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ガンマ分布族のなす空間の曲率
- 3. 統計的モデル
(Ω, F , P):確率空間,
(Ω:標本空間,F :σ-加法族,P:F 上の確率測度)
Ξ ⊂ Rn :開領域 (パラメータ空間) とする.
(n は確率密度関数のパラメータの個数)
定義
S が Ω 上の統計的モデル (または,パラメトリックモデル)
def
⇐⇒
S が ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Ξ でパラメータ付けされた正値確率密度関数
の集合である. {
}
∫
S = p(x; ξ)
Ω
p(x; ξ)dx = 1, p(x; ξ) > 0 .
Ξ を座標近傍と見ることで,統計的モデルを n 次元多様体とみ
なす.
.
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
3 / 20
- 4. 統計的モデル
(Ω, F , P):確率空間,
(Ω:標本空間,F :σ-加法族,P:F 上の確率測度)
Ξ ⊂ Rn :開領域 (パラメータ空間) とする.
(n は確率密度関数のパラメータの個数)
定義
S が Ω 上の統計的モデル (または,パラメトリックモデル)
def
⇐⇒
S が ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Ξ でパラメータ付けされた正値確率密度関数
の集合である. {
}
∫
S = p(x; ξ)
Ω
p(x; ξ)dx = 1, p(x; ξ) > 0 .
Ξ を座標近傍と見ることで,統計的モデルを n 次元多様体とみ
なす.
.
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
3 / 20
- 5. 統計的モデル
(Ω, F , P):確率空間,
(Ω:標本空間,F :σ-加法族,P:F 上の確率測度)
Ξ ⊂ Rn :開領域 (パラメータ空間) とする.
(n は確率密度関数のパラメータの個数)
定義
S が Ω 上の統計的モデル (または,パラメトリックモデル)
def
⇐⇒
S が ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Ξ でパラメータ付けされた正値確率密度関数
の集合である. {
}
∫
S = p(x; ξ)
Ω
p(x; ξ)dx = 1, p(x; ξ) > 0 .
Ξ を座標近傍と見ることで,統計的モデルを n 次元多様体とみ
なす.
.
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
3 / 20
- 6. 統計的モデルの例 (1)
例 (正規分布)
正規分布の確率密度関数:
(
(x − µ)2
p(x; µ, σ) = √
exp −
2σ2
2πσ
1
)
ここで,µ ∈ R:平均,σ ∈ R>0 :分散.
パラメータ空間:Ξ = R × R>0 (上半平面)
2 次元の多様体とみなすことができる.
{
)
}
(
1
(x − µ)2
S = p(x; µ, σ) = √
; µ ∈ R, σ ∈ R>0
exp −
.
2σ2
2πσ
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
4 / 20
- 7. 統計的モデルの例 (2)
例 (有限標本空間上の離散確率分布)
Ω = {x0 , x1 , . . . , xn }
∑
各 i = 1, . . . , n について,ξi > 0 かつ, n ξi < 1 となるように ξi を
i=1
定める.このとき,確率関数を
ξ
i
(1 i n)
p(xi ; ξ1 , . . . , ξn ) =
ξ := 1 − ∑n ξ (i = 0)
0
j=1 j
で定める.すると,
S = {p(xi ; ξ1 , . . . , ξn ) = ξi , ξi > 0(i = 0, 1, . . . , n)}
は n 次元統計的モデルである.
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ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
.
2014 年 1 月 25 日
5 / 20
- 8. Fisher 計量
定義 (Fisher 計量)
S = {p(x; ξ)}:統計的モデル.
)
(
行列 gF = gF (ξ) が S 上の Fisher 計量
ij
def
⇐⇒
(1) 各成分が次式で与えられている.
)(
∫ (
gF (ξ)
ij
:=
Ω
∂
log p(x; ξ)
∂ξi
)
∂
log p(x; ξ) p(x; ξ)dx
∂ξj
(2) i, j, ξ に関して関数 gF (ξ) が有限値.
ij
(3) 行列 g =
F
(
)
gF (ξ)
ij
.
が正定値.
一般的に,任意の統計的モデルに対して,Fisher 計量が定義でき
るとは限らない.(例:Cauchy 分布 (∵) 平均が定義できない.)
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
6 / 20
- 9. Fisher 計量
定義 (Fisher 計量)
S = {p(x; ξ)}:統計的モデル.
)
(
行列 gF = gF (ξ) が S 上の Fisher 計量
ij
def
⇐⇒
(1) 各成分が次式で与えられている.
)(
∫ (
gF (ξ)
ij
:=
Ω
∂
log p(x; ξ)
∂ξi
)
∂
log p(x; ξ) p(x; ξ)dx
∂ξj
(2) i, j, ξ に関して関数 gF (ξ) が有限値.
ij
(3) 行列 g =
F
(
)
gF (ξ)
ij
.
が正定値.
一般的に,任意の統計的モデルに対して,Fisher 計量が定義でき
るとは限らない.(例:Cauchy 分布 (∵) 平均が定義できない.)
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
6 / 20
- 10. Fisher 計量
定義 (Fisher 計量)
S = {p(x; ξ)}:統計的モデル.
)
(
行列 gF = gF (ξ) が S 上の Fisher 計量
ij
def
⇐⇒
(1) 各成分が次式で与えられている.
)(
∫ (
gF (ξ)
ij
:=
Ω
∂
log p(x; ξ)
∂ξi
)
∂
log p(x; ξ) p(x; ξ)dx
∂ξj
(2) i, j, ξ に関して関数 gF (ξ) が有限値.
ij
(3) 行列 g =
F
(
)
gF (ξ)
ij
.
が正定値.
一般的に,任意の統計的モデルに対して,Fisher 計量が定義でき
るとは限らない.(例:Cauchy 分布 (∵) 平均が定義できない.)
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
6 / 20
- 11. α-接続
定義 (α-接続)
S:統計的モデル,gF :S 上の Fisher 計量.
α ∈ R に対して,次式で (S, gF ) 上の α-接続 ∇(α) を定める.
(
)
∂
(α)
(α) ∂
F
Γij,k (ξ) = g ∇ ∂ j , k
∂ξ
∂ξi ∂ξ
)
∫ (
∂ ∂
1−α ∂
∂
=
log p(x; ξ) +
log p(x; ξ) j log p(x; ξ)
i
j
2 ∂ξi
∂ξ
Ω ∂ξ ∂ξ
(
)
∂
×
log p(x; ξ) p(x; ξ)dx
∂ξk
.
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
7 / 20
- 12. Fisher 計量と α-接続に関する性質 (1)
(1) 任意の α ∈ R に対して,∇(α) は捩れをもたない.
つまり,任意のベクトル場 X, Y, Z に対して,
T ∇ (X, Y) := ∇(α) Y − ∇(α) X − [X, Y] ≡ 0.
X
Y
(α)
(2) ∇(α) と ∇(−α) は互いに gF に関して,双対である.
つまり,任意のベクトル場 X, Y, Z に対して,
(
)
(
)
(
)
X gF (Y, Z) = gF ∇(α) Y, Z + gF Y, ∇(−α) Z .
X
X
(3) ∇(0) は Fisher 計量 gF に関する Levi-Civita 接続.
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
8 / 20
- 13. Fisher 計量と α-接続に関する性質 (1)
(1) 任意の α ∈ R に対して,∇(α) は捩れをもたない.
つまり,任意のベクトル場 X, Y, Z に対して,
T ∇ (X, Y) := ∇(α) Y − ∇(α) X − [X, Y] ≡ 0.
X
Y
(α)
(2) ∇(α) と ∇(−α) は互いに gF に関して,双対である.
つまり,任意のベクトル場 X, Y, Z に対して,
(
)
(
)
(
)
X gF (Y, Z) = gF ∇(α) Y, Z + gF Y, ∇(−α) Z .
X
X
(3) ∇(0) は Fisher 計量 gF に関する Levi-Civita 接続.
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
8 / 20
- 14. Fisher 計量と α-接続に関する性質 (1)
(1) 任意の α ∈ R に対して,∇(α) は捩れをもたない.
つまり,任意のベクトル場 X, Y, Z に対して,
T ∇ (X, Y) := ∇(α) Y − ∇(α) X − [X, Y] ≡ 0.
