Mathtest2

Test 2.
Xuwilbar A.
Nägdügäär xäsäg.
1. 5 −
√
32.076 + 1.000173
tootoï xamgiïn oïr or²ix too al´ n´ wä?
A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 E. 0
2. Duguïg xüräälsän toïrgiïn urt 20π ba duguïn talbaï aπ bol a-g
ol.
A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 E. 110
3. Awtoma²iny dugaar n´ 33 üsägtäï cagaan tolgoïn gurwan üsäg ba
dörwön cifrääs togtono. Awtoma²iny xädän ¶lgaataï dugaar baïx
wä?
A. 333
· 410
B. 31 · 32 · 33 · 720 C. 333
· 104
D. C333 · C104 E. C333 + C104
4. Toony 35 xuw´ n´ 70 bol ug too xäd wä?
A. 70 B. 100 C. 200 D. 150 E. 210
5. y = arcsin 1
3
− arctan 1
3
bol sin y?
A. 3+2
√
2
10
B. 3−2
√
2
10
C. 3−2
√
2
3
√
10
D. 3+2
√
2
3
√
10
E. 3−2
√
2
27
6. O töwtäï toïrogt AB diametr tat³¶. E ba D cägüüd n´ AB di-
ametriïn näg tald toïrog däär or²ix cägüüd baïg. ED ba AB ²u-
luunuudyn ogtlolclyn cägiïg C gäe. ∠BOD = 150
ba ∠EOA = 850
bol ∠ECA öncgiïn xämjääg ol.
A. 150
B. 350
C. 500
D. 700
E. 850
7. Xoorondoo xoër nägj zaïtaï parallel´ ²uluunuud tatsan xawtgaï
ruu näg nägj urttaï xärqim ²idjää. Xärqim al´ näg ²uluuntaï
ogtlolcoj unax magadlalyg ol.
A. 1
π
B. 2
π
C. 3
2π
D. 2
3π
E. 3
4π
1

8. ABC gurwaljin n´ adil talt gurwaljin bögööd A(−4; 0), B(4; 0)
bol C oroï n´ daraax´ cägüüdiïn al´ n´ baïj bolox wä?
A. (0; 2
√
3) B. (0; 4
√
3) C. (4; 4
√
3) D. (0; 4) E. (4
√
3; 0)
9. x ba y toonuud n´ täg bi² sörög toonuud bol daraax´ toonuudyn
al´ n´ sörög too wä?
A. xy B. (xy)2
C. (x − y)2
D. x + y E. x
y
10. Manaï ämää üxär mallaj taxia täjäädäg. Üxär taxia niïlääd 120
tolgoï xürsän bögööd niït 320 xöltäï bol ämää maan´ xädän üxär,
xädän taxiataï wä?
A. 20, 100 B. 30, 90 C. 40, 80 D. 50, 70 E. 60, 60
11. x2
−2px+q = 0 (p = 0) täg²itgäl xoër ²iïdtäï bögööd näg ²iïd n´
sörög nögöö n´ äeräg baïxyn tuld p ba q toonuud ¶mar ²aardlaga
xangax xärägtäï wä?
A. p2
> q ba pq < 0 B. p2
> q ba pq > 0 C. p2
< q ba pq < 0
D. p2
< q ba pq > 0 E. p2
= q ba pq < 0
12. Tus bür gurwan öngiïn bömbögnüüdtäï xoër xaïrcag baïna. Nägdügäär
xaïcagt 2 cänxär, 3 ulaan, 5 nogoon bömbög, nögöö xaïrcagt 4 cänxär,
2 ulaan, 4 nogoon bömbög baïgaa. Xaïrcag bürääs näg näg bömbög
taamgaar awaxad ijil öngötäï taarax magadlalyg ol.
A. 0.31 B. 0.32 C. 0.33 D. 0.34 E. 0.35
13. y = 2|x+a+1|−|2x−a| funkciïn xamgiïn ix utga 2-oos baga baïx
a parametriïn büx utgyg ol.
A. −4
3
< a < 4
3
B. 0 < a < 4
3
C. a < −4
3
D. −4
3
< a E. −4
3
< a < 0
14. x2
−2x+1+y2
= 4 täg²itgäläär ögögdsön toïrgiïn töw ba radiusyg
ol.
A. O(1; 1), R = 1 B. O(1; 0), R = 4 C. O(0; 1), R = 2
D. O(1; 0), R = 2 E. O(0; 1), R = 4
2

15.
√
2 − x − x2 −
√
x2 + x − 1 = 1 täg²itgäliïg bod.
A. ²iïdgüï B. x = −1−
√
5
2
C. x1,2 = −1
√
5
2
D. x1,2 = 1
√
5
2
E. x1 = 1; x2 =
√
5
16. cos4
α + sin2
α + sin2
α cos2
α ilärxiïlliïn utgyg ol.
A. 1 B. 2 C. sin2
α D. cos2
α E. 4
17. −1 ≤ x ≤ 2 bol y = x3
− 6x2
+ 1 funkciïn xamgiïn baga utgyg ol.
A. −158 B. 34 C. 325 D. 1 E. −15
18. 30-d xuwaagddag büx dörwön orontoï toonuudyn niïlbäriïg ol.
A. 1651500 B. 1651600 C. 1651700 D. 1651800 E.
1651900
19. xn+1 =
√
xn + 2 (n ≥ 1, x1 ≥ −2) rekurrent xar´caagaar ögögdsön
daraalal niïldäg bol x¶zgaaryg n´ ol.
A. 0 B. −1−
√
5
2
C. 2 D. −1+
√
5
2
E. −1
20.
logy x − logx y3
= 2
x + 6y = 7
täg²itgälüüdiïn sistemiïg bod.
A. 1
6
; 6 , (1; 1) B. (1; 1) C. 1
6
; 6
D. −1
6
; 6 , (1; 1) E. 1
6
; 6 , (−1; −1)
21. y = cos x + cos 2x funkciïn utgyn mujiïg ol.
A. [−1; 1] B. −9
8
; 9
8
C. −9
8
; 2 D. −2; 9
8
E. [−2; 2]
22. ’uluun duguï konust bagtsan bömbörcgiïn radius r ba konusyn
oroïgoos bömbörcgiïn töw xürtälx zaï m bol konusyn äzläxüüniïg
ol.
A. r2(m+r)2
3(m−r)
B. πr2(m+r)2
3(m−r)
C. πr(m+r)2
3(m−r)
D. πr2(m+r)2
2(m−r)
E. πr2(m+r)
3(m−r)
3

Xoërdugaar xäsäg.
1. 4x4
+ 3x3
− 14x2
+ 3x + 4 = 0 täg²itgäld
(a) y = [a] x + 1
x
orluulga xiïsniï daraa
[b]y2
+ [c]y − 22 = 0
täg²itgäl garna.
(b) Änä täg²itgäl n´
y12 =
−[c] ± [de]
2[b]
gäsän xoër ²iïdtäï bögööd
(c) anxny täg²itgäl x1 = 1 ba
x23 =
−11 ± [fg]
[h]
gäsän gurwan ²iïdtäï.
2. A(−4, 0), B(0; 3), C(0; 0) bol
(a) A ba B cägüüdiïg daïrsan ²uluuntaï parallel´ C cägiïg
daïrsan ²uluuny täg²itgäl
y =
[a]
[b]
x.
(b) ABCD n´ toïrog bagtaasan trapec (AB CD) bol
D −
[cd]
[fg]
; −
[e]
[fg]
(c) ABCD trapeciïn talbaï n´
S = 15 −
[h]
[fg]
baïna.
4

