博論公聴会
- 2. 内容内容
• 第第11章章 量子力学における時間の歴史量子力学における時間の歴史
• 第第22章章 時間作用素の導入と歴史時間作用素の導入と歴史
• 第第33章章 CCRCCRの表現の定義の表現の定義,, 例例,, 性質性質
• 第第44章章 時間作用素の定義時間作用素の定義,, 例例,, 性質性質
• 第第55章章 時間作用素の構成時間作用素の構成
• 第第66章章 対称作用素の閉拡大と例対称作用素の閉拡大と例
• 第第77章章 運動量作用素の閉拡大運動量作用素の閉拡大
- 5. 量子力学における時間量子力学における時間 (2)(2)
• 時間時間TTとハミルトニアンとハミルトニアンHH
• 物理学では時間とエネルギーも不確定性関係物理学では時間とエネルギーも不確定性関係
が成り立つと言われているが成り立つと言われている
• (ΔH)(ΔT)≧ℏ/2(ΔH)(ΔT)≧ℏ/2
• 例例:: トンネル効果トンネル効果
• HHととTTののCCRCCRはは??
• PauliPauliの定理 ⇒の定理 ⇒ ∃∃T: observableT: observable ⇒⇒ σ(H)=σ(H)=RR
• H:H: 半有界 ⇒半有界 ⇒ T: not observableT: not observable ⇒⇒ T: not s.a.T: not s.a.
- 7. 時間作用素の歴史時間作用素の歴史 (1)(1)
• RosenbaumRosenbaum (JMP(JMP 1919 (1969), 1127-1144)(1969), 1127-1144)
• 時間作用素時間作用素:: ハミルトニアンと正準共役なハミルトニアンと正準共役な
作用素 作用素
• 弱時間作用素と呼ばれる弱時間作用素と呼ばれる
• 時間が運動量時間が運動量PPと位置と位置QQの多項式で表されるとの多項式で表されると
仮定し仮定し,, 係数を求めて導出した係数を求めて導出した
- 9. 時間作用素の歴史時間作用素の歴史 (3)(3)
• SchmüdgenSchmüdgen (JFA(JFA 5050 (1983), 8-49)(1983), 8-49)
• 弱弱WeylWeyl関係式関係式 (WWR)(WWR) を定義を定義
• TeTe-itH-itH
=e=e-itH-itH
(T+t)(T+t)
• 宮本宮本 (JMP(JMP 4242 (2001), 1038-1052)(2001), 1038-1052)
• 時間作用素時間作用素:: ハミルトニアンとハミルトニアンとWWRWWRを満たすを満たす
作用素 作用素
• 強時間作用素と呼ばれる強時間作用素と呼ばれる
• 時間とエネルギーの不確定性関係を数学的に時間とエネルギーの不確定性関係を数学的に
定式化定式化
- 10. 時間作用素の歴史時間作用素の歴史 (4)(4)
• 新井新井 (RMP(RMP 1717 (2005), 1071-1109)(2005), 1071-1109)
• 宮本宮本 (2001)(2001) の結果を一般化の結果を一般化
• 新井新井 (RMP(RMP 1717 (2005), 1071-1109)(2005), 1071-1109)
栗林栗林 ((北海道大学修士論文北海道大学修士論文, 2007), 2007)
• 幾つかの幾つかのSchrödingerSchrödinger作用素に対する作用素に対する
強時間作用素強時間作用素の構成とそのスペクトルの計算の構成とそのスペクトルの計算
• GalaponGalapon (Proc. R. Soc. Lond.(Proc. R. Soc. Lond. AA (2002), 2671-2689)(2002), 2671-2689)
新井・松澤新井・松澤 (RMP(RMP 2020 (2008), 951-978)(2008), 951-978)
• 離散固有値を持つハミルトニアン離散固有値を持つハミルトニアンに対するに対する
弱時間作用素弱時間作用素の構成の構成
- 11. 時間作用素の歴史時間作用素の歴史 (5)(5)
• 新井・松澤新井・松澤 (LMP(LMP 8383 (2008), 201-211)(2008), 201-211)
廣島・栗林・松澤廣島・栗林・松澤 (LMP(LMP 8787 (2009), 115-123)(2009), 115-123)
• HHと関数と関数ggによってによって g(H)g(H) で表されるで表される
ハミルトニアンのハミルトニアンの強時間作用素強時間作用素を構成を構成
• 幾つかの幾つかのSchrödingerSchrödinger作用素に対する作用素に対する
強時間作用素を系統的に導ける強時間作用素を系統的に導ける
• 定義域を精密化定義域を精密化
- 14. CCR, WR, WWRCCR, WR, WWRの定義の定義,, 例例,, 性質性質 (1)(1)
• CCRCCRの定義の定義
• H: Hilbert sp.H: Hilbert sp.
