅÉåíêáÅáíó
N
~
Å
É >
= =
=
661. bèì~íáçåë=çÑ=aáêÉÅíêáÅÉë
Å
~
É
~
ñ
O
±
=
±
= =
=
=
=

157
662. m~ê~ãÉíêáÅ=bèì~íáçåë=çÑ=íÜÉ=oáÖÜí=_ê~åÅÜ=çÑ=~=eóéÉêÄçä~=



=
=
í
ëáåÜ
Ä
ó
í
ÅçëÜ
~
ñ
I= π
≤
≤ O
í
M K
=
M
c
bó
añ
`ó
_ñó
^ñ O
O
=
+
+
+
+
+ I==
ïÜÉêÉ= M
^`
Q
_O
>
− K=
=
664. dÉåÉê~ä=cçêã=ïáíÜ=^ñÉë=m~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=`ççêÇáå~íÉ=^ñÉë
M
c
bó
añ
`ó
^ñ O
O
=
+
+
+
+ I==
ïÜÉêÉ= M
^` < K=
665. ^ëóãéíçíáÅ=cçêã=
Q
É
ñó
O
= I==
çê==
ñ
â
ó = I=ïÜÉêÉ=
Q
É
â
O
= K=
få= íÜáë= Å~ëÉ= I= íÜÉ= ~ëóãéíçíÉë= Ü~îÉ= Éèì~íáçåë= M
ñ = = ~åÇ=
M
ó = K==
=

158
=
=
Figure 119.
=
=
=
7.7 Parabola
=
cçÅ~ä=é~ê~ãÉíÉêW=é=
cçÅìëW=c=
sÉêíÉñW= ( )
M
M ó
I
ñ
j =
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=aI=bI=cI=éI=~I=ÄI=Å=
=
=
666. bèì~íáçå=çÑ=~=m~ê~Äçä~=Epí~åÇ~êÇ=cçêãF
éñ
O
óO
=
=

159
=
=
Figure 120.
=
bèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=ÇáêÉÅíêáñ
O
é
ñ −
= I=
`ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=ÑçÅìë=






M
I
O
é
c I=
`ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=îÉêíÉñ=
( )
M
I
M
j K=
=
M
c
bó
añ
`ó
_ñó
^ñ O
O
=
+
+
+
+
+ I==
ïÜÉêÉ= M
^`
Q
_O
=
− K=
=
668. O
~ñ
ó = I=
~
O
N
é = K=

160
O
é
ó −
= I=






O
é
I
M
c I=
( )
M
I
M
j K=
=
=
=
Figure 121.
=
669. dÉåÉê~ä=cçêãI=^ñáë=m~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ó-~ñáë==
M
c
bó
añ
^ñO
=
+
+
+ =E^I=b=åçåòÉêçFI==
Å
Äñ
~ñ
ó O
+
+
= I=
~
O
N
é = K==
O
é
ó
ó M −
= I=

161






+
O
é
ó
I
ñ
c M
M I=
~
O
Ä
ñM −
= I=
~
Q
Ä
~Å
Q
Å
Äñ
~ñ
ó
O
M
O
M
M
−
=
+
+
= K=
=
=
=
Figure 122.
=
=
=
7.8 Three-Dimensional Coordinate System
=
ñ I= M
ó I= M
ò I= N
ñ I= N
ó I= N
ò I=£=
^êÉ~W=p=
sçäìãÉW=s=
=

162
( ) ( ) ( )O
N
O
O
N
O
O
N
O ò
ò
ó
ó
ñ
ñ
^_
Ç −
+
−
+
−
=
= =
=
=== =
=
Figure 123.
=
λ
+
λ
+
=
N
ñ
ñ
ñ O
N
M I=
λ
+
λ
+
=
N
ó
ó
ó O
N
M I=
λ
+
λ
+
=
N
ò
ò
ò O
N
M I==
ïÜÉêÉ=
`_
^`
=
λ I= N
−
≠
λ K=
=

163
======== =
=
Figure 124.
=
=
Figure 125.

164
O
ñ
ñ
ñ O
N
M
+
= I=
O
ó
ó
ó O
N
M
+
= I=
O
ò
ò
ò O
N
M
+
= I= N
=
λ K=
=
673. ^êÉ~=çÑ=~=qêá~åÖäÉ=
qÜÉ=~êÉ~=çÑ=~=íêá~åÖäÉ=ïáíÜ=îÉêíáÅÉë= ( )
N
N
N
N ò
I
ó
I
ñ
m I=
( )
O
O
O
O ò
I
ó
I
ñ
m I=~åÇ= ( )
P
P
P
P ò
I
ó
I
ñ
m =áë=ÖáîÉå=Äó==
O
P
P
O
O
N
N
O
P
P
O
O
N
N
O
P
P
O
O
N
N
N
ó
ñ
N
ó
ñ
N
ó
ñ
N
ñ
ò
N
ñ
ò
N
ñ
ò
N
ò
ó
N
ò
ó
N
ò
ó
O
N
p +
+
= K=
=
674. sçäìãÉ=çÑ=~=qÉíê~ÜÉÇêçå=
qÜÉ=îçäìãÉ=çÑ=~=íÉíê~ÜÉÇêçå=ïáíÜ=îÉêíáÅÉë= ( )
N
N
N
N ò
I
ó
I
ñ
m I=
( )
O
O
O
O ò
I
ó
I
ñ
m I= ( )
P
P
P
P ò
I
ó
I
ñ
m I=~åÇ= ( )
Q
Q
Q
Q ò
I
ó
I
ñ
m =áë=ÖáîÉå=Äó==
N
ò
ó
ñ
N
ò
ó
ñ
N
ò
ó
ñ
N
ò
ó
ñ
S
N
s
Q
Q
Q
P
P
P
O
O
O
N
N
N
±
= I==
çê=
Q
P
Q
P
Q
P
Q
O
Q
O
Q
O
Q
N
Q
N
Q
N
ò
ò
ó
ó
ñ
ñ
ò
ò
ó
ó
ñ
ñ
ò
ò
ó
ó
ñ
ñ
S
N
s
−
−
−
−
−
−
−
−
−
±
= K=
kçíÉW=tÉ=ÅÜççëÉ=íÜÉ=ëáÖå=EHF=çê=E¥F=ëç=íÜ~í=íç=ÖÉí=~=éçëáíáîÉ=
~åëïÉê=Ñçê=îçäìãÉK==
=

165
==== =
=
Figure 126.
=
=
=
7.9 Plane
=
mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW=ñI=óI=òI= M
ñ I= M
ó I= M
ò I= N
ñ I= N
ó I= N
ò I=£=
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=aI= N
^ I= O
^ I=~I=ÄI=ÅI= N
~ I= O
~ I=λ I=éI=íI=£==
kçêã~ä=îÉÅíçêëW=å
r
I= N
å
r
I= O
å
r
=
Åçë I= β
Åçë I= γ
Åçë =
aáëí~åÅÉ=Ñêçã=éçáåí=íç=éä~åÉW=Ç=
=
=
675. dÉåÉê~ä=bèì~íáçå=çÑ=~=mä~åÉ=
M
a
`ò
_ó
^ñ =
+
+
+ =
=
=

166
676. kçêã~ä=sÉÅíçê=íç=~=mä~åÉ=
qÜÉ=îÉÅíçê= ( )
`
I
_
I
^
å
r
=áë=åçêã~ä=íç=íÜÉ=éä~åÉ=
M
a
`ò
_ó
^ñ =
+
+
+ K=
=
=== =
=
Figure 127.
=
677. m~êíáÅìä~ê=`~ëÉë=çÑ=íÜÉ=bèì~íáçå=çÑ=~=mä~åÉ=
M
a
`ò
_ó
^ñ =
+
+
+ =
=
fÑ= M
^ = I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ñ-~ñáëK=
fÑ= M
_ = I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ó-~ñáëK=
fÑ= M
` = I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ò-~ñáëK=
fÑ= M
a = I=íÜÉ=éä~åÉ=äáÉë=çå=íÜÉ=çêáÖáåK==
=
fÑ= M
_
^ =
= I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ñó-éä~åÉK=
fÑ= M
`
_ =
= I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=óò-éä~åÉK=
fÑ= M
`
^ =
= I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ñò-éä~åÉK=
=

167
678. mçáåí=aáêÉÅíáçå=cçêã=
( ) ( ) ( ) M
ò
ò
`
ó
ó
_
ñ
ñ
^ M
M
M =
−
+
−
+
− I==
ïÜÉêÉ=íÜÉ=éçáåí= ( )
M
M
M ò
I
ó
I
ñ
m =äáÉë=áå=íÜÉ=éä~åÉI=~åÇ=íÜÉ=îÉÅ-
íçê=( )
`
I
_
I
^ =áë=åçêã~ä=íç=íÜÉ=éä~åÉK===
=
==== =
=
Figure 128.
=
679. fåíÉêÅÉéí=cçêã=
N
Å
ò
Ä
ó
~
ñ
=
+
+ =
=

168
===== =
=
Figure 129.
=
680. qÜêÉÉ=mçáåí=cçêã=
M
ò
ò
ó
ó
ñ
ñ
ò
ò
ó
ó
ñ
ñ
ò
ò
ó
ó
ñ
ñ
P
O
P
O
P
O
P
N
P
N
P
N
P
P
P
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
I==
çê==
M
N
ò
ó
ñ
N
ò
ó
ñ
N
ò
ó
ñ
N
ò
ó
ñ
P
P
P
O
O
O
N
N
N
= K=
=

169
===== =
=
Figure 130.
=
681. kçêã~ä=cçêã=
M
é
Åçë
ò
Åçë
ó
Åçë
ñ =
−
γ
+
β
+
α I==
ïÜÉêÉ==é==áë==íÜÉ==éÉêéÉåÇáÅìä~ê==Çáëí~åÅÉ==Ñêçã==íÜÉ=çêáÖáå=íç=
íÜÉ=éä~åÉ=I=~åÇ= α
Åçë I= β
Åçë I= γ
Åçë =~êÉ=íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå=ÅçëáåÉë=
çÑ=~åó=äáåÉ=åçêã~ä=íç=íÜÉ=éä~åÉK==
=

170
====== =
=
Figure 131.
=
682. m~ê~ãÉíêáÅ=cçêã=





+
+
=
+
+
=
+
+
=
í
Å
ë
Å
ò
ò
í
Ä
ë
Ä
ó
ó
í
~
ë
~
ñ
ñ
O
N
N
O
N
N
O
N
N
I==
ïÜÉêÉ=( )
ò
I
ó
I
ñ =~êÉ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉë=çÑ=~åó=ìåâåçïå=éçáåí=çå=
íÜÉ=äáåÉ=I=íÜÉ=éçáåí= ( )
N
N
N ò
I
ó
I
ñ
m =äáÉë=áå=íÜÉ=éä~åÉI=íÜÉ=îÉÅíçêë=
( )
N
N
N Å
I
Ä
I
~ =~åÇ=( )
O
O
O Å
I
Ä
I
~ =~êÉ=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=éä~åÉK=
=

171
===== =
=
Figure 132.
=
683. aáÜÉÇê~ä=^åÖäÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=mä~åÉë=
fÑ=íÜÉ=éä~åÉë=~êÉ=ÖáîÉå=Äó==
M
a
ò
`
ó
_
ñ
^ N
N
N
N =
+
+
+ I==
M
a
ò
`
ó
_
ñ
^ O
O
O
O =
+
+
+ I==
íÜÉå=íÜÉ=ÇáÜÉÇê~ä=~åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉã=áë==
O
O
O
O
O
O
O
N
O
N
O
N
O
N
O
N
O
N
O
N
O
N
`
_
^
`
_
^
`
`
_
_
^
^
å
å
å
å
Åçë
+
+
⋅
+
+
+
+
=
⋅
⋅
=
ϕ r
r
r
r
K=
=

172
====== =
=
Figure 133.
=
684. m~ê~ääÉä=mä~åÉë=
qïç=éä~åÉë= M
a
ò
`
ó
_
ñ
^ N
N
N
N =
+
+
+ =~åÇ=
M
a
ò
`
ó
_
ñ
^ O
O
O
O =
+
+
+ =~êÉ=é~ê~ääÉä=áÑ==
O
N
O
N
O
N
`
`
_
_
^
^
=
= K=
=
685. mÉêéÉåÇáÅìä~ê=mä~åÉë=
qïç=éä~åÉë= M
a
ò
`
ó
_
ñ
^ N
N
N
N =
+
+
+ =~åÇ=
M
a
ò
`
ó
_
ñ
^ O
O
O
O =
+
+
+ =~êÉ=éÉêéÉåÇáÅìä~ê=áÑ==
M
`
`
_
_
^
^ O
N
O
N
O
N =
+
+ K=
=
686. bèì~íáçå=çÑ=~=mä~åÉ=qÜêçìÖÜ= ( )
N
N
N ò
I
ó
I
ñ
m =~åÇ=m~ê~ääÉä=qç=
íÜÉ=sÉÅíçêë=( )
N
N
N Å
I
Ä
I
~ =~åÇ=( )
O
O
O Å
I
Ä
I
~ =EcáÖKNPOF=

173
M
Å
Ä
~
Å
Ä
~
ò
ò
ó
ó
ñ
ñ
O
O
O
N
N
N
N
N
N
=
−
−
−
=
=
687. bèì~íáçå=çÑ=~=mä~åÉ=qÜêçìÖÜ= ( )
N
N
N
N ò
I
ó
I
ñ
m =~åÇ= ( )
O
O
O
O ò
I
ó
I
ñ
m I=
~åÇ=m~ê~ääÉä=qç=íÜÉ=sÉÅíçê=( )
Å
I
Ä
I
~ =
M
Å
Ä
~
ò
ò
ó
ó
ñ
ñ
ò
ò
ó
ó
ñ
ñ
N
O
N
O
N
O
N
N
N
=
−
−
−
−
−
−
=
=
=
Figure 134.
=
688. aáëí~åÅÉ=cêçã=~=mçáåí=qç=~=mä~åÉ=
qÜÉ=Çáëí~åÅÉ=Ñêçã=íÜÉ=éçáåí= ( )
N
N
N
N ò
I
ó
I
ñ
m =íç=íÜÉ=éä~åÉ=
M
a
`ò
_ó
^ñ =
+
+
+ =áë==

174
O
O
O
N
N
N
`
_
^
a
`ò
_ó
^ñ
Ç
+
+
+
+
+
= K=
=
====== =
=
Figure 135.
=
689. fåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=qïç=mä~åÉë=
fÑ=íïç=éä~åÉë= M
a
ò
`
ó
_
ñ
^ N
N
N
N =
+
+
+ =~åÇ=
M
a
ò
`
ó
_
ñ
^ O
O
O
O =
+
+
+ =áåíÉêëÉÅíI=íÜÉ=áåíÉêëÉÅíáçå=ëíê~áÖÜí=
äáåÉ=áë=ÖáîÉå=Äó=





+
=
+
=
+
=
Åí
ò
ò
Äí
ó
ó
~í
ñ
ñ
N
N
N
I==
çê==
Å
ò
ò
Ä
ó
ó
~
ñ
ñ N
N
N −
=
−
=
−
I==
ïÜÉêÉ==

175
O
O
N
N
`
_
`
_
~ = I=
O
O
N
N
^
`
^
`
Ä = I=
O
O
N
N
_
^
_
^
Å = I==
O
O
O
O
O
N
N
O
O
N
N
N
Å
Ä
~
_
a
_
a
Å
`
a
`
a
Ä
ñ
+
+
−
= I==
O
O
O
O
O
N
N
O
O
N
N
N
Å
Ä
~
`
a
`
a
~
^
a
^
a
Å
ó
+
+
−
= I==
O
O
O
O
O
N
N
O
O
N
N
N
Å
Ä
~
^
a
^
a
Ä
_
a
_
a
~
ò
+
+
−
= K==
=
=
=
7.10 Straight Line in Space
=
mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW=ñI=óI=òI= N
ñ I= N
ó I= N
ò I=£=
Åçë I= β
Åçë I= γ
Åçë =
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=aI=~I=ÄI=ÅI= N
~ I= O
~ I=íI=£==
aáêÉÅíáçå=îÉÅíçêë=çÑ=~=äáåÉW= ë
r
I= N
ë
r
I= O
ë
r
=
kçêã~ä=îÉÅíçê=íç=~=éä~åÉW=å
r
=
^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=äáåÉëW=ϕ =
=
690. mçáåí=aáêÉÅíáçå=cçêã=çÑ=íÜÉ=bèì~íáçå=çÑ=~=iáåÉ==
Å
ò
ò
Ä
ó
ó
~
ñ
ñ N
N
N −
=
−
=
−
I==
N
N
N
N ò
I
ó
I
ñ
m =äáÉë=çå=íÜÉ=äáåÉI=~åÇ= ( )
Å
I
Ä
I
~ =áë=
íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå=îÉÅíçê=çÑ=íÜÉ=äáåÉK==
=

176
===== =
=
Figure 136.
=
691. qïç=mçáåí=cçêã=
N
O
N
N
O
N
N
O
N
ò
ò
ò
ò
ó
ó
ó
ó
ñ
ñ
ñ
ñ
−
−
=
−
−
=
−
−
==
=
===== =
Figure 137.

177
692. m~ê~ãÉíêáÅ=cçêã==





γ
+
=
β
+
=
α
+
=
Åçë
í
ò
ò
Åçë
í
ó
ó
Åçë
í
ñ
ñ
N
N
N
I==
N
N
N
N ò
I
ó
I
ñ
m =äáÉë=çå=íÜÉ=ëíê~áÖÜí=äáåÉI=
α
Åçë I= β
Åçë I= γ
Åçë =~êÉ=íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå=ÅçëáåÉë=çÑ=íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå=
îÉÅíçê=çÑ=íÜÉ=äáåÉI=íÜÉ=é~ê~ãÉíÉê=í=áë=~åó=êÉ~ä=åìãÄÉêK==
=
===== =
=
Figure 138.
=
693. ^åÖäÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=píê~áÖÜí=iáåÉë=
O
O
O
O
O
O
O
N
O
N
O
N
O
N
O
N
O
N
O
N
O
N
Å
Ä
~
Å
Ä
~
Å
Å
Ä
Ä
~
~
ë
ë
ë
ë
Åçë
+
+
⋅
+
+
+
+
=
⋅
⋅
=
ϕ r
r
r
r
=
=

178
===== =
=
Figure 139.
=
694. m~ê~ääÉä=iáåÉë=
qïç=äáåÉë=~êÉ=é~ê~ääÉä=áÑ==
O
N ë
öö
ë
r
r
I==
çê==
O
N
O
N
O
N
Å
Å
Ä
Ä
~
~
=
= K=
=
695. mÉêéÉåÇáÅìä~ê=iáåÉë=
qïç=äáåÉë=~êÉ=é~ê~ääÉä=áÑ==
M
ë
ë O
N =
⋅
r
r
I==
çê==
M
Å
Å
Ä
Ä
~
~ O
N
O
N
O
N =
+
+ K=
=
696. fåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=qïç=iáåÉë=
qïç=äáåÉë=
N
N
N
N
N
N
Å
ò
ò
Ä
ó
ó
~
ñ
ñ −
=
−
=
−
=~åÇ=

179
O
O
O
O
O
O
Å
ò
ò
Ä
ó
ó
~
ñ
ñ −
=
−
=
−
=áåíÉêëÉÅí=áÑ==
M
Å
Ä
~
Å
Ä
~
ò
ò
ó
ó
ñ
ñ
O
O
O
N
N
N
N
O
N
O
N
O
=
−
−
−
K=
=
697. m~ê~ääÉä=iáåÉ=~åÇ=mä~åÉ==
qÜÉ=ëíê~áÖÜí=äáåÉ=
Å
ò
ò
Ä
ó
ó
~
ñ
ñ N
N
N −
=
−
=
−
=~åÇ=íÜÉ=éä~åÉ=
M
a
`ò
_ó
^ñ =
+
+
+ =~êÉ=é~ê~ääÉä=áÑ=
M
ë
å =
⋅
r
r
I==
çê==
M
`Å
_Ä
^~ =
+
+ K=
=
===== =
=
Figure 140.
=
=

180
698. mÉêéÉåÇáÅìä~ê=iáåÉ=~åÇ=mä~åÉ==
qÜÉ=ëíê~áÖÜí=äáåÉ=
Å
ò
ò
Ä
ó
ó
~
ñ
ñ N
N
N −
=
−
=
−
=~åÇ=íÜÉ=éä~åÉ=
M
a
`ò
_ó
^ñ =
+
+
+ =~êÉ=éÉêéÉåÇáÅìä~ê=áÑ=
ë
öö
å
r
r
I==
çê==
Å
`
Ä
_
~
^
=
= K=
=
==== =
=
Figure 141.
=
=
7.11 Quadric Surfaces
=
mçáåí=ÅççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=èì~ÇêáÅ=ëìêÑ~ÅÉëW=ñI=óI=ò=
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=_I=`I=~I=ÄI=ÅI= P
O
N â
I
â
I
â I=£=

181
699. dÉåÉê~ä=nì~Çê~íáÅ=bèì~íáçå=
M
a
oò
O
nó
O
mñ
O
eñó
O
dòñ
O
cóò
O
`ò
_ó
^ñ O
O
O
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
700. `ä~ëëáÑáÅ~íáçå=çÑ=nì~ÇêáÅ=pìêÑ~ÅÉë=
=
`~ëÉ= o~åâEÉF= o~åâEbF= ∆= â=ëáÖåë= qóéÉ=çÑ=pìêÑ~ÅÉ=
N= P= Q= M
< = p~ãÉ= oÉ~ä=bääáéëçáÇ=
O= P= Q= M
> = p~ãÉ= fã~Öáå~êó=bääáéëçáÇ=
P= P= Q= M
> = aáÑÑÉêÉåí= eóéÉêÄçäçáÇ=çÑ=N=pÜÉÉí=
Q= P= Q= M
< = aáÑÑÉêÉåí= eóéÉêÄçäçáÇ=çÑ=O=pÜÉÉíë=
R= P= P= = aáÑÑÉêÉåí= oÉ~ä=nì~ÇêáÅ=`çåÉ=
S= P= P= = p~ãÉ= fã~Öáå~êó=nì~ÇêáÅ=`çåÉ=
T= O= Q= M
< = p~ãÉ= bääáéíáÅ=m~ê~ÄçäçáÇ=
U= O= Q= M
> = aáÑÑÉêÉåí= eóéÉêÄçäáÅ=m~ê~ÄçäçáÇ=
V= O= P= = p~ãÉ= oÉ~ä=bääáéíáÅ=`óäáåÇÉê=
NM= O= P= = p~ãÉ= fã~Öáå~êó=bääáéíáÅ=`óäáåÇÉê=
NN= O= P= = aáÑÑÉêÉåí= eóéÉêÄçäáÅ=`óäáåÇÉê=
NO= O= O= = aáÑÑÉêÉåí= oÉ~ä=fåíÉêëÉÅíáåÖ=mä~åÉë=
NP= O= O= = p~ãÉ= fã~Öáå~êó=fåíÉêëÉÅíáåÖ=mä~åÉë=
NQ= N= P= = = m~ê~ÄçäáÅ=`óäáåÇÉê=
NR= N= O= = = oÉ~ä=m~ê~ääÉä=mä~åÉë=
NS= N= O= = = fã~Öáå~êó=m~ê~ääÉä=mä~åÉë=
NT= N= N= = = `çáåÅáÇÉåí=mä~åÉë=
=
eÉêÉ==










=
`
c
d
c
_
e
d
e
^
É I=














=
a
o
n
m
o
`
c
d
n
c
_
e
m
n
e
^
b I= ( )
b
ÇÉí
=
∆ I==
P
O
N â
I
â
I
â =~êÉ=íÜÉ=êççíë=çÑ=íÜÉ=Éèì~íáçåI==
M
ñ
`
c
d
c
ñ
_
e
d
e
ñ
^
=
−
−
−
K=
=
=

182
701. oÉ~ä=bääáéëçáÇ=E`~ëÉ=NF=
N
Å
ò
Ä
ó
~
ñ
O
O
O
O
O
O
=
+
+ =
=
===== =
=
Figure 142.
=
702. fã~Öáå~êó=bääáéëçáÇ=E`~ëÉ=OF=
N
Å
ò
Ä
ó
~
ñ
O
O
O
O
O
O
−
=
+
+ =
=
703. eóéÉêÄçäçáÇ=çÑ=N=pÜÉÉí=E`~ëÉ=PF=
N
Å
ò
Ä
ó
~
ñ
O
O
O
O
O
O
=
−
+ =
=

183
===== =
=
Figure 143.
=
704. eóéÉêÄçäçáÇ=çÑ=O=pÜÉÉíë=E`~ëÉ=QF=
N
Å
ò
Ä
ó
~
ñ
O
O
O
O
O
O
−
=
−
+ =
=
= =
=
Figure 144.

184
705. oÉ~ä=nì~ÇêáÅ=`çåÉ=E`~ëÉ=RF=
M
Å
ò
Ä
ó
~
ñ
O
O
O
O
O
O
=
−
+ =
=
== =
=
Figure 145.
=
706. fã~Öáå~êó=nì~ÇêáÅ=`çåÉ=E`~ëÉ=SF=
M
Å
ò
Ä
ó
~
ñ
O
O
O
O
O
O
=
+
+ =
=
707. bääáéíáÅ=m~ê~ÄçäçáÇ=E`~ëÉ=TF=
M
ò
Ä
ó
~
ñ
O
O
O
O
=
−
+ =
=

185
====== =
Figure 146.
708. eóéÉêÄçäáÅ=m~ê~ÄçäçáÇ=E`~ëÉ=UF=
M
ò
Ä
ó
~
ñ
O
O
O
O
=
−
− =
==== =
Figure 147.

186
709. oÉ~ä=bääáéíáÅ=`óäáåÇÉê=E`~ëÉ=VF=
N
Ä
ó
~
ñ
O
O
O
O
=
+ =
=
===== =
=
Figure 148.
=
710. fã~Öáå~êó=bääáéíáÅ=`óäáåÇÉê=E`~ëÉ=NMF=
N
Ä
ó
~
ñ
O
O
O
O
−
=
+ =
=
711. eóéÉêÄçäáÅ=`óäáåÇÉê=E`~ëÉ=NNF=
N
Ä
ó
~
ñ
O
O
O
O
=
− =
=

187
====== =
=
Figure 149.
=
712. oÉ~ä=fåíÉêëÉÅíáåÖ=mä~åÉë=E`~ëÉ=NOF=
M
Ä
ó
~
ñ
O
O
O
O
=
− =
=
713. fã~Öáå~êó=fåíÉêëÉÅíáåÖ=mä~åÉë=E`~ëÉ=NPF=
M
Ä
ó
~
ñ
O
O
O
O
=
+ =
=
714. m~ê~ÄçäáÅ=`óäáåÇÉê=E`~ëÉ=NQF=
M
ó
~
ñ
O
O
=
− =
=

188
===== =
=
Figure 150.
=
715. oÉ~ä=m~ê~ääÉä=mä~åÉë=E`~ëÉ=NRF=
N
~
ñ
O
O
= =
=
716. fã~Öáå~êó=m~ê~ääÉä=mä~åÉë=E`~ëÉ=NSF=
N
~
ñ
O
O
−
= =
=
717. `çáåÅáÇÉåí=mä~åÉë=E`~ëÉ=NTF=
M
ñO
= =
=
=
=
=
=

189
7.12 Sphere
=
o~Çáìë=çÑ=~=ëéÜÉêÉW=o=
mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW=ñI=óI=òI= N
ñ I= N
ó I= N
ò I=£=
`ÉåíÉê=çÑ=~=ëéÜÉêÉW=( )
Å
I
Ä
I
~ =
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=^I=aI=bI=cI=j=
=
=
718. bèì~íáçå=çÑ=~=péÜÉêÉ=`ÉåíÉêÉÇ=~í=íÜÉ=lêáÖáå=Epí~åÇ~êÇ=
cçêãF=
O
O
O
O
o
ò
ó
ñ =
+
+ =
=
====== =
=
Figure 151.
=
719. bèì~íáçå=çÑ=~=`áêÅäÉ=`ÉåíÉêÉÇ=~í=^åó=mçáåí=( )
Å
I
Ä
I
~
( ) ( ) ( ) O
O
O
O
o
Å
ò
Ä
ó
~
ñ =
−
+
−
+
−
720. aá~ãÉíÉê=cçêã
( )( ) ( )( ) ( )( ) M
ò
ò
ò
ò
ó
ó
ó
ó
ñ
ñ
ñ
ñ O
N
O
N
O
N =
−
−
+
−
−
+
−
− I==

190
ïÜÉêÉ==
( )
N
N
N
N ò
I
ó
I
ñ
m I= ( )
O
O
O
O ò
I
ó
I
ñ
m =~êÉ=íÜÉ=ÉåÇë=çÑ=~=Çá~ãÉíÉêK==
=
721. cçìê=mçáåí=cçêã=
M
N
ò
ó
ñ
ñ
ó
ñ
N
ò
ó
ñ
ñ
ó
ñ
N
ò
ó
ñ
ñ
ó
ñ
N
ò
ó
ñ
ñ
ó
ñ
N
ò
ó
ñ
ò
ó
ñ
Q
Q
Q
O
Q
O
Q
O
Q
P
P
P
O
P
O
P
O
P
O
O
O
O
O
O
O
O
O
N
N
N
O
N
O
N
O
N
O
O
O
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
M
j
cò
bó
añ
^ò
^ó
^ñ O
O
O
=
+
+
+
+
+
+ =E^=áë=åçåòÉêçFK==
qÜÉ=ÅÉåíÉê=çÑ=íÜÉ=ëéÜÉêÉ=Ü~ë=ÅççêÇáå~íÉë=( )
Å
I
Ä
I
~ I=ïÜÉêÉ==
^
O
a
~ −
= I=
^
O
b
Ä −
= I=
^
O
c
Å −
= K=
qÜÉ=ê~Çáìë=çÑ=íÜÉ=ëéÜÉêÉ=áë
^
O
j
^
Q
c
b
a
o
O
O
O
O
−
+
+
= K
=
=

191
Chapter 8
Differential Calculus
=
=
=
=
cìåÅíáçåëW=ÑI=ÖI=óI=ìI=î=
^êÖìãÉåí=EáåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉFW=ñ=
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=ÅI=Ç=
^åÖäÉW=α=
fåîÉêëÉ=ÑìåÅíáçåW= N
Ñ −
=
=
=
8.1 Functions and Their Graphs
=
723. bîÉå=cìåÅíáçå=
( ) ( )
ñ
Ñ
ñ
Ñ =
− =
=
724. lÇÇ=cìåÅíáçå=
( ) ( )
ñ
Ñ
ñ
Ñ −
=
− =
=
725. mÉêáçÇáÅ=cìåÅíáçå=
( ) ( )
ñ
Ñ
åq
ñ
Ñ =
+ =
=
726. fåîÉêëÉ=cìåÅíáçå=
( )
ñ
Ñ
ó = =áë=~åó=ÑìåÅíáçåI= ( )
ó
Ö
ñ = =çê= ( )
ñ
Ñ
ó N
−
= =áë=áíë=áåîÉêëÉ=
ÑìåÅíáçåK==
=

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
192
===== =
=
Figure 152.
=
727. `çãéçëáíÉ=cìåÅíáçå=
( )
ì
Ñ
ó = I= ( )
ñ
Ö
ì = I= ( )
( )
ñ
Ö
Ñ
ó = =áë=~=ÅçãéçëáíÉ=ÑìåÅíáçåK=
=
728. iáåÉ~ê=cìåÅíáçå=
Ä
~ñ
ó +
= I== o
ñ∈ I== α
= í~å
~ ==áë=íÜÉ=ëäçéÉ=çÑ=íÜÉ=äáåÉI==Ä==áë=
íÜÉ=ó-áåíÉêÅÉéíK=
=

193
====== =
=
Figure 153.
=
729. nì~Çê~íáÅ=cìåÅíáçå==
O
ñ
ó = I= o
ñ∈ K=
=
====== =
=
Figure 154.
=

194
730. Å
Äñ
~ñ
ó O
+
+
= I= o
ñ∈ K=
=
=== =
=
Figure 155.
=
731. `ìÄáÅ=cìåÅíáçå==
P
ñ
ó = I= o
ñ∈ K=
=

195
= =
=
Figure 156.
=
732. Ç
Åñ
Äñ
~ñ
ó O
P
+
+
+
= I= o
ñ∈ K=
=

196
== =
=
Figure 157.
=
733. mçïÉê=cìåÅíáçå==
å
ñ
ó = I= k
å∈ K=
=

197
====== =
Figure 158.
=
=
Figure 159.
=

198
734. pèì~êÉ=oççí=cìåÅíáçå==
ñ
ó = I= [ )
∞
∈ I
M
ñ K=
=
======= =
Figure 160.
=
735. bñéçåÉåíá~ä=cìåÅíáçåë=
ñ
~
ó = I= M
~ > I= N
~ ≠ I=
ñ
É
ó = =áÑ= É
~ = I= K
S
TNUOUNUOUQ
K
O
É = =
=
= =
=
Figure 161.