3. Oëdlyn jijig üïldwärt niït xuwcasny 30%-iïg I oëdolqin, 25%-
iïg II oëdolqin, 45%-iïg III oëdolqin oëdog. I oëdolqny oëson
xuwcasny 2%,II oëdolqny oëson xuwcasny 1%, III oëdolqny oëson
xuwcasny 3% n´ gologdol baïdag bol
(a) Sanamsargüï songoj awsan xuwcas gologdol baïx magadlal
P = 0, 0[ab].
(b) Songoj awsan xuwcas gologdol bol I oëdolqin oëson baïx mag-
adlal P1 = 0, ([cd]),
(c) II oëdolqin oëson baïx magadlal P2 = 0, 11([ef]),
(d) III oëdolqin oëson baïx magadlal P3 = 0, [gh]([ef]) baïna.
4. (a) y = x5
ba y = 1
x
muruïnuud (0; +∞) zawsart A([a]; [b]) cägäär
ogtlolcono.
(b) y = x5
muruïn A cägt tatsan ²ürgägq n´
y = [c]x − [d]
täg²itgältäï baïna.
(c) y = 1
x
y = [e]x + [f]
(d) Ädgäär ²ürgägq ²uluunuud n´ xoorondoo
α = arctan
[g]
[h]
xurc öncög üüsgänä.
5

Xuwilbar B.
1. 9 −
√
51.023 + 2.00032
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7
ol.
A. 35 B. 36 C. 37 D. 38 E. 39
3. A xotoos B xotod 5 ¶nzyn zamaar oqdog, xarin B xotoos W xot ruu
7 öör zamaar xürq bolno. A xotoos B xotyg daïran W xot orox
xiqnään bolomj baïx wä?
A. 57
B. 75
C. 12 D. 28 E. 35
A. 75 B. 100 C. 205 D. 155 E. 300
5. y = arccos 1
7
− arctan 1
7
bol cos y?
A. 7+4
√
3
35
√
2
B. 7−4
√
3
35
√
2
C. 7+4
√
3
35
D. 7−4
√
3
35
E. 7−4
√
3
5
√
2
ametriïn xoër tald toïrog däär or²ix cägüüd baïg. ED ba AB
xärqmüüdiïn ogtlolclyn cägiïg C gäe. ∠BOD = β ba ∠EOA = α
A. 2α+β
3
B. α+2β
3
C. α+β
2
D. α−β
2
E. β−α
2
7. Xoorondoo xoër nägj zaïtaï parallel´ ²uluunuud tatsan xawt-
gaï ruu näg nägj diametrtäï cagirag ²idjää. Cagirag al´ näg
²uluuntaï ogtlolcoj unax magadlalyg ol.
A. 1
π
B. 2
π
C. 1
2
D. 2
3
E. 3
4
8. ABC gurwaljin n´ adil talt gurwaljin bögööd A(−4; 1), B(4; −1)
A. (0; 2
√
2) B. (2; 4
√
2) C. (−2; 4
√
2) D. (0; −2
√
2) E. (−2; 4
√
2)
6

9. x ba y toonuud n´ äeräg toonuud bol daraax´ toonuudyn al´ n´
sörög too baïj bolox wä?
A. xy B. (x − y)3
C. (x − y)2
D. x + y E. x
y
10. Saraana cäcäg tawan dälbäätäï, jam³¶nm¶dag cäcäg esön dälbäätäï.
99 cäcgiïn dälbää 699 bol cäcäg tus bür xädän ²irxäg baïsan bä?
A. 40, 59 B. 42, 57 C. 44, 55 D. 48, 51 E. 50, 49
11. x2
−2px+q = 0 täg²itgäl xoër ²iïdtäï bögööd xoëul äeräg baïxyn
tuld p ba q toonuud ¶mar ²aardlaga xangax xärägtäï wä?
A. p2
> q ba pq < 0 B. p2
> q ba pq > 0
C. p2
> q ba p > 0, q > 0 D. p2
< q ba p > 0, q > 0
E. p2
< q ba p < 0, q < 0
12. Xaïrcagt 8 ulaan, 6 nogoon bömbög baïw. Xaïrcagnaas 3 bömbög
taamgaar awaxad gurwuul nogoon öngötäï baïx magadlalyg oïrol-
coogoor ol.
A. 0.033 B. 0.044 C. 0.055 D. 0.077 E. 0.099
13. y = 3|x − a + 1| − |3x + a| funkciïn xamgiïn ix utga 3-aas ixgüï
baïx a parametriïn büx utgyg ol.
A. 0 ≤ a < 3
4
B. 3
4
< a ≤ 3
2
C. 0 ≤ a ≤ 3
2
D. 3
4
< a ≤ 3
2
E. −3
4
< a < 3
4
14. x2
+ y2
+ 4y = 5 täg²itgäläär ögögdsön toïrgiïn töw ba radiusyg
ol.
A. O(0; 1), R =
√
5 B. O(1; 0), R = 4 C. O(0; 2), R = 3
D. O(2; 0), R =
√
5 E. O(0; −2), R = 3
15. x − 4 +
√
x − 2 − x − 3 −
√
x − 2 = 1 täg²itgäliïg bod.
A. 2 B. −6; 2 C. −6; 6 D. 6 E. ²iïdgüï
16. sin4
α + 2 sin2
α cos2
α + cos4
A. 1 B. 2 C. sin2
α D. cos2
α E. 4
7

17. −1 ≤ x ≤ 5 bol y = x3
− 6x2
+ 1 funkciïn xamgiïn ix utgyg ol.
A. −158 B. 34 C. 325 D. 1 E. −15
A. 1406720 B. 1412215 C. 1141140 D. 1146145 E. 1416420
19. xn+1 = −
√
1 − xn (n ≥ 1, x1 ≤ 1) rekurrent xar´caagaar ögögdsön
A. 0 B. −1−
√
5
2
C. 2 D. −1+
√
5
2
E. 1
20.
12 logy x + logx y = 7
2x + y = −3
A. (1; 1) B. (−1; −1) C. 2; 8 D. (−2; −8) E. ²iïdgüï
21. y = sin x + cos x funkciïn utgyn mujiïg ol.
A. [−1; 1] B. [−
√
2;
√
2] C. [−1;
√
2] D. [−
√
2; 1] E. [−2; 2]
oroïgoos bömbörcgiïn töw xürtälx zaï m bol konusyn xajuu gadar-
guugiïn talbaïg ol.
A. πrm(m+r)
(m−r)
B. πrm(m+r)
2(m−r)
C. πr(m+r)
m(m−r)
D. πr(m+r)2
2(m−r)
E. πm(m+r)
2(m−r)
8

1. 9x4
− 6x3
− 18x2
− 2x + 1 = 0 täg²itgäld
(a) y = [a]x + 1
x
y2
− 2y − [bc] = 0
täg²itgäl garna.
y1 = −[d]; y2 = [e]
(c) anxny täg²itgäl
x1 = −[f]; x2 = −
1
[g]
; x34 = 1 ±
[h]
[g]
gäsän dörwön ²iïdtäï.
2. A(0, 0), B(0; 4), C(3; 0) bol
(a) B ba C cägüüdiïg daïrsan ²uluuntaï parallel´ A cägiïg
y = −
[a]
[b]
x.
(b) ABCD n´ toïrog bagtaasan trapec (AD BC) bol
D
[c]
[d]
; −
[e]
[d]
S =
[fg]
[h]
baïna.
9

3. Xünsniï bütäägdäxüüniï 20%-iïg I aguulaxad, 30%-iïg II aguu-
laxad, 50%-iïg III aguulaxad xadgaldag. I aguulaxad xadgalsan
bütäägdäxüün muudax magadlal q1 = 0.01, II aguulaxad xadgalsan
bütäägdäxüün muudax magadlal q2 = 0.005, III aguulaxad xadgalsan
bütäägdäxüün muudax magadlal q3 = 0.006 bol
(a) Sanamsargüï songoj awsan bütäägdäxüün muudaagüï baïx ma-
gadlal
P = 0, 99[ab].
(b) Songoj awsan bütäägdäxüün muudaagüï bol I aguulaxad xadgal-
san baïx magadlal oïrolcoogoor P1 = 0, [cd],
(c) II aguulaxad xadgalsan baïx magadlal oïrolcoogoor P2 = 0, [ef],
(d) III oëdolqin oëson baïx magadlal oïrolcoogoor P3 = 0, [gh]
baïna.
4. (a) y = x2
ba y =
√
x muruïnuud (0; +∞) zawsart A([a]; [b]) cägäär
ogtlolcono.
(b) y = x2
y = [c]x − [d]
(c) y = 1
x
[e]x − [f]y + [f] = 0
α = arctan
[g]
[h]
10

