A Winplot program leírása

1. A Winplot program leírása
Készítette: Kis Márta
Budapest, 2009.

2. A winplot program leírása 2009. október
2
Tartalom
1. A program telepítése, indítása .............................................................................. 3
2. Függvény megadása.............................................................................................. 3
2.1 Explicit megadás ................................................................................................ 3
2.2 Beépített függvények........................................................................................ 4
2.3 Példák függvénymegadásra ........................................................................... 4
2.3 Számok megadása ............................................................................................ 5
3. Jegyzék ablak........................................................................................................... 6
4. Nézet beállítása........................................................................................................ 7
4.1 Függvény nézet beállítása billentyőzettel ...................................................... 7
4.2 Függvény nézet beállítása menüvel............................................................... 7
4.3 A koordinátarendszer beállítása...................................................................... 8
5. Függvény vizsgálat .................................................................................................. 8
5.1 Egy függvény vizsgálata ................................................................................... 8
5.1.1 Futópont........................................................................................................ 8
5.1.2 Nullpontok..................................................................................................... 9
5.1.3 Szélsıértékek .............................................................................................. 10
5.1.4 Integrálás .................................................................................................... 10
5.2 Két függvény vizsgálata.................................................................................. 11
5.2.1 Metszéspontok ........................................................................................... 11
5.2.2 Függvények kombinációja ...................................................................... 11
5.2.3 Két görbe közötti terület ........................................................................... 12
6. Egyenlet grafikus megoldása............................................................................... 12
7. Fájl mentése, megnyitása..................................................................................... 13
7.1 Fájl mentése ...................................................................................................... 13
7.2 Fájl megnyitása................................................................................................. 13
7.3 Függvényábra dokumentumba illesztése.................................................... 13
8. Súgó.......................................................................................................................... 13

3. A winplot program leírása 2009. október
3
A Winplot egy olyan szoftver, melynek segítségével könnyen megjeleníthetık
a függvénygrafikonok, illetve vizsgálhatók a különbözı függvény tulajdonsá-
gok.
1. A PROGRAM TELEPÍTÉSE, INDÍTÁSA
A program ingyenes, mely letölthetı egyrészt a CooSpace-bıl, illetve a min-
denkori legfrissebb változatok megtalálhatóak a
http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html oldalon. A program nem igényel
különösebb telepítést, elegendı a wplothu.exe állományt a számítógép asz-
talára kicsomagolnunk, és onnan –a kis sárga ikonra kattintva– máris futtatha-
tó.
A program indítása után ez a kis ablak fogad
bennünket. Ahol Súgó/ A programról menübıl
megtudhatjuk, melyik verzióval van dolgunk
(2009.04.18.), és azt is, hogy a magyar változatot
Csiba Péternek köszönhetjük.
Amennyiben egyváltozós valós függvényt szeretnénk ábrázolni, az induló ab-
lakban az Ablak/2dimenzió -t kell választanunk. A megjelenı kétdimenziós
koordinátarendszerben kerül majd a függvényünk ábrázolásra.
2. FÜGGVÉNY MEGADÁSA
A winplot többféle függvény megadási módot kínál fel (explicit, paraméteres,
implicit, polárkoordinátás), de mivel a mi függvényeink általában explicit mó-
don kerülnek megadásra, ezért ezzel foglalkozunk részletesebben.
2.1 EXPLICIT MEGADÁS
Az „f(x)=…” explicit módon történı függvénymegadás esetén válasszuk a
koordinátarendszer ablakában az Egyenlet/Explicit menüt.
Ebben a kis ablakban adhatjuk meg a
függvény képletét, értelmezési tarto-
nyát (x alsó-felsı határ), a függvény grafi-
kon vonalának vastagságát és színét.
Alapértelmezésben a valós számok hal-
mazának lehetı legbıvebb részhalmazán
kerül a függvényábrázolásra. Azonban
lehetıségünk van az értelmezési tarto-
mány szőkítésére is, de ilyenkor jelölnünk
kell az intervallum rögzítését egy pipával
, és utána megadhatjuk az x alsó-felsı
határát.

