Xu ly tin_hieu_so_cantho

L I NÓI Ð U
&&&

X lý tín hi u s (Digital Signal Processing - DSP) hay t ng quát hơn, x lý tín hi u r i
r c theo th i gian (Discrete-Time Signal Processing - DSP) là m t môn cơ s không th
thi u ñư c cho nhi u ngành khoa h c, k thu t như: ñi n, ñi n t , t ñ ng hóa, vi n thông,
tin h c, v t lý,... Tín hi u liên t c theo th i gian (tín hi u tương t ) cũng ñư c x lý m t
cách hi u qu theo qui trình: bi n ñ i tín hi u tương t thành tín hi u s (bi n ñ i A/D), x
lý tín hi u s (l c, bi n ñ i, tách l y thông tin, nén, lưu tr , truy n,...) và sau ñó, n u c n,
ph c h i l i thành tín hi u tương t (bi n ñ i D/A) ñ ph c v cho các m c ñích c th . Các
h th ng x lý tín hi u s , h th ng r i r c, có th là ph n c ng (m ch ñi n) hay ph n m m
(chương trình máy tính) hay k t h p c hai.
X lý tín hi u s có n i dung khá r ng d a trên m t cơ s toán h c tương ñ i ph c t p. Nó
có nhi u ng d ng ña d ng, trong nhi u lĩnh v c khác nhau. Nhưng các ng d ng trong t ng
lĩnh v c l i mang tính chuyên sâu. Có th nói, x lý tín hi u s ngày nay ñã tr thành m t
ngành khoa h c ch không ph i là m t môn h c. Vì v y, chương trình gi ng d y b c ñ i h c
ch có th bao g m các ph n cơ b n nh t, sao cho có th làm n n t ng cho các nghiên c u
ng d ng sau này. V n ñ là ph i ch n l a n i dung và c u trúc chương trình cho thích h p.
Nh m m c ñích khuy n khích sinh viên t h c, giáo trình ñư c biên so n v i n i dung khá
chi ti t và có nhi u ví d minh h a. Gi ng viên có th ch c n trình bày trên l p nh ng ph n
cơ b n, hư ng d n cho sinh viên t h c nh ng ph n ng d ng ho c có tính suy lu n, và sau
ñó ki m tra l i b ng bài t p trên l p.
Do h n ch v th i gian và s ph c t p v m t toán h c c a môn h c, m t dù tác gi ñã có
nhi u c g ng, nhưng ch c ch n còn nhi u thi u sót c n ph i ñi u ch nh và b sung. Xin ñón
nh n s ñóng góp ý ki n c a quí th y cô và các em sinh viên. Xin chân thành c m ơn các
th y cô và các b n ñã giúp ñ tôi hoàn thành giáo trình. Ð c bi t, xin c m ơn ../Anh Nhan
Văn Khoa, gi ng viên, khoa Công Ngh Thông Tin, Trư ng ÐH C n Thơ, ñã ñ c b n th o
và ñóng góp nhi u ý ki n quí giá trong th i gian th c hi n giáo trình này.
C n Thơ, tháng 11 năm 2001
Tác gi
ÐOÀN HÒA MINH

M CL C

CHƯƠNG 1: TÍN HI U R I R C VÀ H TH NG R I R C:
* M ñ u
* Tín hi u r i r c
* H th ng r i r c theo th i gian
* H th ng tuy n tính b c bi n (LTI : Linear Time-Invariant System)
* Phương trình sai phân tuy n tính h s h ng (LCCDE)
* Tương quan c a các tính hi u r i r c
* X lý s tín hi u tương t

Chương II: BI U DI N TÍN HI U VÀ H TH NG R I R C TRONG MI N Z
* M ñ u
* Khái ni m
* Các tính ch t c a bi n ñ i Z
* Các phương pháp tìm bi n ñ i Z ngư c
* Gi i phương trình sai phân tuy n tính h s h ng b ng bi n ñ i Z m t phía
* Phân tích h th ng LTI trong mi n Z
* Th c hi n các h th ng r i r c

Chương III: PHÂN TÍCH T N S C A TÍN HI U
* 3.1 M ñ u
* 3.2 T N S C A TÍN HI U R I R C
* 3.3 Phân tích t n s c a tín hi u liên t c
* 3.4 PH N TÍCH T N S C A TÍN HI U R I R C
* 3.5 L Y M U TÍN HI U TRONG MI N TH I GIAN VÀ MI N T N S
* 3.6 BI N ð I FOURIER R I R C (DFT DISCRETE FOURIER TRANFORM)

Chương IV: BI U DI N VÀ PHÂN TÍCH H TH NG R I R C TRONG MI N
T NS
* Các ñ c tính c a h th ng LTI trong mi n t n s
* Phân tích h th ng LTI trong mi n t n s
* H th ng LTI và m ch l c s

Chương V: THI T K B L C S
* Thi t k b l c s b ng cách ñ t các c c và zeros trên m t
* Thi t k b l c FIR
* THI T K B L C S IIR

Chương I
TÍN HI U R I R C VÀ H TH NG R I R C
***

* N i dung
* M ñ u
* Tín hi u r i r c
* H th ng r i r c theo th i gian
* H th ng tuy n tính b c bi n (LTI : Linear Time-Invariant System)
* Phương trình sai phân tuy n tính h s h ng (LCCDE)
* Tương quan c a các tính hi u r i r c
* X lý s tín hi u tương t

1.1 M ñ u
S phát tri n c a máy vi tính ñã làm gia tăng m t cách m nh m các ng d ng
c a X LÝ TÍN HI U S (Digital Signal Proccessing). Xu hư ng này ñã ñư c tăng
cư ng b i s phát tri n ñ ng th i c a thu t toán s (Numerical Algorithms) cho x lý
tín hi u s . Hi n nay, x lý tín hi u s ñã tr nên m t ng d ng cơ b n cho k thu t
m ch tích h p hi n ñ i v i các chip có th l p trình t c ñ cao. Vì v y, x lý tín hi u
s ñư c ng d ng trong nhi u lĩnh v c khác nhau như:
• X lý tín hi u âm th../Anh: nh n d ng ti ng nói / ngư i nói; t ng h p ti ng nói /
bi n văn b n thành ti ng nói; k thu t âm th../Anh s ;…
• X lý nh: thu nh n và khôi ph c nh; làm n i ñư ng biên; l c nhi u; nh n d ng;
m t ngư i máy; ho t hình; các k x o v hình nh; b n ñ ;…
• Vi n thông: x lý tín hi u tho i và tín hi u hình; truy n d li u; kh xuyên kênh;
facsimile; truy n hình s ; …
• Thi t b ño lư ng và ñi u khi n: phân tích ph ; ño lư ng ñ a ch n; ñi u khi n v trí
và t c ñ ; ñi u khi n t ñ ng;…
• Quân s : truy n thông b o m t; x lý tín hi u rada, sonar; d n ñư ng tên l a;…
• Y h c: não ñ ; ñi n tim; ch p X quang; ch p CT(Computed Tomography Scans);
n i soi;…
Có th nói, x lý tín hi u s là n n t ng cho m i lĩnh v c và chưa có s bi u hi n bão
hòa trong s phát tri n c a nó.
Ta cũng c n lưu ý r ng, m c dù tên c a giáo trình là X LÝ TÍN HI U S , nhưng
chúng ta s nghiên c u v i m t ph m vi t ng quát hơn, ñó là X LÝ TÍN HI U R I
R C (Discrete signal processing). B i vì, tín hi u s là m t trư ng h p ñ c bi t c a
tín hi u r i r c, nên nh ng phương pháp ñư c áp d ng cho tín hi u r i r c cũng ñư c
áp d ng cho tín hi u s , nh ng k t lu n ñúng cho tín hi u r i r c cũng ñúng cho tín
hi u s .

Mu n x lý tín hi u r i r c, trư c tiên ta ph i bi t cách bi u di n và phân tích tín hi u
r i r c. Vi c x lý tín hi u r i r c ñư c th c hi n b i các h th ng r i r c. Vì v y ta
ph i nghiên c u các v n ñ bi u di n, phân tích, nh n d ng, thi t k và th c hi n h
th ng r i r c.
Bây gi , chúng ta s nh p môn v i ch ñ bi u di n và phân tích tín hi u r i r c, h
th ng r i r c trong mi n th i gian.
1.2 TÍN HI U R I R C
1.2.1 ð nh nghĩa tín hi u
1.2.2 Phân lo i tín hi u
1.2.3 Tín hi u r i r c _dãy
1.2.3.1. Cách bi u di n:
1.2.3.2. Các tín hi u r i r c cơ b n
1.2.3.3. Các phép toán cơ b n c a dãy

1.2.1. ð NH NGHĨA TÍN HI U:
Tín hi u là m t ñ i lư ng v t lý ch a thông tin (information). V m t toán h c,
tín hi u ñư c bi u di n b ng m t hàm c a m t hay nhi u bi n ñ c l p.
Ví d : - Tín hi u âm th../Anh là dao ñ ng cơ h c lan truy n trong không khí,
mang thông tin truy n ñ n tai. Khi bi n thành tín hi u ñi n (ñi n áp hay dòng ñi n) thì
giá tr c a nó là m t hàm theo th i gian.
- Tín hi u hình nh tĩnh hai chi u ñư c ñ c trưng b i m t hàm cư ng ñ sáng
c a hai bi n không gian. Khi bi n thành tín hi u ñi n, nó là hàm m t bi n th i gian.
ð thu n ti n, ta qui ư c (không vì th mà làm m t tính t ng quát) tín hi u là m t
hàm c a m t bi n ñ c l p và bi n này là th i gian (m c dù có khi không ph i như
v y, ch ng h n như s bi n ñ i c a áp su t theo ñ cao).
Giá tr c a hàm tương ng v i m t giá tr c a bi n ñư c g i là biên ñ (amplitude) c a
tín hi u. Ta th y r ng, thu t ng biên ñ ñây không ph i là giá tr c c ñ i mà tín
hi u có th ñ t ñư c.
1.2.2. PHÂN LO I TÍN HI U:
Tín hi u ñư c phân lo i d a vào nhi u cơ s khác nhau và tương ng có các cách
phân lo i khác nhau. ñây, ta d a vào s liên t c hay r i r c c a th i gian và biên ñ
ñ phân lo i. Có 4 lo i tín hi u như sau:
- Tín hi u tương t (Analog signal): th i gian liên t c và biên ñ cũng liên t c.
- Tín hi u r i r c (Discrete signal): th i gian r i r c và biên ñ liên t c. Ta có
th thu ñư c m t tín hi u r i r c b ng cách l y m u m t tín hi u liên t c. Vì v y
tín hi u r i r c còn ñư c g i là tín hi u l y m u (sampled signal).
- Tín hi u lư ng t hóa (Quantified signal): th i gian liên t c và biên ñ r i r c.
ðây là tín hi u tương t có biên ñ ñã ñư c r i r c hóa.

- Tín hi u s (Digital signal): th i gian r i r c và biên ñ cũng r i r c. ðây là tín
hi u r i r c có biên ñ ñư c lư ng t hóa.
Các lo i tín hi u trên ñư c minh h a trong hình 1.1.
1.2.3. TÍN HI U R I R C – DÃY (SEQUENCES)
1.2.3.1. Cách bi u di n:
M t tín hi u r i r c có th ñư c bi u di n b ng m t dãy các giá tr (th c ho c ph c).
Ph n t th n c a dãy (n là m t s nguyên) ñư c ký hi u là x(n) và m t dãy ñư c ký
hi u như sau:
x = {x(n)} v i -∞<n<∞ (1.1.a)
x(n) ñư c g i là m u th n c a tín hi u x.

Ta cũng có th bi u di n theo ki u li t kê. Ví d :

x = { ..., 0, 2, -1, 3, 25, -18, 1, 5, -7, 0,...} (1.1.b)
Trong ñó, ph n t ñư c ch b i mũi tên là ph n t rương ng v i n = 0, các ph n t
tương ng v i n > 0 ñư c x p l n lư t v phía ph i và ngư c l i.
N u x = x(t) là m t tín hi u liên t c theo th i gian t và tín hi u này ñư c l y m u cách
ñ u nhau m t kho ng th i gian là Ts, biên ñ c a m u th n là x(nTs). Ta th y, x(n) là
cách vi t ñơn gi n hóa c a x(nTs), ng m hi u r ng ta ñã chu n hoá tr c th i gian
theo TS.
Ts g i là chu kỳ l y m u (Sampling period).

Fs = 1/Ts ñư c g i là t n s l y m u (Sampling frequency).
Ví d :
M t tín hi u tương t x(t) = cos(t) ñư c l y m u v i chu kỳ l y m u là Ts = (/8. Tín
hi u r i r c tương ng là x(nTs) = cos(nTs) ñư c bi u di n b ng ñ th hình 1.2.a.
N u ta chu n hóa tr c thòi gian theo Ts thì tín hi u r i r c x = {x(n)} ñư c bi u
di n như ñ th hình 1.2.b.
Ghi chú:
- T ñây v sau, tr c th i gian s ñư c chu n hóa theo Ts, khi c n tr v th i gian
th c, ta thay bi n n b ng nTs.
- Tín hi u r i r c ch có giá tr xác ñ nh các th i ñi m nguyên n. Ngoài các th i
ñi m ñó ra tín hi u không có giá tr xác ñ nh, không ñư c hi u chúng có giá tr b ng
0.
- ð ñơn gi n, sau này, thay vì ký hi u ñ y ñ , ta ch c n vi t x(n) và hi u ñây là dãy
x = {x(n)}.

1.2.3.2. Các tín hi u r i r c cơ b n
1/. Tín hi u xung ñơn v (Unit inpulse sequence):
ðây là m t dãy cơ b n nh t, ký hi u làĀ, ñư c ñ nh nghĩa như sau:

2/. Tín hi u h ng ( Constant sequence): tín hi u này có giá b ng nhau v i t t c
các giá tr ch a n. Ta có:

Dãy h ng ñư c bi u di n b ng ñ th như hình 1.3.(b)
3/. Tín hiêu nh y b c ñơn v (Unit step sequence)
Dãy này thư ng ñư c ký hi u là u(n) và ñư c ñ nh nghĩa như sau:

Dãy u(n) ñư c bi u di n b ng ñ th hình 1.3 (c).
M i quan h gi a tín hi u nhãy b c ñơn v v i tín hi u xung ñơn v :

v i u(n-1) là tín hi u u(n) ñư c d ch ph i m t m u.

Hình 1.3 Các dãy cơ b n
a) Dãy xung ñơn v
b) Dãy h ng
c) Dãy nh y b c ñơn v
d) Dãy hàm mũ
e) Dãy tu n hoàn có chu kỳ N=8
f) Dãy hình sin có chu kỳ N=5

4/. Tín hi u hàm mũ (Exponential sequence)
x(n) = A αn (1.7)
N u A và α là s th c thì ñây là dãy th c. V i m t dãy th c, n u 0 < α < 1 và A>0 thì
dãy có các giá tr dương và gi m khi n tăng, hình 1.3(d). N u –1< α < 0 thì các giá tr
c a dãy s l n lư c ñ i d u và có ñ l n gi m khi n tăng. N u | α |>1 thì ñ l n c a
dãy s tăng khi n tăng.
5/. Tín hi u tu n hoàn (Periodic sequence)
M t tín hi u x(n) ñư c g i là tu n hoàn v i chu kỳ N khi: x(n+N) = x(n), v i m i n.
M t tín hi u tu n hoàn có chu kỳ N=8 ñư c bi u di n b ng ñ th hình 1.3(e). Dĩ
nhiên, m t tín hi u hình sin cũng là m t hi u tu n hoàn.