Xuwilbar C.
1. 4 + 3.000162
−
√
89.096 tootoï xamgiïn oïr or²ix too al´ n´ wä?
A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 E. 5
2. Duguïn talbaï 100π ba änä duguïd bagtsan kwadratyn tal a bol
a2
-g ol.
A. 100 B. 160 C. 200 D. 240 E. 400
3. Arawtyn biqlägt n´ 0,2,5 cifrüüdiïn al´ n´ q ordoggüï xoër oron-
toï too niït xäd baïx wä?
A. 49 B. 42 C. 90 D. 36 E. 99
A. 300 B. 320 C. 330 D. 340 E. 350
5. y = arcsin 1
3
− arctan 1
3
bol cos y?
A. 2+3
√
2
10
B. 1−6
√
2
10
C. 3−2
√
2
3
√
10
D. 1+6
√
2
3
√
10
E. 2−3
√
2
27
ametriïn näg tald toïrog däär or²ix cägüüd baïg. ED ba AB ²u-
luunuudyn ogtlolclyn cägiïg C gäe. ∠BOD = 950
ba ∠EOA = 250
A. 150
B. 350
C. 500
D. 700
E. 850
7. Xoorondoo xoër nägj zaïtaï parallel´ ²uluunuud tatsan xawtgaï
ruu näg ba 1.5 nägj urttaï xärqmüüd ²idjää. Xoër xärqim xoëul
tus bürdää ¶mar näg ²uluuntaï ogtlolcoj unax magadlalyg ol.
A. 1
π2 B. 2
π2 C. 3
2π2 D. 2
3π2 E. 3
4π2
8. ABC gurwaljin n´ adil talt gurwaljin bögööd A(−4; −2), B(4; 2)
A. (−4
√
3; 2
√
3) B. (0; 4
√
3) C. (4
√
3; 2
√
3)
D. (2
√
3; −4
√
3) E. (−2
√
3; 4
√
3)
11

9. x ba y n´ täg bi² sörög toonuud bol daraax´ toonuudyn al´ n´
sörög too wä?
A. x+y
y
B. xy
(2x−y)2 C. (x−y)2
x4+y4+7xy
D. x+y
x
E. x+y
x2+xy+y2
10. Arwan tawan tolgoïtoï näg süültäï mangasuud esön süültäï näg
tolgoïtoï ünägnüüdtäï tulaldjää. Tulaany talbart ünäg mangas
niïlääd 716 tolgoïtoï ¶g näg zuun am´tan baïsan bol xäd n´ ünäg
xäd n´ mangas baïsan bä?
A. 53, 47 B. 54, 46 C. 55, 45 D. 56, 44 E. 57, 43
11. x2
− 2px + q = 0 täg²itgäl ganc sörög ²iïdtäï baïxyn tuld p ba
q toonuud ¶mar ²aardlaga xangax xärägtäï wä?
A. p2
> q ba pq < 0 B. p2
= q ba pq > 0 C. p2
= q ba pq < 0
D. p2
= q ba p > 0 E. p2
= q ba p < 0
12. Tus bür 30 bütäägdäxüüntäï gurwan xaïrcag baïw. Nägdügäär xaïrcagnaas
3 bütäägdäxüün, xoërdugaar xaïrcagnaas 2 bütäägdäxüün, guraw-
dugaar xaïrcagnaas 5 bütäägdäxüün qanaryn ²aardlaga xangaxgüï.
Xaïrcag bürääs näg bütäägdäxüün taamgaar songon awaxad gurwuul
qanaryn ²aardlaga xangax magadlalyg ol.
A. 0, 47 B. 0, 86 C. 0, 7 D. 0, 64 E. 0, 3
13. m > 0 baïg. y = m|x + a + 1| − |mx − a| funkciïn xamgiïn ix utga
m-ääs baga baïx a parametriïn büx utgyg ol.
A. − 2m
m+1
< a < 0 B. − m
m+1
≤ a C. − m
m+1
≤ a < 0
D. − m
m+1
< a E. − m
m+1
< a < 0
14. x2
− 3x + y2
+ 2y = 0 täg²itgäläär ögögdsön toïrgiïn töw ba ra-
diusyg ol.
A. O(1; 1), R = 3 B. O(1.5; −1), R =
√
13
2
C. O(3; −1), R =
√
13
2
D. O(1.5; 1), R = 3
2
E. O(−1.5; 1), R =
√
13
2
15. (x2
− 2x)3
+ x x(x − 2)3 = 2 täg²itgäliïg bod.
A. 1 − 1 +
√
4; 1 +
√
2 B. 1 + 1 −
√
4; 1 +
√
2
12

C. 1 − 1 + 3
√
4; 1 −
√
2 D. 1 − 1 + 3
√
4; 1 +
√
2
E. 1 − 1 − 3
√
4; 1 +
√
2
16. (sin α + cos α)2
+ (sin α − cos α)2
ilärxiïlliïn utgyg ol.
A. 1 B. 2 C. sin2
α D. cos2
α E. 4
17. −2 ≤ x ≤ 4 bol y = 3x4
−4x3
−12x2
+5 funkciïn xamgiïn ix utgyg
ol.
A. −158 B. 34 C. 325 D. 1 E. −15
A. 703360 B. 697865 C. 570570 D. 565565 E. 640640
19. xn+1 = xn −x2
n (n ≥ 1, x1 ∈ [0; 1]) rekurrent xar´caagaar ögögdsön
A. 0 B. −1−
√
5
2
C. 2 D. −1+
√
5
2
E. 1
20.
logy x3
+ logx y = 4
2x + y = 9
A. (1; 7) B. (5; −1) C. (3; 3) D. (2; 5) E. ²iïdgüï
21. y = 3 sin x − 4 cos x − 1 funkciïn utgyn mujiïg ol.
A. [−1; 1] B. [−3; 3] C. [−4; 3] D. [−3; 4] E. [−6; 4]
öndriïn baïguulagqtaï üüsgäsän öncög γ bol konusyn äzläxüüniïg
ol.
A. r2(1+sin γ)2
3 sin γ(1−sin γ)
B. πr2(1+sin γ)2
3 sin γ(1−sinγ)
C. πr2(1−sin γ)2
3 sin γ(1+sinγ)
D. r2(1−sin γ)2
3 sin γ(1+sinγ)
E. πr3(1+sin γ)2
3 sin γ(1−sinγ)
13

1. 18x4
− 3x3
− 25x2
(a) y = [a]x − [b]
x
[c]y2
− y − 1 = 0
täg²itgäl garna.
y1 = −
1
[d]
; y2 = [e]
(c) anxny täg²itgäl x1 = 1 ba
x2 = −
2
[f]
; x34 =
−1 ± [gh]
12
2. A(0, 0), B(−3; 0), C(0; 4) bol
y =
[a]
[b]
x.
(b) ABCD n´ toïrog bagtaasan trapec (AD BC) bol
D
[c]
[fg]
;
[de]
[fg]
S = 2 +
[h]
[fg]
baïna.
14

3. Tus bür 0.02, 0.03 ba 0.04 magadlaltaïgaar xojil awax bolomjtoï
gurwan törliïn sugalaanaas xudaldaj awqää. Nägdügäär törliïn
sugalaag xoërdugaar törliïn sugalaanaas xoër daxin olon, gu-
rawdugaar törliïn sugalaag xoërdugaar törliïn sugalaanaas xoër
daxin cöön tootoïgoor xudaldaj awsan bol
(a) Xudaldaj awsan sugalaanuudaas sanamsargüï songoj awsan
näg sugalaa xonjwortoï baïx magadlal oïrolcoogoor
P = 0, 0[ab].
(b) Songoj awsan sugalaa xonjwortoï bol I törliïn sugalaa baïx
magadlal oïrolcoogoor P1 = 0, [cd],
(c) II törliïn sugalaa baïx magadlal oïrolcoogoor P2 = 0, [ef],
(d) III törliïn sugalaa baïx magadlal oïrolcoogoor P3 = 0, [gh]
baïna.
4. (a) y = ex
ba y = e−x
muruïnuud A([a]; [b]) cägäär ogtlolcono.
(b) y = ex
y = [c]x + [d]
(c) y = e−x
y = [e]x + [f]
α = [gh]0
15

