φυσική1

ΦΦυυσσιικκήή 11
ΕΕννηημμέέρρωωσσηη
ΗΗ δδιιδδαασσκκααλλίίαα ττοουυ μμααθθήήμμααττοοςς,,
πποολλλλάά ααππόό τταα σσχχήήμμαατταα κκααιι
όόλλεεςς οοιι αασσκκήήσσεειιςς
ππρροοέέρρχχοοννττααιι ααππόό ττοο ββιιββλλίίοο::
«ΠΠααννεεππιισσττηημμιιαακκήή ΦΦυυσσιικκήή»
ττοουυ HHuugghh YYoouunngg ττωωνν
ΕΕκκδδόόσσεεωωνν ΠΠααππααζζήήσσηη,, οοιι
οοπποοίίεεςς μμααςς εεππέέττρρεεψψαανν ττηη
χχρρήήσσηη ττωωνν σσχχεεττιικκώώνν
σσχχηημμάάττωωνν κκααιι αασσκκήήσσεεωωνν

ΣΣΥΥΝΝΟΟΨΨΗΗ 11οουυ
ΜΜααθθήήμμααττοοςς
11mm,, 11sseecc,, 11kkgg ((SS..II.. -- 11996600))
ΑΑκκρρίίββεειιαα && σσηημμααννττιικκάά ψψηηφφεείίαα
88..11 ++ 00..11
88..11 ++ 1100%%  88..11 ++ 00..8811
88..1122443322 ++ 00..11  88.. 0022443322 –– 88.. 22224433
ΒΒΑΑΘΘΜΜΩΩΤΤΑΑ ΜΜΕΕΓΓΕΕΘΘΗΗ::
ΑΑρριιθθμμηηττιικκέέςς ππρράάξξεειιςς
ΔΔΙΙΑΑΝΝΥΥΣΣΜΜΑΑΤΤΙΙΚΚΑΑ ΜΜΕΕΓΓΕΕΘΘΗΗ::
ΓΓεεωωμμεεττρριικκέέςς ππρράάξξεειιςς

ΑΑππλλοοπποοίίηησσηη ππρράάξξεεωωνν μμεε ττιιςς σσυυννιισσττώώσσεεςς!!
C
y
z
Ax
AY
AZ
φZ
x
A
Cx = Ax + Bx Cy = Ay +
By

ΤΤαα μμοοννααδδιιααίίαα δδιιααννύύσσμμαατταα ιι,, jj,, kk ,, ππεερριιγγρράάφφοουυνν ττοο χχώώρροο

y
z
i
j
k
x
A i j k X Y Z = A + A + A

ΕΕσσωωττεερριικκόό γγιιννόόμμεεννοο
A
φAB
AB A·B = A B cosj
Β A
φAB=90o
Β
A·B = 0
X X Y Y Z Z A·B = A B + A B + A B

ΕΕξξωωττεερριικκόό γγιιννόόμμεεννοο
AB A´B = A B sinj
Β
A X Β
φAB
Α
B´A = - A´B

ΕΕξξωωττεερριικκόό γγιιννόόμμεεννοο
A´B =
[( ), ( ), ( )] AY BZ - AZ BY AZ BX - AX BZ AX BY - AY BX
A´B =
i j k
A A A
X Y Z
B B B
X Y Z
Β
φAB
Α
A X Β

ΤΤΑΑΧΧΥΥΤΤΗΗΤΤΑΑ --
ΕΕΠΠΙΙΤΤΑΑΧΧΥΥΝΝΣΣΗΗ
ΕΕυυθθύύγγρρααμμμμηη κκίίννηησσηη –– ΜΜέέσσηη ΤΤααχχύύττηητταα
0sec 1sec 2sec 3sec
2m 4m 3m
m - m m =
v =
ΜΜέέσσηη ΤΤααχχύύττηητταα
x - x x
v = 2 1
=
av
t - t t
2 1
D
D
9 0
3
av 3sec -
0 sec s

ΤΤΑΑΧΧΥΥΤΤΗΗΤΤΑΑ--ΕΕΠΠΙΙΤΤΑΑΧΧΥΥΝΝΣΣΗΗ
x - x x
v = =
t - t t
x
t
x(t)
t1 t2
x2
x1
2 1
av
2 1
D
D