199
736. içÖ~êáíÜãáÅ=cìåÅíáçåë=
ñ
äçÖ
ó ~
= I= ( )
∞
∈ I
M
ñ I= M
~ > I= N
~ ≠ I=
ñ
äå
ó = =áÑ= É
~ = I= M
ñ > K=
=
=
=
Figure 162.
=
737. eóéÉêÄçäáÅ=páåÉ=cìåÅíáçå==
ñ
ëáåÜ
ó = I=
O
É
É
ñ
ëáåÜ
ñ
ñ −
−
= I= o
ñ∈ K=
=

200
==== =
=
Figure 163.
=
738. eóéÉêÄçäáÅ=`çëáåÉ=cìåÅíáçå==
ñ
Ü
Åçë
ó = I=
O
É
É
ñ
Ü
Åçë
ñ
ñ −
+
= I= o
ñ∈ K=
====== =
=
Figure 164.

201
739. eóéÉêÄçäáÅ=q~åÖÉåí=cìåÅíáçå==
ñ
í~åÜ
ó = I= ñ
ñ
ñ
ñ
É
É
É
É
ñ
ÅçëÜ
ñ
ëáåÜ
ñ
í~åÜ
ó −
−
+
−
=
=
= I= o
ñ∈ K=
=
====== =
=
Figure 165.
=
740. eóéÉêÄçäáÅ=`çí~åÖÉåí=cìåÅíáçå==
ñ
Ü
Åçí
ó = I= ñ
ñ
ñ
ñ
É
É
É
É
ñ
ëáåÜ
ñ
ÅçëÜ
ñ
Ü
Åçí
ó −
−
−
+
=
=
= I= o
ñ∈ I= M
ñ ≠ K=
=

202
====== =
=
Figure 166.
=
741. eóéÉêÄçäáÅ=pÉÅ~åí=cìåÅíáçå==
ñ
Ü
ëÉÅ
ó = I= ñ
ñ
É
É
O
ñ
ÅçëÜ
N
ñ
Ü
ëÉÅ
ó −
+
=
=
= I= o
ñ∈ K=
=
Figure 167.

203
742. eóéÉêÄçäáÅ=`çëÉÅ~åí=cìåÅíáçå==
ñ
ÅëÅÜ
ó = I= ñ
ñ
É
É
O
ñ
ëáåÜ
N
ñ
ÅëÅÜ
ó −
−
=
=
= I= o
ñ∈ I= M
ñ ≠ K=
=
====== =
=
Figure 168.
=
743. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=páåÉ=cìåÅíáçå==
ñ
~êÅëáåÜ
ó = I= o
ñ∈ K=
=

204
===== =
=
Figure 169.
=
744. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=`çëáåÉ=cìåÅíáçå==
ñ
~êÅÅçëÜ
ó = I= [ )
∞
∈ I
N
ñ K=
=
===== =
=
Figure 170.
=
745. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=q~åÖÉåí=cìåÅíáçå==
ñ
~êÅí~åÜ
ó = I= ( )
N
I
N
ñ −
∈ K=
=

205
===== =
=
Figure 171.
=
746. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=`çí~åÖÉåí=cìåÅíáçå==
ñ
~êÅÅçíÜ
ó = I= ( ) ( )
∞
∪
−
∞
−
∈ I
N
N
I
ñ K==
=

206
===== =
=
Figure 172.
=
747. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=pÉÅ~åí=cìåÅíáçå==
ñ
~êÅëÉÅÜ
ó = I= ( ]
N
I
M
ñ∈ K=
=

207
=
Figure 173.
=
748. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=`çëÉÅ~åí=cìåÅíáçå==
ñ
~êÅÅëÅÜ
ó = I= o
ñ∈ I= M
ñ ≠ K==
=
Figure 174.
=

208
8.2 Limits of Functions
=
cìåÅíáçåëW= ( )
ñ
Ñ I= ( )
ñ
Ö =
^êÖìãÉåíW=ñ=
oÉ~ä=Åçåëí~åíëW=~I=â=
=
=
749. ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
ñ
Ö
äáã
ñ
Ñ
äáã
ñ
Ö
ñ
Ñ
äáã
~
ñ
~
ñ
~
ñ →
→
→
+
=
+ =
=
750. ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
ñ
Ö
äáã
ñ
Ñ
äáã
ñ
Ö
ñ
Ñ
äáã
~
ñ
~
ñ
~
ñ →
→
→
−
=
− =
=
751. ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
ñ
Ö
äáã
ñ
Ñ
äáã
ñ
Ö
ñ
Ñ
äáã
~
ñ
~
ñ
~
ñ →
→
→
⋅
=
⋅ =
=
752.
( )
( )
( )
( )
ñ
Ö
äáã
ñ
Ñ
äáã
ñ
Ö
ñ
Ñ
äáã
~
ñ
~
ñ
~
ñ
→
→
→
= I=áÑ= ( ) M
ñ
Ö
äáã
~
ñ
≠
→
K=
=
753. ( )
[ ] ( )
ñ
Ñ
äáã
â
ñ
âÑ
äáã
~
ñ
~
ñ →
→
= =
=
754. ( )
( ) ( )
( )
ñ
Ö
äáã
Ñ
ñ
Ö
Ñ
äáã
~
ñ
~
ñ →
→
= =
=
755. ( ) ( )
~
Ñ
ñ
Ñ
äáã
~
ñ
=
→
I=áÑ=íÜÉ=ÑìåÅíáçå= ( )
ñ
Ñ =áë=Åçåíáåìçìë=~í= ~
ñ = K=
=
756. N
ñ
ñ
ëáå
äáã
M
ñ
=
→
=
=
757. N
ñ
ñ
í~å
äáã
M
ñ
=
→
=
=
758. N
ñ
ñ
ëáå
äáã
N
M
ñ
=
−
→
=

209
759. N
ñ
ñ
í~å
äáã
N
M
ñ
=
−
→
=
=
760.
( ) N
ñ
ñ
N
äå
äáã
M
ñ
=
+
→
=
=
761. É
ñ
N
N
äáã
ñ
ñ
=






+
∞
→
=
=
762. â
ñ
ñ
É
ñ
â
N
äáã =






+
∞
→
=
=
763. N
~
äáã ñ
M
ñ
=
→
=
=
=
=
8.3 Definition and Properties of the Derivative
=
cìåÅíáçåëW=ÑI=ÖI=óI=ìI=î=
fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ=
oÉ~ä=Åçåëí~åíW=â=
^åÖäÉW=α=
=
=
764. ( ) ( ) ( )
Çñ
Çó
ñ
ó
äáã
ñ
ñ
Ñ
ñ
ñ
Ñ
äáã
ñ
ó
M
ñ
M
ñ
=
∆
∆
=
∆
−
∆
+
=
′
→
∆
→
∆
==
=

210
== =
=
Figure 175.
=
765. α
= í~å
Çñ
Çó
==
=
766.
( )
Çñ
Çî
Çñ
Çì
Çñ
î
ì
Ç
+
=
+
=
=
767.
( )
Çñ
Çî
Çñ
Çì
Çñ
î
ì
Ç
−
=
−
=
=
768.
( )
Çñ
Çì
â
Çñ
âì
Ç
= =
=
769. mêçÇìÅí=oìäÉ=
( )
Çñ
Çî
ì
î
Çñ
Çì
Çñ
î
ì
Ç
⋅
+
⋅
=
⋅
==
=
=

211
770. nìçíáÉåí=oìäÉ=
O
î
Çñ
Çî
ì
î
Çñ
Çì
î
ì
Çñ
Ç
⋅
−
⋅
=






=
=
771. `Ü~áå=oìäÉ=
( )
( )
ñ
Ö
Ñ
ó = I= ( )
ñ
Ö
ì = I==
Çñ
Çì
Çì
Çó
Çñ
Çó
⋅
= K=
=
772. aÉêáî~íáîÉ=çÑ=fåîÉêëÉ=cìåÅíáçå=
Çó
Çñ
N
Çñ
Çó
= I==
ïÜÉêÉ= ( )
ó
ñ áë=íÜÉ=áåîÉêëÉ=ÑìåÅíáçå=çÑ= ( )
ñ
ó K==
=
773. oÉÅáéêçÅ~ä=oìäÉ=
O
ó
Çñ
Çó
ó
N
Çñ
Ç
−
=








=
=
774. içÖ~êáíÜãáÅ=aáÑÑÉêÉåíá~íáçå=
( )
ñ
Ñ
ó = I= ( )
ñ
Ñ
äå
ó
äå = I==
( ) ( )
[ ]
ñ
Ñ
äå
Çñ
Ç
ñ
Ñ
Çñ
Çó
⋅
= K=
=
=
8.4 Table of Derivatives
=
oÉ~ä=Åçåëí~åíëW=`I=~I=ÄI=Å=

212
775. ( ) M
`
Çñ
Ç
= =
=
776. ( ) N
ñ
Çñ
Ç
= =
=
777. ( ) ~
Ä
~ñ
Çñ
Ç
=
+ =
=
778. ( ) Ä
~ñ
Å
Äñ
~ñ
Çñ
Ç O
+
=
+
+ =
=
779. ( ) N
å
å
åñ
ñ
Çñ
Ç −
= =
=
780. ( ) N
å
å
ñ
å
ñ
Çñ
Ç
+
−
−
= =
=
781. O
ñ
N
ñ
N
Çñ
Ç
−
=






=
=
782. ( ) ñ
O
N
ñ
Çñ
Ç
= =
=
783. ( ) å N
å
å
ñ
å
N
ñ
Çñ
Ç
−
= =
=
784. ( )
ñ
N
ñ
äå
Çñ
Ç
= =
=
785. ( )
~
äå
ñ
N
ñ
äçÖ
Çñ
Ç
~ = I= M
~ > I= N
~ ≠ K=
=

213
786. ( ) ~
äå
~
~
Çñ
Ç ñ
ñ
= I= M
~ > I= N
~ ≠ K=
=
787. ( ) ñ
ñ
É
É
Çñ
Ç
= =
=
788. ( ) ñ
Åçë
ñ
ëáå
Çñ
Ç
= =
=
789. ( ) ñ
ëáå
ñ
Åçë
Çñ
Ç
−
= =
=
790. ( ) ñ
ëÉÅ
ñ
Åçë
N
ñ
í~å
Çñ
Ç O
O
=
= =
=
791. ( ) ñ
ÅëÅ
ñ
ëáå
N
ñ
Åçí
Çñ
Ç O
O
−
=
−
= =
=
792. ( ) ñ
ëÉÅ
ñ
í~å
ñ
ëÉÅ
Çñ
Ç
⋅
= =
=
793. ( ) ñ
ÅëÅ
ñ
Åçí
ñ
ÅëÅ
Çñ
Ç
⋅
−
= =
=
794. ( ) O
ñ
N
N
ñ
~êÅëáå
Çñ
Ç
−
= =
=
795. ( ) O
ñ
N
N
ñ
~êÅÅçë
Çñ
Ç
−
−
= =
=
796. ( ) O
ñ
N
N
ñ
~êÅí~å
Çñ
Ç
+
= =
=

214
797. ( ) O
ñ
N
N
ñ
Åçí
~êÅ
Çñ
Ç
+
−
= =
=
798. ( )
N
ñ
ñ
N
ñ
ëÉÅ
~êÅ
Çñ
Ç
O
−
= =
=
799. ( )
N
ñ
ñ
N
ñ
ÅëÅ
~êÅ
Çñ
Ç
O
−
−
= =
=
800. ( ) ñ
ÅçëÜ
ñ
ëáåÜ
Çñ
Ç
= =
=
801. ( ) ñ
ëáåÜ
ñ
ÅçëÜ
Çñ
Ç
= =
=
802. ( ) ñ
ëÉÅÜ
ñ
ÅçëÜ
N
ñ
í~åÜ
Çñ
Ç O
O
=
= =
=
803. ( ) ñ
ÅëÅÜ
ñ
ëáåÜ
N
ñ
ÅçíÜ
Çñ
Ç O
O
−
=
−
= =
=
804. ( ) ñ
í~åÜ
ñ
ëÉÅÜ
ñ
ëÉÅÜ
Çñ
Ç
⋅
−
= =
=
805. ( ) ñ
ÅçíÜ
ñ
ÅëÅÜ
ñ
ÅëÅÜ
Çñ
Ç
⋅
−
= =
=
806. ( )
N
ñ
N
ñ
=
~êÅëáåÜ
Çñ
Ç
O
+
= =
=
807. ( )
N
ñ
N
ñ
=
~êÅÅçëÜ
Çñ
Ç
O
−
= =

215
808. ( ) O
ñ
N
N
ñ
=
~êÅí~åÜ
Çñ
Ç
−
= I= N
ñ < K=
=
809. ( )
N
ñ
N
ñ
=
~êÅÅçíÜ
Çñ
Ç
O
−
−
= I= N
ñ > K=
=
810. ( ) Çñ
Çî
ì
äå
ì
Çñ
Çì
îì
ì
Çñ
Ç î
N
î
î
⋅
+
⋅
= −
=
=
=
=
8.5 Higher Order Derivatives
=
cìåÅíáçåëW=ÑI=óI=ìI=î=
=
=
811. pÉÅçåÇ=ÇÉêáî~íáîÉ=
( ) O
O
Çñ
ó
Ç
Çñ
Çó
Çñ
Ç
Çñ
Çó
Ñ
Ñ =






=
′






=
′
′
=
′
′ =
=
812. eáÖÜÉê-lêÇÉê=ÇÉêáî~íáîÉ=
( ) ( ) ( )
( )′
=
=
= −N
å
å
å
å
å
Ñ
ó
Çñ
ó
Ç
Ñ =
=
813. ( )( ) ( ) ( )
å
å
å
î
ì
î
ì +
=
+ =
=
814. ( )( ) ( ) ( )
å
å
å
î
ì
î
ì −
=
− =
=
815. iÉáÄåáíò∞ë=cçêãìä~ë=
( ) î
ì
î
ì
O
î
ì
ìî ′
′
+
′
′
+
′
′
=
′′
=

216
( ) î
ì
î
ì
P
î
ì
P
î
ì
ìî ′
′
′
+
′
′
′
+
′
′
′
+
′
′
′
=
′′′
=
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
å
O
å
N
å
å
å
ìî
î
ì
O
N
N
å
å
î
åì
î
ì
ìî +
+
′
′
⋅
−
+
′
+
= −
−
K =
=
816. ( )( )
( )
å
ã
å
ã
ñ
>
å
ã
>
ã
ñ −
−
= =
=
817. ( )( )
>
å
ñ
å
å
= =
=
818. ( )( ) ( ) ( )
~
äå
ñ
>
N
å
N
ñ
äçÖ å
N
å
å
~
−
−
=
−
=
=
819. ( )( ) ( ) ( )
å
N
å
å
ñ
>
N
å
N
ñ
äå
−
−
=
−
=
=
820. ( )( )
~
äå
~
~ å
ñ
å
ñ
= =
=
821. ( )( ) ñ
å
ñ
É
É = =
=
822. ( )( )
~
äå
~
ã
~ å
ãñ
å
å
ãñ
= =
=
823. ( )( )





 π
+
=
O
å
ñ
ëáå
ñ
ëáå
å
=
=
824. ( )( )





 π
+
=
O
å
ñ
Åçë
ñ
Åçë
å
=
=
=
=

217
8.6 Applications of Derivative
=
cìåÅíáçåëW=ÑI=ÖI=ó=
mçëáíáçå=çÑ=~å=çÄàÉÅíW=ë==
sÉäçÅáíóW=î=
^ÅÅÉäÉê~íáçåW=ï=
qáãÉW=í=
=
=
825. sÉäçÅáíó=~åÇ=^ÅÅÉäÉê~íáçå=
( )
í
Ñ
ë = =áë=íÜÉ=éçëáíáçå=çÑ=~å=çÄàÉÅí=êÉä~íáîÉ=íç=~=ÑáñÉÇ=
ÅççêÇáå~íÉ=ëóëíÉã=~í=~=íáãÉ=íI==
( )
í
Ñ
ë
î ′
=
′
= =áë=íÜÉ=áåëí~åí~åÉçìë=îÉäçÅáíó=çÑ=íÜÉ=çÄàÉÅíI=
( )
í
Ñ
ë
î
ï ′
′
=
′
′
=
′
= =áë=íÜÉ=áåëí~åí~åÉçìë=~ÅÅÉäÉê~íáçå=çÑ=
íÜÉ=çÄàÉÅíK==
=
826. q~åÖÉåí=iáåÉ=
( )( )
M
M
M ñ
ñ
ñ
Ñ
ó
ó −
′
=
− =
=

218
=
=
Figure 176.
=
827. kçêã~ä=iáåÉ=
( )
( )
M
M
M ñ
ñ
ñ
Ñ
N
ó
ó −
′
−
=
− =EcáÖ=NTSF=
=
828. fåÅêÉ~ëáåÖ=~åÇ=aÉÅêÉ~ëáåÖ=cìåÅíáçåëK==
fÑ= ( ) M
ñ
Ñ M >
′ I=íÜÉå=ÑEñF=áë=áåÅêÉ~ëáåÖ=~í= M
ñ K=EcáÖ=NTTI= N
ñ
ñ < I=
ñ
ñO < FI=
fÑ= ( ) M
ñ
Ñ M <
′ I=íÜÉå=ÑEñF=áë=ÇÉÅêÉ~ëáåÖ=~í= M
ñ K=EcáÖ=NTTI=
O
N ñ
ñ
ñ <
< FI=
fÑ= ( )
M
ñ
Ñ′ =ÇçÉë=åçí=Éñáëí=çê=áë=òÉêçI=íÜÉå=íÜÉ=íÉëí=Ñ~áäëK==
=

219
=
=
Figure 177.
=
829. içÅ~ä=ÉñíêÉã~=
^=ÑìåÅíáçå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ã~ñáãìã=~í= N
ñ =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ=
íÜÉêÉ=Éñáëíë=ëçãÉ=áåíÉêî~ä=Åçåí~áåáåÖ= N
ñ =ëìÅÜ=íÜ~í=
( ) ( )
ñ
Ñ
ñ
Ñ N ≥ =Ñçê=~ää=ñ=áå=íÜÉ=áåíÉêî~ä=EcáÖKNTTFK==
=
^=ÑìåÅíáçå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=~í= O
ñ =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ=
íÜÉêÉ=Éñáëíë=ëçãÉ=áåíÉêî~ä=Åçåí~áåáåÖ= O
( ) ( )
ñ
Ñ
ñ
Ñ O ≤ =Ñçê=~ää=ñ=áå=íÜÉ=áåíÉêî~ä=EcáÖKNTTFK=
=
830. `êáíáÅ~ä=mçáåíë=
^=ÅêáíáÅ~ä=éçáåí=çå=ÑEñF=çÅÅìêë=~í= M
ñ =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ=ÉáíÜÉê=
( )
M
ñ
Ñ′ =áë=òÉêç=çê=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉ=ÇçÉëå∞í=ÉñáëíK=
=
831. cáêëí=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=içÅ~ä=bñíêÉã~K=
fÑ=ÑEñF=áë==áåÅêÉ~ëáåÖ==E ( ) M
ñ
Ñ >
′ F=Ñçê==~ää==ñ==áå==ëçãÉ==áåíÉêî~ä=
( ]
N
ñ
I
~ ==~åÇ==ÑEñF==áë==ÇÉÅêÉ~ëáåÖ==E ( ) M
ñ
Ñ <
′ F==Ñçê=~ää==ñ=áå=ëçãÉ=
áåíÉêî~ä== [ )
Ä
I
ñN I==íÜÉå=ÑEñF=Ü~ë=~==äçÅ~ä=ã~ñáãìã==~í== N
ñ =
EcáÖKNTTFK==

220
832. fÑ=ÑEñF=áë=ÇÉÅêÉ~ëáåÖ=E ( ) M
ñ
Ñ <
′ F=Ñçê=~ää=ñ=áå=ëçãÉ=áåíÉêî~ä=
( ]
O
ñ
I
~ =~åÇ=ÑEñF=áë=áåÅêÉ~ëáåÖ=E ( ) M
ñ
Ñ >
′ F=Ñçê=~ää=ñ=áå=ëçãÉ=
áåíÉêî~ä=[ )
Ä
I
ñO I=íÜÉå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=~í= O
ñ K==
EcáÖKNTTFK=
=
833. pÉÅçåÇ=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=içÅ~ä=bñíêÉã~K=
fÑ= ( ) M
ñ
Ñ N =
′ =~åÇ= ( ) M
ñ
Ñ N <
′
′ I=íÜÉå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ã~ñáãìã=
~í== N
ñ K=
fÑ= ( ) M
ñ
Ñ O =
′ =~åÇ= ( ) M
ñ
Ñ O >
′
′ I=íÜÉå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=
~í= O
ñ K=EcáÖKNTTF=
=
834. `çåÅ~îáíóK==
ÑEñF=áë==ÅçåÅ~îÉ=ìéï~êÇ=~í== M
ñ ==áÑ==~åÇ==çåäó==áÑ== ( )
ñ
Ñ′ =áë============
áåÅêÉ~ëáåÖ=~í= M
ñ =EcáÖKNTTI= ñ
ñP < FK===
ÑEñF=áë==ÅçåÅ~îÉ==Ççïåï~êÇ=~í== M
ñ ==áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ== ( )
ñ
Ñ′ ==áë===============
ÇÉÅêÉ~ëáåÖ=~í= M
ñ K=EcáÖKNTTI= P
ñ
ñ < FK===
=
835. pÉÅçåÇ=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=`çåÅ~îáíóK==
fÑ= ( ) M
ñ
Ñ M >
′
′ I=íÜÉå=ÑEñF=áë=ÅçåÅ~îÉ=ìéï~êÇ=~í= M
ñ K==
fÑ= ( ) M
ñ
Ñ M <
′
′ I=íÜÉå=ÑEñF=áë=ÅçåÅ~îÉ=Ççïåï~êÇ=~í= M
ñ K=
fÑ= ( )
ñ
Ñ ′
′ =ÇçÉë=åçí=Éñáëí=çê=áë=òÉêçI=íÜÉå=íÜÉ=íÉëí=Ñ~áäëK=
=
836. fåÑäÉÅíáçå=mçáåíë=
fÑ== ( )
P
ñ
Ñ′ ==Éñáëíë==~åÇ== ( )
ñ
Ñ ′
′ ==ÅÜ~åÖÉë=ëáÖå=~í= P
ñ
ñ = I==íÜÉå=
íÜÉ=éçáåí= ( )
( )
P
P ñ
Ñ
I
ñ =áë=~å=áåÑäÉÅíáçå=éçáåí=çÑ=íÜÉ=Öê~éÜ=çÑ=
( )
ñ
Ñ K=fÑ= ( )
P
ñ
Ñ ′
′ =Éñáëíë=~í=íÜÉ=áåÑäÉÅíáçå=éçáåíI=íÜÉå= ( ) M
ñ
Ñ P =
′
′ =
EcáÖKNTTFK=
=
837. i∞eçéáí~ä∞ë=oìäÉ=
( )
( )
( )
( )
ñ
Ö
ñ
Ñ
äáã
ñ
Ö
ñ
Ñ
äáã
Å
ñ
Å
ñ ′
′
=
→
→
=áÑ= ( ) ( )



∞
=
=
→
→
M
ñ
Ö
äáã
ñ
Ñ
äáã
Å
ñ
Å
ñ
K==
=

221
8.7 Differential
=
cìåÅíáçåëW=ÑI=ìI=î=
aÉêáî~íáîÉ=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= ( )
ñ
ó′ I= ( )
ñ
Ñ′ =
oÉ~ä=Åçåëí~åíW=`=
aáÑÑÉêÉåíá~ä=çÑ=ÑìåÅíáçå= ( )
ñ
Ñ
ó = W=Çó=
aáÑÑÉêÉåíá~ä=çÑ=ñW=Çñ=
pã~ää=ÅÜ~åÖÉ=áå=ñW= ñ
∆ =
pã~ää=ÅÜ~åÖÉ=áå=óW= ó
∆ =
=
=
838. Çñ
ó
Çó ′
= =
=
839. ( ) ( ) ( ) ñ
ñ
Ñ
ñ
Ñ
ñ
ñ
Ñ ∆
′
+
=
∆
+ =
=
=
=
Figure 178.

222
840. pã~ää=`Ü~åÖÉ=áå=ó=
( ) ( )
ñ
Ñ
ñ
ñ
Ñ
ó −
∆
+
=
∆ =
=
841. ( ) Çî
Çì
î
ì
Ç +
=
+ =
=
842. ( ) Çî
Çì
î
ì
Ç −
=
− =
=
843. ( ) `Çì
`ì
Ç = =
=
844. ( ) ìÇî
îÇì
ìî
Ç +
= =
=
845. O
î
ìÇî
îÇì
î
ì
Ç
−
=






=
=
=
=
8.8 Multivariable Functions
=
cìåÅíáçåë=çÑ=íïç=î~êá~ÄäÉëW= ( )
ó
I
ñ
ò I= ( )
ó
I
ñ
Ñ I= ( )
ó
I
ñ
Ö I= ( )
ó
I
ñ
Ü ==
^êÖìãÉåíëW=ñI=óI=í=
pã~ää=ÅÜ~åÖÉë=áå=ñI=óI=òI=êÉëéÉÅíáîÉäóW= ñ
∆ I= ó
∆ I= ò
∆ K=
=
=
846. cáêëí=lêÇÉê=m~êíá~ä=aÉêáî~íáîÉë=
qÜÉ=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉ=ïáíÜ=êÉëéÉÅí=íç=ñ=
ñ
Ñ
ñ
Ñ
=
∂
∂
=E~äëç= ñ
ò
ñ
ò
=
∂
∂
FI=
qÜÉ=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉ=ïáíÜ=êÉëéÉÅí=íç=ó=
ó
Ñ
ó
Ñ
=
∂
∂
=E~äëç= ó
ò
ó
ò
=
∂
∂
FK=
=
=

223
847. pÉÅçåÇ=lêÇÉê=m~êíá~ä=aÉêáî~íáîÉë=
ññ
O
O
Ñ
ñ
Ñ
ñ
Ñ
ñ
=
∂
∂
=






∂
∂
∂
∂
I==
óó
O
O
Ñ
ó
Ñ
ó
Ñ
ó
=
∂
∂
=








∂
∂
∂
∂
I==
ñó
O
Ñ
ñ
ó
Ñ
ñ
Ñ
ó
=
∂
∂
∂
=






∂
∂
∂
∂
I==
óñ
O
Ñ
ó
ñ
Ñ
ó
Ñ
ñ
=
∂
∂
∂
=








∂
∂
∂
∂
K==
fÑ=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉë=~êÉ=ÅçåíáåìçìëI=íÜÉå==
ó
ñ
Ñ
ñ
ó
Ñ O
O
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
K==
=
848. `Ü~áå=oìäÉë==
fÑ= ( ) ( )
( )
ó
I
ñ
Ü
Ö
ó
I
ñ
Ñ = =EÖ=áë=~=ÑìåÅíáçå=çÑ=çåÉ=î~êá~ÄäÉ=ÜFI=íÜÉå==
( )
( )
ñ
Ü
ó
I
ñ
Ü
Ö
ñ
Ñ
∂
∂
′
=
∂
∂
I= ( )
( )
ó
Ü
ó
I
ñ
Ü
Ö
ó
Ñ
∂
∂
′
=
∂
∂
K==
=
fÑ= ( ) ( ) ( )
( )
í
ó
I
í
ñ
Ñ
í
Ü = I=íÜÉå= ( )
Çí
Çó
ó
Ñ
Çí
Çñ
ñ
Ñ
í
Ü
∂
∂
+
∂
∂
=
′ K==
=
fÑ= ( ) ( )
( )
î
I
ì
ó
I
î
I
ì
ñ
Ñ
ò = I=íÜÉå==
ì
ó
ó
Ñ
ì
ñ
ñ
Ñ
ì
ò
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
I=
î
ó
ó
Ñ
î
ñ
ñ
Ñ
î
ò
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
K==
=
849. pã~ää=`Ü~åÖÉë=
ó
ó
Ñ
ñ
ñ
Ñ
ò ∆
∂
∂
+
∆
∂
∂
≈
∆ =
=
=

