Istorija matematike

1. MATEMATIKA STAROG EGIPTA
Jedna od najranijih kultura i civilizacija što ih je čovek stvorio na
Zemlji bila je staroegipatska.
Stari Egipćani su jedan od prvih naroda koji je,
radi praktične primjene, počeo da razvija matematiku,
i na taj način, nesvjesno, joj otvorio vrata budućnosti.

2. ● Stari Egipćani imali su razvijen decimalni sistem i svoje oznake
za brojeve:
Hijeratski znaci
Hijeroglifski znaci
• Hijeroglifskim znacima se pisalo po kamenu kako s lijeva na desno, tako i
obrnuto, a ponekad i odozgo prema dole.
• Različito pisanje ne stvara probleme kod čitanja bojeva
jer egipatski način pisanja brojeva nije pozicijski.
Hijeratički su znaci uvedeni za brzo pisanje po papirusu, drvu ili po lončariji.

3. Kako su racunali stari Egipćani?
● Sabiralo se skupljanjem istih simbola zajedno i pretvaranjem njih 10 u
jedan simbol sljedećeg nivoa:

4. Evo nekoliko primera zapisa nekih brojeva:
Hijeratički je sistem adicijski sistem.
Koristili su brojevni sistem s bazom 10, a jedna od glavnih razlika između
hijeratičkih brojeva i našeg brojevnog sistema jeste da hijeratički brojevi nisu
bili pisani u sistemu mjesnih vrijednosti, tako da su cifre mogle biti pisane
bilo kojim redosljedom.

5. Razlomci u drugačijem svijetlu
● Stari Egipćani vjerovali su da ih "Rx" simbol, tj. simbol boga Horusa
štiti od zla. Zato su i u matematiku ugradili simboliku pa su razvili i
svojevrstan brojevni sistem kako bi olakšali sebi komunikaciju i
razmjenu dobara.
● Svi ti simboli su kombinovani na različite načine kako bi se
izračunale zapremina i masa žitarica, dok su ih drevni ljekari koristili
prilikom prepisivanja lijekova pacijentima.

6. Geometrija
● Stari Egipćani su imali razvijenu geometriju, stereometriju i sve ono
što im je bilo potrebno za izgradnju piramida i hramova. Računali
su površinu trougla kao 1/2 umnoška dve kraće stranice (što vrijedi
samo za pravougli trougao); mala odstupanja nisu im značila
previše.
● Ono što je fascinantno, a pronađeno je u Ahmesovom papirusu, je
kako su računali površinu kruga:
● • od prečnika se oduzme njegova jedna devetina
● • ono što ostane, diže se na kvadrat.

7. Uopšteno bi izgledalo ovako:
P = (8/9d)²
Ovo rešenje je veoma blizu onom koje dobijamo današnjom metodom:
P = (d/2)²π = 63.617
Iz ove dve jednačine se može izvući vrednost broja π, do koje su došli
stari Egipćani, iako ga nisu posebno imenovali:
(8/9d)² = (d/2)²π
64/81d² = ¼ d²π
64*4/81 = π
256/81 = π
π ≈ 3.1605

8. MATEMATIKA DREVNE KINE
• Budući da nema drugih konkretnih pisanih dokaza, sve se oslanja
na jednu legendu koja govori kako su Kinezi došli na ideju da stvore
sistem brojeva i istraživanja koje je dovelo do razvoja matematike:
• Prema legendi, kralj Yu je primio božanski dar od "Kornjače" dok je
prelazio Žutu rijeku. Na Kornjačinim leđima je bila nacrtana jedna
figura, odnosno dijagram zvani Lo Shu, za koji se vjeruje da sadrži
osnovne kineske matematike.

9. KINESKI BROJEVI
• U Kini su ljudi, kao i u većini drugih zemalja,
najprije računali "na prste", a kasnije su
imali simbole za brojeve, a oni su prikazani u
tablici (slika lijevo). Kasnije se u Kini
računalo pomoću štapića (od bambusa,
slonove kosti ili metala). Svi štapići su bili
jednake veličine, a trgovci su ih najčešće
stalno nosili sa sobom u torbi. Brojevi od 1
do 5 bili su prikazivani kao horizontalne
crtice, brojevi od 6 do 9 su prikazivani kao
jedan vertikalni štapić te kombinacije od
nekoliko horizontalnih štapića (slika dolje).