• {Q{Qjj, P, Pjj}}jj:: CCRCCRとはとは,, 以下を満たす事以下を満たす事
• (1) Q(1) Qjj, P, Pjj, j=1, …, n: s.a. in H, j=1, …, n: s.a. in H
• (2) ∃dense subset D⊂(2) ∃dense subset D⊂∩∩j,kj,k[D(P[D(PjjPPkk)∩D(P)∩D(PjjQQkk))
∩∩D(QD(QjjPPkk)∩D(Q)∩D(QjjQQkk)])]
• (3) [P(3) [Pjj, Q, Qkk]=-iδ]=-iδjkjk, [Q, [Qjj, Q, Qkk]=[P]=[Pjj, P, Pkk]=0 on D]=0 on D
• CCRCCRの例の例
• SchrödingerSchrödinger表現表現
• H=LH=L22
((RRnn
), D=S(), D=S(RRnn
), Q), Qjj=x=xjj, P, Pjj=-i∂=-i∂jj, j=1, …, n, j=1, …, n
- 15. CCR, WR, WWRCCR, WR, WWRの定義の定義,, 例例,, 性質性質 (2)(2)
• WRWRの定義の定義
• {T{Tjj, H, Hjj}}jj:: WRWRとはとは,, 以下を満たす事以下を満たす事
• (1) T(1) Tjj, H, Hjj, j=1, …, n: s.a. in H, j=1, …, n: s.a. in H
• (2) e(2) e-itT-itTjjee-isH-isHkk=e=e-istδ-istδjkjkee-isH-isHkkee-itT-itTjj
• (3) e(3) e-itT-itTjjee-isT-isTkk=e=e-isT-isTkkee-itT-itTjj
• (4) e(4) e-itH-itHjjee-isH-isHkk=e=e-isH-isHkkee-itH-itHjj
• WRWRの例の例
• H=LH=L22
((RRnn
), D=S(), D=S(RRnn
), Q), Qjj=x=xjj, P, Pjj=-i∂=-i∂jj, j=1, …, n, j=1, …, n
• 定理定理
• WRWR ⇒⇒ CCR (CCR (逆は不成立逆は不成立))
• 逆が不成立となる例逆が不成立となる例: Aharonov-Bohm: Aharonov-Bohm効果効果
- 16. CCR, WR, WWRCCR, WR, WWRの定義の定義,, 例例,, 性質性質 (3)(3)
• von Neumannvon Neumannの一意性定理の一意性定理
(Math. Ann.(Math. Ann. 104104 (1931), 570-578)(1931), 570-578)
• {T{Tjj, H, Hjj}}jj: WR: WR
⇒⇒ H=⊕H=⊕mmHHmm,, ∃∃UUmm: H: Hmm→→LL22
((RRnn
))
s.t.s.t.