Ví d : là m t tín hi u tu n hoàn có chu kỳ là N=5, xem
hình1.3(f)
1.2.3.3. Các phép toán cơ b n c a dãy

Cho 2 dãy x1 = {x1(n)} và x2 = {x2(n)} các phép toán cơ b n trên hai dãy ñư c ñ nh
nghĩa như sau:
1/. Phép nhân 2 dãy: y = x1 . x2 = {x1(n).x2(n)} (1.8)
2/. Phép nhân 1 dãy v i 1 h s : y = a.x1 = {a.x1(n)} (1.9)
3/. Phép c ng 2 dãy: y = x1 + x2 = {x1(n) + x2(n)} (1.10)
4/. Phép d ch m t dãy (Shifting sequence):
- D ch ph i: G i y là dãy k t qu trong phép d ch ph i n0 m u m t dãy x ta có:
y(n) = x(n-n0), v i n0 > 0 (1.11)
- D ch trái: G i z là dãy k t qu trong phép d ch trái n0 m u dãy x ta có:
z(n) = x(n+n0), v i n0 > 0 (1.12)
Phép d ch ph i còn g i là phép làm tr (delay). Phép làm tr m t m u thư ng ñư c ký
hi u b ng ch D ho c Z-1 . Các phép d ch trái và d ch ph i ñư c minh h a trong các
hình 1.4.

Hình 1.4: (a) Dãy x(n)
(b) Phép d ch pha 4 m u tr ên tín hi u x(n)
(c) Phép d ch traí 5 m u trên tín hi u x(n)
Nh n xét: Ta th y, m t tín hi u x(n) b t kỳ có th bi u di n b i tín hi u xung
ñơn v như sau:

Cách bi u di n này s d n ñ n m t k t qu quan tr ng trong ph n sau.
Ghi chú:
Các phép tính th c hi n trên các tín hi u r i r c ch có ý nghĩa khi t n s l y m u c a
các tín hi u này b ng nhau.

1.3. H TH NG R I R C
1.3.1. KHÁI NI M
1.3.1.1. H th ng th i gian r i r c (g i t t là h th ng r i r c):
1.3.1.2. ðáp ng xung (impulse response) c a m t h th ng r i r c
1.3.1.3. Bi u di n h th ng b ng sơ ñ kh i
1.3.2. PHÂN LO I H TH NG R I R C
1/. H th ng không nh (Memoryless systems):
2/. H th ng tuy n tính (Linear systems)

3/. H th ng b t bi n theo th i gian (Time-Invariant systems)
4/. H th ng nhân qu (Causal systems)
5/. H th ng n ñ nh (Stable systems)

1.3.1. KHÁI NI M
1.3.1.1. H th ng th i gian r i r c (g i t t là h th ng r i r c):
H th ng th i gian r i r c là m t thi t b (device) hay là m t toán thu t (algorithm)
mà nó tác ñ ng lên m t tín hi u vào (dãy vào) ñ cung c p m t tín hi u ra (dãy ra)
theo m t qui lu t hay m t th t c (procedure) tính toán nào ñó. ð nh nghĩa theo toán
h c, ñó là m t phép bi n ñ i hay m t toán t (operator) mà nó bi n m t dãy vào x(n)
thành dãy ra y(n).
Ký hi u: y(n) = T{x(n)} (1.14)
Tín hi u vào ñư c g i là tác ñ ng hay kích thích (excitation), tín hi u ra ñư c g i là
ñáp ng (response). Bi u th c bi u di n m i quan h gi a kích thích và dáp ng ñư c
g i là quan h vào ra c a h th ng.
Quan h vào ra c a m t h th ng r i r c còn ñư c bi u di n như hình 1.5.

Ví d 1.1: H th ng làm tr lý tư ng ñư c ñ nh nghĩa b i phương trình:
y(n) = x(n – nd) , v i -∞ < n < ∞ (1.15)
nd là m t s nguyên dương không ñ i g i là ñ tr c a h th ng.
Ví d 1.2: H th ng trung bình ñ ng (Moving average system) ñư c ñ nh nghĩa
b i phương trình:

v i M1 và M2 là các s nguyên dương.
H th ng này tính m u th n c a dãy ra là trung bình c a (M1 + M2 + 1) m u c a dãy
vào xung qu../Anh m u th n, t m u th n-M2 ñ n m u th n+M1 .
1.3.1.2. ðáp ng xung (impulse response) c a m t h th ng r i r c
ðáp ng xung h(n) c a m t h th ng r i r c là ñáp ng c a h th ng khi kích thích là
tín hi u xung ñơn v ((n), ta có:

Trong các ph n sau, ta s th y, trong các ñi u ki n xác ñ nh ñáp ng xung c a m t h
th ng có th mô t m t cách ñ y ñ h th ng ñó.
Ví d 1.3: ðáp ng xung c a h th ng trung bình ñ ng là:

1.3.1.3. Bi u di n h th ng b ng sơ ñ kh i
ð có th bi u di n m t h th ng b ng sơ ñ kh i, ta c n ñ nh nghĩa các ph n t cơ
b n. M t h th ng ph c t p s là s liên k t c a các ph n t cơ b n này.
1/. Ph n t nhân dãy v i dãy (signal multiplier), tương ng v i phép nhân hai dãy, có
sơ ñ kh i như sau:

2/. Ph n t nhân m t dãy v i m t h ng s (Constant multiplier), tương ng v i phép
nhân m t h s v i m t dãy, có sơ ñ kh i như sau:
3/. Ph n t c ng (Adder), tương ng v i phép c ng hai dãy, có sơ ñ kh i như sau:

4/. Ph n t làm tr m t m u (Unit Delay Element), tương ng v i phép làm tr
m t m u, có sơ ñ kh i như sau:

Trong các ph n sau, ta s thành l p m t h th ng ph c t p b ng s liên k t các ph n t
cơ b n này.
1.3.2. PHÂN LO I H TH NG R I R C
Các h th ng r i r c ñư c phân lo i d a vào các thu c tính c a nó, c th là các thu c
tính c a toán t bi u di n h th ng (T).
1/. H th ng không nh (Memoryless systems):

H th ng không nh còn ñư c g i là h th ng tĩnh (Static systems) là m t h th ng
mà ñáp ng y(n) m i th i ñi m n ch ph thu c vào giá tr c a tác ñ ng x(n) cùng
th i ñi m n ñó.
M t h th ng không th a mãn ñ nh nghĩa trên ñư c g i là h th ng có nh hay h
th ng ñ ng (Dynamic systems).
Ví d 1.4:
- H th ng ñư c mô t b i quan h vào ra như sau: y(n) = [x(n)]2 , v i
m i giá tr c a n, là m t h th ng không nh .
- H th ng làm tr trong ví d 1.1, nói chung là m t h th ng có nh khi nd>0.
- H th ng trung bình ñ ng trong ví d 1.2 là h th ng có nh , tr khi M1=M2=0.
2/. H th ng tuy n tính (Linear systems)
M t h th ng ñư c g i là tuy n tính n u nó th a mãn nguyên lý ch ng ch t (Principle
of superposition). G i y1(n) và y2(n) l n lư t là ñáp ng c a h th ng tương ng v i
các tác ñ ng x1(n) và x2(n), h th ng là tuy n tính n u và ch n u:

v i a, b là 2 h ng s b t kỳ và v i m i n.
Ta th y, ñ i v i m t h th ng tuy n tính, thì ñáp ng c a m t t ng các tác ñ ng b ng
t ng ñáp ng c a h ng v i t ng tác ñ ng riêng l .
M t h th ng không th a mãn ñ nh nghĩa trên ñư c g i là h th ng phi tuy n
(Nonliear systems).
Ví d 1.5: Ta có th ch ng minh ñư c h th ng tích lũy (accumulator) ñư c ñ nh
nghĩa b i quan h :

là m t h th ng tuy n tính. H th ng này ñư c g i là h th ng tích lũy vì m u th n
c a ñáp ng b ng t ng tích lũy t t cã các giá tr c a tín hi u vào trư c ñó ñ n th i
ñi m th n.

= a.y1(n) + b.y2(n) v i a và b là các h ng s b t kỳ.

V y h th ng này là m t h th ng tuy n tính.

3/. H th ng b t bi n theo th i gian (Time-Invariant systems)
M t h th ng là b t bi n theo th i gian n u và ch n u tín hi u vào b d ch nd m u thì
ñáp ng cũng d ch nd m u, ta có:
N u y(n) =T{x(n)} và x1(n) = x(n-nd)
thì y1(n) = T{x1(n)} = {x(n-nd)} = y(n - nd) (1.21)
Ta có th ki m ch ng r ng các h th ng trong các ví d trư c ñ u là h th ng b t bi n
theo th i gian.
Ví d 1.6: H th ng nén (compressor) ñư c ñ nh nghĩa b i quan h :
y(n) = x(M.n) (1.22)
v i -∞ < n < ∞ và M là m t s nguyên dương.
H th ng này ñư c g i là h th ng nén b i vì nó lo i b (M-1) m u trong M m u (nó
sinh ra m t dãy m i b ng cách l y m t m u trong M m u). Ta s ch ng minh r ng h
th ng này không ph i là m t h th ng b t bi n.
Ch ng minh: G i y1(n) là ñáp ng c a tác ñ ng x1(n), v i x1(n) = x(n – nd), thì:
y1(n) = x1(Mn) = x(Mn – nd)
Nhưng: y(n-nd) = x[M(n-nd)] ( y1(n)
Ta th y x1(n) b ng x(n) ñư c d ch nd m u, nhưng y1(n) không b ng v i y(n) trong
cùng phép d ch ñó. V y h th ng này không là h th ng b t bi n, tr khi M = 1.
4/. H th ng nhân qu (Causal systems)
M t h th ng là nhân qu n u v i m i giá tr n0 c a n, ñáp ng t i th i ñi m n=n0 ch
ph thu c vào các giá tr c a kích thích các th i ñi m n ≤ n0. Ta th y, ñáp ng c a
h ch ph thu c vào tác ñ ng quá kh và hi n t i mà không ph thu c vào tác ñ ng
tương lai. Ta có;
y(n) = T{x(n)} = F{x(n),x(n-1),x(n-2),. . .} (1.23)
v i F là m t hàm nào ñó.
H th ng trong ví d 1.1 là nhân qu khi nd ≥ 0 và không nhân qu khi nd < 0.
Ví d 1.7: H th ng sai phân t i (Forward difference systems) ñư c ñ nh nghĩa
b i quan h :
y(n) = x(n+1) - x(n) (1.23)
Rõ ràng y(n) ph thu c vào x(n+1), vì v y h th ng này không có tính nhân qu .
Ngư c l i, h th ng sai phân lùi (Backward difference systems) ñư c ñ nh nghĩa b i
quan h : y(n) = x(n) – x(n-1) (1.24)

là m t h th ng nhân qu .

5/. H th ng n ñ nh (Stable systems)
M t h th ng n ñ nh còn ñư c g i là h th ng BIBO (Bounded-Input Bounded-
Output) n u và ch n u v i m i tín hi u vào b gi i h n s cung c p dãy ra gi i h n.
M t dãy vào x(n) b gi i h n n u t n t i m t s dương h u h n Bx sao cho:
|x(n)| ≤ Bx < +∞ , v i m i n (1.25)
M t h th ng n ñ nh ñòi h i r ng, ng v i m i dãy vào h u h n, t n t i m t s
dương By h u h n sao cho:
|y(n)| ≤ By < +∞ , v i m i n (1.26)
Các h th ng trong các ví d 1.1; 1.2; 1.3 và 1.6 là các h th ng n ñ nh. H th ng tích
lũy trong ví d 1.5 là h th ng không n ñ nh.
Ghi chú: Các thu c tính ñ phân lo i h th ng trên là các thu c tính c a h
th ng ch không ph i là các thu c tính c a tín hi u vào. Các thu c tính này ph i th a
mãn v i m i tín hi u vào.

1.4. H TH NG B C BI N THEO TH I GIAN
(LTI: Linear Time-Invariant System)

1.4.1. KHÁI NI M
1.4.2. T NG CH P (CONVOLUTION SUM)
1.4.2.1. ð nh nghĩa:
1.4.2.2. Phương pháp tính t ng ch p b ng ñ th
1.4.2.3. Các tính ch t c a t ng ch p
1.4.3. CÁC H TH NG LTI ð C BI T
1.4.3.1. H th ng LTI n ñ nh:
1.4.3.2. H th ng LTI nhân qu
1.4.3.3. H th ng FIR (Finite-duration Impulse Response) và h th ng IIR
1.4.3.4. H th ng ñ o (Inverse systems)

1.4.1. KHÁI NI M
H th ng tuy n tính b t bi n theo th i gian là h th ng th a mãn ñ ng th i hai
tính ch t tuy n tính và b t bi n.
G i T là m t h th ng LTI, s d ng cách bi u di n pt(1.13) và pt(1.14), ta có th
vi t:

v i k là s nguyên.
Áïp d ng tính ch t tuy n tính, pt(1.27) có th ñư c vi t l i:

ðáp ng xung c a h th ng là: h(n) = T{((n)}, vì h th ng có tính b t bi n, nên:
h(n - k) = T{δ(n - k)} (1.29)
Thay pt(1.29) vào pt(1.28) ta có:

T pt(1.30), ta th y m t h th ng LTI hoàn toàn có th ñư c ñ c t b i ñáp ng xung
c a nó và ta có th dùng pt(1.30) ñ tính ñáp ng c a h th ng ng v i m t kích thích
b t kỳ. H th ng LTI r t thu n l i trong cách bi u di n cũng như tính toán, ñây là m t
h th ng có nhi u ng d ng quan tr ng trong x lý tín hi u.
1.4.2. T NG CH P (CONVOLUTION SUM)
1.4.2.1. ð nh nghĩa: T ng ch p c a hai dãy x1(n) và x2(n) b t kỳ, ký hi u: * ,
ñư c ñ nh nghĩa b i bi u th c sau:

Pt(1.30) ñư c vi t l i: y(n) = x(n)*h(n) (1.32)
v y, ñáp ng c a m t h th ng b ng t ng ch p tín hi u vào v i ñáp ng xung c a nó.
1.4.2.2. Phương pháp tính t ng ch p b ng ñ th
T ng ch p c a hai dãy b t kỳ có th ñư c tính m t cách nh../Anh chóng v i s tr
giúp c a các chương trình trên máy vi tính. ñây, phương pháp tính t ng ch p b ng
ñ th ñư c trình bày v i m c ñích minh h a. Trư c tiên, ñ d dàng tìm dãy x2(n-k),
ta có th vi t l i:
x2 (n-k) = x2 [-(k - n)] (1.33)
T pt(1.33), ta th y, n u n>0, ñ có x2(n-k) ta d ch x2(-k) sang ph i n m u, ngư c l i,
n u n<0 ta d ch x2(-k) sang trái |n| m u. T nh n xét này, Ta có th ñ ra m t qui trình
tính t ng ch p c a hai dãy , v i t ng giá tr c a n, b ng ñ th như sau:
Bư c 1: Ch n giá tr c a n.
Bư c 2: L y ñ i x ng x2(k) qua g c t a ñ ta ñư c x2(-k).
Bư c 3: D ch x2(-k) sang trái |n| m u n u n<0 và sang ph i n m u n u n>0, ta ñư c
dãy x2(n-k).
Bư c 4:Th c hi n các phép nhân x1(k).x2(n-k), v i -∞ < k < ∞

Bư c 5: Tính y(n) b ng cách c ng t t c các k t qu ñư c tính bư c 4.
Ch n giá tr m i c a n và l p l i t bư c 3.

