H5 blm221 minterm-maxterm

KBUZEM
Karabük Üniversitesi
Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
BLM 221
MANTIK DEVRELERİ
Prof Dr Mehmet AKBABA
mehmetakbaba@karabuk.edu.tr
5. HAFTA

Temel Kavramlar
KBUZEM
2
Boole Fonksiyonlarının Minterm ve
Maxterm İfadeleri
1. Cümlelerin Boolean Cebirine Dönüştürülmesi
2. Doğruluk Tabloları Kullanılarak
Kombinasyonel Devre Tasarım
3. Genel Minterm ve Maxterm İfadeleri
4. Tamamlanmamış (Eksik Tanımlanmış)
Fonksiyonlar
5. Doğruluk Tablosu Oluşturma Örnekleri
6. İkili Toplayıcı ve Çıkarıcıların Tasarımı

Cümlelerin Boolean Cebirine
Dönüştürülmesi
KBUZEM
3
5.1 Cümlelerin Boolean Cebirine
Dönüştürülmesi
Tek çıkışlı kombinasyonel bir devre tasarımı için gerekli 3
ana adım aşağıda verilmiştir:
1. İstenilen davranışı sergileyen bir devrenin Boole
(switching) fonksiyonunu veya ifadesini oluştur.
2. Elde edilen Boole fonksiyonunun (ifadesinin)
sadeleştirilmiş cebirsel ifadesini bul.
3. Sadeleştirilmiş haldeki devreyi uygun mantık
kapılarıyla gerçekleştir.

Cümlelerin Boolean Cebirine Dönüştürülmesi
KBUZEM
4
Mantık problemleri çoğu zaman bir yada daha çok
cümle ile ifade edilir.
Mantık Devrelerinin tasarımındaki ilk adım bu cümleleri
Boole ifadelerine çevirmektir.
Bu kavram aşağıda verilecek olan birkaç örnekle
açıklanmaktadır.
ÖRNEK 1: Eğer Pazartesi gecesi ise ve ödevlerini
bitirmişse Meryem TV izler (ödevlerini bitirmemiş ise
Pazartesi gecesi olsa bile TV izleyemez)
(Meryem watches TV if it is Monday night, and, she has
finished her homework)

KBUZEM
5
Burada «eğer» ve «ve» bağlaçları hiçbir ifadeye dahil değildir; bu
bağlaçlar ifadeler arasındaki ilişkiyi gösterir.
Bir ifadenin doğru yada yanlış olduğunu gösteren bir değişken ile
ifadeleri inceleyelim:
F = 1 Eğer «Meryem TV izlerse» , doğru;
değilse, F =0 («Meryem TV izleyemez»). F=1 olması iki şartın birden
gerçekleşmesine bağlıdır. Bunlar:
1) A = 1 Eğer «Pazartesi gecesi ise» doğru; değilse, A = 0.
2) B = 1 Eğer «eğer Meryem ödevini bitirmişse» doğru; değilse B = 0.
F eğer A ve B ifadelerinin ikisi de doğruysa cümle şu şekilde Boole
ifadeye çevrilebilir:
F = A·B

KBUZEM
6
ÖRNEK 2: Aşağıdaki örnek bir cümleden cebirsel bir
ifadeye nasıl geçiş yapılabileceğini göstermektedir. Bir
alarm devresi aşağıda tanımlanan biçimde tasarlanmak
isteniyor:
Alarm çalacaktır; eğer ve ancak (Ancak ve Ancak) alarm
anahtarı açıksa ve kapı kapalı değilse, veya saat 18:00
den sonra ise ve pencere kapalı değilse.
İlk adım yukarıdaki cümlenin cebirsel karşılığını, her bir
ifadeye bir değişken verilerek yazılması işlemidir.

KBUZEM
7
Z= Alarm çalacak/ çalmayacak:
Z=1 Eğer alarm çalarsa, Z’=1 (F=0) Eğer alarm çalmazsa
A=Alarm anahtarı açık/kapalı:
A=1 Eğer alarm anahtarı açık ise, A’=1 (A=0) Eğer alarm anahtarı
açık değilse(kapalı ise)
B=Kapı açık/kapalı
B=1 Eğer kapı kapalı ise, B’=1 (B=0) Eğer kapı açık ise (Kapalı
değilse)
C=Saat 18:00 den önce/sonra
C=1 Eğer 18:00den sonra ise. C’=1 (C=0) 18:00den sonra değilse
D= Pencere açık/kapalı,
D=1 Eğer pencere kapalı ise, D’=1 (D=0) Eğer pencere kapalı değilse
Bu tanımlardan sonra F nin Boole (lojik) İfadesi aşağıdaki gibi olur:
Z=A.B’+C.D’

KBUZEM
8
Z=Alarm çalacaktır= Eğer ve ancak (if) alarm anahtarı
açık ise (A) VE Kapı kapalı değilse (B’) VEYA Saat
18:00den sonra ise (C) VE pencere kapalı değilse (D’).
Z=A.B’+C.D’
Bu lojik fonksiyonu (Boole ifadesini) gerçekleştirecek
lojik devre aşağıda verilmiştir.

