12. /D SUHVLyQ HMHUFLGD D XQD SURIXQGLGDG FXDOTXLHUD VH REWHQGUi FRQ OD HFXDFLyQ
JHQHUDO GH OD KLGURVWiWLFD (O GLIHUHQFLDO GH IXHU]D HMHUFLGR VREUH XQ HOHPHQWR
GH iUHD GLIHUHQFLD G % TXH HVWi ORFDOL]DGR D XQD SURIXQGLGDG GHSHQGHUi GH
GLFKD SUHVLyQ /D IXHU]D WRWDO R UHVXOWDQWH )5 VREUH OD VXSHUILFLH VHUi OD
VXPDWRULD GH WRGRV ORV GLIHUHQFLDOHV
*p yγ= dF yBdyγ=
0
h
RF B ydyγ= ∫
2
0
2
h
R
y
F Bγ=
2
2
R
h
F Bγ=
2 2
R
h h
F Bh Aγ γ= =
(O SXQWR GH DSOLFDFLyQ GH OD IXHU]D HV HO FHQWURLGH GHO WULiQJXOR GH SUHVLyQ
ORFDOL]DGR D K GHVGH OD EDVH )LJXUD
'H IRUPD PiV JHQHUDO VL VH WLHQH XQ VXSHUILFLH SODQD LQFOLQDGD SURIXQGD
VRSRUWDQGR XQ IOXLGR FRQ SHVR HVSHFtILFR γγγγ FRQVWDQWH FRQVLGHUDQGR XQ HMH
FRLQFLGLHQGR FRQ OD LQFOLQDFLyQ GH OD VXSHUILFLH SODQD FRQ RULJHQ HQ OD
VXSHUILFLH GHO OtTXLGR
)LJXUD )XHU]D VREUH XQD VXSHUILFLH SODQD LQFOLQDGD VXPHUJLGD
5HDOL]DQGR XQD DQiOLVLV VLPLODU DO GH OD VXSHUILFLH SODQD YHUWLFDO FRQVLGHUDQGR
TXH *h y senθ=
13. * * *p h y senγ γ θ= = * * *dF y sen dAγ θ=
0
A
RF sen ydAγ θ= ∫
GRQGH
0
A
CydA y A=∫ VLHQGR & OD ORFDOL]DFLyQ GHO FHQWURLGH GH OD VHFFLyQ
WUDQVYHUVDO GH OD VXSHUILFLH SODQD PHGLGR HQ HO HMH LQFOLQDGR
R CF y sen Aγ θ= Î R CF h Aγ= Î R CF p A=
(VWR VLJQLILFD TXH OD IXHU]D WRWDO VH SXHGH REWHQHU FRPR HO SURGXFWR GH OD
SUHVLyQ HMHUFLGD HQ HO FHQWURLGH HO iUHD GH OD VHFFLyQ WUDQVYHUVDO HQ FRQWDFWR
FRQ HO IOXLGR
6LHQGR HVWi OD H[SUHVLyQ JHQHUDO SDUD FDOFXODU OD IXHU]D VREUH OD VXSHUILFLH
SODQD (Q HO FDVR SDUWLFXODU GH OD VXSHUILFLH SODQD YHUWLFDO K& K HO iUHD
$ % K
2 2
R
h h
F A Bhγ γ= =
2
2
R
h
F Bγ= LGpQWLFD D OD H[SUHVLyQ SUHVHQWDGD
DQWHULRUPHQWH
3DUD OD ORFDOL]DFLyQ 3 GH OD IXHU]D WRWDO )5 VH LJXDOD HO PRPHQWR UHVSHFWR DO
RULJHQ VXSHUILFLH OLEUH GH OD IXHU]D UHVXOWDQWH FRQ OD UHVXOWDQWH GHO PRPHQWR
GH OD IXHU]D GLVWULEXLGD VREUH OD VXSHUILFLH
2
0 0
* *
A A
R PF y sen ydA y sen y dAγ θ γ θ= =∫ ∫
GRQGH 2
0
A
xxy dA I=∫ VLHQGR HVWH HO VHJXQGR PRPHQWR GH iUHD R PRPHQWR GH
LQHUFLD GH OD SODFD UHVSHFWR DO HMH [ 3DUD UHIHULUORV D XQ HMH FHQWURLGDO ξξ VH
XWLOL]D HO 7HRUHPD GH 6WHLQHU TXH DILUPD ORV PRPHQWRV GH LQHUFLD FRQ UHVSHFWR
D ORV HMHV SDUDOHORV VH SXHGHQ REWHQHU DO VXPDU OD GLVWDQFLD FXDGUDGD HQWUH ORV
HMHV PXOWLSOLFDGD SRU HO iUHD DVt
2
*xx CI I y Aξξ= +
5HHPSOD]DQGR VH REWLHQH
*R P xxF y sen Iγ θ γ= ⇒ *Cy senθ * * PA y γ= senθ ( )2
*CI y Aξξ +
2
2
*
* *
C
C P C P P C
C C
I y A I
y A y I y A y y y
y A y A
ξξ ξξ
ξξ
+
= + ⇒ = ⇒ = +
14. /D ORFDOL]DFLyQ GH OD IXHU]D UHVXOWDQWH VH FRQRFH FRPR FHQWUR GH SUHVLRQHV S
VLHPSUH HVWi ORFDOL]DGR SRU GHEDMR GHO FHQWURLGH
)8(5=$6 62%5( 683(5),&,(6 &859$6 680(5*,'$6
6XSRQLHQGR XQ OtTXLGR DO LQWHULRU GHO WDQTXH )LJXUD SDUD GHWHUPLQDU OD