ΤΤΑΑΧΧΥΥΤΤΗΗΤΤΑΑ --
ΕΕΠΠΙΙΤΤΑΑΧΧΥΥΝΝΣΣΗΗ
0sec 1sec 2sec 3sec
2m 4m 3m
v = 3
m
av s
0sec 1sec 2sec 3sec
5m 2m 2m
v = 3
m
av s
ΗΗ ΜΜέέσσηη ΤΤααχχύύττηητταα εεξξααρρττάάττααιι μμόόννοο ααππόό ττοο ααρρχχιικκόό && ττεελλιικκόό σσηημμεείίοο κκααιι ττοο
χχρρόόννοο δδιιααδδρροομμήήςς!!

x
t
t1 t2
x2
x1
xB(t)
ΊΊδδιιαα ΜΜέέσσηη ΤΤααχχύύττηητταα γγιιαα ττιιςς
δδύύοο κκααμμππύύλλεεςς γγιιαα τταα σσηημμεείίαα
((tt11 ,, xx11)) κκααιι ((tt22 ,, xx22))
x A(t)

ΜΜέέσσηη ΤΤααχχύύττηητταα –– ΣΣττιιγγμμιιααίίαα ΤΤααχχύύττηητταα
v =
av
x
D
D
t
t
D ®
x
t
x A(t)
Δt
Δx 0
Δx
Δx
dt
dx

ΕΕυυθθύύγγρρααμμμμηη κκίίννηησσηη –– ΣΣττιιγγμμιιααίίαα ΤΤααχχύύττηητταα
x(t)
lim
t
D
D
=
x
t
0
x dx
v =
D ® t dt

ΣΣττιιγγμμιιααίίαα ΤΤααχχύύττηητταα -- ΠΠααρράάδδεειιγγμμαα
lim
t
D
D
=
D ® 0
t dt
x dx
v =

ΣΣττιιγγμμιιααίίαα ΤΤααχχύύττηητταα –– ΠΠααρράάδδεειιγγμμαα 22--11
Εξίσωση κίνησης
λεοπάρδαλης
x(t)=20m+(5m/s2)*t2
Μέση ταχύτητα λεοπάρδαλης μεταξύ 1 και 2 sec;
x2=20m+(5m/s2)*(2s)2=40m x1=20m+(5m/s2)*(1s)2=25m
V1-2sec=(40m-25m)/(2s-1s)=15m/s
Στιγμιαία ταχύτητα λεοπάρδαλης στα 1 και 2 sec; v = dx (10m / s) t
dt
=
V1s=10 m/s V2s=20 m/s

ΕΕυυθθύύγγρρααμμμμηη κκίίννηησσηη –– ΜΜέέσσηη ΕΕππιιττάάχχυυννσσηη
v - v v
a = =
t - t t
v
t
v(t)
t1 t2
v2
v1
2 1
av
2 1
D
D
t1 t2

ΕΕππιιττάάχχυυννσσηη
Λειτουργώντας ένα προωθητικό πύραυλο
για διάστημα Δt, ο αστροναύτης προκαλεί
μεταβολή στην ταχύτητα ίση με Δv=a*Δt,
όπου a η σταθερή επιτάχυνση του πυραύλου
Πατώντας σταθερά το γκάζι για
διάστημα Δt, ο πιλότος της F1
προκαλεί μεταβολή στην ταχύτητα
ίση με Δv=a*Δt, όπου a η σταθερή
επιτάχυνση του αυτοκινήτου

ΕΕυυθθύύγγρρααμμμμηη κκίίννηησσηη –– ΣΣττιιγγμμιιααίίαα ΕΕππιιττάάχχυυννσσηη
v(t)
lim
t
æ ö = çè ø¸
v
t
0
v dv
a =
D ® t dt
Þ
D
D
=
2
2
d dx d x
a =
dt dt dt

ΣΣττιιγγμμιιααίίαα ΕΕππιιττάάχχυυννσσηη -- ΠΠααρράάδδεειιγγμμαα
2
lim
t
v dv d x
D
D
= =
0 2
a =
D ® t dt dt

