arbori binari

Arbori binari
• Definiţie. Un arbore binar este un arbore orientat cu
proprietatea că pentru orice vîrf v, od(v)≤2. Dacă od(v)=2,
cei doi descendenţi sînt desemnaţi ca descendent stîng (fiu
stînga) respectiv descendent drept (fiu dreapta). Pentru
vîrfurile cu od(v)=1, unicul descendent este specificat fie ca
fiu stînga, fie ca fiu dreapta
• Definiţie. Se numeşte arbore strict binar un arbore binar cu
poprietatea că pentru orice vîrf v, od(v)≠1.
• Definiţie. Se numeşte nod terminal (sau frunză) orice vîrf v
al arborelui cu od(v)=0. În caz contrar nodul v este
neterminal.

Arbori binari. Subarbori
1
2 3
4 5 6 7
8 9 10
2
4 5
8
3
6 7
9 10
Subarbore stîng Subarbore drept

Arbori binari. Reprezentare.
• Reprezentarea Fiu-Frate (N, R, Fiu, Frate, Inf)
• Cu structuri dinamice
– Structură nod: informaţie, adresă fiu stîng / drept
typedef struct nod { int info;
struct nod* st,*dr;
} TNOD;
• Pentru a cunoaşte arborele: rădăcina
TNOD* r;

Arbori binari. Parcurgere
• În lăţime
– Pe niveluri  Pe niveluri
• În adîncime
– A-Preordine  Preordine
– A-Postordine  Postordine
–  Inordine
void preordine(TNOD* r)
{ if(r!=NULL)
{ //prelucrare r->info
preordine(r->st);
preordine(r->dr);
}
}
void postordine(TNOD* r)
{ if(r!=NULL)
{ postordine(r->st);
postordine(r->dr);
//prelucrare r->info
}
}
void inordine(TNOD* r)
{ if(r!=NULL)
{ inordine(r->st);
//prelucrare r->info
inordine(r->dr);
}
}

Arbori binari. Parcurgere
void niveluri(TNOD* r)
{ TNODC* c;
TNOD* p;
int er;
if(r != NULL)
{ c = NULL;
c = push(c,r);
while(c != NULL)
{ c=pop(c,&p,&er);
// prelucrare p->info
if(p->st!=NULL) c = push(c,p->st);
if(p->dr!=NULL) c = push(c,p->dr);
}
}
}
typedef struct nodc
{ TNOD* info;
struct nodc* next;
} TNODC;

Arbori binari. Calculul înălţimii
int inaltime(TNOD* r)
{ int i,j,k;
if(r == NULL) i = 0;
else
{ j = inaltime(r->st);
k = inaltime(r->dr);
i = 1 + (j>k ? j : k);
}
return(i);
}

Arbori de sortare (căutare)
• Definiţie. Un arbore de sortare este un arbore binar cu
următoarele proprietăţi
– fiecărui nod i al arborelui îi este ataşată o informaţie INF(i)
dintr-o mulţime ordonată de valori;
– pentru fiecare nod i, INF(i) este mai mare decît INF(j),
pentru toate nodurile j din subarborele stîng al arborelui cu
rădăcină i;
– pentru fiecare nod i, INF(i) este mai mică decît INF(j),
pentru toate nodurile j din subarborele drept al arborelui cu
rădăcină i;
– pentru orice vîrfuri i şi j daca i ≠ j atunci INF(i) ≠ INF(j).

Arbori de sortare (căutare)
10
2
8
1 3
5
4
7 9
6
11
1512
14 16
13
• Operaţii
– Parcurgeri (pe niveluri, preordine, inordine, postordine)
– Adăugare informaţie
– Ştergere informaţie
• Preordine : 10, 6, 4, 2, 1, 3, 5, 8, 7, 9, 13, 12, 11, 15, 14, 16
• Inordine : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
• Postordine: 1, 3, 2, 5, 4, 7, 9, 8, 6, 11, 12, 14, 16, 15, 13, 10
• Pe niveluri: 10, 6, 13, 4, 8, 12, 15, 2, 5, 7, 9, 11, 14, 16, 1, 3

TNOD* inserare(TNOD* r, int a, int* er)
{ *er=0;
if(r==NULL)
{ r=(TNOD*)malloc(sizeof(TNOD));
r->info=a;
r->dr=NULL;
r->st=NULL;
}
else if(r->info==a) *er=1;
else if(r->info>a) r->st=inserare(r->st, a, er);
else r->dr=inserare(r->dr,a,er);
return r;
}
Arbori de sortare. Adăugare informaţie
10
2
8
1 3
5
4
7 9
6
11
1512
14 16
13
12,5