224
850. içÅ~ä=j~ñáã~=~åÇ=jáåáã~=
( )
ó
I
ñ
Ñ =Ü~ë=~=äçÅ~ä=ã~ñáãìã=~í=( )
M
M ó
I
ñ =áÑ= ( ) ( )
M
M ó
I
ñ
Ñ
ó
I
ñ
Ñ ≤ =
Ñçê=~ää=( )
ó
I
ñ =ëìÑÑáÅáÉåíäó=ÅäçëÉ=íç=( )
M
M ó
I
ñ K==
=
( )
ó
I
ñ
Ñ =Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=~í=( )
M
M ó
I
ñ =áÑ= ( ) ( )
M
M ó
I
ñ
Ñ
ó
I
ñ
Ñ ≥ =
Ñçê=~ää=( )
ó
I
ñ =ëìÑÑáÅáÉåíäó=ÅäçëÉ=íç=( )
M
M ó
I
ñ K=
=
851. pí~íáçå~êó=mçáåíë=
M
ó
Ñ
ñ
Ñ
=
∂
∂
=
∂
∂
K=
içÅ~ä=ã~ñáã~=~åÇ=äçÅ~ä=ãáåáã~=çÅÅìê=~í=ëí~íáçå~êó=éçáåíëK=
==
852. p~ÇÇäÉ=mçáåí=
^=ëí~íáçå~êó==éçáåí==ïÜáÅÜ==áë==åÉáíÜÉê==~==äçÅ~ä==ã~ñáãìã=
åçê=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=
=
853. pÉÅçåÇ=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=pí~íáçå~êó=mçáåíë=
iÉí=( )
M
M ó
I
ñ =ÄÉ=~=ëí~íáçå~êó=éçáåí=E M
ó
Ñ
ñ
Ñ
=
∂
∂
=
∂
∂
FK==
( ) ( )
( ) ( )
M
M
óó
M
M
óñ
M
M
ñó
M
M
ññ
ó
I
ñ
Ñ
ó
I
ñ
Ñ
ó
I
ñ
Ñ
ó
I
ñ
Ñ
a = K==
=
fÑ= M
a > I= ( ) M
ó
I
ñ
Ñ M
M
ññ > I==( )
M
M ó
I
ñ ==áë=~=éçáåí=çÑ=äçÅ~ä=ãáåáã~K=
fÑ= M
a > I= ( ) M
ó
I
ñ
Ñ M
M
ññ < I==( )
M
M ó
I
ñ ==áë=~=éçáåí=çÑ=äçÅ~ä=ã~ñáã~K=
fÑ= M
a< I=( )
M
M ó
I
ñ =áë=~=ë~ÇÇäÉ=éçáåíK=
fÑ= M
a = I=íÜÉ=íÉëí=Ñ~áäëK=
=
854. q~åÖÉåí=mä~åÉ=
qÜÉ=Éèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=í~åÖÉåí=éä~åÉ=íç=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ= ( )
ó
I
ñ
Ñ
ò = =
~í=( )
M
M
M ò
I
ó
I
ñ =áë==
( )( ) ( )( )
M
M
M
ó
M
M
M
ñ
M ó
ó
ó
I
ñ
Ñ
ñ
ñ
ó
I
ñ
Ñ
ò
ò −
+
−
=
− K=
=

225
855. kçêã~ä=íç=pìêÑ~ÅÉ=
qÜÉ=Éèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=åçêã~ä=íç=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ= ( )
ó
I
ñ
Ñ
ò = =~í=
( )
M
M
M ò
I
ó
I
ñ =áë==
( ) ( ) N
ò
ò
ó
I
ñ
Ñ
ó
ó
ó
I
ñ
Ñ
ñ
ñ M
M
M
ó
M
M
M
ñ
M
−
−
=
−
=
−
K=
=
=
=
8.9 Differential Operators
=
råáí=îÉÅíçêë=~äçåÖ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉ=~ñÉëW= á
r
I= à
r
I= â
r
=
pÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçåë=EëÅ~ä~ê=ÑáÉäÇëFW= ( )
ò
I
ó
I
ñ
Ñ I= ( )
å
O
N ñ
I
I
ñ
I
ñ
ì K =
dê~ÇáÉåí=çÑ=~=ëÅ~ä~ê=ÑáÉäÇW= ì
Öê~Ç I= ì
∇ =
aáêÉÅíáçå~ä=ÇÉêáî~íáîÉW=
ä
Ñ
∂
∂
=
sÉÅíçê=ÑìåÅíáçå=EîÉÅíçê=ÑáÉäÇFW= ( )
o
I
n
I
m
c
r
=
aáîÉêÖÉåÅÉ=çÑ=~=îÉÅíçê=ÑáÉäÇW= c
Çáî
r
I= c
r
⋅
∇ =
`ìêä=çÑ=~=îÉÅíçê=ÑáÉäÇW= c
Åìêä
r
I= c
r
×
∇ =
i~éä~Åá~å=çéÉê~íçêW= O
∇ =
=
=
856. dê~ÇáÉåí=çÑ=~=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå=








∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∇
=
ò
Ñ
I
ó
Ñ
I
ñ
Ñ
Ñ
Ñ
Öê~Ç I==








∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∇
=
å
O
N ñ
ì
I
I
ñ
ì
I
ñ
ì
ì
ì
Öê~Ç K K=
=
857. aáêÉÅíáçå~ä=aÉêáî~íáîÉ=
γ
∂
∂
+
β
∂
∂
+
α
∂
∂
=
∂
∂
Åçë
ò
Ñ
Åçë
ó
Ñ
Åçë
ñ
Ñ
ä
Ñ
I==

226
ïÜÉêÉ=íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå=áë=ÇÉÑáåÉÇ=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê=
( )
γ
β
α Åçë
I
Åçë
I
Åçë
ä
r
I= N
Åçë
Åçë
Åçë O
O
O
=
γ
+
β
+
α K==
=
858. aáîÉêÖÉåÅÉ=çÑ=~=sÉÅíçê=cáÉäÇ=
ò
o
ó
n
ñ
m
c
c
Çáî
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
⋅
∇
=
r
r
=
=
859. `ìêä=çÑ=~=sÉÅíçê=cáÉäÇ=
o
n
m
ñ
ñ
ñ
â
à
á
c
c
Åìêä
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
×
∇
=
r
r
r
r
r
=
â
ó
m
ñ
n
à
ñ
o
ò
m
á
ò
n
ó
o r
r
r








∂
∂
−
∂
∂
+






∂
∂
−
∂
∂
+








∂
∂
−
∂
∂
= =
=
860. i~éä~Åá~å=léÉê~íçê=
O
O
O
O
O
O
O
ò
Ñ
ó
Ñ
ñ
Ñ
Ñ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇ =
=
861. ( ) ( ) M
c
c
Åìêä
Çáî ≡
×
∇
⋅
∇
=
r
r
=
=
862. ( ) ( ) M
Ñ
Ñ
Öê~Ç
Åìêä ≡
∇
×
∇
= =
=
863. ( ) ( ) Ñ
Ñ
Ñ
Öê~Ç
Çáî O
∇
=
∇
⋅
∇
= =
=
864. ( ) ( ) ( ) c
c
c
c
Çáî
Öê~Ç
c
Åìêä
Åìêä O
O
r
r
r
r
r
∇
−
⋅
∇
∇
=
∇
−
= =
=
=

227
Chapter 9
Integral Calculus
=
=
=
=
cìåÅíáçåëW=ÑI=ÖI=ìI=î=
fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉëW=ñI=íI=ξ =
fåÇÉÑáåáíÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= ( )
∫ Çñ
ñ
Ñ I= ( )
∫ Çñ
ñ
Ö I=£=
aÉêáî~íáîÉ=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= ( )
ñ
ó′ I= ( )
ñ
Ñ′ I= ( )
ñ
c′ I=£=
oÉ~ä=Åçåëí~åíëW=`I=~I=ÄI=ÅI=ÇI=â=
k~íìê~ä=åìãÄÉêëW=ãI=åI=áI=à=
=
=
9.1 Indefinite Integral
=
865. ( ) ( ) `
ñ
c
Çñ
ñ
Ñ +
=
∫ =áÑ= ( ) ( )
ñ
Ñ
ñ
c =
′ K=
=
866. ( )
( ) ( )
ñ
Ñ
Çñ
ñ
Ñ =
′
∫ =
=
867. ( ) ( )
∫
∫ = Çñ
ñ
Ñ
â
Çñ
ñ
âÑ =
=
868. ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
∫
∫
∫ +
=
+ Çñ
ñ
Ö
Çñ
ñ
Ñ
Çñ
ñ
Ö
ñ
Ñ =
=
869. ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
∫
∫
∫ −
=
− Çñ
ñ
Ö
Çñ
ñ
Ñ
Çñ
ñ
Ö
ñ
Ñ =
=
870. ( ) ( ) `
~ñ
c
~
N
Çñ
~ñ
Ñ +
=
∫ =

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
228
871. ( ) ( ) `
Ä
~ñ
c
~
N
Çñ
Ä
~ñ
Ñ +
+
=
+
∫ =
=
872. ( ) ( ) ( ) `
ñ
Ñ
O
N
Çñ
ñ
Ñ
ñ
Ñ O
+
=
′
∫ =
=
873.
( )
( )
( ) `
ñ
Ñ
äå
Çñ
ñ
Ñ
ñ
Ñ
+
=
′
∫ =
=
874. jÉíÜçÇ=çÑ=pìÄëíáíìíáçå=
( ) ( )
( ) ( )
∫
∫ ′
= Çí
í
ì
í
ì
Ñ
Çñ
ñ
Ñ =áÑ= ( )
í
ì
ñ = K=
=
875. fåíÉÖê~íáçå=Äó=m~êíë=
∫
∫ −
= îÇì
ìî
ìÇî I==
ïÜÉêÉ= ( )
ñ
ì I= ( )
ñ
î =~êÉ=ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ=ÑìåÅíáçåëK==
=
=
=
9.2 Integrals of Rational Functions
=
876. `
~ñ
~Çñ +
=
∫ =
=
877. `
O
ñ
ñÇñ
O
+
=
∫ =
=
878. `
P
ñ
Çñ
ñ
P
O
+
=
∫ =
=
879. `
N
é
ñ
Çñ
ñ
N
é
é
+
+
=
+
∫ I= N
é −
≠ K=
=

229
880. ( ) ( )
( )
`
N
å
~
Ä
~ñ
Çñ
Ä
~ñ
N
å
å
+
+
+
=
+
+
∫ I= N
å −
≠ K=
=
881. `
ñ
äå
ñ
Çñ
+
=
∫ =
=
882. `
Ä
~ñ
äå
~
N
Ä
~ñ
Çñ
+
+
=
+
∫ =
=
883. `
Ç
Åñ
äå
Å
~Ç
ÄÅ
ñ
Å
~
Çñ
Ç
Åñ
Ä
~ñ
O
+
+
−
+
=
+
+
∫ =
=
884.
( )( )
`
~
ñ
Ä
ñ
äå
Ä
~
N
Ä
ñ
~
ñ
Çñ
+
+
+
−
=
+
+
∫ I= Ä
~ ≠ K=
=
885. ( ) `
Äñ
~
äå
~
Äñ
~
Ä
N
Äñ
~
ñÇñ
O
+
+
−
+
=
+
∫ =
=
886. ( ) ( ) `
Äñ
~
äå
~
Äñ
~
~
O
Äñ
~
O
N
Ä
N
Äñ
~
Çñ
ñ O
O
P
O
+






+
+
+
−
+
=
+
∫ =
=
887.
( )
`
ñ
Äñ
~
äå
~
N
Äñ
~
ñ
Çñ
+
+
=
+
∫ =
=
888.
( )
`
ñ
Äñ
~
äå
~
Ä
~ñ
N
Äñ
~
ñ
Çñ
O
O
+
+
+
−
=
+
∫ =
=
889.
( )
`
Äñ
~
~
Äñ
~
äå
Ä
N
Äñ
~
ñÇñ
O
O
+






+
+
+
=
+
∫ =
=

230
890.
( )
`
Äñ
~
~
Äñ
~
äå
~
O
Äñ
~
Ä
N
Äñ
~
Çñ
ñ O
P
O
O
+








+
−
+
−
+
=
+
∫ =
=
891.
( ) ( )
`
ñ
Äñ
~
äå
~
N
Äñ
~
~
N
Äñ
~
ñ
Çñ
O
O
+
+
+
+
=
+
∫ =
=
892. `
N
ñ
N
ñ
äå
O
N
N
ñ
Çñ
O
+
+
−
=
−
∫ =
=
893. `
ñ
N
ñ
N
äå
O
N
ñ
N
Çñ
O
+
−
+
=
−
∫ =
=
894. `
ñ
~
ñ
~
äå
~
O
N
ñ
~
Çñ
O
O
+
−
+
=
−
∫ =
=
895. `
~
ñ
~
ñ
äå
~
O
N
~
ñ
Çñ
O
O
+
+
−
=
−
∫ =
=
896. `
ñ
í~å
ñ
N
Çñ N
O
+
=
+
−
∫ =
=
897. `
~
ñ
í~å
~
N
ñ
~
Çñ N
O
O
+
=
+
−
∫ =
=
898. ( ) `
~
ñ
äå
O
N
~
ñ
ñÇñ O
O
O
O
+
+
=
+
∫ =
=
899. `
~
Ä
ñ
~êÅí~å
~Ä
N
Äñ
~
Çñ
O
+








=
+
∫ I= M
~Ä > K=
=

231
900. `
Ä
~
ñ
äå
Ä
O
N
Äñ
~
ñÇñ O
O
+
+
=
+
∫ =
=
901.
( ) `
Äñ
~
ñ
äå
~
O
N
Äñ
~
ñ
Çñ
O
O
O
+
+
=
+
∫ =
=
902. `
Äñ
~
Äñ
~
äå
~Ä
O
N
ñ
Ä
~
Çñ
O
O
O
+
−
+
=
−
∫ =
=
903. `
~Å
Q
Ä
Ä
~ñ
O
~Å
Q
Ä
Ä
~ñ
O
äå
~Å
Q
Ä
N
Å
Äñ
~ñ
Çñ
O
O
O
O
+
−
+
+
−
−
+
−
=
+
+
∫ I=
M
~Å
Q
ÄO
>
− K=
=
904. `
Ä
~Å
Q
Ä
~ñ
O
~êÅí~å
Ä
~Å
Q
O
Å
Äñ
~ñ
Çñ
O
O
O
+
−
+
−
=
+
+
∫ I=
M
~Å
Q
ÄO
<
− K=
=
=
=
9.3 Integrals of Irrational Functions
=
905. `
Ä
~ñ
~
O
Ä
~ñ
Çñ
+
+
=
+
∫ =
=
906. ( ) `
Ä
~ñ
~
P
O
Çñ
Ä
~ñ O
P
+
+
=
+
∫ =
=
907.
( ) `
Ä
~ñ
~
P
Ä
O
~ñ
O
Ä
~ñ
ñÇñ
O
+
+
−
=
+
∫ =
=

232
908.
( )( ) `
Ä
~ñ
~
NR
Ä
O
~ñ
P
O
Çñ
Ä
~ñ
ñ O
P
O
+
+
−
=
+
∫ =
=
909.
( )
`
~Å
Ä
Ä
~ñ
~Å
Ä
Ä
~ñ
äå
~Å
Ä
N
Ä
~ñ
Å
ñ
Çñ
+
−
+
+
−
−
+
−
=
+
+
∫ I==
M
~Å
Ä >
− K=
=
910.
( )
`
Ä
~Å
Ä
~ñ
~êÅí~å
Ä
~Å
N
Ä
~ñ
Å
ñ
Çñ
+
−
+
−
=
+
+
∫ I==
M
~Å
Ä <
− K=
=
911. ( )( )−
+
+
=
+
+
∫ Ç
Åñ
Ä
~ñ
Å
N
Çñ
Ç
Åñ
Ä
~ñ
=
( ) ( ) `
Ä
~ñ
Å
Ç
Åñ
~
äå
~Å
Å
ÄÅ
~Ç
+
+
+
+
−
− I= M
~ > K=
=
912. ( )( )−
+
+
=
+
+
∫ Ç
Åñ
Ä
~ñ
Å
N
Çñ
Ç
Åñ
Ä
~ñ
=
( )
( )
`
Ä
~ñ
Å
Ç
Åñ
~
~êÅí~å
~Å
Å
ÄÅ
~Ç
+
+
+
−
− I=E M
~ < I= M
Å > FK==
=
913.
( ) ( ) `
Äñ
~
Ä
NMR
ñ
Ä
NR
~Äñ
NO
~
U
O
Çñ
Äñ
~
ñ
P
P
O
O
O
O
+
+
+
−
=
+
∫ =
=
914.
( ) `
Äñ
~
Ä
NR
ñ
Ä
P
~Äñ
Q
~
U
O
Äñ
~
Çñ
ñ
P
O
O
O
O
+
+
+
−
=
+
∫ =
=
915. `
~
Äñ
~
~
Äñ
~
äå
~
N
Äñ
~
ñ
Çñ
+
+
+
−
+
=
+
∫ I= M
~ > K=
=

233
916. `
~
Äñ
~
~êÅí~å
~
O
Äñ
~
ñ
Çñ
+
−
+
−
=
+
∫ I= M
~ < K=
=
917. ( )( ) ( ) `
Ä
~
Ä
ñ
~êÅëáå
Ä
~
ñ
Ä
ñ
~
Çñ
ñ
Ä
ñ
~
+
+
+
+
+
+
−
=
+
−
∫ =
=
918. ( )( ) ( ) `
Ä
~
ñ
Ä
~êÅëáå
Ä
~
ñ
Ä
ñ
~
Çñ
ñ
Ä
ñ
~
+
+
−
+
−
−
+
−
=
−
+
∫ =
=
919. `
ñ
~êÅëáå
ñ
N
Çñ
ñ
N
ñ
N O
+
+
−
−
=
−
+
∫ =
=
920.
( )( )
`
~
Ä
~
ñ
~êÅëáå
O
~
Ä
~
ñ
Çñ
+
−
−
=
−
−
∫ =
=
921. +
−
+
−
=
−
+
∫
O
O
Åñ
Äñ
~
Å
Q
Ä
Åñ
O
Çñ
Åñ
Äñ
~ =
`
~Å
Q
Ä
Ä
Åñ
O
~êÅëáå
Å
U
~Å
Q
Ä
O
P
O
+
+
−
−
+ =
=
922. ( ) `
Å
Äñ
~ñ
~
O
Ä
~ñ
O
äå
~
N
Å
Äñ
~ñ
Çñ O
O
+
+
+
+
+
=
+
+
∫ I==
M
~ > K=
=
923. `
~Å
Q
Ä
~
Q
Ä
~ñ
O
~êÅëáå
~
N
Å
Äñ
~ñ
Çñ O
O
+
−
+
−
=
+
+
∫ I= M
~ < K=
=
924. `
~
ñ
ñ
äå
O
~
~
ñ
O
ñ
Çñ
~
ñ O
O
O
O
O
O
O
+
+
+
+
+
=
+
∫ =
=

234
925. ( ) `
~
ñ
P
N
Çñ
~
ñ
ñ O
P
O
O
O
O
+
+
=
+
∫ =
=
926. ( ) −
+
+
=
+
∫
O
O
O
O
O
O
O
~
ñ
~
ñ
O
U
ñ
Çñ
~
ñ
ñ =
`
~
ñ
ñ
äå
U
~ O
O
Q
+
+
+
− =
=
927. `
~
ñ
ñ
äå
ñ
~
ñ
Çñ
ñ
~
ñ O
O
O
O
O
O
O
+
+
+
+
+
−
=
+
∫ =
=
928. `
~
ñ
ñ
äå
~
ñ
Çñ O
O
O
O
+
+
+
=
+
∫ =
=
929. `
~
ñ
~
ñ
äå
~
~
ñ
Çñ
ñ
~
ñ
O
O
O
O
O
O
+
+
+
+
+
=
+
∫ =
=
930. `
~
ñ
~
ñ
ñÇñ O
O
O
O
+
+
=
+
∫ =
=
931. `
~
ñ
ñ
äå
O
~
~
ñ
O
ñ
~
ñ
Çñ
ñ O
O
O
O
O
O
O
O
+
+
+
−
+
=
+
∫ =
=
932. `
~
ñ
~
ñ
äå
~
N
~
ñ
ñ
Çñ
O
O
O
O
+
+
+
=
+
∫ =
=
933. `
~
ñ
ñ
äå
O
~
~
ñ
O
ñ
Çñ
~
ñ O
O
O
O
O
O
O
+
−
+
−
−
=
−
∫ =
=
934. ( ) `
~
ñ
P
N
Çñ
~
ñ
ñ O
P
O
O
O
O
+
−
=
−
∫ =

235
935. `
ñ
~
~êÅëáå
~
~
ñ
Çñ
ñ
~
ñ O
O
O
O
+
+
−
=
−
∫ =
=
936. `
~
ñ
ñ
äå
ñ
~
ñ
Çñ
ñ
~
ñ O
O
O
O
O
O
O
+
−
+
+
−
−
=
−
∫ =
=
937. `
~
ñ
ñ
äå
~
ñ
Çñ O
O
O
O
+
−
+
=
−
∫ =
=
938. `
~
ñ
~
ñ
ñÇñ O
O
O
O
+
−
=
−
∫ =
=
939. `
~
ñ
ñ
äå
O
~
~
ñ
O
ñ
~
ñ
Çñ
ñ O
O
O
O
O
O
O
O
+
−
+
+
−
=
−
∫ =
=
940. `
ñ
~
~êÅëáå
~
N
~
ñ
ñ
Çñ
O
O
+
−
=
−
∫ =
=
941.
( )
`
~
ñ
~
ñ
~
N
~
ñ
~
ñ
Çñ
O
O
+
+
−
=
−
+
∫ =
=
942.
( )
`
~
ñ
~
ñ
~
N
~
ñ
~
ñ
Çñ
O
O
+
−
+
−
=
−
−
∫ =
=
943. `
ñ
~
~
ñ
~
ñ
ñ
Çñ
O
O
O
O
O
O
+
−
=
−
∫ =
=
944.
( )
`
~
ñ
~
ñ
~
ñ
Çñ
O
O
O
O
P
O
O
+
−
−
=
−
∫ =
=

236
945. ( ) ( ) +
−
−
−
=
−
∫
O
O
O
O
O
P
O
O
~
ñ
~
R
ñ
O
U
ñ
Çñ
~
ñ =
`
~
ñ
ñ
äå
U
~
P O
O
Q
+
−
+
+ =
=
946. `
~
ñ
~êÅëáå
O
~
ñ
~
O
ñ
Çñ
ñ
~
O
O
O
O
O
+
+
−
=
−
∫ =
=
947. ( ) `
ñ
~
P
N
Çñ
ñ
~
ñ O
P
O
O
O
O
+
−
−
=
−
∫ =
=
948. ( ) `
~
ñ
~êÅëáå
U
~
ñ
~
~
ñ
O
U
ñ
Çñ
ñ
~
ñ
Q
O
O
O
O
O
O
O
+
+
−
−
=
−
∫ =
=
949. `
ñ
~
~
ñ
äå
~
ñ
~
Çñ
ñ
ñ
~
O
O
O
O
O
O
+
−
+
+
−
=
−
∫ =
=
950. `
~
ñ
~êÅëáå
ñ
ñ
~
Çñ
ñ
ñ
~ O
O
O
O
O
+
−
−
−
=
−
∫ =
=
951. `
ñ
~êÅëáå
ñ
N
Çñ
O
+
=
−
∫ =
=
952. `
~
ñ
ëáå
ñ
~
Çñ
O
O
+
=
−
∫ =
=
953. `
ñ
~
ñ
~
ñÇñ O
O
O
O
+
−
−
=
−
∫ =
=
954. `
~
ñ
~êÅëáå
O
~
ñ
~
O
ñ
ñ
~
Çñ
ñ O
O
O
O
O
O
+
+
−
−
=
−
∫ =

237
955.
( )
`
ñ
~
ñ
~
O
N
ñ
~
~
ñ
Çñ
O
O
+
+
−
−
=
−
+
∫ =
=
956.
( )
`
ñ
~
ñ
~
O
N
ñ
~
~
ñ
Çñ
O
O
+
−
+
−
=
−
−
∫ =
=
957.
( ) ( )
`
Ä
ñ
~
~
Äñ
~êÅëáå
~
Ä
N
ñ
~
Ä
ñ
Çñ O
O
O
O
O
+
+
+
−
=
−
+
∫ I= ~
Ä > K=
=
958.
( )
I
`
Äñ
~
ñ
~
Ä
~
Ä
ñ
äå
Ä
~
N
ñ
~
Ä
ñ
Çñ
O
O
O
O
O
O
O
O
O
+
+
+
−
−
+
−
=
−
+
∫ =
~
Ä < K=
=
959. `
ñ
~
ñ
~
ñ
~
ñ
Çñ
O
O
O
O
O
O
+
−
−
=
−
∫ =
=
960. ( ) ( ) `
~
ñ
~êÅëáå
U
~
P
ñ
~
ñ
O
~
R
U
ñ
Çñ
ñ
~
Q
O
O
O
O
O
P
O
O
+
+
−
−
=
−
∫ =
=
961.
( )
`
ñ
~
~
ñ
ñ
~
Çñ
O
O
O
O
P
O
O
+
−
=
−
∫ =
=
=
=
9.4 Integrals of Trigonometric Functions
=
962. `
ñ
Åçë
ñÇñ
ëáå +
−
=
∫ =
=
963. `
ñ
ëáå
ñÇñ
Åçë +
=
∫ =

238
964. `
ñ
O
ëáå
Q
N
O
ñ
Çñ
ñ
ëáåO
+
−
=
∫ =
=
965. `
ñ
O
ëáå
Q
N
O
ñ
Çñ
ñ
ÅçëO
+
+
=
∫ =
=
966. `
ñ
Åçë
Q
P
ñ
P
Åçë
NO
N
`
ñ
Åçë
ñ
Åçë
P
N
Çñ
ñ
ëáå P
P
+
−
=
+
−
=
∫ =
=
967. `
ñ
ëáå
Q
P
ñ
P
ëáå
NO
N
`
ñ
ëáå
P
N
ñ
ëáå
Çñ
ñ
Åçë P
P
+
+
=
+
−
=
∫ =
=
968. `
O
ñ
í~å
äå
Çñ
ñ
ÅëÅ
ñ
ëáå
Çñ
+
=
= ∫
∫ =
=
969. `
Q
O
ñ
í~å
äå
Çñ
ñ
ëÉÅ
ñ
Åçë
Çñ
+





 π
+
=
= ∫
∫ =
=
970. `
ñ
Åçí
Çñ
ñ
ÅëÅ
ñ
ëáå
Çñ O
O
+
−
=
= ∫
∫ =
=
971. `
ñ
í~å
Çñ
ñ
ëÉÅ
ñ
Åçë
Çñ O
O
+
=
= ∫
∫ =
=
972. `
O
ñ
í~å
äå
O
N
ñ
ëáå
O
ñ
Åçë
Çñ
ñ
ÅëÅ
ñ
ëáå
Çñ
O
P
P
+
+
−
=
= ∫
∫ =
=
973. `
Q
O
ñ
í~å
äå
O
N
ñ
Åçë
O
ñ
ëáå
Çñ
ñ
ëÉÅ
ñ
Åçë
Çñ
O
P
P
+





 π
+
+
=
= ∫
∫ =
=
974. `
ñ
O
Åçë
Q
N
Çñ
ñ
Åçë
ñ
ëáå +
−
=
∫ =

239
975. `
ñ
ëáå
P
N
Çñ
ñ
Åçë
ñ
ëáå P
O
+
=
∫ =
=
976. `
ñ
Åçë
P
N
Çñ
ñ
Åçë
ñ
ëáå P
O
+
−
=
∫ =
=
977. `
ñ
Q
ëáå
PO
N
U
ñ
Çñ
ñ
Åçë
ñ
ëáå O
O
+
−
=
∫ =
=
978. `
ñ
Åçë
äå
ñÇñ
í~å +
−
=
∫ =
=
979. `
ñ
ëÉÅ
`
ñ
Åçë
N
Çñ
ñ
Åçë
ñ
ëáå
O
+
=
+
=
∫ =
=
980. `
ñ
ëáå
Q
O
ñ
í~å
äå
Çñ
ñ
Åçë
ñ
ëáåO
+
−





 π
+
=
∫ =
=
981. `
ñ
ñ
í~å
Çñ
ñ
í~åO
+
−
=
∫ =
=
982. `
ñ
ëáå
äå
ñÇñ
Åçí +
=
∫ =
=
983. `
ñ
ÅëÅ
`
ñ
ëáå
N
Çñ
ñ
ëáå
ñ
Åçë
O
+
−
=
+
−
=
∫ =
=
984. `
ñ
Åçë
O
ñ
í~å
äå
Çñ
ñ
ëáå
ñ
ÅçëO
+
+
=
∫ =
=
985. `
ñ
ñ
Åçí
Çñ
ñ
ÅçíO
+
−
−
=
∫ =
=
986. `
ñ
í~å
äå
ñ
ëáå
ñ
Åçë
Çñ
+
=
∫ =

240
987. `
Q
O
ñ
í~å
äå
ñ
ëáå
N
ñ
Åçë
ñ
ëáå
Çñ
O
+





 π
+
+
−
=
∫ =
=
988. `
O
ñ
í~å
äå
ñ
Åçë
N
ñ
Åçë
ñ
ëáå
Çñ
O
+
+
=
∫ =
=
989. `
ñ
Åçí
ñ
í~å
ñ
Åçë
ñ
ëáå
Çñ
O
O
+
−
=
∫ =
=
990.
( )
( )
( )
( )
`
å
ã
O
ñ
å
ã
ëáå
å
ã
O
ñ
å
ã
ëáå
Çñ
åñ
ëáå
ãñ
ëáå +
−
−
+
+
+
−
=
∫ I=
O
O
å
ã ≠ K=
=
991.
( )
( )
( )
( )
`
å
ã
O
ñ
å
ã
Åçë
å
ã
O
ñ
å
ã
Åçë
Çñ
åñ
Åçë
ãñ
ëáå +
−
−
−
+
+
−
=
∫ I=
O
O
å
ã ≠ K=
=
992.
( )
( )
( )
( )
`
å
ã
O
ñ
å
ã
ëáå
å
ã
O
ñ
å
ã
ëáå
Çñ
åñ
Åçë
ãñ
Åçë +
−
−
+
+
+
=
∫ I=
O
O
å
ã ≠ K=
=
993. `
ñ
ëÉÅ
ñÇñ
í~å
ñ
ëÉÅ +
=
∫ =
=
994. `
ñ
ÅëÅ
ñÇñ
Åçí
ñ
ÅëÅ +
−
=
∫ =
=
995. `
N
å
ñ
Åçë
Çñ
ñ
Åçë
ñ
ëáå
N
å
å
+
+
−
=
+
∫ =
=
996. `
N
å
ñ
ëáå
Çñ
ñ
Åçë
ñ
ëáå
N
å
å
+
+
=
+
∫ =
=

241
997. `
ñ
N
ñ
~êÅëáå
ñ
Çñ
ñ
~êÅëáå O
+
−
+
=
∫ =
=
998. `
ñ
N
ñ
~êÅÅçë
ñ
Çñ
ñ
~êÅÅçë O
+
−
−
=
∫ =
=
999. ( ) `
N
ñ
äå
O
N
ñ
~êÅí~å
ñ
Çñ
ñ
~êÅí~å O
+
+
−
=
∫ =
=
1000. ( ) `
N
ñ
äå
O
N
ñ
Åçí
~êÅ
ñ
Çñ
ñ
Åçí
~êÅ O
+
+
+
=
∫ =
=
=
=
9.5 Integrals of Hyperbolic Functions
=
1001. `
ñ
ÅçëÜ
ñÇñ
ëáåÜ +
=
∫ =
=
1002. `
ñ
ëáåÜ
ñÇñ
ÅçëÜ +
=
∫ =
=
1003. `
ñ
ÅçëÜ
äå
Çñ
ñ
í~åÜ +
=
∫ =
=
1004. `
ñ
ëáåÜ
äå
Çñ
ñ
ÅçíÜ +
=
∫ =
=
1005. `
ñ
í~åÜ
ñÇñ
ëÉÅÜO
+
=
∫ =
=
1006. `
ñ
ÅçíÜ
ñÇñ
ÅëÅÜO
+
−
=
∫ =
=
1007. `
ñ
ëÉÅÜ
ñÇñ
í~åÜ
ñ
ëÉÅÜ +
−
=
∫ =
=