ΣΣττιιγγμμιιααίίαα ΤΤααχχύύττηητταα κκααιι ΕΕππιιττάάχχυυννσσηη -- ΠΠααρράάδδεειιγγμμαα
2
2
d x
a =
dt
dx
v =
dt
x = 50m + (10m/s)t + (1m/s2)t2 - (1/60 m/s3)t3
v = dx/dt =10m/s + (2m/s2)t - (1/20 m/s3)t2
a = d2x/dt2 = 2m/s2 - (1/10 m/s3)t

ΚΚίίννηησσηη μμεε σσττααθθεερρήή ΕΕππιιττάάχχυυννσσηη –– ΤΤιι μμοορρφφήή έέχχεειι;;
Πατώντας σταθερά το γκάζι για
διάστημα Δt, ο πιλότος της F1
προκαλεί μεταβολή στην ταχύτητα
ίση με Δv=a*Δt, όπου a η σταθερή
επιτάχυνση του αυτοκινήτου
lim . t av
v - v
v - v v
2 1 a =
Þv = v + at
0
v dv
a = a
t dt
staq
D ®
D
D
= = =
0
av
t -
0 0 a = =
av
t - t t
2 1
D
D

at
v - v
0
a =
av
t -
0 0 Þv = v + at
v
t
v(t)
v0
v0
v

dx
dt
v = v + at Þ = v + at
0 0
0 ( ) dx ( )
x t = ò dt = ò v + at dt Þ
( ) 1
x t = v t + at + c
( ) 1
x t = x + v t + at
dt
0 x(t = 0) = x = c
2
0 0
2
2
0
2

1
2
a =staq . x = x + v t + at
0 v = v + at 2
0 0
Εξίσωση παραβολής
Απαλείφοντας το t:
2 2
0 0 v = v + 2a(x - x )
Απαλείφοντας το a:
x - x = v + v 0
t
0 2
x
t

ΚΚίίννηησσηη μμεε σσττααθθεερρήή ΕΕππιιττάάχχυυννσσηη ––
ΠΠααρράάδδεειιγγμμαα:: ΕΕλλεεύύθθεερρηη ππττώώσσηη
Όλα τα σώματα έχουν την ίδια επιτάχυνση κατά
την ελεύθερή τους πτώση (Γαλιλαίος)
… για πτώση μικρή σε σχέση με την ακτίνα της Γης
… θεωρώντας μηδενική αντίσταση του αέρα
a g 9.8m/ s2 GHS = =
g 1.62m/ s2 SELHNHS =
g 274m/ s2 HLIOU =

ΠΠααρράάδδεειιγγμμαα:: ΚΚίίννηησσηη μμέέσσαα σσττοο ββααρρυυττιικκόό
ππεεδδίίοο
a = g = 9.81m/ s2
0 v = v + gt
2
x = x + v t + gt
0 0
1
2

ΚΚίίννηησσηη μμέέσσαα σσττοο ββααρρυυττιικκόό ππεεδδίίοο
Παράδειγμα 2-7
Πετάμε μία μπάλα προς τα πάνω
με v 0=15m/s. H μπάλα ξαναπέφτει
παράλληλα με το κτίριο. Α) Πού
είναι η μπάλα 1s και 4s μετά τη
ρίψη; Β) Τι ταχύτητα έχει η μπάλα
5m πάνω από το κτίριο; Γ) Πόσο
ψηλά έφτασε η μπάλα;
+
- Προσοχή στον καθορισμό της +
και – διεύθυνσης του άξονα
(αυθαίρετη επιλογή)

- gt
+
-
0 v = v + gt
+ 2
0 0
1
2
x = x + v t - gt
Ο καθορισμός της + και –
διεύθυνσης του άξονα επηρρεάζει το
πρόσημο όλων των ποσοτήτων
(x, v, a) σε όλες τις σχέσεις

y0=0m V0=15m/s a=g=-9.8m/s2
y0=? V0=? a=?
y y v t gt
= + - Þ
y = t -
t
v v a y y
= - - Þ
+
-
0 v = v - gt = 15 - 9.8t
2
0 0
2
1
2
15 4.9
2 2
0 0
2
2 ( )
225 19.6
v = -
y

