SlideShare a Scribd company logo
1 of 23
Download to read offline
GRAMMIK'H      '
               ALGEBRA

       27h diˆlexh:
        Probolèc




    23 NoembrÐou 2012
Probol  se eujeÐa tou R n
Na brejeÐ h probol      p tou b epˆnw sthn eujeÐa
pou orÐzei to   a

Na brejeÐ to plhsièstero sto    b shmeÐo p thc
eujeÐac pou orÐzei to   a
To   a dièrqetai apo thn arq  twn axìnwn.
Probol  se eujeÐa tou R n
Probol  se eujeÐa tou R n
H   probol     p   enìc   dianÔmatoc


b ∈ Rn    se   mia eujeÐa   a ∈ Rn   pou


pernˆei   apo to    0
H    probol          p   enìc   dianÔmatoc


b ∈ Rn       se   mia eujeÐa      a ∈ Rn   pou


pernˆei      apo to     0
                        T
 -   eÐnai   h   p   = aT b a
                       a a
H    probol          p   enìc   dianÔmatoc


b ∈ Rn       se      mia eujeÐa   a ∈ Rn   pou


pernˆei      apo to     0
                        T
 -   eÐnai   h   p   = aT b a
                       a a
 -   me   antÐstoiqo       pÐnaka probol c


         aa      T
     P = aT a
H    probol           p   enìc      dianÔmatoc


b ∈ Rn        se      mia eujeÐa         a ∈ Rn   pou


pernˆei        apo to    0
                         T
 -   eÐnai    h   p   = aT b a
                        a a
 -   me   antÐstoiqo            pÐnaka probol c


         aa       T
     P = aT a
          που είναι συμμετρικός και τάξης 1
Parˆdeigma
                      1           1
                                

 -   Probol    tou
                     2   sto
                                 1
                      3           1
Parˆdeigma
                      1           1
                                

 -   Probol    tou
                     2   sto
                                 1
                      3           1
                                  1
                                  

 -   PÐnakac   probol c sto
                                 1
                                  1
Parˆdeigma
                      1           1
                                

 -   Probol    tou
                     2   sto
                                 1
                      3           1
                                  1
                                  

 -   PÐnakac   probol c sto
                                 1   kai


                                  1
           cos θ
     sto
           sin θ
Efarmog 
Efarmog 
UpologÐste   x   tètoio ¸ste   Ax = b
Efarmog 
UpologÐste   x   tètoio ¸ste   Ax = b kai x ∈ R(A).
                                            /
Efarmog 
UpologÐste   x   tètoio ¸ste   Ax = b kai x ∈ R(A).
                                            /
Elˆqista Tetrˆgwna

An   Ax = b   kai   x ∈ R(A)
                      /        tìte
Elˆqista Tetrˆgwna

An   Ax = b     kai   x ∈ R(A)
                        /      tìte    mia


prosèggish thc        lÔshc x  eÐnai   h


lÔsh   y   tou sust matoc     Ay = p
ìpou   p   h   probol    toub  stonR(A)      .
Elˆqista Tetrˆgwna
   Ax = b
Elˆqista Tetrˆgwna
   Ax = b ⇒ AT Ax = AT b
Elˆqista Tetrˆgwna
   Ax = b ⇒ AT Ax = AT b ⇒

      x = AT A        AT b
                 −1
Elˆqista Tetrˆgwna
    Ax = b ⇒ AT Ax = AT b ⇒

       x = AT A          AT b
                    −1



Prˆgmati   AT (Ax − b) = 0
Elˆqista Tetrˆgwna
    Ax = b ⇒ AT Ax = AT b ⇒

       x = AT A             AT b
                       −1



Prˆgmati   AT (Ax − b) = 0
Upìjesh:   oi st lec   tou    A    eÐnai
Parˆdeigma

       1 4        4
                
      1 5  x = 5
       0 6        6

More Related Content

Viewers also liked

επισκόπηση παράλληλων μεθόδων επίλυσης μδε σε Clusters με mpi
επισκόπηση παράλληλων μεθόδων επίλυσης μδε σε Clusters με mpiεπισκόπηση παράλληλων μεθόδων επίλυσης μδε σε Clusters με mpi
επισκόπηση παράλληλων μεθόδων επίλυσης μδε σε Clusters με mpiManolis Vavalis
 
Εισαγωγικά - Διαδικαστικά
Εισαγωγικά - ΔιαδικαστικάΕισαγωγικά - Διαδικαστικά
Εισαγωγικά - ΔιαδικαστικάManolis Vavalis
 
Μη τετραγωνικά συστήματα
Μη τετραγωνικά συστήματαΜη τετραγωνικά συστήματα
Μη τετραγωνικά συστήματαManolis Vavalis
 
Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό
Εισαγωγή στον Γραμμικό ΠρογραμματισμόΕισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό
Εισαγωγή στον Γραμμικό ΠρογραμματισμόManolis Vavalis
 
17η Διάλεξη - Επίλυση μη-τετραγωνικού συστήματος
17η Διάλεξη - Επίλυση μη-τετραγωνικού συστήματος17η Διάλεξη - Επίλυση μη-τετραγωνικού συστήματος
17η Διάλεξη - Επίλυση μη-τετραγωνικού συστήματοςManolis Vavalis
 
19η Διάλεξη - Επανάληψη & Εισαγωγή στου Θεμελειώδεις Υπόχωρους
19η Διάλεξη - Επανάληψη & Εισαγωγή στου Θεμελειώδεις Υπόχωρους19η Διάλεξη - Επανάληψη & Εισαγωγή στου Θεμελειώδεις Υπόχωρους
19η Διάλεξη - Επανάληψη & Εισαγωγή στου Θεμελειώδεις ΥπόχωρουςManolis Vavalis
 
2η διάλεξη Τεχνολογίες Παγκόσμιου Ιστού
2η διάλεξη Τεχνολογίες Παγκόσμιου Ιστού2η διάλεξη Τεχνολογίες Παγκόσμιου Ιστού
2η διάλεξη Τεχνολογίες Παγκόσμιου ΙστούManolis Vavalis
 
Constituição de 1988
Constituição de 1988Constituição de 1988
Constituição de 1988Luiza Katia
 
Investigacion pedaagogica compuuuu
Investigacion pedaagogica compuuuuInvestigacion pedaagogica compuuuu
Investigacion pedaagogica compuuuukarenoes
 
Diva Maharashtracha Menu
Diva Maharashtracha MenuDiva Maharashtracha Menu
Diva Maharashtracha MenuAdrian McMahon
 

Viewers also liked (20)

επισκόπηση παράλληλων μεθόδων επίλυσης μδε σε Clusters με mpi
επισκόπηση παράλληλων μεθόδων επίλυσης μδε σε Clusters με mpiεπισκόπηση παράλληλων μεθόδων επίλυσης μδε σε Clusters με mpi
επισκόπηση παράλληλων μεθόδων επίλυσης μδε σε Clusters με mpi
 
Ch. x web performance
Ch. x web performanceCh. x web performance
Ch. x web performance
 
Εισαγωγικά - Διαδικαστικά
Εισαγωγικά - ΔιαδικαστικάΕισαγωγικά - Διαδικαστικά
Εισαγωγικά - Διαδικαστικά
 
Μη τετραγωνικά συστήματα
Μη τετραγωνικά συστήματαΜη τετραγωνικά συστήματα
Μη τετραγωνικά συστήματα
 
Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό
Εισαγωγή στον Γραμμικό ΠρογραμματισμόΕισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό
Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό
 
17η Διάλεξη - Επίλυση μη-τετραγωνικού συστήματος
17η Διάλεξη - Επίλυση μη-τετραγωνικού συστήματος17η Διάλεξη - Επίλυση μη-τετραγωνικού συστήματος
17η Διάλεξη - Επίλυση μη-τετραγωνικού συστήματος
 
19η Διάλεξη - Επανάληψη & Εισαγωγή στου Θεμελειώδεις Υπόχωρους
19η Διάλεξη - Επανάληψη & Εισαγωγή στου Θεμελειώδεις Υπόχωρους19η Διάλεξη - Επανάληψη & Εισαγωγή στου Θεμελειώδεις Υπόχωρους
19η Διάλεξη - Επανάληψη & Εισαγωγή στου Θεμελειώδεις Υπόχωρους
 
2η διάλεξη Τεχνολογίες Παγκόσμιου Ιστού
2η διάλεξη Τεχνολογίες Παγκόσμιου Ιστού2η διάλεξη Τεχνολογίες Παγκόσμιου Ιστού
2η διάλεξη Τεχνολογίες Παγκόσμιου Ιστού
 
Rodolfo kusch geocultura del hombre americano
Rodolfo kusch   geocultura del hombre americanoRodolfo kusch   geocultura del hombre americano
Rodolfo kusch geocultura del hombre americano
 
Enfoque cuantitativo
Enfoque cuantitativoEnfoque cuantitativo
Enfoque cuantitativo
 
Tv web
Tv webTv web
Tv web
 
Configuración laboral del sector turístico y microemprendimiento maipu
Configuración laboral del sector turístico y microemprendimiento maipuConfiguración laboral del sector turístico y microemprendimiento maipu
Configuración laboral del sector turístico y microemprendimiento maipu
 