IXHU]D WRWDO UHVXOWDQWH VREUH OD VXSHUILFLH FXUYD VH GHEH REWHQHU ODV
FRPSRQHQWHV KRUL]RQWDO YHUWLFDO
6HSDUDQGR HO OtTXLGR FRQWHQLGR HQWUH OD VXSHUILFLH FXUYD VHQGRV SODQRV
KRUL]RQWDOHV YHUWLFDOHV VH WLHQH HO GLDJUDPD GH FXHUSR OLEUH $%& GH OD )LJXUD
ODV IXHU]DV DFWXDQWHV VHUtDQ
• ) IXHU]D GH SUHVLyQ GHELGD DO IOXLGR VREUH OD VXSHUILFLH $%
• ) IXHU]D KLGURVWiWLFD GHELGR DO IOXLGR VREUH OD VXSHUILFLH $&
• )+ 5HDFFLyQ KRUL]RQWDO GH OD VXSHUILFLH FXUYD VREUH HO IOXLGR
• )9 5HDFFLyQ YHUWLFDO GH OD VXSHUILFLH FXUYD VREUH HO IOXLGR
• : SHVR GHO IOXLGR FRQVLGHUDGR
3RU DFFLyQ UHDFFLyQ OD IXHU]D TXH HO IOXLGR HMHUFH VREUH OD VXSHUILFLH FXUYD
VHUtD OD PLVPD SHUR HQ PDJQLWXG FRQWUDULD TXH OD IXHU]D HMHUFLGD SRU OD
VXSHUILFLH FXUYD VREUH HO IOXLGR /D IXHU]D WRWDO GHO IOXLGR VREUH OD VXSHUILFLH
FXUYD VHUi OD UHVXOWDQWH GH ODV FRPSRQHQWHV KRUL]RQWDOHV YHUWLFDOHV REWHQLGDV
HQ HO GLDJUDPD GH FXHUSR OLEUH
)LJXUD )XHU]D VREUH XQD VXSHUILFLH FXUYD VXPHUJLGD
15. 3XHVWR TXH HO IOXLGR HVWi HQ UHSRVR VH WLHQH TXH F ma=∑
JG G
(TXLOLEULR GH IXHU]DV HQ GLUHFFLyQ [ KRUL]RQWDO
2 20 0x x H HF ma F F F F= = − = ⇒ =∑
(TXLOLEULR GH IXHU]DV HQ GLUHFFLyQ YHUWLFDO
1 10 0y y V VF ma F F W F F W= = − − = = +∑
/D IXHU]D WRWDO VHUi 2 2
T H VF F F= +
&RPR HO IOXLGR QR DFHSWD HVIXHU]RV FRUWDQWHV OD ORFDOL]DFLyQ GHO )+ GHEH VHU
FROLQHDO FRQ ) )9 GHEH VHU FROLQHDO FRQ OD UHVXOWDQWH GH ) : (VWR VH
REWLHQH FXDQGR OD VXPDWRULD GH PRPHQWRV UHVSHFWR D FXDOTXLHU SXQWR GHO
VLVWHPD HV QXOD
2WUD IRUPD PiV VLPSOH GH FDOFXODU OD FRPSRQHQWH YHUWLFDO GH OD IXHU]D VREUH OD
VXSHUILFLH FXUYD HV FRQVLGHUDQGR HO VLJQLILFDGR ItVLFR GHO UHVXOWDGR REWHQLGR FRQ
DQWHULRULGDG
) HV OD IXHU]D GHELGD D OD SUHVLyQ KLGURVWiWLFD SRU OD FROXPQD GH IOXLGR KDVWD OD
VXSHUILFLH $% 1 AB AB AB AB EncimaAB EncimaABF P A h A Wγ γ= = = ∀ = HV GHFLU HO SHVR GHO
IOXLGR KDVWD OD VXSHUILFLH $% DVt OD IXHU]D YHUWLFDO VHUi HO WRWDO GHO SHVR GHO
IOXLGR TXH HVWi SRU HQFLPD GH OD VXSHUILFLH FXUYD /D UHVXOWDQWH YHUWLFDO HVWDUi
ORFDOL]DGD HQ HO FHQWURLGH GH OD ILJXUD TXH VH IRUPD HQFLPD GH OD VXSHUILFLH
FXUYD
)LJXUD )XHU]D YHUWLFDO VREUH XQD VXSHUILFLH FXUYD VXPHUJLGD &DVR
6L HO IOXLGR VH HQFXHQWUD GHEDMR GH OD VXSHUILFLH FXUYD &% HO DQiOLVLV GH FXHUSR
OLEUH HV VLPLODU DO FDVR DQWHULRU OD IXHU]D YHUWLFDO UHVXOWDQWH VHUi HO SHVR
HTXLYDOHQWH GH IOXLGR TXH HVWDUtD SRU HQFLPD GH OD VXSHUILFLH &%
16. )LJXUD )XHU]D YHUWLFDO VREUH XQD VXSHUILFLH FXUYD VXPHUJLGD &DVR
(678',2 '( )8(5=$6 62%5( 81$ 35(6$
(Q HO DQiOLVLV GH HVWDELOLGDG GH SUHVDV VH UHTXLHUH JDUDQWL]DU TXH ORV HVIXHU]RV
Pi[LPRV PtQLPRV HQ OD EDVH GH OD SUHVD VHDQ GH FRPSUHVLyQ SDUD TXH WRGD
OD EDVH GH OD SUHVD HVWp VRSRUWDQGR ORV HVIXHU]R 3DUD HOOR VH GHEH JDUDQWL]DU