Arbori de sortare. Ştergere informaţie
10
2
8
1 3
5
4
7 9
6
11
1512
14 16
13
7,2
7,37,1
10
2
8
3
4
9
5
11
15
12
14 167,2
7,37,1

Arbori de sortare. Ştergere informaţie
TNOD* sterge(TNOD* r, int a, int*er)
{ TNOD* p, *q;
*er=0;
if(r == NULL) *er=1;
else if(r->info > a) r->st = sterge(r->st,a,er);
else if(r->info < a) r->dr = sterge(r->dr,a,er);
else if(r->st == NULL)
{ p = r; r = r->dr; free(p); }
else if(r->st->dr==NULL)
{ r->info = r->st->info; p = r->st; r->st = r->st->st;
free(p);
}
else
{ p = r->st;
while(p->dr != NULL)
{ q = p;
p = p->dr;
}
r->info = p->info;
q->dr = p->st;
free(p);
}
return r;
}

Arbori de structură
• Arbore de structură: arbore strict binar folosit pentru a
reprezenta expresiile aritmetice care conţin numai operatori
binari. Fiecare nod conţine ca informaţie utilă:
– un operand, dacă este nod frunză
– un operator, dacă nu e nod frunză
• Arborele se construieşte acordînd priorităţi operanzilor şi
operatorilor.
• Parcurgerea arborelui în preordine => forma poloneză
directă a expresiei
• Parcurgere arborelui în inordine => refacerea expresiei (cu
sau fără paranteze).

Exemplu: a*(b+c) –(d+e)/(f+g)
-
+
b c
a
*
ed
++
f g
/
Construire arbore:
1. Calculare priorităţi pentru operanzi şi operatori
2. Construire propriu-zisă a arborelui

1. Calculare priorităţi pentru operanzi şi operatori
• operatorii aditivi primesc prioritatea 1
• operatorii multiplicativi primesc prioritatea 10
• prioritatea fiecărui operator se măreşte cu 10 pentru
fiecare pereche de paranteze care îl include
• fiecare operand primeşte prioritatea maximă (maxint)
Priorităţile sînt înscrise într-un vector.
• p[i]= prioritatea elementului i din expresie (operator sau
operand, în ordinea apariţiei
Elemente expr. =( a, *, b, +, c, -, d, +, e, /, f, +, g)
Priorităţi =(maxint,10,maxint,11,maxint,1,maxint,11,maxint,10,maxint,11,maxint)

Construire arbore: algoritm recursiv.
1. dacă expresia curentă este vidă, subarborele curent este vid (nil)
2. altfel se caută elementul cu prioritate minimă din expresia curentă
3. se creează un nod rădăcină pentru subarborele curent
4. fiul stîng este subarborele obţinut prin reprezentarea subexpresiei din stînga
elementului curent
5. fiul drept este subarborele obţinut prin reprezentarea subexpresiei din dreapta
elementului curent

-
*
-
-
1
a * b + c
(maxint, 10, maxint, 11, maxint)
a * b + c
(maxint, 10, maxint, 11, maxint)
a
(maxint)
a
(maxint)
a*(b+c) (d+e)/(f+g)
a b+c
(d+e)/(f+g)

aa
**
--
b+c
(d+e)/(f+g)
( )
( )
( )
( )
b + c
(maxint, 11, maxint)
b + c
(maxint, 11, maxint)
aa ++
**
--
(d+e)/(f+g)
b c

aa ++
bb cc
**
--
(d+e)/(f+g)
d + e / f + g
(maxint,11,maxint,10,maxint,11,maxint)
d + e / f + g
(maxint,11,maxint,10,maxint,11,maxint)
aa ++
bb cc
** //
--
f+gd+e

Parcurgerea arborelui în preordine => forma poloneză directă a
expresiei:
- * a + b c / + d e + f g
Parcurgere arborelui în inordine => refacerea expresiei (cu sau
fără paranteze – SRD sau (S)R(D) ):
a * b + c – d + e / f + g
((a)*((b)+(c)))-(((d)+(e))/((f)+(g)))

Evaluare expresie: prin parcurgere în postordine.
Prelucrarea fiecărui nod r constă în
• dacă e nod frunză nu se schimbă nimic
• altfel se înlocuieşte informaţia r->inf cu rezultatul expresiei
ss r->inf sd
unde ss şi sd sînt informaţiile din fiul stîng respectiv drept al
nodului curent

