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028~033 數學教室 詩與數學的交會 971
- 1. 28 詩與數學的交會 文／黃敏晃 Mathematics §1 詩中有數 數學給人的一般印象是硬梆梆的， 尤其是數學考題的答案，不是對就是 錯，完全沒有通融的餘地。講究的是 邏輯的理性（能有條理的安排程序）， 著重於剖析事情時讓人有犀利的感 覺。大數學家 Hermann Weyl 曾經說 過，Mathematics has the inhuman quality of star light, brilliant and sharp, but cold。這樣的特質 ，好像和詩是完全相反的，筆者想把 這兩樣東西連結在一起，不是很奇怪 嗎？ 當然，越是如此，連結起來才會更 有趣。詩是使用語言文字，描述詩人 對人世間的一些事物的感覺。只要是 描述事物，就會牽涉到數學裡討論的 對象是數、量、形和關係這樣的材料 。下面先舉個例子看看： 例１ 這首詩是筆者高中時，一位 國文老師吟過的一首詩，筆者忘記這 首詩作者名字，詩名是麻雀，嘲諷當 代朝廷中的臣子們，只管無關痛癢的 芝麻小事，沒有擔當大事的能耐： 一隻兩隻三四隻 五隻六隻七八隻 日食朝廷千鍾粟 鳳凰何少爾何多 詩中頭兩句的點算，點算不完表示 不勝可數。第三句裡的《鍾》，是我 國古代的容量單位，一鍾相當於六斛 四斗，而一斛相當於五斗。後面兩句 說朝庭眾臣皆是飯桶。 例２ 無獨有偶，清朝的鄭板橋也有 一首咏《雪花》的詩，數數法更勝上 首： 一片兩片三四片 五六七八九十片 千片萬片無數片 飛入蘆花總不見 例３ 清乾隆皇帝喜歡舞文弄墨，故 和大學士紀曉嵐常有詩賦往來，其中有 首很特別的《一》首詩，還滿有意思的 ，如下： 一篙一櫓一漁舟 一丈長竿一寸鉤 一拍一呼復一笑 一人獨佔一江秋 數 學 教 室
- 2. 29 詩 與 數 學 的 交 會 科學研習 MAR2012 這首詩用《一》貫穿數量的描述， 頗有我乃天下《唯一》的孤家寡人味 道。是乾隆的手筆？還是紀曉嵐代工？ 我搞不清楚了。但確定的是下例中， 乾隆考紀曉嵐聰明智慧的這首詞： 例４ 下珠簾焚香去卜卦 問蒼天儂的人兒落在誰家？ 恨王郎全無一點真心話， 欲罷不能罷，吾把口來壓， 論文字，交情不差， 染成皂，難講一句清白話， 分明一對好鴛鴦，欲被刀割下 拋得奴力盡手又乏， 細思量口和心俱是假。 紀曉嵐當然不是省油的燈，很快就解 出此詩的謎底是《一、二、三、四、五 、六、七、八、九、十》這十個字，其 解法如下： 《下》去《卜》是一 《天》不見人是《二》 《王》無《豎一》是三 《罷》無《能》是四 《吾》去《口》是五 《交》不要《差》（X）是六 《皂》少《白》是七 《分》去《刀》是八 《拋》去《力》和《手》是九 《思》扣《口》和《心》是十 像這樣詩中帶數的案例應該還很 多，我們就停在這裡，讓有興趣的讀 者，到唐詩、宋詞、元曲的世界中， 找出更多數學存在的痕跡吧！ §2 假面算數 假面算數是一種特別的算數題型， 帶著面具的算術題目。它和另一種 題型《蟲蝕算》有點相似，但不 盡 相 同。 後 者 是 寫 在 紙 上 的 一 條 算 術 題 目， 已 經 解 出， 但 因 年 代 久 遠， 部 份 或 全 部 數 字 被 蟲 吃 掉， 變 成 許 多 洞（ 下 例 中 的 方 框 表 示 洞）。玩家可憑其外形，還原此算式 。下例的題名是《孤獨的爸（8）》， 全題只剩下一個 8；但不難解，讀者 可以自行試試看： 51-3 站在數學家的立場， 你會如何描述這些場景？