TXH OD IXHU]D UHVXOWDQWH HQ OD EDVH GH OD SUHVD HVWH ORFDOL]DGD HQ HO WHUFLR PHGLR
GH OD SUHVD
(O FKHTXHR GH HVWDELOLGDG GH SUHVDV VH GHEH YHULILFDU SDUD FRQGLFLRQHV GH
HPEDOVH OOHQR HPEDOVH YDFtR DQDOL]DU OD VLWXDFLyQ PiV GHVIDYRUDEOH
(Q FRQGLFLRQHV GH HTXLOLEULR HVWiWLFR VH GHEH YHULILFDU TXH OD SUHVD QR SUHVHQWH
URWDFLyQ R YROFDPLHQWR DOUHGHGRU GH QLQJXQR GH VXV HMHV (VWR VLJQLILFD TXH ORV
PRPHQWRV SURGXFLGRV SRU ODV IXHU]DV TXH LQGXFHQ DO YROFDPLHQWR GH OD SUHVD
ODV IXHU]DV UHVLVWHQWHV HVWpQ HTXLOLEUDGRV 3DUD HVWD YHULILFDFLyQ VH UHTXLHUH
KDFHU XQ DQiOLVLV HVWiWLFR GH ODV IXHU]DV DFWXDQWHV GHWDOODGDV D FRQWLQXDFLyQ
/DV IXHU]DV D FRQVLGHUDU )LJXUD VREUH OD SUHVD VRQ
• )XHU]D +LGURVWiWLFD ) )
• 3HVR :
• 6XESUHVLRQHV )VXE VH SUHVHQWD FXDQGR H[LVWH IOXMR VXEWHUUiQHR GHSHQGH
GH SHUPHDELOLGDG .
• 5HDFFLyQ GHO VXHOR )5 GHEH HVWDU ORFDOL]DGD HQ HO WHUFLR PHGLR GH OD
EDVH SDUD JDUDQWL]DU HVWDELOLGDG
• 6tVPLFDV 2OHDMHV 1R VRQ FRQVLGHUDGDV HQ HO SUHVHQWH DQiOLVLV VLQ
HPEDUJR SDUD XQ HVWXGLR GHWDOODGR VH GHEHQ WHQHU HQ FXHQWD
$ FRQWLQXDFLyQ VH GHWDOOD HO FDOFXOR GH FDGD XQD GH ODV FRPSRQHQWHV GH IXHU]D
VHJ~Q OD )LJXUD
17. H
H/3
d
e/3 h
β
e
b
XFRV
FRV
B
XFsub
Fsub
FRH
F2
a
c
Xw1
Xw2
F1
W2
W1
L
Hγ hγ
γ
γ
)LJXUD )XHU]DV DFWXDQWHV VREUH XQD SUHVD
/D PDJQLWXG ORFDOL]DFLyQ UHVSHFWR DO SXQWR GH URWDFLyQ % GH HVWiV IXHU]DV VH
FDOFXODQ DVt
0DJQLWXG )XHU]DV KLGURVWiWLFDV
2
1
2
H
F Lγ=
2 *
2
h
F e Lγ= ) HV SHUSHQGLFXODU D OD FDUD H[SXHVWD GH OD SUHVD SRU WDO UD]yQ
SDUD HO DQiOLVLV HVWiWLFR VH GHVFRPSRQH HQ [ DVt
2 2 2 2*cos *H VF F F F senβ β= =
/RFDOL]DFLyQ )XHU]DV KLGURVWiWLFDV
• ) ORFDOL]DGD D + GH OD EDVH
• ) ORFDOL]DGD D H GHO SXQWR % GRQGH he
senβ
=
0DJQLWXG ORFDOL]DFLyQ GH ORV GH ORV 3HVRV : GH OD SUHVD GH FRQFUHWR
1 * *cW a d Lγ= ( )2 * *cW b a c Lγ= −
1 2W
aX b= − ( )2
2
3
WX b a= −
18. 0DJQLWXG GH OD 6XESUHVLyQ
( )* *
2
sub
H h
F K l bγ
+
=
/D VXESUHVLyQ HVWi ORFDOL]DGD HQ HO FHQWURLGH GHO SULVPD GH VXESUHVLRQHV TXH
SDUD HO FDVR DQDOL]DGR FRUUHVSRQGH D XQ WUDSHFLR DVt
( )
( )
2
3
sub
H hb
X
H h
+
=
+
GHVGH HO SXQWR %
3DUD GHWHUPLQDU OD UHDFFLyQ GHO VXHOR VH UHDOL]D VXPDWRULD GH IXHU]D
1 2 20 0V sub RV VF W W F F F= ⇒ − − + + − =∑
1 2 2RV sub VF W W F F= + − +
1 20 0H RH H fF F F F F= ⇒ + − − =∑
2 1 0RH H fF F F F= − + =
/D UHVXOWDQWH WRWDO VH VHUi 2 2
RT RH RVF F F= +
3DUD GHWHUPLQDU OD ORFDOL]DFLyQ GH OD IXHU]D UHVXOWDQWH YHUWLFDO YHULILFDU TXH VH
HQFXHQWUH HQ HO WHUFLR PHGLR VH XWLOL]D HO HTXLOLEULR GH PRPHQWRV DOUHGHGRU GH
FXDOTXLHU SXQWR VH VLJXLHUH VH UHDOLFH UHVSHFWR DO SXQWR %
1 1 1 2 2 20 * * * * * * 0
3 3 RVB W W sub sub RV F
H e
M F W X W X F X F F X= ⇒ − + + − + − =∑
1 1 1 2 2 2* * * * *
3 3
RV
W W sub sub
F
RV
H e
F W X W X F X F
X
F
− + + − +
=
9HULILFDFLyQ GH HVIXHU]RV HQ OD IXQGDFLyQ
b
τmax
min
X .FRV
FRV
B
)LJXUD 'LVWULEXFLyQ GH HVIXHU]RV UHVXOWDQWHV VREUH OD EDVH GH OD SUHVD
19. /D IXHU]D UHVXOWDQWH )59 VH GLVWULEXH D OR ODUJR GH OD EDVH GH OD SUHVD
XVXDOPHQWH VH FRQVLGHUD XQD GLVWULEXFLyQ OLQHDO GH OD IXHU]D HQWUH XQ HVIXHU]R
Pi[LPR τPD[ XQ HVIXHU]R PtQLPR τPLQ /D IXHU]D UHVXOWDQWH GH ORV HVIXHU]RV
HV HTXLYDOHQWH D OD IXHU]D UHVXOWDQWH YHUWLFDO HO FHQWURLGH GHO SULVPD GH
HVIXHU]RV GHEH FRLQFLGLU FRQ OD ORFDOL]DFLyQ GH OD IXHU]D UHVXOWDQWH YHUWLFDO $Vt
ODV HFXDFLRQHV UHVXOWDQWHV VHUiQ
min max
*
2
+
=
VR b L
τ τ
min max
min max
2
*
3
+
=
+
RV
b
X b L
τ τ
τ τ
VLHPSUH FXDQGR OD ORFDOL]DFLyQ GH OD IXHU]D HVWp
UHIHULGD DO SXQWR %
(VWH VLVWHPD GH HFXDFLRQHV VH UHVXHOYH SDUD τPD[ XQ HVIXHU]R PtQLPR τPLQ
)DFWRUHV GH VHJXULGDG
)LQDOPHQWH VH GHEH FRQVLGHUDU TXH VH FXPSODQ FLHUWRV IDFWRUHV GH VHJXULGDG
• 6HJXULGDG D YROFDPLHQWR )6 YROFDPLHQWR !
Volcamiento
Momentosestabilizantes
FS
Momentosvolcadores
=
∑
∑
1 1 2 2 2
1
* * *
3
* * *
3 RV
W W
Volcamiento
sub sub RV F
e
W X W X F
FS
H
F F X F X
+ +
=
+ +
• 6HJXULGDG D GHVOL]DPLHQWR )6 GHVOL]DPLHQWR !
V
deslizamiento
H
f F
FS
F
=
∑
∑
1 2
* RV
deslizamiento
H
f F
FS
F F
=
−
GRQGH I HV HO IDFWRU GH IULFFLyQ
)/27$%,/,'$' < (67$%,/,'$'
/D IORWDELOLGDG HV OD WHQGHQFLD GH XQ IOXLGR SDUD HMHUFHU XQD IXHU]D GH DSRR
VREUH XQ FXHUSR FRORFDGR HQ pO
3ULQFLSLR GH $UTXtPHGHV
20. 7DPELpQ FRQRFLGR FRPR /H GH %RDQWH] R (PSXMH LQGLFD TXH XQ FXHUSR
VXPHUJLGR HQ XQ IOXLGR UHFLEH XQ HPSXMH KDFLD DUULED FRQ XQD IXHU]D LJXDO DO
SHVR GHO OtTXLGR GHVSOD]DGR
/H GH )ORWDFLyQ
8Q FXHUSR IORWDQWH GHVSOD]D VX SURSLR SHVR GHO OtTXLGR HQ HO FXDO IORWD
B
C
D
E
V
C
B V D
E
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
FEmpuje
γf
h
A
1
2
1
2
W
W
1
2
p *A
p *A
)LJXUD $QiOLVLV GH IXHU]DV VREUH XQ HOHPHQWR FRPSOHWDPHQWH VXPHUJLGR
3DUD GHWHUPLQDU OD UHDFFLyQ TXH HO IOXLGR HMHUFH VREUH XQ FXHUSR WRWDOPHQWH
VXPHUJLGR YROXPHQ FRQWHQLGR HQWUH %&'( VH VHOHFFLRQDUi XQ YROXPHQ GH
IOXLGR TXH FLUFXQVFULED HO FXHUSR %&'( FRQ DOWXUD K iUHD WUDQVYHUVDO $ (O
DQiOLVLV GHO GLDJUDPD GH FXHUSR OLEUH LQGLFD ODV VLJXLHQWHV IXHU]DV
• 3UHVLyQ KLGURVWiWLFD HQ ODV IURQWHUDV GHO YROXPHQ VHOHFFLRQDGR 1p A
2p A
• 3HVR GHO IOXLGR H[WHULRU DO FXHUSR %&'( 1W 2W
• 5HDFFLyQ GHO FXHUSR VREUH HO IOXLGR TXH SRU DFFLyQ UHDFFLyQ HV OD PLVPD
TXH OD IXHU]D GHO IOXLGR VREUH HO FXHUSR %&'( XVXDOPHQWH GHQRPLQDGD
IXHU]D GH HPSXMH )( /D UHDFFLyQ GHO FXHUSR VREUH HO IOXLGR HV KDFLD
DEDMR SHUR OD IXHU]D GH HPSXMH HMHUFLGD SRU HO IOXLGR VREUH HO FXHUSR HV
HQ GLUHFFLyQ FRQWUDULD HV GHFLU YHUWLFDO KDFLD DUULED