Ví d 1.8: Cho m t h th ng LTI có ñáp ng xung là :

tín hi u vào là: x(n) = an u(n). Tính ñáp ng y(n) c a h th ng, v i N> 0 và |a| <1.
Gi i:

@ V i n < 0: Hình 1.5(a). trình bày hai dãy x(k) và h(n-k) torng trư ng h p n < 0
(v i N = 4 và n = -3). Ta th y trong trư ng h p này, các thành ph n khác 0 c a x(k)
và h(n-k) không trùng nhau, vì v y:
y(n) = 0, v i m i n < 0. (1.35)
@ V i 0 ≤ n < N-1: Hình 1.5(b). trình bày hai dãy x(k) và h(n-k), trong trư ng này,
ta th y:
x(k).h(n-k) = ak nên:

Ta th y, y(n) chính là t ng (n+1) s h ng c a m t chu i hình h c có công b i là a, áp
d ng công th c tính t ng h u h n c a chu i hình h c, ñó là:

Hình 1.5 : Các dãy xu t hi n trong quá trình t ng ch p. (a);(b);(c)Các dãy x(k) và h(n-k) như
là m t hàm c a k v i các giá tr khác nhau c u n (ch các m u khác 0 m i ñư c trình bày ); (d)
T ng ch p y(n) = x(n) * h(n).

@ V i (N-1) < n: Hình 1.5(b). trình bày hai dãy x(k) và h(n-k), tương t như trên ta có:
x(k).h(n-k) = ak

Ví d này tính t ng ch p trong trư ng h p ñơn gi n. Các trư ng h p ph c t p
hơn, t ng ch p cũng có th tính b ng phương pháp ñ th , nhưng v i ñi u ki n là 2
dãy ph i có m t s h u h n các m u khác 0.
1.4.2.3. Các tính ch t c a t ng ch p
Vì t t c các h th ng LTI ñ u có th bi u di n b ng t ng ch p, nên các tính ch t c a
t ng ch p cũng chính là các tính ch t c a h th ng LTI.
a) Tính giao hoán (Commutative): cho 2 dãy x(n) và h(n) b t kỳ, ta có:
y(n) = x(n)*h(n) = h(n)*x(n) (1.41)
Ch ng minh: Thay bi n m=n-k vào pt (1.33), ta ñư c:

b) Tính ph i h p (Associative): Cho 3 dãy x(n), h1 (n) và h2(n), ta có:
y(n) = [x(n)*h1(n)]*h2 (n) = x(n)*[h1(n)*h2(n)] (1.44)
Tính ch t này có th ch ng minh m t cách d dàng b ng cách d a vào bi u th c ñ nh
nghĩa c a t ng ch p.
H qu 1: Xét hai h th ng LTI có ñáp ng xung l n lư c là h1(n) và h2(n) m c liên
ti p (cascade), nghĩa là ñáp ng c a h th ng th 1 tr thành kích thích c a h th ng
th 2 (hình 1.6(a)). Áp d ng tính ch t ph i h p ta ñư c:
y(n) = x(n)*h(n) = [x(n)*h1(n)]*h2(n) = x(n)*[h1(n)*h2(n)]
hay h(n) = h1(n)*h2(n) = h2(n)*h1(n) ( tính giao hoán) (1.45)
T pt(1.45) ta có ñư c các h th ng tương ñương như các hình 1.6(b) và 1.6(c).

c) Tính ch t phân b v i phép c ng (Distributes over addition): tính ch t này ñư c
bi u di n b i bi u th c sau:
y(n) = x(n)*[h1(n) + h2(n)] = x(n)*h1(n) + x(n)*h2(n) (1.46)
và cũng này có th ch ng minh m t cách d dàng b ng cách d a vào bi u th c ñ nh
nghĩa c a t ng ch p.
H qu 2: xét hai h th ng LTI có ñáp ng xung l n lư t là h1(n) và h2(n) m c song
song (parallel), (hình 1.7(a)). áp d ng tính ch t phân b ta ñư c ñáp ng xung c a h
th ng tương ñương là:
h(n) = h1(n) + h2(n) (1.47)
sơ ñ kh i c a m ch tương ñương ñư c trình bày trong hình 1.7(b).
1.4.3. CÁC H TH NG LTI ð C BI T
1.4.3.1. H th ng LTI n ñ nh:

ð nh lý: M t h th ng LTI có tính n ñ nh n u và ch n u
v i h(n) là ñáp ng xung c a h th ng.

Ch ng minh:
@ ði u ki n ñ : xét m t tín hi u vào h u h n, nghĩa là:

V y |y(n)| h u h n khi ñi u ki n pt(1.48) th a mãn, hay pt(1.48) là ñi u ki n ñ ñ
h th ng n ñ nh.

@ ði u ki n c n: ð ch ng minh ñi u ki n c n ta dùng phương pháp ph n ch ng.
Trư c tiên ta gi s r ng h th ng có tính n ñ nh, n u ta tìm ñư c m t tín hi u vào
nào ñó th a mãn ñi u ki n h u h n và n u t ng s phân kỳ (s →∞) thì h th ng s
không n ñ nh, mâu thu n v i gi thi t.
Th t v y, ta xét m t dãy vào ñư c nghĩa như sau:

ñây, h*(n) là liên h p ph c c a h(n), rõ ràng |x(n)| b gi i h n b i 1, tuy nhiên, n u s
→∞, ta xét ñáp ng t i n = 0:

Ta th y, k t qu này mâu thu n v i gi thuy t ban ñ u (h th ng n ñ nh). V y, s ph i
h u h n.

1.4.3.2. H th ng LTI nhân qu
ð nh lý: M t h th ng LTI có tính nhân qu n u và ch n u ñáp ng xung h(n)
c a nó th a mãn ñi u ki n:
h(n) = 0 , v i m i n < 0 (1.49)
Ch ng minh:

T pt(1.50), ta th y gi i h n trên c a t ng là n, nghĩa là y(n) ch ph thu c vào x(k)
v i k ( n, nên h th ng có tình hân qu .
@ ði u ki n c n: Ta s ch ng minh b ng phương pháp ph n ch ng. Gi s r ng,

h(m) ≠ 0 v i m < 0. T pt(1.42): , ta th y y(n) ph thu c vào
x(n-m) v i m < 0 hay n-m > n, suy ra h th ng không có tính nhân qu .
Vì v y, ñi u ki n c n và ñ ñ h th ng có tính nhân qu ph i là: h(n)=0 khi n < 0.
Ví d 1.9: H th ng tích lu ñư c ñ nh nghĩa b i

T pt(1.51) ta th y h(n) c a h h th ng này không th a ñi u ki n pt(1.48) nên không
n ñ nh và h(n) th a ñi u ki n pt(1.49) nên nó là m t h th ng nhân qu .
1.4.3.3. H th ng FIR (Finite-duration Impulse Response) và h th ng IIR
(Infinite-duration Impulse Response)
H th ng FIR (H th ng v i ñáp ng xung có chi u dài h u h n) là m t h th ng
mà ñáp ng xung c a nó t n t i m t s h u h n các m u khác 0.
Ta th y, h th ng FIR luôn luôn n ñ nh n u t t c các m u trong ñáp ng xung c a nó
có ñ l n h u h n.
Ngư c l i, m t h th ng mà ñáp ng xung c a nó có vô h n s m u khác 0 ñư c g i là
h th ng IIR (H th ng v i ñáp ng xung có chi u dài vô h n).
M t h th ng IIR có th là h th ng n ñ nh ho c không n ñ nh.
Ví d 1.10: Xét m t h th ng có ñáp ng xung là h(n) = an u(n), ta có:

N u |a| < 1, thì S h i t và S = 1/(1-|a|) vì v y h th ng có tính n ñ nh.
N u |a| ≥ 1, thì S → ∞ và h th ng không n ñ nh.
1.4.3.4. H th ng ñ o (Inverse systems)
ð nh nghĩa: M t h th ng LTI có ñáp ng xung là h(n), h th ng ñ o c a nó ,
n u t n t i, có ñáp ng xung là hi(n) ñư c ñ nh nghĩa b i quan h :
h(n)*hi(n) = hi(n)*h(n) = δ(n) (1.53)
Ví d 1.11: Xét m t h th ng g m hai h th ng con m c n i ti p như hình 1.8:

ðáp ng xung c a h th ng tương ñương là:
h(n) = u(n)*[δ(n) - δ(n - 1)] = u(n) - u(n - 1) = δ(n) (1.54)
K t qu ñáp ng xung c a h th ng tương ñương là xung ñơn v , nghĩa là ñáp ng c a
h th ng luôn b ng v i tác ñ ng, vì x(n)*δ(n) = x(n), nên h th ng vi phân lùi là h
th ng ñ o c a h th ng tích lũy và ngư c l i, do tính giao hoán c a t ng ch p, h
th ng tích lũy là h th ng ñ o c a h th ng vi phân lùi.
Hai h th ng ñ o c a nhau m c n i ti p, có ñáp ng xung tương ñương là δ(n), nên
ñư c g i là h th ng ñ ng d ng (Identity systems).

1.5.PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUY N TÍNH H S H NG
(LCCDE: Linear Constant-Coefficient Difference Equations)
1.5.1. Khái ni m:
1.5.2. NGHI M C A LCCDE
1.5.2.1 Tìm nghi m c a phương trình sai phân thu n nh t
1.5.2.2. Nghi m riêng c a phương trình sai phân
1.5.2.3. Nghi m t ng quát c a phương trình sai phân:
1.5.3. H TH NG R I R C ð QUI (RECURSIVE)
1.5.3.1. H th ng r i r c ñ qui :
1.5.3.2. H th ng r i r c không ñ qui:

5.1. Khái ni m: M t h th ng LTI mà quan h gi a tác ñ ng x(n) và ñáp ng y(n) c a
nó th a mãn phương trình sai phân truy n tính h s h ng b c N dư i d ng:

ñư c g i là h th ng có phương trình sai phân truy n tính h s h ng (LCCDE). Trong
ñó, các h s ak và br là các thông s ñ c trưng cho h th ng.
H th ng LTI có LCCDE là m t l p con quan tr ng c a h th ng LTI trong x lý tín
hi u s . Ta có th so sánh nó v i m ch R_L_C trong lý thuy t m ch tương t (ñư c
ñ c trưng b ng phân trình vi tích phân tuy n tính h s h ng).

Ví d 1.12: Xét h th ng tích lũy, như ta bi t, ñây là m t h th ng LTI, vì v y có
th bi u di n b i m t LCCDE. Th y v y, ta xem l i hình 1.8, trong ñó y(n) là ñáp ng
c a h th ng tích lũy ng v i tín hi u vào x(n), và y(n) ñóng vai trò tín hi u vào c a
h th ng vi phân lùi. Vì h th ng vi phân lùi là h th ng ñ o c a h th ng tích lũy nên:
y(n) - y(n-1) = x(n) (1.56)
Pt(1.56) chính là LCCDE c a m t h th ng tích lũy, v i N=1, a0 =1, a1=-1, M=0 và b0
=1.
Ta vi t l i: y(n) = y(n-1) + x(n) (1.57)
T pt(1.57), ta th y, v i m i giá tr c a n, ph i c ng thêm vào x(n) m t t ng ñư c tích
lũy trư c ñó y(n-1). H th ng tích lũy ñư c bi u di n b ng sơ ñ kh i hình 1.9 và
pt(1.57) là m t cách bi u di n ñ qui c a h th ng.

1.5.2. NGHI M C A LCCDE

Phương trình sai phân tuy n tính h s h ng là m t d ng quan h vào ra mô t h
th ng LTI. Trong ph n này, ta s tìm bi u th c tư ng minh c a ñáp ng y(n) b ng
phương pháp tr c ti p. Còn m t phương pháp khác ñ tìm nghi m c a phương trình
này là d a trên bi n ñ i z s ñư c trình bày trong chương sau, ta g i là phương pháp
gián ti p.
Tương t như phương trình vi tích phân tuy n tính h s h ng c a h th ng liên t c
theo th i gian. Trư c tiên, ta tìm nghi m c a phương trình sai phân thu n nh t
(homogeneous diference equation), ñó là pt (1.55) v i v ph i b ng 0. ðây chính là
ñáp ng c a h th ng v i tín hi u vào x(n) = 0. Sau ñó, ta tìm m t nghi m riêng
(particular solution) c a pt(1.55) v i x(n)(0. Cu i cùng, nghi m t ng quát (total
solution) c a LCCDE (1.55) là t ng nghi m c a phương trình sai phân thu n nh t v i
nghi m riêng c a nó. Th t c tìm nghi m như sau:
1.5.2.1 Tìm nghi m c a phương trình sai phân thu n nh t (ðáp ng c a h th ng
khi tính hi u vào b ng 0)

Phương trình sai phân thu n nh t có d ng:
(B ng cách chia 2 v cho a0 ñ có d ng (1.58) v i a0 = 1)
Ta ñã bi t r ng, nghi m c a phương trình vi phân thư ng có d ng hàm mũ, vì v y, ta
gi s nghi m c a phương trình sai phân thu n nh t có d ng:
yh(n) = λn (1.59)
Ch s h ñư c dùng ñ ch r ng ñó là nghi m c a phương trình thu n nh t.
Thay vào pt(1.58) ta thu ñư c m t phương trình ña th c:
hay: λn –N (λN + a1λN-1 + a2λN-2 + … + aN-1λ + aN) = 0 (1.60)
ða th c trong d u ngo c ñơn ñư c g i là ña th c ñ c tính (characteristic polynomial)
c a h th ng.
Nói chung, ña th c này có N nghi m, ký hi u là λ1, λ2,…,λN, có giá tr th c ho c
ph c. N u các h s a1, a2,…, aN có giá tr th c, thư ng g p trong th c t , các nghi m
ph c n u có s là các c p liên h p ph c. Trong N nghi m cũng có th có m t s
nghi m kép (mutiple-order roots).
Gi s r ng, t t c các nghi m là phân bi t, không có nghi m kép, thì nghi m t ng
quát c a phương trình sai phân thu n nh t là :
yh(n) = C1λn1 + C2λn2 + …+ CNλnN (1.61)
ñây, C1 , C2 ,…,CN là các h ng s tuỳ ñ nh. Các h ng s này ñư c xác ñ nh d a vào
các ñi u ki n ñ u c a h th ng.