33 ++
44 66
++
1010 55
++
22 11
** //
--2525
a = 3, b = 4, c = 6, d = 10, e = 5, f = 2, g = 1
1010
3030
1515 33
55

Arbori de structură - implementare
#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#define MAXINT 10000
/* reprezentarea unei expresii prin arbore de structura si
evaluarea ei
restrictii:
- numai operatori aritmetici + - * /
- identificatorii operanzilor formati din numai o litera
- fara spatii
*/
typedef struct nod{ char inf;
float v;
struct nod *s,*d;
} TNOD;

char* prioritati(char *s, int p[], int* n)
{ int i,j,crt,l;
char* r;
//i - caracterul curent
//j - proritatea curenta
//crt - elementul curent
//r - expresia fara paranteze
//calcul prioritati
l = strlen(s);
for(i=j=crt=0; i<l; i++)
switch(s[i])
{ case ')': j-=10;break;
case '(': j+=10;break;
case '+': ;
case '-': p[crt]=j+1;crt++;break;
case '*': ;
case '/': p[crt]=j+10;crt++;break;
default : p[crt++]=MAXINT;
}

//eliminare paranteze
r=(char*)malloc(strlen(s));
strcpy(r,s);
i=0;
while(i<l)
if( (r[i]==')') || (r[i]=='(') )
{ for(j=i+1; j<l; j++)
r[j-1]=r[j];
r[l]='0';
l--;
}
else i++;
*n=crt;
return r;
}

TNOD* construire_arbore(int p, int u, char *r, int pr[])
{ TNOD *a;
int min, poz;
min = pr[p];
poz = p;
for(int i=p+1; i<=u; i++)
if(min >= pr[i])
{ min=pr[i];
poz=i;
}
a=(TNOD*)malloc(sizeof(TNOD));
a->inf = r[poz];
if(p == u)
a->s = a->d = NULL;
else
{ a->s = construire_arbore(p,poz-1,r,pr);
a->d = construire_arbore(poz+1,u,r,pr);
}
return a;
}

void forma_poloneza(TNOD* rad, char* exp)
{ int l;
if(rad)
{ l = strlen(exp);
exp[l] = rad->inf;
exp[l+1] = '0';
forma_poloneza(rad->s, exp);
forma_poloneza(rad->d, exp);
}
}

float evaluare(TNOD* rad)
{ if(rad)
if(rad->s)
switch (rad->inf)
{ case '+': rad->v = evaluare(rad->s) + evaluare(rad->d);
break;
case '-': rad->v = evaluare(rad->s) - evaluare(rad->d);
break;
case '*': rad->v = evaluare(rad->s) * evaluare(rad->d);
break;
case '/': rad->v = evaluare(rad->s) / evaluare(rad->d);
}
return rad->v;
}

void citire_valori_operanzi(TNOD* rad)
{ if(rad)
if(rad->s == NULL)
{ printf("%c=", rad->inf);
scanf("%f",&(rad->v));
}
else
{ citire_valori_operanzi(rad->s);
citire_valori_operanzi(rad->d);
}
}

void main()
{ char expresie[100], *efp, *fpd;
int p[100],n;
TNOD* radacina_arbore_structura;
printf("nExpresia de analizat (corecta, conform restrictiilor):n");
gets(expresie);
radacina_arbore_structura=NULL;
//calcul prioritati
efp=prioritati(expresie,p,&n);
//construire arbore
radacina_arbore_structura=construire_arbore(0,n-1,efp,p);
//determinarea formei poloneze a expresiei
fpd=(char*)malloc(strlen(efp));
fpd[0]='0';
forma_poloneza(radacina_arbore_structura,fpd);
printf("nForma poloneza directa: %s",fpd);
//evaluare expresie
printf("nValorile operanzilor:n");
citire_valori_operanzi(radacina_arbore_structura);
evaluare(radacina_arbore_structura);
printf("nValoare expresiei este: %7.3fn",radacina_arbore_structura-
>v);
}

• Atenţie:
– Dacă mai multe elemente au aceeaşi prioritate
minimă, se alege ultimul pentru a fi rădăcină
– Exemplu:
– a-b*c+d
– a=100, b=2, c=5, d=10
• Probleme de rezolvat
– Eliminarea spaţiilor
– Utilizarea altor operatori
– Utilizarea de identificatori mai lungi

arbori binari

More Related Content

Similar to arbori binari

More from sdffsdfsdf

arbori binari

Editor's Notes