(Q FRQGLFLRQHV GH HTXLOLEULR HVWiWLFR
1 2 1 20 0y RF p A p A W W F= ⇒ − + − − − =∑
21. ( ) ( )2 1 1 2EF p p A W W= − − +
$SOLFDQGR OD GLVWULEXFLyQ KLGURVWDWLFD GH SUHVLRQHV OD GLIHUHQFLD GH SUHVLyQ
HQWUH ORV H[WUHPRV GHO FXHUSR OLEUH HV 2 1 fp p hγ− =
( )1 2E fF hA W Wγ= − +
GRQGH f hAγ HV HO SHVR GHO YROXPHQ FRQWHQLGR HQWUH ODV IURQWHUDV
( )1 2 1 2E E cuerpo f cuerpoF W W W F W γ∀ −= − + ⇒ = = ∀
&RQ XQ DQiOLVLV VLPLODU FXDQGR HO FXHUSR HVWi SDUFLDOPHQWH VXPHUJLGR HV GHFLU
IORWDQGR VH WLHQH
E f desplazadoF γ= ∀
(Q FRQGLFLRQHV GH HTXLOLEULR HVWiWLFR OD IXHU]D GH HPSXMH VHUi LJXDO DO SHVR GHO
FXHUSR /D IXHU]D GH HPSXMH )( DFW~D YHUWLFDO KDFLD DUULED D WUDYpV GHO
FHQWURLGH GHO YROXPHQ GHO FXHUSR R GHO YROXPHQ GHVSOD]DGR VHJ~Q VHD WRWDO R
SDUFLDOPHQWH VXPHUJLGR (O VLWLR GH DSOLFDFLyQ GH OD IXHU]D GH HPSXMH VH
GHQRPLQD FHQWUR GH HPSXMH R FHQWUR GH ERDQWH]
(VWDELOLGDG
6H FRQVLGHUD XQ FXHUSR HQ XQ IOXLGR HVWDEOH VL UHJUHVD D VX SRVLFLyQ RULJLQDO
GHVSXpV GH SUHVHQWDU XQD URWDFLyQ DOUHGHGRU GH XQ HMH KRUL]RQWDO
/D HVWDELOLGDG GHSHQGH GH OD SRVLFLyQ UHODWLYD HQWUH OD ORFDOL]DFLyQ GH OD IXHU]D
GH HPSXMH HO FHQWUR GH JUDYHGDG (V GLIHUHQWH GHSHQGLHQWH VL HO FXHUSR HVWi
727$/0(17( VXPHUJLGR R 3$5&,$/0(17( VXPHUJLGR
(VWDELOLGDG GH FXHUSRV WRWDOPHQWH VXPHUJLGRV
8Q FXHUSR 727$/0(17( VXPHUJLGR HV HVWDEOH VL HO FHQWUR GH JUDYHGDG SXQWR
GH DSOLFDFLyQ GHO SHVR HVWi SRU GHEDMR GHO FHQWUR GH ERDQWH] SXQWR GH
DSOLFDFLyQ GH OD IXHU]D GH HPSXMH YpDVH )LJXUD
22. E
F
W
F
E
W
E
F
E
F
W W
a) Estable. b) Inestable
)LJXUD (VWDELOLGDG GH FXHUSRV FRPSOHWDPHQWH VXPHUJLGRV
/D VLWXDFLyQ D GH OD )LJXUD GRQGH HO FHQWUR GH JUDYHGDG HVWi SRU GHEDMR GHO
FHQWUR GH IORWDFLyQ LQGLFD TXH DQWH XQD URWDFLyQ GHO FXHUSR VH JHQHUDUi XQ
PRPHQWR UHFXSHUDGRU GH OD SRVLFLyQ LQLFLDO (Q HVWH FDVR HO FXHUSR VH SXHGH
FRQVLGHUDU HVWDEOH
3RU HO FRQWUDULR HQ OD VLWXDFLyQ E GH OD )LJXUD HO FHQWUR GH JUDYHGDG VH
HQFXHQWUD SRU HQFLPD GHO FHQWUR GH IORWDFLyQ FXDOTXLHU URWDFLyQ LPSXHVWD
VREUH HO FXHUSR JHQHUDUi XQ SDU R PRPHQWR LQHVWDEOH FRQWLQXDQGR FRQ OD
URWDFLyQ LQLFLDO (Q HVWH FDVR HQ FXHUSR VH FRQVLGHUD LQHVWDEOH
&XDQGR HO FHQWUR GH JUDYHGDG HO FHQWUR GH IORWDFLyQ FRLQFLGHQ HO SHVR OD
IXHU]D GH HPSXMH DFW~DQ D WUDYpV GHO PLVPR SXQWR VL TXH VH SURGX]FD XQ SDU
(Q HVWH FDVR HO FXHUSR WHQGUtD XQD HVWDELOLGDG QHXWUD SHUPDQHFHUtD HQ
FXDOTXLHU RULHQWDFLyQ HQ OD TXH VH FRORTXH UHVSHFWR DO HMH KRUL]RQWDO
(VWDELOLGDG GH FXHUSRV SDUFLDOPHQWH VXPHUJLGRV
3DUD OD HVWDELOLGDG GH FXHUSRV SDUFLDOPHQWH VXPHUJLGRV R IORWDQWHV VH GHEH
DQDOL]DU OD SRVLFLyQ UHODWLYD GHO PHWDFHQWUR 0 FRPR VH LQGLFD D FRQWLQXDFLyQ
23. CE
CG
CE*
M
dV
E
dF
d
E
F
F
E
*
W x x
y
dA
A
