1. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ:ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΕΣ ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗΝ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ΔΙΔΑΣΚΩΝ:ΣΚΙΝΖΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ
ΦΟΙΤΗΤΗΣ:ΠΑΠΠΑΣ ΗΛΙΑΣ

2. ii
ΙΟΥΝΙΟΣ, 2015

3. iii
Πίνακας Περιεχομένων
Σελίδα
1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ................................................................................................................................................................................1
2. Η ΘΕΩΡΙΑ APTKAITO ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ .....................................................................................................1
2.1 Η ΘΕΩΡΙΑ APT....................................................................................................................................................................1
2.2 ΤΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ..................................................................................................................................1
3. ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ...........................................................................................................2
3.1 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ....................................................................................................................................2
3.2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ....................................................................................................................................3
3.2.1 Η Εκτίμηση του Υποδείγματος με την Μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων ...............................................................3
3.2.1 Η Εκτίμηση του Υποδείγματος με την μέθοδο της Βηματικής Παλινδρόμησης ...........................................................4
4. ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ..........................................................................................................................................6
4.1 ΔΙΑΓΝΩΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΤΑΡΑΚΤΙΚΟ ΟΡΟ ΤΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ...........................................................6
4.1.1 Έλεγχος Κανονικότητας των Καταλοίπων ......................................................................................................................6
4.1.2 Έλεγχος Αυτοσυσχέτισης................................................................................................................................................8
4.1.3 Έλεγχος Ετεροσκεδαστικότητας......................................................................................................................................9
4.1.4 Έλεγχος Πολυσυγγραμμικότητας .................................................................................................................................11
4.2 ΛΟΙΠΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ..............................................................................................................................................................12
4.2.1 Έλεγχος Συναρτησιακής Μορφής .................................................................................................................................12
4.2.1 Έλεγχος Σταθερότητας Συντελεστών ............................................................................................................................13
5. ΜΕΡΟΣ 2 ................................................................................................................................................................................15
5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ARIMA............................................................................................................................................................15
5.2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ VAR................................................................................................................................................................17
5.3 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΩΝ GARCH ............................................................................................................................19
5.3.1 Το Υπόδειγμα GARCH (1,1).........................................................................................................................................19
5.3.2 Το Υπόδειγμα GJR .......................................................................................................................................................20
5.3.3 Το Υπόδειγμα EGARCH (1,1) ......................................................................................................................................21
5.4 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ...................................................................................................................................................................21

4. iv
Λίστα Σχημάτων
Σχήμα 4-1: Ιστόγραμμα Καταλοίπων Παλινδρόμησης καιΈλεγχος Κανονικότητας.................................. 6
Σχήμα 4-2: Ιστόγραμμα Καταλοίπων Παλινδρόμησης καιΈλεγχος Κανονικότητας Νέου Υποδείγματος .... 8
Σχήμα 4-3: Έλεγχος Καταλοίπων για Ετεροσκεδαστικότητα ................................................................ 10
Σχήμα 4-4: Εκτιμήσεις για τις Παραμέτρους ....................................................................................... 14
Σχήμα 5-1: Προβλέψεις με το ARMA (1,1) .......................................................................................... 22
Σχήμα 5-2: Προβλέψεις με το VAR (1)................................................................................................ 22
Σχήμα 5-3: Προβλέψεις με το GARCH (1,1)........................................................................................ 23
Σχήμα 5-4: Προβλέψεις με το GJR..................................................................................................... 23
Σχήμα 5-5: Προβλέψεις με το EGARCH (1,1)...................................................................................... 24
Λίστα Πινάκων
Σελίδα
Πίνακας 3-1: Στοιχεία Περιγραφικής Στατιστικής .................................................................................. 2
Πίνακας 3-2: Η Εκτίμηση του Υποδείγματος......................................................................................... 3
Πίνακας 3-3: Αποτελέσματα Βηματικής Παλινδρόμησης........................................................................ 4
Πίνακας 4-1: Αποτελέσματα Βηματικής Παλινδρόμησης χωρίς Ακραίες Τιμές ......................................... 7
Πίνακας 4-2: Αποτελέσματα Ελέγχου Αυτοσυσχέτισης Breusch-Godfrey................................................ 9
Πίνακας 4-3: Έλεγχος Ετεροσκεδαστικότητας με την Μέθοδο White..................................................... 10
Πίνακας 4-4: Μήτρα Συσχετίσεως των Ερμηνευτικών Μεταβλητών του Υποδείγματος............................ 11
Πίνακας 4-5: Αποτελέσματα Ελέγχου Συναρτησιακής Μορφής ............................................................ 12
Πίνακας 4-6: Αποτελέσματα Ελέγχου Chow ....................................................................................... 13
Πίνακας 5-1: Κριτήρια Πληροφόρησης AIC και SBIC για διαφορετικά Σχήματα ARMA.......................... 15
Πίνακας 5-2: Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης και Μερικής Αυτοσυσχέτισης .............................................. 16
Πίνακας 5-3: Εκτίμηση ARMA (2,2) ................................................................................................... 16
Πίνακας 5-4: Εκτίμηση του VAR........................................................................................................ 17
Πίνακας 5-5: Έλεγχος Αιτιότητας κατά Granger.................................................................................. 18
Πίνακας 5-6: Εκτίμηση Υποδείγματος GARCH ................................................................................... 19
Πίνακας 5-8: Εκτίμηση Υποδείγματος EGARCH................................................................................. 21

5. 1
1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Σε αυτή την εργασία, χρησιμοποιώντας μηνιαία δεδομένα, εκτιμάμε ένα οικονομετρικό
υπόδειγμα, βασισμένο στην θεωρία ArbitragePricingTheory (APT), προκειμένου να
ερμηνεύσουμε την υπερβάλλουσα απόδοση της μετοχής της Nike κατά την περίοδο 1991-2014.
Η εν λόγω θεωρία αποτελεί μια εναλλακτική προσέγγιση (στην ευρέως χρησιμοποιούμενη
προσέγγιση του Υποδείγματος Αποτίμησης Κεφαλαιουχικών Στοιχείων, CAPM) στην
διαδικασία υποδειγματοποίησης της υπάρχουσας σχέσης μεταξύ της απόδοσης και κινδύνου
μιας μετοχής.
Η διάρθρωση της εργασίας είναι η εξής. Στην Ενότητα 2 παρουσιάζουμε την βάση της
προαναφερθείσας θεωρίας καθώς και το οικονομετρικό υπόδειγμα που θα χρησιμοποιηθεί. Εν
συνεχεία, στην Ενότητα 3 προβαίνουμε στην εκτίμηση του υποδείγματος με την μέθοδο των
ελαχίστων τετραγώνων και της βηματικής παλινδρόμησης. Τέλος, στην Ενότητα 4 διενεργούμε
ορισμένους διαγνωστικούς ελέγχους για την εγκυρότητα του υποδείγματος μας.
2. Η ΘΕΩΡΙΑ APTKAITOΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ
2.1 Η ΘΕΩΡΙΑ APT
Βάσει της θεωρίας της APT, οι μετοχικές αποδόσεις μπορούν να εκτιμηθούν σε σχέσημε τις
μη αναμενόμενες μεταβολές σε μια σειρά από μακροοικονομικές μεταβλητές. Η μη
αναμενόμενη μεταβολήορίζεται ως η διαφορά μεταξύ της πραγματοποιηθήσας τιμής μιας
μεταβλητής και της αναμενόμενης τιμής της.
2.2 ΤΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ
Προκειμένου να ελέγξουμε την ισχύ της θεωρίας APT, θα εκτιμήσουμε το ακόλουθο
υπόδειγμα
𝑅𝑖,𝑡 − 𝑅 𝐹,𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1(𝑅 𝛭,𝑡 − 𝑅 𝐹,𝑡) + 𝛽2 𝛥( 𝐼𝑃𝑡)+ 𝛽3 𝛥( 𝐶𝑅𝐸𝐷𝐼𝑇𝑡) + 𝛽3 𝛥( 𝐼𝑁𝐹𝑡)
+ 𝛽4 𝛥( 𝑀𝑂𝑁𝐸𝑌𝑡) + 𝛽5 𝛥( 𝑆𝑃𝑅𝐸𝐴𝐷 𝑡) + 𝛽6 𝛥( 𝑇𝐸𝑅𝑀𝑡)+ 𝑈𝑖,𝑡
Όπου
𝑅𝑖,𝑡, 𝑅 𝑀,𝑡, 𝑅 𝐹,𝑡,: οι αποδόσεις της μετοχής 𝑖, του δείκτη S&P500, και των κυβερνητικών
ομολόγων με λήξη σε τρεις μήνες (σε μηνιαία βάση), αντίστοιχα, τον μήνα 𝑡
𝛥( 𝐼𝑃𝑡): Hμεταβολή στη βιομηχανική παραγωγή