UUmmTTjj||HHmm
UUmm
-1-1
=-i=-i∂∂xxjj
UUmmHHjj||HHmm
UUmm
-1-1
=x=xjj
- 17. CCR, WR, WWRCCR, WR, WWRの定義の定義,, 例例,, 性質性質 (4)(4)
• WWRWWRの定義の定義
• {T{Tjj, H, Hjj}}jj:: WWRWWRとはとは,, 以下を満たす事以下を満たす事
• (1) T(1) Tjj, j=1, …, n: sym. in H, H, j=1, …, n: sym. in H, Hjj, j=1, …, n: s.a. in H, j=1, …, n: s.a. in H
• (2) e(2) e-itH-itHkkD(TD(Tjj)⊂D(T)⊂D(Tjj))
• (3) T(3) Tjjee-itH-itHkkψ=eψ=e-itH-itHkk(T(Tjj+t)ψ, ψ∈D(T+t)ψ, ψ∈D(Tjj))
• 定理定理
• WR ⇒ WWR ⇒ CCR (WR ⇒ WWR ⇒ CCR (逆は不成立逆は不成立))
• {T{Tjj, H, Hjj}}jj: WWR,: WWR, TT11, …, T, …, Tnn: s.a.: s.a. ⇒⇒ {T{Tjj, H, Hjj}}jj: WR: WR
• {T{Tjj, H, Hjj}}jj: WWR ⇒: WWR ⇒ {T{Tjj, H, Hjj}}jj: WWR: WWR
- 19. 時間作用素の定義時間作用素の定義,, 性質性質,, 例例 (1)(1)
• 強時間作用素強時間作用素,, 弱時間作用素の定義弱時間作用素の定義
• H:H: ハミルトニアンハミルトニアン, {T, H}:, {T, H}: CCRCCR
• このときこのとき, T:, T: 弱時間作用素弱時間作用素と云うと云う
• H:H: ハミルトニアンハミルトニアン, {T, H}:, {T, H}: WWRWWR
• このときこのとき, T:, T: 強時間作用素強時間作用素と云うと云う
• 定理定理
• 強時間作用素強時間作用素 ⇒⇒ 弱時間作用素弱時間作用素 ((逆は不成立逆は不成立))
• 時間作用素は時間作用素は一意的ではない一意的ではない
• 例例: T:: T: 時間作用素時間作用素 ⇒⇒ T+H:T+H: 時間作用素時間作用素
• 時間作用素の時間作用素のスペクトルは一意的スペクトルは一意的
- 20. 時間作用素の定義時間作用素の定義,, 性質性質,, 例例 (2)(2)
• 強時間作用素の例強時間作用素の例
• HHNRNR=P=P22
/2/2の強時間作用素の強時間作用素
• TTABAB=½(P=½(P-1-1
Q+QPQ+QP-1-1
): Aharonov-Bohm): Aharonov-Bohmの時間作用素の時間作用素
• HHRR=√P=√P22
+m+m22
の強時間作用素の強時間作用素
• TTRR=½(H=½(HRRPP-1-1
Q+QPQ+QP-1-1
HHRR))
• 新井・松澤新井・松澤 (LMP(LMP 8383 (2008), 201-211)(2008), 201-211)
HH11=logH=logHNRNRの強時間作用素の強時間作用素
• TT11=½(H=½(HNRNRTTABAB+T+TABABHHNRNR))
- 21. 時間作用素の定義時間作用素の定義,, 性質性質,, 例例 (3)(3)
• 調和振動子調和振動子
• HHOSOS=-Δ/2+x=-Δ/2+x22
/2/2 on Lon L22
((RR))
• σ(Hσ(HOSOS)=σ)=σdd(H(HOSOS)={n+1/2})={n+1/2}nn≧≧00
- 22. 時間作用素の定義時間作用素の定義,, 性質性質,, 例例 (4)(4)