- 3. 30 Mathematics 數 學 教 室 例５（孤獨的爸） 這裡聲明在先，為了鼓勵讀者親自 解題，像上例那樣的題目之解答，通 通不會給解答，希望讀者自行詳解。 假面算術戴的面具是文字，題中每 個字代表 0、1、2、3、4、5、6、7、 8、9 中的一個數碼，相同文字代表 相同的數碼，而一個數碼只由一個文 字代表。這些文字都有其意義，如果 它是一首詩，或歌謠的一部份，那就 更難得。下面的例６和例７，摘自談 祥柏先生編的數學奇趣錄（商務，民 79 年）。 例６ 徐志摩的《再見康橋》 中的兩句 例７ 電影《城南舊事》中童 謠的兩句 例８ 某家門口的對聯 親愛的讀者，你有沒有一種衝動， 想自己也來命幾首假面算術題呢？有 位朋友聽我講過上述案例後，立刻吟 出唐朝詩人杜牧的一首詩，如下： 天下三分明月後 二分明月在揚州 要我幫他改成一道假面算術題，我 說這兩句中共有十一個不同的字，而 我們只有十個數碼，不可能。除非刪 字（如第一句最後一字），或用十一 或十二進為的記數系統，才可能符合 假面算數的規矩。 他問我，真的有人用《非十進》的 記數系統來設計假面算術的案例嗎？ 我說，會數學的人也很愛玩的，當然有 人幹過。於是我舉了下面英文的假面算 術案例，題中會有十二個不同的英文字 母，用十二進位記數系統有解。 例９ 我認識一位已經退休的國中數學老 師陳彩鳳，她非常熱心，現在還到許 多國中的數學資優班去幫忙上課。她 把出假面算術題（尤其是和古詩連續 的），當做功課出給一些國中數學資 優班的學生做。這些學生也非常努 力，做出了許多有意思的案例，下面 的幾道題目就是他們的成果，請看： ６和例７，摘自談祥柏先生編的數學奇趣錄（商務，民 79 年）。 例６ （徐志摩的《再見康橋》中的兩句） 輕輕的 = 我 + 走了 正 - 如 ÷ 我 = 輕輕的 ÷ 來 例７ （電影《城南舊事》中童謠的兩句） 蟲蟲蟲蟲 × 飛 = 蟲子 × 蟲子 + 一大堆 例８ （某家門口的對聯） 年年 × 歲歲 = 花相似 歲歲 ÷ 年年 = 人 ÷ 不同 親愛的讀者，你有沒有一種衝動，想自己也來命幾首假面算術題呢？有位朋 友聽我講過上述案例後，立刻吟出唐朝詩人杜牧的一首詩，如下： ６和例７，摘自談祥柏先生編的數學奇趣錄（商務，民 79 年）。 例６ （徐志摩的《再見康橋》中的兩句） 輕輕的 = 我 + 走了 正 - 如 ÷ 我 = 輕輕的 ÷ 來 例７ （電影《城南舊事》中童謠的兩句） 蟲蟲蟲蟲 × 飛 = 蟲子 × 蟲子 + 一大堆 例８ （某家門口的對聯） 年年 × 歲歲 = 花相似 歲歲 ÷ 年年 = 人 ÷ 不同 親愛的讀者，你有沒有一種衝動，想自己也來命幾首假面算術題呢？有位朋 友聽我講過上述案例後，立刻吟出唐朝詩人杜牧的一首詩，如下： 天下三分明月後 二分明月在揚州 ６和例７，摘自談祥柏先生編的數學奇趣錄（商務，民 79 年）。 例６ （徐志摩的《再見康橋》中的兩句） 輕輕的 = 我 + 走了 正 - 如 ÷ 我 = 輕輕的 ÷ 來 例７ （電影《城南舊事》中童謠的兩句） 蟲蟲蟲蟲 × 飛 = 蟲子 × 蟲子 + 一大堆 例８ （某家門口的對聯） 年年 × 歲歲 = 花相似 歲歲 ÷ 年年 = 人 ÷ 不同 親愛的讀者，你有沒有一種衝動，想自己也來命幾首假面算術題呢？