6. 2
𝛥( 𝐶𝑅𝐸𝐷𝐼𝑇𝑡): η μεταβολή στην καταναλωτικήπίστη
𝛥( 𝐼𝑁𝐹𝑡 ): Hμεταβολή στον πληθωρισμό (ο πληθωρισμός υπολογίζεται ως ηλογαριθμική
μεταβολή του ΔΤΚ)
𝛥( 𝑀𝑂𝑁𝐸𝑌𝑡):Hμεταβολή στην προσφορά χρήματος,
𝛥( 𝑆𝑃𝑅𝐸𝐴𝐷 𝑡): Hμεταβολήστοcreditspread
𝛽6 𝛥( 𝑇𝐸𝑅𝑀𝑡):Η μεταβολή στη διαφοράμεταξύ τις αποδόσεις του κυβερνητικού ομολόγου με
λήξη σε 10 χρόνια και τις αποδόσεις τουκυβερνητικού ομολόγου με λήξη σε 3 μήνες.
𝑈𝑖,𝑡: Ο διαταρακτικός όρος του υποδείγματος
3. ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ
3.1 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ
Στον Πίνακα 3-1 παρουσιάζουμε τα στοιχεία της περιγραφικής στατιστικής για τα δεδομένα.
Αναφορικά με την κανονικότητα της κατανομής των μεταβλητών βλέπουμε ότι όλες οι
μεταβλητές δεν ακολουθούν την κανονική κατανομή. Αυτό προκύπτει εκ του γεγονότος ότι τιμή
σημαντικότητας (probability) της στατιστικής Jarque-Bera είναι, για τις προαναφερθείσες
μεταβλητές, μικρότερη του 0,05, οπότε η τιμή της στατιστικής Jarque-Beraείναι αρκετά υψηλή
προκειμένου να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση περί κανονικότητας της κατανομής της
υπό εξέταση μεταβλητής.
Πίνακας 3-1: Στοιχεία Περιγραφικής Στατιστικής
NIKE CPI CREDIT IP MARKET MONEY SPREAD TERM RF
Mean 1.273427 0.196343 8.747213 0.175261 0.623515 7.459930 -0.001603 0.001080 0.236321
Median 2.069039 0.197628 9.010000 0.200000 1.125863 5.300000 -0.010000 -0.010000 0.255000
Maximum 33.36394 1.376849 114.7200 1.900000 10.57895 125.3000 0.940000 3.400000 0.514000
Minimum -46.93846 -1.774194 -18.00000 -4.400000 -18.56365 -55.10000 -0.630000 -2.410000 0.001000
Std. Dev. 8.914310 0.262684 10.75232 0.635418 4.218844 24.60858 0.112057 0.339450 0.175232
Skewness -0.864992 -1.537491 4.171645 -2.034670 -0.848049 1.262780 1.600756 2.317160 -0.112770
Kurtosis 7.190005 16.12941 41.81472 14.21362 4.894822 7.111613 25.67351 45.14030 1.445591
Jarque-Bera 245.7316 2174.468 18848.64 1701.729 77.33573 278.4356 6270.206 21492.49 29.50187
Probability 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
Sum 365.4735 56.35055 2510.450 50.30000 178.9489 2141.000 -0.460000 0.310000 67.82400
Sum Sq.
Dev. 22726.97 19.73479 33065.17 115.4744 5090.412 173196.5 3.591263 32.95477 8.782021
Observations 287 287 287 287 287 287 287 287 287

7. 3
3.2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ
3.2.1 Η Εκτίμηση του Υποδείγματος με την Μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων
Στον Πίνακα 3-2 παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα της εκτίμησης του υποδείγματος με την
μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.
Με βάση την τιμή σημαντικότητας της στατιστικής f,το υπόδειγμά μας συνολικά είναι
στατιστικά σημαντικό σε επίπεδο σημαντικότητας 10%,5% αλλά και 1%.Το R-squared είναι
0.18 και το Adjusted R-squared είναι 0.16 και δείχνει το ποσοστό της μεταβλητότητας της
εξαρτημένης μεταβλητής (NIKE_RET-RF) που εξηγείται από το υπόδειγμα.Από τις
ερμηνευτικές μεταβλητές μόνο ο παράγων της αγοράς (MARKET_RET-RF) είναι στατιστικά
σημαντικός σε επίπεδο σημαντικότητας 10%,5% αλλά και 1%.Το TERM_RET είναι στατιστικά
σημαντικό αλλά για επίπεδο σημαντικότητας 10%.
Πίνακας 3-2: Η Εκτίμηση του Υποδείγματος
DependentVariable:NIKE_RET-RF
Method:Least Squares
Sample(adjusted):1991M022014M12
Includedobservations:287after adjustments
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 1.298276 0.733275 1.770516 0.0777
MARKET_RET-RF 0.893347 0.117818 7.582438 0.0000
IP_RET -0.292906 0.810684 -0.361308 0.7181
CREDIT_RET -0.047223 0.045935 -1.028036 0.3048
CPI_RET -0.921978 2.034290 -0.453218 0.6507
MONEY_RET 0.006139 0.020327 0.301998 0.7629
SPREAD_RET 6.470800 4.906467 1.318831 0.1883
TERM_RET 2.718309 1.540526 1.764533 0.0787
R-squared 0.189271 Meandependentvar 1.037106
Adjusted R-squared 0.168930 S.D. dependentvar 8.917489
S.E. of regression 8.129452 Akaike info criterion 7.056343
Sum squared resid 18438.55 Schwarzcriterion 7.158349
Loglikelihood -1004.585 Hannan-Quinncriter. 7.097225
F-statistic 9.304978 Durbin-Watsonstat 2.050351
Prob(F-statistic) 0.000000
Όλες οι υπόλοιπες μεταβλητές δεν είναι στατιστικά σημαντικές