• 残念ながら残念ながら,, 強時間作用素は存在しない強時間作用素は存在しない
• 宮本宮本 (JMP(JMP 4242 (2001), 1038-1052)(2001), 1038-1052)
{T, H}: WWR ⇒{T, H}: WWR ⇒ σ(H)=σσ(H)=σacac(H)(H)
• 弱時間作用素弱時間作用素について考えるについて考える
• {T, H}: CCR, σ(H)=σ{T, H}: CCR, σ(H)=σdd(H)(H) とするとする
• λ∈σ(H), ψλ∈σ(H), ψλλ∈Ker(H-λ)∈Ker(H-λ) をとるをとる
CCR ⇒CCR ⇒ TψTψλλ=-i(H-λ)=-i(H-λ)-1-1
ψψλλ ⇒ ψ⇒ ψλλ∉D(T)∉D(T)
• 新井・松澤新井・松澤 (RMP(RMP 2020 (2008), 951-978)(2008), 951-978)
• 弱時間作用素弱時間作用素を構成を構成
• 定義域に特別な工夫を要する定義域に特別な工夫を要する
- 23. 時間作用素の定義時間作用素の定義,, 性質性質,, 例例 (5)(5)
• 今迄見た通り今迄見た通り,, 時間作用素の構成におい時間作用素の構成におい
てて,, 定義域の議論も重要定義域の議論も重要
• 問題問題★★に戻るに戻る
• ((条件条件)) H:H: ハミルトニアンハミルトニアン, T:, T: 強時間作用素強時間作用素
• ((問題問題★★)) 関数関数ggによってによって g(H)g(H) で表されるハミルで表されるハミル
トニアンの強時間作用素トニアンの強時間作用素TTggを構成を構成
• 以降以降,, 問題問題★★について詳しくみていくについて詳しくみていく
- 25. 問題問題★★についてについて (1)(1)
• 形式的には以下の様に書き換えられる形式的には以下の様に書き換えられる
• TTABAB=½(P=½(P-1-1
Q+QPQ+QP-1-1
))
• TTRR=½(H=½(HRRPP-1-1
Q+QPQ+QP-1-1
HHRR))
==½{(P/√P½{(P/√P22
+m+m22
))-1-1
Q+Q(P/√PQ+Q(P/√P22
+m+m22
))-1-1
}}
• TT11=½(H=½(HNRNRTTABAB+T+TABABHHNRNR))
==½{(H½{(HNRNR
-1-1
))-1-1
TTABAB+T+TABAB(H(HNRNR
-1-1
))-1-1
}}
• これらの事実を頼りにもう少し詳しく検討これらの事実を頼りにもう少し詳しく検討
- 26. 問題問題★★についてについて (2)(2)
• T: HT: Hの強時間作用素のときの強時間作用素のとき, g(H), g(H) の強時間の強時間
作用素は作用素は,, 次式で表されると予想次式で表されると予想
• TTgg=½{g’(H)=½{g’(H)-1-1
T+Tg’(H)T+Tg’(H)-1-1
}}
• 廣島・栗林・松澤廣島・栗林・松澤 (LMP(LMP 8787 (2009), 115-123)(2009), 115-123)
• TTgg: g(H): g(H) の強時間作用素の強時間作用素
- 27. 一般のハミルトニアンに対する一般のハミルトニアンに対する
強時間作用素の構成強時間作用素の構成 (1)(1)
• 命題命題11 新井新井 (RMP(RMP 1717 (2005), 1071-1109)(2005), 1071-1109)
• 仮定仮定
• {T, H}: WWR, T: closed{T, H}: WWR, T: closed
• f∈Cf∈C11
((RR), s.t. f, f ’: b’d.d.), s.t. f, f ’: b’d.d.
