שיטות הסתברותיות תרגול מס' 2 . 2007 תזכורת: סכומים, הערכת סכומים בעזרת אינטגרלים, תמורות, מושגי יסוד מתורת הגרפים, קומבינטוריקה. (с) Игорь Клейнер матройд позитива Igor Kleiner Haifa university איגור קליינר

1. ‫הסתברותיות‬ ‫שיטות‬
'‫מס‬ ‫תרגול‬2.
2007
,‫תמורות‬ ,‫אינטגרלים‬ ‫בעזרת‬ ‫סכומים‬ ‫הערכת‬ ,‫סכומים‬ :‫תזכורת‬
.‫קומבינטוריקה‬ ,‫הגרפים‬ ‫מתורת‬ ‫יסוד‬ ‫מושגי‬
1.:‫סכומים‬
1.:‫קודם‬ ‫ראינו‬
1||,
1
1
2
)1(
11
1
1
<
−
=
+
=
+−=
∑
∑
∑
∞
=
=
=
q
q
q
nn
i
ab
i
i
n
i
b
ai
2..‫אחרים‬ ‫סכומים‬ ‫כן‬ ‫גם‬ ‫לחשב‬ ‫לדעת‬ ‫נצטרך‬
3..‫כלשהו‬ ‫סכום‬ ‫לחישוב‬ ‫אוניברסאלית‬ ‫דרך‬ ‫קיימת‬ ‫לא‬
4..‫סגורה‬ ‫נוסחא‬ ‫קיימת‬ ‫סכום‬ ‫לכל‬ ‫לא‬ ‫מזה‬ ‫יותר‬
5..‫סכומים‬ ‫לחישוב‬ ‫טכניקות‬ ‫כמה‬ ‫נלמד‬
6..‫מתאים‬ ‫אינטגרל‬ ‫בעזרת‬ ‫סכום‬ ‫להעריך‬ ‫המאפשרת‬ ‫דרך‬ ‫נלמד‬ ‫בנוסף‬
7.:‫תרגיל‬
:‫את‬ ‫חשב‬
∑=
=
n
i
n iS
1
2
"‫קדימה‬ ‫אחד‬ ‫"צעד‬ – ‫בטכניקה‬ ‫נשתמש‬ :‫פתרון‬

2. 2
)1(
)1()1(1)1(2
12)12(
)1()1(
0
2
0
2
0
0 00
2
0
2
0
2
1
1
22
1
2
1
nn
i
nnni
iiii
iiniS
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
+
=
+−+=−+=
++=++
=+==++=
∑
∑∑
∑ ∑∑∑
∑∑∑
=
==
= ===
=
+
==
+
‫לחשב‬ ‫רצינו‬∑=
=
n
i
n iS
1
2
‫אבל‬nS.‫בסוף‬ ‫הצטמצם‬
?‫סרק‬ ‫עבודת‬ ‫עשינו‬ ‫האם‬
‫עבור‬ ‫נוסחה‬ ‫מצאנו‬ .‫לא‬∑=
=
n
i
n iW
1
.
‫נתחיל‬ ‫אבל‬ ,‫שיטה‬ ‫באותה‬ ‫נשתמש‬ ‫אם‬ ,‫אולי‬
-‫מ‬
3
1
3
1 )1( ++= ∑=
+ niR
n
i
n
‫נוסחא‬ ‫נקבל‬?‫שריצינו‬
:‫נקבל‬ ‫ואז‬ (‫בית‬ ‫)בתרגיל‬ .‫שכן‬ ‫מסתבר‬
3
)1)(5.0(
1
2 ++
== ∑=
nnn
iS
n
i
n
2..‫אינטגרלים‬ ‫בעזרת‬ ‫סכומים‬ ‫הערכת‬
1.
33
)1)(5.0(
22
)1(
111
3
0
2
0
2
2
0
0
0
0
x
dyy
xxx
i
x
ydy
xx
i
xdyx
xx
i
xx
i
xx
i
=
++
=
=
+
=
=+=
∫∑
∫∑
∫∑
=
=
=
2.‫בהמשך‬ ‫הקשר‬ ‫על‬ ‫נדבר‬ .‫לאינטגרציה‬ ‫סכימה‬ ‫בין‬ ‫קשר‬ ‫כאן‬ ‫רואים‬ ‫אנו‬
3.‫משפט‬:
‫תהי‬f(x:‫אזי‬ .‫עולה‬ ‫מונוטונית‬ ‫פונקציה‬ (