10. RAZVOJ STAROGRČKE MATEMATIKE
• O epohi formiranja grčke matematike
možemo da zaključimo na osnovu
zapažanja filozofa i drugih autora koji nisu
bili samo matematičari.
• Grčki filozof Aristotel (384.- 322. g. p.n.e.) je
zastupao tezu da Zemlja ima oblik sfere i to je
argumentirao na sledeće načine:

11. BRODOVI I HORIZONT
• Po vedrom danu, može se primjetiti kako brodovi polako nestaju
na horizontu. Prvo donji deo, a na kraju i njihovi jarboli. Čak ni ne
moraju daleko da odu da bi se to primetilo. To ne bi bio slučaj da
je Zemlja ravna ploča.
Upravo o ovome govorio je Aristotel prije oko 2500 godina.

12. POMRAČENJE MJESECA

13. SAZVIJEŽĐA NA NEBU
Još jedna stvar koju je Aristotel shvatio davno prije
modernih teleskopa i druge opreme.
Slika 1. Posmatranje zvijezda kada bi zemlja bila ravna
Slika 2. Posmatranje zvijezda na okrugloj Zemlji

14. • Slika 1. Kako bi sjenke izgledale da je Zemlja ravna ploča
• Slika 2. Kako sijenke izgledaju u stvarnosti sa razne lokacije
Slika 1. Slika 2.
SJENKE I PALICE

15. OBIM ZEMLJE
• Oko 240 godina p.n.e, Eratosten je iskoristio prethodni princim
da izračuna obim Zemlje.
• Naime, proučavajući spise u Velikoj Aleksandriskoj biblioteci,
Eratosten je naišao na neobičan podatak.
• Naime, u jednom spisu je stajalo da u podne u Sieni (danas
Asuan,Egipat) u vreme ljetne ravnodnevice u bunaru nema
senke. Proverio je situaciju u bunaru u Aleksandriji u vreme
ravnodnevice i vidjeo da sjenka ipak postoji.
• To ga je zaintrigiralo i otišao je na put u Sijenu da proveri
vjerodostojnost podatka.
• Tamo se uverio da je podatak iz spisa tačan, u bunaru zaista
nije bilo sijenke. Pošao je od pretpostavke da je Sunce toliko
daleko od Zemlje da se zraci svetlosti mogu smatrati
paralelnim. Razmislivši o toj čudnoj pojavi, došao je do
zaključka da bunari u Aleksandriji i Sieni ne leže pod istim
uglom. Bacio se na posao da izračuna koliki je taj ugao. Za to
se poslužio matematikom i sjenkama sa vertikalno pobodenog
štapa.

17.  Stari su Grci bili prvi koji su sebi, svjesni toga što time čine,
postavili zadatak da sva prijašnja i sva nova matematička
znanja skupe i povežu u skladan i cjelovit sistem unutar kojeg
će svaka teorema i svaka „formula“ biti dokazani.

18.  Učenje matematike unutar Grčke bilo je posebno. Ono
što se učilo imalo je drugačiju strukturu nego što ima
danas.
 Glavna razlika je u tome što su Grci proučavali aritmetiku
i geometriju odvojeno, kao dva zasebna predmeta. Čak
su unutar aritmetike postojale dvije forme.
 Jednu je učio srednji stalež i zanatlije, a bazirala se na
računanju.
 Druga forma, znanost o brojevima, bila je za visoki stalež
koji je imao novac za širu edukaciju.

19.  Geometrijske konstrukcije starih Grka
predstavljale su značajan dio matematike. Tako
je Platonova akademija postavila pravilo da se
sve geometrijske konstrukcije moraju izvesti
isključivo pomoću linijara i šestara, pri čemu se
linijar koristi isključivo za spajanje dvije tačke, a
šestar isključivo za crtanje kružnica, kojima su
unaprijed zadani središte i radijus.

20.  Jedan od problema starogrčke matematike je
problem duplikacije kocke tj. problem
konstruiranja kocke čiji je zapremina dvostruko
veća od zapremine zadane kocke.
DUPLIKACIJA KOCKE

21.  Grčka matematika je od VII vijeka p.n.e. dala niz
veoma važnih teorija koje se i danas primenjuju,
zahvaljujući najvećim matematičarima svih
vremena, Pitagori, Euklidu, Arhimedu i Talesu.

22. Arhimed, jedan od najgenijalnijih matematičara svih vremena, rodio
se 287.godine pre nove ere u Sirakuzi.Arhimed je živjeo za
matematiku i od matematike.Kada mu je bilo potrebno
usavršavanje u njegovom znanju uz pomoć Hijerona odlazi u Egipat u
Aleksandriju
gdje je pod vodstvom Euklida studirao. Tamo upoznaje i Eratostena.
Prvi koji je zaista izračunao broj Pi bio je
Arhimed, ali pošto se tada još nije znalo za
decimale, izrazio ga je u vidu razlomka. Otada,
pa sve do početka XVII veka, svi matematičari
koji su izračunavali broj π (a bilo ih je mnogo)
činili su to Arhimedovom metodom.
Tek je 1706. grčko slovo π odabrano kao simbol
ovog broja. Učinio je to engleski matematičar
William Jones.

