1. Presentación de una novedad
D E R IV A D A P U N T U A L
Y
F U N C IO N A L
Título
P r o f. N ic o lá s T r ía s
C .E .T .P

2. In tro d u c c ió n
Objetivo a largo plazo
H a s t a e l m o m e n t o , d e u n a f u n c ió n e x p r e s a d a
a lg e b r a ic a m n t e , y = f ( ) , p o d e m
 Exponga ele objetivox previstoo s c o n o c e r :
 D o m in io
 C o r t e s d e la g r á f ic a c o n e l e je X y e je Y
 C o n t in u id a d
 A s í n t o t a s y r a m a s p a r a b ó lic a s
P e r o e n c a m b io la f ó r m u la e s p o c o ú t il c u a n d o q u ie r o
c o n o c e r:
 In t e r v a lo s d e c r e c im ie n t o / d e c r e c im ie n t o
 M á x im o s y m í n im o s r e la t iv o s
P a r a e s t o s d o s p u n t o s e s n e c e s a r io e l e s t u d io d e L A S
D E R IV A D A S

3. L a im p o r ta n c ia d e l s ig n o d e la s
t a n g e Deseos de los clientes
n te s
 L a c la v e p a r a e l


Presente e l a sdeseos de los clientes
e s t u d i o d los d o s
Expliquee los srequisitos
co sas q u n o
p ro p o n em o s
( m á x im o s
m ín im o s , e
in te r v a lo s d e
c r e c im ie n t o y
d e c r e c im ie n to ) s o n
la s r e c ta s ta n g e n te s :

4. L a im p o r ta n c ia d e l s ig n o d e la s
Satisfacción de los deseos de los
ta n g e n te s
clientes
• E n lo s p u n to s d e
 Explique m í n i m o , l a
m á x i m o o las características principales del
productoe n t e e s
re c ta ta n g
 Relacione elase características de los
h o r iz o n ta l ( s d c ir , la
p e n d ie n te e 0 )
productoss con los deseos de los clientes
• E n lo s tr a m o s d e
c r e c im ie n to la r e c ta
ta n g e n te tie n e
p e n d ie n te p o s itiv a , e n
lo s d e d e c r e c im ie n to la
tie n e n e g a tiv a .

5. Análisis de costes
 L la m a m o s d e r iv a d a d e
Señale ilan ventajaa financiera para el cliente
la fu n c ó f e n x = a la
Realicen una ecomparación precio/calidad
p e n d ie t e d la r e c t a
ta n e te a la g r á fic a
con gla ncompetencia
d e f e n el p u n to d e
a b s c is a a
 L a d e r iv a d a d e la
fu n c ió n f e n a s e
f ’( - 4 , 5 ) = - 3 / 2 p o r q u e l a t a n g e n t e e n
d e n o t a c o n e l s í m b o l o e l p u n to d e a b s c isa 4 ,5 tie n e
p e n d ie n te -3 /2 .
f ’( a ) , q u e s e le e “ f
p rim a d e a ”
f ´(4 )= 0
f ´(-2 )= 0


f ´ ( 2 ) = 1,2
f ´ ( 6 ) = -1,3

6. IN T E R P R E T A C IÓ N G E O M É T R IC A
D E L A D E R IV A D A
Ventajas

Resuma las características y ventajas de
Slasf (novedades npresentadas
e a x ) u n a fu n c ió
y “ t ” la r e c ta s e c a n te
a f(x ) e n lo s p u n to s
P = ( x , f(x ) ) y
Q = (x + h , f(x + h )),
r e s p e c tiv a m e n te .

7. P e n d ie n te d e la r e c ta ta n g e n te a u n
g r á f i c o Próximos pasos

Explique el resto de las acciones
Lnecesarias
a ra zó n
r e p r e s e n ta a la p e n d ie n te d e
la r e c ta s e c a n te q u e p a s a p o r
P y Q .
A m e d id a q u e h tie n d e a
c e ro , e l p u n to Q s e a p ro x im a
c a d a v e z m á s a P , p o r lo
ta n to la r e c ta s e c a n te e s tá
m á s p ró x im o a s e r re c ta
ta n g e n te .

8. P e n d ie n te d e la r e c ta ta n g e n te a u n
g r á fic o
 E n to n c e s c u a n d o h  0 la p e n d ie n te d e la
r e c ta s e c a n te s e tr a n s fo r m a e n p e n d ie n te
d e la r e c ta ta n g e n te e n e l p u n to P .
 L u e g o la p e n d ie n te d e la r e c ta ta n g e n te
v ie n e d a d a p o r :
m t=

9. D E F IN IC IÓ N

10. N O T A C IO N E S
 O tra s n o ta c io n e s c o m u n e s p a ra la d e riv a d a
d e la fu n c ió n f(x ) s o n :

11. E JE R C IC IO S
E n c u e n tre :
1 . L a d e riv a d a d e f(x ) = x 3 + 2 x
2 . L a p e n d ie n te d e la r e c ta ta n g e n te a la c u r v a e n e l
p u n to P = (1 , 3 )
3 . L a e c u a c ió n d e la r e c ta ta n g e n te a la c u r v a e n P