3. ∑ ∫∫ =
+
≤≤
b
ai
b
a
b
a
dxxfxfdxxf
1
)()()(
‫תהי‬f(x.‫אזי‬ .‫יורדת‬ ‫מונוטונית‬ ‫פונקציה‬ (
∑ ∫∫ =
−
≤≤
b
ai
b
a
b
a
dxxfxfdxxf
1
)()()(
4.‫אם‬ ‫בקיצור‬f(x‫אזי‬ ‫מונוטונית‬ ‫פונקציה‬ – (∑ ∫=
≈
b
ai
b
a
dxxfxf )()(
5.:‫דוגמאות‬
1,
1
ln1ln12ln)ln(
ln
1
2ln)ln(
.
1
1
1
2
1
≥
+
≈
≈→+≤≤+−
≤≤−
=
+
=
=
=
∑
∑
∑
k
k
n
i
nHnHn
n
i
n
seriesharmonicis
i
H
kn
i
k
nn
n
i
n
i
n
x
i
kiffconvergesdx
xi
answerpreciseknowanyone
i
proofelegantveryexist
i
x
PRIMEi
k
i
k
i
i
lnln....
11
1
7
1
5
1
3
1
2
11
1
11
?
1
6
1
1
1
1
3
2
1
2
≈+++++=
>≈
=
=
∑
∫∑
∑
∑
∈
∞∞
=
∞
=
∞
=
π
6.‫הערה‬‫להוכיח‬ ‫ואז‬ ,‫התשובה‬ ‫את‬ ‫לנחש‬ – ‫היא‬ ‫סכום‬ ‫לחישוב‬ ‫נוספת‬ ‫:דרך‬
.‫באינדוקציה‬ ‫נכונותה‬

4. 3..(‫)פרמוטציה‬ ‫תמורה‬
1.:‫הגדרה‬
‫שלמים‬ ‫מספרים‬ ‫אוסף‬ ‫נסמן‬bbaaa .1,...,2,1, −++-‫ב‬],[ ba
2.:‫הגדרה‬
‫מספרים‬ ‫של‬ ‫פרמוטציה‬],1[ n‫פונקציה‬ ‫הינה‬‫חח"ע‬:‫ועל‬
],1[],1[: nn →π
‫כאשר‬)(iπ‫מספר‬ ‫מיקום‬ ‫זה‬i‫ידי‬ ‫על‬ ‫הנוצר‬ ‫בסידור‬π
3.:‫דוגמא‬
‫יהי‬π‫מספרים‬ ‫של‬ ‫תמורה‬1,2,3,4,5.‫יורד‬ ‫בסדר‬ ‫אותם‬ ‫המסדרת‬
:‫כלומר‬
,1)5(,2)4(,3)3(,4)2(,5)1(
12345
54321
:
=====






πππππ
π
4.:‫הגדרה‬
‫נקודה‬x‫שבת‬ ‫נקודת‬ ‫נקראת‬
‫תמורה‬ ‫של‬:‫מתקיים‬ ‫אם‬ii =)(π
5.:‫הבנה‬ ‫שאלות‬
:‫ייתכן‬ ‫האם‬
?1|})(:{|
?|})(:{|
?0|})(:{|
−==
==
==
niii
niii
iii
π
π
π
4.:‫הגרפים‬ ‫מתורת‬ ‫מושגים‬ ‫תזכורת‬
1.‫יהי‬),( EVG.‫מכוון‬ ‫לא‬ ‫גרף‬

5. 2.:‫הגדרה‬
)) ‫תלויה‬ ‫בלתי‬ ‫קבוצה‬independent set‫של‬ ‫קבוצה‬ ‫היא‬ ,‫בגרף‬ ‫צמתים‬ ‫של‬
.‫השני‬ ‫של‬ ‫אחד‬ ‫שכנים‬ ‫שלא‬ ‫הגרף‬ ‫צמתים‬
( )[ ]EyxeSetIndyxyxyxVSETInd ∉⇒∈∩≠∀⇒⊆ ),(.,:,.
3.:‫הגדרה‬
‫צמתים‬ ‫קבוצה‬Cl‫נקראת‬ , ,‫קליקה‬‫צמתים‬ ‫שני‬ ‫כל‬ ‫אם‬ ,
-‫ב‬Cl:‫כלומר‬ .‫קשת‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫מחוברים‬
( )[ ]EyxeClyxyxyxVCl ∈⇒∈∩≠∀⇒⊆ ),(,:,
4.?‫לקליקות‬ ‫ב"ת‬ ‫קבוצות‬ ‫בין‬ ‫קשר‬ ‫מהו‬
5.:‫הגדרה‬
‫הצביעה‬‫היא‬ ‫הגרף‬ ‫צמתי‬ ‫של‬‫פונקציה‬‫המתאימה‬‫לכל‬‫מספר‬ ‫בגרף‬ ‫צומת‬
.(‫שלם)צבע‬