Doc1
Doc1Doc1
Doc1
 
Constituição de 1988
Constituição de 1988Constituição de 1988
Constituição de 1988
 
Produccion de conocimiento desde los pme
Produccion de conocimiento desde los pmeProduccion de conocimiento desde los pme
Produccion de conocimiento desde los pme
 
Perfil emprendedor sandra anton
Perfil emprendedor sandra antonPerfil emprendedor sandra anton
Perfil emprendedor sandra anton
 
Bon appetit dossier
Bon appetit dossierBon appetit dossier
Bon appetit dossier
 
Investigacion pedaagogica compuuuu
Investigacion pedaagogica compuuuuInvestigacion pedaagogica compuuuu
Investigacion pedaagogica compuuuu
 
Perfil emprendedor ana castillo
Perfil emprendedor ana castilloPerfil emprendedor ana castillo
Perfil emprendedor ana castillo
 
Diva Maharashtracha Menu
Diva Maharashtracha MenuDiva Maharashtracha Menu
Diva Maharashtracha Menu
 

Recently uploaded

TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2023 CÓ ĐÁP ÁN (SƯU...
TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2023 CÓ ĐÁP ÁN (SƯU...TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2023 CÓ ĐÁP ÁN (SƯU...
TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2023 CÓ ĐÁP ÁN (SƯU...Nguyen Thanh Tu Collection
 
FAIL REKOD PENGAJARAN.pptx fail rekod pengajaran
FAIL REKOD PENGAJARAN.pptx fail rekod pengajaranFAIL REKOD PENGAJARAN.pptx fail rekod pengajaran
FAIL REKOD PENGAJARAN.pptx fail rekod pengajaransekolah233
 
Bahare Shariat Jild 4 By SadurshSharia Mufti Amjad Ali Azmi
Bahare Shariat Jild 4 By SadurshSharia Mufti Amjad Ali AzmiBahare Shariat Jild 4 By SadurshSharia Mufti Amjad Ali Azmi
Bahare Shariat Jild 4 By SadurshSharia Mufti Amjad Ali Azmibookbahareshariat
 
Bahare Shariat Jild 1 By SadurshSharia Mufti Amjad Ali Azmi
Bahare Shariat Jild 1 By SadurshSharia Mufti Amjad Ali AzmiBahare Shariat Jild 1 By SadurshSharia Mufti Amjad Ali Azmi
Bahare Shariat Jild 1 By SadurshSharia Mufti Amjad Ali Azmibookbahareshariat
 
مختصر علم احكام القرآن فقه القرآن وفق منهج العرض
مختصر علم احكام القرآن فقه القرآن وفق منهج العرضمختصر علم احكام القرآن فقه القرآن وفق منهج العرض
مختصر علم احكام القرآن فقه القرآن وفق منهج العرضأنور غني الموسوي
 
TUYỂN TẬP 20 ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2020 (CÓ Đ...
TUYỂN TẬP 20 ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2020 (CÓ Đ...TUYỂN TẬP 20 ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2020 (CÓ Đ...
TUYỂN TẬP 20 ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2020 (CÓ Đ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
Bahare Shariat Jild 2 By SadurshSharia Mufti Amjad Ali Azmi
Bahare Shariat Jild 2 By SadurshSharia Mufti Amjad Ali AzmiBahare Shariat Jild 2 By SadurshSharia Mufti Amjad Ali Azmi
Bahare Shariat Jild 2 By SadurshSharia Mufti Amjad Ali Azmibookbahareshariat
 

Recently uploaded (9)

TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2023 CÓ ĐÁP ÁN (SƯU...
TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2023 CÓ ĐÁP ÁN (SƯU...TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2023 CÓ ĐÁP ÁN (SƯU...
TUYỂN TẬP 25 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2023 CÓ ĐÁP ÁN (SƯU...
 
FAIL REKOD PENGAJARAN.pptx fail rekod pengajaran
FAIL REKOD PENGAJARAN.pptx fail rekod pengajaranFAIL REKOD PENGAJARAN.pptx fail rekod pengajaran
FAIL REKOD PENGAJARAN.pptx fail rekod pengajaran
 
Bahare Shariat Jild 4 By SadurshSharia Mufti Amjad Ali Azmi
Bahare Shariat Jild 4 By SadurshSharia Mufti Amjad Ali AzmiBahare Shariat Jild 4 By SadurshSharia Mufti Amjad Ali Azmi
Bahare Shariat Jild 4 By SadurshSharia Mufti Amjad Ali Azmi
 
Energy drink .
Energy drink                           .Energy drink                           .
Energy drink .
 
