1. • 1.2. Асимптотическая устойчивость нулевого решения
• Для начала, не вдаваясь в глубину вопроса, приведем три
определения из теории устойчивости.
• Определение 1.6а. Если все решения cp(t) линейного
дифференциального уравнения (1.1) ограничены на
промежутке *0,+°о )5 то решение x(t) = 0 будем называть
устойчивым.
• Определение 1.6Ь. Решение х(7) = 0 будем называть
неустойчи­вым, если оно не является устойчивым.
• Таким образом, если нулевое решение неустойчиво, то
для некоторого решения (р(t) уравнения (1.1): lim <p(t)=°°.
• t —> +оо
• Определение 1.6с. Если для любого решения
• t-^+oО
• то нулевое решение называется асимптотически
устойчивым.

2. • Лемма 1.1. Для любого алгебраического
многочлена Ts (t) степени s
• = 0.
• lim
• если Re λ < 0 (здесь Re λ обозначает
вещественную часть комплексного числа λ ).
• Доказательство леммы элементарно и основано
на использовании правила Лопиталя.
Проделайте его самостоятельно.
• Из леммы 1.1 к структуры общего решения
уравнения (1.1) вытекает следующая

3. • Теорема 1.1. (Об асимптотической устойчивости.) Если все
корни Я- характеристического уравнения (1.3) находятся в
левой
• полуплоскости комплексного переменного: Re Яг- < 0 (/ = 1,я
), то для любого решения x(t) дифференциального уравнения
(1.1) выполняется соотношение
• lim x(t)= 0,
• то есть нулевое решение асимптотически устойчиво.
• Замечание. Выше отмечалось, что нулевое решение уравнения
(1.1) отвечает рабочему режиму технического
устройства, который необходимо должен быть устойчивым в
том смысле, что все другие режимы должны стремиться к
нему с возрастанием времени. С точки зрения
дифференциальных уравнений это означает, что решение x(t)
= 0 должно быть асимптотически устойчивым. При этом все
решения уравнения (1.1), отличные от нулевого и стремящиеся
к нему, как раз будут отвечать переходным процессам в работе
устройства. В силу этого обстоятельства задача об
исследовании нулевого решения на устойчивость является
одной из важнейших для современной техники.

4. • В связи с анализом на устойчивость тривиального
решения x(t) = 0 дифференциального уравнения
(1.1) возникает следующая алгебраическая задача:
найти условия, накладываемые на коэффициенты
уравнения at, при которых все корни λ^Я^ —>Яп
•
• алгебраического уравнения (1.3) находятся в левой
полуплоскости комплексного переменного.
• Впервые эта задача была поставлена в 1868 г.
создателем теории электромагнетизма Дж.
Максвеллом. В ее решении на разных этапах
принимали участие выдающиеся математики и
инженеры, среди которых: Ш.Эрмит, И.А.
Вышнеградский, Э. Раус, А. Гурвиц, А.В. Михайлов.
Этой задаче будет посвящен следующий параграф.

5. • 1.3. Критерии устойчивости
• Рассмотрим линейное однородное
дифференциальное уравнение п - го порядка:
• а0хМ + ахх^ +... + апх = 0 (1.7)
• и его тривиальное решение
• x(t) = О. (1.8)
• Обозначим через Р(Я) = а0Лп + ахХг~х + ... + ап
характеристический
• полином уравнения (1.7). Тогда
характеристическое уравнение запишется в виде
• Р(А) = 0. (1.9)

6. • Определение 1.7. Полином Р(Л) называется устойчивым, qели все корни
характеристического уравнения (1.9) находятся в левой полуплоскости
комплексных чисел. Устойчивые полиномы также называют гурвицевыми.
• В настоящем параграфе приводятся формулировки некоторых простейших
критериев устойчивости полиномов *9,37,48+. Эти критерии дают возможность
по коэффициентам многочлена (без вычисления корней)
устанавливать, устойчив он или нет. И тем самым выносить суждение об
устойчивости решения x{t) - 0.
• Заметим, что в случаях полиномов первой и второй степени ответ прост: все
коэффициенты алгебраического уравнения долэюны быть
•
• положительны. Однако для полиномов выше второй степени требование
положительности коэффициентов не носит достаточный характер, а лишь
необходимый. Это утверждение известно в литературе, как теорема Стодолы
по имени словацкого инженера - одного из основателей теории
регулирования турбин. Сформулируем и докажем это простое утверждение.
• Теорема 1.2 (Стодолы). Если многочлен Р(Л) с вещественными
коэффициентами устойчив, то все его коэффициенты ai (i = 0,1,..., п)
положительны.
• Доказательство. Пусть Лк (к = 1,2,...,т)- вещественные отрицательные корни
уравнения Р{Л) = 0, juk± ivk (к = 1,2,...,/) - комплексные с отрицательными
вещественными частями. Ясно, что т + 21 = п- общему количеству корней.
Разложим многочлен Р(Л) на множители

8. • А. Критерий Гурвица
• Приводимый ниже критерий относится к
алгебраическим. Для его формулировки введем
в рассмотрение пхп-матрицу (матрицу
Гурвица), составленную определенным образом
из коэффициентов полинома Р(Л):

9. • Для запоминания принципа формирования этой матрицы
полезно обратить внимание, что на главной ее диагонали
стоят коэффициенты , а2 v? • Направо от главной диагонали в
каждой строке
• выписываются коэффициенты с меньшими индексами по их
убыванию. Налево - с большими индексами по их
возрастанию. Вместо недостающих коэффициентов пишутся
нули.
• Теорема 1.3. Полином Р(Л) устойчив тогда и только тогда, когда
главные диагональные миноры матрицы Гурвица
положительны:
• Cl Gq аз
• A i=ai> О,
• До =
• > 0, и.т.д.
• щ dQ О >0, A3 = аз а2 а
• а4 аз
• С доказательством этого утверждения можно познакомиться
по книге *48+.

10. • Пример 1.3. Применим сформулированный
критерий для получения условий устойчивости
нулевого решения дифференциального
уравнения третьего порядка:

11. • Составим характеристический полином
• Р(Л) = Л3 +аЛ2 + /ЗЛ+у
• и матрицу Гурвица, как это указано выше,
заметив при этом, что
• а0 = 1, ах- а, а2 = /?, а3 = у:

12. • Вычислим ее главные диагональные миноры
• А{ - а, А2 = (х/З - у, А3 = уА2.
• Отсюда, и из критерия Гурвица следует, что все
корни характеристического полинома Р(Л) будут
находиться в левой полуплоскости комплексных
чисел, если будут выполнены условия: