Logica proposizionale e dei predicati

1. Logica
Logica proposizionale e dei predicati
Michele Minno
Estratti dal libro “Logica - linguaggio, ragionamento, calcolo” di Marta Cialdea Mayer

2. Logica proposizionale
● A livello di frasi (proposizioni)
● Una singola frase può essere semplificata con una variabile
● Es.: Se nevica, la temperatura è 0°C
● Diventa A → B

3. I connettivi logici
● NOT(A): vera quando A è falsa (si può scrivere ￢A)
● A AND B: vera solo quando sia A che B sono vere (si può scrivere A ⋀ B)
● A OR B: falsa solo quando sia A che B sono false (si può scrivere A ⋁ B)
● A → B: falsa solo quando A è vera e B è falsa
● A ↔ B: falsa sia quando A è vera e B è falsa che quando B è vera e A è falsa

4. La semantica dell’implicazione A -> B
● Non sto dicendo niente riguardo al mondo in cui A è falsa
● Se A è falsa, A → B è vera comunque sia B (sia vera che falsa)
● Se A è falsa, non posso ricavare che B è falsa
● Se B è falsa, posso ricavare che A è falsa (altrimenti contraddico
l’implicazione A → B)
● Es.: “Se piove ti vengo a prendere”. Non ti devi sorprendere se vengo anche
se c’è il sole (non ho detto cosa faccio se non piove)

5. Esempi
● “La mancia sarà pagata
solo se il servizio è di
qualità”
● “Il Cagliari vincerà lo
scudetto, a meno che
oggi non vinca l’Inter”

6. L’isola dei furfanti e cavalieri
● I cavalieri dicono sempre la verità, i furfanti mai
● A dice: “Io sono un furfante oppure B è un cavaliere”
● Chi sono A e B?
● La frase X è un cavaliere possiamo semplificarla con: X
● La frase precedente diventa: NOT(A) OR B
● Cosa sono A e B?

7. L’isola dei furfanti e cavalieri
● NOT(A) OR B si può scrivere anche ￢A ⋁ B
● Ci sono solo due mondi possibili:
A è un cavaliere oppure A non è un cavaliere (cioè è un furfante)
● A è un cavaliere: A → ￢A ⋁ B
● A non è un cavaliere: ￢A → ￢(￢A ⋁ B)
L’unico mondo possibile in cui sono vere entrambe le implicazioni è quello in
cui sia A che B sono cavalieri

8. Spiegazione
● Usiamo le
tabelle di verità
per arrivare alla
conclusione
Unico mondo possibile in cui sono
vere entrambe le implicazioni

9. Esercizi

10. Nell’isola dei
cavalieri e furfanti

11. Soluzioni

13. (7g)

15. Soluzioni (fine)

16. Ragionare con l’AND
● Se A e B sono vere prese separatamente, allora anche A AND B è vera
○ Se sono vere A: “Il computer rovina il cervello” e B: ”Il caffè alza la pressione”
○ E’ vera anche “Il computer rovina il cervello e il caffè alza la pressione”
● Se A AND B è vera, allora sono vere anche A e B prese separatamente
○ Se è vera: “2+2=5 e piove”, allora è vero che “2+2=5” (e anche che “piove”)

17. Ragionare con l’OR
● Se A è vera, allora anche A OR B è vera, con B qualsiasi
○ Se è vera: “La somma degli angoli interni di un triangolo è 180°”
○ Allora è vera anche La somma degli angoli interni di un triangolo è 180° oppure Giove è il
padre degli dei”.
● Se A OR B è vera, mi serve un’altra proposizione per stabilire se A è vera
○ Dopo una rapina con fuga in auto, incriminati Antonio (A) e Biagio (B).
○ Se è vera: “A è colpevole oppure B è colpevole” e riesco a scoprire che “B non sa guidare”
arrivo alla conclusione: “Se B è colpevole deve aver avuto un complice”.
○ A questo punto si ragiona per casi: Ammettiamo che A sia colpevole. Allora “A è colpevole”.
○ Ammettiamo che B sia colpevole. Allora dato che “B colpevole -> A colpevole” arriviamo a “A
colpevole”. Quindi in entrambi i casi arriviamo a “A colpevole”. Quindi Antonio è colpevole.

