No presente escrito imos a tratar o tema da ordenación bitónica de secuencias de números. Esta ordenación foi plantexada especialmente para a súa programación en paralelo, como veremos máis adiante. Centrados nesta temática, faremos unha breve introdución aos conceptos teóricos das secuencias bitónicas, para logo facer unha exposición de cómo ordear e crear unha secuencia bitónicas. Rematando o documento facendo unha referencia a implementación do algoritmo.

1. ORDEACIÓN BITÓNICA
Iván Gómez Costa

2. No presente escrito imos a tratar o tema da ordenación bitónica de secuencias de
números. Esta ordenación foi plantexada especialmente para a súa programación en paralelo,
como veremos máis adiante. Centrados nesta temática, faremos unha breve introdución aos
conceptos teóricos das secuencias bitónicas, para logo facer unha exposición de cómo ordear e
crear unha secuencia bitónicas. Rematando o documento facendo unha referencia a
implementación do algoritmo.
1.-Definición e propiedades:
En primeiro lugar como é lóxico introduciremos a definición dunha secuencia bitónica
Definición: Unha secuencia bitónica é unha secuencia de números x0 , x1,..., xn1 cas
seguintes propiedades:
1.-Existe un índice i , con 0  i  n  1 , tal que
a0  a1  ...  ai1 e ai  ai1  ...  an1
2.-Ou ben podemos rotar ciclicamente a secuencia, conseguindo que (1) se
cumpra
Agora imos supoñer que temos unha secuencia bitónica con n par de tal forma que
x0  x1  ...  xn
2
1
e xn  xn  ...  xn1
2
2
1
Poderemos representar esta secuencia de seguinte forma:
x0
xn
2
x1
xn
2
1
''
xi1
xn
2
H
xi
xn
2
i 1
i
''
xn
2
1
xn1
Ante esta representación temos a seguinte propiedade.
Propiedade: Existe unha única liña H que divide dita representación de x en dúas
rexións etiquetadas como '  ' e '  ' tales que:
1.-Cada par de elementos escollidos da mesma rexión, e un de cada columna
satisfan a condición correspondente a dita rexión.

3. 2.-Ademais tamén se verifica que cada elemento da columna da dereita da
rexión '  ' é igual ou maior que todo elemento da rexión '  ' . Analogamente verificase para a
columna da dereita.
Definición: Aliña horizontal H que induce dúas rexións con estas propiedades dise que
verifica a “unique crossover property”
Exemplo: vexamos agora un exemplo destas primeiras definición e propiedades.
Tomemos a seguinte secuencia de números:
x  (3,2,1, 3, 6, 5, 4,0,1,2,6,7,10,9,6,4)
Vemos que esta secuencia tal é como esta non é bitónica. Pero se procedemos a rotala
ciclicamente obtemos a seguinte que si que o é:
x  (5, 4,0,1,2,6,7,10,9,6,4,3,2,1, 3, 6)
Representaremos esta secuencia ca representación que vimos antes
5
4
0 ''
1
2
6
7 ''
10
H
9
6
4
3
2
1
3
6
Onde podemos observar que se verifican as propiedades expostas anteriormente. Por
último para concluír este apartado de introdución as secuencias bitónicas, enunciaremos dos
teoremas dos cales omitimos a demostración neste documento.
Teorema 1: Toda secuencia bitónica verifica a “crossover property”
Teorema 2: Dada unha secuencia bitónica x definiremos as dúas secuencias seguintes:
L( x)  [min( x0 , x n ),..., min( xi , x n ),..., min( x n , xn1 )]
2
2
i
2
1
R( x)  [max( x0 , xn ),..., max( xi , xn ),..., max( xn , xn1 )]
2
2
i
2
1

4. Verifícase que tanto L( x) como R( x) son secuencias bitónicas e que todo elemento de
L( x) é menor ou igual que todo elemento de R( x)
Introducido o concepto de secuencia bitónica e algunhas das súas propiedades,
pasaremos agora a ver como a poderíamos ordear.
2.-Ordeación:
A ordenación dunha secuencia bitónica consistira basicamente en ir calculando
sucesivamente a lista L( x) . Este proceso que explicaremos a continuación con máis detalle, é
posible porque tanto L( x) como a R( x) seguiran sendo secuencias bitónicas a pesar de
aplicarlle o proceso.
Antes de comezar a explicar o método de ordeación, notemos que de aquí en adiante
denominaremos como “split” a operación que nos intercambiara dous elementos da secuencia.
Mediante esta operación iremos calculando as sucesivas L( x) e R( x) . Neste proceso de
ordeación o que faremos será comparar os elementos xi e x n , e intercambiaremos se se
2
i
verifica que xi  x n . Será deste xeito como iremos conseguindo as sucesivas L( x) e R( x) .
2
i
Exemplo: Vexamos todo isto cun exemplo que aclarara as ideas aquí expostas.
Consideraremos unha secuencia de oito elementos e aplicaremoslle o método.
posición
0
1
2
3
4
5
6
7
secuencia
2
6
7
10
9
6
4
3
split 1
2
6
4
3
9
6
7
10
split 2
2
3
4
6
7
6
9
10
split 3
2
3
4
6
6
7
9
10
ordeada
Describimos acontinuación o proceso seguido:
No split 1 facemos:
Comparamos as posicións 0  4, non intercambiamos porque 2  9
Comparamos as posicións 1  5, non intercambiamos porque 6=6
Comparamos as posicións 2  6, intercambiamos porque 7>4
Comparamos as posicións 3  7, ntercambiamos porque 10>3
Obtemos deste xeito as subsecuencias bitónicas L( x)  2,6,7,10 e R( x)  9,6,4,3 .
Agora a cada unha destas volvémoslle aplicar o método:

5. No split 2:
Para L( x) :
Comparamos as posicións 0  2, non intercambiamos porque 2<4
Comparamos as posicións 1  3, intercambiamos porque 6>3
Para R( x) :
Comparamos as posicións 4  6, intercambiamos porque 9>7
Comparamos as posicións 5  7, non intercambiamos porque 6<10
Temos agora que :
LL ( x)  2,3; LR ( x)  4,6; RL ( x)  7,6 e RR ( x)  9,10
No Split 3, reordeamos cada para de datos para obter a secuencia ordeada seguinte:
x  2,3,4,6,6,7,9,10
3.-Construcción:
Neste apartado abordaremos o tema da construción dunha secuencia bitónica. Ata
agora vimos como ordear unha secuencia bitónica, agora veremos como a partir dunha
secuencia arbitraria poder chegar a unha secuencia bitónica, para poderlle aplicar a ordeación
que vimos no apartado anterior.
A idea será construír secuencias bitónicas a partir de minisecuencias bitónicas de dous
elementos. Así se temos unha secuencia de catro elementos
 x0 , x1
de forma ascendente mentres que
x0 , x1, x2 , x3 ,
ordeamos
 x2 , x3 de forma descendente. Concatenando
estas duas secuencias obteremos unha secuencia bitónica. Este método pódese repetir agora
para mini-secuencias de catro elementos conseguindo secuencias bitónicas de 8,… Facendo
isto de forma recursiva obteremos unha secuencia bitónica formada polos mesmos números
da secuencia arbitraria de orixe.
Exemplo: Consideremos a secuencia 1,7,4,6,2,10, 4,0 , o proceso de construción
exponse na seguinte táboa e que se detalla paso a paso de seguido:
posición
0
1
2
3
4
5
6
secuencia
1
7
4
6
2
10
-4
0 Paso 1
1
7
6
4
2
10
0
-4 Paso 2
1
4
6
7
2
10
0
-4
1
4
6
7
10
2
0
-4
bitónica
7

6. Como notación utilizaremos (cre) para determinar que estamos ordeando de forma
crecente e (decre) para o contrario.
Paso1: ordeamos os pares consecutivos
(cre) Comparamos as posicións 0  1, non intercambiamos porque 1<7
(decre) Comparamos as posicións 2  3, intercambiamos porque 4<6
(cre) Comparamos as posicións 4  5, non intercambiamos porque 2<10
(decre) Comparamos as posicións 6  7, intercambiamos porque 0<-4
Paso 2: procedemos a facer o mesmo pero cas secuencias de 4 elementos
split 1:
(cre) Comparamos as posicións 0  2, non intercambiamos porque 1<6
(cre) Comparamos as posicións 1  3, intercambiamos porque 7>4
(decre) Comparamos as posicións 4  6, non intercambiamos porque 2>0
(decre) Comparamos as posicións 5  7, non intercambiamos porque 10>-4
split 2:
(cre) Comparamos as posicións 0  1, non intercambiamos porque 1<4
(cre) Comparamos as posicións 2  3, non intercambiamos porque 6<7
(decre) Comparamos as posicións 4  5, intercambiamos porque 2<10
(decre) Comparamos as posicións 6  7, non intercambiamos porque 0<-4
Chegamos desta forma a nosa secuencia bitónica 1,4,6,7,10,2,0, 4 , polo que
agora para ordeala só habería que aplicarlle o método visto no apartado anterior.
4.-Implementación:
A implementación da ordeación bitónica poderiámolo facer de forma secuencial,
utilizando a idea de recursividade. Así en cada proceso, chamariamos as funcións que nos
ordeasen de forma crecente ou decrecente tantas veces como precisemos para ordear o trozo
da secuencia na que nos atopemos.
Pero como xa comentamos no inicio deste documento, esta ordeación foi
especialmente deseñada para a súa programación en paralelo. A este aspecto ímoslle dedicar
unhas liñas neste apartado.
Dado como foi descrito o problema, tanto os Split como a comparación e intercambio
de elementos se pode facer de forma paralela. Pero para obter unha maior eficiencia,
deberemos abandonar a idea de chamar sucesivamente ao Split, e centrarnos nunha
formulación baseada en cada elemento da nosa sucesión. Para deixar claras as ideas,
utilizaremos un exemplo para explicar a implementación. Analizaremos o proceso mediante un
exemplo, onde a cada índice o denominaremos pola súa formulación binaria:

7. Natural 0
1
2
3
4
5
6
7
Binario 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
Numeraremos o bit máis a dereita como o bit 0 mentres que o mais a esquerda como
o bit 3. Na iteración i teremos que o bit i será o que nos indique se ordeamos de forma
crecente ou decrecente os pares de elementos tomados. Tendo en conta isto, vexamos como
sería o proceso
1.-Na primeira iteración ordearíamos cada par de elementos consecutivos, e segundo
o bit 1 sexa igual a 0 ou a 1 ordearemolo de forma crecente ou decrecente respectivamente.
Vémolo na seguinte táboa:
Posición Comparadas
0000  0001
0010  0011
0100  0101
0110  0111
Orden
ascendente
descendente
ascendente
descendente
2.-Na segunda iteración, ordearemos as subsecuencias de catro elementos, tendo en
conta que agora é o bit 2 o que nos indica se ordeamos de forma ascendente ou descendente.
Vemos na seguinte táboa a primeira chamada:
Posición Comparadas
0000  0010
0001  0011
0100  0110
0101  0111
Orden
ascendente
ascendente
descendente
descendente
Mentres que na segunda chamada sería:
Posición Comparadas
0000  0001
0010  0011
0100  0101
0110  0111
Orden
ascendente
ascendente
descendente
descendente
3.-Na última iteración, teremos tres chamadas que describiremos nas seguintes
táboas. Sendo neste caso o bit 3 o que nos indica a orden.

8. Primeira chamada
Posición Comparadas
0000  0100
0001  0101
0010  0110
0011  0111
Orden
ascendente
ascendente
ascendente
ascendente
Posición Comparadas
0000  0010
0001  0011
0100  0110
0101  0111
Orden
ascendente
ascendente
ascendente
ascendente
Posición Comparadas
0000  0001
0010  0011
0100  0101
0110  0111
Orden
ascendente
ascendente
ascendente
ascendente
Segunda chamada
Terceira chamada
Observamos que na primeira chamada comparamos os elementos nos cales o bit 2 da
posición é distinto. Na segunda chamada os que teñen distintos o bit 1, mentres que os da
última chamada os que teñen distinto o bit 0.
Desta forma indicamos como sería a comparación tendo en conta as posicións de cada
elemento dentro da secuencia. Notemos que non indicamos se facemos ou non o cambio, iso
dependerá dos elementos que ocupen esas posicións e en que orde as haxa que ordear. Na
descrición que fixemos so indicamos que posición se comparan e cal debería ser a orde de
ordeación.
A implementación nun ordenador deste proceso, tería un código similar ao que segue:
1
2
3
4
5
int i,j,k;
for(k=2;k<=N;k=2*k){
for(j=k>>1;j>0;j=j>>1){
for(i=0;i<N;i++){
int ixj=i^j;

9. 6
7
8
9
10
11
12
if((ixj)>i){
if((i&k)==0 && get(i)>get(ixj)) exchange(i,ixj);
if((i&k)!=0 && get(i)<get(ixj)) exchange(i,ixj);
}
}
}
}
A variable k indica a posición do bit que determina a orde(ascendente ou descendente)
na que son ordeados os pares de elementos comparados. En canto a variable j, correspondese
coa distancia entre os elementos que se comparan mentres que a i permítenos facer o
recorrido por todos os elemento. O ixj é o elemento que comparamos co elemento i (son os
pares de elementos que se diferenzas no bit de posición (log 2 j ) ). Notemos que so
compararemos istos elementos se se da que i<ixj, para evitarnos comparalos 2 veces.
Ata agora estivemos falando de que esta forma de ordear estaba pensado para a súa
programación en paralelo, e o código que expoñemos é secuencial. Pero se nos fixamos, o
bucle da liña 4 e totalmente paralelizable. Isto é debido a que as comparacións dos elementos
se fai de forma independente unha da outra. Podemos comparar ao mesmo tempo os
elementos na posición 0 e 1 a vez que os elementos 2 e 3, por exemplo. Deste xeito
repartiriamos as comparacións dos pares de elementos entre os distintos procesadores dos
que dispoñamos.