4. A winplot program leírása 2009. október
4
Megjegyzés: Amennyiben az intervallum rögzítését nem pipáljuk ki, akkor
nincs jelentısége az alsó-felsı határnál szereplı értékeknek.
A vonal vastagságát érdemes 2-re állítani, hogy jobban látszódjon majd a
függvény grafikonja.
A program alapértelmezettként az f(x)=xsin(x) függvényt kínálja fel, amit kí-
váncsiságból megnézhetünk az OK gombra kattintva. Ekkor megjelenik a
függvény grafikonja a koordinátarendszerben, illetve feltőnik az úgynevezett
„jegyzék ablak”.
2.2 BEÉPÍTETT FÜGGVÉNYEK
A winplotban a függvény képletének megadása bizonyos esetekben eltér a
megszokottól. Segítségként a program írói néhány függvényt elıre definiál-
tak, melyek elnevezését és használatát az „Egyenlet/ Függvénykönyvtár”
menüben tekinthetjük meg. Íme, néhány függvény a függvénykönyvtárból,
mellyel gyakran találkozhatunk: ln, log, exp, sin, cos, sqr, abs, root, power. (A
következı 2.3 fejezetben mindegyik használatára találhatunk példát.)
A beépített függvények használatakor, figyeljünk rá, hogy a függvény neve
után zárójelbe tegyük azt a kifejezést, illetve azokat a paramétereket, amire a
függvény vonatkozik. Például a sinx függvény esetében, ha nem tesszük az x-
et zárójelbe, akkor a sinus függvény helyett, az s, i, n paraméterek és x változó
szorzataként elıálló függvény kerül ábrázolásra.
2.3 PÉLDÁK FÜGGVÉNYMEGADÁSRA
Lássunk néhány példát, milyen formában adhatjuk meg függvényeinket a
Winplotban:
Függvény képlete Winplotos alak
݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ଷ
൅ 4‫ݔ‬ଶ
൅ 2,5
f(x)= xxx+4xx+2.5 vagy
f(x)= x^3+4x^2+2.5
݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ
2‫ݔ‬ െ 3
5, 1‫ݔ‬ଶ ൅ 6‫ݔ‬
f(x)=(2x-3)/(5.1xx+6x)
݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݈݃‫ݔ‬ f(x)= log(x)

5. A winplot program leírása 2009. október
5
Függvény képlete Winplotos alak
݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݁ଷ௫ିଶ
f(x)= exp(3x-2)
݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ |5‫ݔ‬ െ 8| f(x)= abs(5x-8)
݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ √3‫ݔ‬ ൅ 10 f(x)= sqr(3x+10)
݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 5 · 3௫ାଵ
f(x)= 5*3^(x+1)
݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ݊݅ݏ‬ଶ
f(x)= sin(xx)
݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ݈‫݃݋‬ଶሺ‫ݔ‬ െ 3ሻ f(x)= log(2,x-3)
݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ √‫ݔ‬ ൅ 5
ల
f(x)= root(6,x+5)
݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ሺ‫ݔ‬ଶ
െ 1ሻଷ
f(x)= power(3,xx-1)
݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ
4,4
‫ݔ‬ଷ െ 1
൅ √2‫ݔ‬ ൅ 2 f(x)= 4.4/(xxx-1)+sqr(2x+2)
݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ3݁௫మାହ
൅
6‫ݔ‬
‫ݔ‬଼ ൅ 10
f(x)=-3exp(xx+5)+6x/(x^8+10)
2.3 SZÁMOK MEGADÁSA
A winplot alapjában véve az angol szintaktikát követi (csak a menük és a sú-
gó lett magyarra fordítva). Ennek köszönhetı; hogy a számoknál –az általunk
megszokott tizedes vesszı helyett–, tizedes pontot kell használni.
Ha véletlenül valaki errıl megfeledkezik –azaz tizedes vesszıt használ a szá-
moknál–, akkor a program egy „hümmögéssel” figyelmeztet, hogy nem érti,
amit írtunk.
A winplot alapértelmezésként 5 tizedes pontossággal
számol, amit az Egyéb/Tizedeshelyek menüben módo-
síthatunk.