KBUZEM
9
Z=A.B’+C.D’

KBUZEM
10
Ahmet araba alacak, mezun olduğu zaman ve, ya
babasından para alacak yada bankadan kredi.
(Ahmed will buy a car when he will graduate, and if
either his father gives him loan or he gets bank loan.)
Z=Araba alacak(buy car)
A=Babasından para alacak(father gives loan)
B=Bankadan kredi alacak (get bank loan)
C=Mezun olma (graduate)
Z=C(A+B)
Örnek 3:

KBUZEM
11
5.2 Doğruluk Tabloları Kullanılarak Kombinasyonel
Devre Tasarımı
Kombinasyonel (Tümleşik) devreler belleği olmayan,
geçmişi hatırlayamayan, lojik kapıların bileşiminden
oluşan devrelerdir.
Amaç: Belli bir işi yapan mantık fonksiyonunu elde etme
Aşağıdaki örnekte doğruluk tablosu verilen tasarının
mantık devresi tasarımı gösterilecektir. 3-giriş 1- çıkışlı
devre Şekil 5-1’de gösterilmiştir. Yapılacak iş:
Devrenin çıkış değişkeni f nin aşağıdaki şartları
sağlaması isteniyor:
f = 1 eğer N ≥ 0112 (Giriş: 3 Değişken: A, B, C. N: f’in
Değeri)
Ve f= 0 eğer N < 0112.

KBUZEM
12
Doğruluk Tabloları Kullanılarak Kombinasyonel Devre
Tasarımı
Şekil 5-1(b)de f fonksiyonu için
doğruluk tablosu gösterilmiştir.
Şekil 5-1: Kombinasyonel Devre ve Doğruluk Tablosu

KBUZEM
13
Tasarımı
Doğruluk tablosunu kullanarak f’nin cebirsel ifadesini 1
yapacak A, B, ve C değişkenlerinin kombinasyonlarını
kullanmamız gerekiyor. Bu Kombinasyonlar:
011 100 101 110 111
A’BC AB’C’ AB’C ABC’ ABC
F çarpımların toplamı (SoP) şeklinde şu şekilde
yazılabilir: (Doğruluk tablosunda f yi 1 yapan
kombşnasyonlar)
f= A'BC + AB'C' + AB'C + ABC' + ABC ( 5-1)

KBUZEM
14
Tasarımı
f= A'BC + AB' + AB = A'BC + A=(A+A’)(A+BC)
= A + BC (5-2)
Eşitlik 5-2’nin Devre Şeması aşağıdaki gibi gösterilir:
Eşitlik 5-1, A+A’=1 kullanılarak aşağıdaki şekilde
sadeleştirilebilir:

KBUZEM
15
Tasarımı
F’nin 1 olduğu ifadeleri yazmak yerine F’nin 0 olduğu
ifadelerle de fonksiyon tekrar yazılabilir fakat bu sefer f
fonksiyonu toplamların çarpımı(PoS) şeklinde
ifadelerden oluşmalıdır. F fonksiyonu aşağıdaki A, B, C
değişkenlerinin kombinasyonları için sıfır olur.
000 001 010
A+B+C A+B+C’ A+B’+C
Bu yüzden:
f = (A + B + C)(A + B + C')(A + B' + C) (5.3)
VEYA f’ çarpımların toplamı(SOP) şeklinde ifade edilip
tersi alınarak toplamların çarpımına(POS)
dönüştürülebilir:

KBUZEM
16
Tasarımı
f’=A’B’C’+A’B’C+A’BC’ ve bunun tersini alırsak;
f=(A + B+ C)(A + B + C’)(A + B’ + C)
Bu iki ifadenin birbirine eşitliğini şu şekilde
kanıtlayabiliriz:
f=(A+B+C)(A+B+C’)(A+B’+C)
f= (B + A)(B' + A + C) = B(A+C) + AB’ = A + BC (5.4)
Çıkan sonuç eşitlik (5-2) ile aynı, dolayısıyla (5.2) ile
(5.4) birbirine eşit ifadelerdir.

KBUZEM
17
5.3 Minterm ve Maxterm İfadeleri
Eşitlik 5-1 deki terimlerin herbiri minterm ifadeleridir.
Genelde, n değişkenli bir ifadenin mintermleri n tane
harfin kendisi veya değili kullanılarak bir kez gözükmesi
ile oluşturulur. Değişkenin hem kendisi hem değili aynı
minterm içinde bulunamaz. Tablo 5-1 A, B, C
değişkenlerinin oluşturduğu tüm mintermleri
göstermektedir. Mintermler aşağıdaki gibi gösterilir:
m0 m1 m2 m3 m4 m5 v.s…
000 001 010 011 100 101
A’B’C’ A’B’C A’BC’ A’BC AB’C’ AB’C
Dikkat edilecek olursa mintermler çarpımların toplamı
şeklinde yazılmıştır (SOP).

KBUZEM
18
Minterm ve Maxterm İfadeleri
Tablo 5-1 Üç Değişkenli İfadenin Minterm ve
Maxterm’leri

KBUZEM
19
F çarpımların toplamı(SOP) şeklinde ifade edilirse, bu
tip yazılımlara minterm açılımı (expansions) ya da
standart çarpımların toplamı ifadesidir denir. (Bakınız
eşitlik 5-1).
Doğruluk tablosundaki f=1’i sağlayacak her bir satırdaki
değerin minterm olma zorunluluğu vardır çünkü mi = 1
değeri sadece değişkenlerin olası kombinasyonu
sağlandığı zaman 1 olur.
Mintermler doğruluk tablosunda 1-1(one to one) özelliği
taşır, her bir satır tek bir minterme tekabül eder.
Dolayısıykar eşitlik 6-1 minterm numaralarıyla da ifade
edilebilir:
f(A, B, C) = m3 + m4 + m5 + m6 + m7 (5.5)
[ f= A'BC + AB'C' + AB'C + ABC' + ABC (5.1) ]

KBUZEM
20
Daha kısa bir formda sadece sayılar kullanılarak küçük m
harfi ile aşağıdaki gibi de kısaltılarak gösterilebilir.
Eşitlik 6-3 teki her bir terim maxterm olarak ifade edilir.
Genelde, n değişkenli bir ifadenin maxtermleri n tane harfin kendisi
veya değili kullanılarak bir kez gözükmesi ile oluşturulur.
Değişkenin hem kendisi hem değili aynı maxterm içinde
bulunamaz. Tablo 5-1 A, B, C değişkenlerinin oluşturduğu tüm
maxtermler gösterilmektedir. Eğer A = B = C = 0, ise maxterm
ifadesi: A + B + C = 0;
Eğer A = B = 0 ve C = 1, ise maxterm ifadesi A + B + C' = 0; şeklinde
olur. Maxtermler sıklıkla büyük M harfi ile kısaltılarak gösterilir.
1’inci satırdaki maxterm Mi şeklinde ifade edilir. Her bir maxterm
ifadesi minterm ifadelerinin değili şeklindedir (Mi = mi' )
(5.5.a)F(A,B,C)=m(3,4,5,6,7)

KBUZEM
21
F fonksiyonu eşitlik 5-3 deki gibi
maxtermler cinsinden yazılırsa,
bu tip fonksiyon ifadelerine
maxterm açılımı veya standart
toplamların çarpımı denilir.
Eşitlik 5-3 M- notasyonu ile şu
şekilde tekrar yazılabilir:
[ f = (A + B + C)(A + B + C')(A + B' + C)]
(5.6)F(A,B,C)=M0M1M2

KBUZEM
22
Daha kısa bir ifade ile maxtermler cinsinden yazmak
gerekirse :
Eşitlik (6-6a) direkt olarak eşitlik 5-5a ifadesinden elde
edilebilir:
(5.6a)
(5.5a)
 Simgesi çarpma anlamına geliyor

KBUZEM
23
Verilen maxterm veya mintermler ile f fonksiyonunun
değilinin minterm veya maxtermleri kolaylıkla
oluşturulabilir. F’ =1 iken f=0, yani minterm olarak f’in
içinde bulunmayacak. Dolayısıyla f’ bulunurken, f de
olmayan mintermler direk olarak yazılır.Bu yüzden
Eşitlik (5-5)’den f’:
Aynı şekilde maxtermlerin elde edilmesinde f’
bulunurken f de bulunmayan maxtermlere bakılır.
Eşitlik (5-6) yı kullanarak:
(5.7)
(5.8)

KBUZEM
24
Çünkü mintermlerin değili ilgili maxterme karşılık
gelir. Eşitlik 5-5’in değilini alarak eşitlik 5-8’i elde
edebiliriz. f=m3+m4+m5+m6 ise
Aynı şekilde Eşitlik 5-6’nın değili alınarak eşitlik 5-7
oluşturulablilir:
f' = (MOM1M2)' = Mo’ + M1’ + M2
‘ = mo + m1+ m2

KBUZEM
25
Genel bir Boole (lojik) ifadesi minterm veya maxtermler
cinsinden doğruluk tablosu kullanılarak veya cebirsel
olarak elde edilebilir. Eğer doğruluk tablosu kullanılarak
bütün değişkenlerin farklı kombinasyonları ele alınırsa,
mintermler ve maxtermler daha önce anlatıldığı gibi
bulunur. (Yani minterm numaraları fonksiyonun değerini
1 yapan satırlardır).
Diğer bir yöntem ise fonksiyonu çarpımların
toplamı(SoP) şeklinde yazıp, eksik değişkenlerin her biri
için X + X' = 1 teoremi kullanılır ve eksik değişkenler
tamamlanır.