Πού είναι η μπάλα 1s και 4s μετά τη ρίψη;
y = t -
t
y = - =
m
y = - = -
m
+
-
2
2
1
2
4
15 4.9
15 *1 4.9 *1 10.1
15 * 4 4.9 * 4 18.4
s
s

v = v - a y - y
Þ
v = -
y
v = - =
m s
+
-
Τι ταχύτητα έχει η μπάλα 5m πάνω από το κτίριο;
2 2
0 0
2
5
2 ( )
225 19.6
m 225 19.6 * 5 11.27 /

Στο ψηλότερο σημείο v=0m/s !
v y
= -
= - Þ
+
-
Πόσο ψηλά έφτασε η μπάλα;
2
max
max
225 19.6
0 225 19.6
225
11.48
19.6
y
y = =
m

+
-

ΜΜεεττάάθθεεσσηη κκααιι ττααχχύύττηητταα ααππόό οολλοοκκλλήήρρωωσσηη
( ) dx
x t = òdx = ò dt = òvdt
x - x = òdx = ò dt = òvdt
t t
x - x = òvdt Þ x = x + òvdt
v = v + òadt
dt
dx
dt
2 2 2
1 1 1
2 1
t t t
t t t
0 0
0 0
0
t
0
ΔΔxx

t
a = d2x/dt2 = 2m/s2 - (1/10 m/s3)t
v0=10m/sec x0=50m (t=0s) 0
t t
v = v + ò adt = 10 + ò (2 - 0.1 t )
dt Þ
t t v = + t - t = + t - - t - Þ
v = v + ò adt
0
0
0 0
2
0
10 / (2 / 2 ) ( 1 / 3 2
20 v = m s + m s t - m s )t
2 2
0
0.1
10 [2 ] [ ] 10 2( 0) 0.05( 0 )
2

v = dx/dt = (2m/s2)t - (1/20 m/s3)t2
t
x = x + ò vdt
x00 =50m
t t
2 50 (2 0.2 )
x = x + ò vdt = + ò t - t dt Þ
x = m + m s t - m s )t
0
0
0 0
x = + t t - t 3
t Þ
0
2
0
0.1
50 [ ] [ ]
2 * 3
2 2 1 3 3
50 (1 / ) ( /
60

ΣΣχχεεττιικκήή ΤΤααχχύύττηητταα
xP/A = xP/B + xB/A
Τα διαφορικά δίνουν:
dxP/A = dxP/B + dxB/A
Η διαίρεση με Δt δίνει:
Ανάγκη εισαγωγής του
συστήματος αναφοράς! vP/A = vP/B + vB/A

Άσκηση 2-22
Σεληνάκατος κατεβαίνει ελεγχόμενα
λόγω της προωθητικής μηχανής. Σε
ύψος 5m έχει ταχύτητα 2m/s προς
τα κάτω και ο πιλότος σβήνει τη
μηχανή. Με τι ταχύτητα ακουμπάει
στο έδαφος; (gΣΕΛΗΝΗΣ=1.6m/s 2)
Η πιο εύκολη λύση είναι με τη σχέση:
2 2
0 0 v = v + 2a(x - x )
2
0 a g 1.6m / s x x 5m SELHNHS = = - =
2 2 v = 2 + 2 *1.6 * 5 = 20 Þ v = 4.47m / s

Άσκηση 2-28
Αερόστατο θερμού αέρα ανεβαίνει με
σταθερή ταχύτητα 5m/s. Στα 40m ο χειριστής
πετάει ένα σακί άμμο. Α) Τι θέση και
ταχύτητα θα έχει το σακί 0.5 και 2s μετά; Β)
Πότε θα χτυπήσει το σακί το έδαφος και με
ποια ταχύτητα;
Πρώτο βήμα ο καθορισμός (αυθαίρετα) της
θετικής διεύθυνσης π.χ.
+
-
Απαραίτητο είναι να γνωρίζουμε από πού
μετράμε αποστάσεις, π.χ. από το έδαφος
Με βάση τα παραπάνω, το σακί έχει αρχική
ταχύτητα και θέση:
v0 = 5m/s x0 =40m