12. R E G L A S D E D E R IV A C IÓ N

13. R e g la s d e d e riv a c ió n
 D e r iv a d a d e la s u m a d e f u n c io n e s :
(f + g )´ (x ) = f´(x ) + g ´(x )
 D e r iv a d a d e la d if e r e n c ia d e f u n c io n e s
(f - g )´ (x ) = f´(x ) - g ´(x )
 D e r iv a d a d e l p r o d u c t o d e f u n c io n e s
(f.g )´(x ) = f´(x ).g (x ) + f(x ).g ´(x )

14. R e g la s d e d e riv a c ió n
 D e r iv a d a d e l c o c ie n te d e fu n c io n e s
f ( x ) ´ f ´ ( x ) .g ( x ) – f( x ) .g ´ ( x )
=
g (x )
( g (x ) ) 2

15. E JE R C IC IO
 D e r iv e la s ig u ie n te fu n c ió n :

16. REGLA D E LA CAD EN A
S e r e fie r e a la d e r iv a d a d e fu n c io n e s
c o m p u e sta s.
D a d a la fu n c ió n fog = f( g ( x ) ) , la r e g la
e s t a b le c e q u e :
( f o g ) ´ = (f( g ( x )) ) ´ = f´ ( g ( x ) ) .g ´ ( x ) .x ´

17. E JE M P L O
Sea y = 4u3 ; u = 5x2+ 4,
e n to n c e s la fu n c ió n
c o m p u e s ta v ie n e d a d a p o r y =
f(g (x )),
L a d e r iv a d a d e y c o n re s p e c to
a u v ie n e d a d a p o r:
= 12 u2
L a d e riv a d a d e u c o n re sp e c to
a x v ie n e d a d a p o r :
= 10 x

18. D E R IV A D A S D E O R D E N
S U P E R IO R
S e a y = f( x ) u n a fu n c ió n , s i s u d e r iv a d a
e x is te , s e d e n o ta p o r f ´ ( x ) . S i f ´ ( x ) e s
u n a fu n c ió n e n to n c e s s i la d e r iv a d a
e x is t e , s e d e n o t a p o r f ´ ´ ( x ) , la c u a l s e
lla m a s e g u n d a d e r iv a d a o d e r iv a d a
s e g u n d a d e la fu n c ió n f( x )
E n g e n e r a l la n - é s im a d e r iv a d a d e u n a
fu n c ió n v ie n e d a d a p o r f n (x ).

19. E JE M P L O
E n c u e n tr e la te r c e r a d e r iv a d a d e

20. C R E C IM IE N T O Y D E C R E C IM IE N T O D E
U N A F U N C IÓ N
 E n q u e in te r v a lo s la fu n c ió n c re c e y / o d e c r e c e .

21. F U N C IÓ N C R E C IE N T E
 U n a fu n c ió n f d e fin id a e n a lg ú n
in te r v a lo s e d ic e q u e e s c r e c ie n te e n
d ic h o in t e r v a lo s i s o lo s i:
f ( x 1) < f ( x 2 ) s i e m p r e q u e x 1< x 2

22. F U N C IÓ N D E C R E C IE N T E
U n a fu n c ió n f d e fin id a e n a lg ú n
in te r v a lo s e d ic e q u e e s d e c r e c ie n te e n
d ic h o in t e r v a lo s i s o lo s i:
f ( x 1) > f ( x 2 ) s i e m p r e q u e x 1< x 2

23. TEO REM A
S e a f u n a f u n c ió n c o n tin u a e n [ a ,b ] y d e r iv a b le e n u n
in te r v a lo (a ,b ) s e tie n e q u e :

24. M A X IM O S Y M IN IM O S
R E L A T IV O S

25. V A L O R M A X IM O R E L A T IV O
 S e d ic e q u e f tie n e u n m á x im o r e la t iv o e n u n
p u n to c s i p e r te n e c e a l in te r v a lo (a , b ) ta l q u e

26. V A L O R M IN IM O R E L A T IV O
 S e d ic e q u e f tie n e u n m ín im o r e la tiv o e n u n p u n to
c , s i c p e rte n e c e a l in te r v a lo (a , b ) ta l q u e :

27. P U N T O S C R IT IC O S
S i la fu n c ió n f e s t á d e fin id a e n u n
p u n t o c , s e d ir á q u e c e s u n n ú m e r o
c r it ic o d e la fu n c ió n f s i
f ´ (c ) = 0 o s i f ´ n o e s t á d e fin id a e n c .

28. O B SE R V A C IÓ N
S i u n a fu n c ió n t ie n e u n v a lo r
m á x im o r e la t iv o o u n v a lo r m ín im o
r e la t iv o e n c , s e d ic e e n t o n c e s q u e la
fu n c ió n t ie n e u n e x t r e m o r e la t iv o
en c

29. TEO REM A
L o s e x tr e m o s r e la tiv o s s o lo
o c u r r e n e n lo s p u n to s c r ít ic o s .

30. F IN