KBUZEM
26
Önek 1: f(a,b,c)=ab+c+ac mintermlerini bulunuz.
Yöntem: Eksik değişkenleri x+x’=1 ile çarpıyoruz:
f=ab (c+c’)+c (a+a’)(b+b’)+ac (b+b’)
= abc+abc’+c(ab+ab’+a’b+a’b’)+abc+ab’c
=abc+abc’+abc+ab’c+a’bc+a’b’c+abc+ab’c
=abc+abc’+ab’c+a’bc+a’b’c=Σm(1,3,5,6,7)
111 110 101 011 001
Örnek 2: Aynı fonksiyonun maxtermlerini bulunuz.
Yöntem: x+yz=(x+y)(x+z) (tekrarlayın) ve xx’=0
Teoremini eksik olan değişkenler için kullanın.
f=(a+c)(b+c)+ac=(a+c+ac)(b+c+ac)=(a+c)(b+c)
=(a+c+ bb’ )(b+c+ aa’ )=(a+b+c)(a+b’+c) (a+b+c) (a’+b+c)
=(a+b+c)(a+b’+c)(a’+b+c)=M(0,2,4)
m0’ m2’ m4’

KBUZEM
27
Minterm ve Maxterm Oluşturulması
Örnek 1: Çarpımların toplamı (SoP) şeklinde çevirirken :
Eksik değişkenleri (x+x’)=1 ifadesi ile tamamlayınız.
f(a.b.c.d) = a'(b' + d) + acd' ifadesinin mintermlerini
bulunuz.
Tekrarlayan ifadeler çıkartılır çünkü X + X = X dir. Kalan
ifadeler çevrilerek mintermler bulunabilir: (Decimal notation)
f=a’b’+a’d+acd’
=a’b’(c+c’)(d+d’)+a’d(b+b’)(b+c’)+acd’(b+b’)
=a’b’c’d’+ a’b’c’d + a’b’cd’ + a’b’cd + a’b’c’d + a’b’cd
+a’bc’d+a’bcd+ab’cd’
f= a’b’c’d’+ a’b’c’d + a’b’cd’ + a’b’cd + a’bc’d + a’bcd
0000 0001 0010 0011 0101 0111
+ ab’cd’ (1010), f=m(0,1,2,3,5,7,10)
(5.9)
(5.10)

KBUZEM
28
Maxterm ifadelerinin numaraları 4 değişkenli bir işlem
için 0 ile 15 arasında değişebilir ve maxterm ifadesinin
terim numaraları aynı fonksiyon için asla minterm
numaralarına karşılık gelmezler. Mintermlerde olmayan
numaralar maxtermlerde, veya tersi olur.
Maxterm ifadelerini bulabilmenin alternatif bir yolu ise
eksik değişkenleri XX' = 0 teoremini kullanarak
tamamlamaktır. Eşitlik (5-9) için :
(f=m(0,1,2,3,5,7,10,14)) Mintermler
Maxtermler(f=M(4,6,8,9,11,12,13,15))

KBUZEM
29
f = a'(b'+d) + acd'
Örnek 2: f fonksiyonun maxtermlerini bulunuz.
Maxterm şeklinde ifade ediniz. Eksik değişkenleri XX’=0 ekleyerek
bulunuz.

KBUZEM
30
Maxterm ifadeleri decimal notation’a çevirirken önce
değillenmiş değişken 1 ile ve değillenmemiş değişken de
0 değiştirilir.
İki fonksiyonun doğruluk tablosunda aynı mitermler
fonksiyon değerleri aynı ise bu iki fonksiyon eşdeğer
fonksiyonlardır. Aşağıdaki örnek bu kavramı
açıklamaktadır:
Örnek
a'c + b'c' + ab = a'b' + bc + ac’ eşitliğini gösterin
Eksik olan değişkenler tamamlanarak her iki tarafın
minterm ifadesi bulunur. Sol taraf için

KBUZEM
31
a'c + b'c' + ab = a'b' + bc + ac’ (Sol taraf için)
Sağ taraf için
Her iki fonksiyonun minterm ifadeleri aynı olduğundan
eşitlik doğrulanmıştır.