+
-
2 x s = + - = m
v2s = 5 - 9.8 * 2s = -14.6m / s
2 x s = + - = m
v0 = 5m/s x0 =40m
0 v = v - gt 2
0 0
1
2
x = x + v t - gt
Το –g επιβάλλεται γιατί η βαρύτητα είναι
αντίθετη με τη θετική διεύθυνση που
επιλέξαμε
g
v0.5s = 5 - 9.8 * 0.5s = 0.2m / s
2
0.5
1
40 5 * 0.5 9.8 * 0.5 41.28
2
2
1
40 5 * 2 9.8 * 2 30.4

v0 = 5m/s x0 =40m
+
-
0 v = v - gt 2
m = + t - t Þ
- ± +
= =
t s EDAFOS
0 0
1
2
x = x + v t - gt
Στο έδαφος x=0m, οπότε:
g
0 40 5 * 1 9.8 * 2
2
v 5 9.8 * 3.41 28.42m / s EDAFOS = - = -
2 1
5 5 4( 9.8)40
2 3.41
1
2( 9.8)
2
-

ΜΜεεττάάθθεεσσηη--ΤΤααχχύύττηητταα σσττιιςς 33 δδιιαασσττάάσσεειιςς
Που είμαστε στο
χώρο;
Στο σημείο (x, y, z) !!!
Διάνυσμα θέσης
r
r = x i + y j+ zk
r
r (x , y , z )

Μέση Ταχύτητα
ur ur uur
r 2 -
r Δr
v 1 = =
t - t Dt av
2 1
uur
uur uur
v = Δr dr
lim
t
0
=
D ® Dt dt
uur

r
lim
t
D ® D
=
y
x
r
0
=
t
dt
v
v
Δr
dr
uur
uur
uur
uur
Δr
Δr
Δr
Δr
dr
v r

r
v = dx v = dy v =
dz
uur
v = dr
dt
uur
r = x i + y j+ zk
dx dy dz
dt dt dt
uur
v = i + j+ k
x y z
dt dt dt

dx 2 dy 2 dz 2
dt dt dt
= æ ö + æ ö + æ ö çè ø¸ èç ø¸ èç ø¸
v = i + j
uur
uur
v
π.χ. σε 2 διαστάσεις dx dy
dt dt
uur
dx 2 dy 2
dt dt
= æ ö + æ ö çè ø¸ èç ø¸
v

x=3+2t2 y=10t+0.25t3
Που είναι το αυτοκίνητο για t=2s;
x=3+2*22=11m
y=10*2+0.25*23=22m
ur
r2s = (11m) i + (22m) j
r
Ποια η μετατόπιση του αυτοκίνητου και η μέση ταχύτητα από t=0s ως
t=2s;
2 3 r = x i + y j = (3 + 2t )i + (10t + 0.25t )j
r r
m s m s - = + 2 1 v
ur 0 2 (4 / ) (11 / )
r
ur
r0s = 3i + 0j
r2s = 11i + 22j
2 1
s
av
-
=
t - t
i j
uur r r
x
y
r

r
Ποια η στιγμιαία ταχύτητα του
αυτοκίνητου και πόση είναι στα
t=2s;
y
r
v r
i j
uur
r
dr
x
r
2 = (4 ) (10 0.75 )
dt
r
v = t + + t
2 3 r = (3 + 2t )i + (10t + 0.25t )j
2 2
v2s = 8 + 13 = 15m / s
2
uur
v2s = (4 * 2)i + (10 + 0.75 * 2 ) j = 8i +13j

r
x r
2 v = (4t)i + (10 + 0.75t )j
r
r
r
y
r
r
2 3 r = (3 + 2t )i + (10t + 0.25t )j
v r
v r
v r
v r
r
r
r

ΕΕππιιττάάχχυυννσσηη σσττιιςς 33 δδιιαασσττάάσσεειιςς
uur uur uur
a 2 1 v v Δv
t - t Dt av
uur uur
a = Δv dv
-
= =
2 1
uur
lim
t
0
=
D ® Dt dt
ur

r
lim
t
uur
D ® D
=
uur
uur
a r
uur
y
x
r
0
=
t
dt
a
a
Δv
dv
ur
uur
Δv dv ur
uur
uur
1 v
2 v
2 v
2 v
1 v
Dt ®0
a r

r
uuur
ur
a = d r
d x d y d z
dt dt dt
uur 2
dt2
a = i + j + k
uur
v = dr
dt
x y z dv dv dv
dt dt dt
a = i + j + k
a = d x a = d y a =
d z
uur
a = dv
dt
ur
r = x i + y j+ zk
2 2 2
2 2 2
r
2 2 2
x 2 y 2 z 2
dt dt dt
r