6. A winplot program leírása 2009. október
6
3. JEGYZÉK ABLAK
A függvény ábrázolásakor a koordinátarendszerben megjelenik a függvény
grafikonja, illetve megjelenik a jegyzék ablak. Amennyiben a jegyzék ablak
nem látható, akkor az Egyenlet/Jegyzék menü segítségével bekapcsolhatjuk.
A jegyzék ablakban láthatjuk az ábrázolt függvény képletét, illetve több
hasznos funkciót is itt találunk. Nevezetesen:
„módosít”: amennyiben a függvény megadásán módosítani szeretnénk,
ezzel a gombbal tehetjük meg,
„töröl”: függvény törlıdik (nem lehet visszavonni – óvatosan bánjunk
vele!),
„táblázat”: megmutatja a függvény értékeket néhány pontban (azon az
intervallumon ahol a függvényt ábrázoltuk),
„grafikon”: elrejthetjük a függvény grafikonját, illetve újból megnyomva visz-
szaállíthatjuk (több függvény együttes ábrázolásakor hasznos
funkció, ha nem akarjuk egyszerre látni az összes függvény grafi-
konját),
„egyenlet”: a koordinátarendszerben kiírathatjuk a függvény egyenletét,
„elnevez”: nevet adhatunk a függvényünknek a jegyzék ablakban,
„derivál”: kirajzoltathatjuk a függvény deriváltját (derivált képletét nem
adja meg, csak a derivált grafikonját mutatja).

7. A winplot program leírása 2009. október
7
4. NÉZET BEÁLLÍTÁSA
A függvény megadása után nagyon fontos a nézet megfelelı beállítása. Ez
azért is különösen fontos a winplotnál, mivel ha az értelmezési tartomány nem
került rögzítésre, akkor a program csak azon az intervallumon vizsgálja a
függvényt, amely a koordinátarendszerben látható. Például ha egy zérushely,
szélsıérték a koordinátarendszerben nem látható, akkor azt a program sem
írja ki (hacsak nem került az intervallum rögzítésre).
Megjegyzés: Amennyiben az intervallum rögzítve lett a függvény megadása-
kor, akkor az így megadott értelmezési tartományon vizsgálja a függvényt a
winplot, függetlenül a nézet beállításától.
A nézetet beállíthatjuk billentyőzettel, illetve a Nézet/Beállítás menüvel.
4.1 FÜGGVÉNY NÉZET BEÁLLÍTÁSA BILLENTYŐZETTEL
Kattintsunk arra az ablakra ahol a függvény ábrája található, hogy az legyen
az aktív ablak. Ekkor a billentyőzeten a nyilak, illetve a Page Up, Page Down
gombok segítségével állíthatjuk a nézetet.
→ Nyilak: mozgatás jobbra, balra, fel, le
→ Page Up: nagyítás
→ Page Down: kicsinyítés
4.2 FÜGGVÉNY NÉZET BEÁLLÍTÁSA MENÜVEL
Ha a két tengelyen eltérı beosztást szeretnénk alkalmazni, célszerő menü se-
gítségével állítani a nézetet.
Nézet/Beállítás menü ablakában „a sarkok beállí-
tása”-t válasszuk, ahol megadhatjuk az x változó
értékeinek alsó (balra), és felsı (jobbra) határát,
illetve az y változó alsó (lent) és felsı (fent) hatá-
rát.
Ha tanácstalanok vagyunk a lent-fent beállítást
illetıen, érdemes ránézni a jegyzék ablak „táblá-
zat”-ára, ahol leolvasható a függvényértékek
nagyságrendje. (Hasonló célt szolgálhat az
Egy/Futópont, illetve Egy /Szélsıértékek menü is.)
Beállításainkat „alkalmaz” gombbal hagyjuk jóvá.