6. +
⇒ NVCG :
6.:‫הגדרה‬
‫חוקית‬ ‫הצביעה‬‫צבע‬ ‫יש‬ ‫שכנים‬ ‫צמתים‬ ‫שני‬ ‫לכל‬ :‫המקיימת‬ ‫צביעה‬ ‫היא‬
.‫שונה‬
)()(),(,,, ,,, yCxCEyxeyxVyxCC legalGlegalGGlegalG ≠⇒∈≠∈∀∩=
7.:‫הגדרה‬
‫צביעה‬ ‫מספר‬‫גרף‬ ‫של‬G–‫של‬ ‫חוקית‬ ‫צביעה‬ ‫של‬ ‫מינימאלי‬ ‫גודל‬ ‫הוא‬G.
||min. ,
,
legalG
C
CnumberColor
legalG
=
8.‫כי‬ ‫ברור‬
||. VnumberColor ≤
9.‫אם‬G‫אזי‬ (‫קשת‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫מחוברים‬ ‫בו‬ ‫צמתים‬ ‫שני‬ ‫שכל‬ ‫מלא)גרף‬ ‫גרף‬
||. VnumberColor =
10.‫אם‬G‫בגודל‬ ‫קליקה‬ ‫מכיל‬n:‫אזי‬
11.nnumberColor ≥.
5.ΩΟΘ ,,
1.:‫הגדרה‬))(()( xgxf Θ=
: ‫אם‬)()()(:,, 210021 ngcxfngcnnncc ≤≤⇒>∀∃
2.‫אם‬))(()( xgxf Θ=‫אזי‬))(()( xfxg Θ=
3.:‫דוגמא‬
)(
)(ln
10
22
xx
exe
nnnn
Θ=+
Θ=++
4.:‫הגדרה‬))(()( xgOxf =
: ‫אם‬
)()(0:,0 00 ngcxfnnnc ≤≤⇒>∀>∃
5.:‫דוגמא‬

7. 6.)(
)(ln
10
32
xx
xxe
nnnn
Ο=+
Ο=++
7.:‫הגדרה‬))(()( xgxf Ω=
: ‫אם‬
)()(0:,0 00 xfngcnnnc ≤≤⇒>∀>∃
8.:‫דוגמא‬
9.)(
)(ln
10
2
xxe
nnnn
x
Ω=+
Ω=++
6.:‫קומבינטוריקה‬
1.?‫נתונה‬ ‫מקבוצה‬ ‫מסוימות‬ ‫תכונות‬ ‫בעלי‬ ‫איברים‬ ‫לבחור‬ ‫ניתן‬ ‫אופנים‬ ‫בכמה‬
2.?‫לקרוא‬ ‫יכול‬ ‫מסוים‬ ‫מאורע‬ ‫אופנים‬ ‫בכמה‬
3.‫קומבינטוריקה‬.‫הנ"ל‬ ‫לשאלות‬ ‫תשובות‬ ‫שמחפש‬ ‫מתמטיקה‬ ‫של‬ ‫ענף‬ ‫זה‬
4.‫קומבינטוריקה‬‫מתבססת‬:‫בסיסים‬ ‫כלים‬ ‫שתי‬ ‫על‬‫הסכום‬ ‫כלל‬.‫הכפל‬ ‫וכלל‬
5.:‫הסכום‬ ‫כלל‬Disjunctive or Sum Rule:
i.-‫ב‬ ‫לעשות‬ ‫ניתן‬ '‫א‬ ‫משימה‬ ‫אם‬m-‫ב‬ '‫ב‬ ‫אחרת‬ ‫ומשימה‬ ,‫דרכים‬n
-‫ב‬ ‫משימות‬ ‫משתי‬ ‫אחד‬ ‫מימוש‬ ‫לבצע‬ ‫ניתן‬ ‫אזי‬ .‫דרכים‬m+n.‫דרכים‬
ii..‫משימות‬ ‫של‬ ‫כלשהו‬ ‫סופי‬ ‫למספר‬ ‫להכליל‬ ‫ניתן‬ ‫הסכום‬ ‫כלל‬
iii.‫בכיתה‬ ‫דוגמא:אם‬20-‫ו‬ ‫בנים‬10‫קיימות‬ ‫אזי‬ ‫בנות‬30
.‫בת‬ ‫או‬ ‫בן‬ :‫סטודנט‬ ‫לבחור‬ ‫אפשרויות‬
6.:‫הכפל‬ ‫כלל‬Sequential or Product rule:
i.-‫ב‬ ‫לבצע‬ ‫ניתן‬ '‫א‬ ‫משימה‬ ‫אם‬m-‫ב‬ '‫ב‬ ‫ומשימה‬ ,‫דרכים‬n‫דרכים‬
‫בדרך‬ ‫תלוי‬ ‫לא‬ '‫ב‬ ‫משימה‬ ‫לממש‬ ‫ניתן‬ ‫שבו‬ ‫אפשרויות‬ ‫מספר‬ ‫ובנוסף‬
‫זמנית‬ ‫בו‬ ‫משימות‬ ‫שתי‬ ‫את‬ ‫לממש‬ ‫ניתן‬ ‫אזי‬ .‫אי‬ ‫משימה‬ ‫מימשנו‬ ‫שבה‬
-‫ב‬mn.‫אפשרויות‬
ii..‫משימות‬ ‫של‬ ‫כלשהו‬ ‫סופי‬ ‫למספר‬ ‫להכליל‬ ‫ניתן‬ ‫הכפל‬ ‫כלל‬
iii.‫דוגמא‬:
‫קובייה‬ ‫מטילים‬6) ‫-צדדית‬6‫מטבעה‬ ‫עם‬ ‫יחד‬ (‫אפשרויות‬
)2‫סה"כ‬ ‫קיימים‬ ‫אזי‬ .(‫אפשרויות‬12.‫ניסוי‬ ‫של‬ ‫אפשרויות‬
)},6(),,6(),...,,2(),,2(),,1(),,1{( HTHTHT