• この時この時,,
• f(H)D(T)⊂D(T)f(H)D(T)⊂D(T)
• Tf(H)φ=f(H)Tφ+if ’(H)φ, φ∈D(T)Tf(H)φ=f(H)Tφ+if ’(H)φ, φ∈D(T)
• 証明証明
• Tf(H)=Tf(H)=T(2π)T(2π)-1-1
∫∫RRFF-1-1
f(t)ef(t)e-itH-itH
dtdt
=(2π)=(2π)-1-1
∫∫RRFF-1-1
f(t)ef(t)e-itH-itH
(T+t)dt(T+t)dt
=f(H)T+if’(H)=f(H)T+if’(H)
- 28. 一般のハミルトニアンに対する一般のハミルトニアンに対する
強時間作用素の構成強時間作用素の構成 (2)(2)
• 定理定理22 廣島・栗林・松澤廣島・栗林・松澤 (LMP(LMP 8787 (2009), 115-123)(2009), 115-123)
• 仮定仮定
• {T, H}: WWR, T: closed{T, H}: WWR, T: closed
• K⊂K⊂RR, s.t. |K|=0, s.t. |K|=0
• g∈Cg∈C22
((RR＼＼K): real valuedK): real valued
• Z=K∪{λ∈Z=K∪{λ∈RR|g’(λ)=0}, and |Z|=0|g’(λ)=0}, and |Z|=0
• XX11
D(T)D(T)
=L.H. [{ρ(H)φ|ρ∈C=L.H. [{ρ(H)φ|ρ∈C00
11
((RR＼＼Z), φ∈D(T)}]Z), φ∈D(T)}]
• この時この時,,
• XX11
D(T)D(T)
: dense: dense
• TTgg=½{g’(H)=½{g’(H)-1-1
T+Tg’(H)T+Tg’(H)-1-1
}|X}|X11
D(T)D(T)
: sym.: sym.
- 29. 一般のハミルトニアンに対する一般のハミルトニアンに対する
強時間作用素の構成強時間作用素の構成 (3)(3)
• 証明の概要証明の概要
• XX11
D(T)D(T)
⊂D(T⊂D(Tgg))
• g’(H)g’(H)-1-1
を作用させられる様にを作用させられる様にXX11
D(T)D(T)
を構成していたを構成していた
• ρ(H)φ∈ Xρ(H)φ∈ X11
D(T)D(T)
⇒ {λ∈R|g’(λ)=0}⇒ {λ∈R|g’(λ)=0}⊄⊄suppρsuppρ
• ここでここで,, σ(H)=σσ(H)=σacac(H)(H) を用いるを用いる
• TTggの構成法の構成法
• 命題命題11
⇒ f(H)D(T)⊂D(T), Tf(H)=f(H)T+if ’(H) on D(T)⇒ f(H)D(T)⊂D(T), Tf(H)=f(H)T+if ’(H) on D(T)
⇒⇒ f=ef=e-itg-itg
, φ, φ∈∈XX11
D(T)D(T)
を代入を代入
⇒⇒ TeTe-itg(H)-itg(H)
φ=eφ=e-itg(H)-itg(H)
Tφ+tg’(H)eTφ+tg’(H)e-itg(H)-itg(H)
φφ
⇒⇒ g’(H)g’(H)-1-1
TeTe-itg(H)-itg(H)
φ=eφ=e-itg(H)-itg(H)
{g’(H){g’(H)-1-1
T+t}φT+t}φ
- 30. 一般のハミルトニアンに対する一般のハミルトニアンに対する
強時間作用素の構成強時間作用素の構成 (4)(4)
• 強時間作用素の例をより厳密に与える強時間作用素の例をより厳密に与える
• HHNRNR=P=P22
/2/2の強時間作用素の強時間作用素
• TTABAB=½(P=½(P-1-1
Q+QPQ+QP-1-1
)|X)|X11
D(Q)D(Q)
(g(λ)=λ(g(λ)=λ22
/2, λ/2, λ ↦↦ P)P)
• HHRR=√P=√P22
+m+m22
の強時間作用素の強時間作用素
• TTRR=½(H=½(HRRPP-1-1
Q+QPQ+QP-1-1
HHRR)|X)|X11
D(Q)D(Q)
(g(λ)=(g(λ)=√√λλ22
+m+m22
, λ, λ ↦↦ P)P)