242
1008. `
ñ
ÅëÅÜ
ñÇñ
ÅçíÜ
ñ
ÅëÅÜ +
−
=
∫ =
=
=
=
9.6 Integrals of Exponential and Logarithmic
Functions
=
1009. `
É
Çñ
É ñ
ñ
+
=
∫ =
=
1010. `
~
äå
~
Çñ
~
ñ
ñ
+
=
∫ =
=
1011. `
~
É
Çñ
É
~ñ
~ñ
+
=
∫ =
=
1012. ( ) `
N
~ñ
~
É
Çñ
ñÉ O
~ñ
~ñ
+
−
=
∫ =
=
1013. `
ñ
ñ
äå
ñ
Çñ
ñ
äå +
−
=
∫ =
=
1014. `
ñ
äå
äå
ñ
äå
ñ
Çñ
+
=
∫ =
=
1015.
( )
`
N
å
N
N
å
ñ
äå
ñ
Çñ
ñ
äå
ñ O
N
å
å
+






+
−
+
= +
∫ =
=
1016. `
É
Ä
~
Äñ
Åçë
Ä
Äñ
ëáå
~
Çñ
Äñ
ëáå
É ~ñ
O
O
~ñ
+
+
−
=
∫ =
=

243
1017. `
É
Ä
~
Äñ
ëáå
Ä
Äñ
Åçë
~
Çñ
Äñ
Åçë
É ~ñ
O
O
~ñ
+
+
+
=
∫ =
=
=
=
9.7 Reduction Formulas
=
1018. ∫
∫
−
−
= Çñ
É
ñ
ã
å
É
ñ
ã
N
Çñ
É
ñ ãñ
N
å
ãñ
å
ãñ
å
=
=
1019.
( ) ∫
∫ −
−
−
+
−
−
= Çñ
ñ
É
N
å
ã
ñ
N
å
É
Çñ
ñ
É
N
å
ãñ
N
å
ãñ
å
ãñ
I= N
å ≠ K=
=
1020. ∫
∫
−
− −
−
= ñÇñ
ëáåÜ
å
N
å
ñ
ÅçëÜ
ñ
ëáåÜ
å
N
ñÇñ
ëáåÜ O
å
N
å
å
=
=
1021.
( ) ∫
∫ −
−
−
−
−
−
−
=
ñ
ëáåÜ
Çñ
N
å
O
å
ñ
ëáåÜ
N
å
ñ
ÅçëÜ
ñ
ëáåÜ
Çñ
O
å
N
å
å
I= N
å ≠ K=
=
1022. ∫
∫
−
− −
+
= ñÇñ
ÅçëÜ
å
N
å
ñ
ÅçëÜ
ñ
ÅçëÜ
ñ
ëáåÜ
å
N
ñÇñ
ÅçëÜ O
å
N
å
å
=
=
1023.
( ) ∫
∫ −
−
−
−
+
−
−
=
ñ
ÅçëÜ
Çñ
N
å
O
å
ñ
ÅçëÜ
N
å
ñ
ëáåÜ
ñ
ÅçëÜ
Çñ
O
å
N
å
å
I= N
å ≠ K=
=
1024.
ã
å
ñ
ÅçëÜ
ñ
ëáåÜ
ñÇñ
ÅçëÜ
ñ
ëáåÜ
N
ã
N
å
ã
å
+
=
−
+
∫ =
∫
−
+
−
+ ñÇñ
ÅçëÜ
ñ
ëáåÜ
ã
å
N
ã O
ã
å
=
=
1025.
ã
å
ñ
ÅçëÜ
ñ
ëáåÜ
ñÇñ
ÅçëÜ
ñ
ëáåÜ
N
ã
N
å
ã
å
+
=
+
−
∫ =

244
∫
−
+
−
− ñÇñ
ÅçëÜ
ñ
ëáåÜ
ã
å
N
å ã
O
å
=
=
1026. ∫
∫
−
−
+
−
−
= ñÇñ
í~åÜ
ñ
í~åÜ
N
å
N
ñÇñ
í~åÜ O
å
N
å
å
I= N
å ≠ K=
=
1027. ∫
∫
−
−
+
−
−
= ñÇñ
ÅçíÜ
ñ
ÅçíÜ
N
å
N
ñÇñ
ÅçíÜ O
å
N
å
å
I= N
å ≠ K=
=
1028. ∫
∫
−
−
−
−
+
−
= ñÇñ
ëÉÅÜ
N
å
O
å
N
å
ñ
í~åÜ
ñ
ëÉÅÜ
ñÇñ
ëÉÅÜ O
å
O
å
å
I= N
å ≠ K=
=
1029. ∫
∫
−
− −
+
−
= ñÇñ
ëáå
å
N
å
ñ
Åçë
ñ
ëáå
å
N
ñÇñ
ëáå O
å
N
å
å
=
=
1030.
( ) ∫
∫ −
−
−
−
+
−
−
=
ñ
ëáå
Çñ
N
å
O
å
ñ
ëáå
N
å
ñ
Åçë
ñ
ëáå
Çñ
O
å
N
å
å
I= N
å ≠ K=
=
1031. ∫
∫
−
− −
+
= ñÇñ
Åçë
å
N
å
ñ
Åçë
ñ
ëáå
å
N
ñÇñ
Åçë O
å
N
å
å
=
=
1032.
( ) ∫
∫ −
−
−
−
+
−
=
ñ
Åçë
Çñ
N
å
O
å
ñ
Åçë
N
å
ñ
ëáå
ñ
Åçë
Çñ
O
å
N
å
å
I= N
å ≠ K=
=
1033.
ã
å
ñ
Åçë
ñ
ëáå
ñÇñ
Åçë
ñ
ëáå
N
ã
N
å
ã
å
+
=
−
+
∫ =
∫
−
+
−
+ ñÇñ
Åçë
ñ
ëáå
ã
å
N
ã O
ã
å
=
=
1034.
ã
å
ñ
Åçë
ñ
ëáå
ñÇñ
Åçë
ñ
ëáå
N
ã
N
å
ã
å
+
−
=
+
−
∫ =

245
∫
−
+
−
+ ñÇñ
Åçë
ñ
ëáå
ã
å
N
å ã
O
å
=
=
1035. ∫
∫
−
−
−
−
= ñÇñ
í~å
ñ
í~å
N
å
N
ñÇñ
í~å O
å
N
å
å
I= N
å ≠ K=
=
1036. ∫
∫
−
−
−
−
−
= ñÇñ
Åçí
ñ
Åçí
N
å
N
ñÇñ
Åçí O
å
N
å
å
I= N
å ≠ K=
=
1037. ∫
∫
−
−
−
−
+
−
= ñÇñ
ëÉÅ
N
å
O
å
N
å
ñ
í~å
ñ
ëÉÅ
ñÇñ
ëÉÅ O
å
O
å
å
I= N
å ≠ K=
=
1038. ∫
∫
−
−
−
−
+
−
−
= ñÇñ
ÅëÅ
N
å
O
å
N
å
ñ
Åçí
ñ
ÅëÅ
ñÇñ
ÅëÅ O
å
O
å
å
I= N
å ≠ K=
=
1039. ∫
∫
−
+
+
−
+
= ñÇñ
äå
ñ
N
å
ã
N
å
ñ
äå
ñ
ñÇñ
äå
ñ N
ã
å
ã
N
å
ã
å
=
=
1040.
( ) ∫
∫
−
−
−
+
−
−
= Çñ
ñ
ñ
äå
N
å
ã
ñ
N
å
ñ
äå
Çñ
ñ
ñ
äå
å
N
ã
N
å
ã
å
ã
I= N
å ≠ K=
=
1041. ∫
∫
−
−
= ñÇñ
äå
å
ñ
äå
ñ
ñÇñ
äå N
å
å
å
=
=
1042. ∫
∫
−
−
= ñÇñ
ÅçëÜ
ñ
å
ñ
ÅçëÜ
ñ
ñÇñ
ëáåÜ
ñ N
å
å
å
=
=
1043. ∫
∫
−
−
= ñÇñ
ëáåÜ
ñ
å
ñ
ëáåÜ
ñ
ñÇñ
ÅçëÜ
ñ N
å
å
å
=
=
1044. ∫
∫
−
+
−
= ñÇñ
Åçë
ñ
å
ñ
Åçë
ñ
ñÇñ
ëáå
ñ N
å
å
å
=
=
1045. ∫
∫
−
−
= ñÇñ
ëáå
ñ
å
ñ
ëáå
ñ
ñÇñ
Åçë
ñ N
å
å
å
=

246
1046. ∫
∫ −
+
−
+
=
+
−
+
−
Çñ
ñ
N
ñ
N
å
N
ñ
ëáå
N
å
ñ
ñÇñ
ëáå
ñ
O
N
å
N
N
å
N
å
=
=
1047. ∫
∫ −
+
+
+
=
+
−
+
−
Çñ
ñ
N
ñ
N
å
N
ñ
Åçë
N
å
ñ
ñÇñ
Åçë
ñ
O
N
å
N
N
å
N
å
=
=
1048. ∫
∫ +
+
−
+
=
+
−
+
−
Çñ
ñ
N
ñ
N
å
N
ñ
í~å
N
å
ñ
ñÇñ
í~å
ñ O
N
å
N
N
å
N
å
=
=
1049. ∫
∫ +
−
=
+ Ä
~ñ
Çñ
~
Ä
~
ñ
Ä
~ñ
Çñ
ñ
å
å
å
=
=
1050.
( ) ( )( )( ) N
å
O
O
å
O
Å
Äñ
~ñ
~Å
Q
Ä
N
å
Ä
~ñ
O
Å
Äñ
~ñ
Çñ
−
+
+
−
−
−
−
=
+
+
∫ =
( )
( )( ) ( )
∫ −
+
+
−
−
−
− N
å
O
O
Å
Äñ
~ñ
Çñ
~Å
Q
Ä
N
å
~
P
å
O
O
I= N
å ≠ K=
=
1051.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
I
~
ñ
Çñ
~
N
å
O
P
å
O
~
ñ
~
N
å
O
ñ
~
ñ
Çñ
N
å
O
O
O
N
å
O
O
O
å
O
O ∫
∫ −
−
+
−
−
+
+
−
=
+
N
å ≠ K=
=
1052.
( ) ( ) ( ) N
å
O
O
O
å
O
O
~
ñ
~
N
å
O
ñ
~
ñ
Çñ
−
−
−
−
=
−
∫ =
( ) ( )
∫ −
−
−
−
− N
å
O
O
O
~
ñ
Çñ
~
N
å
O
P
å
O
I= N
å ≠ K=
=
=
=
=
=

247
9.8 Definite Integral
=
aÉÑáåáíÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= ( )
∫
Ä
~
Çñ
ñ
Ñ I= ( )
∫
Ä
~
Çñ
ñ
Ö I=£=
oáÉã~åå=ëìãW= ( )
∑
=
∆
ξ
å
N
á
á
á ñ
Ñ ==
pã~ää=ÅÜ~åÖÉëW= á
ñ
∆ ==
^åíáÇÉêáî~íáîÉëW= ( )
ñ
c I= ( )
ñ
d ==
iáãáíë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåëW=~I=ÄI=ÅI=Ç=
=
=
1053. ( ) ( )
∑
∫ =
→
∆
∞
→
∆
ξ
=
å
N
á
á
á
M
ñ
ã~ñ
å
Ä
~
ñ
Ñ
äáã
Çñ
ñ
Ñ
á
I==
ïÜÉêÉ== N
á
á
á ñ
ñ
ñ −
−
=
∆ I== á
á
N
á ñ
ñ ≤
ξ
≤
− K==
=
=
=
Figure 179.
=

248
1054. ~
Ä
Çñ
N
Ä
~
−
=
∫ =
=
1055. ( ) ( )
∫
∫ =
Ä
~
Ä
~
Çñ
ñ
Ñ
â
Çñ
ñ
âÑ =
=
1056. ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
∫
∫
∫ +
=
+
Ä
~
Ä
~
Ä
~
Çñ
ñ
Ö
Çñ
ñ
Ñ
Çñ
ñ
Ö
ñ
Ñ =
=
1057. ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
∫
∫
∫ −
=
−
Ä
~
Ä
~
Ä
~
Çñ
ñ
Ö
Çñ
ñ
Ñ
Çñ
ñ
Ö
ñ
Ñ =
=
1058. ( ) M
Çñ
ñ
Ñ
~
~
=
∫ =
=
1059. ( ) ( )
∫
∫ −
=
~
Ä
Ä
~
Çñ
ñ
Ñ
Çñ
ñ
Ñ =
=
1060. ( ) ( ) ( )
∫
∫
∫ +
=
Ä
Å
Å
~
Ä
~
Çñ
ñ
Ñ
Çñ
ñ
Ñ
Çñ
ñ
Ñ =Ñçê= Ä
Å
~ <
< K=
=
1061. ( ) M
Çñ
ñ
Ñ
Ä
~
≥
∫ =áÑ= ( ) M
ñ
Ñ ≥ =çå=[ ]
Ä
I
~ K=
=
1062. ( ) M
Çñ
ñ
Ñ
Ä
~
≤
∫ =áÑ= ( ) M
ñ
Ñ ≤ =çå=[ ]
Ä
I
~ K=
=
=
=
=

249
1063. cìåÇ~ãÉåí~ä=qÜÉçêÉã=çÑ=`~äÅìäìë=
( ) ( ) ( ) ( )
~
c
Ä
c
ñ
c
Çñ
ñ
Ñ
Ä
~
Ä
~
−
=
=
∫ =áÑ= ( ) ( )
ñ
Ñ
ñ
c =
′ K=
=
1064. jÉíÜçÇ=çÑ=pìÄëíáíìíáçå==
fÑ= ( )
í
Ö
ñ = I=íÜÉå==
( ) ( )
( ) ( )
∫
∫ ′
=
Ç
Å
Ä
~
Çí
í
Ö
í
Ö
Ñ
Çñ
ñ
Ñ I==
ïÜÉêÉ=
( )
~
Ö
Å N
−
= I= ( )
Ä
Ö
Ç N
−
= K=
=
1065. fåíÉÖê~íáçå=Äó=m~êíë=
( ) ∫
∫ −
=
Ä
~
Ä
~
Ä
~
îÇì
ìî
ìÇî =
=
1066. qê~éÉòçáÇ~ä=oìäÉ=
( ) ( ) ( ) ( )





+
+
−
= ∑
∫
−
=
N
å
N
á
á
å
M
Ä
~
ñ
Ñ
O
ñ
Ñ
ñ
Ñ
å
O
~
Ä
Çñ
ñ
Ñ =
=

250
=
=
Figure 180.
=
1067. páãéëçå∞ë=oìäÉ==
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ +
+
+
+
−
=
∫ P
O
N
M
Ä
~
ñ
Ñ
Q
ñ
Ñ
O
ñ
Ñ
Q
ñ
Ñ
å
P
~
Ä
Çñ
ñ
Ñ =
( ) ( ) ( )]
å
N
å
Q ñ
Ñ
ñ
Ñ
Q
ñ
Ñ
O +
+
+
+ −
K I==
ïÜÉêÉ==
á
å
~
Ä
~
ñá
−
+
= I= å
I
I
O
I
N
I
M
á K
= K==
=

251
=
=
Figure 181.
=
1068. ^êÉ~=råÇÉê=~=`ìêîÉ=
( ) ( ) ( )
~
c
Ä
c
Çñ
ñ
Ñ
p
Ä
~
−
=
= ∫ I==
ïÜÉêÉ= ( ) ( )
ñ
Ñ
ñ
c =
′ K=
=

252
=
=
Figure 182.
=
1069. ^êÉ~=_ÉíïÉÉå=qïç=`ìêîÉë=
( ) ( )
[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
~
d
~
c
Ä
d
Ä
c
Çñ
ñ
Ö
ñ
Ñ
p
Ä
~
+
−
−
=
−
= ∫ I==
ïÜÉêÉ= ( ) ( )
ñ
Ñ
ñ
c =
′ I= ( ) ( )
ñ
Ö
ñ
d =
′ K=
=

253
=
=
Figure 183.
=
=
=
9.9 Improper Integral
=
1070. qÜÉ=ÇÉÑáåáíÉ=áåíÉÖê~ä== ( )
∫
Ä
~
Çñ
ñ
Ñ =áë=Å~ääÉÇ=~å=áãéêçéÉê=áåíÉÖê~ä=
áÑ==
• ~=çê=Ä=áë=áåÑáåáíÉI=
• ( )
ñ
Ñ ==Ü~ë==çåÉ==çê==ãçêÉ=éçáåíë=çÑ==ÇáëÅçåíáåìáíó=
=====áå=íÜÉ=áåíÉêî~ä=[ ]
Ä
I
~ K=
=
1071. fÑ= ( )
ñ
Ñ =áë=~=Åçåíáåìçìë=ÑìåÅíáçå=çå=[ )
∞
I
~ I=íÜÉå==
( ) ( )
∫
∫ ∞
→
∞
=
å
~
å
~
Çñ
ñ
Ñ
äáã
Çñ
ñ
Ñ K=
=

254
=
=
Figure 184.
=
1072. fÑ= ( )
ñ
Ñ =áë=~=Åçåíáåìçìë=ÑìåÅíáçå=çå=( ]
Ä
I
∞
− I=íÜÉå==
( ) ( )
∫
∫ ∞
−
→
∞
−
=
Ä
å
å
Ä
Çñ
ñ
Ñ
äáã
Çñ
ñ
Ñ K=
=
=
=
Figure 185.

255
kçíÉ=W=qÜÉ=áãéêçéÉê=áåíÉÖê~äë=áå=NMTNI=NMTO=~êÉ=ÅçåîÉêÖÉåí=
áÑ=íÜÉ=äáãáíë=Éñáëí=~åÇ=~êÉ=ÑáåáíÉX=çíÜÉêïáëÉ=íÜÉ=áåíÉÖê~äë=~êÉ=
ÇáîÉêÖÉåíK=
=
1073. ( ) ( ) ( )
∫
∫
∫
∞
∞
−
∞
∞
−
+
=
Å
Å
Çñ
ñ
Ñ
Çñ
ñ
Ñ
Çñ
ñ
Ñ =
=
=
=
Figure 186.
=
fÑ=Ñçê=ëçãÉ=êÉ~ä=åìãÄÉê=ÅI=ÄçíÜ=çÑ=íÜÉ=áåíÉÖê~äë=áå=íÜÉ=êáÖÜí=
ëáÇÉ= ~êÉ= ÅçåîÉêÖÉåíI= íÜÉå= íÜÉ= áåíÉÖê~ä= ( )
∫
∞
∞
−
Çñ
ñ
Ñ = áë= ~äëç=====
ÅçåîÉêÖÉåíX=çíÜÉêïáëÉ=áí=áë=ÇáîÉêÖÉåíK=
=
1074. `çãé~êáëçå=qÜÉçêÉãë=
iÉí== ( )
ñ
Ñ =~åÇ== ( )
ñ
Ö ==ÄÉ==Åçåíáåìçìë==ÑìåÅíáçåë==çå=íÜÉ=ÅäçëÉÇ=
áåíÉêî~ä= [ )
∞
I
~ K= pìééçëÉ= íÜ~í= ( ) ( )
ñ
Ñ
ñ
Ö
M ≤
≤ = Ñçê= ~ää= ñ= áå=
[ )
∞
I
~ K=

256
• fÑ= ( )
∫
∞
~
Çñ
ñ
Ñ =áë=ÅçåîÉêÖÉåíI=íÜÉå= ( )
∫
∞
~
Çñ
ñ
Ö =áë=~äëç=
=====ÅçåîÉêÖÉåíI=
• fÑ= ( )
∫
∞
~
Çñ
ñ
Ö =áë=ÇáîÉêÖÉåíI=íÜÉå= ( )
∫
∞
~
Çñ
ñ
Ñ =áë=~äëç=ÇáîÉêÖÉåíK=
=
1075. ^ÄëçäìíÉ=`çåîÉêÖÉåÅÉ=
=
fÑ= ( )
∫
∞
~
Çñ
ñ
Ñ =áë=ÅçåîÉêÖÉåíI=íÜÉå=íÜÉ=áåíÉÖê~ä ( )
∫
∞
~
Çñ
ñ
Ñ =áë=~Äëç-
äìíÉäó=ÅçåîÉêÖÉåíK===
=
1076. aáëÅçåíáåìçìë=fåíÉÖê~åÇ=
iÉí= ( )
ñ
Ñ =ÄÉ=~=ÑìåÅíáçå=ïÜáÅÜ=áë=Åçåíáåìçìë=çå=íÜÉ=áåíÉêî~ä==
[ )
Ä
I
~ =Äìí=áë=ÇáëÅçåíáåìçìë=~í= Ä
ñ = K=qÜÉå==
( ) ( )
∫
∫
ε
−
+
→
ε
=
Ä
~
M
Ä
~
Çñ
ñ
Ñ
äáã
Çñ
ñ
Ñ =
=
=
=
Figure 187.

257
1077. iÉí= ( )
ñ
Ñ =ÄÉ=~=Åçåíáåìçìë=ÑìåÅíáçå=Ñçê=~ää=êÉ~ä=åìãÄÉêë==ñ==áå=
íÜÉ=áåíÉêî~ä==[ ]
Ä
I
~ ==ÉñÅÉéí==Ñçê==ëçãÉ=éçáåí==Å==áå=( )
Ä
I
~ K=qÜÉå=
( ) ( ) ( )
∫
∫
∫ δ
+
+
→
δ
ε
−
+
→
ε
+
=
Ä
Å
M
Å
~
M
Ä
~
Çñ
ñ
Ñ
äáã
Çñ
ñ
Ñ
äáã
Çñ
ñ
Ñ K=
=
=
=
Figure 188.
=
=
=
9.10 Double Integral
=
ó
I
ñ
Ñ I= ( )
î
I
ì
Ñ I=£=
açìÄäÉ=áåíÉÖê~äëW= ( )
∫∫
o
ÇñÇó
ó
I
ñ
Ñ I= ( )
∫∫
o
ÇñÇó
ó
I
ñ
Ö I=£=
∑∑
= =
∆
∆
ã
N
á
å
N
à
à
á
à
á ó
ñ
î
I
ì
Ñ =
ñ
∆ I= à
ó
∆ =
oÉÖáçåë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåW=oI=p==
mçä~ê=ÅççêÇáå~íÉëW=êI=θ =

258
^êÉ~W=^=
sçäìãÉ=çÑ=~=ëçäáÇW=s=
j~ëë=çÑ=~=ä~ãáå~W=ã=
aÉåëáíóW= ( )
ó
I
ñ
ρ =
cáêëí=ãçãÉåíëW= ñ
j I= ó
j =
jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= ñ
f I= ó
f I= M
f =
`Ü~êÖÉ=çÑ=~=éä~íÉW=n=
`Ü~êÖÉ=ÇÉåëáíóW= ( )
ó
I
ñ
σ =
`ççêÇáå~íÉë=çÑ=ÅÉåíÉê=çÑ=ã~ëëW= ñ I= ó =
^îÉê~ÖÉ=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW=µ=
=
1078. aÉÑáåáíáçå=çÑ=açìÄäÉ=fåíÉÖê~ä=
qÜÉ=ÇçìÄäÉ=áåíÉÖê~ä=çîÉê=~=êÉÅí~åÖäÉ= [ ] [ ]
Ç
I
Å
Ä
I
~ × =áë=ÇÉÑáåÉÇ=
íç=ÄÉ==
( )
[ ] [ ]
( )
∑∑
∫∫ = =
→
∆
→
∆
×
∆
∆
=
ã
N
á
å
N
à
à
á
à
á
M
ó
ã~ñ
M
ñ
ã~ñ
Ç
I
Å
Ä
I
~
ó
ñ
î
I
ì
Ñ
äáã
Ç^
ó
I
ñ
Ñ
à
á
I==
ïÜÉêÉ=( )
à
á î
I
ì =áë=ëçãÉ=éçáåí=áå=íÜÉ=êÉÅí~åÖäÉ=
( ) ( )
à
N
à
á
N
á ó
I
ó
ñ
I
ñ −
− × I=~åÇ= N
á
á
á ñ
ñ
ñ −
−
=
∆ I= N
à
à
à ó
ó
ó −
−
=
∆ K=
=
=== =
Figure 189.

259
qÜÉ=ÇçìÄäÉ=áåíÉÖê~ä=çîÉê=~=ÖÉåÉê~ä=êÉÖáçå=o=áë==
( ) ( )
[ ] [ ]
∫∫
∫∫ ×
=
Ç
I
Å
Ä
I
~
o
Ç^
ó
I
ñ
Ö
Ç^
ó
I
ñ
Ñ I==
ïÜÉêÉ=êÉÅí~åÖäÉ=[ ] [ ]
Ç
I
Å
Ä
I
~ × =Åçåí~áåë=oI==
( ) ( )
ó
I
ñ
Ñ
ó
I
ñ
Ö = =áÑ= ( )
ó
I
ñ
Ñ =áë=áå=o=~åÇ= ( ) M
ó
I
ñ
Ö = =çíÜÉêïáëÉK=
=
=
=
Figure 190.
=
1079. ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
∫∫
∫∫
∫∫ +
=
+
o
o
o
Ç^
ó
I
ñ
Ö
Ç^
ó
I
ñ
Ñ
Ç^
ó
I
ñ
Ö
ó
I
ñ
Ñ =
=
1080. ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
∫∫
∫∫
∫∫ −
=
−
o
o
o
Ç^
ó
I
ñ
Ö
Ç^
ó
I
ñ
Ñ
Ç^
ó
I
ñ
Ö
ó
I
ñ
Ñ =
=
1081. ( ) ( )
∫∫
∫∫ =
o
o
Ç^
ó
I
ñ
Ñ
â
Ç^
ó
I
ñ
âÑ I==
ïÜÉêÉ=â=áë=~=Åçåëí~åíK=
=
1082. fÑ= ( ) ( )
ó
I
ñ
Ö
ó
I
ñ
Ñ ≤ =çå=oI=íÜÉå= ( ) ( )
∫∫
∫∫ ≤
o
o
Ç^
ó
I
ñ
Ö
Ç^
ó
I
ñ
Ñ K=
=
1083. fÑ= ( ) M
ó
I
ñ
Ñ ≥ =çå=o=~åÇ= o
p ⊂ I=íÜÉå=

260
= ( ) ( )
∫∫
∫∫ ≤
o
p
Ç^
ó
I
ñ
Ñ
Ç^
ó
I
ñ
Ñ K=
=
=
=
Figure 191.
=
1084. fÑ= ( ) M
ó
I
ñ
Ñ ≥ =çå=o=~åÇ=o=~åÇ=p=~êÉ=åçå-çîÉêä~ééáåÖ=
êÉÖáçåëI=íÜÉå= ( ) ( ) ( )
∫∫
∫∫
∫∫ +
=
∪ p
o
p
o
Ç^
ó
I
ñ
Ñ
Ç^
ó
I
ñ
Ñ
Ç^
ó
I
ñ
Ñ K==
eÉêÉ= p
o ∪ =áë=íÜÉ=ìåáçå=çÑ=íÜÉ=êÉÖáçåë=o=~åÇ=pK=
=
=
=
Figure 192.
=
=

261
1085. fíÉê~íÉÇ=fåíÉÖê~äë=~åÇ=cìÄáåá∞ë=qÜÉçêÉã=
( ) ( )
( )
( )
∫ ∫
∫∫ =
Ä
~
ñ
è
ñ
é
o
ÇóÇñ
ó
I
ñ
Ñ
Ç^
ó
I
ñ
Ñ ==
Ñçê=~=êÉÖáçå=çÑ=íóéÉ=fI==
( ) ( ) ( )
{ }
ñ
è
ó
ñ
é
I
Ä
ñ
~
ö
ó
I
ñ
o ≤
≤
≤
≤
= K=
=
=
=
Figure 193.
=
( ) ( )
( )
( )
∫ ∫
∫∫ =
Ç
Å
ó
î
ó
ì
o
ÇñÇó
ó
I
ñ
Ñ
Ç^
ó
I
ñ
Ñ ==
Ñçê=~=êÉÖáçå=çÑ=íóéÉ=ffI=
( ) ( ) ( )
{ }
Ç
ó
Å
I
ó
î
ñ
ó
ì
ö
ó
I
ñ
o ≤
≤
≤
≤
= K=
=

262
=
=
Figure 194.
=
1086. açìÄäÉ=fåíÉÖê~äë=çîÉê=oÉÅí~åÖìä~ê=oÉÖáçåë=
=
fÑ=o=áë=íÜÉ=êÉÅí~åÖìä~ê=êÉÖáçå=[ ] [ ]
Ç
I
Å
Ä
I
~ × I=íÜÉå==
( ) ( ) ( )
∫ ∫
∫ ∫
∫∫ 







=








=
Ç
Å
Ä
~
Ä
~
Ç
Å
o
Çó
Çñ
ó
I
ñ
Ñ
Çñ
Çó
ó
I
ñ
Ñ
ÇñÇó
ó
I
ñ
Ñ K==
=
få=íÜÉ=ëéÉÅá~ä=Å~ëÉ=ïÜÉêÉ=íÜÉ=áåíÉÖê~åÇ= ( )
ó
I
ñ
Ñ =Å~å=ÄÉ=ïêáí-
íÉå=~ë= ( ) ( )
ó
Ü
ñ
Ö =ïÉ=Ü~îÉ==
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 















=
= ∫
∫
∫∫
∫∫
Ç
Å
Ä
~
o
o
Çó
ó
Ü
Çñ
ñ
Ö
ÇñÇó
ó
Ü
ñ
Ö
ÇñÇó
ó
I
ñ
Ñ K==
=
1087. `Ü~åÖÉ=çÑ=s~êá~ÄäÉë=
( ) ( ) ( )
[ ] ( )
( )
ÇìÇî
î
I
ì
ó
I
ñ
î
I
ì
ó
I
î
I
ì
ñ
Ñ
ÇñÇó
ó
I
ñ
Ñ
p
o
∂
∂
= ∫∫
∫∫ I==
ïÜÉêÉ=
( )
( )
M
î
ó
ì
ó
î
ñ
ì
ñ
î
I
ì
ó
I
ñ
≠
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
áë= íÜÉ= à~ÅçÄá~å= çÑ= íÜÉ= íê~åë-
Ñçêã~íáçåë= ( ) ( )
î
I
ì
ó
I
ñ → I=~åÇ=p=áë=íÜÉ=éìääÄ~Åâ=çÑ=o=ïÜáÅÜ=

263
Å~å=ÄÉ=ÅçãéìíÉÇ=Äó= ( )
î
I
ì
ñ
ñ = I= ( )
î
I
ì
ó
ó = =áåíç=íÜÉ=ÇÉÑáåá-
íáçå=çÑ=oK==
=
1088. mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=
θ
= Åçë
ê
ñ I= θ
= ëáå
ê
ó K==
=
=
=
Figure 195.
=
1089. açìÄäÉ=fåíÉÖê~äë=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=
=
qÜÉ=aáÑÑÉêÉåíá~ä=ÇñÇó=Ñçê=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=áë==
( )
( )
θ
=
θ
θ
∂
∂
= êÇêÇ
ÇêÇ
I
ê
ó
I
ñ
ÇñÇó K==
=
iÉí=íÜÉ=êÉÖáçå=o=áë=ÇÉíÉêãáåÉÇ=~ë=ÑçääçïëW=
( ) ( )
θ
≤
≤
θ
≤ Ü
ê
Ö
M I= β
≤
θ
≤
α I=ïÜÉêÉ= π
≤
α
−
β O K==
qÜÉå==
( ) ( )
( )
( )
∫ ∫
∫∫
β
α
θ
θ
θ
θ
θ
=
Ü
Ö
o
êÇêÇ
ëáå
ê
I
Åçë
ê
Ñ
ÇñÇó
ó
I
ñ
Ñ K=
=

