桁DPの入門スライドです

1. 桁DP入門
Shunsuke Otani

2. 桁DPとは
 N以下の整数で○○の条件を満たす数の個数
 N以下の整数で○○の条件を満たす数の最大値
などの問題で使える桁ごとに分けて考える動的計画法

3. 例題1
 Q：100未満の整数で3がつく数の個数は？
int型→string型で
数字に3がつくか
全探索？
10ごとに3がつく数は
1増えていそうだから
N/10？
O(N)では間に合わない
ことも…

4. 桁DPの考え方(1の桁に3がつく)
10 1
0
3を含む
3を含まない
1の桁10の桁
全部
10×1 = 10
10の桁の数字
※箱には○桁目まで見た時の答えが入ります

5. 桁DPの考え方(1の桁に3がつかない)
9 0
81 9
3を含む
3を含まない
1の桁10の桁
3以外
9 × (10 - 1) = 81
10の桁の数字
9 × 1 = 9
※箱には○桁目まで見た時の答えが入ります

6. 桁DPの考え方(結果を足す)
19 1
81 9
3を含む
3を含まない
1の桁10の桁
100未満(～99)の範囲を求めるため、10の桁まで考えればよい
※箱には○桁目まで見た時の答えが入ります

7. つまり
先ほどの遷移 ＋ 条件 = 桁DP

8. 条件！？？？

9. 例題だと…
 N < 100
 この条件を先ほどの遷移に加えたい…

10. 例題2
 Q：55以下の整数で3がつく数の個数は？

11. 例題2(1の桁に3がつく)
53を含む
3を含まない
1の桁10の桁
0
1
0
N < 50 N >= 50 && N <= 55
1×5(0,1,2,3,4)
1
1の桁10の桁
0
1
0
1×1(5)
3を含む
3を含まない

12. 例題2(1の桁に3がつかない)
93を含む
3を含まない
1の桁10の桁
36
0
9
N < 50 N >= 50 && N <= 55
9×4(0,1,2,4)
0
1の桁10の桁
5
0
5
5×1(5)
3を含む
3を含まない
9×1(3)

13. 例題2(結果)
143を含む
3を含まない
1の桁10の桁
36
1
9
N < 50 N >= 50 && N <= 55
1
1の桁10の桁
5
1
5
3を含む
3を含まない
よって答えは 14 + 1 = 15

14. しかし…
 2桁までの遷移は簡単にプログラムで実装できる
 Nが3桁以上になった場合は…?

15. N <= 255のとき
 下の桁から見る場合
 1. (0～5),(0～9)それぞれの3の個数をカウント
 2. (0～55),(0～99)1を使い、それぞれの3の個数をカウント
 3. (0～255)2を使い、3の個数をカウント
 もう少し簡単なアルゴリズムはないのか…
 上の桁から見てみよう！

16. 例題2(10の桁に3がつく)
13を含む
3を含まない
1の桁10の桁
0
10
0
N < 50 N >= 50 && N <= 55
1×10(0～9)
0
1の桁10の桁
0
0
0
0×6(0～5)
3を含む
3を含まない

17. 例題2(10の桁に3がつかない)
03を含む
3を含まない
1の桁10の桁
4
4
36
N < 50 N >= 50 && N <= 55
4×9(0～2,4～9)
0
1の桁10の桁
1
1
5
1×5(0,1,2,4,5)
3を含む
3を含まない
4×1(3) 1×1(3)

18. 例題2(結果)
13を含む
3を含まない
1の桁10の桁
4
14
36
N < 50 N >= 50 && N <= 55
0
1の桁10の桁
1
1
5
3を含む
3を含まない
よって答えは 14 + 1 = 15

19. 上の桁から見てみよう
 前頁と同条件(N<=255)で上の桁から見たとき
 1. (0～1),(2)の3の個数をカウント
 2. (0～24),(25)1を使い、それぞれの3の個数をカウント
 3. (0～254),(255)2を使い、それぞれの3の個数をカウント
 見る順番を変えるだけで考えやすくなった！
これをどうやって実装すれば…

20. 未満Flagを導入
Nの制約がない場合の遷移
 dp[digit(N)][2] (dp[桁数][3の有無])
未満Flagを導入
 dp[digit(N)][2][2] (dp[桁数][3の有無][N未満])
 dp[i][*][0]には N未満となる数についての答え
 dp[i][*][1]には i桁目までNと同じ数についての答え

21. 未満Flagの具体例
＊先ほどのdpから3の有無を除いて考える
 N = 12345
 dp[3][1]：123○○未満となる数(0～12299)
つまり(0～122)の範囲の3がつく数の個数
 dp[3][0]：123○○となる数(12300～12345)
つまり(123)の3がつく数の個数

22. 遷移を見てみる
＊先ほどのdpから3の有無を除いて考える
N = 12345
 dp[3][0](123○○)→dp[4][*]の遷移は…
 dp[4][0]への遷移は(123○○)→(1234○)より
dp[4][0]= dp[3][0]
 dp[4][1]への遷移は(123○○)→(123(0～3)○)より
dp[4][1]= dp[3][0]×4(0～3の個数)

24. 簡単な問題から
 1～Nの整数の個数を桁DPで求めてみよう
 まずはdpテーブルを考えてみよう！

25. DPテーブルは…
 dp[digit(N)][smaller(未満Flag)]

26. 解法例

27. 演習タイム
1. 0からNまでの整数で3が含まれる数の個数を桁dpで求めてみよう！
2. 0からNまでの整数で桁の和が3の倍数な数の個数を桁dpで求めてみよう！

28. ご清聴ありがとうございました