8. iv.‫דוגמא‬:
‫בכיתה‬ ‫אם‬20-‫ו‬ ‫בנים‬10‫קיימות‬ ‫אזי‬ ‫בנות‬200‫לבחור‬ ‫אפשרויות‬
.‫ובן‬ ‫בת‬ :‫סטודנטים‬ ‫זוג‬
v.‫דוגמא‬:
‫אמריקאי‬ ‫במבחן‬10‫יש‬ ‫שאלה‬ ‫ולכל‬ ‫שאלות‬4‫אזי‬ .‫תשובות‬
‫סה"כ‬ ‫קיימות‬10
4.‫התשובות‬ ‫את‬ ‫למלא‬ ‫אפשרויות‬
7.:‫תרגילים‬
i.‫לסדר‬ ‫ניתן‬ ‫אפשרויות‬ ‫בכמה‬n?‫בשורה‬ ‫אנשים‬
:‫פתרון‬
:‫ראשון‬ ‫שיעמוד‬ ‫אדם‬ ‫בן‬ ‫לבחור‬n.‫אפשרויות‬
:‫שני‬ ‫שיעמוד‬ ‫אדם‬ ‫בן‬ ‫לבחור‬1-n.‫אפשרויות‬
...
.‫אחד‬ ‫אפשרות‬ :‫אחרון‬ ‫שיעמוד‬ ‫אדם‬ ‫בן‬ ‫לבחור‬
:‫סה"כ‬ ‫ולכן‬
!1*2*3...*)1( nnn =−
ii.‫לבחור‬ ‫ניתן‬ ‫אופנים‬ ‫בכמה‬r‫מספרים‬‫שונים‬‫מספרים‬ ‫מתוך‬
]..1[ n‫כאשר‬‫סדר‬‫המספרים‬ ‫ביו‬!‫חשוב‬ ‫הנבחרים‬
‫למשל‬ ‫אם‬ ‫כלומר‬ )r=2-‫ו‬n=3) ‫אזי‬1,2-‫ו‬ ()2,1(.‫שונות‬ ‫בחירות‬ ‫זה‬ (
:‫פתרון‬
: ‫ראשון‬ ‫מספר‬ ‫לבחור‬n.‫אפשרויות‬
: ‫שני‬ ‫מספר‬ ‫בן‬ ‫לבחור‬1-n.‫אפשרויות‬
...
‫מספר‬ ‫לבחור‬r: ‫י‬n-r+1.‫אפשרויות‬
:‫סה"כ‬ ‫ולכן‬
n
rPrnP
r
n
rnnn ===+−− ),(
!
!
)1(*...*)1(