KBUZEM
32
5.4 Genel Minterm ve Maxterm İfadeleri
Tablo 5-2 üç değişkenli genel bir fonksiyon için bir
doğruluk tablosunu temsil eder.
Her bir «a», 0 veya 1 değerine sahip bir sabittir.
Fonksiyonu belirtmek için, tüm ai’lere değer atamak
gereklidir. Çünkü her bir «a» iki yolla belirtilebilir,
doğruluk tablosunda F sütununu doldurmak için 28 yol
vardır; bundan dolayı sekiz değişkenin 256 farklı
fonksiyonu tanımlanabilir. (bu dejenere durumları da
içerir, F aynen 0 a ve 1'e eşittir). n değişkenli bir fonksiyon
için, doğruluk tablosunda 2n satır vardır ve her satır için F
değeri 0 ya da 1 olabileceğinden n değişkenli 2
n
kadar
olası fonksiyon vardır.

KBUZEM
33
Genel Minterm ve Maxterm İfadeler
Tablo 5.2: Üç değişkenli fonksiyon
için Doğruluk Tablosu

Genel Minterm ve Maxterm İfadeleri
KBUZEM
34
Tablo 6-2’den, üç değişkenli minterm ifadesi aşağıdaki
şekilde yazılabilir:
Not: Eğer a = 1 ise minterm m ifade edilebilir 0 ise minterm
olarak ifade edilemez. Üç değişkenli genel fonksiyon için
maxterm ifadesi
F=(a0+M0)(a1+M1)(a2+M2)….(a7+M7)=(ai+Mi)
Not: Eğer ai = 1, ai + Mi = 1, ve Mi ifadeden düşer;
fakat, ai = 0 ise Mi ifadede bulunmalıdır.
(5-13)’deki ifadeden, F‘ in minterm ifadesi
(5.12)
(5.13)

7
0
7766554433221100 iimamamamamamamamamaF

Genel Minterm ve Maxterm İfadeler
KBUZEM
35
F fonksiyonunda olmayan mintermler, f’ fonksiyonunda
bulunmalıdır. Eşitlik (5-12)’den, F' maxterm ifadesi:
F fonksiyonunda olmayan maxtermler, f’ fonksiyonunda
bulunmalıdır. (5-12), (5-13), (5-14), ve (5-15) eşitliklerini n
değişkenli bir forma genellemek gerekirse;
(5.14)
(5.15)
(5.16)

KBUZEM
36
(5.17)
N değişkenli iki farklı minterm verilirse:mi, ve mj ; en az bir
değişken mintermlerde değili alınmış ve diğerlerinde
alınmamış şekilde bulunur. Bu yüzden i ≠ j olursa, mimj = 0
olur. Örneğin, n = 3 için,
m1m3 = (A'B'C)(A'BC) = 0.
Aşağıda iki farklı fonksiyon mintermler cinsinden
verilmiştir.
(5.18)
Sonuç:

KBUZEM
37
(5.19)
(i ≠j) eşitliğini sağlayan tüm mintermler
düşürülür(silinir). Böylece f1f2 fonksiyonunda sadece
ortak (aynı mintermler) terimler kalır. Örnek:

5.5 Tamamlanmamış (Eksik Tanımlanmış)
Fonksiyonlar
KBUZEM
38
Dijital sistemler genellikle bir çok alt devrelere
bölünmüştür. Örneğin aşağıdaki devrede N1 devresinin
çıkışlarının N2 devresi için giriş olarak kullanıldığı
görülmektedir.

Tamamlanmamış (Eksik Tanımlanmış) Fonksiyonlar
KBUZEM
39
N2 nin çıkışında A, B ve C değerlerinin olası
gereken tüm kombinasyonlarından olmadığını
varsayalım. Özellikle, A, B ve C nin 001 veya
110 değerlerini sağlayacak bir w, x, y, ve z
kombinasyonu olmadığını varsayalım. Böyle bir
tasarımda N2 için bu değerlere (001 veya 110)
bakılmaksızın N2 tasarımı yapılabilir çünkü N2
için 001 veya 110 asla girdi olarak
üretilemeyecektir.
Örneğin, Tablo 5-4 ile f fonksiyonu belirlenebilir.

KBUZEM
40
Tablo 5.3 teki X’lerin anlamı şudur:
X değerlerinin 0 veya 1 olması
önemsenmemektedir.
Örnek için ABC = 001 veya 110 değerleri için
F’in alacağı değer dikkate alınmamıştır çünkü
o değerler girdi olarak gelemeyecektir. F
fonksiyonu bu yüzden eksik olarak belirtilir.
A' B' C ve A BC' mintermleri «dikkate alma
(don’t care)» ifadeleri olarak isimlendirilir. Bu
nedenle bu mintermlerin ifadede olmaması ya
da olmaması bizim için önemli değildir.