18. Ragionare con l’implicazione
● Se A è vera e A→B allora anche B (MPP: Modus ponendo ponens)
● Se not(B) e A→B allora anche not(A) (MTT: Modus tollendo tollens)
● Se A e da A si dimostra che B, allora ho dimostrato che A→B
○ Es. in matematica

19. Ragionare con il not
● Se dimostro che da A deriva una contraddizione (cioè il falso), allora not(A)
● Dal falso posso derivare qualsiasi cosa (Ex falso quodlibet)
● Se voglio dimostrare A, allora assumo not(A) e ne derivo una contraddizione
(ragionamento per assurdo)

20. Logica dei predicati
● Si entra all’interno della proposizione (soggetto, verbo, complemento)
● Esiste ∃, per ogni ∀
● ∃ presuppone l’esistenza di qualcosa, ∀ no
○ Es. tutti i corvi sono neri
○ Esiste un corvo nero
● Connettivi della logica proposizionale (AND, OR, NOT, implicazione)

21. Esempi

22. Esempi (2)

23. Esempi (3)

24. Esempi (4)

25. Soluzioni

31. Soluzioni (fine)

32. Regole di ragionamento valide (1)
● Da ∀x A(x) posso derivare A(t) dove t è un oggetto preso a caso
(Istanziazione)
○ Dal fatto che “tutti sono brave persone” deriva che “Marco è una brava persona”
● ∀x A ↔ ⌐ ∃x ⌐A (Interdefinibilità dei quantificatori 1)
○ Es. se “tutti sono brave persone” allora “non esiste nessuno che non è una brava
persona”
● ∃x A ↔ ⌐ ∀x ⌐A (Interdefinibilità dei quantificatori 2)
○ Es. se “esiste qualche mela marcia” allora “non tutte le mele sono sane (= non
sono marce)”
● Valgono anche le corrispettive negate:
○ ⌐ ∀x A ↔ ∃x ⌐A e ⌐ ∃x A ↔ ∀x ⌐A

33. Regole di ragionamento valide (2)
● Se ∀x (A → B) allora ∀x A → ∀x B e anche ∃x A → ∃x B
○ Dal fatto che “ogni persona se è buona allora aiuta gli altri” deriva che:
■ “Se tutte le persone sono buone allora tutte le persone aiutano gli altri”
■ “se esiste una persona buona allora aiuta gli altri”
● Da ∀x (A ⋀ B) posso derivare ∀x A ⋀ ∀x B
○ Es. Da “ogni cosa ha una forma e un peso” deriva “tutte le cose hanno una forma
e tutte le cose hanno un peso”
● Da ∃x (A ⋁ B) posso derivare ∃x A ⋁ ∃x B
○ Vedi sopra
Regole di distribuzione

34. Regole di ragionamento valide (3)
● Da ∀x A ⋁ ∀x B posso derivare ∀x (A ⋁ B)
○ Es. Da “ci sono solo oggetti rossi o blu” deriva “ogni oggetto è o rosso o blu”
● Da ∃x (A ⋀ B) posso derivare ∃x A ⋀ ∃x B
○ Es. Se “esiste una persona sia bella che intelligente” deriva “esiste una persona
bella e esiste una persona intelligente”
● Da ∃y ∀x A posso derivare ∀x ∃y A
○ Es. da continuità uniforme (esiste un delta > 0 che per ogni x ..) deriva
continuità semplice (per ogni x esiste un delta > 0 che ..)

35. Regole di ragionamento valide (4)
● se ∀x (A → B) allora A → ∀x B
○ Es. Se “Per ognuno vale che se c’è il sole va al mare” allora “se c’è il sole tutti
vanno al mare”
● se ∀x (B → A) allora ∃x B → A
○ Es. Se “Per ognuno vale che se prova rabbia allora circolano energie negative”
allora “se c’è qualcuno arrabbiato allora circolano energie negative”
Se A non dipende da x

36. Regole non valide
● Da ∀x A → ∀x B non posso derivare ∀x (A → B)
○ Dal fatto che “se tutti vanno alla festa allora tutti entrano gratis” non deriva che
per ognuno “Se va alla festa allora entra gratis”
● Da ∀x (A ⋁ B) non posso derivare ∀x A ⋁ ∀x B
○ Es. A: “essere pari” e B: “essere dispari”
● Da ∃x A ⋀ ∃x B non posso derivare ∃x (A ⋀ B)
○ Vedi sopra
● Da ∀x ∃y A non posso derivare ∃y ∀x A
○ Es. da continuità semplice (Per ogni x esiste un delta > 0 che ..) non posso
derivare continuità uniforme (esiste un delta > 0 che per ogni x ..)