Ví d 1.13: Xác ñ nh ñáp ng v i tín hi u vào x(n) = 0 c a m t h th ng ñư c
mô t b i LCCDE b c 2 như sau:
y(n) - 3y(n-1) - 4y(n-2) = 0 (1.62)
Gi i:
Ta bi t nghi m c a pt(1.62) có d ng: yh(n) = (n, thay vào pt(1.62), ta thu ñư c:
λn - 3λn-1 - 4λn-2 = 0 hay λn -2 (λ2 - 3λ - 4) = 0
và phương trình ñ c tính là: (λ2 - 3λ - 4) = 0
Ta có 2 nghi m λ1 = -1 và λ2 = 4, nghi m c a phương trình thu n nh t có d ng t ng
quát là:
yh(n) = C1λn1 + C2λn2 = C1(-1)n + C2(4)n (1.63)
ðáp c a h th ng v i tín hi u vào b ng 0 có th thu ñư c b ng cách tính giá tr các
h ng s C1 và C2 d a vào các ñi u ki n ñ u. Các ñi u ki n ñ u ñư c cho thư ng là giá
tr c a ñáp ng các th i ñi m n=-1; n = -2;...; n = -N. ñây, ta có N=2, và các ñi u
ki n ñ u ñư c cho là y(- 1) và y(-2). T pt(1.62) ta thu ñư c:
y(0) = 3y(-1) + 4y(-2)
y(1) = 3y(0) - 4y(-1) = 13y(-1) + 12y(-2)
M t khác, t pt(1.63) ta có:
y(0) = C1 + C2
y(1) = -C1 + 4C2
Suy ra: C1 + C2 = 3y(-1) + 4y(-2)
-C1 + 4C2 = 13y(-1) + 12y(-2)
Gi i h 2 phương trình trên ta ñư c:
C1 = (-1/5)y(-1) + (4/5)y(-2)
C2 = (16/5)y(-1) + (16/5)y(-2)
V y ñáp ng c a h th ng khi tín hi u vào b ng 0 là:
yh(n) = [(-1/5)y(-1) + (4/5)y(-2)](-1)n + [(16/5)y(-1) + (16/5)y(-2)](4)n
(1.64)
Gi s , y(-2)=0 và y(-1)=5, thì C1=-1 và C2 =16. Ta ñư c:
yh(n) = (-1)n+1 + (4)n+2 , v i n ≥ 0
Chú ý r ng, trong trư ng h p phương trình ñ c tính có nghi m kép, pt(1.61) ph i ñư c
s a l i, ch ng h n, n u (1 là nghi m kép b c m, thì pt(1.61) tr thành:
yh(n) = C1λn1 + C2nλn1 + C3n2λn1+ …+ Cmnm-1λn1 +…+ Cm+1λnm+1 +…+ CNλnN
(1.65)

1.5.2.2. Nghi m riêng c a phương trình sai phân
Tương t như cách tìm nghi m c a phương trình thu n nh t, ñ tìm nghi m riêng c a
phương trình sai phân khi tín hi u vào x(n)≠0, ta ñoán r ng nghi m c a phương trình
có m t d ng nào ñó, và th vào LCCDE ñã cho ñ tìm m t nghi m riêng, ký hi u
yp(n). Ta th y cách làm này có v mò m m!. N u tín hi u vào x(n) ñư c cho b t ñ u
t th i ñi m n ≥ 0 (nghĩa là x(n)=0 khi n<0), thì d ng c a nghi m riêng thư ng ñư c
ch n là:
yp (n) = Kx(n) (1.66)
v i K là m t h ng s mà ta s tính.
Ví d 1.14:
Tìm ñáp y(n), v i n ≥ 0, c a h th ng ñư c mô t b i LCCDE b c hai như sau:
y(n) - 3y(n-1) - 4y(n-2) = x(n) + 2x(n-1) (1.67)
tín hi u vào là: x(n) = 4nu(n). Hãy xác ñ nh nghi m riêng c a pt(1.67).
Gi i:
Trong ví d 1.13, ta ñã xác ñ nh nghi m c a phương trình sai phân thu n nh t cho h
th ng này, ñó là pt(1.63), ta vi t l i:
yh (n) = C1(-1)n + C2(4)n (1.68)
Nghi m riêng c a pt(1.63) ñư c gi thi t có d ng hàm mũ: yp(n) = K(4)nu(n) . Tuy
nhiên chúng ta th y d ng nghi m này ñã ñư c ch a trong nghi m thu n nh t (1.68).
Vì v y, nghi m riêng này là th a (th vào pt(1.67) ta không xác ñ nh ñư c K). Ta
ch n m t d ng nghi m riêng khác ñ c l p tuy n tính v i các s h ng ch a trong
nghi m thu n nh t. Trong trư ng h p này, ta x lý gi ng như trư ng h p có nghi m
kép trong phương trình ñ c tính. Nghĩa là ta ph i gi thi t nghi m riêng có d ng: yp(n)
= Kn(4)nu(n). Th vào pt(1.67):
Kn(4)nu(n) - 3K(n-1)(4)n-1u(n-1) - 4 K(n-2)(4)n-2u(n-2) = (4)nu(n) + 2(4)n-1u(n-
1)ð xác ñ nh K, ta ư c lư ng phương trình này v i m i n ≥ 2, nghĩa là v i nh ng giá
tr c a n sao cho hàm nhãy b c ñơn v trong phương trình trên không b tri t tiêu. ð
ñơn gi n v m t toán h c, ta ch n n = 2 và tính ñư c K = 6/5. V y:
yp(n) = (6/5)n(4)nu(n) (1.69)
1.5.2.3. Nghi m t ng quát c a phương trình sai phân:
Tính ch t tuy n tính c a LCCDE cho phép ta c ng nghi m thu n nh t và nghi m riêng
ñ thu ñư c nghi m t ng quát. Ta có nghi m t ng quát là:
y(n) = yh (n) + yp (n) (1.70)
Vì nghi m thu n nh t yh (n) ch a m t t p các h ng s b t ñ nh {Ci}, nên nghi m t ng
quát cũng ch a các h ng s b t ñ nh này, ñ xác ñ nh các h ng s này, ta ph i có m t
t p các ñi u ki n ñ u tương ng c a h th ng.

Ví d 1.15: Tìm ñáp ng y(n), v i n ( 0, c a h th ng ñư c mô t b i LCCDE
b c hai trong ví d 1.14 v i ñi u ki n ñ u là y(-1) = y(-2) = 0.
Gi i:
Trong ví d 1.13 ta ñã tìm ñư c nghi m thu n nh t, trong ví d 1.14 ta ñã tìm ñư c
nghi m riêng. V y nghi m t ng quát c a pt(1.67) là:
y(n) = yh(n) + yP(n) = C1(-1)n + C2(4)n + (6/5)n(4)n, v i n≥0 (1.71)
v i các ñi u ki n ñ u là các giá tr y(-1) = y(-2) = 0, tương t như trong ví d 1.13, ta
tính y(0) và y(1) t các pt(1.67) và (1.71) và thành l p ñư c h phân trình:
C1 + C2 = 1
-C1 + 4C2 + 24/5 = 9
suy ra: C1 = -1/25 và C2 = 26/25.
Cu i cùng ta thu ñư c ñáp ng y(n) c a h th ng v i các ñi u ki n ñ u b ng 0, v i tín
hi u vào là x(n) = (4)nu(n) có d ng:

1.5.3. H TH NG R I R C ð QUI (RECURSIVE) VÀ KHÔNG ð QUI
(NONRECURSIVE)
1.5.3.1. H th ng r i r c ñ qui :
M t h th ng r i r c ñ qui là h th ng mà ñáp ng y(n) m i th i ñi m n ph thu c
vào m t s b t kỳ các giá tr y(n-1); y(n-2);... các th i ñi m trư c ñó.
Ta th y, m t h th ng ñ qui có th ñư c mô t b ng m t LCCDE có b c N≥1. ð tìm
nghi m c a LCCDE, ngoài phương pháp tr c ti p ñã trình bày ph n trên và phương
pháp gián ti p dùng bi n ñ i z s trình bày trong chương sau, ta còn có th xác ñ nh
y(n) b ng phương pháp ñ qui, nghĩa là tính ñáp ng y(n) c a h th ng không ch d a
vào tín hi u vào mà còn d a vào các giá tr c a ñáp ng các th i ñi m ñã tính ñư c
trư c ñó.
Gi s các ñi u ki n ñ u ñã cho là y(-1), y(-2),..., y(-N), ta s dùng phương pháp ñ
qui ñ tính y(n) v i n ≥ 0 và v i n < -N.
@ Tính y(n) v i n ≥ 0:

Ta th y pt(1.73) bi u di n y(n) theo tín hi u vào và các giá tr c a ñáp ng các th i
ñi m trư c ñó. Các m u y(n) ñư c tính v i n tăng d n, th t c này ñư c g i là phép ñ
qui ti n.
Ví d 1.16: Xét m t h th ng ñư c mô t b i LCCDE có d ng:
y(n) - ay(n-1) = x(n) (1.74)
và tín hi u vào là x(n) = K((n), v i a và K là các h ng s . ði u ki n ñ u là y(-1) = c, c
cũng là m t h ng s .
Ta tính y(n) v i n ≥ 0, b t ñ u v i n = 0:
y(0) = a.c + K
y(1) = a.y(0) + 0 = a.(a.c + K) = a2c + a.K
y(2) = a.(a2c + a.K) = a3c + a2 K
y(3) = a.( a3c + a2 K) = a4c + a3 K
: :
: :
T các k t qu trên ta có th t ng quát hóa thành công th c tính y(n)
y(n) = an+1c + an K, v i n ≥ 0 (1.75)
@ Tính y(n) v i n < 0
Trong trư ng h p này Pt(1.55) ñư c vi t l i:

Các giá tr c a ñáp ng y(n) v i -N ≤ n≤ -1 ñã ñư c cho b i các ñi u ki n ñ u, và ta
tính ñư c l n lư t các giá tr y(-N -1), y(-N -2), y(-N - 3),... b ng cách thay l n lư t
các giá tr n = -1, -2, -3,... vào pt(1.76). Các m u y(n) ñư c tính v i n gi m d n, th
t c này ñư c g i là phép ñ qui lùi.
Ví du 1.17: Xét m t h th ng ñư c mô t b i LCCDE (1.74) v i cùng ñi u ki n
ñ u trong ví d 1.16 . ð xác ñ nh giá tr c a ñáp ng v i n < 0, ta vi t l i phương
trình (1.74) như sau:
y(n-1) = a-1 [y(n) - x(n)] (1.77)
áp d ng ñi u ki n ñ u y(-1) = c, ta có th tính y(n) v i n <-1 m t cách l n lư t như sau
:
y(-2) = a-1[y(-1) - x(-1)] = a-1 c

y(-3) = a-1 a-1 c = a-2 c
y(-4) = a-1 a-2 c = a-3 c
: :
: :
T các k t qu trên ta t ng quát hóa thành công th c tính y(n) v i n < 0 như sau:
y(n) = an+1 c , v i n < 0 (1.78)
T k t qu c a 2 ví d 1.16 và 1.17, ta t ng k t thành công th c tính ñáp ng y(n) v i
m i n c a h th ng ñư c mô t b i phương trình sai phân (1.74), tín hi u vào là x(n) =
Kδ(n), v i a và K là các h ng s , và ñi u ki n ñ u là y(-1) = c, như sau:
y(n) = an+1 c + an Ku(n), v i m i n (1.79)
Nh n xét:
(1) Ta ñã th c hi n th t c ñ qui ñ tính ñáp ng theo chi u dương và chi u âm c a
tr c th i gian, b t ñ u v i n = -1. Rõ ràng ñây là m t th t c không nhân qu .
(2) Khi K=0, tín hi u vào luôn có giá tr b ng 0, nhưng ñáp ng có giá tr là y(n)=an+1
c. Nhưng m t h th ng tuy n tính ñòi h i r ng, n u giá tr c a tín hi u vào b ng 0, thì
giá tr c a ñáp ng cũng b ng 0 (tính ch t này ñư c ch ng minh như m t bài t p). Vì
vây, h th ng này không tuy n tính.
(3) N u ta d ch tín hi u vào n0 m u, tín hi u vào lúc này là x1(n) = Kδ(n-n0), ta tính
l i ñáp ng theo th t c như trên, k t qu là:

Ta th y y1(n) ≠y(n-n0), v y h th ng không b t bi n theo th i gian.
Theo phân tích trên, h th ng không ph i là h th ng LTI mà chúng ta mong ñ i,
ngoài ra nó cũng không có tính nhân qu . S dĩ như v y là vì trong các ñi u ki n ñ u
ñã cho không bao hàm các tính ch t này. Trong chương 2, ta s trình bày cách tìm
nghi m c a LCCDE b ng cách dùng bi n ñ i z, ta s ng m k t h p các ñi u ki n cho
tính ch t tuy n tính và b t bi n, và chúng ta s th y, ngay c khi các ñi u ki n b o
ñ m tính ch t tuy n tính và b t bi n ñư c ñưa vào, nghi m c a phương trình sai phân
cũng s không duy nh t. ð c bi t, c hai h th ng LTI nhân qu và không nhân qu có
th cùng ñư c mô t b i m t phương trình sai phân.
N u m t h th ng ñư c mô t b i m t LCCDE và th a mãn ñi u ki n ñ u ñ h th ng
có các tính ch t tuy n tính, b t bi n và nhân qu thì nghi m s ñư c xác ñ nh duy
nh t. ði u ki n này thư ng ñư c g i là ñi u ki n ngh (initial-rest conditions) và n i
dung c a nó như sau: " N u tín hi u vào x(n) = 0 khi n ≤ 0 thì ñáp ng ph i b ng 0
v i n ≤ 0".

Ta xét l i ví d 1.14 và 1.15, nhưng v i ñi u ki n ngh , nghĩa là y(n) = 0 v i n < 0,
tương ng v i x(n) = Kδ(n) = 0 khi n < 0. Ta s th y h th ng là m t h th ng LTI
nhân qu .

1.5.3.2. H th ng r i r c không ñ qui:
M t h th ng mà ñáp ng y(n) ch ph thu c vào kích thích th i ñi m hi n hành và
các th i quá kh là m t h th ng không ñ qui.
Ta th y m t h th ng không ñ qui ñư c bi u di n b i m t LCCDE có b c N = 0, ñó

là:
(H s a0 ñã ñư c ñưa vào các h s br , b ng cách chia 2 v cho a0 ).
ðáp ng xung c a h th ng là:

Ta th y ñây là m t h th ng LTI có ñáp ng xung dài h u h n (FIR) và nhân qu .
1.6 Tương quan c a các tín hi u r i r c
1.6.1. TƯƠNG QUAN CHÉO (CROSSCORRELATION)
1.6.2. T TƯƠNG QUAN (AUTOCORRELATION)
1.6.3. M t s tính ch t c a tương quan chéo và t tương quan:

Tương quan c a hai tín hi u là m t thu t toán ño lư ng m c ñ gi ng nhau
gi a hai tín hi u ñó. Nó ñư c ng d ng trong nhi u lĩnh v c khoa h c k thu t như:
radar, sonar, thông tin s ,. . .
Ví d như trong lĩnh v c radar, radar phát ra rín hi u ñ tìm m c tiêu là x(n), tín hi u
này sau khi ñ p vào m c tiêu (như máy bay ch ng h n) s ph n x tr l i . Radar thu
l i tín hi u ph n x nhưng b tr m t th i gian là D = n0Ts (Ts là chu kỳ l y m u), tín
hi u thu ñư c s b suy gi m v i h s suy gi m là a , t c là radar ñã thu l i ñư c tín
hi u ax(n-n0). Ngoài tín hi u ph n x này còn có nhi u c ng γ(n). V y tín hi u mà
radar thu ñư c khi có m c tiêu là:
y(n) = ax(n-n0) + γ(n)
Còn n u không có m c tiêu trong không gian ho c radar không phát hi n ñư c m c
tiêu thì radar ch thu ñư c nhi u c ng, khi ñó:
y(n) = γ(n)

So sánh hai tín hi u x(n) và y(n) ta s phát hi n ñư c có m c tiêu hay không, và xác
ñ nh ñư c th i gian tr D = n0Ts, t ñó ta xác ñ nh ñư c kho ng cách t m c tiêu ñ n
radar.
1.6.1. TƯƠNG QUAN CHÉO (CROSSCORRELATION)
Xét 2 dãy x(n) và y(n), gi s r ng ít nh t m t trong hai dãy có năng lư ng h u
h n, khi ñó tương quan chéo c a x(n) và y(n) ñư c ñ nh nghĩa như sau:

Ví d 1.18: Hãy xác ñ nh tương quan chéo rxy(n) c a 2 dãy sau:
x(n) = { …, 0, 0, 2, -1, 3, 7, 1, 2, -3, 0, 0, …}
y(n) = { …, 0, 0, 1, -1, 2, -2, 4, 1, -2, 5, 0, 0, …}
Gi i: Theo ñ nh nghĩa ta tính rxy v i t ng giá tr n