8. 4
3.2.1 Η Εκτίμηση του Υποδείγματος με την μέθοδο της Βηματικής Παλινδρόμησης
Η μέθοδος της βηματικής παλινδρόμησης (stepwise regression) αφορά σε μια διαδικασία
επιλογής των σημαντικότερων ερμηνευτικών μεταβλητών για την εκτίμηση του οικονομετρικού
υποδείγματος με ενδογενή μεταβλητή την υπερβάλλουσα απόδοση της μετοχής (𝑅𝑖 − 𝑅 𝐹).
Αρχικά, επιλέγουμε την μεταβλητή της υπερβάλλουσας απόδοσης της αγοράς (𝑅 𝑀 − 𝑅 𝐹 ) η
οποία θα περιλαμβάνεται σε κάθε δυνατό υπόδειγμα, και εν συνεχεία ορίζουμε το σύνολο των
έξι πιθανών ερμηνευτικών μεταβλητών, εκ του οποίου ορισμένες θα συμπεριληφθούν στο
οικονομετρικό υπόδειγμα. Προκειμένου να αποφασίσουμε κατά πόσον μια εκ των παραπάνω
ερμηνευτικών μεταβλητών θα πρέπει να συμπεριληφθεί στο οικονομετρικό υπόδειγμα
βασιζόμαστε στο κριτήριο της χαμηλότερη τιμής pαναφορικά με την εκτίμηση μιας
παραμέτρου. Συγκεκριμένα, ξεκινώντας με ένα υπόδειγμα που περιλαμβάνει μόνο τον σταθερό
όρο, χρησιμοποιώντας το κριτήριο της τιμής p, επιλέγουμε την ερμηνευτική μεταβλητή που θα
είχε την χαμηλότερητιμή p εάν επρόκειτο να συμπεριληφθεί στο οικονομετρικό υπόδειγμα. Εάν
η τιμή p-τιμή της μεταβλητής είναι χαμηλότερη από ένα καθορισμένοεπίπεδο (του 0.5), τότε
αυτή προστίθεται στο υπόδειγμα. Κατόπιν, η διαδικασία επιλογής συνεχίζεται επιλέγοντας τη
μεταβλητή με την επόμενη χαμηλότερη τιμή-ρ, δοθέντος ότι έχουν συμπεριλάβει ήδη την πρώτη
ερμηνευτική μεταβλητή στο υπόδειγμα. Τέλος, η διαδικασία τερματίζεται όταν η χαμηλότερη
τιμή p των μεταβλητών που δεν έχουν περιληφθεί ακόμη στο υπόδειγμα είναι μεγαλύτερηαπό το
καθορισμένο κριτήριο (του 50%).
Στον Πίνακα 3-3 παρατηρούμε ότι βάσει της παραπάνω διαδικασίας μόνο τρεις από τις έξι
πιθανές ερμηνευτικές μεταβλητές έχουν συμπεριληφθεί στο οικονομετρικό υπόδειγμα. Αυτές
είναι οι εξής: (α) η μεταβολή στην καταναλωτική πίστη (CREDIT_RET), (β) η μεταβολή στο
credit spread (SPREAD_RET), και (γ) η μεταβολή στη διαφορά μεταξύ της απόδοση του
κυβερνητικού ομολόγου με λήξη σε 10 χρόνια και της απόδοσης του κυβερνητικού ομολόγου με
λήξη σε 3 μήνες (TERM_RET).
Πίνακας 3-3:Αποτελέσματα Βηματικής Παλινδρόμησης
DependentVariable:NIKE_RET-RF
Method:StepwiseRegression
Sample(adjusted):1991M022014M12
Includedobservations:287after adjustments
Numberof always includedregressors:2
Numberof searchregressors:6
Selectionmethod:Uni-directional

9. 5
Stoppingcriterion:p-value = 0.5
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.*
C 1.164119 0.616851 1.887197 0.0602
MARKET_RET-RF 0.900554 0.116389 7.737468 0.0000
TERM_RET 2.861489 1.442012 1.984372 0.0482
SPREAD_RET 7.794923 4.456383 1.749159 0.0814
CREDIT_RET -0.053308 0.044691 -1.192810 0.2339
R-squared 0.187802 Meandependentvar 1.037106
Adjusted R-squared 0.176281 S.D. dependentvar 8.917489
S.E. of regression 8.093420 Akaike info criterion 7.037248
Sum squaredresid 18471.97 Schwarzcriterion 7.101002
Loglikelihood -1004.845 Hannan-Quinncriter. 7.062800
F-statistic 16.30145 Durbin-Watsonstat 2.049966
Prob(F-statistic) 0.000000
Selection Summary
Added TERM_RET
Added SPREAD_RET
Added CREDIT_RET
*Note: p-values andsubsequenttests do not accountforstepwise selection.

10. 6
4. ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ
4.1 ΔΙΑΓΝΩΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΤΑΡΑΚΤΙΚΟ ΟΡΟ ΤΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ
Σε αυτή την ενότητα θα διενεργήσουμε ορισμένους διαγνωστικούς ελέγχους αναφορικά με την
συμπεριφορά του διαταρακτικού όρου που αντιστοιχεί στο υπόδειγμα της βηματικής
παλινδρόμησης, τα αποτελέσματα του οποίου παρουσιάστηκαν στον Πίνακα 3-3
4.1.1 Έλεγχος Κανονικότητας των Καταλοίπων
Ο έλεγχος της κανονικότητας των καταλοίπων είναι σημαντικός, διότι οι έλεγχοι υποθέσεων
αναφορικά με τους συντελεστές παλινδρόμησης στηρίζονται στην υπόθεση ότι ο διαταρακτικός
όρος (𝑈𝑡)του υποδείγματος ακολουθεί την κανονική κατανομή με μηδενικό μέσο και σταθερή
διακύμανση.
Αυτός ο έλεγχος διενεργείται με την χρήση του ιστογράμματος των καταλοίπων της
παλινδρόμησης και της στατιστικής Jarque-Bera αυτών. Στο Σχήμα 4-1 παρουσιάζουμε το
ιστόγραμμα των καταλοίπων, καθώς και την τιμή της στατιστικής J-B. Όπως βλέπουμε η τιμή
σημαντικότητας της στατιστικής Jarque-Bera είναι ουσιαστικά μηδενική, οπότε θα πρέπει να
απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση περί κανονικότητας της κατανομής των καταλοίπων.
0
10
20
30
40
50
60
-40 -30 -20 -10 0 10 20
Series: Residuals
Sample 1991M02 2014M12
Observations 287
Mean -5.77e-16
Median 0.475138
Maximum 26.80152
Minimum -45.13085
Std. Dev. 8.036624
Skewness -0.841893
Kurtosis 7.537992
Jarque-Bera 280.1659
Probability 0.000000
Σχήμα 4-1: Ιστόγραμμα Καταλοίπων Παλινδρόμησης και Έλεγχος Κανονικότητας
Όπως φαίνεται ξεκάθαρα από το παραπάνω σχήμα το πρόβλημα της μη κανονικότητας
οφείλεται στην ύπαρξη κάποιων ακραίων τιμών των καταλοίπων, οι οποίες είναι μικρότερες του

11. 7
-20% ή μεγαλύτερες από το 20%. Μπορούμε λοιπόν να επανεκτιμήσουμε το υπόδειγμα άνευ
των συγκεκριμένων τιμών
Στον Πίνακα 4-1παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα της εκτίμησης του προαναφερθέντος
υποδείγματος. Σε αυτή την περίπτωση παρατηρούμε ότι (εκτός της υπερβάλλουσας απόδοσης
της αγοράς) τώρα τέσσερεις από τις έξι πιθανές ερμηνευτικές μεταβλητές έχουν συμπεριληφθεί
στο οικονομετρικό υπόδειγμα, δηλαδή οι τρείς προηγούμενες πλέον την μεταβλητή του
πληθωρισμού (CPI_RET).Κατόπιν, στο Σχήμα 4-2 παρουσιάζουμε το ιστόγραμμα των
καταλοίπων, από την παλινδρόμηση του Πίνακα 4-1. Όπως παρατηρούμε, αυτή την φορά η τιμή
σημαντικότητας της στατιστικής Jarque-Bera είναι αρκετά υψηλή, οπότε δεν μπορούμε να
απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση περί κανονικότητας της κατανομής των καταλοίπων.
Πίνακας 4-1: Αποτελέσματα Βηματικής Παλινδρόμησης χωρίς Ακραίες Τιμές
DependentVariable:NIKE_RET-RF
Method:StepwiseRegression
Sample:1991M012014M12IF RESID_FOR<20ANDRESID_FOR>-20
Includedobservations:277
Numberof always included regressors:2
Numberof searchregressors:6
Selectionmethod:Uni-directional
Stoppingcriterion:p-value = 0.5
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.*
C 1.928423 0.550919 3.500373 0.0005
MARKET_RET-RF 0.813013 0.094097 8.640124 0.0000
TERM_RET 2.630083 1.146404 2.294203 0.0225
CPI_RET -2.083375 1.600283 -1.301879 0.1941
SPREAD_RET 4.923038 3.798161 1.296163 0.1960
CREDIT_RET -0.042054 0.035795 -1.174841 0.2411
R-squared 0.242179 Meandependentvar 1.480681
Adjusted R-squared 0.228197 S.D. dependentvar 7.219615
S.E. of regression 6.342600 Akaike info criterion 6.553877
Sum squaredresid 10901.94 Schwarzcriterion 6.632376
Loglikelihood -901.7120 Hannan-Quinncriter. 6.585374
F-statistic 17.32083 Durbin-Watsonstat 1.916666
Prob(F-statistic) 0.000000
Selection Summary
Added TERM_RET

12. 8
Added CPI_RET
Added SPREAD_RET
Added CREDIT_RET
0
5
10
15
20
25
-15 -10 -5 0 5 10 15 20
Series: Residuals
Sample 1991M01 2014M12 IF
RESID_FOR<20 AND RESID_FO
R>-20
Observations 277
Mean -1.80e-16
Median 0.183973
Maximum 19.64860
Minimum -17.47787
Std. Dev. 6.284886
Skewness -0.064025
Kurtosis 3.413008
Jarque-Bera 2.157974
Probability 0.339940
Σχήμα 4-2: Ιστόγραμμα Καταλοίπων Παλινδρόμησης και Έλεγχος Κανονικότητας Νέου Υποδείγματος
Όλοι λοιπόν οι έλεγχοι που θα ακολουθήσουν θα στηρίζονται στα κατάλοιπα του Σχήματος 4-
2
4.1.2Έλεγχος Αυτοσυσχέτισης
Σε αυτό το σημείο θα ελέγξουμε κατά πόσον ο διαταρακτικός όρος του οικονομετρικού
υποδείγματος που περιγράφεται στον Πίνακα 4-1 αυτοσυσχετίζεται. Ο πρώτος έλεγχος είναι
αυτός του Durbin-Watson. Όπως βλέπουμε από τα στοιχεία του Πίνακα 4-1, η τιμή της
στατιστικής DW είναι 1.91, δηλαδή πολύ κοντά στο 2, οπότε δεν φαίνεται να υπάρχει πρόβλημα
αυτόσυσχέτισης πρώτης τάξεως.
Κατόπιν, θα διενεργήσουμε τον έλεγχο Breusch-Godfrey,BG, θεωρώντας ότι η μορφής του
σχήματος της αυτοσυσχέτισης είναι 𝐴𝑅(2).Στον Πίνακα 4-2 παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα
του ελέγχου BG προκειμένου να ελέγξουμε την μηδενική υπόθεση 0H ότι δεν υπάρχει
αυτοσυσχέτιση στον διαταρακτικό όρο, έναντι της εναλλακτικής υποθέσεως ότι ο διαταρακτικός
όρος ακολουθεί αυτοπαλίνδρομο σχήμα δευτέρου βαθμού, 𝐴𝑅(2). Από τα στοιχεία του εν
λόγω πίνακα παρατηρούμε ότι ο συντελεστής προσδιορισμού της βοηθητικής παλινδρόμησης
είναι 𝑅2
= 0.002ενώ ο αριθμός των παρατηρήσεων του δείγματος είναι 𝛵 = 277. Συνεπώς, η

13. 9
τιμή της στατιστικής Breusch-Godfrey (BG) θα είναι 𝐵𝐺 = 𝑇 × 𝑅2
= 277 × 0.002 = 0.59. Η
παραπάνω στατιστική ελέγχου ακολουθεί την κατανομή 𝜒2
με 𝒑 = 𝟐βαθμούς ελευθερίας, όση
δηλαδή και η υποτιθέμενη τάξη του αυτοπαλίνδρομου σχήματος για τον διαταρακτικό όρο. Και
εφ’ όσον η στατιστική σημαντικότητα της 𝐵𝐺 = 0.59είναι μεγαλύτερη από το 5%, τότε θα
πρέπει να αποδεχτούμε την μηδενική υπόθεση η τάξη αυτοσχέτισης του διαταρακτικού όρου δεν
είναι 𝑝 = 2αλλά μηδενική.
Πίνακας 4-2:Αποτελέσματα Ελέγχου Αυτοσυσχέτισης Breusch-Godfrey
Breusch-GodfreySerialCorrelationLM Test:
F-statistic 0.289130 Prob. F(2,269) 0.7491
Obs*R-squared 0.594179 Prob. Chi-Square(2) 0.7430
TestEquation:
DependentVariable:RESID
Method:Least Squares
Sample:1991M012014M12IF RESID_FOR<20ANDRESID_FOR>-20
Includedobservations:277
Presampleandinteriormissingvaluelaggedresidualssetto zero.
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.018952 0.552836 0.034282 0.9727
MARKET_RET-RF -0.000319 0.094383 -0.003379 0.9973
TERM_RET -0.007686 1.152583 -0.006669 0.9947
CPI_RET -0.031450 1.605731 -0.019586 0.9844
SPREAD_RET -0.218057 3.821960 -0.057054 0.9545
CREDIT_RET -0.001086 0.035960 -0.030208 0.9759
RESID(-1) 0.039855 0.062634 0.636314 0.5251
RESID(-2) -0.036143 0.062983 -0.573852 0.5665
R-squared 0.002145 Meandependentvar -1.80E-16
Adjusted R-squared -0.023821 S.D. dependentvar 6.284886
S.E. of regression 6.359303 Akaike info criterion 6.566170
Sum squaredresid 10878.56 Schwarzcriterion 6.670835
Loglikelihood -901.4146 Hannan-Quinncriter. 6.608166
F-statistic 0.082608 Durbin-Watsonstat 1.996896
Prob(F-statistic) 0.999082
4.1.3Έλεγχος Ετεροσκεδαστικότητας
Στο Σχήμα 4-3 παρατηρούμε το γράφημα των καταλοίπων εκ του οποίου δεν διαφαίνεται
κάποιο σημαντικό πρόβλημα ετεροσκεδαστικότητας.

14. 10
-20
-10
0
10
20
-30
-20
-10
0
10
20
30
92 94 96 98 00 02 04 06 08 10 12 14
Residual Actual Fitted
Σχήμα 4-3: Έλεγχος Καταλοίπων για Ετεροσκεδαστικότητα
Διενεργούμε λοιπόν το έλεγχο Whiteγια την διαπίστωση τυχόν ύπαρξης της
ετεροσκεδαστικότητας. Στον Πίνακα 4-3 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα του εν λόγω
ελέγχου.
Από τα στοιχεία του εν λόγω πίνακα παρατηρούμε ότι ο συντελεστής προσδιορισμού της
βοηθητικής παλινδρόμησης (η οποία περιλαμβάνει μόνο το τετράγωνο των ερμηνευτικών
μεταβλητών) είναι 𝑅2
= 0.0083ενώ ο αριθμός των παρατηρήσεων του δείγματος είναι 𝛵 =
277. Συνεπώς, η τιμή της στατιστικής ελέγχου είναι 𝑇 × 𝑅2
= 277 × 0.0083 = 2.30. Η
παραπάνω στατιστική ελέγχου ακολουθεί την κατανομή 𝜒2
με 𝒑 = 𝟓βαθμούς ελευθερίας, όση
δηλαδή οι ερμηνευτικές μεταβλητές που περιλαμβάνονται στην βοηθητική παλινδρόμηση. Και
εφ’ όσον η στατιστική σημαντικότητα της τιμής της στατιστικής ελέγχου είναι 0.80, δηλαδή
μεγαλύτερη από το 5%, τότε θα πρέπει να αποδεχτούμε την μηδενική υπόθεση ότι δεν υπάρχει
πρόβλημα ετεροσκεδαστικότητας.
Πίνακας 4-3:Έλεγχος Ετεροσκεδαστικότητας με την Μέθοδο White
HeteroskedasticityTest:White
F-statistic 0.453875 Prob. F(5,271) 0.8103
Obs*R-squared 2.300356 Prob. Chi-Square(5) 0.8062
ScaledexplainedSS 2.656458 Prob. Chi-Square(5) 0.7528
TestEquation:
DependentVariable:RESID^2

15. 11
Method:Least Squares
Date: 28/05/15 Time:19:09
Sample:1991M012014M12IF RESID_FOR<20ANDRESID_FOR>-20
Includedobservations:277
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 37.35859 4.538956 8.230657 0.0000
(MARKET_RET-RF)^2 0.163638 0.134339 1.218095 0.2242
TERM_RET^2 -1.247228 5.328398 -0.234072 0.8151
CPI_RET^2 7.594959 15.89523 0.477814 0.6332
SPREAD_RET^2 -79.48689 75.83609 -1.048141 0.2955
CREDIT_RET^2 -0.002827 0.004183 -0.675727 0.4998
R-squared 0.008305 Meandependentvar 39.35719
Adjusted R-squared -0.009992 S.D. dependentvar 61.24757
S.E. of regression 61.55281 Akaike info criterion 11.09909
Sum squaredresid 1026751. Schwarzcriterion 11.17759
Loglikelihood -1531.224 Hannan-Quinncriter. 11.13059
F-statistic 0.453875 Durbin-Watsonstat 1.869076
Prob(F-statistic) 0.810312
4.1.4Έλεγχος Πολυσυγγραμμικότητας
Προκειμένου να διαπιστώσουμε κατά πόσον υφίσταται κάποιο πρόβλημα
πολυσυγγραμικότητας θα εξετάσουμε την μήτρα συσχετίσεων των πέντε μεταβλητών που
χρησιμοποιούνται ως ερμηνευτικές μεταβλητές στον Πίνακα 4-1. Από τα στοιχεία του Πίνακα
4-4 παρατηρούμε ότι δεν διαφαίνεται κάποιο πρόβλημα πολυσυγγραμικότητας, καθώς δεν
υπάρχει κάποιος σχετικά υψηλός συντελεστής συσχέτισης μεταξύ δυο ερμηνευτικών
μεταβλητών.
Πίνακας 4-4: Μήτρα Συσχετίσεως των Ερμηνευτικών Μεταβλητών του Υποδείγματος
MARKET_RET-RF TERM_RET CPI_RET SPREAD_RET CREDIT_RET
MARKET_RET-
RF 1.000000 0.073293 0.012149 -0.203295 0.070109
TERM_RET 0.073293 1.000000 0.164380 -0.207329 0.004714
CPI_RET 0.012149 0.164380 1.000000 -0.373779 0.141170
SPREAD_RET -0.203295 -0.207329 -0.373779 1.000000 0.040464
CREDIT_RET 0.070109 0.004714 0.141170 0.040464 1.000000

16. 12
4.2 ΛΟΙΠΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ
4.2.1 Έλεγχος Συναρτησιακής Μορφής
Προκειμένου να ελέγξουμε κατά πόσον συναρτησιακή σχέση μεταξύ της υπερβάλλουσας
απόδοσης της μετοχής και των πέντε ερμηνευτικών μεταβλητών είναι
γραμμικήςσυναρτησιακής μορφής χρησιμοποιούμε το έλεγχο RESET. Όπως βλέπουμε στον
Πίνακα 4-5 η τιμή της στατιστικής 𝐹 = 0.80 είναι αρκετά χαμηλή προκειμένου να
απορρίψουμε, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, την μηδενική υπόθεση περί γραμμικότητας της
συναρτησιακής μορφής, και ως εκ τούτου δεχόμαστε ότι η σχέση μεταξύ της υπερβάλλουσας
απόδοσης της μετοχής και των ερμηνευτικών μεταβλητών είναι γραμμική.
Πίνακας 4-5: Αποτελέσματα Ελέγχου Συναρτησιακής Μορφής
RamseyRESET Test
Equation:FOR_MODEL
Specification:NIKE_RET-RF CMARKET_RET-RFTERM_RET
CPI_RET SPREAD_RET CREDIT_RET
Omitted Variables:Squaresof fitted values
Value df Probability
t-statistic 0.897087 270 0.3705
F-statistic 0.804766 (1, 270) 0.3705
Likelihoodratio 0.824402 1 0.3639
F-test summary:
Sum of Sq. df Mean Squares
TestSSR 32.39791 1 32.39791
RestrictedSSR 10901.94 271 40.22857
UnrestrictedSSR 10869.54 270 40.25757
UnrestrictedSSR 10869.54 270 40.25757
LR test summary:
Value df
RestrictedLogL -901.7120 271
Unrestricted LogL -901.2998 270
UnrestrictedTestEquation:
DependentVariable:NIKE_RET-RF
Method:Least Squares
Date: 28/05/15 Time:18:32
Sample:1991M012014M12IF RESID_FOR<20ANDRESID_FOR>-20
Includedobservations:277

17. 13
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 2.239494 0.651131 3.439392 0.0007
MARKET_RET-RF 0.826651 0.095351 8.669559 0.0000
TERM_RET 2.594685 1.147496 2.261172 0.0245
CPI_RET -2.227848 1.608940 -1.384668 0.1673
SPREAD_RET 5.818653 3.928505 1.481137 0.1397
CREDIT_RET -0.047767 0.036370 -1.313347 0.1902
FITTED^2 -0.016019 0.017857 -0.897087 0.3705
R-squared 0.244431 Meandependentvar 1.480681
Adjusted R-squared 0.227641 S.D. dependentvar 7.219615
S.E. of regression 6.344886 Akaike info criterion 6.558121
Sum squaredresid 10869.54 Schwarzcriterion 6.649703
Loglikelihood -901.2998 Hannan-Quinncriter. 6.594867
F-statistic 14.55776 Durbin-Watsonstat 1.928811
Prob(F-statistic) 0.000000
4.2.1 Έλεγχος Σταθερότητας Συντελεστών
Κατά την εκτίμηση του υποδείγματος (4.1) έχουμε υποθέσει ότι και οι πέντε συντελεστές των
ερμηνευτικών μεταβλητών που περιλαμβάνονται στο υπόδειγμα παλινδρόμησης παραμένουν
σταθεροί καθ΄όλη την διάρκεια του χρονικού διαστήματος του δείγματος, δηλαδή κατά την
περίοδο 1991:01-2014:12. Σε αυτό το σημείο θα εξετάσουμε την ισχύ αυτής της υπόθεσης
χρησιμοποιώντας τον έλεγχο σταθερότητας Chow.
Συγκεκριμένα, ελέγχουμε κατά πόσον ενδεχομένως να υπήρξε διαθρωτική μεταβολή,δηλαδή
μια αλλαγή στην επίδραση κάποιας ερμηνευτικής μεταβλητής, μετά τον Ιανουάριο του 1996.
Στον Πίνακα 4-6παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα του ελέγχου σταθερότητας των συντελεστών
για τις πέντε ερμηνευτικές μεταβλητές. Όπως παρατηρούμε από τον συγκεκριμένο πίνακα η τιμή
της στατιστικής 𝐹 = 1.13είναι αρκετά χαμηλή οπότε δεν μπορούμε να απορρίψουμε, σε επίπεδο
σημαντικότητας 5%, την μηδενική υπόθεση ότι και οι πέντε συντελεστές της παλινδρόμησης,
παραμένουν σταθεροί καθ΄όλη την διάρκεια της περιόδου 1991:01-2014:12. Με άλλα λόγια, δεν
έχουμε κάποια διαρθρωτική μεταβολή στο εκτιμηθέν υπόδειγμα.
Πίνακας 4-6: Αποτελέσματα Ελέγχου Chow
ChowBreakpointTest:1996M01
NullHypothesis: No breaksat specifiedbreakpoints
Varying regressors: MARKET_RET-RFTERM_RET CPI_RET
SPREAD_RET CREDIT_RET

