Asignatura de Matemática, esta guía es un resumen para todo estudiante de Secundaria, especialmente si estas en el año de bachillerato, resumen de funciones.

1. Tema: Repaso de funciones
Docente Geovanny Gutiérrez

2. Contenidos
 Funciones.
 Constante
 Lineal
 Valor absoluto
 Cuadrática
 Exponencial
 Logarítmica
 Raíz cuadrada
 Por partes
 Trigonométricas
 Identidades y
ecuaciones
trigonométricas.
 Ley de los senos. Ley
de los cosenos.

3. 𝐴 × 𝐵 = { 𝑎, 𝑏 : 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵}
Definición: El producto cartesiano 𝑨 × 𝑩 de los
conjuntos no vacíos 𝐴 y 𝐵 es el conjunto de todos los
pares ordenados (𝑎, 𝑏) , con 𝑎 en 𝐴 y 𝑏 en 𝐵 .
Simbólicamente:
Definición: Una relación 𝑅 de 𝐴 en 𝐵 es todo subconjunto
del producto cartesiano 𝐴 × 𝐵.
Dominio de 𝑹:
𝐷𝑜𝑚 𝑅 = {𝑥 ∈ 𝐴: 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 para cierto 𝑦 ∈ 𝐵}
Imagen o Rango de 𝑹:
𝑅𝑎𝑛 𝑅 = 𝑦 ∈ 𝐵: 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅, para cierto 𝑥 ∈ 𝐴 .

4. Definición: Sean dos conjuntos no vacíos 𝐴 y 𝐵, una
función es la relación 𝑓 que asocia a todo elemento
𝑥𝐴, un único elemento 𝑦 𝐵.El conjunto 𝐴 se llama
dominio de la función.
.
.
.
.
.
.
.
.
𝐵𝐴 𝑓
𝑓 es una función
.
.
.
.
.
.
.
.
𝐵𝐴 𝑓
𝑓 es una relación, no
es función

5. Función Constante
Tiene la forma 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝐶 , donde 𝐶 es
constante.
Dominio = ℝ Rango = {𝐶 }
Su gráfica es una recta paralela al eje 𝑥.
𝑥
0
𝑦
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝐶, 𝐶 > 0
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝐶, 𝐶 < 0

6. Ejemplos: Escribir dominio, rango y graficar cada función.
1) 𝑓(𝑥) = 3
𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℝ
𝑅𝑎𝑛 𝑓 =  3 
2) 𝑓(𝑥) = − 5, −3 < 𝑥 ≤ 2
𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑥  𝑅 ∶ − 3 < 𝑥 ≤ 2
𝑅𝑎𝑛 𝑓 =  − 5 
𝒚 = 𝒇 (𝒙) = − 𝟓
𝑥
0
𝑦
− 5

− 3 2

°
𝑥0
𝑦
3
𝒚 = 𝒇 (𝒙) = 𝟑


7. Función Lineal
Tiene la forma 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏, 𝑚 ≠ 0
Dominio: ℝ, Rango: ℝ.
Su gráfica es una recta con pendiente 𝑚.
Pasa por el punto (0, 𝑏).
Creciente
(0, 𝑏)
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃, 𝒎 > 𝟎
𝜃 < 90°
𝑦
0 𝑥

Decreciente
(0, 𝑏)
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃, 𝒎 < 𝟎
𝜃 > 90°
𝑦
0 𝑥

8. Ejemplos: Escribir dominio, rango y graficar cada función.
𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟑
𝑦
0 𝑥
(1, 5)5
(0, 3)
1 2


2) 𝒈 𝒙 = − 𝒙 + 𝟐, 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟒)1)𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟑
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ℝ
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = [−1, 4)
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = (−2, 3]
(4, −2)
(−1, 3)
𝒚 = − 𝒙 + 𝟐, 𝒙 ∈ [−𝟏, 𝟒)
𝑦
0 𝑥
4−1
−2
 3
°

9. Función Cuadrática
Una función cuadrática tiene la forma
𝑦 = 𝑎 𝑥 – 𝑏 2
+ 𝑐, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 , 𝑎 ≠ 0.
Dominio: ℝ
Rango: (−, 𝑐] si 𝑎 < 0 y [𝑐, +) si 𝑎 > 0.
La gráfica de una función cuadrática es una curva
llamada parábola y tiene vértice 𝑉(𝑏, 𝑐).
El eje de simetríade la parábola es la recta vertical que
divide a esta en dos partes iguales.