•
• v0(k) = x(k)y(k) = {…, 0, 0, 2, 1, 6, -14, 4, 2, 6, 0, 0,…}

Sau ñó l y t ng t t c các m u c a v0(k), ta ñư c: rxy(0) = 7
• V i n > 0, ta d ch y(k) sang ph i n m u, tính tích vn(k) = x(k)y(k-n) và sau ñó
c ng t t c các m u c a vn(k), ta thu ñư c:
rxy(1) = 13 rxy(2) = -18 rxy(3) = 16 rxy(4) = -7
rxy(5) = 5 rxy(6) = -3 và rxy(n) = 0, v i n ≥ 7
• V i n < 0, ta d ch y(k) sang trái n m u, tính tích vn(k) = x(k)y(k-n) và sau ñó
c ng t t c các m u c a vn(k), ta thu ñư c:
rxy(-1) = 0 rxy(-2) = 33 rxy(-3) = 14 rxy(-4) = 36
rxy(-5) = 19 rxy(-6) = -9 rxy(-7) = 10 và rxy(n) = 0, v i n≤-8
K t qu tương quan chéo c a hai dãy x(n) và y(n) là:
rxy(n) = {…, 0, 0, 10, -9, 19, 36, -14, 33, 0, 7, 13, -18, 16, -7, 5, -3, 0, 0,…}
1.6.2. T TƯƠNG QUAN (AUTOCORRELATION)
Trong ñ nh nghĩa tương quan chéo, n u x(n) = y(n) thì ta s có t tương quan. V y t
tương quan c a dãy x(n) ñư c ñ nh nghĩa như sau:

Ví d 1.19: Tính t tương quan c a dãy x(n) = u(n) – u(n – 4).
G i: Cách tính t tương quan b ng ñ th ñư c trình bày trong hình 1.10
Ta th y, t tương quan c a m t dãy luôn luôn có giá tr c c ñ i t i n = 0, b i vì m t
dãy bao gi cũng gi ng chính nó.
1.6.3. M t s tính ch t c a tương quan chéo và t tương quan:
Xét 2 dãy có năng lư ng h u h n x(n) và y(n), nghĩa là:

Ta d dàng ch ng minh ñư c các tính ch t sau ñây (Ph n ch ng minh xem như bài
t p):
(1) Ex = rxx(0) và Ey = ryy(0)
(2) rxy(n) = ryx(-n)
(3) rxx(n) = rxx(-n) (rxx là m t hàm ch n)

(4)
(5) N u y(n) = ±cx(n-n0), c là m t h ng s b t kỳ và n0 là s nguyên, thì
Rxy(n) = ±crxx (n-n0) và ryy(0) = c2rxx(0) và –crxx(0) ≤ rxy(n) ≤ crxx(0)

1.7. X LÝ S TÍN HI U TƯƠNG T
1.7.1. CÁC H TH NG X LÝ TÍN HI U:
1.7.2. H TH NG X LÝ S TÍN HI U TƯƠNG T :
1.7.2.2. Bi n ñ i D/A (Digital to Analog Conversion)
1.7.2.3. Hi n tư ng bi t d../Anh (Aliasing)
1.7.2.4. ð nh lý l y m u:

1.7.1. CÁC H TH NG X LÝ TÍN HI U:
Chúng ta có th phân lo i các h th ng theo chính tín hi u c n x lý. Theo ñó, ta có
các lo i h th ng x lý như các sơ ñ sau ñây:

Chú ý r ng, vì tín hi u s là m t trư ng h p riêng c a tín hi u r i r c, nên h th ng
r i r c cũng có th x lý tín hi u s .

1.7.2. H TH NG X LÝ S TÍN HI U TƯƠNG T :
X lý s tín hi u tương t là x lý tín hi u tương t b ng h th ng s . ð th c hi n
vi c này, ta c n ph i bi n ñ i tín hi u tương t thành tín hi u s và sau khi x lý dãy
k t qu có th ñư c ph c h i tr thành tín hi u tương t . Ví d như trư ng h p x lý
tín hi u tho i. Trong nhi u trư ng h p, m c tiêu c a vi c x lý là trích l y các
tham s c a tín hi u hay các thông tin c n thi t t tín hi u. Khi ñó, không c n
chuy n ñ i tín hi u tr v d ng tương t . Ví d : X lý tính hi u radar ho c sonar.
H th ng x lý s tín hi u tương t ñư c trình bày trong hình 1.12.

1.7.2.1. Bi n ñ i A/D (Analog-to-Digital Conversion)
Bi n ñ i A/D là bi n ñ i tín hi u tương t thành tín hi u s . Bi n ñ i A/D có sơ ñ
kh i như sau:

L y m u và gi a m u
(Sampling and hold)
L y m u là quá trình bi n ñ i liên t c(tương t ) sang tín hi u r i r c. Có nhi u cách
ñ l y m u m t tín hi u liên t c. Trong ñó, thông d ng nh t là cách l y m u tu n hoàn
(periodic sampling), còn g i là l y m u ñ u (uniform sampling). ðó là cách l y nh ng
m u biên ñ ü tín hi u liên t c t i nh ng th i ñi m r i r c cách ñ u nhau m t kho ng
th i gian TS, mà ta g i là chu kỳ l y m u. N u xa(t) là tín hi u tương t ngõ vào b
l y m u thì tín hi u r i r c ngã ra c a b l y m u là xa(nTS) (G i t t là tín hi u l y
m u), n là s nguyên. Mô hình v t lý c a b l y m u ñư c minh h a

trong hình 1.14.
Trong ñó, b ph n l y m u ñư c mô t như là m t b khóa ñư c ñi u khi n ñóng m
b i tín hi u xung ñ ng h Ck có t n s là FS= 1/TS. ð x lý b ng k thu t s ho c
b ng máy tính, thông thư ng tín hi u r i r c c n ph i ñư c lư ng t hóa ñ có th
bi u di n biên ñ c a các m u b ng m t t p h u h n các mã nh phân. Tuy nhiên, vi c
lư ng t hóa và mã hóa không th th c hi n t c th i. Thông thư ng, ti n trình lư ng
t hóa và mã hóa m t m u ñư c th c hi n trong kho ng th i gian TS. Vì v y, giá tr
c a c a m t m u ph i ñư c duy trì trong th i gian TS. ðây là ch c năng c a b gi a
m u. B gi a m u tiêu bi u là Zero-order-hold. B l y m u và gi m u ki u zero-
order-hlod này tương ñương v i m t b ñi u ch dãy xung ch nh t theo sau b i m t
b l c tuy n tính, mà tín hi u ngã ra c a nó (G i t t là tín hi u gi m u) có d ng b c
thang hình 1.15.

Lư ng t hóa và mã hóa (Quantizer and Coder)
ðây là b bi n ñ i tín hi u r i r c sang tín hi u s có biên ñ ñư c bi u di n b ng các
mã nh phân. Giá tr m i m u c a tín hi u l y m u ñư c gán b i m t giá tr ñư c l a
ch n t m t t p h u h n các gía tr . Trong ti n trình mã hóa, m i giá tr r i r c ñư c
gán b i m t mã nh phân m bit, tương ng có 2m m c lư ng t . N u biên ñ c a tín
hi u l y m u ñư c chu n hóa trong kho ng -X0≤ x(n) ≤ X0thì bư c lư ng t hóa
(kho ng cách gi a hai m c lư ng t k nhau) s là:
∆ = 2X0/2m = X0/2m - 1 (1.86)
Ví d 1.19: V i X0 = 1volt và m =3 bit, ta có 8 m c lư ng t và:
∆ = 1/4 = 0,25 volt
Các m c lư ng t có th ñư c mã hóa theo hai lo i mã nh phân: Two’s
-complement code và Offset binary code như sau:

Giá tr c a các Two’s
Offset binary code
m c lư ng t -complement code
0.75 011 111
0.50 010 110
0,25 001 101
0 000 100
-0,25 111 011
-0,50 110 010
-0,75 101 001
-1 100 000

ð sai bi t gi a nh ng m u x(n) c a tín hi u r i r c chưa ñư c lư ng t hóa và tín
hi u lư ng t hóa xq(n) g i là sai s lư ng t (quantization eror). S bít mã hóa càng
l n thì s m c lư ng t càng nhi u, sai s lư ng t càng nh .
1.7.2.2. Bi n ñ i D/A (Digital to Analog Conversion)
Trong nhi u ng d ng th c t , tín hi u s sau khi ñư c x lý c n ph i ñư c ph c h i
l i thành tín hi u tương t . ð h i làm vi c này, ta c n có b bi n ñ i s sang tương t
(D/A converter).
Nguyên t c chung c a bi n ñ i D/A là n i các ñi m r iì r c b ng m t phương pháp
n i suy (Interpolation) nào ñó. Hình 1.16 trình bày m t ki u bi n ñ i D/A ñơn gi n,
ki u x p x b c thang (staircase approximation), còn ñư c g i là zero-order hold.

Có nhi u ki u bi n ñ i D/A khác, như: n i suy tuy n tính (linear interpolation), n i
suy b c hai (quadratic interpolation),.... V i m t tín hi u có băng t n h u h n, lý thuy t l y
m u s xác ñ nh m t hình th c n i suy t i ưu.

1.7.2.3. Hi n tư ng bi t d../Anh (Aliasing)
ð minh h a, ta xét 2 tín hi u tương t hình sin l n lư t có t n s là F1 = 10 Hz và F2
= 50 Hz như sau:
x1(t) = cos2π(10)t và x2(t) = cos2π (50)t (1.87)

Hai tín hi u này cùng ñư c l y m u v i t n s FS =40 Hz. Các tín hi u r i r c tương
ng là:
x1(n) = cos2π(10)(n/40) = cos(π/2)n
x2(n) = cos2π(50)(n/40) = cos(5π/2)n (1.88)
Tuy nhiên, vì cos(5π/2)n = cos(2πn + πn/2) = cosπn/2, nên x1(n) = x2(n). V y, hai tín
hi u r i r c hình sin ñư c l y m u t hai tín hi u liên t c ñã cho là không th phân
bi t ñư c. ði u này có nghĩa là, khi ph c h i tín hi u tương t t tín hi u r i r c
cos(π/2)n, ta không th bi t tín hi u tương t ñư c khôi ph c là x1(t) hay x2(t). Vì
x2(t) cho m t k t qu l y m u ñúng như c a x1(t) t n s l y m u FS = 40
samples/second (s trùng m u), ta nói thành ph n t n s F2=50Hz là m t bi t d../Anh
(alias) c a thành ph n t n s F1=10Hz t n s l y m u 40 samples/second.
Th t ra, không ch có thành ph n F2 là bi t d../Anh c a F1 mà các thành ph n t n s Fk
= (F1 + 40k) cũng là bi t d../Anh c a F1 , v i k là m t s nguyên. Th t v y, ta xét tín
hi u tương t có t n s Fk là:
x2(t) = cos2πFkt = cos2π(F1+40k) t (1.89)
Tín hi u l y m u c a nó v i cùng t c ñ FS = 40Hz là:
xk(n) = cos2π(F1+ 40k)(n/40) = cos(2πkn + πn/2)= cosπn/2 = x1(n)
M t ví d v hi n tư ng bi t d../Anh ñư c minh h a trong hình 1.17. Trong ñó, 2 tín
hi u tương t hình sin có t n s l n lư t là F1 = 1/8Hz và Fk = -7/8 Hz có các m u
ñ ng d ng khi ñư c l y m u t n s FS = 1Hz. T pt(1.89), ta th y, v i k = -1 thì F1
= Fk + FS = (-7/8 + 1) Hz = 1/8Hz.

1.7.2.4. ð nh lý l y m u:
Cho m t tín hi u tương t b t kỳ, v n ñ là ch n chu kỳ l y m u TS hay t n s l y
m u FS như th nào cho h p lý? Xu hư ng chung là ch n t n s l y m u th p, b i vì
t n s l y m u cao s làm tăng s m u, t ñó lư ng phép tính trong quá trình x lý tín
hi u s tăng lên, kéo dài th i gian x lý, ñ ng th i lư ng b nh c n thi t cũng tăng
theo. Tuy nhiên, n u t n s l y m u quá th p s xãy ra hi n tư ng bi t d../Anh, không
th khôi ph c l i tín hi u tương t m t cách chính xác. Chúng ta s tr l i v n ñ này
trong chương 3, khi phân tích tín hi u trong mi n t n s , t ñó ch ng minh ñ nh lý l y
m u, mà ta s phát bi u sau ñây.

Tín hi u liên t c trong th c t có ñ dài h u h n (t n t i trong m t kho ng th i gian
h u h n) là t h p tuy n tính c a nhi u thành ph n hình sin. Ta xét các tín hi u có
băng t n h u h n, nghĩa là t n s cao nh t trong băng t n có th xác ñ nh. Ví d : tín
hi u tho i có các thành ph n t n s t vài trăm Hz ñ n 3KHz, tín hi u hình có t n s
cao nh t là 6MHz.
N u ta bi t thành ph n t n s cao nh t Fmax, ta có th ch n t n s l y m u thích h p.
ð nh l y l y m u ñư c phát bi u như sau:
ð nh lý : N u t n s cao nh t ch a trong m t tín hi u tương t xa(t) là Fmax thì tín
hi u ch có th ñư c khôi ph c m t cách chính xác t các m u c a nó n u t n s l y
m u FS ≥ 2Fmax,.
ð cho g n, ta ñ t Fmax = B. ð nh lý trên cũng ch ra r ng xa(t) có th ñư c khôi ph c
t các m u xa(nTS) b ng cách dùng hàm n i suy:

ñây xa(n/FS) = xa(nTS) = x(n) là các m u c a xa(t). N u t n s l y m u FS=2Fmax=2B,
thì công th c khôi ph c (1.91) tr thành:

T n s l y m u FS =2B = 2Fmax ñư c g i là t n s Nyquist. Hình 1.18 minh h a m t cách
bi n ñ i A/D lý tư ng dùng hàm n i suy (1.90).

Trong sơ ñ hình 1.12, m ch l c trư c có tác d ng ch ng hi n tư ng bi t d../Anh.
ðây là m t m ch l c thông th p có ch c năng l c b các thành ph n t n s cao hơn
FS/2, trong trư ng h p ph t n c a tín hi u vư t quá kh năng c a b l y m u (khi ñó

ta ph i ch p nh n k t qu g n ñúng c a tín hi u ra). Ngay c khi thành ph n t n s cao
nh t c a tín hi u nh hơn FS/2, nhi u t n s cao cũng gây ra hi n tư ng bi t
d../Anh và c n ph i l c b .
M ch l c sau sơ ñ trong hình 1.12 cũng là m t m ch l c thông th p. Nó có ch c
năng làm trơn (smoothing) ñ s a d ng tín hi u tương t thu ñư c ngã ra chính xác
hơn.

Bài t p chương 1:
1.1. Xét m t h th ng tuy n tính b t kỳ v i kích thích là x(n) và ñáp ng là y(n). Hãy
ch ng minh r ng, n u x(n) = 0 v i m t giá tr n nào ñó thì y(n) = 0.
1.2. Hãy xác ñ nh các h th ng ñư c cho có các tính ch t sau ñây hay không: n ñ nh;
nhân qu ; tuy n tính; b t bi n theo th i gian; không nh .