8. A winplot program leírása 2009. október
8
4.3 A KOORDINÁTARENDSZER BEÁLLÍTÁSA
A Nézet/Rács menüben állíthatjuk be a
tengelyek beosztását, feliratozását.
Amennyiben szeretnénk, hogy a ten-
gely beosztásoknál a számértékek is
megjelenjenek, úgy egy-egy pipát kell
elhelyezni az ablak közepén található
„szám” feliratnál.
Az „egység-mérték” nagyságát mindig
a függvény értelmezési tartományához,
illetve értékkészletéhez viszonyítva adjuk
meg, akárcsak a feliratnál megjelenı
tizedes helyek számát.
Amennyiben szeretnénk, hogy a tenge-
lyek végénél nyilak, illetve a tengely feliratok is látszódjanak, akkor az ablak
második sorában lévı „nyilak” illetve „címkék” feliratot kell megjelölnünk.
A koordinátatengelyek további formátuma a Nézet/Koordinátatengelyek
menüben állítható be.
5. FÜGGVÉNY VIZSGÁLAT
A függvény ábrázolása, és a „függvény nézet”-ének beállítása után vizsgál-
hatjuk a függvényünk különbözı tulajdonságait. Az „Egy” menüt akkor hasz-
náljuk –mint ahogy azt a neve is mutatja–, amikor egy függvényt kell jelle-
meznünk. Két függvény kombinációját, két függvény metszéspontját, két
függvény által közrezárt területet pedig a „Két” menü használatával határoz-
hatjuk meg.
5.1 EGY FÜGGVÉNY VIZSGÁLATA
5.1.1 Futópont
Az Egy/Futópont menü segítségével a függvény helyettesítési értéke határoz-
ható meg. Megadjuk az x értéket, majd entert ütve a Futópont ablakban
megjelenik az adott x-hez tartozó függvényérték (helyettesítési érték). Közben
a függvény grafikonján egy kis piros kereszt jelenik meg a vizsgált helyen.
A független változó (x) értékének megadásakor egyrészt figyeljünk rá, hogy
tizedes számok esetén tizedes pontot használjunk (lásd 2.3 fejezet), mert kü-
lönben újból „hümmögni” kezd a programunk, és reklamál, hogy „nem ér-
tem”.

9. A winplot program leírása 2009. október
9
A másik dolog, amirıl ne feledkezzünk meg, hogy nem elegendı beírni az „x”
változó értékét, enter leütésével érvényesíteni is kell, mert csak ekkor láthatjuk
a helyes „y” értéket.
A futópont ablak közepén találunk egy
csúszkát, melyet mozgatva egyrészt a kis
kereszt elmozdul a függvény grafikonján,
másrészt a Futópont ablakban a csuszka
mozgatásának megfelelıen módosul az
x és y változók értéke.
A Futópont ablakban lehetıségünk van
egy függvény adott pontjához húzott
érintıjének a megjelenítésére. Ehhez
nem kell mást tennünk, minthogy kipipál-
juk az érintıt . A függvény grafikonjánál
ekkor megjelenik az adott ponthoz tarto-
zó érintı, a futópont ablakban pedig le-
olvashatjuk az iránytényezıt, más néven
az érintı meredekségét.
5.1.2 Nullpontok
A függvény zérushelyeit megkaphatjuk az Egy/Nullpontok segítségével. Ha
több zérushelye van a függvénynek a „köv.” gombra kattintva sorban megje-
leníti ıket a program.
Amennyiben például két tizedes pontossággal szeretnénk a zérushelyeket
megkapni, az Egyéb/Tizedeshelyek menüben tehetjük ezt meg. Figyeljünk rá,
hogyha a valós számok halmazán vizsgáljuk a függvényünket, akkor a prog-
ram csak azon az intervallumon keresi a zérushelyeket, ami a koordinátarend-
szerben látható.
Megjegyzés: A menü onnan kapta a nevét (Nullpontok), hogy a zérushelyek
azok a helyek, ahol a függvényérték nulla: f(x)=0.