18. 14
EquationSample:1991M012014M12IF RESID_FOR<20ANDRESID_FOR>-20
F-statistic 1.134387 Prob. F(5,266) 0.3424
Loglikelihoodratio 5.844395 Prob. Chi-Square(5) 0.3217
Wald Statistic 5.671933 Prob. Chi-Square(5) 0.3395
Εάν δεν είμαστε σίγουροι για την ημερομηνία επέλευσης της διαθρωτικής μεταβολής, (την
οποία προηγουμένως ορίσαμε μετά τον Ιανουάριο του 1996), τότε μπορούμε να καταφύγουμε
στην μέθοδος της διαδοχικής παλινδρόμησης των ελαχίστων τετραγώνων (RLS)για τις πέντε
ερμηνευτικές μεταβλητές. Στο Σχήμα 4-4 βλέπουμε το πώς οι εκτιμήσεις για κάθε μια εκ των
πέντε συντελεστών παλινδρόμησης του υποδείγματος συγκλίνουν μετά από σχετικά μικρό
χρονικό διάστημα. Είναι φανερό ότι όλοι οι συντελεστές παρουσιάζουμε μια σημαντική
σταθερότητα διαχρονικά, ενώ την μεγαλύτερη σταθερότητα φαίνεται να έχει ο συντελεστής
(C(6)), δηλαδή ο συντελεστής παλινδρόμησης για την μεταβλητήCREDIT_RET,η οποία
αντιπροσωπεύει την μεταβολή στην καταναλωτική πίστη.
-4
-2
0
2
4
6
8
92 94 96 98 00 02 04 06 08 10 12 14
Recursive C(2) Estimates
± 2 S.E.
-120
-80
-40
0
40
80
120
92 94 96 98 00 02 04 06 08 10 12 14
Recursive C(3) Estimates
± 2 S.E.
-200
-100
0
100
200
300
92 94 96 98 00 02 04 06 08 10 12 14
Recursive C(4) Estimates
± 2 S.E.
-200
-100
0
100
200
300
400
92 94 96 98 00 02 04 06 08 10 12 14
Recursive C(5) Estimates
± 2 S.E.
-15
-10
-5
0
5
10
15
92 94 96 98 00 02 04 06 08 10 12 14
Recursive C(6) Estimates
± 2 S.E.
Σχήμα 4-4: Εκτιμήσεις για τις Παραμέτρους

19. 15
5. ΜΕΡΟΣ 2
5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ARIMA
Σε αυτό το σημείο θα εκτιμήσουμε ένα υπόδειγμα ARIMA αναφορικά με την μετοχικές
αποδόσεις. Το αποτέλεσμα το ελέγχου μοναδιαίας ρίζας με βάση τον επαυξημένο έλεγχο
Dickey-Fuller μας δίνει μια στατιστικά σημαντική εκτίμηση της στατιστικής ελέγχου, οπότε
συμπεραίνουμε ότι οι αποδόσεις της μετοχής συνιστούν μια στάσιμη χρονοσειρά, οπότε οι εν
λόγω αποδόσεις μπορούν να υποδειγματοποιηθούν ως ARMA.
Υπάρχουν δυο τρόποι προκειμένου να προσδιορίσουμε το ακριβές σχήμα του ARMA. Ο
πρώτος αφορά στην χρήση των κριτηρίων πληροφόρησης, βάσει των οποίων επιλέγουμε το
σχήμα με την χαμηλότερη τιμή του εν λόγω κριτηρίου. Στον Πίνακα 5-1 παρουσιάζουμε τα
αποτελέσματα αναφορικά με τα κριτήρια πληροφόρησης AIC και SBIC. Με βάση λοιπόν το
κριτήριο πληροφόρησης AIC επιλέγουμε το σχήμα 𝐴𝑅𝑀𝐴(4,4), ενώ με βάση το κριτήριο
πληροφόρησης SBIC επιλέγουμε το σχήμα 𝐴𝑅𝑀𝐴(0,0).
Επειδή λοιπόν υπάρχει μεγάλη διαφορά ως προς την επιλογή του κατάλληλου σχήματος βάσει
των κριτηρίων πληροφόρησης θα καταφύγουμε στην χρήση της συνάρτησης αυτοσχέτισης και
μερικής αυτοσυσχέτισης. Στον Πίνακα 5-2 παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα των εν λόγω
συναρτήσεωναναφορικά με τις μετοχικές αποδόσεις. Για μεγάλα δείγματα οι συντελεστές των εν
λόγω συναρτήσεων, προκειμένου να είναι στατιστικά σημαντικοί πρέπει να είναι μεγαλύτεροι
κατ' απόλυτο τιμή από . Από τα στοιχεία του εν λόγω πίνακα βλέπουμε ότι οι
συντελεστές μόνο για την δεύτερη υστέρηση είναι στατιστικά σημαντικοί οπότε θα
υποδειγματοποιήσουμε τις αποδόσεις ως 𝑨𝑹𝑴𝑨( 𝟐, 𝟐). Στον Πίνακα 5-3 παρουσιάζονται οι
εκτιμήσεις του προαναφερθέντος υποδείγματος
Πίνακας 5-1:Κριτήρια Πληροφόρησης AICκαι SBIC για διαφορετικά Σχήματα ARMA
p/q 0 1 2 3 4
0 7.192365 7.201715 7.193605 7.202758 7.196411
1 7.197873 7.202179 7.199463 7.209133 7.201981
2 7.189788 7.199709 7.165389 7.198546 7.163269
3 7.195541 7.202010 7.174056 7.136625 7.169364
4 7.199016 7.204976 7.212053 7.142794 7.105358
p/q 0 1 2 3 4
2/√287= 0,1180

20. 16
0 7.205116 7.227281 7.232052 7.254152 7.260818
1 7.223374 7.240529 7.250726 7.273375 7.279270
2 7.228041 7.250841 7.229468 7.275637 7.253439
3 7.246544 7.265926 7.250950 7.226565 7.272416
4 7.262770 7.281675 7.301764 7.245582 7.221291
Πίνακας 5-2:Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης και Μερικής Αυτοσυσχέτισης
Date: 06/06/15 Time:17:48
Sample:1991M01 2014M12
Included observations:287
Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob
.|. | .|. | 1 -0.032 -0.032 0.2919 0.589
*|. | *|. | 2 -0.123 -0.124 4.7153 0.095
.|. | .|. | 3 0.060 0.053 5.7724 0.123
.|. | .|. | 4 0.057 0.046 6.7247 0.151
*|. | .|. | 5 -0.076 -0.061 8.4392 0.134
.|. | .|. | 6 0.054 0.061 9.3127 0.157
.|. | .|. | 7 0.028 0.010 9.5512 0.215
.|. | .|. | 8 -0.027 -0.008 9.7643 0.282
.|. | .|. | 9 0.014 0.019 9.8214 0.365
*|. | *|. | 10 -0.104 -0.124 13.089 0.219
Πίνακας 5-3:Εκτίμηση ARMA (2,2)
DependentVariable:NIKE_RET
Method: LeastSquares
Sample (adjusted):1991M04 2013M12
Included observations:273 after adjustments
Convergence achieved after 16 iterations
MA Backcast: 1991M02 1991M03
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 1.300756 0.549431 2.367463 0.0186
AR(1) -1.160122 0.022166 -52.33830 0.0000
AR(2) -0.929651 0.022284 -41.71855 0.0000
MA(1) 1.275995 0.011837 107.7991 0.0000
MA(2) 0.987215 0.009198 107.3344 0.0000
R-squared 0.106626 Mean dependentvar 1.272682
Adjusted R-squared 0.093292 S.D. dependentvar 9.058304
S.E. of regression 8.625427 Akaike info criterion 7.165451
Sum squared resid 19938.66 Schwarz criterion 7.231559
Log likelihood -973.0841 Hannan-Quinn criter. 7.191988
F-statistic 7.996599 Durbin-Watson stat 2.150497
Prob(F-statistic) 0.000004
Inverted AR Roots -.58+.77i -.58-.77i
Inverted MA Roots -.64-.76i -.64+.76i