Xuwilbar D.
1. 10 −
√
43 + 1.00074
A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 E. 5
2. Toïrgiïn urt 20π ba toïrgiïg bagtaasan zöw gurwaljny talbaï
a
√
3 bol a-g ol.
A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 E. 300
3. Arawtyn biqlägt n´ 2,5,7 cifrüüdiïn al´ n´ q ordoggüï xoër oron-
toï too niït xäd baïx wä?
A. 49 B. 42 C. 90 D. 36 E. 99
A. 1780 B. 1490 C. 2760 D. 1340 E. 1210
5. y = arcsin 1
3
− arctan 1
3
bol tan y?
A. 3−2
√
2
1+6
√
2
B. 3+2
√
2
1−6
√
2
C. 3−2
√
2
6
√
2−1
D. 3+2
√
2
6
√
2−1
E. 3+2
√
2
1+6
√
2
ametriïn xoër tald toïrog däär or²ix cägüüd baïg. ED ba AB
xärqmüüdiïn ogtlolclyn cägiïg C gäe. ∠BOD = 150
ba ∠EOA =
850
A. 150
B. 350
C. 500
D. 700
E. 850
7. Xoorondoo dörwön nägj zaïtaï parallel´ ²uluunuud tatsan xawt-
gaï ruu 2 ba 2.5 nägj urttaï xärqmüüd ²idjää. –daj näg xärqim
n´ ¶mar näg ²uluuntaï ogtlolcoj unax magadlalyg ol.
A. 6π−4
3π2 B. 9π−5
4π2 C. 8π−7
2π2 D. 11π−9
10π2 E. 7π−4
9π2
8. ABC gurwaljin n´ adil talt gurwaljin bögööd A(−1; 7), B(5; 3)
A. (2−2
√
3; 5+3
√
3) B. (2+2
√
3; 5−3
√
3) C. (2−2
√
3; 5−3
√
3)
D. (2 − 2
√
3; 5 − 3
√
2) E. (2 + 2
√
3; 5 − 3
√
2)
16

9. x ba y toonuud n´ täg bi² äeräg toonuud bol daraax´ toonuudyn
al´ n´ sörög too baïj bolox wä?
A. 1
xy
B. x+y
(
xy)2
C. (x − y)2
D. x + y E. x−y
x2+xy+y2
10. Buguïwqind gurwan tom ²ür doloon oµu dörwön jijig ²ür, bögjind
näg tom ²ür gurwan oµu xoër jijig ²ür, xos äämgänd tus bür näg
tom ²ür zurgaan oµu ²igtgää orno. 102 ²irxäg tom ²ür, 94 ji-
jig ²ür, 276 oµu ²igtgäägäär xädän buguïwq, bögj, xos äämäg xiïx
wä?
A. 20, 17, 14 B. 20, 15, 18 C. 15, 17, 20 D. 10, 15, 19 E. 16, 19, 21
11. x2
− 2px + q = 0 täg²itgäl ganc äeräg ²iïdtäï baïxyn tuld p ba
q toonuud ¶mar ²aardlaga xangax xärägtäï wä?
A. p2
> q ba pq < 0 B. p2
= q ba pq > 0 C. p2
= q ba pq < 0
D. p2
= q ba p > 0 E. p2
= q ba p < 0
12. Gurwan xarwaaqiïn baïg onox magadlal xargalzan 0.85; 0.8; 0.7. Näg
udaagiïn xarwaltaar ¶daj näg xarwaaq n´ baïgaa onox magadlalyg
ol.
A. 0.951 B. 0.961 C. 0.971 D. 0.981 E. 0.991
13. m > 0 baïg. y = m|x − a + 1| − |mx + a| funkciïn xamgiïn baga
utga −m-ääs ix baïx a parametriïn büx utgyg ol.
A. − 2m
m+1
< a < 2m
m+1
B. 0 < a < 2m
m+1
C. a < − 2m
m+1
D. − 2m
m+1
< a E. − 2m
m+1
< a < 0
14. x2
− 4x + 1 + y2
− 3y = 0 täg²itgäläär ögögdsön toïrgiïn töw ba
radiusyg ol.
A. O(−2; 1), R = 3 B. O(2; 1.5), R =
√
19
2
C. O(2; 1.5), R =
√
21
2
D. O(−2; −1.5), R =
√
21
2
E. O(−2; −1.5), R =
√
19
2
15. x+2
2
√
x+1−3
=
√
x+1+1
3
+ 4 täg²itgäliïg bod.
A. 3; 440 B. −3; −440 C. 4; 330 D. −4; −330 E. −3; 330
16. sin4
α − cos4
α + cos2
A. 1 B. 2 C. sin2
α D. cos2
α E. 4
17

17. −1 ≤ x ≤ 3 bol y = 7 + 4x3
− x4
funkciïn xamgiïn ix utgyg ol.
A. −158 B. 34 C. 325 D. 1 E. −15
18. 33-t xuwaagddag büx dörwön orontoï toonuudyn niïlbäriïg ol.
A. 1650012 B. 1501603 C. 1510014 D. 1504503 E. 1498992
19. xn+1 = 1
2
xn + a
xn
(n ≥ 1, a > 0, x1 > 0) rekurrent xar´caagaar
ögögdsön daraalal niïldäg bol x¶zgaaryg n´ ol.
A. 0 B. a C. 2 D. 3
√
a E.
√
a
20.
logy x4
+ logx y = 4
5x − y = 6
A. (1; 7), (2; 4) B. (2; 4), (3; 9) C. (−2; 4), (3; −9) D. (1; 7), (3; −9)
E. ²iïdgüï
21. y = sin2
x + sin 2x funkciïn utgyn mujiïg ol.
A. [−1; 1] B. 1−
√
5
2
; 1+
√
5
2
C. [−2; 2]
D. −1−
√
5
2
; −1+
√
5
2
E. [−1; 2]
suuriïn radius R bol konusyn äzläxüüniïg ol.
A. π
3
· r2(R+r)2
R−r
B. π
6
· r2(R+r)2
R−r
C. π
3
· r3R2
(R−r)(2r−R)
D. 2π
3
· rR4
R2−r2 E. π
3
· rR3
R−r
18

1. 50x4
+ 15x3
− 65x2
− 9x + 18 = 0 täg²itgäld
(a) y = [a]x − [b]
x
[c]y2
+ 3y − [d] = 0
täg²itgäl garna.
y1 = 1; y2 = −
[e]
2
x12 =
1 ± [fg]
10
; x34 =
−5 ± [hh]
10
2. A(0, 0), B(0; 3), C(4; 0) bol
y = −
[a]
[b]
x.
(b) ABCD n´ toïrogt bagtsan trapec (BC AD) ba |AD| = |BC|
bol
D
[cd]
[cf]
; −
[ce]
[cf]
S =
[gh]
[cf]
baïna.
19

3. Angiïn 21 suragqiïn 5 n´ onc, 10 n´ saïn, 6 n´ dund zärgiïn ünäl-
gäätäï suralcdag. Onc suralcdag suragqid ²algaltand zöwxön A
ünälgää awna. Saïn suralcdag suragqid A ba B ünälgääg adilxan
magadlaltaïgaar awna. Dund zärgiïn ünälgäätäï suralcdag suragqid
A, B ba C ünälgäänüüdiïg ijilxän magadlaltaïgaar awna. Tägwäl
(a) Sanamsargüï songoj awsan suragq A ünälgää awsan baïx mag-
adlal P = [a]
[b]
.
(b) Songoj awsan suragq A ünälgää awsan bol ugaasaa onc surdag
suragq baïx magadlal P1 = [e]
[cd]
,
(c) saïn surdag suragq baïx magadlal P2 = [f]
[cd]
,
(d) dund zärgiïn surdag suragq baïx magadlal P3 = [g]
[h]
baïna.
4. (a) y = ln x ba y = −x2
+ 1 muruïnuud (0; +∞) zawsart A([a]; [b])
cägäär ogtlolcono.
(b) y = ln x muruïn A cägt tatsan ²ürgägq n´
y = [c]x − [d]
(c) y = −x2
+ 1 muruïn A cägt tatsan ²ürgägq n´
y = [ef]x + [g]
α = arctan([h])
20