X
Y
(α)
(2) ∇(α) と ∇(−α) は互いに gF に関して,双対である.
つまり,任意のベクトル場 X, Y, Z に対して,
(
)
(
)
(
)
X gF (Y, Z) = gF ∇(α) Y, Z + gF Y, ∇(−α) Z .
X
X
(3) ∇(0) は Fisher 計量 gF に関する Levi-Civita 接続.
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
8 / 20
- 15. Fisher 計量と α-接続に関する性質 (2)
(4) (0, 3) テンソル場を次式で定める.
)(
∫ (
)(
)
∂
∂
∂
F
Cijk (ξ) = Ω ∂ξi log p(x; ξ) ∂ξj log p(x; ξ) ∂ξk log p(x; ξ) p(x; ξ)dx
任意のベクトル場 X, Y, Z に対して,
( (α) )
∇X gF (Y, Z) = αCF (X, Y, Z)
(5) 任意のベクトル場 X, Y, Z に対して,
( (α) )
(
)
∇X g (Y, Z) = ∇(α) g (X, Z).
Y
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
9 / 20
- 16. Fisher 計量と α-接続に関する性質 (2)
(4) (0, 3) テンソル場を次式で定める.
)(
∫ (
)(
)
∂
∂
∂
F
Cijk (ξ) = Ω ∂ξi log p(x; ξ) ∂ξj log p(x; ξ) ∂ξk log p(x; ξ) p(x; ξ)dx
任意のベクトル場 X, Y, Z に対して,
( (α) )
∇X gF (Y, Z) = αCF (X, Y, Z)
(5) 任意のベクトル場 X, Y, Z に対して,
( (α) )
(
)
∇X g (Y, Z) = ∇(α) g (X, Z).
Y
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
9 / 20
- 17. 例 (1)
例 (正規分布)
{
(
(x − µ)2
S = p(x; µ, σ) = √
exp −
2σ2
2πσ
1
Fisher 計量は
1
g (µ, σ) = 2
σ
F
(
)}
.
)
1 0
.
0 2
1
曲率は定曲率 − .
2
.
1
つまり,正規分布族のなす空間は − の負の定曲率空間.
2
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
10 / 20
- 18. 例 (1)
例 (正規分布)
{
(
(x − µ)2
S = p(x; µ, σ) = √
exp −
2σ2
2πσ
1
Fisher 計量は
1
g (µ, σ) = 2
σ
F
(
)}
.
)
1 0
.
0 2
1
曲率は定曲率 − .
2
.
1
つまり,正規分布族のなす空間は − の負の定曲率空間.
2
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
10 / 20
- 19. 例 (1)
例 (正規分布)
{
(
(x − µ)2
S = p(x; µ, σ) = √
exp −
2σ2
2πσ
1
Fisher 計量は
1
g (µ, σ) = 2
σ
F
(
)}
.
)
1 0
.
0 2
1
曲率は定曲率 − .
2
.
1
つまり,正規分布族のなす空間は − の負の定曲率空間.
2
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
10 / 20
- 20. 例 (2)
例 (有限標本空間上の離散分布)
Fisher 計量は
ξ0
1 + ξ1
1
1
···
1
ξ0
1
1 + ξ2
1
···
1
(
) 1
.
..
ξ0
1
F
.
.
gij (ξ1 , . . . , ξn ) =
1
1 + ξ3
.
ξ0 .
.
.
..
..
.
.
.
.
.
1
1
1
···
1 1 + ξ0
ξn
.
1
曲率は定曲率 .
4
つまり,有限標本空間上の離散分布族のなす空間は
率空間.
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
1
の正の定曲
4
2014 年 1 月 25 日
11 / 20
- 21. 例 (2)
例 (有限標本空間上の離散分布)
Fisher 計量は
ξ0
1 + ξ1
1
1
···
1
ξ0
1
1 + ξ2
1
···
1
(
) 1
.
..
ξ0
1
F
.
.
gij (ξ1 , . . . , ξn ) =
1
1 + ξ3
.
ξ0 .
.
.
..
..
.
.
.
.