有位朋 友聽我講過上述案例後，立刻吟出唐朝詩人杜牧的一首詩，如下： 例５（孤獨的爸） 注意原手寫稿 口口 8 口口 口口 口口口口口口口 口口口 口口 口口 口口口 口口口 8 口口口 口口口口口口口 這裡聲明在先，為了鼓勵讀者親自解題，像上例那樣的題目之解答，通通不 會給解答，希望讀者自行詳解。 假面算術戴的面具是文字，題中每個字代表 0、1、2、3、4、5、6、7、8、 9 中的一個數碼，相同文字代表相同的數碼，而一個數碼只由一個文字代表。這 些文字都有其意義，如果它是一首詩，或歌謠的一部份，那就更難得。下面的例 例５（孤獨的爸） 注意原手寫稿 口口 8 口口 口口 口口口口口口口 口口口 口口 口口 口口口 口口口 8 口口口 口口口口口口口 這裡聲明在先，為了鼓勵讀者親自解題，像上例那樣的題目之解答，通通不 會給解答，希望讀者自行詳解。 假面算術戴的面具是文字，題中每個字代表 0、1、2、3、4、5、6、7、8、 9 中的一個數碼，相同文字代表相同的數碼，而一個數碼只由一個文字代表。這 些文字都有其意義，如果它是一首詩，或歌謠的一部份，那就更難得。下面的例 例５（孤獨的爸） 注意原手寫稿 口口 8 口口 口口 口口口口口口口 口口口 口口 口口 口口口 口口口 8 口口口 口口口口口口口 這裡聲明在先，為了鼓勵讀者親自解題，像上例那樣的題目之解答，通通不 會給解答，希望讀者自行詳解。 假面算術戴的面具是文字，題中每個字代表 0、1、2、3、4、5、6、7、8、 9 中的一個數碼，相同文字代表相同的數碼，而一個數碼只由一個文字代表。這 些文字都有其意義，如果它是一首詩，或歌謠的一部份，那就更難得。下面的例 例５（孤獨的爸） 注意原手寫稿 口口 8 口口 口口 口口口口口口口 口口口 口口 口口 口口口 口口口 8 口口口 口口口口口口口 這裡聲明在先，為了鼓勵讀者親自解題，像上例那樣的題目之解答，通通不 會給解答，希望讀者自行詳解。 假面算術戴的面具是文字，題中每個字代表 0、1、2、3、4、5、6、7、8、 9 中的一個數碼，相同文字代表相同的數碼，而一個數碼只由一個文字代表。這 些文字都有其意義，如果它是一首詩，或歌謠的一部份，那就更難得。下面的例 例５（孤獨的爸） 注意原手寫稿 口口 8 口口 口口 口口口口口口口 口口口 口口 口口 口口口 口口口 8 口口口 口口口口口口口 這裡聲明在先，為了鼓勵讀者親自解題，像上例那樣的題目之解答，通通不 會給解答，希望讀者自行詳解。 假面算術戴的面具是文字，題中每個字代表 0、1、2、3、4、5、6、7、8、 9 中的一個數碼，相同文字代表相同的數碼，而一個數碼只由一個文字代表。這 些文字都有其意義，如果它是一首詩，或歌謠的一部份，那就更難得。下面的例 口口 8 口口 口口 口口口口口口口 口口口 口口 口口 口口口 口口口 8 口口口 口口口口口口口 這裡聲明在先，為了鼓勵讀者親自解題，像上例那樣的題目之解答，通通不 會給解答，希望讀者自行詳解。 假面算術戴的面具是文字，題中每個字代表 0、1、2、3、4、5、6、7、8、 9 中的一個數碼，相同文字代表相同的數碼，而一個數碼只由一個文字代表。這 些文字都有其意義，如果它是一首詩，或歌謠的一部份，那就更難得。