Xuwilbar E.
1. 7 +
√
31.0896 − 2.000173
A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 E. 5
ol.
A. 78 B. 164 C. 98 D. 132 E. 144
3. Xoolny cäsänd nägdügäär xool 7, xoërdugaar xool 9, zuu² 4 töröl
baïw. Näg ba xoërdugaar xoolyg zuu² orolcuulan xädän ¶nzaar
zaxialj bolox wä?
A. 249 B. 250 C. 251 D. 252 E. 253
A. 100 B. 140 C. 115 D. 150 E. 127
5. y = arcsin 1
5
+ arctan 1
5
bol sin y?
A. 5+
√
24
5
√
26
B. 5−
√
24
5
√
26
C. 5+
√
26
5
√
24
D. 5−
√
26
5
√
24
E. 5
√
24
5+
√
26
ametriïn näg tald toïrog däär or²ix cägüüd baïg. ED ba AB
²uluunuudyn ogtlolclyn cägiïg C gäe. ∠BOD = β, ∠EOA = α
ba α > β bol ∠ECA öncgiïn xämjääg ol.
A. α+β
3
B. α+β
2
C. α−β
2
D. 2β−α
3
E. 2α−β
2
7. Xoorondoo gurwan nägj zaïtaï parallel´ ²uluunuud tatsan xawt-
gaï ruu xoër nägj urttaï xärqim ²idjää. Xärqim al´ näg ²ulu-
untaï ogtlolcoj unax magadlalyg ol.
A. 1
π
B. 2
π
C. 3
2π
D. 2
3π
E. 4
3π
21

8. ABC gurwaljin n´ adil talt gurwaljin bögööd A(−3; 1), B(5; −3)
A. (1−2
√
3; 1−4
√
3) B. (1−2
√
3; −1+4
√
3) C. (1+2
√
3; 1+4
√
3)
D. (1 + 2
√
3; 4
√
3 − 1) E. (4
√
3 − 1; 1 − 2
√
3)
9. x n´ äeräg y n´ sörög too bol daraax´ toonuudyn al´ n´ sörög too
wä?
A. (x + y)2
B. (xy)2
C. x − y D. y − x E. x
x−y
10. Günjiïn titäm gurwan badmaarag, xoër suwdan ²igtgäätäï, xatny
titäm esön badmaarag, dörwön suwdan ²igtgäätäï. Titäm xiïxäd
600 badmaarag, 340 suwdan ²igtgää orson bol günjiïn ba xatny
titäm tus bür xädiïg xiïsän bä?
A. 104, 32 B. 110, 30 C. 70, 50 D. 83, 39 E. 98, 34
11. x2
− 2px + q = 0 täg²itgäl ¶lgaataï xoër sörög ²iïdtäï baïxyn
tuld p ba q toonuud ¶mar ²aardlaga xangax xärägtäï wä?
A. p2
> q ba pq < 0 B. p2
> q ba pq > 0
C. p2
> q ba p > 0, q > 0 D. p2
< q ba p < 0, q < 0
E. p2
> q ba p < 0, q < 0
12. Xaïcagt 6 cänxär, 5 ulaan, 4 cagaan bömbög baïw. Xaïrcagnaas
äxlääd taamgaar awsan bömbög cänxär, xoër dax´ bömbög ulaan, gu-
raw dax´ n´ cagaan öngötäï baïx magadlalyg ol. Xaïrcagnaas
awsan bömbögiïg bucaaj xiïxgüï.
A. 0.033 B. 0.044 C. 0.055 D. 0.066 E. 0.077
13. y = 2|x + a + 1| − |2x − a| funkciïn xamgiïn baga utga −8-aas ix
baïx a parametriïn büx utgyg ol.
A. −2
3
< a < 2
3
B. 0 < a < 2
3
C. 2
3
< a < 2
D. −10
3
< a E. −10
3
< a < 2
14. x2
− 4x + 1 + y2
+ 2y = 5 täg²itgäläär ögögdsön toïrgiïn töw ba
radiusyg ol.
A. O(2; 1), R = 1 B. O(1; 2), R = 4 C. O(−2; 1), R = 3
D. O(2; −1), R = 3 E. O(2; −1), R = 4
22

15. 4x2
+ 5x
√
x + 5 = 44(x + 5) täg²itgäliïg bod.
A. −4; 11 B. −4 C. −2; 11 D. 11 E. −2
16. (tan α + cot α)2
− (tan α − cot α)2
ilärxiïlliïn utgyg ol.
A. 1 B. 2 C. sin2
α D. cos2
α E. 4
17. −1 ≤ x ≤ 2 bol y = 6x5
− 15x4
− 10x3
+ 1 funkciïn xamgiïn baga
utgyg ol.
A. −127 B. 34 C. −325 D. 1 E. −10
A. 1651500 B. 893115 C. 1102500 D. 1091475 E. 1651900
19. xn+1 = 1
3
2xn + a
x2
n
(n ≥ 1, a > 0, x1 > 0) rekurrent xar´caagaar
ögögdsön daraalal niïldäg bol x¶zgaaryg n´ ol.
A. 0 B. a C. 2 D. 3
√
a E.
√
a
20.
logy x + logx y8
= 6
x + 6y = 7
A. 6; 1
6
, (1; 1) B. (1; 1) C. 3; 1
3
D. 6; 1
6
E. ²iïdgüï
21. y = 1 + 2 sin 5x funkciïn utgyn mujiïg ol.
A. [−1; 1] B. [−3; 3] C. [−1; 3] D. [−3; 1] E. [−2; 2]
22. ’uluun duguï konust bagtsan bömbörcgiïn radius r ba bömbör-
cgiïn töw n´ konusyn öndriïn oroï talaas 2:1 xar´caagaar xuwaadag
bol konusyn äzläxüüniïg ol.
A. πr3
B. 9πr3
4
C. 2πr3
D. 3πr3
4
E. 3πr3
23

1. 16x4
− 12x3
− 3x2
(a) y = [a]x − [b]
x
y2
− [c]y + [d] = 0
täg²itgäl garna.
y0 = [e]
gäsän ganc ²iïdtäï bögööd
x12 =
3 ± [fg]
[h]
gäsän xoër ²iïdtäï.
2. A(−4, 0), B(0; 3), C(0; 0) bol
(a) A ba B cägüüdiïg daïrsan ²uluuntaï parallel´ C cägiïg
y =
[a]
[b]
x.
(b) ABCD n´ toïrogt bagtsan trapec (AB CD) bol
D −
[cd]
[cf]
; −
[ce]
[cf]
S =
[gh]
[cf]
baïna.
3. Tawan xaïrcagt xämjää ba jingäärää adil süld modny qimägläl
togloomnuud baïgaa. Xoër xaïrcagt n´ 6 cänxär 4 ulaan (I tör-
liïn xaïrcagnuud gäe.), öör xoër xaïrcagt 8 cänxär 2 ulaan (II
törliïn xaïrcagnuud gäe.), süülqiïn näg xaïrcagt (änä bol III tör-
liïn xaïrcag) 2 cänxär 8 ulaan öngiïn togloom baïsan bol
24

