数学.pptx
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𝑒𝑖𝜋
+ 1 = 0
「𝑒𝑖𝜋
+ 1 = 0」の美しさとは？
e … ネイピア数。自然対数の底でもあり、およそ
2.71828 である。
i … 虚数単位。2乗すると-１になる数。
π … 円周率。円周を直径で割った比であり、およそ
3.14159である。
解析学・代数学・幾何学の基本的な定数を含む
簡潔な公式だから美しい！！！
- 12. 12
速度で考える「𝑒α𝑡
」
今、 𝑥 = 𝑒α𝑡
となる変位と速度の関係をベクトル的に考える。
速度vは、 𝑣 = α𝑒α𝑡 = α𝑥となる。つまり、変位にαを掛けたも
のが速度となる。今、α>0のとき、xが大きいほど速度は大き
くなる。
今ここでα<0とすると、速度ベクトルの向きは逆向き（原点を
向く向き）になる。
𝑥
速度は
逆向き！
𝑥 𝑥
速度は
𝑣 = α𝑥
速度は
大きくなる！
速度は
逆向き！
- 13. 13
速度で考える「𝑒α𝑡
」
ここで、α = 𝑖 の場合にどうなるかを考えてみたい。
速度はv = 𝑖𝑥 この虚数iを掛けるとはどういうことだろうか。
先ほどの議論を元にすると、虚数iを掛けるとは、反時計回り
に90°回転させることだった。つまり、速度は縦方向を向く。
𝑥 速度は
縦向き！
速度が変位に対して縦方向を向き続けるということは、この点
は時間tが経過するにつれて、反時計回りに円軌道を描くこと
をお判りいただけるだろうか？
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速度で考える「𝑒α𝑡
」
今、tの値を変化させてみる。 𝑥 = 𝑒𝑖𝑡において、t＝0 が初期値
であるとすると、この点は t=0 で x=1 の場所にいる。
因みに、速度は変わらず v=1 であることが t=0 を代入するこ
とからわかる。
では、ここで「t=π」の場合について考えてみる。
1
0 t=0
t=π -1
速度v=1
速度 v＝1 で t=π だけ進むので、道のりπとなり、点は孤を描
きながら半径1の円を半円周だけ進むことになる。つまり、こ
の時の変位はx=-1である。 以上より、 𝑥 = 𝑒𝑖π = −1であるこ
とが言える。
即ち、「𝑒𝑖𝜋
+ 1 = 0」が言えた。
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オイラーの公式について
今 、𝑒𝑖𝑡について 考えてみよう。t＝0 が初期値であるとすると、
t=0 で x=1 の場所にいて、速度は変わらず v=1 であること
は変わらない。
では、ここで「t=x」の場合について考えてみる。
速度 v＝1 で t=x だけ進むので、道のりxとなり、半径1の扇形に於
いて中心角はt=x。つまり、この時の変位は「 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑥」 である。
即ち、「𝑒𝑖𝑥
= 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑥」が言えた。
これを「オイラーの公式」という。
1
0 t=0
t=x 速度v=1
x
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