21. 17
5.2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ VAR
Η εκτίμηση ενός υποδείγματος VAR θα γίνει με δυο ενδογενείς μεταβλητές, δηλαδή την
απόδοση της μετοχής (nike_ret) και την απόδοση της μετοχής της ανταγωνίστριας εταιρείας VF
Corporation (vf corporation_ret). Στον Πίνακα 5-4 παρουσιάζουμε τις εκτιμήσεις από το
υπόδειγμα VAR, αφού πρώτα έχουμε ελέγξει τον βέλτιστο αριθμό των υστερήσεων. Στο Μέρος
Α του εν λόγω πίνακα βλέπουμε τα αποτελέσματα του ελέγχου για τον βέλτιστο αριθμό
υστερήσεων, ο οποίος, βάσει τεσσάρων κριτηρίων πληροφόρησης είναι 0. Ωστόσο, προκειμένου
να έχουμε μια δυναμική διάρθρωση στο υπόδειγμα μας εκτιμήσαμε ένα υπόδειγμα VAR (1). Τα
αποτελέσματα του εν λόγω υποδείγματος παρουσιάζονται στον Μέρος Β του Πίνακα 5-4.
Εν συνεχεία, βάσει της της συγκεκριμένης δυναμικής διάρθρωσης του VAR προχωράμε σε
έλεγχο αιτιότητας κατά Granger. Στον Πίνακα 5-5 βλέπουμε τα αποτελέσματα του ελέγχου
αιτιότητας κατά Granger. Παρατηρούμε ότι σε επίπεδο σημαντικότητας 10%, προκύπτει
αιτιώδης σχέση από την απόδοση της μετοχής της Nike προς την απόδοση της μετοχής της
ανταγωνίστριας επιχείρησης.
Πίνακας 5-4:Εκτίμηση του VAR
Μέρος Α
VAR Lag Order Selection Criteria
Endogenous variables:NIKE_RETVF_CORPOR_RET
Exogenous variables:C
Sample:1991M01 2014M12
Included observations:277
Lag LogL LR FPE AIC SC HQ
0 -1909.453 NA 3379.059* 13.80111* 13.82727* 13.81161*
1 -1907.675 3.518241 3433.704 13.81715 13.89565 13.84864
2 -1903.218 8.753550 3422.408 13.81385 13.94468 13.86634
3 -1901.750 2.860897 3485.609 13.83213 14.01529 13.90562
4 -1900.199 3.000879 3547.882 13.84981 14.08531 13.94430
5 -1898.166 3.905175 3598.756 13.86401 14.15184 13.97950
6 -1892.882 10.07281* 3565.731 13.85474 14.19490 13.99123
7 -1890.626 4.266759 3611.194 13.86734 14.25983 14.02482
8 -1888.391 4.195085 3657.871 13.88008 14.32491 14.05856
9 -1885.206 5.933121 3679.910 13.88597 14.38312 14.08544
10 -1883.743 2.703903 3748.510 13.90428 14.45377 14.12476
* indicates lag order selected by the criterion
LR: sequential modified LR teststatistic (each testat 5% level)
FPE: Final prediction error
AIC: Akaike information criterion
SC: Schwarz information criterion
HQ: Hannan-Quinn information criterion

22. 18
Μέρος Β
Vector Autoregression Estimates
Sample (adjusted):1991M03 2014M12
Included observations:286 after adjustments
Standard errors in ( ) & t-statistics in [ ]
NIKE_RET VF_CORPOR_RET
NIKE_RET(-1) -0.021457 0.088217
(0.06335) (0.05079)
[-0.33872] [ 1.73676]
VF_CORPOR_RET(-1) -0.040856 -0.035617
(0.07822) (0.06272)
[-0.52234] [-0.56790]
C 1.781067 1.472704
(0.53999) (0.43298)
[ 3.29832] [ 3.40132]
R-squared 0.002046 0.010551
Adj. R-squared -0.005006 0.003558
Sum sq. resids 22134.21 14230.67
S.E. equation 8.843798 7.091195
F-statistic 0.290169 1.508863
Log likelihood -1027.707 -964.5407
Akaike AIC 7.207744 6.766019
Schwarz SC 7.246094 6.804368
Mean dependent 1.678555 1.564044
S.D. dependent 8.821744 7.103845
Determinantresid covariance (dofadj.) 3437.134
Determinantresid covariance 3365.404
Log likelihood -1972.979
Akaike information criterion 13.83902
Schwarz criterion 13.91571
Πίνακας 5-5:Έλεγχος Αιτιότητας κατά Granger
VAR Granger Causality/Block Exogeneity Wald Tests
Sample:1991M01 2014M12
Included observations:286
Dependentvariable:NIKE_RET
Excluded Chi-sq df Prob.
VF_CORPOR_RET 0.272841 1 0.6014
All 0.272841 1 0.6014
Dependentvariable:VF_CORPOR_RET
Excluded Chi-sq df Prob.
NIKE_RET 3.016335 1 0.0824

23. 19
All 3.016335 1 0.0824
5.3 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΩΝ GARCH
Όπως ακριβώς, στην περίπτωση της αυτοσυσχέτισης,ο διαταρακτικός όρος την τρέχουσα
περίοδο, 𝑈𝑡, μπορεί να συσχετιστεί με τον διαταρακτικό όρο την προηγούμενη περίοδο, 𝑈𝑡−1,
δηλαδή cov( 𝑈𝑡, 𝑈𝑡−1) ≠ 0, σε ένα σχήμα 𝐴𝑅(1), κατά τον ίδιο τρόπο μπορεί να υπάρχει
συσχέτιση μεταξύ της διακύμανσης του διαταρακτικού όρου τη χρονική στιγμή 𝑡, 𝝈𝒕
𝟐
και της
αντίστοιχης διακύμανσης κατά την προηγούμενη χρονική περίοδο𝝈𝒕−𝟏
𝟐
. Αυτός ο τύπος
αυτοσυσχέτισης,ο οποίος συνήθως απαντά κατά την μελέτη χρηματοοικονομικών χρονολογικών
σειρών, είναι γνωστός είτε ως Αυτοπαλίνδρομη Υπό-Συνθήκη
Ετεροσκεδαστικότητα(ARCH), εάν η διακύμανση του διαταρακτικού όρου σχετίζεται μόνο με
το τετράγωνοτου κατά την προηγούμενη περίοδο (𝑈𝑡−1
2
), είτε ως ΓενικευμένηΑυτοπαλίνδρομη
Υπό-Συνθήκη Ετεροσκεδαστικότητα (GARCH), εάν η διακύμανση του διαταρακτικού όρου
σχετίζεται εκτός από τετράγωνο του κατά την προηγούμενη περίοδο (𝑈𝑡−1
2
) αλλά και με την
διακύμανση του κατά την προηγούμενη περίοδο (οπότε σε αυτή την περίπτωση έχουμε το
υπόδειγμα GARCH (1,1)).
5.3.1 Το Υπόδειγμα GARCH (1,1)
Στον Πίνακα 5-6 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της εκτίμησης ενός υποδείγματος GARCH
(1,1) για τις αποδόσεις της μετοχής της Nike. Για τον προσδιορισμό της μέσης εξίσωσης έχουμε
ορίσει το απλό υπόδειγμα των αποδόσεων, δηλαδή ότι η απόδοση της μετοχής ισούται με μια
εκτίμηση της μέσης απόδοσης της πλέον μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται κανονικά με
μηδενική διακύμανση και σταθερή τυπική απόκλιση. Αξίζει να παρατήσουμε ότι το άθροισμα
των συντελεστών της εξίσωσης της διακύμανσης είναι αρκετά υψηλό, πράγμα που σημαίνει ότι
μια μεγάλη απόδοση της μετοχής θα έχει σημαντική επίδραση στην μελλοντική διακύμανση των
αποδόσεων της.
Πίνακας 5-6:Εκτίμηση Υποδείγματος GARCH
DependentVariable:NIKE_RET
Method: ML – ARCH
Sample (adjusted):1991M02 2013M12
Included observations:275 after adjustments
Convergence achieved after 31 iterations
Presample variance:backcast(parameter = 0.7)
GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*GARCH(-1)
Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
C 1.375145 0.509378 2.699656 0.0069