Bahare Shariat Jild 1 By SadurshSharia Mufti Amjad Ali Azmi
Bahare Shariat Jild 1 By SadurshSharia Mufti Amjad Ali AzmiBahare Shariat Jild 1 By SadurshSharia Mufti Amjad Ali Azmi
Bahare Shariat Jild 1 By SadurshSharia Mufti Amjad Ali Azmi
 
مختصر علم احكام القرآن فقه القرآن وفق منهج العرض
مختصر علم احكام القرآن فقه القرآن وفق منهج العرضمختصر علم احكام القرآن فقه القرآن وفق منهج العرض
مختصر علم احكام القرآن فقه القرآن وفق منهج العرض
 
TUYỂN TẬP 20 ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2020 (CÓ Đ...
TUYỂN TẬP 20 ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2020 (CÓ Đ...TUYỂN TẬP 20 ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2020 (CÓ Đ...
TUYỂN TẬP 20 ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TIẾNG ANH LỚP 6 NĂM 2020 (CÓ Đ...
 
Bahare Shariat Jild 2 By SadurshSharia Mufti Amjad Ali Azmi
Bahare Shariat Jild 2 By SadurshSharia Mufti Amjad Ali AzmiBahare Shariat Jild 2 By SadurshSharia Mufti Amjad Ali Azmi
Bahare Shariat Jild 2 By SadurshSharia Mufti Amjad Ali Azmi
 
LAR MARIA MÃE DE ÁFRICA .
LAR MARIA MÃE DE ÁFRICA                 .LAR MARIA MÃE DE ÁFRICA                 .
LAR MARIA MÃE DE ÁFRICA .
 

Διάλεξη 27η - Προβολές και ελάχιστα τετράγωνα

  • 1. GRAMMIK'H ' ALGEBRA 27h diˆlexh: Probolèc 23 NoembrÐou 2012
  • 2. Probol  se eujeÐa tou R n Na brejeÐ h probol  p tou b epˆnw sthn eujeÐa pou orÐzei to a Na brejeÐ to plhsièstero sto b shmeÐo p thc eujeÐac pou orÐzei to a To a dièrqetai apo thn arq  twn axìnwn.
  • 5. H probol  p enìc dianÔmatoc b ∈ Rn se mia eujeÐa a ∈ Rn pou pernˆei apo to 0
  • 6. H probol  p enìc dianÔmatoc b ∈ Rn se mia eujeÐa a ∈ Rn pou pernˆei apo to 0 T - eÐnai h p = aT b a a a
  • 7. H probol  p enìc dianÔmatoc b ∈ Rn se mia eujeÐa a ∈ Rn pou pernˆei apo to 0 T - eÐnai h p = aT b a a a - me antÐstoiqo pÐnaka probol c aa T P = aT a
  • 8. H probol  p enìc dianÔmatoc b ∈ Rn se mia eujeÐa a ∈ Rn pou pernˆei apo to 0 T - eÐnai h p = aT b a a a - me antÐstoiqo pÐnaka probol c aa T P = aT a που είναι συμμετρικός και τάξης 1
  • 9. Parˆdeigma 1 1     - Probol  tou 2 sto 1 3 1
  • 10. Parˆdeigma 1 1     - Probol  tou 2 sto 1 3 1 1   - PÐnakac probol c sto 1 1
  • 11. Parˆdeigma 1 1     - Probol  tou 2 sto 1 3 1 1   - PÐnakac probol c sto 1 kai 1 cos θ sto sin θ
  • 13. Efarmog  UpologÐste x tètoio ¸ste Ax = b
  • 14. Efarmog  UpologÐste x tètoio ¸ste Ax = b kai x ∈ R(A). /
  • 15. Efarmog  UpologÐste x tètoio ¸ste Ax = b kai x ∈ R(A). /
  • 16. Elˆqista Tetrˆgwna An Ax = b kai x ∈ R(A) / tìte
  • 17. Elˆqista Tetrˆgwna An Ax = b kai x ∈ R(A) / tìte mia prosèggish thc lÔshc x eÐnai h lÔsh y tou sust matoc Ay = p ìpou p h probol  toub stonR(A) .
  • 19. Elˆqista Tetrˆgwna Ax = b ⇒ AT Ax = AT b
  • 20. Elˆqista Tetrˆgwna Ax = b ⇒ AT Ax = AT b ⇒ x = AT A AT b −1
  • 21. Elˆqista Tetrˆgwna Ax = b ⇒ AT Ax = AT b ⇒ x = AT A AT b −1 Prˆgmati AT (Ax − b) = 0
  • 22. Elˆqista Tetrˆgwna Ax = b ⇒ AT Ax = AT b ⇒ x = AT A AT b −1 Prˆgmati AT (Ax − b) = 0 Upìjesh: oi st lec tou A eÐnai
  • 23. Parˆdeigma 1 4 4      1 5  x = 5 0 6 6