(a) Sanamsargüï songoj awsan xaïrcagnaas mön sanamsargüïgäär
songoj awsan togloom ulaan öngötäï baïx magadlal
P(A) = 0, [a], cänxär öngötäï baïx magadlal P( ¯A) = 0, [b].
(b) Songoj awsan togloom ulaan öngötäï baïsan bol I törliïn
xaïrcagnyx baïx magadlal P1 = 0, [c], cänxär öngötäï baïsan
bol I törliïn xaïrcagnyx baïx magadlal ¯P1 = 0, [d].
(c) Songoj awsan togloom ulaan öngötäï baïsan bol II törliïn
xaïrcagnyx baïx magadlal P2 = 0, [e], cänxär öngötäï baïsan
bol II törliïn xaïrcagnyx baïx magadlal ¯P2 = 0, [f].
(d) Songoj awsan togloom ulaan öngötäï baïsan bol III törliïn
xaïrcagnyx baïx magadlal P3 = 0, [g], cänxär öngötäï baïsan
bol III törliïn xaïrcagnyx baïx magadlal ¯P3 = 0, [h] baïna.
4. (a) y = x2
ba y = 8 − x2
muruïnuud (0; +∞) zawsart A([a]; [b])
cägäär ogtlolcono.
(b) y = x2
y = [c](x − 1)
(c) y = 8 − x2
y = −[c]x + [de]
α = arctan
[f]
[gh]
25

Xariu ba zaawar.
1. 25 < 32.076 < 36 uqraas 5 <
√
32.076 < 6 baïx n´ oïlgomjtoï.
Caa²ilbal 5.62
= 31.36 ba 5.72
= 32.49 uqir 5.6 <
√
32.076 < 5.7.
Iïmd −0.7 < 5 −
√
32.076 < −0.6. 1.0005 < 1.000173
< 1.0006 .
Tägäxäär 0.3 < 5−
√
32.076+1.000173
< 0.4 tul ögögdsön toonuudaas
5 −
√
32.076 + 1.000173
xamgiïn oïr or²ix too n´ 0 baïna.
2. R radiustaï toïrgiïn urt n´ L = 2πR ba ug toïrgoor xüräälägdsän
duguïn talbaï n´ S = πR2
baïdag bilää. Toïrgiïn urt 20π baïxyn
tuld radius n´ 10 baïx xärägtäï. 10 radiustaï duguïn talbaï
S = 102
π = 100π baïna. Iïmd a = 100.
3. Awtoma²iny dugaaryn 3 üsäg n´ tus bür 33 ¶nz baïj bolno. Mön
cifr q adil. Iïmd büx bolomjit dugaaryn too n´ 333
· 104
.
4. Olox ëstoï toog x gäe. 70 = x
100
·35 gäsän bilää. Iïmd x = 70
35
·100 =
200.
5. –lgawryn sinusyn tom³ëog xäräglänä. Tüünqlän sinus ba kosi-
nusyg tangensaar ilärxiïläx tom³ëonuudyg a²iglax µm.
sin y = sin arcsin
1
3
− arctan
1
3
=
= sin arcsin
1
3
· cos arctan
1
3
− cos arcsin
1
3
· sin arctan
1
3
=
= sin arcsin
1
3
·
1
1 + tan2
arctan 1
3
−
− 1 − sin2
arcsin
1
3
·
tan arctan 1
3
1 + tan2
arctan 1
3
=
3 − 2
√
2
3
√
10
.
6. ∠AOE + ∠EOD + ∠DOB = 1800
uqir ∠EOD = 800
.
EOD n´ adil xajuut gurwaljin tul ∠OED = ∠DOE = 1800−∠EOD
2
=
500
.
∠ACE = 1800
− (∠EOD + ∠BOD + ∠OED) = 350
bolno.
26

7. Xärqmiïn dääd üzüürääs tüünääs doo² xamgiïn oïr or²ix ²uluun
xürtälx zaïg y gäj tämdägläe. 0 ≤ y ≤ 2 baïx n´ oïlgomjtoï.
Tüünqlän xärqim ba xärqmiïn dääd üzüür däär äxtäï ²uluunuud-
taï parallel´ cacrag xoëryn xoorond üüsäx öncgiïg φ gäe. 0 ≤
φ ≤ π baïna.
Xärqmiïn baïrlal (y, φ) koordinataaïr nägän utgataï todorxoïlog-
dono. Xärqmiïn büx bolomjit baïrlal n´ (y, φ) xawtgaïd [0; 2] ×
[0; π] gäsän S = 2π talbaïtaï täg² öncögtiïg üüsgänä.
Xärqim al´ näg ²uluunyg ogtolj unax nöxcöl n´ y ≤ sin φ µm.
(y, φ) xawtgaïd däärx nöxcliïg xangax cägüüdiïn olonlogiïn tal-
baï n´ s =
π
0
sin φdφ = 2.
Geometr magadlalaar xärqim al´ näg ²uluuntaï ogtlolcoj unax
magadlal P = s
S
= 2
2π
= 1
π
.
Änäxüü bodlogyg erönxiï toxioldold n´ Bµffony bodlogo gäj
närlädäg.
8. C cäg n´ ABC adil talt gurwaljny oroï bolox tul A ba B cägüüdiïn
dundjiïg daïrsan AB ²uluuntaï perpendikul¶r ²uluun däär or²ix
bögööd A ba B cägüüd xürtälx zaï n´ AB talyn urttaï täncüü baïx
ëstoï.
A ba B cägüüdiïn xoorondox zaï |AB| = 8.
A ba B cägüüdiïn dundjiïg daïrsan AB ²uluuntaï perpendikul¶r
²uluun n´ x = 0 uqir C cäg n´ (0, y) koordinattaï baïx ëstoï.
A ba C cägüüdiïn xoorondox zaï n´ |AC| = (0 + 4)2 + (y − 0)2 = 8
baïx ëstoï. Ändääs y = ±4
√
3 gäj oldono. Tägäxäär C(0; 4
√
3) äswäl
C(0; −4
√
3).
Iïmd zöw xariu n´ B µm.
9. Täg bi² sörög toonuudyn ürjwär ba noogdwor n´ äeräg toonuud
baïdag bilää. Iïmd A ba E xariultuud buruu µm. –mar q täg bi²
bodit toony kwadrat äeräg too baïna. Tägäxäär B ba C xariultuud
mön buruu. Xarin sörög toonuudyn niïlbär sörög too baïna. Iïmd
D xariult n´ zöw.
27

10. n toony üxär, m toony taxiataï gäwäl n + m = 120, 4n + 2m = 320
baïx ëstoï. Iïmd n = 40, m = 80 baïna.
11. Kwadrat täg²itgäl xoër ¶lgaataï ¶zguurtaï baïxyn tuld diskrim-
inant n´ äeräg baïx ²aardlagataï. Manaï täg²itgäliïn xuw´d
D = 4(p2
− q) tul D > 0 ⇔ p2
> q. Tägäxäär manaï täg²it-
gäl xoër ¶lgaataï ¶zguurtaï baïx zaïl²güï bögööd xürälcäätäï
nöxcöl bol p2
> q µm.
p2
> q nöxcöl bielj baïxad täg²itgäl x1 = p − p2 − q, x1 =
p + p2 − q gäsän xoër ²iïdtäï.
Xäräw p > 0 bol x2 > 0 baïx n´ ilärxiï. x1 < 0 baïxyn tuld
p < p2 − q buµu q < 0 baïx xärägtäï.
p < 0 bol x1 < 0 baïx n´ ilärxiï. x2 > 0 baïxyn tuld −p <
p2 − q buµu q > 0 baïna. Iïmd näg ²iïd n´ äeräg nögöö ²iïd n´
sörög baïxyn tuld p = 0 äswäl pq < 0 baïx ëstoï µm.
p = 0 gäsän nöxcöl ögögdsön tul täg²itgäl äeräg sörög xoër ²iïdtäï
baïx zaïl²güï bögööd xürälcäätäï nöxcöl n´ p2
> q bolon pq < 0
µm.
12. i-r uutnaas awsan bömbög cänxär öngiïn baïx üzägdliïg Bi, ulaan
öngiïn baïx üzägdliïg Ci, nogoon öngiïn baïx üzägdliïg Di gäe.
i = 1, 2.
Songoj awsan bömbögnüüd ijil öngiïn baïx üzägdliïg A gäe.
A üzägdäl n´ B1 ba B2, äswäl C1 ba C2, äswäl D1 ba D2 üzägdlüüd
zäräg ¶wagdaxad ilärnä. B1B2, C1C2 ba D1D2 üzägdlüüd n´ niïcgüï
üzägdlüüd uqir
P(A) = P(B1B2 + C1C2 + D1D2) = P(B1B2) + P(C1C2) + P(D1D2).
Tüünqlän B1 ba B2, C1 ba C2, D1 ba D2 üzägdlüüd n´ xos xosooroo
ül xamaarax üzägdlüüd tul
P(B1B2) = P(B1)P(B2);
P(C1C2) = P(C1)P(C2);
P(D1D2) = P(D1)P(D2).
28