24. 20
Variance Equation
C 1.910705 1.451656 1.316225 0.1881
RESID(-1)^2 0.089513 0.029530 3.031285 0.0024
GARCH(-1) 0.887685 0.041335 21.47540 0.0000
R-squared -0.000188 Mean dependentvar 1.251503
Adjusted R-squared -0.000188 S.D. dependentvar 9.030274
S.E. of regression 9.031123 Akaike info criterion 7.135896
Sum squared resid 22347.76 Schwarz criterion 7.188504
Log likelihood -977.1858 Hannan-Quinn criter. 7.157009
Durbin-Watson stat 2.059899
5.3.2Το Υπόδειγμα GJR
Κατόπιν στον Πίνακα 5-7 βλέπουμε τα αποτελέσματα από την εκτίμηση του υποδείγματος
GJR, το οποίο ελέγχει την ύπαρξη ασυμμετριών από την επίδραση της απόδοσης της μετοχής
στην μελλοντική της μεταβλητότητα. Επειδή η εκτίμηση -0,0326 της ψευδομεταβλητής που
αποτυπώνει την όποια τυχόν ασύμμετρη επίδραση επί της μεταβλητότητας της τιμής της μετοχής
δεν είναι στατιστικά σημαντική συμπεραίνουμε ότι δεν υπάρχουν επιδράσεις μόχλευσης στο
υπόδειγμα της μεταβλητότητας της μετοχής.
Πίνακας 5-8:Εκτίμηση Υποδείγματος GJR
DependentVariable:NIKE_RET
Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution
Sample (adjusted):1991M02 2013M12
Included observations:275 after adjustments
Convergence achieved after 24 iterations
Presample variance:backcast(parameter = 0.7)
GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0) +
C(5)*GARCH(-1)
Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
C 1.428159 0.511886 2.789996 0.0053
Variance Equation
C 1.556825 1.360833 1.144024 0.2526
RESID(-1)^2 0.108324 0.051631 2.098040 0.0359
RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0) -0.032611 0.056391 -0.578305 0.5631
GARCH(-1) 0.892799 0.038630 23.11126 0.0000
R-squared -0.000384 Mean dependentvar 1.251503
Adjusted R-squared -0.000384 S.D. dependentvar 9.030274
S.E. of regression 9.032008 Akaike info criterion 7.142315
Sum squared resid 22352.14 Schwarz criterion 7.208074
Log likelihood -977.0683 Hannan-Quinn criter. 7.168706
Durbin-Watson stat 2.059496

25. 21
5.3.3Το Υπόδειγμα EGARCH (1,1)
Τέλος στον Πίνακα 5-6 βλέπουμε τα αποτελέσματα από την εκτίμηση του υποδείγματος
EGARCH, το οποίο υποδειγματοποιεί τον φυσικό λογάριθμο της (υπ΄ συνθήκης) διακύμανσης
των αποδόσεων της μετοχής.
Πίνακας 5-7:Εκτίμηση Υποδείγματος EGARCH
DependentVariable:NIKE_RET
Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution
Sample (adjusted):1991M02 2013M12
Included observations:275 after adjustments
Convergence achieved after 27 iterations
Presample variance:backcast(parameter = 0.7)
LOG(GARCH) = C(2) + C(3)*ABS(RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1))) + C(4)
*LOG(GARCH(-1))
Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.
C 1.436489 0.518624 2.769809 0.0056
Variance Equation
C(2) -0.043468 0.061334 -0.708700 0.4785
C(3) 0.184478 0.049021 3.763261 0.0002
C(4) 0.977508 0.017620 55.47833 0.0000
R-squared -0.000421 Mean dependent var 1.251503
Adjusted R-squared -0.000421 S.D. dependentvar 9.030274
S.E. of regression 9.032175 Akaike info criterion 7.130968
Sum squared resid 22352.97 Schwarz criterion 7.183576
Log likelihood -976.5081 Hannan-Quinn criter. 7.152081
Durbin-Watson stat 2.059420
Συγκρίνοντας βάσει των πληροφοριακών κριτηρίων akaike και schwarz (προτιμούμε εκείνο με
την χαμηλότερη τιμή),επιλέγουμε το EGARCH με βάση το akaike (7.130968),όπως και με βάση
το κριτήριο schwarz (7.1835).Επίσης με βάση την μεγαλύτερη τιμή log likelihood επιλέγουμε το
EGARCH με τιμή (-976.508).
5.4 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ
Χρησιμοποιώντας τις παρατηρήσεις της περιόδου 2014:01-2014:12 θα διενεργήσουμε εκ των
προτέρων προβλέψεις των αποδόσεων της μετοχής της Nike στηριζόμενοι στα προηγούμενα

26. 22
εκτιμηθέντα υποδείγματα. Τα Σχήματα 5-1 έως 5-5 παρουσιάζουν τις εκ των προτέρων,
στατικές, προβλέψεις με βάση τα υποδείγματα ARMA (1,1), VAR (1), GARCH (1,1), GJR, και
EGARCH (1,1) αντίστοιχα. Για την αξιολόγηση της προβλεπτικής ικανότητας κάθε
υποδείγματος μπορούν να χρησιμοποιηθούν αρκετά κριτήρια, ωστόσο περιοριζόμαστε στην
χρήση του κριτηρίου του συντελεστή ανισότητας Theil, βάσει του οποίου θα πρέπει να
επιλέξουμε το υπόδειγμα με τον μικρότερο δυνατό συντελεστή Theil. Αυτό το υπόδειγμα λοιπόν
είναι το υπόδειγμα ARMA (1,1) με συντελεστή ανισότητας 0.7351
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12
2014
NIKE_RETF_ARMA ± 2 S.E.
Forecast: NIKE_RETF_ARMA
Actual: NIKE_RET
Forecast sample: 2014M01 2014M12
Included observations: 12
Root Mean Squared Error 6.814238
Mean Absolute Error 6.000324
Mean Abs. Percent Error 182.9159
Theil Inequality Coefficient 0.735114
Bias Proportion 0.001219
Variance Proportion 0.149401
Covariance Proportion 0.849380
Σχήμα 5-1: Προβλέψεις με το ARMA (1,1)
-8
-4
0
4
8
12
16
M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12
2014
NIKE_RET_VAR
Απόδοση Μετοχής (%, Μηνιαία Βάση)
Σχήμα 5-2: Προβλέψεις με το VAR(1)

27. 23
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12
2014
NIKE_RETF_GARCH ± 2 S.E.
Forecast: NIKE_RETF_GARCH
Actual: NIKE_RET
Forecast sample: 2014M01 2014M12
Included observations: 12
Root Mean Squared Error 5.643376
Mean Absolute Error 4.670181
Mean Abs. Percent Error 120.9152
Theil Inequality Coefficient 0.775428
Bias Proportion 0.005042
Variance Proportion NA
Covariance Proportion NA
36
38
40
42
44
46
48
50
M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12
2014
Forecast of Variance
Σχήμα 5-3: Προβλέψεις με το GARCH(1,1)
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12
2014
NIKE_RETF_GJR ± 2 S.E.
Forecast: NIKE_RETF_GJR
Actual: NIKE_RET
Forecast sample: 2014M01 2014M12
Included observations: 12
Root Mean Squared Error 5.639860
Mean Absolute Error 4.670181
Mean Abs. Percent Error 122.3641
Theil Inequality Coefficient 0.769341
Bias Proportion 0.003801
Variance Proportion NA
Covariance Proportion NA
35.0
37.5
40.0
42.5
45.0
47.5
50.0
M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12
2014
Forecast of Variance
Σχήμα 5-4: Προβλέψεις με το GJR

28. 24
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12
2014
NIKE_RETF_EGARCH ± 2 S.E.
Forecast: NIKE_RETF_EGARCH
Actual: NIKE_RET
Forecast sample: 2014M01 2014M12
Included observations: 12
Root Mean Squared Error 5.639352
Mean Absolute Error 4.670181
Mean Abs. Percent Error 122.5917
Theil Inequality Coefficient 0.768399
Bias Proportion 0.003621
Variance Proportion NA
Covariance Proportion NA
35
40
45
50
55
M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12
2014
Forecast of Variance
Σχήμα 5-5: Προβλέψεις με το EGARCH(1,1)

29. 25