264
=
=
Figure 196.
=
fÑ=íÜÉ=êÉÖáçå=o=áë=íÜÉ=éçä~ê=êÉÅí~åÖäÉ=ÖáîÉå=Äó==
Ä
ê
~
M ≤
≤
≤ I= β
≤
θ
≤
α I=ïÜÉêÉ= π
≤
α
−
β O I===
íÜÉå==
( ) ( )
∫∫
∫∫
β
α
θ
θ
θ
=
Ä
~
o
êÇêÇ
ëáå
ê
I
Åçë
ê
Ñ
ÇñÇó
ó
I
ñ
Ñ K==
=
=
=
Figure 197.
=
=

265
1090. ^êÉ~=çÑ=~=oÉÖáçå=
( )
( )
∫ ∫
=
Ä
~
ñ
Ñ
ñ
Ö
ÇóÇñ
^ =EÑçê=~=íóéÉ=f=êÉÖáçåFK=
=
=
=
Figure 198.
=
( )
( )
∫ ∫
=
Ç
Å
ó
è
ó
é
ÇñÇó
^ =EÑçê=~=íóéÉ=ff=êÉÖáçåFK=
=
=
=
Figure 199.
=
=

266
1091. sçäìãÉ=çÑ=~=pçäáÇ=
( )
∫∫
=
o
Ç^
ó
I
ñ
Ñ
s K==
=
=
=
Figure 200.
=
fÑ=o=áë=~=íóéÉ=f=êÉÖáçå=ÄçìåÇÉÇ=Äó= ~
ñ = I= Ä
ñ = I= ( )
ñ
Ü
ó = I=
( )
ñ
Ö
ó = I=íÜÉå==
( ) ( )
( )
( )
∫ ∫
∫∫ =
=
Ä
~
ñ
Ö
ñ
Ü
o
ÇóÇñ
ó
I
ñ
Ñ
Ç^
ó
I
ñ
Ñ
s K==
=
fÑ=o=áë=~=íóéÉ=ff=êÉÖáçå=ÄçìåÇÉÇ=Äó= Å
ó = I= Ç
ó = I= ( )
ó
è
ñ = I=
( )
ó
é
ñ = I=íÜÉå=
( ) ( )
( )
( )
∫ ∫
∫∫ =
=
Ç
Å
ó
è
ó
é
o
ÇñÇó
ó
I
ñ
Ñ
Ç^
ó
I
ñ
Ñ
s K==
=

267
fÑ== ( ) ( )
ó
I
ñ
Ö
ó
I
ñ
Ñ ≥ ==çîÉê==~==êÉÖáçå==oI==íÜÉå==íÜÉ==îçäìãÉ==çÑ=
íÜÉ= ëçäáÇ= ÄÉíïÉÉå= ( )
ó
I
ñ
Ñ
òN = = ~åÇ= ( )
ó
I
ñ
Ö
òO = = çîÉê= o= áë=
ÖáîÉå=Äó=
( ) ( )
[ ]
∫∫ −
=
o
Ç^
ó
I
ñ
Ö
ó
I
ñ
Ñ
s K==
=
1092. ^êÉ~=~åÇ=sçäìãÉ=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=
fÑ=p=áë=~=êÉÖáçå=áå=íÜÉ=ñó-éä~åÉ=ÄçìåÇÉÇ=Äó= α
=
θ I= β
=
θ I=
( )
θ
= Ü
ê I= ( )
θ
= Ö
ê I==
íÜÉå==
( )
( )
∫ ∫
∫∫
β
α
θ
θ
θ
=
=
Ö
Ü
p
êÇêÇ
Ç^
^ I==
( )
∫∫ θ
θ
=
p
êÇêÇ
I
ê
Ñ
s K==
=
=
=
Figure 201.
=
1093. pìêÑ~ÅÉ=^êÉ~=
ÇñÇó
ó
ò
ñ
ò
N
p
o
O
O
∫∫ 







∂
∂
+






∂
∂
+
= =
=

268
1094. j~ëë=çÑ=~=i~ãáå~=
( )
∫∫ρ
=
o
Ç^
ó
I
ñ
ã I==
ïÜÉêÉ==íÜÉ==ä~ãáå~==çÅÅìéáÉë==~==êÉÖáçå==o=~åÇ==áíë==ÇÉåëáíó==~í=
~=éçáåí=EñIóF=áë= ( )
ó
I
ñ
ρ K===
=
1095. jçãÉåíë=
qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=íÜÉ=ä~ãáå~=~Äçìí=íÜÉ==ñ-~ñáë==áë=ÖáîÉå=Äó=Ñçê-
ãìä~=
( )
∫∫ ρ
=
o
ñ Ç^
ó
I
ñ
ó
j K==
=
qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=íÜÉ=ä~ãáå~=~Äçìí=íÜÉ=ó-~ñáë=áë=
( )
∫∫ ρ
=
o
ó Ç^
ó
I
ñ
ñ
j K=
=
qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=áåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñ-~ñáë=áë=
( )
∫∫ ρ
=
o
O
ñ Ç^
ó
I
ñ
ó
f K==
=
qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=áåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ó-~ñáë=áë=
( )
∫∫ ρ
=
o
O
ó Ç^
ó
I
ñ
ñ
f K==
=
qÜÉ=éçä~ê=ãçãÉåí=çÑ=áåÉêíá~=áë=
( ) ( )
∫∫ ρ
+
=
o
O
O
M Ç^
ó
I
ñ
ó
ñ
f K==
=
1096. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë=
( )
( )
( )
∫∫
∫∫
∫∫ ρ
ρ
=
ρ
=
=
o
o
o
ó
Ç^
ó
I
ñ
Ç^
ó
I
ñ
ñ
Ç^
ó
I
ñ
ñ
ã
N
ã
j
ñ I==

269
( )
( )
( )
∫∫
∫∫
∫∫ ρ
ρ
=
ρ
=
=
o
o
o
ñ
Ç^
ó
I
ñ
Ç^
ó
I
ñ
ó
Ç^
ó
I
ñ
ó
ã
N
ã
j
ó K==
=
1097. `Ü~êÖÉ=çÑ=~=mä~íÉ=
( )
∫∫σ
=
o
Ç^
ó
I
ñ
n I==
ïÜÉêÉ=ÉäÉÅíêáÅ~ä=ÅÜ~êÖÉ=áë=ÇáëíêáÄìíÉÇ=çîÉê=~=êÉÖáçå=o=~åÇ=áíë=
ÅÜ~êÖÉ=ÇÉåëáíó=~í=~=éçáåí=EñIóF=áë= ( )
ó
I
ñ
σ K===
=
1098. ^îÉê~ÖÉ=çÑ=~=cìåÅíáçå=
( )
∫∫
=
µ
o
Ç^
ó
I
ñ
Ñ
p
N
I==
ïÜÉêÉ= ∫∫
=
o
Ç^
p K==
=
=
=
9.11 Triple Integral
=
cìåÅíáçåë=çÑ=íÜêÉÉ=î~êá~ÄäÉëW= ( )
ò
I
ó
I
ñ
Ñ I= ( )
ò
I
ó
I
ñ
Ö I=£=
qêáéäÉ=áåíÉÖê~äëW= ( )
∫∫∫
d
Çs
ò
I
ó
I
ñ
Ñ I= ( )
∫∫∫
d
Çs
ò
I
ó
I
ñ
Ö I=£=
∑∑∑
= = =
∆
∆
∆
ã
N
á
å
N
à
é
N
â
â
à
á
â
à
á ò
ó
ñ
ï
I
î
I
ì
Ñ =
ñ
∆ I= à
ó
∆ I= â
ò
∆ =
iáãáíë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåW=~I=ÄI=ÅI=ÇI=êI=ë=
oÉÖáçåë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåW=dI=qI=p==
`óäáåÇêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉëW=êI=θ I=ò=
péÜÉêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉëW=êI=θ I=ϕ =

270
j~ëë=çÑ=~=ëçäáÇW=ã==
aÉåëáíóW= ( )
ò
I
ó
I
ñ
µ =
`ççêÇáå~íÉë=çÑ=ÅÉåíÉê=çÑ=ã~ëëW= ñ I= ó I= ò =
cáêëí=ãçãÉåíëW= ñó
j I= óò
j I= ñò
j =
jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= ñó
f I= óò
f I= ñò
f I= ñ
f I= ó
f I= ò
f I= M
f =
=
=
1099. aÉÑáåáíáçå=çÑ=qêáéäÉ=fåíÉÖê~ä=
qÜÉ=íêáéäÉ=áåíÉÖê~ä=çîÉê=~=é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ= [ ] [ ] [ ]
ë
I
ê
Ç
I
Å
Ä
I
~ ×
× =
áë=ÇÉÑáåÉÇ=íç=ÄÉ==
( )
[ ] [ ] [ ]
( ) I
ò
ó
ñ
ï
I
î
I
ì
Ñ
äáã
Çs
ò
I
ó
I
ñ
Ñ
ã
N
á
å
N
à
é
N
â
â
à
á
â
à
á
M
ò
ã~ñ
M
ó
ã~ñ
M
ñ
ã~ñ
ë
I
ê
Ç
I
Å
Ä
I
~
â
à
á
∑∑∑
∫∫∫ = = =
→
∆
→
∆
→
∆
×
×
∆
∆
∆
=
ïÜÉêÉ=( )
â
à
á ï
I
î
I
ì =áë=ëçãÉ=éçáåí=áå=íÜÉ=é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ=
( ) ( ) ( )
â
N
â
à
N
à
á
N
á ò
I
ò
ó
I
ó
ñ
I
ñ −
−
− ×
× I=~åÇ= N
á
á
á ñ
ñ
ñ −
−
=
∆ I=
N
à
à
à ó
ó
ó −
−
=
∆ I= N
â
â
â ò
ò
ò −
−
=
∆ K=
=
1100. ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫ +
=
+
d
d
d
Çs
ò
I
ó
I
ñ
Ö
Çs
ò
I
ó
I
ñ
Ñ
Çs
ò
I
ó
I
ñ
Ö
ò
I
ó
I
ñ
Ñ
=
1101. ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫ −
=
−
d
d
d
Çs
ò
I
ó
I
ñ
Ö
Çs
ò
I
ó
I
ñ
Ñ
Çs
ò
I
ó
I
ñ
Ö
ò
I
ó
I
ñ
Ñ
=
1102. ( ) ( )
∫∫∫
∫∫∫ =
d
d
Çs
ò
I
ó
I
ñ
Ñ
â
Çs
ò
I
ó
I
ñ
âÑ I==
ïÜÉêÉ=â=áë=~=Åçåëí~åíK=
=
1103. fÑ== ( ) M
ò
I
ó
I
ñ
Ñ ≥ =~åÇ=d=~åÇ=q=~êÉ=åçåçîÉêä~ééáåÖ=Ä~ëáÅ=
êÉÖáçåëI=íÜÉå==
( ) ( ) ( )
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫ +
=
∪ q
d
q
d
Çs
ò
I
ó
I
ñ
Ñ
Çs
ò
I
ó
I
ñ
Ñ
Çs
ò
I
ó
I
ñ
Ñ K==
eÉêÉ= q
d∪ =áë=íÜÉ=ìåáçå=çÑ=íÜÉ=êÉÖáçåë=d=~åÇ=qK=
=

271
1104. bî~äì~íáçå=çÑ=qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=Äó=oÉéÉ~íÉÇ=fåíÉÖê~äë=
fÑ=íÜÉ=ëçäáÇ=d=áë=íÜÉ=ëÉí=çÑ=éçáåíë=( )
ò
I
ó
I
=( ) ( ) ( )
ó
I
ñ
ò
ó
I
ñ
I
o
ó
I
ñ O
N χ
≤
≤
χ
∈ I=íÜÉå==
= ( ) ( )
( )
( )
ÇñÇó
Çò
ò
I
ó
I
ñ
Ñ
ÇñÇóÇò
ò
I
ó
I
ñ
Ñ
o
ó
I
ñ
ó
I
ñ
d
O
N
∫∫ ∫
∫∫∫ 







=
χ
χ
I==
ïÜÉêÉ=o=áë=éêçàÉÅíáçå=çÑ=d=çåíç=íÜÉ=ñó-éä~åÉK=
=
fÑ=íÜÉ=ëçäáÇ=d=áë=íÜÉ=ëÉí=çÑ=éçáåíë=( )
ò
I
ó
I
( ) ( ) ( ) ( )
ó
I
ñ
ò
ó
I
ñ
I
ñ
ó
ñ
I
Ä
ñ
~ O
N
O
N χ
≤
≤
χ
ϕ
≤
≤
ϕ
≤
≤ I=íÜÉå==
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
Çñ
Çó
Çò
ò
I
ó
I
ñ
Ñ
ÇñÇóÇò
ò
I
ó
I
ñ
Ñ
Ä
~
ñ
ñ
ó
I
ñ
ó
I
ñ
d
O
N
O
N
∫ ∫ ∫
∫∫∫ 















=
ϕ
ϕ
χ
χ
==
=
1105. qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=çîÉê=m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ=
fÑ=d=áë=~=é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ=[ ] [ ] [ ]
ë
I
ê
Ç
I
Å
Ä
I
~ ×
× I=íÜÉå=
( ) ( ) Çñ
Çó
Çò
ò
I
ó
I
ñ
Ñ
ÇñÇóÇò
ò
I
ó
I
ñ
Ñ
Ä
~
Ç
Å
ë
ê
d
∫ ∫ ∫
∫∫∫ 















= K==
=
få==íÜÉ=ëéÉÅá~ä=Å~ëÉ==ïÜÉêÉ=íÜÉ=áåíÉÖê~åÇ== ( )
ò
I
ó
I
ñ
Ñ ==Å~å=ÄÉ=
ïêáííÉå=~ë= ( ) ( ) ( )
ò
â
ó
Ü
ñ
Ö =ïÉ=Ü~îÉ==
( ) ( ) ( ) ( ) 























= ∫
∫
∫
∫∫∫
ë
ê
Ç
Å
Ä
~
d
Çò
ò
â
Çó
ó
Ü
Çñ
ñ
Ö
ÇñÇóÇò
ò
I
ó
I
ñ
Ñ K==
=
1106. `Ü~åÖÉ=çÑ=s~êá~ÄäÉë=
( ) =
∫∫∫
d
ÇñÇóÇò
ò
I
ó
I
ñ
Ñ =
( ) ( ) ( )
[ ] ( )
( )
I
ÇñÇóÇò
ï
I
î
I
ì
ò
I
ó
I
ñ
ï
I
î
I
ì
ò
I
ï
I
î
I
ì
ó
I
ï
I
î
I
ì
ñ
Ñ
p
∫∫∫ ∂
∂
= =

272
ïÜÉêÉ==
( )
( )
M
ï
ò
î
ò
ì
ò
ï
ó
î
ó
ì
ó
ï
ñ
î
ñ
ì
ñ
ï
I
î
I
ì
ò
I
ó
I
ñ
≠
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
==áë==íÜÉ==à~ÅçÄá~å==çÑ=
íÜÉ= íê~åëÑçêã~íáçåë= ( ) ( )
ï
I
î
I
ì
ò
I
ó
I
ñ → I= ~åÇ= p= áë= íÜÉ= éìää-
Ä~Åâ= çÑ= d= ïÜáÅÜ= Å~å= ÄÉ= ÅçãéìíÉÇ= Äó= ( )
ï
I
î
I
ì
ñ
ñ = I=
( )
ï
I
î
I
ì
ó
ó = =
( )
ï
I
î
I
ì
ò
ò = =áåíç=íÜÉ=ÇÉÑáåáíáçå=çÑ=dK=
=
=
1107. qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=áå=`óäáåÇêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë=
qÜÉ=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=ÇñÇóÇò=Ñçê=ÅóäáåÇêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉë=áë==
( )
( )
Çò
êÇêÇ
Çò
ÇêÇ
ò
I
I
ê
ò
I
ó
I
ñ
ÇñÇóÇò θ
=
θ
θ
∂
∂
= K==
=
iÉí=íÜÉ=ëçäáÇ=d=áë=ÇÉíÉêãáåÉÇ=~ë=ÑçääçïëW=
( ) ( ) ( )
ó
I
ñ
ò
ó
I
ñ
I
o
ó
I
ñ O
N χ
≤
≤
χ
∈ I=
ïÜÉêÉ=o=áë=éêçàÉÅíáçå=çÑ=d=çåíç=íÜÉ=ñó-éä~åÉK=qÜÉå==
( ) ( )
∫∫∫
∫∫∫ θ
θ
θ
=
p
d
Çò
êÇêÇ
ò
I
ëáå
ê
I
Åçë
ê
Ñ
ÇñÇóÇò
ò
I
ó
I
ñ
Ñ =
( )
( )
( )
( )
θ








θ
θ
= ∫∫ ∫
θ
θ
θ
χ
θ
θ
χ
êÇêÇ
Çò
ò
I
ëáå
ê
I
Åçë
ê
Ñ
I
ê
o
ëáå
ê
I
Åçë
ê
ëáå
ê
I
Åçë
ê
O
N
K=
eÉêÉ=p=áë=íÜÉ=éìääÄ~Åâ=çÑ=d=áå=ÅóäáåÇêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉëK=
=
1108. qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=áå=péÜÉêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë=
qÜÉ=aáÑÑÉêÉåíá~ä=ÇñÇóÇò=Ñçê=péÜÉêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë=áë==
( )
( )
ϕ
θ
θ
=
ϕ
θ
ϕ
θ
∂
∂
= Ç
ÇêÇ
ëáå
ê
Ç
ÇêÇ
I
I
ê
ò
I
ó
I
ñ
ÇñÇóÇò O
==
=
( ) =
∫∫∫
d
ÇñÇóÇò
ò
I
ó
I
ñ
Ñ =

273
========= ( )
∫∫∫ ϕ
θ
θ
θ
ϕ
θ
ϕ
θ
=
p
O
Ç
ÇêÇ
ëáå
ê
Åçë
ê
I
ëáå
ëáå
ê
I
Åçë
ëáå
ê
Ñ I==
ïÜÉêÉ=íÜÉ=ëçäáÇ=p=áë=íÜÉ=éìääÄ~Åâ=çÑ=d=áå=ëéÜÉêáÅ~ä=ÅççêÇá-
å~íÉëK=qÜÉ=~åÖäÉ==θ ==ê~åÖÉë==Ñêçã==M=íç== π
O I==íÜÉ==~åÖäÉ==ϕ =
ê~åÖÉë=Ñêçã=M=íç=πK==
=
======= =
=
Figure 202.
=
1109. sçäìãÉ=çÑ=~=pçäáÇ=
∫∫∫
=
d
ÇñÇóÇò
s =
=
1110. sçäìãÉ=áå=`óäáåÇêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë=
( )
Çò
êÇêÇ
s
ò
I
I
ê
p
∫∫∫
θ
θ
= =
=
1111. sçäìãÉ=áå=péÜÉêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë=
( )
ϕ
θ
θ
= ∫∫∫ϕ
θ
Ç
ÇêÇ
ëáå
ê
s
I
I
ê
p
O
=
=

274
1112. j~ëë=çÑ=~=pçäáÇ=
( )
∫∫∫ µ
=
d
Çs
ò
I
ó
I
ñ
ã I==
ïÜÉêÉ= íÜÉ= ëçäáÇ= çÅÅìéáÉë= ~= êÉÖáçå= d= ~åÇ= áíë= ÇÉåëáíó= ~í============
~=éçáåí=( )
ò
I
ó
I
ñ =áë= ( )
ò
I
ó
I
ñ
µ K===
=
1113. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë=çÑ=~=pçäáÇ=
ã
j
ñ
óò
= I=
ã
j
ó ñò
= I=
ã
j
ò
ñó
= I==
ïÜÉêÉ==
( )
∫∫∫ µ
=
d
óò Çs
ò
I
ó
I
ñ
ñ
j I==
( )
∫∫∫ µ
=
d
ñò Çs
ò
I
ó
I
ñ
ó
j I==
( )
∫∫∫ µ
=
d
ñó Çs
ò
I
ó
I
ñ
ò
j =
~êÉ==íÜÉ==Ñáêëí==ãçãÉåíë==~Äçìí==íÜÉ==ÅççêÇáå~íÉ=éä~åÉë= M
ñ = I=
M
ó = I= M
ò = I=êÉëéÉÅíáîÉäóI== ( )
ò
I
ó
I
ñ
µ =áë=íÜÉ=ÇÉåëáíó=ÑìåÅíáçåK==
=
1114. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí==íÜÉ==ñó-éä~åÉ=Eçê= M
ò = FI=óò-éä~åÉ==
E M
ñ = FI=~åÇ=ñò-éä~åÉ=E M
ó = F=
( )
∫∫∫ µ
=
d
O
ñó Çs
ò
I
ó
I
ñ
ò
f I==
( )
∫∫∫ µ
=
d
O
óò Çs
ò
I
ó
I
ñ
ñ
f I==
( )
∫∫∫ µ
=
d
O
ñò Çs
ò
I
ó
I
ñ
ó
f K==
=
1115. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñ-~ñáëI=ó-~ñáëI=~åÇ=ò-~ñáë=
( ) ( )
∫∫∫ µ
+
=
+
=
d
O
O
ñò
ñó
ñ Çs
ò
I
ó
I
ñ
ó
ò
f
f
f I==
( ) ( )
∫∫∫ µ
+
=
+
=
d
O
O
óò
ñó
ó Çs
ò
I
ó
I
ñ
ñ
ò
f
f
f I==

275
( ) ( )
∫∫∫ µ
+
=
+
=
d
O
O
óò
ñò
ò Çs
ò
I
ó
I
ñ
ñ
ó
f
f
f K==
=
1116. mçä~ê=jçãÉåí=çÑ=fåÉêíá~=
( ) ( )
∫∫∫ µ
+
+
=
+
+
=
d
O
O
O
ñò
óò
ñó
M Çs
ò
I
ó
I
ñ
ò
ó
ñ
f
f
f
f =
=
=
9.12 Line Integral
=
pÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçåëW= ( )
ò
I
ó
I
ñ
c I= ( )
ó
I
ñ
c I= ( )
ñ
Ñ =
pÅ~ä~ê=éçíÉåíá~äW= ( )
ò
I
ó
I
ñ
ì =
`ìêîÉëW=`I= N
` I= O
` =
iáãáíë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåëW=~I=ÄI=α I=β =
m~ê~ãÉíÉêëW=íI=ë=
mçä~ê=ÅççêÇáå~íÉëW=êI=θ =
sÉÅíçê=ÑáÉäÇW= ( )
o
I
n
I
m
c
r
=
mçëáíáçå=îÉÅíçêW= ( )
ë
ê
r
=
r
I= à
r
I=â
r
I= τ
r
=
^êÉ~=çÑ=êÉÖáçåW=p=
iÉåÖíÜ=çÑ=~=ÅìêîÉW=i=
j~ëë=çÑ=~=ïáêÉW=ã=
aÉåëáíóW= ( )
ò
I
ó
I
ñ
ρ I= ( )
ó
I
ñ
ρ =
`ççêÇáå~íÉë=çÑ=ÅÉåíÉê=çÑ=ã~ëëW= ñ I= ó I=ò =
j I= óò
j I= ñò
j =
jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= ñ
f I= ó
f I= ò
f =
tçêâW=t=
j~ÖåÉíáÅ=ÑáÉäÇW=_
r
=
`ìêêÉåíW=f=
bäÉÅíêçãçíáîÉ=ÑçêÅÉW=ε =
j~ÖåÉíáÅ=ÑäìñW=ψ =

276
1117. iáåÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=~=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå=
iÉí=~=ÅìêîÉ=`=ÄÉ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑìåÅíáçå= ( )
ë
ê
ê
r
r
= I=
p
ë
M ≤
≤ I=~åÇ=~=ëÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçå=c=áë=ÇÉÑáåÉÇ=çîÉê=íÜÉ=ÅìêîÉ=`K==
qÜÉå==
( )
( ) ( ) ∫
∫
∫ =
=
`
`
p
M
cÇë
Çë
ò
I
ó
I
ñ
c
Çë
ë
ê
c
r
I==
ïÜÉêÉ=Çë=áë=íÜÉ=~êÅ=äÉåÖíÜ=ÇáÑÑÉêÉåíá~äK==
=
1118. ∫
∫
∫ +
=
∪ O
N
O
N `
`
`
`
Çë
c
Çë
c
Çë
c =
=
=
=
Figure 203.
=
1119. fÑ=íÜÉ=ëãççíÜ=ÅìêîÉ=`=áë=é~ê~ãÉíêáòÉÇ=Äó= ( )
í
ê
ê
r
r
= I=
β
≤
≤
α í I=íÜÉå==
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
∫
∫
β
α
′
+
′
+
′
= Çí
í
ò
í
ó
í
ñ
í
ò
I
í
ó
I
í
ñ
c
Çë
ò
I
ó
I
ñ
c
O
O
O
`
K=
=
1120. fÑ=`=áë=~=ëãççíÜ=ÅìêîÉ=áå=íÜÉ=ñó-éä~åÉ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå=
( )
ñ
Ñ
ó = I= Ä
ñ
~ ≤
≤ I=íÜÉå==
( ) ( )
( ) ( )
( )
∫
∫ ′
+
=
Ä
~
O
`
Çñ
ñ
Ñ
N
ñ
Ñ
I
ñ
c
Çë
ó
I
ñ
c K==
=
1121. iáåÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=

277
( ) ( )
∫
∫
β
α
θ






θ
+
θ
θ
= Ç
Ç
Çê
ê
ëáå
ê
I
Åçë
ê
c
Çë
ó
I
ñ
c
O
O
`
I==
ïÜÉêÉ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=ÇÉÑáåÉÇ=Äó=íÜÉ=éçä~ê=ÑìåÅíáçå= F
E
ê θ K=
=
1122. iáåÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=sÉÅíçê=cáÉäÇ=
iÉí=~=ÅìêîÉ=`=ÄÉ=ÇÉÑáåÉÇ=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑìåÅíáçå= ( )
ë
ê
ê
r
r
= I=
p
ë
M ≤
≤ K=qÜÉå==
( )
γ
β
α
=
τ
= Åçë
I
Åçë
I
Åçë
Çë
ê
Ç r
r
==
áë=íÜÉ=ìåáí=îÉÅíçê=çÑ=íÜÉ=í~åÖÉåí=äáåÉ=íç=íÜáë=ÅìêîÉK==
=
=
=
Figure 204.
=
iÉí= ~= îÉÅíçê= ÑáÉäÇ= ( )
o
I
n
I
m
c
r
= áë= ÇÉÑáåÉÇ= çîÉê= íÜÉ= ÅìêîÉ= `K=
qÜÉå=íÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑáÉäÇ= c
r
=~äçåÖ=íÜÉ=ÅìêîÉ=
`=áë==
( )
∫
∫ γ
+
β
+
α
=
+
+
p
M
`
Çë
Åçë
o
Åçë
n
Åçë
m
oÇò
nÇó
mÇñ K=
=
=

278
1123. mêçéÉêíáÉë=çÑ=iáåÉ=fåíÉÖê~äë=çÑ=sÉÅíçê=cáÉäÇë=
( ) ( )
∫
∫ ⋅
−
=
⋅
− `
`
ê
Ç
c
ê
Ç
c
r
r
r
r
I==
ïÜÉêÉ=-`=ÇÉåçíÉ==íÜÉ=ÅìêîÉ=ïáíÜ=íÜÉ=çééçëáíÉ=çêáÉåí~íáçåK=
=
( ) ( ) ( ) ( )
∫
∫
∫
∫ ⋅
+
⋅
=
⋅
=
⋅
∪ O
N
O
N `
`
`
`
`
ê
Ç
c
ê
Ç
c
ê
Ç
c
ê
Ç
c
r
r
r
r
r
r
r
r
I==
ïÜÉêÉ=`=áë=íÜÉ=ìåáçå=çÑ=íÜÉ=ÅìêîÉë= N
` =~åÇ= O
` K==
=
1124. fÑ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ=Äó= ( ) ( ) ( ) ( )
í
ò
I
í
ó
I
í
ñ
í
ê =
r
I=
β
≤
≤
α í I=íÜÉå==
=
+
+
∫
`
oÇò
nÇó
mÇñ =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
∫
β
α






+
+
= Çí
Çí
Çò
í
ò
I
í
ó
I
í
ñ
o
Çí
Çó
í
ò
I
í
ó
I
í
ñ
n
Çí
Çñ
í
ò
I
í
ó
I
í
ñ
m
=
1125. fÑ=`=äáÉë=áå=íÜÉ=ñó-éä~åÉ=~åÇ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå= ( )
ñ
Ñ
ó = I=
íÜÉå==
( )
( ) ( )
( )
∫
∫ 





+
=
+
Ä
~
`
Çñ
Çñ
ÇÑ
ñ
Ñ
I
ñ
n
ñ
Ñ
I
ñ
m
nÇó
mÇñ K==
=
1126. dêÉÉå∞ë=qÜÉçêÉã=
∫
∫∫ +
=








∂
∂
−
∂
∂
`
o
nÇó
mÇñ
ÇñÇó
ó
m
ñ
n
I==
ïÜÉêÉ= ( ) ( )à
ó
I
ñ
n
á
ó
I
ñ
m
c
r
r
r
+
= = áë= ~= Åçåíáåìçìë= îÉÅíçê= ÑìåÅ-
íáçå=ïáíÜ==Åçåíáåìçìë==Ñáêëí=é~êíá~ä==ÇÉêáî~íáîÉë=
ó
m
∂
∂
I=
ñ
n
∂
∂
=áå=~=
ëçãÉ= Ççã~áå= oI= ïÜáÅÜ= áë= ÄçìåÇÉÇ= Äó= ~= ÅäçëÉÇI= éáÉÅÉïáëÉ=
ëãççíÜ=ÅìêîÉ=`K==
=
=

279
1127. ^êÉ~=çÑ=~=oÉÖáçå=o=_çìåÇÉÇ=Äó=íÜÉ=`ìêîÉ=`=
∫
∫∫ −
=
=
`
o
óÇñ
ñÇó
O
N
ÇñÇó
p =
=
1128. m~íÜ=fåÇÉéÉåÇÉåÅÉ=çÑ=iáåÉ=fåíÉÖê~äë=
qÜÉ= äáåÉ= áåíÉÖê~ä= çÑ= ~= îÉÅíçê= ÑìåÅíáçå= â
o
à
n
á
m
c
r
r
r
r
+
+
= = áë=
ë~áÇ=íç=ÄÉ=é~íÜ=áåÇÉéÉåÇÉåíI=áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ=mI=nI=~åÇ=o=~êÉ=
Åçåíáåìçìë=áå=~=Ççã~áå=aI=~åÇ=áÑ=íÜÉêÉ=Éñáëíë=ëçãÉ=ëÅ~ä~ê=
ÑìåÅíáçå== ( )
ò
I
ó
I
ñ
ì
ì = ==E~==ëÅ~ä~ê==éçíÉåíá~äF==áå==a==ëìÅÜ=íÜ~í=
ì
Öê~Ç
c =
r
I=çê= m
ñ
ì
=
∂
∂
I= n
ó
ì
=
∂
∂
I= o
ò
ì
=
∂
∂
K==
qÜÉå==
( ) ( ) ( )
^
ì
_
ì
oÇò
nÇó
mÇñ
ê
Ç
ê
c
`
`
−
=
+
+
=
⋅ ∫
∫
r
r
r
K==
=
1129. qÉëí=Ñçê=~=`çåëÉêî~íáîÉ=cáÉäÇ=
^=îÉÅíçê=ÑáÉäÇ=çÑ=íÜÉ=Ñçêã= ì
Öê~Ç
c =
r
=áë=Å~ääÉÇ=~=ÅçåëÉêî~íáîÉ=
ÑáÉäÇK=qÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=~=îÉÅíçê=ÑìåÅíáçå= â
o
à
n
á
m
c
r
r
r
r
+
+
= =
áë=é~íÜ=áåÇÉéÉåÇÉåí=áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ==
M
o
n
m
ò
ó
ñ
â
à
á
c
Åìêä
r
r
r
r
r
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= K==
=
fÑ=íÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=áë=í~âÉå=áå=ñó-éä~åÉ=ëç=íÜ~í==
( ) ( )
^
ì
_
ì
nÇó
mÇñ
`
−
=
+
∫ I==
íÜÉå=íÜÉ=íÉëí=Ñçê=ÇÉíÉêãáåáåÖ=áÑ=~=îÉÅíçê=ÑáÉäÇ=áë=ÅçåëÉêî~íáîÉ=
Å~å=ÄÉ=ïêáííÉå=áå=íÜÉ=Ñçêã==
ñ
n
ó
m
∂
∂
=
∂
∂
K==
=