10. El punto de intersección con
el eje 𝑦 es
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3
𝑎 = 1, 𝑏 = −2, 𝑐 = −3
𝑉 = −
𝑏
2𝑎
, 𝑓 −
𝑏
2𝑎
𝑉 = −
−2
2 1
, 𝑓 −
−2
2(1)
= (1, 𝑓 1 )
= (1, −4)
Intercepto con el eje 𝑦:
𝑓 0 = 02 − 2 0 − 3
𝑓 0 = −3
0, −3 .
Graficar la función definida por
Ejemplo

11. 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0
Interceptos con el eje 𝑥:
𝑓 𝑥 = 0
𝑥 − 3 𝑥 + 1 = 0
𝑥 − 3 = 0 ∨ 𝑥 + 1 = 0
𝑥 = 3 ∨ 𝑥 = −1
(−1,0) 3,0 .
Los puntos de intersección con el eje 𝑥 son:
y

12. La gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 es
cóncava hacia arriba.
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = [−4, +∞)
Eje de simetría: 𝑥 = 1

13. Función Exponencial
La función exponencial de
base 𝑎 es de la forma
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥
donde 𝑎 es un número
positivo distinto de 1 y 𝑥
es cualquier número real.
𝒂 > 𝟏
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = (0, +∞)
𝒂 > 𝟏 y 𝟎 < 𝒂 < 𝟏

14. 𝒚 =
𝟏
𝟐
𝒙
𝟎 < 𝒂 < 𝟏, 𝒇 es decreciente
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = (0, +∞)
𝒙
𝒚 =
𝟏
𝟐
𝒙
−𝟑 𝟖
−𝟐 𝟒
−𝟏 𝟐
𝟎 𝟏
𝟏 𝟏
𝟐
𝟐 𝟏
𝟒

15. Función Logarítmica
Logaritmo de un número es
el exponente al que hay que
elevar la base para que nos
dé dicho número.
𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑎 𝑦 = 𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥,
𝑎 > 1 𝑦 0 < 𝑎 < 1
Pasa por el 1,0 .
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = (0, +∞)
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ℝ

16. 𝑓 𝑥 = log2 𝑥
𝑓 1 = 𝑙𝑜𝑔2 1 =
log 1
log 2
= 0
𝑓 2 = 𝑙𝑜𝑔2 2 =
log 2
log 2
= 1
𝑓 4 = 𝑙𝑜𝑔2 4 =
log 4
log 2
≈ 2
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = (0, +∞)
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ℝ
Graficar la función definida por
Encuentre dominio y rango de 𝑓.
Ejemplo
𝑓
1
2
= 𝑙𝑜𝑔2
1
2
=
log
1
2
log 2
= −1
𝒂 = 𝟐 > 𝟏, 𝒇 es creciente

17. Función Raíz Cuadrada
La función raíz cuadradaes una
función 𝑓 cuyo dominio es el
conjunto de los números reales no
negativos y está definida por la
fórmula
𝑓 𝑥 = 𝑥.
El rango de la función valor
absoluto es 0, +∞ .
La gráfica de una función raíz cuadrada corresponde a la
mitad de una parábola como las que conocemos de
la función cuadrática.

18. Ejemplo
𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1Graficar la función definida por
Encuentre dominio y rango de 𝑓.
𝐷𝑜𝑚 𝑓 =
1
2
, )∞
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = ℝ+

19. Ejemplo
Función definida por partes
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = [−2, )∞
𝑅𝑎𝑛 𝑓 = [−2, )5

20. Gráfica

21. Función seno

22. Función coseno

23. Función tangente
Características de 𝒚 = tan 𝒙

24. Gráfica de 𝒚 = tan 𝒙

25. Identidades Trigonométricas
Identidades
Pitagóricas
sen2
𝜃 + cos2
𝜃 = 1
1 + tan2
𝜃 = sec2
𝜃
1 + cot2
𝜃 = csc2
𝜃
Fórmulas de ángulo doble
sen 𝑥 = 2 sen 𝑥 cos 𝑥 cos 2 𝑥 = cos2
𝑥 − sen2
𝑥
tan 2𝑥 =
2 tan 𝑥
1 − tan2 𝑥
cos 2 𝑥 = 1 − 2sen2
𝑥
cos 2 𝑥 = 2cos2
𝑥 −1
Fórmulas de ángulo medio
sen
𝑥
2
= ±
1 − cos 𝑥
2
cos
𝑥
2
= ±
1 + cos 𝑥
2
tan
𝑥
2
= ±
1 − cos 𝑥
1 + cos 𝑥
= ±
sen 𝑥
1 + cos 𝑥
= ±
1 − cos 𝑥
sen 𝑥

26. Ejemplo

27. Ejemplo

30. Ejemplo

33. Entonces

34. Ejemplo

38. GRACIAS