• HHαα=(P=(P22
+m+m22
))α/2α/2
の強時間作用素の強時間作用素
• TTαα=1/(2α){(P=1/(2α){(P22
+m+m22
))1-α/21-α/2
Q+Q(PQ+Q(P22
+m+m22
))1-α/21-α/2
}|X}|X11
D(Q)D(Q)
(g(λ)=(λ(g(λ)=(λ22
+m+m22
))α/2α/2
, λ, λ ↦↦ P)P)
• HH11=logH=logHNRNRの強時間作用素の強時間作用素
• TT11=½(H=½(HNRNRTTABAB+T+TABABHHNRNR)|X)|X11
D(TD(TABAB))
(g(λ)=logλ, λ(g(λ)=logλ, λ ↦↦ HHNRNR))
- 32. 不足指数と閉対称拡大不足指数と閉対称拡大
• nn±±(T)=dimKer(T(T)=dimKer(T**
∓i): T∓i): Tの不足指数の不足指数
• T: closed sym., (nT: closed sym., (n++(T), n(T), n--(T)): T(T)): Tの不足指数の不足指数
不足指数不足指数 存在する閉対称拡大存在する閉対称拡大
(0, 0)(0, 0) s.a. (s.a. (一意一意))
(n, n) (n(n, n) (n∈∈NN)) s.a. (s.a. (非可算無限個非可算無限個))
((∞∞,, ∞∞)) 任意の不足指数の任意の不足指数のclosed sym.closed sym.
((非可算無限個の非可算無限個のs.a.s.a.も含むも含む))
(n, m) (n(n, m) (n≠≠m)m) 不足指数不足指数 (n-p, m-p),(n-p, m-p),
pp≦≦min{n, m}min{n, m} となるとなるclosed sym.closed sym.
- 33. 時間作用素のスペクトルと閉拡大時間作用素のスペクトルと閉拡大
• 定理定理 栗林栗林 ((北海道大学修士論文北海道大学修士論文, 2007), 2007)
• TTABAB, T, TRRの不足指数は以下の通りの不足指数は以下の通り
• (n(n++(T(TABAB), n), n--(T(TABAB))=(1, 0)))=(1, 0)
• (n(n++(T(TRR), n), n--(T(TRR))=(1, 0)))=(1, 0)
• TTABAB, T, TRRののs.a.s.a.拡大は存在しない拡大は存在しない
• PauliPauliの定理の精密化の定理の精密化
- 34. 運動量作用素の不足指数運動量作用素の不足指数
• 運動量作用素の運動量作用素のs.a.s.a.拡大を調べる拡大を調べる
• P=-id/dx:P=-id/dx: 運動量作用素運動量作用素
• 定義域の設定により定義域の設定により,, 不足指数が変化する不足指数が変化する
HilbertHilbert
sp.sp. LL22
(R)(R) LL22
(0, 1)(0, 1) LL22
(0,(0, ∞∞))
定義域定義域 CC00
∞∞
(R)(R) CC00
∞∞
(0, 1)(0, 1) CC00
∞∞
(0,(0, ∞∞))
不足指数不足指数 (0, 0)(0, 0) (1, 1)(1, 1) (0, 1)(0, 1)
s.a.s.a.拡大拡大 一意一意 非可算無限個非可算無限個 無無
- 38. 運動量作用素の自己共役拡大運動量作用素の自己共役拡大 (3)(3)
• 定理定理 廣島・栗林・佐々木廣島・栗林・佐々木 (JMI to appear)(JMI to appear)
• Ω⊂Ω⊂RRnn
: open, s.t.: open, s.t. Ω≠Ω≠RRnn
• (3-1) ∃P(3-1) ∃Pjj: not ess. s.a.: not ess. s.a.
• (3-2) Ω: sym. ⇒ ∀P(3-2) Ω: sym. ⇒ ∀Pjj: not ess. s.a.: not ess. s.a.
• (3-3) Ω: x(3-3) Ω: xjj方向について方向についてreflection sym.reflection sym.