280
1130. iÉåÖíÜ=çÑ=~=`ìêîÉ=
( ) ∫
∫
∫
β
α
β
α






+






+






=
=
= Çí
Çí
Çò
Çí
Çó
Çí
Çñ
Çí
í
Çí
ê
Ç
Çë
i
O
O
O
`
r
I=
ïÜÉêÉ=`=á~=~=éáÉÅÉïáëÉ=ëãççíÜ=ÅìêîÉ=ÇÉëÅêáÄÉÇ=Äó=íÜÉ=éçëá-
íáçå=îÉÅíçê= ( )
í
ê
r
I= β
≤
≤
α í K=
=
fÑ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=íïç-ÇáãÉåëáçå~äI=íÜÉå=
( ) ∫
∫
∫
β
α
β
α






+






=
=
= Çí
Çí
Çó
Çí
Çñ
Çí
í
Çí
ê
Ç
Çë
i
O
O
`
r
K==
=
fÑ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=íÜÉ=Öê~éÜ=çÑ=~=ÑìåÅíáçå= ( )
ñ
Ñ
ó = =áå=íÜÉ=ñó-
éä~åÉ=( )
Ä
ñ
~ ≤
≤ I=íÜÉå==
∫ 





+
=
Ä
~
O
Çñ
Çñ
Çó
N
i K==
=
1131. iÉåÖíÜ=çÑ=~=`ìêîÉ=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=
∫
β
α
θ
+






θ
= Ç
ê
Ç
Çê
i O
O
I==
ïÜÉêÉ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå= ( )
θ
= ê
ê I=
β
≤
θ
≤
α =áå=éçä~ê=ÅççêÇáå~íÉëK===
=
1132. j~ëë=çÑ=~=táêÉ=
( )
∫ρ
=
`
Çë
ò
I
ó
I
ñ
ã I==
ïÜÉêÉ= ( )
ò
I
ó
I
ñ
ρ =áë=íÜÉ=ã~ëë=éÉê=ìåáí=äÉåÖíÜ=çÑ=íÜÉ=ïáêÉK=
=
fÑ=`=áë=~=ÅìêîÉ=é~ê~ãÉíêáòÉÇ=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑìåÅíáçå
( ) ( ) ( ) ( )
í
ò
I
í
ó
I
í
ñ
í
ê =
r
I==íÜÉå==íÜÉ==ã~ëë==Å~å==ÄÉ==ÅçãéìíÉÇ=Äó=
íÜÉ=Ñçêãìä~=

281
( ) ( ) ( )
( )
∫
β
α






+






+






ρ
= Çí
Çí
Çò
Çí
Çó
Çí
Çñ
í
ò
I
í
ó
I
í
ñ
ã
O
O
O
K==
=
fÑ=`=áë=~=ÅìêîÉ=áå=ñó-éä~åÉI=íÜÉå=íÜÉ=ã~ëë=çÑ=íÜÉ=ïáêÉ=áë=ÖáîÉå=
Äó==
( )
∫ρ
=
`
Çë
ó
I
ñ
ã I=
çê=
( ) ( )
( )
∫
β
α






+






ρ
= Çí
Çí
Çó
Çí
Çñ
í
ó
I
í
ñ
ã
O
O
=Eáå=é~ê~ãÉíêáÅ=ÑçêãFK=
=
1133. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë=çÑ=~=táêÉ=
ã
j
ñ
óò
= I=
ã
j
ó ñò
= I=
ã
j
ò
ñó
= I=
ïÜÉêÉ==
( )
∫ ρ
=
`
óò Çë
ò
I
ó
I
ñ
ñ
j I==
( )
∫ ρ
=
`
ñò Çë
ò
I
ó
I
ñ
ó
j I==
( )
∫ ρ
=
`
ñó Çë
ò
I
ó
I
ñ
ò
j K=
=
1134. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=
qÜÉ=ãçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñ-~ñáëI=ó-~ñáëI=~åÇ=ò-~ñáë=
~êÉ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Ñçêãìä~ë=
( ) ( )
∫ ρ
+
=
`
O
O
ñ Çë
ò
I
ó
I
ñ
ò
ó
f I==
( ) ( )
∫ ρ
+
=
`
O
O
ó Çë
ò
I
ó
I
ñ
ò
ñ
f I==
( ) ( )
∫ ρ
+
=
`
O
O
ò Çë
ò
I
ó
I
ñ
ó
ñ
f K==
=

282
1135. ^êÉ~=çÑ=~=oÉÖáçå=_çìåÇÉÇ=Äó=~=`äçëÉÇ=`ìêîÉ=
∫
∫
∫ −
=
−
=
=
`
`
`
óÇñ
ñÇó
O
N
óÇñ
ñÇó
p K==
=
=
=
Figure 205.
=
fÑ=íÜÉ=ÅäçëÉÇ=ÅìêîÉ=`=áë=ÖáîÉå=áå=é~ê~ãÉíêáÅ=Ñçêã=
( ) ( ) ( )
í
ó
I
í
ñ
í
ê =
r
I=íÜÉå=íÜÉ=~êÉ~=Å~å=ÄÉ=Å~äÅìä~íÉÇ=Äó=íÜÉ=Ñçê-
ãìä~=
( ) ( ) ( ) ( )
∫
∫
∫
β
α
β
α
β
α






−
=
−
=
= Çí
Çí
Çñ
í
ó
Çí
Çó
í
ñ
O
N
Çí
Çí
Çñ
í
ó
Çí
Çí
Çó
í
ñ
p K==
=
1136. sçäìãÉ=çÑ=~=pçäáÇ=cçêãÉÇ=Äó=oçí~íáåÖ=~=`äçëÉÇ=`ìêîÉ=
~Äçìí=íÜÉ=ñ-~ñáë=
∫
∫
∫ +
π
−
=
π
−
=
π
−
=
`
O
`
`
O
Çñ
ó
ñóÇó
O
O
ñóÇó
O
Çñ
ó
s ==
=

283
=
=
Figure 206.
=
1137. tçêâ=
tçêâ=ÇçåÉ=Äó=~=ÑçêÅÉ= c
r
=çå=~å=çÄàÉÅí=ãçîáåÖ=~äçåÖ=~=ÅìêîÉ=
`=áë=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=
∫ ⋅
=
`
ê
Ç
c
t
r
r
I=
ïÜÉêÉ= c
r
=áë=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑçêÅÉ=ÑáÉäÇ=~ÅíáåÖ=çå=íÜÉ=çÄàÉÅíI= ê
Ç
r
=áë=
íÜÉ=ìåáí=í~åÖÉåí=îÉÅíçêK==
=
=
Figure 207.

284
fÑ=íÜÉ=çÄàÉÅí=áë=ãçîÉÇ=~äçåÖ=~=ÅìêîÉ=`=áå=íÜÉ=ñó-éä~åÉI=íÜÉå=
∫
∫ +
=
⋅
=
`
`
nÇó
mÇñ
ê
Ç
c
t
r
r
I==
=
fÑ= ~= é~íÜ= `= áë= ëéÉÅáÑáÉÇ= Äó= ~= é~ê~ãÉíÉê= í= Eí= çÑíÉå= ãÉ~åë=
íáãÉFI=íÜÉ=Ñçêãìä~=Ñçê=Å~äÅìä~íáåÖ=ïçêâ=ÄÉÅçãÉë=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) I
Çí
Çí
Çò
í
ò
I
í
ó
I
í
ñ
o
Çí
Çó
í
ò
I
í
ó
I
í
ñ
n
Çí
Çñ
í
ò
I
í
ó
I
í
ñ
m
t ∫
β
α






+
+
=
ïÜÉêÉ=í=ÖçÉë=Ñêçã=α =íç=β K==
=
fÑ=~=îÉÅíçê=ÑáÉäÇ= c
r
=áë=ÅçåëÉêî~íáîÉ=~åÇ= ( )
ò
I
ó
I
ñ
ì =áë=~=ëÅ~ä~ê=
éçíÉåíá~ä=çÑ=íÜÉ=ÑáÉäÇI=íÜÉå=íÜÉ=ïçêâ=çå=~å=çÄàÉÅí=ãçîáåÖ=
Ñêçã=^=íç=_=Å~å=ÄÉ=ÑçìåÇ=Äó=íÜÉ=Ñçêãìä~=
( ) ( )
^
ì
_
ì
t −
= K==
=
1138. ^ãéÉêÉ∞ë=i~ï=
f
ê
Ç
_ M
`
µ
=
⋅
∫
r
r
K==
qÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=~=ã~ÖåÉíáÅ=ÑáÉäÇ=_
r
=~êçìåÇ=~=ÅäçëÉÇ=é~íÜ=
`=áë=Éèì~ä=íç=íÜÉ=íçí~ä=ÅìêêÉåí=f=ÑäçïáåÖ=íÜêçìÖÜ=íÜÉ=~êÉ~=
ÄçìåÇÉÇ=Äó=íÜÉ=é~íÜK==
=
=
Figure 208.

285
1139. c~ê~Ç~ó∞ë=i~ï=
Çí
Ç
ê
Ç
b
`
ψ
−
=
⋅
=
ε ∫
r
r
=
=
qÜÉ=ÉäÉÅíêçãçíáîÉ=ÑçêÅÉ=EÉãÑF= ε =áåÇìÅÉÇ=~êçìåÇ=~=ÅäçëÉÇ=
äççé=`=áë=Éèì~ä=íç=íÜÉ=ê~íÉ=çÑ=íÜÉ=ÅÜ~åÖÉ=çÑ=ã~ÖåÉíáÅ=Ñäìñ= ψ =
é~ëëáåÖ=íÜêçìÖÜ=íÜÉ=äççéK===
=
=
=
Figure 209.
=
=
=
9.13 Surface Integral
=
pÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçåëW= ( )
ò
I
ó
I
ñ
Ñ I= ( )
ó
I
ñ
ò =
mçëáíáçå=îÉÅíçêëW= ( )
î
I
ì
ê
r
I= ( )
ò
I
ó
I
ñ
ê
r
=
r
I= à
r
I=â
r
=
pìêÑ~ÅÉW=p=
sÉÅíçê=ÑáÉäÇW= ( )
o
I
n
I
m
c
r
=
aáîÉêÖÉåÅÉ=çÑ=~=îÉÅíçê=ÑáÉäÇW= c
c
Çáî
r
r
⋅
∇
= =

286
`ìêä=çÑ=~=îÉÅíçê=ÑáÉäÇW= c
c
Åìêä
r
r
×
∇
= ==
sÉÅíçê=ÉäÉãÉåí=çÑ=~=ëìêÑ~ÅÉW= p
Ç
r
=
kçêã~ä=íç=ëìêÑ~ÅÉW=å
r
=
pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=^=
j~ëë=çÑ=~=ëìêÑ~ÅÉW=ã=
aÉåëáíóW= ( )
ò
I
ó
I
ñ
µ =
`ççêÇáå~íÉë=çÑ=ÅÉåíÉê=çÑ=ã~ëëW= ñ I= ó I=ò =
j I= óò
j I= ñò
j =
jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= ñó
f I= óò
f I= ñò
f I= ñ
f I= ó
f I= ò
f =
cçêÅÉW=c
r
=
dê~îáí~íáçå~ä=Åçåëí~åíW=d=
cäìáÇ=îÉäçÅáíóW= ( )
ê
î
r
r
=
cäìáÇ=ÇÉåëáíóW=ρ =
mêÉëëìêÉW= ( )
ê
é
r
=
j~ëë=ÑäìñI=ÉäÉÅíêáÅ=ÑäìñW=Φ =
pìêÑ~ÅÉ=ÅÜ~êÖÉW=n=
`Ü~êÖÉ=ÇÉåëáíóW= ( )
ó
I
ñ
σ =
j~ÖåáíìÇÉ=çÑ=íÜÉ=ÉäÉÅíêáÅ=ÑáÉäÇW=b
r
=
=
=
1140. pìêÑ~ÅÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=~=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå=
iÉí=~=ëìêÑ~ÅÉ=p=ÄÉ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=éçëáíáçå=îÉÅíçê=
( ) ( ) ( ) ( )â
î
I
ì
ò
à
î
I
ì
ó
á
î
I
ì
ñ
î
I
ì
ê
r
r
r
r
+
+
= I==
ïÜÉêÉ= ( )
î
I
ì =ê~åÖÉë=çîÉê=ëçãÉ=Ççã~áå= ( )
î
I
ì
a =çÑ=íÜÉ=ìî-
éä~åÉK=
qÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==áåíÉÖê~ä==çÑ==~==ëÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçå== ( )
ò
I
ó
I
ñ
Ñ =çîÉê=
íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=p=áë=ÇÉÑáåÉÇ=~ë==
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
∫∫
∫∫ ∂
∂
×
∂
∂
=
î
I
ì
a
p
ÇìÇî
î
ê
ì
ê
î
I
ì
ò
I
î
I
ì
ó
I
î
I
ì
ñ
Ñ
Çp
ò
I
ó
I
ñ
Ñ
r
r
I==
ïÜÉêÉ=íÜÉ=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉë=
ì
ê
∂
∂
r
=~åÇ=
î
ê
∂
∂
r
=~êÉ=ÖáîÉå=Äó==

287
( ) ( ) ( )â
î
I
ì
ì
ò
à
î
I
ì
ì
ó
á
î
I
ì
ì
ñ
ì
ê r
r
r
r
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
I==
( ) ( ) ( )â
î
I
ì
î
ò
à
î
I
ì
î
ó
á
î
I
ì
î
ñ
î
ê r
r
r
r
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
~åÇ=
î
ê
ì
ê
∂
∂
×
∂
∂
r
r
=áë=íÜÉ=Åêçëë=éêçÇìÅíK==
=
1141. fÑ==íÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==p==áë==ÖáîÉå=Äó==íÜÉ=Éèì~íáçå= ( )
ó
I
ñ
ò
ò = =ïÜÉêÉ=
( )
ó
I
ñ
ò ==áë==~==ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ==ÑìåÅíáçå==áå=íÜÉ=Ççã~áå= ( )
ó
I
ñ
a I=
íÜÉå==
( ) ( )
( )
( )
∫∫
∫∫ 







∂
∂
+






∂
∂
+
=
ó
I
ñ
a
O
O
p
ÇñÇó
ó
ò
ñ
ò
N
ó
I
ñ
ò
I
ó
I
ñ
Ñ
Çp
ò
I
ó
I
ñ
Ñ K==
=
1142. pìêÑ~ÅÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=íÜÉ=sÉÅíçê=cáÉäÇ=c
r
=çîÉê=íÜÉ=pìêÑ~ÅÉ=p=
• fÑ=p=áë=çêáÉåíÉÇ=çìíï~êÇI=íÜÉå==
===== ( ) ( )
∫∫
∫∫ ⋅
=
⋅
p
p
Çp
å
ò
I
ó
I
ñ
c
p
Ç
ò
I
ó
I
ñ
c
r
r
r
r
=
====== ( ) ( ) ( )
( )
( )
∫∫ 





∂
∂
×
∂
∂
⋅
=
î
I
ì
a
ÇìÇî
î
ê
ì
ê
î
I
ì
ò
I
î
I
ì
ó
I
î
I
ì
ñ
c
r
r
r
K==
=
• fÑ=p=áë=çêáÉåíÉÇ=áåï~êÇI=íÜÉå==
===== ( ) ( )
∫∫
∫∫ ⋅
=
⋅
p
p
Çp
å
ò
I
ó
I
ñ
c
p
Ç
ò
I
ó
I
ñ
c
r
r
r
r
=
====== ( ) ( ) ( )
( )
( )
∫∫ 





∂
∂
×
∂
∂
⋅
=
î
I
ì
a
ÇìÇî
ì
ê
î
ê
î
I
ì
ò
I
î
I
ì
ó
I
î
I
ì
ñ
c
r
r
r
K==
=
Çp
å
p
Ç
r
r
= ==áë==Å~ääÉÇ==íÜÉ==îÉÅíçê=ÉäÉãÉåí=çÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉK==açí=
ãÉ~åë==íÜÉ==ëÅ~ä~ê==éêçÇìÅí==çÑ==íÜÉ==~ééêçéêá~íÉ==îÉÅíçêëK=
qÜÉ=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉë=
ì
ê
∂
∂
r
=~åÇ==
î
ê
∂
∂
r
=~êÉ=ÖáîÉå=Äó==

288
( ) ( ) ( ) â
î
I
ì
ì
ò
à
î
I
ì
ì
ó
á
î
I
ì
ì
ñ
ì
ê r
r
r
r
⋅
∂
∂
+
⋅
∂
∂
+
⋅
∂
∂
=
∂
∂
I==
( ) ( ) ( ) â
î
I
ì
î
ò
à
î
I
ì
î
ó
á
î
I
ì
î
ñ
î
ê r
r
r
r
⋅
∂
∂
+
⋅
∂
∂
+
⋅
∂
∂
=
∂
∂
K==
=
1143. fÑ==íÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==p==áë==ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå= ( )
ó
I
ñ
ò
ò = I=ïÜÉêÉ=
( )
ó
I
ñ
ò ==áë==~==ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ==ÑìåÅíáçå==áå==íÜÉ=Ççã~áå= ( )
ó
I
ñ
a I=
íÜÉå==
• fÑ=p=áë=çêáÉåíÉÇ=ìéï~êÇI=áKÉK=íÜÉ=â-íÜ=ÅçãéçåÉåí=çÑ=íÜÉ=
åçêã~ä=îÉÅíçê=áë=éçëáíáîÉI=íÜÉå===
===== ( ) ( )
∫∫
∫∫ ⋅
=
⋅
p
p
Çp
å
ò
I
ó
I
ñ
c
p
Ç
ò
I
ó
I
ñ
c
r
r
r
r
=
====== ( )
( )
∫∫ 







+
∂
∂
−
∂
∂
−
⋅
=
ó
I
ñ
a
ÇñÇó
â
à
ó
ò
á
ñ
ò
ò
I
ó
I
ñ
c
r
r
r
r
I==
=
• fÑ=p=áë=çêáÉåíÉÇ=Ççïåï~êÇI=áKÉK=íÜÉ=â-íÜ=ÅçãéçåÉåí=çÑ=íÜÉ=
åçêã~ä=îÉÅíçê=áë=åÉÖ~íáîÉI=íÜÉå===
===== ( ) ( )
∫∫
∫∫ ⋅
=
⋅
p
p
Çp
å
ò
I
ó
I
ñ
c
p
Ç
ò
I
ó
I
ñ
c
r
r
r
r
====== ( )
( )
∫∫ 







−
∂
∂
+
∂
∂
⋅
=
ó
I
ñ
a
ÇñÇó
â
à
ó
ò
á
ñ
ò
ò
I
ó
I
ñ
c
r
r
r
r
K==
=
1144. ( ) ∫∫
∫∫ +
+
=
⋅
p
p
oÇñÇó
nÇòÇñ
mÇóÇò
Çp
å
c
r
r
=
( )
∫∫ γ
+
β
+
α
=
p
Çp
Åçë
o
Åçë
n
Åçë
m I==
ïÜÉêÉ= ( )
ò
I
ó
I
ñ
m I= ( )
ò
I
ó
I
ñ
n I= ( )
ò
I
ó
I
ñ
o =~êÉ=íÜÉ=ÅçãéçåÉåíë=çÑ=
íÜÉ=îÉÅíçê= ÑáÉäÇ= c
r
K==
α
Åçë I= β
Åçë I= γ
Åçë ==~êÉ=íÜÉ= ~åÖäÉë= ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=çìíÉê=ìåáí=
åçêã~ä=îÉÅíçê= å
r
=~åÇ=íÜÉ=ñ-~ñáëI=ó-~ñáëI=~åÇ=ò-~ñáëI=êÉëéÉÅí-
áîÉäóK=
=

289
1145. fÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=p=áë=ÖáîÉå=áå=é~ê~ãÉíêáÅ=Ñçêã=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê=
( ) ( ) ( )
( )
î
I
ì
ò
I
î
I
ì
ó
I
î
I
ì
ñ
ê
r
I==íÜÉå==íÜÉ==ä~ííÉê=Ñçêãìä~=Å~å=ÄÉ=
ïêáííÉå=~ë==
( )
( )
I
ÇìÇî
î
ò
î
ó
î
ñ
ì
ò
ì
ó
ì
ñ
o
n
m
oÇñÇó
nÇòÇñ
mÇóÇò
Çp
å
c
î
I
ì
a
p
p
∫∫
∫∫
∫∫
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
+
+
=
⋅
r
r
ïÜÉêÉ= ( )
î
I
ì = ê~åÖÉë= çîÉê= ëçãÉ= Ççã~áå= ( )
î
I
ì
a = çÑ= íÜÉ= ìî-
éä~åÉK=
=
1146. aáîÉêÖÉåÅÉ=qÜÉçêÉã=
( )
∫∫∫
∫∫ ⋅
∇
=
⋅
d
p
Çs
c
p
Ç
c
r
r
r
I==
ïÜÉêÉ==
( ) ( ) ( ) ( )
ò
I
ó
I
ñ
o
I
ò
I
ó
I
ñ
n
I
ò
I
ó
I
ñ
m
ò
I
ó
I
ñ
c =
r
===
áë==~==îÉÅíçê==ÑáÉäÇ==ïÜçëÉ==ÅçãéçåÉåíë==mI==nI==~åÇ==o==Ü~îÉ==
Åçåíáåìçìë=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉëI==
ò
o
ó
n
ñ
m
c
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
⋅
∇
r
==
áë==íÜÉ==ÇáîÉêÖÉåÅÉ==çÑ==c
r
I==~äëç==ÇÉåçíÉÇ== c
Çáî
r
K==qÜÉ==ëóãÄçä=
∫∫ =áåÇáÅ~íÉë==íÜ~í=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=áåíÉÖê~ä=áë=í~âÉå=çîÉê=~=ÅäçëÉÇ=
ëìêÑ~ÅÉK==
=
1147. aáîÉêÖÉåÅÉ=qÜÉçêÉã=áå=`ççêÇáå~íÉ=cçêã=
∫∫∫
∫∫ 







∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
+
+
d
p
ÇñÇóÇò
ò
o
ó
n
ñ
m
oÇñÇó
nÇñÇò
mÇóÇò K==
=
1148. píçâÉ∞ë=qÜÉçêÉã=
( )
∫∫
∫ ⋅
×
∇
=
⋅
p
`
p
Ç
c
ê
Ç
c
r
r
r
r
I==

290
ïÜÉêÉ==
( ) ( ) ( ) ( )
ò
I
ó
I
ñ
o
I
ò
I
ó
I
ñ
n
I
ò
I
ó
I
ñ
m
ò
I
ó
I
ñ
c =
r
===
áë==~=îÉÅíçê==ÑáÉäÇ==ïÜçëÉ==ÅçãéçåÉåíë==mI==nI==~åÇ=o==Ü~îÉ=
Åçåíáåìçìë=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉëI==
â
ó
m
ñ
n
à
ñ
o
ò
m
á
ò
n
ó
o
o
n
m
ñ
ñ
ñ
â
à
á
c
r
r
r
r
r
r
r








∂
∂
−
∂
∂
+






∂
∂
−
∂
∂
+








∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
×
∇
áë=íÜÉ=Åìêä=çÑ=c
r
I=~äëç=ÇÉåçíÉÇ= c
Åìêä
r
K==
qÜÉ=ëóãÄçä== ∫ =áåÇáÅ~íÉë=íÜ~í=íÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=áë=í~âÉå=çîÉê=
~=ÅäçëÉÇ=ÅìêîÉK==
=
1149. píçâÉ∞ë=qÜÉçêÉã=áå=`ççêÇáå~íÉ=cçêã=
∫ +
+
`
oÇò
nÇó
mÇñ =
∫∫ 







∂
∂
−
∂
∂
+






∂
∂
−
∂
∂
+








∂
∂
−
∂
∂
=
p
ÇñÇó
ó
m
ñ
n
ÇòÇñ
ñ
o
ò
m
ÇóÇò
ò
n
ó
o
==
1150. pìêÑ~ÅÉ=^êÉ~=
∫∫
=
p
Çp
^ =
=
1151. fÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=p=áë=é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê==
( ) ( ) ( ) ( )â
î
I
ì
ò
à
î
I
ì
ó
á
î
I
ì
ñ
î
I
ì
ê
r
r
r
r
+
+
= I==
íÜÉå=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~=áë==
( )
∫∫ ∂
∂
×
∂
∂
=
î
I
ì
a
ÇìÇî
î
ê
ì
ê
^
r
r
I==
ïÜÉêÉ== ( )
î
I
ì
a ==áë==íÜÉ==Ççã~áå==ïÜÉêÉ==íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ= ( )
î
I
ì
ê
r
=áë=
ÇÉÑáåÉÇK==
=

291
1152. fÑ=p=áë=ÖáîÉå=ÉñéäáÅáíäó=Äó=íÜÉ=ÑìåÅíáçå= ( )
ó
I
ñ
ò I==íÜÉå==íÜÉ==ëìê-
Ñ~ÅÉ=~êÉ~=áë==
( )
∫∫ 







∂
∂
+






∂
∂
+
=
ó
I
ñ
a
O
O
ÇñÇó
ó
ò
ñ
ò
N
^ I==
ïÜÉêÉ= ( )
ó
I
ñ
a =áë=íÜÉ=éêçàÉÅíáçå=çÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=p=çåíç=íÜÉ=ñó-
éä~åÉK==
=
1153. j~ëë=çÑ=~=pìêÑ~ÅÉ=
( )
∫∫µ
=
p
Çp
ò
I
ó
I
ñ
ã I==
ïÜÉêÉ= ( )
ò
I
ó
I
ñ
µ = áë= íÜÉ= ã~ëë= éÉê= ìåáí= ~êÉ~= = EÇÉåëáíó= ÑìåÅ-
íáçåFK=
=
1154. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë=çÑ=~=pÜÉää=
ã
j
ñ
óò
= I=
ã
j
ó ñò
= I=
ã
j
ò
ñó
= I==
ïÜÉêÉ==
( )
∫∫ µ
=
p
óò Çp
ò
I
ó
I
ñ
ñ
j I==
( )
∫∫ µ
=
p
ñò Çp
ò
I
ó
I
ñ
ó
j I==
( )
∫∫ µ
=
p
ñó Çp
ò
I
ó
I
ñ
ò
j =
~êÉ==íÜÉ==Ñáêëí==ãçãÉåíë==~Äçìí===íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉ=éä~åÉë= M
ñ = I=
M
ó = I= M
ò = I==êÉëéÉÅíáîÉäóK== ( )
ò
I
ó
I
ñ
µ =áë=íÜÉ=ÇÉåëáíó=ÑìåÅíáçåK=
=
1155. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñó-éä~åÉ=Eçê= M
ò = FI==óò-éä~åÉ==
E M
ñ = FI=~åÇ=ñò-éä~åÉ=E M
ó = F=
( )
∫∫ µ
=
p
O
ñó Çp
ò
I
ó
I
ñ
ò
f I==
( )
∫∫ µ
=
p
O
óò Çp
ò
I
ó
I
ñ
ñ
f I==

292
( )
∫∫ µ
=
p
O
ñò Çp
ò
I
ó
I
ñ
ó
f K=
=
1156. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñ-~ñáëI=ó-~ñáëI=~åÇ=ò-~ñáë=
( ) ( )
∫∫ µ
+
=
p
O
O
ñ Çp
ò
I
ó
I
ñ
ò
ó
f I==
( ) ( )
∫∫ µ
+
=
p
O
O
ó Çp
ò
I
ó
I
ñ
ò
ñ
f I==
( ) ( )
∫∫ µ
+
=
p
O
O
ò Çp
ò
I
ó
I
ñ
ó
ñ
f K==
=
1157. sçäìãÉ=çÑ=~=pçäáÇ=_çìåÇÉÇ=Äó=~=`äçëÉÇ=pìêÑ~ÅÉ=
∫∫ +
+
=
p
òÇñÇó
óÇñÇò
ñÇóÇò
P
N
s ==
=
1158. dê~îáí~íáçå~ä=cçêÅÉ=
( )
∫∫µ
=
p
P
Çp
ê
ê
ò
I
ó
I
ñ
dã
c
r
r
I=
ïÜÉêÉ=ã=áë=~=ã~ëë=~í=~=éçáåí= M
M
M ò
I
ó
I
ñ =çìíëáÇÉ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉI==
M
M
M ò
ò
I
ó
ó
I
ñ
ñ
ê −
−
−
=
r
I==
( )
ò
I
ó
I
ñ
µ =áë=íÜÉ=ÇÉåëáíó=ÑìåÅíáçåI==
~åÇ=d=áë=Öê~îáí~íáçå~ä=Åçåëí~åíK=
=
1159. mêÉëëìêÉ=cçêÅÉ=
( )
∫∫
=
p
p
Ç
ê
é
c
r
r
r
I==
ïÜÉêÉ=íÜÉ=éêÉëëìêÉ== ( )
ê
é
r
==~Åíë==çå==íÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==p==ÖáîÉå==Äó=
íÜÉ=éçëáíáçå=îÉÅíçê= ê
r
K=
=
1160. cäìáÇ=cäìñ=E~Åêçëë=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=pF=
( )
∫∫ ⋅
=
Φ
p
p
Ç
ê
î
r
r
r
I==

293
ïÜÉêÉ= ( )
ê
î
r
r
=áë=íÜÉ=ÑäìáÇ=îÉäçÅáíóK=
==
1161. j~ëë=cäìñ=E~Åêçëë=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=pF=
( )
∫∫ ⋅
ρ
=
Φ
p
p
Ç
ê
î
r
r
r
I==
ïÜÉêÉ= î
c
r
r
ρ
= =áë=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑáÉäÇI=ρ =áë=íÜÉ=ÑäìáÇ=ÇÉåëáíóK=
=
1162. pìêÑ~ÅÉ=`Ü~êÖÉ=
( )
∫∫σ
=
p
Çp
ó
I
ñ
n I==
ïÜÉêÉ= ( )
ó
I
ñ
σ =áë=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=ÅÜ~êÖÉ=ÇÉåëáíóK=
=
1163. d~ìëë∞=i~ï=
qÜÉ=ÉäÉÅíêáÅ=Ñäìñ=íÜêçìÖÜ=~åó=ÅäçëÉÇ=ëìêÑ~ÅÉ=áë=éêçéçêíáçå~ä=
íç=íÜÉ=ÅÜ~êÖÉ=n=ÉåÅäçëÉÇ=Äó=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=
M
p
n
p
Ç
b
ε
=
⋅
=
Φ ∫∫
r
r
I==
ïÜÉêÉ==
Φ =áë=íÜÉ=ÉäÉÅíêáÅ=ÑäìñI==
b
r
=áë=íÜÉ=ã~ÖåáíìÇÉ=çÑ=íÜÉ=ÉäÉÅíêáÅ=ÑáÉäÇ=ëíêÉåÖíÜI=
ã
c
NM
UR
I
U NO
M
−
×
=
ε =áë=éÉêãáííáîáíó=çÑ=ÑêÉÉ=ëé~ÅÉK==
=
=