x=3+2t2 y=10t+0.25t3
r
2 3 r = (3 + 2t )i + (10t + 0.25t )j
r
Ποια η στιγμιαία επιτάχυνση για
t=2s;
ur
uuur 2 2 2
x
y
r
r
2 v = (4t)i + (10 + 0.75t )j
4 1.5 x y dv dv
t
dt dt
r
a = i + j = i + j
2 2
a2s = (4m / s ) i + (3m / s ) j
2 4 3 5 / s a = + = m s

r
r
v r
2 v = (4t)i + (10 + 0.75t )j
r
x
y
r
2 3 r = (3 + 2t )i + (10t + 0.25t )j
v r
v r
v r
a r
a r
a r
r
a = 4 i + 1.5t j

uur
v2s = (8m / s)i + (13m / s)j
o a Þa =
2 2
a2s = (4m / s ) i + (3m / s ) j
o b Þb =
uuur
13
tan( ) 58
8
=
3
tan( ) 37
4
=

ΣΣχχέέσσηη ΤΤααχχύύττηηττααςς--ΕΕππιιττάάχχυυννσσηηςς
^ a r
|| a r
v
Η επιτάχυνση (κάθε χρονική
στιγμή) αναλύεται σε δύο
συνιστώσες, μία παράλληλη και
μία κάθετη.
ur uur uuur
|| ^ a = a + a
Η παράλληλη επιτάχυνση
αλλάζει ΜΟΝΟ το μέτρο της
Ητ ακχάύθτεηττηα εςπιτάχυνση αλλάζει
ΜΟΝΟ τη διεύθυνση της ταχύτητας,
δηλαδή:
0
d
dt
=
v r
0
d
dt
= ¹
a
r
r
ενώ

ΠΠααρράάδδεειιγγμμαα κκίίννηησσηηςς σσεε 22 δδιιαασσττάάσσεειιςς
–– ΚΚίίννηησσηη ββλλήήμμααττοοςς
Μπορούμε να εξετάσουμε τις
συντεταγμένες x και y ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ!!!
g
Όλα τα σώματα έχουν την ίδια επιτάχυνση
κατά την ελεύθερή τους πτώση (Γαλιλαίος)
… για πτώση μικρή σε σχέση με την ακτίνα
της Γης
… θεωρώντας μηδενική αντίσταση του αέρα
y
x αx=0 αy=-g
x0 = 0 (t=0) vx = v0x 0 0x x = x + v t

Μπορούμε να εξετάσουμε τις
συντεταγμένες x και y ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ!!!
0 0x x = x + v t
y 0 y v = v - g t
g
y
x
αx=0 αy=-g
x0 (t=0) vx = v0x
y0 (t=0) vy = v0y
2
0 0
1
y 2 y = y + v t - gt

Συνήθως θεωρούμε x0 = y0= 0
0x x = v t
2
y 0 y v = v - g t
y = v t - gt
0
y 2 1

ΠΠααρράάδδεειιγγμμαα κκίίννηησσηηςς σσεε 22 δδιιαασσττάάσσεειιςς –– ΚΚίίννηησσηη
ββλλήήμμααττοοςς
0 0 x = (v cosa )t
2
y = ( v sin a )
t - gt
0 0
1
2
0 0 cos x v = v a
0 0 sin y v = v a - g t
r
r = x i + y j
r
r = x2 + y2
2 2
x y v v = + v r
tan( ) =
y
x
v
v
a

ΠΠααρράάδδεειιγγμμαα κκίίννηησσηηςς σσεε 22 δδιιαασσττάάσσεειιςς –– ΚΚίίννηησσηη
ββλλήήμμααττοοςς
0 0 x = (v cosa )t
2
y = ( v sin a )
t - gt
0 0
1
2
Αν λύσουμε την 1η εξίσωση ως
προς t και το αντικαταστήσουμε
στη 2η έχουμε:
2
a x
= - 2 y = b x - cx
g
0 2 2
0 0
(tan )
2 cos
y x
v
a
Μορφή
Παραβολή!!!