下面的例 口口 8 口口 口口 口口口口口口口 口口口 口口 口口 口口口 口口口 8 口口口 口口口口口口口 這裡聲明在先，為了鼓勵讀者親自解題，像上例那樣的題目之解答，通通不 會給解答，希望讀者自行詳解。 假面算術戴的面具是文字，題中每個字代表 0、1、2、3、4、5、6、7、8、 9 中的一個數碼，相同文字代表相同的數碼，而一個數碼只由一個文字代表。這 些文字都有其意義，如果它是一首詩，或歌謠的一部份，那就更難得。下面的例 AMERICA STATES) UNITED + AMERICA STATES) UNITED + AMERICA STATES) UNITED + AMERICA STATES) UNITED + AMERICA STATES) UNITED + AMERICA STATES) UNITED + AMERICA STATES) UNITED + AMERICA STATES) UNITED + AMERICA STATES) UNITED + AMERICA STATES) UNITED + AMERICA STATES) UNITED + AMERICA STATES) UNITED + AMERICA STATES) UNITED + AMERICA STATES) UNITED + AMERICA STATES) UNITED +
- 4. 31 科學研習 MAR2012詩 與 數 學 的 交 會 51-3 例10 菩薩蠻，敦煌曲子詞 例11 李清照的詞句 例12 王維詩句 例13 杜甫詩句 例14 古詩十九首 例15 林夕的赤子 例16 這些小朋友的創意令人佩服，但我 要說這些題目和例 5、例 9 的這些老 案例有些不同，即老案例只有唯一 解，而這些新題則有多重的解，有些 甚至超過一百種解。我認為使解的數 目變少些，是會比較合乎數學的風格 的。 §3 詩的謀殺 唐文標先生是位統計學者，已過世 多年。早期在臺大數學系客座期間， 就住在筆者隔壁的宿舍，故常在一起 喝酒品茶聊天。唐兄有個奇怪的兼 業，是寫些文學評論的文章，因此它 對藝術的事物很在行。 有次，我們喝酒時談到詩，他說詩 是浪漫的，需要很強的渲染力，故常 用情境的描述來烘托感覺。數學則相 反，喜歡把所有具體的情境給抽象 化，以便得到一般性的結果。所以， 數學家很難兼做詩人。 在這樣的氛圍中，我們談到他的兼 業，即文學批評。我問他，為什麼會 選擇幹這種兼業？像筆者寫這些數學 科普方面的文章，算是沒有偏離本業 太遠。他的本行和兼業相差了十萬 八千里，為什麼？ 意思的案例，下面的幾道題目就是他們的成果，請看： 例 10 （菩薩蠻，敦煌曲子詞） 霏霏點 + 點 + 雨 塘回 = 雙雙隻 – 隻 + 鴛 + 鴦 + 語 例 11 （李清照的詞句） 尋 + 尋覓覓 + 冷冷清 + 清 = 淒 × 淒 – 慘 – 慘 – 戚 / 戚 例 12 （王維詩句） 君 × 自 – 故鄉 = 來 應 + 知 = 故鄉 + 事 例 13（杜甫詩句） 在 = 山泉水 – 清 出 – 山泉 = 水 × 濁 例 14 （古詩十九首） 纖 = 纖 –（擢）素 + 手 扎 = （札 + 弄 + 機）÷ 杼 意思的案例，下面的幾道題目就是他們的成果，請看： 例 10 （菩薩蠻，敦煌曲子詞） 霏霏點 + 點 + 雨 塘回 = 雙雙隻 – 隻 + 鴛 + 鴦 + 