Iïmd
P(A) = P(B1)P(B2) + P(C1)P(C2) + P(D1)P(D2) =
0.2 · 0.4 + 0.3 · 0.2 + 0.5 · 0.4 = 0.34.
13. Xäräw a > −2
3
bol −a − 1 < a
2
baïna. Änä toxioldold
y =



−3a − 2, x < −a − 1
4x + a + 2, −a − 1 ≤ x < a
2
3a + 2, a
2
≤ x
bolno. Änä funkciïn xamgiïn ix utga n´ 3a + 2.
3a + 2 < 2 ⇒ a < 0. Iïmd −2
3
< a < 0 bol bodlogyn ²aard-
lagyg xangana.
a < −2
3
baïg. Tägwäl a
2
< −a − 1 baïx bögööd
y =



−3a − 2, x < a
2
−4x − a − 2, a
2
≤ x < −a − 1
3a + 2, −a − 1 ≤ x
baïna. Xamgiïn ix utga −3a − 2 n´ 2-oos baga baïxyn tuld −4
3
<
a < −2
3
baïx xärägtäï.
Xäräw a = −2
3
bol y = 0. Iïmd −4
3
< a < 0 bol bodlogyn nöxcliïg
xangana. E xariult zöw µm.
14. x2
− 2x + 1 + y2
= 4 täg²itgäliïg (x − 1)2
+ (y − 0)2
= 22
xälbärt
biqij bolno. Iïmd änä täg²itgäläär todorxoïlogdox toïrgiïn
töw n´ O(1; 0) cäg bögööd radius n´ R = 2
15. x2
+ x − 1 = y orluulga xiïsniï daraa manaï täg²itgäl
1 − y −
√
y = 1
xälbärtäï bolno. Änä täg²itgäl n´ 0 ≤ y ≤ 1 zawsart todorx-
oïlogdono.
√
1 − y =
√
y + 1 xälbärt biqij baïgaad xoër talyg n´
kwadrat zärägt däw²üülääd ämxätgäwäl
√
y = −y
29

täg²itgäld ²iljinä. y ≥ 0 baïx ëstoï gädgiïg sanawal täg²itgäl
zöwxön y = 0 gäsän ²iïdtäï.
x2
+ x − 1 = 0
täg²itgäliïg bodwol x1 = −1−
√
5
2
ba x2 = −1+
√
5
2
²iïdüüd oldono.
16.
cos4
α + sin2
α + sin2
α cos2
α =
cos2
α(cos2
α + sin2
α) + sin2
α = cos2
α + sin2
α = 1.
17. Äxlääd y = x3
− 6x2
+ 1 funkciïn ulamjlalyg ol³ë.
y = 3x2
− 12x bolno.
Odoo ulamjlalyn tägtäï täncüü baïx cägüüdiïg ol³ë.
3x2
− 12x = 0 täg²itgäliïg bodwol x1 = 0 ba x2 = 4 gäsän cägüüd
oldono.
(−∞; 0) zawsart y = 3x2
− 12x = 3x(x − 4) funkc äeräg utgataï
uqir y = x3
− 6x2
+ 1 funkc ösöx funkc baïna.
(0; 4) zawsart y = 3x2
− 12x = 3x(x − 4) funkc sörög utgataï uqir
y = x3
− 6x2
+ 1 funkc buurax funkc baïna.
(4; +∞) zawsart y = 3x2
− 12x = 3x(x − 4) funkc äeräg utgataï
uqir y = x3
− 6x2
+ 1 funkc ösöx funkc baïna.
Iïmd x1 = 0 cäg n´ maksimumyn cäg, x2 = 4 cäg n´ minimumyn cäg
µm.
[−1; 2] zawsart funkc minimum cäggüï uqir xamgiïn baga utgaa
xärqmiïn tögsgölüüdiïn al´ näg däär awax ëstoï.
y(−1) = −6, y(2) = −15 baïna. Iïmd y = x3
− 6x2
+ 1 funkciïn
[−1; 2] xärqim däärx xamgiïn baga utga n´ −15.
18. 30-d xuwaagdax xamgiïn baga dörwön orontoï too 1020, xamgiïn ix
dörwön orontoï too 9990 baïna. Äxniï gi²üün n´ a1 = 1020, ¶l-
gawar n´ d = 30 baïx arifmetik progressyn erönxiï gi²üüniï
tom³ëo n´ an = 990 + 30n baïna. 9990 n´ änä progressyn 300-r
30

gi²üün bolno. Iïmd 30-d xuwaagdax büx dörwön orontoï toonuu-
dyn niïlbär n´ änä progressyn äxniï 300 gi²üüniï niïlbärtäï
täncüü. Tägäxäär
S300 =
1020 + 9990
2
· 300 = 1651500.
19. x2
n+1 = xn+2 baïna. Daraalal niïlnä gädgiïg mädäj baïgaa uqraas
täncätgäliïn xoër tald x¶zgaart ²iljij bolno. x = lim
n→∞
xn gäe.
Tägwäl x2
= x + 2 täncätgäl bieläx ëstoï. x2
− x − 2 = 0 täg²it-
gäl n´ −1 ba 2 gäsän xoër ²iïdtäï. Manaï daraallyn gi²üüd
2 dugaaraasaa äxlääd bügd sörög bi² uqir sörög bi² x¶zgaartaï
baïx ëstoï. Iïmd lim
n→∞
xn = 2.
20.
logy x − logx y3
= 2
6x + y = 7
täg²itgälüüdiïn sistemiïg bod³ë.
Täg²itgälüüdiïn sistem utgataï baïxyn tuld x > 0, y > 0 ba
x = 1, y = 1 baïx ëstoï.
logy x = t gäe. Tägwäl nägdügäär täg²itgäl
t −
3
t
= 2
xälbärtäï bolno. Änä täg²itgäl n´ t2
−2t−3 = 0 kwadrat täg²it-
gältäï än qacuu bögööd kwadrat täg²itgäl n´ t = −1 ba t = 3 gäsän
xoër ²iïdtäï.
Xäräw t = −1 bol logy x = −1 bolox ba änä n´ x = y−1
gäsän üg µm.
Xoërdugaar täg²itgäld orluulbal
6
y
+ y = 7
bolno. Änä täg²itgäl n´ y1 = 1 ba y2 = 6 ²iïdüüdtäï. Ädgäärääs
y = 1 n´ manaï sistemiïn ²aardlagyg xangaxgüï. Iïmd y = 6; x =
1
6
n´ manaï sistemiïn ²iïd bolno.
t = 3 bol logy x = 3 buµu x = y3
bolno. Xoërdugaar täg²itgäld
orluulbal
6y3
+ y = 7
31