Par
Corte transversal Sección en planta
dFE
)LJXUD (VWDELOLGDG GH FXHUSRV FRPSOHWDPHQWH VXPHUJLGRV
0 0HWDFHQWUR LQWHUVHFFLyQ GH OD OtQHD GH DFFLyQ GH *
EF FRQ HO HMH FHQWUDO
GHO FRUWH WUDQVYHUVDO
CG /RFDOL]DFLyQ GHO FHQWUR GH JUDYHGDG SXQWR GH DSOLFDFLyQ GHO SHVR
W 3HVR
CE 3RVLFLyQ GHO FHQWUR GH HPSXMH LQLFLDO HV GHFLU DQWHV GH OD URWDFLyQ
EF )XHU]D GH HPSXMH LQLFLDO DQWHV GH OD URWDFLyQ
*
CE 3RVLFLyQ GHO FHQWUR GH HPSXMH ILQDO HV GHFLU GHVSXpV GH OD URWDFLyQ
*
EF )XHU]D GH HPSXMH ILQDO GHVSXpV GH OD URWDFLyQ
&XDQGR VH SUHVHQWD XQD URWDFLyQ HQ XQ FXHUSR SDUFLDOPHQWH VXPHUJLGR )LJXUD
VH SUHVHQWD XQ GHVSOD]DPLHQWR DGLFLRQDO GH IOXLGR SUHVHQWiQGRVH XQD
IXHU]D GH HPSXMH *
EF HVWi ORFDOL]DGD HQ HO *
CE D XQD GLVWDQFLD δ GHO FHQWUR GH
HPSXMH LQLFLDO
(O GHVSOD]DPLHQWR GH IOXLGR KDFLD HO ODGR L]TXLHUGR RFDVLRQD XQD IXHU]D GH
HPSXMH EdF DO ODGR GHUHFKR SDVD OD VLWXDFLyQ FRQWUDULD HV GHFLU VH GHMD GH
SUHVHQWDU XQD IXHU]D SRU HO YROXPHQ TXH DQWHULRUPHQWH VH GHVSOD]DED HVWR VH
SXHGH UHSUHVHQWDU SRU XQD IXHU]D GH HPSXMH QHJDWLYD EdF− HVWDV GRV IXHU]DV
IRUPDQ XQ PRPHQWR R SDU 3DUD HYDOXDU HO SDU VH WLHQH
2
E
A
dV xd dA dF dV xd dA dPar x xd dA Par d x dAθ γ γ θ γ θ γ θ= ⇒ = = ⇒ = ⇒ = ∫
yyPar d Iγ θ=
/D PDJQLWXG GH OD IXHU]D GH HPSXMH HV OD PLVPD DQWHV GHVSXpV GH OD
URWDFLyQ VLQ HPEDUJR DQWH OD URWDFLyQ VH SUHVHQWD XQ GHVSOD]DPLHQWR GHO
FHQWUR GH HPSXMH /D FRQILJXUDFLyQ LQFOLQDGD GHO VLVWHPD VHUi OD GHELGD D OD
IXHU]D GH HPSXMH ILQDO *
EF XELFDGD HQ *
CE HVWH HIHFWR VHUi FRQVLGHUDGR FRQ HO
24. SDU (O HIHFWR GH *
EF DSOLFDGD HQ *
CE HV HVWiWLFDPHQWH HTXLYDOHQWH D OD IXHU]D
GH HPSXMH LQLFLDO EF DSOLFDGD HQ CE PiV HO SDU /D LQTXLHWXG VHUi FXDO HV OD
GLVWDQFLD δ HQWUH *
CE CE HV GHFLU GHVSOD]DPLHQWR GH OD OtQHD GH DFFLyQ GH OD
IXHU]D GH HPSXMH $O LJXDODU PRPHQWRV UHVSHFWR D XQ HMH SDUDOHOR D TXH
SDVp SRU *
CE
*
*0 * 0
yy
E E
E
d IPar Par
F F Par
F W W
γ θ
δ δ+ − = ⇒ = = =
3RU WULJRQRPHWUtD GHO WULiQJXOR IRUPDGR HQWUH 0 *
CE CE UHHPSOD]DQGR OD
H[SUHVLyQ DQWHULRU VH WLHQH
0
lim 1
*
yy
yy
d
yy yy
d I
I sendWsend MCE
sendMCE send send dW
d
I I
MCE
W Vd
θ
γ θ
γδ δ θ
θ
θθ θ θ
θ
γ
→
= ⇒ = = = ⇒ =
= =
GH GRQGH VH SXHGH REWHQHU OD ORFDOL]DFLyQ GHO PHWDFHQWUR FRPR OD GLVWDQFLD
GHVGH HO FHQWUR GH HPSXMH &RQRFLGD OD SRVLFLyQ GHO PHWDFHQWUR VH SXHGH
FDOFXODU OD DOWXUD PHWDFpQWULFD 0* TXH HV OD GLVWDQFLD HQWUH HO PHWDFHQWUR 0
HO FHQWUR GH JUDYHGDG &* DVt
lMCEMG −=
'RQGH 0&( HV OD GLVWDQFLD HQWUH HO PHWDFHQWUR HO FHQWUR GH HPSXMH l HV OD
GLVWDQFLD HQWUH HO FHQWUR GH HPSXMH &( HO FHQWUR GH JUDYHGDG &*
/D HVWDELOLGDG GH XQ FXHUSR SDUFLDOPHQWH VXPHUJLGR GHSHQGH GH OD SRVLFLyQ
UHODWLYD GHO PHWDFHQWUR HO FHQWUR GH JUDYHGDG