語 例 11 （李清照的詞句） 尋 + 尋覓覓 + 冷冷清 + 清 = 淒 × 淒 – 慘 – 慘 – 戚 / 戚 例 12 （王維詩句） 君 × 自 – 故鄉 = 來 應 + 知 = 故鄉 + 事 例 13（杜甫詩句） 在 = 山泉水 – 清 出 – 山泉 = 水 × 濁 例 14 （古詩十九首） 纖 = 纖 –（擢）素 + 手 扎 = （札 + 弄 + 機）÷ 杼 意思的案例，下面的幾道題目就是他們的成果，請看： 例 10 （菩薩蠻，敦煌曲子詞） 霏霏點 + 點 + 雨 塘回 = 雙雙隻 – 隻 + 鴛 + 鴦 + 語 例 11 （李清照的詞句） 尋 + 尋覓覓 + 冷冷清 + 清 = 淒 × 淒 – 慘 – 慘 – 戚 / 戚 例 12 （王維詩句） 君 × 自 – 故鄉 = 來 應 + 知 = 故鄉 + 事 例 13（杜甫詩句） 在 = 山泉水 – 清 出 – 山泉 = 水 × 濁 例 14 （古詩十九首） 纖 = 纖 –（擢）素 + 手 扎 = （札 + 弄 + 機）÷ 杼 意思的案例，下面的幾道題目就是他們的成果，請看： 例 10 （菩薩蠻，敦煌曲子詞） 霏霏點 + 點 + 雨 塘回 = 雙雙隻 – 隻 + 鴛 + 鴦 + 語 例 11 （李清照的詞句） 尋 + 尋覓覓 + 冷冷清 + 清 = 淒 × 淒 – 慘 – 慘 – 戚 / 戚 例 12 （王維詩句） 君 × 自 – 故鄉 = 來 應 + 知 = 故鄉 + 事 例 13（杜甫詩句） 在 = 山泉水 – 清 出 – 山泉 = 水 × 濁 例 14 （古詩十九首） 纖 = 纖 –（擢）素 + 手 扎 = （札 + 弄 + 機）÷ 杼 意思的案例，下面的幾道題目就是他們的成果，請看： 例 10 （菩薩蠻，敦煌曲子詞） 霏霏點 + 點 + 雨 塘回 = 雙雙隻 – 隻 + 鴛 + 鴦 + 語 例 11 （李清照的詞句） 尋 + 尋覓覓 + 冷冷清 + 清 = 淒 × 淒 – 慘 – 慘 – 戚 / 戚 例 12 （王維詩句） 君 × 自 – 故鄉 = 來 應 + 知 = 故鄉 + 事 例 13（杜甫詩句） 在 = 山泉水 – 清 出 – 山泉 = 水 × 濁 例 14 （古詩十九首） 纖 = 纖 –（擢）素 + 手 扎 = （札 + 弄 + 機）÷ 杼 意思的案例，下面的幾道題目就是他們的成果，請看： 例 10 （菩薩蠻，敦煌曲子詞） 霏霏點 + 點 + 雨 塘回 = 雙雙隻 – 隻 + 鴛 + 鴦 + 語 例 11 （李清照的詞句） 尋 + 尋覓覓 + 冷冷清 + 清 = 淒 × 淒 – 慘 – 慘 – 戚 / 戚 例 12 （王維詩句） 君 × 自 – 故鄉 = 來 應 + 知 = 故鄉 + 事 例 13（杜甫詩句） 在 = 山泉水 – 清 出 – 山泉 = 水 × 濁 例 14 （古詩十九首） 纖 = 纖 –（擢）素 + 手 扎 = （札 + 弄 + 機）÷ 杼 意思的案例，下面的幾道題目就是他們的成果，請看： 例 10 （菩薩蠻，敦煌曲子詞） 霏霏點 + 點 + 雨 塘回 = 雙雙隻 – 隻 + 鴛 + 鴦 + 語 例 11 （李清照的詞句） 尋 + 尋覓覓 + 冷冷清 + 清 = 淒 × 淒 – 慘 – 慘 – 戚 / 戚 例 12 （王維詩句） 君 × 自 – 故鄉 = 來 應 + 知 = 故鄉 + 事 例 13（杜甫詩句） 在 = 山泉水 – 清 出 – 山泉 = 水 × 濁 例 14 （古詩十九首） 纖 = 纖 –（擢）素 + 手 扎 = （札 + 弄 + 機）÷ 杼 例 15 （林夕的赤子） 笑笑 + 喊喊裡 = 情緒 + 彷 + 彷彷彿 ÷ 問 例 16 彩鳳 + 彩鳳 = 您 + 真 × 帥 （功 – 課 × 長）÷ 如 = 七 （虹 – 彩） 這些小朋友的創意令人佩服，但我要說這些題目和例 5、例 9 的這些老案例 有些不同，即老案例只有唯一解，而這些新題則有多重的解，有些甚至超過一百 種解。我認為使解的數目變少些，是會比較合乎數學的風格的。 例 15 （林夕的赤子） 笑笑 + 喊喊裡 = 情緒 + 彷 + 彷彷彿 ÷ 例 16 彩鳳 + 彩鳳 = 您 + 真 × 帥 （功 – 課 × 長）÷ 如 = 七 （虹 – 彩） 這些小朋友的創意令人佩服，但我要說這些題目和例 5、例 9 的這些老案 有些不同，即老案例只有唯一解，而這些新題則有多重的解，有些甚至超過一 種解。我認為使解的數目變少些，是會比較合乎數學的風格的。 §3 詩的謀殺 唐文標先生是位統計學者，已過世多年。早期在臺大數學系客座期間，就 在筆者隔壁的宿舍，故常在一起喝酒品茶聊天。唐兄有個奇怪的兼業，是寫些 學評論的文章，因此它對藝術的事物很在行。 有次，我們喝酒時談到詩，他說詩是浪漫的，需要很強的渲染力，故常用 境的描述來烘托感覺。數學則相反，喜歡把所有具體的情境給抽象化，以便得 一般性的結果。所以，數學家很難兼做詩人。 在這樣的氛圍中，我們談到他的兼業，即文學批評。我問他，為什麼會選 幹這種兼業？像筆者寫這些數學科普方面的文章，算是沒有偏離本業太遠。他 本行和兼業相差了十萬八千里，為什麼？ 原來他是文藝青年，少年時愛好閱讀詩詞，散文和小說。後來進了數學系 讀，養成了抽象剖析的能力。開始戴著數學的有色眼鏡來看文學作品，常看到 人看不到的連結。故他的評論文章，被認為是犀利無情，不討人喜歡的。 為了讓我更了解他的兼業，他叫我背一首詩，並嘗試用數學的抽象精神來 析，批評它。當時，屋外正下著很令人討厭的毛毛雨，已經連下了一個多禮 故自然想起唐朝詩人杜牧的《清明》詩句，如下：
- 6. 刪《遙指》」。「這種天氣只有一個地 方可以解悶，那就是酒家了，《何處 有》當然在問酒家，刪。」。「何必《清 明》呢？任何時候只要下那麼久的 雨，都會令人不快樂的。《清明》拿走 ，乾杯。」；各自乾了數杯後，詩變成： 雨紛紛 欲斷魂 何處有 杏花村 唐兄再一次把我們兩人的酒杯斟滿 後說：「黃兄，你這方面也很有天賦， 學的很快，真是孺子可教也。來，乾 一杯，讓我們再接再厲，把這首詩給 謀殺掉。」「對，這才不愧為數學好 漢！」再產生了一輪對話，如下： 「誰說只有雨才會紛紛下？我以前 在美國接近芝加哥的北地，雪就連下 了兩週，天天要剷門前雪，令人更為鬱 悶。刪《雨》字」，「斷魂就斷魂，那需 要加什麼《欲》，刪。」「《何處》就是問 句，不需要《有》字。」「《村》也刪去 33 詩 與 數 學 的 交 會 科學研習 51-3 MAR2012 ，喝酒的地方可以是杏花樓，也可以是 杏花閣，」於是，我們得到第三次修 整後的詩句，如下： 紛紛 斷魂 何處 杏花 我終於明白唐兄的兼業，也體會到 他的文學評論為什麼讓藝文界的人討 厭。同時，我也反省到為什麼數學家 寫的書，學生總是讀不下去：我們太 節省文字啦！親愛的讀者，你有同感 嗎？