Tamamlanmamış (Eksik Tanımlanmış)
Fonksiyonlar
KBUZEM
41
Tablo 5.3: Dikkate Alınmayan
İfadeler İçeren Doğruluk Tablosu
Don’t care
Don’t care

KBUZEM
42
Bir fonksiyonu gerçekleştirirken, dikkate alınmayacak
ifadeleri belirtmemiz gerekir. Bu durum fonksiyonu
basitleştirmede yardımcı olacak değerlerin seçilmesi
açısından tercih edilebilir bir durumdur. İki X’e 0 değeri
atanırsa:
İlk X’e 1 ikinci X’e 0 atanırsa
İki X’e 1 değeri atanırsa,
İkinci seçenek en sade çözümü vermektedir.

KBUZEM
43
Tamamlanmamış belirli fonksiyonları oluşturmak için bir
yol gördük ve bundan başka birçok yol mevcuttur.
Önceki örnekte, bazı kombinasyonların girdi olarak
gelemeyecek olduğunu ve dikkate alınmadığını gösterdik.
Diğer durumlarda için bütün giriş kombinasyonları
oluşabilir fakat çıkış sinyalinde dikkate alınmayan
ifadeler bulunduğunda çıkışın 0 veya 1 olması o giriş
kombinasyonları için önemli değildir.
Tamamlanmamış belirli fonksiyonlar için minterm
ifadeleri yazılırken, m gerekli mintermler için ve d dikkate
alınmayan mintermler için kullanılır. Tablo 5-3 için
minterm yazılım örneği:

KBUZEM
44
Her dikkate alınmayan minterm karşılığında dikkate
alınmayacak maxterm vardır. Örneğin, Eğer F = X
(dikkate alınmayan) 001 giriş kombinasyonu için, m1
dikkate alınmayan minterm ve M1 dikkate alınmayan
maxtermdir. «D » yi dikkate alınmayacak maxterm olarak
kullanıyoruz, Tablo 5-3 maxterm ifadeleri olarak yazılırsa
M2 ,M4 , ve M5 F içinde olan maxtermler ve M1 ve
M6 maxtermleri dikkate alınmayan(opsiyonel)
maxtermlerdir.

6.6 Doğruluk Tablosu Oluşturma Örnekleri
KBUZEM
45
Örnek 1
1-bitlik sayı ile 1-bitlik sayıyı toplayıp (a ve b) sonuçta 2-
bitlik sayı veren basit toplayıcı dizayn edelim. Nümerik
değerler ve çıkışlar şu şekilde olur:
A ve B giriş ve X, Y 2- bitlik toplam sonucunu gösteren
değişkenler olmak üzere doğruluk tablosunu şöyle
oluşturabiliriz:

Doğruluk Tablosu Oluşturma Örnekleri
KBUZEM
46
A B X Y
Numerik 0’lar mantıksal 0 ile, numerik 1’ler de
mantıksal 1 ile gösterildiğinden, 0’lar ve 1’ler doğruluk
tablosunda da önceki tablodaki gibi yerleştirilir.
Doğruluk tablosundan,

KBUZEM
47
Örnek 2
(N3=N1+N2)
A B
C D
X Y Z
X: carry (elde) Y Z: sum (toplam)
+

KBUZEM
48
A ve B girişleri birlikte N1 ikilik (binary) sayısını, C ve D beraber
N2 ikilik (binary) sayısını, çıkışlar X, Y ve Z birlikte N3 ikilik
(binary) sayısını temsil etsin. N3 = N1 + N2 (Sıradan toplama
işlemi)
Bu örnekte A, B, C, ve D hem nümerik hem de mantıksal
değerleri temsil etmek için kullanılmıştır fakat numerik ve
mantıksal değerlerin aynı olması herhangi bir karışıklığa yol
açmamalıdır. Doğruluk tablosunu oluşturulurken değişkenler
ikilik(binary) sayılar gibi işlem görür. Şimdi çıkış fonksiyonları
için anahtar fonksiyonu türetelim. Bunu yaparken A, B, C, D, X,
Y ve Z gibi anahtar değişkenler numerik olmayan 0 ve 1 ler ile
gösterelim. (Hatırlanacak olursa 0 ve 1 alçak ve yüksek voltaj
değerini veya açık ve kapalı gibi değerleri gösterir)
Tablodan oluşturulan çıkış ifadesi

KBUZEM
49
Örnek 3: 6-3-1-1 ikili-kodlanmış-onluk-dijitler için bir hata
dedektörü dizayn edelim. Dört giriş(A, B, C, D) hatalı kod
kombinasyonunu temsil ediyorsa çıkış (F) ifadesi 1
olmalıdır. Geçerli 6-3-1-1 kod kombinasyonları Bölüm 2 de
listelenmişti. Başka bir kombinasyon var ise bu geçerli bir
kombinasyon olarak sayılmayacaktır ve devre çıkışı F = 1
olarak temsil edilip hatanın meydana geldiğini
gösterilecektir. Bunu gösteren doğruluk tablosu:

KBUZEM
50
(2)
(6)
(10)
(13)
(14)
(15)
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 1
3 0 1 0 0
4 0 1 0 1
5 0 1 1 1
6 1 0 0 0
7 1 0 0 1
8 1 0 1 1
9 1 1 0 0
6-3-1-1 code