294
Chapter 10
Differential Equations
=
=
=
=
cìåÅíáçåë=çÑ=çåÉ=î~êá~ÄäÉW=óI=éI=èI=ìI=ÖI=ÜI=dI=eI=êI=ò==
^êÖìãÉåíë=EáåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉëFW=ñI=ó=
ó
I
ñ
Ñ I= ( )
ó
I
ñ
j I= ( )
ó
I
ñ
k =
cáêëí=çêÇÉê=ÇÉêáî~íáîÉW= ó′ I=ì′ I= ó
& I=
Çí
Çó
I=£=
pÉÅçåÇ=çêÇÉê=ÇÉêáî~íáîÉëW= ó ′
′ I= ó
&
& I= O
O
Çí
f
Ç
I=£=
m~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉëW=
í
ì
∂
∂
I= O
O
ñ
ì
∂
∂
I=£=
m~êíáÅìä~ê=ëçäìíáçåëW= N
ó I= é
ó =
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=âI=íI=`I= N
` I= O
` I=éI=èI=α I=β =
oççíë=çÑ=íÜÉ=ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ=Éèì~íáçåëW= N
λ I= O
λ =
qáãÉW=í=
qÉãéÉê~íìêÉW=qI=p=
mçéìä~íáçå=ÑìåÅíáçåW= ( )
í
m ==
j~ëë=çÑ=~å=çÄàÉÅíW=ã=
píáÑÑåÉëë=çÑ=~=ëéêáåÖW=â=
aáëéä~ÅÉãÉåí=çÑ=íÜÉ=ã~ëë=Ñêçã=ÉèìáäáÄêáìãW=ó=
^ãéäáíìÇÉ=çÑ=íÜÉ=Çáëéä~ÅÉãÉåíW=^=
cêÉèìÉåÅóW=ω=
a~ãéáåÖ=ÅçÉÑÑáÅáÉåíW= γ =
mÜ~ëÉ=~åÖäÉ=çÑ=íÜÉ=Çáëéä~ÅÉãÉåíW=δ =
^åÖìä~ê=Çáëéä~ÅÉãÉåíW=θ =
mÉåÇìäìã=äÉåÖíÜW=i=

CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
295
^ÅÅÉäÉê~íáçå=çÑ=Öê~îáíóW=Ö=
`ìêêÉåíW=f=
oÉëáëí~åÅÉW=o=
fåÇìÅí~åÅÉW=i=
`~é~Åáí~åÅÉW=`=
=
=
10.1 First Order Ordinary Differential
Equations
=
1164. iáåÉ~ê=bèì~íáçåë=
( ) ( )
ñ
è
ó
ñ
é
Çñ
Çó
=
+ K==
=
qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë==
( ) ( )
( )
ñ
ì
`
Çñ
ñ
è
ñ
ì
ó
+
=
∫ I==
ïÜÉêÉ==
( ) ( )
( )
∫
= Çñ
ñ
é
Éñé
ñ
ì K=
=
1165. pÉé~ê~ÄäÉ=bèì~íáçåë=
( ) ( ) ( )
ó
Ü
ñ
Ö
ó
I
ñ
Ñ
Çñ
Çó
=
= =
=
qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë=ÖáîÉå=Äó=
( )
( ) `
Çñ
ñ
Ö
ó
Ü
Çó
+
= ∫
∫ I==
çê=
( ) ( ) `
ñ
d
ó
e +
= K=
=
=
=

296
1166. eçãçÖÉåÉçìë=bèì~íáçåë=
qÜÉ= ÇáÑÑÉêÉåíá~ä= Éèì~íáçå= ( )
ó
I
ñ
Ñ
Çñ
Çó
= = áë= ÜçãçÖÉåÉçìëI= áÑ=
íÜÉ=ÑìåÅíáçå= ( )
ó
I
ñ
Ñ =áë=ÜçãçÖÉåÉçìëI=íÜ~í=áë==
( ) ( )
ó
I
ñ
Ñ
íó
I
íñ
Ñ = K==
=
qÜÉ=ëìÄëíáíìíáçå=
ñ
ó
ò = =EíÜÉå= òñ
ó = F=äÉ~Çë=íç=íÜÉ=ëÉé~ê~ÄäÉ=
Éèì~íáçå=
( )
ò
I
N
Ñ
ò
Çñ
Çò
ñ =
+ K==
=
1167. _Éêåçìääá=bèì~íáçå=
( ) ( ) å
ó
ñ
è
ó
ñ
é
Çñ
Çó
=
+ K==
=
qÜÉ=ëìÄëíáíìíáçå= å
N
ó
ò −
= =äÉ~Çë=íç=íÜÉ=äáåÉ~ê=Éèì~íáçå==
( ) ( ) ( ) ( )
ñ
è
å
N
ò
ñ
é
å
N
Çñ
Çò
−
=
−
+ K==
=
1168. oáÅÅ~íá=bèì~íáçå=
( ) ( ) ( ) O
ó
ñ
ê
ó
ñ
è
ñ
é
Çñ
Çó
+
+
= =
=
fÑ=~=é~êíáÅìä~ê=ëçäìíáçå= N
ó =áë=âåçïåI=íÜÉå=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäì-
íáçå=Å~å=ÄÉ=çÄí~áåÉÇ=ïáíÜ=íÜÉ=ÜÉäé=çÑ=ëìÄëíáíìíáçå=
N
ó
ó
N
ò
−
= I=ïÜáÅÜ=äÉ~Çë=íç=íÜÉ=Ñáêëí=çêÇÉê=äáåÉ~ê=Éèì~íáçå==
( ) ( )
[ ] ( )
ñ
ê
ò
ñ
ê
ó
O
ñ
è
Çñ
Çò
N −
+
−
= K==
=
=
=

297
1169. bñ~Åí=~åÇ=kçåÉñ~Åí=bèì~íáçåë=
qÜÉ=Éèì~íáçå==
( ) ( ) M
Çó
ó
I
ñ
k
Çñ
ó
I
ñ
j =
+ ==
áë=Å~ääÉÇ=Éñ~Åí=áÑ==
ñ
k
ó
j
∂
∂
=
∂
∂
I==
~åÇ=åçåÉñ~Åí=çíÜÉêïáëÉK=
=
( ) ( ) `
Çó
ó
I
ñ
k
Çñ
ó
I
ñ
j =
+ ∫
∫ K==
=
1170. o~Çáç~ÅíáîÉ=aÉÅ~ó=
âó
Çí
Çó
−
= I==
ïÜÉêÉ= ( )
í
ó =áë=íÜÉ=~ãçìåí=çÑ=ê~Çáç~ÅíáîÉ=ÉäÉãÉåí=~í=íáãÉ=íI=â=
áë=íÜÉ=ê~íÉ=çÑ=ÇÉÅ~óK==
=
qÜÉ=ëçäìíáçå=áë==
( ) âí
MÉ
ó
í
ó −
= I=ïÜÉêÉ= ( )
M
ó
óM = =áë=íÜÉ=áåáíá~ä=~ãçìåíK=
=
1171. kÉïíçå∞ë=i~ï=çÑ=`ççäáåÖ=
( )
p
q
â
Çí
Çq
−
−
= I==
ïÜÉêÉ= ( )
í
q =áë=íÜÉ=íÉãéÉê~íìêÉ=çÑ=~å=çÄàÉÅí=~í=íáãÉ=íI=p=áë=íÜÉ=
íÉãéÉê~íìêÉ=çÑ=íÜÉ=ëìêêçìåÇáåÖ=ÉåîáêçåãÉåíI=â=áë=~=éçëá-
íáîÉ=Åçåëí~åíK==
=
qÜÉ=ëçäìíáçå=áë=
( ) ( ) âí
M É
p
q
p
í
q −
−
+
= I==
ïÜÉêÉ= ( )
M
q
qM = =áë=íÜÉ=áåáíá~ä=íÉãéÉê~íìêÉ=çÑ=íÜÉ=çÄàÉÅí=~í=
íáãÉ= M
í = K==
=
=

298
1172. mçéìä~íáçå=aóå~ãáÅë=EiçÖáëíáÅ=jçÇÉäF=






−
=
j
m
N
âm
Çí
Çm
I==
ïÜÉêÉ= ( )
í
m =áë=éçéìä~íáçå=~í=íáãÉ=íI=â=áë=~=éçëáíáîÉ=Åçåëí~åíI=
j=áë=~=äáãáíáåÖ=ëáòÉ=Ñçê=íÜÉ=éçéìä~íáçåK==
=
qÜÉ=ëçäìíáçå=çÑ=íÜÉ=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=Éèì~íáçå=áë==
( )
( ) âí
M
M
M
É
m
j
m
jm
í
m −
−
+
= I=ïÜÉêÉ= ( )
M
m
mM = =áë=íÜÉ=áåáíá~ä=éçéì-
ä~íáçå=~í=íáãÉ= M
í = K===
=
=
=
10.2 Second Order Ordinary Differential
Equations
=
1173. eçãçÖÉåÉçìë=iáåÉ~ê=bèì~íáçåë=ïáíÜ=`çåëí~åí=`çÉÑÑáÅáÉåíë==
M
èó
ó
é
ó =
+
′
+
′
′ K==
qÜÉ=ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ=Éèì~íáçå=áë==
M
è
é
O
=
+
λ
+
λ K==
=
fÑ= N
λ = ~åÇ= O
λ = ~êÉ= ÇáëíáåÅí= êÉ~ä= êççíë= çÑ= íÜÉ= ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ=
Éèì~íáçåI=íÜÉå=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë==
ñ
O
ñ
N
O
N
É
`
É
`
ó λ
λ
+
= I=ïÜÉêÉ==
N
` =~åÇ= O
` =~êÉ=áåíÉÖê~íáçå=Åçåëí~åíëK==
==
fÑ=
O
é
O
N −
=
λ
=
λ I=íÜÉå=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë==
( )
ñ
O
é
O
N É
ñ
`
`
ó
−
+
= K==
=
fÑ= N
λ =~åÇ= O
λ =~êÉ=ÅçãéäÉñ=åìãÄÉêëW=

299
á
N β
+
α
=
λ I= á
O β
−
α
=
λ I=ïÜÉêÉ==
O
é
−
=
α I=
O
é
è
Q O
−
=
β I==
íÜÉå=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë==
( )
ñ
ëáå
`
ñ
Åçë
`
É
ó O
N
ñ
β
+
β
= α
K==
=
1174. fåÜçãçÖÉåÉçìë=iáåÉ~ê=bèì~íáçåë=ïáíÜ=`çåëí~åí=======================
`çÉÑÑáÅáÉåíë==
( )
ñ
Ñ
èó
ó
é
ó =
+
′
+
′
′ K==
=
qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë=ÖáîÉå=Äó==
Ü
é ó
ó
ó +
= I=ïÜÉêÉ==
é
ó =áë==~=é~êíáÅìä~ê==ëçäìíáçå=çÑ==íÜÉ=áåÜçãçÖÉåÉçìë=Éèì~íáçå=
~åÇ= Ü
ó =áë=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=çÑ=íÜÉ=~ëëçÅá~íÉÇ=ÜçãçÖÉåÉ-
çìë=Éèì~íáçå=EëÉÉ=íÜÉ=éêÉîáçìë=íçéáÅ=NNTPFK=
=
fÑ=íÜÉ=êáÖÜí=ëáÇÉ=Ü~ë=íÜÉ=Ñçêã==
( ) ( ) ( )
( )
ñ
ëáå
ñ
m
ñ
Åçë
ñ
m
É
ñ
Ñ N
N
ñ
β
+
β
= α
I==
íÜÉå=íÜÉ==é~êíáÅìä~ê=ëçäìíáçå= é
ó =áë=ÖáîÉå=Äó==
( ) ( )
( )
ñ
ëáå
ñ
o
ñ
Åçë
ñ
o
É
ñ
ó O
N
ñ
â
é β
+
β
= α
I==
ïÜÉêÉ=íÜÉ=éçäóåçãá~äë= ( )
ñ
oN =~åÇ= ( )
ñ
oO =Ü~îÉ=íç=ÄÉ=ÑçìåÇ=
Äó=ìëáåÖ=íÜÉ=ãÉíÜçÇ=çÑ=ìåÇÉíÉêãáåÉÇ=ÅçÉÑÑáÅáÉåíëK==
• fÑ= á
β
+
α =áë=åçí=~=êççí=çÑ=íÜÉ=ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ=Éèì~íáçåI=íÜÉå=
íÜÉ=éçïÉê= M
â = I=
• fÑ= á
β
+
α =áë=~=ëáãéäÉ=êççíI=íÜÉå= N
â = I=
• fÑ= á
β
+
α =áë=~=ÇçìÄäÉ=êççíI=íÜÉå= O
â = K==
=
1175. aáÑÑÉêÉåíá~ä=bèì~íáçåë=ïáíÜ=ó=jáëëáåÖ=
( )
ó
I
ñ
Ñ
ó ′
=
′
′ K==
pÉí= ó
ì ′
= K=qÜÉå=íÜÉ=åÉï=Éèì~íáçå=ë~íáëÑáÉÇ=Äó=î=áë==
( )
ì
I
ñ
Ñ
ì =
′ I==
ïÜáÅÜ=áë=~=Ñáêëí=çêÇÉê=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=Éèì~íáçåK=

300
1176. aáÑÑÉêÉåíá~ä=bèì~íáçåë=ïáíÜ=ñ=jáëëáåÖ=
( )
ó
I
ó
Ñ
ó ′
=
′
′ K==
pÉí= ó
ì ′
= K=páåÅÉ==
Çó
Çì
ì
Çñ
Çó
Çó
Çì
Çñ
Çì
ó =
=
=
′
′ I==
ïÉ=Ü~îÉ=
( )
ì
I
ó
Ñ
Çó
Çì
ì = I==
ïÜáÅÜ=áë=~=Ñáêëí=çêÇÉê=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=Éèì~íáçåK==
=
1177. cêÉÉ=råÇ~ãéÉÇ=sáÄê~íáçåë=
qÜÉ=ãçíáçå=çÑ=~=j~ëë=çå=~=péêáåÖ=áë=ÇÉëÅêáÄÉÇ=Äó=íÜÉ=Éèì~-
íáçå==
M
âó
ó
ã =
+
&
& I==
ïÜÉêÉ==
ã=áë=íÜÉ=ã~ëë=çÑ=íÜÉ=çÄàÉÅíI=
â=áë=íÜÉ=ëíáÑÑåÉëë=çÑ=íÜÉ=ëéêáåÖI=
ó=áë=Çáëéä~ÅÉãÉåí=çÑ=íÜÉ=ã~ëë=Ñêçã=ÉèìáäáÄêáìãK=
=
( )
δ
−
ω
= í
Åçë
^
ó M I==
ïÜÉêÉ==
^=áë=íÜÉ=~ãéäáíìÇÉ=çÑ=íÜÉ=Çáëéä~ÅÉãÉåíI=
M
ω =áë=íÜÉ=ÑìåÇ~ãÉåí~ä=ÑêÉèìÉåÅóI=íÜÉ=éÉêáçÇ=áë=
M
O
q
ω
π
= I=
δ =áë=éÜ~ëÉ=~åÖäÉ=çÑ=íÜÉ=Çáëéä~ÅÉãÉåíK=
qÜáë=áë=~å=Éñ~ãéäÉ=çÑ=ëáãéäÉ=Ü~êãçåáÅ=ãçíáçåK==
=
1178. cêÉÉ=a~ãéÉÇ=sáÄê~íáçåë=
M
âó
ó
ó
ã =
+
γ
+ &
&
& I=ïÜÉêÉ==
γ =áë=íÜÉ=Ç~ãéáåÖ=ÅçÉÑÑáÅáÉåíK==
qÜÉêÉ=~êÉ=P=Å~ëÉë=Ñçê=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçåW=
=

301
`~ëÉ=NK âã
Q
O
>
γ =EçîÉêÇ~ãéÉÇF=
( ) í
í O
N
_É
^É
í
ó λ
λ
+
= I==
ïÜÉêÉ==
ã
O
âã
Q
O
N
−
γ
−
γ
−
=
λ I=
ã
O
âã
Q
O
O
−
γ
+
γ
−
=
λ K==
=
`~ëÉ=OK= âã
Q
O
=
γ EÅêáíáÅ~ääó=Ç~ãéÉÇF=
( ) ( ) í
É
_í
^
í
ó λ
+
= I==
ïÜÉêÉ==
ã
O
γ
−
=
λ K=
=
`~ëÉ=PK= âã
Q
O
<
γ =EìåÇÉêÇ~ãéÉÇF==
( ) ( )
δ
−
ω
=
γ
−
í
Åçë
^
É
í
ó
í
ã
O
I=ïÜÉêÉ==
O
âã
Q γ
−
=
ω K==
=
1179. páãéäÉ=mÉåÇìäìã=
M
i
Ö
Çí
Ç
O
O
=
θ
+
θ
I=
ïÜÉêÉ= θ = áë= íÜÉ= ~åÖìä~ê= Çáëéä~ÅÉãÉåíI= i= áë= íÜÉ= éÉåÇìäìã=
äÉåÖíÜI=Ö=áë=íÜÉ=~ÅÅÉäÉê~íáçå=çÑ=Öê~îáíóK=
=
qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=Ñçê=ëã~ää=~åÖäÉë=θ =áë==
( ) í
i
Ö
ëáå
í ã~ñ
θ
=
θ I=íÜÉ=éÉêáçÇ=áë=
Ö
i
O
q π
= K==
=
1180. oi`=`áêÅìáí=
( ) ( )
í
Åçë
b
í
s
f
`
N
Çí
Çf
o
Çí
f
Ç
i M
O
O
ω
ω
=
′
=
+
+ I=

302
ïÜÉêÉ=f=áë=íÜÉ=ÅìêêÉåí=áå=~å=oi`=ÅáêÅìáí=ïáíÜ=~å=~Å=îçäí~ÖÉ=
ëçìêÅÉ= ( ) ( )
í
ëáå
b
í
s M ω
= K===
=
( ) ( )
ϕ
−
ω
+
+
= í
ëáå
^
É
`
É
`
í
f í
ê
O
í
ê
N
O
N
I=
ïÜÉêÉ==
i
O
`
i
Q
o
o
ê
O
O
I
N
−
±
−
= I==
O
O
O
O
M
o
`
N
i
b
^
ω
+






−
ω
ω
= I==






ω
−
ω
=
ϕ
o`
N
o
i
~êÅí~å I==
N
` I= O
` =~êÉ=Åçåëí~åíë=ÇÉéÉåÇáåÖ=çå=áåáíá~ä=ÅçåÇáíáçåëK=
=
=
=
10.3. Some Partial Differential Equations
=
1181. qÜÉ=i~éä~ÅÉ=bèì~íáçå=
M
ó
ì
ñ
ì
O
O
O
O
=
∂
∂
+
∂
∂
=
~ééäáÉë=íç=éçíÉåíá~ä=ÉåÉêÖó=ÑìåÅíáçå= ( )
ó
I
ñ
ì ==Ñçê==~==ÅçåëÉê-
î~íáîÉ=ÑçêÅÉ=ÑáÉäÇ=áå=íÜÉ=ñó-éä~åÉK=m~êíá~ä=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=Éèì~-
íáçåë=çÑ=íÜáë=íóéÉ=~êÉ=Å~ääÉÇ=ÉääáéíáÅK==
=
1182. qÜÉ=eÉ~í=bèì~íáçå=
í
ì
ó
ì
ñ
ì
O
O
O
O
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=

303
~ééäáÉë= íç= íÜÉ= íÉãéÉê~íìêÉ= ÇáëíêáÄìíáçå= ( )
ó
I
ñ
ì = áå= íÜÉ= ñó-
éä~åÉ=ïÜÉå=ÜÉ~í=áë=~ääçïÉÇ=íç=Ñäçï=Ñêçã=ï~êã=~êÉ~ë=íç=Åççä=
çåÉëK=qÜÉ=Éèì~íáçåë=çÑ=íÜáë=íóéÉ=~êÉ=Å~ääÉÇ=é~ê~ÄçäáÅK==
=
1183. qÜÉ=t~îÉ=bèì~íáçå=
O
O
O
O
O
O
í
ì
ó
ì
ñ
ì
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
~ééäáÉë=íç=íÜÉ=Çáëéä~ÅÉãÉåí= ( )
ó
I
ñ
ì =çÑ=îáÄê~íáåÖ=ãÉãÄê~åÉë=
~åÇ= çíÜÉê= ï~îÉ= ÑìåÅíáçåëK= qÜÉ= Éèì~íáçåë= çÑ= íÜáë= íóéÉ= ~êÉ=
Å~ääÉÇ=ÜóéÉêÄçäáÅK==
=
=

304
Chapter 11
Series
=
=
=
=
11.1 Arithmetic Series
=
fåáíá~ä=íÉêãW= N
~ =
kíÜ=íÉêãW= å
~ =
aáÑÑÉêÉåÅÉ=ÄÉíïÉÉå=ëìÅÅÉëëáîÉ=íÉêãëW=Ç=
kìãÄÉê=çÑ=íÉêãë=áå=íÜÉ=ëÉêáÉëW=å=
pìã=çÑ=íÜÉ=Ñáêëí=å=íÉêãëW= å
p =
=
=
1184. ( )Ç
N
å
~
Ç
O
~
Ç
~
~ N
O
å
N
å
å −
+
=
=
+
=
+
= −
− K =
=
1185. á
N
å
á
N
å
O
å
N ~
~
~
~
~
~ −
+
− +
=
=
+
=
+ K =
=
1186.
O
~
~
~ N
á
N
á
á
+
− +
= =
=
1187.
( ) å
O
Ç
N
å
~
O
å
O
~
~
p N
å
N
å ⋅
−
+
=
⋅
+
= =
=
=
=
=
=

CHAPTER 11. SERIES
305
11.2 Geometric Series
=
fåáíá~ä=íÉêãW= N
~ =
kíÜ=íÉêãW= å
~ =
`çããçå=ê~íáçW=è=
pìã=çÑ=íÜÉ=Ñáêëí=å=íÉêãëW= å
p =
pìã=íç=áåÑáåáíóW=p=
=
=
1188. N
å
N
N
å
å è
~
è~
~ −
− =
= =
=
1189. á
N
å
á
N
å
O
å
N ~
~
~
~
~
~ −
+
− ⋅
=
=
⋅
=
⋅ K =
=
1190. N
á
N
á
á ~
~
~ +
− ⋅
= =
=
1191.
( )
N
è
N
è
~
N
è
~
è
~
p
å
N
N
å
å
−
−
=
−
−
= =
=
1192.
è
N
~
p
äáã
p N
å
å −
=
=
∞
→
=
cçê= N
è < I=íÜÉ=ëìã=p=ÅçåîÉêÖÉë=~ë= ∞
→
å K=
=
=
=
11.3 Some Finite Series
=
=
=

CHAPTER 11. SERIES
306
1193.
( )
O
N
å
å
å
P
O
N
+
=
+
+
+
+ K =
=
1194. ( )
N
å
å
å
O
S
Q
O +
=
+
+
+
+ K =
=
1195. ( ) O
å
N
å
O
R
P
N =
−
+
+
+
+ K =
=
1196. ( ) ( ) ( ) ( )
O
N
å
â
O
å
N
å
â
O
â
N
â
â
−
+
=
−
+
+
+
+
+
+
+ K =
=
1197.
( )( )
S
N
å
O
N
å
å
å
P
O
N O
O
O
O +
+
=
+
+
+
+ K =
=
1198.
( ) O
P
P
P
P
O
N
å
å
å
P
O
N 




 +
=
+
+
+
+ K =
=
1199. ( ) ( )
P
N
å
Q
å
N
å
O
R
P
N
O
O
O
O
O −
=
−
+
+
+
+ K =
=
1200. ( ) ( )
N
å
O
å
N
å
O
R
P
N O
O
P
P
P
P
−
=
−
+
+
+
+ K =
=
1201. O
O
N
U
N
Q
N
O
N
N å
=
+
+
+
+
+
+ K
K =
=
1202.
( )
N
N
å
å
N
Q
P
N
P
O
N
O
N
N
=
+
+
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
K
K =
=
1203.
( )
É
>
N
å
N
>
P
N
>
O
N
>
N
N
N =
+
−
+
+
+
+
+ K
K =
=
=
=

CHAPTER 11. SERIES
307
11.4 Infinite Series
=
pÉèìÉåÅÉW={ }
å
~ =
cáêëí=íÉêãW= N
~ =
kíÜ=íÉêãW= å
~ =
=
=
1204. fåÑáåáíÉ=pÉêáÉë=
K
K +
+
+
+
=
∑
∞
=
å
O
N
N
å
å ~
~
~
~ =
=
1205. kíÜ=m~êíá~ä=pìã=
å
O
N
å
N
å
å
å ~
~
~
~
p +
+
+
=
= ∑
=
K =
=
1206. `çåîÉêÖÉåÅÉ=çÑ=fåÑáåáíÉ=pÉêáÉë=
i
~
N
å
å =
∑
∞
=
I=áÑ= i
p
äáã å
å
=
∞
→
=
=
1207. kíÜ=qÉêã=qÉëí=
• fÑ=íÜÉ=ëÉêáÉë=∑
∞
=N
å
å
~ áë=ÅçåîÉêÖÉåíI=íÜÉå= M
~
äáã å
å
=
∞
→
K==
• fÑ= M
~
äáã å
å
≠
∞
→
I=íÜÉå=íÜÉ=ëÉêáÉë=áë=ÇáîÉêÖÉåíK=
=
=
=
11.5 Properties of Convergent Series
=
`çåîÉêÖÉåí=pÉêáÉëW= ^
~
N
å
å =
∑
∞
=
I= _
Ä
N
å
å =
∑
∞
=
=
oÉ~ä=åìãÄÉêW=Å=

CHAPTER 11. SERIES
308
1208. ( ) _
^
Ä
~
Ä
~
N
å
å
N
å
å
N
å
å
å +
=
+
=
+ ∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
=
=
1209. Å^
~
Å
Å~
N
å
å
N
å
å =
= ∑
∑
∞
=
∞
=
K==
=
=
=
11.6 Convergence Tests
=
1210. qÜÉ=`çãé~êáëçå=qÉëí=
iÉí=∑
∞
=N
å
å
~ =~åÇ=∑
∞
=N
å
å
Ä =ÄÉ=ëÉêáÉë=ëìÅÜ=íÜ~í= å
å Ä
~
M ≤
< =Ñçê=~ää=åK==
• fÑ=∑
∞
=N
å
å
Ä áë=ÅçåîÉêÖÉåí=íÜÉå= ∑
∞
=N
å
å
~ áë=~äëç=ÅçåîÉêÖÉåíK==
• fÑ=∑
∞
=N
å
å
~ áë=ÇáîÉêÖÉåí=íÜÉå=∑
∞
=N
å
å
Ä áë=~äëç=ÇáîÉêÖÉåíK=
=
1211. qÜÉ=iáãáí=`çãé~êáëçå=qÉëí=
iÉí=∑
∞
=N
å
å
~ =~åÇ=∑
∞
=N
å
å
Ä =ÄÉ=ëÉêáÉë=ëìÅÜ=íÜ~í= å
~ =~åÇ= å
Ä =~êÉ=éçëá-
íáîÉ=Ñçê=~ää=åK==
• fÑ= ∞
<
<
∞
→
å
å
å Ä
~
äáã
M = íÜÉå= ∑
∞
=N
å
å
~ = ~åÇ= ∑
∞
=N
å
å
Ä ~êÉ= ÉáíÜÉê= ÄçíÜ=
ÅçåîÉêÖÉåí=çê=ÄçíÜ=ÇáîÉêÖÉåíK=
• fÑ= M
Ä
~
äáã
å
å
å
=
∞
→
=íÜÉå= ∑
∞
=N
å
å
Ä ÅçåîÉêÖÉåí=áãéäáÉë=íÜ~í=∑
∞
=N
å
å
~ =áë=
~äëç=ÅçåîÉêÖÉåíK=

CHAPTER 11. SERIES
309
• fÑ= ∞
=
∞
→
å
å
å Ä
~
äáã =íÜÉå= ∑
∞
=N
å
å
Ä ÇáîÉêÖÉåí=áãéäáÉë=íÜ~í= ∑
∞
=N
å
å
~ =áë=
~äëç=ÇáîÉêÖÉåíK=
=
1212. é-ëÉêáÉë=
é-ëÉêáÉë=∑
∞
=N
å
é
å
N
=ÅçåîÉêÖÉë=Ñçê= N
é > =~åÇ=ÇáîÉêÖÉë=Ñçê=
N
é
M ≤
< K=
=
1213. qÜÉ=fåíÉÖê~ä=qÉëí=
iÉí= ( )
ñ
Ñ = ÄÉ= ~= ÑìåÅíáçå= ïÜáÅÜ= áë= ÅçåíáåìçìëI= éçëáíáîÉI= ~åÇ=
ÇÉÅêÉ~ëáåÖ=Ñçê=~ää= N
ñ ≥ K=qÜÉ=ëÉêáÉë==
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K
K +
+
+
+
+
=
∑
∞
=
å
Ñ
P
Ñ
O
Ñ
N
Ñ
å
Ñ
N
å
=
ÅçåîÉêÖÉë=áÑ= ( )
∫
∞
N
Çñ
ñ
Ñ ÅçåîÉêÖÉëI=~åÇ=ÇáîÉêÖÉë=áÑ=
( ) ∞
→
∫
å
N
Çñ
ñ
Ñ =~ë= ∞
→
å K=
=
1214. qÜÉ=o~íáç=qÉëí=
iÉí=∑
∞
=N
å
å
~ =ÄÉ=~=ëÉêáÉë=ïáíÜ=éçëáíáîÉ=íÉêãëK=
• fÑ= N
~
~
äáã
å
N
å
å
<
+
∞
→
=íÜÉå=∑
∞
=N
å
å
~ áë=ÅçåîÉêÖÉåíK=
• fÑ= N
~
~
äáã
å
N
å
å
>
+
∞
→
=íÜÉå=∑
∞
=N
å
å
~ =áë=ÇáîÉêÖÉåíK=
• fÑ= N
~
~
äáã
å
N
å
å
=
+
∞
→
=íÜÉå= ∑
∞
=N
å
å
~ =ã~ó=ÅçåîÉêÖÉ=çê=ÇáîÉêÖÉ=~åÇ=
íÜÉ=ê~íáç=íÉëí=áë=áåÅçåÅäìëáîÉX=ëçãÉ=çíÜÉê=íÉëíë= ãìëí=ÄÉ=
ìëÉÇK==
=