• 8Q FXHUSR VH FRQVLGHUD HVWDEOH VL HO PHWDFHQWUR HVWi ORFDOL]DGR SRU
HQFLPD GHO FHQWUR GH JUDYHGDG (QWUH PDRU VHD OD GLVWDQFLD HQWUH HO
PHWDFHQWUR HO FHQWUR GH JUDYHGDG HV GHFLU OD DOWXUD PHWDFpQWULFD
PDRU VHUi OD HVWDELOLGDG GHO FXHUSR 6L OD DOWXUD PHWDFpQWULFD 0* HV
SRVLWLYD HO FXHUSR HV HVWDEOH
• 8Q FXHUSR HV LQHVWDEOH VL HO PHWDFHQWUR HVWi ORFDOL]DGR SRU GHEDMR GHO
FHQWUR GH JUDYHGDG 6L OD DOWXUD PHWDFpQWULFD HV QHJDWLYD HO FXHUSR HV
LQHVWDEOH
(6)8(5=26 (1 78%(5Ë$6
6H DQDOL]DUi D FRQWLQXDFLyQ OD VLWXDFLyQ GH ORV HVIXHU]RV D ORV TXH VH VRPHWHQ
ODV WXEHUtDV FXDQGR XQ IOXLGR VH HQFXHQWUD HQ UHSRVR HV GHFLU HQ FRQGLFLyQ
HVWiWLFD 3DUD HVWD VLWXDFLyQ QR H[LVWH WUDFFLyQ ORQJLWXGLQDO SRU OR TXH
25. VRODPHQWH H[LVWHQ IXHU]DV GH WHQVLyQ 7 HQ ORV H[WUHPRV TXH WUDWDUtDQ GH
UHYHQWDU OD WXEHUtD
3DUD HO DQiOLVLV GH HVIXHU]RV VH FRQVLGHUD XQ FRUWH ORQJLWXGLQDO HQ OD WXEHUtD
XQ WUDPR GH ORQJLWXG l FRPR VH LQGLFD HQ OD )LJXUD /DV IXHU]DV
UHVXOWDQWHV VHUiQ
)+ IXHU]D KLGURVWiWLFD GHELGD D OD SUHVLyQ 3 HQ OD WXEHUtD
7 IXHU]D GH WHQVLyQ JHQHUDGDV DO LQWHULRU GH OD WXEHUtD
H HVSHVRU GH OD WXEHUtD
3 3YEOH
7
7
H
H
)+
7
7
+
)
<)+
D E
)LJXUD 'LVWULEXFLyQ GH HVIXHU]RV HQ XQD WXEHUtD D FXDQGR OD SUHVLyQ HV
OD PLVPD HQ OD WRWDOLGDG GH OD WXEHUtD E FXDQGR OD SUHVLyQ YDUtD D
WUDYpV GH OD WXEHUtD
<D TXH HO IOXMR DO LQWHULRU GH OD WXEHUtD VH HQFXHQWUD HQ FRQGLFLRQHV HVWiWLFDV
SDUD HO DQiOLVLV GH ORV HVIXHU]RV VH XWLOL]DQ ODV GRV HFXDFLRQHV EiVLFDV GH
HTXLOLEULR HVWiWLFR VXPDWRULD GH IXHU]D VXPDWRULD GH PRPHQWRV LJXDO D FHUR
HV GHFLU
00 ==∑ ∑ OH MF
3UHVLyQ FRQVWDQWH
6L OD SUHVLyQ HV FRQVWDQWH HQ WRGRV ORV SXQWRV GH OD WXEHUtD ORV HVIXHU]RV
UHVXOWDQWHV VREUH OD SDUHG GH OD WXEHUtD VHUiQ ORV PLVPDV SRU WDQWR 7 7 HO
DQiOLVLV GH HTXLOLEULR HVWiWLFR SDUD OD VLWXDFLyQ D GH OD )LJXUD VH UHGXFH D OD
VXPDWRULD GH IXHU]DV
2
2
0200 21
H
H
HHH
F
TTF
TFTTFF
=⇒=
=−⇒=−−⇒=∑
/D IXHU]D KRUL]RQWDO VH REWLHQH GH OD PXOWLSOLFDFLyQ GH OD SUHVLyQ SRU HO iUHD GH
DFFLyQ GH DTXt TXH
lRpFH *2*= GRQGH 5 HV HO UDGLR GH OD WXEHUtD
26. )LQDOPHQWH OD IXHU]D GH WHQVLyQ VHUi
lRp
lRpF
T H
**
2
*2*
2
===
(VWD IXHU]D GH WHQVLyQ HV VRSRUWDGD SRU HO iUHD e*l SRU OR WDQWR HO HVIXHU]R GH
WHQVLyQ HQ OD WXEHUtD σ HVWi GDGR SRU
e
Rp
le
lRp
A
T *
*
**
=⇒== σσ
3UHVLyQ 9DULDEOH
6L OD SUHVLyQ YDUtD D WUDYpV GH OD WXEHUtD ORV HVIXHU]RV UHVXOWDQWHV VREUH OD SDUHG
GH OD WXEHUtD GLIHUHQWHV SRU OR WDQWR HQ HO DQiOLVLV GH HTXLOLEULR HVWiWLFR SDUD OD
VLWXDFLyQ E GH OD )LJXUD GHEH LQFOXLU OD VXPDWRULD GH IXHU]DV PRPHQWRV
2121 0200 TTFTFTTFF HHHH +=⇒=−⇒=−−⇒=∑
lypT
R
ylRp
TyFRTM
H
H
H
F
F
FHO
**
2
****2
0*2*0
1
11
=
=⇒=−=∑
( )H
H
F
FH
yRlpT
lyplRpTTFT
−=
−=⇒−=
2*
*****2
2
212