1.3. H th ng L ñư c bi t là có tính ch t tuy n tính và có ñáp ng y1(n), y2(n), y3(n)
tương ng v i các tín hi u vào x1(n), x2(n),x3(n) như sau:

a) Tìm ñáp ng xung h(n) c a h th ng.
b) L có b t bi n theo th i gian hay không?
1.4. Cho các c p dãy x(n) và h(n). Hãy tìm ñáp ng y(n) trong t ng trư ng h p sau:

1.5. ðáp ng xung c a m t h th ng LTI có giá tr b ng 0 ngoài kho ng N0 ≤ n ≤ N1.
Tính hi u vào x(n) có giá tr b ng 0 ngoài kho ng N2≤ n ≤ N3. K t qu là tín hi u ra
y(n) b ng 0 ngoài kho ng N4 ≤n ≤ N5. Hãy xác ñ nh N4 và N5 theo N0, N1, N2 và N3.
1.6. Tính và v ñ th ñáp ng xung c a h th ng có quan h vào ra như
sau:

1.7. Xác ñ nh ñáp ng bư c (kích thích là u(n)) c a h th ng có ñáp xung h(n) =
anu(n).
1.8. Cho m t h th ng LTI có ñáp ng xung như sau:

Hãy dùng ñ th ñ xác ñ nh ñáp ng c a h th ng ñ i v i tín hi u vào là x(n)=u(n)
- u(n-4).
1.9. Xét m t h th ng LTI có ñáp ng xung là h(n). N u dãy vào tu n hoàn v i chu kỳ
N. Hãy ch ng t r ng tín hi u ra y(n) cũng là m t dãy tu n hoàn v i chu kỳ N.
1.10. Xét m t h th ng có kích thích và ñáp ng th a mãn LCCDE:
y(n)=n.y(n-1) + x(n)
ðư c bi t h th ng có tính nhân qu và th a mãn ñi u ki n ngh .
a) Xác ñ nh ñáp ng xung c a h th ng.
b) H th ng có tuy n tính hay không? Ch ng minh.
c) H th ng có b t bi n theo th i gian hay không?
1.11. Xét tín hi u tương t : xa(t)=3.cos(100.π.t)
a) Xác ñ nh t n s l y m u nh nh t ñ tránh hi n tư ng bi t d../Anh.
b) Gi s tín hi u ñư c l y m u t n s FS=200 Hz (sample/second). Xác ñ nh tín
hi u r i r c thu ñư c sau khi l y m u?
c) G a s tín hi u ñư c l y m u t n s FS=75 Hz. Xác ñ nh tín hi u r i r c thu
ñư c sau khi l y m u?
d) Xác ñ nh t n s F<FS/2 (FS = 75Hz) c a tín hi u sin mà k t qu l y m u ñ ng
d ng v i k t qu thu ñư c câu c).

1.12. Xét tín hi u tương t xa(t)=3.cos(50.π.t)+ 10.sin(300.π.t)- cos(100. π.t). Xác
ñ nh t n s Nyquist c a tín hi u này.
1.13. Cho các dãy sau ñây:
x(n) = u(n) - u(n-5)
y(n) = (1/2)nu(n) - (1/2)nu(n-4)

s(n) = (-1/2)nu(n) - (-1/2)nu(n-4)
Hãy tính tương quan chéo cho t ng c p dãy và tính t tương quan c a các dãy này.
Nh n xét.

1.14. Cho các h th ng con có ñáp ng xung h1(n), h2(n) và h3(n) ñư c liên k t như
sau :

Cho bi t h2(n) = u(n) – u(n – 3);
h3(n) = δ(n) + 4δ(n-1) - δ(n-2).
Tính ñáp ng xung h(n) c a h th ng tương ñương .
1.15. L p lưu ñ thu t toán và vi t chương trình (Pascal, Matlab,...) tính t ng ch p c a
hai dãy có ñ dài h u h n.
1.16. L p lưu ñ thu t toán và vi t chương trình tính ñáp ng c a m t h th ng ñ qui.
1.17. L p lưu ñ thu t toán và vi t chương trình tính ñáp ng c a h th ng không ñ
qui.
1.18. L p lưu ñ thu t toán và vi t chương trình tính tương quan chéo c a hai dãy có
ñ dài h u h n.
1.19. L p lưu ñ thu t toán và vi t chương trình tính t tương quan c a hai dãy có ñ
dài h u h n.

1.20. Cho m t tín hi u tương t xa(t) = 2.sin(20πt) + cos(30πt + π/3), vi t chương
trình:
- L y m u và v tín hi u r i r c v i t n s l y m u là FS=30samples/second.
- Khôi ph c tín hi u tương t t các m u c a nó theo công th c n i suy (1.91), v
d ng sóng tín hi u tương t xa(t) và tín hi u tương t khôi ph c ñư c t tín hi u r i
r c trong m t chu kỳ. So sánh và nh n xét.
- Lư ng t hóa tín hi u r i r c v i 8 m c lư ng t và 16 m c lư ng t , v ñ th tín
hi u s thu ñư c trong hai trư ng h p này.
- Khôi ph c tín hi u tương t t tín hi u s trong hai trư ng h p trên, v d ng sóng và
nh n xét.

Chương II
BI U DI N TÍN HI U
VÀ H TH NG R I R C TRONG MI N Z
***

* N i dung
* M ñ u
* Khái ni m
* Các tính ch t c a bi n ñ i Z
* Các phương pháp tìm bi n ñ i Z ngư c
* Gi i phương trình sai phân tuy n tính h s h ng b ng bi n ñ i Z m t phía
* Phân tích h th ng LTI trong mi n Z
* Th c hi n các h th ng r i r c

2.1 M ñ u
Chương 1 ñã trình bày cách tính ñáp ng c a m t h th ng tr c ti p t ñáp ng xung
c a nó, b ng cách tính t ng ch p c a kích thích v i ñáp ng xung. Cách tính t ng ch p tr c
ti p d a vào công th c ñ nh nghĩa như ñã làm t n r t nhi u th i gian và công s c. Hơn n a ,
trong th c t s m u khác không c a kích thích và ñáp ng xung là r t nhi u nên ta không
th ‘tính b ng tay’. Tuy nhiên, phương pháp tính t ng ch p b ng ñ th như ñã trình bày cho
ta m t thu t toán c a chương trình tính t ng ch p b ng máy tính. Vi c gi i phương trình sai
phân tuy n tính h s h ng b ng phương pháp ñ qui cũng ch có ý nghĩa khi s d ng máy
tính.
K thu t bi n ñ i là m t công c h u hi u ñ phân tích h th ng LTI. Bi n ñ i Z ñ i v i tín
hi u r i r c có vai trò tương t như bi n ñ i Laplace ñ i v i tín hi u liên t c, và chúng có
quan h gi ng nhau v i bi n ñ i Fourier. T ng ch p c a hai dãy trong mi n th i gian s bi n
thành tích c a hai bi n ñ i Z tương ng trong mi n bi n ph c z. Tính ch t này s làm ñơn
gi n hóa vi c tính ñáp ng c a h th ng v i các tín hi u vào khác nhau. Phương trình sai
phân tuy n tính h s h ng cũng ñư c gi i m t cách d dàng hơn khi dùng công c bi n ñ i
Z.
Như ta s th y trong các chương sau, bi n ñ i Fourier gi a vai trò chìa khóa trong trong vi c
bi u di n và phân tích các h th ng r i r c. Tuy nhiên, trong m t s trư ng h p c n ph i s
d ng d ng t ng quát hóa c a bi n ñ i Fourier, ñó là bi n ñ i Z.
2.2 Các khái ni m v bi n ñ i Z
2.2.1. BI N ð I Z ( THE Z - TRANSFORM):
2.2.2. MI N H I T (ROC: Region Of Convergence)

1/. ð nh nghĩa:
2/. C c và zeros :
3/. Tính ch t c a ROC:
2.2.3. BI N ð I Z NGƯ C (The inverse Z -transform)
2.31. ð nh nghĩa:
1. ð nh lý tích phân Cauchy, ñư c phát bi u b i công th c sau:
2.Thi t l p công th c tính bi n ñ i z ngư c

2.2.1. BI N ð I Z ( THE Z - TRANSFORM):
Bi n ñ i z c a m t dãy x(n) ñư c ñ nh nghĩa như là chu i lũy th a:

, v i z là m t bi n ph c. (2.1)

Ta có th coi bi n ñ i Z như là m t toán t (operator) mà nó bi n m t dãy thành m t hàm, ký
hi u Z |.|, ta vi t l i:
(2.2)
hay: x(n) ----Z----> X(z) (2.3)

Bi n ñ i Z ñư c ñ nh nghĩa b i pt (2.1) ñư c g i là bi n ñ i Z hai phía (bilateral Z-
transform) do bi n n ch y t -∞ ñ n ∞. Bi n ñ i Z m t phía (unilateral Z-transform) ñư c
ñ nh nghĩa như sau:
(2.4)
trong trư ng h p này bi n n ch y t 0 ñ n ∞.
Ta th y bi n ñ i Z hai phía và m t phía ch b ng nhau khi x(n) = 0 v i m i n ≤ 0 (x(n) là dãy
nhân qu ). Trong tài li u này, khi nói ñ n bi n ñ i Z mà không xác ñ nh rõ là m t phía hay
hai phía, thì ta ng m hi u r ng ñó là bi n ñ i Z hai phía.
N u bi u di n Z theo t a ñ c c z = r.ejω, pt (2.1) tr thành:
(2.5)

ð c bi t, n u r =1 ( nghĩa là |z| = 1), thì bi n ñ i Z tr thành bi n ñ i Fourier:
(2.6)
Ta s ñ c p ñ n chương sau.
Vì bi n ñ i Z là hàm c a m t bi n ph c, nên nó thư ng ñư c bi u di n trên m t ph ng ph c
c a bi n z (hình 2.1). Ta th y, bi n ñ i Z l y trên vòng tròn ñơn v chính là bi n ñ i Fourier.

2.2.2. MI N H I T (ROC: Region Of Convergence)
Pt (2.1) là m t chu i lũy th a, g i là chu i Laurent, do ñó không ph i lúc nào bi n ñ i Z
cũng h i t v i m i tín hi u hay v i m i giá tr c a z, vì v y ph i xét ñ n mi n h i t c a nó.
1/. ð nh nghĩa:
V i m t dãy x(n) xác ñ nh, t p h p các giá tr c a z sao choĀ h i t ñư c g i là mi n h i t
(ROC) c a X(z).
ð nh nghĩa trên hàm ý r ng: |X(z)| < ∞, v i m i z trong ROC.
ði u ki n ñ ñ bi n ñ i Z h i t là:

(2.7)
N u m t giá tr z = z1 nào ñó trong ROC, thì vòng tròn có bán kính là |z|=|z1| cũng n m
trong ROC. ði u này cho th y r ng ROC là m t mi n hình vành khăn bao qu../Anh góc t a
ñ (Hình 2.2).

2/. C c và zeros :

M t lo i bi n ñ i Z thông d ng và quan tr ng ñó là bi n ñ i Z mà X(z) c a nó có d ng là
m t hàm h u t v i m i z trong ROC, nghĩa là:
X(z) = P(z)/Q(z) (2.8)
Trong ñó, P(z) và Q(z) là các ña th c bi n z hay z-1.
Các giá tr c a z sao cho X(z) = 0 ñư c g i là các zeros c a X(z), và các giá tr c a z sao cho
X(z) = ∞ñư c g i là các c c (poles) c a X(z). Các c c là các nghi m xác ñ nh c a ña th c
m u s Q(z) và thêm vào các giá tr z = 0 hay z = ∞.
ð th c c-zero là ñ th trên m t ph ng ph c, ta v các ñi m c c, ký hi u x , và các
ñi m zero, ký hi u o.
Ví d 2.1: Xét dãy x(n) = ((n). Thay vào pt (2.1), ta có:

(2.9)
Mi n h i t c a X(z) trong trư ng h p này là toàn b m t ph ng z.
Ví d 2.2: Xét dãy x(n) = anu(n), a là m t h ng s th c ho c ph c. Thay vào pt (2.1), ta
có:

Ta th y, ROC là mi n mà z có giá tr sao cho |az-1| < 1 hay |z| > |a|, và trong ROC, X(z) h i
t ñ n:

( Aùp d ng công th c tính t ng vô h n c a chu i hình h c).
V i a = 1, x(n) là dãy nhãy b c ñơn v , có bi n ñ i Z là:

Hình 2.3 trình bày mi n h i t c a bi n ñ i Z trong ví d 2.2 v i các v trí c a c c và zeros.
N u |a| > 1, ROC không ch a vòng tròn ñơn v , ñi u này hàm ý r ng, v i giá tr này c a |a|,
bi n ñ i Fourier c a m t dãy lũy th a anu(n) là không h i t .
Ví d 2.3: Xét dãy x(n) = -anu(-n-1), thì:

N u |a-1z| < 1, hay |z| < |a|, thì t ng (2.14) h i t , và:

ð th c c-zero và mi n h i t c a bi n ñ i Z trong ví d 2.2 ñư c trình bày trong hình 2.4.
Nh n xét:
Hai dãy trong ví d 2.2 và 2.3 hoàn toàn khác nhau nhưng bi u th c X(z) và ñ th c c-zero
là như nhau. Như v y khi nói ñ n bi n ñ i Z thì c n xác ñ nh c bi u th c l n ROC.

Ví d 2.4: Xét trư ng h p tín hi u là t ng c a hai hàm mũ th c:
x(n) = (1/2)nu(n) - (-3)nu(-n-1) (2.16)
Bi n ñ i Z s là:

ð X(z) h i t , hai t ng trong pt (2.18) ph i h i t , ñi u ki n là:
|(1/2)z-1| < 1 và |(-3)-1z| < 1 hay |z| > 1/2 và |z| <3 . Vì v y, ROC là mi n 1/2 < |z| < 3. ð
th c c-zero và ROC ñư c trình bày trong hình 2.5. Và:

Nh n xét:
T các ví d trên ta th y r ng: v i các dãy lũy th a dài vô h n, bi n ñ i Z c a nó có th ñư c
bi u di n b ng t s c a các ña th c bi n z hay z-1. Cách bi u di n này ñ c bi t thu n l i.
Ví d 2.5:Xét tín hi u :

ROC ñư c xác ñ nh b i t p h p các giá tr c a z sao cho:

Vì ch có m t s h u h n các s h n khác 0, nên t ng trong b t phương trình (2.21) s h u
h n khi |az-1| h u h n, ñi u này ñòi h i r ng |a| là h u h n và z ≠ 0. Vì v y, ROC bao g m
toàn b m t ph ng z, ngo i tr g c t a ñ (z = 0).
Hình 2.6 là ñ th c c-zero và ROC c a ví d 2.4, v i N =16 và a là m t s th c và 0<a<1.
N nghi m c a ña th c t s c a X(z) là:
zk = aej(2(k/N) v i k = 0, 1, 2,. . ., N-1. (2.22)

Zero k = 0 b tri t tiêu b i c c z = a, vì v y, không có c c nào khác ngoài g c t a ñ và
còn l i (N-1) zero tương ng v i k = 1, 2,. . ., N-1.

3/. Tính ch t c a ROC:
Gi s r ng x(n) có biên ñ h u h n, ngo i tr t i n = ±∞ và bi u th c c a bi n ñ i Z có
d ng h u t . T kh o sát th c t , ta có th t ng k t ñư c các tính ch t c a ROC như sau:
(1) ROC không ch a các ñi m c c, vì t i ñó X(z) không h i t .
(2) N u x(n) có ñ dài h u h n, thì ROC là toàn b m t ph ng z, ngo i tr các ñi m z=0
ho c z= ∞ (Ví d 2.5).