10. A winplot program leírása 2009. október
10
5.1.3 Szélsıértékek
A függvény szélsıérték helyeit megkaphat-
juk az Egy/ Szélsıértékek menü segítségé-
vel. Ha több szélsıértéke van a függvény-
nek a „köv.” gombra kattintva sorban meg-
jeleníti ıket a program.
A „függvény szélsıértékei” ablakban leol-
vasható a szélsıérték pontos helye (x) és
értéke (y); azonban a szélsıérték jellege,
minimum-, maximum hely, helyi (lokális),
abszolút (globális) szélsıérték, csak a függvény ábrájáról olvashatjuk le, meg-
figyelve a szélsıértéket jelölı kis piros kereszt elhelyezkedését a függvény gra-
fikonján.
A winplot azokat a szélsıértékeket képes megtalálni ahol a függvény folyto-
nos és differenciálható. Zárt értelmezési tartomány esetén ne feledkezzünk
meg róla, hogy az értelmezési tartomány végpontjaiban is lehetnek szélsıér-
tékek!
Megjegyzés: A szélsıérték vizsgálatánál is igaz a nullpontnál leírt megállapítás;
azaz ha a valós számok halmazán vizsgáljuk a függvényünket, akkor a prog-
ram csak azon az intervallumon keresi a szélsıérték helyeket, ami a koordiná-
tarendszerben látható. Ezért is fontos a nézet megfelelı beállítása (lásd 4. fe-
jezet).
5.1.4 Integrálás
Határozott integrál értékét megkaphatjuk a
program Egy/Mérések/Integrálás menüjét
használva.
Határozott integrál számolása esetén elıször
megadjuk az integrálási határokat: alsó-, felsı
határ; megjelöljük az összes közelítı módszert;
majd a „határozott” gombra kattintva meg-
kapjuk az eredményt.
Amennyiben a különbözı módszerek ered-
ményei között eltérést tapasztalunk érdemes
növelni a részintervallumok számát, mert ezzel
pontosabb közelítı eredményhez jutunk.
Minél nagyobb részintervallum számot adunk
meg, annál tovább tart a gépnek a számolás.

11. A winplot program leírása 2009. október
11
Nem érdemes túlzásokba esnünk a részintervallumok számát tekintve, mert
akkor a program teljesítıképességének határát feszegetjük vele, azaz jó
eséllyel lefagy a program. Akik szeretnek a jéggel játszani, próbálkozhatnak
vele. ☺ Ajánlott minden esetben ábrázolást is kérni, mert ezzel ellenırizhetjük
a függvény grafikonján, hogy mit számoltunk.
Feladat: Amennyiben egy függvénygörbének az x tengellyel bezárt területét
szeretnénk meghatározni, akkor integrálási határoknak a zérushelyek (null-
pontok) x koordinátáját kell megadni.
A határozatlan integrál gomb eredményeként megjelenik a koordinátarend-
szerben a függvény határozatlan integráljának a képe, képletet azonban ne
várjunk a programtól, azt nem fogja megadni, mint ahogy a deriválásnál is
csak a derivált függvény grafikonját rajzolta ki (lásd. 3. fejezet Jegyzék ablak).
5.2 KÉT FÜGGVÉNY VIZSGÁLATA
Egyenlet/Explicit megadás segítségével lehetıségünk van több függvény
egyidejő ábrázolására is. Ilyenkor szükségünk lehet két függvény kombináció-
jára, két függvény metszéspontjára, két függvény által közrezárt terület meg-
határozására. Mindezekhez a feladatokhoz a program „Két” menüjét használ-
juk.
5.2.1 Metszéspontok
Két/Metszet segítségével meghatározhatjuk
tetszıleges függvények metszéspontját.
Amennyiben több metszéspontja is van a
függvényeknek, akkor a különbözı met-
széspontok a „köv. metszéspont” gomb se-
gítségével határozhatók meg.
5.2.2 Függvények kombinációja
Két/Kombináció menü segítségével elıállít-
hatjuk tetszıleges két függvény összegét,
különbségét, szorzatát, hányadosát, hatvá-
nyát, összetett függvényét. Ehhez csak ki
kell választani a függvények képletét, és
rákattintani a megfelelı mőveleti gombra.
Az elkészült függvény képlete ezután egy-
bıl megjelenik a jegyzék ablakban, a grafi-
konja pedig a koordinátarendszerben.