CHAPTER 11. SERIES
310
1215. qÜÉ=oççí=qÉëí=
iÉí=∑
∞
=N
å
å
~ =ÄÉ=~=ëÉêáÉë=ïáíÜ=éçëáíáîÉ=íÉêãëK=
• fÑ= N
~
äáãå
å
å
<
∞
→
=íÜÉå=∑
∞
=N
å
å
~ =áë=ÅçåîÉêÖÉåíK=
• fÑ= N
~
äáãå
å
å
>
∞
→
=íÜÉå=∑
∞
=N
å
å
~ =áë=ÇáîÉêÖÉåíK=
• fÑ= N
~
äáãå
å
å
=
∞
→
=íÜÉå= ∑
∞
=N
å
å
~ =ã~ó=ÅçåîÉêÖÉ=çê=ÇáîÉêÖÉI=Äìí=
åç=ÅçåÅäìëáçå=Å~å=ÄÉ=Çê~ïå=Ñêçã=íÜáë=íÉëíK=
=
=
=
11.7 Alternating Series
=
1216. qÜÉ=^äíÉêå~íáåÖ=pÉêáÉë=qÉëí=EiÉáÄåáò∞ë=qÜÉçêÉãF=
=
iÉí={ }
å
~ =ÄÉ=~=ëÉèìÉåÅÉ=çÑ=éçëáíáîÉ=åìãÄÉêë=ëìÅÜ=íÜ~í=
å
N
å ~
~ <
+ =Ñçê=~ää=åK=
M
~
äáã å
å
=
∞
→
K==
qÜÉå= íÜÉ= ~äíÉêå~íáåÖ= ëÉêáÉë= ( )
∑
∞
=
−
N
å
å
å
~
N = ~åÇ= ( )
∑
∞
=
−
−
N
å
å
N
å
~
N =
ÄçíÜ=ÅçåîÉêÖÉK====
=
1217. ^ÄëçäìíÉ=`çåîÉêÖÉåÅÉ=
• ^= ëÉêáÉë= ∑
∞
=N
å
å
~ = áë= ~ÄëçäìíÉäó= ÅçåîÉêÖÉåí= áÑ= íÜÉ= ëÉêáÉë=
∑
∞
=N
å
å
~ =áë=ÅçåîÉêÖÉåíK==

CHAPTER 11. SERIES
311
• fÑ=íÜÉ=ëÉêáÉë= ∑
∞
=N
å
å
~ áë=~ÄëçäìíÉäó=ÅçåîÉêÖÉåí=íÜÉå=áí=áë=Åçå-
îÉêÖÉåíK=
=
1218. `çåÇáíáçå~ä=`çåîÉêÖÉåÅÉ=
^= ëÉêáÉë= ∑
∞
=N
å
å
~ áë= ÅçåÇáíáçå~ääó= ÅçåîÉêÖÉåí= áÑ= íÜÉ= ëÉêáÉë= áë=
ÅçåîÉêÖÉåí=Äìí=áë=åçí=~ÄëçäìíÉäó=ÅçåîÉêÖÉåíK=
=
=
=
11.8 Power Series
=
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=ñI= M
ñ =
mçïÉê=ëÉêáÉëW=∑
∞
=M
å
å
åñ
~ I= ( )
∑
∞
=
−
M
å
å
M
å ñ
ñ
~ =
o~Çáìë=çÑ=`çåîÉêÖÉåÅÉW=o=
=
1219. mçïÉê=pÉêáÉë=áå=ñ=
K
K +
+
+
+
+
=
∑
∞
=
å
å
O
O
N
M
M
å
å
å ñ
~
ñ
~
ñ
~
~
ñ
~ =
=
1220. mçïÉê=pÉêáÉë=áå=( )
M
ñ
ñ − =
( ) ( ) ( ) ( ) K
K +
−
+
+
−
+
−
+
=
−
∑
∞
=
å
M
å
O
M
O
M
N
M
M
å
å
M
å ñ
ñ
~
ñ
ñ
~
ñ
ñ
~
~
ñ
ñ
~
=
1221. fåíÉêî~ä=çÑ=`çåîÉêÖÉåÅÉ===
qÜÉ=ëÉí=çÑ=íÜçëÉ=î~äìÉë=çÑ=ñ=Ñçê=ïÜáÅÜ=íÜÉ=ÑìåÅíáçå=
( ) ( )
∑
∞
=
−
=
M
å
å
M
å ñ
ñ
~
ñ
Ñ =áë=ÅçåîÉêÖÉåí=áë=Å~ääÉÇ==íÜÉ==áåíÉêî~ä=çÑ=
ÅçåîÉêÖÉåÅÉK=

CHAPTER 11. SERIES
312
1222. o~Çáìë=çÑ=`çåîÉêÖÉåÅÉ=
fÑ=íÜÉ=áåíÉêî~ä=çÑ=ÅçåîÉêÖÉåÅÉ=áë==( )
o
ñ
I
o
ñ M
M +
− ==Ñçê==ëçãÉ=
M
o ≥ I=íÜÉ=o=áë=Å~ääÉÇ==íÜÉ=ê~Çáìë=çÑ=ÅçåîÉêÖÉåÅÉK==fí=áë=ÖáîÉå=
~ë=
å
å
å ~
N
äáã
o
∞
→
= =çê=
N
å
å
å ~
~
äáã
o
+
∞
→
= K==
=
=
=
11.9 Differentiation and Integration of Power
Series
=
`çåíáåìçìë=ÑìåÅíáçåW= ( )
ñ
Ñ =
mçïÉê=ëÉêáÉëW=∑
∞
=M
å
å
åñ
~ =
o~Çáìë=çÑ=`çåîÉêÖÉåÅÉW=o=
=
=
1223. aáÑÑÉêÉåíá~íáçå=çÑ=mçïÉê=pÉêáÉë=
iÉí= ( ) K
+
+
+
=
= ∑
∞
=
O
O
N
M
M
å
å
å ñ
~
ñ
~
~
ñ
~
ñ
Ñ =Ñçê= o
ñ < K==
qÜÉåI==Ñçê= o
ñ < I= ( )
ñ
Ñ =áë=ÅçåíáåìçìëI=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉ= ( )
ñ
Ñ′ =
Éñáëíë=~åÇ=
( ) K
+
+
+
=
′ O
O
N
M ñ
~
Çñ
Ç
ñ
~
Çñ
Ç
~
Çñ
Ç
ñ
Ñ =
∑
∞
=
−
=
+
+
+
=
N
å
N
å
å
O
P
O
N ñ
å~
ñ
~
P
ñ
~
O
~ K K=
=
=
=

CHAPTER 11. SERIES
313
1224. fåíÉÖê~íáçå=çÑ=mçïÉê=pÉêáÉë=
iÉí= ( ) K
+
+
+
=
= ∑
∞
=
O
O
N
M
M
å
å
å ñ
~
ñ
~
~
ñ
~
ñ
Ñ =Ñçê= o
ñ < K==
qÜÉåI==Ñçê= o
ñ < I=íÜÉ=áåÇÉÑáåáíÉ=áåíÉÖê~ä= ( )
∫ Çñ
ñ
Ñ Éñáëíë=~åÇ==
( ) K
+
+
+
= ∫
∫
∫
∫ Çñ
ñ
~
ñÇñ
~
Çñ
~
Çñ
ñ
Ñ O
O
N
M =
`
N
å
ñ
~
P
ñ
~
O
ñ
~
ñ
~
M
å
N
å
å
P
O
O
N
M +
+
=
+
+
+
= ∑
∞
=
+
K K=
=
=
=
11.10 Taylor and Maclaurin Series
=
aáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ=ÑìåÅíáçåW= ( )
ñ
Ñ =
oÉã~áåÇÉê=íÉêãW= å
o =
=
=
1225. q~óäçê=pÉêáÉë=
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) K
+
−
′
′
+
−
′
+
=
−
= ∑
∞
= >
O
~
ñ
~
Ñ
~
ñ
~
Ñ
~
Ñ
>
å
~
ñ
~
Ñ
ñ
Ñ
O
M
å
å
å
= =
( )
( )( )
å
å
å
o
>
å
~
ñ
~
Ñ
+
−
+ K==
=
1226. qÜÉ=oÉã~áåÇÉê=^ÑíÉê=åHN=qÉêãë=áë=ÖáîÉå=Äó==
( )
( )( )
( )>
N
å
~
ñ
Ñ
o
N
å
N
å
å
+
−
ξ
=
+
+
I=== ñ
~ <
ξ
< K=
=
1227. j~Åä~ìêáå=pÉêáÉë=

CHAPTER 11. SERIES
314
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
å
å
å
O
M
å
å
å
o
>
å
ñ
M
Ñ
>
O
ñ
M
Ñ
ñ
M
Ñ
M
Ñ
>
å
ñ
M
Ñ
ñ
Ñ +
+
+
′
′
+
′
+
=
= ∑
∞
=
K
=
=
=
=
11.11 Power Series Expansions for Some
Functions
=
oÉ~ä=åìãÄÉêW=ñ=
=
=
1228. K
K +
+
+
+
+
+
=
>
å
ñ
>
P
ñ
>
O
ñ
ñ
N
É
å
P
O
ñ
=
=
1229.
( ) ( ) ( ) K
K +
+
+
+
+
+
=
>
å
~
äå
ñ
>
P
~
äå
ñ
>
O
~
äå
ñ
>
N
~
äå
ñ
N
~
å
P
O
ñ
=
=
1230. ( ) ( ) K
K ±
+
−
+
+
−
+
−
=
+
+
N
å
ñ
N
Q
ñ
P
ñ
O
ñ
ñ
ñ
N
äå
N
å
å
Q
P
O
I= N
ñ
N ≤
<
− K=
=
1231. 







+
+
+
+
=
−
+
K
T
ñ
R
ñ
P
ñ
ñ
O
ñ
N
ñ
N
äå
T
R
P
I= N
ñ < K=
=
1232.














+
−
+






+
−
+
+
−
= K
R
P
N
ñ
N
ñ
R
N
N
ñ
N
ñ
P
N
N
ñ
N
ñ
O
ñ
äå I= M
ñ > K=
=
1233.
( )
( )
K
K ±
−
+
+
−
+
−
=
>
å
O
ñ
N
>
S
ñ
>
Q
ñ
>
O
ñ
N
ñ
Åçë
å
O
å
S
Q
O
=
=

CHAPTER 11. SERIES
315
1234.
( )
( )
K
K ±
+
−
+
+
−
+
−
=
+
>
N
å
O
ñ
N
>
T
ñ
>
R
ñ
>
P
ñ
ñ
ñ
ëáå
N
å
O
å
T
R
P
=
=
1235. K
+
+
+
+
+
=
OUPR
ñ
SO
PNR
ñ
NT
NR
ñ
O
P
ñ
ñ
ñ
í~å
V
T
R
P
I=
O
ñ
π
< K=
=
1236. 







+
+
+
+
−
= K
QTOR
ñ
O
VQR
ñ
O
QR
ñ
P
ñ
ñ
N
ñ
Åçí
T
R
P
I= π
<
ñ K=
=
1237.
( )
( )( )
K
K
K
K +
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
=
+
N
å
O
å
O
S
Q
O
ñ
N
å
O
R
P
N
R
Q
O
ñ
P
N
P
O
ñ
ñ
ñ
~êÅëáå
N
å
O
R
P
I=
N
ñ < K=
=
1238.
( )
( )( )
I
N
å
O
å
O
S
Q
O
ñ
N
å
O
R
P
N
R
Q
O
ñ
P
N
P
O
ñ
ñ
O
ñ
~êÅÅçë
N
å
O
R
P








+
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
−
π
=
+
K
K
K
K
N
ñ < K=
=
1239.
( ) K
K ±
+
−
+
+
−
+
−
=
+
N
å
O
ñ
N
T
ñ
R
ñ
P
ñ
ñ
ñ
~êÅí~å
N
å
O
å
T
R
P
I= N
ñ ≤ K=
=
1240.
( )
K
K +
+
+
+
+
+
=
>
å
O
ñ
>
S
ñ
>
Q
ñ
>
O
ñ
N
ñ
ÅçëÜ
å
O
S
Q
O
=
=
1241.
( )
K
K +
+
+
+
+
+
+
=
+
>
N
å
O
ñ
>
T
ñ
>
R
ñ
>
P
ñ
ñ
ñ
ëáåÜ
N
å
O
T
R
P
=
=
=
=
=
=

CHAPTER 11. SERIES
316
11.12 Binomial Series
=
tÜçäÉ=åìãÄÉêëW=åI=ã=
oÉ~ä=åìãÄÉêW=ñ=
`çãÄáå~íáçåëW= ã
å
` =
=
=
1242. ( ) å
ã
å
ã
O
O
å
N
å
å
ñ
ñ
`
ñ
`
ñ
`
N
ñ
N +
+
+
+
+
+
=
+ K
K =
=
1243.
( ) ( )
[ ]
>
ã
N
ã
å
N
å
å
`ã
å −
−
−
=
K
I= N
ñ < K=
=
1244. K
+
−
+
−
=
+
P
O
ñ
ñ
ñ
N
ñ
N
N
I= N
ñ < K=
=
1245. K
+
+
+
+
=
−
P
O
ñ
ñ
ñ
N
ñ
N
N
I= N
ñ < K=
=
1246. K
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
+
⋅
−
+
=
+
U
S
Q
O
ñ
R
P
N
S
Q
O
ñ
P
N
Q
O
ñ
O
ñ
N
ñ
N
Q
P
O
I= N
ñ ≤ K=
=
1247. K
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
+
=
+
NO
V
S
P
ñ
U
R
O
N
V
S
P
ñ
R
O
N
S
P
ñ
O
N
P
ñ
N
ñ
N
Q
P
O
P
I= N
ñ ≤ K=
=
=
=
11.13 Fourier Series
=
fåíÉÖê~ÄäÉ=ÑìåÅíáçåW= ( )
ñ
Ñ =
cçìêáÉê=ÅçÉÑÑáÅáÉåíëW= M
~ I= å
~ I= å
Ä =
tÜçäÉ=åìãÄÉêW=å==

CHAPTER 11. SERIES
317
1248. ( ) ( )
∑
∞
=
+
+
=
N
å
å
å
M
åñ
ëáå
Ä
åñ
Åçë
~
O
~
ñ
Ñ =
=
1249. ( )
∫
π
π
−
π
= Çñ
åñ
Åçë
ñ
Ñ
N
~å ==
=
1250. ( )
∫
π
π
−
π
= Çñ
åñ
ëáå
ñ
Ñ
N
Äå ==
=
=

318
Chapter 12
Probability
=
=
=
=
12.1 Permutations and Combinations
=
mÉêãìí~íáçåëW= ã
å
m =
`çãÄáå~íáçåëW= ã
å
` =
tÜçäÉ=åìãÄÉêëW=åI=ã=
=
=
1251. c~Åíçêá~ä=
( )( )å
N
å
O
å
P
O
N
>
å −
−
⋅
⋅
= K =
N
>
M = =
=
1252. >
å
må
å
= =
=
1253.
( )>
ã
å
>
å
mã
å
−
= =
=
1254. _áåçãá~ä=`çÉÑÑáÅáÉåí=
( )>
ã
å
>
ã
>
å
ã
å
`ã
å
−
=








= =
=
1255. ã
å
å
ã
å
`
` −
= =
=
1256. N
ã
N
å
N
ã
å
ã
å
`
`
` +
+
+ =
+ =
=

CHAPTER 12. PROBABILITY
319
1257. å
å
å
O
å
N
å
M
å
O
`
`
`
` =
+
+
+
+ K =
=
1258. m~ëÅ~ä∞ë=qêá~åÖäÉ=
=
oçï=M= = = = = = = N= = = = = = =
oçï=N= = = = = = N= = N= = = = = =
oçï=O= = = = = N= = O= = N= = = = =
oçï=P= = = = N= = P= = P= = N= = = =
oçï=Q= = = N= = Q= = S= = Q= = N= = =
oçï=R= = N= = R= = NM= = NM= = R= = N= =
oçï=S= N= = S= = NR= = OM= = NR= = S= = N=
=
=
=
12.2 Probability Formulas
=
bîÉåíëW=^I=_=
mêçÄ~ÄáäáíóW=m=
o~åÇçã=î~êá~ÄäÉëW=uI=vI=w=
s~äìÉë=çÑ=ê~åÇçã=î~êá~ÄäÉëW=ñI=óI=ò=
bñéÉÅíÉÇ=î~äìÉ=çÑ=uW=µ=
^åó=éçëáíáîÉ=êÉ~ä=åìãÄÉêW=ε ==
pí~åÇ~êÇ=ÇÉîá~íáçåW=σ =
s~êá~åÅÉW= O
σ =
aÉåëáíó=ÑìåÅíáçåëW= ( )
ñ
Ñ I= ( )
í
Ñ =
=
=
1259. mêçÄ~Äáäáíó=çÑ=~å=bîÉåí=
( )
å
ã
^
m = I==
ïÜÉêÉ==
ã=áë=íÜÉ=åìãÄÉê=çÑ=éçëëáÄäÉ=éçëáíáîÉ=çìíÅçãÉëI==
å=áë=íÜÉ=íçí~ä=åìãÄÉê=çÑ=éçëëáÄäÉ=çìíÅçãÉëK=
=

320
1260. o~åÖÉ=çÑ=mêçÄ~Äáäáíó=s~äìÉë=
( ) N
^
m
M ≤
≤ =
=
1261. `Éêí~áå=bîÉåí=
( ) N
^
m = =
=
1262. fãéçëëáÄäÉ=bîÉåí=
( ) M
^
m = =
=
1263. `çãéäÉãÉåí=
( ) ( )
^
m
N
^
m −
= =
=
1264. fåÇÉéÉåÇÉåí=bîÉåíë=
( ) ( )
^
m
_
L
^
m = I==
( ) ( )
_
m
^
L
_
m = =
=
1265. ^ÇÇáíáçå=oìäÉ=Ñçê=fåÇÉéÉåÇÉåí=bîÉåíë=
( ) ( ) ( )
_
m
^
m
_
^
m +
=
∪ =
=
1266. jìäíáéäáÅ~íáçå=oìäÉ=Ñçê=fåÇÉéÉåÇÉåí=bîÉåíë=
( ) ( ) ( )
_
m
^
m
_
^
m ⋅
=
∩ =
=
1267. dÉåÉê~ä=^ÇÇáíáçå=oìäÉ=
( ) ( ) ( ) ( )
_
^
m
_
m
^
m
_
^
m ∩
−
+
=
∪ I==
ïÜÉêÉ==
_
^ ∪ =áë=íÜÉ=ìåáçå=çÑ=ÉîÉåíë=^=~åÇ=_I==
_
^ ∩ =áë=íÜÉ=áåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=ÉîÉåíë=^=~åÇ=_K=
=
1268. `çåÇáíáçå~ä=mêçÄ~Äáäáíó=
( ) ( )
( )
_
m
_
^
m
_
L
^
m
∩
= =
=
1269. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
^
L
_
m
^
m
_
L
^
m
_
m
_
^
m ⋅
=
⋅
=
∩ =

321
1270. i~ï=çÑ=qçí~ä=mêçÄ~Äáäáíó=
( ) ( ) ( )
∑
=
=
ã
N
á
á
á _
L
^
m
_
m
^
m I==
ïÜÉêÉ= á
_ =áë=~=ëÉèìÉåÅÉ=çÑ=ãìíì~ääó=ÉñÅäìëáîÉ=ÉîÉåíëK==
=
1271. _~óÉë∞=qÜÉçêÉã=
( ) ( ) ( )
( )
^
m
_
m
_
L
^
m
^
L
_
m
⋅
= =
=
1272. _~óÉë∞=cçêãìä~=
( )
( ) ( )
( ) ( )
∑
=
⋅
⋅
= ã
N
â
á
á
á
á
á
_
L
^
m
_
m
_
L
^
m
_
m
^
L
_
m I==
ïÜÉêÉ==
á
_ =áë=~=ëÉí=çÑ=ãìíì~ääó=ÉñÅäìëáîÉ=ÉîÉåíë=EÜóéçíÜÉëÉëFI=
^ =áë=íÜÉ=Ñáå~ä=ÉîÉåíI==
( )
á
_
m =~êÉ=íÜÉ=éêáçê=éêçÄ~ÄáäáíáÉëI=
( )
^
L
_
m á =~êÉ=íÜÉ=éçëíÉêáçê=éêçÄ~ÄáäáíáÉëK=
=
1273. i~ï=çÑ=i~êÖÉ=kìãÄÉêë=
M
å
p
m å
→






ε
≥
µ
− =~ë= ∞
→
å I==
N
å
p
m å
→






ε
<
µ
− =~ë= ∞
→
å I==
ïÜÉêÉ==
å
p =áë=íÜÉ=ëìã=çÑ=ê~åÇçã=î~êá~ÄäÉëI=
å=áë=íÜÉ=åìãÄÉê=çÑ=éçëëáÄäÉ=çìíÅçãÉëK=
=
1274. `ÜÉÄóëÜÉî=fåÉèì~äáíó=
( ) ( )
O
u
s
u
m
ε
≤
ε
≥
µ
− I==
ïÜÉêÉ= ( )
u
s =áë=íÜÉ=î~êá~åÅÉ=çÑ=uK=

322
1275. kçêã~ä=aÉåëáíó=cìåÅíáçå=
( )
( )
O
O
O
ñ
É
O
N
ñ σ
µ
−
−
π
σ
=
ϕ I==
ïÜÉêÉ=ñ=áë=~=é~êíáÅìä~ê=çìíÅçãÉK=
=
1276. pí~åÇ~êÇ=kçêã~ä=aÉåëáíó=cìåÅíáçå=
( ) O
ò O
É
O
N
ò
−
π
=
ϕ =
^îÉê~ÖÉ=î~äìÉ= M
=
µ I=ÇÉîá~íáçå= N
=
σ K=
=
===== =
=
Figure 210.
=
1277. pí~åÇ~êÇ=w=s~äìÉ=
σ
µ
−
=
u
w =
=
1278. `ìãìä~íáîÉ=kçêã~ä=aáëíêáÄìíáçå=cìåÅíáçå=
( )
( )
∫∞
−
σ
µ
−
−
π
σ
=
ñ
O
í
Çí
É
O
N
ñ
c
O
O
I==

323
ïÜÉêÉ==
ñ=áë=~=é~êíáÅìä~ê=çìíÅçãÉI==
í =áë=~=î~êá~ÄäÉ=çÑ=áåíÉÖê~íáçåK=
=
1279. ( ) 





σ
µ
−
β
−






σ
µ
−
α
=
β
<
<
α c
c
u
m I=
ïÜÉêÉ=
u=áë=åçêã~ääó=ÇáëíêáÄìíÉÇ=ê~åÇçã=î~êá~ÄäÉI=
c=áë=Åìãìä~íáîÉ=åçêã~ä=ÇáëíêáÄìíáçå=ÑìåÅíáçåI==
( )
β
<
<
α u
m =áë=áåíÉêî~ä=éêçÄ~ÄáäáíóK=
=
1280. ( ) 





σ
ε
=
ε
<
µ
− c
O
u
m I==
ïÜÉêÉ==
u=áë=åçêã~ääó=ÇáëíêáÄìíÉÇ=ê~åÇçã=î~êá~ÄäÉI=
c=áë=Åìãìä~íáîÉ=åçêã~ä=ÇáëíêáÄìíáçå=ÑìåÅíáçåK=
=
1281. `ìãìä~íáîÉ=aáëíêáÄìíáçå=cìåÅíáçå=
( ) ( ) ( )
∫∞
−
=
<
=
ñ
Çí
í
Ñ
ñ
u
m
ñ
c I==
ïÜÉêÉ=í=áë=~=î~êá~ÄäÉ=çÑ=áåíÉÖê~íáçåK=
=
1282. _Éêåçìääá=qêá~äë=mêçÅÉëë=
åé
=
µ = I= åéè
O
=
σ I==
ïÜÉêÉ==
å=áë=~=ëÉèìÉåÅÉ=çÑ=ÉñéÉêáãÉåíëI==
é =áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=çÑ=ëìÅÅÉëë=çÑ=É~ÅÜ=ÉñéÉêáãÉåíëI=
è =áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=çÑ=Ñ~áäìêÉI= é
N
è −
= K=
=
1283. _áåçãá~ä=aáëíêáÄìíáçå=cìåÅíáçå=======
( ) â
å
â
è
é
â
å
è
I
é
I
å
Ä −








= I==

324
åé
=
µ I= åéè
O
=
σ I=
( ) ( )å
ñ
éÉ
è
ñ
Ñ +
= I==
ïÜÉêÉ==
å=áë=íÜÉ=åìãÄÉê=çÑ=íêá~äë=çÑ=ëÉäÉÅíáçåëI=
é=áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=çÑ=ëìÅÅÉëëI=
è=áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=çÑ=Ñ~áäìêÉI= é
N
è −
= K=
=
1284. dÉçãÉíêáÅ=aáëíêáÄìíáçå=
( ) é
è
à
q
m N
à−
=
= I==
é
N
=
µ I= O
O
é
è
=
σ I==
ïÜÉêÉ==
q=áë=íÜÉ=Ñáêëí=ëìÅÅÉëëÑìä=ÉîÉåí=áë=íÜÉ=ëÉêáÉëI=
à=áë=íÜÉ=ÉîÉåí=åìãÄÉêI=
é=áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=íÜ~í=~åó=çåÉ=ÉîÉåí=áë=ëìÅÅÉëëÑìäI==
è=áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=çÑ=Ñ~áäìêÉI= é
N
è −
= K=
=
1285. mçáëëçå=aáëíêáÄìíáçå=
( ) λ
−
λ
≈
= É
>
â
â
u
m
â
I= åé
=
λ I==
λ
=
µ I= λ
=
σO
I==
ïÜÉêÉ==
λ =áë=íÜÉ=ê~íÉ=çÑ=çÅÅìêêÉåÅÉI=
â=áë=íÜÉ=åìãÄÉê=çÑ=éçëáíáîÉ=çìíÅçãÉëK=
=
1286. aÉåëáíó=cìåÅíáçå==
( ) ( )
∫
=
≤
≤
Ä
~
Çñ
ñ
Ñ
Ä
u
~
m ==
=
1287. `çåíáåìçìë=råáÑçêã=aÉåëáíó=
~
Ä
N
Ñ
−
= I=
O
Ä
~ +
=
µ I==

325
ïÜÉêÉ=Ñ=áë=íÜÉ=ÇÉåëáíó=ÑìåÅíáçåK=
=
1288. bñéçåÉåíá~ä=aÉåëáíó=cìåÅíáçå=
( ) í
É
í
Ñ λ
−
λ
= I= λ
=
µ I= O
O
λ
=
σ =
ïÜÉêÉ=í=áë=íáãÉI=λ =áë=íÜÉ=Ñ~áäìêÉ=ê~íÉK=
=
1289. bñéçåÉåíá~ä=aáëíêáÄìíáçå=cìåÅíáçå=
( ) í
É
N
í
c λ
−
−
= I==
ïÜÉêÉ=í=áë=íáãÉI=λ =áë=íÜÉ=Ñ~áäìêÉ=ê~íÉK=
=
1290. bñéÉÅíÉÇ=s~äìÉ=çÑ=aáëÅêÉíÉ=o~åÇçã=s~êá~ÄäÉë=
( ) ∑
=
=
=
µ
å
N
á
á
áé
ñ
u
b I==
ïÜÉêÉ= á
ñ =áë=~=é~êíáÅìä~ê=çìíÅçãÉI= á
é =áë=áíë=éêçÄ~ÄáäáíóK=
=
1291. bñéÉÅíÉÇ=s~äìÉ=çÑ=`çåíáåìçìë=o~åÇçã=s~êá~ÄäÉë=
( ) ( )
∫
∞
∞
−
=
=
µ Çñ
ñ
ñÑ
u
b ==
=
1292. mêçéÉêíáÉë=çÑ=bñéÉÅí~íáçåë=
( ) ( ) ( )
v
b
u
b
v
u
b +
=
+ I==
( ) ( ) ( )
v
b
u
b
v
u
b −
=
− I=
( ) ( )
u
Åb
Åu
b = I==
( ) ( ) ( )
v
b
u
b
uv
b ⋅
= I==
ïÜÉêÉ=Å=áë=~=Åçåëí~åíK=
=
1293. ( ) ( ) O
O
u
s
u
b µ
+
= I==
ïÜÉêÉ==
( )
u
b
=
µ =áë=íÜÉ=ÉñéÉÅíÉÇ=î~äìÉI===
( )
u
s =áë=íÜÉ=î~êá~åÅÉK=
=
=
=

326
1294. j~êâçî=fåÉèì~äáíó=
( ) ( )
â
u
b
â
u
m ≤
> I==
ïÜÉêÉ=â=áë=ëçãÉ=Åçåëí~åíK=
=
1295. s~êá~åÅÉ=çÑ=aáëÅêÉíÉ=o~åÇçã=s~êá~ÄäÉë=
( ) ( )
[ ] ( )
∑
=
µ
−
=
µ
−
=
=
σ
å
N
á
á
O
á
O
O
é
ñ
u
b
u
s I==
ïÜÉêÉ==
á
ñ =áë=~=é~êíáÅìä~ê=çìíÅçãÉI=
á
é =áë=áíë=éêçÄ~ÄáäáíóK=
=
1296. s~êá~åÅÉ=çÑ=`çåíáåìçìë=o~åÇçã=s~êá~ÄäÉë=
( ) ( )
[ ] ( ) ( )
∫
∞
∞
−
µ
−
=
µ
−
=
=
σ Çñ
ñ
Ñ
ñ
u
b
u
s
O
O
O
==
=
1297. mêçéÉêíáÉë=çÑ=s~êá~åÅÉ=
( ) ( ) ( )
v
s
u
s
v
u
s +
=
+ I==
( ) ( ) ( )
v
s
u
s
v
u
s +
=
− I=
( ) ( )
u
s
Å
u
s =
+ I=
( ) ( )
u
s
Å
Åu
s O
= I=
ïÜÉêÉ=Å=áë=~=Åçåëí~åíK=
=
1298. pí~åÇ~êÇ=aÉîá~íáçå=
( ) ( ) ( )
[ ]
O
u
b
u
s
u
a µ
−
=
= =
=
1299. `çî~êá~åÅÉ=
( ) ( )
( ) ( )
( )
[ ] ( ) ( ) ( )
v
u
uv
b
v
v
u
u
b
v
I
u
Åçî µ
µ
−
=
µ
−
µ
−
= I==
ïÜÉêÉ==
u =áë=ê~åÇçã=î~êá~ÄäÉI==
( )
u
s =áë=íÜÉ=î~êá~åÅÉ=çÑ=uI==
µ=áë=íÜÉ=ÉñéÉÅíÉÇ=î~äìÉ=çÑ=u=çê=vK=

327
=
1300. `çêêÉä~íáçå=
( ) ( )
( ) ( )
v
s
u
s
v
I
u
Åçî
v
I
u =
ρ I==
ïÜÉêÉ==
( )
u
s =áë=íÜÉ=î~êá~åÅÉ=çÑ=uI==
( )
v
s =áë=íÜÉ=î~êá~åÅÉ=çÑ=vK=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=

=
iççâ=Ñçê=çíÜÉê=Ü~åÇÄççâë=~åÇ=ëçäîÉÇ=éêçÄäÉã=ÖìáÇÉë=~í=
ïïïKã~íÜ-ÉÄççâëKÅçãK=
=
=
=
=

1300 Math Formulas.pdf

More Related Content

Featured

1300 Math Formulas.pdf