(3) N u x(n) là dãy bên ph i (right-sided sequence), nghĩa là x(n) = 0 v i m i
n < N1 < ∞, thì ROC là mi n bên ngoài c a vòng tròn ñi qua ñi m c c h u h n ngoài cùng
(Ví d 2.2).
(4) N u x(n) là dãy bên trái (left-sided sequence), nghĩa là x(n)=0 v i m i n>N2>-∞, thì
ROC là mi n bên trong c a vòng tròn ñi qua ñi m c c trong cùng khác 0 (Ví d 2.3)
(5) N u x(n) là dãy hai bên (two-sided sequence) và có chi u dài vô h n v phía ph i cũng
như v phía trái thì ROC có d ng hình vành khăn, các vòng tròn gi i h n trong và ngoài ñi
qua hai ñi m c c trong các ñi m c c c a X(z) (Ví d 2.4)
(6) ROC ph i là m t mi n không b chia c t.
Hình 2.7 minh h a các tính ch t c a ROC, cùng các v trí c a các c c (z1=2/3, z2=-3/2, z3=2)
và zeros (z1=0, z2=-1/2) có th ñúng v i 4 bi n ñ i z .

2.2.3. BI N ð I Z NGƯ C (The inverse Z -transform)
2.31. ð nh nghĩa:
N u X(z) là bi n ñ i Z c a x(n), thì x(n) là bi n ñ i Z ngư c c a X(z), ta có c p bi n ñ i Z:

Bi n ñ i Z ngư c còn ñư c ñ nh nghĩa là m t th t c ñ bi n ñ i t mi n z sang mi n th i
gian. V m t toán h c, bi n ñ i Z ngư c là m t toán t mà nó bi n m t hàm X(z) thành dãy
x(n).
Chú ý r ng, ta ch có th xác ñ nh bi n ñ i Z ngư c c a X(z) khi mi n h i t c a X(z) ñư c
xác ñ nh.
Công th c ñ tính dãy x(n) t X(z) ñư c thành l p d a vào ñ nh lý tích phân Cauchy.
1. ð nh lý tích phân Cauchy, ñư c phát bi u b i công th c sau:

v i C là ñư ng cong kín có chi u ngư c chi u kim ñ ng h và bao qu../Anh g c t a ñ .
2.Thi t l p công th c tính bi n ñ i z ngư c
T công th c ñ nh nghĩa c a bi n ñ i z:

Nhân hai v c a công th c trên cho zk-1 và l y tích phân trên ñư ng cong kín C bao qu../Anh
g c t a ñ , ngư c chi u kim ñ ng h và n m trong mi n h i t c a X(z), ta ñư c:

Áp d ng ñ nh lý Cauchy, pt(2.25) tr thành:

Tích phân ñư ng trong pt(2.27) ñư c tính b ng ñ nh lý giá tr th ng dư c a Cauchy
(Cauchy’s residue theorem) như sau:

Giá tr th ng dư (residue) t i m t ñi m c c d0, b c s c a X(z)zn-1 ,

ð i v i các ñi m c c ñơn, pt(2.29) tr thành:

Ví du 2.6:

ðư ng cong kín C n m trong ROC c a X(z) nên có bán kính l n hơn |a|.
@ V i n ≥ 0, C bao qu../Anh m t c c duy nh t t i z = a, ta có:

k t qu là: x(n) = an

@ V i n < 0 , có c c kép b c n t i z = 0.
- Khi n = -1, có 2 c c trong C là z = a và z = 0

K t qu là x(-1) = a-1 - a-1 = 0
- Khi n = -2, có 1 c c ñơn z = a và m t c c kép b c 2 t i z = 0 trong C.

K t qu là x(-2) = 0
Tính ti p t c v i n = -3, -4, -5,… ta th y x(n) = 0, v i m i n < 0.
V y, k t qu cu i cùng là: x(n) = anu(n).

2.3 Các tính ch t c a bi n ñ i Z
1. Tuy n tính (Linearity):
2 . D ch th i gian (Time shifting)
3. Thay ñ i thang ño trong mi n z (Scaling in the z domain).
4/. ð o th i gian (Time Reversal)
5/. Vi phân trong mi n z (Differentiation in the z-domain)
6/. Ch p (Convolution)
7/. Tương quan (Correlation)
8/ Tích cu hai dãy (Multiplication of two Sequences)
9/. ð nh lý giá tr ñ u (The initial value theorem):

Gi s ta có các c p bi n ñ i Z như sau:

Các ký hi u ROC = Rx có nghĩa là rL < |z| < rH
ROC = Rx1 có nghĩa là rL1 < |z| < rH1
ROC = Rx2 có nghĩa là rL2 < |z| < rH2
trong ñó rL , rH , rL1 , rH 1, rL2 , rH 2 là các s th c dương, tương t cho Ry.
Bi n ñ i Z có các tính ch t như sau:
1. Tuy n tính (Linearity):

trong ñó a và b là các h ng s b t kỳ. Tính ch t này ñư c ch ng minh tr c ti p t ñ nh nghĩa
c a bi n ñ i z (xem như m t bài t p).
Mi n h i t Ry c a a X1(z) + b X2(z) nh nh t là ph n giao nhau gi a Rx1 và Rx2. N u t h p
tuy n tính a X1(z) + b X2(z) phát sinh các ñi m zeros kh ñi m t s ñi m c c thì mi n h i t
Ry ñư c m r ng ra (Ta s tr l i s kh c c trong ph n sau).
Ví d 2.7: Xác ñ nh bi n ñ i Z c a tín hi u:
ω
(a) x(n) = (cosω0n)u(n)
ω
(b) x(n) = (sinω0n)u(n)
Gi i:
(a) Tín hi u x(n) có th ñư c bi u di n b i các hàm mũ ph c theo công th c Euler:

Sau m t s thao tác ñ i s ñư c k t qu :

(b) Tương t , tín hi u x(n) có th ñư c bi u di n b i các hàm mũ ph c theo công th c
Euler:

Áp d ng tính ch t tuy n tính, ta ñư c:

Sau m t s thao tác ñ i s ñư c k t qu :

2 . D ch th i gian (Time shifting)

ROC c a z-k X(z) là Rx tr ra z = 0 n u k > 0 ho c tr ra z = ∞ n u k < 0.
Ch ng minh:

Nh n xét: D ch ph i k m u t c là làm tr tín hi u k m u s tương ng v i nhân cho z-k trong
phép bi n ñ i z. V i k = 1, ta ký hi u toán t z-1 tương ng v i phép làm tr m t m u, ñây là
ký hi u ñã ñư c dùng ñ bi u di n ph n t làm tr m t m u.
Tính ch t tuy n tính và tính ch t d ch th i gian làm cho bi n ñ i z tr thành c c kỳ
h u d ng trong vi c phân tích h th ng LTI.

3. Thay ñ i thang ño trong mi n z (Scaling in the z domain).

v i a là h ng s th c ho c ph c b t kỳ.
ROC c a X(z/a) là |a|.Rx = |a|.rL < |z| < |a|.rH.
Chúng minh:
T ñ nh nghĩa c a bi n ñ i Z ta có:

Vì ROC c a X(z) là Rx = rL < |z| < rH nên ROC c a X(a-1z) là rL < | a-1z| < rH hay
|a|rL < |z| < |a|rH.

Ví d 2.8: Xác ñ nh bi n ñ i Z c a các tín hi u:
(a) x(n) = an (cosω0n)u(n)
ω
(b) x(n) = an (sinω0n)u(n)
ω
Gi i:
(a) T k t qu (2.32) trong ví d 2.7 k t h p v i tính ch t (2.35) ta thu ñư c k t qu m t
cách ñ dàng:

4/. ð o th i gian (Time Reversal)

Trong bi u th c trên ta ñã ñ i bi n m = -n.
ROC c a X(z-1) là : rL < |z-1| < rH hay 1/rH < |z| < 1/rL
Ví du 2.9: Xác ñ nh bi n ñ i Z c a tín hi u x(n) = u(-n)
Gi i: ví d 2.2 ta ñã bi t :

5/. Vi phân trong mi n z (Differentiation in the z-domain)

V i Ry = Rx (Ngo i tr trư ng h p thêm vào hay lo i b các ñi m c c t i z = 0 hay z=∞.
Ch ng minh:
B ng cách l y ñ o hàm 2 v c a bi u th c ñ nh nghĩa bi n ñ i Z, ta có:

Ví d 2.10: Xác ñ nh bi n ñ i Z c a tín hi u x(n) = nanu(n) .
Gi i:
ð t x1(n) = anu(n), ta ñư c x(n) = nx1(n) . T ví d 2.2 ta ñã bi t:

6/. Ch p (Convolution)

v i ROC Rx c a X(z) nh nh t là mi n giao nhau c a ROCx1 và ROCx2
N u có các zeros ñư c sinh ra kh ñi m t s ñi m c c thì mi n h i t Rx ñư c m r ng
ra.
Ch ng minh:
Theo ñ nh nghĩa, t ng ch p c a 2 dãy x1(n) và x2(n) là:

Bi n ñ i z c a x(n) là:

Ví d 2.11: Tính t ng ch p x(n) c a 2 dãy :

và x2(n) = u(n) – u(n – 6)
Gi i:
T ñ nh nghĩa ta tín ñư c bi n ñ i Z c a x1(n) và x2(n) như sau:
X1(z) = 1 – 2z-1 + z-2
X2(z) = 1 + z-1 + z-2+ z-3+ z-4+ z-5
Theo tính ch t (2.41), ta nhân X1(z) v i X2(z) và suy ra x(n) = x1(n)*x2(n):
X1(z). X2(z) = 1 - z-1 - z-6 + z-7

Suy ra:

Tính ch t ñư c áp d ng ñ tính t ng ch p m t cách có hi u qu .

7/. Tương quan (Correlation)

Ch ng minh: Ta nh c l i ñ nh nghĩa c a tương quan gi a 2 dãy x1(n) và x2(n), ñó là:

Gi ng như trư ng h p tính t ng ch p, tương quan gi a hai tín hi u có th tính m t cách d
dàng hơn b ng cách áp d ng tính ch t (2.42), sau ñó tìm bi n ñ i Z ngư c ñ thu ñư c k t
qu .
8/ Tích cu hai dãy (Multiplication of two Sequences)

ñây C là ñư ng cong kín bao qu../Anh g c t a ñ và n m trong mi n h i t c a X1(v) and
X2(1/v).
Ch ng minh:
ð t: x3(n) = x=(n).x2(n), bi n ñ i Z c a x3(n) là:

thay th bi n ñ i Z ngư c c a x1(n):

ñó là k t qu mong mu n.
ð thu ñư c ROC c a X3(z), ta chú ý r ng, n u X1(v) h i t trong mi n r1L<|v|<r1H và X2(z)
h i t trong mi n r2L<|z|<r2H, thì ROC c a X2(z/v) là: r2L<|z/v|<r2H, và mi n h i t c a X3(z)
s nh nh t là:
R1L.r2L<|z/v|<r2H. r1H (2.44)
9/. ð nh lý giá tr ñ u (The initial value theorem):
N u x(n) là m t dãy nhân qu (nghĩa là: x(n) = 0 v i m i n < 0), thì:

Ch ng minh:
Vì x(n) là m t dãy nhân qu , nên t ñ nh nghĩa bi n ñ i z ta có:

Rõ ràng, khi z → ∞, thì z-n → 0 vì n > 0 và X(z) → x(0).
T t c các tính ch t ñã ñư c trình bày trên s ñư c t ng k t trong b ng 2.1 ñ thu n ti n
khi tham kh o.
ð n ñây, ta ñã tìm ñư c h u h t các c p bi n ñ i Z cơ b n. Các c p bi n ñ i Z này ñư c t ng
k t trong b ng 2.2.
B ng 2.1: Các tính ch t c a bi n ñ i Z

Tính ch t Mi n th i gian Mi n z ROC
Ký hi u x(n) X(z) Rx ≡ rL < |z| < rH
x1(n) X1(z) Rx1≡ r1L < |z| < r1H
x2(n) X2(z) Rx2≡ r2L < |z| < r2H
Tuy n tính a1x1(n) + a2x2(n) a1X1(z) + a2X2(z) Nh nh t là ph n giao c a Rx1 và Rx2
_K
D ch th i x(n-k) z X(z) Rx , ngo i tr z=0 n u k>0 và z=( n u k<0
gian
Thay ñ i anx(n) X(a-1z) |a|rL<|z|<|a|rH
thang ño
trong mi n z
ð o th i x(-n) X(z-1) 1/rH < |z| < 1/rL
gian
Vi phân nx(n) Rx
trong mi n z
Ch p x1(n)*x2(n) X1(z)X2(z) Nh nh t b ng ph n giao c a Rx1 và Rx2
-1
Tương quan rx1x2(n)=x1(n)*x2(-n) Rx1x2=X1(z)X2(z Nh nh t b ng ph n giao c a ROC
) c a X1(z) và X2(z-1)
Nhân x1(n)x2(n) Nh nh t nh t là r1Lr2L<|z|< r1H r2H
ð nh lý giá N u x(n) nhân qu
tr ñ u
B ng 2.2: Các c p bi n ñ i z cơ b n

Tín hi u x(n) Bi n ñ i z, X(z) ROC
1 δ(n) 1 T t c m t ph ng z
2 u(n) |z| > 1

3 nu(n) |z| > 1

4 anu(n) |z| > |a|
5 nanu(n) |z| > |a|
6 -anu(-n -1) |z| < |a|
7 -n anu(-n -1) |z| < |a|
8 (cosω0n)u(n) |z| > 1
9 (sinω0n)u(n) |z| > 1
10 (ancosω0n)u(n) |z| > |a|
11 (ansinω0n)u(n) |z| > |a|

2.4 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM BI N ð I z NGƯ C
2.4.1. PHƯƠNG PHÁP TRA B NG:
2.4.2. PHƯƠNG PHÁP TRI N KHAI THÀNH CÁC PHÂN TH C H U T
2.4.3. PHƯƠNG PHÁP TRI N KHAI THÀNH M T CHU I LŨY TH A
1/. Khai tri n m t tích s :
2/. Khai tri n Taylor
3/. Khai tri n b ng phép chia:

Phương pháp d a trên ñ nh lý tích phân Cauchy ñ tìm bi u th c c a bi n ñ i z ngư c ñã
ñ nh trình bày trong ph n ñ nh nghĩa bi n ñ i z ngư c. Phương pháp này có v kinh ñi n,
nhưng khá ph c t p. Bây gi , ta s trình bày m t s phương pháp khác, ñơn gi n hơn, ñ tìm
bi n ñ i z ngư c t m t bi u th c X(z) k t h p v i m t ROC xác ñ nh.
2.4.1. PHƯƠNG PHÁP TRA B NG:
ðây là phương pháp ñơn gi n và nh../Anh chóng nh t, ñ tìm bi n ñ i z ngư c ta ch c n d a
vào b ng các c p bi n ñ i z có s n (b ng 2.2).

Ví d 2.12:

áp d ng công th c bi n ñ i này v i a = ½ , ta ñư c x(n) = (1/2)n u(n).