12. A winplot program leírása 2009. október
12
5.2.3 Két görbe közötti terület
Adott intervallumon két függvény által bezárt területet a Két/Integrálás me-
nüvel határozhatjuk meg. A menü használata megegyezik az 5.1.4 Integrálás
fejezetben leírtakkal.
Feladat: Amennyiben két görbe által bezárt területet szeretnénk meghatároz-
ni, akkor integrálási határoknak a metszéspontok x koordinátáját kell megad-
nunk.
6. EGYENLET GRAFIKUS MEGOLDÁSA
Az egyenlet grafikus megoldása alatt azt a módszert értjük, amikor függvény-
ként ábrázoljuk az egyenlet jobb, illetve bal oldalán lévı kifejezést; majd
megvizsgáljuk, hogy az így keletkezett függvények hol veszik fel ugyanazt a
függvényértéket, azaz hol van a metszéspontjuk.
Feladat: Az 1/3‫ݔ‬ െ 1 ൌ െ‫ݔ‬ଶ
൅ 2‫ݔ‬ ൅ 3 egyenlet gra-
fikus megoldásakor, a fent leírtak alapján külön
kell kezelnünk az egyenlet bal és jobb oldalát:
݂ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ 1/3‫1-ݔ‬
݃ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ െ‫ݔ‬ଶ
൅ 2‫ݔ‬ ൅ 3.
Az egyenlet megoldása, ahol a két függvény
metszi egymást (Két/Metszet).
−4 −3 −2 −1 1 2
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
x
y
−3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y

13. A winplot program leírása 2009. október
13
7. FÁJL MENTÉSE, MEGNYITÁSA
7.1 FÁJL MENTÉSE
Az elkészült függvény ábrát Fájl/Mentés, illetve a Fájl/Mentés másként pa-
ranccsal menthetjük el. A kétdimenziós winplotos ábránk wp2 kiterjesztést
kap.
7.2 FÁJL MEGNYITÁSA
Amennyiben egy korábban elmentett függvény ábrát szeretnénk megnyitni,
akkor érdemes elıször elindítani a winplotot, és a programból adjuk ki a
Fájl/Megnyitás parancsot. (A fájlkezelıbıl általában nem mőködik a
winplotos fájl megnyitása, inkább a programból nyissuk meg.)
7.3 FÜGGVÉNYÁBRA DOKUMENTUMBA ILLESZTÉSE
A winplotban elkészített függvény ábrára szükségünk lehet egyéb dokumen-
tumokban. A program lehetıséget ad a függvénygrafikon vágólapra helye-
zésére, hogy ezután egy Word dokumentumban, vagy prezentációban meg-
jeleníthessük. A vágólapra helyezés parancsát a Fájl menüben találjuk:
Fájl/Másolás a vágólapra (ami megfelel a word-ben megszokott Ctrl+C pa-
rancsnak). Ezután a dokumentumunkba illesztés egyszerően Ctrl+V vagy Beil-
lesztés paranccsal történhet.
Megjegyzés: Mielıtt az elkészült függvényábrát a vágólapra helyezzük, úgy
állítsuk be a nézetet (4. fejezet), illetve az ablak méretét (Fájl/Az ablak mére-
tei), hogy a beillesztés után már ne kelljen rajta változtatni, mert az jelentıs
torzuláshoz vezet, és ronthat a kép minıségén.
8. SÚGÓ
A program használatához további segítséget találunk a súgóban, melyet
rendhagyó módon mindig az adott menüsor végén találunk meg. Például az
„Egy” menühöz tartozó súgó, az Egy menü végén: Egy/Súgó alatt olvasható.
A többi menü esetében is hasonlóan a menüsor végén keressük az oda vo-
natkozó súgót.