KBUZEM
51
İlgili çıkış ifadesi
VE ve VEYA kapısı kullanılarak gerçekleştirilen devre:

KBUZEM
52
Bir devredeki dört giriş (A, B, C, D) 8-4-2-1 ikili-
kodlanmış-onluk-dijitleri temsil etmektedir. (Z) çıkışı olan
bir devre tasarlayın ve temsil edilen onluk sayı giriş
tarafından 3 ile tam bölünebilir ise Z =1 olsun. Yalnızca
geçerli BCD dijitleri giriş olarak geldiğini varsayalım. 0,3,6
ve 9 sayıları 3'e tam olarak bölünebilir yani ABCD = 0000,
0011, 0110, ve 1001 kombinasyonları için Z = 1 olur. 1010,
1011, 1100,1101,1110 ve 1111 kombinasyonları geçerli BCD
dijitleri olarak temsil edilemezler ve Z bu kombinasyonlar
için dikkate alınmaz. Buna göre doğruluk tablosu:
Örnek 4

KBUZEM
53

KBUZEM
54
Buna uygun çıkış ifadesi
Z yi gerçekleştirecek en basit devreyi bulmak için 0
ya da 1 olan bazı dikkate alınmayan (don’t care)
(X'ler) terimler seçilmelidir. Bunun en kolay yolu
Karnaugh haritası kullanmaktır.
Karnaugh (Karno) haritaları bir sonraki bölümde
işlenecektir.

5.7 İkili Toplayıcı ve Çıkarıcıların Tasarımı
KBUZEM
55
Bu bölümde, iki tane 4-bitlik işaretsiz ikili sayıları toplayan ve 4-
bitlik toplamının giriş ve çıkışının eldesini veren paralel toplayıcı
tasarlayacağız. (Bknz Şekil 5-2). Bu yaklaşım dokuz giriş ve beş
çıkışı olan bir doğruluk tablosunu oluşturmaktadır ve daha
sonra bu beş çıkış ifadesini türetme ve sadeleştirme işlemi
uygulanır. Çünkü her eşitlik sadeleşmeden önceki dokuz
değişkenin ifadesini içerir, bu yaklaşım bayağı zordur ve
sonuçtaki mantıksal devre kompleks bir yapıya bürünür.
Mantıksal modülü tasarlayacak en iyi yol iki biti ve eldeyi
eklemek ve daha sonra bu dört modülü bağlayarak 5-3'deki gibi
4-bit toplama formuna dönüştürmektir. Her bir modül tam
toplayıcı olarak adlandırılır. Elde çıkışı ilk tam toplayıcıdan çıkış
olarak ikinci tam toplayıcıya giriş olarak temsil edilir ve böyle
devam eder.

İkili Toplayıcı ve Çıkarıcıların Tasarımı
KBUZEM
56
Şekil 5-8: 4-bit Paralel Toplayıcı

KBUZEM
57
Şekil 5-9: Dört Tam Toplayıcı ile Oluşturulan
Paralel Toplayıcı

KBUZEM
58
Şekil 5-9: Tam Toplayıcı ve Doğruluk Tablosu
X Y Cin Cout Sum
0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1

KBUZEM
59
Şekil 5-9’de X, Y, ve Cin girişleri ile tam toplayıcı için
doğruluk tablosu verilmiştir. Çıkışlar her satır için (X + Y
Cin) girişleri ile işlem yapılarak bulunur ve sonuç
ayrıştırılarak elde (C i+ 1) ve toplam biti (Si) elde edilir.
Örneğin, 101 içeren satırda
1 + 0 + 1 = 102 ise Ci+ 1 = 1 veSi =0. Şekil 5-10 da kapılar
ile tam toplayıcı gerçekleştirilmesi gösterilmiştir.
Doğruluk tablosundan türetilen tam toplayıcı mantıksal
ifadeler şunlardır:
(5.20)

İkili Toplayıcı ve Çıkarıcıların
Tasarımı
KBUZEM
60
(6.21)
XYCin terimi Cout u basitleştirmek için üç kez
kullanılmıştır. Şekil 6-5’de eşitlik (6-20) ve (6-21)
ifadelerine karşılık gelen mantıksal devre gösterilmiştir.

KBUZEM
61
Şekil 5-10: Tam Toplayıcı Devresinin Gerçekleştirimi

KBUZEM
62
İşaretsiz ikilik sayıları toplayan paralel bir devre
tasarlanmasına rağmen, şekil 5-9’daki paralel toplayıcı
complement formda olan negatif sayıları toplamak için
de kullanılabilir. 2’s complement kullanıldığında, son
elde biti (C4) atılır, ve en başta elde biti olmaz. Co = 0
olduğunda ilk hücredeki elde biti aşağıdaki formda
sadeleştirilebilir:
1’s complement kullanıldığında, elde biti C4’ün Co ‘a
bağlanması ile elde edilir. (Şekil 5-9’da kesikli çizgiler ile
bu durum gösterilmiştir.)