2.4.2. PHƯƠNG PHÁP TRI N KHAI THÀNH CÁC PHÂN TH C H U T
(PARTIAL FRACTION EXPANSION)
Trư ng h p X(z) không có s n m t cách tư ng minh trong b ng các c p bi n ñ i z. Ta có th
bi n ñ i bi u th c X(z) thành t ng c a các s h ng ñơn gi n có th tra b n. ðây là trư ng
h p X(z) có d ng h u t , nghĩa là X(z) = P(z)/Q(z), v i P(z) và Q(z) là các ña th c theo bi n

z hay z-1, b i vì trong trư ng h p này ta có th khai tri n X(z) thành các phân th c h u t
ñơn gi n.
Gi s r ng X(z) ñư c bi u di n b ng t s c a 2 ña th c c a z-1, như sau:

Pt (2.47) ch ra r ng, s có M zeros và N c c các v trí khác 0 trên m t ph ng ph c. Thêm
vào, cũng s có M-N c c z = 0 n u M > N hay có N-M zeros z=0 n u N > M. Nói khác
ñi, bi n ñ i z có d ng pt(2.46) luôn luôn có s c c và zero b ng nhau trong m t ph ng z
h u h n, và không có c c và zero z = ∞.
Pt (2.46) còn có th bi u di n d ng:

ñây, ck là các zeros khác 0 và dk là các c c khác 0 c a X(z).
• Trư ng h p M ( N, b ng cách chia ña th c t s cho ña th c m u s ta có th ñưa X(z)
v d ng:

Trong ñó, ta có th d dàng tìm bi n ñ i z ngư c c a ña th c Āb ng cách tra b ng k t h p
v i áp d ng tính ch t tuy n tính và tính ch t d ch th i gian; còn Xht(z) là m t hàm h u t có
b c c a t s nh hơn b c c a m u s , Các hàm h u t có d ng như Xht(z) ñư c g i là hàm
h u t th t s (Proper rational function). V y, v n ñ là tìm bi n ñ i z ngư c c a các hàm
h u t th t s .

• Trư ng h p M ( N, X(z) là hàm h u t th t sư và có N c c khác 0 phân bi t (không có
c c kép):
Khi ñó X(z) có th vi t l i:

v I Ak là các h s mà ta c n ph i tính. ð tính các h s Ak, ta nhân hai v phương trình
(2.49) v i (1 –dkz-1) và cho z = dk, ta tính ñư c các h s Ak :

Ví d 2.13: Gi s x(n) có bi n ñ i z là:

v i ROC là |z| > 1. Tìm x(n).
Gi i:
T ROC c a X(z), ta th y x(n) là m t dãy bên ph i. Vì M = N và t t c các c c ñ u là b c
nh t. Ta có th bi u di n X(z) dư i d ng:

H s B0 ñư c tìm b i phép chia ña th c t s cho ña th c m u s :

X(z) ñư c vi t l i:

ð t , ta s khai tri n Xht(z) thành t ng c a 2 phân th c ñơn gi n,
các h s
A1 và A2 ñư c tính b ng cách áp d ng pt(2.51), như sau:

Áp d ng tính ch t tuy n tính, ta ñư c:
x(n) = 2δ(n) – 9 (1/2)nu(n) + 8 u(n)
• Trư ng h p M ( N, X(z) là hàm h u t th t sư và có N c c khác 0, trong ñó có c c képï:
Pt(2.47) có th ñư c vi t l i:
X(z) b 0 z N −1 + b1 z N − 2 + b 2 z N −3 + ... + b M z N − M −1
=
z a 0 z N + a 1 z N −1 + a 2 z N − 2 + ... + a N (2.53)

Sau ñó khai tri n X(z)/z thành t ng các phân th c h u t ñơn gi n. Gi s , X(z) có c c kép
b c s t i dj. Pt(2.53) s ñư c tri n khai dư i d ng:

T pt(2.54), ta vi t l i X(z) ñư i d ng:

Các h s Ak ñư c tính như trên, ta có th tìm công th c t ng quát ñ tính các h s Cm , tuy
nhiên công th c này khá ph c t p. Trong th c t , ñ th c hi n m t h th ng l n, ngư i ta
thư ng liên k t nhi u h th ng b c 2. Vì v y, ñ ñơn gi n, ta ch c n kh o sát trư ng h p
nghi m kép b c 2 như trong ví d 2.14. Sau khi tìm ñư c các h s Ak và Cm, ta áp d ng

phương pháp tra b ng k t h p v i các tính ch t tuy n tính và tính ch t vi phân trong mi n z
ñ tìm bi n ñ i z ngư c.
Ví d 2.14: Hãy xác ñ nh dãy nhân qu x(n) có bi n ñ i z là:

Gi i: Ta th y X(z) có m t nghi m kép b c 2 t i z = 1, ta vi t l i X(z) dư i d ng:

Các h s A và C2 có th tính ñư c m t cách d dàng như sau:

ð tính C1, ta vi t l i:

Áp d ng phương pháp tra b ng k t h p v i các tính ch t tuy n tính, vi phân trong mi n z,
v i x(n) là m t dãy nhân qu , ta thu ñư c:

X(n) = ¼ (-1)nu(n) + ¾ u(n) + ½ n u(n) = [¼ (-1)n + ¾ + n/2]u(n)
2.4.3. PHƯƠNG PHÁP TRI N KHAI THÀNH M T CHU I LŨY TH A
(POWER SERRIES EXPANSION)
T ñ nh nghĩa c a bi n ñ i z, ta th y X(z) là môt chu i lũy th a, trong ñó x(n) chính là h s
c a z-n . Ta vi t l i:

V y, n u ta có th ñưa X(z) v d ng này, ta s xác ñ nh ñư c giá tr c a x(n) tương ng v i
giá tr c a n.
1/. Khai tri n m t tích s :
Ví d 2.15: Hãy xác ñ nh dãy x(n) mà bi n d i z c a nó là:

Ta th y X(z) cũng có d ng hàm h u t , nhưng ch có m t c c là z = 0, Ta có th khai tri n
thành m t chu i lũy th a như sau:

2/. Khai tri n Taylor
Phương pháp này thư ng ñư c áp d ng khi X(z) có d ng logarit, sin, hyperbolic, hàm mũ.
Ta nh c l i công thúc Taylor c a m t hàm f(x) t i ñi m x = x0, như sau:

trong ñó, c n m gi a x và x0.
N u trong công th c (2.54), ta cho x0 = 0, ta ñư c:

trong ñó, c n m gi a 0 và x, công th c (2.58) ñư c g i là công th c Mac Laurin.
Ví d 2.16:
Hãy xác ñ nh dãy x(n) có bi n ñ i z là: X(z) = ln(1 + az-1), v i ROC là |z| > |a|.
G i:

Khai tri n Taylor c a X(z) theo z-1 , v i n n →∞, ta có:

3/. Khai tri n b ng phép chia:
Phương pháp này thư ng ñư c th c hi n khi X(z) có d ng h u t : X(z) = P(z)/Q(z). Ta có th
th c hi n phép chia ña th c P(z) cho Q(z) ñ có ñư c m t chu i lũy th a, t ñó, nh n ñư c
t ng m u c a dãy x(n).

Ví d 2.17: Hãy xác ñ nh bi n ñ i Z ngư c c a:

khi: (a) ROC là |z| > 1 (b) ROC là |z| < 0.5

Gi i:
(a) T ROC c a X(z) ta th y x(n) là m t dãy bên ph i. Vì v y , ta s tìm m t khai tri n
chu i lũy th a v i s mũ âm. B ng cách chia t cho m u x p theo s mũ âm d n, ta
ñư c:

So sánh v i pt(2.56), ta ñư c:

(b) T ROC c a X(z), ta th y x(n) là m t dãy bên trái. Vì v y, ta ph i th c hi n phép chia
sao cho thu ñư c khai tri n lũy th a dương c a z. Mu n v y, ta x p các ña th c t s
và m u s theo th t sao cho lũy th a c a z-1 gi m d n (t c s mũ ít âm d n cho ñ n
0). Ta th c hi n phép chia như sau:

Ta thu ñư c:

2.5 GI I PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUY N TÍNH H S H NG DÙNG BI N
ð I Z M T PHÍA

2.5.1. BI N ð I Z M T PHÍA (UNILATERAL Z-TRANSFORM)
2.5.2. GI I PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUY N TÍNH H S H NG:
2.5.1. BI N ð I Z M T PHÍA (UNILATERAL Z-TRANSFORM)
ð NH NGHĨA:
Bi n ñ i z m t phía c a tín hi u x(n) ñã ñư c ñ nh nghĩa pt(2.4), ta nh c l i:

Nó khác v i bi n ñ i z hai phía ch ch tính các giá tr x(n) v i n ( 0, gi i h n dư i c a
t ng là 0.
Ta th y, n u x(n) là m t tín hi u nhân qu (nghĩa là x(n) = 0 v i m i n < 0) thì bi n ñ i z m t
phía và bi n ñ i z hai phía là ñ ng nh t, ngư c l i, n u x(n) ( 0 khoi n < 0 thì chúng khác
nhau.

ROC c a t t c các bi n ñ i z m t phía là |z| > rH (rH là m t s th c dương), v i bi n ñ i z
m t phía có d ng h u t thì rH là modul c a c c xa g c t a ñ nh t. Vì v y, khi s d ng bi n
ñ i z m t phía, ngư i ta thư ng không ñ c p ñ n ROC .
Ví d 2.18: Xét tín hi u x(n) =δ(n)

Ta th y, vì x(n) = 0 v i m i n < 0 nên bi n ñ i z hai phía và m t phía là gi ng nhau.
Ví d 2.19: Xét tín hi u x(n) = δ (n + 1)
Trong trư ng h p này, xung ñơn v xu t hi n th i ñi m n = -1.

Ta th y, vì x(n) không nhân qu , nên bi n ñ i z hai phía và m t phía là phân bi t nhau.
TÍNH CH T:
H u h t các tính ch t c a bi n ñ i z hai phía ñ u ñúng v i bi n ñ i z m t phía ng ai tr tính
ch t d ch th i gian.
• Tính ch t d ch th i gian:
Xét m t tín hi u x(n) có bi n ñ i z m t phía là X+(z). Ta xét 2 trưòng h p:
Trư ng h p 1: D ch ph i.
Xét tín hi u x1(n) = x(n – k),v i k > 0, ta có:

Ch ng minh:

Ta ñư c k t qu trên b ng cách ñ i bi n n = -l.
Trư ng h p 2: D ch trái.
Xét tín hi u x2(n) = x(n + k),v i k > 0, ta có:

Trư ng h p này cũng ñư c ch ng minh tương t như trư ng h p 1.
• ð nh lý giá tr cu i (Final value theorem)

Gi i h n (2.63) t n t i n u ROC c a (z-1)X+(z) ch a vòng tròn ñơn v . Vi c ch ng minh
ñ nh lý này ñư c xem như bài t p.
Ví d 2.20:
ðáp ng xung c a m t h th ng LTI ngh là h(n) = anu(n), v i |a| < 1. Hãy xác ñ nh ñáp ng
c a h th ng v i tín hi u vào là tín hi u nh y b c ñơn v khi n → ∞.
Gi i: ðáp ng c a h th ng là:
y(n) = h(n)*x(n)
v i : x(n) = u(n). Rõ ràng, n u ta kích thích m t h th ng nhân qu v i m t tín hi u vào nhân
qu thì tín hi u ra cũng nhân qu . Vì x(n), h(n) và y(n) ñ u là các dãy nhân qu , nên bi n ñ i
Z m t phía và bi n ñ i Z hai phía là ñ ng nh t. Áp d ng tính ch t ch p ta ñư c:

Vì |a| < 1 nên ROC c a (z-1)Y(z) ch a vòng tròn ñơn v . Áp d ng ñ nh lý giá tr cu i, ta
ñư c:

2.5.2. GI I PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUY N TÍNH H S H NG:
M t công d ng quan tr ng c a bi n ñ i z m t phía là phân tích h th ng ñư c mô t b i
phương trình sai phân tuy n tính h s h ng không có ñi u ki n ngh . Vì kích thích ñư c ñưa
vào m t th i gian xác ñ nh, ta coi như n = 0, nên tín hi u vào cũng như tín hi u ra ch ñư c
kh o sát các th i ñi m n ≥ 0, ñi u này không có nghĩa là các tính hi u ra b ng 0 các th i
ñi m n < 0. Ta th y, bi n ñ i z m t phía là m t công c thích h p trong trư ng h p này. Ta
xét ví d sau ñây:
Ví d 2.21: Xác ñ nh ñáp ng nh y b c ñơn v c a h th ng ñư c mô t b i phương trình sai
phân sau:
y(n) = ay(n-1) + x(n) , v i –1 < a < 1
v i ñi u ki n ñ u là: y(-1) = 1.
Gi i: L y bi n ñ i Z m t phía hai v c a phương trình sai phân ta ñư c:
Y+(z) = a[z-1Y+(z) + y(-1)] + X+(z)
V i x(n) = u(n) ta có X+(z) = 1/(1-z-1). Thay th y(-1) và X+(z) vào phương trình trên và s p
x p l i ta ñư c:

Tìm bi n ñ i Z ngư c b ng phương pháp khai tri n thành các phân th c h u t ñơn gi n, ta
ñư c:

2.6 PHÂN TÍCH H TH NG LTI TRONG MI N Z
2.6.1. HÀM TRUY N ð T C A H TH NG LTI
2.6.1.1. Hàm truy n ñ t (hàm h th ng)
2.6.1.2. Hàm truy n ñ t c a m t h th ng ñư c ñ c trưng b i LCCDE
2.6.1.3. S k t n i c a các h th ng LTI
2.6.2. ðÁP NG C A H TH NG C C - ZERO NGH
2.6.3. ðÁP NG C A H T H NG C C-ZERO V I ðI U KI N ð U KHÁC 0
2.6.4. ðÁP NG QUÁ ð (TRANSIENT RESPONSE)
2.6.5. H TH NG N ð NH VÀ NHÂN QU

2.6.1. HÀM TRUY N ð T C A H TH NG LTI

2.6.1.1. Hàm truy n ñ t (hàm h th ng)
T chương I, ta ñã th y r ng m t h th ng LTI hoàn toàn có th ñ c trưng trong mi n th i
gian b i ñáp ng xung h[n] c a nó, v i tín hi u vào x[n], ñáp ng c a h th ng ñư c tính b i
t ng ch p:
y[n] = x(n) * h(n) (2.64)
Chúng ta cũng th y ñư c các khó khăn khi xác ñ nh ñáp ng c a h th ng tr c ti p b ng
t ng ch p.
G i X(z) và H(z) l n lư t là bi n ñ i z c a x(n) và h(n), áp d ng tính ch t ch p c a bi n ñ i
Z, ta ñư c bi n ñ i Z c a y(n) như sau:
Y(z) = X(z).H(z) (2.65)
v i m t mi n h i t thích h p.
V y, thông qua phép bi n ñ i Z, t ng ch p c a hai dãy ñã bi n thành phép nhân ñơn gi n.
Sau khi có ñư c Y(z), ta dùng phép bi n ñ i Z ngư c ñ tính ñáp ng y(n). Cách làm này rõ
ràng là d dàng hơn cách tính tr c ti p t t ng ch p.

Pt(2.65) có th ñư c vi t l i:
H(z) ñư c g i là hàm h th ng (System function) hay hàm truy n ñ t (Transfer function). Vì
H(z) và h(n) là m t c p duy nh t, nên m t h th ng LTI b t kỳ hoàn toàn có th ñư c ñ c t
b i hàm h th ng c a nó.
2.6.1.2. Hàm truy n ñ t c a m t h th ng ñư c ñ c trưng b i LCCDE
Xét m t h th ng LTI mà quan h vào ra c a nó th a mãn phương trình sai phân tuy n tính
h s h ng (LCCDE) như sau:

Chúng ta cũng ñã bi t r ng, t phương trình sai phân (2.67) ta có th tìm ñư c y(n) theo
phương pháp ñ qui. N u ñi u ki n ban ñ u ngh ñư c th a mãn, h th ng s là tuy n tính,
b t bi n và nhân qu .
Áp d ng bi n ñ i Z cho c hai v c a pt(2.67) và ñ ý ñ n tính ch t tuy n tính, d ch th i gian
c a bi n ñ i Z, ta

Xu ly tin_hieu_so_cantho

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Xu ly tin_hieu_so_cantho

Similar to Xu ly tin_hieu_so_cantho (20)

Xu ly tin_hieu_so_cantho