⇒⇒ PPjjののs.a.s.a.拡大が存在拡大が存在
- 39. 運動量作用素の自己共役拡大運動量作用素の自己共役拡大 (4)(4)
• 定理定理 (3-1)(3-1) の証明の証明
• QQjj=x=xjj
• ∀∀PPjj: ess. s.a.: ess. s.a.と仮定と仮定
⇒⇒ PPjjeeitQitQkkφ=eφ=eitQitQkk(P(Pjj-tδ-tδjkjk)φ, φ)φ, φ∈∈CC00
∞∞
(Ω)(Ω)
⇒⇒ {P{Pjj, -Q, -Qjj}}jj: WWR: WWR
⇒ {P⇒ {Pjj, -Q, -Qjj}}jj: WR: WR
⇒ {-Q⇒ {-Qjj}}jj の結合スペクトルの結合スペクトル==RRnn
∵∵ von Neumannvon Neumannの一意性定理の一意性定理
• ところがところが,, Ω≠Ω≠ RRnn
((矛盾矛盾))
⇒ ∃⇒ ∃PPjj: not ess. s.a.: not ess. s.a.
- 40. 運動量作用素の自己共役拡大運動量作用素の自己共役拡大 (5)(5)
• 定理定理 (3-2)(3-2) の証明の証明
• 定理定理 (3-1) ⇒ ∃P(3-1) ⇒ ∃Pjj: not ess. s.a.: not ess. s.a.
• Ω: sym.Ω: sym.
⇒⇒ PPjj, j=1, …, n, j=1, …, n :: 互いにユニタリ同値互いにユニタリ同値
⇒ ∀⇒ ∀PPjj: not ess. s.a.: not ess. s.a.
- 41. 運動量作用素の自己共役拡大運動量作用素の自己共役拡大 (6)(6)
• 定理定理 (3-3)(3-3) の証明の証明
• von Neumannvon Neumannの定理の定理
• A: sym., ∃C: AA: sym., ∃C: Aののconj.conj.
(i.e. antilinear C: D(A)→D(A), s.t. AC=CA)(i.e. antilinear C: D(A)→D(A), s.t. AC=CA)
⇒A⇒Aののs.a.s.a.拡大が存在拡大が存在
• RRjj: (x: (x11, …, x, …, xjj, …, x, …, xnn)) ↦↦ (x(x11, …, -x, …, -xjj, …, x, …, xnn))
• CCjj: L: L22
(Q)∋f ↦ f(R(Q)∋f ↦ f(Rjj・・))**
∈L∈L22
(Q)(Q)
⇒ C⇒ Cjj: C: C00
∞∞
(Ω) → C(Ω) → C00
∞∞
(Ω), C(Ω), CjjPPjj=P=PjjCCjj
on Con C00
∞∞
(Ω)(Ω)
⇒⇒ CCjj: D(P: D(Pjj)) →→ D(PD(Pjj), C), CjjPPjj=P=PjjCCjj on D(Pon D(Pjj))
⇒⇒ CCjj: P: Pjjののconj.conj.
• von Neumannvon Neumannの定理の定理 ⇒⇒ PP : s.a.: s.a.拡大を持つ拡大を持つ
- 42. 運動量作用素の自己共役拡大運動量作用素の自己共役拡大 (7)(7)
• 例例
• (1) Ω=(1) Ω=RRnn
＼＼BBRR(0)(0)
• (2) Ω= B(2) Ω= BRR(0)(0)
• (1), (2)(1), (2) の時の時,,
• PPjj, j=1, …, n:, j=1, …, n: 非可算無限個の非可算無限個のs.a.s.a.拡大拡大を持つを持つ
• 定理定理 (3-4)(3-4)
• Ω: open s.t.Ω: open s.t. ∄∄KK⊂⊂RRn-1n-1
, s.t. Ω=, s.t. Ω=RR×K×K
⇒⇒ ∀P∀Pjj: not ess. s.a.: not ess. s.a.