ΠΠααρράάδδεειιγγμμαα κκίίννηησσηηςς σσεε 22 δδιιαασσττάάσσεειιςς –– ΚΚίίννηησσηη ββλλήήμμααττοοςς
g
a x
2
0 2 2
0 0
(tan )
2 cos
y x
v
a
= -
2 y = b x - cx
Παραβολή!!!
y
x
? y v =
0 0 sin y v = v a - g t
Στο ανώτερο σημείο της τροχιάς…
0!!! y v =
0 0
.
v sin
t
g
a
AN SHMEIO =
v

ΟΟμμααλλήή κκυυκκλλιικκήή κκίίννηησσηη
ΟΟμμααλλήή
ΚΚυυκκλλιικκήή κκίίννηησσηη
ΗΗ κκίίννηησσηη γγίίννεεττααιι ππάάννωω σσεε έένναα κκύύκκλλοο……
ΗΗ ττααχχύύττηητταα έέχχεειι σσττααθθεερρόό μμέέττρροο……
ΤΤρρίίγγωωνναα OOpp11pp22 κκααιι OOPP11PP22 όόμμοοιιαα,, άάρραα::
D
Δv
= =
s
R
D
=
uur
Δv
1
v r
= = v 1 2 v v r r
av
v s
t R t
D D
a r
uur

v D
s v v
= = Þ =
lim rad t
uuur
uur
Δv
uur
av
v D
s
Δv
= =
t R t
D D
a r
uur
2
0
v a
R D ® D
t R R
a r
Δv
ΚΚεεννττρροομμόόλλοοςς
ΕΕππιιττάάχχυυννσσηη
arad

R
p
a = = p f R = w
R
2 R
T
v p
=
2
rad
v
a
R
=
v = 2p fR v =wR
2 2 2
2
2
4
rad 4
T

v 7, 9m / s p
p
4 5
4
= = ;
12 / 1.2 arad m s g
2 R
T
v p
=
2
2
4
rad
R
a
p
=
T
Σε ένα λούνα-παρκ, οι αναβάτες σε
οριζόντιο τροχό ακτίνας 5m, κάνουν
ένα γύρο σε 4s. Τι ταχύτητα και
επιτάχυνση έχουν;
2 5
4
= =
2
2
2

ΣΣχχέέσσηη ΤΤααχχύύττηηττααςς--ΕΕππιιττάάχχυυννσσηηςς
r ur ur ^ a r
ur || tan
|| ^ a = a + a
|| a r
a w ^ a = = =
2
2
rad
v
R
R
d
a
dt
a = =
v r
ur
Η κάθετη (ακτινική) επιτάχυνση αλλάζει
ΜΟΝΟ τη διεύθυνση της ταχύτητας
Η παράλληλη (εφαπτομενική)
επιτάχυνση αλλάζει ΜΟΝΟ το
μέτρο της ταχύτητας

ΜΜέέσσηη –– ΣΣττιιγγμμιιααίίαα ΤΤααχχύύττηητταα--ΕΕππιιττάάχχυυννσσηη σσεε 11 δδιιάάσστταασσηη
dv d x
v - v v
= 2 1
a = =
t - t t
v +
v
x - x =
t
x - x x
v = 2 1
=
av
t - t t
2 1
D
D
dx
v =
dt
2
2
a =
dt dt
av
2 1
D
D
ΚΚίίννηησσηη σσεε 11 δδιιάάσστταασσηη μμεε σσττααθθεερρήή ΕΕππιιττάάχχυυννσσηη –– ΤΤιι μμοορρφφήή έέχχεειι;;
0 v = v + at 2
0 0
1
2
a = staq . x = x + v t + at
2 2
0 0 v = v + 2a(x - x ) 0
0 2

ΠΠααρράάδδεειιγγμμαα:: ΚΚίίννηησσηη μμέέσσαα σσττοο ββααρρυυττιικκόό ππεεδδίίοο
2 a = g = 9.81m / s ( ) 0 v = ± v + gt
( ) ( ) 2
ΔΔxx == vvaavvΔΔtt ΜΜεεττάάθθεεσσηη κκααιι ΤΤααχχύύττηητταα ααππόό οολλοοκκλλήήρρωωσσηη
t
v = v + ò adt
0 0
1
2
x = ± x ± v t + gt
x = x + ò vdt 0
0
t
0
0