.
1
1
1
···
1 1 + ξ0
ξn
.
1
曲率は定曲率 .
4
つまり,有限標本空間上の離散分布族のなす空間は
率空間.
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
1
の正の定曲
4
2014 年 1 月 25 日
11 / 20
- 22. 例 (2)
例 (有限標本空間上の離散分布)
Fisher 計量は
ξ0
1 + ξ1
1
1
···
1
ξ0
1
1 + ξ2
1
···
1
(
) 1
.
..
ξ0
1
F
.
.
gij (ξ1 , . . . , ξn ) =
1
1 + ξ3
.
ξ0 .
.
.
..
..
.
.
.
.
.
1
1
1
···
1 1 + ξ0
ξn
.
1
曲率は定曲率 .
4
つまり,有限標本空間上の離散分布族のなす空間は
率空間.
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
1
の正の定曲
4
2014 年 1 月 25 日
11 / 20
- 23. 統計多様体
M :C∞ 多様体
g:Riemann 計量
∇:M 上の捩れのないアファイン接続
定義
(M, ∇, g) が統計多様体である.
def
⇐⇒ ∇g が各成分に関して対称な (0, 3) テンソル場である.
.
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
12 / 20
- 24. 統計多様体
M :C∞ 多様体
g:Riemann 計量
∇:M 上の捩れのないアファイン接続
定義
(M, ∇, g) が統計多様体である.
def
⇐⇒ ∇g が各成分に関して対称な (0, 3) テンソル場である.
.
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
12 / 20
- 25. 命題
(M, g):Riemann 多様体
C:各成分に関して対称な (0,3) 型テンソル場,
∇(0) :g に関する Levi-Civita 接続とする.
任意の実数 t ∈ R について,接続 ∇(t) を次式で定める.
(
)
(
) t
g ∇(t) Y, Z := g ∇(0) Y, Z − C(X, Y, Z)
X
X
2
このとき,以下が成り立つ.
(1) ∇(t) は捩れのないアファイン接続である.
.
(2) ∇(t) と ∇(−t) とは互いに g に関して双対である.
(3) ∇(t) g が各成分に関して対称な (0,3) 型テンソル場である.
(M, g) と C =⇒ (M, ∇(t) , g) は統計多様体である.
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
13 / 20
- 26. 命題
(M, g):Riemann 多様体
C:各成分に関して対称な (0,3) 型テンソル場,
∇(0) :g に関する Levi-Civita 接続とする.
任意の実数 t ∈ R について,接続 ∇(t) を次式で定める.
(
)
(
) t
g ∇(t) Y, Z := g ∇(0) Y, Z − C(X, Y, Z)
X
X
2
このとき,以下が成り立つ.
(1) ∇(t) は捩れのないアファイン接続である.
.
(2) ∇(t) と ∇(−t) とは互いに g に関して双対である.
(3) ∇(t) g が各成分に関して対称な (0,3) 型テンソル場である.
(M, g) と C =⇒ (M, ∇(t) , g) は統計多様体である.
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
13 / 20
- 27. ガンマ分布族
ガンマ分布の確率密度関数は次式で与えられている.
e− θ
Γ(k)θk
x
p(x; k, θ) = x
k−1
ここで,k ∈ R>0 :形状母数,θ ∈ R>0 :尺度母数.
パラメータ空間:Ξ = R>0 × R>0
よって,2 次元多様体とみなすことができる.
ガンマ分布の統計的意味・性質は
1
トランジスタなど電子部品が故障するまでの寿命分布
2
k = 1 のとき,p(x; 1, θ) は指数分布である.
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
14 / 20
- 28. ガンマ分布族
ガンマ分布の確率密度関数は次式で与えられている.
e− θ
Γ(k)θk
x
p(x; k, θ) = x
k−1
ここで,k ∈ R>0 :形状母数,θ ∈ R>0 :尺度母数.
パラメータ空間:Ξ = R>0 × R>0
よって,2 次元多様体とみなすことができる.
ガンマ分布の統計的意味・性質は
1
トランジスタなど電子部品が故障するまでの寿命分布
2
k = 1 のとき,p(x; 1, θ) は指数分布である.