KBUZEM
63
Tümleyen (complement) formdaki negatif işaretli sayıları
toplarken, taşma(overflow) meydana gelirse toplamın işaret
biti hatalı olur. Bu taşma iki pozitif sayının toplanıp negatif
sonuç vermesi ve ya iki negatif sayı toplanıp pozitif sonuç
vermesi ile meydana gelir. Taşma olduğunda 1 sonucunu
atayacak bir V sinyali tanımlayacağız. Şekil 5-9’de V değerini
belirlemek için A, B, ve S (the sum) için işaret bitlerini
kullanabiliriz:
(5.22)
Bit sayısı fazla ise, Şekil 5-10 teki paralel toplayıcı türü yavaş
olabilir çünkü ilk hücrede oluşan elde son hücreye kadar
dağıtılarak gelecektir. Diğer türlerdeki toplayıcılar, örneğin
carry-Iook-ahead toplayıcısı elde dağıtımını hızlandırmak için
kullanılabilir.

KBUZEM
64
İkilik tabandaki sayılarda çıkarma işlemi, çıkarılacak sayıya
tümleyeni eklenerek kolay bir şekilde gerçekleştirilir. A-B yi
hesaplamak için, B'nin tümleyeni A'ya eklenir. Bu bize
doğru sonucu verir çünkü A + (- B) = A - B'dir. 1'in ya da
2'nin tümleyeni bu işlemler için kullanılabilir.
Şekil 5-11 daki devre A-B formunu negatif sayılar için 2'ye
tümleyen kullanılarak yapılmıştır. B'nin 2 tümleyeni, önce 1
tümleyeni bulunup çıkan sonuca 1 eklenerek bulunabilir. 1’e
tümleyeni bulmak için ise B'nin her bitinin tersi alınır. Daha
sonra gerekli çıkarma işlemi gerçekleştirilebilir.

KBUZEM
65
Şekil 5.10: Tam Toplayıcı Kullanılmış İkili Çıkarıcı

KBUZEM
66
Örnek

KBUZEM
67
Alternatif olarak, direk çıkarma işlemi tam toplayıcıya
benzer şekilde tam çıkarıcı ile gerçekleştirilebilir. Şekil 5-
12'de X'den Y yi çıkaran bir çıkarıcı gösterilmiştir. İlk iki bit
sağdan başlanarak çıkarılır, d1 aradaki farkı verir, gerekli ise
diğer sütundan bir borç alınarak borç sinyali oluşturulur.
(b2 =1). Olağan hücre (i hücresi) Xi,Yi, ve bi girişleri ve bi+1
ve di çıkışlarını içerir. bi=1 girişi o hücredeki Xi den 1 borç
aldığında gerçekleşir, borç alınan 1 ise Xi den çıkarılan 1'e
eşittir. i hücresinde, bi ve Yi, Xi den çıkarılır, d farkı oluşur,
(bi+1 = 1) borç sinyali ise gerekli olursa diğer sütundan
alınır.

İkili Toplayıcı ve Çıkarıcıların
Tasarımı
KBUZEM
68
Şekil 5-12: Paralel Çıkarıcı

KBUZEM
69
Tablo 5.4: Tam Çıkarıcının
Doğruluk Tablosu

KBUZEM
70
Tablo 5-4’de ikilik (binary) tam çıkarıcının doğruluk
tablosu verilmiştir. Buna göre, Xi = 0, olduğunda Yi = 1
ve b1 = 1:

KBUZEM
71
i sütununda Xi den Yi ve bi yi direk olarak
çıkaramayız. Dolayısıyla i+1 sütundan borç
almamız gerekir. Alınan 1 Xi ye 10 (210) eklenen 1
ve bi+1 'i set eden 1 ile eşdeğerdir. Daha sonra di
= 10 - 1 - 1 = 0 olur. 5-4 tablosunu diğer giriş
kombinasyonları için ikilik(binary) çıkarmayı
kullanılarak doğrulayın.

Kaynakça
• M. Akbaba, Mantık Devreleri Notları
• Hüseyin EKİZ, Mantık Devreleri, Değişim
Yayınları, 4. Baskı, 2005
• Thomas L. Floyd, Digital Fundamentals,
Prentice-Hall Inc. New Jersey, 2006
• M. Morris Mano, Michael D. Ciletti, Digital
Design, Prentice-Hall, Inc.,New Jersey, 1997
KBUZEM
72

H5 blm221 minterm-maxterm

Recommended

Recommended

More Related Content

More from karmuhtam

More from karmuhtam (20)

H5 blm221 minterm-maxterm