23. Arhimed je poznat po mnogim svojim izumima:
●Arhimedov zavrtanj
● „Arhimedovi toplotni zraci“

24. ● Arhimedova kandža
●Arhimedov zakon
„Tijelo uronjeno u tečnost lakše je za težinu
istisnute tečnosti.”

25. Postoje tri anegdote o načinu na koji je Arhimed umro.
Anegdota I
Prva anegdota kaže da je sjedio i crtao u pijesku. Udubljen u svoje razmišljanje
nekih
geometrijskih slika, primijetio je sjenu vojnika, koja je pala na njegove dijagrame.
Tada
je Arhimed uzviknuo:
”Ne diraj moje krugove!”.
Vojnik se razljutio, izvadio mač i ubio matematičara u 75. godini života.
Anegdota II
U drugoj anegdoti saznajemo kako je Arhimed odbio da ide s vojnikom do generala
Marcela prije nego završi svoj problem pa je zbog toga ubijen.
Anegdota III
Treća anegdota govori o tome kako je Arhimed samo išao kod Marcela noseći svoje
matematičke instrumente u drvenom sanduku. Kada su ga vojnici vidjeli s tim
kovčegom,
pomislili su da se unutra krije zlato te su ga ubili.

27. Tales iz Mileta (oko 625-548. godina pre n.e.) je bio
filozof, aktivan kao matematičar i kao državnik. Njega su
ubrajali u sedam mudraca. Kao matematičar poznat je po
Talesovoj teoremi. Tales se smatra prvim Helenom koji je
izlagao i dokazao teoreme.
Pripisuje mu se sljedećih pet teorema:
1. Prečnik polovi krug
2. Uglovi na osnovici jednakokrakog trougla su jednaki
3. Naspramni uglovi koje formiraju dvije prave koje se
sijeku su jednaki
4. Ugao upisan u polukrug je prav
5. Trougao je određen jednom stranicom i uglovima
naleglim na nju

28. Priča o Keopsovoj piramidi.
Tales je došao u Egipat da izmjeri piramidu koja se do
tada smatrala neizmjerljivom.

30. Tales je u pijesak nadomak
piramide, stavio štap svoje visine, i
oko njega iscrtao (uz pomoć
kanapa) kružnicu istog poluprečnika.
Zatim je čekao da sjenka štapa
dodirne kružnicu. Sve što mu je bilo
potrebno je jedan štap i jedan
kanap.
Kada je sjenka štapa dosegla
kružnicu, Tales je štap stavio u vrh
vidljive sjenke piramide i tako je
imao označene sve važne dužine za
mjerenje. Sačekao je da sunce zađe
i onim kanapom, koji je imao dužinu
njegove visine , izmjerio vidljivu
sjenku i dužinu osnove piramide.

33. Proračun:Tales je izmjerio
sljedeće:
Vidljiva sjenka x = 18
talesa
Stranica osnove = 134
talesa
Pola stranice osnove y =67
talesa
Visina piramide = x+y =
85 talesa

35. TALESOVA TEOREMA: AKO SU A, B
I C TAČKE NA KRUGU GDE JE AC
PREČNIK KRUGA, TADA JE UGAO
ABC PRAV UGAO.
ZA DOKAZ SE KORISTI
PRETPOSTAVKA DA JE ZBIR
UGLOVA U TROUGLU JEDNAK
ZBIRU DVA PRAVA UGLA I DA SU
DVA UGLA JEDNAKOKRAKOG
TROUGLA JEDNAKA.

38. Pitagora je živio u Grčkoj od 560. do 500. godine pr.
n. ere. U južnoj Italiji je osnovao jednu od najvećih
filozofskih škola koja je djelovala 800 godina.
Vjerovao je da se sve može objasniti brojevima i to
ga je uvjerenje dovelo do važnih otkrića na polju
matematike i muzike.
Teorija o brojevima dovela je Pitagoru i njegove
sljedbenike do važnih ideja o matematici i
astronomiji. Vjerovali su da se veličine putanja
pojedinih planeta nalaze u jednostavnim odnosima,
pa su na temelju toga zaključili da je Zemlja okrugla
i da kruži po putanji kao i druge planete.

39. Njegovo najznačajnije i najpoznatije otkriće je
svakako Pitagorina teorema, koja se primjenjuje u
geometriji. Ovu teoremu su Vavilonci i Indijanci
prethodno već koristili, ali vjeruje se da su Pitagora i
njegovi učenici potvrdili njenu validnost. Po ovoj teoremi,
u pravouglom trouglu kvadrat nad hipotenuzom je jednak
zbiru kvadrata nad katetama.