(V GHFLU TXH H[LVWHQ GLIHUHQWHV IXHU]DV GH WHQVLyQ HQ OD SRUFLyQ VXSHULRU HQ OD
SRUFLyQ LQIHULRU 3RU WDQWR KDEUiQ GRV HVIXHU]RV GH WHQVLyQ D YHULILFDU
( )
e
yRpl
le
lyp
A
T
e
yp
le
lyp
A
T
HH
HH
FF
FF
−
=⇒==
=⇒==
2
*
**
*
*
**
2
2
2
1
2
1
σσ
σσ
9HULILFDFLyQ GLVHxR GH WXEHUtDV
3DUD FRQGLFLRQHV GH GLVHxR VH YHULILFD TXH HO HVIXHU]R TXH UHVLVWH OD WXEHUtD VHD
VXSHULRU DO HVIXHU]R GH WHQVLyQ diseño resistenteσ σ< SURGXFLGR SRU HO GREOH GH OD
SUHVLyQ GH VHUYLFLR 2*diseño servicioP P= VLHQGR HVWD ~OWLPD OD SUHVLyQ Pi[LPD
EDMR OD FXDO HVWDUi H[SXHVWD OD WXEHUtD (O HVIXHU]R TXH UHVLVWH OD WXEHUtD
GHSHQGH GHO PDWHULDO HVWi LQFOXLGD HQ ODV HVSHFLILFDFLRQHV R FDWiORJRV TXH
HQWUHJD FDGD FRPSDxtD SURGXFWRUD GH WXEHUtD
KWWS ILVLFD XVDFK FO aOKURGULJ ILVLFD FKWH[WR KWPO
![(67È7,&$ '( )/8,'26
(V HO HVWXGLR GHO FRPSRUWDPLHQWR GH ORV IOXLGRV GH OD GLVWULEXFLyQ GH HVIXHU]RV
VH HVWXGLDUi HQ HVWH FDStWXOR
5HFRUGDQGR GH ODV SURSLHGDGHV GH ORV IOXLGRV pVWRV QR UHVLVWHQ HVIXHU]RV GH
FRUWDQWHV WDQJHQFLDOHV HQ ORV IOXLGRV HQ UHSRVR VyOR VH SUHVHQWDQ HVIXHU]RV
GH FRPSUHVLyQ 35(6,Ï1 VH WUDQVPLWHQ D ORV OtPLWHV VyOLGRV D WUDYpV GH
VHFFLRQHV SHUSHQGLFXODUHV
)LJXUD (VIXHU]RV GH FRPSUHVLyQ HQ IOXLGRV HQ UHSRVR
(VFDODV GH PHGLFLyQ GH OD SUHVLyQ
/DV PHGLGDV GH SUHVLyQ VH SXHGHQ GDU HQ WpUPLQRV DEVROXWRV WpUPLQRV
PDQRPpWULFRV HVWDV GLILHUHQ H[FOXVLYDPHQWH GH OD UHIHUHQFLD TXH FRQVLGHUDQ
/DV PHGLGDV GH SUHVLyQ HQ HVFDOD DEVROXWD HVWiQ UHIHULGDV DO FHUR DEVROXWR
YDFtR WRWDO R PtQLPD SUHVLyQ SRVLEOH HQ HVWD HVFDOD QR SXHGH SUHVHQWDUVH
YDORUHV QHJDWLYRV SXHVWR TXH LPSOLFDUtD YDORUHV SRU GHEDMR GHO YDFtR WRWDO
ItVLFDPHQWH LPSRVLEOH
/D HVFDOD GH PHGLFLyQ PDQRPpWULFD R UHODWLYD UHJLVWUD ORV YDORUHV UHIHULGRV D OD
SUHVLyQ DWPRVIpULFD ORFDO SUHVLyQ GHELGD D OD DWPyVIHUD HV GHFLU HQ HO VLWLR
GH LQWHUpV /D SUHVLyQ DWPRVIpULFD HVWiQGDU R QRUPDO HV OD UHJLVWUDGD DO QLYHO
GHO PDU D D XQD ODWLWXG GH ƒ WLHQH XQ YDORU GH N3D PP+J
DWP
7DPELpQ GHQRPLQDGD SUHVLyQ EDURPpWULFD](https://image.slidesharecdn.com/documentoestatica-130912130700-phpapp02/85/documento-estatica-1-320.jpg)
![)LJXUD (VFDODV GH PHGLFLyQ GH OD SUHVLyQ
3UHVLyQ HQ XQ SXQWR
&RQVLGHUHPRV XQ HOHPHQWR GLIHUHQFLDO GH IOXLGR HQ UHSRVR ODV IXHU]DV
DFWXDQWHV VHUiQ
)LJXUD )XHU]DV GH SUHVLyQ HQ XQ HOHPHQWR IOXLGR GLIHUHQFLDO
$O HVWDU HO HOHPHQWR HQ UHSRVR QR H[LVWH DFHOHUDFLyQ SRU WDQWR OD DSOLFDFLyQ GH
OD VHJXQGD OH GH 1HZWRQ F ma=∑
JG G
LQGLFD TXH OD VXPDWRULD GH IXHU]DV VHUi
LJXDO D FHUR
1 3 1 3 1 3
2 3 2 3 2 3
* * 0
* * 0
2 2
x x
z z
F dF dF dF dF sen p dz p ds sen
dxdz dxdz
F dF dF dW dF dF cos p dx p ds cos
θ θ
θ γ θ γ
= − = − = − =
= − − = − − = − − =
∑
∑](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)