Mintapélda - számítógépes függvényvizsgálatra

1. Függvényvizsgálat mintapélda GeoGebra
1
FÜGGVÉNYVIZSGÁLAT VIDEÓS SEGÉDLETE:
http://www.youtube.com/watch?v=e1wkZQ9LF6U
Az =
,
+ √ + 8 − 1 hozzárendelési szabállyal megadott
függvény vizsgálatát a GeoGebra programmal a „Házi dolgozat sablon” alapján
végezzük el.
1. Értelmezési tartomány függvény képlete alapján
− A tört nevezője nem lehet nulla, ezért x ≠ 4.
− A gyök alatt nem állhat negatív érték, ezért x+8 ≥ 0, azaz x ≥ -8.
A fentieket összegezve:
= ∈ ℝ | − ≤ é ≠

2. Függvényvizsgálat mintapélda GeoGebra
2
2. Zérushelyek Gyökök[<Függvény>, <Kezdő x-érték>, <Lezáró x-érték> ]
A kezdő és a lezáró x-értéket úgy adjuk meg, hogy közrefogja a
zérushelyeket! (ebben segít a függvényábra)
x1 = -6,75
x2 = 3,47
3. Monotonitás Szélsőérték[<Függvény>,<Kezdő x-érték>,<Lezáró x-érték>]
Monotonitás megváltozhat szakadási helyeknél, illetve megváltozik
szélsőértékhelyeknél.
-8 < x < 1,23 szigorú monoton növekvő
1,23 < x < 4 szigorú monoton csökkenő
4 < x < 7,13 szigorú monoton csökkenő
7,13 < x szigorú monoton növekvő
4. Szélsőértékek Szélsőérték[<Függvény>,<Kezdő x-érték>,<Lezáró x-érték>]
helyi MAX(1,23; 1,58)
helyi MIN(7,13; 3,29)
Zárt értelmezési tartomány esetén szélsőérték lehet az értelmezési
tartomány végpontjában is (jelenleg például szélsőérték van az x=–8-ban),
ennek értékét az f(-8) paranccsal határozhatjuk meg.
helyi MIN(-8; -1,1)
5. Konvexitás
Konvexitás megváltozhat a szakadási helyeknél, illetve megváltozik az
inflexiós pontoknál (lásd. 6. pont: Inflexiós pont meghatározása). A
szakadási helyek, és az inflexiós pontok által meghatározott intervallumokon
vizsgáljuk a függvény konvexitását.
A konvexitást megállapíthatjuk „ránézésre” is, a függvény grafikonja
alapján, vagy vizsgálhatjuk a függvény második deriváltjának előjele
alapján. Ahol a második derivált pozitív értéket vesz fel, ott az f(x) függvény
konvex; ahol negatív, ott az f(x) konkáv.
- 8 < x < 4 konkáv
4 < x < 14,17 konvex
14,17 < x konkáv

3. Függvényvizsgálat mintapélda GeoGebra
3
6. Inflexiós pont
A lehetséges inflexiós pontokat megkaphatjuk, ha megvizsgáljuk, hogy a
második derivált hol vesz fel nulla értéket, azaz hol találhatóak a zérushelyei
(gyökei). Ehhez először előállítjuk a második deriváltat, majd keressük a
gyököket.
Derivált[<Függvény>,<Szám>]
Gyökök[<Függvény>, <Kezdő x-érték>, <Lezáró x-érték> ]
Amennyiben az ábránk áttekinthetetlenné válik, átszínezhetjük, vagy
elrejthetjük a második derivált grafikonját.
A függvényünknek egy inflexiós pontja van:
INFL(14,17; 3,83)
7. Határérték ±±±±∞∞∞∞-ben és szakadási helyeken
Megjegyzés: Azoknál a függvényeknél melyek határértéke ±∞-ben nem
vizsgálható az értelmezési tartomány szűkítése miatt, ott a ±∞ helyett az
értelmezési tartomány végpontjában kell a határértéket vizsgálnunk. Jelen
esetben a −∞ helyett az értelmezési tartomány bal végpontjában, azaz
x =- 8-ban vizsgáljuk a függvény határértékét.
A határértéket leolvashatjuk
− a függvény grafikonjáról, vagy
− használhatjuk a GeoGebra program megfelelő parancsait.
Határérték[<Függvény>, <Érték>]
JobboldaliHatárérték[ <Függvény>,<Érték>]
BaloldaliHatárérték[ <Függvény>,<Érték>]
Határérték az értelmezési tartomány végpontjaiban:
#$% &
', ()
−
+ √ + − '* = − = −', '
#$%
+
&
', ()
−
+ √ + − '* = , + ∞ − ' = ∞

4. Függvényvizsgálat mintapélda GeoGebra
4
Határérték a szakadási helyen:
#$%-
&
', ()
−
+ √ + − '* = ∞ + '( − ' = ∞
#$%.
&
', ()
−
+ √ + − '* = −∞ + '( − ' = −∞
(A fenti határértékeket ránézésre a grafikonról is leolvashatjuk.)
8. Abszolút szélsőérték
Nincs abszolút szélsőértéke a függvénynek.
9. Értékkészlet
Vizsgáljuk milyen értékeket (y) vesz fel a függvényünk! A függvény
grafikonja alapján határozható meg, felhasználva a szélsőértékek második
koordinátájának ismeretét.
/ = 0 ∈ ℝ | 0 ≤ 1,58; 3,29 ≤ 6
Kis Márta
Budapest, 2013. október