ΣΣχχεεττιικκήή ΤΤααχχύύττηητταα –– ΣΣύύσσττηημμαα ααννααφφοορράάςς
xP/A = xP/B + xB/A
vP/A = vP/B + vB/A

ΜΜεεττάάθθεεσσηη –– ΤΤααχχύύττηητταα -- ΕΕππιιττάάχχυυννσσηη σσττιιςς 33 δδιιαασσττάάσσεειιςς
r
Διάνυσμα r
θέσης
r = x i + y j + z k
( , , ) x y z r r
ur r
Δr dr
v =
lim
t
0
=
D ® Dt dt
r
y
x
r
Δr
Δr
Δr
Δr
dr
v r
dx dy dz
dt dt dt
r
v = i + j + k

r
uur
uur
uur
uur
a r
uur
ur r
Δv dv
a =
lim
t
0
=
D ® Dt dt
r
2 2 2
d x d y d z
dt dt dt
a = i + j + k
2 2 2
r
y
x
r
Δv dv
1 v
2 v
2 v
2 v
1 v
Dt ®0
a r

v r
v r
r
v r
r
r
r
r
r
v r
v r
v r
a r
a r
a r

0 0 x = (v cosa )t
2
y = ( v sin a )
t - gt
0 0
1
2
0 0 cos x v = v a
0 0 sin y v = v a - g t

2
g
a x
0 2 2
0 0
(tan )
2 cos
y x
v
a
= -
Μορφή
2 y = b x - cx
Παραβολή!!!
y
x

R
p
a = = p f R = w
R
2 R
T
v p
= v = 2p fR v =wR
2 2 2
2
2
4
rad 4
T

ΟΟιι δδύύοο σσυυννιισσττώώσσεεςς ττηηςς εεππιιττάάχχυυννσσηηςς –– ΑΑκκττιιννιικκήή && ΕΕφφααππττοομμεεννιικκήή
r ur ur ^ a r
ur || tan
|| ^ a = a + a
|| a r
2
2
p
2
4
rad
R
a R
w ^ =
T
a = =
d
a
dt
a = =
v r
ur
Η κάθετη (ακτινική) επιτάχυνση αλλάζει
ΜΟΝΟ τη διεύθυνση της ταχύτητας
Η παράλληλη (εφαπτομενική)
επιτάχυνση αλλάζει ΜΟΝΟ το
μέτρο της ταχύτητας

ΠΠρροοττεειιννόόμμεεννεεςς ΑΑσσκκήήσσεειιςς 22οουυ ΜΜααθθήήμμααττοοςς
Βρείτε μία γενική έκφραση για το μέγιστο ύψος, h, και τη
μέγιστη απόσταση (βεληνεκές) , R, στην οποία φτάνει ένα
βλήμα (βλέπε σχήμα). Από την εξίσωση του βεληνεκούς, βρείτε
τη γωνία, α0, για την οποία επιτυγχάνεται το μέγιστο βεληνεκές.
Με βάση τα αποτελέσματα βρείτε ένας ποδοσφαιριστής που
θέλει να ρίξει μία μπάλα στα 30m με αρχική ταχύτητα 20m/s με
πόση γωνία πρέπει να κλοτσήσει και σε τι ύψος θα φτάσει η
μπάλα.

Η Γή έχει μέση ακτίνα περιστροφής 1.49*1011m. Αν θεωρήσουμε
ότι η τροχιά είναι κυκλική, πόση είναι η ταχύτητα περιστροφής
και πόση είναι η ακτινική επιτάχυνση σε σχέση με τον Ήλιο.

Άσκηση 3-33
Ένα πουλί πετάει στο επίπεδο xy με διάνυσμα ταχύτητας:
v = (a-bt 2) i + ct j
όπου a=2.1m/s, b=3.6m/s 3 και c=5m/s 2 και η θετική κατεύθυνση
του άξονα y είναι κατακόρυφα προς τα πάνω. Αν το πουλί είναι
στην αρχή των αξόνων για t=0 να βρεθούν τα διανύσματα θέσης
και επιτάχυνσης σαν συνάρτηση του χρόνου

φυσική1

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (12)

More from Γιάννης Παπαδάκης

More from Γιάννης Παπαδάκης (20)

φυσική1