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
14 / 20
- 29. ガンマ分布に関する Fisher 計量と α-接続係数
gF (k, θ) =
θθ
k
,
θ2
ここで,ψ(n) (k) =
1
gF (k, θ) = gF (k, θ) = ,
kθ
θk
θ
dn+1
dkn+1
gF (k, θ) = ψ(1) (k)
kk
log Γ(k)(ポリガンマ関数) とする.
α(1 − 2kψ(1) (k)) + 3 − 2kψ(1) (k)
=
,
2θ(kψ(1) (k) − 1)
k(α − 1)
Γ(α)k (k, θ) = 2 (1)
,
θθ
2θ (kψ (k) − 1)
ψ(1) (k)(1 − α)
1−α
,
Γ(α)k (k, θ) = −
Γ(α)θ (k, θ) =
kθ
kθ
2(kψ(1) (k) − 1)
2θ(kψ(1) (k) − 1)
(2)
θψ (k)(1 − α)
kψ(2) (k)(1 − α)
Γ(α)θ (k, θ) = −
,
Γ(α)k (k, θ) =
kk
kk
2(kψ(1) (k) − 1)
2(kψ(1) (k) − 1)
Γ(α)θ (k, θ)
θθ
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
15 / 20
- 30. ガンマ分布に関する Fisher 計量と α-接続係数
gF (k, θ) =
θθ
k
,
θ2
ここで,ψ(n) (k) =
1
gF (k, θ) = gF (k, θ) = ,
kθ
θk
θ
dn+1
dkn+1
gF (k, θ) = ψ(1) (k)
kk
log Γ(k)(ポリガンマ関数) とする.
α(1 − 2kψ(1) (k)) + 3 − 2kψ(1) (k)
=
,
2θ(kψ(1) (k) − 1)
k(α − 1)
Γ(α)k (k, θ) = 2 (1)
,
θθ
2θ (kψ (k) − 1)
ψ(1) (k)(1 − α)
1−α
,
Γ(α)k (k, θ) = −
Γ(α)θ (k, θ) =
kθ
kθ
2(kψ(1) (k) − 1)
2θ(kψ(1) (k) − 1)
(2)
θψ (k)(1 − α)
kψ(2) (k)(1 − α)
Γ(α)θ (k, θ) = −
,
Γ(α)k (k, θ) =
kk
kk
2(kψ(1) (k) − 1)
2(kψ(1) (k) − 1)
Γ(α)θ (k, θ)
θθ
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
15 / 20
- 31. α-曲率テンソルの係数
R(α)θ (k, θ) = R(α)k (k, θ) = −R(α)θ (k, θ) = −R(α)k (k, θ)
kkθ
kθk
θθk
θkθ
(
)
2
(1)
(2)
(1 − α ) ψ (k) + kψ (k)
=
,
4θ(kψ(1) (k) − 1)2
(
)
(1 − α2 ) (ψ(1) (k))2 + kψ(1) (k)ψ(2) (k)
R(α)θ (k, θ) = −R(α)θ (k, θ) =
,
kθk
kkθ
4(kψ(1) (k) − 1)2
(1 − α2 )(kψ(1) (k) + k2 ψ(2) (k))
R(α)k (k, θ) = −R(α)k (k, θ) =
,
θkθ
θθk
4θ2 (kψ(1) (k) − 1)2
R(α)θ (k, θ) = R(α)θ (k, θ) = R(α)θ (k, θ) = R(α)θ (k, θ)
θθθ
kθθ
θkk
kkk
=R(α)k (k, θ) = R(α)k (k, θ) = R(α)k (k, θ) = R(α)k (k, θ) = 0
θθθ
kθθ
θkk
kkk
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
16 / 20
- 32. α-Ricci テンソルと α-スカラー曲率
R(α) (k, θ)
θθ
=
∑
R(α)m
θmθ
m∈{k,θ}
R(α) (k, θ) =
kθ
∑
R(α)m
θmk
m∈{k,θ}
R(α) (k, θ) =
θk
∑
R(α)m
kmθ
m∈{k,θ}
R(α) (k, θ) =
kk
∑
R(α)m
kmk
m∈{k,θ}
K (α) (k, θ) =
∑
i,j∈{θ,k}