täg²itgäl garna. Kub täg²itgäl n´ y = 1 ²iïdtäï n´ ilärxiï
xaragdaj baïna. 6y3
+ y − 7 olon gi²üüntiïg y − 1-d xuwaawal
(6y3
+ y − 7)(y − 1) = 6y2
+ 6y + 7 bolox ba 6y2
+ 6y + 7 n´ bodit
¶zguurgüï.
Tägäxäär x = 1
6
; y = 6 n´ sistemiïn coryn ganc ²iïd µm.
21. cos x + cos 2x = cos x + 2 cos2
x − 1 bilää. Tägäxäär xäräw cos x = t,
f(t) = 2t2
+ t − 1 gäwäl y = cos x + cos 2x funkciïn utgyn mujiïg
olox bodlogo n´ f[−1; 1] = {y ∈ R : y = f(t), t ∈ [−1; 1]} olonlogiïg
olox bodlogod ²iljinä.
f (t) = 4t+1 uqir t0 = −1
4
n´ minimumyn cäg bolno. f(t) = 2t2
+t−1
funkc [−1; 1] xärqim däär xamgiïn baga utgaa t0 = −1
4
cäg däär awax
bögööd xamgiïn baga utga n´ f −1
4
= −9
8
.
Xamgiïn ix utgaa [−1; 1] xärqmiïn tögsgöliïn cägüüdiïn al´ näg
däär awax ëstoï. f(−1) = 0, f(1) = 2 baïna. Tägäxäär f(t) =
2t2
+ t − 1 funkciïn [−1; 1] xärqim däärx xamgiïn ix utga n´ 2.
Iïnxüü y = cos x + cos 2x funkciïn utgyn muj n´ −9
8
; 2 xärqim
baïna.
22. Konusyn öndriïg h, suuriïn duguïn talbaïg S gäwäl äzläxüün n´
V = 1
3
hS.
’uluun konus uqir bagtsan bömbörcgiïn töw n´ konusyn öndör
däär or²ino. Tägäxäär konusyn öndör h = m + r.
Odoo suuriïn duguïn radiusyg olox zorilgo taw´¶. Üüniï tuld
konusyn oroï ba suuriïn duguïn al´ näg diametriïg daïruulan
ogtol³ë. Konusyn oroïg C, bömbörcgiïn töwiïg O, öndriïn su-
ur´ buµu suuriïn duguïn töwiïg H, diametriïn üzüürüüdiïg A
ba B gäj tämdägläe. ABC n´ adil xajuut gurwaljin bolno. O
cägääs CB tald buulgasan öndriïn suuriïg D, ∠OCD öncgiïg γ
gäe. OCD n´ täg² öncögt gurwaljin bolox ba ögögdsön ësoor OC
gipotenuzyn urt m, OD katetyn urt r. Iïmd sin γ = |OD|
|OC|
= r
m
.
HCB n´ mön täg² öncögt gurwaljin µm. HB katet n´ suuriïn
duguïn radius bolox bögööd urtyg n´ R gäj tämdägläe.
R = |CH| tan γ = (m + r) tan arcsin
r
m
= r
m + r
m − r
.
32

Iïnxüü bid konusyn äzläxüüniïg toocooloxod ²aardlagataï mädääl-
lüüdää olj awlaa. Tägäxäär
V =
1
3
hS =
1
3
πR2
h =
π
3
(m + r) · r2 m + r
m − r
=
πr2
(m + r)2
3(m − r)
.
1.
4x4
+ 3x3
− 14x2
+ 3x + 4 = 0
täg²itgäliïn xoër talyg x2
-d xuwaagaad bülägläwäl
4x2
+
4
x2
+ 8 + 3 x +
1
x
− 22 = 0
täg²itgäl garna.
Änä täg²itgäld y = x + 1
x
orluulga xiïwäl
4y2
+ 3y − 22 = 0
täg²itgäl garna. Änä täg²itgäl n´
y12 =
−3 ± 19
8
buµu y1 = −11
4
, y2 = 2 gäsän xoër ²iïdtäï. Iïmd anxny täg²itgäl
x1 = 1 ba
x23 =
−11 ±
√
57
8
gäsän gurwan ²iïdtäï.
2. A(−4, 0), B(0; 3), C(0; 0) bol
(a) (x; y) n´
−→
AB(4; 3) wektor qiglüülägq n´ bolox C(0; 0) cägiïg
daïrsan ²uluuny duryn cäg bol
x − 0
4 − 0
=
y − 0
3 − 0
baïx ëstoï. Iïmd A ba B cägüüdiïg daïrsan ²uluuntaï par-
allel´ C cägiïg daïrsan ²uluuny täg²itgäl
y =
3
4
x.
33

(b) ABCD dörwön öncögt n´ AB CD baïx trapec tul D cäg
n´ y = 3
4
x ²uluun däär baïx ëstoï. Ööröör xälbäl D x; 3
4
x
baïna.
ABCD dörwön öncögt toïrog bagtaax garcaagüï bögööd xüräl-
cäätäï nöxcöl n´ tüüniï äsräg or²ix taluudyn urtuudyn
niïlbärüüd xoorondoo täncüü
|AB| + |CD| = |BC| + |AD| (∗)
baïx ¶wdal bilää.
Bodlogod ögögdsön ësoor |AB| = 5, |BC| = 3. Tüünqlän
|CD| = x2 +
9x2
16
=
5
4
|x|,
|AD| = (x + 4)2 +
9x2
16
=
16(x + 4)2 + 9x2
4
.
baïna. Ädgääriïg (*) täncätgäld orluulbal
8 + 5|x| = 16(x + 4)2 + 9x2
täg²itgäl garna. Täg²itgäliïn xoër talyg kwadrat zärägt
däw²üülääd ämxätgäwäl
80|x| − 128x = 192
bolno. Änä täg²itgäl n´ x = −12
13
gäsän ganc ²iïdtäï. Tägäxäär
D −
12
13
; −
9
13
koordinatuudtaï baïna.
(c) Änä toxioldold ABCD trapeciïn CD talyn urt |CD| = 15
13
baïx ba öndör n´ h = 12
5
baïna. Iïmd manaï trapecyn talbaï
S =
|AB| + |CD|
2
h =
192
13
= 15 −
3
13
baïna.
34

3. Sanamsargüï songoj awsan xuwcas gologdol baïx üzägdliïg A, songoj
awsan xuwcas I, II, III oëdolqin oëson baïx üzägdlüüdiïg xargalzan
H1, H2, H3 gäe. Bodlogyn nöxcöl ësoor
P(H1) = 0, 30, P(H2) = 0, 25, P(H3) = 0, 45;
P(A|H1) = 0, 02, P(A|H2) = 0, 01, P(A|H3) = 0, 03
baïna. Bütän magadlalyn tom³ëo ësoor
P(A) = P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2) + P(H3)P(A|H3) = 0, 022.
Songoj awsan xuwcas gologdol bol I, II, III oëdolqin oëson baïx
magadlal n´ xargalzan P(H1|A), P(H2|A) ba P(H3|A). Baïesyn
tom³ëo ësoor
P(H1|A) =
P(H1)P(A|H1)
P(A)
=
0.3 · 0.02
0.022
= 0.(27),
P(H2|A) =
P(H2)P(A|H2)
P(A)
=
0.25 · 0.01
0.022
= 0.11(36),
P(H3|A) =
P(H3)P(A|H3)
P(A)
=
0.45 · 0.03
0.022
= 0.61(36).
4. (a) y = x5
ba y = 1
x
muruïnuud (0; +∞) zawsart A(1; 1) cägäär
ogtlolcono.
(b) Xäräw y = f(x) funkc x = x0 cäg däär differencialqlagddag
bol ug funkciïn grafik bolox muruï n´ (x0, f(x0)) cäg däärää
²ürgägq ²uluuntaï baïx bögööd tär n´
y − f(x0) = f (x0)(x − x0)
täg²itgältäï baïdag gädgiïg bid mädnä.
y = x5
funkciïn ulamjlal n´ y = 5x4
. Iïmd y = x5
täg²it-
gältäï muruïn A(1; 1) cägt tatsan ²ürgägq n´
y = 5x − 4
35

(c) Mön y = 1
x
funkciïn ulamjlal y = − 1
x2 . Tägäxäär y = 1
x
täg²itgältäï muruïn A cägt tatsan ²ürgägq n´
y = −x + 2
(d) Xawtgaïd k1 ba k2 öncgiïn koäfficientuudtaï ²uluunuudyn
xoorondox öncgiïg α gäwäl tangens n´
tan α =
k1 − k2
1 + k1k2
baïdag bilää. Tägäxäär k1 = −1, k2 = 5 öncgiïn koäfficien-
tuudtaï ²ürgägq ²uluunuud n´ xoorondoo
α = arctan
3
2
36

Mathtest2

Recommended

Recommended

More Related Content

More from Б. Нямгэрэл

More from Б. Нямгэрэл (11)

Mathtest2