浅野正貴 (大阪市立大学)
(1 − α2 )(kψ(1) (k) + k2 ψ(2) (k))
=
4θ2 (kψ(1) (k) − 1)2
(
)
(1 − α2 ) ψ(1) (k) + kψ(2) (k)
=
4θ(kψ(1) (k) − 1)2
(
)
(1 − α2 ) ψ(1) (k) + kψ(2) (k)
=
4θ(kψ(1) (k) − 1)2
(
)
(1 − α2 ) (ψ(1) (k))2 + kψ(1) (k)ψ(2) (k)
=
4(kψ(1) (k) − 1)2
Rij gij =
(
)
(1 − α2 ) ψ(1) (k) + kψ(2) (k)
2(kψ(1) (k) − 1)2
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
17 / 20
- 33. α-Ricci テンソルと α-スカラー曲率
R(α) (k, θ)
θθ
=
∑
R(α)m
θmθ
m∈{k,θ}
R(α) (k, θ) =
kθ
∑
R(α)m
θmk
m∈{k,θ}
R(α) (k, θ) =
θk
∑
R(α)m
kmθ
m∈{k,θ}
R(α) (k, θ) =
kk
∑
R(α)m
kmk
m∈{k,θ}
K (α) (k, θ) =
∑
i,j∈{θ,k}
浅野正貴 (大阪市立大学)
(1 − α2 )(kψ(1) (k) + k2 ψ(2) (k))
=
4θ2 (kψ(1) (k) − 1)2
(
)
(1 − α2 ) ψ(1) (k) + kψ(2) (k)
=
4θ(kψ(1) (k) − 1)2
(
)
(1 − α2 ) ψ(1) (k) + kψ(2) (k)
=
4θ(kψ(1) (k) − 1)2
(
)
(1 − α2 ) (ψ(1) (k))2 + kψ(1) (k)ψ(2) (k)
=
4(kψ(1) (k) − 1)2
Rij gij =
(
)
(1 − α2 ) ψ(1) (k) + kψ(2) (k)
2(kψ(1) (k) − 1)2
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
17 / 20
- 34. まとめ
• α = ±1 のとき,曲率テンソルの各成分は消える.
• 同様に,α = ±1 のとき,Ricci テンソル,スカラー曲率も消
える.
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
18 / 20
- 35. まとめ
• α = ±1 のとき,曲率テンソルの各成分は消える.
• 同様に,α = ±1 のとき,Ricci テンソル,スカラー曲率も消
える.
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
18 / 20
- 36. Thank you for your attention!!
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
19 / 20
- 37. 補足
正規分布族の α-接続は
∇(α)
∂
∂µ
1−α ∂
1 + 2α ∂
∂
∂
=
, ∇(α)
=−
∂
∂µ
2σ ∂σ ∂µ ∂µ
σ ∂σ
∂
∂
1+α ∂
∇(α)
= ∇(α)
=−
∂
∂
σ ∂µ
∂µ ∂σ
∂σ ∂µ
有限標本空間上の離散分布族の α-接続は
(
)
1 + α ξk
1
ξk ∂
(α) ∂
=
− δij δjk + δij
∇∂
2
ξ0
ξi
ξi ∂ξk
∂ξi ∂ξj
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
2014 年 1 月 25 日
20 / 20
- 38. 補足
正規分布族の α-接続は
∇(α)
∂
∂µ
1−α ∂
1 + 2α ∂
∂
∂
=
, ∇(α)
=−
∂
∂µ
2σ ∂σ ∂µ ∂µ
σ ∂σ
∂
∂
1+α ∂
∇(α)
= ∇(α)
=−
∂
∂
σ ∂µ
∂µ ∂σ
∂σ ∂µ
有限標本空間上の離散分布族の α-接続は
(
)
1 + α ξk
1
ξk ∂
(α) ∂
=
− δij δjk + δij
∇∂
2
ξ0
ξi
ξi ∂ξk
∂ξi ∂ξj
浅野正貴 (大阪市立大学)
ガンマ分布族のなす曲面の曲率について
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